giasuthanhtai.com.vngiasuthanhtai.com.vn/uploads/document/toan-lp-9-ch-d-1... · web viewtóm lại...
TRANSCRIPT
Chủ đề 1: BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ
Chương 1: Căn thức
1.1 CĂN THỨC BẬC 2Kiến thức cần nhớ:
Căn bậc hai của số thực là số thực sao cho . Cho số thực không âm. Căn bậc hai số học của kí hiệu là là
một số thực không âm mà bình phương của nó bằng :
Với hai số thực không âm ta có: . Khi biến đổi các biểu thức liên quan đến căn thức bậc 2 ta cần lưu ý:
+ nếu
+ với ; với
+ với
+ với ;(Đây gọi là phép khử căn thức ở mẫu)
+ với (Đây gọi là phép
trục căn thức ở mẫu) 1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n.1.2.1 CĂN THỨC BẬC 3.
Kiến thức cần nhớ:
Căn bậc 3 của một số kí hiệu là là số sao cho
Cho
1
Mỗi số thực đều có duy nhất một căn bậc 3. Nếu thì .
Nếu thì .
Nếu thì .
với mọi .
với mọi .
.
.
với
với .
1.2.2CĂN THỨC BẬC n. Cho số . Căn bậc của một số là một số mà lũy thừa bậc của nó bằng a. Trường hợp là số lẻ:
Mọi số thực đều có một căn bậc lẻ duy nhất: , nếu thì , nếu thì
, nếu thì Trường hợp là số chẵn: .
Mọi số thực đều có hai căn bậc chẵn đối nhau. Căn bậc chẵn dương kí hiệu là (gọi là căn bậc số học của ). Căn bậc
chẵn âm kí hiệu là , và ;
và .Mọi số thực đều không có căn bậc chẵn.
Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Phân tích các biểu thức sau thành tích:
2
a) b)c)
Lời giải:
a) .
b) .
c) .
Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức:
a) khi .
b) khi .
c)
Lời giải:
a)
+ Nếu thì .
+ Nếu thì
b)
Hay
3
+ Nếu thì suy
ra .
+ Nếu thì
suy ra .
c) Để ý rằng:
Suy ra
.Hay
Ví dụ 3) Chứng minh:
a) là số nguyên.
b) là một số nguyên ( Trích đề TS vào lớp
10 chuyên Trường THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2006).
c) Chứng minh rằng: với
là số tự nhiên.
d) Tính biết .
Lời giải:
a) Dễ thấy
4
Tacó
Suy ra .
b) Áp dụng hằng đẳng thức: . Ta có:
. Hay
mà suy ra .
Vậy là số nguyên.
c) Áp dụng hằng đẳng thức:
Ta có
Xét đa thức bậc hai với
+ Khi ta có .
+ Khi ta có âm nên đa thức (1) có nghiệm duy nhất
Vậy với mọi ta có: là
số tự nhiên.
5
d) Nhận xét:
.
Kết hợp với giả thiết ta suy ra
Ví dụ 4)
a) Cho . Tính giá trị biểu thức:
.
b) Cho . Tính giá trị của biểu thức .(Trích đề thi vào lớp 10 Trường PTC
Ngoại Ngữ - ĐHQG Hà Nội năm 2015-2016).c) Cho . Tính giá trị biểu thức:
Giải:
a) Ta có:
. Từ đó ta suy ra .
Ta biến đổi: .
b) Ta có . Ta biến đổi
biểu thức thành:
c) Để ý rằng: ta nhân thêm 2 vế với để tận
dụng hằng đẳng thức: . Khi đó ta có:
6
.
Ta biến đổi:
Ví dụ 5) Cho và .
a) Tính giá trị biểu thức:
b) Chứng minh rằng:
Lời giải:
a) Để ý rằng:
Tương tự đối với ta có:
Suy ra .
b) Tương tự như câu a) Ta có:
Ví dụ 6)
7
a) Tìm thỏa mãn:
b) Cho với nguyên dương. Tính
.Lời giải:
a) Đẳng thức tương đương với:
Hay
b) Đặt .
Suy ra
.
Áp dụng vào bài toán ta có:
Ví dụ 7)
a) Chứng minh rằng: . Đề thi
chuyên ĐHSP 2011
b) Chứng minh rằng: .
8
c) Chứng minh: với
mọi số nguyên dương .Lời giải:
a) Xét ,
Dễ thấy .
Ta có
Mặt khác ta có:
Suy ra . Do
suy ra .
b) Để ý rằng: với
mọi nguyên dương.Suy ra
.
c) Đặt
Ta có: với mọi số tự nhiên .
9
Từ đó suy ra
hay
Do đó: và
.
Hay .
Ví dụ 8)
a) Cho ba số thực dương thỏa mãn
.Chứng minh rằng:
.
a) Tìm các số thực thỏa mãn điều kiện:
. (Trích đề thi tuyến sinh vào lớp
10 chuyên Toán- Trường chuyên ĐHSP Hà Nội 2014)Lời giải:
a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
(đpcm).
b) Ta viết lại giả thiết thành: .
10
Áp dụng bất đẳng thức : ta có:
. Suy ra . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
Ví dụ 9) Cho với
a) Rút gọn .Tìm để đạt giá trị nhỏ nhất.b) Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.
Lời giải:
a) Điều kiện để biểu thức xác định là .
+ Nếu thì nên
Do nên .
+ Nếu thì nên
11
(Theo bất đẳng thức Cô si). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
.
Vậy GTNN của bằng khi .
b) Xét thì , ta thấy khi và chỉ khi
là ước số nguyên dương của . Hay
đối chiếu điều kiện suy ra
hoặc .
+ Xét ta có: , đặt khi đó ta có:
suy ra .
Tóm lại để nhận giá trị nguyên thì .
MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Câu 1. (Đề thi vào lớp 10 thành phố Hà Nội – năm học 2013-2014)
Với , cho hai biểu thức và .
1) Tính giá trị biểu thức khi .2) Rút gọn biểu thức .
3) Tính để .
Câu 2. (Đề thi năm học 2012 -2013 thành phố Hà Nội)
1) Cho biểu thức . Tính giá trị của biểu thức .
12
2) Rút gọn biểu thức (với
)3) Với các biểu thức và nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của
để giá trị của biểu thức là số nguyên.
Câu 3. (Đề thi năm học 2011 -2012 thành phố Hà Nội).
Cho , với .
1) Rút gọn biểu thức 2) Tính giá trị của A khi .
3) Tìm để .
Câu 4. (Đề thi năm học 2010 -2011 thành phố Hà Nội).
Cho , với .
1) Rút gọn .
2) Tìm giá trị của để .
3) Tìm giá trị lớn nhất của .
Câu 5. (Đè thi năm học 2014 – 2015 Thành phố Hồ Chí Minh)
Thu gọn các biểu thức sau:
.
13
Câu 6. (Đề thi năm học 2013 – 2014 TPHCM)
Thu gọn các biểu thức sau:
với .
.
Câu 7. (Đề thi năm 2014 – 2015 TP Đà Nẵng)
Rút gọn biểu thức , với .
Câu 8. (Đề thi năm 2012 – 2013 tỉnh BÌnh Định)
Cho và
.
Chứng minh rằng .
Câu 9. (Đề thi năm 2014 – 2015 tỉnh Ninh Thuận)
Cho biểu thức .
1) Rút gọn biểu thức .
2) Tính giá trị của khi và .
Câu 10. (Đề thi năm 2014 – 2015 , ĐHSPHN)
Cho các số thực dương ; .
14
Chứng minh rằng: .
Câu 11. (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Hùng Vương Phú Thọ)
.
Câu 12. (Đề thi năm 2014 – 2015 tỉnh Tây Ninh)
Cho biểu thức .
Rút gọn và tìm để .
Câu 13. (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Lê Khiết Quảng Ngãi).
1) Cho biểu thức . Tìm tất cả
các giá trị của để .2) Trong mặt phẳng tọa độ cho và đường thẳng
( là tham số). chứng minh rằng với mọi giá trị của
, đường thẳng luôn cắt tại hai điểm phân biệt có hoành
độ thỏa mãn .
Câu 14. (Đề thi năm 2014 – 2014 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa)
Cho biểu thức .
1) Tìm điều kiện của để biểu thức có nghĩa và rút gọn .2) Tính giá trị của biểu thức khi .
Câu 15. (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Thái Bình tỉnh Thái BÌnh)15
Cho biểu thức
.
1) Rút gọn biểu thức .2) Tìm sao cho nhận giá trị là một số nguyên.
Câu 16. (Đề năm 2014 – 2015 Thành Phố Hà nội)
1) Tính giá trị của biểu thức , khi .
2) Cho biểu thức với và .
a) Chứng minh rằng .
b) Tìm các giá trị của để .
Câu 17) Cho . Chứng minh rằng
.
Câu 18) Cho .
Tính giá trị của biểu thức: .
Câu 19) Giả thiết và .
Chứng minh rằng:
.
Câu 20. Cho .
a) Chứng minh rằng: .
16
b) Giả sử . Tính .
Câu 21. Cho .
Giả sử có đa thức . Hãy tính .
Câu 22. Cho biểu thức .
Tính tổng .
Câu 23) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , ta có:
.
Câu 24) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , ta có
.
Câu 25) Chứng minh rằng:
(Đề thi THPT chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2001-2002)
Câu 26) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , ta có:
.
Câu 27) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , ta có:
.
17
LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN CHỦ ĐỀ 1
1). Lời giải:
1) Với ta có .
Với , ta có:
(do ).
2. Lời giải:
1) Với , ta có .
2) Với ta có:
.
3) Biểu thức
nguyên, nguyên thì là ước của , mà
. Ta có bảng giá trị tương ứng:
Kết hợp điều kiện, để nguyên thì .
3). Lời giải:
18
. Với ta có: . Vậy
.
4). Lời giải:
1)
2) (thỏa mãn ĐKXĐ)
3) Với khi (TM).
5. Lời giải:
.
19
.
6. Lời giải:
Với và ta có:
.
.
7). Lời giải: Với điều kiện đã cho thì:
.
8. Lời giải:
Ta có:
20
(1)
Với mọi , ta có:
Do đó
(2) . Từ (1) và (2) suy ra .
9. Lời giải:
1) .
2) Với và
Thay vào ta được: .
10.Lời giải:
Ta có:
21
(ĐPCM).
11. Lời giải:
.
12. Lời giải:
. Với
(nhận). Vậy khi .
13. Lời giải:
1) ĐKXĐ:
.
Vì
.Vậy và
.
2) Phương trình hoành độ giao điểm của và là: .
22
có với mọi , nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt . Theo hệ thức Viet ta có: và
với mọi với mọi (ĐPCM).
14. Lời giải:
1) Biểu thức có nghĩa khi: .
Rút gọn
.
2) Giá trị của khi .
Ta có:
Vậy .
15. Lời giải:
23
1) Với biểu thức có nghĩa ta có:
. Vậy với thì
.
2) Ta có nên
, kết hợp với
nhận giá trị là một số nguyên thì .
thỏa mãn điều kiện.
không thỏa mãn điều kiện.
Vậy với thì nhận giá trị là nguyên.
16. Lời giải:
1) Với ta có .
2) a)
.
b) Theo câu a)
24
và
.
17. Giải:
. Do nên
. Do đó hay .
18. Giải:
. Vì nên . Do đó hay
. Biểu diễn .
19. Giải:
Ta có: .Tương tự ta có:
.
Từ đó ta có:
. Tương
tự: . Vậy
.
25
20. Giải:
a) Vì
Từ đó
.
b) Do và nên ta
được .
21. Giải:
Vì
.
22. Nhân cả tử và mẫu của với , ta được:
. Cho lần lượt từ đến , ta được:
Từ đó suy ra: .
23. Giải:
Vì là số nguyên dương nên: (1) . Mặt
khác, với mọi ta có:
. Cho ta có:
26
………….
Cộng vế với vế ta được:
(2). Từ (1) và (2) suy ra
điều phải chứng minh.
24. Giải:
Đặt . Thực hiện làm trội mỗi phân số ở vế trái
bằng cách làm giảm mẫu, ta có:
Cho thì
. Do đó (đpcm).
25. Giải:
Đặt
Để ý rằng :
27
Cho rồi cộng vế với vế ta có:
Do đó
Như vậy ta phải chứng minh:
Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên ta có điều phải chứng minh.
26. Giải:
Để giải bài toán này ta cần có bổ đề sau:
Bổ đề: với mọi số thực dương ta có: .
Chứng minh: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương
.
Bổ đề được chứng minh.
Áp dụng bổ đề ta có:
28
Vì thế:
. Mà theo kết quả câu 25
thì: . Vậy bài
toán được chứng minh.
Câu 27)
Giải:
Để ý rằng các phân số có tử và mẫu hơn kém nhau 2 đơn vị, nên ta nghĩ đến đẳng thức
. Kí hiệu
. Ta có:
.
Từ đây suy ra . Bất đẳng thức được chứng minh.
29