Metodologia 2: Logiczne podstawy metodologii

* - materiał nadobowiązkowy

I Wybrane zagadnienia logiki

1) Definicje2) Logiczna teoria nazw3) Klasyczny rachunek zdań 4) Klasyczny rachunek logiczny

1) Definicje

Definicje - budowa i rodzaje

Definiowanie – określanie, wyjaśnianie wypowiedzi (zwrotów) językowych; definiowanie sensu stricto definiowanie jest określaniem znaczenia wyrażeń językowych. Definicja jest zdaniem realizującym ten cel: wyjaśnia sens wyrażenia językowego za pomocą wyrażenia równoznacznego (definicja treściowa) lub równoważnego (definicja zakresowa). Definicja to zabieg językotwórczy mający na celu uzyskanie jasności, wyraźności i precyzji znaczenia używanych nazw.

Celem definiowania wyrażeń jest:1) określenie (ustalenie) znaczenia danego wyrażenia 2) uzyskanie jednoznacznego bądź jaśniejszego znaczenia wyrażenia dotąd

wieloznacznego bądź niejasnego 3) wprowadzenie nowego słowa do zasobu leksykalnego danego języka.

Definicja przeciwdziałanie wadom, brakom w posługiwaniu się językiem, szczególnie niejasności pojęć.

Budowa definicjidefiniendum – zwrot określany, definiowany; to, czego nie wiemydefiniens – zwrot określający przy użyciu którego definiujemy, zawiera słowa definiującełącznik definicyjny (łac. copula ) – spełnia funkcję ustalania równoznaczności definiendum i definiensa. Kolejność zapisu: definiendum, zwrot łączący, definiens

Rodzaje definicji

Definicja nominalna (łac. nomen – nazwa). To wyrażenie określające lub objaśniające znaczenie definiowanego słowa. Tworzymy ją przez porównanie ze sobą znaczenie nowo

1

wprowadzanego/ definiowanego wyrazu (zwrotu językowego) z innym wyrazem (zwrotem) bardziej znanym (występującym w zasobie słownikowym) lub prostszym.

Np. cywilny (łac. civilis – obywatelski) „Słownik wyrazów obcych” definiuje następująco:1) nie odnoszący się do wojska, niewojskowy2) świecki, niekościelny, lepiej: laicki3) odnoszący się do strony prawnej stosunków osobistych, rodzinnych i majątkowych

obywateli4) (archaizm): obywatelski, osobisty.

Definicja realna (definitio realis; res – rzecz, przedmiot) - podaje jednoznaczną charakterystykę przedmiotu (przedmiotów) pewnego rodzaju. Ta charakterystyka ma wyrażać istotę tych przedmiotów. Odpowiada na pytanie: co to jest?

Definicja klasyczna

Terminologia:1) rodzaj, gr. genos, łac. genus – językowy odpowiednik (nazwa) powszechnika (universale)2) gatunek, gr. eidos, łac. species – jednostka taksonomiczna o szerszym zakresie niż rodzaj3) różnica gatunkowa, gr. eidopoios diaphora, łac. differentia specifica4) przypadłość, cecha przypadkowa gr. simbebekos, łac. accidensfio, fieri, factus sum – stać/wać się, powstać

Formuła definicji klasycznej:

Definitio fit per genus proximum et differentiam specificam.

(Definicję tworzy się przez podanie najbliższego rodzaju i różnicy gatunkowej.)

Struktura definicji: A jest to B mające cechę C: A = B/C

Przykłady:Człowiek jest to istota rozumna.Człowiek - definiendum - Ajest to - zwrot łączący istota rozumna - definiens Definiens: istota (genus proximum) - B, rozumna (differentia specifica) - cecha C

Bursztyn (A) to skamieniała (C) żywica (B).Kwadrat (A) jest to prostokąt (B) równoboczny (C).

Definicja klasyczna wyraża stanowisko realizmu pojęciowego. Tym, co się definiuje jest tu: człowiek w ogóle, bursztyn w ogóle, a nie samo słowo: „człowiek”, „bursztyn”, ani żaden z konkretnych przedmiotów: człowiek, bursztyn. Definicja klasyczna jest definicją realną.

Definicje kontekstowe

Definicje normalne, w których termin definiowany nie występuje samodzielnie, lecz jest uwikłany w pewien splot językowy (kontekst), to definicje kontekstowe. Obszerną kategorię terminów definiowalnych kontekstowo stanowią wyrażenia niesamodzielne, tj. zawsze

2

występujące w kontekstach. Do tej kategorii należą funktory - spójniki, kwantyfikatory i operatory.

Najważniejszym kontekstowym sposobem wyjaśniania i konstruowania pojęć jest definiowanie przez abstrakcję - dopracowana w teorii mnogości metoda powszechnie stosowana w naukach formalnych.

Definicje nierównościowe

W praktyce naukowej stosuje się również metody definiowania nierównościowego. Na szczególną uwagę zasługują następujące rodzaje definicji:- indukcyjne (rekurencyjne)- przez postulaty (aksjomatyczne)- cząstkowe- operacyjne.

Definicja indukcyjna jest definicją zakresową i składa się z dwóch elementów:

- warunku wyjściowego (w),- warunku indukcyjnego (i).

Pierwszy z nich wylicza niektóre przedmioty należące do definiowanego zakresu. Drugi warunek wskazuje zasadę pozwalającą ustalić pozostałe przedmioty definiowanego zakresu: podaje relację innych przedmiotów zakresu do przedmiotów już wprowadzonych lub metodę ich konstrukcji przy użyciu określonych operacji. Przykładem definicji indukcyjnej drugiego rodzaju jest definicja formuły klasycznego rachunku zdań (por. podrozdz. 4.3).

Przykład. Indukcyjna definicja potęgi liczby:(w) x0 = l(i) xn+l = xn x dla n 1

Definicja przez postulaty polega na odpowiednim sformułowaniu zespołu zdań o charakterze projektującym, tzw. postulatów. Postulaty zawierają terminy pierwotne, tj. terminy, których sens chcemy wyjaśnić i posiadają tę własność, że stają się zdaniami prawdziwymi tylko wtedy, gdy terminom pierwotnym w nich występującym nadany zostanie sens założony.

Klasycznym przypadkiem tego sposobu wprowadzenia pojęć jest geometria Euklidesa, zbudowana od razu w sposób postulatywny - z czasem zaczęto używać też innej terminologii, nazywając postulaty Euklidesa „pewnikami” lub „aksjomatami”.

Definiowanie przez postulaty nie spełnia warunku jednoznaczności. Jednocześnie jednak wyznaczona tym sposobem metoda aksjomatyczna jest bodaj najważniejszą metodą w metodologii nauk ścisłych. Paradoksalnie, wskazana niejednoznaczność interpretacji została przez nauki formalne wykorzystana z dużym powodzeniem. Siłą teorii aksjomatycznych jest ich uniwersalność. Dlatego też matematyka, która wskazuje przedmioty i relacje istniejące jedynie formalnie, ma wiele niekwestionowanych, konkretnych zastosowań.

Definicja cząstkowa to wyrażenie wprowadzające do języka nowy orzecznik (predykat jednoargumentowy) drogą określenia niektórych warunków jego stosowalności. Jest formułowana w postaci okresu warunkowego lub koniunkcji dwóch okresów warunkowych i podaje warunki stosowalności terminu: warunek wystarczający, warunek konieczny albo oba nieuzupełniające się warunki: konieczny i wystarczający. Uniwersalnym schematem definicji cząstkowych jest układ dwóch formuł:

3

(c1) ∀x [P(x) Q(x)] (c2) ∀x [R(x) Q(x)]

w których Q jest predykatem definiowanym (definiendum), P i R zaś predykatami ustalającymi kolejno warunek wystarczający i konieczny stosowalności Q. */* Warunkiem koniecznym jest R(x), druga z formuł jest równoważna formule ∀x [Q(x) R(x)]. Definicje operacyjne to definicje, w których sens wprowadzanego pojęcia określany jest przez podanie czynności (operacji), prowadzących do jego utworzenia. Ten sposób definiowania wykreowany został w obrębie operacjonalizmu, programu metodologicznego formułującego zasady wprowadzania pojęć do empirycznych teorii naukowych. Najważniejszym spośród tych postulatów jest właśnie definiowanie przez odwołanie się do precyzyjnie określonych operacji eksperymentalnych. Definicje operacyjne mają postać:

∀x {P(x) Q(x) R(x)]}

gdzie P(x) jest opisem operacji, Q - terminem definiowanym (definiendum), R(x) zaś - opisem zachowania przedmiotu poddanego operacji P.

G. Malinowski Logika ogólna, ss. 138 – 140

Warunki poprawności definicji; błędy definiowania *

Ogólne wymogi poprawnego definiowania

1) Definicje równościowe winny spełniać wymóg istnienia i jedyności (jednoznacznego wskazania) przedmiotu desygnowanego przez definiendum i definiens. 2) W definicji należy unikać wyrażeń wieloznacznych, definiens powinien być w miarę krótki i jasny.3) Przy definiowaniu powinno się - tam, gdzie jest to możliwe - unikać definicji negatywnych, stwierdzających jedynie, czym dana rzecz (definiendum) nie jest.

Błędy definiowania

1) Błędne koło w definiowaniu (circulus in definiendo) - dany termin usiłuje się zdefiniować, bezpośrednio bądź pośrednio, za pomocą tego samego terminu. Ten błąd ma dwie odmiany:a) Błędne koło bezpośrednie – gdy dany termin (definiendum) usiłuje się zdefiniować bezpośrednio w następującym po nim definiensie. Przykład.

Fizyka to nauka o przedmiotach, którymi rządzą prawa fizyki.

b) Błędne koło pośrednie - gdy dany termin (definiendum) usiłuje się zdefiniować za pomocą pewnego innego terminu, który z kolei zostaje zdefiniowany przy użyciu definiendum . A jest definiowane przez B, B przez C, a C przez A. Przykłady.

Etyka jest nauką o moralności. Moralnością jest zachowanie zgodne z zasadami etyki. Logika to nauka o poprawnym myśleniu. Myślenie poprawne to tyle, co myślenie logiczne. Myślenie logiczne jest myśleniem zgodnym z prawami logiki.

4

2) Ignotum per ignotum (nieznane przez nieznane) - definiens nie jest zrozumiały dla użytkownika definicji. Przykłady.

Meganit to materiał zawierający nitroglicerynę i dwunitrocelulozę.Adrenalina to tyle, co hormon należący do katecholamin.

3) Idem per idem (to samo przez to samo) - definiendum stanowi część składową definiensa . Przykład.Uczciwość jest to zachowanie zgodne z zasadami uczciwego postępowania.

2) Logiczna teoria nazwDefinicja nazwy

Nazwą jest każde wyrażenie językowe, które może być podmiotem lub orzecznikiem w zdaniu podmiotowo-orzecznikowym o budowie

S jest (to) PPrzykłady nazw.

Giewont jest górą. Róża jest biała. On jest zmęczony. Niedorzeczne jest noszenie drzewa do lasu.

Charakterystyka nazw

Nazwy (nomina, termini) charakteryzują się: 1) formą 2) znaczeniem (treścią) 3) oznaczaniem przedmiotów

Ad 1) Forma odnosi się do ilości wyrazów tworzących daną nazwę.

Ad 2) Znaczenie (treść) nazwy można określić jako sposób jej rozumienia i użycia w języku.

Każda nazwa ostra, mająca określoną treść językową, posiada treść dla niej charakterystyczną. Konotacją (treścią charakterystyczną) nazwy jest zestaw cech (właściwości) przedmiotów oznaczanych łącznie przez daną nazwę. Mówiąc ściślej: „Treść charakterystyczna nazwy N, przy pewnym jej znaczeniu, jest to jakikolwiek zbiór cech T taki, że każdy desygnat nazwy N posiada każdą z cech zbioru T i tylko desygnaty nazwy N posiadają każdą z cech zbioru T”. (K. Ajdukiewicz Logika pragmatyczna)

Ad 3) Nazwy oznaczają (jakieś) przedmioty, wskazują na nie.

5

Desygnat nazwy to każdy przedmiot przez nią oznaczany, tj. każdy przedmiot, dla którego nazwa jest jego znakiem językowym, o którym trafnie można ją orzec. Zakresem (denotacją) nazwy jest zbiór jej desygnatów.

Podstawowe pojęcia określające nazwę i ich wzajemne relacje można zestawić następująco: nazwa

konotowanie desygnowanie (denotowanie)

znaczenie desygnat (denotacja)

Stosunki między zakresami nazw*

1) Pokrywanie się/zamienność zakresów nazw S i P:

Wszystkie przedmioty, które są desygnatami nazwy S, są także desygnatami nazwy P oraz wszystkie przedmioty, które są desygnatami nazwy P, są także desygnatami nazwy S.

Zapis teoriomnogościowy: ZS = ZPS - ziemniak; P - kartofel

2) Podrzędność zakresu nazwy S względem zakresu nazwy P:

Wszystkie przedmioty, które są desygnatami nazwy S, są także desygnatami nazwy P, ale są też takie przedmioty, które są desygnatami nazwy P lecz nie są desygnatami nazwy S.

ZS ZP ZS ZPS - jaskółka; P - ptak

3) Nadrzędność zakresu nazwy S względem zakresu nazwy P:

Wszystkie przedmioty, które są desygnatami nazwy P, są także desygnatami nazwy S, ale są też takie przedmioty, które są desygnatami nazwy S lecz nie są desygnatami nazwy P.

ZP ZS ZP ZSS - lekarz; P - chirurg

4) Krzyżowanie się zakresów nazw S i P:

Istnieją takie przedmioty, które są desygnatami nazwy S i zarazem desygnatami nazwy P, ale są też takie przedmioty, które są desygnatami nazwy S lecz nie są desygnatami nazwy P oraz takie przedmioty, które są desygnatami nazwy P lecz nie są desygnatami nazwy S.

ZS ZP ZP ZS ZS ZP S - kierowca; P - kobieta

4. 1) Podprzeciwieństwo (przypadek krzyżowania się) zakresów nazw S i P:

6

a) Nazwy S i P krzyżują się, zarazem b) Zakresy nazwy S i P łącznie tworzą klasę uniwersalną, tj. dowolny przedmiot jest desygantem przynajmniej jednej z tych nazw.

[ZS ZP ZP ZS ZS ZP ] ZS ZS = VS - człowiek; P – nie-kobieta

Wykluczanie się (wzajemne) zakresów nazw S i P:

Istnieją takie przedmioty, które są desygnatami nazwy S ale nie są desygnatami nazwy P i istnieją takie przedmioty, które są desygnatami nazwy P ale nie są desygnatami nazwy S, ale nie ma takich przedmiotów, które byłyby zarazem desygnatami obu nazw: S i P.

ZS ZP = S - ssak; P - kamień

5. 1) Sprzeczność zakresów nazw S i P:

a) Nazwy S i P nie mają wspólnych desygnatów, tj. zakresy tych nazw S i P wykluczają się, b) Zakresy nazw S i P łącznie tworzą klasę uniwersalną.

Wówczas także S jest nazwą negatywną nazwy P. Zakresy nazw sprzecznych wykluczają się: ZS ZP = . Zachodzi: ZP = (ZS)’; (ZP)’ = ZS; ZS ZP = VS - sędzia; P - nie-sędzia; P’ - nie-nie-sędzia

5. 2) Przeciwieństwo zakresów nazw S i P:

a) Nazwy S i P nie mają wspólnych desygnatów, tj. zakresy tych nazw S i P wykluczają się, b) Zakresy nazw S i P łącznie nie tworzą klasy uniwersalnej.

ZS ZP = ZS ZP VS - słowik; P - osioł

3)Klasyczny rachunek zdań

1. Terminologia

Wyrażenie zdaniowe klasycznego rachunku zdań to zmienne zdaniowe oraz każde wyrażenie złożone zbudowane ze zmiennych zdaniowych i funktorów rachunku zdań według zasad teorii kategorii syntaktycznych.

Definiowanie funktorów przy pomocy matryc (tabelek)

Schemat definicji:

symbole argumentów funktora symbol samego funktora

7

wartości logiczne argumentów funktora w następującym porządku: wartości logiczne f-tora1. prymat poprzedniego argumentu nad następnym, 2. prymat prawdy nad fałszem poprzedniego argumentu nad następnym

Funktory jednoargumentowe (indeks: z ∕z)

1) Funktor negacji : nie; nieprawda, że; nie jest tak, że

p p 1 0 0 1

Podwójna negacja : nieprawda, że nie. Zachodzi: p p p

p 1 1 0 0

Zestawienie funktorów jednoargumentowych

p s(p) p

vr (p fl(p)

1 1

0 1

0

0 0 1 1 0

Funktory dwuargumentowe (indeks: z ∕z z)

1) Funktor koniunkcji; - i, oraz, a, ale, lecz

p q p q

1 1 1

1 0 0 0 1 0 0 0 0

Koniunkcja jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej argumenty są prawdziwe. Koniunkcja jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z jej argumentów jest fałszywy.

2) Funktory alternatywy

8

2a) Funktor alternatywy zwykłej (nierozłącznej); (łac. vel - albo) - lub, albo, bądź; tu: co najmniej jedno z dwojga

p q p q

1 1 1

1 0 1 0 1 1 0 0 0

Alternatywa zwykła (nierozłączna) jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z jej argumentów jest prawdziwy. Alternatywa zwykła (nierozłączna) jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej argumenty są fałszywe.

3) Funktor implikacji; - jeżeli …, to; jeśli …, to; gdy …, to; skoro …, to; ponieważ …, to; p - poprzednik implikacji, q - następnik implikacji

p q p q

1 1 1

1 0 0 0 1 1 0 0 1

Implikacja jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy prawdziwy jest jej następnik lub fałszywy jest jej poprzednik. Implikacja jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy jej poprzednik jest prawdziwy, a następnik jest fałszywy.Zachodzą następujące (definicyjne)równoważności: (1) p q p q;(2) p q (p q)

4) Funktor równoważności; jedno dokładnie wtedy, gdy drugie; p wtedy i tylko wtedy, gdy q, zawsze i tylko jeżeli p, to q

p q p q

1 1 1

1 0 0 0 1 0 0 0 1

Równoważność jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba jej argumenty mają taką samą wartość logiczną; jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy oba jej argumenty mają różną wartość logiczną.

9

Równoważność p i q może zachodzić bez związku treściowego lub zależności między p i q. Ergo: z tego, że dwa zdania p i q są względem siebie równoważne, nie wynika, że są one równoznaczne. Równoważność to tyle, co wzajemna (obustronna) implikacja: p q (p q) (q p)

2. Prawa (tautologie) klasycznego rachunku zdań

A) Prawa z jedną zmienną zdaniową

1. Prawo tożsamości (zwrotności) równoważności: p pZachodzi: (p p) (p → p) (p → p)

1’. Prawo zwrotności implikacji: p → p Schemat wnioskowania:

p p

Z jakiegokolwiek zdania wynika samo to zdanie. Możemy np. zasadnie wnioskować: Jeżeli pada deszcz, to pada deszcz.2. Prawo podwójnej negacji: (p) p, którego schematami są:

p p

p p Można zapisać je w postaci dwóch praw: ( p) → p oraz p → ( p). Prawo to oznacza, że dwie negacje znoszą się nawzajem lub że dwa kolejne zaprzeczenia oznaczają potwierdzenie. Mówi też, że w złożonym wyrażeniu zdaniowym można opuścić parzystą ilość następujących po sobie znaków negacji.

3 Prawo sprzeczności: (p p); (p. też komentarz, dalej)

Z punktu widzenia metalogiki prawo sprzeczności stwierdza, że dwa zdania sprzeczne nie mogą być zarazem prawdziwe. Z dwóch sprzecznych ze sobą zdań w sensie logicznym jedno nie jest prawdziwe, tzn. jest fałszywe. Przykładem tego prawa jest zdanie: Nie jest prawdą zarazem, że Atlantyda istniała i że Atlantyda nie istniała. W tym zdaniu negacja dotyczy tylko całej koniunkcji: p i nie-p, negacja główna nie odnosi się w nim z osobna do p i z osobna do nie-p. Tak więc powyższe zdanie nie jest równoważne zdaniu: Nieprawda, że Atlantyda istniała i nieprawda, że Atlantyda nie istniała.

4. Prawo wyłączonego środka: p p

Mówi ono, że z dwóch zdań ze sobą sprzecznych jedno jest prawdziwe - nie mogą być oba fałszywe ani oba prawdziwe. Lub też: albo jest prawdą, że p albo jest prawdą, że nie-p. Znaczenie tego prawa wyjaśnia, się tak, że nie ma nic pośredniego między tezą a jej negacją

10

(tertium non datum), prawdy nie da się znaleźć „po środku”. Inaczej mówiąc, logika jest rozstrzygająca. Przykład prawa wyłączonego środka: Albo dzisiaj jest środa albo dzisiaj nie jest środa.

Z prawa sprzeczności (5) i z prawa wyłączonego środka (6) łącznie wynika zasada, że: Z dwóch zdań sprzecznych ze sobą jedno i tylko jedno jest prawdziwe oraz jedno i tylko jedno jest fałszywe. Prawa: tożsamości (1), sprzeczności (5) oraz wyłączonego środka (6) w logice tradycyjnej nosiły nazwę zasad gdyż były uznawane najwyższe prawa myślenia. Są one bardzo podstawowymi i intuicyjnie zrozumiałymi zasadami logicznego myślenia.

5. Prawo sprowadzania do niedorzeczności (reductio ad absurdum): (p → p) → p.

Schematami logicznymi dla tego prawa są:(a) p → p

p

(b) p → p p

Mówi ono, że jeżeli zdanie p pociąga za sobą własne zaprzeczenie, to takie zdanie jest fałszywe. Inaczej, twierdzenie fałszywe wyklucza samo siebie.

B) Prawa z dwiema zmiennymi zdaniowymi

6. Charakterystyka prawdy: q → (p → q)

Głosi ono, że zdanie prawdziwe wynika z dowolnego zdania.

14. Prawo Dunsa Szkota zwane także prawem przepełnienia lub charakterystyką fałszu: (p p) → q. Odpowiada mu schemat:

p p q

Głosi ono, że z przyjęcia dwóch zdań sprzecznych wynika dowolne zdanie, tzn. także zdanie fałszywe. Podobną postać do prawa (13) mają prawa Claviusa:

(p → p) → p (p → p) → p

które mówią, że jeśli z pewnej tezy wynika jej zaprzeczenie, to jest ona fałszywa.

7*. Prawo transpozycji prostej: (p → q) → (q → p)

Transpozycję danej implikacji otrzymuje się przez (a) zamienienie w niej miejscami poprzednika z następnikiem, i (b) zanegowanie obu wyrażeń. W oparciu o tę definicję prawo (14) można sformułować ogólniej: z implikacji wynika jej transpozycja. Schematami logicznymi odpowiadającymi tak rozszerzonemu sformułowaniu są:

11

(a) p → q q → p

(b) p → q q → p

(c) p → q q → p

(d) p → q q → p

Przykłady. Ze zdania Jeśli ktoś naciska na przycisk dzwonka do drzwi, to dzwonek dzwoni możemy na podstawie schematu (a) wnioskować, że Jeśli dzwonek do drzwi nie dzwoni, to nikt nie naciska na przycisk. Przykład wnioskowania według schematu (c) przy podstawieniach: p - pada deszcz, q - ulica jest sucha jest następujący:

Jeśli pada deszcz, to ulica nie jest sucha. Jeśli ulica jest sucha, to deszcz nie pada.

8. Prawo de Morgana dla alternatywy (prawo negowania alternatywy):

(p q) p q,

schemat logiczny: (p q) p q

Prawa de Morgana dotyczą sytuacji gdy fałszywe jest pewne zdanie złożone czyli gdy prawdziwa jest negacja pewnego zdania złożonego jako całości. Prawo de Morgana dla alternatywy stwierdza, że negacja alternatywy dwóch zdań jest równoważna koniunkcji zdań zanegowanych. Inaczej: jeżeli zaprzeczymy alternatywie, znaczy to, że każdy z jej argumentów jest fałszywy. Błąd związany z tym prawem polega na nieuzasadnionym utożsamieniu negacji alternatywy - zamiast z koniunkcją negacji - z alternatywą negacji. Formuła (p q) p q nie jest bowiem prawem rachunku zdań. Aby zachodziła negacja alternatywy, muszą być fałszywe oba jej składniki, aby natomiast zachodziła alternatywa negacji wystarcza, by była prawdziwa tylko negacja jednego ze składników, tzn. by fałszywy był tylko jeden jej składnik. Można prześledzić to na przykładzie zdań: p - a jest liczbą parzystą, q - a jest liczbą nieparzystą, dla a - liczby rzeczywistej niecałkowitej.

Prawami k. r. z. są także następujące równoważności:

(20a) (p q) p q(20b) (p q) p q(20c) (p q) p q

Otrzymujemy je przez proste przekształcenia z podstawowego prawa zastępowania alternatywy (18) stosując prawo podwójnej negacji.

12

9. Prawo de Morgana dla koniunkcji (inaczej: prawo negowania koniunkcji):

(p q) p q. Schematem jest:

(p q)p q

Mówi ono, że negacja koniunkcji dwóch zdań równoważna jest alternatywie ich negacji. Przykład przy: p - pada deszcz, q - wieje wiatr. Istotnie: Jeśli nie jest prawdą, że pada deszcz i wieje wiatr, to nieprawda, że pada deszcz lub też nieprawda, że wieje wiatr. Często popełniany błąd, jaki wiąże się z tym prawem, polega na utożsamianiu negacji koniunkcji z koniunkcją negacji. Utożsamienie zdania: Nieprawda, że jednocześnie pada deszcz i wieje wiatr, ze zdaniem: Nieprawda, że pada deszcz i nieprawda, że wieje wiatr. Ale pierwsze z tych zdań może być prawdziwe gdy zachodzi tylko jeden człon koniunkcji, np. gdy: Nie pada deszcz, ale wieje wiatr. Wtedy jest ono prawdziwe, ale jednocześnie drugie fałszywe. Tak więc formuła: (p q) → p q nie jest tautologią rachunku zdań.

Na podstawie prawa podwójnej negacji (5) z podstawowej postaci prawa zastępowania koniunkcji (19) otrzymujemy jego dalsze wersje:

(21a) (p q) p q(21b) (p q) p q(21c) (p q) p q

10. Drugie prawo sprowadzania do niedorzeczności (reductio ad absurdum):

(p →q) (p → q) p. Schematem logicznym dla tego prawa jest:

p → q p→ q p

Mówi ono, że jeżeli z jakiegoś zdania (p) wynikają dwa zdania ze sobą sprzeczne, to takie zdanie jest fałszywe.

Modus

Terminologia

pono, posui, positum - ustanowić, wyznaczyćtollo, sustuli, sublatum - usunąć, znieść, zniszczyć

ponendo, tollendo - participium futuri passivi (gerundivum) - mający być …ponens, tollens - participium praesens actvi - czyniący (coś) …

11. Modus ponendo ponens: (p → q) p → q (mpp; mp). Temu prawu odpowiada schemat logiczny:

p → q

13

p q

12. Modus tollendo tollens: (p → q) q → p (mtt)

Przy ogólniejszym sformułowaniu tego prawa: z implikacji i wyrażenia sprzecznego z jej następnikiem wynika wyrażenie sprzeczne z jej poprzednikiem, odpowiadają mu następujące schematy logiczne:

p → q(a) q p

p → q(b) q p

p → q(c) q p

p → q(d) q p

Przykładem zastosowania schematu (d) przy podstawieniach: p - rozumiem to zadanie, q - mogę je rozwiązać, jest: Jeżeli nie rozumiem tego zadania, to nie mogę go rozwiązać. Mogę to zadanie rozwiązać, a więc rozumiem je. Rozumowanie według schematu (a) wykorzystuje się przy wykazaniu alibi (dosł. gdzie indziej) oskarżonego. Oto przykład takiego dowodu niewinności. Przy podstawieniach: p - podejrzany okradł mieszkanie - podejrzany był w tym mieszkaniu rozumowanie przebiega następująco:

Jeżeli podejrzany okradł mieszkanie (p), to musiał w nim być (q) Jednak podejrzany udowodnił, że w czasie kradzieży przebywał w innym miejscu (q)

Podejrzany nie mógł okraść mieszkania (p)

13. Modus tollendo ponens: (p q) p → q (mtp). Przy jego ogólniejszym sformułowaniu: z alternatywy dwóch wyrażeń i wyrażenia sprzecznego z jednym z nich wynika drugie z wyrażeń, prawu temu odpowiadają dwa schematy logiczne:

p q(a) p q

p q(b) q p

14

14. Modus ponendo tollens: (p q) p → q (mpt). Przy jego ogólniejszym sformułowaniu: z tego, że przy zachodzeniu jednego z dwóch zdań nie zachodzi ich koniunkcja wynika, że drugie nie zachodzi, prawu temu odpowiadają dwa schematy logiczne:

(p q)(a) p q

(p q)(b) q p

C) Prawa z trzema zmiennymi zdaniowymi

15. Prawo sylogizmu hipotetycznego koniunkcyjnego:

(p → q) (q → r) → (p → r) ma odpowiadający mu schemat:p → qq → r

p → r

W poprzedniku tego prawa mamy koniunkcję dwóch implikacji, w których jedna ze zmiennych jest wspólna, a w jego następniku implikację, w której nie występuje wspólna zmienna z poprzednika. Prawo o takiej budowie nazywamy sylogizmem. Sylogizm warunkowy dla implikacji rachunku zdań przypomina pod względem struktury podstawowy sylogizm rachunku nazw Barbara:

M a PS a M

S a P

15.1 Prawo sylogizmu hipotetycznego bezkoniunkcyjnego (sylogizm warunkowy stoików):

(p → q) → (q → r) → (p → r)

Sylogizm warunkowy stoików jest równoważny prawu sylogizmu hipotetycznego koniunkcyjnego. Obie wersje prawa wyrażają przechodniość relacji implikowania.

16. Prawo dylematu konstrukcyjnego prostego: (p → r) (q → r) (p q) → r ma czytelny schemat:

p → r q → r p q

r

Prawo to mówi, że z dwóch implikacji mających ten sam następnik i z alternatywy ich poprzedników ten wynika następnik. Inaczej mówiąc, prawo to stwierdza, że jeżeli jakiś stan

15

rzeczy jest konsekwencją dwóch innych stanów rzeczy (możliwości), przy czym ma miejsce ich alternatywa, to ten stan rzeczy zachodzi.

17. Prawo dylematu destrukcyjnego prostego: (p → q) (p → r) (q r) → p. Niezawodnym schematem jest:

p → q p → r q r

p

Prawo to mówi, że z dwóch implikacji mających ten sam poprzednik i z alternatywy ich zanegowanych następników wynika negacja tego poprzednika.

Komentarz do prawa sprzeczności (niesprzeczności)

„Trzeba bowiem wpierw poznać logikę, zanim się przystąpi do szczegółowych badań, a nie poszukiwać nic o niej nie wiedząc.

Jasne więc, że do filozofa, tzn. do tego, kto bada naturę wszelkiej substancji, należy także zbadanie zasad sylogizmu. Tak jak ten, kto jest najlepiej poinformowany o każdym rodzaju, musi umieć wskazać najpewniejsze zasady swego przedmiotu, tak też ten, kto zna Byt jako taki (poznaje byty, o ile są bytami), musi umieć poznać najpewniejsze zasady wszystkich rzeczy. To jest właśnie filozof, a najpewniejsza zasada wszystkiego jest ta, względem której nie można się pomylić; wszak tego rodzaju zasada musi być najlepiej znana i nie wyprowadzona z innej zasady () [tzn. znana sama przez się ( Ta bowiem zasada, którą każdy musi znać, jeśli chce cokolwiek rozumieć, nie może być hipotezą; a to, co każdy powinien znać, ażeby wiedzieć cokolwiek, musi to już mieć, zanim przystąpi do badań szczegółowych.

Oczywiście, taka zasada jest najpewniejsza ze wszystkich; jaka to jest zasada? Poznajemy ją, oto ona:to samo nie może zarazem przysługiwać i nie przysługiwać temu samemu i pod tym samym względem. Taka jest najpewniejsza ze wszystkich zasad, odpowiada bowiem podanej wyżej definicji. Jest bowiem niemożliwe, ażeby mógł ktoś mógł sądzić, że ta sama rzecz istnieje i nie istnieje. … a jeżeli nie mogą równocześnie przysługiwać temu samemu przedmiotowi atrybuty przeciwne i jeżeli przekonania, którym odpowiadają sądy sprzeczne z innym przekonaniem, są przeciwne, to oczywiście jest niemożliwe, ażeby ten sam człowiek wierzył równocześnie, że ta sama rzecz jest i nie jest; gdyby się bowiem w tej sprawie pomylił, miały równocześnie sprzeczne przekonania. Dlatego to właśnie wszelkie rozumowanie sprowadza się do tej ostatecznej zasady, gdyż z natury jest zasadą nawet dla wszystkich innych aksjomatów.

Są filozofowie, którzy … twierdzą, że ta sama rzecz może być i nie być oraz że można tak sądzić. Wielu filozofów przyrody (Heraklit, Empedokles, Anaksagoras, Demokryt) wyraża się również w ten sposób. My natomiast zajęliśmy takie stanowisko, iż jest niemożliwe, ażeby jakaś rzecz równocześnie była i nie była, i w ten sposób wykazaliśmy, że zasada ta jest najpewniejsza ze wszystkich”.

Arystoteles Metafizyka, ks. (IV); 3, 1005b,4 – 35, 4, 1006a,1 – 5, tłum. K. Leśniak

16

4) Klasyczny rachunek logiczny

Teoria predykatów (Rachunek kwantyfikatorów)

Pojęcie kwantyfikatora

Aby pojęcie kwantyfikatora wprowadzić systematycznie, trzeba zastanowić się najpierw nad językiem teorii, w których spotykamy kwantyfikatory. Teorie te mówią o różnych dziedzinach matematycznych. Zmienne tych teorii reprezentują więc dowolne indywidua danej dziedziny. Zmienne są jak gdyby nazwami przedmiotów, o których w teorii mowa, np. liczb, punktów, zbiorów itd.; o przedmiotach tych mówi się za pomocą pewnych wyróżnionych zwrotów. Na przykład mówiąc o liczbach używamy na porządku dziennym takich zwrotów jak; x y, x y z , x y. Za pomocą tych zwrotów oraz spójników zdaniowych i kwantyfikatorów, o których zaraz będzie mowa, określić można dużo innych zwrotów matematycznych, jak: xx z , x parzyste, x > 0 itd. Zwroty te opisują pewne relacje między liczbami lub pewne własności liczb. Tego rodzaju wyrażenia teorii matematycznych zawierające zmienne zwie się funkcjami zdaniowymi lub predykatami.

Predykat lub funkcja zdaniowa jest to więc wyrażenie zawierające pewne zmienne i opisujące pewną własność lub pewną relację. Predykat x > 0 opisuje własność bycia liczbą dodatnią. Predykat x y opisuje relację identyczności, funkcja zdaniowa xx z , opisuje pewną relację między trzema liczbami, określoną za pomocą dodawania i mnożenia.

Pojęcie predykatu

Dział logiki zwany rachunkiem kwantyfikatorów, podaje sposoby poprawnego posługiwania się kwantyfikatorami. Nim przejdziemy do opisu rachunku kwantyfikatorów, musimy się zająć bliżej pojęciem predykatu jako zwrotu określającego pewną własność lub pewną relację. Pewne własności predykatów są bowiem niezbędne do opisu rachunku kwantyfikatorów.

Kwantyfikatory są najważniejszym narzędziem budowy nowych predykatów. Predykat x z opisuje pewną relację. Natomiast wyrażenie

(e) (x z)

nie określa już żadnej relacji, lecz definiuje pewną własność liczby x, mianowicie własność polegającą na tym, że każda liczba z jest od liczby x większa lub jej równa. Wyrażenie (e) określa więc własność, którą można też wypowiedzieć słowami następująco: x jest najmniejszą z rozważanych liczb. Jeśli liczbami rozważanymi (należącymi do rozważanej dziedziny) byłyby tylko liczby naturalne, wówczas wyrażenie (e) określałoby własność, którą ma liczba 0. Zero jest bowiem najmniejszą liczbą naturalną. Stosując kwantyfikator do wyrażenia opisującego relację otrzymujemy więc wyrażenie określające własność.

17

Terminologia teorii

- zmienne nazwowe (indywiduowe): x, y, z … - reprezentują nazwy jednostkowe- stałe indywiduowe (nazwy jednostkowe): a, b, c …- symbole klasycznego rachunku zdań: zmienne zdaniowe: p, q, r … funktory: , , , ,

, - kwantyfikator ogólny, duży, czytamy: dla każdego

, V - kwantyfikator szczegółowy, egzystencjalny, czytamy: dla pewnego, istnieje takie … że

- Zmienna związana przez kwantyfikator - zmienna, która występuje i przy kwantyfikatorze i w wyrażeniu zdaniowym po kwantyfikatorze. Np. x x y; x - zmienna związana

- Zmienna wolna - zmienna, która nie jest związana przez żaden kwantyfikator, tj. taka, która występuje tylko w wyrażeniu zdaniowym po kwantyfikatorze. Np. x x y; y - zmienna wolna

- Zasięg kwantyfikatora - wszystkie zmienne wyrażenia zdaniowego, które są przez kwan- tyfikator związane. Np. W pierwszym wyrażeniu x A(x) B(x) zasięgiem kwantyfikatora jest: A(x) B(x), w wyrażeniu x A(x) B(x) zasięgiem kwantyfikatora jest A(x).

- predykaty pierwszego rzędu: A(x), B(x)… - zmienne (A, B …) reprezentują funktory zdaniotwórcze o argumentach nazwowych

- predykaty wyższych rzędów: P(x, y), Q(x, y, z) … - zmienne (P, Q …) reprezentują predykaty dwu, trójargumentowe itd.

Predykat drugiego rzędu - funktor zdaniotwórczy o argumentach należących do kategorii składniowej nazw indywidualnych lub predykatów pierwszego rzędu (do tej kategorii musi należeć przynajmniej jeden argument). Predykat n-go rzędu - funktor zdaniotwórczy o argumentach należących do kategorii składniowej nazw indywidualnych lub predykatów niższych od n, przy czym przynajmniej jeden argument musi należeć do kategorii składniowej predykatów rzędu n 1.

Rachunek predykatów pierwszego rzędu (węższy rachunek predykatów)

W wyrażeniach tego rachunku występują tylko predykaty pierwszego rzędu a kwantyfikator wiąże tylko zmienne.

Wyrażenie molekularne (atomiczne) rachunku predykatów pierwszego rzędu to najprostsze wyrażenia zdaniowe tego rachunku: zmienne zdaniowe lub wyrażenia zbudowane ze zmiennej reprezentującej predykaty pierwszego rzędu i jej argumentów, np. A(x), B(x), P(x, y), R(x, y … z). Rodzaje wyrażeń molekularnych:

18

Predykaty jednoargumentowe pierwszego rzędu denotują cechy (własności) przedmiotów indywidualnych: A(x) - x ma cechę (własność) A.

Predykaty dwu- i wieloargumentowe pierwszego rzędu denotują dwu- i wieloargumentowe relacje (stosunki) zachodzące między przedmiotami indywidualnymi. Np. P(x, y) - x pozostaje w relacji P do y (xPy) Q(x, y, z) - relacja Q zachodzi między przedmiotami x, y i z.R (x1, x2, … , xn) - relacja R zachodzi między przedmiotami x1, x2, … , xn.

Przykłady predykatów

Predykaty jednoargumentowe:A(x) - x jest liczbą parzystąB(x) - x jest człowiekiemB(a) - a jest człowiekiema – Sokrates, x/a: B(a) - Sokrates jest człowiekiem

Predykaty dwuargumentowe:P(x, y) - x jest wyższy od y.Q(x, y) - x jest uczniem y.Q(a, b) - a jest uczniem b.a - Arystoteles, b - Platon; x/a, y/b – Platon: Q(a, b) - Arystoteles jest uczniem Platona

Predykaty trójargumentowe:R(x, y, z) - x leży między y i z.R(a, b, c) - a leży między b i c.a - Warszawa, b - Kraków, c – Gdańsk; x/a, y/b, z/cR(a, b, c) - Warszawa leży między Krakowem a Gdańskiem.

Przykłady formuł zdaniowych z predykatami

A(x) - x jest mężczyzną B(x) - x jest człowiekiem

A(x) B(x) Jeżeli x jest mężczyzną, to x jest człowiekiem.

A(x) - x jest żonaty P(x, y) - x pozostaje w związku małżeńskim z y.

A(x) P(x, y)Jeżeli x jest żonaty, to x pozostaje w związku małżeńskim z y. P(x, y) - x jest równoległe do y.Q(x, y) - x jest prostopadłe do y.

P(x, y) Q(x, y)Jeżeli x jest równoległe do y, to x nie jest prostopadłe do y.

A(x) - x jest Polakiem P(x, y) - x jest ojcem y.

[A(x) P(x, y)] A(y)Jeżeli x jest Polakiem i x jest ojcem y, to y jest Polakiem.

19

Wyrażenia zdaniowe węższego rachunku predykatów

Rachunek predykatów pierwszego rzędu (węższy rachunek predykatów zawiera:a) wyrażenie molekularne (atomiczne)b) wyrażenia zbudowane z wyrażeń molekularnych za pomocą funktorów klasycznego rachunku zdańc) wyrażenia zbudowane z kwantyfikatora ogólnego lub szczegółowego, występującej po nim zmiennej indywidualnej i wyrażenia zdaniowego.d) dowolne wyrażenia zdaniowe zbudowane poprawnie z wyrażeń typu a), b) i c).

Przykłady formuł zdaniowych z predykatami i kwantyfikatorami

Predykaty jednoargumentowe

1) x A(x) A(x) - x jest śmiertelny, X - ludzie; Każdy człowiek jest śmiertelny.A(x) - x jest omylny, X - ludzie; Wszyscy są omylni.

2) x A(x) A(x) - x jest szczery, X - ludzie; Nie każdy jest szczery.A(x) - x jest odważny; X - ludzie; Nieprawda, że wszyscy ludzie są odważni.

3) x A(x) A(x) - x jest doskonały, X - ludzie; Nikt nie jest doskonały.A(x) - x jest altruistą, X - ludzie; Nie ma altruistów.

4) x A(x) A(x) - x jest hojny, X - ludzie; Niektórzy ludzie są hojni.A(x) - x jest optymistą; X - ludzie; Istnieją optymiści.

5) x A(x)A(x) - x jest doskonały, X - ludzie; Nie istnieje nikt, kto jest doskonały.A(x) - x jest altruistą, X - ludzie; Nie istnieje nikt, kto jest altruistą.

6) x A(x) A(x) - x jest bezinteresowny, X - ludzie; Są tacy, którzy nie są bezinteresowni.A(x) - x jest odważny; X - ludzie; Niektórzy nie są odważni.

Predykaty dwuargumentowe

1) x y P(x, y)P(x, y) - x jest związany z y, X - przedmioty; Każda rzecz jest powiązana ze wszystkimi innymi.P(x, y) - x krytykuje y, X - ludzie; Wszyscy wszystkich x krytykują.

2) x y P(x, y)P(x, y) - x naśladuje y, X - ludzie; Są tacy, którzy naśladują innych.P(x, y) - x zna y, X - ludzie; Y- politycy. Niektórzy znają ludzi władzy (polityków).

20

3) x y P(x, y)P(x, y) - x lubi y, X - ludzie; Każdy kogoś lubi.P(x, y) - x jest potomkiem y, X - ludzie; Każdy jest czyimś potomkiem.

4) x y P(x, y)P(x, y) - x wynosi się nad y, X - ludzie; Niektórzy wynoszą się nad wszystkich.P(x, y) - x zazdrości y, X - ludzie; Są tacy, którzy każdemu zazdroszczą.

A(x) - x jest studentemB (x) - y jest podręcznikiemP(x, y) - x przeczytał y

x A(x) y B(y) P(x, y)Każdy student przeczytał jakiś podręcznik.

x A(x) y P(x, y) B(y)Niektórzy studenci czytają tylko podręczniki.

Przykłady z matematyki

- Definicja Heinego granicy funkcji f w punkcie x0:

dla x x0 i dla n

lim f(x) = g (xn) {[ n N (xn Df xn ≠ x0 lim xn = x0] lim f(xn) = g}

- Definicja Cauchy’ego granicy funkcji f w punkcie x0, dla x x0:

lim f(x) = g 0) V 0) x Df 0 |x – x0 | | f(x) – f(x0) |

Prawa rachunku kwantyfikatorów*(dla predykatów jedno- i dwuargumentowych)

A(x), B(x) - predykaty jednoargumentoweP(x, y) – predykat dwuargumentowyp - zmienna zdaniowa

1) Prawo opuszczania kwantyfikatora ogólnego (dictum de omni)

x A(x) A(x) x A(x) A(a)

Stąd, że każdy przedmiot ma pewną własność A wynika, że dowolny/pewien określony przedmiot ma tę własność.Przykład: Jeśli każdy jest omylny, to Arystoteles jest omylny.

21

1*) Nie zachodzi:A(x) x A(x) A(a) x A(x)

2) Prawo dołączania kwantyfikatora szczegółowego (dictum de singulo)

A(x) x A(x) A(a) x A(x)

Stąd, że dowolny/pewien określony przedmiot ma daną własność, wynika, że istnieje przedmiot mający tę własność.Przykład: Jeśli N. jest mieszkańcem Krakowa, to istnieje takie x, że x jest mieszkańcem Krakowa.

2*) Nie zachodzi:x A(x) A(x)x A(x) A(a)

2.1) A(x) x A(x) - prawo subalternacji

Prawo 2. 1 wynika z 1), 2) i z prawa przechodniości implikacji.

3) Pierwsze prawo de Morgana dla rachunku predykatów, inaczej prawo negowania kwantyfikatora ogólnego:x A(x) x A(x)

Nie każdy przedmiot ma własność A wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją przedmioty niemające własności A. Przykład. Nie każdy człowiek jest długowieczny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją ludzie, którzy nie są długowieczni.

4) Drugie prawo de Morgana dla rachunku predykatów, inaczej prawo negowania kwantyfikatora szczegółowegox A(x) x A(x)

Nie istnieją przedmioty o własności A wtedy i tylko wtedy, gdy żaden przedmiot nie ma własności A (każdy przedmiot ma własność nie-A).Przykład. Nie istnieją ludzie nieśmiertelni wtedy i tylko wtedy, gdy każdy człowiek jest śmiertelny (żaden człowiek nie jest nieśmiertelny).

5.1) Prawo zastępowania kwantyfikatora ogólnego przez kwantyfikator szczegółowy i negacjęx A(x) x A(x)

5.2) Prawo zastępowania kwantyfikatora szczegółowego przez kwantyfikator ogólny i negacjęx A(x) x A(x)

Prawa 5.1) i 5.2) wynikają z praw de Morgana i prawa podwójnej negacji.

22

B) Logika w metodologii

Logika a metodologia

Można by sądzić, że sama logika formalna wystarczyłaby do analizy pośredniego poznawania. A jednak tak nie jest. W praktyce badania naukowego okazuje się bowiem, że te same prawa logiczne mogą być zastosowane w różny sposób. Inną rzeczą jest samo prawo logiczne, inną zaś wnioskowanie, które przeprowadza się według tego prawa. Metodologia jest właśnie teorią zastosowania praw logiki do różnych dziedzin.

Nauka: kontekst odkrycia i kontekst uzasadnienia

A)Struktura tworzenia wiedzy

a) Fakt, zbiór faktów; obserwacja, abstrakcja, klasyfikacjab) Twierdzenie, teza; hipotezac) Prawo naukid) Teoria- Nauka szczegółowa (dyscyplina naukowa) 

B)Epistemiczno-logiczne procedury uzasadniania wiedzy - Uzasadnianie- Wyjaśnianie- Dowodzenie- Sprawdzanie/ Konfirmacja

…………………………………………

I) Procedury porządkującePodział logiczny

Podział jest fizyczną lub umysłową czynnością, polegającą na wydzieleniu grup przedmiotów lub pojęć. Podział zakresu nazwy N polega na wyróżnieniu z niego zakresów podrzędnych.

23

Reguła, według której podział się odbywa jest jego zasadą lub podstawą, a jego poprawność wymaga spełnienia określonych wymogów formalnych i merytorycznych.

Skończona rodzina A1, A2, …, An niepustych podzakresów zakresu A nazwy oznaczającej

(A dla i {l, 2, ..., n}) jest podziałem logicznym A, jeżeli

(P1) A1 A2 … An = A

(P2) Ai Aj = dla dowolnych i j, i, j {l, 2, ..., n}.

(P1) jest warunkiem zupełności, w którym stwierdza się, że suma podzakresów A1, A2, …, An równa jest zakresowi dzielonemu

(P2) jest warunkiem rozłączności: zgodnie z nim wszystkie podzakresy są wzajemnie rozłączne, tj. nie posiadają elementów wspólnych.

Podział zakresu nazwy N jest podziałem logicznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest podziałem wyczerpującym i zarazem rozłącznym.

Szczególnym przypadkiem podziału logicznego jest podział dwudzielny (dychotomiczny)

zakresu A :

(Pd) A1 A2 = A A1 A2 =

Tworzenie takiego podziału polega na wskazaniu cech sprzecznych: każdy element zakresu A musi dokładnie jedną z nich posiadać. Najprostszym sposobem prowadzącym do tego celu jest użycie negacji przynazwowej i rozważanie pary cech, np. człowiek, nieczłowiek.

Procedury wprowadzania ładu pojęciowego

Stosowanie logicznych narzędzi badania oraz praktyka naukowa wymagają wstępnego opracowania materiału badawczego. Najważniejszymi metodami wspomagającymi poznanie i systematyzującymi wiedzę są:

- klasyfikacja- typologia - porządkowanie - konceptualizacja i eksplikacja

Wszystkie te metody mają znaczenie heurystyczne i na swój sposób służą definiowaniu, stawianiu hipotez i planowaniu dalszych czynności poznawczych.

Klasyfikacja

Klasyfikacja jest wielostopniowym podziałem logicznym lub, inaczej, ciągiem kolejno krzyżowanych podziałów: uzyskane w wyniku poprzedniego podziału zakresy dzieli się „na mniejsze” według zasady kolejnego podziału. Dzielenia dokonuje się aż do wyczerpania elementów ciągu.

24

Przykład. Badania socjologiczne dzieli się na historyczne i ahistoryczne oraz na synchroniczne i asynchroniczne. Skrzyżowanie tych podziałów (we wskazanej kolejności) prowadzi do następującej klasyfikacji:

badania socjologiczne

synchroniczne asynchroniczne synchroniczne asynchroniczne

Dowolny podział skończony i dowolną (skończoną) klasyfikację można sprowadzić do ciągu podziałów dwudzielnych. Ta teoretycznie doniosła własność ma również znaczenie praktyczne

w kłopotliwych przypadkach pomaga sprawnie przeprowadzić klasyfikację.

Podział typologiczny

Teoretyczną podstawą podziału zakresów nazw jest teoriomnogościowa zasada abstrakcji, która jest zasadą identyfikacji według pewnej relacji równoważności. W przypadkach, gdy wskazanie żadnej równoważności w obrębie zakresu pojęcia nie jest możliwe, a pewne grupy obiektów wykazują podobieństwo do wybranych elementów zakresu pojęcia, tworzona jest typologia, której efektem jest tzw. podział typologiczny.

Typologia jest zabiegiem systematyzującym polegającym na grupowaniu przedmiotów na zasadzie ich podobieństwa. Typem jest nieostry zbiór elementów zakresu podobnych do egzemplarza wzorcowego, relacja podobieństwa jest zwrotna i symetryczna w odróżnieniu od równoważności relacja ta nie jest przechodnia.

Kluczem do określenia typologii jest wskazanie, w oparciu o dostępny zbiór własności, obiektów najbardziej typowych, które pełnią rolę egzemplarzy wzorcowych i określenie relacji podobieństwa. Egzemplarz wzorcowy musi posiadać wszystkie wymagane własności. Inne obiekty rozważanego zakresu są albo do tego egzemplarza podobne i wówczas należą do typu wyznaczonego przez obiekt wzorcowy, albo nie mogą być do niego podobne i przez to do tego typu nie należeć.

Przykład. W zbiorze wszystkich ludzi typami są (nieostre) zbiory Ł ludzi łysych, R ludzi rudych, Bl blondynów oraz Br brunetów. Dla każdego z typów Ł, R, Bl i Br można wskazać obiekty wzorcowe. Dla Ł będzie to osoba nieposiadająca włosów, w przypadku R jakiś „czerwono włosy” Irlandczyk itd.

Podział rzeczowy

Podział rzeczowy jest podziałem całości na części. W taki sposób „dzieli się” zegarek lub inne urządzenie (agregat) na elementy składowe. Teoretyczne podstawy takiej czynności formułowane są przez teorię zbiorów kolektywnych, mereologię. */* Od greckiego słowa meros (część). Twórcą mereologii jest S. Leśniewski.

Zbiór kolektywny jest całością zbudowaną z części, które nie posiadają własności przypisanej całości.

25

badania historyczne badania ahistoryczne

Przykłady

Podział terytorialny może być podziałem mereologicznym. Takim podziałem jest administracyjny podział terytorium Polski na 16 województw i, podobnie, podział województw na powiaty.

Główne intuicje podziału mereologicznego nawiązują do idei „fizycznej" partycji obiektu na „rozłączne” części właściwe (składniki).

Notarialny podział nieruchomości jest podziałem mereologicznym. Dana nieruchomość dzielona jest na poszczególne lokale (mieszkania), w których wydzielane są poszczególne elementy: pokoje (P), sypialnie (S), kuchnia (K), łazienka (Ł), taras (T), klatkę schodową, pomieszczenie gospodarcze (PG) itd.

Nieruchomość przy ul. Piotra Skargi 154

P S K Ł P K Ł P K Ł T P K Ł

schody PG

Porządkowanie

Porządkowanie jest rzeczową lub umysłową czynnością, polegającą na ustaleniu kolejności (preferencji) przedmiotów pod pewnym względem. Najprostszym i najbardziej pożądanym rodzajem porządku jest tzw. ścisły porządek liniowy, którego zasadą jest ustawienie obiektów „w linii”, która ma kierunek „dodatni” lub wzrastający. Archetypem takiego porządku jest znana z matematyki oś liczbowa.

Zasadą porządku jest odpowiednia relacja pomiędzy obiektami ustalonego uniwersum. Relacją o najszerszym zastosowaniu jest relacja tzw. częściowego porządku. Dwuargumentowa relacja ρ na zbiorze A jest częściowym porządkiem A, jeśli dla dowolnych x, y, z A:

x ρ x - zwrotnośćx ρ y y ρ x x=y - antysymetriax ρ y y ρ z x ρ z - przechodniość

Równoważnie mówimy też, że zwrotna, antysymetryczna i przechodnia relacja ρ częściowo porządkuje A.

Dwuargumentowa relacja na zbiorze A jest ąuasi-porządkiem A, jeśli jest zwrotna i przechodnia.

Przykład

Relacja określona w standardowy sposób na liczbach jest częściowym porządkiem zbioru liczb rzeczywistych R.

26

Lokal nr l Lokal nr 2 Lokal nr 3 Lokal nr 4 Klatka schodowa

Charakterystyczną cechą częściowego uporządkowania zbioru jest dopuszczenie nieporównywalności elementów. Rozmaite przypadki zbiorów częściowo uporządkowanych znane są z algebraicznej teorii krat.

Przykład. Rozważmy następujące diagramy:

e f d

c

a b

Zgodnie z przyjętą w teorii zbiorów i w algebrze konwencją, przyjmujemy, że częściowy porządek zadany jest kierunkiem od dołu do góry: z dwóch elementów ten jest większy, który na diagramie jest „wyżej” - dokładniej, do którego można „dojść” od drugiego z nich, poruszając się zawsze z dołu do góry po łamanej. W przypadku lewego diagramu:

a c d, a b d, a d, elementy b i c nie są porównywalne. Prawy diagram określa porządek, według którego:

a c d e, a c d f, b c d e, b c d f,

a d, a e, a f, b d, b e, b f,

zaś elementy a i b oraz e i f nie są porównywalne.

Relacja ρ częściowego porządku zbioru A jest liniowym porządkiem, jeśli jest spójna, tzn. jeśli zachodzi między dowolnymi różnymi elementami:

x y x ρ y lub y ρ x

Znaczy to, że wszystkie różne elementy zbioru A są porównywalne.

27

Eksplikacja i konceptualizacja

Eksplikacja jest metodą konstrukcji nowego, bardziej precyzyjnego pojęcia, które odnosi się do tego samego zakresu co inne, wcześniejsze. Pojęcie uściślane nazywa się explicandum, termin zaś o ścisłym znaczeniu będący rezultatem procedury nazywany jest explicatum. Przypomina definicję regulującą. W odróżnieniu jednak od definicji regulującej, która precyzuje zakres, eksplikacja modyfikuje sens. Pierwowzorem eksplikacji był przez wieki trwający proces przeistaczania nieścisłych pojęć potocznych w doskonalsze pojęcia naukowe. Ostatecznie metoda eksplikacji została sformułowana przez Rudolfa Carnapa w celu uściślenia pojęcia potwierdzania w metodologii nauk empirycznych. */* R. Carnap, The logical foundations of probability, University of Chicago Press, Chicago 1950. < koniec przypisu

Jej warunki określane są ze względu na teorię naukową lub system pojęciowy, do których eksplikowane pojęcie ma zostać włączone.

Przykład. Pary (potoczne explicandum, naukowe explicatum):

(sól, NaCl), (woda, H2O), (ryba, Piscis).

Celem eksplikacji jest przetworzenie luźnych, przednaukowych określeń w możliwie szeroko przydatne naukowo pojęcia. Eksplikacja ma trzy fazy:1) wyboru (explicandum)2) wstępnego wyjaśnienia (explicandum)3) sformułowania ścisłego (explicatum)

i kończy się włączeniem otrzymanego explicatum do systemu pojęć lub do teoriinaukowej.

Przykład. W przypadku terminu „sól”, jako wstępne wyjaśnienie terminu poddawanego eksplikacji może posłużyć ograniczenie sensu, w którym termin ten ma być pojmowany. Na przykład: Rozważymy termin „sól” jako nazwę soli kuchennej, a nie jako nazwę związku chemicznego. Następnie, w celu uzyskania ścisłego explicatum odnosimy termin „sól” do grupy związków chemicznych (soli) i badamy skład soli kuchennej. Jak wiadomo, to badanie prowadzi do ustalenia, że jest to związek opisywany w terminologii wzorów chemicznych symbolem NaCl.

Zastosowanie tej metody nie ogranicza się do nauk empirycznych. Eksplikacje stosuje się z powodzeniem w wielu innych dziedzinach nauki, w szczególności w humanistyce. Trudność uściślenia jest odwrotnie proporcjonalna do stopnia formalizacji nauki, do której efekt eksplikacji ma być włączony.

Konceptualizacja jest procesem myślowego dochodzenia do pojęć. */* Łaciński termin conceptus oznacza „ideę”. Termin „koncept”, w odróżnieniu od „idei” nie ma dodatkowych obciążeń filozoficznych.

Jej celem jest wypracowanie znaczenia pojęcia, które odpowiada temu, „co mamy na myśli”. Nie istnieje uniwersalny przepis na to, jak konceptualizacja powinna wyglądać. Ważną rolę w tym procesie odgrywa heurystyka oparta o kompetencję językową i metodologię teorii naukowej, której ma służyć. W dojrzałym stadium rozwoju dyscypliny naukowe mają

28

rozbudowany system pojęciowy. Użyteczna konceptualizacja, wprowadzając do dyscypliny nowe pojęcia, winna ten stan uwzględniać.

Konceptualizacja zwykle jest procesem złożonym, często wymykającym się opisowi. Pewne fragmenty „łatwiejszych” konceptualizacji przypominają logiczną analizę zakresów nazw.

II) Metodologia nauk empirycznych

1) Wnioskowanie redukcyjne

Wynikanie

Ogólnie: ze zdań Z1, Z2 … Zn wynika logicznie zdanie Z wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki schemat logiczny, że zdania: Z1, Z2 … Zn są podstawieniami przesłanek, a zdanie Z podstawieniem wniosku w tym schemacie. W przypadku implikacji, jeśli z poprzednika implikacji wynika jej następnik, to poprzednik implikacji nazywamy przesłanką, a jej następnik – wnioskiem.

przesłanka Wynikanie: wniosek

Wnioskowanie

29

Wnioskowanie jest rodzajem dowodzenia (p. wyżej), ma następujący schemat:

racja Wnioskowanie: następstwo

Wnioskowanie a wynikanieWynikanie jest relacją logiczną (zachodzącą o obrębie teorii), a wnioskowanie – procedurą (czynnością) poznawczą.

Wnioskowanie dedukcyjne i redukcyjne

Każdy rodzaj wnioskowania, jako poznawcza czynność (podmiotu) przebiega od tego, co jest znane, do tego co nieznane. W ustaleniu nazewnictwa rodzajów wnioskowania punktem odniesienia jest obiektywna, logiczna relacja wynikania, jaka zachodzi między przesłanką a wnioskiem. Takie wnioskowanie, którego kierunek (od racji do następstwa) jest zgodny z kierunkiem wynikania (od przesłanki do wniosku) jest wnioskowaniem dedukcyjnym. We wnioskowaniu dedukcyjnym znana jest racja, nieznane – następstwo. Wnioskowanie, którego kierunek (od racji do następstwa) jest przeciwny do kierunku wynikania (od przesłanki do wniosku) jest wnioskowaniem redukcyjnym. We wnioskowaniu redukcyjnym znane jest następstwo, nieznana – racja.

Wnioskowanie dedukcyjne:

wnioskowanie: racja (= przesłanki) następstwo (= wniosek) wynikanie: przesłanka wniosek

We wnioskowaniu dedukcyjnym proces wnioskowania przebiega zgodnie z kierunkiem wynikania: przesłanki są racją dla wnioskowania, a jego wniosek jest następstwem.

Wnioskowanie redukcyjne:

wnioskowanie: następstwo (= wniosek) racja (= przesłanki) wynikanie: przesłanka wniosek

- Wnioskowanie redukcyjne to takie, które przebiega od następstwa do racji, tj. w kierunku odwrotnym do wynikania. Wnioskowanie redukcyjne, które stosuje się do wyjaśniania faktów empirycznych, jest wnioskowaniem zawodnym. Znaczy to, że prawdziwość przesłanek wnioskowania redukcyjnego nie daje pewności co do tego, czy jego wniosek jest prawdziwy.

Przykład: p - przepaliła się żarówka (znany stan rzeczy /następstwo)q - lampka na biurku zgasła (nieznany stan rzeczy /racja)

Wnioskowanie dedukcyjne:

30

Jeżeli żarówka się przepali (jedna z przesłanek wnioskowania: p), to lampka zgaśnie (wniosek: q). p q p

qJest to wnioskowanie z przyczyny zaszłego zdarzenia o jego skutku.

Wnioskowanie redukcyjne: Lampka na biurku zgasła (jedna z przesłanek wnioskowania: q), a więc przepaliła się żarówka (wniosek, p). p q q

pJest to wnioskowanie ze stwierdzonego zdarzenia o jego przyczynie, która nie jest dostępna wprost. We wnioskowaniu redukcyjnym, chociaż wiemy, że z jego przesłanki nie wynika wniosek, to przyjmujemy założenie, że jeśli zachodzi przesłanka, to jest wysoce prawdopodobne, że zachodzi wniosek.

a) Indukcja

Indukcja enumeracyjna

a) Indukcja enumeracyjna zupełna

Dziedzina D = x1, x2, …, xn

b (x1)b (x2)

……b (xn)

________________ x D; b (x)

Indukcja enumeracyjna zupełna jest rozumowaniem niezawodnym.

Przykład: D - zbiór planet Układu Słonecznego

b (x1,) - Wenus obraca się wokół swojej osi.b (x2, ) - Ziemia obraca się wokół swojej osi.…………… b ( xn) - Pluton obraca się wokół swojej osi. x D; b (x) - Każda planeta Układu Słonecznego obraca się wokół swojej osi.Jeżeli Wenus obraca się wokół swojej osi, Ziemia obraca się wokół swojej osi, … i Pluton obraca się wokół swojej osi, to każda planeta Układu Słonecznego obraca się wokół swojej osi.

31

b) Indukcja enumeracyjna niezupełnax1, x2, … xn D x1, x2, … xn D

b (x1)b (x2)

……b (xn)

________________ x D; b (x)

Indukcja enumeracyjna niezupełna jest rozumowaniem zawodnym. Wniosek indukcji enumeracyjnej zachodzi (jest prawdziwy) z określonym prawdopodobieństwem 1. D - zbiór łabędzix1, x2, … xn - zbiór łabędzi obserwowanych w Europie

Każdy z zaobserwowanych łabędzi jest biały.

Wszystkie łabędzie (gatunek) są białe.

Prawdopodobieństwo wniosku rozumowania indukcyjnego (w przypadku indukcji enumeracyjnej niezupełnej) jest ujemnie skorelowanie z jego zasięgiem: im zasięg wniosku jest szerszy, tym jego prawdopodobieństwo jest niższe, i odwrotnie. Stopień prawdopodobieństwa wniosku w indukcji enumeracyjnej niezupełnej zależy od:a) liczby (ilości) przebadanych przypadków. Im więcej obiektów (elementów zbioru D) zostanie zaobserwowanych i w im większej ilości przypadków zostanie stwierdzone, że obiekty te posiadają cechę b, tym bardziej prawdopodobny jest wniosek, że każdy obiekt ze zbioru D ma cechę b.b) tego, jak zróżnicowane między sobą (różnorodne) są przedmioty, które zostają przebadane.

c) tego, jak bardzo różnią się warunki determinujące przebadane przypadki. Przykłady sytuacji epistemicznych, w których stosuje się indukcję enumeracyjną niezupełną:a) fizyka generalnie

b) testowanie nowych leków

c) astrofizyka

d) biologia, np. teoria ewolucji Darwina wysunęła ogólny wniosek (dotyczący wszystkich gatunków istot żyjących na Ziemi) na podstawie wąskiej podstawy obserwacyjnej (zaobserwowanie zmian gatunkowych na Galapagos)

e) socjologia, orzekanie o różnych zjawiskach społecznych na podstawie tzw. próby reprezentacyjnej.

Indukcja eliminacyjna; kanony Milla

32

Kanony Milla

Indukcja eliminacyjna jest metodą ustalania związków przyczynowo-skutkowych na podstawie jednostkowych obserwacji. Mill zawarł jej zasady w pięciu kanonach.

Kluczowe dla metod eliminacji pojęcia przyczyny i skutku wyjaśnia Mill następująco: przyczyną zjawiska B jest takie zjawisko A, po którym B stale występuje. Mówimy też wtedy, że B jest skutkiem zajścia zjawiska A. Kanony indukcji eliminacyjnej lub Milla to kanony:

- jedynej zgodności- jedynej różnicy- zmian współtowarzyszących- połączonych metod zgodności i różnicy- reszt.-

Każdy z kanonów wskazuje pewną metodę poszukiwania związku przyczynowo-skutkowego drogą eliminacji zjawisk niepowiązanych. Egzemplifikacji kanonów dokonuje się w określonych warunkach badawczych drogą wskazania rozważanych przyczyn (okoliczności) i zdarzeń, które przyjmowane są jako potencjalne skutki tych przyczyn.

Kanon jedynej zgodności

a, b, c, d - obserwowalne cechy badanego układu/zjawiskaa - zachodzi aa - nie zachodzi a

a, c, d, e, ba, c , d, e, ba, c, d , e, ba, c, d, e, ba, c , d , e , b

__________________ a jest przyczyną b

Jeżeli występowaniu zjawiska b stale towarzyszy, tj. poprzedza je lub współwystępuje z nim, zjawisko a, natomiast zjawiska c, d itd. nie współwystępują z nim stale, to możemy wnosić, że a jest przyczyną b.

Przykład: Testowanie w hodowli doświadczalnej nowej odmiany pszenicy.Na jednym z poletek doświadczalnych stwierdzono zjawisko:b - zasychanie niewyrośniętych roślin (pędów pszenicy). Przedmiotem badań były następujące możliwe przyczyny zasychania pędów pszenicy:a - niewłaściwe nasłonecznienie poletka doświadczalnegoc - niewłaściwa dla wzrostu temperaturad - niewłaściwe nawożeniee - niewłaściwy skład chemiczny gleby

Kanon jedynej różnicy

33

a, b, c, d - obserwowalne cechy badanego układu/ zjawiska

a, c, d, ba, c, d, b

___________________ a jest przyczyną b

Jeżeli zjawisko b występuje wtedy, gdy poprzedza je lub współwystępuje z nim, zjawisko a, natomiast nie zachodzi, gdy nie zachodzi zjawisko ani podczas gdy wszystkie inne zjawiska: c, d itd. nie zmieniają się, wnosimy, że a jest przyczyną b.

c) Kanon zmian towarzyszących

a, b, c, d - obserwowalne cechy badanego układu/ zjawiska

a1, c, d, b1

a2, c, d, b2

a3, c, d, b3

.....…………… an, c, d, bn

_____________________________ Istnieje zależność między a i b

b) Wnioskowanie per analogiam

Rozumowania przez analogię polegają na przenoszeniu własności przedmiotów dostępnych badaniu na inne. Podstawą tego przenoszenia jest znaczące podobieństwo obu rodzajów przedmiotów ustalone przynależnością do określonej kategorii poznawczej, wyznaczoną wspólnością (innych) własności.

I. „Proporcja” własności:

Przedmiot a ma własności W1, W2, …Wn-1, Wn . Przedmiot b ma własności W1, W2, …Wn-1 . - Przedmiot b ma własność Wn.

Jeśli przedmiot byt jest podobny do przedmiotu a pod względem szeregu właściwości: W1, W2, …Wn-1, a ponadto przedmiot a posiada właściwość Wn, to mamy podstawę sądzić, że przedmiot b ma także właściwość Wn.

II. „Dziedziczenie” własności:

Przedmiot a1 ma własność W. Przedmiot a2 ma własność W. ………………………….…

34

Przedmiot an-1 ma własność W.a1 , a2 , … , an-1, a należą do kategorii K. Przedmiot a ma własność W.

Jeśli przedmioty a1 , a2 , … , an-1 mają ma własność W, to możemy wnosić, że także przedmiot a – przy założeniu, że jest tego samego rodzaju, co pozostałe przedmioty - ma własność W.

II) Metodologia nauk dedukcyjnych (formalnych)

Twierdzenie - prawo nauki w naukach (systemach) dedukcyjnych

Twierdzenie; struktura i reguły dowodzenia twierdzenia

W naukach (systemach) dedukcyjnych, do których logika formalna należy, prawa nauki (będące prawdziwymi zdaniami w sensie logicznym) mają postać twierdzeń, tj. zdań posiadających uzasadnienie w postaci dowodu. Struktura twierdzenia: twierdzenie składa się z założenia twierdzenia oraz tezy. Założeniem twierdzenia jest zdanie/a w sensie logicznym, które jest prawdziwe bądź które przyjmujemy za prawdziwe, ponieważ stanowi warunek prawdziwości (zachodzenia) tezy. Założenie w systemach dedukcyjnych w definicji prawa nauki odpowiada predykatowi P(x) określającemu warunki zachodzenia prawa.

Tezą twierdzenia jest takie zdanie/a w sensie logicznym, którego prawdziwość (zachodzenie, obowiązywanie) dane twierdzenie głosi, które jednak należy udowodnić. Tezie twierdzenia w definicji prawa nauki odpowiada predykat Q(x) wyrażającemu właściwą treść danego prawa.

Dowodzenie

Dowodzenie to czynność myślowa (rozumowanie), która polega na tym, że uznając jakieś zdanie lub zdania za dowodliwe, tj. dające się uzasadnić, poszukujemy w pewnym zbiorze zdań już uznanych za prawdziwe racji dla takich zdań. Jeśli takie zdanie (rację) znajdziemy, to wnioskujemy z niego o prawdziwości zdania dowodzonego. W swojej końcowej fazie dowodzenie polega na przeprowadzeniu pewnego wnioskowania dedukcyjnego, tj. takiego, w którym na podstawie znalezionej racji stwierdzamy zachodzenie następstwa. W systemie dedukcyjnym dowodzenie polega na podaniu dowodu (przeprowadzeniu wnioskowania dedukcyjnego). Dowód składa się z serii kroków dowodowych: takiej sekwencji rozumowań, które od założenia twierdzenia prowadzą do jego tezy. Kolejne kroki, przejścia od danego punktu dowodu do kolejnego, przeprowadza się w sposób ścisły, postępując rygorystyczny w ramach przyjętych w danym systemie dedukcyjnym reguł dowodowych.

Rodzaje dowodów:

35

1) wprost2) nie wprost (apagogiczny)

Ad 1) ) Dowodzenie wprost polega na przeprowadzeniu takiej procedury, w której od przyjętych założeń twierdzenia dochodzimy, posługując się wyłącznie regułami dowodzenia do postulowanej tezy. Przy dowodzeniu wprost stosujemy prawo logiczne klasycznego rachunku zdań modus ponendo ponens na metapoziomie, tj. jako metodologiczną dyrektywę procedury dowodowej.

Ad 2) Dowodzenie nie wprost (reductio ad absurdum - sprowadzenie do sprzeczności) jest takim rodzajem procedowania, w którym o prawdziwości dowodzonego zdania wnioskujemy dedukcyjnie na podstawie stwierdzenia, że zanegowanie tego zdania prowadzi do fałszywych następstw. Znaczy to, że w dowodzie nie wprost postępowanie dowodowe kończy się uzyskaniem sprzeczności.

Logiczny schemat dowodzenia nie wprost.

1) r - zdanie (zbiór zdań), które chcemy udowodnić2) zakładamy, że zachodzi r 3) wiemy, że z negacji r wynika pewne zdanie q, tj. że zachodzi implikacja: r q 4) mamy też wiedzę o charakterze syntetycznym lub analitycznym: q, tj. wiemy, że z pewnego doświadczenia lub rozumowania wynika, że nie q. 5) stosujemy modus tollendo tollens: (p q) q p, w którym podstawiamy: p/ r ( w oparciu o regułę podstawiania RP)6) otrzymujemy: (r q) q ( r)7) otrzymujemy: r, na podstawie 3), 4) oraz prawa podwójnej negacji.

Błędy we wnioskowaniu dedukcyjnym:

a) błąd formalny wnioskowania - schemat logiczny wnioskowania niepoprawny

b) błąd materialny wnioskowania - przesłanka wnioskowania jest fałszywa

c) błąd petitio principii (dosł. żądanie początku/ racji); polega, ogólnie rzecz biorąc, na przyjęciu za przesłankę wnioskowania zdania bez wystarczających do tego podstaw. Najczęściej jest to zdanie, którego wartość logiczna nie została jeszcze zbadana, ergo, które nie jest pewne.

d) błąd circulus in demnstrando; odmiana błędu petitio principii - polega na przyjęciu za przesłankę wnioskowania pewnego zdania, które de facto jest jego wnioskiem. Najczęściej błąd circulus in demnstrando - błędne koło w dowodzeniu ma postać błędnego koła pośredniego, tj. pewnej sekwencji wnioskowań; takiej, w której wniosek z ostatniego rozumowania okazuje się przesłanką pierwszego rozumowania.

e) błąd regressus ad infinitum; odmiana błędu petitio principii - polega na przyjęciu za przesłankę wnioskowania pewnego zdania, które nie jest jeszcze udowodnione. W efekcie, aby całe rozumowanie było poprawne, tj. by wniosek był prawdziwy w by wynikał logicznie z przesłanki, należy udowodnić tę przesłankę. To jednak oznacza wprowadzenie innego rozumowania, w którym udowadniana przesłanka staje się jego wnioskiem, a przesłanką tego

36

nowego rozumowania pewne zdanie, które samo z kolei wyga uzasadnienia, i tak w nieskończoność.

f) błąd ignorantio elenchi (dosł. nieznajomość, ignorancja co do tego, co faktycznie ma być udowodnione); polega na tym, że przeprowadzone rozumowanie dowodzi czegoś innego, zdania innego niż to, które ma być udowodnione.

Reguły dowodzenia w systemach dedukcyjnych

Reguły dowodzenia w systemie dedukcyjnym to - mówiąc ogólnie - takie zdania, które stwierdzają, że:

Jeśli pewne wyrażenia są tezami tego systemu, to i inne, określone wyrażenia także są tezami tego systemu.

Trzy podstawowe reguły dowodzenia, jakie przyjmuje się w systemach dedukcyjnych, to:

1) Reguła odrywania (RO):

Jeśli jakaś implikacja oraz jej poprzednik są tezami systemu, to tezą tego systemu jest także jej następnik.Symbolicznie: jeśli (p q) oraz p zachodzą (są zdaniami uznanymi w systemie), to możemy uznać, że q.

2) Reguła podstawiania (RP), która mówi, że

Jeśli jakieś wyrażenie jest tezą systemu, to tezą tego systemu jest także wyrażenie, które uzyskujemy przez podstawienie za zmienne w tym wyrażeniu innych wyrażeń należących do tej samej kategorii syntaktycznej co te zmienne.

Regułę podstawiania można też wypowiedzieć następująco:Jeśli za prawdziwy uznajemy ogólny schemat (ogólne prawo), to musimy też uznać za prawdziwy każdy szczególny przypadek tego schematu (każde konkretne zastosowanie ogólnego prawa).

3) Reguła zastępowania (RZ):

Jeśli jakieś wyrażenie jest tezą systemu, to tezą tego systemu jest też wyrażenie, które uzyskujemy przez zastąpienie go innym wyrażeniem, które jest z nim równoważne.

Reguła (1) ma charakter logiczny (inferencyjny), reguły (2) i (3) – syntaktyczny.

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

Materiał rozszerzony

Hipoteza

37

Przykłady hipotez naukowych

Hipoteza Sapira-Whorfa 

Hipoteza Sapira-Whorfa  (inna nazwa: prawo relatywizmu językowego) – teoria lingwistyczna głosząca, że używany język wpływa w mniejszym lub większym stopniu na sposób myślenia. Jej dwa główne założenia to determinizm językowy oraz relatywizm językowy: pierwsze z nich uważa, że język (jako system wytworzony przez społeczeństwo, w którym wychowujemy się i myślimy od dzieciństwa) kształtuje nasz sposób postrzegania otaczającego nas świata; drugie mówi, iż wobec różnic między systemami językowymi, które są odbiciem tworzących je odmiennych środowisk, ludzie myślący w tych językach rozmaicie postrzegają świat. Nazwa hipotezy wywodzi się od dwóch językoznawców – Edwarda Sapira i Benjamina Lee Whorfa, zajmujących się głównie językami rdzennych mieszkańców Ameryki.

Dowodem pośrednim na rzecz znacznego udziału języka w myśleniu oraz procesach społecznych są zmiany językowe i znaczeniowe w praktycznie wszystkich grupach związanych wspólną ideologią. Ma to w zamierzeniu wywierać wpływ na sposób myślenia członków grupy.

Hipoteza Goldbacha 

Hipoteza Goldbacha jest problemem z teorii liczb, liczącym sobie ponad 250 lat i ciągle nierozstrzygniętym. Znajduje się (wraz z hipotezą Riemanna) na liście problemów Hilberta.W 1742 roku w liście do Leonharda Eulera, Christian Goldbach przedstawił hipotezę, żekażda nieparzysta liczba naturalna większa niż 5 może być przedstawiona w postaci sumy trzech liczb pierwszych (ta sama liczba pierwsza może być użyta dwukrotnie).Euler po otrzymaniu listu stwierdził, że sformułowanie hipotezy Goldbacha można uprościć i przedstawić ją w następujący sposób:Każda liczba naturalna parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych.

Hipoteza continuum 

Hipoteza continuum (CH, ang. continuum hypothesis) – postawiona w roku 1878 przez Georga Cantora hipoteza teorii mnogości dotycząca mocy zbiorów liczb naturalnych i liczb rzeczywistych.

Posługując się rozumowaniem przekątniowym Cantor wykazał, że moce powyższych zbiorów nie są równe. W jego dalszych rozważaniach pojawiło się następujące, naturalne pytanie: „czy istnieje zbiór, którego moc jest większa od mocy zbioru liczb naturalnych, a zarazem mniejsza od mocy zbioru liczb rzeczywistych?”, jednakże odpowiedź na nie okazała się być daleko nieoczywista. Cantor wysunął hipotezę – zwaną właśnie hipotezą continuum – że takiego zbioru nie ma, jednak nie potrafił jej udowodnić.

We współczesnym sformułowaniu (przy założeniu aksjomatu wyboru) hipotezą continuum nazywa się następujące zdanie:

gdzie po lewej stronie równości znajduje się pierwsza nieprzeliczalna liczba kardynalna, a po prawej – liczba kardynalna continuum

W 1940 roku Kurta Gödel, w której autor dowiódł, że hipoteza continuum jest niesprzeczna z aksjomatami ogólnie przyjętej teorii mnogości Zermelo-Fraenkela. W 1963 roku Paul Cohen udowodnił niezależność hipotezy continuum od wspomnianych

38

aksjomatów, co oznacza, że nie popadając w sprzeczność można do nich dołączyć zarówno zdanie stwierdzające prawdziwość hipotezy, jak i jego zaprzeczenie.

Wielkie twierdzenie Fermata – hipoteza udowodniona

Wielkie twierdzenie Fermata:Dla liczby naturalnej   nie istnieją takie liczby naturalne dodatnie  , które spełniałyby równanie  .

Diofantosa Arithmetica (1670) zawierająca wielkie twierdzenie Fermata

Pierre de Fermat zanotował je na marginesie łacińskiego tłumaczenia książki Diofantosa Arithmetica i opatrzył następującą uwagą:Znalazłem zaiste zadziwiający dowód tego twierdzenia. Niestety, margines jest zbyt mały, by go pomieścić.http://pl.wikipedia.org/wiki/Wielkie_twierdzenie_Fermata - cite_note-1

Twierdzenie zostało sformułowane przez Fermata w roku 1637. Opublikowano je dopiero w roku 1670, po odnalezieniu go w pozostałych po śmierci pismach Fermata, i z miejsca stało się wyzwaniem dla kolejnych pokoleń matematyków – wiadomo bowiem było, że wiele twierdzeń formułowanych przez Fermata okazało się prawdziwymi, a ich dowody zostały znalezione przez innych. To jedno przez ponad 300 lat opierało się próbom dowodu w ogólności, znane były dowody szczególnych przypadków. Dlatego też nazwane zostało ostatnim twierdzeniem Fermata.Dowód ostatecznie został przeprowadzony przez angielskiego matematyka Andrew Johna Wilesa dopiero w roku 1994, co było jedną z największych sensacji naukowych XX wieku. Zajmował ok. 100 stron A4 i wyrażony był w języku topologii i krzywych eliptycznych.

Wielu matematyków nadal szuka dowodu Wielkiego Twierdzenia Fermata na bazie teorii liczb. Istnieją dowody dla wybranych nie podane przez takich matematyków jak Euler (n = 3), Dirichlet (n = 5, n = 14), Lamé (n = 7) i inni. Późniejsze prace innych matematyków i obliczenia numeryczne pozwoliły udowodnić wielkie twierdzenie Fermata dla wszystkich n < 1 000 000.

W literaturze polskiej o wielkim twierdzeniu Fermata wspomniano w powieści dla młodzieży Kornela Makuszyńskiego "Szatan z siódmej klasy". Jeden z głównych bohaterów, Iwo Gąsowski, matematyk-amator, usiłuje znaleźć dowód na prawdziwość tego twierdzenia.

39

40