wiskunde voor chemici

Wiskunde voor Chemici

Mortier, T.

Copyright 2016 - Tom Mortier - UC Leuven-Limburg.

Gecompileerd met LATEX op 27 augustus 2016

Voorwoord

Deze cursus is ontstaan uit een behoefte tijdens de lessen Nanotechnologie en Moleculaire Architec-

tuur die worden gedoceerd aan de professionele bachelor in de chemie van de UC Leuven-Limburg.

Een aantal gemotiveerde studenten zagen in dat een grondigere wiskundige kennis noodzakelijk is

om fysicochemische problemen te kunnen oplossen. Hun enthousiasme deed me dan ook besluiten

om een aantal ideeen op een nauwkeurigere en meer wiskundigere manier te bespreken.

De uitwerkingen in de tekst zijn opgebouwd vanuit wiskundige definities en stellingen, maar het is

dus niet de bedoeling om telkens een volledige analyse uit te werken en alle mogelijke bewijzen aan

te leveren. Hiervoor verwijs ik naar de uitstekende basisteksten van Leopold Verstraelen en wil ik

graag mijn ‘oude’ handboeken voor het middelbaar onderwijs van Edward Jennekens en Gustaaf

Deen aanraden.

Er wordt in deze cursus getracht om op een aangename manier met wiskunde om te gaan zodat

deze kan toegepast worden op fysicochemische problemen. De uiteindelijke doelstelling voor een

chemicus bestaat erin om zich een beter begrip van de materie eigen te maken. Het spelen met

wiskunde is voor de chemicus een manier om die doelstelling een beetje te kunnen bereiken. In de

tekst verwijs ik naar verschillende werken waar ik inspiratie heb gehaald. Ik wil in het bijzonder

het werk van Arnout Ceulemans aanhalen omdat dit voor mij de referentie is van een correct

wetenschappelijk denken.

De cursustekst werd gecompileerd met LATEX. Alle figuren die in de tekst voorkomen, zijn ori-

gineel. Verschillende simulaties werden gemaakt met behulp van het ronduit fantastische en

gratis beschikbare Gnuplot (http://www.gnuplot.info). Voor de tekeningen werd het pack-

age TikZ gebruikt. Veel noodzakelijke informatie om figuren te kunnen maken, vond ik via

http://www.texample.net/tikz.

Na reeds meer dan tien jaar in het onderwijs te hebben gestaan, ben ik vele van mijn studenten

dankbaar omdat ik veel van hen heb geleerd. Ik hoop dat ik sommigen onder hen ook een beetje

verder op weg kon helpen in hun eigen denken. Opmerkingen en aanvullingen zijn dus zeker meer

dan welkom. Eventuele fouten en/of onnauwkeurigheden die in de tekst voorkomen, mogen altijd

gemeld worden via [email protected].

http://www.gnuplot.info

http://www.texample.net/tikz

Inhoudsopgave

Voorwoord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

1 Elementaire complexe analyse 1

1.1 Werken met complexe getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 De worteltrekking uit een complex getal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 De oplossingen van z3 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2 Algemene formule voor de worteltrekking uit een complex getal . . . . . . . . 4

1.2.3 Uitgewerkte voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.4 Enkele uitgewerkte oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Complexe functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 Het poolcoordinatensysteem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.1 Van Cartesische coordinaten naar poolcoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.2 De coordinatenlijnen in het poolcoordinatensysteem . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.3 Enkele functies uitgezet in het poolcoordinatensysteem . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.4 Bolcoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Differentiaalrekening 25

2.1 De eerste afgeleide van een functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Rekenregels voor differentieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.1 Algemene rekenregels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.2 De afgeleide van een som, een product en quotient van twee functies . . . . . 27

2.2.3 De afgeleide van een samengestelde functie of de kettingregel . . . . . . . . . 28

2.3 Partiele afgeleiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3.1 De Cauchy-Riemann vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3.2 De Cauchy-Riemann vergelijkingen in polaire vorm . . . . . . . . . . . . . . . 32

Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Integraalrekening 37

3.1 Bepaalde en onbepaalde integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Integratietechnieken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.1 De substitutiemethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.2 Partiele integratie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

v

vi Inhoudsopgave

4 Differentiaalvergelijkingen 49

4.1 Soorten differentiaalvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2 Gewone eerste orde differentiaalvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2.1 Differentiaalvergelijkingen grafisch oplossen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2.2 Exacte en niet-exacte differentiaalvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2.3 De scheiding van veranderlijken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2.4 De methode van de variatie van de constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3 De wet van Lambert-Beer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.4 Chemische kinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.4.1 De snelheidsvergelijking voor een eersteordereactie . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.4.2 De snelheidsvergelijking voor een tweedeordereactie . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.4.3 Radioactief verval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.5 Lineaire eerste orde differentiaalvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.6 Toepassing op elektrische netwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.7 Lineaire tweede orde differentiaalvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.7.1 Meetkundige interpretatie van tweede orde differentiaalvergelijkingen . . . . . 80

4.7.2 Een bijzonder geval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.8 Homogene lineaire tweede orde differentiaalvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.9 Het deeltje in een eendimensionele doos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5 Matrices & Determinanten 91

5.1 Definities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.2 Bijzondere matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.2.1 De eenheidsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.2.2 De diagonaalmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.2.3 De reele matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.2.4 De symmetrische matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.2.5 De hermitische matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.2.6 De nulmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.2.7 De unitaire matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.2.8 De orthogonale matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.3 Elementaire matrixalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.3.1 Gelijke matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.3.2 Optellen en aftrekken van matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.3.3 Matrixvermenigvuldiging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.3.4 Het delen van matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.3.5 Associativiteit en distributiviteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.3.6 De getransponeerde, de geadjugeerde en de inverse matrix . . . . . . . . . . . 107

5.4 De eigenwaardevergelijking voor matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.4.1 Definities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.5 Gelijkvormigheidstransformaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.5.1 Definities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.5.2 Stellingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Inhoudsopgave vii

5.5.3 Diagonalisatie van een matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.6 De symmetrie aangepaste lineaire combinaties voor de waterstoforbitalen in ammoniak113

5.6.1 De Dirac notatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.6.2 Het eigenwaarde probleem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Hoofdstuk 1

Elementaire complexe analyse

We starten met enkele elementaire complexe analyses omwille van het veelvuldig gebruik van de

complexe getallen in theoretische en fysische scheikunde. Stel dat men bijvoorbeeld spectroscopische

overgangen op een theoretische manier wil doorgronden, dan zal een goed begrip van de complexe

getallen noodzakelijk zijn.

1.1 Werken met complexe getallen

We definieren de verzameling van de complexe getallen C als een effectieve uitbreiding van de reele

getallen RC = z = (x, y)|x, y ∈ R

Een complex getal kan worden geschreven als

z = x+ yi (1.1)

waarbij x en y reele getallen zijn en i =√−1.

Het is handig om complexe getallen uit te zetten in het complexe vlak zoals weergegeven in Fi-

guur 1.1. Het complexe vlak wordt ook het Argand diagram1 genoemd. Het Argand diagram is

analoog aan een Cartesiaans coordinatensysteem met uitzondering van de reele as (<z) en de

imaginaire as (=z) die respectievelijk de x- en y-as vervangen.

In het Argand diagram komt een complex getal overeen met een beeldpunt in het complexe vlak.

Er is een gelijkaardigheid met het poolcoordinatensysteem2 en omwille van deze analogie kan een

complex getal gerepresenteerd worden als een paar (x, y), of door de straal van de vector r en de

1Hoewel de Zwitserse wiskundige Jean-Robert Argand (1768 - 1822) in 1806 een geometrische interpretatie van de

complexe getallen publiceerde, was een gelijkaardige representatie reeds in 1797 voorgesteld door de Deense landmeter

Caspar Wessel [1].2In Referentie [2] voert Leopold Verstraelen expliciet een derde notatie in die hij de polaire vorm van een complex

getal noemt. Wij zullen in deze uitwerking dit iets minder strikt opvolgen en zullen spreken over de goniometrische

vorm van het complex getal volgens Referentie [3]. Desalniettemin komen we zeker terug op de polaire vorm.

1

2 Hoofdstuk 1. Elementaire complexe analyse

(x, y)

<z

=z

r

θ

Figuur 1.1: Het complexe getal dat kan uitgezet worden in een Argand diagram.

hoek θ. Uit Figuur 1.1 kunnen we inzien dat

r =√x2 + y2, cos θ =

x

r, sin θ =

y

ren tan θ =

y

x(1.2)

r wordt de modulus van z genoemd en θ wordt het argument van z (arg z) genoemd. Uit de relaties

in Vergelijking 1.2 en met behulp van de formule van Euler3 [4, 5]

eiθ = cos θ + i sin θ (1.3)

kan een complex getal gerepresenteerd worden op twee equivalente manieren, namelijk

z = x+ yi = r cos θ + r sin θi = reiθ =√x2 + y2 exp

[i tan−1 (y/x)

](1.4)

We zullen de vorm z = r (cos θ + i sin θ) de goniometrische vorm van het complexe getal noemen.

Wanneer een complex getal wordt geschreven op een welbepaalde manier, dan kan het relatief

eenvoudig worden omgewerkt in de andere manier. We drukken het complex getal 6− 7i uit in de

vorm reiθ. De grootte van de straal van de vector r wordt gegeven door√

62 + 72 =√

85. De fase

is dan uitgedrukt door tan θ = (−7/6) of θ = tan−1 (−7/6). Bijgevolg kunnen we 6 − 7i schrijven

als√

85 exp[i tan−1 (−7/6)

].

We zetten het complex getal 2eiπ/2, dat in de vorm reiθ staat weergegeven, om in de notatie x+yi.

Hierbij maken we gebruik van de formule van Euler uit Vergelijking 1.3. 2eiπ/2 kan herschreven

worden als

2(

cosπ

2+ i sin

π

2

)= 2 (0 + i) = 2i

We merken op dat twee complexe getallen gelijk wanneer ze hetzelfde beeldpunt hebben in het

complexe vlak. Dit betekent dat twee complexe getallen in hun goniometrische vormen z1 =

r1 (cos θ1 + i sin θ1) en z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2), gelijk zijn enkel en alleen indien

r1 = r2 ∧ θ1 = θ2 + k2π met k ∈ Z (1.5)

3Richard Feynman (1918 –1988) vond dat de formule van Euler de meest opmerkelijke formule was in de wiskunde.

“This is our jewel.”(http://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_22.html)

http://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_22.html

1.2. De worteltrekking uit een complex getal 3

Het complex geconjugeerde of het complex toegevoegde van een complex getal z wordt aangegeven

door z∗ (of z) en kan worden bekomen door het teken van i te veranderen overal waar het voorkomt

in het complex getal. De grootte van een complex getal wordt gedefinieerd door√zz∗ en is altijd

een reeel getal. Merk bovendien op dat zz∗ = x2 + y2.

Het complex geconjugeerde van bijvoorbeeld z =(3−√

5i)ei√2φ is z∗ =

(3 +√

5i)e−i√2φ. De

grootte van dit getal is vervolgens

zz∗ =(

3−√

5i)ei√2φ(

3 +√

5i)e−i√2φ =

(3−√

5i)(

3 +√

5i)ei√2φ−i

√2φ = 14

Complexe getallen kunnen worden opgeteld, vermenigvuldigd en gedeeld zoals reele getallen.

1.2 De worteltrekking uit een complex getal

1.2.1 De oplossingen van z3 = 1

Voor de tweedegraadsvergelijking

x2 = 1⇒ x2 − 1 = 0

zijn er twee mogelijke oplossingen, namelijk

(x+ 1) (x− 1) = 0⇒ x = −1 ∧ x = +1

De vierkantswortel uit een geeft ons per definitie twee mogelijke oplossingen.

x =√

1 = ±1⇒ 12 = 1 ∧ (−1)2 = 1

In overeenstemming met het vinden van twee oplossingen voor het nemen van de vierkantswortel

uit een, zullen we voor het nemen van de derdemachtswortel uit een dan ook ‘drie’ wortels moeten

vinden. Hiervoor dienen we de volgende vergelijking op te lossen

z3 = 1

De oplossingen van de derdemachtswortel uit een kunnen gevonden worden in de verzameling van

de complexe getallen C. De oplossingen kunnen in eerste instantie op een vrij intuıtieve manier

worden gevonden vooraleer we de definities formaliseren [6]. Het getal 1 kan worden uitgedrukt

als een complex getal z = 1 + 0i en worden geschreven onder de vorm z = reiθ. Met behulp van

r =√

12 + 02 = 1 en θ = arg z = 0, 2π, 4π, kan het getal 1 vervolgens op drie manieren worden

geschreven als 1ei0, 1ei2π en 1ei4π. De drie wortels van 1 worden dan

z0 =3√

1ei0 =(ei0)1/3

= (1)1/3 = 1

z1 =3√

1ei2π =(ei2π

)1/3= ei2π/3

z2 =3√

1ei4π =(ei4π

)1/3= ei4π/3 = e−i2π/3


We kunnen de drie wortels van 1 samenvatten in [7]

zm = exp

(im2π

3

)waarbij m de waarden −1, 0,+1 kan aannemen. De drie wortels van 1 kunnen eveneens als complexe

getallen worden geschreven gebruik makende van de formule van Euler.

z0 = ei0 = cos 0 + i sin 0 = 1 + 0i

z1 = ei2π/3 = cos2π

3+ i sin

2π

3= −1

2+

√3

2i

z2 = ei4π/3 = cos4π

3+ i sin

4π

3= −1

2−√

3

2i = z∗1

De beeldpunten van de drie wortels uit een worden geometrisch gevisualiseerd in het complexe vlak

in Figuur 1.2. We zien dat de drie beeldpunten van de derdemachtswortels uit een de hoekpunten

2π3

-2π3

<z

=z

z0

z1

z2

Figuur 1.2: Geometrische visualisatie van de drie beeldpunten van de derdemachtswortels (z0, z1 en z2)

uit een in het complexe vlak.

zijn van een regelmatige convexe driehoek4 met het middelpunt in de oorsprong.

1.2.2 Algemene formule voor de worteltrekking uit een complex getal

Er bestaat een algemene formule om de nde-machtswortels van een complex getal te bepalen volgens

een goniometrische methode die we in deze paragraaf zullen opstellen [2, 3].

4In een regelmatige veelhoek zijn alle zijden even lang en alle hoeken even groot. Een veelhoek is convex als deze

veelhoek geen interne hoeken heeft die groter zijn dan π.


We beschouwen twee complexe getallen z1 = x1 + y1i en z2 = x2 + y2i die we noteren in de vorm

z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1) ∧ z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2)

en die we met elkaar vermenigvuldigen

z1z2 = r1 (cos θ1 + i sin θ1) r2 (cos θ2 + i sin θ2)

= r1r2(cos θ1 cos θ2 + i cos θ1 sin θ2 + i sin θ1 cos θ2 + i2 sin θ1 sin θ2

)= r1r2 (cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2) + i (cos θ1 sin θ2 + sin θ1 cos θ2)

= r1r2 cos (θ1 + θ2) + i sin (θ1 + θ2) (1.6)

We berekenen nu de macht van een complex getal z met een natuurlijke exponent n ≥ 2. We maken

hierbij gebruik van Vergelijking 1.6 die we uitbreiden voor een vermenigvuldiging van n factoren.

We beschouwen het complex getal z in de goniometrische vorm

zn = [r (cos θ + i sin θ)]n

= z · z · . . . · z

= r (cos θ + i sin θ) · r (cos θ + i sin θ) · . . . · r (cos θ + i sin θ)

= r · r · . . . · r [cos (θ + θ + . . .+ θ) + i sin (θ + θ + . . .+ θ)]

= rn · (cosnθ + i sinnθ) (1.7)

Wanneer we r = 1 stellen in Vergelijking 1.7, verkrijgen we de Formule van de Moivre

∀n ∈ N : (cos θ + i sin θ)n = cosnθ + i sinnθ (1.8)

We stellen nu de algemene formule op om de oplossingen in C te vinden van de vergelijkingen in

de vorm

zn = α

waarbij α een complex getal is dat we noteren in zijn goniometrische vorm

α = ρ (cosϕ+ i sinϕ)

We zoeken van elke nde-machtswortel z de goniometrische vorm

z = r (cos θ + i sin θ)

Gebruik makende van Vergelijkingen 1.5, 1.6 en 1.7 bekomen we

z is eennde-machtswortel uitα⇔ zn = α

⇔ [r (cos θ + i sin θ)]n = ρ (cosϕ+ i sinϕ)

⇔ rn (cosnθ + i sinnθ) = ρ (cosϕ+ i sinϕ)

⇔ rn = ρ ∧ nα = ϕ+ k2π met k ∈ Z


⇔ r = n√ρ ∧ α =

ϕ+ k2π

nmet k ∈ Z

Voor elk geheel getal k kunnen we nu een oplossing zk schrijven die wordt gegeven door

zk = n√ρ

(cos

ϕ+ k2π

n+ i sin

ϕ+ k2π

n

)(1.9)

waarbij we slechts n verschilllende complexe wortels vinden die overeenstemmen met k =

0, 1, 2, . . . , n− 1.

We passen Vergelijking 1.9 nu toe op het reeds gekende voorbeeld van de derdemachtswortels uit

een (z3 = 1). We schrijven het getal 1 in zijn complexe vorm (α = ρ (cosϕ+ i sinϕ)) waarbij ρ = 1

en arg(1) = ϕ = 0 zodat

1 = 1 (cos 0 + i sin 0)

De drie derdemachtswortels van 1 worden nu gevonden met behulp van vergelijking 1.9

zk =3√

1

(cos

0 + k2π

3+ i sin

0 + k2π

3

)met k ∈ 0, 1, 2

We bekomen aldus

k = 0: z0 = 1 (cos 0 + i sin 0) = 1

k = 1: z1 = 1

(cos

2π

3+ i sin

2π

3

)= − cos

π

3+ i sin

π

3= −1

2+

√3

2

k = 2: z1 = 1

(cos

4π

3+ i sin

4π

3

)= − cos

π

3− i sin

π

3= −1

2−√

3

2

Met behulp van Vergelijking 1.9 bekomen we dezelfde resultaten als diegenen die we bekwamen

met de meer intuı’tieve manier om de derdemachtswortels uit een te vinden.

1.2.3 Uitgewerkte voorbeelden

Vergelijkingen van de vorm

zn = 1

zijn bijzondere gevallen omdat voor het complexe getal α = 1 in zijn goniometrische vorm

ρ (cosϕ+ i sinϕ), geldt dat ρ = 1 en argα = ϕ = 0, zodat Vergelijking 1.9 voor deze bijzon-

dere gevallen steeds kan worden herleid tot

zk = cos k2π

n+ i sin k

2π

n

Om de n complexe wortels zk van 1 te vinden, is het handig om gebruik te maken van de een-

heidscirkel in Figuur 1.3. De cosinussen en de sinussen zijn in Figuur 1.3 zijn uitgerekend voor

enkele bijzondere hoeken k2π/n. Ze vormen de coordinaten (x, y) van de beeldpunten van enkele

complexe wortels zk van een.5

5Figuur 1.3 met de eenheidscirkel waarin enkele cosinussen en sinussen werden berekend, is geınspireerd op de TikZ-

figuur die werd ontworpen door Supreme Aryal. De LATEX-code kan gevonden worden via http://www.texample.

net/tikz/examples/unit-circle/.

http://www.texample.net/tikz/examples/unit-circle/

http://www.texample.net/tikz/examples/unit-circle/


<z

=z

0

30

6090

120

150

180

210

240

270300

330

360

π6

π4

π3

π2

2π3

3π4

5π6

π

7π6

5π4

4π3

3π2

5π3

7π4

11π6

2π

(√32, 12

)

(12,√3

2

)

(−√3

2, 12

)

(− 1

2,√

32

)

(−√32,− 1

2

)

(− 1

2,−√32

)

(√3

2,− 1

2

)

(12,−√3

2

)

(√2

2,√

22

)(−√22,√2

2

)

(−√2

2,−√22

) (√2

2,−√22

)

(−1, 0) (1, 0)

(0,−1)

(0, 1)

Figuur 1.3: De beeldpunten van enkele complexe wortels zk van een in het complexe vlak.

De oplossingen van z4 = 1

We passen Vergelijking 1.9 toe om de vierdemachtswortels uit een te bepalen. Dit komt neer op

het oplossen van de vergelijking

z4 = 1

De vier vierdemachtswortels van 1 worden volgens Vergelijking 1.9 met ρ = 1 en arg(1) = ϕ = 0,

gegeven door

zk =4√

1

(cos

0 + k2π

4+ i sin

0 + k2π

4

)= cos k

π

2+ i sin k

π

2met k ∈ 0, 1, 2, 3

Na invullen van de vier mogelijkheden voor k, bekomen we

k = 0: z0 = cos 0 + i sin 0 = 1

k = 1: z1 = cosπ

2+ i sin

π

2= 0 + i · 1 = i

k = 2: z2 = cosπ + i sinπ = −1 + i · 0 = −1

k = 3: z3 = cos3π

2+ i sin

3π

2= 0 + i · (−1) = −i

De beeldpunten van de vier wortels uit een worden geometrisch gevisualiseerd in het complexe vlak

in Figuur 1.4. We zien dat de vier beeldpunten van de vierdemachtswortels uit een de hoekpunten

zijn van een regelmatige convexe vierhoek met het middelpunt in de oorsprong.


π2

-π2<z

=z

z0

z1

z2

z3

O

Figuur 1.4: Geometrische visualisatie van de vier beeldpunten van de vierdemachtswortels (z0, z1, z2 en

z3) uit een in het complexe vlak.


We passen Vergelijking 1.9 toe om de vijfdemachtswortels uit een te bepalen. Dit komt neer op het

oplossen van de vergelijking

z5 = 1

De vijf vijfdemachtswortels van 1 worden volgens Vergelijking 1.9 met ρ = 1 en arg(1) = ϕ = 0,

gegeven door

zk =5√

1

(cos

0 + k2π

5+ i sin

0 + k2π

5

)= cos k

2π

5+ i sin k

2π

5met k ∈ 0, 1, 2, 3, 4

Na invullen van de vijf mogelijkheden voor k, bekomen we

k = 0: z0 = cos 0 + i sin 0 = 1

k = 1: z1 = cos2π

5+ i sin

2π

5= 0.309 + 0.951i

k = 2: z2 = cos4π

5+ i sin

4π

5= −0.809 + 0.588i

k = 3: z3 = cos6π

5+ i sin

6π

5= −0.809− 0.588i = z∗2

k = 4: z4 = cos8π

5+ i sin

8π

5= 0.309− 0.951i = z∗1

De beeldpunten van de vijf wortels uit een worden geometrisch gevisualiseerd in het complexe vlak

in Figuur 1.5. We zien dat de vijf beeldpunten van de vijfdemachtswortels uit een de hoekpunten

zijn van een regelmatige convexe vijfhoek met het middelpunt in de oorsprong.


<z

=z

z0

z1

z2

z3

z4

Figuur 1.5: Geometrische visualisatie van de vijf beeldpunten van de vijfdemachtswortels (z0, z1, z2, z3 en

z4 ) uit een in het complexe vlak.


We passen Vergelijking 1.9 toe om de zesdemachtswortels uit een te bepalen. Dit komt neer op het

oplossen van de vergelijking

z6 = 1

De zes zesdemachtswortels van 1 worden volgens Vergelijking 1.9 met ρ = 1 en arg(1) = ϕ = 0,

gegeven door

zk =6√

1

(cos

0 + k2π

6+ i sin

0 + k2π

6

)= cos k

π

3+ i sin k

π

3met k ∈ 0, 1, 2, 3, 4, 5

Na invullen van de zes mogelijkheden voor k, bekomen we

k = 0: z0 = cos 0 + i sin 0 = 1

k = 1: z1 = cosπ

3+ i sin

π

3=

1

2+

√3

2i

k = 2: z2 = cos2π

3+ i sin

2π

3= −1

2+

√3

2i

k = 3: z3 = cosπ + i sinπ = −1

k = 4: z4 = cos4π

3+ i sin

4π

3= −1

2−√

3

2i = z∗2

k = 5: z5 = cos5π

3+ i sin

5π

3=

1

2−√

3

2i = z∗1


De beeldpunten van de zes wortels uit een worden geometrisch gevisualiseerd in het complexe vlak

in Figuur 1.6. We zien dat de zes beeldpunten van de zesdemachtswortels uit een de hoekpunten

<z

=z

z0

z1z2

z3

z4 z5

Figuur 1.6: Geometrische visualisatie van de zes beeldpunten van de zesdemachtswortels (z0, z1, z2, z3, z4

en z5) uit een in het complexe vlak.

zijn van een regelmatige convexe zeshoek met het middelpunt in de oorsprong.

1.2.4 Enkele uitgewerkte oefeningen

We zullen nu enkele oefeningen uitwerken om de worteltrekking uit een complex getal te illustreren

gebruik makend van Vergelijking 1.9.

De complexe wortels uit de vergelijking z3 = −1 + i

Om z3 = α = −1 + i op te lossen, dienen we eerst het complex getal α om te zetten in zijn

goniometrische vorm ρ (cosϕ+ i sinϕ) zodat we de modulus ρ en het argument van α (argα = ϕ)

kunnen invullen in Vergelijking 1.9. Het kan helpen om dit complexe getal te visualiseren en uit te

zetten in een Argand diagram (Figuur 1.7). De modulus wordt berekend door

ρ =√x2 + y2 =

√(−1)2 + 12 =

√2

en om ϕ te berekenen, bepalen we eerst cosϕ en sinϕ. Vervolgens zoeken we de inverse functies

van de bekomen getallen. Het omgekeerde van de cosinus wordt de boogcosinus (arccos) genoemd

en het omgekeerde van de sinus wordt de boogsinus (arcsin) genoemd.6 Bij het bepalen van ϕ kan

6Strikt genomen moet het definitiegebied voor de functies ϕ 7→ cosϕ en ϕ 7→ sinϕ worden beperkt tot

[−π/2, π/2] 7→ [−1, 1] zodat de functies inverteerbaar worden. De inversie functies worden respectievelijk de boogco-

sinus (arccos) en de boogsinus (arcsin) genoemd[8]. In onze toepassingen is dit definitiegebied sowieso bepaald.


α = (−1, 1) = −1 + i

<z

=z

ρ =√

2

ϕ = 3π4

Figuur 1.7: Het complexe getal α = −1 + i uitgezet in een Argand diagram.

het helpen om gebruik te maken van de reeds berekende cosinussen en sinussen in Figuur 1.3 waar

ook reeds enkele bijzondere hoeken staan afgebeeld.

cosϕ =x

ρ=−1√

2= −√

2

2⇒ ϕ = arccos−

√2

2=

3π

4

sinϕ =y

ρ=

1√2

=

√2

2⇒ ϕ = arcsin

√2

2=

3π

4

zodat

α = −1 + i =√

2

(cos

3π

4+ i sin

3π

4

)Vergelijking 1.9 wordt met ρ =

√2 en arg(α) = ϕ = 3π/4, gegeven door

zk =3

√√2

[cos

(3π

12+ k

2π

3

)+ i sin

(3π

12+ k

2π

3

)]=

6√

2

[cos

(π

4+ k

2π

3

)+ i sin

(π

4+ k

2π

3

)]met k ∈ 0, 1, 2. Na invullen van de drie mogelijkheden voor k, bekomen we

k = 0: z0 =6√

2(

cosπ

4+ i sin

π

4

)=

6√

2

(√2

2+

√2

2i

)= 0.794 + 0.794i

k = 1: z1 =6√

2

(cos

11π

12+ i sin

11π

12

)= −1.084 + 0.291i

k = 2: z2 =6√

2

(cos

19π

12+ i sin

19π

12

)= 0.291− 1.084i

De beeldpunten van deze drie wortels uit α = −1 + i, worden geometrisch gevisualiseerd in het

complexe vlak in Figuur 1.8. We zien dat de drie beeldpunten opnieuw de hoekpunten zijn van een

regelmatige convexe driehoek met het middelpunt in de oorsprong.


π4

11π12

19π12

<z

=z

z0

z1

z2

Figuur 1.8: Geometrische visualisatie van de drie beeldpunten van de derdemachtswortels (z0, z1 en z2)

uit α = −1 + i in het complexe vlak waarbij ρ =√

2.

De complexe wortels uit de vergelijking z4 = −2√

3− 2i

We lossen de vergelijking z4 = α = −2√

3−2i op door de vierdemachtswortels te bepalen. Hiervoor

zetten we het complex getal α eerst om in zijn goniometrische vorm zodat de modulus ρ en het

argument van α (argα = ϕ) kunnen ingevuld worden in Vergelijking 1.9. Het complexe getal

−2√

3 − 2i wordt gevisualiseerd en uitgezet in een Argand diagram in Figuur 1.9. De modulus

α =(−2√

3,−2)

<z

=z

ρ = 4

ϕ = 7π6

Figuur 1.9: Het complexe getal α = −2√

3− 2i uitgezet in een Argand diagram.


wordt berekend door

ρ =√x2 + y2 =

√(−2√

3)2 + (−2)2 =√

(4 · 3) + 4 =√

16 = 4

Om ϕ te berekenen, bepalen we eerst cosϕ en sinϕ. Vervolgens berekenen we respectievelijk de

boogcosinus en de boogsinus van de bekomen getallen. Het helpt om bij het bepalen van ϕ gebruik

te maken van de reeds berekende cosinussen en sinussen in Figuur 1.3 waar enkele bijzondere hoeken

staan afgebeeld.

cosϕ =x

ρ=−2√

3

4= −√

3

2⇒ ϕ = arccos−

√3

2=

7π

6

sinϕ =y

ρ=−2

4= −1

2⇒ ϕ = arcsin−1

2=

7π

6

zodat

α = −2√

3− 2i = 4

(cos

7π

6+ i sin

7π

6

)Vergelijking 1.9 wordt met ρ = 4 en arg(α) = ϕ = 7π/6 geschreven als

zk =4√

4

[cos

(7π

6 · 4+ k

2π

4

)+ i sin

(7π

6 · 4+ k

2π

4

)]=√

2

[cos

(7π

24+ k

π

2

)+ i sin

(7π

24+ k

π

2

)]met k ∈ 0, 1, 2, 3. Na invullen van de vier mogelijkheden voor k, bekomen we

k = 0: z0 =√

2

(cos

7π

24+ i sin

7π

24

)= 0.609 + 0.793i

k = 1: z1 =√

2

(cos

19π

24+ i sin

19π

24

)= −0.793 + 0.609i

k = 2: z2 =√

2

(cos

31π

24+ i sin

31π

24

)= −0.609− 0.793i

k = 3: z3 =√

2

(cos

43π

24+ i sin

43π

24

)= 0.793− 0.609i

De beeldpunten van deze vier wortels uit α = −2√

3− 2i, worden geometrisch gevisualiseerd in het

complexe vlak in Figuur 1.10. De vier beeldpunten zijn de hoekpunten van een regelmatige convexe

vierhoek met het middelpunt in de oorsprong.

Het zou uit de voorbeelden en de oefeningen moeten duidelijk zijn dat voor elk complex getal

de complexe wortels kunnen worden bepaald. We hebben veel aandacht gespendeerd aan het

uitzetten van de beeldpunten van de wortels in het complexe vlak omdat dit de basis vormt van het

symmetrisch denken in de scheikunde. In groepentheorie toegepast op scheikunde zal het werken

met complexe getallen ons dus heel wat vooruit helpen.


7π24

19π24

31π24

43π24

<z

=z

z0

z1

z2

z3

Figuur 1.10: Geometrische visualisatie van de vier beeldpunten van de vierdemachtswortels (z0, z1, z2 z3)

uit α = −2√

3− 2i in het complexe vlak waarbij ρ = 4.

1.3 Complexe functies

Wiskundige functies kunnen afhankelijk zijn van een complexe variable. Het is geschikt om een

vlakke golf die gewoonlijk staat geschreven in de vorm van

ψ (x, t) = A sin (kx− ωt) (1.10)

in de complexe vorm te schrijven

Aei(kx−ωt) = A cos (kx− ωt)− iA sin (kx− ωt) (1.11)

waarbij we noteren dat

ψ (x, t) = −=Aei(kx−ωt) (1.12)

De reden waarom er eerder in de complexe vorm wordt gewerkt dan in de reele vorm van een functie,

is omdat de berekeningen zoals differentieren en integreren veel meer kunnen worden vereenvoudigd.

Golven in klassieke fysica hebben reele amplituden omdat hun amplituden rechtstreeks gelinkt wor-

den aan observeerbare parameters. De amplitude van een geluidsgolf is de lokale druk dat komt van

de expansie of compressie van het medium waardoorheen de golf passeert. In kwantummechanica

zijn de observeerbare parameters gerelateerd aan |ψ (x, t)|2 eerder dan aan ψ (x, t). Daar |ψ (x, t)|2

altijd reeel is, kan ψ (x, t) complex zijn en zijn de observeerbare parameters geassocieerd met de

golffunctie nog altijd reeel.

Voor de complexe functie

f (x, t) = Aei(kx−ωt)

1.4. Het poolcoordinatensysteem 15

−1

−0.5

0

0.5

1

0 2 4 6 8 10 12 14

−=f(x, t) <f(x, t)

Am

pli

tud

e/A

ωt

Figuur 1.11: De reele en de imaginaire delen van Aei(kx−ωt) als een functie van ωt voor x = 0.

is

zz∗ = ψ (x, t)ψ∗(x, t) = Aei(kx−ωt)A∗e−i(kx−ωt) = AA∗

zodat de grootte van de functie een constante is en niet afhangt van t of x. Figuur 1.11 toont

de reele en imaginaire delen van Aei(kx−ωt). De figuur toont de amplituden van de reele en de

imaginaire delen als een functie van ωt voor x = 0.

1.4 Het poolcoordinatensysteem

We zagen reeds hoe een complex getal kan worden uitgezet in een Argand diagram en we noteerden

de analogie met het poolcoordinatensysteem. Daar het leren nadenken over symmetrie voor een

chemicus essentieel is om bijvoorbeeld de vormen van orbitalen beter te kunnen begrijpen, zullen

we ( tegen alle conventies in) nu iets dieper ingaan op deze poolcoordinaten.

1.4.1 Van Cartesische coordinaten naar poolcoordinaten

Figuur 1.12 is in principe analoog aan Figuur 1.1, maar we zullen nu de transformatie van de

Cartesische coordinaten naar de poolcoordinaten beschrijven [8]. Hiervoor wordt in Figuur 1.12 in

het vlak een oorsprong O gekozen en een halve rechte d. Een punt P in het vlak wordt volledig

bepaald door de afstand d(O,P ) = r waarbij de hoek θ is ingesloten door de halve rechte d en OP .

De poolcoordinaten van P zijn (r, θ). Poolcoordinaten kunnen bepaald worden uit de Cartesische


P

d

x

y

y

x

r

θ

O

Figuur 1.12: Van Cartesische coordinaten (x, y) naar poolcoordinaten (r, θ).

coordinaten met de keuze van de halve rechte d voor x-as en O als de oorsprong zodat

cos θ =x

r⇒ x = r cos θ

sin θ =y

r⇒ y = r sin θ

en omgekeerd

r =√x2 + y2

θ = arctany

x

1.4.2 De coordinatenlijnen in het poolcoordinatensysteem

Bijzonder interessant wordt het wanneer we de twee coordinaten C1 = r en C2 = θ gaan uitzetten

in het vlak. De coordinatenlijnen komen nu overeen met concentrische cirkels waarbij de oorsprong

O het middelpunt is en C1 de straal van de halve rechten door de oorsprong die een hoek C2 maken

met de poolas zoals dit is gevisualiseerd in Figuur 1.13.7 Een kromme wordt dan gedefinieerd door

een functie f(θ) zodat r = f(θ) waarbij (r, θ) de poolcoordinaten zijn van een punt op de kromme.

Aan de hand van enkele voorbeelden zullen we inzien waarom het zo interessant wordt voor de

chemicus om grafieken uit te zetten in dit poolcoordinatensysteem.

1.4.3 Enkele functies uitgezet in het poolcoordinatensysteem

Om de sterkte van het poolcoordinatensysteem te tonen, beschouwen we eerst de visualisatie van

de functie r = f(θ) = sin θ in het interval 0 ≤ θ ≤ 360. Daar y = r sin θ, geldt dat

sin θ =y

r=

y√x2 + y2

= r =√x2 + y2

⇒ y = x2 + y2

7Figuur 1.13 met de coordinatenlijnen in het poolcoordinatensysteem is geınspireerd op de TikZ-figuur die werd

ontworpen door Zoran Nikolic (http://www.texample.net/tikz/examples/polar-coordinates-template).

http://www.texample.net/tikz/examples/polar-coordinates-template


1 2 30

15

30

45

607590105

120

135

150

165

180

195

210

225

240

255 270 285300

315

330

345

Figuur 1.13: De coordinatenlijnen in het poolcoordinatensysteem komen overeen met concentrische cirkels.

⇒(y2 − y

)+ x2 = 0

⇒

y2 − 2 · 1

2y +

1

4︸︷︷︸(y−1/2)2

−1

4

+ x2 = 0

⇒(y − 1

2

)2

−(

1

2

)2

+ x2 = 0

⇒(y − 1

2

)2

+ x2 =

(1

2

)2

De functie r = f(θ) = sin θ stelt bijgevolg een cirkel voor met middelpunt (0, 1/2) en straal r = 1/2.

Tabel 1.1: Enkele uitgerekende waarden voor r = sin θ en r = sin 2θ.

θ r = sin θ r = sin 2θ θ r = sin θ r = sin 2θ

0 0.000 0.000 180 0.000 0.000

30 0.500 0.866 210 −0.500 0.866

60 0.866 0.866 240 −0.866 0.866

90 1.000 0.000 270 −1.000 0.000

120 0.866 −0.866 300 −0.866 −0.866

150 0.500 −0.866 330 −0.500 −0.866


Met behulp van enkele waarden die werden uitgerekend in Tabel 1.1, kan de functie worden gesimu-

leerd en is deze gevisualiseerd in Figuur 1.14. We wisten reeds dat we een cirkel moesten bekomen,

maar met het poolcoordinatensysteem hebben we nu wel een uitstekend instrument om verschil-

lende functies te gaan uitzetten die we vervolgens met elkaar kunnen vergelijken zodat de invloed

van een wijziging in een coordinaat kan worden bestudeerd. Varieren we de coordinaat θ naar 2θ,

0

30

6090

120

150

180

210

240

270300

330

0 0.5 1

Figuur 1.14: Simulatie van de functie r = sin θ in het poolcoordinatensysteem. De coordinaten (r, θ) uit

Tabel 1.1 zijn eveneens gevisualiseerd.

dan kunnen we de functie r = f(θ) = sin 2θ in het interval 0 ≤ θ ≤ 360 visualiseren. Enkele

waarden voor deze functie werden uitgerekend en staan weergegeven in Tabel 1.1. De simulatie van

deze functie is uitgezet in Figuur 1.15 waarbij we opmerken dat het tweemaal vermenigvuldigen

van van de coordinaat θ zal leiden tot een viertal lobben. Het zal blijken dat het uitzetten van

functies in het poolcoordinatensysteem voor de chemicus bijzonder waardevol is.

In inleidende cursussen over scheikunde, worden de s, p, d en f -orbitalen geassocieerd met atomen

in het periodiek systeem. Het poolcoordinatensysteem zal ons helpen om te begrijpen waarom een

s-orbitaal sferisch symmetrisch moet zijn en waarom de p-orbitalen haltervorming worden voorge-

steld. In de cursus Nanotechnologie worden de sferische harmonische golffuncties Y mll voor het

waterstofatoom geıntroduceerd waarbij l en ml kwantumgetallen zijn die respectievelijk de vorm

en de orientatie van de orbitalen beschrijven. Voor de wiskundige analyse van het waterstofatoom

wordt er echter gewerkt in een driedimensioneel systeem waarbij de derde dimensie in het Car-

tesiaans assenstelsel conventioneel als de z-as wordt aangeduid. Echter, zonder hier nu reeds al

te diep op in te gaan, kunnen we toch proberen om enkele sferische harmonische golffuncties in

het beschreven tweedimensioneel poolcoordinatensysteem te visualiseren zodat we reeds een idee

kunnen induceren over de vorm van de wiskundige functies behorende bij de orbitalen. We kiezen


0

30

6090

120

150

180

210

240

270300

330

Figuur 1.15: Simulatie van de functie r = sin 2θ in het poolcoordinatensysteem met de weergave van enkele

coordinaten (r, θ) uit Tabel 1.1.

de sferisch harmonische golffuncties die geassocieerd zijn met de pz- en de dz2-orbitalen, namelijk

pz = Y 01 =

√3

4πcos θ

dz2 = Y 02 =

√5

16π

(3 cos2 θ − 1

)waarbij

√3/4π en

√5/16π normalizatieconstanten zijn waar we in dit hoofdstuk niet verder op

ingaan, maar die verder nog aan bod komen. Voordat we de sferisch harmonische golffuncties be-

horende bij de dz2- en de pz-orbitalen uitzetten, merken we ook nog op dat de hoek θ in principe

conventioneel wordt voorgesteld tussen de derde dimensie (z-as) en de afstand d(O,P ) in de trans-

formatie van het driedimensioneel Cartesiaans assenstelsel naar het bolcoordinatensysteem. In het

tweedimensioneel poolcoordinatensysteem hebben we de hoek θ echter voorgesteld tussen de x-as

en de afstand d(O,P ).

Om nu de sferisch harmonische golffunctie behorende bij het pz-orbitaal uit te zetten in Figuur 1.16a,

is het noodzakelijk om te weten dat cos θ positief is in het interval 0 ≤ θ ≤ 90 alsook in het in-

terval 270 < θ ≤ 360 en dat cos θ negatief is in het interval 90 < θ ≤ 270. Deze positieve en

negatieve waarden voor de wiskundige functie behorende bij het pz-orbitaal in het tweedimensioneel

poolcoordinatensysteem is moeilijk te visualiseren, maar het geeft ons wel een eerste idee over de

mogelijke vorm van het pz-orbitaal. In Figuur 1.16b zetten we het kwadraat uit van de sferisch

harmonische golffunctie (∣∣Y 0

1

∣∣2) behorende bij het pz-orbitaal. De haltervorm met twee gekleurde

lobben geassocieerd met de positieve waarden (rood) en de negatieve waarden (blauw), worden nu

heel duidelijk zichtbaar. Het begrip nodaal vlak is de plaats waar er geen waarschijnlijkheid bestaat

om het elektron te kunnen terugvinden. We zien in Figuur 1.16b dit nodaal vlak in de overgang


0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

0 0.2 0.4

(a) Y 01

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

0 0.1 0.2

(b)∣∣Y 0

1

∣∣2Figuur 1.16: Simulatie van de sferische harmonische golffunctie Y 0

1 als representatie voor het pz-orbitaal.

De positieve waarden (rood) overlappen met de negatieve waarden (blauw) zodat de gecombineerde kleur

(paars) is gevisualiseerd in het poolcoordinatensysteem. Om de haltervorm te bekomen, nemen we het

kwadraat (de waarschijnlijkheid) van Y 01 .

tussen de rode en de blauwe lobbe.

In Figuur 1.17a wordt de sferische harmonische golffunctie Y 02 in het tweedimensioneel

poolcoordinatensysteem als representatie voor het dz2-orbitaal getoond. De positieve waarden die

in het rood staan weergegeven, zijn de waarden die bekomen werden in de intervallen 0 ≤ θ < 55,

125 < θ < 235 en 305 < θ ≤ 360. De negatieve waarden die in het blauw staan weergegeven,

zijn de waarden die bekomen werden in de intervallen 55 ≤ θ ≤ 125 en 235 ≤ θ ≤ 235. In

Figuur 1.17b wordt eveneens de bijbehorende waarschijnlijkheidsverdeling∣∣Y 0

2

∣∣21.4.4 Bolcoordinaten

Zoals we in de vorige paragraaf reeds vooropstelden, zal de wiskundige beschrijving voor het wa-

terstofatoom uiteindelijk niet in het poolcoordinatensysteem worden uitgedrukt, maar zal er wel

gebruik worden gemaakt van een transformatie van Cartesische coordinaten naar bolcoordinaten

of sferische coordinaten zoals dit wordt gevisualiseerd in Figuur 1.12. We hebben in het geval van

bolcoordinaten

r =√x2 + y2 + z2

x = r sin θ cosφ

y = r sin θ sinφ

z = r cos θ

(1.13)


0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

0 0.2 0.4 0.6

(a) Y 02

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

0 0.1 0.2 0.3 0.4

(b)∣∣Y 0

2

∣∣2Figuur 1.17: Een simulatie van de sferische harmonische golffunctie Y 0

2 als representatie voor het dz2-

orbitaal en een simulatie van de bijbehorende waarschijnlijkheidsverdeling∣∣Y 0

2

∣∣2.

x

y

z

P (r, θ, φ)

θ

φ

y

x

r

Figuur 1.18: Van Cartesische coordinaten naar bolcoordinaten.


Enkele sferische harmonische golffuncties als representatie voor de s-, pz-, dxz- en f5z3−3zr2-orbitalen

worden uitgezet in Figuur 1.19. Het is duidelijk uit deze afbeelding dat het s-orbitaal sferisch wordt

voorgesteld en het pz-orbitaal haltervormig is. Belangrijk om op te merken is dat dergelijke simula-

Figuur 1.19: Simulaties in Gnuplot van de sferische harmonische golffuncties als representatie voor de s-,

pz-, dxz- en f5z3−3zr2 -orbitalen. De kleuren zijn willekeurig gekozen.

ties ons geenszins uitleg verschaffen over de afstand van het elektron tot de kern. Hiervoor moeten

de radiale golffuncties in beschouwing worden genomen. Een uitvoerige analyse kan men vinden in

Referentie [9] waar Ian J. Rhile een grote reeks visualisaties van atomaire waterstoforbitalen (s, p,

d, f en g) heeft gegenereerd via Gnuplotsimulaties.

Bibliografie

[1] Eric W. Weisstein. “Argand Diagram.”From MathWorld–A Wolfram Web Resource. http:

//mathworld.wolfram.com/ArgandDiagram.html.

[2] Leopold Verstraelen. Aanvullingen van Hogere Wiskunde. Uitgeverij Leuven Wouters, 1993.

[3] Edward Jennekens and Gustaaf Deen. Wiskunde 5 – Algebra II. Uitgeverij De Sikkel, n.v.,

1988.

[4] Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, and Matthew L. Sands. The Feynman Lectures on

Physics. Addison-Wesley Publishing Co., Inc., 1963. http://www.feynmanlectures.caltech.edu.

[5] Eric W. Weisstein. “Euler Formula.”From MathWorld–A Wolfram Web Resource. http://

mathworld.wolfram.com/EulerFormula.html.

http://mathworld.wolfram.com/ArgandDiagram.html

http://mathworld.wolfram.com/ArgandDiagram.html

http://www.feynmanlectures.caltech.edu

http://mathworld.wolfram.com/EulerFormula.html

http://mathworld.wolfram.com/EulerFormula.html

Bibliografie 23

[6] https://www.khanacademy.org/math/algebra-home/precalculus/

imaginary-and-complex-numbers.

[7] Arnout J. Ceulemans. Group Theory Applied to Chemistry. Springer, 2013.

[8] Leopold Verstraelen. Hogere Wiskunde Deel 1 – Reele analyse – Functies van een veranderlijke.

Uitgeverij Leuven Wouters, 1997.

[9] Ian J. Rhile. Visualization of a Large Set of Hydrogen Atomic Orbital Contours Using New and

Expanded Sets of Parametric Equations. Journal of Chemical Education, 91(10):1739–1741,

2014. http://pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/ed500470q.

https://www.khanacademy.org/math/algebra-home/precalculus/imaginary-and-complex-numbers

https://www.khanacademy.org/math/algebra-home/precalculus/imaginary-and-complex-numbers

http://pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/ed500470q

Hoofdstuk 2

Differentiaalrekening

2.1 De eerste afgeleide van een functie

De eerste afgeleide van een functie f(x) wordt genoteerd als f ′(x) of df(x)/dx en gedefinieerd

door [1]

f ′(x) =df(x)

dx= lim

h→0

f(x+ h)− f(x)

h(2.1)

De eerste afgeleide van een functie heeft als fysische interpretatie de helling van de functie die wordt

geevalueerd op de positie waarin men is geınteresseerd. Wanneer we df(x)/dx willen definieren in

een interval in x, moet f(x) continu zijn in het interval. De vergelijking van de raaklijn aan de

functie f(x) die differentieerbaar is in het punt x1 wordt gegeven door [1]

y − y1 = f ′(x1) · (x− x1) met y1 = f(x1) (2.2)

We nemen als wiskundig voorbeeld de helling van de raaklijn aan de functie y = f(x) = x2 in

het punt x1 = 2 in Figuur 2.1. Voor deze functie berekenen we eerst de afgeleide met behulp van

Vergelijking 2.1.

df(x)

dx=dx2

dx= lim

h→0

(x+ h)2 − (x)2

h= lim

h→0

2hx+ h2

h= lim

h→02x+ h = 2x

Om de raaklijn te berekenen in het punt x = 2, maken we gebruik van Vergelijking 2.2.

f(x) = x2 x1 = 2 y1 = 4

f ′(x) = 2x f ′(x1) = f ′(2) = 4

De vergelijking voor de raaklijn wordt vervolgens

y − 4 = 4 · (x− 2) ⇒ y = 4x− 4

2.2 Rekenregels voor differentieren

Hoewel de afgeleide van een functie steeds kan berekend worden met behulp van Vergelijking 2.1,

is dit meestal een omslachtige procedure. Er zijn echter verschillende rekenregels die toelaten om

op een eenvoudigere manier te differentieren [2].

25

26 Hoofdstuk 2. Differentiaalrekening

x

y = f(x)

(2, 4)

−10

−5

0

5

10

15

20

−6 −4 −2 0 2 4 6

Figuur 2.1: De raaklijn aan f(x) = x2 in het punt x = 2.

2.2.1 Algemene rekenregels

Wanneer a een constante is en n > 0, dan geldt

d (axn)

dx= anxn−1 (2.3)

Voorbeeld 2.1

We bepalen de afgeleide functie (f ′(x)) van

f(x) =√

3x4/3

f ′(x) =df(x)

dx=d(√

3x4/3)

dx=√

3(4/3)x1/3

Voorbeeld 2.2

We bepalen de afgeleide functie van

f(x) = aebx

waarbij a en b constanten zijn.df(x)

dx=d(aebx

)dx

= abebx (2.4)

Voorbeeld 2.3


f(x) = 5e3√2x

df(x)

dx=d(

5e3√2x)

dx= 15

√2e3√2x

2.2. Rekenregels voor differentieren 27

De sinusfunctie kan men overal differentieren met de cosinusfunctie als afgeleide functie. We schrij-

vend (a sinx)

dx= a cosx (2.5)

waarbij a een constante is. De cosinusfunctie is eveneens overal differentieerbaar waarbij de afgeleide

functie de tegengestelde van de sinusfunctie zal zijn. We schrijven

d (a cosx)

dx= −a sinx (2.6)

waarbij a een constante is.

De logaritmische functie is differentieerbaar in elk punt van haar domein.

d (loga x)

dx=

1

x · ln ad (lnx)

dx=

1

x

(2.7)

waarbij a een constante is. Voor a = e geldt dat ln a = ln e = 1.

De exponentiele functie met grondtal a is overal differentieerbaar.

d (ax)

dx= ax · ln a

d (ex)

dx= ex

(2.8)

Voor a = e geldt opnieuw dat ln a = ln e = 1.

2.2.2 De afgeleide van een som, een product en quotient van twee functies

Als twee functies f en g differentieerbaar zijn in een punt x, dan is ook de functie f + g differenti-

eerbaar in dit punt x en geldt voor de afgeleide functies

(f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x) (2.9)

Voorbeeld 2.4


f(x) =2

3x3 + 5x2

df(x)

dx=

d

(2

3x3 + 5x2

)dx

=d

2

3x3

dx+d5x2

dx=

2

3· 3x2 + 5 · 2x = 2x2 + 10x

Als twee functies f en g differentieerbaar zijn in een punt x, dan is ook de functie f · g differenti-

eerbaar in dit punt x en geldt voor de afgeleide functies

(f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x) (2.10)


Voorbeeld 2.5


f(x) = (x2 + 1)(x3 − 7)

df(x)

dx=d(x2 + 1)

dx· (x3 − 7) + (x2 + 1) · d(x3 − 7)

dx

= 2x · (x3 − 7) + (x2 + 1) · 3x2 = 2x4 − 14x+ 3x4 + 3x2

= 5x4 + 3x2 − 14x

Als twee functies f en g differentieerbaar zijn in een punt x en als g(x) 6= 0, dan is ook de functie

f/g differentieerbaar in dit punt x en geldt voor de afgeleide functies(f

g

)′(x) =

f ′(x) · g(x)− f(x) · g′(x)

[g(x)]2(2.11)

Voorbeeld 2.6


f(x) =3x− 2

x3 + 3x2

Volgens de definitie (Vergelijking 2.11) kunnen we de afgeleide functie berekenen als

df(x)

dx=

d(3x− 2)

dx· (x3 + 3x2)− (3x− 2) · d(x3 + 3x2)

dx(x3 + 3x2)2

=3 · (x3 + 3x2)− (3x− 2) ·

(3x2 + 6x

)x6 + 6x5 + 9x4

=3x3 + 9x2 −

(9x3 + 18x2 − 6x2 − 12x

)x4 (x2 + 6x+ 9)

=3x3 + 9x2 − 9x3 − 12x2 + 12x

x4 (x+ 3)2=−6x3 − 3x2 + 12x

x4 (x+ 3)2

=3x(−2x2 − x+ 4

)x4 (x+ 3)2

=3(4− x− 2x2

)x3 (x+ 3)2

We zullen de oplossing voor deze afgeleide functie hernemen bij de voorbeelden die worden aange-

haald ter illustratie van de kettingregel.

2.2.3 De afgeleide van een samengestelde functie of de kettingregel

Als de functie g differentieerbaar is in x en de functie f is differentieerbaar in g(x), dan is de

samengestelde functie f g differentieerbaar in x. Voor de afgeleide van f g in x geldt dat

(f g)′ (x) = f ′(g(x))g′(x) = (f ′ g)(x)g′(x) (2.12)

Een goed begrip van deze kettingregel voor de afgeleide van de samengestelde functie is van immens

belang en we zullen deze dan ook bewijzen volgens Referentie [2].

2.2. Rekenregels voor differentieren 29

Bewijs

Volgens de definitie van de eerste afgeleide (Vergelijking 2.1) is de afgeleide van de samengestelde

functie f g

d (f g) (x)

dx= lim

h→0

(f g) (x+ h)− (f g) (x)

h

= limh→0

f (g(x+ h))− f (g(x))

h

Er wordt nu gesteld dat u = g(x) en k = g(x+ h)− g(x). Daar de functie g differentieerbaar is in

x, moet de functie g bijgevolg ook continue zijn zodat

limh→0

(g(x+ h)) = g(x) en h→ 0⇔ k → 0

De eerste afgeleide van de samengestelde functie f g wordt vervolgens

limh→0

f (g(x+ h))− f (g(x))

h= lim

h→0

f (g(x+ h)− g(x) + g(x))− f (g(x))

h

= limh→0

f (k + u)− f (u)

h

= limh→0

f (u+ k)− f (u)

h

k

k

= limh→0

f (u+ k)− f (u)

k

k

h

= limh→0

f (u+ k)− f (u)

k· limh→0

k

h

= limk→0

f (u+ k)− f (u)

k· limh→0

g(x+ h)− g(x)

h

= f ′(u)g′(x) = f ′(g(x))g′(x) = (f ′ g)(x)g′(x)

We hebben dus afgeleid dat

d (f g) (x)

dx= (f g)′ (x) = f ′(g(x))g′(x)

Met behulp van de notatie u = g(x) kunnen we de kettingregel schrijven volgens de Leibniznotatie

d (f g) (x)

dx=df (g(x))

dx=df(u)

dx=df

du· dudx

(2.13)

De kettingregel volgens de Leibnitznotatie zullen we veelvuldig gebruiken. Het is dus van belang

om hier voldoende lang bij stil te blijven staan.

Voorbeeld 2.7


f(x) = (x2 + 1)4

df(x)

dx= 4

(x2 + 1

)3 · d (x2 + 1)

dx= 4

(x2 + 1

)3 · 2x = 8x(x2 + 1

)3


Voorbeeld 2.8


f(x) =1

x2 + 1

df(x)

dx=d(x2 + 1

)−1dx

= −1(x2 + 1

)−2 · d (x2 + 1)

dx= − 1

(x2 + 1)2· 2x = − 2x

(x2 + 1)2

Voorbeeld 2.9


f(x) =x2 + 1

3x4 − 2x

gebruik makend van de afgeleide van een product van twee functies en de kettingregel.

df(x)

dx=d[(x2 + 1

) (3x4 − 2x

)−1]dx

= 2x(3x4 − 2x

)−1+

[(x2 + 1

) d (3x4 − 2x)−1

dx

]

=2x

3x4 − 2x+

[(x2 + 1

)(−1)

(3x4 − 2x

)−2 d (3x4 − 2x)

dx

]

=2x

3x4 − 2x+

[(x2 + 1

)(−1)

(12x3 − 2

)(3x4 − 2x)2

]=

2x(3x4 − 2x

)(3x4 − 2x) (3x4 − 2x)

− 12x5 − 2x2 + 12x3 − 2

(3x4 − 2x)2

=6x5 − 4x2

(3x4 − 2x)2− 12x5 − 2x2 + 12x3 − 2

(3x4 − 2x)2=

6x5 − 4x2 − 12x5 + 2x2 − 12x3 + 2

(3x4 − 2x)2

=−6x5 − 12x3 − 2x2 + 2

(3x4 − 2x)2

Merk op dat we in principe de afgeleide functie voor het quotient van twee functies hebben afgeleid

met behulp van de afgeleide van het product van twee functies en de kettingregel. We kunnen

dus rechtstreeks met behulp van de definitie voor de afgeleide van het quotient van twee functies

(Vergelijking 2.11) de oplossing terugvinden.

df(x)

dx=

d(x2 + 1)

dx· (3x4 − 2x)− (x2 + 1) · d(3x4 − 2x)

dx(3x4 − 2x)2

=2x · (3x4 − 2x)− (x2 + 1) ·

(12x3 − 2

)(3x4 − 2x)2

=6x5 − 4x2 −

(12x5 − 2x2 + 12x3 − 2

)(3x4 − 2x)2

=6x5 − 4x2 − 12x5 − 12x3 + 2x2 + 2

(3x4 − 2x)2=−6x5 − 12x3 − 2x2 + 2

(3x4 − 2x)2

Voorbeeld 2.10

We hebben reeds de afgeleide functie van

f(x) =3x− 2

x3 + 3x2

bepaald volgens de definitie in Vergelijking 2.11 en de oplossing is

df(x)

dx=

3(4− x− 2x2

)x3 (x+ 3)2

2.3. Partiele afgeleiden 31

We kunnen de afgeleide functie ook vinden gebruik makend van de afgeleide van een product van

twee functies en de kettingregel.

df(x)

dx=d[(3x− 2)

(x3 + 3x2

)−1]dx

= 3(x3 + 3x2

)−1+

[(3x− 2)

d(x3 + 3x2

)−1dx

]

=3

x3 + 3x2+

[(3x− 2) (−1)

(x3 + 3x2

)−2 d (x3 + 3x2)

dx

]=

3

x3 + 3x2−

[(3x− 2)

(3x2 + 6x

)(x3 + 3x2)2

]

=3(x3 + 3x2

)(x3 + 3x2) (x3 + 3x2)

−[

9x3 + 18x2 − 6x2 − 12x

(x3 + 3x2)2

]=

3x3 + 9x2 − 9x3 − 12x2 + 12x

(x3 + 3x2)2

=−6x3 − 3x2 + 12x

x4 (x+ 3)2=

3x(−2x2 − x+ 4

)x4 (x+ 3)2

=3(4− x− 2x2

)x3 (x+ 3)2

Voorbeeld 2.11

We bepalen met behulp van de kettingregel de afgeleide functie van

f(x) = ln(x+

√x2 + 1

)

df(x)

dx=d[ln(x+√x2 + 1

)]dx

=1

x+√x2 + 1

d(x+√x2 + 1

)dx

=1

x+√x2 + 1

(dx

dx+d√x2 + 1

dx

)=

1

x+√x2 + 1

[1 +

1

2

(x2 + 1

)1/2−2/2 d(x2 + 1

)dx

]

=1

x+√x2 + 1

(1 +

2x

2√x2 + 1

)=

1

x+√x2 + 1

(√x2 + 1√x2 + 1

+x√

x2 + 1

)

=1

(((((((

x+√x2 + 1

(((((((√

x2 + 1 + x√x2 + 1

=1√

x2 + 1(2.14)

We kunnen deze functie die een samengestelde is van een logaritmische functie met een andere

functie uitbreiden voor elke waarde van een constante k zodat geldt dat

d ln(x+√x2 + k

)dx

=1√

x2 + k(2.15)

2.3 Partiele afgeleiden

2.3.1 De Cauchy-Riemann vergelijkingen

Van een complexe functie

w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y) (2.16)


wordt gezegd dat ze analytisch is in een gebied van C als u en v voldoen aan de vergelijkingen van

Cauchy-Riemann [3]

∂u

∂x=∂v

∂y(2.17)

∂u

∂y= −∂v

∂x(2.18)

waarbij de partiele afgeleiden continu zijn in een gebied van C zodat de vergelijkingen voldoende

voorwaarden vormen dat f(z) analytisch is in een gebied van C. Men spreekt dan ook van de

Cauchy-Riemann voorwaarden.

2.3.2 De Cauchy-Riemann vergelijkingen in polaire vorm

In polaire vorm worden de Cauchy-Riemann vergelijkingen van een complexe functie f(z) = u+ iv

∂u

∂ρ=

1

ρ

∂v

∂θ

∂v

∂ρ= −1

ρ

∂u

∂θ

We zullen de Cauchy-Riemann vergelijkingen in polaire vorm bewijzen omdat het bewijs een leuke

oefening is in het partieel differentieren en in het gebruik van de kettingregel. Om de polaire vorm

van een complex getal te vinden, maken we gebruik van het verband tussen Cartesische coordinaten

in het vlak en de poolcoordinaten (ρ, θ) volgens Figuur 2.2. We vinden dat

z = (x, y) = x+ iy

<z

=z

y

x

ρ

θ

O

Figuur 2.2: Het complexe getal in poolcoordinaten (ρ, θ).

cos θ =x

ρ⇒ x = ρ cos θ

sin θ =y

ρ⇒ y = ρ sin θ

en

ρ =√x2 + y2

2.3. Partiele afgeleiden 33

θ = arctany

x

We berekenen eerst ∂u/∂x en maken hierbij gebruik van de kettingregel

∂u

∂x=∂u

∂ρ

∂ρ

∂x+∂u

∂θ

∂θ

∂x

=∂u

∂ρ

∂√x2 + y2

∂x+∂u

∂θ

∂ arctany

x∂x

=∂u

∂ρ

1

2

(x2 + y2

)1/2−2/2 ∂ (x2 + y2)

∂x+∂u

∂θ

1

1 + (y/x)2

∂(yx

)∂x

=∂u

∂ρ

1

2

(x2 + y2

)−1/22x+

∂u

∂θ

1

1 + (y/x)2(y(−1)x−1−1

)=∂u

∂ρ

x√x2 + y2

+∂u

∂θ

−y(1 + y2/x2)x2

=∂u

∂ρcos θ − ∂u

∂θ

y

x2 + y2

=∂u

∂ρcos θ − ∂u

∂θ

y√x2 + y2

√x2 + y2

=∂u

∂ρcos θ − 1

ρ

∂u

∂θsin θ (2.19)

We berekenen vervolgens ∂u/∂y en maken hierbij opnieuw gebruik van de kettingregel

∂u

∂y=∂u

∂ρ

∂ρ

∂y+∂u

∂θ

∂θ

∂y

=∂u

∂ρ

∂√x2 + y2

∂y+∂u

∂θ

∂ arctany

x∂y

=∂u

∂ρ

1

2

(x2 + y2

)1/2−2/2 ∂ (x2 + y2)

∂y+∂u

∂θ

1

1 + (y/x)2

∂(yx

)∂y

=∂u

∂ρ

1

2

(x2 + y2

)−1/22y +

∂u

∂θ

1

1 + (y/x)21

x

=∂u

∂ρ

y√x2 + y2

+∂u

∂θ

1

x+ y2/x

=∂u

∂ρsin θ +

∂u

∂θ

x

x2 + y2

=∂u

∂ρsin θ +

∂u

∂θ

x√x2 + y2

√x2 + y2

=∂u

∂ρsin θ +

1

ρ

∂u

∂θcos θ (2.20)

Op een volledig identieke wijze vinden we ∂v/∂x en ∂v/∂y

∂v

∂x=∂v

∂ρ

∂ρ

∂x+∂v

∂θ

∂θ

∂x


=∂v

∂ρcos θ − 1

ρ

∂v

∂θsin θ (2.21)

∂v

∂y=∂v

∂ρ

∂ρ

∂y+∂v

∂θ

∂θ

∂y

=∂v

∂ρsin θ +

1

ρ

∂v

∂θcos θ (2.22)

Als we gebruik maken van Vergelijkingen 2.19 en 2.22, leidt de Cauchy Riemann voorwaarde uit

Vergelijking 2.17 tot

∂u

∂x=∂v

∂y

∂u

∂ρcos θ − 1

ρ

∂u

∂θsin θ =

∂v

∂ρsin θ +

1

ρ

∂v

∂θcos θ

∂u

∂ρcos θ − 1

ρ

∂u

∂θsin θ − ∂v

∂ρsin θ − 1

ρ

∂v

∂θcos θ = 0(

∂u

∂ρ− 1

ρ

∂v

∂θ

)cos θ −

(∂v

∂ρ+

1

ρ

∂u

∂θ

)sin θ = 0 (2.23)

Gebruik makende van Vergelijkingen 2.20 en 2.21, leidt de Cauchy Riemann voorwaarde uit Ver-

gelijking 2.18 tot

∂u

∂y= −∂v

∂x

∂u

∂ρsin θ +

1

ρ

∂u

∂θcos θ = −∂v

∂ρcos θ +

1

ρ

∂v

∂θsin θ

∂u

∂ρsin θ +

1

ρ

∂u

∂θcos θ +

∂v

∂ρcos θ − 1

ρ

∂v

∂θsin θ = 0(

∂u

∂ρ− 1

ρ

∂v

∂θ

)sin θ +

(∂v

∂ρ+

1

ρ

∂u

∂θ

)cos θ = 0 (2.24)

We tellen nu Vergelijking 2.23 op met Vergelijking 2.24 nadat we ze respectievelijk hebben verme-

nigvuldigd met cos θ en sin θ. Deze bewerking resulteert in(∂u

∂ρ− 1

ρ

∂v

∂θ

)cos2 θ

−(∂v

∂ρ+

1

ρ

∂u

∂θ

)sin θ cos θ +

(∂u

∂ρ− 1

ρ

∂v

∂θ

)sin2 θ

+

(∂v

∂ρ+

1

ρ

∂u

∂θ

)cos θ sin θ = 0

(∂u

∂ρ− 1

ρ

∂v

∂θ

)cos2 θ + sin2 θ︸︷︷︸=1

= 0

∂u

∂ρ− 1

ρ

∂v

∂θ= 0

dat de eerste Cauchy Riemann voorwaarde is in poolcoordinaten. Als we Vergelijking 2.23 optellen

met Vergelijking 2.24 nadat we ze respectievelijk hebben vermenigvuldigd met − sin θ en cos θ, zal

dit resulteren in

−(∂u

∂ρ− 1

ρ

∂v

∂θ

)cos θ sin θ +

(∂v

∂ρ+

1

ρ

∂u

∂θ

)sin2 θ

+

(∂u

∂ρ− 1

ρ

∂v

∂θ

)sin θ cos θ +

(∂v

∂ρ+

1

ρ

∂u

∂θ

)cos2 θ = 0

Bibliografie 35

(∂v

∂ρ+

1

ρ

∂u

∂θ

)sin2 θ + cos2 θ︸︷︷︸=1

= 0

∂v

∂ρ+

1

ρ

∂u

∂θ= 0

dat de tweede Cauchy Riemann voorwaarde is in poolcoordinaten.

Bibliografie

[1] E. Jennekens and G. Deen. Wiskunde 5 – Analyse I. Uitgeverij De Sikkel, n.v., 1989.



[3] Leopold Verstraelen. Aanvullingen van Hogere Wiskunde. Uitgeverij Leuven Wouters, 1993.

Hoofdstuk 3

Integraalrekening

3.1 Bepaalde en onbepaalde integralen

In veel gebieden van de fysische chemie is de eigenschap waarin we geınteresseerd zijn de integraal

van een functie over een interval aan een veranderlijke of variabele. De totale waarschijnlijkheid

om bijvoorbeeld een deeltje in een interval 0 ≤ x ≤ a te vinden, is gelijk aan de integraal van de

waarschijnlijkheidsverdeling P (x) aan dit gesloten interval

Ptotaal =

∫ a

0P (x)dx

Meetkundig is de integraal van een functie over een gesloten interval de oppervlakte onder de curve

die de functie beschrijft [1, 2]. In Figuur 3.1 wordt de functie f(x) = x3− 5x uitgezet. De bepaalde

integraal aan het gesloten interval −2.3 ≤ x ≤ 2.3 is de som van oppervlakten van de individuele

rechthoeken in de limiet wanneer de breedte van de rechthoeken nul zal benaderen. Wanneer de

rechthoeken zich onder de nullijn bevinden, zal de bekomen oppervlakte onder de nullijn negatief

zijn. Wanneer de rechthoeken zich boven de nullijn bevinden, zal de bekomen oppervlakte boven de

nullijn positief zijn. We kunnen in dit geval, waarbij f(x) een oneven functie is van x, besluiten dat

de totale oppervlakte nul moet zijn omdat de totale negatieve oppervlakte gelijk is aan de totale

positieve oppervlakte. We schrijven de bepaalde integraal van de functie f(x) = x3 − 5x aan het

gesloten interval −2.3 ≤ x ≤ 2.3 als ∫ 2.3

−2.3x3 − 5x dx = 0

De integraal van een functie f(x) kan eveneens verstaan worden als een primitieve functie of het

omgekeerde van de afgeleide van de functie. We kunnen dan de integraal definieren door de relatie

f(x) =

∫df(x)

dxdx (3.1)

en de functie die verschijnt onder het integraalteken wordt de integrand genoemd.

Wanneer de integraal wordt geınterpreteerd in termen van oppervlakte, evalueren we een bepaalde

integraal over een gesloten interval. Het interval is niet gesloten voor een onbepaalde integraal.

37

38 Hoofdstuk 3. Integraalrekening

x

y = f(x)

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

−2 −1 0 1 2

Figuur 3.1: De oppervlakte onder de curve die de functie x3 − 5x beschrijft, is de som van de rechthoeken

in de limiet wanneer de breedte van de rechthoeken nul zal benaderen.

De meetkundige interpretatie is dikwijls nuttig om een integraal te bekomen uit experimentele

data waarbij de functionele vorm van de integrand niet gekend is. Voor onze doeleinden zal de

interpretatie van de integraal als een primitieve functie meer bruikbaar zijn. De waarde van de

onbepaalde integraal∫x3 − 5x dx is dat de functie, wanneer gedifferentieerd, de integrand zal

opleveren. Dankzij de regels om af te leiden, kunnen we de onbepaalde integraal berekenen en

verifieren dat

∫x3 − 5x dx =

x4

4− 5x2

2+ C

Belangrijk om op te merken is dat in de evaluatie van elke onbepaalde integraal er een constante

verschijnt [2]. Door het afleiden van de functie die werd bekomen na de integratie, zal het invullen

van eender welke constante leiden naar dezelfde integrand. De bepaalde integraal zal echter geen

constante uitkomen. We kunnen de bepaalde integraal uit het voorbeeld evalueren

∫ 2.3

−2.3x3 − 5x dx =

(x4

4− 5x2

2+ C

)x=2.3

−(x4

4− 5x2

2+ C

)x=−2.3

= 0

We zien dat de constante verdwijnt en omdat de functie die wordt bekomen na integratie een even

functie is van x, is de integraal gelijk aan nul zoals we reeds zagen in de meetkundige interpretatie

van de integraal.

3.2. Integratietechnieken 39

3.2 Integratietechnieken

3.2.1 De substitutiemethode

Heeft de functie f(u) een primitieve functie g(x) die differentieerbaar is in alle beschouwde punten,

dan geldt dat [3] ∫f (g (x)) · dg (x)

dxdx =

∫f (g (x)) dg (x) =

∫f (u) du (3.2)

Voorbeeld 3.1

We berekenen ∫ (x2 + 1

)32x dx (3.3)

We kunnen expliciet de subsitutie doorvoeren en stellen dat

u = x2 + 1 metdu

dx= 2x

Integraal 3.3 wordt dan ∫ (x2 + 1

)32x dx =

∫u3du

dxdx =

∫u3du

=u4

4+ C =

1

4

(x2 + 1

)4+ C

We kunnen de term 2x ook meteen achter het differentiaalteken brengen

2x dx = d(x2 + 1

)zodat Integraal 3.3 wordt herleid tot∫ (

x2 + 1)3

2x dx =

∫ (x2 + 1

)3d(x2 + 1

)=

∫u3du

Voorbeeld 3.2

We berekenen ∫x

1 + x2dx (3.4)

We voeren expliciet de subsitutie door en stellen dat

u = 1 + x2 metdu

dx= 2x⇒ x =

du

2dx

Integraal 3.4 wordt dan ∫x

1 + x2dx =

∫1

u

du

2dxdx =

1

2

∫1

udu

=1

2lnu+ C =

1

2ln(1 + x2

)+ C


Voorbeeld 3.3

We berekenen ∫e3x−1 dx (3.5)

We voeren expliciet de subsitutie door en stellen dat

u = 3x− 1 metdu

dx= 3⇒ du = 3dx⇒ dx =

du

3

Integraal 3.5 wordt dan ∫e3x−1 dx =

∫eudu

3=

1

3

∫eu du

=1

3eu + C =

1

3e(3x−1) + C

Voorbeeld 3.4

We berekenen ∫cos2 x dx (3.6)

Om deze integraal te berekenen, maken we gebruik van de goniometrische formule

cos2 x =1 + cos 2x

2

zodat Integraal 3.6 geschreven kan worden als∫cos2 x dx =

∫1 + cos 2x

2dx

=1

2

∫dx+

1

2

∫cos 2x dx

We voeren voor de laatst bekomen integraal expliciet de subsitutie door en stellen dat

u = 2x metdu

dx= 2⇒ du = 2dx⇒ dx =

du

2

zodat ∫cos 2x dx =

∫cosu

du

2=

1

2

∫cosu du

=1

2sinu+ C

=1

2sin 2x+ C

Gebruik makende van de goniometrische formule

sin 2x = 2 sinx cosx

wordt Integraal 3.6 ∫cos2 x dx =

1

2x+

1

2

1

2sin 2x+ C


=1

2x+

1

4sin 2x+ C

=1

2x+

1

42 sinx cosx+ C

=1

2x+

1

2sinx cosx+ C

zodat we een belangrijke formule bekomen∫cos2 x dx =

1

2(x+ sinx cosx) + C (3.7)

Op analoge wijze kunnen we gebruik makende van de goniometrische formule

sin2 x =1

2(1− cos 2x)

vinden dat ∫sin2 x dx =

1

2(x− sinx cosx) + C (3.8)

Voorbeeld 3.5

We berekenen ∫secx tanx dx (3.9)

In goniometrie kunnen de goniometrische functies worden uitgedrukt in termen van sinussen of

cosinussen. Daar de secans wordt gedefineerd als secx = 1/ cosx en de tangens gedefinieerd als

tanx = sinx/ cosx, kunnen we Vergelijking 3.9 schrijven als∫secx tanxdx =

∫1

cosx

sinx

cosxdx =

∫sinx

cos2 xdx

We voeren nu expliciet de subsitutie door en stellen dat

u = cosx metdu

dx= − sinx⇒ dx = − du

sinx

zodat ∫sinx

cos2 xdx =

∫sinx

u2

(− du

sinx

)= −

∫u−2 du

= − u−2+1

−2 + 1+ C =

1

u+ C

=1

cosxx+ C = secx+ C

Voorbeeld 3.6

We berekenen ∫secx dx (3.10)


Het oplossen van deze integraal is niet zo vanzelfsprekend zonder het kennen van de truc uit

Referentie [2].

secx =secx (tanx+ secx)

secx+ tanx=

secx tanx+ sec2 x

secx+ tanx

In deze vorm is de teller de afgeleide van de noemer.

d secx+ tanx

dx=d secx

dx+d tanx

dx=

sinx

cos2 x+

1

cos2 x= secx tanx+ sec2 x

Met het doorvoeren van de subsitutie

u = secx+ tanx metdu

dx= secx tanx+ sec2 x⇒ dx =

du

secx tanx+ sec2 x

kan Integraal 3.10 nu geschreven worden als∫secx dx =

∫secx tanx+ sec2 x

secx+ tanxdx

=

∫(((

(((((((

secx tanx+ sec2 x

u

(du

(((((((

(((secx tanx+ sec2 x

)=

∫du

u

= ln |u|+ C

De oplossing voor Integraal 3.10 is∫secx dx = ln |secx+ tanx|+ C (3.11)

Voorbeeld 3.7

We berekenen ∫dx√x2 + 1

(3.12)

In het hoofdstuk over differentieren zagen we dat de afgeleide functie van ln(x+√x2 + 1

)gelijk is

aan 1/√x2 + 1 (Vergelijking 2.14). Volgens Referentie [1] behoort de oplossing van Integraal 3.12

tot een van de basisformules binnen de integraalrekening, namelijk∫1√

x2 + kdx = ln

∣∣∣x+√x2 + k

∣∣∣+ C met k ∈ R (3.13)

We zullen Integraal 3.12 nu oplossen volgens Referentie [2] waarbij gebruik wordt gemaakt van de

substitutie door de tangens1. We proberen de volgende substitutie

x = tan θ metdx

dθ=

1

cos2 θ= sec2 θ ⇒ dx = sec2 θdθ

1Op zijn website ‘Voorbij Einstein’ ( http://www.voorbijeinstein.nl/html/wiskunde_integratiemethoden.

htm) heeft ingenieur Karel de Vlieger verschillende voorbeelden van substituties door goniometrische functies uitge-

werkt.

http://www.voorbijeinstein.nl/html/wiskunde_integratiemethoden.htm

http://www.voorbijeinstein.nl/html/wiskunde_integratiemethoden.htm


en

1 + x2 = 1 + tan2 θ =cos2 θ

cos2 θ+

sin2 θ

cos2 θ=

cos2 θ + sin2 θ

cos2 θ=

1

cos2 θ= sec2 θ

zodat Integraal 3.12 geschreven kan worden als∫dx√x2 + 1

=

∫sec2 θdθ√

sec2 θ= ±

∫sec θ dθ

We schrijven ± omdat de uitkomst afhankelijk is van het teken van sec θ dat we voor de duidelijkheid

uitzetten in Figuur 3.2 in het interval [−π, π]. We zien in Figuur 3.2 dat sec θ positief is als

−10

−5

0

5

10

−π −π2 0 π

2 π

secθ

θ

Figuur 3.2: Het uitzetten van de functie sec θ in het interval [−π, π]. De functie sec θ is positief als

−π/2 < θ < π/2.

−π2< θ <

π

2

Uit Vergelijking 3.11 weten we dat∫sec θ dθ = ln |sec θ + tan θ|+ C

We kunnen de oplossing voor Integraal 3.12 tenslotte schrijven als∫dx√x2 + 1

=

∫sec θ dθ

= ln |sec θ + tan θ|+ C

= ln∣∣∣√x2 + 1 + x

∣∣∣+ C (3.14)


3.2.2 Partiele integratie

Partiele integratie heeft als doelstelling om een gegeven integraal zodanig om te vormen tot een

integraal die men gemakkelijker kan bepalen.

Als f(x) en g(x) differentieerbare functies zijn in alle beschouwde punten, dan geldt dat [3]∫f(x) · dg(x)

dxdx = f(x)g(x)−

∫g(x)

df(x)

dxdx (3.15)

Wanneer we gebruik maken van de afkortingen

u = f(x) en v = g(x)

dan wordt Vergelijking 3.15 geschreven als∫udv

dxdx = uv −

∫vu

dxdx (3.16)

of ∫u dv = uv −

∫vdu (3.17)

Voorbeeld 3.8

We berekenen ∫lnx dx (3.18)

We stellen dat

u = lnx metdu

dx=

1

x⇒ du =

dx

xen v = x met

dv

dx= 1⇒ dv = dx

Integraal 3.18 wordt dan ∫lnx dx = lnx · x−

∫xdx

x

= x · lnx−∫dx

= x · lnx− x+ C

Voorbeeld 3.9

We berekenen ∫x2 ex dx (3.19)

We stellen dat

u = x2 metdu

dx= 2x⇒ du = 2x dx en v = ex met

dv

dx= ex ⇒ dv = exdx

Integraal 3.19 wordt dan∫x2 ex dx = x2 · ex −

∫ex 2x dx = x2 · ex − 2

∫x ex dx


De bekomen integraal is weliswaar eenvoudiger dan de initiele integraal, maar we kunnen deze nog

niet onmiddellijk integreren. Bijgevolg zullen we nog een tweede keer partieel integreren waarbij

we u1 en v1 op analoge wijze kiezen als bij de eerste partiele integratie. We stellen dat

u1 = x metdu1dx

= 1⇒ du1 = dx en v1 = ex metdv1dx

= ex ⇒ dv1 = exdx

Integraal 3.19 wordt vervolgens∫x2 ex dx = x2 · ex − 2

∫x ex dx

= x2 · ex − 2

(x · ex −

∫ex dx

)= x2 · ex − 2x · ex + 2

∫ex dx

= x2 · ex − 2x · ex + 2ex + C

=(x2 − 2x+ 2

)ex + C

Voorbeeld 3.10

We hernemen en berekenen met behulp van partieel integreren de belangrijke integraal∫sin2 x dx =

∫sinx sinx dx (3.20)

We stellen dat

u = sinx metdu

dx= cosx⇒ du = cosx dx

en

v = cosx metdv

dx= − sinx⇒ dv = − sinx dx

Integraal 3.20 wordt ∫sin2 x dx = −

∫sinx d cosx

= −[sinx cosx−

∫cosx d sinx

]= −

[sinx cosx−

∫cosx cosx dx

]= −

[sinx cosx−

∫cos2 x dx

]Met behulp van

cos2 x = 1− sin2 x

kunnen we schrijven dat∫sin2 x dx = −

[sinx cosx−

∫1− sin2 x dx

]= −

[sinx cosx−

∫dx+

∫sin2 x dx

]


= − sinx cosx+

∫dx−

∫sin2 x dx

We vinden de oorspronkelijke integraal terug in het rechterlid en brengen deze over naar het lin-

kerlid. In het rechterlid noteren we nu expliciet de integratieconstante.

2

∫sin2 x dx = − sinx cosx+ x+ C

zodat ∫sin2 x dx =

1

2(x− sinx cosx) + C

We bekomen uiteraard hetzelfde resultaat als reeds werd vooropgesteld in Vergelijking 3.8.

Voorbeeld 3.11

In kwantumchemie is het van belang om vlot integralen te kunnen berekenen en te interpreteren.

Integraal 3.8 zal men gebruiken als standaardintegraal om de normalisatievoorwaarde te berekenen

voor een deeltje in een eendimensionale doos met afmetingen x = 0 tot x = L. De normalisatie-

voorwaarde stelt dat de totale waarschijnlijkheid om een deeltje te vinden in de doos, gelijk is aan

een. ∫ L

0|ψn|2 dx = 1

met ψn de golffuncties die het deeltje in een eendimensionale doos beschrijven en die worden gere-

presenteerd door

ψn = C sinnπx

L

met c de constante die kan worden bepaald via normalisatie. De normalisatievoorwaarde wordt

vervolgens geschreven als

C2

∫ L

0sin2 nπx

Ldx = 1

We berekenen eerst via partiele integratie de bepaalde integraal∫ L

0sin2 nπx

Ldx (3.21)

We stellen dat

u = sinnπx

Lmet

du

dx=nπ

Lcos

nπx

L⇒ du =

nπ

Lcos

nπx

Ldx

en

v = cosnπx

Lmet

dv

dx= −nπ

Lsin

nπx

L⇒ dv = −nπ

Lsin

nπx

Ldx

Integraal 3.21 wordt vervolgens∫ L

0sin2 nπx

Ldx = − L

nπ

∫ L

0sin

nπx

L

(−nπL

)sin

nπx

Ldx

= − L

nπ

∫ L

0sin

nπx

Ld cos

nπx

L

Bibliografie 47

= − L

nπ

[sin

nπx

Lcos

nπx

L

∣∣∣L0−∫ L

0cos

nπx

Ld sin

nπx

L

]= − L

nπ

[(sin

nπL

Lcos

nπL

L− sin

nπ0

Lcos

nπ0

L

)−∫ L

0cos

nπx

Ld sin

nπx

L

]= − L

nπ

[(sinnπ cosnπ − sin 0 cos 0)−

∫ L

0cos

nπx

Ld sin

nπx

L

]= − L

nπ

[(0− 0)−

∫ L

0cos

nπx

Ld sin

nπx

L

]=

L

nπ

∫ L

0cos

nπx

L

nπ

Lcos

nπx

Ldx

=L

nπ

nπ

L

∫ L

0cos2

nπx

Ldx

=

∫ L

01− sin2 nπx

Ldx

=

∫ L

0dx−

∫ L

0sin2 nπx

Ldx

We vinden de oorspronkelijke integraal terug in het rechterlid en brengen deze over naar het lin-

kerlid.

2

∫ L

0sin2 nπx

Ldx =

∫ L

0dx = x|L0 = L− 0 = L

zodat ∫ L

0sin2 nπx

Ldx =

L

2

Dit resultaat wordt ingevuld in de normalisatievoorwaarde.

C2

∫ L

0sin2 nπx

Ldx = 1⇒ C2L

2= 1

zodat

C2 =2

L⇒ C =

√2

LDe genormaliseerde golffuncties worden bijgevolg geschreven als

ψn =

√2

Lsin

nπx

L

Bibliografie

[1] Edward Jennekens and Gustaaf Deen. Wiskunde 6 – Analyse II. Uitgeverij De Sikkel, n.v.,

1989.

[2] George B. Thomas. Elements of Calculus and Analytic Geometry. Addison-Wesley Publishing

Company, Inc., 1959.



Hoofdstuk 4

Differentiaalvergelijkingen

In vele fysicochemische problemen worden differentiaalvergelijkingen aangehaald. Het oplossen van

differentiaalvergelijkingen vraagt, zoals met alle wiskundige problemen, veel oefening. Er bestaan

zeer goede handboeken met talloze voorbeelden van oplossingen van differentiaalvergelijkingen.

Een uitstekende Nederlandstalige introductie is te vinden in de nota’s ‘differentiaalvergelijkingen’

van Leopold Verstraelen via Referentie [1]. Het is dus niet de bedoeling om elk mogelijk type

differentiaalvergelijking op te lossen, maar wel zullen we een aantal specifieke oefeningen maken die

vervolgens kunnen worden toegepast op fysicochemische problemen.

4.1 Soorten differentiaalvergelijkingen

Een gewone differentiaalvergelijking is een uitspraakvorm in de vorm van een vergelijking waaraan

een onbekende reele functie y(x) van een onafhankelijke veranderlijke x voldoet en waarin ten minste

een van de afgeleiden y′(x), y′′(x), . . . , y(n)(x) van deze functie voorkomen [1, 2]. De algemene vorm

van een gewone differentiaalvergelijking is bijgevolg [3]

F(x, y, y′, y′′, . . . , y(n)

)= 0

Enkele voorbeelden zijn

y′ =dy

dx= cosx (4.1)

y′′ + y′ =d2y

dx2+dy

dx= 0 (4.2)

Wanneer er twee (of meer) onafhankelijke veranderlijken van x aanwezig zijn waarbij de respectieve-

lijke afgeleiden partiele afgeleiden zijn, worden de vergelijkingen partiele differentiaalvergelijkingen

genoemd. Enkele voorbeelden zijn

∂z

∂x= z +

∂z

∂y(4.3)

∂2z

∂x2+∂2z

∂y2= x2 + y (4.4)

49

50 Hoofdstuk 4. Differentiaalvergelijkingen

De orde van een differentiaalvergelijking is de orde van de hoogste afgeleide die voorkomt. Verge-

lijkingen 4.1 en 4.3 zijn van de eerste orde. Vergelijkingen 4.2 en 4.4 zijn van de tweede orde.

De graad van een differentiaalvergelijking die kan geschreven worden als een veelterm (polynoom)

van afgeleiden, is de graad van de hoogste orde afgeleide die voorkomt. De vier bovenstaande

voorbeelden zijn bijgevolg vergelijkingen van de eerste graad, maar de differentiaalvergelijking

(y′)2 − yy′ + x = 0 (4.5)

is een vergelijking van de tweede graad en de eerste orde.

4.2 Gewone eerste orde differentiaalvergelijkingen

In het algemeen steunt het oplossen van een differentiaalvergelijking op het vinden van een func-

tie die door het invullen van haar voorschrift in de vergelijking, van de uitspraakvorm een ware

uitspraak maakt. Er bestaan vele aangepaste technieken voor het oplossen van differentiaalverge-

lijkingen die verschillende vormen kunnen aannemen, maar deze aangepaste technieken zijn veelal

gebaseerd op het onbepaald integreren. Wanneer er vervolgens een constante wordt opgetekend,

wordt het voorschrift van een algemene oplossing (AO) verkregen. Wanneer alle of sommige con-

stanten vervangen worden door een bijzondere waarde, wordt het voorschrift van een bijzondere

of particuliere oplossing (BO of PO) verkregen. Naast de algemene en de bijzondere oplossingen,

bestaan er voor sommige soorten differentiaalvergelijkingen ook nog een singuliere oplossing (SO).

4.2.1 Differentiaalvergelijkingen grafisch oplossen

Het voorbeeld van een gewone eerste orde differentiaalvergelijking dat we zullen analyseren op een

aantal manieren, isdy

dx= x− y (4.6)

Vooraleer we effectief ingaan op enkele manieren om Vergelijking 4.6 zuiver wiskundig op te lossen,

trachten we deze eerst op een grafische manier te benaderen en te analyseren volgens Walter Kauz-

mann in Referentie [4]. De oplossingen van gewone eerste orde differentiaalvergelijkingen kunnen

meestal worden getekend in het x, y-vlak. De vergelijkingen kunnen worden geschreven als

dy

dx= f(x, y) (4.7)

waarbij f(x, y) een gekende functie is. Volgens Vergelijking 4.7 is er voor elke waarde van x en

y een bepaalde waarde van de helling dy/dx. In het x, y-vlak, kan er dan een helling worden

toegekend aan alle punten in dit vlak waarmee we grafisch een recht lijnstukje bedoelen met een

helling f(x, y) dat door een punt (x, y) gaat en bijgevolg dus een stukje is van een oplossing van de

differentiaalvergelijking. Wanneer we een voldoende aantal van dergelijke korte lijnstukjes hebben

getekend in het x, y-vlak, moet het mogelijk zijn om deze bij elkaar te voegen zodat op deze manier

4.2. Gewone eerste orde differentiaalvergelijkingen 51

alle krommen kunnen worden bekomen die oplossingen zijn van de differentiaalvergelijking. Deze

methode zullen we nu toepassen op Vergelijking 4.6. We zetten de gekende functie

x− y = a (4.8)

uit in het x, y-vlak waarbij a = 0,±12 ,±1,±3

2 ,±2, . . .. Vergelijking 4.8 representeert een reeks

parallelle rechte lijnen en volgens deze rechte lijnen kunnen we een reeks korte lijnstukjes tekenen die

dezelfde helling a bezitten. We visualiseren deze methode in Figuur 4.1 zodat we inzien dat wanneer

we de vele lijnstukjes samenvoegen, we de oplossingen bekomen van Vergelijking 4.6. Deze grafische

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

y

x

Figuur 4.1: Oplossingen van de differentiaalvergelijking dy/dx = x− y. Delen van de oplossingen passeren

langs de verschillende punten in het x, y-vlak zoals deze meteen worden afgeleid van de differentiaalvergelij-

king. De hellingen zijn identiek volgens de lijnen x = y + a.

methode is zinvol om goed te begrijpen dat er niets obscuur is aan een differentiaalvergelijking en

het geeft ons bovendien reeds een algemeen idee over de oplossingen. Volgens Leopold Verstraelen

doet dit meetkundig denken aan een richtingsveld waarbij het zoeken naar de oplossingen van de

differentiaalvergelijking de meetkundige betekenis krijgt van het zoeken naar integraalkrommen in

het vlak die in elk van de punten (x, y) de gegeven richting a hebben [1]. De raaklijn in (x, y) heeft

dus de richtingscoefficient a.

4.2.2 Exacte en niet-exacte differentiaalvergelijkingen

We zullen nu Vergelijking 4.6 oplossen volgens een aantal wiskundige technieken. We kunnen

nagaan of deze vergelijking exact is. Er wordt gesteld dat een differentiaalvergelijking van de eerste


orde en de eerste graad

M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 (4.9)

exact is, als∂M

∂y=∂N

∂x(4.10)

Zo is de differentiaalvergelijking

(x2 − y)dx+ (y2 − x)dy = 0

bijvoorbeeld exact, want

∂M

∂y=

∂

∂y(x2 − y) = −1

∂N

∂x=

∂

∂x(y2 − x) = −1

De differentiaalvergelijking uit Vergelijking 4.6 is niet exact, want als we deze vergelijking herschik-

ken naar

(y − x)dx+ dy = 0 (4.11)

is

∂M

∂y=

∂

∂y(y − x) = 1

∂N

∂x=∂1

∂x= 0

dus∂M

∂y6= ∂N

∂x

Differentiaalvergelijkingen die niet exact zijn, kunnen soms toch exact worden gemaakt door verme-

nigvuldiging met een integrerende factor. Een integrerende factor is een functie µ(x, y) die men kan

vinden zodanig dat de differentiaalvergelijking toch exact kan worden gemaakt. In ons voorbeeld

zullen we een integrerende factor µ(x) zoeken als een functie voor x alleen. In het algemeen geldt

voor een differentiaalvergelijkingdy

dx+ yP (x) = Q(x) (4.12)

dat

e∫P (x)dx (4.13)

wordt gebruikt als een integrerende factor [2]. Vergelijkingen die geschreven worden in de vorm van

Vergelijking 4.12 worden lineaire vergelijkingen van de eerste orde genoemd. De algemene oplossing

wordt geschreven als

ye∫P (x)dx =

∫Q(x)e

∫P (x)dxdx+ C (4.14)

We passen deze wiskundige techniek toe op de differentiaalvergelijking uit Vergelijking 4.6 en her-

schikken deze om tot de vorm uit Vergelijking 4.12 zodat

dy

dx+ y = x


waardoor P (x) = 1 en Q(x) = x. Als integrerende factor bekomen we

e∫P (x)dx = e

∫1dx = ex

We kunnen nu controleren dat ex een geschikte integrerende factor is door Vergelijking 4.11 hiermee

te vermenigvuldigen.

ex(y − x)dx+ exdy = 0

zodat

∂M

∂y=

∂

∂yex(y − x) = ex

∂N

∂x=

∂

∂xex = ex

dus∂M

∂y=∂N

∂x= ex

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking uit Vergelijking 4.6 wordt volgens Vergelij-

king 4.14 geschreven als

yex =

∫xexdx+ C1

We kunnen de integraal uit het rechterlid via partiele integratie oplossen.∫xexdx =

∫xdex

= xex −∫exdx

= xex − ex + C2

zodat

yex = xex − ex + C2 + C1 = xex − ex + C

We bekomen tenslotte de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking uit Vergelijking 4.6

y = e−x (xex − ex + C)

= e−x+xx− e−x+x + e−xC

= e0x− e0 + e−xC

= x− 1 + Ce−x (4.15)

Met het exacte resultaat uit Vergelijking 4.15 zijn we klaar om dit te vergelijkingen met de resultaten

die werden bekomen uit de grafische visualisatie in Figuur 4.1. Hiervoor zetten we Vergelijking 4.15

uit met verschillende waarden voor de constante C in Figuur 4.2. Het wordt nu heel duidelijk dat

we de algemene vormen van de exacte oplossingen die werden uitgezet in Figuur 4.2 reeds hebben

kunnen afleiden uit het verbinden van de lijnstukjes in Figuur 4.1.


−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

C = 1

C = 2

C = 4

C = 12

C = 14

C = 18

y

x

C=0

C=−

12

C=−1

C=−2

C=−4

C=−8

C=−16

Figuur 4.2: Enkele exacte oplossingen, y = x − 1 + Ce−x, van de differentiaalvergelijking dy/dx = x − ymet verschillende waarden voor de constante C.

4.2.3 De scheiding van veranderlijken

De differentiaalvergelijking in Vergelijking 4.6 kan ook nog op andere manieren opgelost worden

dan door gebruik te maken van een grafische methode waarbij we een richtingsveld zoeken of door

na te gaan of de vergelijking al dan niet exact was en te werken met een integrerende factor.

Vooraleer we echter een derde manier bespreken om deze differentiaalvergelijking op te lossen,

behandelen we de belangrijke techniek van de scheiding van veranderlijken. Het oplossen van

differentiaalvergelijkingen zal namelijk heel vaak een dergelijke stap vragen en we zullen hier dan

ook enkele fysicochemische toepassingen van bespreken. Omwille van het belang van deze techniek,

bespreken we eerst op een theoretische wijze de achtergrond volgens Referentie [1].

Differentiaalvergelijkingen van de vormdy

dx= f(x) (4.16)

kunnen opgelost worden met behulp van een gewone integratie∫dy

dxdx = y =

∫f(x)dx+ C (4.17)

Men kan Vergelijking 4.16 eveneens herschrijven naar

dy = f(x)dx (4.18)

waarbij de differentiaalnotatie werd gebruikt. De veranderlijken x en y komen nu gescheiden voor


in de vergelijking en de oplossing in Vergelijking 4.17 kan men bekomen door Vergelijking 4.18 lid

aan lid te integreren.

Men kan een aantal differentiaalvergelijkingen op een relatief eenvoudige wijze herleiden tot verge-

lijkingen waarin de veranderlijken x en y gescheiden optreden. Men spreekt dan van differentiaal-

vergelijkingen waarvan de veranderlijken scheidbaar zijn.

In het algemeen zijn de veranderlijken van de vergelijking

M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0

scheidbaar, als de vergelijking kan geschreven worden in de vorm

f1(x) · g2(y)dx+ f2(x) · g1(y)dy = 0 (4.19)

en waarbij de integrerende factor1

f2(x) · g2(x)

kan gevonden worden na inspectie zodat Vergelijking 4.19 kan worden gereduceerd onder de vorm

vanf1(x)

f2(x)dx+

g1(y)

g2(y)dy = 0

Men kan nu de termen in het linkerlid stuk voor stuk integreren naar de respectievelijke verander-

lijken x en y. ∫f1(x)

f2(x)dx+

∫g1(y)

g2(y)dy = C

Voorbeeld 4.1

We zoeken de algemene oplossing voor de differentiaalvergelijking

dy

dx= −3y

x(4.20)

We kunnen de differentiaalvergelijking herschikken tot

xdy + 3ydx = 0

De integrerende factor is 1xy zodat we kunnen schrijven

1

xyxdy +

1

xy3ydx = 0

dy

y+ 3

dx

x= 0∫

dy

y+ 3

∫dx

x= K

ln y + 3 lnx = K

ln y + lnx3 = K


ln(yx3) = K

yx3 = eK

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking wordt vervolgens

y = Cx−3

Het richtingsveld en enkel oplossingen zijn gevisualiseerd in Figuur 4.3 voor C = 0, ±0.05, ±0.25,

−3

−2

−1

0

1

2

3

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−3

−2

−1

0

1

2

3

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

y

x

y

x

Figuur 4.3: Richtingsveld en enkele integraalkrommen voor de differentiaalvergelijking y′ = −3y/x.

±0.5, ±1 en ±2.

We merken op dat we een differentiaalvergelijking zoals in Vergelijking 4.20 in de praktijk meestal

rechtstreeks herschikken totdy

y= −3

dx

x

om vervolgens te integreren.

4.2.4 De methode van de variatie van de constante

We keren terug naar de differentiaalvergelijking uit Vergelijking 4.6 dat we hadden geschreven als

dy

dx+ y = x

We kunnen deze lineaire differentiaalvergelijking van de eerste orde met rechterlid nu oplossen met

de methode van de variatie van de constante waarbij men een algemene oplossing zoekt onder de


vorm van

y = uv

met u en v als twee functies van x. We substitueren y = uv in de differentiaalvergelijking.

d(uv)

dx+ uv = x

Met behulp van de productregel1 bekomen we

udv

dx+ v

du

dx+ uv = x

udv

dx+ v

(du

dx+ u

)= x

Omdat er voor elke algemene lineaire differentiaalvergelijking er een overeenkomstige homogene

lineaire differentiaalvergelijking bestaat, stellen we du/dx+ u gelijk aan nul [5]. We bepalen eerst

de algemene oplossing van deze homogene lineaire differentiaalvergelijking die kan worden opgelost

via de scheiding van veranderlijken.

du

dx+ u = 0

du

dx= −u

du

u= −dx∫

du

u= −

∫dx

lnu = −x

u = e−x

De differentiaalvergelijking wordt nu

e−xdv

dx= x

en opnieuw kunnen de veranderlijken worden gescheiden

dv = xe+xdx

en na integratie ∫dv =

∫xexdx

v =

∫xdex + C

1De formule van Leibniz of de productregel voor meerdere afgeleiden is

(fg)(n) =

n∑k=0

(n

k

)f (k)g(n−k)

.


v = xex −∫exdx+ C

v = xex − ex + C

En daar we de subsitutie y = uv hadden doorgevoerd, bekomen we voor de reeds gekende algemene

oplossing van de differentiaalvergelijking

y = e−x (xex − ex + C)

= x− 1 + Ce−x

Voorbeeld 4.2

We bepalen de oplossing van

y′ =dy

dx= x+ 2xy (4.21)

Het zoeken naar oplossingen van eerste orde differentiaalvergelijkingen betekent meetkundig dat

we zoeken naar integraalkrommen [1]. In Figuur 4.4 wordt het richtingsveld gevisualiseerd tezamen

met enkele integraalkrommen van deze differentiaalvergelijking. We stellen y = uv zodat

−3

−2

−1

0

1

2

3

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−3

−2

−1

0

1

2

3

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

y

x

y

x

Figuur 4.4: Richtingsveld en enkele integraalkrommen van y′ = x+ 2xy.

dy

dx= u

dv

dx+ v

du

dx

en vullen dit in in Vergelijking 4.4.

udv

dx+ v

du

dx− 2xuv = x


udv

dx+ v

(du

dx− 2xu

)︸︷︷︸

=0

= x (4.22)

We bepalen nu u als bijzondere oplossing van de homogene vergelijking.

du

dx− 2xu = 0

Dit is een differentiaalvergelijking waarvan de veranderlijken kunnen worden gescheiden.

du

u= 2xdx∫

du

u=

∫2xdx

lnu = 2x2

2

u = ex2

We vullen u in in Vergelijking 4.22, zodat

ex2 dv

dx= x

en na scheiding van de veranderlijken

dv = xe−x2dx∫

dv =

∫xe−x

2dx

De integraal in het linkerlid kan worden geschreven en uitgewerkt als∫xe−x

2dx = −1

2(−2)

∫xe−x

2dx

= −1

2

∫e−x

2(−2)xdx

= −1

2

∫e−x

2d(−x2)

= −1

2e−x

2+ C

We vinden dus voor v dat

v = −1

2e−x

2+ C

We hadden gesteld dat y = uv en vinden bijgevolg

y = ex2︸︷︷︸u

(−1

2e−x

2+ C

)︸︷︷︸

v

= −1

2e−x

2ex

2+ Cex

2


= −1

2e−x

2+x2 + Cex2

= −1

2+ Cex

2

In Figuur 4.4 worden enkele oplossingen (integraalkrommen) voor C = 0, ±0.01,±0.1, ±0.5 en ±1.

Voorbeeld 4.3


y′ =dy

dx= 1 + 2xy (4.23)

In Figuur 4.5 wordt het richtingsveld gevisualiseerd tezamen met enkele integraalkrommen. Ver-

−3

−2

−1

0

1

2

3

−3 −2 −1 0 1 2 3−3

−2

−1

0

1

2

3

−3 −2 −1 0 1 2 3

y

x

y

x

Figuur 4.5: Richtingsveld en enkele integraalkrommen voor de vergelijking y′ = 1 + 2xy.

gelijking 4.23 kan op verschillende manieren worden opgelost. Een eerste manier is door y = uv te

stellen zodatdy

dx= u

dv

dx+ v

du

dx

en dit in te vullen in Vergelijking 4.5.

udv

dx+ v

du

dx− 2xuv = 1

udv

dx+ v

(du

dx− 2xu

)︸︷︷︸

=0

= 1 (4.24)

We bepalen nu u als bijzondere oplossing van de homogene vergelijking.

du

dx− 2xu = 0


Dit is een differentiaalvergelijking waarvan de veranderlijken kunnen worden gescheiden.

du

u= 2xdx∫

du

u=

∫2xdx

lnu = 2x2

2

u = ex2

We vullen u in in Vergelijking 4.24, zodat

ex2 dv

dx= 1

en na scheiding van de veranderlijken vinden we

dv = e−x2dx∫

dv =

∫e−x

2dx

De integraal in het rechterlid (∫e−x

2dx) kan niet worden uitgedrukt in termen van elementaire

functies [6]. Het blijft echter een goede functie zodat we voor v vinden dat

v =

∫e−x

2dx+ C

We hadden gesteld dat y = uv en vinden bijgevolg

y = ex2︸︷︷︸u

(∫e−x

2dx+ C

)︸︷︷︸

v

= ex2

∫e−x

2dx+ Cex

2

Een andere manier om de algemene oplossing te schrijven is

y = ex2

∫ x

0e−t

2dt+ Cex

2

waarbij elk getal kan gekozen worden voor de laagste integratielimiet. Hoewel de oplossingen

van deze differentiaalvergelijking uitgedrukt staan in termen van een integraal, hebben we die

via een simulatie en berekening in Gnuplot toch kunnen visualiseren in Figuur 4.5 voor C =

0,±0.5,±0.8,±0.9,±1,±2 en ± 2.5.

Tijdens de methode van de variatie van de constante hebben we telkens tweemaal een scheiding

van veranderlijken doorgevoerd. Het blijkt dat dit een veelgebruikte techniek is dat we nu zullen

illustreren met een aantal belangrijke voorbeelden uit de fysicochemie.


4.3 De wet van Lambert-Beer

Voor de uitwerking van de wet van Lambert-Beer gebruiken we dezelfde notatie zoals deze werd

voorgesteld door Gilbert W. Castellan in Referentie [7].

We beschouwen een monochromatische lichtbundel dat doorheen een cuvet gaat met daarin een

I I + dI

Figuur 4.6: Schematische weergave voor de vermindering van een lichtstraal dat doorheen een absorberende

stof gaat.

absorberende stof (Figuur 4.6). De lichtstraal wordt voorgesteld met een intensiteit I en we stellen

dat I + dI de intensiteit is van de lichtbundel die uit de cuvet komt. De cuvet waarin zich de

absorberende stof bevindt, heeft een breedte dx. De intensiteit van de lichtbundel is gelijk aan het

aantal fotonen (of lichtkwanta) die per tijdseenheid doorheen een eenheidsgebied gaan dat loodrecht

staat ten opzichte van de richting van de lichtbundel. Wanneer het aantal fotonen wordt voorgesteld

met I, is −dI het aantal fotonen dat wordt geabsorbeerd door een absorberende stof volgens de

afstand dx. De vermindering in intensiteit, −dI, is dus evenredig met de dikte dx van de cuvet en

met het aantal absorberende moleculen of de concentratie van de absorberende deeltjes dat zich in

de cuvet bevindt. We kunnen de vermindering in intensiteit dus schrijven als

− dI = kcIdx (4.25)

waarbij k een evenredigheidsconstante is, c de molaire concentratie en dx de dikte van de cuvet.

Vergelijking 4.25 is een differentiaalvergelijking van de eerste orde en de eerste graad die door de

scheiding van veranderlijken kan worden opgelost.

dI

I= −kcdx

We integreren nu beide zijden van de vergelijking van I = I0 op x = 0 tot I = I op x = l∫ I

I0

dI

I= −kc

∫ l

0dx

4.3. De wet van Lambert-Beer 63

We bekomen

ln I|II0 = −kc x|l0ln I − ln I0 = −kc (l − 0)

ln

(I

I0

)= −kcl

We bekomen voor de intensiteit, I, van een monochromatische lichtbundel dat doorheen een cuvet

gaat, dat

I = I0e−kcl (4.26)

In spectroscopie is het meer gebruikelijk dat er Briggse logaritmen of logaritmen met een grondtal 10

(log10) worden gebruikt in plaats van de natuurlijke logaritmen (ln). In Vergelijking 4.26 vervangen

we het natuurlijk grondtal e (het Getal van Euler) door 100.43429... zodat we de Vergelijking 4.26

kunnen herschrijven2

I = I010−0.4343kcl

We definieren dat ε ≡ 0.4343k zodat

I = I010εcl (4.27)

De constante ε is de molaire absorptiecoefficient van de absorberende stof en wordt ook de extinc-

tiecoefficient genoemd. De transmissie, T , wordt gedefinieerd door

T ≡ I

I0(4.28)

en de absorbantie, A, wordt gedefinieerd door

A ≡ − log10 T of T = 10−A (4.29)

Als de absorbantie met een eenheid verhoogt, zal de transmissie verlangen met een factor 10. Ver-

gelijking 4.27 is een uitdrukking voor de wet van Lambert-Beer dat vaak kortweg de wet van Beer

wordt genoemd. Deze wet is de basisvergelijking voor verschillende colorimetrische of spectrofoto-

metrische analysemethoden. Indien de wet van Lambert-Beer wordt gevolgd, wordt de absorbantie

gegeven door

A = εcl (4.30)

Daar c wordt uitgedrukt in mol/dm3, l in meter en A een getal is zonder eenheden, zal de SI-eenheid

voor ε gelijk zijn aan m2/mol. De molaire absorptiecoefficient wordt traditioneel echter gedefinieerd

door A = εcb waarbij c in mol/L en b de lengte is van de cuvet in cm zodat ε uitgedrukt zal worden

in Lmol−1cm−1.2Het Getal van Euler kunnen we bepalen door een reeksontwikkeling waarvan we het Briggse logaritme nemen.

e =

∞∑n=0

1

n!=

1

0!+

1

1!+

1

2!+

1

3!+

1

4!+

1

5!+

1

6!+

1

7!+ . . . = 2.7183 . . .

log10 e = log10 2.7183 . . . = 0.43429 . . .


4.4 Chemische kinetica

De snelheden van chemische reacties is het onderwerp van chemische kinetica [7]. De kennis van

de snelheden waarbij reacties voorkomen is van cruciaal belang voor een chemicus [8, 9]. De

snelheidsvergelijkingen zullen steeds bekomen worden na een of meerdere integratietechnieken nadat

er differentiaalvergelijkingen werden opgesteld.

4.4.1 De snelheidsvergelijking voor een eersteordereactie

We beschouwen de algemene reactie

A −→ producten (4.31)

waarbij de concentratie A van het reagens op een gegeven tijdstip t geschreven wordt als ct en de

beginconcentratie op tijdstip t = 0 wordt genoteerd als c0. De snelheid van de reactie (vreactie) kan

uitgedrukt worden in termen van de snelheid waarmee A ontbindt per tijdseenheid. Wiskundig

wordt dit geschreven als de negatieve differentiaal van c in functie van de tijd t,

vreactie = −dcdt

= kc (4.32)

waarbij het negatieve teken nodig is om aan te geven dat A ontbindt en k de snelheidsconstante is

voor de beschouwde reactie. We herschikken de differentiaalvergelijking om een relatie te bekomen

tussen c en t.dc

c= −kdt

We integreren nu beide zijden van de vergelijking van c = c0 op tijdstip t = 0 tot c = ct op tijdstip

t. ∫ ct

c0

dc

c= −k

∫ t

0dt

We bekomen

ln c|ctc0 = −k t|t0ln ct − ln c0 = −k (t− 0)

Met behulp van de rekenregel ln a/b = ln a− ln b, schrijven we dat

lnctc0

= −kt (4.33)

Wanneer ln ct/c0 uitgezet wordt versus t in Figuur 4.7, bekomen we een rechte waarbij de snel-

heidsconstante k kan bepaald worden uit de helling die gelijk is aan −k. Na herschikken van

Vergelijking 4.33, wordt de snelheidsvergelijking van een eersteordereactie

ct = c0e−kt (4.34)

zodat het duidelijk is dat de concentratie van A exponentieel zal afnemen met de tijd (Figuur 4.8).

De halfwaardetijd, τ , van de reactie is de tijd die nodig is voor de concentratie van A om de helft

4.4. Chemische kinetica 65

0

lnc t/c 0

t

Figuur 4.7: Voor een eersteordereactie, A −→ producten, is het uitzetten van ln ct/c0 versus t een rechte

waarbij de reactieconstante k kan bepaald worden uit de helling.

0

τ =ln 2

k

c t

t

Figuur 4.8: Voor een eersteordereactie, A −→ producten, is het uitzetten van ct versus t een exponentieel

afnemende functie. De halfwaardetijd, τ , is voor een eersteordereactie onafhankelijk van de beginconcentratie

van A.


van de initiele waarde te bereiken. Bijgevolg zal voor t = τ , ct = 1/2c0. Vergelijking 4.34 wordt na

invullen van deze waarden

1

2c0 = c0e

−kτ

1

2= e−kτ

− ln1

2= kτ

τ =ln 2

k=

0.693

k(4.35)

Vergelijking 4.35 leert ons dat voor een eersteordereactie de halfwaardetijd onafhankelijk is van

de beginconcentratie en de snelheidsconstante voor een eersteordereactie kan berekend worden uit

deze vergelijking.

4.4.2 De snelheidsvergelijking voor een tweedeordereactie

We starten opnieuw van de ontbindingsreactie

A −→ producten (4.36)

en nemen nu aan dat we te maken zullen hebben met een tweedeordereactie. De negatieve diffe-

rentiaal van c in functie van de tijd t wordt dan

vreactie = −dcdt

= kc2 (4.37)

We herschikken deze differentiaalvergelijking om een relatie te bekomen tussen c en t.

dc

c2= −kdt

We integreren beide zijden van de vergelijking van c = c0 op tijdstip t = 0 tot c = ct op tijdstip t.∫ ct

c0

dc

c2= −k

∫ t

0dt

De berekening van het linkerlid wordt∫ ct

c0

dc

c2=

∫ ct

c0

c−2 dc =c−2+1

−2 + 1

∣∣∣∣ctc0

= −c−1∣∣ctc0

= −(c−1t − c

−10

)=

1

c0− 1

ct

zodat1

c0− 1

ct= −k (t− 0) = −kt

en na herschikken1

ct=

1

c0+ kt (4.38)

Wanneer we 1/ct uitzetten in functie van de tijd t, bekomen we een rechte lijn met helling k zoals


0

1/ct

t

Figuur 4.9: Voor een tweedeordereactie, A −→ producten, is het uitzetten van 1/ct versus t een rechte lijn

met de snelheidsconstante k die kan bepaald worden uit de helling.

gevisualiseerd in Figuur 4.9. Om de halfwaardetijd, τ , te berekenen voor de tweedeordereactie,

vullen we t = τ en ct = 1/2c0 in in Vergelijking 4.38.

1

1/2c0=

1

c0+ kτ

2

c0=

1

c0+c0c0kτ

2 = 1 + c0kτ

τ =1

kc0(4.39)

Voor een tweedeordereactie is de halfwaardetijd afhankelijk van de beginconcentratie van het rea-

gens. Wanneer de beginconcentratie wordt verdubbeld, zal de tijd die nodig is om de helft van A te

reageren worden verminderd met de helft. Vergelijking 4.38 kan algebraısch worden omgerekend.

1

ct=

1

c0+ kt

1 = ct

(1

c0+c0c0kt

)1 =

ctc0

(1 + c0kt)

ct =c0

1 + ktc0(4.40)

Figuur 4.10 toont de vervalcurves waarbij ct wordt uitgezet versus t voor een tweedeordereactie


0

τ =1

kc0

c t

t

Figuur 4.10: De vergelijking tussen de vervalcurves van een eersteordereactie (rood) met een tweedeorde-

reactie (blauw) met dezelfde initiele vervalsnelheid voor een algemene ontbindingsreactie, A −→ producten.

De halfwaardetijd, τ , voor de tweeordereactie is weergegeven. Deze halfwaardetijd is afhankelijk van de

beginconcentratie aan A.


(Vergelijking 4.40) en een eersteordereactie (Vergelijking 4.34) met dezelfde initiele snelheid. Uit

Figuur 4.10 is het duidelijk dat voor de tweedeordereactie ct trager naar nul gaat dan voor de

eersteordereactie.

4.4.3 Radioactief verval

Van een nuclide dat ontbindt in een ander nuclide wordt gezegd dat het radioactief is. Dit verval

kan bestaan uit

het verlies van een α-deeltje dat een helium kern is[42He

]2+23892U −→ 234

90Th + 42He (4.41)

het verlies van een β-deeltje dat een elektron is geemitteerd uit de kern

146C −→ 14

7N + β− (4.42)

de emissie van γ-straling dat vaak gepaard gaat met het verlies van α- of β-deeltjes.

We veronderstellen dat op het ogenblik t = 0 het aantal radioactieve deeltjes van een bepaald

type gelijk is aan N0. Op een willekeurig ogenblik t bedraagt dit aantal N radioactieve deeltjes.

De snelheid v waarmee het aantal radioactieve deeltjes N vervalt per tijdseenheid, kan geschreven

worden als de negatieve differentiaal van N in functie van de tijd t.

− dN

dt= λN (4.43)

waarbij λ de vervalconstante of de desintegratieconstante wordt genoemd. Vergelijking 4.43 is een

differentiaalvergelijking van de eerste orde en de eerste graad die door de scheiding van verander-

lijken kan worden opgelost,

−dNdt

= λN

dN

N= −λdt∫ N

N0

dN

N=

∫ t

0−λdt

lnN |NN0= −λ t|t0

lnN − lnN0 = −λ (t− 0)

lnN

N0= −λt

N

N0= e−λt

zodat we de wet van het radioactief verval verkrijgen

N = N0e−λt (4.44)


De relatie tussen de vervalconstante λ en de halfwaardetijd τ kan afgeleid worden uit Vergelij-

king 4.44 door t = τ en N = N0/2 in te vullen.

N0

2= N0e

−λτ

N0

2N0= e−λτ

ln1

2= −λτ

λ =ln 2

τ(4.45)

In tegenstelling tot de snelheidsconstante van een chemische reactie, is de vervalconstante λ volledig

onafhankelijk van uitwendige invloeden zoals de temperatuur en de druk. Wanneer we de waarde

van λ uit Vergelijking 4.45 invullen in Vergelijking 4.44, bekomen we

N = N0e−λt = N0e

−ln 2

τt

= N0e(ln 2)−t/τ = N02

−t/τ (4.46)

Uit Vergelijking 4.46 wordt duidelijk dat wanneer t = 2τ er nog slechts 1/4 van het origineel aantal

deeltjes (N = 1/4N0) overblijft, wanneer t = 3τ blijven er nog 1/8 deeltjes over (N = 1/8N0) en

als t = 4τ blijven er nog 1/16 deeltjes over (N = 1/16N0) .

Koolstofdatering

Koolstofdatering is gebaseerd op het feit dat het isotoop koolstof-14 (14C) radioactief is met een

halfwaardetijd τ = 5730 jaar. Koolstof-14 vervalt tot stikstof-14 door het verlies van een β-deeltje.

146C −→ 14

7N + β−

Stel nu dat men een houten relikwie uit de Romeinse tijd zou willen dateren en men vindt dat 0.90

gram geısoleerd koolstof uit het hout een radioactiviteit heeft van 0.19 Bq3. De radioactiviteit voor

het houten relikwie wordt vergeleken met ‘vers’ hout van dezelfde soort uit een recente boom. Men

vindt dat 0.90 gram koolstof uit vers hout een activiteit heeft van 0.25 Bq. Het verval van 14C

volgt een eerste orde kinetica (Figuur 4.11). Na herschikken, vinden we door het invullen van de

waarden N = 0.25 Bq en N0 = 0.19 Bq in Vergelijking 4.44

λt = ln0.25

0.19= 0.27

De vervalconstante is met behulp van Vergelijking 4.45

λ =ln 2

τ=

ln 2

5730 jaar= 1.21× 10−4 jaar−1

De leeftijd van het houten relikwie is

t =0.27

1.21× 10−4 jaar−1≈ 2200 jaar

3De Becquerel (Bq) is de SI eenheid voor radioactiviteit en is gelijk aan een ontbinding per seconde [10].

4.5. Lineaire eerste orde differentiaalvergelijkingen 71

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 10000 20000 30000 40000

τ =ln 2

λ= 5730 jaarN

(Bq)

Tijd (jaar)

Figuur 4.11: Koolstofdatering komt neer op het feit dat het isotoop koolstof-14 (14C) radioactief is met

een halfwaardetijd τ = 5730 jaar.

4.5 Lineaire eerste orde differentiaalvergelijkingen

We hebben reeds gemeld dat lineaire eerste orde differentiaalvergelijkingen kunnen worden geschre-

ven worden onder de vormdy

dx+ P (x)y = Q(x) (4.47)

waarbij P (x) en Q(x) continue functies zijn in een gegeven interval. Dergelijke differentiaalvergelij-

kingen komen veelvuldig voor in wetenschappelijke problemen. We behandelen lineaire eerste orde

differentiaalvergelijkingen volgens Referentie [6].

Voorbeeld 4.4


xdy

dx+ y = 2x (4.48)

In Figuur 4.12 wordt het richtingsveld van deze differentiaalvergelijking gevisualiseerd tezamen met

enkele integraalkrommen waarvan we de oplossing zullen bepalen. We kunnen Vergelijking 4.48

herschrijven met x 6= 0 alsdy

dx+y

x= 2 (4.49)

Vergelijking 4.49 kan niet worden gescheiden in veranderlijken, maar met de productregel kunnen

we inzien datd (xy)

dx= y

dx

dx+ x

dy

dx= y + x

dy

dx= x

dy

dx+ y


−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

y

x

y

x

Figuur 4.12: Richtingsveld en enkele integraalkrommen voor de differentiaalvergelijking xdy

dx+ y = 2x.

zodat Vergelijking 4.48 kan worden geschreven als

d (xy)

dx= 2x

Wanneer we nu beide zijden van deze vergelijking integreren, bekomen we∫d (xy)

dxdx =

∫2x dx

xy = 2x2

2+ C

y = x+C

x

Deze algemene oplossing wordt in Figuur 4.12 gevisualiseerd voor C = 0, ±0.125, ±0.25, ±0.5,±1

en ±2.

Uit het voorbeeld blijkt dat elke lineaire eerste orde differentiaalvergelijking op een gelijkaardige

manier kan worden opgelost door beide zijden van Vergelijking 4.47 te vermenigvuldigen met een

geschikte functie I(x) dat men een integrerende factor noemt. In analogie met het voorbeeld

zoeken we dus I(x) door het linkerlid in Vergelijking 4.47 hiermee te vermenigvuldigen zodat het

de afgeleide van het product I(x)y′ wordt.

I(x)

(dy

dx+ P (x)y

)=d (I(x)y)

dx(4.50)

Als we een dergelijke functie I(x) kunnen vinden, wordt Vergelijking 4.47

d (I(x)y)

dx= I(x)Q(x)

4.5. Lineaire eerste orde differentiaalvergelijkingen 73

Als we de beide zijden integreren, bekomen we∫d (I(x)y)

dxdx =

∫I(x)Q(x) dx

I(x)y =

∫I(x)Q(x) dx+ C

waarvan de oplossing zou zijn

y(x) =1

I(x)

[∫I(x)Q(x) dx+ C

](4.51)

Om een dergelijke functie I(x) te vinden, ontwikkelen we Vergelijking 4.50.

I(x)

(dy

dx+ P (x)y

)=d (I(x)y)

dx

I(x)dy

dx+ I(x)P (x)y =

d (I(x))

dxy +

I(x)dy

dx

I(x)P (x)y =dI(x)

dxy

I(x)P (x) =dI(x)

dx

We bekomen een differentiaalvergelijking waarvan men de veranderlijken kan scheiden.

dI(x)

I(x)= P (x)dx∫

dI(x)

I(x)=

∫P (x)dx

ln |I(x)| =∫P (x)dx+ C

I(x) = ±e∫P (x)dx+C = ±eCe

∫P (x)dx = Ae

∫P (x)dx

waarbij A = ±eC . We willen echter een particuliere integrerende factor en niet de meest algemene

zodat we A = 1 kiezen. De integrerende factor wordt

I(x) = e∫P (x)dx (4.52)

De algemene oplossing voor Vergelijking 4.47 wordt gegeven door Vergelijking 4.51. In de praktijk

dienen we Vergelijking 4.52 te onthouden om beide leden van Vergelijking 4.47 te vermenigvuldigen

met deze integrerende factor en vervolgens te integreren.

Voorbeeld 4.5

We hebben reeds de algemene oplossing voor Vergelijking 4.23, maar deze vergelijking is een lineaire

eerste orde differentiaalvergelijking en kan geschreven worden in de standaardvorm voor een lineaire

vergelijking, namelijkdy

dx− 2xy = 1 (4.53)


met P (x) = −2x en Q(x) = 1. De integrerende factor wordt

e∫P (x)dx = e

∫−2xdx = e−x

2

We vermenigvuldigen Vergelijking 4.53 met deze integrerende factor en we krijgen

e−x2 dy

dx− e−x22xy = e−x

2

d(e−x

2y)

dx= e−x

2

∫ d(e−x

2y)

dxdx =

∫e−x

2dx

e−x2y =

∫e−x

2dx+ C

We vinden nu dus relatief snel de algemene oplossing voor deze differentiaalvergelijking en bekomen

opnieuw

y = ex2

∫e−x

2dx+ Cex

2

= ex2

∫ x

0e−t

2dt+ Cex

2

waarvan enkele oplossingen reeds werden gevisualiseerd in Figuur 4.5.

Voorbeeld 4.6

We bepalen de algemene oplossing van de in de standaardvorm geschreven lineaire eerste orde

differentiaalvergelijkingdy

dx+ 2xy = 1 (4.54)

met P (x) = 2x en Q(x) = 1. De uitwerking is volledig analoog aan het vorig voorbeeld. De

integrerende factor wordt nu

e∫P (x)dx = e

∫2xdx = ex

2

We vermenigvuldigen Vergelijking 4.54 met de integrerende factor en we krijgen

ex2 dy

dx+ ex

22xy = ex

2

d(ex

2y)

dx= ex

2

∫ d(ex

2y)

dxdx =

∫ex

2dx

ex2y =

∫ex

2dx+ C

We bekomen als algemene oplossing voor Vergelijking 4.54

y = e−x2

∫ex

2dx+ Ce−x

2

4.6. Toepassing op elektrische netwerken 75

= e−x2

∫ x

0e−t

2dt+ Ce−x

2

De oplossingen van deze differentiaalvergelijking staan ook nu uitgedrukt in termen van een integraal

(∫ex

2dx) die niet kan worden uitgedrukt in termen van elementaire functies. Desalniettemin kunnen

de oplossingen toch gevisualiseerd worden in Figuur 4.5 waarbij de integralen werden berekend in

−3

−2

−1

0

1

2

3

−3 −2 −1 0 1 2 3−3

−2

−1

0

1

2

3

−3 −2 −1 0 1 2 3

y

x

y

x

Figuur 4.13: Richtingsveld en enkele integraalkrommen voor de vergelijking y′ = 1− 2xy.

Gnuplot voor C = 0, ±0.5, ±1, ±1.5, ±2 en ±2.5.

4.6 Toepassing op elektrische netwerken

Deze uitwerking is gebaseerd op de toepassing zoals deze is beschreven door James Stewart in

Referentie [6].

We beschouwen een eenvoudig elektrisch circuit zoals dit wordt getoond in Figuur 4.14. Dit elek-

trisch netwerk bezit een elektromotorische kracht (een bronspanning dat gewoonlijk een batterij of

een generator is) dat een voltage van E(t) Volt (V) produceert en een stroom I(t) Ampere (A) op

tijd t levert. Het netwerk bezit ook een weerstand van R Ohm (Ω) en een spoel met een zelfinductie

van L Henry (H).

De wet van Ohm geeft het spanningsverlies of de potentiaalverandering die wordt veroorzaakt door

de weerstand aan als RI. Het spanningsverlies veroorzaakt door de spoel is L(dI/dt). Een van de

wetten van Kirchhoff zegt dat de som van deze potentiaalveranderingen gelijk moet zijn aan het


−+E(t)

R

L

Figuur 4.14: Een eenvoudig elektrisch circuit bestaande uit een spanningsbron, een weerstand (R), een

spoel (L) en een schakelaar.

geleverde voltage E(t). We hebben bijgevolg

LdI

dt+RI = E(t) (4.55)

dat een eerste orde lineaire differentiaalvergelijking is. De oplossing van deze differentiaalvergelij-

king geeft de stroom weer in functie van de tijd.

Voorbeeld 4.7

We veronderstellen dat in het eenvoudig elektrische circuit in Figuur 4.14 de weerstand 12 Ω

bedraagt en de zelfinductie 4 H is. Als de batterij een constant voltage van 60 V levert en de

schakelaar gesloten is op t = 0 zodat de stroom start met I(0) = 0, bepaal dan (a) I(t), (b) de

stroom na 1 s en (c) de limietwaarde voor de stroom.

Oplossing

(a) Wanneer we L = 4, R = 12 en E(t) = 60 invullen in Vergelijking 4.55 bekomen we

4dI

dt+ 12I = 60 I(0) = 0

ofdI

dt+ 3I = 15 I(0) = 0

Hoewel we deze differentiaalvergelijking ook kunnen oplossen met de methode van de scheiding van

de veranderlijken, zullen we hier de differentiaalvergelijking vermenigvuldigen met de integrererende

factor e∫3dt = e3t zodat

e3tdI

dt+ 3e3tI = 15e3t

d(e3tI

)dt

= 15e3t∫d(e3tI

)dt

dt = 15

∫e3tdt =

15

3

∫e3td3t

e3tI = 5e3t + C


I(t) = e−3t(5e3t + C

)= 5 + Ce−3t

Daar I(0) = 0, zal 5 + C = 0, zodat C = −5 en

I(t) = 5 + (−5)e−3t = 5(1− e−3t)

Deze bijzondere (of particuliere) oplossing wordt gevisualiseerd in Figuur 4.15 tezamen met het

0

1

2

3

4

5

6

0 0.5 1 1.5 2 2.50

1

2

3

4

5

6

0 0.5 1 1.5 2 2.5

I

t

I

t

Figuur 4.15: Richtingsveld van de differentiaalvergelijkingdI

dt+ 3I = 15 voor een eenvoudig elektrisch

circuit tezamen met de integraalkromme I(t) = 5(1 − e−3t) als bijzondere (of particuliere) oplossing. De

limietwaarde voor de stroom (I(t) = 5) wordt eveneens gevisualiseerd.

richtingsveld. De limietwaarde voor de stroom kan reeds uit het richtingsveld worden afgeleid en

zullen we bepalen in (c).

(b) Na een seconde is de stroom

I(1) = 5(1− e−3

)≈ 4.75 A

(c) De limietwaarde voor de stroom kan reeds worden bepaald door het richtingsveld te visualiseren

en te interpreteren in Figuur 4.15. We kunnen deze ook berekenen als

limt→∞

I(t) = limt→∞

5− 5e−3t = 5− 5 limt→∞

e−3t = 5− 0 = 5

Voorbeeld 4.8

We veronderstellen dat de weerstand en de zelfinductie in het eenvoudig elektrische circuit in

Figuur 4.14 hetzelfde blijven als in het vorige voorbeeld. In plaats van een batterij met constante

spanning te plaatsen, gebruiken we in dit voorbeeld een generator dat een variabele spanning

E(t) = 60 sin 30t V produceert. Bepaal I(t).


Oplossing

Vergelijking 4.55 wordt na invullen van de gegevens geschreven als

4dI

dt+ 12I = 60 sin 30t of

dI

dt+ 3I = 15 sin 30t

We vermenigvuldigen deze differentiaalvergelijking met dezelfde integrererende factor e3t als in het

vorig voorbeeld zodat

e3tdI

dt+ 3e3tI = 15e3t sin 30t

d(e3tI

)dt

= 15e3t sin 30t∫d(e3tI

)dt

dt = 15

∫e3t sin 30t dt

We lossen de integraal uit het linkerlid op met behulp van partiele integratie.

15

∫e3t sin 30t dt =

15

3

∫e3t sin 30t d3t

= 5

∫sin 30t de3t

= 5

(sin 30te3t −

∫e3td sin 30t

)= 5

(sin 30te3t −

∫e3t30 cos 30t dt

)= 5

[sin 30te3t − 30

3

(∫e3t cos 30t d3t

)]= 5

[sin 30te3t − 10

(∫cos 30t de3t

)]= 5

[sin 30te3t − 10

(cos 30te3t −

∫e3t d cos 30t

)]= 5

[sin 30te3t − 10

(cos 30te3t −

∫e3t(−30) sin 30t dt

)]= 5

[sin 30te3t − 10

(cos 30te3t + 30

∫e3t sin 30t dt

)]= 5

(sin 30te3t − 10 cos 30te3t − 300

∫e3t sin 30t dt

)= 5 sin 30te3t − 50 cos 30te3t − 1500

∫e3t sin 30t dt

Bijgevolg is

1515

∫e3t sin 30t dt = 5 sin 30te3t − 50 cos 30te3t + C ′∫e3t sin 30t dt =

5

1515

(sin 30te3t − 10 cos 30te3t

)+

C ′

1515


15

∫e3t sin 30t dt =

15

303


)+

15C ′

1515

De oplossing van de differentiaalvergelijking wordt bijgevolg

e3tI = 15

∫e3t sin 30t dt

=5

101


)+ C

⇒ I(t) =5

101

(sin 30te3te−3t − 10 cos 30te3te−3t

)+ Ce−3t

=5

101(sin 30t− 10 cos 30t) + Ce−3t

Daar we gesteld hebben dat I(0) = 0, bekomen we

− 50

101+ C = 0⇒ C =

50

101

zodat

I(t) =5

101(sin 30t− 10 cos 30t) +

50

101e−3t

We visualiseren deze particuliere oplossing in Figuur 4.16 waarbij duidelijk het oscillatorisch gedrag

−1

−0.5

0

0.5

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5

I

t

Figuur 4.16: De integraalkromme I(t) = 5/101 (sin 30t− 10 cos 30t) + 50/101e−3t als bijzondere (of parti-

culiere) oplossing van de differentiaalvergelijking dI/dt + 3I = 15 sin 30t waarbij de stroom wordt uitgezet

in functie van de tijd wanneer een batterij is vervangen door een generator.

tot uiting komt als men de stroom uitzet in functie van de tijd wanneer een batterij in de stroomkring

werd vervangen door een generator.


4.7 Lineaire tweede orde differentiaalvergelijkingen

Voor de differentiaalvergelijkingen van hogere orde zullen we ons beperken tot differentiaalvergelij-

kingen van de tweede orde. Dergelijke vergelijkingen, opgelost naar y′′, kunnen worden geschreven

onder de vorm

y′′ =d2y

dx2= f

(x, y,

dy

dx

)(4.56)

De tweede orde differentiaalvergelijkingen die voor de chemicus interessant zijn om te begrijpen en

op te lossen, zijn de tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen die de vorm bezitten

P (x)d2y

dx2+Q(x)

dy

dx+R(x)y = G(x) (4.57)

waarbij P (x), Q(x), R(x) en G(x) specifieke functies zijn van x. De operator P (x)d2/dx2 +

Q(x)d/dx + R(x) is een lineaire operator. Lineaire differentiaalvergelijkingen hebben de handige

eigenschap dat wanneer y = f(x) een oplossing is, y = Af(x) ook een oplossing moet zijn waarbij

A een constante is. Om die reden zal een van de twee willekeurige constanten die voorkomen in

de algemene oplossing van een lineaire tweede orde differentiaalvergelijking enkel de functie in zijn

geheel doen vermeerderen. We zullen in deze paragraaf de differentiaalvergelijkingen behandelen

waarbij G(x) = 0.

P (x)d2y

dx2+Q(x)

dy

dx+R(x)y = 0 (4.58)

Men spreekt dan van homogene lineaire tweede orde differentiaalvergelijkingen genoemd.

Vooraleer we enkele oplossingsmethoden van tweede orde differentiaalvergelijkingen bespreken, zul-

len we opnieuw de grafische methode volgens Walter Kauzmann bespreken uit Referentie [4] zodat

we de meetkundige interpretatie van tweede orde differentiaalvergelijkingen kunnen begrijpen.

4.7.1 Meetkundige interpretatie van tweede orde differentiaalvergelijkingen

De tweede afgeleide van een functie geeft in principe de snelheid aan waarmee de helling van een

functie verandert wanneer de onafhankelijke veranderlijke wordt gevarieerd. Als de helling van een

functie niet constant is, zal het diagram van de functie dat we wensen uit te zetten in een grafiek

gekromd zijn. De waarde van y′′ is bijgevolg een maat voor de kromming van de oplossing. Een

tweede orde differentiaalvergelijking kan dus gezien worden als een uitdrukking van de kromming

van zijn oplossingen net zoals een eerste orde differentiaalvergelijking gezien mag worden als een

uitdrukking voor de helling van zijn oplossingen. Tweede orde differentiaalvergelijkingen geven ons

echter geen enkele informatie over de helling van de oplossing die door een punt (x, y) gaat. De

helling mag daarom willekeurig worden gekozen zodat een oneindig aantal oplossingen die allemaal

verschillen in helling door elk punt gaan in het x, y-vlak4. Een tweede orde differentiaalvergelijking

zal dan ook een grotere veelheid aan oplossingen hebben dan bij de eerste orde differentiaalvergelij-

kingen waar er enkel een oplossing doorheen elk punt in het x, y-vlak gaat. Deze grotere veelheid aan

4Leopold Verstraelen schrijft in Referentie [1] dat er door een punt (x, y) oneindig veel integraalkrommen gaan,

namelijk een voor elke richting y′.

4.7. Lineaire tweede orde differentiaalvergelijkingen 81

oplossingen wordt uit zichzelf nog uitgedrukt door het voorkomen van twee willekeurige constanten

in de oplossingen van alle tweede orde differentiaalvergelijkingen.

We zullen de grafische methode (of de meetkundige interpretatie) illustreren op de lineaire tweede

orde differentiaalvergelijkingd2y

dx2= −y (4.59)

Volgens deze vergelijking zal, wanneer y positief is, de oplossing een helling bezitten die afneemt

wanneer x toeneemt. Anderzijds zal, wanneer y negatief is, de helling toenemen wanneer x toe-

neemt. Alle oplossingen zullen neerwaarts gekromd zijn in de bovenhelft van het x, y-vlak en ze

zullen naar boven gekromd zijn in de onderste helft van het x, y-vlak. Wanneer de oplossingen

doorheen de x-as (y = 0) gaan, zullen ze niet gekromd zijn. Punten die op de x-as liggen zijn

buigpunten. De oplossingen oscilleren tussen de ene kant van de x-as naar de andere kant wanneer

x wordt gevarieerd. Door naar de differentiaalvergelijking te kijken, kunnen we ons reeds een idee

vormen van het algemeen gedrag van de oplossingen. In Figuur 4.17 worden er een reeks oplossin-

−2

−1

0

1

2

−2 −1 0 1 2

y

x

s0=0

s0=−1s 0

=−2.4

s0=1

s 0=2.4

Figuur 4.17: Oplossingen van de differentiaalvergelijking d2y/dx2 = −y doorheen het punt (0, 1) en waarbij

de hellingen s0 staan aangeduid bij dit punt. Noteer de neiging van de oplossingen om te krommen naar de

x-as.

gen van Vergelijking 4.59 gevisualiseerd die doorheen het punt (0, 1) gaan, maar met verschillende

hellingen. De algemene oplossing van Vergelijking 4.59 is

y = A sin(x+ b) (4.60)

waarbij A en b constanten zijn die gerelateerd zijn door de voorwaarde A sin b = 1. De algemene


oplossing kan worden geverifieerd door deze functie tweemaal af te leiden

y′ =dy

dx= A cos(x+ b)

y′′ =d2y

dx2= −A sin(x+ b) = −y

We merken nog op dat de functies die in Figuur 4.17 werden uitgezet in het punt (0, 1) de eerste

afgeleide functies (y′ = A cos(x + b)) zijn van de algemene oplossing in Vergelijking 4.60 met de

voorwaarde A cos b = 1.

Een volgende lineaire tweede orde differentiaalvergelijking die we grafisch bespreken is

d2y

dx2= y (4.61)

Gebruik makend van analoge argumenten zoals in de bespreking van Vergelijking 4.59, kunnen

we inzien dat de oplossingen voor Vergelijking 4.61 geenszins zullen oscilleren, maar wel de neiging

gaan hebben om te exploderen. Een grote positieve waarde van y zal namelijk de neiging hebben om

de helling te verhogen als x verhoogt, zodat wanneer dy/dx positief zal zijn, y zelfs de neiging zal

hebben tot nog grotere waarden als x stijgt. Als dy/dx echter negatief is, zal y zonder limiet stijgen

als x afneemt. Dergelijk explosief gedrag wordt gevonden voor negatieve waarden van y los van

het teken van dy/dx. Voor de grafische analyse zullen we ons (opnieuw) beperken tot oplossingen

die doorheen het punt (0, 1) gaan zodat we kunnen inzien dat bijna elke oplossing explodeert met

stijgende of dalende waarden van x zoals is gevisualiseerd in Figuur 4.18. In sommige gevallen is

de explosie gericht naar de positieve y-waarden en in andere gevallen naar de negatieve y-waarden.

In slechts twee gevallen zullen de oplossingen falen om te exploderen in zowel de positieve en de

negatieve x-richtingen. In deze oplossingen zal y nul benaderen zodat de oplossing asymptotisch

wordt in ofwel de positieve ofwel de negatieve x-as. De algemene oplossingen voor Vergelijking 4.61

zijn5

y = Ae−x + (1 +A) ex (4.62)

Deze algemene oplossing kan opnieuw worden geverifieerd door de functie tweemaal af te leiden.

y′ =dy

dx= −Ae−x + (1 +A) ex

y′′ =d2y

dx2= Ae−x + (1 +A) ex = y

De twee asymptotische oplossingen resulteren wanneer A = 0 en A = −1. In alle andere waarden

van A zal dit resulteren in explosies in zowel de positieve als de negatieve x-richtingen. We merken

5We zullen weldra de algemene oplossing bepalen als

y = C1e−x + C2e

x.

Om de eerste afgeleide van deze functie (y′ = −C1e−x + C2e

x ) doorheen het punt (0, 1) te laten gaan, moeten we

stellen dat C2 = 1 + C1.

4.7. Lineaire tweede orde differentiaalvergelijkingen 83

−2

−1

0

1

2

−2 −1 0 1 2

y

x

s0=0

s0 = 1

s 0=1.5

s 0=

3

s0=−3

s0=−1.5

s0 = −1

Figuur 4.18: Oplossingen van de differentiaalvergelijking d2y/dx2 = y doorheen het punt (0, 1) en waarbij

de hellingen s0 staan aangeduid bij dit punt. Noteer de neiging van de oplossingen om weg te buigen van de

x-as.

opnieuw op dat in Figuur 4.18 oneindig veel integraalkrommen doorheen het punt (1, 0) gaan,

namelijk een voor elke richting y′ = −Ae−x + (1 +A) ex.

Het oscillatorisch en explosief gedrag zijn de voornaamste kenmerken van de oplossingen van de

differentiaalvergelijkingen uit de theoretische scheikunde. De kwantisatie van de energie resulteert

uit het feit dat oplossingen met een explosief gedrag niet aanvaard kunnen worden en dat het

asymptotisch gedrag nodig is zal zijn voor de meeste systemen waarin de chemicus is geınteresseerd.

4.7.2 Een bijzonder geval

Voorbeeld 4.9

Er bestaan verschillende methoden om tweede orde differentiaalvergelijkingen te kunnen oplossen,

maar als we Vergelijking 4.59 herschikken tot

d2y

dx2+ y = 0 (4.63)

zien we dat Vergelijking 4.63 een lineaire differentiaalvergelijking van orde twee is waarin de on-

afhankelijke veranderlijke x niet expliciet voorkomt. Dergelijke differentiaalvergelijkingen kunnen

worden opgelost door te stellen dat

y′ =dy

dx= q (4.64)


waarbij q wordt gezien als een functie van y. Vergelijking 4.64 wordt afgeleid naar x gebruik makend

van de kettingregel

y′′ =d2y

dx2=dq

dy

dy

dx

of

y′′ =dq

dyq (4.65)

Door het invullen van Vergelijking 4.65 in Vergelijking 4.63 bekomen we

qdq

dy+ y = 0

dat na scheiding van de veranderlijken q en y kan worden geschreven als

qdq = −ydy

Integreren levert vervolgens ∫qdq = −

∫ydy

q2

2= −y

2

2+C2

2

zodat

q = ±√C2 − y2 (4.66)

We hebben de integratieconstante geschreven als C2 omdat zo meteen zal blijken dat ons dit heel

goed uitkomt. Door Vergelijking 4.66 in te vullen in Vergelijking 4.64 vinden we de gezochte functies

y van x zodatdy

dx= ±

√C2 − y2

En opnieuw wordt de scheiding van de veranderlijken toegepast

dy√C2 − y2

= ±dx

dy

C

√1−

( yC

)2 = ±dx

d( yC

)√

1−( yC

)2 = ±dx

∫ d( yC

)√

1−( yC

)2 = ±∫dx

arcsiny

C= K ± x

y

C= sin (K ± x)

4.8. Homogene lineaire tweede orde differentiaalvergelijkingen 85

y = C sin (K ± x)

We merken op dat we hier reeds Vergelijking 4.60 hebben afgeleid, maar met behulp van de gonio-

metrische formules kunnen we nog schrijven dat

y = C (sinK cosx± cosK sinx)

y = C sinK︸︷︷︸C1

cosx±C cosK︸︷︷︸+C2

sinx

y = C1 cosx+ C2 sinx

In de volgende paragraaf zullen we echter een meer algemene manier van oplossen van homogene

lineaire tweede orde differentiaalvergelijkingen bespreken.

4.8 Homogene lineaire tweede orde differentiaalvergelijkingen

Voor deze algemene bespreking baseren we ons op de uitwerking van James Stewart in Referentie [6].

Zoals we reeds hebben besproken, hebben homogene lineaire tweede orde differentiaalvergelijkingen

de vorm

P (x)d2y

dx2+Q(x)

dy

dx+R(x)y = 0 (4.67)

waarbij P (x), Q(x) en R(x) specifieke functies zijn van x en de operator (P (x)d2/dx2+Q(x)d/dx+

R(x)) een lineaire operator is. Om dergelijke vergelijkingen te kunnen oplossen, moeten we ons

bewust zijn van twee basisfeiten. Een eerste is dat wanneer we de oplossingen y1 en y2 van een

dergelijjke vergelijking kennen, dan is de lineaire combinatie y = C1y1 + C2y2 ook een oplossing.

Stelling 4.1

Als y1(x) en y2(x) beiden oplossingen zijn van de homogene lineaire differentiaalvergelijking 4.67

met C1 en C2 eener welke constanten, dan is de functie

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x)

ook een oplossing van Vergelijking 4.67.

4.9 Het deeltje in een eendimensionele doos

We beschouwen een deeltje met een massa m dat gedwongen wordt om te bewegen in een eendi-

mensionele doos met afmeting x = 0 tot x = L (Figuur 4.19). Het deeltje beweegt vrij tot het de

wand treft waardoor het wordt teruggekaatst. Een dergelijke situatie komt voor bij een vrij elek-

tron dat door een metaal kan bewegen, maar er niet uit kan ontsnappen omdat de hoogte van de

potentiaalwanden veel groter is dan de kinetische energie van het elektron [11]. In het beschouwde

fysisch model worden de wanden ondoordringbaar gemaakt door de potententiele energie plotseling

oneindig te laten stijgen buiten het gebied met lengte L.

V (x) = 0 voor 0 < x < L en V (x) =∞ voor x ≤ 0, x ≥ L (4.68)


V (x) =∞ V (x) =∞V (x) = 0

0 L x

ψn(x) =

√2

Lsin

nπx

Lψ(x) = 0 ψ(x) = 0

Figuur 4.19: Schematische weergave voor een deeltje in een eendimensionele doos waarbij de wanden

ondoordringbaar zijn gemaakt door de potententiele energie plotseling oneindig te laten stijgen buiten het

gebied met lengte L.

De Schrodingervergelijking is de fundamentele vergelijking in de kwantumchemie en kan worden

opgesteld om elk mogelijk fysisch systeem te beschrijven. Voor het deeltje met massa m dat moet

bewegen in een eendimensionele doos schrijven we

− ~2

2m

d2ψ(x)

dx2+ V (x) = Eψ(x) (4.69)

waarbij ψ(x) de golffunctie is die het deeltje met massa m beschrijft en ~ = h/2π met h de

constante van Planck. Buiten de doos is de potentiele energie oneindig en de tweede afgeleide van

de golffunctie zou dus oneindig zijn als ψ(x) niet gelijk zou zijn aan nul voor alle waarden buiten

de doos [12]. Daar d2ψ(x)/dx2 moet bestaan, is ψ(x) bijgevolg gelijk aan nul buiten de doos.

Bovendien is de golffunctie continu voor de potentiele energiefunctie gegeven in Vergelijking 4.68

zodat

ψ(0) = ψ(L) = 0 (4.70)

In Vergelijking 4.70 worden de randvoorwaarden opgelijst waar elke golffunctie voor een deel-

tje in een eendimensionele doos aan moet voldoen. In de doos is V (x) = 0 zodat we de

Schrodingervergelijking kunnen herleiden naar

− ~2

2m

d2ψ(x)

dx2= Eψ(x) (4.71)

Na herschikken vinden wed2ψ(x)

dx2= −2mE

~2ψ(x)

4.9. Het deeltje in een eendimensionele doos 87

of geschreven in de vorm van een homogene lineaire tweede orde differentiaalvergelijking

d2ψ(x)

dx2+

2mE

~2ψ(x) = 0

dat dezelfde vorm heeft als het bijzonder geval y′′ + y = 0 dat we hebben opgelost. We zullen

de differentiaalvergelijking opgesteld voor een deeltje in een eendimensionale doos nu ook oplossen

met behulp de karakteristieke vergelijking, namelijk

r2 +2mE

~2= 0⇒ r2 = −2mE

~2= i2

2mE

~2

zodat

r1 = 0 + i

√2mE

~2∧ r2 = 0− i

√2mE

~2De algemene oplossing voor deze differentiaalvergelijking met twee willekeurige constanten A+ en

A− is vervolgens

ψ(x) = A+er1x +A−e

r2x

= A+e

0+i

√2mE

~2

x+A−e

0−i

√2mE

~2

x

= A+e0e

+i

√2mE

~2x

+A−e0e−i

√2mE

~2x

= A+e+ikx +A−e

−ikx

waarbij we de verschillende constanten hebben gecombineerd in het golfgetal k = 2π/λ =√2mE/~2. Gebruik makende van de formule van Euler (eiθ = cos θ+ i sin θ) kunnen we schrijven

dat

ψ(x) = A+e+ikx +A−e

−ikx

= A+ (cos kx+ i sin kx) +A− (cos kx− i sin kx)

= A+ cos kx+ iA+ sin kx+A− cos kx− iA− sin kx

= (A+ +A−) cos kx+ i (A+ −A−) sin kx

= C1 cos kx+ C2 sin kx (4.72)

Nu passen we de randvoorwaarden uit Vergelijking 4.70 toe. Door het invullen van x = 0 in

Vergelijking 4.72 vinden we

ψ(0) = C1 cos k0 + C2 sin k0 = C1 + 0 = 0⇒ C1 = 0

In vullen van x = L in Vergelijking 4.72 levert ons

ψ(L) = C1 cos kL+ C2 sin kL = 0

= 0 cos kL+ C2 sin kL = 0

= C2 sin kL = 0


We vinden dat enkel aan de eerste voorwaarde kan worden voldaan als C1 = 0. De tweede voor-

waarde houdt in dat ofwel C2 = 0 of dat kL = nπ waarbij n een geheel getal is (n ∈ Z). Als echter

C2 = 0, zou dit betekenen dat de golffunctie altijd gelijk zou zijn aan nul wat vanzelfsprekend on-

aanvaardbaar is omdat dit zou betekenen dat er dan geen deeltje zou te vinden zijn in het interval

0 < x < L. We moeten dus besluiten dat de algemene oplossing voor de Schrodingervergelijking

opgesteld voor het deeltje in een doos geschreven wordt als

ψn(x) = C2 sinnπx

L

De vereiste dat kL = nπ zal belangrijke gevolgen hebben voor het energiespectrum van het deeltje

in een doos. De aanvaardbare golffuncties moeten de vorm bezitten (C2 = C)

ψn(x) = C sinnπx

Lvoor n = 1, 2, 3, 4, . . . (4.73)

Alle waarden van n komen overeen met een afzonderlijke eigenfunctie. De constante C is nog niet

gedefinieerd in deze vergelijking, maar kan worden bepaald door te normaliseren. De normalisatie-

voorwaarde stelt dat de totale waarschijnlijkheid om een deeltje te vinden in de doos, gelijk is aan

een. ∫ L

0|ψn|2 dx = C2

∫ L

0sin2 nπx

Ldx = 1

We hebben deze integraal reeds met behulp van partiele integratie berekend in het hoofdstuk over

integraalrekening en de oplossing was gelijk aan L/2 zodat

C2L

2= 1⇒ C =

√2

L

De genormaliseerde eigenfuncties zijn

ψn(x) =

√2

Lsin

nπx

L(4.74)

We moeten nu de eigenwaarden voor de energie vinden die behoren bij deze eigenfuncties. Hier-

voor dienen we de gevonden genormaliseerde eigenfuncties uit Vergelijking 4.74 in te vullen in

Vergelijking 4.71. We berekenen de eerste afgeleide als

dψ(x)

dx=

√2

L

d(

sinnπx

L

)dx

=

√2

L

nπ

Lcos

nπx

L

en de tweede afgeleide als

d2ψ(x)

dx2=

√2

L

nπ

L

d(

cosnπx

L

)dx

= −(nπL

)2√ 2

Lsin

nπx

L

zodat

− ~2

2m

d2ψ(x)

dx2= − ~2

2m

[−(nπL

)2√ 2

Lsin

nπx

L

]=

~2

2m

(nπL

)2√ 2

Lsin

nπx

L=

~2

2m

(nπL

)2ψn(x)

4.9. Het deeltje in een eendimensionele doos 89

Vergelijking 4.71 wordt bijgevolg

− ~2

2m

d2ψn(x)

dx2= Eψn(x)

~2

2m

(nπL

)2ψn(x) = Enψn(x)

De eigenwaarden voor de energieen die behorende bij de eigenfuncties zijn (met ~ = h/2π)

En =~2

2m

(nπL

)2=

h2

(2π)22m

(nπL

)2=

h2n2

8mL2voor n = 1, 2, 3, 4, . . . (4.75)

Met het belangrijke resultaat uit Vergelijking 4.75 kunnen we inzien dat de energie voor het deeltje

in een doos enkel discrete waarden kan innemen. De energie van het deeltje in een doos is dus

gekwantiseerd en het getal n is het bijbehorend kwantumgetal. Een ander belangrijk resultaat uit

deze berekening is dat de laagst mogelijke toegestane energie groter moet zijn dan nul. Dit kunnen

we inzien omdat het golfgetal k gelinkt is aan de golflengte in de relatie k = 2π/λ zodat λ = 2π/k =

2L/n waardoor n sowieso groter moet zijn dan nul. Bijgevolg is de laagste energie die een deeltje in

een doos kan bezitten voor n = 1 en dit wordt de nulpuntsenergie genoemd. In Figuur 4.20 worden

de eerste vier toegestane energieniveaus met de bijbehorende overeenkomstige eigenfuncties voor een

0

5

10

15

0 0.5 1.0

ψ1

ψ2

ψ3

ψ4

0 0.5 1.0

|ψ1|2

|ψ2|2

|ψ3|2

|ψ4|2

E/(h2/8m

L2)∼n2

x/L x/L

Figuur 4.20: Aan de linkerkant zijn de eerste vier toegestane energieniveaus met de bijbehorende corres-

ponderende golffuncties voor een deeltje in een eendimensionele doos gevisualiseerd. Aan de rechterkant zijn

de kwadraten van de eerste vier golffuncties of de waarschijnlijkheidsverdelingen gevisualiseerd in functie

van de afstand tezamen met de eerste vier toegestane energieniveaus.

deeltje in een eendimensionele doos gevisualiseerd in een grafiek waarbij de energie wordt uitgezet

in functie van de afstand. Alle golffuncties, behalve ψ1, vertonen knopen. Knopen zijn punten waar


de waarschijnlijkheid om het deeltje te vinden gelijk is ‘nul’. In Figuur 4.20 worden eveneens de

waarschijnlijkheidsverdelingen of de kwadraten van de eerste vier golffuncties (|ψn(x)|2) getoond.

De meest waarschijnlijke plaats om bijvoorbeeld een deeltje met een energiekwantum terug te

vinden, is precies centraal tussen de wanden terwijl een deeltje met twee energiekwanta juist op die

centrale plaats ‘nul’ waarschijnlijkheid heeft.

Bibliografie

[1] Leopold Verstraelen. Hogere Wiskunde Volume 5 – Differentiaalvergelijkingen. Uitgeverij

Leuven Wouters, 1993.

[2] Frank Jr. Ayres. Schaum’s Outline of Theory and Problems of Differential Equations. Schaum

Publishing Co., 1952.

[3] Edward Jennekens and Gustaaf Deen. Wiskunde 6 – Analyse II. Uitgeverij De Sikkel, n.v.,

1989.

[4] Walter Kauzmann. Quantum Chemistry. Academic Press Inc., Third Printing, 1961.



[6] James Stewart. Calculus Early Transcendentals. Thomson Higher Education, sixth edition,

2008. http://www.stewartcalculus.com.

[7] Gilbert W. Castellan. Physical Chemistry. Addison-Wesley Publishing Company, Inc., third

edition, 1983.

[8] Andrew Burrows, John Holman, Andrew Parsons, Gwen Pilling, and Gareth Price. Chemistry3:

introducing inorganic, organic and physical chemistry. Oxford University Press Inc., first

edition, 2009.

[9] Catherine E. Housecroft and Edwin C. Constable. Chemistry: an introduction to organic,

inorganic, and physical chemistry. Pearson Education Limited, fourth edition, 2010.

[10] http://goldbook.iupac.org/B00624.html.

[11] Marcelo Alonso and Edward J. Finn. Fundamentele natuurkunde ten dienste van het weten-

schappelijk onderwijs. Deel 4. Quantumfysica. Agon Elsevier, tweede druk, 1973.

[12] Thomas Engel and Philip Reid. Physical Chemistry. Pearson Education, Inc., 2006.

http://www.stewartcalculus.com

http://goldbook.iupac.org/B00624.html

Hoofdstuk 5

Matrices & Determinanten

De wiskundige studie van symmetrie in chemie gerelateerde problemen is gebaseerd op groepenthe-

orie [1]. In de cursus Moleculaire Architectuur leren we symmetrie herkennen in moleculen door

symmetrie-operaties uit te voeren en de moleculen een puntgroep toe te kennen. Vervolgens worden

matrices geıntroduceerd die homomorf zijn met de beschreven symmetrie-operaties. Van dergelijke

matrices wordt gezegd dat ze de symmetrie-operaties representeren [2]. Matrixrepresentaties van

moleculaire puntgroepen omschrijven op een wiskundige manier de symmetrie van een molecule

en zijn bijgevolg een centraal thema in alle op chemie gerelateerde groepentheoretische toepassin-

gen [3]. Een inzicht in de wiskundige stellingen betreffende matrices zal ons helpen om bijvoorbeeld

moleculaire orbitaaltheorie alsook vibrationele spectroscopie beter te begrijpen [4]. Dit hoofdstuk

is voornamelijk gebaseerd op het hoofdstuk Matrices van David M. Bishop in Referentie [2].

5.1 Definities

Een matrix is een rechthoekige ordening van getallen. Voor a11, a12, . . ., aij ∈ R noemen noemen

we de ordening

A =

a11 a12 . . . a1j

a21 a22 . . . a2j...

.... . .

...

ai1 ai2 . . . aij

een matrix A met m rijen en n kolommen of kortweg een m × n matrix [5]. Matrices kunnen

vierkant (m = n) of rechthoekig (m 6= n) zijn, maar wij zullen ons voornamelijk baseren op de

vierkante matrices.

De getallen aij worden de elementen van de matrix genoemd. De matrix A behoort tot de verza-

meling van de m× n matrices met reele elementen1:

A = [aij ] ∈ Rm×n

1We richten ons in eerste instantie voornamelijk op reele m×n matrices, maar zullen eveneens complexe matrices

aanhalen.

91

92 Hoofdstuk 5. Matrices & Determinanten

We gebruiken in het algemeen een schuine hoofdletter om een matrix te symboliseren en verkort

wordt een matrix A genoteerd als [aij ]. Een element van een matrix wordt aangegeven door eerst

het rijnummer i en vervolgens het kolomnummer j te vermelden. Wanneer bijvoorbeeld

A =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

is a23 = 6.

Het aantal rijen (of kolommen) in een vierkante matrix wordt de orde van de matrix genoemd.

Rij- en kolommatrices zoals bijvoorbeeldxyz

en[a1 a2 a3

]

kunnen worden gebruikt om de componenten van een vector te definieren [6]. In Figuur 5.1 wordt

een punt P in een driedimensioneel Cartesiaans assenstelsel gelokaliseerd door middel van zijn

coordinaten x, y en z. Wanneer we drie eenheidsvectoren ~ex, ~ey en ~ez definieren, die samenvallen

y

x

zO

x

~ex y

~ey

z

~ez

P (x, y, z)

~r

Figuur 5.1: Een punt P kan worden gelokaliseerd door middel van zijn coordinaten x, y en z.

met de Cartesiaanse assen, dan kan elke positievector ~r worden uitgedrukt als

~r = x~ex + y~ey + z~ez (5.1)

waarbij ~ex, ~ey en ~ez orthogonale basisvectoren zijn en x, y en z de componenten van de positievector

~r. Eender welk punt in de ruimte met coordinaten x, y en z kan worden gelokaliseerd door middel

van een positievector waarvan de componenten in een kolommatrix kunnen worden geschreven.

Vierkante matrices mogen niet verward worden met determinanten. Een determinant is een vier-

kante ordening van elementen die de som van zekere producten van de elementen symboliseert. In

5.1. Definities 93

tegenstelling tot matrices, hebben determinanten een definitieve kwantitatieve waarde. De deter-

minant van een vierkante matrix is de determinant die bekomen wordt door een reeks elementen

in de matrix te beschouwen als een determinant. We zullen om een determinant aan te duiden,

rechte verticale lijnen gebruiken aan weerszijden van de ordening. Voor de vierkante n× n matrix

A genoteerd als [ann]

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...

an1 an2 . . . ann

schrijven we de determinant als detA van de nde orde als

detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1i

a21 a22 . . . a2i...

.... . .

...

ai1 ai2 . . . aii

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Voor een 2× 2 vierkante matrix

A =

[a11 a12

a22 a22

]definieren we een determinant van de tweede orde als het reele getal detA dat wordt gegeven door

detA =

∣∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣ = a11a22 − a21a12 (5.2)

Voor een 3× 3 vierkante matrix

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

wordt de determinant van de derde orde gedefinieerd als het reele getal detA dat wordt gegeven

door

detA =

∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣= a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 − a31a22a13 − a21a12a33 − a11a32a23 (5.3)

In het algemeen is een determinant gelijk aan de som van de producten van de elementen in eender

welk gegeven kolom (of rij) met de overeenkomstige cofactoren. De cofactor Aij van een element2

2Er is een subtiel verschil tussen cofactoren en minoren. De minor is de determinant verkregen door het schrappen

van een rij of een kolom. Als voor deze determinant de factor (−1)i+j wordt geschreven, gebruikt men de benaming

cofactor. Zie hiervoor http://mathworld.wolfram.com/DeterminantExpansionbyMinors.html.

http://mathworld.wolfram.com/DeterminantExpansionbyMinors.html


is gelijk aan (−1)i+j vermenigvuldigd met de lagere orde determinant die overblijft wanneer de i-de

rij en de j-de kolom geschrapt worden. Er geldt [7]

detA =k∑i=1

aijAij (5.4)

Toegepast op een determinant van de derde orde bekomen we bijvoorbeeld

detA =

∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣ = a11A11 + a21A21 + a31A31

= a11 × (−1)1+1 ×

∣∣∣∣∣a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣∣+ a21 × (−1)2+1 ×

∣∣∣∣∣a12 a13

a32 a33

∣∣∣∣∣+ a31 × (−1)3+1 ×

∣∣∣∣∣a12 a13

a22 a23

∣∣∣∣∣= a11 (a22a33 − a32a23)− a21 (a12a33 − a32a13) + a31 (a12a23 − a22a13)

= a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 − a31a22a13 − a21a12a33 − a11a32a23

waarbij we de determinant hebben ontwikkeld naar de eerste kolom. De som van de producten van

alle elementen van een rij of een kolom van een 3 × 3 determinant met de eigen cofactoren hangt

niet af van de gebruikte kolom of rij. Ontwikkelen we naar de eerste rij, bekomen we voor

detA =

∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣ = a11A11 + a12A12 + a13A13

= a11 × (−1)1+1 ×

∣∣∣∣∣a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣∣+ a12 × (−1)1+2 ×

∣∣∣∣∣a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣∣+ a13 × (−1)1+3 ×

∣∣∣∣∣a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣∣= a11 (a22a33 − a32a23)− a12 (a21a33 − a31a23) + a13 (a21a32 − a31a22)

= a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 − a31a22a13 − a21a12a33 − a11a32a23

opnieuw hetzelfde resultaat. We kunnen dus eender welke determinant opbreken en schrijven als

producten van lagere orde determinanten totdat we enkel nog determinanten van de tweede orde

overhouden waarvan de waarden gegeven worden door Vergelijking 5.2.

5.2 Bijzondere matrices

5.2.1 De eenheidsmatrix

De eenheidsmatrix is een vierkante matrix waarin de elementen van de hoofddiagonaal gelijk zijn

aan een en waarin alle elementen die niet behoren tot de hoofddiagonaal gelijk zijn aan nul.

E =

1 0 0 . . . 0

0 1 0 . . . 0

0 0 1 . . . 0...

......

. . ....

0 0 0 . . . 1

(5.5)

5.2. Bijzondere matrices 95

De eenheidsmatrix kan worden gesymboliseerd met de Kronecker delta

eij = δij =

1 i = j

0 i 6= j

Een ander symbool dat soms voor de eenheidsmatrix wordt gebruikt is I.

5.2.2 De diagonaalmatrix

Voor een diagonaalmatrix zijn alle elementen die niet op de hoofddiagonaal staan, gelijk aan nul.

D =

d1 0 0 . . . 0

0 d2 0 . . . 0

0 0 d3 . . . 0...

......

. . ....

0 0 0 . . . dn

(5.6)

Er geldt

dij = 0 als i 6= j ∧ dij 6= 0 als i = j

5.2.3 De reele matrix

Het complex geconjugeerde of het complex toegevoegde f∗ van een getal of functie f wordt bekomen

door het teken van i te veranderen in f door −i. Het complex toegevoegde van een matrix A wordt

geschreven als A∗ waarbij de elementen van A∗ de complex geconjugeerden zijn van de elementen

van A. We kunnen schrijven dat (a∗)ij = (aij)∗. Voor een reele matrix zijn alle elementen reeel

zodat geldt dat

A = A∗ (5.7)

zodat

∀i ∧ j ∈ R : aij = a∗ij

5.2.4 De symmetrische matrix

De getransponeerde (of de gespiegelde) van een matrix A wordt bekomen door de opeenvolgende

rijen te schrijven als opeenvolgende kolommen (of vice versa) en schrijven we als A. De getranspo-

neerde van

A =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

is A =

1 4 7

2 5 8

3 6 9

Voor een symmetrische matrix geldt dat

A = A (5.8)


zodat

∀i ∧ j ∈ C : aij = aji

Alle symmetrische matrices moeten vierkant zijn.

Voorbeeld

De matrix

A =

1 2 3

2 4 5

3 5 6

is symmetrisch.

5.2.5 De hermitische matrix

De geadjugeerde matrix of de adjunctmatrix wordt bekomen door het complex toegevoegde te

nemen van de getransponeerde matrix en zullen we schrijven met het symbool A† zodat A† = A∗.

De geadjugeerde matrix van

A =

1 4 i

ei 2 −i3 e2i 1

is A† =

1 e−i 3

4 2 e−2i

−i i 1

Een hermitische matrix is een matrix die gehoorzaam is aan de vergelijking

A = A† (5.9)

zodat

∀i ∧ j ∈ C : aij = a∗ji

Alle hermitische matrices moeten vierkant zijn. Voor reele matrices is de regel om hermitisch te

zijn hetzelfde als zeggen dat ze symmetrisch zijn.

Voorbeeld

De matrix

A =

1 4 i

ei 2 −i3 e2i 1

= A∗ = A†

is hermitisch.

5.2. Bijzondere matrices 97

5.2.6 De nulmatrix

De nulmatrix is een matrix van eender welke dimensie waarvoor alle elementen gelijk zijn aan nul

zodat 0ij = 0 voor alle i ∧ j.

0 =

0 0 0 . . . 0

0 0 0 . . . 0

0 0 0 . . . 0...

......

. . ....

0 0 0 . . . 0

(5.10)

5.2.7 De unitaire matrix

Een matrix wordt unitair genoemd als zijn adjunctmatrix gelijk is aan zijn omgekeerde matrix.

A† = A−1

zodat

A†A = E (5.11)

AA† = E

Alle unitaire matrices zijn vierkant. De kolommen (of rijen) van een unitaire matrix zijn gerela-

teerd aan een reeks orthogonale genormaliseerde vectoren in een algemene vectorruimte. Wanneer

bijvoorbeeld

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...

an1 ai2 . . . ann

unitair is, dan is A†A = E en

n∑k=1

a∗kiakj = δiji = 1, 2, . . . n

j = 1, 2, . . . n(5.12)

Dit is per definitie de vereiste voor de algemene vectoren

~rj =n∑k=1

akj~ek j = 1, 2, . . . n (5.13)

om te zeggen dat ze orthogonaal en genormaliseerd zijn. De kolommen in A stellen dan de compo-

nenten voor van de orthogonale genormaliseerde vectoren ~rj met ~ek (k = 1, 2 . . . n) als orthogonale

eenheidsvectoren.

Wanneer men in plaats daarvan schrijft dat AA† = E, is dit per definitie voor de algemene vectoren

~si =n∑k=1

aik~ek i = 1, 2, . . . n (5.14)

de vereiste om te zeggen dat ze orthogonaal en genormaliseerd zijn. Nu zijn het de rijen van A die

de componenten van de orthogonale genormaliseerde vectoren ~si voorstellen.


Voorbeeld

De matrix

A =

1 0 0

0 0 ω

0 ω2 0

= A†

met ω = exp(2πi/3) is een voorbeeld van een unitaire matrix zodat geldt dat AA† = A†A = E.

5.2.8 De orthogonale matrix

Een matrix is orthogonaal als de getransponeerde matrix gelijk is aan de inverse matrix3.

A = A−1 (5.15)

Voor reele matrices is de vereiste om orthogonaal of unitair te zijn hetzelfde. Alle orthogonale

matrices zijn vierkant.

Voorbeeld

A =

cos θ sin θ 0

− sin θ cos θ 0

0 0 1

is een voorbeeld van een orthogonale matrix.

5.3 Elementaire matrixalgebra

De algebra van matrices bestaat uit regels voor gelijkheid, optelling en aftrekking, vermenigvuldi-

ging, deling, een regel voor associativiteit en een regel voor distributiviteit. Het bevat eveneens

regels voor de getransponeerde, de geadjugeerde en de inverse van een matrix.

5.3.1 Gelijke matrices

Twee matrices A en B noemen we gelijk als en alleen als aij = bij voor alle i en j.

Voorbeeld

Als A =

[1 2

3 4

]enA = B, dan isB =

[1 2

3 4

]3We zullen de inverse of omgekeerde matrix expliciet definieren in de paragraaf over het delen van matrices waar

we ook een algemene methode bespreken om de inverse matrix te zoeken.

5.3. Elementaire matrixalgebra 99

5.3.2 Optellen en aftrekken van matrices

Matrices kunnen worden opgeteld en van elkaar worden afgetrokken enkel en alleen indien de

matrices dezelfde dimensies bezitten. De som van twee matrices A en B wordt gegeven door de

matrix C.

A+B = C

waarbij cij = aij + bij voor alle i en j.

Voorbeeld [1 2

3 4

]+

[5 6

7 8

]=

[6 8

10 12

]Onder dezelfde omstandigheden zal het aftrekken van de matrix B van A de matrix C opleveren.

A−B = C

waarbij cij = aij − bij voor alle i en j.

Voorbeeld [1 2

3 4

]−

[5 6

7 8

]=

[−4 −4

−4 −4

]Hieruit volgt dat het vermenigvuldigen van een matrix A met een getal c een matrix B oplevert,

dus

B = cA

waarbij de elementen worden gegeven door bij = caij voor alle i en j.

Voorbeeld

3

[1 2

3 4

]=

[3 6

9 12

]

5.3.3 Matrixvermenigvuldiging

Twee matrices A en B kunnen enkel met elkaar worden vermenigvuldigd wanneer het aantal ko-

lommen van de eerste matrix A gelijk is aan het aantal rijen van de tweede matrix B waarbij het

product wordt gedefinieerd door een matrix C.

C = AB

In het algemeen zal het product van een m×n matrix A bestaande uit m rijen en n kolommen met

een n× p matrix B bestaande uit n rijen en p kolommen, een m× p matrix C opleveren bestaande

uit m rijen en p kolommen waarvan het element in de positie ij gelijk is aan het product van de


i-de rij van de eerste matrix met de j-de kolom van de tweede matrix [5]. In symbolen kunnen we

schrijven dat

cij = ai1 · b1j + ai2 · b2j + . . .+ ain · bnj =n∑k=1

aikbkj

voor alle i en j.

Voorbeelden

[1 2

3 4

][5 6

7 8

]=

[19 22

43 50

] 2 0

3 5

−1 1

[1 1 1

2 3 −4

]=

2 2 2

13 18 −17

1 2 −5

1 2 3

4 5 6

7 8 9

1

2

3

=

14

32

50

[1 2 3

]1 2 3

4 5 6

7 8 9

1

2

3

=[30 36 42

]Merk op dat de matrixvermenigvuldiging niet commutatief is. Dit betekent dat voor twee matrices

de producten A ·B en B ·A over het algemeen niet gelijk zijn. In sommige bijzondere gevallen waar

A ·B en B ·A toch gelijk zijn, zegt men dat A en B commuteren met elkaar.

Meer dan twee matrices kunnen met elkaar worden vermenigvuldigd. Men gebruikt dan eenvou-

digweg de vermenigvuldigingsregel meer dan eens. Voor het product

D = ABC

wordt het algemeen element van het product gegeven door

dij =r∑k

s∑m

aikbkmcmj (5.16)

voor alle i en j waarbij r het aantal kolommen is in A dat hetzelfde moeten zijn als het aantal rijen

in B en s het aantal rijen is in C.

Een belangrijk gebruik van matrices is het uitdrukken van lineaire vergelijkingen in een meer

compacte vorm. Gebruik makende van de matrixvermenigvuldigignsregel is het mogelijk om de

volgende vergelijkingen te schrijven

a11y1 + a12y2 + a13y3 = x1

a21y1 + a22y2 + a23y3 = x2

a31y1 + a32y2 + a33y3 = x3

(5.17)


in de vorm a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

y1y2y3

=

x1x2x3

of

AY = X (5.18)

waarbij

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

Y =

y1y2y3

X =

x1x2x3

Wanneer we de volgende reeks lineaire vergelijkingen definieren

b11z1 + b12z2 + b13z3 = y1 (5.19)

b21z1 + b22z2 + b23z3 = y2 (5.20)

b31z1 + b32z2 + b33z3 = y3 (5.21)

dan is

Y = BZ

met

B =

b11 b12 b13

b21 b22 b23

b31 b32 b33

en Z =

z1z2z3

Daarom geldt dat

(AB)Z = X

Dit resultaat kan als volgt worden uitgedrukt. Als de transformatie van de componenten z naar

de componenten y wordt gedefinieerd door de matrix B en de transformatie van de componenten

y naar de componenten x door de matrix A, dan is de transformatie van de componenten z naar

de componenten x gedefinieerd door de matrix AB.

De determinant van het product van twee vierkante matrices

De determinant van het product van twee n×n matrices is gelijk aan het product van de determi-

nanten van deze matrices. We dienen te bewijzen dat

∀A ∧B ∈ Rn×n : det(AB) = detAdetB

Bewijs

We beschouwen twee matrices van tweede orde en gaan uit van

A =

[a11 a12

a21 a22

]B =

[b11 b12

b21 b22

]AB =

[a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22

a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22

]


We berekenen

det(AB) =

∣∣∣∣∣a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22

a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣a11b11 a11b12 + a12b22

a21b11 a21b12 + a22b22

∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣a12b21 a11b12 + a12b22

a22b21 a21b12 + a22b22

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣a11b11 a11b12

a21b11 a21b12

∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣a11b11 a12b22

a21b11 a22b22

∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣a12b21 a11b12

a22b21 a21b12

∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣a12b21 a12b22

a22b21 a22b22

∣∣∣∣∣= b11b12

∣∣∣∣∣a11 a11

a21 a21

∣∣∣∣∣+ b11b22

∣∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣+ b21b12

∣∣∣∣∣a12 a11

a22 a21

∣∣∣∣∣+ b21b22

∣∣∣∣∣a12 a12

a22 a22

∣∣∣∣∣= b11b12 · 0 + b11b22 (a11a22 − a21a12) + b21b12 (a12a21 − a22a11) + b21b22 · 0

= b11b22 (a11a22 − a21a12)− b21b12 (a22a11 − a12a21)

= (a11a22 − a21a12) (b11b22 − b21b12)

= detAdetB

Dit bewijs kan uitgebreid worden naar matrices van hogere orde.

5.3.4 Het delen van matrices

Als men matrices wil delen, zal men eerst de inverse van een matrix dienen te definieren. Van elke

vierkante matrix A die een determinant heeft die niet van nul verschilt

detA 6= 0

wordt gezegd dat de matrix niet-singulier is of regulier [5]. Enkel en alleen voor dergelijke reguliere

matrices, bestaat er een omgekeerde A−1 die kan worden gedefinieerd door

AA−1 = A−1A = E (5.22)

waarbij E de eenheidsmatrix is. De matrixoperatie die equivalent is met de deling is de matrixver-

menigvuldiging met een inverse. Als bijvoorbeeld

AB = C

mogen we schrijven dat

ABB−1 = CB−1

AE = CB−1

A = CB−1

Daar matrices niet noodzakelijk commuteren, hebben we beide leden van de vergelijking moeten

vermenigvuldigen met B−1.


Methode om de inverse of de omgekeerde van een matrix te bepalen

We beschouwen n lineaire vergelijkingen

y1 = a11x1 + a12x2 . . . + a1nxn

y2 = a21x1 + a22x2 . . . + a2nxn...

......

.... . .

......

yn = an1x1 + an2x2 . . . + annxn

(5.23)

die in matrixnotatie worden geschreven alsy1

y2...

yn

=

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...

an1 ai2 . . . ann

x1

x2...

xn

of Y = AX. Door nu beide leden van deze vergelijking met de omgekeerde van A of A−1 te

vermenigvuldigen, verkrijgen we

A−1Y = A−1AX

A−1Y = EX

A−1Y = X

We definieren nu de inverse matrix van A als

A−1 =

a′11 a′12 . . . a′1na′21 a′22 . . . a′2n...

.... . .

...

a′n1 a′i2 . . . a′nn

zodat geldt voor X = A−1Y dat

x1

x2...

xn

=

a′11 a′12 . . . a′1na′21 a′22 . . . a′2n...

.... . .

...

a′n1 a′i2 . . . a′nn

y1

y2...

yn

(5.24)

De determinant van A kan nu worden geschreven als

detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= a11A11 + a21A21 + . . .+ an1An1


= a12A12 + a22A22 + . . .+ an2An2. . . . . . . . .

= a1nA1n + a2nA2n + . . .+ annAnn

met Aij de cofactor van aij . We vermenigvuldigen vervolgens de eerste lineaire vergelijking in

Vergelijkingen 5.23 met A11, de tweede met A21, . . ., de nde met An1 en we tellen deze met elkaar

op. We bekomen

A11y1 +A21y2 + . . .+An1yn = (a11A11 + a21A21 + . . .+ an1An1)x1+ (a12A11 + a22A21 + . . .+ an2An1)x2+ . . .

+ (a1nA11 + a2nA21 + . . .+ annAn1)xn

= detAx1 +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a12 a12 . . . a1n

a22 a22 . . . a2n...

.... . .

...

an2 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x2 + . . .+

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a1n a12 . . . a1n

a2n a22 . . . a2n...

.... . .

...

ann an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣xn

Daar determinanten met een of meerdere identieke kolommen of rijen gelijk zijn aan nul, wordt de

vergelijking

A11y1 +A21y2 + . . .+An1yn = detAx1

zodat

x1 =A11

detAy1 +

A21

detAy2 + . . .+

An1detA

yn

Op een gelijkaardige manier met de andere cofactoren, bekomen we

x2 =A12

detAy1 +

A22

detAy2 + . . .+

An2detA

yn

...

xn =A1n

detAy1 +

A2n

detAy2 + . . .+

AnndetA

yn

De bekomen resultaten voor x1, x2, . . . xn geven de oplossing voor eender welke reeks van n verge-

lijkingen in n veranderlijken en staat gekend als de regel van Cramer4. Wanneer we deze bekomen

resultaten vergelijken met Vergelijking 5.24, kunnen we schrijven datx1

x2...

xn

=1

detA

A11 A21 . . . An1A12 A22 . . . An2

......

. . ....

A1n A2n . . . Ann

y1

y2...

yn

(5.25)

4Gabriel Cramer (1704–1752) was een Zwitsers wiskundige. Een korte biografie is te lezen via http://

www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Cramer.html.

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Cramer.html

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Cramer.html


waardoor we de omgekeerde of inverse matrix kunnen definieren als

A−1 =1

detA

A11 A21 . . . An1A12 A22 . . . An2

......

. . ....

A1n A2n . . . Ann

(5.26)

Voor eender welke vierkante matrix A mogen we bijgevolg schrijven dat(a−1)ij

=Aji

detA(5.27)

waarbij(a−1)ij

het element is in de ide rij en de jde kolom van de inverse van de matrix A en Ajide cofactor is van Aji dat gelijk is aan (−1)i+j vermenigvuldigd met de determinant van de lagere

orde matrix die men bekomt door van A de jde rij en de ide kolom te schrappen. Het moet duidelijk

zijn uit Vergelijking 5.24 dat een inverse of omgekeerde matrix niet kan worden gedefinieerd als

detA = 0 (dus wanneer A singulier is). Bovendien moet A vierkant zijn, wil detA bestaan.

Voorbeeld 5.1

We illustreren de beschreven methode om de inverse of de omgekeerde van een matrix A te bepalen

door de inverse te zoeken van

A =

1 0 0

0 1 1

0 1 −1

Volgens de definitie is (

a−1)ij

=Aji

detA

We berekenen detA door te ontwikkelen naar de eerste kolom (of de eerste rij) en bekomen

detA =

∣∣∣∣∣∣∣1 0 0

0 1 1

0 1 −1

∣∣∣∣∣∣∣ = 1× (−1)1+1

∣∣∣∣∣1 1

1 −1

∣∣∣∣∣ = 1 · (−1)− 1 · 1 = −2

Vervolgens berekenen we alle cofactoren van A.

A11 = (−1)1+1

∣∣∣∣∣1 1

1 −1

∣∣∣∣∣ = −2 A12 = (−1)1+2

∣∣∣∣∣0 1

0 −1

∣∣∣∣∣ = 0 A13 = (−1)1+3

∣∣∣∣∣0 1

0 1

∣∣∣∣∣ = 0

A21 = (−1)2+1

∣∣∣∣∣0 0

1 −1

∣∣∣∣∣ = 0 A22 = (−1)2+2

∣∣∣∣∣1 0

0 −1

∣∣∣∣∣ = −1 A23 = (−1)2+3

∣∣∣∣∣1 0

0 1

∣∣∣∣∣ = −1

A31 = (−1)3+1

∣∣∣∣∣0 0

1 1

∣∣∣∣∣ = 0 A32 = (−1)3+2

∣∣∣∣∣1 0

0 1

∣∣∣∣∣ = −1 A33 = (−1)3+3

∣∣∣∣∣1 0

0 1

∣∣∣∣∣ = 1

We bekomen bijgevolg

Aij =

−2 0 0

0 −1 −1

0 −1 1


zodat

Aij = Aji =

−2 0 0

0 −1 −1

0 −1 1

We bekomen voor de inverse van de matrix A

A−1 =1

detAAji =

1

−2

−2 0 0

0 −1 −1

0 −1 1

=

1 0 0

0 1/2 1/2

0 1/2 −1/2

We kunnen de inverse matrix A−1 ook vinden door gebruik te maken van het matrixinversiealgo-

ritme. Volgens deze methode zal men elementaire rijbewerkingen toepassen in een matrix (A|E)

totdat de matrix (E|A−1) ontstaat. Een bewijs van dit matrixinversiealgoritme door Leopold Ver-

straelen kan gevonden worden in Referentie [6]. We starten dus met

(A | I) =

1 0 0

0 1 1

0 1 −1

∣∣∣∣∣∣∣1 0 0

0 1 0

0 0 1

waarop we elementaire rijbewerkingen toepassen. Op die manier bekomen we1 0 0

0 1 1

0 1 −1

∣∣∣∣∣∣∣1 0 0

0 1 0

0 0 1

R2/R2+R3−−−−−−−→

1 0 0

0 2 0

0 1 −1

∣∣∣∣∣∣∣1 0 0

0 1 1

0 0 1

1 0 0

0 2 0

0 1 −1

∣∣∣∣∣∣∣1 0 0

0 1 1

0 0 1

R3/R3−1/2×R2−−−−−−−−−−→

1 0 0

0 2 0

0 0 −1

∣∣∣∣∣∣∣1 0 0

0 1 1

0 −1/2 1/2

1 0 0

0 2 0

0 0 −1

∣∣∣∣∣∣∣1 0 0

0 1 1

0 −1/2 1/2

R2/R2×1/2−−−−−−−→

1 0 0

0 1 0

0 0 −1

∣∣∣∣∣∣∣1 0 0

0 1/2 1/2

0 −1/2 1/2

1 0 0

0 1 0

0 0 −1

∣∣∣∣∣∣∣1 0 0

0 1/2 1/2

0 −1/2 1/2

R3/R3×(−1)−−−−−−−−→

1 0 0

0 1 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣1 0 0

0 1/2 1/2

0 1/2 −1/2

zodat (

E | A−1)

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣1 0 0

0 1/2 1/2

0 1/2 −1/2

en A−1 =

1 0 0

0 1/2 1/2

0 1/2 −1/2

5.3.5 Associativiteit en distributiviteit

De regels voor associativiteit en distributiviteit zijn respectievelijk

A(BC) = (AB)C (5.28)

en

A(B + C) = AB +AC (5.29)

5.4. De eigenwaardevergelijking voor matrices 107

5.3.6 De getransponeerde, de geadjugeerde en de inverse matrix

De inverse matrix hebben we reeds uitvoerig behandeld. De getransponeerde matrix en de geadju-

geerde matrices zijn eveneens reeds gedefinieerd. Enkele regels die we zonder bewijs zullen leveren,

zijn de vermenigvuldiging van twee getransponeerde, twee geadjugeerde of twee inverse matrices

die respectievelijk worden gegeven door

AB = BA (5.30)

(AB)† = B†A† (5.31)

(AB)−1 = B−1A−1 (5.32)

5.4 De eigenwaardevergelijking voor matrices

5.4.1 Definities

Voor elke vierkante matrix A van de nde orde bestaat er een eigenwaardevergelijking in de vorm

AX = λX (5.33)

met X een kolommatrix waarvan de dimensie gelijk is aan n × 1 en waar λ een getal is of een

scalar5. De in het algemeen n verschillende oplossingen van Vergelijking 5.33 zijn de waarden van

λ die de eigenwaarden worden genoemd en die behoren tot de overeenkomstige kolommatrices X

die de eigenvectoren worden genoemd. Vergelijking 5.33 kan uitgedrukt worden in woorden door

te zeggen dat de matrix A die aan de rechterkant van de vergelijking vermenigvuldigd wordt met

een kolommatrix X dezelfde kolommatrix oplevert aan de linkerkant van de vergelijking vermenig-

vuldigd met een getal.

De verschillende oplossingen van Vergelijking 5.33 kunnen worden onderscheiden door indices te ge-

bruiken zodat de verschillende eigenvectoren die overeenkomen met de verschillende eigenwaarden

λ1, λ2, . . ., λn geschreven worden als X1, X2, . . ., Xn of∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x11

x21...

xn1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x12

x22...

xn2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x1n

x2n...

xnn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣zodat we Vergelijking 5.33 kunnen herschrijven als

AXi = λiXi i = 1, 2, . . . , n (5.34)

Het is een gebruikelijke vereiste om de eigenvectoren te normaliseren. Hiervoor geldt dat

X†iXi =[1]

i = 1, 2, . . . , n

5Zie http://mathworld.wolfram.com/Scalar.html.

http://mathworld.wolfram.com/Scalar.html


of

[x∗1i x∗2i . . . x∗ni

]x1i

x2i...

xni

=[1]

i = 1, 2, . . . , n

of nogn∑k=1

x∗kixki = 1 i = 1, 2, . . . , n (5.35)

Deze beperking zal de overbodige eigenvectoren uitsluiten die slechts verschillen door een constante

factor.

Een alternatieve en vaak gebruikte vorm voor Vergelijking 5.34 is

(A− λiE)Xi = 0 i = 1, 2, . . . , n (5.36)

met E de eenheidsmatrix en 0 de nulmatrix. Om niet-triviale oplossingen6 te bekomen voor deze

vergelijking, is het noodzakelijk dat de eigenwaarden λi gehoorzamen aan de karakteristieke verge-

lijking voor de matrix A die de vorm heeft

detA (A− λE) = 0 (5.37)

Deze vergelijking is in essentie een veeltermvergelijking naar λ met n wortels zodat we λ1, λ2, . . .,

λn bekomen.

5.5 Gelijkvormigheidstransformaties

5.5.1 Definities

Als A en B twee n×n matrices zijn, dan is B gelijkvormig met A indien er een inverteerbare (n×n)

matrix Q bestaat zodanig dat

Q−1AQ = B (5.38)

Dergelijke gelijkvormigheidstransformaties zullen zeer belangrijk zijn door de relatie die er bestaat

met symmetrie-operaties die tot dezelfde klasse behoren. Wanneer Q een eenheidsmatrix is, dan

zijn A en B gerelateerd door een eenheidstransformatie.

Er zijn verschillende bruikbare stellingen voor gelijkvormigheidstransformaties die we zullen bewij-

zen.

5.5.2 Stellingen

Stelling 5.1

Als Q−1AQ = B, dan is detA = detB.

6Niet-triviale oplossingen sluiten oplossingen van de vorm Xi = 0 uit.

5.5. Gelijkvormigheidstransformaties 109

Bewijs

Daar det(XY ) = detX detY , hebben we

detB = detQ−1 det(AQ)

= detQ−1 detAdetQ

= detQ−1 detQdetA

= det(Q−1Q) detA

= detE detA

= detA

Stelling 5.2

Als Q−1AQ = B, dan zijn de eigenwaarden voor A en B gelijk.

Bewijs

Er geldt

(B − λE) =(Q−1AQ− λE

)= Q−1 (A− λE)Q

zodat

(B − λE) = detQ−1 det (A− λE) detQ

= detQ−1Qdet (A− λE)

= det (A− λE)

De wortels van det (A− λE) = 0 en det (B − λE) = 0 moeten identiek zijn, daar de vergelijkingen

identiek zijn.

5.5.3 Diagonalisatie van een matrix

Het diagonaliseren van matrix staat gelijk aan het vinden van de eigenwaarden en de eigenvectoren

van de matrix. We beschouwen de diagonalisatie van de matrix

A =

−1 0 −4

0 2 0

2 0 5

Het diagonaliseren van de matrix kan worden bekomen door een matrix X te vinden die bestaat

uit de eigenvectoren van A. De diagonaalmatrix die gecreeerd wordt bestaat uit de eigenwaarden

van A. De te volgen stappen zijn:

1. de bepaling van de eigenwaarden λ1, λ2 en λ3 uit det (A− λE) = 0;


2. gebruik makend van de eigenwaarden de eigenvectoren bepalenx11x21

x31

x12x22

x33

x13x23

x33

uit

(A− λiE)

x1ix2i

x3i

=

0

0

0

en3∑

k=1

x∗kixki = 1 (i = 1, 2, 3)

3. de bepaling van X−1 uit X.

(1) het bepalen van de eigenwaarden

We lossen de seculiere determinant op en ontwikkelen naar kolom twee.

det (A− λE) =

∣∣∣∣∣∣∣−1− λ 0 −4

0 2− λ 0

2 0 5− λ

∣∣∣∣∣∣∣ = 0

= (2− λ) (−1)2+2

∣∣∣∣∣−1− λ −4

2 5− λ

∣∣∣∣∣= (2− λ) (−1)4 [(−1− λ) (5− λ)− 2 (−4)] = 0

= (2− λ)(−5 + λ− 5λ+ λ2 + 8

)= 0

= (2− λ)(3− 4λ+ λ2

)= 0

= 6− 8λ+ 2λ2 − 3λ+ 4λ2 − λ3 = 0

= 6− 11λ+ 6λ2 − λ3 = 0

= λ3 − 6λ2 + 11λ− 6 = 0

De wortels voor de vergelijking λ3 − 6λ2 + 11λ − 6 = 0 kunnen we vinden door wortels af te

splitsen[8]. Wanneer we bijvoorbeeld de gehele deler +1 van −6 invullen voor λ in de vergelijking,

bekomen we

13 − 6 · 12 + 11 · 1− 6 = 12− 12 = 0

We kunnen de vergelijking λ3 − 6λ2 + 11λ− 6 = 0 bijgevolg delen door λ− 1. Hiervoor maken we

gebruik van de Regel van Horner.

1 −6 11 −6

1 ↓ 1 −5 6

1 −5 6 0

We bekomen λ3−6λ2+11λ−6 = (λ− 1)(λ2 − 5λ+ 6

)= 0. De kwadratische vergelijking λ2−5λ+6

kunnen we ontbinden in (λ− 2) (λ− 3). De drie wortels van de vergelijking zijn bijgevolg λ1 = 1,

λ2 = 2 en λ3 = 3. Deze waarden zijn de drie eigenwaarden.

5.5. Gelijkvormigheidstransformaties 111

(2) het bepalen van de eigenvectoren

Voor de drie gevonden wortels kunnen we vervolgens de eigenvectoren bepalen.

Voor λ1 = 1 vinden we −2 0 −4

0 1 0

2 0 4

x11x21

x31

=

0

0

0

zodat

−2x11 − 4x31 = 0

x21 = 0

2x11 + 4x31 = 0

met een normalisatievoorwaarde

x211 + x221 + x231 = 1

zodat

N =1√

x211 + x221 + x231=

1√12 + 02 + 22

=1√5

De eigenvector behorende bij de eigenwaarde λ1 = 1 bezit dan de coefficienten

x11 = − 2√5

x21 = 0 x31 =1√5


0 0 0

2 0 3

x12x22

x32

=

0

0

0

zodat

−3x12 − 4x32 = 0

0 = 0

2x12 + 3x32 = 0


x212 + x222 + x232 = 1

We maken de keuze dat x22 = k ∈ R zodat de eigenvector behorende bij de eigenwaarde λ2 = 2 de

coefficienten bezit

x12 = 0 x22 = 1 x32 = 0


0 −1 0

2 0 2

x13x23

x33

=

0

0

0


zodat

−4x13 − 4x33 = 0

−x23 = 0

2x13 + 2x33 = 0


x213 + x223 + x233 = 1

zodat

N =1√

x213 + x223 + x233=

1√12 + 02 + 12

=1√2

De eigenvector behorende bij de eigenwaarde λ3 = 3 bezit dan de coefficienten

x13 =1√2

x23 = 0 x33 = − 1√2

Bijgevolg vinden we

X =

x11 x12 x13

x21 x22 x23

x31 x32 x33

=

− 2√

50

1√2

0 1 01√5

0 − 1√2

(3) het bepalen van X−1 uit X

Volgens de definitie is (x−1

)ij

=Xji

detXWe berekenen detX door te ontwikkelen naar de tweede kolom en bekomen

detX =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣− 2√

50

1√2

0 1 01√5

0 − 1√2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 1 · (−1)2+2

∣∣∣∣∣∣∣∣− 2√

5

1√2

1√5− 1√

2

∣∣∣∣∣∣∣∣ =2√10− 1√

10=

1√10

Na het berekenen van alle cofactoren van X, bekomen we

X−1 =1

detXXji =

√10

− 1√

20 − 1√

2

01√10

0

− 1√5

0 − 2√5

=

−√

5 0 −√

5

0 1 0

−√

2 0 −2√

2

We kunnen nu nagaan dat

X−1AX = Λ

Dit is −√

5 0 −√

5

0 1 0

−√

2 0 −2√

2

−1 0 −4

0 2 0

2 0 5

− 2√

50

1√2

0 1 01√5

0 − 1√2

=

1 0 0

0 2 0

0 0 3

5.6. De symmetrie aangepaste lineaire combinaties voor de waterstoforbitalen in ammoniak 113

5.6 De symmetrie aangepaste lineaire combinaties voor de water-

stoforbitalen in ammoniak

We bespreken de symmetrie aangepaste lineaire combinaties voor de waterstoforbitalen in ammo-

niak volgens Arnout Ceulemans in Referentie [3]. Deze oefening is een goed voorbeeld van een

toepassing van het oplossen van het eigenwaardeprobleem in theoretische scheikunde.

5.6.1 De Dirac notatie

We zullen in deze uitwerking de Dirac notatie of de bra-ket notatie gebruiken. Hiervoor definieren

we een n-dimensionale lineaire vectorruimte bestaat uit een reeks van n vectoren die lineair onaf-

hankelijk zijn. De componenten van de basisvectoren kunnen genoteerd worden als fl met l = 1,

. . . n. Dergelijke functies kunnen worden geschreven als ket-functies die we noteren als |fl〉. Als we

over een dergelijke reeks vectoren beschikken, kunnen we een complementaire reeks van bra-functies

opstellen genoteerd als 〈fk|. Het scalair product van een bra en een ket levert een getal op en wordt

genoteerd als de bra-ket.

〈fk | fl〉

Voor lineair onafhankelijke functies geldt

∀k 6= l : 〈fk | fl〉 = 0

De basis is orthonormaal als alle vectoren bovendien genormaliseerd zijn tot +1.

∀k : 〈fk | fk〉 = 1

Dit kan worden samengevat door gebruik te maken van de Kronecker delta

〈fk | fl〉 = δkl

waarbij

δkl =

1 voor k = l

0 voor k 6= l

We zullen de s-orbitalen van waterstofatomen in ammoniak beschouwen als wiskundige functies en

schrijven dit met de ket-notatie. In Figuur 5.2 wordt het |1sA〉 orbitaal 120° tegenwijzerzin gero-

teerd zodat na het uitvoeren van deze drietallige rotatie-operatie het |1sB〉-orbitaal wordt bekomen.

C3 |1sA〉 = |1sB〉

De drie componenten van de functieruimte kunnen worden geschreven in een rijvector

|f〉 = (|1sA〉 |1sB〉 |1sC〉)

De operator voor de drietallige rotatie (C3) kan dan worden gelezen als

C3 |f〉 = |f〉D (C3)


|1sC〉

|1sB〉 |1sA〉

C3

Figuur 5.2: Door 120°tegenwijzerzin te roteren van het |1sA〉-orbitaal wordt het |1sB〉-orbitaal bekomen.

D (C3) =

0 0 1

1 0 0

0 1 0

Het is heel belangrijk om hier goed de notatie te begrijpen!

C3 |f〉 = (|1sA〉 |1sB〉 |1sC〉)

0 0 1

1 0 0

0 1 0

= (|1sB〉 |1sC〉 |1sA〉)

5.6.2 Het eigenwaarde probleem

We gaan het eigenwaarde probleem puur algebraısch oplossen. Stel dat |ψm〉 een symmetrie aan-

gepaste lineaire combinatie (SALC) is.

|ψm〉 =∑

X=A,B,C

cX |1sX〉

We zullen deze vergelijking schrijven als het product van een rijvector met een kolomvector.

|ψm〉 = (|1sA〉 |1sB〉 |1sC〉)

cAcBcC

We beschouwen nu de transformatie van deze functie als

C3 |ψm〉 = (|1sA〉 |1sB〉 |1sC〉)D (C3)

cAcBcC


C3 |ψm〉 = |f〉D (C3)

cAcBcC

C3 |ψm〉 = |f〉

0 0 1

1 0 0

0 1 0

cAcBcC

We stellen vervolgens voor deze functie de eigenwaardevergelijking op voor de drievoudige rotatie-

operator.

C3 |ψm〉 = λ |ψm〉

(|1sA〉 |1sB〉 |1sC〉)

0 0 1

1 0 0

0 1 0

cAcBcC

= λ (|1sA〉 |1sB〉 |1sC〉)

cAcBcC

0 0 1

1 0 0

0 1 0

cAcBcC

= λ

cAcBcC

0 0 1

1 0 0

0 1 0

cAcBcC

− λcAcBcC

= 0

cCcAcB

−λcAλcB

λcC

= 0

of −λ 0 1

1 −λ 0

0 1 −λ

cAcBcC

= 0

Om de eigenwaarden te vinden dienen we de volgende seculiere determinant op te lossen.

|D (C3)− λI| = 0


|D (C3)− λI| =

∣∣∣∣∣∣∣−λ 0 1

1 −λ 0

0 1 −λ

∣∣∣∣∣∣∣ = 0

Na ontbinden van deze determinant bekomen we

−λ3 + 1 = 0


Deze vergelijking is de Euler vergelijking. De oplossing van deze vergelijking heeft drie wortels.

λ1 = 1 λ2 = exp2πi

3λ3 = exp−2πi

3

Samenvattend

λm = exp2mπi

3met m = 1, 0,+1

Wiskundig gezien hebben we nu een matrixdiagonalisatie uitgevoerd van de representerende ma-

trix. We bekomen drie eigenwaarden. De eigenfuncties die corresponderen met een gegeven wortel

kunnen nu worden gevonden door de waarde van λ in het systeem van de vergelijkingen in te vullen.

We zoeken eerst de eigenvectoren behorende bij de eigenwaarden.

cC − λcA = 0 cC = λcA

cA − λcB = 0 cA = λcB

cB − λcC = 0 cB = λcC cB = λλcA

We lossen dit nu op in termen van cA (willekeurig gekozen) met λ1 = 1 en m = 0

cA = cA

cB = cA

cC = cA

De eigenvector is dan cAcBcC

=

cAcAcA

= cA

1

1

1

of eenvoudig 1

1

1

Vervolgens lossen we dit op in termen van cA (willekeurig gekozen) met λ2 = exp 2πi/3 en m = +1

cA = λcA

cB = λλcA cB = exp2πi

3exp

2πi

3cA = exp

(2πi

3+

2πi

3

)cA = exp

4πi

3cA = exp−2πi

3cA

cC = λcA cC = exp2πi

3cA

Stel

ε = exp2πi

3ε = exp−2πi

3

De eigenvector is dan cAcBcC

=

cA

εcA

εcA

= cA

1

ε

ε


of eenvoudig 1

ε

ε

De eigenfuncties |ψm〉 kunnen dus analoog worden gevonden door de waarde van λ in te vullen

in het systeem van de vergelijkingen. Daar het systeem ‘homogeen’ is, kunnen de drie onbekende

coefficienten enkel worden bepaald tot aan een constante factor. De absolute waarden van deze

vectorcoefficienten kunnen worden gevonden door een normalisatievoorwaarde die verwacht dat de

vectoren de eenheidslengte bezitten. De vereenvoudigde normalisatievoorwaarde die de overlap-

pingsintegralen verwaarloost, kan worden geschreven als

|cA|2 + |cB|2 + |cC|2 = 1

De vereenvoudigde normalisatieconstante wordt vervolgens

N =1√

|cA|2 + |cB|2 + |cC|2=

1√12 + 12 + 12

=1√3

Nu kunnen we de drie SALCs verkrijgen die elk worden gekarakteriseerd door een eigenwaarde voor

de symmetrie operator. We starten telkens van

|ψm〉 = (|1sA〉 |1sB〉 |1sC〉)

cAcBcC

λ1 = 1 m = 0cAcBcC

=

cAcAcA

|ψ0〉 = (|1sA〉 |1sB〉 |1sC〉)

cAcAcA

|ψ0〉 = cA |1sA〉+ cA |1sB〉+ cA |1sC〉

|ψ0〉 = cA (|1sA〉+ |1sB〉+ |1sC〉)

Het is belangrijk om hier goed de normalisatie te begrijpen. Het systeem is ‘homogeen’ en de drie

onbekende coefficienten kunnen enkel worden bepaald tot aan een constante factor.

|ψ0〉 =1√3

(|1sA〉+ |1sB〉+ |1sC〉)

Analoog bekomen we voor

λ2 = exp2πi

3= ε m = +1

cAcBcC

=

cA

εcA

εcA


|ψ+1〉 = (|1sA〉 |1sB〉 |1sC〉)

cA

εcA

εcA

= cA |1sA〉+ εcA |1sB〉+ εcA |1sC〉

= cA (|1sA〉+ ε |1sB〉+ ε |1sC〉)

Het is opnieuw belangrijk om hier goed de normalisatie te begrijpen. Daar het systeem ‘homogeen’

is en de drie onbekende coefficienten kunnen enkel worden bepaald tot aan een constante factor.

|ψ+1〉 =1√3

(|1sA〉+ ε |1sB〉+ ε |1sC〉)

Tenslotte bekomen we voor

λ3 = exp−2πi

3= ε m = 1

cAcBcC

=

cA

εcA

εcA

|ψ−1〉 = (|1sA〉 |1sB〉 |1sC〉)

cA

εcA

εcA

= cA |1sA〉+ εcA |1sB〉+ εcA |1sC〉

= cA (|1sA〉+ ε |1sB〉+ ε |1sC〉)

En na normalisatie.

|ψ−1〉 =1√3

(|1sA〉+ ε |1sB〉+ ε |1sC〉)

Door het eigenwaardeprobleem te hebben opgelost, hebben we drie SALCs verkregen die elke worden

gekarakteriseerd met een verschillende eigenwaarde voor de symmetrie-operator.

|ψ0〉 =1√3

(|1sA〉+ |1sB〉+ |1sC〉)

|ψ+1〉 =1√3

(|1sA〉+ ε |1sB〉+ ε |1sC〉)

|ψ−1〉 =1√3

(|1sA〉+ ε |1sB〉+ ε |1sC〉)

De reeks van de overeenkomstige eigenwaarden wordt het spectrum van de operator genoemd. Dit

spectrum bestaat uit de derdemachtswortels van een omdat driemaal de operator C3 uitvoeren na

elkaar is equivalent met het toepassen van de eenheidsoperator E.

C33 |ψm〉 = λ3 |ψm〉 = E |ψm〉

Voor eender welke operator kan men op deze manier de eigenfuncties vinden door het diagonalise-

ren van de corresponderende representatiematrix. Het objectief is echter meer ambitieus omdat we


functies willen verkrijgen die niet enkel aangepast zijn aan een enkel symmetrie element, maar aan

de groep als een geheel. Dit betekent dat we SALCs moeten vinden voor een reeks van groepsge-

neratoren omdat de aanpassing aan de generatoren impliceert dat de functie is aangepast aan elke

combinatie van de generatoren en bijgevolg aan de totale groep. In het geval van de Puntgroep C3v

dienen we dan ook het gedrag van de functies onder een verticaal symmetrievlak te onderzoeken.

We nemen bijvoorbeeld de operator σ1 behorende bij het spiegelvlak σv en onderzoeken het gedrag

|1sC〉

|1sB〉 |1sA〉

σ1

Figuur 5.3: Visualisatie van de operator σ1 behorende bij het spiegelvlak σv om het gedrag van het

|1sA〉-orbitaal, het |1sB〉-orbitaal en het |1sC〉-orbitaal te kunnen onderzoeken.

van deze operator op de functies voor het |1sA〉-orbitaal, het |1sB〉-orbitaal en het |1sC〉-orbitaal.

Gebruik makend van Figuur 5.3 vinden we

σ1 |1sA〉 = |1sA〉

σ1 |1sB〉 = |1sC〉

σ1 |1sC〉 = |1sB〉

Het effect van de operator σ1 op de trigonale eigenfuncties wordt dus gegeven door

σ1 |ψ0〉 = |ψ0〉

σ1 |ψ+1〉 = |ψ−1〉

σ1 |ψ−1〉 = |ψ+1〉

De SALC |ψ0〉 is tegelijkertijd een eigenfunctie van de operator C3 en van de operator σ1. Het

vormt bijgevolg een een-dimensionale functieruimte dat helemaal is aangepast aan de volledige

groep. Deze symmetrie-eigenschap zal worden genoteerd met de volledig symmetrische representatie

A1. De andere twee SALCs worden getransformeerd in elkaar. We kunnen ze omvormen tot

eigenfuncties behorende bij de operator σ1 om op deze manier alternatieve eigenfuncties te bekomen.

We vormen |ψ±1〉 om tot eigenfuncties behorende bij de operator σ1 om op deze manier alternatieve

eigenfuncties te bekomen. We definiren de functieruimte.

|f〉 = (|ψ+1〉 |ψ−1〉)


De operator (σ1) kan nu worden gelezen als

σ1 |f〉 = |f〉D (σ1)

D (σ1) =

(0 1

1 0

)

σ1 |f〉 = (|ψ+1〉 |ψ−1〉)

(0 1

1 0

)= (|ψ−1〉 |ψ+1〉)

We gaan wederom het eigenwaarde probleem puur algebraısch oplossen. Stel dat |ψ±1〉 een SALC

is.

|ψ±1〉 = x |ψ+1〉+ y |ψ−1〉

Deze vergelijking kan geschreven worden als het product van een rijvector met een kolomvector.

|ψ±1〉 = (|ψ+1〉 |ψ−1〉)

(x

y

)

We beschouwen de transformatie van deze functie.

σ1 |ψ±1〉 = (|ψ1〉 |ψ−1〉)D (σ1)

(x

y

)

We stellen voor deze functie de eigenwaardevergelijking op voor de operator σ1.

σ1 |ψ±1〉 = λ |ψ±1〉

(|ψ1〉 |ψ−1〉)D (σ1)

(x

y

)= λ (|ψ1〉 |ψ−1〉)

(x

y

)

D (σ1)

(x

y

)= λ

(x

y

)(

0 1

1 0

)(x

y

)= λ

(x

y

)(

0 1

1 0

)(x

y

)− λ

(x

y

)=

(0

0

)(y

x

)− λ

(x

y

)=

(0

0

)of (

−λ 1

1 −λ

)(x

y

)=

(0

0

)Om de eigenwaarden te vinden dienen we de volgende seculiere determinant op te lossen.

|D (σ1)− λI| = 0



|D (σ1)− λI| =

∣∣∣∣∣−λ 1

1 −λ

∣∣∣∣∣ = 0

Deze determinant kan eenvoudig worden ontbonden.

|D (σ1)− λI| =

∣∣∣∣∣−λ 1

1 −λ

∣∣∣∣∣ = λ2 − 1 = 0

We vinden twee eigenwaarden, namelijk λ1 = +1 en λ2 = −1. Voor λ1 = +1 vinden we

y − λx = 0

y − x = 0

y = x

|ψx〉 = x |ψ+1〉+ x |ψ−1〉

|ψx〉 = x (|ψ+1〉+ |ψ−1〉)

Voor λ1 = −1 vinden we

y − λx = 0

y + x = 0

y = −x

|ψy〉 = x |ψ+1〉 − x |ψ−1〉

|ψy〉 = i (|ψ+1〉 − |ψ−1〉)

waarbij we x = i hebben gesteld waarvan de reden verder duidelijk zal worden. Het systeem is

‘homogeen’. De twee onbekende cofficinten kunnen bijgevolg enkel worden bepaald tot aan een

constante factor. We vinden voor de genormaliseerde functies

|ψx〉 =1√2

(|ψ+1〉+ |ψ−1〉)

|ψy〉 =i√2

(|ψ+1〉 − |ψ−1〉)

We hebben de functieruimte |ψ±1〉 gedefinieerd en het eigenwaardeprobleem opgelost. Door dit

te doen, bekwamen we alternatieve eigenfuncties voor de operator σ1 waarbij er een alternatieve

eigenfunctie bestaat die symmetrisch is na uitvoering van de spiegeling en er een alternatieve

eigenfunctie bestaat die antisymmetrisch is. Deze twee alternatieve eigenfuncties worden gelabeld

met respectievelijk een x en een y omdat hun symmetrie na het uitvoeren van de spiegeling de

symmetrie nabootst van respectievelijk px en py. We kunnen deze eigenfuncties tenslotte schrijven

als lineaire combinaties van de functies voor de waterstoforbitalen. We zullen gebruik maken van

eiπ = cosπ + i sinπ en e−iπ = cosπ − i sinπ zodat

e2πi/3 = cos

2π

3+ i sin 2π/3


= −1

2+

√3

2i

e−2πi/3 = cos

2π

3− i sin 2π/3

= −1

2−√

3

2i

zodat

|ψ+1〉 =1√3

(|1sA〉+ ε |1sB〉+ ε |1sC〉)

=1√3

(|1sA〉+ e−

2πi/3 |1sB〉+ e2πi/3 |1sC〉

)=

1√3

(|1sA〉+

(−1

2−√

3

2i

)|1sB〉+

(−1

2+

√3

2i

)|1sC〉

)|ψ−1〉 =

1√3

(|1sA〉+ ε |1sB〉+ ε |1sC〉)

=1√3

(|1sA〉+ e

2πi/3 |1sB〉+ e−2πi/3 |1sC〉

)=

1√3

(|1sA〉+

(−1

2+

√3

2i

)|1sB〉+

(−1

2−√

3

2i

)|1sC〉

)We vinden bijgevolg

|ψx〉 =1√2

(|ψ+1〉+ |ψ−1〉)

=1√2

(1√3

(|1sA〉+

(−1

2−√

3

2i

)|1sB〉+

(−1

2+

√3

2i

)|1sC〉

)

+1√3

(|1sA〉+

(−1

2+

√3

2i

)|1sB〉+

(−1

2−√

3

2i

)|1sC〉

))

=1√2

1√3

(|1sA〉+

(−1

2−√

3

2i

)|1sB〉+

(−1

2+

√3

2i

)|1sC〉

+ |1sA〉+

(−1

2+

√3

2i

)|1sB〉+

(−1

2−√

3

2i

)|1sC〉

)

=1√6

(|1sA〉+ |1sA〉+

(−1

2−

√3

2i

)|1sB〉+

(−1

2+

√3

2i

)|1sB〉

+

(−1

2+

√3

2i

)|1sC〉+

(−1

2−

√3

2i

)|1sC〉

)

=1√6

(2 |1sA〉 −

1

2|1sB〉 −

1

2|1sB〉 −

1

2|1sC〉 −

1

2|1sC〉

)=

1√6

(2 |1sA〉 − |1sB〉 − |1sC〉)

|ψy〉 =i√2

(|ψ+1〉 − |ψ−1〉)

Bibliografie 123

=i√2

(1√3

(|1sA〉+

(−1

2−√

3

2i

)|1sB〉+

(−1

2+

√3

2i

)|1sC〉

)

− 1√3

(|1sA〉+

(−1

2+

√3

2i

)|1sB〉+

(−1

2−√

3

2i

)|1sC〉

))

=i√2

(1√3

(|1sA〉+

(−1

2−√

3

2i

)|1sB〉+

(−1

2+

√3

2i

)|1sC〉

− |1sA〉 −

(−1

2+

√3

2i

)|1sB〉 −

(−1

2−√

3

2i

)|1sC〉

))

=i√2

(1√3

(|1sA〉 −

|1sA〉+

(−1

2−√

3

2i

)|1sB〉 −

(−1

2+

√3

2i

)|1sB〉

+

(−1

2+

√3

2i

)|1sC〉 −

(−1

2−√

3

2i

)|1sC〉

))

=i√2

(1√3

(−√

3

2i |1sB〉 −

√3

2i |1sB〉+

√3

2i |1sC〉+

√3

2i |1sC〉

))

=i√2

(1√3

(−√

3i |1sB〉+√

3i |1sC〉))

=i√2

(√3√3

(−i |1sB〉+ i |1sC〉)

)=

i√2

(−i (|1sB〉 − |1sC〉))

=−ii√

2(|1sB〉 − |1sC〉)

=1√2

(|1sB〉 − |1sC〉)

We hebben de drie SALC’s gevonden voor de waterstofatomen in ammoniak. Samenvattend

|ψ0〉 =1√3

(|1sA〉+ |1sB〉+ |1sC〉)

|ψx〉 =1√6

(2 |1sA〉 − |1sB〉 − |1sC〉)

|ψy〉 =1√2

(|1sB〉 − |1sC〉)

Bibliografie

[1] Hans H. Jaffe and Milton Orchin. Symmetry in Chemistry. Dover Publications, Inc., first

edition, 2002. Slightly corrected republication of the work originally published by John Wiley

& Sons, Inc. in 1965.


|ψ0〉

|1sC〉

|1sB〉 |1sA〉

|ψx〉 |ψy〉

Figuur 5.4: De symmetrie aangepaste lineaire combinaties voor de waterstofatomen in ammoniak. De

grootte van de bollen is evenredig met de coefficienten van de eigenfuncties.

Bibliografie 125

[2] David M. Bishop. Group Theory and Chemistry. Dover Publications, Inc., first edition, 1993.

Republication of the work first published by The Clarendon Press, Oxford, 1973.

[3] Arnout J. Ceulemans. Group Theory Applied to Chemistry. Springer, 2013.

[4] Magdolna Hargittai and Istvan Hargittai. Symmetry through the Eyes of a Chemist. Springer,

third edition, 2009.

[5] Edward Jennekens and Gustaaf Deen. Wiskunde 5 – Algebra II. Uitgeverij De Sikkel, n.v.,

1988.

[6] Leopold Verstraelen. Hogere Wiskunde Deel 2 – Lineaire Agebra – Analytische Meetkunde.


[7] Eric W. Weisstein. “Determinant Expansion by Minors.”From MathWorld–A Wolfram Web

Resource. http://mathworld.wolfram.com/DeterminantExpansionbyMinors.html.

[8] Edward Jennekens and Gustaaf Deen. Wiskunde 5 – Algebra I. Uitgeverij De Sikkel, n.v., 1987.

http://mathworld.wolfram.com/DeterminantExpansionbyMinors.html