wojciech kryszewski - umkwkrysz/attachments/mtrr.pdf · 2010-02-27 · wojciech kryszewski metody...

Wojciech Kryszewski

Metody Topologiczne w Równaniach

Ró»niczkowych

Wykªad monograczny

Wydziaª Matematyki i Informatyki UMK

Toru« 2009

ISBN xxxx

c© Copyright by Wojciech Kryszewski

Skªad komputerowy LATEX w wykonaniu autora

Spis tre±ci i

Spis tre±ci

1 Przegl¡d twierdze« o punktach staªych 11.1 Zasada Banacha odwzorowa« zw¦»aj¡cych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.A Zastosowanie zasady Banacha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Odwzorowania nierozszerzaj¡ce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Odwzorowania zwarte i peªnoci¡gªe; zasada Schaudera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.A Zastosowanie zasady Schaudera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 Miary niezwarto±ci; twierdzenie Darbo-Sadowskiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Ogólny setup zastosowa« 192.1 Operator Niemyckiego i operatory caªkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2 Przestrzenie Sobolewa i lemat fundamentalny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.A Sªabe pochodne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.B Przestrze« Sobolewa Wm,p(I,Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3 Operatory ró»niczkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3.A Operatory ró»niczkowe I-szego rz¦du . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3.B Operatory ró»niczkowe II-go rz¦du . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 Metoda kontynuacji 543.1 Wst¦p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.2 Spójno±¢ w przestrzeniach topologicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3 Elementarne zasady kontynuacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.3.A Kontynuacja dla odwzorowa« zw¦»aj¡cych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.3.B Kontynuacja dla odwzorowa« nierozszerzaj¡cych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.3.C Kontynuacja dla odwzorowa« zag¦szczaj¡cych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.3.D Kontynuacja dla odwzorowa« zwartych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.4 Metoda transwersalno±ci topologicznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.5 Stopie« topologiczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.5.A Stopie« topologiczny Brouwera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.5.B Stopie« topologiczny Leraya-Schaudera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4 Dodatek 784.1 Widmo operatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.1.A Operatory sprz¦»one . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.1.B Operatory symetryczne i samosprz¦»one . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.1.C Operatory w przestrzeniach sko«czenie wymiarowych . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.2 Zwarte operatory liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.3 Widmo operatora Laplace'a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.3.A Rozwi¡zania równa« eliptycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Rozdział 1Przegl¡d twierdze« o punktach

staªych

1.1 Zasada Banacha odwzorowa« zw¦»aj¡cych

Je±li (X, dX), (Y, dY ) s¡ przestrzeniami metrycznymi, to odwzorowanie T : X → Y jest lipschit-

zowskie (speªnia warunek Lipschitza), gdy istnieje staªa k 0 taka, »e

dY (Tx, Ty) ¬ kdX(x, y), x, y ∈ X. (1.1.1)

Staª¡ Lipschitza nazwiemy wtedy liczb¦

L(T ) := infk 0 | (1.1.1) zachodzi.

Zauwa»my, »e odwzorowanie speªniaj¡ce warunek Lipschitza jest ci¡gªe.

wiczenie: Warunek (1.1.1) zachodzi dla k = L(T ), tzn.

dY (Tx, Ty) ¬ L(T )dX(x, y), x, y ∈ X.

Odwzorowanie lipschitzowskie T jest odwzorowaniem zw¦»aj¡cym lub kontrakcj¡, je±li L(T ) <1; jest ono odwzorowaniem nierozszerzaj¡cym, gdy L(T ) ¬ 1.

1.1.1 Twierdzenie: (Zasada Banacha) Zaªó»my, »e (X, d) jest przestrzeni¡ metryczn¡ zupeªn¡,

za± T : X → X odwzorowaniem zw¦»aj¡cym. Wtedy T ma dokªadnie jeden punkt staªy z ∈ X,

tzn. T (z) = z.

Dowód tego twierdzenie jest dobrze znany. Okazuje si¦, »e punkt staªy z = limn→∞ xn, gdzie

x0 jest dowolnym punktem, za± xn = Txn−1, dla n 1. Okazuje si¦, »e mam miejsce nast¦puj¡ce

u»yteczne oszacowanie:

d(xn, z) ¬kn

1− kd(x1, x0),

gdzie k jest staª¡ (Lipschitza) kontrakcji.

wiczenie: Wykaza¢ poprawno±¢ podanego wy»ej oszacowania.

wiczenie: Przy zaªo»eniu, »e X jest przestrzeni¡ zupeªn¡, T : X → X jest odwzorowaniem

takim, »e dla pewnego N , TN jest kontrakcj¡, udowodni¢ istnienie punktu staªego dla T .

2 1. Przegl¡d twierdze« o punktach staªych

Ma miejsce nast¦puj¡ca lokalna wersja zasady Banacha.

1.1.2 Wniosek: Je±li X jest przestrzeni¡ metryczn¡ zupeªn¡, x0 ∈ X, T : B(x0, r) → X jest

odwzorowaniem zw¦»aj¡cym ze staª¡ k ∈ [0, 1) i takim, »e

d(T (x0), x0) < (1− k)r,

to T ma punkt staªy.

Dowód: We¹my 0 < ε < r. Wtedy

wiczenie: Udowodni¢, »e T : D(x0, ε)→ D(x0, ε).

Kula domkni¦ta D(x0, ε), jako domkni¦ta podprzestrze« przestrzeni zupeªnej, jest przestrzeni¡

zupeªn¡: zatem na mocy zasady Banacha, T ma punkt staªy,

Kolejne twierdzenie dotyczy zasady Banacha dla kontrakcji z parametrem.

1.1.3 Twierdzenie: Niech X b¦dzie przestrzeni¡ zupeªn¡, za± Λ przestrzeni¡ metryczna i

zaªó»my, »e T : X × Λ → X jest odwzorowaniem ci¡gªym takim, »e dla dowolnego λ ∈ Λ,T (·, λ) : X → X jest kontrakcj¡. Wówczas odwzorowanie x : Λ → X, które parametrowi λ ∈ Λprzyporz¡dkowuje punkt staªy x(λ) odwzorowania T (·, λ), jest ci¡gªe.

Dowód: Zauwa»my, »e dla dowolnego x ∈ X, odwzorowanie T (x, ·) : λ→ X jest ci¡gªe.

Niech k(λ) := L(T (·, λ)); zatem

k(λ) := inf(x,y)∈X×X,x 6=y

d(T (x, λ), T (y, λ))d(x, y)

, λ ∈ Λ.

Poka»emy najpierw, »e funkcja k : Λ 3 λ → k(λ) ∈ [0, 1) jest górnie póªci¡gªa, tzn., »e

dla dowolnego α ∈ R, zbiór λ ∈ Λ | k(λ) < α jest otwarty. Ustalmy α ∈ R i niech f :λ× [X ×X \∆]→ R, gdzie ∆ jest przek¡tn¡ wX ×X, dane b¦dzie wzorem

f(λ, x, y) :=d(T (x, λ), T (y, λ))

d(x, y), x, y ∈ X, x 6= y, λ ∈ Λ.

Oczywi±cie, przy ustalonych (x, y) ∈ X ×X \∆, f(·, x, y) jest funkcj¡ ci¡gª¡ i

k(λ) = inf(x,y)∈X×X\∆

f(λ, x, y), λ ∈ Λ.

Niech k(λ0) < α. Mamy znale¹¢ r > 0 tak, by k(λ) < α, o ile dΛ(λ, λ0) < r. Wybierzmy

(x0, y0) ∈ X ×X \∆ tak, by

f(λ0, x0, y0) < α

Ci¡gªo±¢ f(·, x0, y0) implikuje, »e istnieje r > 0 takie, »e f(λ, x0, y0) < α, o ile dΛ(λ, λ0) < r.

Zatem, dla λ ∈ BΛ(λ0, r),k(λ) ¬ f(λ, x0, y0) < α.

Pytanie: Czy funkcja k musi by¢ ci¡gªa? Rozwa»y¢ odpowiednie przykªady.

wiczenie: Udowodni¢, »e w celu sprawdzenie ci¡gªo±ci funkcji x(·) wystarczy pokaza¢, »e

obci¦cie x(·) do dowolnego zwartego podzbioru w Λ jest ci¡gªe.

Niech Λ0 ⊂ Λ b¦dzie zbiorem zwartym. Zgodnie z uogólnionym twierdzeniem Weierstrassa:

wiczenie: Je±li : X → R jest funkcj¡ górnie póªci¡gª¡ na zbiorze zwartym, to f jest ograniczona

i przyjmuje kres górny,

1.1. Zasada Banacha odwzorowa« zw¦»aj¡cych 3

istnieje k := supλ∈Λ0 k(λ) < 1.Dla λ, µ ∈ Λ0

= d(T (x(λ), λ), T (x(µ), µ)) ¬ d(T (x(λ), λ), T (x(µ), λ)) + d(T (x(µ), λ), T (x(µ), µ) ¬k(λ)d(x(λ), x(µ)) + d(T (x(µ), λ), T (x(µ), µ) ¬ kd(x(λ), x(µ)) + d(T (x(µ), λ), T (x(µ), µ).

Zatem

d(x(λ), x(µ)) ¬ 11− k

d(T (x(µ), λ), T (x(µ), µ)→ 0,

je»eli λ→ µ.

wiczenie: Wywnioskowa¢ lokaln¡ wersj¦ powy»szego twierdzenia.

1.1.A Zastosowanie zasady Banacha

Zasada Banacha ma szereg zastosowa«. Zajmiemy si¦ jednym z nich. Zaªó»my, »e f : [0, T ]×Rn →Rn jest odwzorowaniem Carathéodor'ego, tzn. dla dowolnego x ∈ Rn, odwzorowanie f(·, x) :[0, T ] → Rn jest mierzalne i, dla prawie wszystkich t ∈ [0, T ], odwzorowanie f(t, ·) : Rn → Rn

jest ci¡gªe. Ponadto zakªadamy, »e dla dowolnych x, x′ ∈ Rn i dla p.w. t ∈ [0, T ],

|f(t, x)− f(t, x′)| ¬ k(t)|x− x′|, (L)

gdzie k ∈ L1([0, T ],R) oraz, »e funkcja f(·, 0) ∈ L1([0, T ],R).

1.1.4 Twierdzenie (Picarda): Przy powy»szych zaªo»eniach, dla dowolnego x0 ∈ Rn, problem

pocz¡tkowy

u = f(t, u), u(0) = x0

ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie.

Dowód: Przypomnijmy, »e rozwi¡zaniem problemu jest funkcja absolutnie ci¡gªa u : [0, T ]→Rn taka, »e dla p.w. t ∈ [0, T ], u(t) = f(t, u(t)) oraz u(0) = x0. Rozwi¡zanie jest punktem staªym

operatora caªkowego T : X → X, gdzie X := C([0, T ],Rn) jest przestrzeni¡ funkcji ci¡gªych na

[0, T ], zadanego wzorem

Tu(t) := x0 +∫ t

0f(s, u(s)) ds, u ∈ X. (∗)

Przede wszystkim zauwa»my, »e operator ten jest poprawnie okre±lony:

wiczenie: Udowodni¢, »e dla dowolnej funkcji mierzalnej u : [0, T ] → Rn, funkcja f(·, u(·))jest mierzalna (w dowodzie wykorzysta¢ charakteryzacj¦ mierzalno±ci, która mówi, »e funkcja u

jest mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest granic¡ p.w. funkcji prostych).

Je±li u ∈ X, to jako ci¡gªa jest mierzalna i funkcja podcaªkowa v := f(·, u(·)) w (∗) jestmierzalna. Ponadto zaªo»enie (L) implikuje, »e speªniony jest nast¦puj¡cy warunek wzrostu: dla

dowolnego x ∈ Rn oraz dla p.w. t ∈ [0, T ],

|f(t, x)| ¬ |f(t, 0)|+ k(t)|x|.

Zatem, dla p.w. s ∈ [0, T ],

|v(s)| = |f(s, u(s))| ¬ |f(s, 0)|+ k(s)|u(s)| ¬ |f(s, 0)|+ k(s)‖u‖,


gdzie ‖u‖ := supt∈[0,T ] |u(t)| jest norm¡ w X. Wobec zaªo»e« o caªkowalno±ci |f(·, 0)| i k wnosimy

o caªkowalno±ci v. Konkluduj¡c funkcja v jest caªkowalna. Zatem

Tu(t) = x0 +∫ t

0v(s) ds

jest funkcj¡ absolutnie ci¡gªa, w szczególno±ci ci¡gª¡.

wiczenie: Przypomnie¢ poj¦cie funkcji absolutnie ci¡gªej (denicja) i twierdzenie Lebesgue'a o

charakteryzacji funkcji absolutnie ci¡gªych, które mówi, »e funkcja w : [0, T ]→ Rn jest absolutnie

ci¡gªa wtedy i tylko wtedy gdy istnieje v ∈ L1([0, T ],Rn) taka, »e w(t) = a +∫ t0 v(s) ds, gdzie

a ∈ Rn).

Wykazali±my, »e rzeczywi±cie T jest poprawnie zdeniowany, tzn. wyra»enie Tu, gdzie u ∈ Xma sens i T : X → X.

Zauwa»my, te» »e je±li u ∈ Fix (T ), tzn. u(t) = Tu(t) dla dowolnego t ∈ [0, T ], to u jest

absolutnie ci¡gªa, czyli ró»niczkowalna p.w. i u(t) = F (t, u(t)) dla p.w. t ∈ [0, T ]. zatem istotnie

punkty staªe T s¡ rozwi¡zaniami wyj±ciowego problemu.

Wprowad¹my w X konkurencyjn¡ norm¦ zadan¡ wzorem

‖u‖B := supt∈[0,T ]

e−∫ t0k(s) ds|u(t)|, u ∈ X.

wiczenie: Udowodni¢, »e ‖ · ‖B jest norm¡ w X, równowa»n¡ ze standardow¡ norm¡ ‖ · ‖∞.

Mamy wi¦c now¡ przestrze« Banacha (X, ‖ · ‖B). Dowiedziemy, »e T jest odwzorowaniem

zw¦»aj¡cym. Niech u, u′ ∈ X. Ustalmy t ∈ [0, T ]. Wtedy

|Tu(t)− Tu′(t)| ¬∫ t

0|f(s, u(s))− f(s, u′(s))| ds ¬

∫ t

0k(s)|u(s)− u′(s)| ds

¬∫ t

0k(s)e

∫ s0k(z) dz‖u− u′‖B ds =

[e∫ s0k(z) dz

]t0‖u− u′‖B =

(e∫ t0k(s) ds − 1

)‖u− u′‖B.

St¡d

‖Tu− Tu′‖B = e−∫ t0k(s) ds|Tu(t)− Tu′(t)| ¬

(1− e−

∫ t0k(s) ds

)‖u− u′‖ ¬ L‖u− u′‖,

gdzie L :=(

1− e−∫ T0k(s) ds

)< 1.

wiczenie: Uzupeªni¢ szczegóªy w powy»szych oszacowaniach.

W konsekwencji T jest rzeczywi±cie kontrakcj¡, a zatem T posiada dokªadnie jeden punkt

staªy. To ko«czy dowód.

Zauwa»my, »e kluczowe w powy»szym rozumowaniu byªo zast¡pienie zwykªej normy ‖ · ‖ wprzestrzeni X poprzez tzw. norm¦ Bieleckiego ‖ · ‖B. Gdyby tego nie zrobi¢, to mo»na by udo-

wodni¢ jedynie istnienie lokalnego rozwi¡zania, tzn. rozwi¡zania okre±lonego na pewnym odcinku

[0, δ], gdzie δ > 0.

1.2 Odwzorowania nierozszerzaj¡ce

Zasada Banacha doczekaªa si¦ wielu uogólnie«. Podamy tylko jedno z nich. Przypomnijmy, »e

przestrze« Banacha E jest ±ci±le wypukªa, gdy dla dowolnych x, y ∈ E, je»eli x 6= y oraz ‖x‖ =1 = ‖y‖, to ‖(1− t)x+ ty‖ < 1 dla t ∈ (0, 1).

1.2. Odwzorowania nierozszerzaj¡ce 5

wiczenie: Pokaza¢, »e E jest ±ci±le wypukªa wtedy i tylko wtedy, gdy dla x, y ∈ E, x 6= y i

‖x‖ = r = ‖y‖, to ‖(1− t)x+ ty‖ < r.

Przestrze« E jest jednostajnie wypukªa, o ile dla dowolnego ε > 0, istnieje δ = δ(ε) > 0 taka,

»e dla x, y ∈ E, je»eli ‖x‖, ‖y‖ ¬ 1 oraz ‖x− y‖ ε, to ‖x+ y‖ ¬ 2(1− δ).

1.2.1 Fakt: Przestrze« E jest jednostajnie wypukªa wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ε > 0istnieje δ(ε) > 0 taka, »e je±li x, y ∈ E, ‖x‖ = 1 = ‖y‖ oraz ‖x− y‖ ε, to ‖x+ y‖ ¬ 2(1− δ).

Dowód: Konieczno±¢ podanego warunku jest oczywista. Udowodnimy dostateczno±¢. We¹my

ε > 0 i niech δ = δ(ε/2), tzn. je±li dane s¡ punkty x, y, ‖x‖ = ‖y‖ = 1 takie, »e ‖x − y‖ ε/2,to ‖x+ y‖ ¬ 2(1− δ). Oczywi±cie mo»na zaªo»y¢ (ewentualnie zmniejszaj¡c δ), »e δ < ε/2.

Niech x0, y0 ∈ E, ‖x0‖, ‖y0‖ ¬ 1 oraz ‖x0−y0‖ ε. Mo»na zaªo»y¢, »e x0 6= 0 i ‖y0‖ ¬ ‖x0‖.Niech x := x0

‖x0‖ i y := y0‖x0‖ . Wtedy ‖x‖ = 1, ‖y‖ ¬ 1 oraz ‖x− y‖ = ‖x0−y0‖

‖x0‖ ε.Rozwa»ymy dwa przypadki:

(1) Je»eli ‖y‖ < 1− δ, to ‖x+ y‖ ¬ 1− δ/2;(2) Przypu±¢my, »e ‖y‖ 1− δ. Wówczas∥∥∥∥y − y

‖y‖

∥∥∥∥ = ‖y‖(

1‖y‖− 1

)= 1− ‖y‖ ¬ δ;

zatem ∥∥∥∥x− y

‖y‖

∥∥∥∥ ‖x− y‖ − ∥∥∥∥y − y

‖y‖

∥∥∥∥ ε− δ > ε/2.

Z dobory δ wynika, »e ∥∥∥∥x+y

‖y‖

∥∥∥∥ ¬ 2(1− δ).

W takim razie

‖x+ y‖ ¬∥∥∥∥x+

y

‖y‖

∥∥∥∥+∥∥∥∥y − y

‖y‖

∥∥∥∥ ¬ 2(1− δ) + δ = 2(1− δ/2).

W obu przypadkach

‖x0 + y0‖ = ‖x0‖‖x+ y‖ ¬ ‖x+ y‖ ¬ 2(1− δ/2).

wiczenie: Wykaza¢, »e przestrze« E jest jednostajnie wypukªa wtedy i tylko wtedy, gdy dla

ci¡gów (xn), (yn) takich, »e ‖xn‖, ‖yn‖ ¬ 1 oraz limn→∞ ‖xn+yn‖ = 2 wynika, »e limn→∞ ‖xn−yn‖ = 0.

wiczenie: Wykona¢ rysunki ilustruj¡ce ww. wªasno±ci. Pokaza¢, »e przestrzenie jednostajnie

wypukªe s¡ ±ci±le wypukªe.

Wiadomo, »e przestrzenie jednostajnie wypukªe s¡ reeksywne, tzn. κ : E∼=−→ E∗∗, gdzie

〈κ(x), p〉 := 〈p, x〉 dla x ∈ E oraz p ∈ E∗.

1.2.2 Twierdzenie: (Browder-Kirk) Niech E b¦dzie jednostajnie wypukª¡ przestrzeni¡ Banacha,

X ⊂ E zbiór domkni¦ty, wypukªy i ograniczony. Je»eli T : X → X jest odwzorowaniem

nierozszerzaj¡cym, to zbiór punktów staªych

Fix (T ) := z ∈ X | T (z) = z

jest niepusty, wypukªy i domkni¦ty.

Dowód:


wiczenie: Pokaza¢, »e zbiór Fix (T ) jest domkni¦ty.

Poka»emy teraz, »e zbiór ten jest wypukªy. Niech z0, z1 ∈ Fix (T ), t ∈ (0, 1) i niech zt :=(1− t)z0 + tz1. mamy pokaza¢, »e zt ∈ Fix (T ). Wtedy

‖T (zt)− z0‖ = ‖T (zt)− T (z0)‖ ¬ ‖zt − z0‖ = t‖z1 − z0‖.

wiczenie: Analogicznie pokaza¢, »e

‖T (zt)− z1‖ ¬ (1− t)‖z1 − z0‖.

Ponadto

‖T (zt)− z0‖ ‖z1 − z0‖ − ‖T (z1)− T (zt)‖ ‖z1 − z0‖ − ‖z1 − zt‖ = t‖z1 − z0‖.

wiczenie: Analogiczne wykaza¢,»e

‖T (zt)− z0‖ (1− t)‖z1 − z0‖.

W konsekwencji

‖T (zt)− z0‖ = t‖z1 − z0‖ = ‖zt − z0‖ oraz ‖T (zt)− z1‖ = (1− t)‖z1 − z0‖ = ‖zt − z1‖.

St¡d wynika, »e

T (zt) = zt,

a wi¦c zt ∈ Fix (T ). Istotnie przypu±¢my przeciwnie, »e T (zt) =: y, gdzie y 6= zt. Wówczas

‖T (zt)− z0‖ = ‖y − z0‖ = t‖z1 − z0‖ = ‖zt − z0‖,

zatem ∥∥∥∥y + zt2− z0

∥∥∥∥ =∥∥∥∥1

2(y − z0) +

12

(zt − z0)∥∥∥∥ < t‖z1 − z0‖

bowiem przestrze« jednostajnie wypukªa jest ±ci±le wypukªa.

wiczenie: Analogicznie pokaza¢, »e∥∥∥∥y + zt2− z1

∥∥∥∥ < (1− t)‖z1 − z0‖.

Jednak st¡d

‖z1 − z0‖ ¬∥∥∥∥y + zt

2− z0

∥∥∥∥+∥∥∥∥y + zt

2− z1

∥∥∥∥ < t‖z1 − z0‖+ (1− t)‖z1 − z0‖ = ‖z1 − z0‖ :

sprzeczno±¢. Pokazali±my, »e Fix (T ) jest zbiorem wypukªym

Dalej b¦dziemy potrzebowali lematów.

1.2.3 Lemat: Je±li C ⊂ E jest domkni¦ty, wypukªy i ograniczony, S : C → C jest odwzorowa-

niem nierozszerzaj¡cym takim, »e cl convS(C) = C, Je±li ±rednica d := diamC > 0, to istnieje

wªa±ciwy domkni¦ty i wypukªy podzbiór C0 ⊂ C taki, »e S(C0) ⊂ C0.

Dowód: Niech x1, x2 ∈ C b¦d¡ takie, »e ‖x1 − x2‖ d/2 i niech z = 12(x1 + x2). Wtedy

γ := sup‖z − y‖

d| y ∈ C

< 1.

1.2. Odwzorowania nierozszerzaj¡ce 7

Istotnie je±li (yn) jest ci¡giem w C takim, »e limn→∞ ‖yn − z‖ = d, to ‖x1 − yn‖, ‖x2 − yn‖ ¬ d,czyli ‖x1−yn‖d , ‖x2−yn‖d ¬ 1 oraz

limn→∞

‖(x1 − yn) + (x2 − yn)‖ = limn→∞

‖2z − 2yn‖ = limn→∞

2‖z − yn‖ = 2d,

sk¡d wynika, »e1d‖x1 − x2‖ = lim

n→∞

∥∥∥∥x1 − ynd

− x2 − ynd

∥∥∥∥ = 0

na mocy jednostajnej wypukªo±ci przestrzeni E, czyli x1 = x2: sprzeczno±¢.

Niech

C0 :=⋂y∈C

[C ∩D(y, γd)].

Wtedy C0 jest zbiorem domkni¦tym i wypukªym; ponadto C0 6= ∅, gdy» z ∈ C0. Niech x ∈ C0:

poka»emy, »e S(x) ∈ C0. Niech ε > 0. Dla dowolnego y ∈ C = cl convS(C) znajdziemy liczby

αi 0 i punkty yi ∈ C, i = 1, ..., n takie, »e

n∑i=1

αi = 1 oraz

∥∥∥∥∥y −n∑i=1

αS(yi)

∥∥∥∥∥ < ε.

Zatem

‖S(x)− y‖ =

∥∥∥∥∥S(x)−n∑i=1

αiS(yi) +n∑i=1

αiS(yi)− y∥∥∥∥∥

¬∥∥∥∥∥S(x)−

n∑i=1

αiS(yi)

∥∥∥∥∥+ ε ¬ ε+n∑i=1

αi‖S(x)− S(yi)‖ ¬

ε+n∑i=1

αi‖x− yi‖ ¬ ε+n∑i=1

αiγd = ε+ γd.

Nierówno±¢ ta zachodzi dla dowolnego ε > 0; zatem ‖S(x) − y‖ ¬ γd dla ka»dego y ∈ C. St¡dS(x) ∈ C0.

Pozostaªo pokaza¢, »e C0 ( C. Je±li bowiem x, y ∈ C s¡ takie, »e γd < ‖x − y‖ ¬ d, to

x 6∈ D(y, γd) i, wobec tego, x 6∈ C0.

1.2.4 Lemat: Przypu±¢my, »e E jest reeksywn¡ przestrzeni¡ Banacha, Cλλ∈Λ rodzin¡ zbio-

rów wypukªych, domkni¦tych i zawartych w pewnym zbiorze ograniczonym C. Je±li dla dowolnego

sko«czonego zbioru S ⊂ Λ,⋂λ∈S Cλ 6= ∅, to tak»e

⋂λ∈λCλ 6= ∅.

Dowód: Oczywi±cie mo»na zaªo»y¢, »e C jest zbiorem wypukªym, domkni¦tym i ograniczonym.

Wtedy zbiór C jest sªabo domkni¦ty (tzw. lemat Mazura) i wzgl¦dnie sªabo zwarty (w przestrzeni

reeksywnej zbiory ograniczone s¡ wzgl¦dnie sªabo zwarte). Podobnie, dla dowolnego λ ∈ Λzbiór Cλ jest sªabo domkni¦ty. Mamy wi¦c do czynienia ze scentrowan¡ rodzin¡ Cλλ∈Λ (sªabo)

domkni¦tych podzbiorów przestrzeni (sªabo) zwartej C. St¡d teza.

Przechodzimy do dowodu, »e Fix (T ) 6= ∅. Niech C oznacza rodzin¦ niepustych domkni¦tych

i wypukªych podzbiorów zbioru X i takich, »e T (C) ⊂ C, Jest ona niepusta bo X ∈ C i cz¦±ciowouporz¡dkowana przez relacj¦ inkluzji. Je±li Cλλ∈Λ jest ªa«cuchem, to na mocy lematu 1.2.4

zbiór C :=⋂λ∈ΛCλ nale»y do C i jest ograniczeniem dolnym ªa«cucha. Zatem, z lematu

Kuratowskiego-Zorna, C posiada element minimalny C ∈ C. Niech C1 := cl convT (C). Wtedy

C1 ⊂ C oraz T (C1) ⊂ T (C) ⊂ C1. Zatem C1 ∈ C. Poniewa» C jest minimalny, to C1 = C; zatem

C = cl convT (C). Na mocy lematu 1.2.3 i minimalno±ci C wynika, »e C = z. Zatem T (z) = z.


Nie jest jasne czy twierdzenie Browdera-Kirka zachodzi dla przestrzeni, które s¡ reeksyw-

ne albo ±ci±le wypukªe. Na pewno, gdy E nie jest przestrzeni¡ reeksywn¡, to twierdzenie nie

zachodzi.

1.2.5 Przykªad: (Beals) Je±li X jest kul¡ domkni¦t¡ w przestrzeni E = c0, to istnieje prze-

ksztaªcenie nieoddalaj¡ce T : X → X bez punktów staªych. Rzeczywi±cie niech T (x1, x2, x3, ...) :=(1, x1, x2...) dla (xn) ∈ X ⊂ c0.

wiczenie: Pokaza¢, »e w twierdzeniu Browdera-Kirka nie mo»na odst¡pi¢ od »adnego zaªo»e«

o zbiorze X ⊂ E, tzn. jego domkni¦to±ci, ograniczono±ci i wypukªo±ci.

Ciekawy jest dowód twierdzenia Browdera-Kirka w sytuacji, gdy E jest przestrzeni¡ Hilberta.

1.2.6 Twierdzenie (Browder) Niech X b¦dzie ograniczonym, domkni¦tym i wypukªym podzbio-

rem przestrzeni Hilberta E (z iloczynem skalarnym 〈·, ·〉). Je±li T : X → X jest odwzorowaniem

nieoddalaj¡cym, to Fix (T ) 6= ∅.

Dowód: Mo»na zaªo»y¢ bez zmniejszenia ogólno±ci, »e 0 ∈ X (tzn. »e zbiór X jest gwia¹dzisty

wzgl¦dem 0). oraz R := supx∈X ‖x‖ = 1. Dla ε ∈ (0, 1) rozwa»my odwzorowanie Tε := (1− ε)T .Wtedy Tr : X → X jest kontrakcj¡ ze staªa ¬ r i, na mocy zasady Banacha, Tr ma dokªadnie

jeden punkt staªy xε (zbiór X jest przestrzeni¡ zupeªn¡). Wtedy

‖T (xε)− xε‖ = ‖T (xε)− (1− ε)Txε‖ = ε‖T (xε)‖ ¬ ε.

Pokazali±my wi¦c, »e dla dowolnego (maªego) ε > 0, T ma tzw. ε-punkt staªy.

wiczenie: Dowie±¢, »e je±li X jest dodatkowo zwarty, to T ma punkt staªy. Fakt ma charakter

ogólny: je±li odwzorowanie ci¡gªe T : X → X zbioru zwartego ma ε-punkty staªe dla ka»dego

ε > 0, to Fix (T ) 6= ∅.

Widzimy wi¦c, »e dla ka»dego n ∈ N istnieje punkt xn ∈ X taki, »e

‖(I − T )(xn)‖ ¬ 1/n,

tzn. (I−T )(xn)→ 0, gdzie I oznacza odwzorowanie identyczno±ciowe. Je±li wi¦c Y := (I−T )(X)jest zbiorem domkni¦tym, to 0 ∈ Y a to oznacza, »e Fix (T ) 6= ∅. Poka»emy domkni¦to±¢ Y .

B¦dziemy w tym celu u»ywa¢ poj¦cia odwzorowania monotonicznego.

1.2.7 Definicja: Powiadamy, »e odwzorowanie F : X → E, gdzie X ⊂ E jest monotoniczne,

je±li dla dowolnych x, y ∈ X,

〈F (x)− F (x′), x− x′〉 0.

wiczenie: Wyja±ni¢ w jakim sensie odwzorowania monotoniczne s¡ uogólnieniem funkcji mo-

notonicznych F : X → R, gdzie X ⊂ R.

1.2.8 Lemat: Je±li F : E→ E jest ci¡gªym odwzorowaniem monotonicznym, to jest ono maksy-

malnie monotoniczne w tym sensie, »e dla dowolnych x0, y0 je»eli

〈F (x)− y0, x− x0〉 0

dal dowolnego x ∈ E, to y0 = F (x0).

Dowód: (metoda Minty) Dla dowolnego y ∈ E i t > 0 rozwa»my xt := x0 + ty. Z zaªo»enia

〈F (xt)− y0, xt − x0〉 = t〈F (xt)− y0, y〉 0,

1.3. Odwzorowania zwarte i peªnoci¡gªe; zasada Schaudera 9

tzn. 〈F (xt)− y0, y〉 0. W takim razie

0〈F (xt)− F (x0), y〉 = 〈F (xt)− y0, y〉+ 〈y0 − F (x0), y〉〈y0 − F (x0), y〉.

Gdy t→ 0+, to xt → x0; zatem (po przej±ciu granicznym)

0 〈y0 − F (x0), y〉.

Z uwagi na dowolno±¢ y wnosimy, »e y0 = F (x0).

1.2.9 Lemat: Przy przyjetych zaªo»eniach I − T jest ograniczeniem do X pewnego ci¡gªego od-

wzorowania monotonicznego F : E→ E.

Dowód: Niech r : E→ X b¦dzie retrakcj¡ metryczn¡ (tzn. r : E→ X jest ci¡gªym odwzorowa-

niem takim, »e ‖r(x)− x‖ = d(x,X) (w szczególno±ci r(x) = x dla x ∈ X).

wiczenie: Przypomnie¢ dlaczego r istnieje i wykaza¢, »e r jest przeksztaªceniem nieoddalaj¡-

cym.

Zatem S := T r : E → X ⊂ E jest przeksztaªceniem nieoddalaj¡cym i S|X = T . Dla

dowolnych x, x′ ∈ E mamy

〈(I − S)(x)− (I − S)(x′), x− x′〉 = ‖x− x′‖2 − 〈S(x)− S(x′), x− x′〉¬ ‖x− x′‖2 − ‖S(x)− S(x′)‖‖x− x′‖ 0

na mocy nierówno±ci Cauchy'ego-Schwarza. Odwzorowanie F := I − S jest poszukiwanym mo-

notonicznym rozszerzeniem I − T .

Poka»emy teraz, »e Y jest zbiorem domkni¦tym: niech xn ∈ X i zaªó»my, »e yn = (I −T )(xn) = xn − T (xn) → y0. Przestrze« E (jako przestrze« Hilberta) jest reeksywna; zatem

zbiór X jako ograniczony jest sªabo wzgl¦dnie zwarty, a jako domkni¦ty i wypukªy jest

sªabo domkni¦ty. St¡d X jest sªabo zwarty. Z twierdzenie Eberleina-Shmuliana jest on ci¡gowo

sªabo zwarty; w szczególno±ci, bez zmniejszenia ogólno±ci, mo»na zakªada¢, »e xn x0 ∈ X.

Dla dowolnego x ∈ E,〈F (x)− F (xn), x− xn〉 0.

Zatem, przechodz¡c z n→∞, otrzymamy, »e

〈F (x)− y0, x− x0〉 0

dla ka»dego x ∈ E. Z maksymalnej monotoniczno±ci F wynika, »e F (x0) = y0, tzn. (I−T )(x0) =y0, czyli y0 ∈ Y .

1.3 Odwzorowania zwarte i peªnoci¡gªe; zasada Schaudera

Zaczniemy od sªynnego twierdzenia.

1.3.1 Twierdzenie: (Brouwer) Je±li T : D → D, gdzie D oznacza kul¦ domkni¦t¡ w Rn, tzn.

D = Dn(x, r), x ∈ Rn, r > 0, to Fix (T ) 6= ∅.

Jest to fundamentalne twierdzenie teorii punktów staªych. Dowód tego twierdzenia mo»na

znale¹¢ w wielu podr¦cznikach.

1.3.2 Wniosek: Je±li D jest dowolnym domkni¦tym, ograniczonym i wypukªym podzbiorem prze-

strzeni Banacha, dim E <∞, odwzorowanie T : D → D jest ci¡gªe, to Fix (T ) 6= ∅.


Dowód: Skoro E jest przestrzeni¡ sko«czenie-wymiarow¡, to istnieje izomorzm liniowy ϕ : E→Rn, gdzie n = dim E.

wiczenie: Wykaza¢, »e zbiór B = ϕ(D) jest domkni¦ty. ograniczony i wypukªy.

Rozwa»my R > 0 takie, »e Dn(0, R) ⊃ B i niech r : Rn → B b¦dzie retrakcj¡ metryczn¡ na

B.

wiczenie: Sk¡d wiadomo, »e retrakcja r istnieje?

Rozwa»my odwzorowanie S : Dn(0, R)→ Dn(0, R) dane wzorem S(x) = ϕ T ϕ−1 r(x),czyli S jest zªo»eniem

Dn(0, R) r−→ Bϕ−1−→ D

T−→ Dϕ−→ B ⊂ Dn(0, R).

Z twierdzenia Brouwera, S ma punkt staªy x0 ∈ B. Zatem ϕ−1(x0) jest punktem staªym T .

1.3.3 Uwaga: Mo»na pokaza¢, »e je±li E jest przestrzeni¡ unormowan¡, D = D(0, 1) ⊂ E kul¡

jednostkow¡ domkni¦t¡, to ka»de ci¡gªe przeksztaªcenie T : D → D ma punkt staªy wtedy i

tylko wtedy, gdy dim E <∞.

Podamy tu przykªad pochodz¡cy od S. Kakutaniego. Niech E = `2 b¦dzie klasyczn¡ prze-

strzeni¡ Hilberta, tzn. `2 := x = (xn) | xn ∈ R, ‖x‖ :=∑∞n=1 x

2n < ∞. Dla x ∈ D(0, 1), tzn.

‖x‖ ¬ 1, niech

T (x1, x2, ...) = (√

1− ‖x‖2, x1, x2, ...).

wiczenie: Pokaza¢, »e T : D → D jest przeksztaªceniem ci¡gªym bez punktów staªych.

Daleko id¡cym uogólnieniem twierdzenia Brouwera jest nast¦puj¡c

1.3.4 Twierdzenie: (Schauder): Je±li D jest zwartym i wypukªym podzbiorem przestrzeni unor-

mowanej E, to dowolne ci¡gªe odwzorowanie T : D → D ma punkt staªy.

Udowodnimy nawet nieco ogólniejsze twierdzenie. Najpierw potrzebowa¢ b¦dziemy pewnych

denicji

1.3.5 Definicja: Je±liX,Y s¡ przestrzeniami topologicznymi, to ci¡gªe przeksztaªcenie f : X →Y jest zwarte, gdy obraz f(X) jest zawarty w zwartym podzbiorze Y .

Je±li zaªo»y¢, »e Y jest przestrzeni¡ metryczn¡, to mówimy, »e przeksztaªcenie f : X → Y

jest ograniczone, o ile zbiór f(X) jest ograniczony.Je±li X jest przestrzeni¡ metryczn¡, to f jest peªnoci¡gªe, o ile obraz f(B) dowolnego zbioru

ograniczonego B ⊂ X jest zawarty w zbiorze zwartym (1).

Ka»de odwzorowanie ci¡gªe T : X → Rn, gdzie X ⊂ Rn jest zbiorem domkni¦tym jest

peªnoci¡gªe; je±li X jest dowolny, za± odwzorowanie T jest ograniczone (tzn. obraz (X) jest

ograniczony), to T jest zwarte.

1.3.6 Uwaga: Poj¦cie zwarto±ci wymaga ostro»no±ci. Najcz¦±ciej X oraz Y s¡ podzbiorami

pewnej innej, du»ej przestrzeni (np. pewnej przestrzeni unormowanej E); zwarto±¢ f oznacza,

»e istnieje zwarty zbiór K ⊂ Y taki, »e f(X) ⊂ K a nie, »e istnieje jaki± zwarty zbiór K ⊂ E o

tej wªasno±ci. Ponadto nale»y zwróci¢ uwag¦, »e wielu autorów zwartymi nazywa odwzorowania

peªnoci¡gªe; zawsze wi¦c trzeba sprawdzi¢ w jakim kontek±cie pojawia si¦ to poj¦cie.

1Poj¦cia ograniczono±ci i peªnoci¡gªo±ci da si¦ rozszerzy¢ w sytuacji, gdy dla przestrzeni X lub Y ma sensmowa o ograniczono±ci.


W dodatku wyja±nione b¦dzie pochodzenie sªowa peªnoci¡gªo±¢ w kontek±cie operatorów

liniowych

Ró»ne przykªady operatorów zwartych i peªnoci¡gªych pojawi¡ si¦ pó¹niej.

1.3.7 Twierdzenie (Rzut Schaudera): Niech X b¦dzie przestrzeni¡ topologiczn¡, C wypukªy

podzbiór przestrzeni unormowanej. Je±li operator T : X → C jest zwarty, to dla dowolnego ε > 0istnieje sko«czony zbiór N = c1, ..., cn ⊂ T (X) ⊂ C oraz ci¡gªe odwzorowanie Tε : X →convN ⊂ C takie, »e

‖T (x)− Tε(x)‖ < ε

dla ka»dego x ∈ X.

Je±li zbiór C jest zupeªny (jako podprzestrze« metryczna w E, np. C jest domkni¦ty a E jest

przestrzeni¡ Banacha), to podany warunek jest dostateczny dla zwarto±ci T .

1.3.8 uwaga: Zauwa»my, »e zbiór Z := convN z twierdzenie jest wypukªy, zwarty i zawarty w

sko«czenie wymiarowej przestrzeni Eε := spanc1, ..., cn.

Dowód: Przypu±¢my, »e odwzorowanie T jest zwarte; tzn. istnieje zwarty zbiór K ⊂ C taki, »e

F (X) ⊂ K. Ustalmy ε > 0. Zwarto±¢ K implikuje, »e istniej¡ punkty c1, ..., cn ∈ K takie, »e

K ⊂n⋃i=1

B(ci, ε).

Dla i = 1, ..., n okre±lmy µi(y) := max0, ε − ‖y − ci‖ dla y ∈⋃ni=1B(ci, ε). Funkcja µi jest

ci¡gªa i µi(y) 6= 0 wtedy i tylko wtedy, gdy y ∈ B(ci, ε), i = 1, ..., n. Niech, dla i = 1, ..., n,

λi(y) :=

(n∑i=1

µi(y)

)−1

µi(y), y ∈n⋃i=1

B(ci, ε).

wiczenie: Zauwa»y¢, »e funkcja λi :⋃ni=1B(ci, ε) → [0, 1] jest poprawnie okre±lona, ci¡gªa i∑n

i=1 λi(y) = 1 dla dowolnego y ∈⋃ni=1B(ci, ε).

Niech πε :⋃ni=1B(ci, ε)→ E dane b¦dzie wzorem

πε(y) :=n∑i=1

λi(x)ci, y ∈n⋃i=1

B(ci, ε).

wiczenie: Sprawdzi¢, »e πε jest funkcj¡ ci¡gªa i π (⋃ni=1B(ci, ε)) ⊂ convN , gdzie N =

c1, ..., cn.

Okre±lmy Tε := πε T . Zªo»enie to jest oczywi±cie poprawne. Ponadto, dla y ∈⋃ni=1B(ci, ε),

‖y − πε(y)‖ =

∥∥∥∥∥n∑i=1

λi(y)(y − ci)∥∥∥∥∥ ¬

n∑i=1

λi(y)‖y − ci‖ < ε.

W szczególno±ci, dla x ∈ X (i y = T (x))

‖T (x)− Tε(x)‖ = ‖T (x)− πε(T (x))‖ < ε.

Na odwrót przypu±¢my, »e speªniony jest warunek z twierdzenia. Mamy udowodni¢, »e ope-

rator T jest zwarty. Ci¡gªo±¢ jest oczywista:


wiczenie: Udowodni¢, »e T jest operatorem ci¡gªym; mo»na zauwa»y¢, »e T jest granic¡

jednostajnie zbie»nego ci¡gu odwzorowa« ci¡gªych.

We¹my ε > 0. Zbiór Z := convN (przeciwdziedzina odwzorowania Tε) jest zbiorem zwartym

i T (X) ⊂ B(Z, ε) := c ∈ C | d(c, Z) := infz∈Z ‖c − z‖ < ε. St¡d wynika, »e zbiór T (X) ma

sko«czon¡ ε-sie¢, to w ±wietle twierdzenie Hausdora implikuje, »e domkni¦cie clT (X) jest

zbiorem zwartym. Dodatkowo zupeªno±¢ C implikuje domkni¦to±¢ C; zatem clT (X) ⊂ C.

wiczenie: Przypomnie¢ i udowodni¢ (mo»liwie w oparciu o literatur¦) twierdzenie Hausdora:

podzbiór A zupeªnej przestrzeni metrycznej jest wzgl¦dnie zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest

caªkowicie ograniczony, tzn. dla dowolnego ε > 0 ma sko«czon¡ ε-sie¢, a wi¦c istnieje sko«czony

zbiór S ⊂ X taki, »eA ⊂ B(S, ε) (równowa»nie istnieje zbiór zwarty Z ⊂ X taki, »eA ⊂ B(Z, ε)).

wiczenie: Spróbowa¢ udowodni¢ w oparciu o powy»sze twierdzenie nast¦puj¡ce twierdzenie

o przedªu»aniu: Je±li X jest przestrzeni¡ normaln¡, subsetX jest zbiorem domkni¦tym, za± f :A → E, gdzie E jest przestrzeni¡ unormowan¡, jest odwzorowaniem zwartym, to istnieje zwarte

przedªu»enie F : X → E odwzorowania f , tzn. takie zwarte odwzorowanie F , »e F |A = f .

1.3.9 Twierdzenie: (Zasada Schaudera) Je±li C jest wypukªym podzbiorem przestrzeni unor-

mowanej E, za± T : C → C jest odwzorowaniem zwartym, to zbiór Fix (T ) jest niepusty i zwarty.

Dowód: Ustalmy ε > 0. Istnieje odwzorowanie Tε : C → Z ⊂ C, gdzie Z jest wypukªy, zwarty

i zawarty w pewnej sko«czenie wymiarowej podprzestrzeni Eε ⊂ E, takie, »e ‖T (x)− Tε(x)‖ < ε

dla dowolnego x ∈ C. Zatem Tε|Z : Z → Z ma punkt staªy xε. Zauwa»my, »e

‖T (xε)− xε‖ = ‖T (xε)− Tε(xε)‖ < ε.

Innymi sªowy T ma punkty ε-staªe dla dowolnego ε > 0. W szczególno±ci niech xn b¦dzie 1/n-punktem staªym T , n 1. Jest jasne, »e xn ∈ K, gdzie K ⊂ C jest zwartym nadzbiorem obrazu

T (C), n 1. Bez zmniejszenia ogólno±ci mo»na zaªo»y¢, »e xn → x ∈ K. Z ci¡gªo±ci

‖T (x)− x‖ = limn→∞

‖T (xn)− xn‖ = 0.

Niech K b¦dzie zwartym zbiorem takim, »e T (C) ⊂ K. Poniewa»

wiczenie: Pokaza¢, »e Fix (T ) jest zbiorem domkni¦tym w C i Fix (T ) ⊂ K;

wnosimy, »e Fix (T ) jest zwarty.

1.3.10 Wniosek: Niech T : E→ E, gdzie E jest przestrzeni¡ unormowan¡.

(1) Je±li odwzorowanie T jest zwarte, lub

(2) T jest odwzorowaniem peªnoci¡gªym i ograniczonym (tzn. f(E) jest zbiorem ograniczo-

nym), lub

(3) zbiór C ⊂ E jest wypukªy, odwzorowanie T jest peªnoci¡gªe i T (C) ⊂ C,to Fix (T ) jest niepusty i zwarty.

wiczenie: Poda¢ dowody powy»szych stwierdze«.

1.3.11 Uwaga: Stwierdzenie (2) bez zaªo»enia ograniczono±ci nie jest prawdziwe. Podobnie nie

jest prawdziwe stwierdzenie (3) je±li zbiór C nie jest wypukªy.

wiczenie: Poda¢ przykªady potwierdzaj¡ce powy»sz¡ uwag¦.

1.3.12 Definicja: Niech T : E→ E b¦dzie odwzorowaniem ci¡gªym. Mówimy, »e istniej¡ osza-

cowania a priori na punkty staªe T , o ile znajdzie si¦ r > 0 takie, je»eli x ∈ Fix (T ), to ‖x‖ ¬ r.


Zauwa»my, »e mówimy o oszacowaniach a priori, gdy potramy orzec, »e ‖x‖ ¬ r, x ∈Fix (T ), zanim znajdziemy Fix (T ).

wiczenie: Poda¢ przykªad, »e istnienie oszacowa« a priori i peªnoci¡gªo±¢ odwzorowania T

nie gwarantuje, »e Fix (T ) 6= ∅.

1.3.13 Twierdzenie: Je±li T : E → E jest odwzorowaniem peªnoci¡gªym i istniej¡ (wspólne)

oszacowania a priori dla punktów staªych odwzorowania λT , λ ∈ (0, 1) (tzn. istnieje r > 0 takie,

»e je±li λT (x) = x dla pewnego λ ∈ (0, 1), to ‖x‖ ¬ r). Wtedy Fix (T ) jest zbiorem niepustym i

zwartym.

Dowód: Niech D := D(0, r + 1) oraz ρ : E→ D jest retrakcj¡ radialn¡, tzn. dla y ∈ E,

ρ(y) :=

y gdy ‖y‖ ¬ r + 1;r+1‖y‖ y gdy ‖y‖ > r + 1.

Warto zauwa»y¢, »e ‖ρ(y)‖ = r + 1, gdy ‖y‖ r + 1 i ρ|D = id. Wówczas ρ T |D : D → D

jest odwzorowaniem zwartym i z twierdzenia 1.3.4 istnieje x ∈ D taki, »e ρ(T (x)) = x. Je±li

‖T (x)‖ > r + 1, to ρ(T (x)) = λT (x) = x, gdzie λ := r+1‖T (x)‖ ∈ (0, 1). Zatem ‖x‖ ¬ r. Z drugiej

strony ‖x‖ = ‖ρ(T (x)‖ = r + 1: sprzeczne. St¡d ‖T (x)‖ ¬ r + 1, a wi¦c x = ρ(T (x)) = T (x).

1.3.14 Twierdzenie: (Alternatywa Leray-Schaudera) Je»eli T : E → E jest odwzorowaniem

peªnoci¡gªym i

E(T ) := x ∈ E | x = λT (x) dla pewnego λ ∈ (0, 1),to albo zbiór E(T ) jest nieograniczony albo Fix (T ) jest niepusty.

wiczenie: Poda¢ dowód alternatywy L.-S.

Przydatne te» bywa nast¦puj¡ce stwierdzenie.

1.3.15 Fakt: Zaªó»my, »e odwzorowanie T : E → E jest peªnoci¡gªe i istnieje r > 0 takie, »e

je±li ‖x‖ = r, to ‖T (x)‖ ¬ r. Wtedy Fix (T ) 6= ∅.

wiczenie: Poda¢ dowód (mo»na ponownie rozwa»y¢ radialn¡ retrakcj¦ ρ : E → D(0, r) i

odwzorowanie T ρ lub ρ T uzyskuj¡c de facto dwa dowody).

1.3.A Zastosowanie zasady Schaudera

Omówimy teraz podstawowe zastosowanie zasady Schaudera.

Niech f : [0, T ]×Rn → Rn b¦dzie odwzorowaniem Carathéodory'ego, tzn. dla p.w. t ∈ [0, T ],odwzorowanie f(t, ·) jest ci¡gªe, za± dla dowolnego x ∈ Rn, f(·, x) jest ci¡gªe. Ponadto zakªadamy,

»e f ma wzrost subliniowy, tzn. istniej¡ funkcje α, β ∈ L1([0, T ],R) takie, »e

|f(t, x)| ¬ α(t) + β(t)|x|

dla p.w. t ∈ [0, T ] i wszystkich x ∈ Rn.

Interesowa¢ nas b¦dzie istnienie rozwi¡za« zagadnienia pocz¡tkowego

u = f(t, u), u(0) = x0 ∈ Rn. (∗)

Przypomnijmy, »e rozwi¡zaniem jest funkcja absolutnie ci¡gªa taka, »e dla p.w. t ∈ [0, T ], u(t) =f(t, u(t)) i u(0) = x0. Wiemy ju», »e je±li u ∈ E := C([0, T ],Rn), to funkcja f(·, u(·)) jest

caªkowalna; ma wi¦c sens rozwa»a¢ operator caªkowy T : E→ E zadany wzorem

T (u)(t) := x0 +∫ t

0f(s, u(s)) ds, u ∈ E,


którego punkty staªe s¡ rozwi¡zaniami wyj±ciowego problemu. Operator ten jest poprawnie okre-

±lony: dla u ∈ E, funkcja T (u) jest poprawnie okre±lona i ci¡gªa (a nawet absolutnie ci¡gªa).

1.3.16 Twierdzenie: (Peano) Istnieje rozwi¡zanie problemu (∗).

Dowód: W ±wietle twierdzenie 1.3.13 wystarczy pokaza¢, »e T jest operatorem peªnoci¡gªym i

istnieje r > 0 takie, »e je»eli u = λT (u) dla pewnego λ ∈ (0, 1), to ‖u‖ ¬ r (tutaj oczywi±cie

‖u‖ := supt∈[0,T ] |u(t)| dla u ∈ E).Najpierw wyka»emy, »e T jest operatorem ci¡gªym: niech un → u w E. Zauwa»my, »e wtedy

istnieje M > 0, »e |un(s)|, |u(s)| ¬ M dla wszystkich s ∈ [0, T ]. Ponadto dla p.w. s ∈ [0, T ],f(s, un(s))→ f(s, u(s)); ponadto dla p.w. s ∈ [0, T ],

|f(s, un(s))− f(s, u(s))| ¬ 2α(s) + 2β(s)M.

Wobec tego, na mocy twierdzenia Lebesgue'a o zmajoryzowanym przechodzeniu do granicy pod

znakiem caªki ∫ T

0|f(s, un(s))− f(s, u(s))| ds→ 0.

St¡d

‖T (un)− T (u)‖ = supt∈[0,1]

|T (un)(t)− T (u)(t)| ¬∫ T

0|f(s, un(s))− f(s, u(s))| ds→ 0.

Niech teraz B ⊂ E b¦dzie zbiorem ograniczonym, tzn. istnieje M > 0 takie, »e ‖u‖ ¬M dla

u ∈ B. Wówczas, dla dowolnego t ∈ T i u ∈ B,

|T (u)(t)| ¬∫ T

0(α(s) + β(s)M) ds <∞,

co oznacza, »e rodzina T (u)u∈B jest (jednostajnie) ograniczona. Dodatkowo rodzina f(·, u(·))u∈Bjest caªkowo ograniczona: dla p.w. s ∈ [0, T ] i u ∈ B, |f(s, u(s))| ¬ v(t) := α(t) + β(t)M . Niech

ε > 0; znajdziemy δ > 0 takie, »e je±li t, t′ ∈ [0, T ], |t′ − t| < δ, to∫ t′t v(s) ds < ε.

wiczenie: Uzasadni¢ istnienie δ (wªasno±¢ absolutnej ci¡gªo±ci caªki wzgl. miary).

Zatem, dla u ∈ B,

T (u)(t)− T (u)(t′)| ¬∫ t′

tv(s) ds < ε,

o ile |t − t′| < δ. Oznacza to, »e rodzina T (u)u∈B jest jednakowo (jednostajnie ci¡gªa). Z

twierdzenia Ascoli-Arzeli rodzina T (B) = T (u)u∈B jest wzgl¦dnie zwarta.

Przypu±¢my teraz, »e u = λT (u) dla pewnego λ ∈ (0, 1). Zatem, dla dowolnego t ∈ [0, T ],

|u(t)| ¬ λ|x0|+ λ

∫ t

0|f(s, u(s))| ds ¬ |x0|

∫ t

0α(s) ds+

∫β(s)|u(s)| ds.

wiczenie: Zapozna¢ si¦ z nast¦puj¡c¡ nierówno±ci¡ Gronwalla i spróbowa¢ j¡ udowodni¢:

Niech J b¦dzie dowolnym przedziaªem, p ∈ L∞(J,R), q ∈ L1loc(J,R), q 0 oraz niech α : J → R

b¦dzie absolutnie ci¡gªa. Je±li, dla dowolnego t ∈ J ,

p(t) ¬ a(t) +∫ t

ap(s)q(s) ds,

to, dla dowolnego t ∈ J ,

p(t) ¬ a(t) exp(∫ t

aq(s) ds

).

1.4. Miary niezwarto±ci; twierdzenie Darbo-Sadowskiego 15

Na mocy nierówno±ci Gronwalla, dla ka»dego t ∈ [0, T ]

|u(t)| ¬ exp(∫ t

0β(s) ds

)(|x0|+

∫ t

0α(s) ds

).

St¡d

‖u‖ ¬ r := exp

(∫ T

0β(s) ds

)(|x0|+

∫ T

0α(s) ds

).

Zastosowanie twierdzenia 1.3.13 ko«czy dowód.

1.4 Miary niezwarto±ci; twierdzenie Darbo-Sadowskiego

Niech E b¦dzie niesko«czenie wymiarow¡ przestrzeni¡ Banacha; dla A ⊂ E, ±rednic¡ zbioru A

nazywamy liczb¦

diam (A) := supa,b∈A

‖a− b‖ ¬ ∞.

wiczenie: Udowodni¢ nast¦puj¡ce wªasno±ci:(i) Je±li A ⊂ B ⊂ E, to diam (A) ¬ diam (B);(ii) diam (clA) = diam (A);(iii) diam (λA) = |λ|diam (A) dla λ ∈ R;(iv) je±li B ⊂ E, to diam (A±B) ¬ diam (A) + diam (B);(v) diam (convA) = diam (A);(vi) zbiór A jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy diam (A) <∞.

Niech B(E) oznacza rodzin¦ ograniczonych podzbiorów przestrzeni E. Deniujemy dwie funk-

cje α, β : B(E)→ R wzorami

α(B) := infd > 0 | B ma sko«czone pokrycie zbiorami o ±rednicy ¬ d;

β(B) = infε > 0 | B mo»na pokry¢ sko«czon¡ liczb¡ kul o promieniu ¬ ε.

Funkcj¦ α (odp. β) nazywamy miar¡ niezwarto±ci Kuratowskiego (odp. Hausdora).

wiczenie: Udowodni¢, »e w denicji miary Hausdora jest bez znaczenia czy dopuszczamy

kule otwarte czy domkni¦te.

Pokaza¢, »e β(B) < ε wtedy i tylko wtedy, gdy B ma sko«czon¡ ε-sie¢.

1.4.1 Twierdzenie: Niech γ oznacza α lub β. Wtedy:

(1) γ(B) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy B jest zbiorem wzgl¦dnie zwarty.

(2) γ jest póªnorm¡, tzn. γ(λB) = |λ|γ(B) oraz γ(B1 + B2) ¬ γ(B1) + γ(B2) dla λ ∈ R,B,B1, B2 ∈ B(E);

(3) dla ka»dego B ∈ B(E), γ(convB) = γ(B) = γ(clB);(4) funkcja γ jest ci¡gªa jednostajnie ci¡gªa wzgl¦dem metryki Hausdora, tzn. dla dowolnego

ε > 0 istnieje δ > 0 taka, »e je±li B1, B2 ∈ B(E) i dH(B1, B2) < δ, to |γ(B1)− γ(B2)| < ε;

(5) α(B(x, r)) = 2r, β(B(x, r)) = r, gdzie x ∈ E i r > 0;(6) miara γ jest monotoniczna: je»eli B1 ⊂ B2, to γ(B1) ¬ γ(B2) oraz addytywna: γ(B1 ∪

B2) = maxγ(B1), γ(B2).

wiczenie: Metryk¡ Hausdora (a w zasadzie póªmetryk¡) nazywamy funkcj¦ dH : B(E) ×B(E)→ R zadan¡ wzorem

dH(A,B) := maxsupa∈A

d(a,B), supb∈B

d(b, A).


Udowodni¢, »e dH jest póªmetryk¡ i dH(A,B) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy clA = clB. Ponadtorodzina domkni¦tych i ograniczonych zbiorów w E jest wraz z dH przestrzeni¡ metryczn¡ zupeªn¡.

wiczenie: Udowodni¢ powy»sze twierdzenie. Wykaza¢, »e

∀B ∈ B(E) β(B) ¬ α(B) ¬ 2β(B).

1.4.2 Uwaga: Zauwa»my, »e warto±¢ miary Hausdora zale»y od zbioru, w którym wybierane

s¡ ±rodki kul, tzn.je»eli C ⊂ E i

βC(B) := infε > 0 | B mo»na pokry¢ sko«czon¡ liczb¡ kul o±rodkach w zbiorze C i o promieniu ¬ ε;

wtedy β(B) ¬ βC(B) dla B ∈ B(E).

Wa»na wªasno±¢ miary niezwarto±ci dotyczy uogólnienia tzw. twierdzenie Cantora.

1.4.3 Twierdzenie: Niech Bnn∈N b¦dzie zst¦puj¡c¡ rodzin¡ zbiorów ograniczonych niepu-

stych. Je±li limn→∞ γ(Bn) = 0, to⋂∞n=1 clBn jest niepustym zbiorem zwartym.

Dowód: Niech B =⋂∞n=1 clBn. Wtedy B jest domkni¦ty i γ(B) ¬ γ(Bn) dla dowolnego n 1.

zatem γ(B) = 0, czyli B jest zwarty. Niech Ω = xnn∈N, gdzie xn ∈ Bn. Oczywi±cie, dla

dowolnego k 1,γ(Ω) = γ(xnkn=1 ∪ xnn>k) = γ(xnn>k)→ 0

gdy k → ∞. Zatem γ(Ω) = 0. W takim razie (ewentualnie przechodz¡c do podci¡gu xn → x w

E. Jest jasne, »e x ∈ clBn dla ka»dego n. zatem x ∈ B.

wiczenie: Uzupeªni¢ szczegóªy dowodu.

1.4.4 Twierdzenie (Darbo): Niech D ⊂ E b¦dzie zbiorem domkni¦tym, wypukªym i ograniczo-

nym. Je±li T : D → D jest odwzorowaniem ci¡gªym takim, »e

∀B ⊂ D γ(T (B)) ¬ kγ(B), (1.4.2)

gdzie k ∈ [0, 1), to Fix (T ) jest niepustym zbiorem zwartym.

Dowód: atwo zobaczy¢, »e Fix (T ) jest zbiorem domkni¦tym (¢wiczenie). Poza tym

γ(Fix (T )) = γ(T (Fix (T ))) ¬ kγ(Fix (T )),

czyli γ(Fix (T )) = 0 i Fix (T ) jest zwarty.Poka»emy, »e Fix (T ) 6= ∅. Niech B0 := D oraz Bn = cl conv T (Bn−1) dla n 1. Wtedy

Bn ⊂ Bn−1 oraz γ(Bn) ¬ knγ(B0).

Istotnie, B1 ⊂ B0 = D, wi¦c

γ(B1) = γ(cl conv T (B0)) = γ(T (B0)) ¬ kγ(B0)

oraz, rozumuj¡c indukcyjnie,

Bn = cl conv T (Bn−1) ⊂ cl conv T (Bn−2) = Bn−1

dla dowolnego n 1; ponadto

γ(Bn) = γ(cl conv T (Bn−1)) = γ(T (Bn−1) ¬ kγ(Bn−1) ¬ kkn−1γ(B0).

1.4. Miary niezwarto±ci; twierdzenie Darbo-Sadowskiego 17

Poniewa» k < 1, wi¦c limn→∞ γ(Bn) = 0. St¡d

B :=⋃n1

Bn 6= ∅.

Zbiór B jest zwarty i wypukªy.

wiczenie: Pokaza¢, »e T (B) ⊂ B.

Z twierdzenia 1.3.4 wynika, »e T |B : B → B ma punkt staªy.

Odwzorowanie T speªniaj¡ce warunek z twierdzenia 1.4.4 nazywa si¦ k-set-kontrakcj¡ (wzgl.

miary niezwarto±ci γ).

wiczenie: Uzasadni¢, »e (metryczna) kontrakcja ze staª¡ Lipschitza k < 1 jest k-set kontrakcj¡

ze wzgl¦du na miar¦ γ = α, β. Warto zdeniowa¢

‖T‖γ := infk 0 | zachodzi warunek (1.4.2).

Wtedy, je±li T ; E→ E jest odwzorowaniem lipschitzowskim, to ‖T‖γ ¬ L(T ).

Oprócz k-set-kontrakcji mówi si¦ te» o odwzorowaniach kondensujacych.

1.4.5 Twierdzenie (Sadowskiego): Niech D ⊂ E b¦dzie zbiorem domkni¦tym, wypukªym i ogra-

niczonym. Je±li T : D → D jest ci¡gªym odwzorowaniem kondensuj¡cym wzgl¦dem miary nie-

zwarto±ci γ , tzn. dla dowolnego B ⊂ D, γ(T (B)) < γ(B), o ile $γ(B) > 0, to Fix (T ) jest

zbiorem zwartym i niepustym.

Dowód: Podobnie jak poprzednio, zbiór Fix (T ) jest zbiorem zwartym

wiczenie: Poda¢ dowód powy»szego stwierdzenia.

Ustalmy x0 ∈ D. Niech C oznacza klas¦ domkni¦tych wypukªych zbiorów C ⊂ D takich, »e

x0 ∈ C i T (C) ⊂ C. Oczywi±cie C 6= ∅ bo D ∈ C. Poªó»my

C0 =⋂C∈C

C.

Wtedy C0 6= ∅ bo x0 ∈ C0; C0 jest zbiorem wypukªym i domkni¦tym. Poka»emy, »e C0 jest

zbiorem zwartym. Przypu±¢my, »e C0 nie jest zwarty. Wtedy γ(T (C0)) < γ(C0).Niech C1 := cl conv (x0∪T (C0)). Oczywi±cie C1 ⊂ C0; zatem T (C1) ⊂ T (C0) ⊂ C1. zatem

C1 ∈ C i C0 ⊂ C1. Czyli C1 = C0. Wobec tego

γ(C1) = γ(cl conv (x0 ∪ T (C0)) = γ(T (C0)) < γ(C0) = γ(C1) :

sprzeczno±¢.

wiczenie: Udowodni¢, »e je±li istnieje ci¡gªa i niemalej¡ca funkcja ϕ : [0,∞) → [0,∞) taka,

»e ϕ(r) < r dla r > 0 oraz

‖Tx− Ty‖ ¬ ϕ(‖x− y‖)

dla x, y ∈ D, to T jest odwzorowaniem kondensuj¡cym.

Klasa odwzorowa« kondensuj¡cych wzgl¦dem miary niezwarto±ci dopuszcza jeszcze dalsze

uogólnienia. Mianowicie mówimy, »e odwzorowanie T : D → E, gdzie D ⊂ E, E jest przestrzeni¡

Banacha, jest odwzorowaniem typu Möncha je»eli istnieje x0 ∈ D o tej wªasno±ci, »e dla dowolnego

przeliczalnego X ⊂ D takiego, »e X ⊂ cl conv ((x0 ∪ T (X)), zbiór clX jest zwarty.


Zauwa»my, »e odwzorowania kondensuj¡ce na zbiorze ograniczonym s¡ typu Möncha. Istot-

nie: niech X ⊂ E b¦dzie przeliczalny i zaªó»my, »e γ(X) > 0 oraz X ⊂ cl conv ((x0 ∪ T (X)).Wtedy

γ(X) ¬ γ(cl conv (x0 ∪ T (X))) = γ(T (X)) < γ(X) :

sprzeczno±¢.

1.4.6 Twierdzenie (Mönch) Zaªó»my, »e D ⊂ E jest zbiorem domkni¦tym i wypukªym, T :D → D odwzorowaniem ci¡gªym typu Möncha. Wtedy Fix (T ) 6= ∅.

Dowód: Niech D0 := x0 i

Dk+1 := conv (x0 ∪ T (Dk)), k 0.

Dalej niech D′ =⋃k0Dk i D∗ := clD′. Oczywi±cie zbiory D′ i D∗ s¡ wypukªe, D∗ jest do-

mkni¦ty. Ponadto ªatwo zobaczy¢, »e

D′ = conv (x0 ∪ T (D′))

bo Dk ⊂ Dk+1. Zatem T (D∗) ⊂ D∗.Z drugiej strony zauwa»my, »e zbiór clDk, k 0, jest zwarty. Istotnie D0 jest zwarty i

zaªó»my, »e zwarty jest Dk. Wtedy zbiór x0 ∪ T (Dk) jest wzgl¦dnie zwarty, a zatem zbiór

Dk+1 jest te» wzgl¦dnie zwarty (uwypuklenie zbioru wzgl¦dnie zwartego jet tez wzgl¦dnie zwarte

(udowodni¢). W takim razie dla ka»dego k 0 istnieje przeliczalny Ck ⊂ Dk taki, »e clCk =clDk.

wiczenie: Pokaza¢, »e je±li zbiór A ⊂ X, gdzie X jest przestrzeni¡ metryczn¡, jest wzgl¦dnie

zwarty, to istnieje zbiór przeliczalny C taki, »e clC = A (wskazówka: zbiory wzgl¦dnie zwarte

maj¡ sko«czon¡ ε-sie¢ dla dowolnego ε > 0).

Rozwa»my zbiór przeliczalny C :=⋃k0Ck. Wtedy clD′ = clC oraz

cl conv (x0 ∪ T (C)) = cl conv (x0 ∪ T (D′)) = clC.

Wobec tego zbiór D∗ = clD′ = clC jest zwarty. Dowód ko«czy odwoªanie do twierdzenia Schau-

dera.

Rozdział 2Ogólny setup zastosowa«

atwo dostrzec wspólne cechy rozumowania u»ytego w podrozdziaªach 1.1.A i 1.3.A (twierdzenia

Picarda i Peano): w obu przypadkach punktem wyj±cia jest zagadnienie pocz¡tkowe dla równania

u = f(t, u), u(0) = x0 ∈ Rn,

gdzie f : [0, T ] × Rn → Rn jest odwzorowaniem Carathéodory'ego (speªniaj¡ce jeszcze inne

specyczne zaªo»enia). Z odwzorowaniem tym stowarzyszamy operator Nf : C([0, T ],Rn) →L1([0, T ],Rn), który funkcji ci¡gªej u : [0, T ]→ Rn przyporz¡dkowuje funkcj¦ caªkowaln¡

Nf (u) := f(·, u(·));

jest to tzw. operator Niemyckiego lub operator podstawienia. Nast¦pnie rozwa»a si¦ operator

caªkowy K : L1([0, T ],Rn) → AC([0, T ],Rn), który funkcji caªkowalnej v przyporz¡dkowuje

absolutnie ci¡gª¡ funkcj¦

K(v)(t) := x0 +∫ t

0v(s) ds, t ∈ [0, T ].

Jest to jak ªatwo zobaczy¢ operator aniczny. Tutaj symbolem AC([0, T ],Rn) oznaczamy

przestrze« funkcji absolutnie ci¡gªych [0, T ]→ Rn wraz z norm¡

‖u‖AC := ‖u‖+ ‖u‖1, u ∈ AC([0, T ],Rm),

gdzie ‖ · ‖1 jest norm¡ w L1([0, T ],Rn). Operator K jest ci¡gªy, bo ci¡gªa jest jego cz¦±¢ liniowa

L1([0, T ],Rn) 3 v 7→ L(v) ∈ AC([0, T ],Rn) gdzie

L(v)(t) :=∫ t

0v(s) ds, t ∈ [0, T ]. (2.0.1)

Istotnie

‖L(v)‖AC = ‖L(v)‖+ ‖v‖1 = supt∈[0,T ]

|L(v)(t)|+ ‖v‖1

¬ supt∈[0,T ]

∫ t

0|v(s)| ds+ ‖v‖1 ¬

∫ T

0|v(s)| ds+ ‖v‖1 = 2‖v‖1;

zatem ‖L‖ ¬ 2.

wiczenie: Pokaza¢, »e norma ‖L‖ = 2.

20 2. Ogólny setup zastosowa«

Mamy wi¦c nast¦puj¡cy diagram

AC([0, T ],Rn)

j

C([0, T ],Rn)

Nf // L1([0, T ],Rn)

KhhQQQQQQQQQQQQQ

(2.0.2)

gdzie j : AC([0, T ],Rn)→ C([0, T ],Rn) jest wªo»eniem.

wiczenie: Pokaza¢, »e wªo»enie j jest ci¡gªym operatorem liniowym.

Zauwa»my, »e operator T : C([0, T ],Rn)→ C([0, T ],Rn) zadany jako zªo»enie T = j K Nf

jest dany wzorem

Tu(t) = x0 +∫ t

0f(s, u(s)) ds, t ∈ [0, T ],

dla u ∈ C([0, T ],Rn). Jest to wi¦c operator, którego punktów staªych poszukiwali±my w obu

powy»ej podanych przykªadów zastosowa«. W pierwszym przypadku (zastosowanie z podroz-

dziaªu 1.1.A) pokazali±my, »e operator Nf jest poprawnie okre±lony oraz, »e T jest kontrakcj¡

(wzgl¦dem poprawionej normy: normy Bieleckiego); za± w drugim przypadku (zastosowanie w

podrozdziale 1.3.A) pokazali±my, »e T jest odwzorowaniem peªnoci¡gªym. To juz (wraz z osza-

cowaniami a priori w drugim przypadku) wystarczyªo dla istnienia punktów staªych T (tzn.

rozwi¡za« wyj±ciowego problemu).

wiczenie: Zbada¢ zachowanie operatorów Nf i j K przy zaªo»eniach z podrozdziaªu 1.1.A, o

ile przestrze« C([0, T ],Rn) wyposa»ona jest w norm¦ Bieleckiego. Przemy±le¢ jak zmodykowa¢

norm¦ w AC([0, T ],Rn) w analogii do normy Bieleckiego.

Pytanie: Gdzie kryje si¦ zwarto±¢ (lub peªnoci¡gªo±¢) gdy rozwa»amy operator T przy zaªo-

»eniach z podrozdziaªu 1.3.A?

Odpowied¹ na powy»sze pytanie na obecnym etapie mo»e by¢ trudna.

Bez w¡tpienia ci¡gªo±¢ operatora T (b¦d¡ca konsekwencj¡ kontraktywno±ci w pierwszym

zastosowaniu) wynika z ci¡gªo±ci Nf (dotyczy to szczególnie drugiego zastosowania).

wiczenie: Zbada¢ ci¡gªo±¢ Nf przy zaªo»eniach z podrozdziaªu 1.3.A na±laduj¡c rozumowanie

tam podane.

W poni»szych podrozdziaªach zbadamy ogólne wªasno±ci operatora Niemyckiego oraz ogólne

wªasno±ci diagramów podobnych do powy»szego.

2.1 Operator Niemyckiego i operatory caªkowe

Niech Ω ⊂ RN i niech f : Ω× Rn → Rm b¦dzie odwzorowaniem Carathéodory'ego.

2.1.1 Twierdzenie (Krasnosielskiego): Operator podstawienia Nf : u 7→ f(·, u(·)):(1) przeksztaªca C(Ω,Rn) w C(Ω,Rm) wtedy i tylko wtedy, gdy f jest funkcj¡ ci¡gª¡. Je±li

Ω jest zbiorem zwartym, to wówczas Nf jest operatorem ci¡gªym, ograniczonym na zbiorach

ograniczonych i tam te» jest jednostajnie ci¡gªy.

Zaªó»my teraz, »e Ω jest zbiorem mierzalnym w sensie Lebesgue'a. Wtedy:

(2) Nf (u) jest funkcja mierzaln¡, o ile mierzalna jest funkcja u : Ω→ Rn.

(3) Niech 1 ¬ p, q ¬ ∞. Operator Nf przeksztaªca Lp(Ω,Rn) w Lq(Ω,Rm) wtedy i tylko

wtedy, gdy:

2.1. Operator Niemyckiego i operatory caªkowe 21

(a) je»eli p <∞, to dla p.w. t ∈ Ω i x ∈ Rn, to

|f(t, x)| ¬ a(t) + b|u|p/q,

gdzie a ∈ Lq(Ω,R) i b 0;(b) je»eli p =∞, to dla dowolnego r 0

|f(t, x)| ¬ ar(t)

dla p.w. t ∈ Ω i x ∈ Rn, |x| ¬ r, gdzie ar ∈ Lq(Ω,R).(4) Je±li zaªo»y¢, »e Nf dziaªa z Lp(Ω,Rn) do Lq(Ω,Rm), to operator podstawienia Nf jest

ci¡gªy wtedy i tylko wtedy, gdy:

(a) q <∞;

(b) q =∞, p <∞ oraz f(t, u) nie zale»y od x;

(c) q = p =∞, za± f speªnia zale»no±¢: dla dowolnego r 0,

|f(t, x)− f(t, y)| ¬ ϕr(x− y),

dla p.w. t ∈ Ω, x, y ∈ Rn, |x|, |y| ¬ qr, gdzie ϕr : Rn → R jest funkcj¡ ci¡gª¡ i ϕr(0) = 0 (wtedy

te» Nf jest operatorem jednostajnie ci¡gªym).

We wszystkich podanych przypadkach Nf przeksztaªca zbiory ograniczone na zbiory ograni-

czone.

Dowód twierdzenia Krasnosielskiego (w najbardziej ogólnej postaci) jest do±¢ trudny i tech-

nicznie zªo»ony. Mo»na go znale¹¢ w przyzwoitych podr¦cznikach (punkt (2) byª ju» przedmiotem

jednego z ¢wicze«).

Dla przykªadu podamy dowód dla sytuacji (1). Oczywi±cie ci¡gªo±¢ f jest warunkiem ko-

niecznym i dostatecznym tego, »e Nf przyporz¡dkowuje funkcjom ci¡gªym funkcje ci¡gªe.

wiczenie: Przemy±le¢ i udowodni¢ powy»sze stwierdzenie (rzecz jasna chodzi o konieczno±¢).

Przypu±¢my, »e Ω jest zbiorem zwartym. Wtedy C(Ω,Rn) oraz C(Ω,Rm) s¡ przestrzeniami

Banacha z norm¡ ‖u‖ := supt∈Ω |u(t)| dla u ∈ C(Ω,Rn) (odp. u ∈ C(Ω,Rm)). Jak stwierdzili±my

operator Nf : C(Ω,Rn) → C(Ω,Rm) jest poprawnie okre±lony. Je±li un → u w C(Ω,Rn), toistnieje r > 0, »e ‖un‖ ¬ r dla dowolnego n ∈ N (ci¡gi jednostajnie zbie»ne s¡ (jednostajnie)

ograniczone). Funkcja f jest jednostajnie ci¡gªa na zbiorze zwartym Ω×Dn(0, r); dla dowolnegoε > 0 istnieje δ > 0 taka, »e |f(t, x) − f(t, y)| < ε, o ile t ∈ Ω, x, y ∈ Dn(0, r) oraz |x − y| < δ.

Istnieje N ∈ N takie, »e |un(t)− u(t)| < ε dla wszystkich t ∈ Ω, gdy n N . Zatem dla n N ,

|Nf (un)(t)−Nf (u)(t)| = |f(t, un(t))− f(t, u(t))| < ε.

St¡d, przy n N , ‖Nf (un)−Nf (u)‖ ¬ ε.

Oprócz operatora podstawienia, istotn¡ rol¦ peªni¢ b¦d¡ ró»ne operatory caªkowe. Tego ro-

dzaju operatorem jest operator zadany wzorem (2.0.1). Najogólniejsz¡ klas¦ operatorów caªko-

wych stanowi¡ tzw. operatory Urysohna.

Niech jak wy»ej Ω ⊂ RN b¦dzie zbiorem mierzalnym w sensie Lebesgue'a i niech

k : Ω2 × Rn → Rm. Dla funkcji u : Ω→ Rn rozwa»my wyra»enie

Au(t) :=∫

Ωk(t, s, u(s)) ds, t ∈ Ω

o ile ma ono sens, tzn. przy zaªo»eniu, »e dla dowolnego t ∈ Ω, funkcja k(t, ·, u(·)) jest caªko-

walna. Tego typu operator, który funkcji u przyporz¡dkowuje funkcje Au nazywamy operatorem


caªkowym Urysohna o j¡drze k. Kryteria ci¡gªo±ci i peªnoci¡gªo±ci tego typu operatorów w ró»-

nych przestrzeniach funkcyjnych s¡ do±¢ trudne dlatego je tutaj pominiemy. Zajmiemy si¦

szczególnym przypadkiem tzw. operatorów Hammersteina, tzn. operatorów Urysohna o j¡drze

nast¦puj¡cej postaci:

k(t, x, x) = g(t, s)f(s, x), t, s ∈ Ω, x ∈ Rn,

gdzie g : Ω2 → R, za± f : Ω× Rn → Rm, lub ogólniej

k(t, s, x) = G(t, s)f(s, x), t, s ∈ Ω, x ∈ Rk,

gdzie G : Ω2 → L(Rn,Rm) i f : Ω × Rk → Rm (dla dowolnych t, s ∈ Ω, G(t, s) : Rn → Rm jest

operatorem liniowym, tzn.

G(t, s) = [gij(t, s)]1¬i¬m, 1¬j¬n,

gdzie gij ; Ω2 → R dla i = 1, ...,m, j = 1, ..., n). W pierwszym przypadku mówimy o skalarnej

funkcji Greena g; w drugim o macierzowej funkcji Greena G. Jest jasne, »e druga posta¢ jest

ogólniejsza.

Zauwa»my, »e operator Hammersteina

Au(t) =∫

ΩG(t, s)f(s, u(s)) ds

(o ile jest poprawnie okre±lony) jest zªo»eniem A = J Nf operatora podstawienie Nf i operatora

caªkowego

Jv(t) =∫

ΩG(t, s)v(s) ds, t ∈ Ω, (2.1.3)

gdzie v : Ω→ Rn.

2.1.2 Przykªad: Niech Ω = [0, T ] i rozwa»my skalarn¡ funkcj¦ Greena zadan¡ wzorem

g(t, s) :=

1 gdy 0 ¬ s ¬ t ¬ T ;0 w przeciwnym przypadku.

Wtedy dla dowolnej funkcji v ∈ L1(Ω,Rm),

Jv(t) =∫ T

0g(t, s)v(s) ds =

∫ t

0v(s) ds ∈ Rm, t ∈ Ω.

Jest to wi¦c operator (2.0.1). Zªo»enie J Nf , gdzie f : Ω× Rn → Rm jest funkcj¡ Carathéodo-

ry'ego tak¡, »e Nf przeksztaªca Lp(Ω,Rn)→ L1(Ω,Rm), 1 ¬ p ¬ ∞, jest poprawnie okre±lonym

operatorem dziaªaj¡cym z L1(Ω,Rn) do C(Ω,Rm). atwo wida¢, »e jest to operator postaci

rozwa»anej w podrozdziale 1.3.A lub 1.1.A.

Poniewa» wiemy ju» wiele na temat operatorów podstawienia zajmiemy si¦ liniowymi ope-

ratorami Hammersteina postaci (2.1.3).

Niech Z := L(Rn,Rm); dla macierzy M ∈ Z, ‖M‖ := supx∈Rn, |x|¬1 |Mx|.Niech Ω ⊂ RN b¦dzie zbiorem mierzalnym w sensie Lebesgue'a, za± G : Ω2 → Z b¦dzie

odwzorowaniem takim, »e dla dowolnego t ∈ Ω, G(t, ·) : Ω → Z jest mierzalne (np. gdy G jest

odwzorowaniem (produktowo) mierzalnym, tzn. dla dowolnych 1 ¬ i ¬ m, 1 ¬ j ¬ n, gij jest

funkcj¡ mierzaln¡ wzgl¦dem najmniejszego σ-ciaªa zawieraj¡cego iloczyny A×B, gdzie A,B ⊂ Ωs¡ zbiorami mierzalnymi, to dla dowolnego t ∈ Ω, odwzorowanie G(t, ·) : Ω→ Z jest mierzalne);

st¡d tak»e funkcja ‖G(t, ·)‖ jest mierzalna. Dla dowolnej funkcji u : Ω→ Rn, kªadziemy

Jv(t) :=∫

ΩG(t, s)v(s) ds, t ∈ Ω,


o ile ma to sens.

Je±li 1 ¬ p ¬ ∞, to symbolem q oznaczamy poni»ej wykªadnik sprz¦»ony z p, tzn. taki, »e1p + 1

q = 1 (gdy p = 1, to q =∞; gdy p =∞, to q = 1 i gdy 1 < p <∞, to q = pp−1).

2.1.3 Twierdzenie: Ustalmy 1 ¬ p ¬ ∞ i niech Ω b¦dzie zbiorem zwartym i zaªó»my, »e:

(1) dla dowolnego t ∈ Ω, G(t, ·) ∈ Lq(Ω, Z);(2) funkcja w : Ω 3 t 7→ G(t, ·) ∈ Lq(Ω, Z) jest ci¡gªa (1), tzn. dla t→ t0, gdy q <∞, to

‖G(t, ·)−G(t0, ·)‖q :=(∫

Ω‖G(t, s)−G(t0, s)‖q ds

)1/q→ 0;

gdy q =∞, to

‖G(t, ·)−G(t0, ·)‖∞ := ess sups∈Ω|G(t, s)−G(t0, s)| → 0.

Wówczas J : Lp(Ω,Rn)→ C(Ω,Rm) jest ci¡gªym operatorem liniowym.

Dowód: Niech u : Ω → Rn b¦dzie funkcj¡ mierzaln¡. atwo zobaczy¢, »e dla dowolnego t ∈ Ω,funkcja Ω 3 s 7→ G(t, s)u(s) jest mierzalna. Niech u ∈ Lp(Ω,Rn). Wtedy, dla dowolnego t ∈ Ω,wykorzystuj¡c nierówno±¢ Höldera,∫

Ω|G(t, s)u(s)| ds ¬

∫Ω‖G(t, s)‖|u(s)| ds ¬ ‖G(t, ·)‖q‖u‖p ¬W‖u‖p,

gdzie W = supt∈Ω ‖G(t, ·)‖q <∞.

wiczenie: Przeprowadzi¢ dokªadnie powy»sze oszacowanie.

Widzimy wi¦c, »e Ju(t) jest poprawnie okre±lone i de facto

|Ju(t)| ¬W‖u‖p. (2.1.4)

Poka»emy, »e Ju jest funkcj¡ ci¡gª¡. Szacuj¡c podobnie jak wy»ej: dla dowolnych t, t′ ∈ Ω

|Ju(t)− Ju(s)| ¬ ‖G(t, ·)−G(t′·)‖q‖u‖p. (2.1.5)

Oznacza to, »e funkcja Ju jest jednostajnie ci¡gªa.

Wykorzystuj¡c (2.1.4).

‖Ju‖ ¬W‖u‖p.

2.1.4 Uwaga: (1) Warunek (2) z twierdzenia mo»na osªabi¢: wystarcza zauwa»y¢, »e dla dowol-

nego t ∈ Ω, G(t, ·) ∈ L1(Ω, Z) i zaªo»y¢, »e dla dowolnego mierzalnego D ⊂ Ω i dla ka»dego

t0

limt→t0

∫DG(t, s) ds =

∫DG(t0, s) ds (2.1.6)

oraz, »e funkcja Ω 3 t 7→ ‖G(t, ·)‖q jest ograniczona.

wiczenie: Czemu twierdzimy, »e powy»szy warunek (2.1.6) jest sªabszy ni» warunek (2) z

twierdzenia?

Naszkicujemy dowód. Oszacowanie (2.1.4) otrzymujemy tak jak poprzednio. Wystarczy po-

kaza¢ ci¡gªo±¢ funkcji Ju, gdzie u ∈ Lp. Niech tn → t0 w Ω. Trzeba pokaza¢, »e

Ju(tn) =∫

ΩG(tn, s)u(s) ds→

∫ΩG(t0, s)u(s) ds.

1A posteriori jest ona jednostajnie ci¡gªa i ograniczona na mocy zwarto±ci Ω.


Wybierzmy ε > 0. Je±li p < ∞, to z absolutnej ci¡gªo±ci caªki wynika, »e istnieje δ > 0 taka, »e

je»eli zbiórA ⊂ Ω ma miar¦ µ(A) < δ, to (∫A ‖u(s)‖p ds)1/p < ε/4W , gdzieW = supt∈Ω ‖G(t, ·)‖q

(mo»na oczywi±cie zaªo»y¢, »e W > 0). Z twierdzenie uzina wybierzemy zbiór zwarty B ⊂ Ωtaki, by u|B byªa funkcj¡ ci¡gª¡ i µ(Ω \B) < δ. Niech A := Ω \ Z. Mamy wtedy

|Ju(tn)− Ju(t0)| ¬∣∣∣∣∫A

(G(tn, s)−G(t0, s))u(s) ds∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∫

B(G(tn, s)−G(t0, s))u(s) ds

∣∣∣∣ .Pierwsza z caªek (dla wszystkich n 1)∣∣∣∣∫A

(G(tn, s)−G(t0, s))u(s) ds∣∣∣∣ ¬ ∫

A‖G(tn, s)−G(t0, s)‖|u(s)| ds ¬ 2W

(∫A‖u(s)‖p ds

)1/p< ε/2.

Oszacowanie drugiej caªki jest nieco trudniejsze. Skorzystamy z nast¦puj¡cego faktu: Ograni-

czony ci¡g (fn) z L1(B,Rk) jest sªabo zbie»ny w L1 do f ∈ L1(B,Rk) wtedy i tylko wtedy,

gdy dla dowolnego mierzalnego D ⊂ B,∫D fn(s) ds →

∫D f(s) ds. W naszym przypadku kªa-

dziemy fn(s) := G(tn, s) i f(s) := G(t0, s). Widzimy wi¦c z zaªo»enia i przytoczonego faktu,

»e fn f w L1(B,Z); tak wi¦c w szczególno±ci dla dowolnej funkcji h ∈ L∞(B,Rn),∫B fn(s)h(s) ds→

∫B f(s)h(s) ds. Oczywi±cie h := u|B ∈ L∞. Zatem druga z caªek∣∣∣∣∫

B(G(tn, s)−G(t0, s))u(s) ds

∣∣∣∣→ 0,

gdy n→∞.

wiczenie: Poda¢ rozumowanie w sytuacji, gdy p =∞.

Zauwa»my jeszcze, »e warunek (2.1.6) wynika z ci¡gªo±ci funkcji Ω 3 t 7→ ‖G(t, ·)‖1, tzn. zzaªo»enia, »e dla ka»dego t0 ∈ Ω

limt→t0

∫Ω‖G(t, s)−G(t0, s)‖ ds = 0.

Przy tym zaªo»eniu powy»ej podane szacowanie jest prostsze: sªaba zbie»no±¢ (fn) jest natych-

miastowe.

(2) Zauwa»my, »e warunek (2) z twierdzenia jest speªniony przy q <∞ je»eli dla p.w. s ∈ Ω,G(·, s) jest ci¡gªa i

‖G(t, s)‖ ¬ g(s)

dla ka»dego t ∈ Ω, gdzie g ∈ Lq(Ω,R). Rzeczywi±cie, je±li t → t0, to dla p.w. s ∈ Ω, G(t, s) →G(t0, s) oraz

‖G(t, s)−G(t0, s)‖q ¬ 2q−1(‖G(t, s)‖q + ‖G(t0, s)‖q) ¬ 2qgq(s).

Zatem z twierdzenie Lebesgue'a

‖G(t, ·)−G(t0, ·)‖qq → 0

gdy t→ t0.

Przy q =∞, mo»na zaªo»y¢, »e G(·, s) jest ci¡gªa jednostajnie ze wzgl¦du na s, by uzyska¢

warunek(2).

wiczenie: Uzasadni¢ to stwierdzenie.

(2) Je±li speªnione s¡ zaªo»enia twierdzenia, to J jest operatorem zwartym (w terminolo-

gii analizy funkcjonalnej). Niech B ⊂ Lp(Ω,Rm) b¦dzie zbiorem ograniczonym. Z oszacowania


(2.1.4) wynika, »e rodzina J(B) = Juu∈B jest (jednostajnie) ograniczona, za± z oszacowania

(2.1.5) wynika, »e rodzina ta jest jednostajnie jednakowo ci¡gªa. Zatem zbiór J(B) jest wzgl¦dniezwarty na mocy twierdzenia Ascoliego.

Nie rozpatrywali±my osobno operatorów Hammersteina dziaªaj¡cych z C(Ω,Rn) bowiem

C(Ω,Rn) ∈ Lp(Ω,Rn) dla dowolnego 1 ¬ p ¬ ∞.

wiczenie: (1) Wykaza¢, »e operator J zdeniowany w przykªadzie 2.1.2 dziaªa z Lp(Ω,Rn)→C(Ω,Rn) dla dowolnego 1 ¬ p ¬ ∞ i jest ci¡gªy (rozwa»y¢ oddzielnie przypadki p = 1 i p > 1).

Pokaza¢, »e jest on zwarty jako operator Lp(Ω,Rn) → C(Ω,Rn) dla 1 < p ¬ ∞. Czy jest

zwarty jako operator L1(Ω,Rn) → C(Ω,Rn) przy 1 ¬ p < ∞ ? Odpowied¹ brzmi: nie. Jednak

wtedy J(B) jest wzgl¦dnie zwarty, gdy zbiór B ⊂ L1 jest caªkowo ograniczony, tzn. dla dowolnego

u ∈ B, |(s)| ¬ ϕ(s), gdzie ϕ ∈ L1(Ω,R): udowodni¢.

Obecnie zbadamy liniowy operator Hammersteina w sytuacji dziaªania z Lp do Lr, 1 ¬ p, r ¬∞.

2.1.5 Twierdzenie: Niech Ω b¦dzie dowolnym zbiorem mierzalnym i zaªó»my, »e G ∈ Lq(Ω2, Z).Wówczas, dla u ∈ Lp(Ω,Rn), funkcja Ω2 3 (t, s) 7→ G(t, s)u(s) jest mierzalna, dla p.w. t ∈Ω, funkcja G(t, ·)u(·) jest caªkowalna, okre±lona p.w. funkcja Ju : Ω → Rm wzorem Ju(t) =∫

ΩG(t, s)u(s) ds jest mierzalna i, dla p > 1, mierzalna jest okre±lona p.w. funkcja Ω 3 t 7→∫Ω ‖G(t, s)‖q ds jest mierzalna.

Ponadto operator liniowy J : Lp(Ω,Rn) → L∞(Ω,Rm) jest poprawnie okre±lony i ci¡gªy, o

ile w przypadku p > 1 zaªo»y¢, »e ess supx∈Ω‖G(t, ·)‖q <∞.

Niech 1 ¬ r <∞. Zakªadamy, »e:

(1) gdy p = 1, to µ(Ω) <∞;

(2) gdy p > 1, to okre±lona p.w. funkcja Ω 3 t 7→ ‖G(t, ·)‖q nale»y do Lr(Ω,R).Wtedy operator liniowy J : Lp(Ω,Rn)→ Lr(Ω,Rm) jest ci¡gªy.

Dowód:Mierzalno±¢ funkcji (t, s) 7→ G(t, s)u(s) jest oczywista. Zatem, dla p.w. t ∈ Ω, mierzalna

jest funkcja G(t, ·)u(·) (zasada Cavalieriego). Poka»emy jej caªkowalno±¢. Niech p = 1, wtedyM := ‖G‖∞ <∞ z zaªo»enia. Zatem te» dla p.w. t ∈ Ω, G(t, ·) ∈ L∞, tzn. ‖G(t, ·)‖∞ <∞. Dla

u ∈ L1, ∫Ω|G(t, s)u(s)| ds ¬

∫Ω‖G(t, s)‖|u(s)| ¬M‖u‖1.

Niech p > 1, wtedy 1 ¬ q < ∞. Z twierdzenia Fubiniego dla p.w. t ∈ Ω funkcja∫

Ω ‖G(t, ·)‖q dsjest caªkowalna. Ustalmy taki t ∈ Ω. Z nierówno±ci Höldera∫

Ω|G(t, s)u(s)| ds ¬

∫Ω‖G(t, s)‖|u(s)| ds ¬ ‖G(t, ·)‖q‖u‖p.

Poka»emy teraz, »e funkcja Ju jest mierzalna. Funkcja (t, s) 7→ H(t, s) := G(t, s)u(s) ∈ Rm jest

mierzalna. Niech Ω′ ⊂ Ω i µ(Ω′) <∞. Wtedy funkcja H jest caªkowalna na Ω′ × Ω:∫Ω′×Ω

|g(t, s)u(s)| ds ¬∫

Ω′×Ω‖G(t, s)‖|u(s)| ds

¬(∫

Ω′×Ω‖G(t, s)‖q dtds

)1/q (∫Ω′×Ω

|u(s)|p)1/p

¬(∫

Ω×Ω‖G(t, s)‖q dtds

)1/q‖u‖pµ(Ω′).

St¡d i z twierdzenia Fubiniego wynika, »e okre±lona p.w. funkcja Ju|Ω′ : Ω′ 3 t 7→∫

ΩG(t, s)u(s) dsjest mierzalna. Poniewa» Ω =

⋃∞k=1 Ωk, gdzie µ(Ωk) <∞ (miara Lebesgue'a jest σ-sko«czona) i

Ju obci¦te do ka»dego Ω jest funkcj¡ mierzaln¡, wnosimy, »e Ju jest mierzalna.

Gdy p > 1, to ponownie z twierdzenie Fubiniego, dla p.w. t ∈ Ω,∫

Ω ‖G(t, s)‖q ds < ∞ i


okre±lona p.w. funkcja Ω 3 t 7→∫Ω ‖G(t, s)‖q ds jest mierzalna i caªkowalna.

Niech u ∈ Lp(Ω,Rn); jak widzieli±my funkcja Ju jest mierzalna i dla dowolnego x ∈ Rn,

|Ju(t)| ¬∫

Ω‖G(t, s)‖|u(s)| dt‖G(t, ·)‖q‖u‖p.

Zatem

ess supt∈Ω|Ju(t)| ¬ essup (t,s)∈Ω2‖G(t, s)‖‖u‖1

gdy p = 1 oraz

ess supt∈Ω|Ju(t)| ¬ ess supt∈Ω‖G(t, ·)‖q‖u‖p

gdy p > 1. W obu przypadkach ‖Ju‖∞C‖u‖p.Niech 1 ¬ r <∞. Dla p.w. t ∈ Ω

|Ju(t)|r ¬ ‖G(t, ·)‖rq‖u‖rp.

St¡d, przy p = 1,

‖Ju‖r =(∫

Ω|Jut)|r dt

)1/r¬ µ(Ω)ess sup(t,s)∈Ω2‖G(t, s)‖‖u‖1;

za± dla p > 1,

‖Ju‖r ¬(∫

Ω‖G(t, ·)‖rq dt

)1/r‖u‖p.

W obu wi¦c wypadkach ‖Ju‖r ¬ C‖u‖p. To ko«czy dowód.

2.2 Przestrzenie Sobolewa i lemat fundamentalny

2.2.A Sªabe pochodne

Symbolem I = (a, b) oznaczamy dowolny przedziaª otwarty, −∞ ¬ a < b ¬ ∞. Niech C∞0 (I)oznacza zbiór funkcji ϕ : I → R klasy C∞ o zwartym no±niku suppϕ := cl t ∈ I | ϕ(t) 6= 0 ⊂ I.

Niech u ∈ L1loc(I,Rn). Je±li istnieje funkcja v ∈ L1

loc(I,Rn) taka, »e∫Iu(t)ϕ′(t) dt = −

∫Iv(t)ϕ(t) dt

dla dowolnego ϕ ∈ C∞0 (I) := C∞0 (I,R), to mówimy, »e v jest sªab¡ pochodn¡ funkcji u i pi-

szemy u′ := v. Podana denicja sªabej pochodnej i przyj¦te oznaczenia s¡ poprawne w ±wietle

nast¦puj¡cych faktów:

2.2.1 Lemat: Niech v ∈ L1loc(Ω,Rn), gdzie Ω ⊂ Rm jest zbiorem otwartym. Je»eli

∫Ω v(t)ϕ(t) dx =

0 dla dowolnej funkcji ϕ ∈ C∞0 (Ω,R), to v(x) = 0 dla p.w. x ∈ Ω.

wiczenie: Spróbowa¢ udowodni¢ powy»szy lemat.

Je±li v, w ∈ L1loc(I,Rn) s¡ sªabymi pochodnymi funkcji u ∈ L1

loc(I,Rn), to∫

(v −w)ϕdx = 0dla dowolnej funkcji ϕ ∈ C∞0 (I). Zatem v − w = 0 p.w.

Je±li u ∈ L1loc(I,Rn) jest funkcj¡ ró»niczkowaln¡, której zwykªa pochodna u′ jest lokalnie

caªkowalna, to dla dowolnego ϕ ∈ C∞0 (I,R) ma miejsce zale»no±¢∫Iuϕ = −

∫Iu′ϕ

2.2. Przestrzenie Sobolewa i lemat fundamentalny 27

wiczenie: Udowodni¢ powy»sz¡ równo±¢.

Wida¢ zatem, »e poj¦cie sªabej pochodnej we wªa±ciwy sposób uogólnia poj¦cie zwykªej pochod-

nej.

2.2.2 Przykªad: Rozwa»my funkcj¦ u : R→ R dan¡ wzorem u(t) = 12(|t|+ t), t ∈ I := (−1, 1);

wtedy sªaba pochodna u′ = H gdzie

H(t) =

1 gdy 0 ¬ t < 1;0 gdy −1 < t < 0.

jest tzw. funkcj¡ Heaviside'a. Z kolei funkcja Heaviside'a nie ma pochodnej sªabej.

2.2.3 Uwaga: Funkcja v ∈ L1loc(I,Rn) jest sªab¡ pochodn¡ u ∈ L1

loc(I,Rn) wtedy i tylko wtedy,

gdy dla dowolnej funkcji ϕ ∈ C∞0 (I,Rn)∫I〈v(t), ϕ(t)〉 dt = −

∫I〈u(t), ϕ′(t)〉 dt. (∗)

Istotnie: przypu±¢my, »e v = u′, tzn. dla dowolnej ϕ ∈ C∞0 (I),∫I vϕ dt = −

∫I uϕ

′ dt. Zatem,

dla dowolnego i = 1, ..., n oraz dowolnego ϕ ∈ C∞0 (I),∫I viϕdt = −

∫I uiϕ

′ dt. Niech ϕ =(ϕ1, ..., ϕn) ∈ C∞0 (I,Rn). Wtedy, dla ka»dego i = 1, ..., n,

∫I viϕi dt = −

∫I uiϕ

′i dt. St¡d∫

I〈v(t), ϕ(t)〉 dt =

n∑i=1

∫Iviϕi dt = −

n∑i=1

∫Iuiϕ′i dt =

∫I〈u(t), ϕ′(t)〉 dt.

Na odwrót zaªó»my, »e zachodzi (∗) i niech ϕ ∈ C∞0 (I). Dla i = 1, ..., n niech ψ = (ψ1, ..., ψn)gdzie ψj = 0 gdy j 6= i oraz ψi = ϕ. Z warunku (∗) wynika, »e

∫I〈v, ψ〉 dt = −

∫〈u, ψ′〉 dt, tzn.∫

I viϕdt = −∫I uiϕ

′ dt. St¡d te»∫I vϕ dt = −

∫I uϕ

′ dt.

2.2.4 Twierdzenie: Przypu±¢my, »e u ∈ L1loc(I,Rn) ma sªab¡ pochodn¡ u′ = v ∈ L1

loc(I,Rn).Wówczas istnieje funkcja ci¡gªa u : cl I → Rn taka, »e u = u p.w. na I oraz

u(x)− u(y) =∫ y

xu′(t) dt.

W szczególno±ci u jest funkcj¡ absolutnie ci¡gªa i dla p.w. t ∈ I

u′(t) = u′(t).

Dla dowodu potrzebowa¢ b¦dziemy dwóch lematów:

2.2.5 Lemat (Lemat podstawowy du Bois-Reymond): v ∈ L1loc(I,Rn). Je»eli

∫I v(t)ϕ′(t) dx dla

dowolnego ϕ ∈ C∞0 (I,R), to istnieje staªa C ∈ Rn taka, »e v = C p.w.

Dowód: Ustalmy dowoln¡ funkcj¡ ψ ∈ C∞0 (I,R) tak¡, »e∫ψ = 1 oraz punkt a ∈ R \ I. Niech

w ∈ C∞0 (I,R) i niech

ϕ(t) =∫ t

a

[w(s)−

(∫Iw(t) dt

)ψ(s)

]ds, t ∈ I.

Dowód:

wiczenie: Pokaza¢, »e ϕ ∈ C∞0 (I,R).


Wtedy

ϕ′(s) = w(s)−(∫

Iw(t) dt

)ψ(s)

dla s ∈ I. Z zaªo»enia wi¦c dla dowolnego w ∈ C∞0 (I,R) mamy∫If(s)

[w(s)−

(∫Iw(t) dt

)ψ(s)

]ds = 0;

z twierdzenie Fubiniego mo»na zmieni¢ kolejno±¢ caªkowania∫If(s)

[w(s)−

(∫Iw(t) dt

)ψ(s)

]ds =

∫If(t)w(t) dt−

∫I

(∫Iw(t) dt

)f(s)ψ(s) ds =∫

If(t)w(t) dt−

∫Iw(t)

(∫If(s)ψ(s) ds

)dt =

∫I

[f(t)−

(∫If(s)ψ(s) ds

)]w(t) dt = 0.

W takim razie, z lematu 2.2.1

f(t)−(∫

If(s)ψ(s) ds

)= 0

dla p.w. t ∈ I, tzn. f(t) = C :=∫I f(s)ψ(s) ds dla p.w. t ∈ I.

2.2.6 Lemat: Ustalmy c ∈ I oraz v ∈ L1loc(I,Rn). Niech

u(t) :=∫ t

av(s) ds, t ∈ I.

Wówczas u : I → Rn jest funkcj¡ absolutnie ci¡gª¡, pochodna (zwykªa) u istnieje p.w. i u = v;

posiada ona te» sªab¡ pochodn¡ równ¡ v.

Dowód: Pierwsza cz¦±¢ jest konsekwencj¡ twierdzenia Lebesgue'a charakteryzuj¡cego funkcje

absolutnie ci¡gªe. Mamy dalej∫Iu(t)ϕ′(t) dt =

∫I

(∫ t

av(s) ds

)ϕ′(t) dt = −

∫ c

a

∫ c

tv(s)ϕ′(t) ds dt+

∫ b

c

∫ t

cv(s)ϕ′(t) ds dt.

Po zastosowaniu twierdzenia Fubiniego∫Iu(t)ϕ′(t) dt = −

∫ c

av(t)

(∫ t

aϕ′(s) ds

)dt+

∫ b

tv(t)

(∫ b

tϕ′(s) ds

)dt =

−∫ c

av(t)ϕ(t) dt−

∫ b

cv(t)ϕ(t) dt =

∫Iv(t)ϕ(t) dt.

To oczywi±cie ko«czy dowód.

Dowód (twierdzenia 2.2.4): Ustalmy punkt c ∈ I i poªó»my

u(t) :=∫ t

cv(s) ds, t ∈ I.

Wówczas u : I → Rn jest funkcj¡ (absolutnie) ci¡gª¡. Mo»na zaªo»y¢, »e funkcja ta jest de facto

okre±lona na cl I.

wiczenie: Uzasadni¢ to stwierdzenie.

Z lematu 2.2.6, funkcja v jest sªab¡ pochodn¡ u, tzn. dla dowolnej funkcji ϕ ∈ C∞0 (I,R),∫Iu(t)ϕ′(t) = −

∫Iv(t)ϕ(t) dt =

∫Iu(t)ϕ′(t) dt.


W takim razie ∫I(u(t)− u(t))ϕ′(t) dt = 0.

Z lematu 2.2.5, u − u = C p.w. na I. Kªad¡c u := u − C otrzymamy funkcj¦ u : cl I → Rn

speªniaj¡c¡ »¡dania twierdzenia.

2.2.7 Uwaga: W ±wietle udowodnionego twierdzenia funkcja u ∈ L1loc(I,Rn) maj¡ca sªab¡

pochodn¡ v ∈ L1loc(I,Rn) ma te» ci¡gªego reprezentanta u : cl I → Rn; cz¦sto te» piszemy

W 1,1(cl I,Rn). Nale»y zwróci¢ uwag¦, »e to stwierdzenie oznacza wi¦cej ni» stwierdzenie, »e u

jest funkcj¡ p.w. ci¡gª¡.

2.2.B Przestrze« Sobolewa Wm,p(I,Rn)

Niech 1 ¬ p ¬ ∞. Deniujemy przestrze« Sobolewa W 1,p(I,Rn) jako zbiór funkcji tych u ∈Lp(I,Rn), które posiadaj¡ sªab¡ pochodn¡ u′ ∈ Lp(I,Rn).

atwo sprawdzi¢, »e W 1,p(I,Rn) jest przestrzeni¡ wektorow¡ i ma miejsce równo±¢ zbiorów

AC([a, b],Rn) = W 1,1(I,Rn)

o ile −∞ < a < b <∞.

wiczenie: Zwerykowa¢ powy»sze stwierdzenia.

W przestrzeni W 1,p(I,Rn) wprowadzamy norm¦

‖u‖W 1,p := ‖u‖p + ‖u′‖p, u ∈W 1,p(I,Rn)

lub, równowa»n¡ z ni¡, norm¦

‖u‖W 1,p :=(∫

I(|u(t)|p + |u′(t)|p) dt

)1/p, u ∈W 1,p(I,Rn).

wiczenie: Sprawdzi¢, »e rzeczywi±cie powy»sze okre±lenie deniuje norm¡.

atwo dostrzec, »e dla u ∈W 1,1(I,Rn),

‖u‖W 1,1 ¬ C‖u‖AC

dla pewnej staªej C.

wiczenie: Znale¹¢ staª¡ C z powy»szego oszacowania.

Poka»emy pó¹niej, »e normy ‖ · ‖ i ‖ · ‖W 1,1 s¡ równowa»ne (2).

Je±li p = 1, to powszechnie u»ywa si¦ oznaczenia

H1(I,Rn) := W 1,2(I,Rn).

Przestrze« H1(I,Rn) wyposa»ona jest w iloczyn skalarny

〈u, v〉W 1,1 := 〈u, v〉L2 + 〈u′, v′〉L2 , u, v ∈ H1(I,Rn).

2.2.8 Twierdzenie: (1) Przestrze«W 1,p(I,Rn) jest przestrzeni¡ Banacha; przestrze« H1(I,Rn)jest przestrzeni¡ Hilberta. Przestrze« W 1,p(I,Rn) jest reeksywna, gdy 1 < p < ∞; o±rodkowa,

2Przypomnijmy, »e normy ‖ · ‖1 i ‖ · ‖2 w przestrzeni wektorowej E s¡ równowa»ne, gdy istniej¡ staªe C1, C2takie, »e ‖x‖1 ¬ C1‖x‖2 i ‖x‖2 ¬ c2‖x‖1 dla ka»dego x ∈ E.


gdy 1 ¬ p <∞.

(2) Je±li u, v ∈W 1,p(I,R), 1 ¬ p ¬ ∞, to uv ∈W 1,p(I,R) oraz

(uv)′ = u′v + uv′.

Ponadto, dla dowolnych t, t′ ∈ I,∫ t′

tu′(s)v(s) ds = u(s)v(s)|t′t −

∫ t′

tu(s)v′(s) ds.

(3) Je±li przedziaª I jest ograniczony, g ∈ C1(Rn,Rm), u ∈W 1,p(I,Rn), to gu ∈W 1,p(I,Rm).Gdy I nie jest ograniczony, to fakt ten jest prawdziwy, o ile zaªo»y¢, »e g(0) = 0.

(4) Je±li przedziaª I nie jest ograniczony, u ∈W 1,p(I,Rn), to limt∈I, |t|→∞ u(t) = 0.

Warto te» odnotowa¢ fakt nast¦puj¡cy:

2.2.9 Fakt: Je±li (un) ⊂W 1,p(I,Rn), un → u w Lp oraz u′n → w w Lp, to u ∈W 1,p(I,Rn) orazun → u in W 1,p(I,Rn).

wiczenie: Udowodni¢ podany fakt.

Do±¢ wygodna jest nast¦puj¡ca charakteryzacja:

2.2.10 Twierdzenie: Niech u ∈ Lp(I,Rn), 1 < p ¬ ∞. Wówczas nast¦puj¡ce warunki s¡

rownowa»ne:

(i) u ∈W 1,p(I,Rn);(ii) istnieje staªa C 0 taka, »e∣∣∣∣∫

Iu(t)ϕ′(t) dt

∣∣∣∣ ¬ C‖ϕ‖q,gdzie 1

p + 1q = 1, dla dowolnego ϕ ∈ C∞0 (I,R).

Dowód: Zaªó»my, »e u ∈W 1,p(I,Rn) i niech ϕ ∈ C∞0 (I,R). Wówczas∣∣∣∣∫Iu(t)ϕ′(t) dt

∣∣∣∣ =∣∣∣∣∫Iu′(t)ϕ(t) dt

∣∣∣∣ ¬ ∫I|u′(t)||ϕ(t) dt ¬ ‖u′‖p‖ϕ‖q

na mocy nierówno±ci Höldera.

Na odwrót przypu±¢my, »e speªniony jest warunek (ii). Rozwa»my przeksztaªcenie liniowe

ξ : C∞0 (I,R) 3 ϕ 7→∫Iu(t)ϕ′(t) dt ∈ Rn.

Odwzorowanie to okre±lone jest na g¦stej podprzestrzeni przestrzeni Lq(I,R); jest ono tak»e

ci¡gªe w sensie Lq (o tym mówi przyj¦ty warunek (ii)). Wobec tego ξ ma ci¡gªe przedªu»enie

do ci¡gªego przeksztaªcenia liniowego Ξ : Lq(I,Rn) → Rn. Z twierdzenie Riesza o reprezentacji

funkcjonaªów liniowych na Lq(I,R) wynika, »e istnieje funkcja g ∈ Lp(I,Rn) taka, »e Ξ(ϕ) =∫I g(t)ϕ(t) dt dla dowolnego vp ∈ Lq(I,R);

wiczenie: Przeprowadzi¢ szczegóªowo powy»sze rozumowanie.

w szczególno±ci wi¦c, dla dowolnego ϕ ∈ C∞0 (I,R),∫Iu(t)ϕ′(t) dt = ξ(ϕ) =

∫Ig(t)ϕ(t) dt.


Zatem widzimy, »e −g ∈ Lp(I,Rn) jest sªab¡ pochodn¡ funkcji u: czyli u ∈W 1,p(I,Rn).

2.2.11 Uwaga: (1) Implikacja (i)⇒ (ii) zachodzi oczywi±cie, gdy p = 1. Na ogóª jednak wówczasnie zachodzi implikacja (ii)⇒ (i).

(2) Mo»na pokaza¢, »e je±li u ∈ L∞(I,Rn), to u ∈ W 1,∞(I,Rn) wtedy i tylko wtedy, gdy u

(a raczej jej ci¡gªy reprezentant) jest funkcj¡ lipschitzowsk¡.

Jest jasne, »e

C∞0 (I,Rn) ⊂ C∞(I,Rn) ⊂ C1(I,Rn) ⊂W 1,p(I,Rn).

Okazuje si¦ dodatkowo, »e funkcje gªadkie tworz¡ zbiór g¦sty w W 1,p(I,Rn), 1 ¬ p < ∞.

Dokªadniej:

2.2.12 Twierdzenie: Niech u ∈W 1,p(I,Rn), 1 ¬ p <∞. Istnieje wtedy ci¡g (ϕn) ⊂ C∞(I,Rn)taki, »e ϕn → u w W 1,p(I,Rn).

2.2.13 Uwaga: Przypu±¢my, »e E, F s¡ przestrzeniami Banacha (lub unormowanymi) takimi, »e

E ⊂ F (na poziomie zbiorów). Mówimy, »e wªo»enie E 3 x 7→ x ∈ F jest ci¡gªe i piszemy E → F,je±li istnieje staªa C taka, »e ‖x‖F ¬ C‖x‖E dla dowolnego x ∈ E. Je±li dodatkowo inkluzja ta

wyznacza przeksztaªcenie peªnoci¡gªe (tj. takie, »e zbiory ograniczone w E s¡ wzgl¦dnie zwarte

w F), to mówimy wªo»enie E→ F jest zwarte i piszemy E →→ F.

Bardzo wa»ne jest nast¦pne twierdzenie:

2.2.14 Twierdzenie (Rellicha-Kondraszowa): Dla dowolnego 1 ¬ p ¬ ∞ mamy

W 1,p(I,Rn) → C(cl I,Rn);

Je±li dodatkowo przedziaª I jest ograniczony (tzn. −∞ < a < b <∞), to

W 1,p(I,Rn) →→ C(cl I,Rn) dla 1 < p ¬ ∞,

W 1,1(I,Rn) →→ Lq(I,Rn) dla 1 ¬ q <∞.

Dowód: Jak pami¦tamy ka»da funkcja u ∈ W 1,p(I,Rn) ma ci¡gªego reprezentanta (w tym tez

sensie nale»y rozumie¢ zawieranie W 1,p(I,Rn) ⊂ C(cl I,Rn)). Przypu±¢my, »e I jest przedziaªem

ograniczonym; niech u ∈ W 1,p(I,Rn) i umin = inft∈cl I |u(t)| = u(t0) dla pewnego t0 ∈ cl I. Dladowolnego t ∈ cl I,

|u(t)| ¬ |u(t0)|+∫ t

t0|u′(s)| ds ¬ umin + ‖u′‖pµ(I)1/q,

gdzie 1p + 1

q = 1, na mocy nierówno±ci Höldera. Z drugiej strony

uminµ(I) ¬∫I|u(t)| dt ¬ ‖u‖pµ(I)1/q

czyli

umin ¬ ‖u‖pµ(I)−1/p.

St¡d, dla ka»dego t ∈ cl I,

|u(t)| ¬ ‖u‖pµ(I)−1/p + ‖u′‖pµ(I)1/q.


Dowodzi to, »e dla pewnej staªej

‖u‖∞ ¬ C‖u‖W 1,p .

Poka»emy teraz, »e W 1,p(I,Rn) →→ C(cl I,Rn), o ile 1 < p ¬ ∞. W ±wietle tego co wy»ej wy-

starcza pokaza¢, »e je±li B ⊂W 1,p(I,Rn) jest zbiorem ograniczonym, to jest ten zbiór jednakowo

ci¡gªy. Istotnie dla dowolnego u ∈ B,

|u(t)− u(t′)| ¬∫ t′

t|u′(s)| ds ¬ ‖u‖p|t′ − t|1/q ¬ ‖u‖W 1,p |t′ − t|1/q.

To oczywi±cie ko«czy dowód,

Dowód ostatniej cz¦±ci jest bardziej skomplikowany.

2.2.15 Uwaga i wiczenie: Wªo»enie W 1,1(I,Rn) ⊂ C(cl I,Rn) jest ci¡gªe ale nie jest zwarte(nawet, gdy przedziaª I jest ograniczony). Poda¢ odpowiedni przykªad.

2.2.16 Definicja: Niech m 2 b¦dzie liczb¡ caªkowit¡, 1 ¬ p ¬ ∞. Deniujemy indukcyjnie

Wm,p(I,Rn) := u ∈Wm−1,p(I,Rn) | u′ ∈Wm−1,p(I,Rn).

Wygodnie jest przyj¡¢, »e W 0,p(I,Rn) := Lp(I,Rn).

wiczenie: Udowodni¢, »e u ∈Wm,p(I,Rn) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego j = 1, ...,mistnieje funkcja vj ∈ Lp(I,Rn) taka, »e∫

Iu(t)ϕ(j)(t) dt = (−1)j

∫Ivj(t)ϕ(t) dt

dla dowolnej funkcji ϕ ∈ C∞0 (I,R).

Funkcje vj , j = 1, ...,m, nazywamy sªabymi pochodnymi funkcji u i oznaczamy symbolem

u(j) lub Dju (oczywi±cie u(0) := u) .

Przestrze« Wm,p(I jest przestrzeni¡ Banacha z norm¡

‖u‖Wm,p := ‖u‖p +m∑j=1

‖u(j)‖p.

Ponadto, gdy p = 2, to piszemy Hm(I,Rn) := Wm,2(I,Rn); jest to przestrze« Hilberta z

iloczynem skalarnym

〈u,w〉Hm := 〈u,w〉L2 +m∑j=1

〈u(j), w(j)〉L2 .

Wi¦kszo±¢ wªasno±ci przestrzeni Wm,p(I,Rn) mo»na wywnioskowa¢ z odpowiednich wªasno-

±ci W 1,p(I,Rn). Mamy na przykªad;

C∞0 (I,Rn) ⊂ C∞(I,Rn) ⊂ Cm(I,Rn) ⊂Wm,p(I,Rn).

Ponadto funkcje gªadkie C∞(I,Rn) na I tworz¡ zbiór g¦sty w Wm,p(I,Rn) (jest to odpo-

wiednik twierdzenia 2.2.12).

2.2.17 Twierdzenie: Je±li u ∈ Wm,p(I,Rn), to istnieje funkcja u ∈ Cm−1(cl I,Rn) taka, »e

u(j)(t) = u(j)(t) dla p.w. t ∈ I.


Nieco dokªadniej: istnieje funkcja u ∈ Cm−1(cl I,Rn) taka, »e u(m−1) jest absolutnie ci¡gªa i

(u(m−1))′(t) = u(m)(t) dla p.w. t ∈ I.

Warto te» odnotowa¢ odpowiednik twierdzenia 2.2.8 (2).

2.2.18 Uwaga: Je±li u, v ∈Wm,p(I,Rn), to w = 〈u, v〉 ∈Wm,p(I,R) oraz

w(j)(t) =j∑

k=0

〈u(k)(t), v(j−k)(t)〉.

W szczególno±ci, gdy u ∈ W 2,p(I,Rn), v ∈ W 1,p(I,Rn) oraz w(t) = 〈u′(t), v(t)〉, t ∈ I, to

w′(t) = 〈u′′, v〉+ 〈u′(t), v′(t)〉.

Ponadto mamy odpowiednik twierdzenie Rellicha-Kondraszowa.

2.2.19 Twierdzenie: Dla dowolnego 1 ¬ p ¬ ∞ i m ∈ N, mamy

Wm,p(I,Rn) → Cm−1(cl I,Rn);

Je±li dodatkowo przedziaª I jest ograniczony (tzn. −∞ < a < b <∞), to gdy mp > 1

Wm,p(I,Rn) →→ Ck(cl I,Rn),

gdzie k 0 oraz kp < mp− 1 (czyli np. k = m− 1 o ile p > 1); w szczególno±ci

Wm,p(I,Rn) →→ Lq(I,Rn),

o ile 1 ¬ q <∞, oraz

Wm,p(I,Rn) →→Wm−1,p(I,Rn).

wiczenie: (1) Pokaza¢ (przez indukcj¦) powy»sze twierdzenie.(2) Pokaza¢, »e je±li przedziaª I jest ograniczony, g ∈ C∞(Rn,Rk) i u ∈ Wm,p(I,Rn), to

g u ∈ Wm,p(I,Rk). Jest to równie» prawda gdy I nie jest przedziaªem ograniczonym, lecz

g(0) = 0.(3) Wykaza¢, »e wªo»enie Wm,p(I,Rn) ⊂ Lq(I,Rn) jest g¦ste. Ogólniej: dla danych prze-

strzeni metrycznych X, Y , X ⊂ Y , je±li istnieje A ⊂ X taki, »e cl YA = Y , to cl YX = Y .

2.2.20 Uwaga: Z wªo»eniem Wm,p(I,Rn) → Lq(I,Rn) dla dowolnego 1 ¬ q ¬ ∞ o ile I jest

przedziaªem ograniczonym. Je±li I nie jest ograniczony, u ∈ Wm,p(I,Rn), to u ∈ Lq(I,Rn), gdyp ¬ q ¬ ∞. Wynika to z nierówno±ci∫

I|u(t)|q dt ¬ ‖u‖q−p∞ ‖u‖pp.

Na ogóª jednak u 6∈ Lq(I,Rn) dla 1 ¬ p < p.

Kolejn¡, wa»n¡ w zastosowaniach jest przestrze« Sobolewa Wm,p0 (I,Rn), 1 ¬ p < ∞. Jest

to z denicji domkni¦cie C∞0 (I,Rn) w sensie Wm,p(I,Rn), tzn. u ∈ Wm,p(I,Rn) wtedy i tylko

wtedy, gdy istnieje ci¡g (ϕn) ⊂ C∞0 (I,Rn) taki, »e

limn→∞

‖ϕn − u‖Wm,p = 0.


wiczenie: Udowodni¢, »e Wm,p0 (I,Rn), wyposa»ona w norm¦ z przestrzeni Wm,p(I,Rn), jest

o±rodkow¡ przestrzeni¡ Banacha; jest ona reeksywna gdy 1 < p <∞.

2.2.21 Uwaga: (1) atwo zobaczy¢, »e C∞0 (I,Rn) jest zbiorem g¦stym w Wm,p(I,Rn).(2) Ponadto Wm,p(I,Rn) ∩ C0(I,Rn) ⊂Wm,p

0 (I,Rn).

2.2.22 Twierdzenie: Niech u ∈ Wm,p(I,Rn), 1 ¬ p < ∞. Wówczas u ∈ Wm,p0 (I,Rn) wtedy i

tylko wtedy, gdy u(j) = 0, j = 0, 1, ...,m− 1, na brzegu odcinka I.

Pami¦tamy, »e u ∈ Wm,p(I,Rn) ma ci¡gªego reprezentanta klasy Cm−1 okre±lonego na cl Ii w tym sensie nale»y rozumie¢ warto±ci pochodnych funkcji u na brzegu.

Dowód: Dowód przeprowadzimy dla m = 1. W pozostaªych przypadkach rozumowanie induk-

cyjne.

Je»eli u ∈ W 1,p0 (I,Rn), to istnieje ci¡g (ϕn) ⊂ C∞0 (I,Rn) taki, »e ϕn → u w W 1,p(I,Rn),

zatem tak»e w C(cl I,Rn) (tj. ϕn → u jednostajnie ma cl I); st¡d u = 0 na brzegu I.

Na odwrót przypu±¢my, »e u = 0 na brzegu I. Ustalmy funkcj¦ g ∈ C∞(Rn,Rn) tak¡, »e

g(x) =

0 gdy |x| ¬ 1x gdy |x| 2.

Niech un(t) := 1ng(nu(t)) dla t ∈ I. Wtedy un ∈W 1,p. Z drugiej strony

suppun ⊂t ∈ I | |u(t)| 1

n

.

W takim razie suppun jest zbiorem zwartym.

wiczenie: Udowodni¢ to stwierdzenie.

Zatem un ∈W 1,p0 (I,Rn) (patrz np. uwaga 2.2.21 (2)). Z twierdzenie Lebesgue'a o zbie»no±ci

zmajoryzowanej wynika, »e un → u w W 1,p(I,Rn); to wraz z domkni¦to±ci¡ W 1,p0 (I,Rn)

implikuje, »e u ∈W 1,p0 (I,Rn).

2.2.23 Twierdzenie: (Nierówno±¢ Poincaré): Zaªó»my, »e przedziaª I jest ograniczony. 1 ¬p <∞. Istnieje wtedy staªa C (zale»na od dªugo±ci odcinka I) taka, »e

‖u‖W 1,p ¬ C‖u′‖p

dla dowolnego u ∈W 1,p0 (I,Rn).

Dowód: Skoro I jest ograniczony, to I = (a, b), gdzie −∞ < a < b <∞. Niech u ∈W 1,p0 (I,Rn),

tzn. u(a) = u(b) = 0. Dla dowolnego t ∈ I, z nierówno±ci Höldera (q = pp−1)

|u(t)| = |u(t)− u(a)| ¬∫ t

a|u′(s)| ds ¬ ‖u′‖1 ¬ ‖u′‖p(b− a)1/q

Zatem

‖u‖p =

(∫ b

a|u(t)|p dt

)1/p

¬ (b− a)‖u′‖p.

W konsekwencji, dla u ∈W 1,p0 (I,Rn),

‖u′‖p ¬ ‖u‖W 1,p ¬ C‖u′‖p.

Pozwala to u»ywa¢ tzw. krótkiej normy ‖u′‖p w W 1,p0 (I,Rn).

2.2.24 Uwaga: Nale»y rozró»ni¢ W 2,p0 (I,Rn) i W 2,p(I,Rn) ∩W 1,p

0 (I,Rn).


Przestrzenie dualne do przestrzeni Sobolewa

Przypomnijmy, »e je±li E jest przestrzeni¡ unormowan¡, to przestrze« sprz¦»ona topologicznie

(dualna) E∗ (form liniowych ci¡gªych nad E) jest przestrzeni¡ Banacha z norm¡

‖p‖E∗ := supx∈E, ‖x‖E¬1

〈p, x〉, p ∈ E∗.

Je±li H jest przestrzeni¡ Hilberta z iloczynem skalarnym 〈·, ·〉H i norm¡ ‖·‖H, to dany jest izo-morzm JH : E→ E∗ zadany wzorem 〈Jx, y〉 = 〈x, y〉H dla y ∈ E. Wówczas te» ‖JHx‖H∗ = ‖x‖H(twierdzenie Riesza-Frécheta).

Dzi¦ki twierdzeniu Riesza-Frécheta mo»na uto»samia¢ H z przestrzeni¡ sprz¦»on¡ H∗. S¡jednak sytuacje, w których takie uto»samienie nie jest wygodne lub wr¦cz nie wskazane.

Niech H b¦dzie przestrzeni¡ Hilberta i przypu±¢my, »e V jest podprzestrzeni¡ wektorow¡

g¦st¡ w H, w której zadana jest norma ‖ · ‖V taka, »e (V, ‖ · ‖V ) jest reeksywn¡ przestrzeni¡ Ba-nacha; zakªadamy ponadto, »e V → H, tzn. ‖v‖H ¬ C‖v‖V dla v ∈ V . Dokonajmy identykacji

H ∼= H∗ przy pomocy izomorzmu J : H → H∗ i zdeniujmy wªo»enie H ⊂ V ∗ w nast¦puj¡cy

sposób: dla h ∈ H, odwzorowanie V 3 v 7→ Th(v) := 〈h, v〉H jest form¡ liniow¡ ci¡gª¡ na V :

istotnie

|Th(v)| = |〈h, v〉H| ¬ ‖h‖H‖v‖H ¬ C‖h‖H‖v‖V , v ∈ V.

Zatem

‖Th‖V ∗ ¬ C‖h‖H .

Oznacza to, »e przeksztaªcenie T jest ci¡gªe. Zauwa»my te», »e T : H → V ∗ jest injekcj¡ ci¡gª¡:

gdy h1 6= h2, to Th1 6= Th2. Istotnie, gdyby Th1 = Th2, to dla dowolnego v ∈ V ,

Th1(v) = 〈h1, v〉H = 〈h2, v〉H,

to znaczy 〈h1 − h2, v〉H = 0 dla dowolnego v ∈ V . Lecz zbiór V jest g¦sty w H; to implikuje, »e

〈h1 − h2, x〉 = 0 dla dowolnego x ∈ H i, st¡d, h1 = h2.

Nawiasem mówi¡c: je±li j : V → H jest wªo»eniem, to mamy operator sprz¦»ony j∗ : H∗ →V ∗. Nietrudno dostrzec, »e T = j∗ JH.

Ponadto T (H) jest zbiorem g¦stym w V ∗. Przede wszystkim zauwa»my, »e je±li v ∈ V oraz dla

dowolnego h ∈ H, 〈h, v〉H = Th(v) = 0, to v = 0. Przestrze« V jest reeksywna, tzn. V ∼= V ∗∗;

pokazali±my wi¦c, »e je±li ξ ∈ V ∗∗ i ξ|T (H) = 0, to ξ = 0. Gdyby T (H) nie byªo g¦ste w V ∗,

to z twierdzenia Hahna-Banacha mo»naby znale¹¢ przedªu»enie ξ|T (H) do pewnego niezerowego

funkcjonaªu ci¡gªego: sprzeczno±¢.

Operator T mo»na uwa»a¢ za (g¦ste i ci¡gªe) wªo»enie H → V ∗. Mamy zatem

V → H ∼= H∗ → V ∗ (2.2.7)

przy czym oba wªo»enia s¡ ci¡gªe i g¦ste. W takiej sytuacji mówimy o tzw. trójce ewolucyjnej

lub o trójce Gelfanda.

Przypu±¢my teraz, »e V jest przestrzeni¡ Hilberta z iloczynem skalarnym 〈·, ·〉V . Je±libydokona¢ identykacji V i V ∗ za pomoc¡ JV , to zale»no±¢ (2.2.7) prowadziªaby do absurdu. W

konsekwencji nie mo»na jednocze±nie uto»samia¢ H z H∗ oraz V z V ∗.

W kontek±cie przestrzeni Sobolewa, gdy I jest przedziaªem ograniczonym, to mamy

Wm,p(I,Rn) → L2(I,Rn) ∼= [L2(I,Rn)]∗ → [Wm,p(I,Rn)]∗.


Symbolem W−m,q(I,Rn) oznaczamy przestrze« dualn¡ do Wm,p0 (I,Rn), 1 ¬ p <∞, gdzie

jak zwykle q jest wykªadnikiem sprz¦»onym do p, tzn. 1p + 1

q = 1.Zatem, je»eli I jest przedziaªem ograniczonym, to

Wm,p0 (I,Rn) → L2(I,Rn) →W−m,q(I,Rn)

dla ka»dego 1 ¬ p < ∞ i caªkowitego m 1. Je»eli za± I nie jest ograniczony, to tylko dla

1 ¬ p ¬ 2, mamy

Wm,p0 (I,Rn) → L2(I,Rn) →W−m,q(I,Rn).

2.2.25 Twierdzenie: Niech F ∈ W−1,q(I,Rn). Istniej¡ wówczas (niejednoznacznie wyznaczo-

ne) funkcje f0, f1 ∈ Lq(I,Rn) takie, »e

〈F, u〉 =∫I〈f0(t), u(t)〉 dt+

∫I〈f1(t), u′(t)〉 dt, u ∈W 1,p

0 (I,Rn),

‖F‖ = max‖f0‖q, ‖f1‖q.

Dowód: W przestrzeni E := Lp(I,Rn)× Lq(I,Rn) rozwa»my norm¦

‖(h0, h1)‖ := ‖h0‖p + ‖h1‖p, h = (h0, h1) ∈ E.

Odwzorowanie

T : W 1,p(I,Rn) 3 u 7→ (u, u′) ∈ E

jest liniow¡ izometri¡ na podprzestrze«G := T (W 1,p0 (I,Rn)). Niech S := T−1 : G→W 1,p

0 (I,Rn).Odwzorowanie Φ′ : G 3 h 7→ 〈F, Sh〉 jest form¡ liniowa i ci¡gª¡ na G. Ponadto, dla dowolnego

h ∈ G,|〈Φ′, h〉| = |〈F, Sh〉| ¬ ‖F‖‖Sh‖W 1,p0 = ‖F‖‖h‖E.

Zatem ‖Φ′‖ ¬ ‖F‖. Ponadto, ªatwo zobaczy¢, »e ‖Φ′‖ = ‖F‖.Z twierdzenie Hahna-Banacha mo»na przedªu»y¢ Φ′ do formy liniowej i ci¡gªej Φ : E → R

z zachowaniem normy, tak wi¦c ‖Φ‖ = ‖F‖. Z twierdzenie Riesza (o reprezentacji funkcjonaªów

liniowych i ci¡gªych na Lp) wynika, »e istniej¡ funkcja f0, f1 ∈ Lq(I,Rn) takie, »e

〈Φ, h〉 =∫I〈f0(t, h0(t)〉 dt+

∫I〈f1(t), h1(t)〉 dt, h = (h0, h1) ∈ E.

Zatem

〈F, u〉 = 〈Φ, Tu〉 =∫I〈f0(t), u(t)〉 dt+

∫I〈f1(t), u′(t)〉 dt, u ∈W 1,p

0 (I,Rn).

atwo zobaczy¢, »e

‖F‖ = ‖Φ‖ = max‖f0‖q, ‖f1‖q.

2.2.26 Uwaga: Gdy przedziaª I jest ograniczony, to przestrze« W 1,p0 (I,Rn) mo»na wyposa»y¢

w krótk¡ norm¦ ‖u′‖p. Wtedy rozumuj¡c analogicznie i przyjmuj¡c E = Lp oraz T (u) = u′

otrzymamy, »e ka»dy funkcjonaª F ∈W−1,q(I,Rn) ma posta¢

〈F, u〉 =∫I〈f(t), u′(t)〉 dt, u ∈W 1,p

0 (I,Rn),

gdzie f ∈ Lq(I,Rn).

2.3. Operatory ró»niczkowe 37

2.3 Operatory ró»niczkowe

2.3.A Operatory ró»niczkowe I-szego rz¦du

Ogólnie mówi¡c rozwa»amy operator ró»niczkowy I-szego rz¦du postaci

Lu := u′ +A(t)u, t ∈ I := (0, T ),

gdzie A : [0, T ]→Mn×n(R) jest caªkowaln¡ (tzn. dla dowolnego t ∈ [0, T ], A(t) = [aij(t)]1¬i,j¬n,gdzie aij : [0, T ] → R jest funkcj¡ caªkowaln¡ dla 1 ¬ i, j ¬ n), zdeniowany na odpowiedniej

przestrzeni funkcji u : I → Rn, dla których wyra»enie Lu ma sens. Tak¡ najoszcz¦dniejsz¡

przestrzeni¡ jest E = W 1,1(I,Rn). Oczywi±cie Lu ∈ L1(I,Rn) dla u ∈W 1,1(I,Rn). Zatem

L : W 1,1(I,Rn)→ L1(I,Rn).

Skoro funkcja macierzowa A(·) jest caªkowalna, to caªkowalna jest funkcja rzeczywista ‖A(t)‖(norma macierzy A(·)).

wiczenie: Je±li A = [aij ]i=1,...,m;j=1,...,n ∈M(m× n), to

‖A‖ := supx∈Rn, |x|¬1

¬ |A| :=

√√√√ m∑i=1

n∑j=1

a2ij

Z tego oszacowania wywnioskowa¢ poprawno±¢ powy»szego stwierdzenia.

Wobec tego ªatwo zobaczy¢, »e L jest operatorem ci¡gªym:

‖Lu‖1 =∫I|u′(t) +A(t)u(t)| dt ¬ ‖u′‖1 +

∫‖A(t)‖|u(t)| dt

¬ ‖u′‖1 + ‖‖A(·)‖‖1 supt∈[0,T ]

|u(t)| ¬ C‖u‖W 1,1 .

Rozwa»my problem

u = −A(t)u, u(0) = x ∈ Rn.

Prawa strona f(t, u) := A(t)u speªnia zaªo»enia Picarda 1.1.4, zatem istnieje dokªadnie jedna

funkcja absolutnie ci¡gªa taka, »e dla p.w. t ∈ [0, T ],

u(t) = A(t)u(t)

oraz u(0) = x. Rozwi¡zanie to oznaczamy u(·, x).

2.3.1 Twierdzenie: Maj¡ miejsce nast¦puj¡ce wªasno±ci:

(i) Zbiór u(·, x) | x ∈ R tworzy podprzestrze« liniow¡ w C([0, T ],Rn).(ii) Dla ustalonego t ∈ [0, T ], przeksztaªcenie

Rn 3 x 7→ u(t, x) ∈ Rn

jest liniowe; zatem istnieje macierz S(t) ∈M(n× n) taka, »e

S(t)x = u(t, x).

(iii) Funkcja macierzowa S : [0, T ]→M(n× n) jest absolutnie ci¡gªa (tzn. absolutnie ci¡gªe

s¡ jej wspóªczynniki) i dla p.w. t ∈ [0, T ],

S′(t) = −A(t)S(t), S(0) = Id.


(iv) Dla dowolnego t0 ∈ [0, T ], macierz S(t0) jest odwracalna, tj. detS(t0) 6= 0.

Dowód: Cz¦±ci (i) oraz (ii) s¡ ªatwe. Udowodnimy (iii) oraz (iv). Absolutna ci¡gªo±¢ wspóªczyn-

nika sij , 1 ¬ i, j ¬ n, macierzy wynika ze wzoru

sij(t) = ui(t, ej), t ∈ [0, T ],

gdzie ej jest j-tym wersorem osi w Rn, oraz absolutnej ci¡gªo±ci funkcji uj(·; ej). Podobnie, dlap.w. t ∈ [0, T ], sij(t) = u(t, ej) = −A(t)u(t, ej) = −A(t)sij(t); czyli S′(t) = A(t)S(t). Jasne, »eS(0)x = u(0, x) = x; zatem S(0) = Id.

Niech t0 ∈ [0, T ]. Rozumuj¡c jak poprzednio istnieje absolutnie ci¡gªe pole macierzowe X :[0, T ] → M(n × n) takie, »e X ′(t) = −A(t)X(t) dla p.w. t ∈ [0, T ] oraz X(t0) = Id. Dla

x0 ∈ Rn, niech y(t) := X(t)S(t0)x0. Wtedy y(t0) = X(t0)S(t0)x0 = u(t0, x0). Ponadto y(t) =X ′(t)S(t0)x0 = −A(t)X(t)S(t0)x0. Zatem funkcja y jest rozwi¡zaniem problemu u = −A(t)u;co wi¦cej y(t0) = u(t0, x0). St¡d y = u(·, x0). W szczególno±ci

x0 = u(0, x0) = y(0) = X(0)S(t0)x0.

Z uwagi na dowolno±¢ x0 wnosimy, »e X(0)S(t0) = Id, a wi¦c detS(t0) 6= 0.

Z udowodnionego twierdzenia wynika, »e jedynym rozwi¡zaniem problemu

Lu = u+A(t)u = 0, u(0) = x ∈ Rn,

jest funkcja u : [0, T ]→ Rn zadana wzorem

u(t) = S(t)x.

Rozwa»my teraz funkcj¦ v ∈ L1([0, T ],Rn) i problem

Lu = u+A(t)u = v, u(0) = x ∈ Rn.

Podobnie jak wy»ej, z twierdzenia Picarda, problem ten posiada dokªadnie jedno absolutnie

ci¡gªe rozwi¡zanie u : [0, T ]→ Rn. Bezpo±rednio sprawdzi¢ ªatwo, »e

u(t) = S(t)x+ S(t)∫ t

0S−1(s)v(s) ds, t ∈ [0, T ];

jest to tzw. wzór Duhamela.

Wida¢ wi¦c, »e aby wyznaczy¢ rozwi¡zanie problemu

Lu = v, u(0) = x ∈ Rn,

wystarczy zna¢ pole macierzowe S : [0, T ] → M(n × n) czyli tzw. rezolwent¦ operatora L lub

macierz fundamentaln¡.

2.3.2 Przykªady: Dla n = 1, A(t) = a(t). Wtedy

S(t)x = e−∫ t0a(s) dsx, t ∈ [0, T ], x ∈ R.

Gdy n 1 oraz A(t) = A jest staª¡ macierz¡, to

S(t)x = e−Atx, t ∈ [0, T ], x ∈ Rn.


Przypomnijmy, »e dla dowolnej macierzy B ∈M(n× n),

eB =∞∑k=0

1k!Bk,

czyli eB jest sum¡ szeregu o wyrazach macierzowych. Nie jest trudno pokaza¢, »e szereg ten jest

zbie»ny (przestrze« M(n× n) jest przestrzeni¡ Banacha z, omówion¡ wy»ej, norm¡ macierzow¡

‖ · ‖). Znalezienie postaci rezolwenty S jest w tym przypadku spraw¡ do±¢ skomplikowan¡. Je±li

zaªo»y¢, »e dla dowolnych t1, t2 ∈ [0, T ], A(t1)A(t2) = A(t2)A(t1), to mo»na wykaza¢, »e

S(t)x = e−∫ t0A(s) dsx, t ∈ [0, T ], x ∈ Rn.

Pokazali±my, »e L : E := W 1,1(I,Rn) → L1(I,Rn) =: F jest ci¡gª¡ surjekcj¡ o j¡drze

sko«czenie wymiarowym. J¡dro KerL jest wi¦c topologicznym skªadnikiem prostym w E; niechπ : E→ KerL b¦dzie ci¡gªym rzutowaniem na KerL. Wówczas

E = KerL⊕Kerπ;

czyli (algebraicznie) E/KerL ∼= Kerπ. Z drugiej strony, z twierdzenia o izomor¹mie, L indukuje

izomorzm E/KerL ∼= F. Wobec tego mamy okre±lony operator liniowy Kπ : F→ Kerπ taki, »e

LKπv = v

dla v ∈ F oraz

KπLu = u− πu

dla u ∈ E. Z twierdzenia Banacha o operatorze otwartym, Kπ jest operatorem ci¡gªym (dla

zbioru otwartego U ⊂ Kerπ, K−1π (U) = L((idE − π)−1(U) jest zbiorem otwartym w F).

Rozwa»my π : E→ KerL zadane wzorem

π(u)(t) := S(t)u(0), u ∈ E.

Wtedy jak wynika z poprzednich rozwa»a«

Kπv(t) =∫ t

0S(t− s)v(s) ds.

wiczenie: Sprawdzi¢, »e je±li π′ : E→ KerL jest innym rzutowaniem na KerL, to

Kπ′ = Kπ − π′Kπ.

Dodatkowo je»eli π(s) := (1− s)πsπ′, to

Kπ(s) = (1− s)Kπ + sKπ′ .

Przypu±¢my teraz, »e mamy do czynienia z równaniem

Lu = f(t, u)

gdzie f : [0, T ]× Rn → Rn jest funkcj¡ speªniaj¡c¡ warunki Carathédory'ego i liniowy warunek

wzrostu. Dla ustalonej funkcji caªkowalnej q : [0, T ] → Rn niech T (q) ∈ W 1,1(I,Rn) b¦dzie

rozwi¡zaniem równania

Lu = v(t) := f(t, q(t)), u(0) = x0


Zgodnie z zaªo»eniem odno±nie f , funkcja v ∈ L1([0, T ],Rn) i

T (q)(t) = S(t)x0 +∫ t

0S(t− s)v(s) ds = S(t)x0 +

∫ t

0S(t− s)f(s, q(s)) ds.

Funkcja caªkowalna u : [0, T ]→ Rn jest punktem staªym operatora T , tzn. T (u) = u; innymi

sªowy u jest rozwi¡zaniem równania Lu = f(t, u), u(0) = x0; wtedy i tylko wtedy, gdy

u(t) = T (u)(t) = S(t)x0 +∫ t

0S(t− s)f(s, u(s)) ds.

Wró¢my teraz do rozwa»a« ze strony 20 i rozwa»my ponownie diagram

W 1,1(I,Rn)

j

L1([0, T ],Rn)

Nf // L1([0, T ],Rn)

KhhQQQQQQQQQQQQ

gdzie j : W 1,1(I,Rn) → L1([0, T ],Rn) jest wªo»eniem. Jak wiadomo z twierdzenie Rellicha-

Kondraszowa, j jest operatorem liniowym peªnoci¡gªym. W ±wietle ograniczono±ci operatora

Niemyckiego Nf (wynika to liniowego warunku wzrostu) wida¢, »e zªo»enie j T = j K Nf

jest operatorem peªnoci¡gªym.

2.3.B Operatory ró»niczkowe II-go rz¦du

Rozwa»amy teraz operatory ró»niczkowe zwyczajne II-go rz¦du, tzn. postaci

Lu = u′′ +A(t)u′ +B(t)u,

gdzie A,B : [0, T ] → M(n × n) s¡ caªkowalnymi polami macierzowymi, podobnie jak wy»ej

okre±lony dla u ∈W 2,1(I,Rn).Mo»na ten operator przeksztaªci¢ do operatora rz¦du pierwszego: kªad¡c w1 := u, w2 = u′

oraz w = (w1, w2) otrzymamy operator I-go rz¦du (2n-wymiarowy)

Mw = w′ +A(t)w

gdzie

A(t) :=

[0 −IdnB(t) A(t)

], t ∈ [0, T ].

Przypu±¢my, »e funkcja w = (u, v) : [0, T ]→ R2n jest taka, »eMw = 0 i w(0) = z = (x, y) ∈ R2n.

Wówczas dla p.w. t ∈ [0, T ],

u′(t)− v(t) = 0, v′(t) +B(t)u(t) +A(t)v(t) = 0,

tzn.

u′′(t) +A(t)u′(t) +B(t)u(t) = 0, u(0) = x, u′(0) = y.

Zatem dla dowolnych x, y ∈ Rn istnieje dokªadnie jedno rozwi¡zanie u ∈W 2,1(I,Rn) problemu

Lu = 0, u(0) = x, u′(0) = y,


(przypomnijmy, »e je±li u ∈W 2,1(I,Rn), to u ∈ C1([0, T ],Rn)); warto±¢ u(t) stanowi pierwsze nwspóªrz¦dnych warto±ci S(t)z, gdzie S jest rezolwent¡ macierzy A, za± z = (x, y). Analogiczniemo»na rozwa»a¢ niejedorodny problem

Lu = v, u(0) = x, u′(0) = y,

gdzie v ∈ L1(I,Rn): ma on dokªadnie jedno rozwi¡zanie. Podobnie b¦dzie dla problemu

Lu = f(t, u, u′), u(0) = x, u′(0) = y,

gdzie f : [0, T ]× Rn × Rn → Rn jest funkcj¡ Carathéodory'ego (tzn. tak¡, »e dla p.w. t ∈ [0, T ],funkcja f(t, ·, ·) : R2n → Rn jest ci¡gªa i dla dowolnych p, q ∈ Rn, funkcja f(·, p, q) : [0, T ]→ Rn

jest mierzalna) speªniaj¡c¡ liniowy warunek wzrostu (tzn. |f(t, p, q)| ¬ α(t)+β(|p|+ |q|) dla p.w.t ∈ [0, T ] oraz wszystkich p, q ∈ Rn, gdzie α, β ∈ L1([0, T ],R).)

Wida¢, »e zagadnienie postawione jak powy»ej zagadnienie nie jest zbyt interesuj¡ce. Dlatego

te» zajmowa¢ si¦ b¦dziemy tzw. problemami brzegowymi postaci

Lu = f(t, u, u′), u ∈ B,

gdzie B jest zbiorem funkcji u ∈W 2,1(I,Rn) speªniaj¡cych jeden z poni»szych warunków:

(warunek Dirichleta) u ∈ B ⇐⇒ u(0) = 0 = u(T ).(warunek Neumanna) u ∈ B ⇐⇒ u′(0) = 0 = u′(T ).(warunek okresowy) u ∈ B ⇐⇒ u(0) = u(T ) lub u′(0) = u′(T ).

Rozwa»a¢ mo»na te» bardziej ogólne warunki brzegowe, tzw. warunki Sturma-Liouville'a.

Dla prostoty zaªó»my na chwil¦, »e n = 1; wtedy A(t) = a(t), B(t) = b(t), gdzie a, b ∈L1([0, 1],R), i rozwa»my problem

Lu = f, u(0) = 0 = u(T ).

Z poprzednich rozwa»a« wiemy, »e KerL = 2, tzn. istniej¡ liniowo niezale»ne funkcje u1, u2 ∈W 2,1(I,R) takie, »e Lui = 0, i = 1, 2. Jest jasne, »e dowolnych staªych c1, c2 ∈ R, funkcjau = c1u1 + c2u2 ∈ KerL.

Przypomnijmy, »e ukªad u1, u2 jest liniowo niezale»ny, gdy z warunku αu1 + βu2 = 0wynika, »e α = β = 0.

2.3.3 Fakt: Ukªad u1, u2 jest liniowo niezale»ny wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego t ∈[0, T ] wronskian

W (t) = det

[u1(t) u2(t)u1(t) u2(t)

]6= 0.

Dowód: Je±li ukªad u1, u2 jest liniowo zale»ny, to istniej¡ staªe α, β, α2 + β2 > 0 takie, »e

αu1(t)+βu2(x) ≡ 0; zatem równie» αu1(t)+βu2(t) ≡ 0 na [0, T ]. Zatem dla dowolnego t ∈ [0, T ]ukªad równa«

αu1(t) + βu2(x) = 0

αu1(t) + βu2(t) = 0

ma rozwi¡zanie niezerowe (α, β) co oznacza, »e wyznacznik tego ukªadu, t.j. W (t) = 0. Przy-pu±¢my, »e dla pewnego t0 ∈ [0, T ], W (t0) = 0. Dobierzmy staªe α, β ∈ R, by rozwi¡zanie

u = αu1 + βu2 speªniaªo u(t0) = 0 = u′(t0). Jest to mo»liwe bo W (t0) = 0. Wtedy u ≡ 0,


bo funkcja u ≡ 0 speªnia te warunki a rozwi¡zania s¡ wyznaczone jednoznacznie. Zatem ukªad

u1, u2 jest liniowo zale»ny.

Rozwi¡zania równania Lu = f poszukiwa¢ b¦dziemy w postaci

u(t) = α(t)u1(t) + β(t)u2(t), t ∈ [0, T ],

gdzie α, β : [0, T ] → R s¡ nieznanymi funkcjami, za± u1, u2 ∈ KerL s¡ liniowo niezale»ne, przy

dodatkowym zaªo»eniu, »e

α′(t)u1(t) + β′(t)u2(t) = 0

dla wszystkich t ∈ [0, T ].Mamy wtedy

u′ = αu′1 + βu′2 + α′u1 + β′u2 = αu′1 + βu′2

oraz

u′′ = αu′′1 + βu′′2 + α′u′1 + β′u′2.

W takim razie

f = u′′ + au′ + bu = α(u′′1 + au′1 + bu1) + β(u′′2 + au′2 + bu2) + α′u′1 + β′u′2.

Poniewa» Lu1 = Lu2 = 0, to α′u1 + βu2 = 0α′u′1 + β′u′2 = f.

Po ªatwych wyliczeniach otrzymamy, »e dla t ∈ [0, T ],

α(t) = c1 −∫ t

0f(s)u2(s)W (s)−1 ds, β(t) = c2 +

∫ t

0f(s)u1(s)W (s)−1 ds,

gdzie c1, c2 ∈ R s¡ staªymi. Zatem

u(t) = c1u1(t) + c2u2(t)−∫ t

0W (s)−1(u1(t)u2(s)− u2(t)u1(s))f(s) ds, t ∈ [0, T ].

Zaªó»my, teraz, »e jedynym rozwi¡zaniem problemu Lu = 0, u(0) = u(T ) − 0 jest funkcja

u ≡ 0. Dobierzemy staªe c1, c2 tak, by u(0) = u(1) = 0. Zauwa»my, »e

u(0) = c1u1(0)+c2u2(0), u(T ) = c1u1(T )+c2u2(T )+∫ T

0W (s)−1(u1(t)u2(s)−u2(t)u1(s))f(s) ds.

Zatem mamy dobra¢ tak c1, c2 aby

0 = c1u1(0) + c2u2(0)∫ T

0W (s)−1(u1(t)u2(s)− u2(t)u1(s))f(s) ds = c1u1(T ) + c2u2(T ).

Przypu±¢my, »e

D := det

[u1(0) u2(0)u1(T ) u2(T )

]= 0.

Kªad¡c f = 0 w powy»szym wzorze otrzymamy, »e dla pewnych niezerowych staªych c1, c2 funkcja

u = c1u1 + c2u2 jest rozwi¡zaniem problemu Lu = 0, u(0) = u(T ) = 0 oraz u 6= 0 (bo u1, u2jest ukªadem liniowo niezale»nym). Jest to sprzeczne z zaªo»eniem. St¡d D 6= 0 i

c1 = −D−1u2(0)∫ T

0W (s)−1(u1(t)u2(s)− u2(t)u1(s))f(s) ds

c2 = D−1u1(0)∫ T

0W (s)−1(u1(t)u2(s)− u2(t)u1(s))f(s) ds.


To pozwala na znalezienie wzoru na u(t).

2.3.4 Przykªad: W szczególnym przypadku, gdy a(t) ≡ 0, b(t) ≡ 0, tzn. gdy Lu = u′′, to

ogólna posta¢ funkcji u ∈ KerL wygl¡da nast¦puj¡co

u(t) = α+ βt, t ∈ [0, T ],

gdzie α, β ∈ R s¡ staªymi (tzn. u1(t) ≡ 1 i u2(t) = t). Oczywi±cie ukªad u1, u2 jest liniowoniezale»ny; jego wronskian W (t) ≡ 1, za± D = T . Zatem rozwi¡zanie problemu Lu = f ma

posta¢

u(t) = α+ βt−∫ t

0(s− t)f(s) ds.

Natomiast rozwi¡zanie problemu Lu = f , u(0) = 0 = u(T ), ma posta¢

u(t) =1T

(∫ t

0(t(s− T )− T (s− t))f(s) ds+

∫ T

tt(s− t)f(s) ds

), t ∈ [0, T ],

zatem

u(t) =1T

∫ T

0G(t, s)f(s) ds, t ∈ [0, T ],

gdzie funkcja G : [0, T ]× [0, T ]→ R zadana jest wzorem

G(t, s) =

t(s− T )− T (s− t) gdy 0 ¬ s ¬ t ¬ Tt(s− T ) gdy 0 ¬ t ¬ s ¬ T.

2.3.5 Przykªad: Chc¡c znale¹¢ rozwi¡zanie problemu Lu = f , u′(0) = 0 = u′(T ) ªatwo stwier-

dzimy, »e funkcja

u(t) = α−∫ t

0(s− t)f(s) ds,

gdzie α ∈ R jest dowoln¡ staª¡, jest jego rozwi¡zaniem wtedy i tylko wtedy, gdy∫ T

0 f(s) ds = 0.Zatem w tym przypadku rozwi¡za« jest wiele.

wiczenie: Przeprowadzi¢ podobne rachunki dla przypadku ogólnego (tzn. gdy n 1 oraz

A(t) ≡ 0, B(t) ≡ 0 dla t ∈ [0, T ]).

Zaªó»my teraz, »e mamy rozwi¡za¢ równanie

Lu = u′′ = f(t, u, u′), u(0) = 0 = u(T ),

gdzie f jest funkcj¡ Carathéodory'ego. Rozumuj¡c jak poprzednio otrzymamy, »e funkcja u ∈W 2,1(I,R) jest rozwi¡zaniem o ile jest punktem staªym operatora T : L1(I,R) → W 2,1(I,R)danego wzorem

Tu(t) =∫ T

0G(t, s)f(s, u(s), u′(s)) ds, t ∈ [0, T ].

∗

Problem Dirichleta

Wrócimy teraz do sytuacji ogólnej, tzn. Lu = −u′′ + A(t)u′ + B(t)u dla u ∈ H2(I,Rn) :=W 2,2(I,Rn) z warunkiem brzegowym Dirichleta, przy zaªo»eniu, »e pola macierzowe A,B :


[0, T ] → M(n × n) s¡ ci¡gªe (lub przynajmniej nale»¡ do L∞). Bior¡c pod uwag¦ warunek

brzegowy wygodnie jest rozwa»a¢ L jako operator

L : H2 ∩H10 (I,Rn)→ L2(I,Rn),

gdzie przestrze« H2 ∩ H10 (I,Rn) := H2(I,Rn) ∩ H1

0 (I,Rn) = u ∈ L2 | u ∈ H2(I,Rn), u() =0 = u(T ) rozwa»amy z topologi¡ normy z W 2,2, tzn. dla u ∈ H2 ∩H1

0 (I,Rn) rozwa»amy norm¦

‖u‖W 2,2 .

wiczenie: Sprawdzi¢, »e L jest operatorem ci¡gªym.

Zauwa»my, »e je»eli Lu = f dla u ∈ H2 ∩H10 (I,Rn), to automatycznie u(0) = u(T ) = 0.

Zaªó»my, »e dla funkcji u ∈ H2 ∩H10 (I,Rn) i f ∈ L2 zachodzi Lu = f , wtedy dla dowolnej

funkcji v ∈ H10 (I,Rn),

〈f, v〉L2 =∫ T

0〈f(t), v(t)〉 dt = −

∫ T

0〈u′′, v〉+

∫ T

0〈A(t)u′, v〉+

∫ T

0〈B(t)u, v〉 =

−[〈u′(t), v(t)〉]T0 + 〈u′, v′〉L2 +A(·, u′, v〉L2 + 〈B(·)u, v〉L2 =

〈u′, v′〉L2 +A(·, u′, v〉L2 + 〈B(·)u, v〉L2

bo

−[〈u′(t), v(t)〉]T0 = 〈u′(0)v(0)〉 − 〈u′(T ), v(T )〉 = 0

(v(0) = 0 = v(T )). Wobec tego ma sens nast¦puj¡ce rozwa»anie.

Forma Dirichleta

Z operatorem L stowarzyszamy form¦ dwuliniow¡ (tzw. form¦ Dirichleta a : H10 (I,Rn)×H1

0 (I,Rn)→R zadan¡ wzorem

a(u, v) =∫I(〈u′(t), v′(t)〉+ 〈A(t)u′(t), v(t)〉+ 〈B(t)u(t), v(t)〉) dt, u, v ∈ H1

0 (I,Rn).

2.3.6 Uwaga: Z powy»szego wynika, »e je±li u ∈ H2 jest rozwi¡zaniem problemu Dirichleta dla

równania Lu = f , gdzie f ∈ L2(I,Rn), to u ∈ H2 ∩H10 (I,Rn) ⊂ H1

0 (I,Rn) oraz

〈f, v〉L2 = a(u, v)

dla dowolnego v ∈ H10 (I,Rn).

Forma a jest ci¡gªa, tzn.

|a(u, v)| ¬ C‖u‖W 1,2‖v‖W 1,2

dla pewnej staªej C 0. Istotnie, z nierówno±ci Höldera

|a(u, v)| ¬∫I|u′(t)||v′(t)| dt+ sup

t∈[0,T ]‖A(t)‖

∫I‖B(t)‖|u′(t)||v(t)| dt+∫

supt∈[0,T ]

‖B(t)‖∫I|u(t))|v(t)| dt ¬ ‖u′‖2‖v‖2 + α‖u′‖2‖v‖2 + β‖u‖2‖v‖2 ¬ C‖u‖W 1,2‖v‖W 1,2 ,

gdzie α := supt∈[0,T ] ‖A(t)‖, β := supt∈[0,T ] ‖B(t)‖, za± C jest odpowiednio dobran¡ staª¡.

2.3.7 Twierdzenie: (Lionsa) Istniej¡ staªe α > 0 oraz ω 0 takie, »e dla dowolnego u ∈H1

0 (I,Rn).a(u, u) + ω‖u‖22 α‖u‖2W 1,2 .


Dowód: Niech u ∈ H10 (I,Rn),

‖u′‖22 =∫I〈u′(t), u′(t)〉 dt = a(u, u)−

∫I〈A(t)u′(t), u(t)〉 dt−

∫I〈B(t)u(t), u(t)〉 dt ¬

a(u, u) + C1

∫|u′(t)||u(t)| dt+ C2

∫|u(t)|2 dt = a(u, u) + C1

∫|u′(t)||u(t)| dt+ C2‖u‖22,

gdzie C1 = supt∈[0,T ] ‖A(t)‖, C2 = supt∈[0,T ] ‖B(t)‖.

wiczenie: Spróbowa¢ udowodni¢ nast¦puj¡c¡ nierówno±¢ Cauchy'ego: je±li a, b 0, to dla

dowolnego ε > 0,

ab ¬ εa2 +b2

4ε.

Po zastosowaniu nierówno±ci Cauchy'ego otrzymamy, »e dla dowolnego ε > 0,∫|u′(t)||u(t)| dt ¬ ε

∫I|u′(t)|2 dt+

14ε

∫I|u(t)|2 dt = ε‖u′‖2 +

‖u‖224ε

.

Dobierzmy ε > 0 tak, by εC1 <12 . Wtedy

12‖u′‖22 ¬ a(u, u) +

(C2 +

14ε

)‖u‖22.

Przypomnijmy, »e z nierówno±ci Poincaré

‖u′‖2 1C‖u‖W 1,2 .

Zatem1

2C2 ‖u‖2W 1,2 ¬ a(u, u) +

(C2 +

14ε

)‖u‖22.

2.3.8 Twierdzenie: Je±li λ ω, to operator Mλu := Lu + λu : H2 ∩H10 (I,Rn) → L2(I,Rn)

jest odwracalny, tzn. istnieje ci¡gªy operator liniowy M−1λ : L2(I,Rn)→ H2 ∩H1

0 (I,Rn).

Dowód: We¹my λ ω i rozwa»my form¦ dwuliniow¡ bλ : H10 (I,Rn) × H1

0 (I,Rn) → R dan¡

wzorem

bλ(u, v) = a(u, v) + λ〈u, v〉L2 , u.v ∈ H10 (I,Rn).

Wtedy z powy»szego twierdzenia, dla u ∈ H10 (I,Rn),

bλ(u, u) α‖u‖2W 1,2 .

Ponadto forma bλ jest ci¡gªa (tzn. |bλ(u, v)| ¬ C‖u‖W 1,2‖v‖W 1,2 dla pewnej staªej C) dowód

jest analogiczny jak dowód ci¡gªo±ci formy a.

W tym miejscu potrzebujemy lematu (twierdzenia) Laxa-Milgrama.

2.3.9 Lemat: Niech H b¦dzie przestrzeni¡ Hilberta, b : H×H→ R ci¡gª¡ i dodatnio okre±lon¡

form¡ dwuliniow¡ (tzn. |b(x, y)| ¬ C‖x‖H‖y‖H i b(x, x) α‖x‖2H dla pewnych staªych α,C > 0).Je±li f ∈ H∗ jest ci¡gªym funkcjonaªem liniowym, to istnieje dokªadnie jeden element xf ∈ Htaki, »e

b(xf , y) = 〈f, y〉H = f(y), y ∈ H.


Dowód: Dla dowolnego y ∈ H, odwzorowanie H 3 x 7→ b(x, y) jest funkcjonaªem liniowym

ci¡gªym na H. Z twierdzenie Riesza, dla dowolnego x ∈ H, istnieje element Ax ∈ H taki, »e

b(x, y) = 〈Ax, y〉H.

wiczenie: Sprawdzi¢, »e przyporz¡dkowanie H 3 x 7→ Ax ∈ H okre±la operator liniowy,

Zauwa»my, »e

‖Ax‖2H = 〈Ax,Ax〉H = b(x,Ax) ¬ C‖x‖H‖Ax‖H.Zatem ‖Ax‖H ¬ C‖x‖H, tzn. operator A : H→ H jest liniowy i ci¡gªy.

Zauwa»my dalej, »e

α‖x‖2H ¬ b(x, x) = 〈Ax, x〉H ¬ ‖Ax‖H‖x‖H,

tzn. α‖x‖H ¬ ‖Ax‖H; czyli A jest monomorzmem.

wiczenie: (Wa»ne) Pokaza¢, »e Im (A) jest zbiorem domkni¦tym.

Udowodnimy, »e Im (A) = H. Je±li tak nie jest, to istnieje y 6= 0 taki, »e y⊥Im (A) (tzn.

〈y,A(x)〉H = 0 dla dowolnego x ∈ H) wynika to z twierdzenia o rzucie ortogonalnym (przypo-

mnie¢ sobie). Wówczas jednak

α‖y‖2H ¬ b(y, y) = 〈Ay, y〉H = 0 :

sprzeczno±¢.

W konsekwencji operator A jest odwracalny i A−1 jest operatorem ci¡gªym (twierdzenie

Banacha o operatorze odwrotnym). Dla uko«czenia dowodu zauwa»my, »e je±li poªo»y¢ xf =A−1(f) (tutaj traktujemy f jako element H ' H∗. Wtedy b(xf , y) = 〈xf , y〉H.

wiczenie: Sprawdzi¢, »e element xf jest wyznaczony jest jednoznacznie.

To oczywi±cie ko«czy dowód lematu Laxa-Milgrama.

2.3.10 Uwaga: Gdyby w lemacie Laxa-Milgrama forma b byªaby symetryczna, tj. b(x, y) =b(y, x), to dowód mo»naby znacznie upro±ci¢. Z zaªo»e« wynikaªoby, »e ((x, y)) := b(x, y) byªby

równowa»nym iloczynem skalarnym na H. Zatem teza wynikaªaby natychmiast z twierdzenia

Riesza o reprezentacji funkcjonaªów liniowych nad H.

Wracamy do dowodu twierdzenia 2.3.8. Forma bλ speªnia zaªo»enia lematu Laxa-Milgrama

(dla H = H10 (I,Rn)). Niech f ∈ L2.

wiczenie: Sprawdzi¢, »e wzór H10 (I,Rn) 3 v 7→ 〈f, v〉L2 =

∫I〈f(t), v(t)〉 dt okre±la funkcjonaª

liniowy i ci¡gªy, tzn. element H∗ = H−1(I,Rn).

Zgodnie z lematem Laxa-Milgrama istnieje dokªadnie jeden element uf ∈ H10 (I,Rn) taki, »e

bλ(uf , v) = 〈f, v〉L2

dla ka»dego v ∈ H10 (I,Rn).

Zauwa»my teraz, »e dla dowolnego ϕ ∈ C∞0 (I,Rn) ⊂ H10 (I,Rn)∫

I〈u′f (t), ϕ′(t)〉 dt = −λ

∫I〈uf (t), ϕ(t)〉 dt−

∫I〈A(t)u′f (t)−

∫I〈B(t)uf (t), ϕ(t)〉 dt+∫

I〈f(t), ϕ(t)〉 dt = −

∫I〈λu(t)A(t)u′(t) +B(t)u(t)− f(t), ϕ(t)〉 dt.

Oznacza to, »e u′f ma sªab¡ pochodn¡ równ¡ λuf+A(·)u′f+B(·)uf−f ∈ L2(I,Rn (przypomnijmy

uwag¦ 2.2.3). W takim razie uf ∈ H2(I,Rn) ∩H10 (I,Rn) oraz

u′′f = A(·)u′f +B(·)uf + λu− f,


czyli

Mλuf = Luf + λuf = f.

Dowodzi to, »e operator Mλ = L+ λι, gdzie ι : H2 ∩H10 (I,Rn)→ L2 jest (ci¡gª¡) surjekcj¡; co

wi¦cej

〈Luf + λuf , uf 〉 = b(uf , uf ) > 0.

Dodatnia okre±lono±¢ bλ oznacza wi¦c w szczególno±ci, »eMλ = L+λι jest injekcj¡. Z twierdzenie

Banacha o operatorze odwrotnym wiadomo wi¦c, »e Kλ := M−1λ = (L + λι)−1 : L2(I,Rn) →

H2 ∩H10 (I,Rn) jest ci¡gªym operatorem oraz dla f ∈ L2(I,Rn),

Kλf = uf .

Rozwa»my teraz

Tλ := j Kλ : L2(I,Rn)→ L2(I,Rn), (2.3.8)

gdzie j : H2 ∩ H10 (I,Rn) → L2(I,Rn) jest (ci¡gªym i zwartym (peªnoci¡gªym)) wªo»eniem.

Operator ten jest wi¦c zwarty.

2.3.11 Twierdzenie: Ma miejsce jeden z poni»szych warunków: albo

(i) dla dowolnego f ∈ L2(I,Rn) istnieje dokªadnie jedno rozwi¡zanie u ∈ H2(I,Rn) problemu

(∗) Lu = f, u(0) = 0 = u(T );

albo

(ii) istnieje niezerowe rozwi¡zanie u ∈ H2(I,Rn) problemu

(∗∗) Lu = 0, u(0) = 0 = u(T ).

Je»eli zachodzi (ii), zbiór rozwi¡za« problemu (∗∗) jest sko«czenie wymiarow¡ podprzestrzeni¡

przestrzeni H2 ∩H10 (I,Rn).

Dowód: Niech Tλ, λ ω, oznacza operator zdeniowany wy»ej wzorem (2.3.8). Zauwa»my, »e

u ∈ H2(I,Rn) jest rozwi¡zaniem problemu (∗) wtedy i tylko wtedy, gdy u ∈ H2∩H10 (I,Rn) oraz

Lu+λu = f +λu, tzn. Mλu = f +λu; zatem u = Kλ(f +λu), czyli u = Tλ(f +λu) (oczywi±cieu+ λf ∈ L2(I,Rn)) oraz

(∗ ∗ ∗) u− λTλ(u) = Tλ(f).

Operator λTλ jest zwarty. Na mocy alternatywy Fredholma (patrz uwaga 4.2.4) albo:

(I) równanie (∗ ∗ ∗) ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie, albo

(II) równanie u− λTλ(u) = 0 ma nietrywialne rozwi¡zanie.

(Jednoznaczna) rozwi¡zalno±¢ równania (∗ ∗ ∗) oznacza wi¦c jednoznaczn¡ rozwi¡zalno±¢

równania (∗), za± 0 6= u ∈ Ker (I − λTλ) wtedy i tylko wtedy, gdy u = Tλ(λu), tzn. u ∈ H2 ∩H1

0 (I,Rn) i u jest nietrywialnym rozwi¡zaniem równania (∗∗). Przestrzeni¡ rozwi¡za« problemu

(∗∗) jest Ker (I − λTλ); wtedy te» (patrz twierdzenie 4.2.3 (a)) dim Ker (I − λTλ) <∞..

Warto przyjrze¢ si¦ rozwa»aniom dotycz¡cym równa« skalarnych z punktu widzenia powy»-

szego twierdzenie.

2.3.12 Uwaga: Zauwa»my, »e zgodnie z twierdzeniem 4.2.3 (a) dim ker(I−λTλ) = dim Ker (I−λT ∗λ ). Poza tym, z twierdzenia 4.2.3 (b) je±li zachodzi czªon (II) alternatywy (wówczas λ 6= 0), to


Tλ(f) ∈ Im (I−λTλ) wtedy i tylko wtedy, gdy Tλ(f) ∈ ⊥Ker (I−λT ∗λ ), tzn. gdy 〈Tλ(f), v〉L2 = 0dla dowolnego v ∈ L2 takiego, »e v = λT ∗λ (v). Zatem

0 = 〈Tλ(f), v〉L2 = 〈f, T ∗λ (v)〉L2 =1λ〈f, v〉.

Zatem problem (∗) ma rozwi¡zanie wtedy i tylko wtedy, gdy 〈f, v〉 = 0, gdzie v ∈ Ker (I −λT ∗λ ).Jest to wa»ne kryterium konieczne i dostateczne istnienie rozwi¡za« problemu (∗).

2.3.13 Twierdzenie: (i) Istnieje co najwy»ej przeliczalny zbiór Λ ⊂ R taki, »e problem

Lu = λu+ f, u(0) = u(T ) = 0 (∗)

ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie dla dowolnego f ∈ L2(I,Rn) wtedy i tylko wtedy, gdy λ 6∈ Λ.(ii) Je±li zbiór Λ jest niesko«czony, to Λ = λk∞k=1, gdzie λk ¬ λk+1 oraz λk → ∞ gdy

k →∞.

W szczególno±ci, problem Lu = λu ma niezerowe rozwi¡zanie u wtedy i tylko wtedy, gdy λ ∈Λ; liczby ze zbioru λ nazywa si¦ warto±ciami wªasnymi operatora L, a funkcje u odpowiadaj¡cymi

im funkcjami wªasnymi.

Dowód: Rozwa»my staª¡ ω 0 z twierdzenia 2.3.7; bez zmniejszenia ogólno±ci mo»na zaªo»y¢,

»e ω > 0; oraz niech λ > −ω. Z twierdzenia 4.2.4 problem (∗) ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie

wtedy i tylko wtedy, gdy problem Lu = λu, u(0) = u(T ) = 0 ma tylko zerowe rozwi¡zanie

(zauwa»my, »e operator L − λI speªnia zaªo»enia twierdzenia 4.2.4); tak wi¦c wtedy i tylko

wtedy, gdy jedynie funkcja u ≡ 0 jest jedynym rozwi¡zaniem problemu

Lu+ ωu = (ω + λ)u, u(0) = 0 = u(T ).

Powy»sza równo±¢ ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy

u = Tω((ω + λ)u) = (ω + λ)Tω(u). (∗∗)

Przypomnijmy, »e operator Tω jest zwarty. Zatem: je±li tylko funkcja u ≡ 0 jest rozwi¡zaniem

(∗∗), to(ω + λ)−1 nie jest warto±ci¡ wªasn¡ operatora Tω. (∗ ∗ ∗)

Innymi sªowy pokazali±my, »e wyj±ciowy problem (∗) ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie wtedy i

tylko wtedy, gdy zachodzi warunek (∗ ∗ ∗).Zgodnie z twierdzeniem 4.2.3 (d) 0 ∈ σ(Tω), je±li 0 6= µ ∈ σ(Tω), to µ jest warto±ci¡ wªasn¡

Tω, σ(Tω) jest zbiorem zwartym, co najwy»ej przeliczalnym; je±li jest niesko«czony to posiada

0 jako punkt skupienia, wi¦c niezerowe elementy widma mo»na ustawi¢ w nierosn¡cy ci¡g (µk)d¡»¡cy do zero.

W takim razie, z warunku (∗∗∗) wida¢, »e problem (∗) a dokªadnie jedno rozwi¡zanie wtedyi tylko wtedy (ω + λ)−1 6∈ σ(Tω). To ko«czy dowód.

Zauwa»my wreszcie, »e gdy λ ω, to zgodnie z twierdzeniem 2.3.8 problem

Lu = −λu+ f, u(0) = 0 = u(T )

ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie dla dowolnego f ∈ L2(I,Rn). Zatem, dla λ ω, −λ 6∈ Λ. Innymi

sªowy

Λ ⊂ (−ω,+∞).


Przypu±¢my teraz, »e λ 6∈ Λ. Wtedy operator L − λι : H2 ∩ H10 (I,Rn) → L2(I,Rn) jest

odwracalny: dla ka»dego f ∈ L2 istnieje dokªadnie jedno rozwi¡zanie równania Lu = λu + f ,

zatem (Lu− λι)−1 : L2(I,Rn)→ H2 ∩H10 (I,Rn) jest odwracalny w sposób ci¡gªy; czyli istnieje

staªa C > 0 taka, »e je±li Lu = λu+ f , to

‖u‖W 2,2 ¬ C‖f‖2.

Dzi¦ki ci¡gªo±ci wªo»enia W 2,2(I,Rn) → L2(I,Rn) (i odpowiednio zmieniaj¡c staª¡) mamy

‖u‖2 ¬ C‖f‖2.

2.3.14 Uwaga: W sytuacji, gdy λ > ω (wówczas −λ 6∈ Λ) mo»na poda¢ nieco precyzyjniejsze

oszacowanie. Mianowicie wówczas dla ka»dego f ∈ L2(I,Rn) je±li Lu+ λu = f , to

‖u‖2 ¬1

λ− ω‖f‖2.

Wreszcie: skoro operator L − λι : H2 ∩ H10 (I,Rn) → L2, gdzie λ 6∈ Λ, jest odwracalny

w sposób ci¡gªy, to ma sens rozwa»anie operatora, który funkcji f ∈ L2 przyporz¡dkowuje

j(u) ∈ L2, gdzie u ∈ H2 ∩H10 (I,Rn) jest tak¡ funkcj¡, »e Lu − λu = f . Operator ten oznacza

si¦ symbolem (L− λI)−1. Zauwa»my, »e operator ten jet zwarty.

Wynika st¡d, »e je±li chcemy rozwi¡za¢ równanie Lu = f to:

• Je±li 0 6∈ Λ (sytuacja idealna), to L−1 : L2 → L2 istnieje i jest to operator zwarty (tak

naprawd¦ L−1f ∈ H2 ∩H10 (I,Rn)); zatem mamy rozwi¡zanie u := L−1f .

• Je±li 0 ∈ Λ, to wybierzmy λ 6∈ Λ i rozwa»my problem równowa»ny Lu − λu = f − λu.Wtedy rozwi¡zanie jest punktem staªym operatora L2 3 u 7→ (L − λI)−1(f − λu). Wiemy ju»,

»e rozwi¡zanie istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy f ∈⊥ ker(I − λT ∗λ ).

Nieco ogólniej: zaªó»my, »e mamy rozwi¡za¢ problem Lu = f(t, u, u′), gdzie f : [0, T ]×Rn×Rn → Rn jest funkcj¡ Carathéodory'ego o wzro±cie liniowym, tzn.

|f(t, x, y)| ¬ α(t) + β1|x|+ β2|y|

gdzie α ∈ L2(I,Rn), β1, β2 0. Wtedy operator Niemyckiego Nf : H1(I,Rn) → L2(I,Rn)zadany wzorem

Nf (u)(t) := f(t, u(t), u′(t)), u ∈ H1(I,Rn), t ∈ I

jest ci¡gªy. Tu traktujemy Nf : H10 (I,Rn) → L2(I,Rn). Przypu±¢my, »e λ 6∈ Λ. Mamy wi¦c

równanie

u = F (u) := (L− λI)−1(Nf (u)− λu), u ∈ L2(I,Rn),

przy czym tutaj nale»y rozumie¢, »e (L−λI)−1 dziaªa z L2(I,Rn) od H2∩H10 (I,Rn) i jest obªo-

»ony z wªo»eniem H2 ∩H10 (I,Rn) →→ H1

0 (I,Rn) (wªo»enie to jest zwarte patrz Twierdzenie

??). Operator F po prawej stronie jest zwarty. Zatem mo»na stosowa¢ zasad¦ Leraya-Schaudera

o ile znajdzie si¦ oszacowania a priori (oraz speªnione s¡ inne potrzebne zaªo»enia). Punkt staªy

u ∈ Fix (F ) speªnia u ∈ H2 ∩H10 (I,Rn) bo warto±ci (L− λI)−1 le»¡ w tej wªa±nie przestrzeni.

Warto jeszcze pozna¢ jawn¡ posta¢ operatora L− λI)−1, λ 6∈ Λ.

2.3.15 Twierdzenie: Istnieje dokªadnie jedna funkcja ci¡gªa Gλ : [0, 1] × [0, 1] → M(n × n)taka, »e:


(1) dla dowolnego s ∈ (0, T ), Gλ(·, s) speªnia warunek brzegowy Dirichleta;

(2) LGλ(t, s) = λGλ(t, s), o ile t ∈ [0, T ], t 6= s.

Dowód jest do±¢ skomplikowany (w przypadku skalarnym ju» ten dowód si¦ pojawiª).

∗

Niejednorodny problem Dirichleta

Dla przykªadu rozwa»ymy problem Lu = fu(0) = α, u(T ) = β

na odcinku I = (0, T ), gdzie, jak poprzednio Lu = −u′′ + A(t)u′ + B(t)u, zadana jest funkcja

f ∈ L2(I,Rn) oraz wektory α, β ∈ Rn.

W celu stwierdzenia rozwi¡zalno±ci wybierzmy funkcj¦ v klasy C∞ tak¡, »e v(0) = α i

v(T ) = β (b¦dzie to np. funkcja v(t) = β−αT t + α, t ∈ [0, T ]) i niech u = u − v; wówczas u jest

rozwi¡zaniem wyj±ciowego problemu wtedy i tylko wtedy, gdy u jest rozwi¡zaniem problemuLu = f + Lvu(0) = 0 = u(T ).

Zatem zagadnienie niejednorodne sprowadza si¦ natychmiast do zagadnienia jednorodnego: pro-

blem nie jest ciekawy.

∗

Problem Neumanna

Ponownie rozwa»ymy operator Lu = −u′′+A(t)u′+B(t)u z warunkami brzegowymi Neumanna

u′(0) = u′(T ) = 0 na przestrzeni H := u ∈ H2(I,Rn) | u′(0) = 0 = u′(T ) o warto±ciach w

L2(I,Rn) (zakªadamy, »e pola macierzowe A,B : [0, T ]→M(n×n) s¡ ci¡gªe lub co najmniej s¡

one w L∞). Jak poprzednio okazuje si¦, »e operator ten jest ci¡gªy.

Z operatorem tym stowarzyszymy form¦ dwuliniow¡ a : H1(I,Rn)×H1(I,Rn)→ R zadan¡

wzorem

a(u, v) :=∫I(〈u′, v′〉+ 〈A(t)u′, v〉+B(t)〈u, v〉) dt

dla u, v ∈ H1(I,Rn). atwo dostrzec, »e forma a jest ci¡gªa, tzn.

|a(u, v)| ¬ C‖u‖W 1,2‖v‖W 1,2 ,

dla dowolnych u, v ∈ H1(I,Rn).

Analogicznie jak poprzednio dowodzimy, »e

c‖u‖2W 1,2 ¬ ‖u′‖22 + ‖u‖22 = a(u, u)−

∫I〈A(t)u′, v〉 dt−

∫I〈B(t)u, u〉 dt+ ‖u‖22 ¬

a(u, u) + C1

∫I|u′||u| dt+ (C2 + 1)‖u‖22.


Ponownie korzystaj¡c z nierówno±ci Cauchy'ego z ε mamy

c‖u‖2W 1,2 ¬ a(u, u)C1ε‖u′‖22 +(C1

4ε+ C2 + 1

)‖u‖22.

W takim razie, o ile ε > 0 jest tak dobrane, »e C1ε < c, to

α‖u‖2W 1,2 ¬ a(u, u) + ω‖u‖22

gdzie α := c− C1ε oraz ω := C14ε + C2 + 1.

Nast¦pnie, wykorzystuj¡c lemat Laxa-Milgrama pokazujemy, »e dla dowolnego f ∈ L2(I,Rn)oraz λ ω, istnieje dokªadnie jedna funkcja ug ∈ H1(I,Rn) taka, »e

bλ(uf , v) = b(u, v) + λ〈u, v〉L2 = 〈f, v〉L2

dla v ∈ H1(I,Rn).Zauwa»my, »e dla ka»dego ϕ ∈ C∞0 (I,Rn) ⊂ H1(I,Rn),∫

I〈u′f , ϕ′〉 dt = −λ〈uf , ϕ〉 dt−

∫I〈A(t)u′f , ϕ〉 dt−

∫I〈B(t)uf , ϕ+

∫I〈f, ϕ〉 dt =

−∫I〈λuf +A(t)u′f +B(t)uf − f, ϕ〉 dt

Dowodzi, to, »e uf ∈ H2(I,Rn) oraz

u′′f = λuf +A(t)u′f +B(t)uf − f.

Z drugiej strony, dla dowolnego v ∈ H1(I,Rn),

〈u′f , v〉|T0 +∫I〈−u′′f , v〉 dt =

∫I〈u′f , v′〉 dt = −λ

∫I〈uf , v〉 dt−∫

I〈A(t)u′f , v〉 dt−

∫I〈B(t)uf , v〉 dt+

∫I〈f, v〉 dt

czyli

〈u′f , v〉|T0 =∫I(Luf + λuf − f, v〉 dt = 0.

Poniewa»

〈u′f , v〉|T0 = 〈u′f (T )v(T )〉 − 〈u′f (0)v(0)〉 = 0

oraz warto±ci v(0) i v(T ) s¡ dowolne, to wnosimy, »e uf ∈ H.

Innymi sªowy pokazali±my, »e gdy λ ω, to operator

H 3 u 7→Mu := Luλu ∈ L2

jest odwracalny. Podobnie jak poprzednio widzimy , »e operator

T = j M−1,

gdzie j : H → L2 jest wªo»eniem, jest zwarty. Dalsz¡ teori¦ mo»na wi¦c budowa¢ analogicznie

jak powy»ej.

∗


Problem Neumanna niejednorodny

Rozwa»amy zagadnienie Lu = fu′(0) = α, u′(T ) = β

przy zaªo»eniach jak wy»ej. Dokªadnie jak poprzednio problem sprowadza si¦ do wybory funkcji v

klasy C∞ takiej, »e v′(0) = α oraz v(T ) = β (np. v(t) = β−α2T t2 +αt, t ∈ [0, T ])) oraz zast¡pienia

u przez u = u− v.

∗

Bardziej zªo»one problemy brzegowe

Rozwa»amy zagadnienie postaciLu = fa0u′(0) + b0u(0) = α, a1u

′(T ) + b1u(T ) = β,

gdzie a20 + b20 > 0, a2

1 + b21 > 0. Zauwa»my, »e przypadki a0 = 0 = a1 sprowadzaj¡ problem do

zagadnienia Dirichleta, za± b0 = b1 = 0 do zagadnienia Neumanna.

S¡ to problemy najogólniejsze tzw. problemy Sturma Liouville'a (je»eli α = β = 0, tomówimy o jednorodnym problemie Sturma-Liouville'a; w przeciwnym wypadku o problemie nie-

jednorodnym).

Przypu±¢my, »e Lu = −u′′ + u i a0, a1 6= 0. Je±li u jest rozwi¡zaniem klasycznym (tzn.

funkcj¡ klasy C2 speªniaj¡c¡ powy»sze równanie i warunek brzegowy, to dla dowolnej funkcji

v ∈ H1(I,Rn) mamy ∫ T

0〈f, v〉 = −

∫ T

0〈u′′, v〉+

∫ T

0〈u, v〉 =

−[〈u′, v〉

]T0 +

∫ T

0〈u′, v′〉+

∫ T

0〈u, v〉 =

b1a1〈u(T ), v(T )〉 − b0

a0〈u(0), v(0)〉+

∫ T

0〈u′, v′〉+

∫ T

0〈u, v〉.

Zaªó»my teraz, »e b1a1 > 0, b2a2 < 0.Rozwa»my na

H := u ∈ H1(I,Rn) | a0u′(0) + b0u(0) = 0 = a1u

′(T ) + b1u(T )

form¦ dwuliniow¡

a(u, v) :=∫ T

0〈u′, v′〉+

∫ T

0〈u, v〉+

b1a1〈u(T ), v(T )〉 − b0

a0〈u(0), v(0)〉.

Forma kwadratowa stowarzyszona z a, tzn. a(u, u), u ∈ H jest dodatnio okre±lona i mo»na

stosowa¢ powy»sze metody.

∗


Problem okresowy

Rozwa»my problem Lu = −u′′ + u = f,u(0) = u(T ), u′(0) = u(T )

gdzie f ∈ L2(I,Rn). Je±li u ∈ H2 jest rozwi¡zaniem tego zagadnienia, to

〈f, v〉 = 〈Lu, v〉L2 = −[〈u′(t)v(t)]T0 +∫〈u′, v′〉L2 + 〈u, v〉L2

〈u′(0), v(0)〉 − 〈u′(T ), v(T )〉+∫〈u′, v′〉L2 + 〈u, v〉L2

dla dowolnego v ∈ H1(I,Rn). Je±li v(0) = v(T ), to

〈f, v〉 =∫〈u′, v′〉L2 + 〈u, v〉L2 =

∫ T

0〈u′, v′〉+

∫ T

0〈u, v〉.

Zatem wygodnie jest rozwa»a¢ form¦

a(u, v) =∫ T

0〈u′, v′〉+

∫ T

0〈u, v〉

na przestrzeni

H = v ∈ H1(I,Rn) | v(0) = v(T ).

atwo zauwa»y¢, »e

a(u, u) = ‖u‖2W 1,2 .

Forma a jest wi¦c ci¡gªa i dodatnio okre±lona, tzn. ω = 0 i 0 6∈ Λ. St¡d wynika, »e dla dowolnego

f ∈ L2 istnieje dokªadnie jedna funkcja u ∈ H taka, »e a(uf , v) = 〈f, v〉L2 dla ka»dego v ∈ H. W

zwykªy sposób sprawdzamy, »e uf ∈ H2 i Luf = −u′′f + uf = f . W takim razie analogicznie jak

wy»ej dla ka»dego v ∈ H

〈f, v〉L2 = 〈Luf , v〉L2 = 〈u′f (0), v(0)〉 − 〈u′f (T ), v(T )〉+ a(uf , v).

Czyli

0 = 〈u′f (0), v(0)〉 − 〈u′f (T ), v(T )〉 = 〈v(0), u′f (0)− u′f (T )〉.

Poniewa» warto±¢ v(0) mo»e by¢ dowolna, to u′f (0) = u′f (T ) co, wraz z tym, »e uf ∈ H, dowodzi,

»e uf jest rozwi¡zaniem wyj±ciowego zagadnienia.

Rozdział 3Metoda kontynuacji

3.1 Wst¦p

Niech X i Y b¦d¡ przestrzeniami topologicznymi, Ω ⊂ X jest zbiorem otwartym, i niech f, g :X → Y b¦d¡ odwzorowaniami ci¡gªymi. Idea metody kontynuacji zastosowana w celu zbadania

istnienia rozwi¡za« równania

(P ) f(x) = g(x), x ∈ Ω,

polega na rozwa»aniu rodziny równa«

(Pλ) F (x, λ) = G(x, λ)

zale»nej od parametru λ ∈ Λ, gdzie Λ jest ªukowo spójn¡ przestrzeni¡ topologiczn¡ parametrów

(najcz¦±ciej Λ = [0, 1]), za± F,G : X × Λ→ Y s¡ odwzorowaniami ci¡gªymi takimi, »e:

1. dla pewnego λ1 ∈ Λ, F (·, λ1) = f oraz G(·, λ1) = g;

2. dla pewnego λ0 ∈ Λ, równanie

(P0) F (x, λ0) = g(x, λ0)

posiada niepusty zbiór rozwi¡za« w A;

3. istnieje takie rozwi¡zanie x0 problemu (P0) oraz spójny zbiór S ⊂ A × Λ, »e (x, λ) ∈ Sjest rozwi¡zaniem równania (Pλ) takim, »e (x0, 0) ∈ S0 oraz dla ka»dego λ ∈ [0, 1], Sλ 6= ∅(tutaj Sλ := x ∈ Ω | (x, λ) ∈ S); w szczególno±ci Sλ1 6= ∅ skªada si¦ z rozwi¡za« wyj±ciowego

równania (P ).

Warunek 3 oznacza, »e podczas gdy λ porusza si¦ pocz¡wszy od λ0 wzdªu» pewnej krzywej

do λ1, to równania (Pλ) posiada rozwi¡zania, które nie znikaj¡.

Oczywi±cie cz¦±ci¡ skªadow¡ (warunek 2) jest stwierdzenie zapewniaj¡ce rozwi¡zalno±¢ pro-

blemu (P0). W sytuacji, gdy dla pewnego λ∗ ∈ Λ, zbiór rozwi¡za« problemu (Pλ∗) nie ma

punktów wspólnych z Ω, warunek 3 nie jest speªniony. Dla przykªadu rozwa»my równanie

(1− λ)x+ λ(x2 + 1) = 0,

gdzie x ∈ R, λ ∈ Λ := [0, 1] (tzn. f(x) = x2 + 1, g(x) = 0, x ∈ X = R), Ω := (−1, 1). Dla λ = 0mamy dokªadnie jedno rozwi¡zanie x = 0, dla λ ∈ (0, 1/3) s¡ dwa rozwi¡zania, dla λ = 1/3

jest jedno rozwi¡zanie x = −1, za± dla λ > 1/3 brak rozwi¡za«. Aby takie zjawisko wykluczy¢

zakªada si¦ nast¦puj¡cy warunek brzegowy:

F (x, λ) 6= G(x, λ)

3.2. Spójno±¢ w przestrzeniach topologicznych 55

dla x ∈ ∂Ω, λ ∈ [0, 1]. Ten warunek okre±la si¦ te» mianem oszacowa« a priori: chodzi bowiem

o aprioryczn¡ wiedz¦ o wielko±ci mo»liwych rozwi¡za« równania F (x, λ) = G(x, λ), λ ∈ Λ.

Równie», gdy speªniony jest warunek brzegowy (oszacowania a priori), to warunek 3 mo»e

nie zachodzi¢. Dla przykªadu rozwa»my równanie

x2 + 2λ− 1 = 0

(tzn. f(x) = x2 + 2x− 1, g(x) = 0, x ∈ R). Mo»liwe rozwi¡zania tego równania le»¡ w przedziale

[−1, 1]; zatem nie ma rozwi¡za« dla x ∈ ∂A i λ ∈ [0, 1], gdzie A = [−2, 2], lecz dla λ > 1/2równanie nie posiada rozwi¡za«.

Aby we wªa±ciwy sposób wysªowi¢ zaªo»enia (natury topologicznej), które eliminuje opisan¡

sytuacj¦ b¦dziemy potrzebowali odpowiednich narz¦dzi. W istocie chodzi o to, by znane roz-

wi¡zanie równania dla λ0 byªo stabilne ze wzgl¦du na zaburzenia. Dla przykªadu rozwi¡zanie

x0 = 0 dla równania x2 = 0 nie jest w tym sensie stabilne, za± rozwi¡zanie x0 = 0 równania

x = 0 takie jest.

Zaczniemy jednak od rozwa»a« do±¢ ogólnych.

3.2 Spójno±¢ w przestrzeniach topologicznych

Niech X b¦dzie (niepust¡) przestrzeni¡ Hausdora. Separacj¡ w przestrzeni X nazwiemy par¦

(U, V ) niepustych i rozª¡cznych zbiorów otwartych U, V ⊂ X takich, »e U ∪V = X (1). Mówimy,

»e przestrze« X jest spójna, je»eli nie dopuszcza separacji (2).

Niech niepuste A,B b¦d¡ rozª¡czne. Zbiory A,B ⊂ X s¡ poª¡czone gdy istnieje spójny zbiór

Y ⊂ X (3) taki, »e A ∩ Y 6= ∅ 6= B ∩ Y . Mówimy, »e zbiór Y ª¡czy zbiory A i B.

Niepuste zbiory A,B ⊂ X s¡ odseparowane je±li istnieje separacja (U, V ) w przestrzeni X

taka, »e A ⊂ U i B ⊂ V .

3.2.1 Fakt: Je±li zbiory rozª¡czne A,B s¡ odseparowane, to nie s¡ poª¡czone.

Innymi sªowy: je±li zbiory A,B mo»na poª¡czy¢, to nie mo»na ich odseparowa¢.

Dowód: Niech (U, V ) b¦dzie separacj¡ tak¡, »e A ⊂ U i B ⊂ V , za± Y ⊂ X zbiorem spójnym

ª¡cz¡cym te zbiory. Wtedy para (U ∩ Y, V ∩ Y ) jest separacj¡ zbioru (przestrzeni) spójnego Y :

sprzeczno±¢.

Fakt odwrotny nie ma miejsca.

3.2.2 Przykªad: Niech, dla n ∈ N,

Cn := x ∈ R2 | ‖x‖ = 1− 1/n, a = (1, 0), b = (−1, 0),

X =∞⋃n=2

Cn ∪ a, b.

Wówczas, w przestrzeni X (z topologi¡ podprzestrzeni R2), zbiory A := a, B := b nie s¡

poª¡czone, lecz tak»e nie s¡ odseparowane.

Niech x ∈ X; zbiór punktów poª¡czonych z punktem x nazywamy skªadow¡ tego punktu;

zbiór punktów, które nie mog¡ by¢ odseparowane od x nazywamy quasi-skªadow¡ tego punktu.

1Zauwa»my, »e je±li zbiory U, V tworz¡ separacj¦, to zbiory te s¡ równie» domkni¦te; s¡ wi¦c domkni¦to-otwarte.2Przestrze«, która jest spójna i zwarta nazywa si¦ niekiedy continuum.3Ma si¦ rozumie¢, »e Y jest (jako podprzestrze«) przestrzeni¡ spójna.

56 3. Metoda kontynuacji

Z poprzedniego faktu wynika, »e skªadowa punktu zawiera si¦ w quasi-skªadowej. Zauwa»my

jeszcze, »e skªadowe punktów s¡ zbiorami domkni¦tymi i spójnymi; ponadto dwie skªadowe s¡

albo rozª¡czne albo identyczne.

3.2.3 Fakt: Niepuste zbiory rozª¡czne A,B ⊂ X s¡ poª¡czone wtedy i tylko wtedy, gdy przecinaj¡

t¦ sam¡ skªadowa, tzn. pewien punkt a ∈ A jest poª¡czony z pewnym punktem b ∈ B.

Dowód: Niech Y ⊂ X b¦dzie zbiorem spójnym ª¡cz¡cym zbiory A i B i niech a ∈ A ∩ Y ,b ∈ B ∩ Y . Oczywi±cie Y jest (spójnym) poª¡czeniem punktów a i b. Jest jasne, »e skªadowe

punktów a i b s¡ identyczne.

Fakt ten nie ma miejsca w odniesieniu do braku separacji (i quasi-skªadowych).

3.2.4 Przykªad: Niech

X = (x, y) ∈ R2 | x = 0 lub x = 1/n, n ∈ N, 0 < y < 1,

A := (1/n), 1/n) | n = 2k + 1, k ∈ N; B := (1/n, 1/n) | n = 2k, k ∈ N.

Zbiory A, B s¡ domkni¦te w X, nie s¡ odseprowane, lecz nie przecinaj¡ wspólnej quasi-skªadowej.

Spójno±¢ (i relacja poª¡czenia zbiorów) s¡ poj¦ciami lepszymi. Jednak, na ogóª, metody

aproksymacyjne (charakterystyczne dla metod niesko«czenie-wymiarowej analizy) daj¡ wyniki

od odseparowaniu.

3.2.5 Twierdzenie: Niech X b¦dzie przestrzenia normaln¡, A,B,C ⊂ X b¦d¡ (niepustymi)

zbiorami domkni¦tymi, A ∩B = ∅, i niech Cλλ∈Λ b¦dzie rodzin¡ zbiorów domkni¦tych tak¡, »e

C ⊂ Cλ dla dowolnego λ ∈ Λ oraz:

(a) zbiory A ∩ Cλ i B ∩ Cλ s¡ niepuste i nie s¡ odseparowane w Cλ dla wszystkich λ ∈ Λ;(b) dla dowolnego otoczenia N zbioru C istnieje λ taka, »e Cλ ⊂ N .

Wtedy zbiory A ∩ C i B ∩ C nie s¡ odseparowane w C.

Dowód: Poka»emy najpierw, »e A∩C 6= ∅ 6= B ∩C. Istotnie przypu±¢my, »e A∩C = ∅. Wtedy

N := X \A jest otoczeniem zbioru C. Zgodnie z zaªo»eniem (b), istnieje λ ∈ Λ takie, »e Cλ ⊂ N ;

wobec tego Cλ ∩A = ∅: sprzeczno±¢ z warunkiem (a); analogiczne rozumowanie dotyczy B.

Przypu±¢my, »e para (U, V ) tworzy separacj¦ zbiorów A∩C i B ∩C w (przestrzeni C), tzn.

A ∩ C ⊂ U i B ∩ C ⊂ V , U ∪ V = C i U ∩ V = ∅. Zbiory U, V s¡ domkni¦te w C; zatem s¡

one równie» domkni¦te (i oczywi±cie rozª¡czne) w X. Z normalno±ci wynika istnienie rozª¡cznych

zbiorów otwartych U1, V1 takich, »e U ⊂ U1 i V ⊂ V1. Niech

U2 := U1 ∩ (X \B), V2 := V1 ∩ (X \A).

Wówczas zbiory U2, V2 s¡ rozª¡czne i otwarte w X; ponadto

U = U2 ∩ C, V = V2 ∩ C

oraz

U2 ∩B = ∅ = V2 ∩A.

Skoro N := U2 ∪ V2 jest otoczeniem zbioru C, to dla pewnego λ ∈ Λ, Cλ ⊂ N . Wtedy jednak

para (U2 ∩ Cλ, V2 ∩ Cλ) tworzy separacj¦ zbiorów A ∩ Cλ i B ∩ Cλ: sprzeczno±¢.

Niech dane b¦d¡ domkni¦te, rozª¡czne i niepuste zbiory A,B ⊂ X, gdzie X jest przestrzeni¡

Hausdora, i rozwa»my rodzin¦ C wszystkich zbiorów domkni¦tych C takich, »e zbiory A ∩ C i

3.2. Spójno±¢ w przestrzeniach topologicznych 57

B∩C nie s¡ odseparowane w C. Rodzina ta, je±li jest niepusta, to jest cz¦±ciowo uporz¡dkowana

poprzez relacj¦ inkluzji. Element minimalny rodziny C ∈ C (o ile istnieje) nazywamy zbiorem

nieredukowalnym pomi¦dzy A i B. Je±li istnieje zbiór nierozkªadalny, to jest niepusty (z denicji).

3.2.6 Twierdzenie: Ka»dy zbiór nieredukowalny C pomi¦dzy A i B jest spójny; zatem je»eli

pomi¦dzy zbiorami A i B istnieje zbiór nieredukowalny, to zbiory te s¡ poª¡czone.

Dowód: Przypu±¢my, »e para (U, V ) tworzy separacj¦ zbioru C (tzn. zakªadamy nie wprost, »e

zbiór ten nie jest spójny). Zbiory U, V s¡ domkni¦te w C; zatem równie» s¡ domkni¦te w X.

Oczywi±cie V ( C i U ( C.

Niech B ∩ V 6= ∅ (na pewno B ∩ V 6= ∅ lub B ∩ U 6= ∅; wybieramy bez zmniejszenia

ogólno±ci t¦ pierwsz¡ ewentualno±¢).

(1) Przypu±¢my, »e B ∩ U 6= ∅. Je±li A ∩ C ⊂ V , to V ∈ C (co jest niemo»liwe s ±wietle

minimalno±ci C): rzeczywi±cie w tym celu wystarcza sprawdzi¢, »e zbiory A∩V = A∩C i B∩Vnie s¡ odseparowane w V . Gdyby para (V1, V2) byªa separacj¡ V tak¡, »e A ⊂ V1 i B ∩ V ⊂ V2,

to para (V1, U ∪ V2) byªaby separacj¡ C, dla której A ∩ C ⊂ V1 i B ∩ C ⊂ U ∪ V2: sprzeczno±¢.

Zatem A ∩ U 6= ∅; je±li jednocze±nie A ∩ V 6= ∅, to V ∈ C lub U ∈ C (to znowu jest niemo»liwe

na mocy minimalno±ci C): gdyby tak nie byªo, to zbiory A ∩ U , B ∩ U byªyby odseparowane

w U , za± zbiory A ∩ V i B ∩ V byªyby odseparowane w V . Czyli istniaªyby separacja (U1, U2)i (V1, V2) odpowiednio zbiorów U oraz V takie, »e A ∩ U ⊂ U1, A ∩ V ⊂ V1 oraz B ∩ U ⊂ U2,

B ∩ V ⊂ V1 i wówczas para (U1 ∪ V1, U2 ∪ V2) byªaby separacj¡ C, przy której A ∩ C ⊂ U1 ∪ V1

i B ∩ C ⊂ U2 ∪ V2: sprzeczno±¢.

Widzimy wi¦c, »e musi by¢ A ∩ C ⊂ U .(2) Wyka»emy teraz, »e B ∩ U = ∅. Gdyby tak nie byªo, to U ∈ C (to znowu niemo»liwe):

gdyby tak nie byªo, to istniaªaby separacja (U1, U2) zbioru U , przy której A ∩ C ⊂ U1 oraz

B ∩ U ⊂ U2. Lecz wtedy para (U1, U2 ∪ V ) byªaby separacj¡ zbioru C, dla której A ∩ C ⊂ U1,

B ∩ C ⊂ U2 ∪ V : sprzeczno±¢.Pokazali±my w efekcie, »e A ∩ C ⊂ U oraz B ∩ C ⊂ V . Zatem para (U, V ) tworzy separacj¦

zbioru C, dla której A ∩ C ⊂ U i B ∩ C ⊂ V : kolejna sprzeczno±¢.

3.2.7 Twierdzenie: Zaªó»my, »e przestrze« X jest zwarta, A,B ⊂ X s¡ zbiorami niepustymi,

rozª¡cznymi, domkni¦tymi i nie odseparowanymi. Wówczas istnieje zbiór nieredukowalny pomi¦-

dzy nimi.

Dowód: Oczywi±cie rodzina C nie jest pusta (np. X ∈ C). Zastosujemy lemat Kuratowskiego-

Zorna. Poka»emy mianowicie, »e je±li rodzina jest induktywnie uporz¡dkowana, tzn. je»eli Cλλ∈Λ

jest ªa«cuchem w C, to posiada ona ograniczenie dolne. Niech C =⋂λ∈ΛCλ. Zwarto±¢ X impli-

kuje, »e C jest zbiorem niepustym. Zauwa»my, »e rodzina Cλλ∈λ speªnia warunki twierdzenia

3.2.5 (przestrze« X, jako zwarta, jest normalna). Cz¦±¢ (a) zaªo»e« wynika wprost z denicji

rodziny C. Sprawdzimy cz¦±¢ (b) tych zaªo»e«: niech N b¦dzie otoczeniem zbioru C i przypu-

±¢my, »e dla dowolnego λ ∈ Λ, Kλ := Cλ ∩ (X \ N) 6= ∅. Oczywi±cie zbiory Kλ, λ ∈ Λ, s¡zwarte i tworz¡ rodzin¦ liniowo uporz¡dkowan¡, Zatem K :=

⋂λ∈λKλ 6= ∅; ponadto K ⊂ C i,

jednocze±nie K ⊂ X \N : sprzeczno±¢. Tak wi¦c C ∈ C bo z twierdzenia 3.2.5 wynika, »e zbiory

A∩C i B ∩C nie s¡ odseparowane w C. W takim razie w rodzinie C istnieje element minimalny.

3.2.8 Wniosek (lemat Kuratowskiego-Whyburna): Je±li X jest przestrzenia zwart¡, A,B s¡

zbiorami niepustymi, rozª¡cznymi, domkni¦tymi i nieodseprowanymi, to s¡ poª¡czone.

Dowód: Dla dowodu wystarczy zobaczy¢, »e rodzina C jest niepusta: X ∈ C. Z poprzedniego

rodzina C zawiera element minimalny: tworzy on »¡dane poª¡czenie zbiorów A i B.


Inne przydatne sformuªowanie (w którym unika si¦ terminologii wprowadzonej powy»ej)

brzmi:

3.2.9 Lemat: (Whyburne'a) Niech X b¦dzie zwart¡ przestrzeni¡, K0 i K1 jej domkni¦tymi,

niepustymi i rozª¡cznymi podzbiorami. Zaªó»my, »e nie istnieje zbiór spójny, który przecina jed-

nocze±nie K0 i K1. Wówczas mo»na rozbi¢ przestrze« X na dwa rozª¡czne zwarte podzbiory X0

i X1 (tzn. X = X0 ∪X1) takie, »e Ki ⊂ Xi, i = 0, 1.

Wart sformuªowania jest te» poni»szy wniosek:

3.2.10 Wniosek: Niech G b¦dzie przestrzeni¡ topologiczn¡ Hausdora, Y ⊂ G zbiorem zwar-

tym. Przypu±¢my, »e zbiory Ki ⊂ Y , i = 0, 1, s¡ domkni¦te, niepuste, rozª¡czne i takie, »e

»aden zbiór spójny nie przecina ich obu. Istnieje wówczas zbiór otwarty U ⊂ G taki, »e K0 ⊂ U ,clU ∩K1 = ∅ oraz ∂U ∩ Y = ∅.

Dowód: Zgodnie z lematem 3.2.9 znajdziemy zbiory zwarte i rozª¡czneX0, X1 takie, »eKi ⊂ Xi,

i = 0, 1, oraz Y = X0∪X1. Poniewa» X0, X1 s¡ rozª¡czne i zwarte, to istniej¡ zbiory otwarte V0,

V1 takie, »e Xi ⊂ Vi, i = 0, 1, i V0 ∩ V1 = ∅ (sprawdzi¢ istnienie tych zbiorów). Niech U := V0.

Wtedy U speªnia podane warunki (sprawdzi¢).

Kolejnym wnioskiem jest:

3.2.11 Wniosek: W przestrzeni zwartej skªadowe punktów pokrywaj¡ si¦ z quasi-skªadowymi.

Dowód wynika wprost z denicji i lematu Kuratowskiego-Whyburne'a.

Nast¦pne twierdzenie jest wa»n¡ konsekwencj¡ lematu Whyburne'a. Cz¦sto wa»na jest mo»-

no±¢ uzyskania poª¡czenia zbiorami, które w zasadzie nie maj¡ nic wspólnego ze zbiorami A,B.

3.2.12 Twierdzenie: Zaªó»my, »e zbiory domkni¦te, niepuste i rozª¡czne A,B ⊂ X nie s¡

odseparowane w przestrzeni zwartej X. Istnieje wówczas zbiór spójny D ⊂ X \ (A ∪ B) taki, »e

clD ∩A 6= ∅ 6= clD ∩B.

Dowód: Niech C b¦dzie zbiorem nieredukowalnym pomi¦dzy A i B. Kªad¡c w miejsce A zbiór

A ∩ C i w miejsce B zbiór B ∩ C, mo»na zaªo»y¢, »e A,B ⊂ C. Twierdz¦, »e poszukiwanym

zbiorem D jest D := C \ (A ∪B).Poka»emy najpierw, »e bez zmniejszenia ogólno±ci mo»na zaªo»y¢, »e A = a i B = b,

tzn. , »e A i B s¡ singletonami. Istotnie: niech C ′ b¦dzie przestrzeni¡ powstaª¡ z C poprzez

±ci¡gni¦cie zbiorów A i B do (ró»nych) punktów a i b, odpowiednio. Poniewa» zbiory A i B s¡

domkni¦te, to przestrze« D jest homeomorczna z przestrzeni¡ D′ := C ′ \ a, b. Zbiór C jest

zwarty; zatem je±li a ∈ clC ′D′ (domkni¦cie w C ′), to clD ∩A 6= ∅; analogicznie: je»eli b ∈ clD′,to B ∩ clD 6= ∅.

W dalszym ci¡gu zakªadamy wi¦c, »e A i B s¡ singletonami. Przypu±¢my nie wprost, »e

zbiór D nie jest spójny, tzn. dopuszcza separacj¦ (U, V ). Je±li a, b ∈ cl CU (domkni¦cie w C),

to zbiór C nie jest minimalny (w rodzinie C), bowiem cl CU ∈ C i cl CU ( C. Rzeczywi±cie

wystarczy pokaza¢, »e punkty a, b nie s¡ odseparowane w cl CU . Je±li istnieje separacja (U1, U2)zbioru cl CU taka, »e a ∈ U1 i b ∈ U2, to zbiory U1 oraz U2∪V s¡ otwarte w C i tworz¡ separacj¦

C co jest niemo»liwe w ±wietle spójno±ci C.

Zaªó»my, »e a ∈ cl CU (zauwa»my, »e amusi nale»e¢ do cl CU lub do cl CV ). Wtedy b ∈ cl CV .St¡d wynika, »e para (U ∪ a, V ∪ b) tworzy separacj¦ C tak¡, »e A = a ⊂ U ∪ a i

B = b ⊂ V ∪ b: sprzeczno±¢.

3.3. Elementarne zasady kontynuacji 59

Przytoczymy jeszcze kilka faktów dotycz¡cych przestrzeni spójnych.

3.2.13 Twierdzenie: Nast¦puj¡ce fakty s¡ równowa»ne:

(i) Przestrze« X jest spójna;

(ii) przestrze« X nie dopuszcza przedstawienia w postaci sumy niepustych, rozª¡cznych zbiorów

domkni¦tych;

(iii) przestrze« X nie da si¦ przedstawi¢ w postaci sumy niepustych zbiorów rozgraniczonych (4);

(iv) jedynymi zbiorami domkni¦to-otwartymi s¡ caªa przestrze« X zbiór pusty;

(v) ka»da funkcja ci¡gªa f : X → 0, 1 jest staªa.

3.2.14 Fakt: Suma dowolnej rodziny parami nierozª¡cznych continuów jest continuum; iloczyn

kartezja«ski dowolnej rodziny continuów jest continuum; obraz ci¡gªy continuum jest równie»

continuum; przeci¦cie przeliczalnej i zst¦puj¡cej rodziny continuów jest continuum.

Powiadamy, »e przestrze« X jest lokalnie spójna je±li, dla dowolnego punktu x ∈ X i jego

otoczenia U , istnieje spójne otoczenie V punktu x takie, »e V ⊂ U .

Pomi¦dzy spójno±ci¡ a lokaln¡ spójno±ci¡ na ogóª nie ma zwi¡zku. Suma dwóch rozª¡cznych

i domkni¦tych odcinków prostej R jest przestrzeni¡ niespójn¡, lecz lokalnie spójn¡. Sinusoida

warszawska (tzn. zbiór

X :=

(x, y) ∈ R2 | 0 < x ¬ 1π, y = sin

1x

∪ (x, y) ∈ R2 | x = 0,−1 ¬ y ¬ 1

jest continuum nie spójnym lokalnie.

3.2.15 Fakt: W przestrzeni lokalnie spójnej skªadowe s¡ zbiorami otwartymi; otwarte podzbiory

takiej przestrzeni s¡ lokalnie spójne.

Mówimy, »e przestrze« X jest ªukowo spójna je»eli dowolne punkty x, y ∈ X mo»na poª¡czy¢

krzyw¡ (5). Przestrze« X jest lokalnie ªukowo spójna, gdy dla dowolnego punktu x ∈ X i jego

otoczenia U , istnieje otoczenie V punktu x takie, »e V ⊂ U i ka»dy punkt y ∈ V mo»na poª¡czy¢

ªukiem le»¡cym w U .

3.2.16 Fakt: Ka»da przestrze« (lokalnie) ªukowo spójna jest (lokalnie) spójna. Przestrze« spójna

i lokalnie ªukowo spójna jest ªukowo spójna.

3.2.17 Twierdzenie: Przestrze« X jest metryzowalnym lokalnie spójnym continuum wtedy i

tylko wtedy, gdy jest no±nikiem krzywej (tzn. ci¡gªym obrazem odcinka [0, 1]). W szczególno±ci

ka»de metryzowalne continuum lokalnie spójne jest ªukowo spójne i lokalnie ªukowo spójne.

3.3 Elementarne zasady kontynuacji

3.3.A Kontynuacja dla odwzorowa« zw¦»aj¡cych

Omówimy najpierw zasad¦ kontynuacji dla kontrakcji.

3.3.1 Twierdzenie: Niech (X, d) b¦dzie przestrzeni¡ metryczn¡ zupeªn¡, U ⊂ D b¦dzie otwarty.

Zaªó»my, »e T : clU × [0, 1] → X jest odwzorowaniem takim, »e dla dowolnego λ ∈ [0, 1],

4Zbiory A,B ⊂ X s¡ rozgraniczone o ile clA ∩B = ∅ = A ∩ clB.5Przypomnijmy, »e krzyw¡ lub ªukiem ª¡cz¡cym punkty x, y nazywamy ci¡gªe odwzorowanieγ : [0, 1] → X

takie, »e γ(0) = x i γ(1) = y. Ogólnie krzyw¡ w X jest dowolne ci¡gªe odwzorowanie γ : [0, 1] → X. No±nikiem

krzywej γ jest obraz γ([0, 1]). Mówimy, »e krzywa γ le»y w zbiorze Y ⊂ X je±li jej no±nik jest zawarty w Y .


T (·, λ) : clU → X jest kontrakcj¡, T (x, ·) jest ci¡gªe jednostajnie ze wzgl¦du na x ∈ clU (6),

T (x, λ) 6= x dla x ∈ ∂U oraz λ ∈ [0, 1] oraz istnieje niepusty zbiór D ⊂ clU taki, »e T (D×0) ⊂D. Wówczas, dla dowolnego λ ∈ [0, 1], istnieje dokªadnie jeden punkt staªy x(λ) odwzorowania

T (·, λ). Ponadto funkcja [0, 1] 3 λ 7→ x(λ) ∈ clU jest ci¡gªa; w szczególno±ci zbiór S := (x, λ) ∈clU × [0, 1] | x = T (x, λ) jest spójny i dla dowolnego λ ∈ [0, 1], Sλ := x ∈ clU | (x, λ) ∈ Sjest singletonem.

Dowód: Zauwa»my najpierw, »e T jest ci¡gªe (sprawdzi¢). Analogicznie jak w przypadku do-

wodu twierdzenia 1.1.3 dowodzimy, »e je±li k(λ), λ ∈ [0, 1] jest staª¡ Lipschitza dla T (·, λ), tok := supλ∈[0,1] k(λ) < 1.

Najpierw zauwa»my, »e T0 := T (·, 0) : clU → X posiada (dokªadnie jeden) punkt sta-

ªy. Rzeczywi±cie ci¡gªo±¢ T0 implikuje, »e T0(clD) ⊂ clT0(D) ⊂ clD. Z twierdzenia Banacha

Fix (T0) 6= ∅: jednoznaczno±¢ istnienia jest prost¡ konsekwencj¡ kontraktywno±ci.

Niech

ΛT := λ ∈ [0, 1] | Fix (T (·, λ)) 6= ∅.Zbiór ΛT jest niepusty bo 0 ∈ ΛT . Poka»emy, »e ΛT jest zbiorem domkni¦to-otwartym, tzn.

ΛT = [0, 1].Istotnie: przypu±¢my, »e λn → λ0, gdzie λn ∈ ΛT dla n ∈ N. Zatem istnieje xn ∈ clU (w

istocie xn ∈ U taki, »e T (xn, λn) = xn dla n 1. atwo zauwa»y¢, »e

d(xn, xm) = d(T (xn, λn), T (xm, λm)) ¬d(T (xn, λn), T (xn, λ)) + d(T (xn, λ), T (xm, λ)) + d(T (xm, λ), T (xm, λm))

¬ d(T (xn, λn), T (xn, λ) + kd(xn, xm) + d(T (xm, λ), T (xm, λm)).

Zatem

d(xn, xm) ¬ 11− k

(d(T (xn, λn), T (xn, λ) + d(T (xm, λ), T (xm, λm)).

Z zaªo»enia wynika, »e (xn) jest ci¡giem Cauchy'ego: zatem xn → x0 ∈ clU . Oczywi±cie

(xn, λn)→ (x0, λ0), zatem x0 = T (x0, λ0), tzn. λ0 ∈ ΛT .Przypu±¢my teraz, »e µ ∈ ΛT i we¹my z ∈ U taki, »e z = T (z, µ). Otwarto±¢ U implikuje,

»e istnieje δ > 0 takie, »e D(z, δ) ⊂ U . Z zaªo»enia wynika, »e istnieje η = η(δ) taka, »e

d(z, T (z, λ)) = d(T (z, µ), T (z, λ)) ¬ (1− k)δ,

o ile |λ− µ| < η. Wówczas

d(z, T (x, λ)) ¬ d(z, T (z, λ)) + d(T (z, λ), T (x, λ)) ¬ (1− k)δ + kd(z, x) ¬ δ,

dla x ∈ D(z, δ) i |λ − µ| < η. Dowodzi, to T (·, λ) : D(z, δ) → D(z, δ) o ile |λ − µ| < η. A wi¦c

dla wszystkich λ ∈ [0, 1] takich, »e |λ− µ| < η, T (·, λ) ma punkt staªy w U , czyli λ ∈ ΛT .Ci¡gªo±¢ przeksztaªcenia [0, 1] 3 λ 7→ x(λ) dowodzimy jak w dowodzie twierdzenia 1.1.3.

wiczenie: Udowodni¢ powy»sze twierdzenie przy zaªo»eniu, »e odcinek [0, 1] zast¡piony jest

przez dowoln¡ ªukowo spójn¡ przestrze« metryczn¡ Λ.

3.3.B Kontynuacja dla odwzorowa« nierozszerzaj¡cych

3.3.2 Twierdzenie: Niech E b¦dzie jednostajnie wypukª¡ przestrzeni¡ Banacha, U ⊂ E zbio-

rem otwartym wypukªym i ograniczonym, 0 ∈ U i T : clU → E odwzorowaniem nierozszerzaj¡cym

takim, »e λT (x) 6= x dla x ∈ ∂U i λ ∈ [0, 1]. Wtedy T ma co najmniej jeden punkt staªy w U .

6To oznacza, »e dla dowolnego λ0 ∈ [0, 1] i ε > 0 istnieje δ > 0 taka, »e dla wszystkich x ∈ clU ,d(T (x, λ), T (x, λ)) < ε, o ile |λ− λ0| < δ.


Nim przejdziemy do dowodu podamy dwa lematy.

3.3.3 Lemat: Przy powy»szych zaªo»eniach, dla dowolnego ε > 0 istnieje δ = δ(ε) > 0 taka, »e

dla dowolnych punktów x0, x1 ∈ clU , ‖xt − T (xt)‖ ¬ ε, gdzie xt := (1− t)x0 + tx1, t ∈ (0, 1), oile ‖xi − T (xi)‖ ¬ δ, i = 0, 1.

Dowód: We¹my ε > 0 i niech δ1 = ε/3. Je±li x0, x1 ∈ clU , ‖T (xi) − xi‖ ¬ δ1, i = 0, 1, oraz‖x0 − x1‖ ¬ ε/3, to dla t ∈ (0, 1), mamy

‖xt − T (xt)‖ ¬ ‖xt − x0‖+ ‖x0 − T (x0)‖+ ‖T (x0)− T (xt)‖ =

t‖x0 − x1‖+ ‖x0 − T (x0)‖+ ‖T (x0)− T (xt)‖ ¬ ‖x0 − T (x0)‖+ 2t‖x1 − x0‖ ¬ δ1 + 2ε/3 ¬ ε.

B¦dziemy zmniejsza¢ δ1 tak, aby ogarn¡¢ punkty x0, x1 takie, »e ‖x0 − x1‖ > ε/3.Niech d := diam (clU) <∞. Je±li t ∈ (0, ε/(3d)), to dla dowolnych x0, x1 ∈ clU ,

‖xt − x0‖ = t‖x0 − x1‖ < ε/3

i, analogicznie jak wy»ej, ‖xt − T (xt)‖ ¬ ε je±li tylko ‖x0 − T (x0)‖ ¬ δ1. Je±li 1 − t < ε/(3d),to rozumuj¡c analogicznie (zamieniaj¡c x0 przez x1 ponownie dostaniemy, »e ‖xt − T (xt)‖ ¬ ε

(przy zaªo»eniu, »e ‖x1 − T (x1)‖ ¬ δ1).

Interesuj¡cy jest wi¦c jedynie przypadek

ε/(3d) ¬ t ¬ 1− ε/(3d).

We¹my wi¦c punkty x0, x1 ∈ clU takie, »e ‖xi − T (xi)‖ ¬ δ (jakie ma by¢ dobre δ b¦dzie

wynikaªo z poni»szych rozwa»a«). Mamy wtedy, dla dowolnego t z podanego zakresu,

‖x0 − T (xt)‖ ¬ ‖x0 − T (x0)‖+ ‖T (x0)− T (xt)‖ ¬ δ + t‖x0 − x1‖

oraz podobnie

‖x1 − T (xt)‖ ¬ ‖x1 − T (x1)‖+ ‖T (x1)− T (xt)‖ ¬ δ + (1− t)‖x0 − x1‖.

Niech

y0 :=T (xt)− x0

t‖x0 − x1‖, y1 :=

x1 − T (xt)(1− t)‖x0 − x1‖

.

Wówczas

‖y0‖, ‖y1‖ ¬ 1 + 9dδ

ε2 , ‖ty0 + (1− t)y1‖ = 1.

wiczenie: Udowodnij nast¦puj¡c¡ wªasno±¢ wynikaj¡c¡ jednostajnej wypukªo±ci przestrzeni

E: dla dowolnych α > 0, κ > 0 oraz 0 < λ1 < λ2 < 1 istnieje η > 0 taka, »e je±li x, y ∈ E,‖x‖, ‖y‖ ¬ α i ‖x− y‖ κ, to ‖tx+ (1− t)y‖ ¬ (1− η)α o ile λ1 ¬ t ¬ λ2.

Dla nas κ := ε/d, α := 1 + 9d δε2 oraz λ1 := ε/(3d), λ2 := 1− ε/(3d). Je»eli ‖y0 − y1‖ ε/d,

to

1 = ‖ty0 + (1− t)y1‖ ¬ (1− η)(

1 + 9dδ

ε2

).

Dla dostatecznie maªego δ otrzymamy, »e

(1− η)(

1 + 9dδ

ε2

)< 1,

co jest oczywi±cie sprzeczne. Wobec tego przy tak maªym δ otrzymamy, »e ‖y1 − y0‖ ¬ ε/d.

Wtedy

‖xt−T (xt)‖ = ‖(1−t)(T (xt)−x0)−t(x1−T (x1))‖ = t(1−t)‖x0−x1‖‖y0−y1‖ ¬ d ·ε/d = ε.


3.3.4 Lemat: Je±li xn ∈ clU , xn x0 oraz xn − T (xn)→ 0, to x0 = T (x0).

Dowód: Niech εn := ‖xn − T (xn)‖. Skoro εn → 0, to mo»na (ewentualnie przechodz¡c do

podci¡gu) zaªo»y¢, »e εn ¬ δ(εn−1) ¬ εn−1 dla dowolnego n 1. Skoro x0 jest sªab¡ granic¡ ci¡gu

(xn), to jest te» sªab¡ granic¡ ci¡gu (xj)jk dla ka»dego k 1. Zbiór Dk := cl conv xj | j k,k 1, jest domkni¦ty i wypukªy. Z twierdzenie Mazura jest wi¦c te» sªabo domkni¦ty; zatem

x0 ∈ Dk dla wszystkich k 1.W takim razie wystarcza pokaza¢, »e dla dowolnego k 1

‖x− T (x)‖ ¬ εk−1 (∗)

dla wszystkich x ∈ Dk.

Ka»dy element zbioru Dk jest (siln¡) granic¡ pewnej kombinacji wypukªej elementów zbioru

xj | j k. Zatem wystarcza udowodni¢ nierówno±¢ (∗) dla elementów zbioru Dmk := conv xj |

k ¬ j ¬ m. B¦dziemy stosowa¢ indukcj¦ ze wzgl¦du na k (malej¡cego). Gdy k = m, to

Dmk = xm i ‖xm − T (xm)‖ = εm ¬ εm−1 i nierówno±¢ (∗) ma miejsce. Przypu±¢my, »e (∗)

zachodzi dla wszystkich x ∈ Dmk . Niech y ∈ Dm

k−1. Wtedy y = (1− t)xk−1 + tx, gdzie t ∈ (0, 1)oraz x ∈ Dm

k . Wówczas

‖x− T (x)‖ ¬ εk−1 ¬ δ(εk−2)

oraz

‖xk−1 − T (xk−1)‖ = εk−1 ¬ δ(εk−2).

Z lematu 3.3.3 ‖y − T (y)‖ ¬ εk−2 co dowodzi (∗) dla punktów ze zbioru Dmk−1 i ko«czy dowód

lematu 3.3.4.

Dowód twierdzenia 3.3.2: Z twierdzenia 3.3.1 dla dowolnego λ ∈ [0, 1), istnieje xλ ∈ U taki,

»e xλ = λT (xλ) (nale»y dobrze przemy±le¢ to stwierdzenie). Niech xk oznacza xλ dla λ = 1−1/k.Mo»emy zaªo»y¢ (ewentualnie przechodz¡ do podci¡gu), »e xk x0 ∈ clU . Z drugiej strony,

skoro xk − (1 − 1/k)T (xk) = 0, to xk − T (xk) → 0. Wobec tego, z lematu 3.3.4 x0 = T (x0).Oczywi±cie x0 ∈ U .

3.3.5 Uwaga: Je±li E = H jest przestrzeni¡ Hilberta, to wypukªo±¢ zbioru U nie jest niepo-

trzebna. Istotnie: we¹my ten sam ci¡g (xn) co w powy»szym dowodzie. Wtedy (n − 1)−1xn =xn − T (xn). Wobec tego

〈(n− 1)−1xn − (m− 1)−1xm, xn − xm〉 = 〈T (xk)− T (xm), xn − xm〉 − ‖xn − xm‖2 ¬ 0

dla n,m 1. Niech an := (n− 1)−1. atwo sprawdzi¢ nast¦puj¡c¡ to»samo±¢

2〈anxn − amxm, xn − xm〉 = (an + am)‖xn − xm‖2 + (an − am)(‖xn‖2 − ‖xm‖2).

Poniewa» 〈anxn − amxm, xn − xm〉 ¬ 0, to

0 ¬ (an + am)‖xn − xm‖2 ¬ (an − am)(‖xn‖2 − ‖xm‖2).

Ci¡g (an) jest malej¡cy: st¡d ci¡g (‖xn‖) jest niemalej¡cy. Jest on tak»e ograniczony bo U jest

zbiorem ograniczonym. Teraz

‖xn − xm‖2 ¬ (‖xm‖2 − ‖xn‖2)an − aman + am

.

Zatem ci¡g (xn) jest Cauchy'ego jest wi¦c zbie»ny. Jego granica jest punktem staªym dla T .


3.3.C Kontynuacja dla odwzorowa« zag¦szczaj¡cych

W tym miejscu rozwa»ymy zasad¦ kontynuacji dla odwzorowa« typu Möncha.

3.3.6 Twierdzenie: Niech U ⊂ E b¦dzie zbiorem otwartym i ograniczonym w przestrzeni Ba-

nacha E i T : clU → E odwzorowanie typu Möncha takim, »e

(1− λ)x0 + λT (x) 6= x

dla x ∈ ∂U i λ ∈ [0, 1] (7). Wtedy Fix (T ) 6= ∅.

Dowód: Zdeniujmy odwzorowanie K : clU × [0, 1]→ E wzorem

H(x, λ) = (1− λ)x0 + λT (x), x ∈ clU, λ ∈ [0, 1],

oraz zbiór

Σ := x ∈ clU | H(x, λ) = x dla pewnego λ ∈ [0, 1].

Zbiór Σ jest domkni¦ty bo T (a wi¦c tak»e H) jest ci¡gªe. Oczywi±cie σ ∩ ∂U = ∅. Z lematu

Urysohna istnieje funkcja η : clU → [0, 1] taka, »e η ≡ 0 na ∂U oraz η ≡ 1 na Σ. Niech

D := cl conv (x0 ∪ T (clU)),

oraz niech T : E→ E dane b¦dzie wzorem

T (x) =

H(x, η(x)) dla x ∈ clU ;x0 dla x 6∈ clU.

atwo zobaczy¢, »e T jest odwzorowaniem ci¡gªym typu Möncha: niech X ⊂ E b¦dzie zbiorem

przeliczalnym takim, »e X ⊂⊂ cl conv (x0 ∪ T (X)). Wtedy

cl conv (x0 ∪ T (X))) = cl conv (x0 ∪ T (X ∩ clU)).

Zatem, z zaªo»enia, zbiór X ∩ clU jest wzgl¦dnie zwarty. St¡d zbiór clX jest te» zwarty. Z

twierdzenia Möncha T ma punkt staªy x ∈ E. Skoro x0 ∈ U , to tak»e x ∈ U , czyli x ∈ Σ i

η(x) = 1. Tak wi¦c T (x) = x.

3.3.7 Uwaga: Udowodnione twierdzenia 3.3.2 i 3.3.6 stanowi¡ do±¢ ubogie wersje twierdze« o

kontynuacji. W obu przypadkach λ = [0, 1], rodzin¡ równa«, które badamy jest rodzina postaci

λT (x) = x (odp. (1− λ)x0 + λT (x) = x; dla λ = 0 rozwi¡zalno±¢ jest oczywista. Twierdzenia te

orzekaj¡ o rozwi¡zalno±ci przy λ = 1 (oczywi±cie pod obecno±¢ okre±lonych oszacowa« a priori

na rozwi¡zania przy dowolnym λ)

3.3.D Kontynuacja dla odwzorowa« zwartych

Mo»emy teraz sformuªowa¢ pierwsz¡ zasad¦ kontynuacji.

3.3.8 Twierdzenie: Niech E b¦dzie przestrzeni¡ Banacha, Λ ªukowo spójn¡ przestrzeni¡

metryczn¡, H : E× Λ→ E odwzorowaniem zwartym (tzn. zbiór clH(E× Λ) jest zwarty). Niech

Σ := (x, λ) ∈ E× Λ | H(x, λ) = x7Oczywi±cie x0 ∈ U .


oraz niech Σλ := Σ ∩ [E× λ] dla λ ∈ Λ. Wtedy:

(i) dla dowolnego λ ∈ Λ, zbiór Σλ jest niepusty i zwarty;

(ii) dla dowolnych λ0, λ1 ∈ Λ istnieje zbiór spójny K ⊂ Σ, który przecina Σλ0 i Σλ1.

Dowód: Niepusto±¢ zbiorów Σλ, λ ∈ Λ wynika bezpo±rednio z twierdzenia Schaudera o punkcie

staªym: dla ustalonego λ ∈ Λ odwzorowanie H(·, λ) : E → E jest zwarte i dlatego posiada

punkty staªe. Zbiór Σλ jest zwarty; to ponownie wynika ze zwarto±ci H (sprawdzi¢). Istnienie

zbioru spójnego C, o którym mowa w tezie twierdzenia wynika z rozumowania przez sprzeczno±¢.

Ustalmy punkty λ0, λ1 ∈ Λ oraz krzyw¡ c : [0, 1] → Λ ª¡cz¡c¡ λ0 i λ1. Przypu±¢my, »e nie

ma zbiory spójnego, o którym mowa w twierdzeniu. Niech X := (x, λ) ∈ Σ | λ ∈ c([0, 1]).Zbiór X jest zwarty, Σ0 := Σλ0 ,Σ1 := Σλ1 ⊂ X. Wtedy z lematu 3.2.10 istnieje zbiór otwarty

U taki, »e Σ0 ⊂ U , clU ∩ Σ1 = ∅ i ∂U ∩ X = ∅. Niech ϕ : E × [0, 1] → [0, 1] b¦dzie funkcj¡

Urysohna oddzielaj¡c¡ X ∩ U c i X ∩ U (zbiory te s¡ domkni¦te: sprawdzi¢), tzn. ϕ jest ci¡gªa

oraz ϕ|X∩Uc ≡ 0 oraz ϕ|X∩U ≡ 1 (skonstruowa¢ tak¡ funkcj¦).

Rozwa»my funkcj¦ T : E× [0, 1]→ E× [0, 1] dan¡ wzorem

T (x, s) = (H(x, c(ϕ(x, c(s)))), ϕ(x, c(s))), x ∈ E, s ∈ [0, 1].

Odwzorowanie to jest zwarte; posiada zatem punkt staªy (x∗, s∗). Zatem ϕ(x∗, c(s∗)) = s∗,

x∗ = H(x∗, c(s∗)); zatem (x∗, λ∗) ∈ Σλ∗ ⊂ X, gdzie λ∗ = c(s∗). Przypu±¢my, »e (x∗, λ∗) ∈ U .Wtedy ϕ(x∗, λ∗) = 1. Zatem λ∗ = λ1 i (x∗, λ∗) ∈ Σ1 ∩ U = ∅; je±li za± (x∗, λ∗) 6∈ U , to

ϕ(x∗, λ∗) = 0, czyli λ∗ = c(0) = λ0, czyli (x∗, λ∗) ∈ Σ0 ⊂ U : w obu przypadkach otrzymujemy

sprzeczno±¢.

Problem w tym, »e zwykle nie mamy do czynienia ze zwarto±ci¡ odwzorowania, a tylko z jego

peªnoci¡gªo±ci¡, tzn. z sytuacj¡, w której H przeksztaªca zbiory ograniczone w zbiory zwarte.

3.3.9 Twierdzenie: Niech odwzorowanie H : E × [0, 1] → E b¦dzie peªnoci¡gªe i przypu±¢my,

»e istnieje m > 0 takie, »e dla ‖x‖ = m, ‖H(x, λ)‖ ¬ m dla dowolnego λ ∈ [0, 1]. Wtedy, dla

dowolnego λ ∈ [0, 1], Σλ 6= ∅ oraz istnieje spójny podzbiór zbioru Σ, który ª¡czy Σ0 i Σ1.

Dowód: jest bardzo podobny do dowodu poprzedniego twierdzenia. Niech D := D(0,m). atwosprawdzi¢, »e Σ ∩D × [0, 1] jest zbiorem zwartym. Ustalmy λ ∈ [0, 1] i rozwa»my odwzorowanie

T : E → E dane wzorem T (x) = H(r(x), λ), gdzie r : E → D jest retrakcj¡ radialn¡. Ma

ono punkt staªy x0 ∈ E: x0 = T (x0). Je±li ‖x0‖ > m, to ‖r(x0)‖ = m, czyli ‖T (x0)‖ ¬ m:

sprzeczno±¢. Zatem ‖x0‖ ¬ m i r(x0) = x0. Tak wi¦c x0 = H(x0, λ); a wi¦c x0 ∈ Σλ. Poka»emy

istnienie zbioru spójnego ª¡cz¡cego Σ0 ∩D× [0, 1] i Σ1 ∩D× [0, 1]. Poruszamy si¦ w przestrzeni

D × [0, 1] i post¦pujemy analogicznie jak powy»ej: je±li zbiorów tych nie mo»na oddzieli¢, to

znajdziemy otwarty podzbiór U w D× [0, 1] taki, »e Σ0∩D× [0, 1] ⊂ U , clU ∩Σ1∩D× [0, 1] = ∅oraz ∂U ∩Σ∩D× [0, 1] = ∅ i wykorzystujemy funkcj¦ Urysohna oddzielaj¡c¡ Σ∩U c oraz Σ∩U .

W celu ilustracji rozwa»ymy nast¦puj¡cy przykªad.

3.3.10 Przykªad:

B¦dziemy teraz potrzebowa¢ kolejnego wniosku z lematu Whyburne'a.

3.3.11 Wniosek: Niech E b¦dzie przestrzeni¡ Banacha, Λ przestrzeni¡ metryczna, dla pewnego

λ0 ∈ Λ, X0 ⊂ E × λ0 b¦dzie zbiorem zwartym i zaªó»my, »e X ⊂ E × Λ ma nast¦puj¡ce

wªasno±ci;

(a) ograniczone i domkni¦te podzbiory clX s¡ zwarte;

(b) clX ∩X0 6= ∅;


(c) dla dowolnego du»ego n ∈ N, istnieje niepusty spójny zbiór Xn ⊂ X taki, »e clXn∩X0 6= ∅i Xn ∩ S(n) 6= ∅, gdzie S(n) := (x, λ) ∈ E× R | max‖x‖, d(λ, λ0) = n.

Wówczas istnieje nieograniczony spójny zbiór C ⊂ X taki, »e clC ∩X0 6= ∅.

Dowód: Niech G := E×Λ∪∞ (tzn. do przestrzeni E×R doª¡czamy punkt niesko«czono±¢;

tworzymy z G przestrze« Hausdora przyjmuj¡c, »e baz¡ otocze« punktu niesko«czono±¢ s¡

dopeªnienia ograniczonych podzbiorów E× Λ. Wówczas Y := clX ∪ ∞ jest zbiorem zwartym

w G.

Niech K0 = X0 ∩ Y ; wtedy K0 i K1 := ∞ s¡ zwartymi podzbiorami Y . Zaªó»my, »e

»aden zbiór spójny w Y nie dotyka jednocze±nie K0 oraz K1. Zgodnie z wnioskiem 3.2.10 istnieje

otwarty zbiór otwarty U ⊂ G taki, »e K0 ⊂ U , ∞ 6∈ clU oraz ∂U ∩ Y = ∅. Zauwa»my, »e w

takim razie U ⊂ E×R i U jest ograniczony (istnieje otoczenie V punktu ∞ takie, »e V ∩U = ∅czyli U zawiera si¦ w dopeªnieniu V , za± dopeªnienie to jest zbiorem ograniczonym).

To jednak jest niemo»liwe: dla du»ych n ∈ N zbiór spójny Xn speªnia warunki: cl ∩Xn∩X0 ⊂K0 ⊂ U oraz [Xn ∩ S(n)] ∩ U = ∅. Warunki te przecz¡ spójno±ci, bo Xn ∩ ∂U = ∅ (Xn ⊂ X).

St¡d musi istnie¢ zbiór spójny C∞ ⊂ clX ∪ ∞ taki, »e C∞ ∩X0 6= ∅ i ∞ ∈ C∞. Kªad¡cC := C∞ \ ∞ otrzymamy tez¦.

3.3.12 Twierdzenie: Zaªó»my, »e E jest przestrzeni¡ Banacha, H : E × [0,∞) → E jest

peªnoci¡gªym odwzorowaniem takim, »e H(·, 0) jest odwzorowaniem ograniczonym. Niech Σ0 =(x, 0) | x = H(x, 0). Wtedy istnieje nieograniczony spójny zbiór C zawarty w zbiorze

Σ := (x, λ) ∈ E× [0,∞) | x = H(x, λ)

i taki, »e C ∩X0 6= ∅.

Dowód: Zbiór Σ0 jest zwarty: je±li (xn, 0) ⊂ Σ0, to xn = H(xn, 0), n ∈ N; zatem ci¡g (xn) jestograniczony; peªnoci¡gªo±¢ gwarantuje, »e przechodz¡c do podci¡gu je±li potrzeba xn → x0;

dzi¦ki ci¡gªo±ci x0 = H(x0, 0); czyli x0 ∈ Σ0. Oczywi±cie domkni¦te i ograniczone podzbiory

zbioru Σ s¡ zwarte (na tej samej zasadzie co powy»ej). Jasne, »e Σ ⊃ Σ0. Wykorzystuj¡c wniosek

3.3.11 wystarcza teraz pokaza¢, »e dla dostatecznie du»ych n istnieje spójny zbiór Cn ⊂ Σ taki, »e

clCn ∩Σ0 6= ∅ i Cn ∩ S(n) 6= ∅, gdzie jak wy»ej S(n) = (x, λ) ∈ E×R | max‖x‖, λ = n.Bez zmniejszenia ogólno±ci mo»emy zaªo»y¢, »e zbiór warto±ci H(·, 0) zawiera si¦ w kuli

B(0, 1). Ustalmy n 1: poka»emy, »e S(n) ∩ Σ 6= ∅. Przypu±¢my, »e tak nie jest. Niech

D(n) := (x, λ) ∈ E× R | max‖x‖, λ ¬ n.

Oczywi±cie Σ ∩D(n) 6= ∅; jest to zbiór zwarty i rozª¡czny z S(n). Rozwa»my funkcj¦ Urysohna

ϕ : E × [0,∞) → [0, 1] tak¡, »e ϕ|Σ∩D(n) ≡ 1 oraz ϕ|S(n) ≡ 0. Niech r : E → D(0, n) b¦dzie

radialn¡ retrakcj¡, tzn.

r(x) =

x gdy ‖x‖ ¬ n;nx/‖x‖ gdy ‖x‖ n.

Podobnie jak w dowodzie poprzedniego twierdzenia rozwa»my odwzorowanie

T (x, s) = (r H(r(x), nϕ(x, s))), nϕ(x, s)), x ∈ E, s ∈ [0, n].

Wtedy T : E × [0, n] → E × [0, n] i T jest zwarte. Ma zatem punkt staªy (x∗, s∗). Zatems∗ = nϕ(x∗, s∗) oraz x∗ = rH(r(x∗), s∗); tzn. ‖x∗‖ ¬ n i wobec tego r(x∗) = x∗. Przypu±¢my,

»e (x∗, s∗) ∈ S(n). Wtedy s∗ = nϕ(x∗, s∗) = 0. Zatem x∗ = H(x∗, s∗) ∈ B(0, 1), czyli ‖x∗‖ < 1.St¡d (x∗, s∗) 6∈ S(n): sprzeczno±¢. Wiemy, »e (x∗, s∗) 6∈ S(n); w szczególno±ci ‖x‖ < n.

W takim razie x∗ = r H(x∗, s∗). Gdyby ‖H(x∗, s∗)‖ > n, to ‖x∗‖ = n, co jest niemo»liwe.


Zatem ‖H(x∗, s∗)‖ ¬ n i r(H(x∗, s∗)) = H(x∗, s∗); zatem x∗ = H(x∗, s∗) wi¦c (x∗, s∗) ∈ Σ ∩D(n); zatem ϕ(x∗, s∗) = 1 i s∗ = n. St¡d (x∗, s∗) ∈ S(n): ponownie sprzeczno±¢.

Pokazali±my wi¦c, »e dla dowolnego n ∈ N, Σ ∩ S(n) 6= ∅. Istnienie spójnego zbioruCntakiego, »e clCn ∩ Σ0 6= ∅ i Cn ∩ S(n) 6= ∅ dowodzimy jak poprzednio.

Mianowicie rozwa»amy zwarty zbiór Σ∩D(n) i jego dwa podzbiory Σ0 oraz Σn := Σ∩S(n).Je±li nie mo»na ich poª¡czy¢ zbiorem spójnym, to znajdziemy zbiór otwarty U ⊂ D(n) taki, »e

Σ0 ⊂ U , clU∩Σn = ∅ oraz ∂U∩[D(n)∩Σ] = ∅. Oczywi±cie zmniejszaj¡c U mo»na zaªo»y¢, »e

U ⊂ B(n), gdzie B(n) jest wn¦trzem D(n). Dobieramy teraz funkcje Urysohna ϕ : D(n)→ [0, 1],która przyjmuje warto±¢ 1 na U ∩ [D(n) ∩ Σ] oraz warto±¢ 0 na U c ∩ [D(n) ∩ Σ]. Rozwa»amy

odwzorowanie T : D(n)→ D(n) zadane wzorem

T (x, s) = (r H(x, nϕ(x, s)), nϕ(x, s)), (x, s) ∈ D(n).

Odwzorowanie to jest zwarte; posiada wi¦c punkt staªy (x0, s0). Je±li (x0, s0) 6∈ U , to ϕ(x0, s0) =0, zatem s0 = 0. Tak wiec x0 = r H(x0, 0) = H(x0, 0), czyli x0 ∈ Σ0 ⊂ U : sprzeczno±¢. Zatem

(x0, s0) ∈ U , w szczególno±ci ‖x0‖ < n. A wi¦c x0 = H(x0, s0), bo r H(x0, s0) = H(x0, s0) (w

przeciwnym razie ‖x0‖ = n). Czyli (x0, s0) ∈ Σ∩U i ϕ(x0, s0) = 1, tzn. s0 = n. To implikuje, »e

(x0, s0) ∈ S(n) ∩ Σ: ponownie sprzeczno±¢.

Do innych postaci tego twierdzenia wrócimy pó¹niej.

3.4 Metoda transwersalno±ci topologicznej

Niech E b¦dzie przestrzeni¡ Banacha a K ⊂ E zbiorem wypukªym. Przypomnijmy, »e je»eli X

jest przestrzeni¡ metryczn¡, F : X → K odwzorowaniem ci¡gªym, to mówimy, »e F jest zwarte,

gdy F (X) zawarty jest w pewnym zwartym podzbiorze K. Je±li F przeksztaªca ograniczone

podzbiory X w podzbiory zwarte K, to powiadamy, »e F jest peªnoci¡gªe.

Jak pami¦tamy twierdzenie Schaudera orzeka, »e ka»de zwarte przeksztaªcenie F : K → K

ma punkt staªy.

Niech X ⊂ K b¦dzie zbiorem domkni¦tym (wzgl¦dem K); i niech A ⊂ X zbiór domkni¦ty.

Mówimy, »e zwarte odwzorowanie F : X → K jest dopuszczalne wzgl¦dem A, je±li Fix (F )∩A = ∅.Rodzin¦ odwzorowa« dopuszczalnych oznaczymy przez KA(X,K).

Powiemy, »e homotopia H : X × [0, 1] → K jest dopuszczalna, je±li jest odwzorowaniem

zwartym i takim, »e H(·, t) ∈ KA(X,K).Wreszcie powiadamy, »e odwzorowania F,G ∈ KA(X,K) s¡ homotopijne (w klasieKA(X,K)),

gdy istnieje dopuszczalna homotopia H : X × [0, 1]→ K taka, »e H(·, 0) = F i H(·, 1) = G.

wiczenie: Udowodni¢, »e relacja homotopijno±ci (w klasie KA(X,K) jest relacj¡ równowa»no-±ci.

3.4.1 Definicja: Odwzorowanie F ∈ KA(X,K) nazwiemy nieistotnym wzgl¦dem A, je±li istnieje

zwarte odwzorowanie G : X → K takie, »e G|A = F |A oraz Fix (G) = ∅. Je±li odwzorowanie Fnie jest nieistotne, to mówimy, »e jest istotne.

Poni»ej, gdy zbiór A jest ustalony, to mówimy po prostu o istotno±ci lub nieistotno±ci.

Warto zauwa»y¢, »e F ∈ KA(X,K) jest istotne wtedy i tylko wtedy, gdy ka»de przedªu»enie

zwarte G : X → K odwzorowania F |A (tzn. G : X → K takie, »e F |A = G|A) posiada punkty

staªe; w szczególno±ci samo F musi posiada¢ punkty staªe.

3.4. Metoda transwersalno±ci topologicznej 67

Je±li F ∈ KA(X,K) ma punkty staªe, to nie musi by¢ istotne (je±li ich nie ma to jest na

pewno nieistotne). Je±li jest nieistotne, to istnieje przedªu»enie bez punktów staªych.

Podamy najpierw przykªady odwzorowa« istotnych.

3.4.2 Twierdzenie: Niech p b¦dzie dowolnym punktem w U , gdzie U ⊂ K zbiór otwarty,

za± F : clU → K b¦dzie odwzorowaniem staªym: F (x) = p dla dowolnego x ∈ clU . Wtedy

F ∈ K∂U (clU,K) i jest istotne (wzgl¦dem ∂U).

Dowód: Niech G : clU → K b¦dzie dowolnym odwzorowaniem zwartym takim, »e G|∂U = F |∂U .W celu dowodu mamy udowodni¢, »e Fix (G) 6= ∅. Rozwa»my G : K → K dane wzorem

G(x) :=

p gdy x ∈ K \ clU ;G(x) gdy x ∈ clU.

Oczywi±cie G jest poprawnie zdeniowane, ci¡gªe i zwarte. Zatem, z przytoczonego powy»ej

twierdzenie Schaudera, Fix (G) 6= ∅. Niech G(x0) = x0; je±li x0 ∈ K \ clU , to x0 = p ∈ U :

sprzeczno±¢. Wobec tego x0 ∈ U i wtedy x0 = G(x0) = G(x0).

Kolejny przykªad wymaga faktu dodatkowego, który podamy bez dowodu.

3.4.3 Twierdzenie (Borsuka): Je±li V ⊂ Rn jest otwartym symetrycznym i wypukªym otocze-

niem 0, za± T : clV → Rn jest przeksztaªceniem nieparzystym tzn. takim, »e T (x) = −T (−x)dla x ∈ ∂V , to Fix (T ) 6= ∅.

Oczywi±cie twierdzenie jest nadal prawdziwe (sprawdzi¢), gdy zast¡pi¢ Rn dowoln¡ sko«czenie-

wymiarow¡ przestrzeni¡ unormowan¡ Z.

3.4.4 Twierdzenie: Niech U ⊂ E b¦dzie otwartym, wypukªym i symetrycznym otoczeniem 0 ∈E. Je±li F ∈ K∂U (clU,E) i F (x) = −F (−x) dla x ∈ ∂U , to F jest istotne (wzgl¦dem ∂U) w

zbiorze K∂U (clU,K).

Dowód: Wystarczy pokaza¢, »e F posiada punkty staªe (wtedy ka»de przedªu»enie G odwzoro-

wania F |∂U te» musi posiada¢ punkty staªe). We¹my ε > 0 i niech Fε : clU → Z, gdzie Z ⊂ Ejest sko«czenie wymiarow¡ podprzestrzeni¡ w E, b¦dzie odwzorowaniem ci¡gªym i takim, »e

‖F (x)− Fε(x)‖ < ε dla x ∈ clU (istnienie wynika z twierdzenia 1.3.7 o rzucie Schaudera. Niech

T (x) = 12(F (x)− F (−x)), x ∈ clU . Wtedy (sprawdzi¢), T (x) = −T − x) dla x ∈ ∂U oraz

‖F (x)− T (x)‖ < ε

dla x ∈ clU . Niech V := U∩Z. Wówczas V jest otwartym symetrycznym i wypukªym otoczeniem

0 ∈ Z oraz dla x ∈ cl ZV ⊂ clU , T (x) = −T (−x). Zatem z twierdzenia Borsuka, istnieje xε ∈Fix(T ). atwo wida¢, »e xε jest ε-punktem staªym dla F . St¡d (stosuj¡c rozumowanie podobne

do u»ytego w dowodzie twierdzenia Schaudera o punkcie staªym) wnosimy, »e Fix (F ) 6= ∅.

Zaªó»my, »e A ⊂ B ⊂ X, gdzie B zbiór domkni¦ty.

3.4.5 Fakt: Niech F ∈ KB(X,K); wówczas F ∈ KA(X,K). Je±li F jest nieistotne wzgl¦dem B,

to jest nieistotne wzgl¦dem A.

Dowód: Z zaªo»enia istnieje zwarte odwzorowanieG : X → K takie, »eG|B = F |B i Fix (G) = ∅;w takim razie G|A = F |A. Dowodzi to, »e F |A posiada przedªu»enie zwarte bez punktów staªych;

jest wi¦c nieistotne wzgl¦dem A.

Fakt odwrotny na ogóª nie ma miejsca (spróbowa¢ znale¹¢ odpowiedni przykªad).


Problem (wªasno±¢ lokalizacji): (zapewne otwarty) Niech V ⊂ U ⊂ E zbiory otwarte.

Przypu±¢my, »e F ∈ KclU\V (clU,E) (wtedy F ∈ K∂U (clU,E)) i, »e F jest nieistotne wzgl¦dem

∂U (tzn. istnieje przedªu»enie G : clU → E odwzorowania F |∂U , które nie ma punktów staªych).

Czy jest prawd¡, »e F jest nieistotne wzgl¦dem clU \V ? [Uwaga: je±li U = B(0, R) i V = B(0, r),gdzie R > r, to odpowied¹ na zadane pytanie jest pozytywna spróbowa¢ poda¢ dowód]

3.4.6 Twierdzenie: Odwzorowanie F ∈ KA(X,K) jest nieistotne wzgl¦dem A wtedy i tylko

wtedy, gdy jest ono homotopijne z odwzorowaniem bez punktów staªych, tzn. istnieje dopuszczalna

homotopia H : X × [0, 1]→ K taka, »e H(·, 1) = F i Fix (H(·, 0)) = ∅.

Dowód: Konieczno±¢: je±li F jest nieistotne, to istnieje G ∈ KA(X,K) takie, »e Fix (G) = ∅ iF |A = G|A. Wówczas odwzorowanie H : X × [0, 1]→ K zadane wzorem

H(x, t) = (1− t)F (x) + tG(x), x ∈ X, t ∈ [0, 1],

zado±¢czyni wymaganiom tezy.

Dostateczno±¢: naszym zadaniem jest skonstruowanie G : X → K takiego, »e F |A = G|A i

Fix (G) = ∅. Niech

B := x ∈ X | H(x, t) = x dla pewnego t ∈ [0, 1].

Zbiór B jest domkni¦ty w K (wynika to z ci¡gªo±ci H i zwarto±ci odcinka [0, 1]). Bez zmniejszenia

ogólno±ci mo»na zaªo»y¢, »e zbiór B jest niepusty (gdyby B = ∅, to w szczególno±ci Fix (F ) =∅ i mo»na przyj¡¢, »e G = F ). Dodatkowo zauwa»my, »e B ∩A = ∅. Z lematu Urysohna istnieje

funkcja η : X → [0, 1] taka, »e η|A ≡ 1 oraz η|B ≡ 0. Niech H∗ : X × [0, 1] → K dane b¦dzie

wzorem

H∗(x, t) = H(x, η(x)t), x ∈ X, t ∈ [0, 1].

Odwzorowanie H∗ jest ci¡gªe, zwarte i dla dowolnego t ∈ [0, 1] oraz x ∈ A, H∗(x, t) = H(x, t) 6=x. Zatem H∗ jest dopuszczaln¡ homotopi¡. Zauwa»my, »e je±li x ∈ X oraz x = H∗(x, t) =H(x, η(x)t), to x ∈ B czyli η(x) = 0, tzn. x = H(x, 0): sprzeczno±¢. Wobec tego dla dowolnego

t ∈ [0, 1], Fix (H∗(·, t)) = ∅. W szczególno±ci G := H∗(·, 1) nie ma punktów staªych a ponadto

dla x ∈ A, G(x) = H∗(x, 1) = H(·, 1) = F . .

Jako wniosek otrzymujemy fakt podstawowy.

3.4.7 Twierdzenie (Topologiczna transwersalno±¢): Je±li odwzorowania F,G ∈ KA(X,K) s¡

homotopijne, to jedno z nich jest istotne (wzgl¦dem A) wtedy i tylko wtedy, gdy drugie jest te»

istotne (wzgl¦dem A) .

Dowód: Przypu±¢my, »e G jest nieistotne. Zatem, na mocy twierdzenia 3.4.6, G jest homoto-

pijne z odwzorowaniem G∗ bez punktów staªych. W takim razie F jest równie» homotopijne z

odwzorowaniem bez punktów staªych. To, ponownie wraz z twierdzeniem 3.4.6, dowodzi, »e F

jest odwzorowaniem nieistotnym. Poniewa» role F i G mo»na zamieni¢, dowód jest zako«czony.

Zasada transwersalno±ci stanowi dobre narz¦dzie w teorii kontynuacji.

3.4.8 Twierdzenie: Przypu±¢my, »e K jest wypukªym podzbiorem przestrzeni Banacha E i

niech X ⊂ K b¦dzie domkni¦ty. Niech A ⊂ X b¦dzie zbiorem domkni¦tym. Zaªó»my, »e:

(a) F,G : X → K s¡ odwzorowaniami zwartymi;

(b) G ∈ KA(X,K) jest istotne (wzgl¦dem A);

(c) istnieje zwarta homotopia H : X × [0, 1] → K ª¡cz¡ca G oraz F (tzn. H(·, 0) = G i

H(·, 1) = F );

3.5. Stopie« topologiczny 69

(d) dla dowolnego x ∈ X i t ∈ [0, 1), x 6= H(x, t).Wtedy, dla dowolnego t ∈ [0, 1), H(·, t) posiada punkt staªy w zbiorze X \ A a, ponadto,

istnieje x0 ∈ X taki, »e x0 = F (x0).

Dowód: Dowód pierwszej cz¦±ci wynika natychmiast z twierdzenia 3.4.7. Je±li chodzi o drug¡

cz¦±¢: bez zmniejszenia ogólno±ci mo»na zaªo»y¢, »e F (x) 6= x dla x ∈ A (je±li tak nie jest, to ju»

dowód nie jest potrzebny). W takim razie znowu mo»na powoªa¢ si¦ na twierdzenie 3.4.7.

3.4.9 Uwaga: Warto przemy±le¢ twierdzenie 3.4.8 z punktu widzenia twierdzenie 1.3.13. Mieli-

±my tam do czynienie z peªnoci¡gªym odwzorowaniem T : E→ E takim, »e dla pewnego r > 0,je±li x = λT (x) dla pewnego λ ∈ (0, 1), to ‖x‖ ¬ r. Teza gªosiªa, »e zbiór Fix (T ) 6= ∅ (i jestzwarty).

Oczywi±cie je±li K := E, X = clU , gdzie U := B(0, r + 1) oraz H : clU × [0, 1] → Edane jest wzorem H(x, λ) = λT (x), to H jest zwarta homotopi¡ ª¡cz¡c¡ zwarte odwzorowania

F := H(·, 1) = T |clU i G := H(·, 0) ≡ 0. Z zaªo»enia x 6= H(x, λ) dla x ∈ A := ∂U oraz odwzo-

rowanie G jest istotne (patrz twierdzenie 3.4.2). Teza wynika wi¦c z twierdzenie 3.4.8. Innymi

sªowy, twierdzenie 3.4.8 jest uogólnieniem twierdzenia 1.3.13.

Niestety poj¦cie istotno±ci nie pewnych wªasno±ci, które pozwalaªyby uzyskiwa¢ wyniki gª¦b-

sze. Tym czego temu poj¦cia brak (wg. autora) jest wspomniana wy»ej wªasno±¢ lokalizacji.

Gdyby ta wªasno±¢ jednak miaªa miejsce, to poj¦cie istotno±ci byªoby dobrym narz¦dziem.

3.5 Stopie« topologiczny

Rozwa»my przestrze« unormowan¡ E i niech F b¦dzie klas¡ par postaci (U, f), gdzie U jest

dowolnym zbiorem otwartym w E, za± f jest elementem pewnej wyró»nionej klasy F(U,E) do-

puszczalnych przeksztaªce« ci¡gªych U → E takich, »e zbiór f−1(0) jest zwarty.Oprócz klasy F rozwa»a si¦ klas¦ dopuszczalnych homotopii, tzn. pewna klas¦ przeksztaª-

ce« ci¡gªych h : U × [0, 1] → E, gdzie U ⊂ E jest zbiorem otwartym, takich, »e dla dowolnego

h(·, t) ∈ F(U,E).

3.5.1 Definicja: Stopniem topologicznym nazywamy funkcj¦ deg : F → Z, której przysªuguj¡nast¦puj¡ce wªasno±ci:

(i) (Wªasno±¢ istnienia) Je±li (f, U) ∈ F , tzn. U ⊂ E oraz f ∈ F(U,E), oraz deg(f, U) 6= 0,to istnieje x ∈ U taki, »e f(x) = 0.

(ii) (Wªasno±¢ wycinania (lub lokalizacji)) Je±li (f, U) ∈ F , V ⊂ U oraz f(x) 6= 0 dla

x ∈ U \ V , to (fV , V ) ∈ F oraz deg(f, U) = deg(f |V , V ).(iii) (Wªasno±¢ addytywno±ci) Je±li (f, U) ∈ F , U = U1 ∪ U2, gdzie U1, U2 s¡ otwarte i roz-

ª¡czne, to (f |Ii , Ui) ∈ F dla i = 1, 2 i deg(f, U) = deg(f |U1 , U1) + deg(f |U2 , U2).(iv) (Wªasno±¢ niezmienniczo±ci homotopijnej) Je±li h : U × [0, 1] → E jest dopuszczaln¡

homotopi¡, to deg(h(·, 0), U) = deg(h(·, 1), U).(v) (Wªasno±¢ normalizacji) Dla dowolnego otwartego U ⊂ E, odwzorowanie identyczno-

±ciowe I(x) = x dla x ∈ U nale»y do klasy F(U,E) i deg(I, U) = 1 o ile 0 ∈ U oraz 0, gdy9 6∈ U .

Stopie« topologiczny pozwala w pewnym sensie zliczy¢ punkty w przeciwobrazie f−1(0)

Oczywi±cie nale»y te denicje skonkretyzowa¢, tj opisa¢ klas¦ F(U,E) dopuszczalnych od-

wzorowa« i ich dopuszczalnych homotopii, a tak»e skonstruowa¢ sam stopie«.


3.5.A Stopie« topologiczny Brouwera

Zakªadamy, »e E = Rn, n ∈ N. Dla dowolnego otwartego U ⊂ Rn klas¦ F(U,Rn) odwzorowa«

dopuszczalnych tworzy klasa wszystkich ci¡gªych przeksztaªce« f : U → Rn takich, »e f−1(0)jest zbiorem zwartym; klas¦ dopuszczalnych homotopii tworz¡ wszystkie ci¡gªe odwzorowania

h : U × [0, 1]→ Rn takie, »e zbiór x ∈ U | h(x, t) = 0 dla pewnego t ∈ [0, 1] jest zwarty.

3.5.2 Uwaga: Niekiedy (najcz¦±ciej) t¦ klas¦ okre±la si¦ nast¦puj¡co: rozwa»a si¦ tylko zbiory

U ⊂ Rn otwarte i ograniczone i wtedy F(U,Rn) oznacza klas¦ wszystkich odwzorowa« ci¡gªych

f : clU → Rn takich, »e f(x) 6= 0 dla x ∈ ∂U ; za± dopuszczalnymi homotopiami s¡ ci¡gªe

odwzorowania h : clU × [0, 1] → Rn takie, »e (x, t) 6= 0 dla x ∈ ∂U i t ∈ [0, 1]. Zauwa»my,

»e je±li U jest zbiorem otwartym i ograniczonym w Rn, f : clU → Rn jest funkcj¡ ci¡gª¡ i

f(x) 6= 0 dla x ∈ ∂U , to wówczas f−1(0) jest zawarty w U i zwarty (udowodni¢). Podobnie

je±li h : clU × [0, 1] → Rn i h(x, t) 6= 0 przy x ∈ ∂U i t ∈ [0, 1], to zbiór A := x ∈ U |h(x, t) = 0 dla pewnego t ∈ [0, 1] jest zwarty. Istotnie: rozwa»my xn ∈ A, n 1. Wtedy

istnieje tn ∈ [0, 1] taki, »e h(xn, tn) = 0. Ograniczono±¢ U implikuje i zwarto±¢ [0, 1], »e (z

dokªadno±ci¡ do podci¡gu), (xn, tn) → (x0, t0) ∈ clU . Z zaªo»enia wynika, »e x0 6∈ ∂U czyli

x0 ∈ U i, oczywi±cie h(x0, t0) = 0; zatem x0 ∈ A. Oznacza to, »e omawiana sytuacje jest mniej

ogólna od przytoczonej wy»ej. Nie mniej jednak jest przydatna ze wzgledów konstrukcji, któr¡

podamy

Niech U ⊂ Rn oraz f ∈ F(U,Rn), tzn. zakªadamy, »e f : U → Rn jest odwzorowaniem

ci¡gªym i f−1(0) jest zbiorem zwartym.

I krok: Zaªó»my dodatkowo, »e f jest klasy C1 i »e 0 jest warto±ci¡ regularn¡, tzn. je±li

f(x) = 0 (wtedy x ∈ U), to pochodna f ′(x) jest izomorzmem (a wi¦c det f ′(x) 6= 0). St¡dwynika, »e zbiór f−1(0) skªada si¦ z punktów izolowanych. Rzeczywi±cie je±li x ∈ f−1(0), tof ′(x) jest macierz¡ odwracaln¡, czyli z twierdzenia o lokalnym odwracaniu odwzorowa« f jest

lokalnie homeomorzmem, czyli w szczególno±ci w pewnym otoczeniu jest odwzorowaniem

ró»nowarto±ciowym. W otoczeniu tym nie ma innych przeciwobrazów zera. Z drugiej strony

f−1(0) jest zbiorem zwartym. Tak wi¦c jako zbiór zwarty skªadaj¡cy si¦ z punktów izolowanych,

f−1(0) jest zbiorem sko«czonym (by¢ mo»e pustym). Deniujemy

deg(f, U) :=∑

x∈f−1(0)

sgn det f ′(x).

II krok: Zaªó»my teraz, »e U jest otwartym zbiorem ograniczonym, f : clU → Rn jest klasy

C1 (tj. istnieje przedªu»enie f na pewne otwarte otoczenie zbioru clU , które jest klasy C1) i

niech f(x) 6= 0 dla x ∈ ∂U ; wtedy zbiór f−1(0) jest zwarty. Nie zakªadamy, »e 0 jest warto±ci¡

regularn¡.

B¦dziemy potrzebowali nast¦puj¡cego rezultatu.

3.5.3 Twierdzenie (Sarda) Je±li Ω ⊂ Rn jest zbiorem otwartym, f : Ω → Rn klasy Cp, C :=x ∈ Ω | f ′(x) = 0, to zbiór f(C) (jest to zbiór warto±ci krytycznych) ma miar¦ (Lebesgue'a)

zero, o ile n−m+ 1 ¬ p.

Twierdzenie Sarda implikuje w szczególno±ci, »e zbiór warto±ci regularnych jest g¦sty (sprawdzi¢,

»e zbiory miary zero s¡ zbiorami brzegowymi).

W naszej sytuacji (Ω = U , n = m, p = 1) widzimy, »e istnieje ci¡g (yk) w Rn taki, »e yk,

k 1, jest warto±ci¡ regularn¡ dla f i yk → 0.

wiczenie: Udowodni¢, »e dla du»ych k, zbiór f(x) 6= yk dla x ∈ ∂U .


Deniujemy

deg(f, U) := limk→∞

deg(gk, U),

gdzie gk(x) = f(x) − yk. Dla du»ych k, zbiór g−1k (0) jest zawarty w U i zwarty; ponadto 0 jest

warto±ci¡ regularn¡ dla gk. Zatem stopie« deg(gk, U) jest poprawnie zdeniowany jak w kroku I.

Podany wzór nale»y rozumie¢ nast¦puj¡co: dla dostatecznie du»ych k, deg(gk, U) nie zale»y od

k.

Krok III: Nadal zakªadamy, »e U jest zbiorem ograniczonym otwartym, za± f : clU → Rn

jest ci¡gªe i f(x) 6= 0 dla x ∈ ∂U . Na przykªad z twierdzenie Weierstrassa o aproksymacji wynika,

»e istnieje ci¡g fk : clU → Rn, k ∈ N, funkcji klasy C1 taki, »e fk ⇒ f (jednostajnie) na clU .Kªadziemy

deg(f, U) = limk→∞

deg(fk, U),

przy czym granic¦ nale»y rozumie¢ jak wy»ej.

3.5.4 Uwaga: Dowód poprawno±ci denicji podanej w kroku II i III nie jest ªatwy (chodzi o

pokazanie niezale»no±ci od wybory ci¡gów aproksymuj¡cych): pomijamy go.

Skonstruowany w kroku III stopie« ma wszystkie wªasno±ci wymienione wy»ej: wªasno±¢ ist-

nienia, addytywno±ci, homotopijnej niezmienniczo±ci, normalizacji oraz lokalizacji (wysªowienie

zostawiam czytelnikowi pami¦tamy o dodatkowych zaªo»eniach poczynionych w kroku III).

Wymie«my tylko wªasno±¢ lokalizacji: je±li V ⊂ U i f(x) 6= 0 dla x ∈ clU \ V , to f(x) 6= 0 dla

x ∈ ∂V i

deg(f, U) = deg(f |V , V ).

Krok IV: Pozbywamy si¦ dodatkowych zaªo»e«: U ⊂ Rn jest dowolnym zbiorem otwartym,

f : U → Rn jest odwzorowaniem ci¡gªym i zbiór f−1(0) jest zwarty.Niech V b¦dzie dowolnym zbiorem otwartym takim, »e

f−1 ⊂ V ⊂ clV ⊂ U

(czytelnik sprawdzi, »e taki zbiór istnieje) i kªadziemy

deg(f, U) = deg(f |V , V ).

Poprawno±¢ przyj¦tej denicji (niezale»no±¢ od wyboru V ) wynika ze wspomnianej w uwadze

3.5.4 wªasno±ci lokalizacji.

Skonstruowany w kroku IV stopie« ma wszystkie wªasno±ci (dowody, poza dowodem wªa-

sno±ci niezmienniczo±ci homotopijnej nie s¡ trudne mo»e to by¢ dobre ¢wiczenie). Stopie« ten

ma jeszcze dodatkowe wªasno±ci:

3.5.5 Twierdzenie: Przypu±¢my, »e U jest zbiorem ograniczonym otwartym, f : clU → Rn

jest odwzorowaniem ci¡gªym takim, »e f(x) 6= 0 dla x ∈ ∂U .(i) Je±li g : clU → Rn i g(x) = f(x) dla x ∈ ∂U , to deg(f, U) = deg(g, U).(ii) (Twierdzenie Borsuka) Je±li U jest symetrycznym otoczeniem zera (tzn. je±li x ∈ U ,

to −x ∈ U) oraz f(−x) = −f(x) dla dowolnego x ∈ ∂U , to deg(f, U) jest liczb¡ nieparzyst¡.

(iii) (Niezmienniczo±¢ ze wzgl¦du na homeomorzmy) Niech

Dowód: Pierwsza cz¦±¢ jest ªatwa: odwzorowania f i g s¡ homotopijne poprzez homotopi¦ h :clU × [0, 1] → Rn dan¡ wzorem h(x, t) = (1 − t)f(x) + tg(x), x ∈ clU , t ∈ [0, 1] (jest to tzw.

homotopia liniowa). Oczywi±cie, dl x ∈ ∂U , h(x, t) = f(x) = g(x) 6= x przy dowolnym t ∈ [0, 1].


Zatem zbiór x ∈ U | h(x, t) = 0 dla pewnego t ∈ [0, 1] jest zwarty. Podana równo±¢ wynika z

niezmienniczo±ci homotopijnej stopnia. Dowód drugiej cz¦±ci jest do±¢ trudne.

W pewnych sytuacjach stopie« sªu»y do klasykacji homotopijnej odwzorowa«.

3.5.6 Twierdzenie (Hopfa): Odwzorowania f, g : Dn(0, r)→ Rn takie, »e f(x) 6= 0 6= g(x) dla

x ∈ Sn−1(0, r) (tzn. brzegu kuli Dn(0, r)) s¡ homotopijne (poprzez dopuszczaln¡ homotopi¦) wtedy

i tylko, gdy deg(f,Bn(0, r)) = deg(g,Bn(0, r)). Twierdzenie pozostaje prawdziwe, gdy zast¡pi¢

kule Bn(0, r) dowolnym zbiorem otwartym i wypukªym.

Dowód: Konieczno±¢ wynika z aksjomatu homotopijnej niezmienniczo±ci; dowód dostateczno±ci

jest trudny.

3.5.7 Uwaga: Rozwa»amy R2 (uto»samiaj¡c z C) i odwzorowania f : D2(0, r) 3 z 7→ zk ∈ R2,

k 0 (pot¦gowanie liczb zespolonych). Wtedy deg(f,B2(0, r)) = k. Analogicznie odwzorowanie

f(z) := z−k, gdzie k 1, ma stopie« deg(f,B2(0, r)) = −k. W ±wietle tej uwagi wida¢, »e dla

n 2 stopie« mo»e przyjmowa¢ wszystkie warto±ci caªkowite.

Wymie«my jeszcze jedn¡ wªasno±¢ stopnia

3.5.8 Lemat: Niech f : U → Rn, gdzie U ⊂ Rn jest zbiorem otwartym, b¦dzie odwzorowaniem

ci¡gªym takim, ze zbiór f−1(0) jest zwarty. Je»eli h : Rn → Rn jest (liniowym) izomorzmem, to

deg(f, U) = deg(h f h−1|h(U)).

Dowód Poªó»my V := h(U) i niech g := h f h−1|V : V → Rn. Jest jasne, »e odwzorowanie g

jest ci¡gªe oraz g(y) 6= 0 dla y ∈ ∂V . Zatem stopie« deg(g, V ) jest poprawnie zdeniowany.Dowód równo±ci deg(f, U) = deg(g, V ) podamy przy zaªo»eniu, »e odwzorowanie f jest klasy

C1 i 0 jest warto±ci¡ regularn¡ dla f . Oczywi±cie g jest klasy C1. Niech x1, ..., xm = f−1(0).Wtedy g−1(0) = y1, ..., ym, gdzie yi := h(xi). Zauwa»my, »e dla ka»dego i = 1, ...,m,

g′(yi) = h f ′(xi) h−1.

Dowodzi to, »e 0 jest warto±ci¡ regularn¡ dla g. Ponadto, dla ka»dego i = 1, ...,m, sgn det f ′(xi) =sgn det g′(yi). Zatem

deg(f, U) =∑

x∈f−1(0)

sgn det f ′(x) =∑

y∈g−1(0)

sgn det g′(y) = deg(g, V ).

3.5.9 Lemat: Je±li f : U → Rn, gdzie U ⊂ Rn jest otwarty, f−1(0) jest zwarty, to deg(−f, U) =(−1)ndeg(f, U).

Niech teraz E b¦dzie sko«czenie wymiarow¡ przestrzeni¡ unormowan¡, dim E = n, U ⊂ Ezbiorem otwartym i f : U → E odwzorowaniem ci¡gªym takim, »e f(x) 6= 0 dla x ∈ ∂U .

Niech ϕ : E → Rn b¦dzie dowolnym izomorzmem liniowym Rozwa»my zbiór V := ϕ(U) oraz

odwzorowanie g : V → Rn zadane wzorem

g(z) := ϕ f ϕ−1|V (z), x ∈ V.

Odwzorowanie g jest ci¡gªe i g(z) 6= 0 dla z ∈ ∂V . Zdeniujmy

deg(f, U) := deg(g, V ).

Denicja ta jest poprawna, gdy» je»eli ψ : E→ Rn jest innym izomorzmem, to

ϕ f ϕ−1|ϕ(U) = ϕ ψ−1 ψ f ψ−1 ψ ϕ−1|ϕ(U) = h ψ f ψ−1 h−1|ϕ(U)),


gdzie h := ϕψ−1. Zauwa»my, ze h jest izomorzmem liniowym i ϕ(U) = h(ψ(U)). Z powy»szego

lematu

deg(ϕ f ϕ−1|ϕ(U), ϕ(U)) = deg(ψ f ψ−1, ψ(U)).

B¦dziemy jeszcze potrzebowa¢ innego lematu, który podamy bez dowodu.

3.5.10 Lemat (Wªasno±¢ redukcji): Przypu±¢my, »e E jest sko«czenie wymiarow¡ przestrzeni¡

unormowan¡, F jej podprzestrzeni¡ I U ⊂ E zbiór otwarty taki, »e U ′ := U ∩ F 6= ∅. Je»elif : U → E jest postaci

f(x) = x− g(x), x ∈ U,

gdzie g : U → F, to deg(f, U) = deg(f |U ′ , U ′).

W dalszym ci¡gu skonstruowany stopie« topologiczny deg(f, U), gdzie U jest otwartym pod-

zbiorem sko«czenie wymiarowej przestrzeni unormowanej E, za± f : U → E jest odwzorowaniem

ci¡gªym takim, »e zbiór f−1(0) jest zwarty, nazwiemy stopniem Brouwera i b¦dziemy go ozna-

cza¢ degB (dla odró»nienia ze stopniem Leraya-Schaudera, którego denicj¦ podamy nast¦pnym

podrozdziale).

Jest jasne, »e stopie« Brouwera dziedziczy wszystkie wªasno±ci wymienione wy»ej.

3.5.B Stopie« topologiczny Leraya-Schaudera

Niech E b¦dzie dowoln¡ przestrzeni¡ unormowan¡. Zakªadamy, »e dla dowolnego otwartego U ⊂E, F(U,E) oznacza klas¦ odwzorowa« ci¡gªych postaci f(x) = x−F (x), x ∈ U , gdzie F : U → Ejest odwzorowaniem peªnoci¡gªym, tzn. takim, »e dla ka»dego ograniczonego zbioru B ⊂ U , zbiórF (B) jest wzgl¦dnie zwarty, oraz zbiór f−1(0) jest zwarty. Zauwa»my, »e

f−1(0) = Fix (F ).

Mówi si¦, »e f jest peªnoci¡gªym zaburzeniem identyczno±ci lub polem peªnoci¡gªym lub te» polem

zwartym (8); dla uªatwienia notacji odwzorowanie U 3 x→ x ∈ Rn oznaczamy symbolem I.

Obecnie zdeniujemy stopie« topologiczny dla odwzorowa« z rozwa»anej klasy F peªnoci¡-

gªych zaburze« identyczno±ci.

Przypu±¢my przez chwil¦, »e zbiór U jest ograniczony, za± f = I − F zdeniowane jest na

zbiorze clU i F (x) 6= x dla x ∈ ∂U . Wówczas (podobnie jak poprzednio) zbiór f−1(0) = Fix (F )jest zwarty.

3.5.11 Lemat: Istnieje ε > 0 takie, »e

infx∈∂U

‖x− F (x)‖ ε.

Dowód: Rzeczywi±cie, w przeciwnym razie, dla ka»dego n ∈ N, istnieje xn ∈ ∂U takie, »e

‖xn − F (xn)‖ < 1n . Odwzorowanie F : clU → E jest zwarte (zbiór U jest ograniczony), zatem

ci¡g (yn), gdzie yn := F (xn), n ∈ N, jest (z dokªadno±ci¡ do podci¡gu) zbie»ny do y0 ∈ E. Zatemrównie» xn → y0. St¡d, z domkni¦to±ci ∂U i z ci¡gªo±ci F wynika, y0 ∈ ∂U oraz F (y0) = y0:

sprzeczne bo Fix (F ) ∩ ∂U = ∅.

8Pzypomnijmy, »e ka»de odwzorowanie zwarte jest peªnoci¡gªe i, »e niektórzy autorzy u»ywaj¡ innej denicjizwarto±ci odwzorowania.


Zgodnie z twierdzeniem o rzucie Schaudera istnieje odwzorowanie Fε : clU → E takie, »e

‖F (x)−Fε(x)‖ < ε/2 dla x ∈ clU oraz (clU) zawiera si¦ w pewnej sko«czenie wymiarowej pod-

przestrzeni X ⊂ E. Bez zmniejszenia ogólno±ci (ewentualnie powi¦kszaj¡c X) mo»na zaªo»y¢,

»e U ∩X 6= ∅.Zauwa»my, »e dla x ∈ ∂U , Fε(x) 6= x. Istotnie, je±li x ∈ ∂U i x = Fε(x), to ‖x−F (x)‖ < ε/2:

sprzeczno±¢. Wobec tego Fix (Fε) ∩ ∂U =6= ∅, Dowodzi to, »e zbiór Fix (Fε) jest zwarty. Niech

fε : clU → E dane b¦dzie wzorem

fε(x) = x− Fε(x), x ∈ clU.

Przeprowadzone rozumowanie pokazuje, »e zdeniowany jest stopie« Brouwera degB(fε|U∩X , U∩X).

3.5.12 Definicja: Stopniem Leraya-Schaudera peªnoci¡gªego pola f = I − F nazywamy liczb¦

degLS(f, U) := degB(fε|U∩X , U ∩X).

Trzeba sprawdzi¢ poprawno±¢ tej denicji tzn. jej niezale»no±¢ od wszystkich pomocniczych

obiektów, które si¦ tam pojawiªy. Uczynimy to za jednym zamachem: przypu±¢my mianowicie,

»e G : clU → E jest innym odwzorowaniem takim, »e ‖F (x) − G(x)‖ < ε/2 oraz G(clU) ⊂ Y ,

gdzie Y jest sko«czenie wymiarow¡ podprzestrzeni¡ w E tak¡, »e U ∩ Y 6= ∅. Niech g(x) :=x−G(x) dla x ∈ clU . Mamy udowodni¢, »e

degB(fε|U∩X , U ∩X) = degB(g|U∩Y , U ∩ Y ). (3.5.1)

Nietrudno dostrzec, »e bez zmniejszenia ogólno±ci mo»na zaªo»y¢, »e X ⊂ Y . Z wªasno±ci

redukcji (lemat 3.5.10) wynika, »e

degB(fε|U∩X , U ∩X) = degB(fε|U∩Y , U ∩ Y ). (3.5.2)

Rozwa»my odwzorowanie h : clU × [0, 1]→ E dane wzorem

h(x, t) = (1− t)fε(x) + tg(x), x ∈ clU.

Jest jasne, »e h(x, t) = x−H(x, t), gdzie H(x, t) = (1− t)Fε(x) + tG(x) dla x ∈ clU i t ∈ [0, 1].Przypu±¢my, »e x ∈ ∂U i h(x, t) = x dla pewnego t ∈ [0, 1]. Wtedy x = (1− t)Fε(x) + tG(x) oraz

ε ¬ ‖F (x)− z‖ = (1− t)|F (x)− Fε(x)‖+ t‖F (x)−G(x)‖ < ε :

sprzeczno±¢. Dowodzi to, »e zbiór x ∈ U | 0 = h(x, t) dla pewnego t ∈ [0, 1] jest zwarty.

PonadtoH|U∩Y ⊂ Y oraz h(x, 0) = fε(x) i h(x, 1) = g(x) dla x ∈ U∩Y . Zatem z niezmienniczo±ci

homotopijnej stopnia Brouwera wynika, »e

degB(fε|U∩Y , U∩Y ) = degB(h(·, 0)|U∩Y , U∩Y ) = degB(h(·, 1)|U∩Y , U∩Y ) = deg(g|U∩Y , U∩Y ).

To wraz z równo±ci¡ (3.5.2) dowodzi (3.5.1) i ko«czy dowód poprawno±ci przyj¦tej denicji.

Zdeniowany stopie« Leraya-Schaudera dla pól zwartych okre±lonych na domkni¦ciach otwar-

tych ograniczonych podzbiorów przestrzeni unormowanej E ma wszystkie wªasno±ci wymienione

na pocz¡tku rozdziaªu: istnienia, lokalizacji, addytywno±ci, homotopijnej niezmienniczo±ci i nor-

malizacji.


W szczególno±ci przypomnijmy wªasno±¢ lokalizacji: je±li f : clU → E jest polem zwartym

(tj. postaci f = I − F , gdzie F : clU → E jest odwzorowaniem zwartym), U jest zbiorem otwar-

tym i ograniczonym, V ⊂ U jest zbiorem otwartym taki, »e 0 6= f(x) dla x ∈ clV \V , to f(x) 6= 0dla x ∈ ∂U ∪ ∂V i degLS(f, U) = degLS(f |V , V ).

Niech U ⊂ E b¦dzie zbiorem otwartym, f : U → E polem peªnoci¡gªym (tj. odwzorowaniem

postaci f = I − F , gdzie F : U → E jest peªnoci¡gªe) takim, »e zbiór f−1(0) = Fix (F ) jest

zwarty. Deniujemy

degLS(f, U) := degLS(f |V , V ),

gdzie V jest dowolnym otwartym zbiorem ograniczonym takim, »e Fix (F ) ⊂ V ⊂ clV ⊂ U.

Wspomniana wy»ej wªasno±¢ lokalizacji implikuje, »e ta denicja jest poprawna, tzn. nie zale»y

od wyboru zbioru V . Otrzymany stopie« nazywamy stopniem topologicznym Leraya-Schaudera.

3.5.13 Uwaga: Niekiedy okre±la si¦ indeks punktów staªych odwzorowania peªnoci¡gªego F :U → E, gdzie U ⊂ E jest otwarty, takiego, »e Fix (F ) jest zwarty wzorem

indLS(F,U) := degLS(I − F,U).

Obecnie sformuªujemy twierdzenie, które gromadzi wªasno±ci wszystkie wªasno±ci stopnia

Leraya-Schaudera.

3.5.14 Twierdzenie: Przypu±¢my, »e U ⊂ E jest zbiorem otwartym, F : U → E odwzorowaniem

peªnoci¡gªym taki, »e zbiór Fix (F ) jest zwarty. Wówczas:

(i) (Wªasno±¢ istnienia): je±li indLS(F,U) 6= 0, to Fix (F ) 6= ∅, tzn. istnieje x0 ∈ U taki, »e

F (x0) = x0;

(ii) (Wªasno±¢ lokalizacji lub wycinania): Je»eli V ⊂ U jest zbiorem otwartym i Fix (F ) ⊂ V ,to indLS(F,U) = indLS(F |V , V );

(iii) (Wªasno±¢ addytywno±ci): je±li U = U1 ∪ U2, gdzie U1, U2 s¡ rozª¡cznymi zbiorami

otwartymi, to indLS(F,U) = indLS(F |U1 , U1) + indLS(F |U2 , U2);(iv) (Wªasno±¢ redukcji): je±li F (U) ⊂ F, gdzie F jest domkni¦t¡ podprzestrzeni¡ E i V :=

U ∩ F 6= ∅, to indLS(F,U) = indLS(F |V , V ).Ponadto stopie« Leraya-Schaudera ma nast¦puj¡c¡ wªasno±¢ niezmienniczo±ci homotopijnej:

je»eli H : U × [0, 1] → E jest odwzorowaniem peªnoci¡gªym i zbiór A := x ∈ U | H(x, t) =x dla pewnego t ∈ [0, 1] jest zwarty, to dla dowolnego t ∈ [0, 1], indeks indLS(H(·, t), U) jest

okre±lony i nie zale»y od t; zatem w szczególno±ci indLS(H(·, 0), U) = indLS(H(·, 1), U).Odnotujmy te» wªasno±¢ normalizacji: degLS(I, U) = 1, gdy 0 ∈ U i 0, gdy 0 6= U .

Dowód: wynika prawie natychmiast z denicji i odpowiednich wªasno±ci stopnia Brouwera. Dla

przykªadu poka»emy wªasno±ci istnienia i homotopijnej niezmienniczo±ci.

Przypu±¢my, »e indLS(F,U) = degLS(f, U) 6= 0, gdzie f = I − F . Istnieje zbiór otwarty

i ograniczony V ⊂ E taki, »e Fix (F ) ⊂ V ⊂ clV ⊂ U . Zaªó»my nie wprost, »e Fix (F ) = ∅.Zatem ε := infx∈clV ‖x−F (x)‖ > 0 (sprawdzi¢). Tak jak w konstrukcji istnieje odwzorowanie G :clV → E przyjmuj¡ce warto±ci w przestrzeni sko«czenie wymiarowej X ⊂ E (mo»emy zaªo»y¢,

»e V ∩X 6= ∅) takie, »e ‖F (x)−G(x)‖ < ε/2 dla x ∈ clV . Zauwa»my, »e infx∈∂V ‖x−F (x)‖ ε.St¡d

0 6= degLS(I − F ) = degB(g|V ∩X , V ∩X),

gdzie g := I −G. Wobec wªasno±ci istnienia dla stopnia Brouwera istnieje x0 ∈ V ∩X takie, »e

g(x0) = 0, tzn. x0 = G(x0). zatem

ε ‖F (x0)− x0‖ = ‖F (x0)−G(x0)‖ < ε/2 :


sprzeczno±¢.

Niech H : U × [0, 1] → E speªnia podane zaªo»enia. Ponownie istnieje zbiór otwarty i ogra-

niczony V ⊂ U i taki, »e A ⊂ V ⊂ clV ⊂ U . Wówczas

ε := infx∈∂V, t∈[0,1]

‖H(x, t)− x‖ > 0.

Pami¦taj¡c o ograniczono±ci clV × [0, 1] i peªnoci¡gªo±ci H widzimy, »e H|clV×[0,1] jest odwzoro-

waniem zwartym. Zatem korzystaj¡c z twierdzenie o rzucie Schaudera znajdziemy odwzorowanie

G : clV × [0, 1] → E przyjmuj¡ce warto±ci w sko«czenie wymiarowej podprzestrzeni X ⊂ E i

takie, »e ‖H(x, t)−G(x, t)‖ < ε/2 dla x ∈ clV i t ∈ [0, 1].Jest jasne, »e dla ustalonego t ∈ [0, 1],

infx∈∂V

‖H(x, t)− x‖ ε oraz ‖H(x, t)−G(x, t)‖ < ε dla x ∈ clV.

Zatem stopie« degLS(I −H(·, t), U) jest okre±lony i

indLS(H(·, t), U) = degLS(I −H(·, t), U) = degB(g(·, t)|V ∩X , V ∩X),

gdzie g(x, t) = x − G(x, t) dla x ∈ clV , t ∈ [0, 1]. Wªasno±¢ homotopii dla stopnia Brouwera

implikuje tez¦.

Pozostaªe wªasno±ci stopnia Leraya-Schaudera mo»na udowodni¢ podobnie.

Analogicznie mamy dodatkowe wªasno±ci

3.5.15 Twierdzenie: Zaªó»my, »e U ⊂ E jest zbiorem otwartym i ograniczonym, F,G : clU →E s¡ odwzorowaniami zwartymi i F (x) = G(x) 6= x dla x ∈ ∂U . Wówczas indLS(F,U) =indLS(G,U).

(Twierdzenie Borsuka): Je±li dodatkowo U jest symetrycznym otoczeniem zera oraz F jest

nieparzyste na ∂U , tzn. F (−x) = −F (x) dla x ∈ ∂U , to indLS(F,U) jest liczb¡ nieparzyst¡.

Dowód: Twierdzenie jest natychmiastow¡ konsekwencj¡ twierdzenia 3.5.5. Dla porz¡dku spraw-

dzimy cz¦±¢ drug¡. Przede wszystkim mo»na zaªo»y¢, »e F (−x) = −F (x) dla dowolnego x ∈ clU .Je±li bowiem tak nie jest to rozwa»amy F (x) = 1

2(F (x) − F (−x)). Wówczas F (x) = F (x) dla

x ∈ ∂U i F (−x) = −F (x) dla wszystkich x ∈ clU . Z pierwszej cz¦±ci twierdzenia indLs(F,U) =indLS(F , U).

Wybieramy odwzorowanie G : clU → E przyjmuj¡ce warto±ci w przestrzeni sko«czenie

wymiarowej X ⊂ E i takie, »e ‖F (x) − G(x)‖ < ε/2, gdzie ε := infx∈∂U ‖x − F (x)‖. Wtedy

indLS(F,U) = degB(g|U∩X , U ∩X).Jest jasne, »e U ∩X jest symetrycznym otoczeniem zera (w X), lecz G (oraz g) nie musi a

priori by¢ nieparzyste na ∂(U ∩ X) ⊂ ∂U ∩ X. Niech G(x) = 12(G(x) − G(−x)) dla x ∈ clU .

Wtedy G(−x) = −G(x) dla dowolnego x ∈ clU oraz

‖F (x)−G(x)‖ =12‖(F (x)−F (−x))−(G(x)−G(−x))‖ < 1

2(‖F (x)−G(x)‖+‖F (−x)−G(−x)‖) < ε/2.

Wobec tego (niezale»no±¢ stopnia Leray-Schaudera od wybory aproksymacji) degB(g|U∩X , U) =degB(g|U∩X , U∩X), gdzie g = I−G. Twierdzenie Borsuka 3.5.5 implikuje, »e degB(g|U∩X , U∩X)jest liczb¡ nieparzyst¡.

Twierdzenie Hopfa ma swój odpowiednik dla stopnia Leraya-Schaudera.

3.5.16 Twierdzenie: Zaªó»my, »e U ⊂ E jest zbiorem wypukªym, ograniczonym i otwartym,

F,G : clU → E s¡ odwzorowaniami zwartymi bez punktów staªych na ∂U . Wówczas F , G s¡


homotopijne (tzn. istnieje zwarte odwzorowanie H : clU × [0, 1] → E takie, »e H(·, 0) = F

i H(·, 1) = G i H(x, t) 6= x dla x ∈ ∂U , t ∈ [0, 1]) wtedy i tylko wtedy, gdy indLS(F,U) =indLS(G,U).

Dowód: Konieczno±¢ wynika z aksjomatu homotopii.

Udowodnimy dostateczno±¢: zakªadamy, »e indLS(F,U) = indLS(G,U). Jak zwykle bez

zmniejszenia ogólno±ci mo»na zakªada¢, »e odwzorowania F,G s¡ sko«czenie wymiarowe, tzn.

istnieje sko«czenie wymiarowa podprzestrze« X ⊂ E taka, »e F (clU), G(clU) ⊂ X oraz U ∩X 6=∅. Z denicji indeksu (stopnia) Leraya-Schaudera wynika, »e

degB(f |U∩X , U ∩X) = degB(g|U∩X , I ∩X),

gdzie f = I − F i g = I − G. Zatem istnieje ci¡gªe odwzorowanie h : cl (U ∩ X) × [0, 1] → X

(tutaj cl (U ∩ X) oznacza domkni¦cie zbioru U ∩ X w przestrzeni X) takie, »e h(x, 0) = f(x),h(x, 1) = g(x) i h(x, t) 6= 0 dla dowolnego x ∈ ∂U i t ∈ [0, 1].

Zauwa»my jeszcze, »e cl (U ∩X) = clU ∩X (koniecznie sprawdzi¢).

Niech H ′ : (clU ∩X)× [0, 1]→ X dane b¦dzie wzorem H ′(x, t) = x−h(x, t) dla x ∈ clU ∩Xi t ∈ [0, 1]. atwo zobaczy¢, »e H ′ jest odwzorowaniem zwartym. Wreszcie mamy odwzorowanie

H ′′ : clU × 0, 1 ∪ (clU ∩X)× [0, 1]→ X zadane wzorem

H ′′(x, t) :=

F (x) gdy x ∈ clU, t = 0;H ′(x, t) gdy x ∈ clU ∩X, t ∈ [0, 1]G(x) gdy x ∈ clU, t = 1.

Odwzorowanie H ′′ jest poprawnie okre±lone i zwarte, za± jego dziedzina clU×0, 1∪(clU∩X)×[0, 1] jest domkni¦tym podzbiorem zbioru clU × [0, 1]. Wykorzystamy nast¦puj¡ce twierdzenie o

przedªu»aniu:

3.5.17 Lemat: Niech X b¦dzie przestrzeni¡ normaln¡, a A ⊂ X zbiorem domkni¦tym. Je±li

F : A → E, gdzie E jest przestrzeni¡ unormowan¡, jest odwzorowaniem zwartym, to istnieje

odwzorowanie zwarte F : X → E takie, »e F |A = F .

Z tego twierdzenia wynika, »e istnieje odwzorowanie H : clU × [0, 1]→ X b¦d¡ce przedªu»e-

niem H ′′. Wówczas H(·, 0) = F , H(·, 1) = G. Przypu±¢my, »e H(x, t) = x dla pewnych x ∈ ∂Ui t ∈ [0, 1]. Wtedy x ∈ ∂U ∩X ⊂ clU ∩X, zatem x = H(x, t) = H ′(x, t); a zatem h(x, t) = 0:sprzeczne.

3.5.18 Twierdzenie: Niech F : clU → E, gdzie U jest zbiorem otwartym i ograniczonym,

i Fix (F ) ∩ ∂U = ∅ (zatem F ∈ K∂U (clU,E)). Je±li F jest nieistotne (wzgl¦dem ∂U), to

indLS(F,U) = 0.Je»eli U jest dodatkowo zbiorem wypukªym, to ma miejsce implikacja odwrotna.

Dowód: Skoro F jest nieistotne, to istnieje G : U → E takie, ze G|∂U = F |∂U i Fix (G)∅.Z pierwszej cz¦±ci twierdzenia 3.5.15 wynika, »e indLS(F,U) = indLS(G,U), za± z wªasno±ci

istnienia wynika, »e indLS(G,U) = 0.Przypu±¢my teraz, »e zbiór U jest wypukªy i indLS(F,U) = 0. Wybierzmy punkt p 6∈ U

i rozwa»my odwzorowanie G(x) := p dla dowolnego x ∈ clU . Jest jasne, »e ind(G,U) = 0.Z twierdzenia 3.5.16 istnieje zwarta homotopia H : clU × [0, 1] → E taka, »e H(·, 0) = F ,

H(·, 1) = G i H(x, t) 6= x dla x ∈ ∂U , t ∈ [0, 1]. Z twierdzenia 3.4.6 F jest odwzorowaniem

nieistotnym.

Rozdział 4Dodatek

4.1 Widmo operatora

Niech E b¦dzie przestrzeni¡ Banacha nad ciaªem K (K = R lub C) i niech T : D(T )→ E, gdzieD(T ) jest podprzestrzeni¡ liniow¡ w E, b¦dzie domkni¦tym operatorem liniowym, tzn. wykres

G(T ) := (x, y) ∈ D(T ) × E | y ∈ Tx jest zbiorem domkni¦tym w E × E. Zauwa»my, »e je±li

D(T ) = E, to z twierdzenia Banacha o domkni¦tym wykresie wynika, »e T jest operatorem

ograniczonym, tj. ci¡gªym. Na odwrót je±li operator T jest ci¡gªy i jego dziedzina D(T ) jest

domkni¦ta (na podprzestrzeni rozwa»amy norm¦ odziedziczon¡ z E; jest ona wtedy przestrzeni¡Banacha), to wykres jest domkni¦ty. Nas b¦dzie interesowa¢ sytuacja, gdy D(T ) ⊂ E.

Zbiorem rezolwenty operatora T nazywamy zbiór takich skalarów λ ∈ K, »e operator T − λIjest bijekcj¡ na E. Wtedy te» operator odwrotny R(λ;T ) := (T − λI)−1 okre±lony jest na E (o

warto±ciach wD(T )). Zauwa»my, »e wówczas (λ;T ) jest ci¡gªy (to ponownie wynika z twierdzeniao domkni¦tym wykresie) (gdyby nie zakªada¢, »e operator jest domkni¦ty, to deniuj¡c λ ∈ ρ(T )trzeba »¡da¢, »e T−λI jest bijekcj¡ o ci¡gªej odwrotno±ci). Zbiór rezolwenty oznacza si¦ symbolem

ρ(T ).

Widmem operatora T jest zbiór

σ(T ) := K \ ρ(T ).

Powstaje pytanie: kiedy λ ∈ σ(T ), tzn. λ 6∈ ρ(T )? Zaªó»my, »e λ ∈ σ(T ). Wówczas mo»liwe s¡

przypadki:

1. Operator T − λI nie jest injekcj¡, tzn. j¡dro N (T − λI) 6= 0. Wówczas mówi si¦, »e λ

jest warto±ci¡ wªasn¡ operatora T (piszemy wtedy λ ∈ σp(T ); zbiór σp(T ) nazywa si¦ widmem

punktowym), za± dowolny wektor x 6= 0 taki, »e Tx = λx jest wektorem wªasnym. Wtedy te»

przestrze« (domkni¦t¡)

Vλ := N (T − λI)

nazywa si¦ przestrzeni¡ wªasn¡ odpowiadaj¡c¡ warto±ci wªasnej λ. Liczb¦ ng(λ;T ) := dimVλnazywa si¦ goemetryczn¡ krotno±ci¡ warto±ci wªasnej λ.

4.1.1 Uwaga: Przypu±¢my, »e λ nie jest warto±ci¡ wªasn¡, obraz R(T − λI) jest g¦sty w E i

(poprawnie okre±lony na R(T − λI)) operator S := (T − λI)−1 jest ci¡gªy (oczywi±cie ponownie

na R(T −λI) mamy norm¦ z E; wraz z ni¡ R(T −λI) jest przestrzeni¡ unormowan¡). Wówczas

S ma rozszerzenie S na caª¡ przestrze« E wg. wzoru: dla y ∈ E,

Sy = limn→∞

Syn,

4.1. Widmo operatora 79

gdzie yn ∈ R(T −λ) oraz y = limn→∞ yn. Taki wzór poprawnie deniuje operator S (tj. denicja

nie zale»y od wyboru ci¡gu (yn) ⊂ E). Niech y ∈ E i yn → y, gdzie yn ∈ E, n 1. Wtedy

(Syn, yn) ∈ G(T − λI). Jest jasne (wykorzystuj¡c domkni¦to±¢ G(T )), »e wykres G(T − λ) jest

zbiorem domkni¦tym; zatem (Sy, y) ∈ G(T − λI). Innymi sªowy S (okre±lony na E i ci¡gªy) jest

odwrotno±ci¡ T − λI, tzn. λ ∈ ρ(T ). Zatem, gdy λ ∈ σ(T ) nie jest warto±ci¡ wªasn¡ to nie mo»e

si¦ zdarzy¢, »e R(T −λI) jest zbiorem g¦stym, za± okre±lony tam operator (T −λI)−1 jest ci¡gªy.

2. Operator T jest injekcj¡ lecz nie jest surjekcj¡ (na E). Jak widzieli±my (patrz powy»sza uwaga)

mamy dwie mo»liwo±ci:

(i) R(T − λI) jest zbiorem g¦stym, lecz (T − λI)−1 nie jest ci¡gªy. Mówimy wtedy, »e λ jest

elementem widma ci¡gªego, które oznaczamy σc(T );(ii) obraz R(T − λI) nie jest g¦sty; wtedy λ jest elementem widma residualnego σr(T ).

Wobec powy»szego mamy rozkªad

σ(T ) = σp(T ) ∪ σc(T ) ∪ σr(T ).

4.1.2 Przykªad: Rozwa»my operator T : `1 → `1 zadany wzorem

T (x1, x2, ...) := (x2, x3, ...), x = (xi)∞i=1 ∈ `1.

Wówczas operator sprz¦»ony T ∗ : `∞ → `∞ dany jest wzorem

T ∗(y1, y2, ...) = (0, y1, y2, ...), y = (yi)∞i=1 ∈ `∞.

Mo»na pokaza¢, »e je±li |λ| > 1, to λ ∈ ρ(T ) i λ ∈ ρ(T ∗). zatem je±li λ ∈ σ(T ), to |λ| ¬ 1. Okazujesi¦, »e w istocie σ(T ) = σ(T ∗) = λ ∈ K | |λ| ¬ 1. Dokªadniej σp(T ) = λ ∈ K | |λ| < 1,σc(T ) = λ ∈ K | |λ| = 1 i σr(T ) = ∅. Natomiast σp(T ∗) = ∅, σc(T ∗) = ∅ i σr(T ∗) = λ ∈ Kmod |λ ¬ 1.

4.1.3 Fakt: (ii) Je±li T jest domkni¦tym operatorem w przestrzeni Banacha E. Wówczas zbiór

rezolwenty ρ(T ) jest otwartym podzbiorem K.

(ii) Ma miejsca tzw. równanie rezolwenty: Je±li λ, µ ∈ ρ(T ), to

R(λ;T )−R(µ;T ) = (µ− λ)R(λ;T )R(µ;T ).

(iii) Odwzorowanie ρ(T ) 3 λ 7→ R(λ;T ) ∈ L(E) jest odwzorowaniem ci¡gªym (a nawet

analityczne).

4.1.4 Fakt: Je»eli T ∈ L(E) (tzn. T jest wsz¦dzie okre±lonym operatorem ci¡gªym), to liczba

rσ(T ) := limn→∞

‖Tn‖1/n,

zwana promieniem spektralnym jest dobrze okre±lona i

rσ(T ) ¬ ‖T‖.

Dodatkowo supλ∈σ(T ) |λ| ¬ rσ(T ); je±li K = C, to zachodzi równo±¢. W szczególno±ci

σ(T ) ⊂ λ ∈ K | |λ| ¬ rσ ⊂ λ ∈ K | |λ| ¬ ‖T‖.

4.1.5 Fakt: Je±li ukªad λss∈S ⊂ σp(T ) skªada si¦ z ró»nych warto±ci wªasnych, xss∈S jest

rodzin¡ odpowiadaj¡cych im wektorów wªasnych (tzn. T (xs) = λsxs, s ∈ S), to ukªad xss∈Sjest liniowo niezale»ny.

80 4. Dodatek

Dowód: Niech xss∈H , gdzie H ⊂ S, b¦dzie maksymalnym podukªadem liniowo niezale»nym

(tj. xssinH tworzy baz¦ podprzestrzeni spanxs | s ∈ S) i zaªó»my, »e H ( S. Niech t ∈ S \H.

Wtedy istnieje jednoznacznie wyznaczony ukªad αss∈H skalarów taki, »e

xt =∑s∈H

αsxs,

w αs = 0 dla prawie wszystkich s ∈ H. Zatem

λt

(∑s∈H

αsxs

)= λtxt = T (xt) =

∑s∈H

λsαsxs.

Je±li λt = 0, to dla ka»dego s ∈ H, λs 6= 0. Zatem 0 =∑s∈H λsαsxs, przy czym w tej kombinacji

liniowej nie wszystkie wspóªczynniki s¡ równe zero. Przeczy to liniowej niezale»no±ci ukªady

xss∈H . Je±li λt 6= 0, to

xt =∑s∈S

λsλtαsxs.

Z jednoznaczno±ci reprezentacji xt wynika, »e przynajmniej dla jednego wska¹nika s ∈ H, λt =λs: sprzeczno±¢.

Przypadek rzeczywisty

Powy»ej mowa byªa o ogólnych przestrzeniach Banacha nad K i o operatorach liniowych T :D(T )→ E, D(T ) ⊂ E.

Obecnie przypu±¢my, »e E jest rzeczywist¡ przestrzeni¡ Banacha (tj. K = R). Kompleksy-

kacj¡ przestrzeni E nazwiemy zbiór EC wyra»e« formalnych postaci x + iy, gdzie x, y ∈ E. Wtym zbiorze wprowadzamy struktur¦ przestrzeni liniowej nad C w nast¦puj¡cy sposób:

(x+ iy) + (x′ + iy′) := (x+ x′) + i(y + y′)

oraz dla z = αiβ ∈ C,z(x+ iy) := (αx− βy) + i(αy + βx).

atwo zobaczy¢, »e wraz z tymi dziaªaniami EC jest przestrzeni¡ liniow¡ nad C.Nast¦pnie wprowadzamy norm¦ w EC: dla x+ iy ∈ EC ,

‖x+ iy‖ := supθ∈[−π,π]

‖ sin θx+ cos θy‖.

atwo sprawdzi¢, »e jest to istotnie norma banachowska w EC.

Jest jasne, »e E mo»na interpretowa¢ jako podprzestrze« w EC: mianowicie x ∈ E uto»sa-

miamy z elementem x+ i0

Je»eli E jest przestrzeni¡ Hilberta z iloczynem skalarnym 〈·, ·〉 i ‖x‖2 = 〈x, x〉 dla x ∈ E, todeniujemy (zespolony) iloczyn skalarny (1): dla x+ iy, x′ + iy′ ∈ EC,

〈x+ iy, x′ + iy′〉 := 〈x, x′〉+ 〈y, y′〉+ i(〈y, x′〉 − 〈x, y′〉).

oraz norm¦

‖x+ iy‖2 = 〈x+ iy, x+ iy〉 = ‖x‖2 + ‖y‖2.1Pami¦tajmy o ró»nicach mi¦dzy rzeczywistym i zespolonym iloczynie skalarnym.


Taka norma jest równowa»na wprowadzonej powy»ej. Zatem EC jest równie» przestrzeni¡ Hil-

berta.

Je±li dimR E = n oraz ukªad (e1, ..., en) tworzy (uporz¡dkowan¡) baz¦ w E, to ukªad (e1 +ie1, ..., en + ien) tworzy baz¦ EC (nad C), tzn. dimR E = dimC EC (udowodni¢).

Zaªó»my, »e T : D(T ) → E jest operatorem liniowym. Deniujemy jego kompleksykacj¦

TC : D(TC)→ EC , gdzieD(TC) := x+ iy ∈ EC | x, y ∈ D(T )

oraz

TC(x+ iy) := Tx+ iTy, x+ iy ∈ D(TC).

atwo zobaczy¢, »e je±li operator T jest g¦sto okre±lony (odp. domkni¦ty), to TC jest równie»

g¦sto okre±lony (odp. domkni¦ty).

Je±li T ∈ L(E), to TC ∈ L(EC) oraz ‖TC‖ = ‖T‖. Ponadto, je±li operator T jest zwarty, to

równie» jest zwarty.

W poprzednim paragrae okre±lili±my poj¦cie zbioru rezolwenty i widma dla T (przyjmuj¡c

K = R). Obecnie podamy denicj¦ zespolonego zbioru rezolwenty. Otó»

ρC(T ) := ρ(TC).

Tak wi¦c

ρC(T ) := λ ∈ C | TC − λI jest bijekcj¡ na EC, (T − λI)−1 ∈ L(EC).

Zauwa»my, »e

ρ(T ) = ρC(T ) ∩ R,

tzn. je±li z = α+ iβ ∈ ρC(T ) i β = 0, to α ∈ ρ(T ).Je±li λ ∈ ρ(T ), to λ ∈ ρC(T ) i

R(λ;TC) = R(λ;T )C.

Widmem zespolonym operatora T nazywamy zbiór

σC(T ) := C \ ρC(T ).

A wi¦c

σC(T ) = σ(TC).

Oczywi±cie σC(T ) ∩ R = σ(T ).Analogicznie jak dla σ(T ) mo»na klasykowa¢ elementy widma zespolonego. W szczególno±ci

λ ∈ C zespolon¡ warto±ci¡ wªasn¡ operatora T , je»eli istnieje tzw. zespolony wektor wªasny

0 6= z = x + iy ∈ EC taki, »e TC(z) = λz. Zauwa»my, »e je±li x ∈ σ(T ) jest wektorem wªasnym

odpowiadaj¡cym warto±ci wªasnej λ ∈ R, to z = x + ix jest zespolonym wektorem wªasnym

odpowiadaj¡cym (zespolonej) warto±ci wªasnej λ+ i0.

Ma miejsce relacja

(E∗)C = (EC)∗,

któr¡ nale»y rozumie¢ nast¦puj¡co: funkcja ϕ : EC → C jest funkcjonaªem liniowym i ci¡gªym

wtedy i tylko wtedy, gdy jest postaci p+ iq, gdzie p, q ∈ E∗, która dziaªa w sposób nast¦puj¡cy

(p+ iq)(x+ iy) = p(x)− q(y) + i(q(x)− p(y)), x+ iy ∈ EC.

82 4. Dodatek

atwo sprawdzi¢, »e (p+ iq) ∈ (EC)∗. Na odwrót niech ϕ ∈ (EC)∗. Okre±lmy

p(x) := Reϕ(x), q(x) = Imϕ(x).

Wtedy, jak ªatwo sprawdzi¢,

ϕ(x+ iy) = (p+ iq)(x+ iy)

dla ka»dego x+ iy ∈ EC.

W dalszym ci¡gu b¦dziemy pisa¢ E∗C bez obaw o dwuznaczno±¢.

4.1.A Operatory sprz¦»one

W przykªadzie mieli±my do czynienia z operatorem sprz¦»onym. Je±li T ∈ L(E) (tzn. T : E→ Ejest operatorem ci¡gªym), to operator sprz¦»ony T ∗ : E∗ → E∗ zadany jest wzorem: dla p ∈ E∗

T ∗p := q,

gdzie q ∈ E∗ dany jest jako 〈q, x〉 := 〈p, Tx〉 dla x ∈ E.Ogólniej, je±li F jest przestrzeni¡ Banacha i T ∈ L(E,F) to równie» deniuje si¦ operator

sprz¦»ony T ∗ : F∗ → E∗ wzorem〈T ∗p, x〉 = 〈p, Tx〉

dla p ∈ F∗ i x ∈ E. atwo zobaczy¢, »e T ∗ jest operatorem ci¡gªym.

Przypu±¢my teraz, »e T jest operatorem liniowym g¦sto okre±lonym na dziedzinie D(T )(tzn. podprzestrze« D(T ) jest g¦sta w E) i o obrazie R(T ) zawartym w przestrzeni Banacha F.Rozwa»my relacj¦

Z := (p, q) ∈ E∗ × F∗ | ∀x ∈ D(T ) 〈p, x〉 = 〈q, Tx〉.

atwo zauwa»y¢, »e relacja Z jest lewostronnie jednoznaczna (tzn. z faktu i» (p, q), (p′, q) ∈ Zwynika, »e p = p′), bowiem dziedzina D(T ) jest zbiorem g¦stym w E. Relacja ta deniuje wi¦c

operator T ∗ okre±lony na dziedzinie D(T ∗) ⊂ F∗ (D(T ∗) skªada si¦ z tych q ∈ F∗, dla których

istnieje p ∈ E∗ o tej wªasno±ci, »e 〈q, Tx〉 = 〈p, x〉 dla wszystkich x ∈ D(T )), który funkcjonaªowi

q przyporz¡dkowuje funkcjonaª p.

atwo sprawdzi¢, »e D(T ∗) jest podprzestrzeni¡ liniow¡, za± tak zdeniowany operator T ∗

okre±lony na D(T ∗) i o warto±ciach w E∗ jest liniowy i, w przypadku, gdy T ∈ L(E,F), obiepodane denicje s¡ zgodne.

4.1.6 Lemat: Operator T ∗ jest operatorem domkni¦tym. Je±li dodatkowo F jest przestrzeni¡

reeksywn¡ i T jest operatorem domkni¦tym, to T ∗ jest g¦sto okre±lony, tzn podprzestrze« D(T ∗)jest g¦sta.

Dowód:Wystarczy dostrzec, »e wykres G(T ∗) skªada si¦ z elementów, które w pewnym sensie

anihiluj¡ wykres G(T ). Mianowicie (q, p) ∈ G(T ∗), tzn. dla dowolnego x ∈ D(T ), 〈p, x〉 = 〈q, Tx〉wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego x ∈ D(T ), 〈(q, p), (−Tx, x)〉 = 0 (tutaj 〈·, ·〉 oznaczadualno±¢ pomi¦dzy F∗×E∗ i F×E). Zatem G(T ∗) =⊥ V G(T ), gdzie operator V : E×F→ F×Ezadany jest wzorem V (x, y) := (−y, x) dla (x, y) ∈ E × F (2). Wiadomo wi¦c, »e G(T ∗) jest

anihilatorem ⊥A zbioru A i jako taki jest zbiorem domkni¦tym.

2Wyja±nimy znaczenie symbolu ⊥ tutaj u»ytego. Je±li M ⊂ E, to

M⊥ := p ∈ E∗ | ∀x ∈M 〈p, x〉 = 0.


Zaªó»my teraz, »e T jest domkni¦ty, niech q ∈ F∗ i q 6∈ clD(T ∗). Wtedy (z twierdzenia

o oddzielaniu i uto»samieniu F∗∗ = F: reeksywno±¢) istnieje wektor y ∈ F taki, »e 〈q, y〉 6=0 i 〈q′, y〉 = 0 dla wszystkich q′ ∈ D(T ∗). W takim razie dla dowolnego q′ ∈ D(T ∗), 0 =〈(T ∗q′, q′), (0, y)〉 = 〈(T ∗q′, q′), V (y, 0)〉. Zatem

(0, y) ∈ G(T ∗)⊥ = (⊥G(T ))⊥ = clG(T ) = G(T ).

Zatem (0, y) ∈ G(T ), tzn. 0 6= y = T (0) = 0: sprzeczne.

4.1.7 Wniosek: Je±li operator T jest domkni¦ty i g¦sto okre±lony, to T ∗ jest g¦sto okre±lony i

domkni¦ty.

Mo»na pokaza¢, »e je±li przestrzenie E i F s¡ reeksywne, operator T jest g¦sto okre±lony i

domkni¦ty, to T = T ∗∗.

4.1.8 Twierdzenie (Phillipsa): (i) Je±li T (niekoniecznie ci¡gªy) o g¦stej dziedzinie D(T ) i g¦-

stym obrazie R(T ) jest bijekcj¡ (czyli T−1 okre±lony na g¦stym R(T )), to T ∗ oraz (T−1)∗ s¡

okre±lone na D(T ∗) i D((T−1)∗) s¡ bijekcjami na swoje obrazy oraz (T ∗)−1 = (T−1)∗.(ii) Operator T−1 jest wsz¦dzie okre±lony i ci¡gªy wtedy i tylko wtedy, gdy T jest operatorem

domkni¦tym i (T ∗)−1 jest ci¡gªy.

(iii) Niech T b¦dzie domkni¦tym, g¦sto okre±lonym operatorem. Wtedy ρ(T ) = ρ(T ∗) i

R(λ;T )∗ = R(λ;T ∗) dla λ ∈ ρ(T ).

4.1.9 Fakt: Je±li T ∈ L(E,F), to

N (T ∗) = R(T )⊥, N (T ) = ⊥R(T ∗).

wiczenie: Udowodni¢ powy»szy fakt.

4.1.10 Fakt: Niech T : D(T )→ E b¦dzie g¦sto okre±lonym operatorem. Wtedy σr(T ) ⊂ σp(T ∗),σp(T ) ⊂ σp(T ∗) ∪ σr(T ∗).

Dowód nie jest prosty wymaga pewnej umiej¦tno±ci manipulowania poj¦ciami analizy funk-

cjonalnej.

Przypu±¢my teraz, »e E jest rzeczywist¡ przestrzeni¡ Banacha i T : D → E jest operatorem

g¦sto okre±lonym. Okre±lony jest wówczas operator sprz¦»ony T ∗ : D(T ∗) → E∗ oraz operator

(T ∗)C na D((T ∗)C) o wartosciach w E∗C.Operator TC : D(TC) jest równie» g¦sto okre±lony; zatem mamy operator (TC)∗ na D((TC)∗)

o warto±ciach w E∗C.

Je±li M ⊂ E∗, to⊥M := x ∈ E | ∀ p ∈M 〈p, x〉 = 0.

atwo zobaczy¢, »e M⊥ (odp. ⊥M) jest (normowo) domkni¦t¡ podprzestrzeni¡ w E∗ (w E).Je±li M ⊂ E jest podprzestrzeni¡ liniow¡, to

clL = ⊥(M⊥).

Je±li M ⊂ E∗ jest podprzestrzeni¡ liniow¡, to

clw∗M = (⊥M)⊥.

Warto równie» pamieta¢, »e je±li M ⊂ E jest sko«czenie wymiarow¡ podprzestrzeni¡, to dimK M = dimK E∗/M⊥;je±li M ⊂ E∗ jest przestrzeni¡ sko«czenie wymiarow¡, to dimK M = dimK E/M. Je±li M ⊂ E jest podprzestrzeni¡liniow¡ taka, »e dimK M

⊥ <∞, to dimK E/M = dimK M⊥.

84 4. Dodatek

wiczenie: Sprawdzi¢, »e D((TC)∗) = D((T ∗)C) oraz (T ∗)C = (TC)∗.

Ponownie bez obaw o dwuznaczno±¢ mo»emy wi¦c pisa¢ T ∗C.

4.1.B Operatory symetryczne i samosprz¦»one

Niech teraz H b¦dzie przestrzeni¡ Hilberta z iloczynem skalarnym 〈·, ·〉 (3). Niech T : D(T )→ Hb¦dzie operatorem liniowym. Mówimy, ze jest on symetryczny, gdy dla dowolnych x, y ∈ D(T ),

〈Tx, y〉 = 〈x, Ty〉.

Zaªó»my, »e T jest g¦sto okre±lony. Wtedy istnieje T ∗ okre±lony na D(T ∗) ⊂ H∗ = H (uto»sa-

mienie z twierdzenia Riesza), gdzie D(T ∗) = x ∈ H | ∃ z ∈ H 〈x, Ty〉 = 〈z, y〉 ∀ y ∈ D(T ) iT ∗x := z. Je±li T jest symetryczny, to D(T ) ⊂ D(T ∗) i dla x ∈ D(T ) oraz z = Tx

∀ y ∈ D(T ) 〈x, Ty〉 = 〈Tx, y〉 = 〈z, y〉;

zatem T ∗(x) = Tx. Czyli, dla g¦sto okre±lonego T , T jest symetryczny wtedy i tylko wtedy, gdy

T ⊂ T ∗.Mówimy, »e (g¦sto okre±lony) operator liniowy T : D(T ) → H jest samosprz¦»ony je±li

T = T ∗, tzn. D(T ) = D(T ∗) i dla dowolnych x, y ∈ D(T ), 〈Tx, y〉 = 〈x, Ty〉.Widzimy wi¦c, »e operator samosprz¦»ony jest g¦sto okre±lony i domkni¦ty.

Dla operatorów T ∈ L(H) poj¦cia symetryczno±ci i samosprz¦»ono±ci pokrywaj¡ si¦.

4.1.11 Twierdzenie: Je±li g¦sto okre±lony i domkni¦ty operator T jest samosprz¦»ony, to σr(T ) =∅ i σ(T ) ⊂ R.

Niech teraz H b¦dzie rzeczywist¡ przestrzeni¡ Hilberta, T : D(T )→ H symetryczny operator

liniowy. Wtedy TC : D(TC)→ HC jest te» symetryczny.

Je±li T jest samosprz¦»ony (a wi¦c siª¡ rzeczy g¦sto okre±lony i domkni¦ty), to operator

TC jest te» samosprz¦»ony.

4.1.C Operatory w przestrzeniach sko«czenie wymiarowych

Niech teraz E oznacza sko«czenie wymiarow¡ przestrze« liniow¡ nad ciaªem K, dimK E = n.

Ustalmy baz¦ (e1, ..., en) w E. Wtedy, dla x ∈ E mamy (jednoznaczn¡) reprezentacj¦

x =n∑i=1

xiei.

Przyporz¡dkowanie x 7→ (xi)ni=1 ustala izomorzm E → Kn. Przestrze« E jest przestrzeni¡

Hilberta z iloczynem skalarnym zadanym wzorem: dla x, y ∈ E o wspóªczynnikach (xi)ni=1 i

(yi)ni=1,

〈x, y〉 :=n∑i=1

xiyi gdy K = R

oraz

〈x, y〉 :=∑i=1

xiyi gdy K = C.

3Symbol 〈·, ·〉 nie powinien by¢ myl¡cy: je±li p ∈ H∗ i x ∈ H, to jak wy»ej 〈p, x〉 jest warto±ci¡ p(x); z drugiejstrony twierdzenie Riesza mówi, »e istnieje dokªadnie jeden wektor yp ∈ H taki, »e p(x) = 〈yp, x〉. Zatem je±li wten sposób uto»samia¢ H oraz H∗, to widzimy, »e stosowanie tego samego symbolu nie prowadzi do nieporozumie«.


Oczywi±cie, gdy mowa o operatorach T : E → F, gdzie F jest przestrzeni¡ liniow¡ nad K,

dimK F = m, mamy na my±li operator liniowy T : E → F. S¡ to operatory wsz¦dzie (a wi¦c i

g¦sto) okre±lone i ci¡gªe (czyli te» domkni¦te).

Je±li ustalone s¡ bazy (e1, ..., en) w E i (f1, ..., fm) w F, to operatorowi T wzajemnie jedno-

znacznie odpowiada pewna macierz A = [aij ]mi=1nj=1 ∈Mm×n(K). Przypomnijmy, »e

T (ej) =n∑i=1

aijei.

W przypadku, gdy K = R, to operatorowi T ∗ odpowiada (przy tych samych bazach) macierz

sprz¦»ona (inaczej transponowana) At := [aji] ∈ Mn×m(R). W przypadku, gdy K = C, tooperatorowi sprz¦»onemu odpowiada macierz sprz¦»ona At := [aji] ∈ Mn×m(C). Wobec tego,

gdy K = R,to operator T : E→ E jest symetryczny (równowa»nie samosprz¦»ony) wtedy i tylko

wtedy, gdy macierz A jest symetryczna: A = At (a wi¦c aij = aji dla dowolnych i, j = 1, ..., n).Podobnie, gdy K = C, to operator T : E → E jest symetryczny (samosprz¦»ony) wtedy i

tylko wtedy, gdy jego macierz A jest hermitowska, tzn. A = At (innymi sªowy aij = aji dla

i, j = 1, ..., n).

atwo dostrzec, »e widmo operatora T : E → E, któremu odpowiada (przy ustalonej bazie

(e1, ..., en) w E) macierz A ∈Mn×n(K), jest czysto punktowe: σ(T ) = σp(T ).

Je±li E jest sko«czenie wymiarow¡ rzeczywist¡ przestrzeni¡ liniow¡ i T : E→ E, to okre±lonyjest operator TC : EC → EC wzorem TC(x+ iy) = Tx+ iTy dla x, y ∈ E.

Przypu±¢my, »e ustalona jest baza (e11, ..., en) w E i niech A = [aij ] ∈ Mn×n(R) b¦dzie

macierz¡ T wzgl¦dem tej bazy. Operatorowi TC odpowiada równie» pewna macierz B = [bij ] ∈Mn×n(C) wzgl¦dem bazy (e1 + ie1, ..., en + ien). Sprawdzimy, »e B = A.

Istotnie, niech bij = cij + idij , dla i, j = 1, ..., n. Wtedy

TC(ej + iej) =n∑i=1

bij(ei + iei) =n∑i=1

((cij − dij)ei + i((cij + dij)ei).

Z drugiej strony

TC(ej + iej) = T (ej) + iT (ej) =n∑i=1

aijei + in∑i=1

aijei.

Zatem cij = aij oraz dij = 0 dla dowolnych i, j = 1, ..., n.

Macierze

Zajmiemy si¦ obecnie macierzami kwadratowymi A ∈Mn×n(K). Ka»d¡ tak¡ macierz traktujemy

jako operator liniowy A : Kn → Kn zadany wzorem

A(x) = Ax, x = (x1, ..., xn) ∈ Kn,

gdzie Ax oznacza iloczyn macierzy A i wektora x zapisanego kolumnowo. Podobnie jak poprzed-

nio widmo σ(A) jest czysto punktowe, tzn. skªada si¦ z liczb λ ∈ K takich, »e dla pewnego

0 6= x ∈ Kn, Ax = λx.

4.1.12 Uwaga: Je±li v ∈ E jest wektorem wªasnym operatora T : E → E o warto±ci wªasnej

λ ∈ K i v =∑ni=1 xiei, to wektor wspóªrz¦dnych x = (x1, ..., xn) ∈ Kn jest wektorem wªasnym

macierzy A (stowarzyszonej z T w bazie (e1, ..., en)), tzn. Ax = λx.

4.1.13 Fakt: Skalar λ ∈ K jest warto±ci¡ wªasn¡ A (λ ∈ σ(A)) wtedy i tylko wtedy, gdy det(A−λI) = 0 (tutaj i wsz¦dzie poni»ej I oznacza macierz jednostkow¡ (n× n)).

86 4. Dodatek

Funkcja wA : K→ K dana wzorem wA(λ) := det(A− λI) jest wielomianem stopnia n, tzw.

wielomianem chrakterystycznym macierzy A. Poniewa» C jest ciaªem algebraicznie domkni¦tym,

to wA posiada pierwiastek (dokªadnie n pierwiastków (by¢ mo»e powtarzaj¡cych si¦); ró»nych

pierwiastków jest co najwy»ej n.

Gdy K = R, to wA mo»e nie mie¢ pierwiastków rzeczywistych. Oczywi±cie wówczas wA,

traktowany jako wielomian zmiennej zespolonej, posiada n pierwiastków zespolonych (przy czym,

je»eli wA(λ) = 0, to wA(λ) = 0). Je±li wi¦c n jest liczb¡ nieparzyst¡, to musi istnie¢ przynajmniej

jeden pierwiastek rzeczywisty dla wA. Dokªadniej wielomian wA posiada n = r+2s pierwiastkówλ1, λ2, ..., λr ∈ R oraz µ1, µ1, µ2, µ2, ...., µs, µs ∈ C (wymienione pierwiastki mog¡ si¦ powtarza¢

zgodnie z krotno±ciami o tym mowa poni»ej).

4.1.14 Wniosek: Je±li K = C, to operator T ma przynajmniej jedn¡ warto±¢ wªasn¡. Podobnie,

gdy K = R i n jest liczb¡ nieparzyst¡. Tak nie jest, gdy K = R i n jest liczb¡ parzyst¡.

4.1.15 Przykªad: Operator obrotu o 90, T : E → E, gdzie E = R2, któremu odpowiada

macierz

A =

[0 1−1 0

],

nie ma warto±ci wªasnych.

Niekiedy, gdy K = R, to o zespolonych pierwiastkach λ wielomianu charakterystycznego

macierzy A ∈ Mn×n(R) mówimy, »e s¡ zespolonymi warto±ciami wªasnymi operatora T (zapis

λ ∈ σ(A) jest niefortunny, bo z denicji σ(A) ⊂ R).MacierzA ∈Mn×n(R) ma zespolon¡ warto±¢ wªasn¡ λ wtedy i tylko wtedy, gdy det(A−λI) =

0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wektor z = (z1, ..., zn) ∈ Cn, zk = xk + iyk, k = 1, ..., n (tzn.

z = x + iy, gdzie x, y ∈ Rn), taki, »e Az = λz. Taki wektor z ∈ Cn nazywamy zespolonym

wektorem wªasnym macierzy A.

4.1.16 Uwaga: Wprowadzona terminologia jest zgodna z ogóln¡ omawian¡ powy»ej. Przede

wszystkim zauwa»my, »e kompleksykacj¡ Rn jest przestrze« Cn. Ponadto jak to ju» przedys-

kutowano je»eli A ∈Mn×n(R), to AC = A (caªa ró»nica w tym, »e tym razem nale»y traktowa¢

(rzeczywiste) wspóªczynniki aij , i, j = 1, ..., n, macierzy A jako liczby zespolone) przy czym dla

z = x+ iy ∈ Cn, gdzie x, y ∈ Rn,

Az =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...an1 an2 · · · ann

z1

z2...zn

=

∑nj=1 a1jzj∑nj=1 a2jzj

...∑nj=1 anjzj

=

∑nj=1 a1jxj∑nj=1 a2jxj

...∑nj=1 anjxj

+ i

∑nj=1 a1jyj∑nj=1 a2jyj

...∑nj=1 anjyj

= Ax+ iAy.

Zauwa»my, »e zespolone warto±ci wªasne macierzy to nic innego ni» σC(A).

W takim razie dla macierzy A ∈Mn×n(R) mamy do czynienia z nast¦puj¡c¡ sytuacj¡: niech

λ1, ..., λr ∈ R b¦d¡ rzeczywistymi warto±ciami wªasnymi macierzyA, za± µ1, µ1, µ2, µ2, ...., µs, µs ∈C jej zespolonymi warto±ciami wªasnymi. Ka»dej rzeczywistej warto±ci wªasnej λi, i = 1, ..., r,odpowiada prawdziwy wektor wªasny xi ∈ Rn macierzy A, za± ka»dej zespolonej warto±ci wªa-

snej µj (odp. µj), j = 1, ..., s, odpowiada zespolony wektor wªasny zj (odp. zj) macierzy A.


U»yta symbolika jest nieprzypadkowa: je±li j = 1, ..., n i zj = xj + iyj , xj , yj ∈ Rn, to xj − iyj (awi¦c wªa±nie zj) jest zespolonym wektorem wªasnym odpowiadaj¡cym warto±ci wªasnej µj .

4.1.17 Uwaga: Warto zwróci¢ uwag¦, »e zespolonemu wektorowi wªasnemu macierzy A ∈Mn×n(R) nie odpowiada »aden prawdziwy wektor wªasny (tj. element Rn).

Niech λ ∈ σ(A); wtedy wA(λ) = 0. Krotno±¢ na(λ) skalara λ (jako pierwiastka wielomianu

charakterystycznego) nazywa si¦ krotno±ci¡ algebraiczn¡ warto±ci wªasnej λ. Przypomnijmy, »e

krotno±ci¡ geometryczn¡ jest ng(λ) := dimKx ∈ Kn | Ax = λx.

4.1.18 Uwaga: Krotno±¢ algebraiczna warto±ci wªasnej λ jest niemniejsza ni» jej krotno±¢ geo-

metryczna: ng(λ) ¬ na(λ).

4.1.19 Przykªad: Macierz A =

[1 10 1

]ma jedn¡ warto±¢ wªasn¡ λ = 1 oraz na(1) = 2 i

ng(1) = 1.

Zauwa»my, »e dla ka»dego λ ∈ K

wA(λ) = det(A− λI) = (a11 − λ) · ... · (ann − λ) + wyrazy stopnia ¬ n− 2

= (−1)λn + (−1)n−1(a11 + ...+ ann)λn−1 + wyrazy stopnia ¬ n− 2.

Wobec tego je±li K = C (albo, gdy K = R lecz potraktujemy wA jako wielomian zmiennej

zespolonej) oraz λ1, ..., λn s¡ zespolonymi warto±ciami wªasnymi macierzy A (lub operatora T

odpowiadaj¡cego macierzy A) powtarzaj¡cymi si¦ zgodnie z ich algebraicznymi krotno±ciami, to

det(A− λI) = wA(λ) = (λ1 − λ) · ... · (λn − λ) =

(−1)nλn + (−1)n−1(λ1 + ...+ λn)λn−1 + ...+ (λ1 · ... · λn).

W szczególno±ci

detA = wA(0) = λ1 · ... · λn, trA := a11 + ...+ ann = λ1 + ...+ λn.

4.1.20 Uwaga: (i) Gdy K = R, to oczywi±cie detA, trA ∈ R. W powy»szych wyra»eniach mamy

odpowiednio iloczyn i sum¦ liczb zespolonych (pami¦tajmy, »e traktujemy wA jako wielomian

zmiennej zespolonej). Tam jednak liczby zespolone wyst¦puj¡ w parach (liczba zespolona i liczba

do niej sprz¦»ona). Powoduje to, »e zarówno iloczyn jak i suma s¡ liczbami rzeczywistymi.

(ii) Zauwa»my, »e znak sgn detA = (−1)β , gdzie β jest liczb¡ (wraz z krotno±ciami) ujemnych

rzeczywistych warto±ci wªasnych.

4.1.21 Fakt: Je±li macierz A jest symetryczna (K = R) lub hermitowska (K = C), to wszyst-

kie pierwiastki wielomianu chrakterystycznego (tj. zespolone warto±ci wªasne operatora T odpo-

wiadaj¡cego macierzy A) s¡ liczbami rzeczywistymi. Zatem zespolone warto±ci wªasne operatora

samosprz¦»onego T s¡ liczbami rzeczywistymi.

Dowód: Niech λ b¦dzie zespolon¡ warto±ci¡ wªasn¡ macierzy A, to dla dowolnych x, y ∈ Kn

〈Ax, y〉 = 〈x,Ay〉.

W szczególno±ci, dla dowolnego x ∈ Kn, 〈Ax, x〉 = 〈x,Ax〉. Z drugiej strony (z denicji iloczynu

skalarnego) 〈x,Ax〉 = 〈Ax.x〉. Zatem 〈Ax, x〉 ∈ R, x ∈ Kn. Je±li wi¦c λ jest (zespolon¡) warto±ci¡

wªasn¡ A, to Ax = λx dla pewnego (niezerowego) wektora x ∈ Kn. Wówczas

R 3 〈Ax, x〉 = λ〈x, x〉 = λ|x|2.

czyli λ = 〈Ax,x〉|x|2 ∈ R.

88 4. Dodatek

Diagonalizacja i posta¢ kanoniczna Jordana

Niech jak poprzednio E b¦dzie przestrzenia liniow¡ nad ciaªem K, dimK E = n o bazie

(e1, ..., en) i T : E → E przeksztaªceniem liniowym, które (przy wybranej bazie) odpowiada

macierz A = [aij ]ni,j=1 ∈Mm×n(K). Jak wiadomo, dla dowolnego j = 1, ..., n,

T (ej) =n∑i=1

aijei.

Je±li (v1, ..., vn) jest inn¡ baz¡ E, to operatorowi T odpowiada inna macierz B = [bij ] ∈Mn×n(K).Zwi¡zek pomi¦dzy macierzami A i B wygl¡da nast¦puj¡co:

B = P−1AP,

gdzie P = [pij ]ni,j=1 ∈ Mn×n(K) jest macierz¡ przej±cia od bazy (e1, ..., en) do bazy (v1, ..., vn),tzn. vj =

∑ni=1 pijei dla dowolnych i, j = 1, ..., n.

4.1.22 Uwaga: Dwie kwadratowe macierze A,B s¡ podobne, gdy istnieje macierz nieosobliwa

P taka, »e B = P−1AP . Zatem macierze odpowiadaj¡ce operatorowi T w ró»nych bazach s¡

podobne.

4.1.23 Fakt: Zaªó»my, »e macierze A,B s¡ podobne. Wtedy:

(i) Operatory E → E wyznaczone odpowiednio przez A i B s¡ identyczne (oznaczamy taki

operator symbolem T );

(ii) wielomiany charakterystyczne obu macierzy s¡ równe: wA(λ) = wB(λ) dla dowolnego

λ ∈ C;(iii) (zespolone i rzeczywiste) warto±ci wªasne macierzy A i B s¡ takie same (4);

(iv) trA = trB, detA = detB.

U»ywaj¡c relacji podobie«stwa (a wi¦c w istocie odpowiedniej podmiany bazy w E) mo»na

upro±ci¢ macierz stowarzyszon¡ z operatorem T : E→ E. Takie prostsze postacie macierzy ope-

ratora T nazywa si¦ czasem postaciami kanonicznymi. Najcz¦sciej u»ywane postacie kanoniczne:

• posta¢ normalna Schura;

• posta¢ diagonalna;• posta¢ kanoniczna Jordana.

Zajmiemy si¦ najpierw kwesti¡ diagonalizacji: powiadamy, »e macierz A (o wspóªczynnikach

w K) jest diagonalizowalna, gdy istnieje nieosobliwa macierz P taka, »e macierz D = P−1AP

jest diagonalna, tzn. ma posta¢

D =

d11 0 0 · · · 00 d22 0 · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · dnn

,gdzie dii ∈ K.

Zakªadamy teraz, »e A jest macierz¡ pewnego operatora T : E → E (w starej bazie

(e1, ..., en)).

4.1.24 Twierdzenie: Macierz A ∈ Mn×n(K) jest diagonalizowalna wtedy i tylko wtedy, gdy A

4je±li λ ∈ K jest warto±ci¡ wªasn¡ operatora T a w ∈ E jest odpowiadaj¡cym jej wektorem wªasnym, x =(x1, ..., xn) (odp. y = (y1, ..., yn)) jest wektorem w Kn o wspóªrz¦dnych b¦d¡cych wspóªczynnikami rozwini¦cia ww bazie (e1, ..., en) (odp. (v − 1, ..., vn)), to y = P−1x


ma n liniowo niezale»nych wektorów wªasnych w Kn. Dodatkowo wiadomo, »e na przek¡tnej le»¡

warto±ci wªasne macierzy.

Dowód: Zaªó»my, »e x1, ..., xn ∈ Kn s¡ liniowo niezale»nymi wektorami wªasnymi macierzy A,

tzn. Axi = λixi, gdzie λi ∈ K (liczby λi niekoniecznie s¡ ró»ne). Oczywi±cie ukªad (x1, ..., xn)tworzy now¡ baz¦ Kn. Macierz D operatora A w tej bazie jest diagonalna (oraz dii = λi,

i = 1, ..., n). Zatem je±li P jest macierz¡ przej±cia od starej bazy do nowej, to D = P−1AP co

oznacza, »e macierz A jest diagonalizowalna.

Na odwrót zaªó»my, »e D = P−1AP jest macierz¡ diagonaln¡ (jak wy»ej), gdzie P =[pij ]ni,j=1 ∈Mn×n(K) jest pewn¡ macierz¡ nieosobliw¡. Niech wj =

∑ni=1 pijei. Wówczas wektory

w1, ..., wn tworz¡ ukªad liniowo niezale»ny, a zatem now¡ baz¦ w E, za± P jest macierz¡ przej±cia

od starej bazy do nowej. Rozwa»my wektor wj , j = 1, ..., n; jego wspóªrz¦dne w nowej bazie to

y = (y1, ..., yn) = (0, 0, ..., 1, ..., 0), gdzie 1 jest j-tym miejscu. W takim razie T (wj) = djjwj ,

czyli wj jest wektorem wªasnym odpowiadaj¡cym warto±ci wªasnej djj .

4.1.25 Uwaga: Przypu±¢my, »e A ∈ Mn×n(K) ma n liniowo niezale»nych wektorów wªasnych i

niech λ1, ..., λs ∈ K, s ¬ n, b¦d¡ jej warto±ciami wªasnymi. Je±li macierz jest diagonalizowalna,

to∑si=1 na(λi) = n.

Na odwrót, niech λ1, ..., λs ∈ K b¦d¡ warto±ciami wªasnymi macierzy A ∈ Mn×n(K) oraz∑si=1 na(λi) = n, to macierz A ma n liniowo niezale»nych wektorów wªasnych i jest diagonalizo-

walna.

4.1.26 Wniosek: Je±li macierz A ∈ Mn×n(K) ma n ró»nych warto±ci wªasnych λ1, ..., λn ∈ K,

to jest diagonalizowalna.

Rzeczywi±cie posiada ona wtedy n liniowo niezale»nych wektorów wªasnych.

Gdy K = C, o sytuacja jest klarowna: istnienie n ró»nych warto±ci wªasnych implikuje istnie-

nie n liniowo niezale»nych wektorów wªasnych macierzy A (lub operatora z ni¡ stowarzyszonego)

co jest równowa»ne diagonalizowalno±ci macierzy A. Gdy K = R, tzn. A ∈Mn×n(R), to istnienien ró»nych rzeczywistych warto±ci wªasnych implikuje istnienie n liniowo niezale»nych prawdzi-

wych wektorów wªasnych co ponownie równowa»ne jest diagonalizowalno±ci macierzy A.

Sytuacje jest nieco bardziej skomplikowana, gdy K = R i macierz A ∈ Mn×n(R) posiada

n ró»nych zespolonych warto±ci wªasnych. Wtedy istnieje n liniowo nie zale»nych zespolonych

wektorów wªasnych. Dokªadniej: niech λ1, ..., λr ∈ R i µ1, µ1, ..., µs, µs ∈ C, n = r + 2s, stanowiukªad ró»nych warto±ci wªasnych macierzy A. W tej sytuacji macierz A nie jest diagonalizowalna

(w sensie rzeczywistym). Ma jednak miejsce nast¦puj¡cy fakt.

4.1.27 Twierdzenie: Niech µj = aj + ibj, j = 1, ..., s. Przy powy»szych zaªo»eniach macierz A

jest podobna do macierzy postaci Λ 0 0 · · · 00 A1 0 · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · As

,

gdzie

Λ =

λ1 0 0 · · · 00 λ2 0 · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · λr

, Aj =

[aj −bjbj aj

], j = 1, ..., s.

90 4. Dodatek

Okazuje si¦, ze warunkiem dostatecznym diagonalizowalno±ci jest symetryczno±¢ macierzy.

Dokªadniej:

4.1.28 Twierdzenie (Sylvestera): Zaªó»my, »e A ∈Mn×n(C) jest macierz¡ hermitowsk¡ (odp.

A ∈Mn×n(R) jest macierz¡ symetryczn¡) (5). Istnieje wtedy macierz unitarna (odp. ortogonalna)

U taka, »e macierz D := U∗AU jest diagonalna (tutaj U∗ = U t, gdy K = C oraz U∗ = U t, gdy

K = R). Oczywi±cie macierz D ma wspóªczynniki w R (w obu przypadkach K = C lub K = R).

Przypomnijmy, »e macierz zespolona U jest unitarna, gdy UU t = I, za± macierz rzeczywista

U jest ortogonalna, gdy UU t = I. Dla macierzy unitarnej (lub ortogonalnej) U mamy | detU | = 1(moduª w sensie odpowiednio zespolonym lub rzeczywistym); zatem macierze takie s¡ nieosobli-

we i ma miejsce (równowa»ny) warunek: U−1 = U∗.

atwo zobaczy¢, »e twierdzenie orzeka o diagonalizacji, gdy» macierze D i A s¡ podobne

(P := U).

4.1.29 Uwaga: Poj¦cie operatora unitarnego ma analogon w przypadku niesko«czenie wymia-

rowym z iloczynem skalarnym 〈·, ·〉. Niech H b¦dzie przestrzeni¡ Hilberta nad K. Operator sur-

jektywny U : H → H jest unitarny (lub ortogonalny w przypadku K = R), je»eli dla dowolnych

x, y ∈ H, 〈Ux,Uy〉 = 〈x, y〉. Zauwa»my, »e operatory unitarne (ortogonalne) s¡ ci¡gªe i s¡ izo-

morzmami. Warunki równowa»ne: UU∗ = I lub U∗U = I lub U−1 = U∗.

Jeszcze wypada doda¢, »e je±li operator U jest unitarny (ortogonalny), λ, µ ∈ σp(U), to|λ| = |µ| = 1 oraz przestrzenie wªasne Vλ i Vµ s¡ prostopadªe, tzn. dla x ∈ Vλ i y ∈ Vµ, to x⊥y(a wi¦c 〈x, y〉 = 0).

Twierdzenie Sylvestera jest konsekwencj¡ twierdzenia:

4.1.30 Twierdzenie (Schura): Niech A ∈Mn×n(C). Istnieje wówczas macierz unitarna U taka,

»e macierz T = U∗AU jest górnie trójk¡tn¡ macierz¡, tzn. T = [tij ]ni,j=1, gdzie tij = 0 o ile i > j

(i, j = 1, ..., n).

4.1.31 Uwaga: Niech U b¦dzie macierz¡ unitarn¡ (odp. ortogonaln¡). Napiszmy U = [u1, ..., un],gdzie uj , j = 1, ..., n, jest j-t¡ kolumn¡ U . Zauwa»my, »e uj = Uej (gdzie ej jest j-tym wektorem

bazy kanonicznej w Kn. Poniewa» wektory bazy kanonicznej s¡ ortogonalne, 〈ej , ek〉 = 0 oraz

|ej | = 1 dla j, k = 1, ..., n, j 6= k, to 〈uj , uk〉 = 0 i |uj | = 1. Zatem ukªad (u1, ..., un) tworzy baz¦

ortonormaln¡ w Kn.

Niech U i D b¦dzie macierz¡ z twierdzenia Sylvestera. Równo±¢ D = U∗AU mo»na zapisa¢

AU = UD, z której wynika, »e skalary dii ∈ K, i = 1, ..., n, s¡ warto±ciami wªasnymi A o wekto-

rach wªasnych ui. W konsekwencji je±li T jest operatorem samosprz¦»onym (lub symetrycznym)

to ma dokªadnie n prostopadªych wektorów wªasnych o rzeczywistych (by¢ mo»e powtarzaj¡cych

si¦ wartosciach wªasnych).

Bez w¡tpienia najwa»niejsza jest tzw. posta¢ kanoniczna Jordana. Zacznijmy od wprowadze-

nia tzw. m-wymiarowych klatek Jordana. S¡ to macierze kwadratowe postaci

Jm(λ) =

λ 1 0 · · · 00 λ 1 · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · λ

,5Wówczas operator T stowarzyszony wzgl¦dem bazy (e1, ..., en) z A jest samosprz¦»ony (odp. symetryczny).


w której na przek¡tnej znajduje si¦ skalar λ ∈ K, nad przek¡tn¡ mamy same 1, za± pozostaªe

wspóªczynniki s¡ równe 0. Gdy m = 1, to Jm(λ) = λ.

Zauwa»my, »e

Jm(λ) = λI +Nm,

gdzie macierz kwadratowa m×m ma posta¢

Nm = Jm(0) =

0 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · 0

,gdzie na przek¡tn¡ mamy zera, za± pozostaªe wspóªczynniki s¡ zerami. Nietrudno sprawdzi¢, »e

macierz Nm jest nilpotentna, tzn. pewne jej pot¦ga jest równa macierzy zerowej. Tutaj mamy

Nmm = 0.

Macierz¡ Jordana nazywamy macierz Nn×n(K) postaci blokowej

J =

Jm1(λ1) 0 0 · · · 0

0 Jm2(λ2) 0 · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · Jmr(λr)

,w której λ1, .., λr ∈ K, 0 oznacza macierz prostok¡tn¡ odpowiedniego wymiaru o wyrazach rów-

nych zero oraz m1 +m2 + ...+mr = n.

Zaªó»my, »e macierz A ∈Mn×n(C) ma wielomian charakterystyczny postaci

wA(λ) = (µ1 − λ)a1 · ... · (µs − λ)as ,

gdzie µ1, ..., µs ∈ C s¡ (wszystkimi) ró»nymi warto±ciami wªasnymi macierzy A, za± aj := na(µj),j = 1, ..., s, jest krotno±ci¡ algebraiczn¡ warto±ci wªasnej µj .

4.1.32 Twierdzenie: (Jordana; wersja zespolona): Zaªó»my, »e A ∈ Mn×n(C) jest dowoln¡

macierz¡, za± . Wówczas istnieje macierz nieosobliwa P ∈Mn×n(C) taka, »e

P−1AP = J,

gdzie J jest macierz¡ Jordana, w której liczby zespolone λ1, ..., λr s¡, niekoniecznie ró»nymi,

warto±ciami wªasnymi A (tzn. w ci¡gu λ1, ..., λr znajduj¡ si¦ wszystkie liczby µj z powtórzeniami.

Poni»ej dokªadniej omówimy struktur¦ macierzy Jordana J , o której mowa w twierdzeniu.

Otó»:

(A) dla dowolnego j = 1, ..., s, krotno±¢ geometryczna ng(µj) warto±ci wªasnej µj jest równaliczbie klatek Jordana odpowiadaj¡cych µj , tzn. ng(µj) = #i = 1, ..., r | λi = µj;

(B) dla dowolnego j = 1, ..., s, krotno±¢ algebraiczna aj = na(µj) warto±ci wªasnej µj jest

równa sumie wymiarów klatek Jordana odpowiadaj¡cych µj , tzn.

na(µj) =∑

i=1,...,r|λi=µj

mi.

Kolejna charakteryzacja macierzy Jordana J wymaga dodatkowych poj¦¢. NiechA ∈Mn×n(K)

4.1.33 Fakt: Istnieje wielomian p(x) ∈ K[x], p(x) = a0 + a1x+ ...+ akxk (o wspóªczynnikach z

K) taki, »e p(A) := a0I + a1A+ ...akAk = 0.

92 4. Dodatek

W±ród wielomianów, o których mowa znajduje si¦ wielomian pA o wiod¡cym wspóªczynniku

równym 1 i najmniejszego stopnia. Nazywa si¦ go wielomianem minimalnym macierzy A.

4.1.34 Fakt: Wielomian minimalny macierzy A wyznaczony jest jednoznacznie.

4.1.35 Fakt: Je±li p ∈ K[x] jest wielomianem, dla którego p(A) = 0, to p dzieli si¦ przez pA(tzn. pA|p).

4.1.36 Fakt: Je±li λ jest warto±ci¡ wªasn¡ A, to λ jest pierwiastkiem pA.

4.1.37 Twierdzenie (Cayleya): Wielomian charakterystyczny wA ma t¦ wªasno±¢, »e wA(A) =0; zatem pA|wA.

W konsekwencji wida¢, »e

pA(λ) = (µ1 − λ)k1 · ...(µs − λ)ks ,

gdzie 1 ¬ kj ¬ aj dla j = 1, ..., s.

(C) Dla dowolnego j = 1, ..., s, maxi=1,...,r|λi=µj mi = kj .

Zatem znajomo±¢ wielomianów chrakterystycznego wA i minimalnego pA macierzy A oraz

krotno±ci geometrycznych warto±ci wªasnych pozwala niekiedy (nie zawsze) na znalezienie postaci

macierzy J :

• znajomo±¢ wielomianu chrarakterystycznego wA mówi o warto±ciach wªasnych µ1, ..., µsmacierzy A, a wi¦c jakiego rodzaju klatki Jordana tam wyst¦puj¡; co wi¦cej wiadomo jakie s¡

ich krotno±ci algebraiczne;

• znajomo±¢ krotno±ci geometrycznej ng(µj) mówi ile klatek Jordana odpowiada warto±ci

wªasnej µj , j = 1, ..., s;znajomo±¢ wielomianu minimalnego pA daje informacj¦ o wykªadniku kj , j = 1, ..., s, a zatem

mówi jaki jest maksymalny wymiar klatki Jordana odpowiadaj¡cej warto±ci wªasnej µj .

W wielu przypadkach jest to wystarczaj¡ca informacja o postaci macierzy Jordana J . Lecz

nie zawsze.

wiczenie: Poda¢ przykªad dwóch ró»nych macierzy wymiaru 7 × 7 które maj¡ te same wie-

lomiany charakterystyczne, minimalne i te same krotno±ci geometryczne warto±ci, lecz ró»ne

postacie macierzy Jordana.

Istnieje równie» rzeczywista wersja twierdzenia Jordana. Zaªó»my, »e wielomian charaktery-

styczny macierzy A ∈Mn×n(R) ma posta¢

wA(λ) = (λ1 − λ)a1 · ... · (λr − λ)ar(µ1 − λ)b1(µ1 − λ)b1 · ... · (µs − λ)bs(µs − λ)bs ,

gdzie λ1, ..., λr s¡ rzeczywistymi warto±ciami wªasnymi macierzy A, za± µ1, µ1, ..., µs, µs s¡ ze-

spolonymi warto±ciami wªasnymi.

Z ka»d¡ rzeczywist¡ warto±ci¡ wªasn¡ λ (tzn. λ = λj , j = 1, ..., r) wi¡»e si¦ klatk¦ Jordana

Jm(λ) o zwykªej postaci. Natomiast dla zespolonej warto±ci wªasnej µ = α + iβ (tj. µ = µj ,

j = 1, ..., s) z par¡ (µ, µ) wi¡»e si¦ kostk¦ Jordana

Jm(µ) =

D I 0 · · · 00 D I · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · D

,


gdzie

D =

[α −ββ α

], I =

[1 00 1

]oraz 0 =

[0 00 0

].

4.1.38 Twierdzenie: Niech jak wy»ej A ∈Mn×n(R). Wówczas A jest podobna do macierzy

blokowej Jordana J zbudowanej z klatek Jordana Jm(λ) odpowiadaj¡cych rzeczywistym warto-

±ciom wªasnym oraz klatek Jm(µ) odpowiadaj¡cych parom (µ, µ) zespolonych warto±ci wªasnych.

Parametry macierzy J wyst¦puj¡cej w tym twierdzeniu mo»na opisa¢ analogicznie jak po-

wy»ej.

Operatory w przestrzeniach sko«czenie wymiarowych

Wracamy teraz do charakteryzacji operatorów liniowych T : E → E, gdzie E jest przestrzeni¡

liniow¡ nad ciaªem K, dimK E = n.

4.1.39 Twierdzenie (Kroneckera-Capelliego): J¡dro N (T ) i obraz R(T ) s¡ podprzestrzeniami

niezmienniczymi ze wzgl¦du na T oraz

dimKN (T ) + dimKR(T ) = n, dimKR(T ) + dimK Coker(T ) = m,

gdzie Coker(T ) := F/R(T ). Dodatkowo, je»eli N (T ) ∩R(T ) = 0, to N (T )⊕R(T ) = E.

Dowód: Jest jasne, »e N (T ) oraz R(T ) s¡ niezmiennicze. Niech v1, ..., vk, k ¬ n, b¦dzie baz¡

N (T ). Istniej¡ wektory vk+1, ..., vn, które uzupeªniaj¡ ukªad (v−1, ..., vk) do bazy przestrzeni E.Wtedy wektory wi := T (vk+i), i = 1, ....n−k, rozpinaj¡ R(T ). Ukªad ((w1, ..., wn−k) jest liniowoniezale»ny: je»eli

∑n−ki=1 αiwi = 0, gdzie αi ∈ K dla i = 1, ..., n − k, to

∑n−ki=1 αivk+i ∈ N (T );

zatem αi = 0 dla dowolnego i = 1, ..., n− k.

4.1.40 Uwaga: Twierdzenie powy»sze mo»na interpretowa¢ na ró»ne sposoby. Przede wszystkim

dimKR(T ) nazywa si¦ rz¦dem operatora T ; w j¦zyku macierzy rz¦dem T jest rz¡d macierzy A =[aij ] stowarzyszonej z operatorem T (wzgl¦dem dowolnie wybranych baz (e1, ..., en), (f1, ..., fn)w dziedzinie i przeciwdziedzinie).

(i) Równanie Tx = y, gdzie y ∈ E jest zadanym elementem E ma rozwi¡zanie wtedy i tylko

wtedy, gdy y ∈ R(T ), tzn. wektor y jest liniowo zale»ny od bazy (w1, ..., wn−k) z twierdzenia. Tozachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy rz¡d macierzy A jest równy rz¦dowi tzw. macierzy uzupeªnionej

B danej przez

B :=

a11 a12 · · · a1n y1

a21 a22 · · · a2n y2...

.... . .

......

an1 an2 · · · ann yn

,gdzie (y1, ..., yn) s¡ wspóªrz¦dnymi wektora y wzgl¦dem bazy (f1, ..., fn).

(ii) (Alternatywa Fredholma) Albo równanie Tx = y ma dla dowolnego y ∈ E dokªadnie jedno

rozwi¡zanie, albo równanie x = 0 ma niezerowe rozwi¡zania. Jest to jasne: je±li równanie x = 0ma tylko rozwi¡zanie zerowe, to N (T ) = 0 (czyli T jest injekcj¡) i wtedy dimKR(T ) = n,

tzn. R(T ) = E, czyli z poprzedniego wynika, »e dla ka»dego y ∈ E istnieje dokªadnie jedno

rozwi¡zanie.

Niech p ∈ K[x] b¦dzie wielomianem (o wspóªczynnikach w K), p(x) = a0 +a1x+a2x2 + ...+

amxm, am 6= 0. Mówimy, »e p jest wielomianem anihiluj¡cym T , o ile

p(T ) := a0I + a1T + a2T2 + ...amT

m = 0.

94 4. Dodatek

4.1.41 Fakt: Wielomiany anihiluj¡ce istniej¡.

Dowód:Niech (v1, ..., vn) b¦dzie baz¡ E. Ustalmy 1 ¬ j ¬ n. Wektory vj , T (vj), T 2(vj), ..., Tn(vj)s¡ liniowo niezale»ne (jest ich n + 1); zatem znajda si¦ skalary (nie wszystkie równe zero)

a0, a1, ...an takie, »e

a0vj + a1T (vj) + ...+ anTn(vj) = 0.

Niech pj(x) := a0+a1x+...anxn. Wówczas pj(T )vj = 0. Niech p := p1·2 ·...·pn. Wtedy p(T )vj = 0dla dowolnego j = 1, ..., n. Zatem p(T ) = 0.

Przykªadem wielomianu anihiluj¡cego T jest wielomian charakterystyczny zdeniowany jako

wT (λ) = det(A− λI), gdzie A ∈Mn×n(K) jest macierz¡ stowarzyszon¡ z T wzgl¦dem dowolnej

bazy. Ta denicja jest poprawna, bo jak wcze±niej pokazano wielomiany charakterystyczne

macierzy podobnych s¡ jednakowe. Jest jasne, »e stopie« wT jest równy n.

W±ród wielomianów anihilujacych T znajdzie si¦ taki, w którym am = 1 i którego stopie«

jest najmniejszy. Taki wielomian nazwiemy wielomianem minimalnym dla T . Oznaczamy go pT .

4.1.42 Fakt: Wielomian minimalny wyznaczony jest jednoznacznie.

Dowód: Je±li byªyby dwa ró»ne wielomiany minimalne p i q, to ich wiod¡ce wspóªczynniki byªyby

równe 1 i byªyby tego samego stopnia. Ich ró»nica (p − q) anihiluje T i jest stopnia ni»szego:

sprzeczno±¢.

4.1.43 Fakt: Je±li p anihiluje T , to pT |p.

Dowód: Jest jasne, »e stopie« p jest niemniejszy ni» stopie« pT . Zatem p(x) = q(x)pT (x)+r(x),gdzie stopie« wielomianu r jest mniejszy od stopnia pT . Jest jasne, »e r(T ) = p(A)−q(T )pT (A) =0. Je±li r 6= 0, to otrzymujemy sprzeczno±¢.

4.1.44 Fakt: Je±li λ ∈ K jest warto±ci¡ wªasn¡ operatora T , za± wielomian p anihiluje T , to

p(λ) = 0. W szczególno±ci pT (λ) = 0 i wT (λ) = 0.

Dowód: Mamy Tv = λv dla pewnego 0 6= v ∈ E. Wtedy, dla ka»dego k 1, T k(v) = λkv.

Zatem, dla ka»dego wielomianu p ∈ K[x], p(T )v = p(λ)v. Zatem, je»eli p anihiluje T , to 0 =p(T )v = p(λv; skoro v 6= 0, to p(λ) = 0.

Niech K = C. Wtedy wielomian minimalny ma posta¢

pT (x) = (x− µ1)d1(x− µ2)d2 · ... · (x− µs)ds ,

gdzie µ1, ...µs ∈ C s¡ pierwiastkami pT o krotno±ciach odpowiednio d1, ..., ds. Jak pokazali±my

wsród liczb µj , j = 1, .., s musz¡ znale¹¢ si¦ wszystkie warto±ci wªasne T , tzn. σ(T ) = σp(T ) ⊂µ1, ..., µs.

4.1.45 Fakt: Przy powy»szych zaªo»eniach ka»dy pierwiastek µj, j = 1, ..., s jest warto±ci¡ wªa-

sn¡ operatora T .

Dowód: Zapiszmy pT w postaci

pT (x) = (x− c1)(x− c2) · ... · (x− cn),

gdzie c1, c2, ..., cn s¡ pierwiastkami pT (z uwzgl¦dnieniem powtórze« zgodnie z krotno±ciami.

Ustalmy i = 1, ..., n tak, by ci = µj . Oczywi±cie 0 = pT (T ) = (Tv − c1v)(Tv − c2v)...(Tv − cnv)(tutaj s¡ zªo»enia) dla ka»dego v ∈ E. Dzi¦ki przemienno±ci (T − cI)(T −dI) = (T −dI)(T − cI)dla dowolnych c, d ∈ C) mo»emy napisa¢ 0 = (T−ci)(wv), gdzie wv := (T−c1I)...(T−ci−1I)(T−


ci+1I)...(T−cnI)(v) a v jest dowolnym wektorem w E. Przypu±¢my, »e ci nie jest warto±ci¡ wªasn¡

T ; zatem wv = 0 dla dowolnego v ∈ E. Rozwa»my wielomian

q(x) := (x− c1)...(x− ci−1)(x− ci+1)...(x− cn);

jego stopie« jest mniejszy ni» stopie« wielomianu minimalnego pT , lecz jak pokazali±my

q(T ) = 0: sprzeczno±¢.

Widzimy wi¦c, »e w istocie

σ(T ) = µ1, .., µs.

Krotno±ci¡ algebraiczn¡ warto±ci wªasnej µj , j = 1, ..., s, jest krotno±¢ µj jako pierwiastka

wielomianu charakterystycznego wT . Oznaczamy j¡ na(µj). Zauwa»my, »e

s∑j=1

na(µj) = n.

4.1.46 Twierdzenie: Niech T : E→ E b¦dzie operatorem o warto±ci wªasnej λ ∈ K i niech

V (λ) := v ∈ E | (T − λI)d(v) = 0 dla pewnego d = d(v) 1 =⋃j1

N (T − λI)j

b¦dzie tzw. uogólnion¡ przestrzeni¡ wªasn¡ lub przestrzeni¡ pierwiastkow¡ odpowiadaj¡c¡ warto±ci

wªasnej λ (zauwa»my, »e przestrze« wªasna Vλ ⊂ V (λ)). Wówczas istnieje r = r(λ) 1 takie, »e

V (λ) = N (T − λI)r

oraz

E = N (T − λI)r ⊕R(T − λI)r

jest rozkªadem E na sum¦ prost¡ podprzestrzeni niezmienniczych wzgl¦dem T .

Dowód: Jest raczej jasne, »e V (λ) jest (pod)przestrzeni¡ liniow¡. Oczywi±cie dimK V (λ) ¬ n.

Niech (v1, .., vk) b¦dzie baz¡ w V (λ). Dla ka»dego i = 1, ..., k musi istnie¢ ri 1, »e (T −λI)ri(vi) = 0. Wybieraj¡c r = maxi=1,..,k ri widzimy, »e (T−λI)r(vi) = 0 dla ka»dego i = 1, ..., k.St¡d V (λ) ⊂ N (T − λI)r. Z drugiej strony, z denicji, N (T − λI)r ⊂ V (λ).

Wiemy ju», »e dimKN (T − λI)r + dimKR(T − λI)r. Zatem wystarczy pokaza¢, »e N (T −λI)r∩R(T−λI)r = 0. Niech v ∈ N (T−λI)r∩R(T−λI)r. Wtedy v = (T−λI)r(w) dla pewnegow ∈ E. Skoro v ∈ N (T − λI)r, to (T − λI)2r(w) = 0 a to oznacza, »e w ∈ V (λ) = N (T − λI)r awi¦c v = (T − λI)r(w) = 0. Przestrzenie V (λ) = N (T − λI)r i R(T − λI)r s¡ niezmiennicze ze

wzgl¦du na T − λI, a wi¦c te» ze wzgl¦du na T = (T − λI)λI. .

4.1.47 Uwaga: Je±li λ = µj , j = 1, ..., s, to mo»na wykaza¢, »e r(λ) = dj , tzn.

V (µj) = N (T − µjI)dj .

Ponadto dimV (µj) = na(µj).

4.1.48 Lemat: Rodzina podprzestrzeni V (µj)sj=1 jest liniowo niezale»na, tzn. V (µj)∩(V (µ1)+... + V (µj−1) + V (µj+1) + ... + V (µs)) = 0. W konsekwencji okre±lona jest suma prosta⊕sj=1 V (µj).

4.1.49 Wniosek: Przypu±¢my, »e K = C, wielomian minimalny pT ma pierwiastki µ1, ..., µs =σ(T ) = σp(T ) o krotno±ciach odpowiednio d1, ..., ds. Wtedy, dla ka»dego j = 1, ..., s,

V (µj) = N (T − µiI)dj ,

96 4. Dodatek

przy czym dj jest najmniejsz¡ liczb¡ o tej wªasno±ci, oraz

E = V (µ1)⊕ ...⊕ V (µs) = N (T − µ1I)d1 ⊕ ...⊕N (T − µsI)ds

jest rozkªadem E na sum¦ prost¡ podprzestrzeni niezmienniczych ze wzgl¦du na T .

Przypadek K = R

Zakªadamy teraz, »e E jest sko«czenie wymiarow¡ przestrzeni¡ nad R i niech T : E → E b¦-

dzie operatorem liniowym. Z T stowarzyszamy jego kompleksykacj¦ TC oraz minimalny wie-

lomian anihiluj¡cy TC. Ma on pierwiastki rzeczywiste λ1, ..., λr ∈ R oraz pierwiastki zespolone

µ1, µ1, ..., µs, µs ∈ C.Jasne, »e

σC(T ) = σ(TC) = λ1, ..., λr, µ1, µ1, ..., µs, µs, σ(T ) = λ1, ..., λr.

Ka»da tych warto±ci wªasnych ma krotno±¢ algebraiczn¡ mi = na(λi), i = 1, ..., r, orazdj = na(µj). atwo wida¢, »e na(µj) = dj dla dowolnego j = 1, ..., s.

Ka»dej z warto±ci wªasnych λi, i = 1, ..., r, odpowiadaj¡ przestrzenie wªasne

Vλi = x ∈ E | Tx = λix, Vλi = z ∈ EC | TCz = λiz

oraz, dla j = 1, ..., s, przestrzenie wªasne

Vµj = z ∈ EC | TCz = µjz, Vµj = z ∈ EC | TCz = µjz,

a tak»e uogólnione przestrzenie wªasne

V (λi) =⋃k1

N (T − λiI)k, V (λi) =⋃k1

N (TC − λiI)k, i = 1, ..., r,

oraz

V (µj) =⋃k1

N (TC − µjI)k, V (µj) =⋃k1

N (TC − µjI)k, ; j = 1, ..., s.

Bez trudy mo»na zauwa»y¢, »e dla i = 1, ..., r,

Vλi = (Vλi)C oraz V (λi) = V (λi)C;

Ponadto dla j = 1, ...,,Vµj = Vµj

tzn. z ∈ Vµj wtedy i tylko wtedy, gdy z ∈ Vµj . Analogicznie

V (µj) = V (µj),

4.1.50 Lemat: Przypu±¢my, »e podprzestrze« W ⊂ EC tak¡, »e W = W . Niech V := v =w + w | w ∈W. Wówczas V ⊂ E i VC = W .

Dowód: Je±li w ∈ W , w = x + iy, x, y ∈ E, to w = x − iy i w + w = 2xi0 ∈ E. Zatem V jest

podprzestrzeni¡ liniow¡ w E. Mamy pokaza¢, »e VC = W . Niech z ∈ VC; wtedy z = v+ iv′, gdzie

v, v′ ∈ V , tzn. v = w + w, v′ = w′ + w′, gdzie w,w′ ∈W . Zatem

z = (w + w) + i(w′ + w′) ∈W.


Z drugiej strony je±li z ∈W , to

z =12

(z + z) + i12

(iz + iz) ∈ VC.

4.1.51 Wniosek: Dla dowolnego j = 1, ..., s, istnieje przestrze« Uj ⊂ E taka, »e (Uj)C = V (µj)⊕V (µj). Dokªadniej

Uj := z + z | z ∈ V (µj)⊕ V (µj) = z + z | z ∈ V (µj).

Dowód: Wystarczy zauwa»y¢, »e

V (µj)⊕ V (µj) = V (µj)⊕ V (µj)

i zastosowa¢ lemat.

4.1.52 Lemat: Je±li EC =⊕k

i=1(Vi)C, gdzie Vi, i = 1, ..., k, s¡ podprzestrzeniami E, to E =⊕ki=1 Vi.

Dowód: Wystarczy sprawdzi¢, »e rodzina przestrzeni Viki=1 jest liniowo niezale»na, bo dla

dowolnego i = 1, ..., k, dimR Vi = dimC(Vi)C i∑ki=1 dimC(Vi)C = n. Ustalmy i = 1, ..., k; mamy

pokaza¢, »e Vi ∩∑j=1,...,k|j 6=i Vj = 0. Przypu±¢my przeciwnie, »e istnieje v 6= 0, v ∈ Vi oraz

v = v1 + ...+ vi−1 + vi+1 + ...+ vk, gdzie vj ∈ Vj dla j = 1, ..., k, j 6= i. Wtedy v + iv ∈ Vi oraz

v + iv =∑

j=1,...,k|j 6=i(vj + ivj).

Zatem (Vi)C ∩∑j=1,...,k|j 6=i(Vj)C: sprzeczno±¢.

Z wniosku 4.1.49 wynika, »e

EC =r⊕i=1

V (λi)⊕s⊕j=1

(V (µj)⊕ V (µj)) =r⊕i=1

V (λi)C ⊕s⊕j=1

(Uj)C.

W taki razie

E =r⊕i=1

V (λi)⊕s⊕j=1

Uj ,

gdzie, dla j = 1, ..., s,Uj := u = z + z | z ∈ V (µj).

Operatory samosprz¦»one

Rozwa»ymy teraz przypadek operatora T : E→ E, gdzie E jest przestrzeni¡ wektorow¡ sko«czo-

nego wymiaru dimK E = n nad ciaªem K = R,C. Zakªada¢ b¦dziemy, »e T jest samosprz¦»ony,

tzn. T = T ∗ (przypomnijmy, »e A ∈Mn×n(K) jest macierz¡ stowarzyszon¡ z T wzgl¦dem pewnej

bazy (e1, ..., en) w E, to samosprz¦»ono±¢ oznacza, »e A = At, o ile K = R, i At = A, o ile K = C.Wiemy ju», »e wszystkie warto±ci wªasne T s¡ liczbami rzeczywistymi.

Zgodnie z twierdzeniem Sylvestera, macierz A jest diagonalizowalna (na przek¡tnej znajduj¡

si¦ by¢ mo»e powtarzaj¡ce si¦ warto±ci wªasne A) i dodatkowo, »e istnieje baza przestrzeni Kn

skªadaj¡ca si¦ z ortogonalnych wektorów wªasnych macierzy. Innymi sªowy istnieje równie» baza

98 4. Dodatek

(x1, ..., xn) przestrzeni E skªadaj¡ca si¦ z wektorów wªasnych operatora T . Je±li E jest (sko«-

czenie wymiarow¡) przestrzeni¡ Hilberta, to mo»na wybra¢ baz¦ ortonormaln¡ skªadaj¡c¡ si¦ z

wektorów wªasnych.

Otrzymujemy wi¦c

4.1.53 Twierdzenie (Twierdzenie spektralne) Je±li E jest przestrzeni¡ Hilberta (z iloczynem

skalarnym 〈·, ·〉), T : E→ E jest odwzorowaniem samosprz¦»onym, to istnieje baza ortonormalna

(x1, ..., xn) skªadaj¡ca si¦ z wektorów wªasnych o wartosciach wªasnych λ1, ..., λn ∈ R (by¢ mo»e

powtarzaj¡cych si¦). Zatem dla dowolnego x ∈ E,

Tx =n∑i=1

λi〈x, xi〉xi.

Zbadamy teraz jak ten rezultat przekªada si¦ wyniki dotycz¡ce rozkªadu.

4.1.54 Lemat: Niech E b¦dzie taka jak wy»ej i niech T : E→ E b¦dzie operatorem samosprz¦»o-

nym. Wtedy:

(i) dla dowolnej warto±ci wªasnej λ (∈ R) podprzestrze« pierwiastkowa V (λ) =⋃k1N (T −

λI)k jest równa Vλ = N (T − λ) i dimK Vλ = na(λ);(ii) je±li λ, µ s¡ warto±ciami wªasnymi, to λ 6= µ wtedy i tylko wtedy, gdy Vλ⊥Vµ.

Dowód: (i) Poka»emy, »e je±li (T − λI)2x = 0, to Tx = λx. Otó»:

〈(T−λI)2x, x〉 = 〈T (Tx−λx), x〉−λ〈Tx−λx, x〉 = 〈Tx−λx, Tx〉−〈Tx−λx,−λx〉 = ‖Tx−λx‖2.

Oczywi±cie Vλ = N (T − λ) ⊂ N (T − λI)k dla dowolnego k 1. Niech x ∈ N (T − λI)k, k 2;zatem (T − λI)2(T − λI)k−2x = 0. St¡d (T − λI)k−1x = 0 i, przez indukcj¦, Tx = λx. Zatem

N (T − λI)k = Vλ.

(ii) Dostateczno±¢ jest oczywista. Je±li λ 6= µ, x ∈ Vλ i y ∈ Vµ, to

λ〈x, y〉 = 〈Tx, y〉 = 〈x, Ty〉 = µ〈x, y〉.

Zatem 〈x, y〉 = 0.

4.1.55 Twierdzenie: Je±li E jest sko«czenie wymiarow¡ przestrzeni¡ wektorow¡, T : E → Ejest samosprz¦»ony, to

E =⊕

λ∈σ(T )

Vλ.

Je±li E jest przestrzeni¡ Hilberta, to skªadniki sumy prostej s¡ ortogonalne.

4.2 Zwarte operatory liniowe

Niech E, F b¦d¡ przestrzeniami Banacha nad ciaªem K = R,C. Odwzorowanie liniowe T : E→ Fjest zwarte, gdy obraz T (B(0, 1)) kuli otwartej jednostkowej w E jest zbiorem wzgl¦dnie zwartym.

Czasem zamiast operatorów zwartych jest mowa o operatorach peªnoci¡gªych

wiczenie: Pokaza¢, »e:(1) Operator liniowy zwarty jest ograniczony, tzn. ci¡gªy;

(2) Operator liniowy T jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ograniczonego B ⊂ E,zbiór T (B) jest wzgl¦dnie zwarty; w szczególno±ci je»eli ci¡g (xn) ⊂ E jest ograniczony, to z ci¡gu

(Txn) mo»na wybra¢ zbie»ny podci¡g.

Rodzin¦ operatorów zwartych E→ F oznacza si¦ K(E,F) lub K(E) gdy E = F.

4.2. Zwarte operatory liniowe 99

Terminologia

Warto wyja±ni¢ tu pochodzenie sªowa peªnoci¡gªo±¢. Terminologia u»yta w tym miejscu odbiega

o przyj¦tej powy»ej i zostanie zastosowana tylko lokalnie. Otó» niech E, F b¦d¡ przestrzeniami

unormowanymi i X ⊂ E i niech T : X → F b¦dzie dowolnym przeksztaªceniem.

Mo»na mówi¢ o ró»nych typach ci¡gªo±ci odwzorowania T .

(a) Odwzorowanie T jest ci¡gªe, je±li dla dowolnego ci¡gu (xn) w X z warunku xn → x

wynika, »e T (xn)→ T (x);

(b) odwzorowanie T jest demici¡gªe, je±li dla dowolnego ci¡gu (xn) w X z warunku xn → x

wynika, »e T (xn) T (x) (sªaba zbie»no±¢, tzn. dla ka»dego p ∈ E∗, 〈p, T (xn)− T (x)〉 → 0);

(c) odwzorowanie T jest sªabo ci¡gowo ci¡gªe, je±li dla dowolnego ci¡gu (xn) w X z warunku

xn x wynika, »e T (xn) T (x);

(d) odwzorowanie T jest peªnoci¡gªe, je±li dla dowolnego ci¡gu (xn) w X z warunku xn x

wynika, »e to T (xn)→ T (x).

Zauwa»my, »e je±li odwzorowanie T jest peªnoci¡gªe, to jest ci¡gªe, demici¡gªe i sªabo ci¡gowo

ci¡gªe. Czyli peªnoci¡gªo±¢ implikuje inne typy ci¡gªo±ci (st¡d przyj¦ta nazwa). Dodatkowo je±li

T jest ci¡gªe, to jest demici¡gªe.

wiczenie: Uzasadni¢ powy»sze stwierdzenie.

Mówi si¦, »e operator T jest zwarty, gdy jest ci¡gªy i dla dowolnego zbioru ograniczonego

B ⊂ X, zbiór T (B) jest wzgl¦dnie zwarty. Zauwa»my, »e zwarto±¢ T implikuje jego peªnoci¡gªo±¢.

Istotnie zaªó»my, »e T jest zwarty i niech xn x w X. Jest jasne, »e zbiór B := xnn1 jest

ograniczony (jest to konsekwencja twierdzenia Banacha-Steinhausa).

wiczenie: Udowodni¢ powy»sze stwierdzenie.

Zatem ci¡g (T (xn)) (wyj¦ty z T (B)) posiada podci¡g T (xnk) zbie»ny do pewnego y ∈ F.

wiczenie: Wykaza¢, »e st¡d wynika i» T (xn)→ T (x).

Je±li za± E jest reeksywn¡ przestrzeni¡ Banacha, a zbiór X jest sªabo domkni¦ty, to peªno-

ci¡gªo±¢ implikuje zwarto±¢.

Istotnie: jest jasne, »e peªnoci¡gªy operator T jest ci¡gªy. Niech zbiór B ⊂ X b¦dzie ograni-

czony. Reeksywno±¢ E oznacza, »e B jest zbiorem wzgl¦dnie sªabo zwartym, zatem te» wzgl¦dnie

sªabo ci¡gowo zwartym.

wiczenie: Wyja±ni¢ sk¡d wynikaj¡ podane stwierdzenia.

Poka»emy, »e zbiór T (B) jest wzgl¦dnie zwarty. Niech yn ∈ T (B), n 1, tzn. yn = T (xn),gdzie xn ∈ B, n 1. Ci¡g (xn) ma podci¡g xnk x ∈ X (tu ingeruje sªaba domkni¦to±¢ zbioru

X). Zatem, wykorzystuj¡c peªnoci¡gªo±¢, ynk = T (xnk)→ T (x) ∈ F.

Pokazane zwi¡zki dowodz¡, »e poj¦cia zwarto±ci, peªnoci¡gªo±ci s¡ sobie bliskie.

Tradycyjnie w (liniowej) analizie funkcjonalnej funkcjonuje termin operator zwarty dla opisu

operatora liniowego, który zbiory ograniczone przeksztaªca w zbiory zwarte. W nieliniowej sy-

tuacji zwartymi nazywa si¦ ci¡gªe operatory, które przeksztaªcaj¡ caª¡ dziedzin¦ w zbiór zwarty,

za± peªnoci¡gªymi te, które zbiory ograniczone przeksztaªcaj¡ w zbiory ograniczone.

Czasem jednak obu terminów u»ywa si¦ zamiennie: trzeba zawsze wiedzie¢ w jaki znaczeniu.

100 4. Dodatek

Wªasno±ci operatorów zwartych

4.2.1 Twierdzenie: Niech E,F b¦d¡ przestrzeniami Banacha. Wówczas:

(i) Je±li T ∈ L(E,F) oraz dimKR(T ) <∞, to T jest operatorem zwartym (jest to tzw. ope-

rator sko«czenie wymiarowy).

(ii) Je±li T ∈ K(E,F) oraz obraz R(T ) jest domkni¦ty, to dimKR(T ) <∞ (6) .

(iii) Zbiór K(E,F) jest domkni¦t¡ (normowo) podprzestrzeni¡ w L(E,F); K(E) jest domkni¦-

tym ideaªem (ze wzgl¦du na skªadanie)

(iv) Je±li T ∈ K(E) i λ 6= 0, to dimKN (T − λI) <∞, za± obraz R(T − λI) jest domkni¦ty.

Dowód: Dowód tego punktów (i) - (iii) twierdzenia jest do±¢ ªatwy i mo»na go znale¹¢ w ka»dym

podr¦czniku analizy funkcjonalnej (np. u Rudina).

Pierwsza cz¦±¢ (iv) wynika z (ii), za± druga cz¦±¢ wynika z nast¦puj¡cego: Przestrze« N (T −λI), jako przestrze« sko«czenie wymiarowa, ma dopeªnienie do sumy prostej, tzn. istnieje do-

mkni¦ta podprzestrze« M ⊂ E taka, »e M ⊕ N (T − λI). Zatem T − λI przeksztaªca wzajem-

nie jednoznacznie E na M , to z twierdzenia Banacha o operatorze odwrotnym oznacza, »e

(T −λI)−1 jest operatorem ograniczonym naM , a wi¦c istnieje c > 0 takie, »e c‖x‖ ¬ ‖Tx−λx‖dla x ∈ E. Dowód domkni¦to±ci R(T − λI) jest ju» prosty.

wiczenie: Doko«czy¢ ten dowód. square

W uzupeªnieniu punktu (i) wypada doda¢, »e operator T ∈ L(E,F) jest, o ile jest granic¡

operatorów sko«czenie wymiarowych, tzn. T = limn→∞ Tn (a wi¦c ‖T − Tn‖ → 0), gdzie Tn jest

operatorem sko«czenie wymiarowym (w o±rodkowych przestrzeniach Hilberta jest to równie»

warunek konieczny zwarto±ci).

Je±li T ∈ L(E,F), to operator sprz¦»ony T ∗ : F∗ → E∗ dany jest wzorem 〈T ∗q, x〉 := 〈q, Tx〉dla dowolnego q ∈ F∗ i x ∈ E. Jest jasne, »e T ∗ ∈ L(F∗,E∗)

4.2.2 Twierdzenie: (Schaudera) Je±li T : E → F jest operatorem liniowym, to T ∈ K(E,F)wtedy i tylko wtedy, gdy T ∗ ∈ K(F∗,E∗).

Najwa»niejsze (z wielu punktów widzenia) jest nast¦puj¡ce twierdzenie.

4.2.3 Twierdzenie: Niech E b¦dzie przestrzeni¡ Banacha i T ∈ K(E).(a) Je±li λ 6= 0 (λ ∈ K), to poni»sze liczby:

dimKN (T − λ), dimK Coker(T − λI), dimKN (T ∗ − λI), dimK Coker(T − λI)

s¡ sko«czone i równe. W szczególno±ci N (T −λI) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy R(T −λI) = E.(b) Maj¡ miejsce zale»no±ci

R(T − λI) = ⊥N (T ∗ − λI) oraz R(T ∗ − λI) = N (T − λI)⊥.

4.2.4 Uwaga: 1. Ostatnie stwierdzenie cz¦±ci (a) powy»szego twierdzenia nosz¡ nazw¦ alter-

natywy Fredholma. W innym sformuªowaniu mówi ona, »e: je±li T ∈ K(E), λ 6= 0, to albo dla

dowolnego y ∈ E istnieje dokªadnie jedno rozwi¡zanie x ∈ E równania Tx = λx albo równanie

Tx = λx ma niezerowe rozwi¡zanie.

2. W kontek±cie punktu (b) warto przypomnie¢, »e dla dowolnego operatora A ∈ L(E) mamy

N (A∗) = R(A)⊥, N (A) = ⊥R(A∗);6W tym kontek±cie warto przypomnie¢, »e je»eli kula otwarta w przestrzeni unormowanej jest wzgl¦dnie zwarta,

to przestrze« ta jest sko«czenie wymiarowa.

4.2. Zwarte operatory liniowe 101

tak wi¦c dla dowolnego T ∈ L(E) mamy

N (T ∗ − λI) = R(T − λI)⊥, N (T − λI) = ⊥R(T ∗ − λI).

atwo zobaczy¢ ró»nice pomiedzy powy»szym i stwierdzeniem (b). Pami¦taj¡c o wªasno±ciach

operacji ⊥ (patrz przypis na stronie 82) wiemy, »e dla dowolnego operatora

⊥N (T ∗ − λI) = ⊥(R(T − λI)⊥) = clR(T − λI)

oraz

N (T − λI)⊥ = (⊥R(T ∗ − λI))⊥ = clw∗R(T ∗ − λI).

Wobec tego pierwsza z równo±ci z punktu (b) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy R(T − λ) jest

zbiorem domkni¦tym, za± druga z tych równo±ci zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy R(T ∗ − λI)jest sªabo∗-domkni¦ta. Je±li operator T jest zwarty, to na mocy twierdzenie 4.2.1 (iv) R(T −λI)jest zbiorem domkni¦tym. Z kolei z twierdzenia Schaudera 4.2.2, operator T ∗ jest zwarty, a zatem

ponownie zbiór R(T ∗ − λI) jest (normowo) domkni¦ty; jednak nie zawsze podprzestrzenie

normowo domkni¦te s¡ sªabo∗-domkni¦te (z twierdzenia Mazura s¡ one sªabo domkni¦te) (7).

Po»¡dana sªaba∗-domkni¦to±¢ jest konsekwencj¡ tzw. twierdzenia o domkni¦tym obrazie.

4.2.5 Twierdzenie (o domkni¦tym obrazie): Je»eli T ∈ L(E,F), to podane warunki s¡ równo-

wa»ne:

(a) obraz R(T ) jest domkni¦ty;

(b) obraz R(T ∗) jest sªabo∗-domkni¦ty;

(c) zachodz¡ równo±ci R(T ) = ⊥N (T ∗) i R(T ∗) = N (T )⊥;(d) istnieje staªa c > 0 taka, »e

∀x ∈ E cd(x,N (T )) ¬ ‖Tx‖.

Widmo operatorów zwartych

(c) Je±li 0 6= λ ∈ σ(T ), to λ jest warto±ci¡ wªasn¡ T i T ∗.

(v) Je»eli dim E =∞ i T ∈ K(E), to 0 ∈ σ(T ).

(d) Zbiór σ(T ) jest zwarty, co najwy»ej przeliczalny i ma co najwy»ej jeden punkt skupienia;

jest nim 0 (0 mo»e by¢, ale nie musi, warto±ci¡ wªasn¡).

4.2.6 Przykªad: (i) Niech T : `2 → `2 dane b¦dzie wzorem T (x)1 = 0, T (x)i = (i − 1)−1xi−1

dla i 2. Wtedy operator T jest zwarty i σ(T ) = 0 oraz 0 nie jest warto±ci¡ wªasn¡.

(ii) Niech T : `2 → `2 dany b¦dzie wzorem T (x)1 = T (x)2 = 0, oraz T (x)i = (i − 1)−1xi−1

dla i 3. Wtedy σ(T ) = 0 i 0 jest warto±ci¡ wªasn¡ (o wektorze wªasnym (1, 0, 0....)).(iii) Niech λ1, ..., λn 6= 0. Rozwa»my operator T : `2 → `2 dany wzorem T (x)i = λixi dla

i = 1, ..., n oraz T (x)i = 0 dla i > n. Wtedy 0 jest warto±ci¡ wªasn¡ i σ(T ) \ 0 = λ1, ..., λn.(iv) Niech przy oznaczeniach z poprzedniego przykªadu, T (x)i = λixi dla i = 1, ..., n oraz

T (x)i = (i− 1)−1xi−1 dla i > n. Wtedy σ(T ) \ 0 = λ1, ..., λn i 0 nie jest warto±ci¡ wªasn¡.

(v) Je±li σ(T ) nie jest równe 0 oraz 0 jest warto±ci¡ wªasn¡, to niekoniecznie dimN(T ) =∞(oczywi±cie przy zaªo»eniu, »e dimX =∞). Istotnie rozwa»my operator T : `2 → `2 dany wzorem

7Przypomnijmy, »e sªaba∗ topologia jest sªabsza ni» sªaba topologia, tzn. zbiory sªabo∗-domkni¦te s¡ sªa-bo domkni¦ta (no i oczywi±cie domkni¦te. Twierdzenie Mazura mówi, »e zbiory wypukªe i domkni¦te s¡ sªabodomkni¦te. Gdy przestrze« jest reeksywna, to sªaba i sªaba∗ topologie s¡ równe.

102 4. Dodatek

T (x)1 = 0, T (x)2 = λx2 (λ 6= 0), T (x)i = (i−1)−1xi−1 dla i 3. Wtedy 0 jest warto±ci¡ wªasn¡,

dimN(T ) = 1 oraz σ(T ) = 0, λ.

Z tego wªa±nie wynika, »e 0 6= λ ∈ σ(T ) jest warto±ci¡ wªasn¡.

Dla λ 6= 0, gdzie T ∈ K(E), oraz j 1, niech

Nj(λ) := Ker (λI − T )j .

Poniewa» (λI − T )j jest postaci λjI − S gdzie S jest operatorem zwartym, to z poprzedniego

twierdzenia 0 < dimNj(λ) <∞.

4.2.7 Twierdzenie: Dla dowolnego j 1, Nj(λ) ⊂ Nj+1(λ) oraz (λI − T )Nj+1(λ) ⊂ Nj(λ).Ponadto istnieje k 1 takie, »e dla j > k, N(λ) := Nj(λ) = Nk(λ).

Niech

F (λ) = (λI − T )k(E).

Wtedy F (λ) jest podprzestrzeni¡ domkni¦t¡, T (F (λ)) ⊂ F (λ), obci¦cie T do F (λ) jest ci¡gª¡

bijekcj¡, operator λI − T obci¦ty do N(λ) jest nilpotentny oraz E = N(λ)⊕ F (λ).

Zgodnie z oznaczeniami N1(λ) = Ker (λI − T ). Je»eli 0 6= λ ∈ σ(T ), to liczb¦ k z powy»-

szego twierdzenia nazywamy krotno±ci¡ algebraiczn¡, za± przestrze« N(λ) = Nk(λ) przestrzeni¡

pierwiastkow¡ odpowiadaj¡c¡ warto±ci wªasnej λ.

4.2.8 Uwaga: Je»eli λ1, ..., λn 6= 0 s¡ ró»nymi warto±ciami wªasnymi operatora T ∈ K(E) (E

przestrze« Banacha) o krotno±ciach algebraicznych k1, ..., kn 1, odpowiednio, to przestrzenie

pierwiastkowe N(λi), i = 1, ..., n, s¡ liniowo niezale»ne, tzn. tworz¡ sum¦ prost¡.

Przypu±¢my teraz, »e H jest przestrzeni¡ Hilberta. Operator T ∈ L(H) jest normalny gdy

TT ∗ = T ∗T ; samosprz¦»ony gdy T = T ∗, unitarny gdy TT ∗ = I = T ∗T , projektorem gdy T 2 = I.

4.2.9 Twierdzenie: Niech T ∈ L(H). T jest normalny wtedy i tylko wtedy, gdy ‖Tx‖ = ‖T ∗x‖dla dowolnego x ∈ H.

Operatory normalne maja nast¦puj¡ce wªasno±ci:

(a) N(T ) = N(T ∗);(b) R(T ) jest g¦sty wtedy i tylko wtedy, gdy T jest ró»nowarto±ciowy;

(c) T jest odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje γ > 0 takie, »e ‖Tx‖ γ‖x‖;(d) Je»eli Tx = λx, to T ∗x = λx;

(e) Je±li λ, µ s¡ ró»nymi warto±ciami wªasnymi T , to N(λI − T )⊥N(µI − T ).

4.2.10 Twierdzenie: Niech U ∈ L(H). Operator U jest unitarny wtedy i tylko wtedy, gdy

R(U) = H i 〈Ux,Uy〉 = 〈x, y〉 dla dowolnych x, y ∈ H wtedy i tylko wtedy, gdy R(U) = H i

‖Ux‖ = ‖x‖.

4.2.11 Twierdzenie: Je±li U ∈ L(H) jest unitarny i λ ∈ σ(U), to |λ| = 1; je±li T ∈ L(H) jest

samosprz¦»ony, i λ ∈ σ(T ), to λ ∈ R.

4.2.12 Twierdzenie: Niech T ∈ L(H) b¦dzie operatorem normalnym. Operator ten jest zwarty

wtedy i tylko wtedy, gdy:

(a) σ(T ) nie ma punktów skupienia, by¢ mo»e poza zerem;

(b) Je±li λ 6= 0, to dimN(λI − T ) <∞.

4.2.13 Twierdzenie: Je±li T ∈ L(H) jest normalny i zwarty, to ma warto±¢ wªasn¡ λ tak¡,

»e |λ| = ‖T‖. Ka»dy punkt izolowany widma σ(T ) jest jego warto±ci¡ wªasn¡. Je»eli σ(T ) =

4.3. Widmo operatora Laplace'a 103

λ1, λ2, ... jest zbiorem przeliczalnym (tak jak w przypadku operatora zwartego), to ka»dy x ∈ Hma jednoznaczne przedstawienie w postaci

x =∞∑i=1

xi

gdzie Txi = λix)i. Ponadto xi⊥xj dla i 6= j.

Gdy operator T jest samosprz¦»ony, to

‖T‖ = sup‖x‖=1

|〈Tx, x〉|.

Dodatkowo liczby

m = inf‖x‖=1

〈Tx, x〉, M = sup‖x‖=1

〈Tx, x〉

nale»¡ do σ(T ).

4.3 Widmo operatora Laplace'a

4.3.A Rozwi¡zania równa« eliptycznych

Niech Ω ⊂ RN b¦dzie zbiorem otwartym i ograniczonym z dostatecznie gªadkim brzegiem ∂Ω.Rozwa»amy zagadnienie

−∆u(x) = f(x, u(x)), x ∈ Ω; u|∂Ω = 0

gdzie f : Ω × R → R jest funkcj¡ co najmniej ci¡gª¡. Funkcj¦ u ∈ H10 (Ω) nazwiemy sªabym

rozwi¡zaniem je±li dla dowolnego v ∈ H10 (Ω),∫

Ω〈∇u(x),∇v(x)〉 dx =

∫Ωf(x, u(x))v(x) dx.

Przy pewnych dodatkowych zaªozeniach sªabe rozwi¡zania s¡ jego rozwi¡zaniami klasycznymi.

Dla przykªadu przypu±¢my, »e równanie ma posta¢

−∆u(x) + u(x) = f(x), x ∈ Ω; u|∂Ω = 0.

4.3.1 twierdzenie:Niech f ∈ L2(Ω) i u jest sªabym rozwi¡zaniem tego równania.

(i) Je±li brzeg jest klasy C2, to u ∈ H2(Ω) oraz istnieje staªa C = C(Ω) > 0, »e

‖u‖H2 ¬ C(|f |2 + |u|2),

gdzie | · |2 jest norm¡ w L2(Ω). Gdy u jest jedynym rozwi¡zaniem, to

‖u‖H2 ¬ C|f |2.

(ii) Gdy brzeg ∂Ω jest klasy Cm+2 i f ∈ Hm(Ω), to u ∈ Hm+2 oraz dla pewnej staªej C > 0,

‖u‖Hm+2 ¬ C(‖f‖Hm + |u|2).

Je±li u jest jedynym rozwi¡zaniem, to ‖U‖Hm+2 ¬ C‖f‖Hm .(iii) Je±li m > N

2 , to przy powy»szych zaªo»eniach u ∈ C2(cl Ω,R), tzn. u jest rozwi¡zaniem

104 4. Dodatek

klasycznym.

(iv) Je±li brzeg ∂Ω jest gªadki (tzn. klasy C∞) i f ∈ C∞(cl Ω,R), to u ∈ C∞(cl Ω,R).

Na przykªad, rozwi¡zanie sªabe zagadnienia

−∆u(x) = λu(x), x ∈ Ω; u|∂Ω = 0,

gdzie brzeg ∂Ω jest klasy Cm+2, gdzie m > N2 . Kªad¡c f = (1+λ)u otrzymamy równanie postaci

jak wy»ej. Je±li u jest sªabym rozwi¡zaniem, to f ∈ L2, zatem u ∈ H2. St¡d f ∈ H2(Ω) i, dalej,u ∈ H4(Ω). Po kilku krokach poka»emy, »e f ∈ Hm. St¡d u ∈ C2. Oczywi±cie, »e je±li brzeg ∂Ωjest klasy C∞, to u ∈ C∞.

Ustalmy u ∈ H10 (Ω) i rozwa»my odwzorowanie ξ : H1

0 (Ω)→ R dane wzorem

ξ(v) =∫

Ωu(x)v(x) dx, v ∈ H1

0 (Ω).

Z nierówno±ci Poincaré wynika, »e

|ξ(v)| ¬ C|u|2‖v‖H10 .

Zatem ξ ∈ (H10 (Ω))∗. Z twierdzenie Riesza istnieje jednoznacznie wyznaczona funkcja Tu ∈

H10 (Ω) taka, ze

ξ(v) = 〈Tu, v〉H10 (Ω).

4.3.2 fakt: Operator T : H10 (Ω) → H1

0 (Ω) jest operatorem liniowym ci¡gªym, peªnoci¡gªym i

samosprz¦»onym.

Operator ten cz¦sto oznacza si¦ symbolem (−∆)−1

Zauwa»my jeszcze, »e je±li Tu = 0, to 〈Tu, v〉H10 = 0 dla dowolnego v ∈ H10 (Ω), zatem u = 0.

Czyli 0 nie jest warto±ci¡ wªasn¡. Dla dowolnego u ∈ H10 (Ω), 〈Tu, u〉H10 = |u|22 0. To oznacza,

»e warto±ci wªasne operatora T s¡ dodatnie. Peªnoci¡gªo±¢ T oznacza, »e σ(T ) = σp(T ) jest

zbiorem co najwy»ej przeliczalnym i 0 jest jego (jedynym) punktem skupienia je»eli jest to zbiór

niesko«czony. Zauwa»my dalej, »e je±li µ > 0 jest warto±ci¡ wªasn¡ T , tzn. Tu = µu dla pewnego

u ∈ H10 (Ω), tzn. u ∈ VT (µ), to

µ

∫Ω〈∇u(x),∇v(x) dx = µ〈u, v〉H10 = 〈Tu, v〉H10 =

∫Ωu(x)v(x) dx.

Zatem u jest (sªabym) rozwi¡zaniem problemu −∆u(x) = 1µu(x) w Ω i u|∂Ω = 0. Zatem

4.3.3 Twierdzenie: Operator −∆ ma co najwy»ej przeliczaln¡ liczb¦ warto±ci wªasnych, które

s¡ odwrotno±ciami warto±ci wªasnych operatora T = (−∆)−1. Krotno±¢ ka»dej warto±ci wªasnej

−∆ jest sko«czona. Krotno±¢ pierwszej warto±ci wªasnej jest 1. Istnieje dodatnia funkcja wªasna

dla λ1.

Opiszemy warto±ci wªasne

Niech Ω ⊂ RN zbiór otwarty ograniczony z dostatecznie gªadkim brzegiem. Interesuje nas

problem

−∆u = λAu w Ω; u = (u1, ..., um), u|∂Ω = 0,

gdzie A ∈Mm×m(R) (tzn. A ∈ S(m; R) zbiór macierzy symetrycznych) jest macierz¡ symetrycz-

n¡, λ ∈ R. Niech

H :=m⊕i=1

H10 (Ω) = H1

0 (Ω,Rm)


z iloczynem skalarnym

〈u, v〉H :=m∑i=1

〈ui, vi〈H10 (Ω)=m∑i=1

∫Ω∇ui · ∇vi.

Jak zwykle σ(A) widmo macierzy A, µA(α) jest algebraiczn¡ krotno±ci¡ warto±ci wªasnej

α ∈ σ(A). Ponadto

σ(∆; Ω) = λk ∈ R | 0 < λ1 < λ2 ¬ λ3 ¬ ... ¬ λk ¬ ...

oznacza zbiór warto±ci wªasnych zagadnienia

−∆u = λu w Ω; u|∂Ω = 0.

Niech V∆(λk) b¦dzie przestrzeni¡ wªasn¡ operatora −∆ odpowiadaj¡c¡ warto±ci wªasnej λk.

Ponadto µ∆(λk) = dimVδ(λk).Niech Φ : H× R→ R b¦dzie dany wzorem

Φ(u, λ) :=12

∫Ω|∇u(x)|2 − λ〈Au(x), u(x)〉 dx, u ∈ H, λ ∈ R.

Wiadomo, »e punkty krytyczne Φ s¡ we wzajemnie jednoznacznej odpowiednio±ci ze sªabymi

rozwi¡zaniami wyj±ciowego problemu. Wiadomo, »e Φ ∈ C2(H× R,R).

4.3.4 Fakt: Operator ∇uΦ : H × R → H jest liniowym samosprz¦»onym operatorem postaci

∇uΦ(u, λ) = u− λLAu, gdzie

LA = diag((−∆)−1, ..., (−∆)−1) ·A = (−∆)−1A : H→ H

jest operatorem zwartym zadanym wzorem

〈LAu, v〉H =∫〈Au(x), v(x)〉, dx.

Dowód: Istotnie

〈∇uΦ(u, λ), ϕ〉 =∫

Ω〈∇u(x),∇ϕ(x)〉 − λ〈Au(x), ϕ(x)〉 dx = 〈u, ϕ〉H − λ〈LAu, ϕ〉H = 〈u− λLAu, ϕ〉H.

Poka»emy, »e LA = (−∆)−1A. Ustalmy u ∈⊕m

i=1 V∆(λk). Wtedy

〈LAu, ϕ〉H =∫

Ω〈Au(x), ϕ(x)〉 dx =

∫Ω

(1λkλkAu(x), ϕ(x)〉

), dx =

1λk

∫Ω〈((−∆)Au(x), ϕ(x)〉 dx =

1λk

∫Ω〈∇Au(x), ϕ(x)〉 dx =

1λk〈Au,ϕ〉H = 〈(−∆)−1Au,ϕ〉H.

Liniowo±¢ jest oczywista, samosprz¦»ono±¢ wynika z symetryczno±ci macierzy A, za± zwarto±¢,

ze zwarto±ci (−∆)−1.

Poªó»my

Hk :=m⊕i=1

V∆(λk) =m⊕j=1

V∆(λk).

Wówczas

H = cl

( ∞⊕k=1

Hk

).

106 4. Dodatek

4.3.5 Lemat: Niech (e1, ..., em) oraz (f1, ..., fm) bazy w Rm i λk ∈ σ(λk; Ω). Niech

V :=

m∑i=1

ϕi · ei | ϕi ∈ V∆(λk)

, W :=

m∑i=1

ϕi · fi | ϕi ∈ V∆(λk)

.

Wtedy V = W .

Dowód: Ustalmy dowolne ϕ1, ..., ϕm ∈ Vδ(λk) i niech v =∑mi=1 ϕi · ei. Zatem v ∈ V . Istniej¡

liczby αij , i, j = 1, ...,m, »e ei =∑mj=1 αijfj . Wtedy

v =m∑i=1

ϕi · ei =∑i=1

m∑j=1

αijfj

=

m∑j=1

(m∑i=1

ϕiαijfj

)=∑j=1

m∑j=1

ϕiαij

· fj ∈W.To dowodzi, »e V ⊂W . Analogicznie pokazuje si¦, »e W ⊂ V .

Niech teraz (e1, ..., em) b¦dzie baz¡ kanoniczna w Rm. Zauwa»my, »e

Hk =

m∑i=1

ϕiei | ϕi ∈ V∆(λk)

, k ∈ N.

Zakªadamy, »e

σ(A) = α1, ..., αp.

Wtedy Rm =⊕p

i=1 VA(αi). Je±li wi¦c (f1i , ..., f

µA(αi)i ) jest baz¡ w VA(λi), to zgodnie z lematem

Hk =

p∑i=1

µA(αi)∑j=1

ϕij · f ji | ϕij ∈ V∆(λk)

.tzn.

Hk =µA(α1)⊕i=1

V∆(λk)⊕ ....⊕µA(αp)⊕i=1

V∆(λk).

Wobec tego odwzorowanie (−∆)−1A : H→ H ma posta¢

(−∆)−1A = diag

(α1

λkIα1,λk , ...,

αpλkIαp,λk

),

gdzie Iαj ,λk jest identyczno±ci¡ na⊕µA(αj)i=1 V∆(λk).

4.3.6 Stwierdzenie: Nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne:

(i) Wyj±ciowy problem ma niezerowe rozwi¡zanie;

(ii) operator I − λLA : H→ H nie jest izomorzmem;

(iii) σ(∆; Ω) ∩ σ(λA) 6= ∅.

Dowód: 0 6= u ∈ H jest rozwi¡zaniem wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ϕ ∈ H∫Ω〈∇u,∇ϕ〉 − 〈Au,ϕ〉 = 0


co jest równowa»ne temu, »e 〈(I−λLA)u, ϕ〉H = 0 a to jest równowa»ne temu, »e u ∈ N (I−λLA).Operator I − λLA jest nie jest izomorzmem wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego k 1,

(I − λA)|Hk nie jest izomorzmem. Z kolei

(I − λLA)|Hk = diag

((1− λα1

λk

)Iα1,λk , ...,

(1− λαp

λk

)Iαp,λk

).

Nie jest to izomorzm wtedy i tylko wtedy, gdy λαi = λk dla pewnego i = 1, ..., p, czyli λk ∈σ(λA).

4.3.7 Wniosek: Równanie wyj±ciowe ma niezerowe rozwi¡zanie wtedy i tylko wtedy, gdy

λ ∈⋃k1

⋃α∈σ(A)\0

λkα

.

Niech F := I − λLA; wystarcza bada¢ Fk := FHk bo Hk s¡ niezmiennicze dla F .

Je»eli σ(λA) ∩ σ(∆; Ω) 6= ∅, to:

H(0,λA) = N (F ) = VλLA(1) =p⊕j=1

⊕αj=λk∈σ(λA)∩σ(∆;Ω)

µA(αj)⊕k=1

V∆(λk).

H(−λA) =⊕

γ∈σ(λA)∩(1,+∞)

VλLA(γ) =p⊕j=1

⊕λk∈(0,αj)∩σ(∆;Ω)

µA(αj)⊕k=1

V∆(λk).

H(+,λA) = (H(0.λA) ⊕H(−,λA))⊥.

wojciech kryszewski - umkwkrysz/attachments/mtrr.pdf · 2010-02-27 · wojciech kryszewski metody...

Documents