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Workshop Robotik Hochschule Mittweida
Koordinatentransformation bei IndustrieroboternInhalt:• Mechanischer Roboteraufbau, Achsen, Koordinaten• Koordinatentransformationen, vorwärts, rückwärts Aufgabenbeschreibung• Vorwärtstransformation (direkt): Denavit – Hartenberg• Rücktransformation (invers): Jacobiverfahren, Kritik des benutzten Lösungsweges• Lösungsmöglichkeiten RT (Θ-r) – Roboter (einfache Lehrbeispiele)
Handhabung:
Positionierung, Orientierung ~ Eulersche Winkel
Kartesisch:
z: Zugriffsrichtung, y: Orientierungsrichtung , x: Normale
Freiheitsgrad f: 6 Robotersystem: 6 Achsen
Technologischer IR : Technologische Hauptaufgabe (Master)
• Fertigungsaufgaben
• alle anderen Systeme – Slaves des Roboters
• TCP: Greifer-, Werkzeugführung räumliche Bahnen
Prof. Dr.-Ing. Klaus Müller FB IT & ET Institut für Automatisierungstechnik - Robotik
kartesische Koordinaten
Roboterkoordinaten
Steuerungsablauf in der Robotersteuerung (Bahngenerierung)
Robotersteuerung Struktur der hier interessierenden Teile
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Bauarten: mechanisch, lineare kinematische Kette (ohne Verzweigungen)
Konzentrierte Anordnung Positionierung: GrundachsenOrientierung: Hand Position: = konstant
Gelenkanordnung: antropomorph nur Drehgelenke, keine prismatischen Gelenke, Bewegungsachsen stehen senkrecht aufeinander
Arbeitsraum
Bewegungsmöglichkeiten: Hauptachsen und Handachsen
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Andere Anordnungen:
SCARA-Roboter: 3 Achsen parallel TRICEPT-Roboter Comau mehrer Antriebe
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Roboter in Gelenkkoordinaten Roboter in kartesischen Koordinaten
Direkte -,Vorwärtstransformation
ROBOTIK I
Inverse, Rückwärtstransformation ROBOTIK II
Einzelachsbewegung, Bewegung des TCP Positionierung, Orientierung
Direkte -, Vorwärtstransformation Inverse -, Rücktransformation,
Lehraufgabe:
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Rotation um x-Achse, um – x: TCP: gleicher Raumpunkt Völlig andere Konstellation, alle Achsen betreffend
Orientierung: Rotation um Achsen des TCPF (Eulersche Winkel)
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Vorwärtstransformation (Transformation von Roboterkoordinaten in kartesische Koordinaten)
Beliebiger Mechanismus:
Berechnung des TCPF (kartesische ~) aus Werten der Achsparameter, -variablen (Roboter ~)
Einschränkung der Gelenkbauarten nur rotatorisch und prismatisch ~ Meßsystem, Antrieb
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Gelenkparameter: Θ, d, a, α: Beschreibung mit homogenen Matrizen
Rotatorisches, prismatisches Gelenk
TTTTT
daa
Tpaonpaonpaon
Tiii
iiiiiii
iiii
zzzz
yyyy
xxxx
32
21
10
30
iii
1ii
1000cossin0
sinsincoscoscossincossin sincossin-cos
1000
∗∗==
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ΘΘ−ΘΘΘΘΘΘΘ
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
= +
ααααα
Denavit – Hartenberg – Notation: 2 Rot, 2 Trans, Abbildung des Systems i auf i - 1, immer eindeutig
1. Rotation um Θi um Achse z i-12. Verschiebung um di auf Achse zi-1
3. Verschiebung um ai auf x-Achse
4. Rotation um αi um x-Achse
Beschreibung der Systeme untereinander
Homogene Matrix für ein Gelenk:
Kette von 3 Gelenken :
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ROBOTIK I 1. Übung Vorwärtstransformation
Re-Frame Reference Frame, x, y, z
Stützpunkt-Koordinaten
1. z-Achsen markieren
2. Hilfskoordinatensystem beschreiben
3. Übergang von System i in i + 1 beschreiben
R, R, R
~ Gedachtes Koordinatensystem im Achssystem vom Ursprung zu der nächsten Achse verschieben, Reihenfolge
Prof. Dr.-Ing. Klaus Müller FB IT & ET, FG Automatisierungstechnik - Robotik
4. Drehung um Θ (um z) variabel
5. Verschiebung um d (auf z) konstant
6. Verschiebung um a (auf x) konstant
7. Drehung um α (um x-Achse, bis z-Achse ausgerichtet) konstant
ROBOTIK I 1. Übung Vorwärtstransformation
RGB = x, y, zWeltkoordinaten im Stützpunkt =
Stützpunktkoordinaten
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2
1
3
zo-Achse
Nr. θ d a α
1 0 0 a1 0
2 0 0 a2 + 90°
3 + 90° d3 a3 + 90°
ROBOTIK I 1. Übung Vorwärtstransformation
.... ),(),(),(),( ),(),(),(),(
),(),(),(),(
33333333
22222222
11111111
3213
0
=∗∗∗Θ∗∗∗∗Θ
∗∗∗∗Θ=∗∗=
xRxaTzdTzRxRxaTzdTzR
xRxaTzdTzRAAAT
αα
α
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Nomenklatur (Mue.): Element 0 3, Base TCP (Vorwärtstransformation)
Element 3 0, TCP Base (Rückwärtstransformation)K∗∗= −−−
1110
3 nn AAT∗∗= 21
30 AAT
Linearbewegung in z-Richtung des TCP
Rotationen des TCP um seine x-, y-, z-Achse
Rotation um z-Achse (blau) Rotation um y-Achse (grün)
TCP in Weltkoordinaten
TCP in lokalen Koordinaten
Rückwärtstransformation
Positionierung und Orientierung des TCPF in kartesischen Koordinaten vorgegeben,
Berechnung der Achsvariablen (die sind vom Mechanismus und der Steuerung zu stellen)
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⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
=
100010000 2322
21321121
11321121
03
zzzz
yyyy
xxxx
paonpaonpaon
cdcsssdssccsscdscscc
T
23
21
213213213
2
21
21
1
111
222
21
21
sincossincos
0
arcsin sin arcsin sin
cdp
sspΘΘ
p, dΘΘdpscdp
ca
ssasca
o
co o Θ, oΘso
nΘ,nΘsn
csnccn
z
y
xxx
z
y
x
z
y
xxx
zzz
y
x
−=
=
===
−=
===
−=======
==
Beschreibung des TCP bezüglich Baseframe:
Rücktransformation Roboter RRT Berechnung der und di aus dem TCPFiΘ
Aus inversen Gelenkmatrizen:
Lösung durch Kooeffizientenvergleich:
Gelenkvariablen des RRT-Roboters
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Nicht effektiv
Abbildung von Geschwindigkeiten:
Geschwindigkeiten im Gelenkraum auf Geschwindigkeiten des TCP im kartesischen Raum u.u.
( ) qqJx && ⋅=Differenzialquotienten (d/dt) Differenzenquotienten, Weg / Taktzeit
( ) ( ) xqJqqqJx ∆⋅=∆→∆⋅=∆ −1
Jacobiverfahren
Hier: Geschwindigkeit des TCP - Geschwindigkeit des Vektors p (von Basis des Koord.-systems zum TCP)
1x∆
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Jacobi-Matrix des θ-r – Manipulators
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
dydx
D
[ ]TyxD &&,= [ ]Trr
D Θ=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Θ
=Θ&&
&
&,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Θ
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡&
&
&
& rJJJJ
yx
2221
1211
Θ⋅⋅Θ+Θ⋅=Θ+Θ=
Θ⋅⋅Θ−Θ=Θ⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅+Θ⋅=
cossinsinsin)(
sincoscoscos)(
rrtrtr
dtdy
rrt
rtr
dtdx
&&
&&
δδ
δδ
δδ
δδ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡θθθ
θθ&
&
&
& rrr
yx
*sinsinsincos
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
θθθθ
θcossinsincos
,rr
rJ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡yx
rx
ry
ry
rxr
&
&
&
&*
22θ
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=−
22
1),(
rx
ry
ry
rx
J r θ
Differentialverschiebung Differenzenverschiebung / Taktzeit
Θ⋅= DJDBerechnung des TCP-Koordinaten aus Roboterkoordinaten:
Nebenrechnung:
mit:
Jetzt sind kartesische Punkte für den TCP vorgebbar, die Stellung des Mechanismus in Roboterkoordinaten ist erzwingbar
Trajektorien, Bahnen, Bahnplanung muss vorhanden sein!
mit:
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θ r – Manipulator
Sollbahnen (mathematisch), Punktvorgabe kein Bewegungsverhalten
Animationen Mathcad, abgeleitete Gleichungen Mathcad übernimmt die Bahnplanung
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Arbeitsspeicher
Entscheidung über Art des Befehles
Geometrieanweisung Ablaufanweisung inout
Bahnplanung, Bahnerzeugung Koordinatentransformation
MeßsystemeInterpolator 1 Interpolator 2
Koordinatentransformation
Lageregler 1...6
Antriebe 1 .. 6
Bahnglättung
Kartesische Koordinaten Maschinenkoordinaten
Bahnplanungssystem
Roboter mit Gelenkkoordinaten Roboter in kartesischen Koordinaten
Direkte -,Vorwärtstransformation
ROBOTIK I
Inverse, Rückwärtstransformation ROBOTIK II
• Homogene Matrizen,
• DH-Beschreibung,
Gelenkbeschreibung, Gelenkmatrizen
• Kinematische Ketten,
Armmatrizen
Vorwärtstransformation: Rückwärtstransformation:
• Inverse Gelenkmatrizen.
• Jacobi-Verfahren (Vereinfachungen)
• Anwendungen an einem einfachen Beispiel
Zusammenfassung
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Beispiel eines θ-r – Manipulatorsmit mit Bahnplanung