wprowadzenie do fal grawitacyjnych - umkjacekj/files/fale/fale-graw-2016.pdfapplications of the...
TRANSCRIPT
![Page 1: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/1.jpg)
Wprowadzenie do fal grawitacyjnych
Jacek Jurkowski
Instytut Fizyki
2016
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 1(126)
![Page 2: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/2.jpg)
Plan wykładu
1 Wprowadzenie i trochę historii2 Podstawowe pojęcia i formalizm Ogólnej Teorii Względności3 Podstawy opisu falowego4 Równanie falowe w przybliżeniu słabego pola grawitacyjnego5 Moc promieniowania grawitacyjnego. Przykłady źródeł6 Promieniowanie grawitacyjne od układu podwójnego7 Detekcja promieniowania grawitacyjnego
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 2(126)
![Page 3: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/3.jpg)
Plan wykładu
1 Wprowadzenie i trochę historii2 Podstawowe pojęcia i formalizm Ogólnej Teorii Względności3 Podstawy opisu falowego4 Równanie falowe w przybliżeniu słabego pola grawitacyjnego5 Moc promieniowania grawitacyjnego. Przykłady źródeł6 Promieniowanie grawitacyjne od układu podwójnego7 Detekcja promieniowania grawitacyjnego
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 2(126)
![Page 4: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/4.jpg)
Motywacja
14.09.2015: pierwszy raz w historii zarejestrowano falęgrawitacyjną
11.02.2016 r. oficjalnie to ogłoszono
artykuł z Am. J. Phys. 75, 597 (2007)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 3(126)
![Page 5: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/5.jpg)
Motywacja
14.09.2015: pierwszy raz w historii zarejestrowano falęgrawitacyjną
11.02.2016 r. oficjalnie to ogłoszono
artykuł z Am. J. Phys. 75, 597 (2007)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 3(126)
![Page 6: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/6.jpg)
Motywacja
14.09.2015: pierwszy raz w historii zarejestrowano falęgrawitacyjną
11.02.2016 r. oficjalnie to ogłoszono
artykuł z Am. J. Phys. 75, 597 (2007)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 3(126)
![Page 7: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/7.jpg)
Literatura
Jayant Narlikar, An Introduction to Relativity, Cambridge Univ.Press.
S. Weinberg, Gravitation and Cosmology. Principles andApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons.
Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,Gravitational-Wave Physics and Astronomy. An Introduction toTheory, Experiment and Data Analysis, Wiley.
Michele Maggiore, Gravitational Waves. Theory andExperiments, Oxford Univ. Press.
B. F. Schutz, Wstęp do ogólnej teorii względności, WydawnictwoNaukowe PWN.
J. Foster, J. D. Nightingale, Ogólna teoria względności,Wydawnictwo Naukowe PWN.
L. D. Landau, J. M. Lifszic, Teoria pola, Wydawnictwo NaukowePWN.
M. Demiański, Astrofizyka relatywistyczna, Biblioteka Fizyki,Wydawnictwo Naukowe PWN
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 4(126)
![Page 8: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/8.jpg)
Literatura
Jayant Narlikar, An Introduction to Relativity, Cambridge Univ.Press.
S. Weinberg, Gravitation and Cosmology. Principles andApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons.
Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,Gravitational-Wave Physics and Astronomy. An Introduction toTheory, Experiment and Data Analysis, Wiley.
Michele Maggiore, Gravitational Waves. Theory andExperiments, Oxford Univ. Press.
B. F. Schutz, Wstęp do ogólnej teorii względności, WydawnictwoNaukowe PWN.
J. Foster, J. D. Nightingale, Ogólna teoria względności,Wydawnictwo Naukowe PWN.
L. D. Landau, J. M. Lifszic, Teoria pola, Wydawnictwo NaukowePWN.
M. Demiański, Astrofizyka relatywistyczna, Biblioteka Fizyki,Wydawnictwo Naukowe PWN
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 4(126)
![Page 9: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/9.jpg)
Literatura
Jayant Narlikar, An Introduction to Relativity, Cambridge Univ.Press.
S. Weinberg, Gravitation and Cosmology. Principles andApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons.
Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,Gravitational-Wave Physics and Astronomy. An Introduction toTheory, Experiment and Data Analysis, Wiley.
Michele Maggiore, Gravitational Waves. Theory andExperiments, Oxford Univ. Press.
B. F. Schutz, Wstęp do ogólnej teorii względności, WydawnictwoNaukowe PWN.
J. Foster, J. D. Nightingale, Ogólna teoria względności,Wydawnictwo Naukowe PWN.
L. D. Landau, J. M. Lifszic, Teoria pola, Wydawnictwo NaukowePWN.
M. Demiański, Astrofizyka relatywistyczna, Biblioteka Fizyki,Wydawnictwo Naukowe PWN
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 4(126)
![Page 10: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/10.jpg)
Literatura
Jayant Narlikar, An Introduction to Relativity, Cambridge Univ.Press.
S. Weinberg, Gravitation and Cosmology. Principles andApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons.
Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,Gravitational-Wave Physics and Astronomy. An Introduction toTheory, Experiment and Data Analysis, Wiley.
Michele Maggiore, Gravitational Waves. Theory andExperiments, Oxford Univ. Press.
B. F. Schutz, Wstęp do ogólnej teorii względności, WydawnictwoNaukowe PWN.
J. Foster, J. D. Nightingale, Ogólna teoria względności,Wydawnictwo Naukowe PWN.
L. D. Landau, J. M. Lifszic, Teoria pola, Wydawnictwo NaukowePWN.
M. Demiański, Astrofizyka relatywistyczna, Biblioteka Fizyki,Wydawnictwo Naukowe PWN
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 4(126)
![Page 11: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/11.jpg)
Cele wykładu
od teorii do detekcji fal grawitacyjnych.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 5(126)
![Page 12: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/12.jpg)
Cele wykładu
od teorii do detekcji fal grawitacyjnych.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 5(126)
![Page 13: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/13.jpg)
Cele wykładu
od teorii do detekcji fal grawitacyjnych.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 5(126)
![Page 14: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/14.jpg)
Cele wykładu
od teorii do detekcji fal grawitacyjnych.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 5(126)
![Page 15: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/15.jpg)
Cele wykładu
jakie informacje niesie sygnał grawitacyjny
formalizm matematyczny fal grawitacyjnych
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 6(126)
![Page 16: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/16.jpg)
Cele wykładu
jakie informacje niesie sygnał grawitacyjny
formalizm matematyczny fal grawitacyjnych
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 6(126)
![Page 17: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/17.jpg)
Cele wykładu
jakie informacje niesie sygnał grawitacyjny
formalizm matematyczny fal grawitacyjnych
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 6(126)
![Page 18: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/18.jpg)
Cele wykładu
modelowanie prostych źródeł fal grawitacyjnych
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 7(126)
![Page 19: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/19.jpg)
Cele wykładu
modelowanie prostych źródeł fal grawitacyjnych
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 7(126)
![Page 20: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/20.jpg)
Fale
1 Zmienne w czasie i przestrzeni zaburzenia ośrodka:ψ(x, y, z, t) = ψ(~r, t)
2 Rozwiązania równania falowego
1c2
∂2ψ(~r, t)∂t2 = ∇2ψ(~r, t) ⇐⇒ ψ(~r, t) = 0
fale płaskie: ψ(~r, t) = A sin(k~r−ωt)fale kuliste: ψ(~r, t) = A/r sin(r− ct)ogólnie: ψ(~r, t) = f (r− ct)zasada superpozycji!
Fale grawitacyjne
W ogólności fale grawitacyjne nie spełniają (liniowego) równania falo-wego ⇐⇒ nie obowiązuje dla nich zasada superpozycji
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 8(126)
![Page 21: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/21.jpg)
Fale
1 Zmienne w czasie i przestrzeni zaburzenia ośrodka:ψ(x, y, z, t) = ψ(~r, t)
2 Rozwiązania równania falowego
1c2
∂2ψ(~r, t)∂t2 = ∇2ψ(~r, t) ⇐⇒ ψ(~r, t) = 0
fale płaskie: ψ(~r, t) = A sin(k~r−ωt)fale kuliste: ψ(~r, t) = A/r sin(r− ct)ogólnie: ψ(~r, t) = f (r− ct)zasada superpozycji!
Fale grawitacyjne
W ogólności fale grawitacyjne nie spełniają (liniowego) równania falo-wego ⇐⇒ nie obowiązuje dla nich zasada superpozycji
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 8(126)
![Page 22: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/22.jpg)
Fale
1 Zmienne w czasie i przestrzeni zaburzenia ośrodka:ψ(x, y, z, t) = ψ(~r, t)
2 Rozwiązania równania falowego
1c2
∂2ψ(~r, t)∂t2 = ∇2ψ(~r, t) ⇐⇒ ψ(~r, t) = 0
fale płaskie: ψ(~r, t) = A sin(k~r−ωt)fale kuliste: ψ(~r, t) = A/r sin(r− ct)ogólnie: ψ(~r, t) = f (r− ct)zasada superpozycji!
Fale grawitacyjne
W ogólności fale grawitacyjne nie spełniają (liniowego) równania falo-wego ⇐⇒ nie obowiązuje dla nich zasada superpozycji
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 8(126)
![Page 23: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/23.jpg)
Fale
1 Zmienne w czasie i przestrzeni zaburzenia ośrodka:ψ(x, y, z, t) = ψ(~r, t)
2 Rozwiązania równania falowego
1c2
∂2ψ(~r, t)∂t2 = ∇2ψ(~r, t) ⇐⇒ ψ(~r, t) = 0
fale płaskie: ψ(~r, t) = A sin(k~r−ωt)fale kuliste: ψ(~r, t) = A/r sin(r− ct)ogólnie: ψ(~r, t) = f (r− ct)
zasada superpozycji!
Fale grawitacyjne
W ogólności fale grawitacyjne nie spełniają (liniowego) równania falo-wego ⇐⇒ nie obowiązuje dla nich zasada superpozycji
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 8(126)
![Page 24: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/24.jpg)
Fale
1 Zmienne w czasie i przestrzeni zaburzenia ośrodka:ψ(x, y, z, t) = ψ(~r, t)
2 Rozwiązania równania falowego
1c2
∂2ψ(~r, t)∂t2 = ∇2ψ(~r, t) ⇐⇒ ψ(~r, t) = 0
fale płaskie: ψ(~r, t) = A sin(k~r−ωt)fale kuliste: ψ(~r, t) = A/r sin(r− ct)ogólnie: ψ(~r, t) = f (r− ct)zasada superpozycji!
Fale grawitacyjne
W ogólności fale grawitacyjne nie spełniają (liniowego) równania falo-wego ⇐⇒ nie obowiązuje dla nich zasada superpozycji
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 8(126)
![Page 25: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/25.jpg)
Fale
1 Zmienne w czasie i przestrzeni zaburzenia ośrodka:ψ(x, y, z, t) = ψ(~r, t)
2 Rozwiązania równania falowego
1c2
∂2ψ(~r, t)∂t2 = ∇2ψ(~r, t) ⇐⇒ ψ(~r, t) = 0
fale płaskie: ψ(~r, t) = A sin(k~r−ωt)fale kuliste: ψ(~r, t) = A/r sin(r− ct)ogólnie: ψ(~r, t) = f (r− ct)zasada superpozycji!
Fale grawitacyjne
W ogólności fale grawitacyjne nie spełniają (liniowego) równania falo-wego ⇐⇒ nie obowiązuje dla nich zasada superpozycji
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 8(126)
![Page 26: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/26.jpg)
Fale grawitacyjne — historia
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 9(126)
![Page 27: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/27.jpg)
Fale grawitacyjne — historia
11.1915: A. Einstein publikuje pracę The Formal Foundation ofthe General Theory of Relativity,
02.1916: idea fal grawitacyjnych zrodziła się po wymianie listówpomiędzy A. Einsteinem a K. Schwarzschildem,
06.1916: artykuł A. Einsteina Approximative Integration of theField Equations of Gravitation skierowany do Pruskiej AkademiiNauk z wyprowadzeniem równania falowego
kontrowersje wokół istnienia fal grawitacyjnych i problemu, czyprzenoszą one energię trwały do połowy lat 50-tych,
uznanie istnienia fal grawitacyjnych (A. Trautman, H. Bondi, R.Feynmann)
lata 60-te: pierwsze (uznane jako nieudane) próby detekcji(Joseph Weber) w oparciu o drgania dwóch jednotonowychwalców aluminiowych na Uniwersytecie Maryland
1974: pośrednie potwierdzenie istnienia fal grawitacyjnych (J.Taylor, R. Hulse) — układ podwójny dwóch pulsarów PSRB1913+16
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 10(126)
![Page 28: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/28.jpg)
Fale grawitacyjne — historia
11.1915: A. Einstein publikuje pracę The Formal Foundation ofthe General Theory of Relativity,
02.1916: idea fal grawitacyjnych zrodziła się po wymianie listówpomiędzy A. Einsteinem a K. Schwarzschildem,
06.1916: artykuł A. Einsteina Approximative Integration of theField Equations of Gravitation skierowany do Pruskiej AkademiiNauk z wyprowadzeniem równania falowego
kontrowersje wokół istnienia fal grawitacyjnych i problemu, czyprzenoszą one energię trwały do połowy lat 50-tych,
uznanie istnienia fal grawitacyjnych (A. Trautman, H. Bondi, R.Feynmann)
lata 60-te: pierwsze (uznane jako nieudane) próby detekcji(Joseph Weber) w oparciu o drgania dwóch jednotonowychwalców aluminiowych na Uniwersytecie Maryland
1974: pośrednie potwierdzenie istnienia fal grawitacyjnych (J.Taylor, R. Hulse) — układ podwójny dwóch pulsarów PSRB1913+16
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 10(126)
![Page 29: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/29.jpg)
Fale grawitacyjne — historia
11.1915: A. Einstein publikuje pracę The Formal Foundation ofthe General Theory of Relativity,
02.1916: idea fal grawitacyjnych zrodziła się po wymianie listówpomiędzy A. Einsteinem a K. Schwarzschildem,
06.1916: artykuł A. Einsteina Approximative Integration of theField Equations of Gravitation skierowany do Pruskiej AkademiiNauk z wyprowadzeniem równania falowego
kontrowersje wokół istnienia fal grawitacyjnych i problemu, czyprzenoszą one energię trwały do połowy lat 50-tych,
uznanie istnienia fal grawitacyjnych (A. Trautman, H. Bondi, R.Feynmann)
lata 60-te: pierwsze (uznane jako nieudane) próby detekcji(Joseph Weber) w oparciu o drgania dwóch jednotonowychwalców aluminiowych na Uniwersytecie Maryland
1974: pośrednie potwierdzenie istnienia fal grawitacyjnych (J.Taylor, R. Hulse) — układ podwójny dwóch pulsarów PSRB1913+16
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 10(126)
![Page 30: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/30.jpg)
Fale grawitacyjne — historia
11.1915: A. Einstein publikuje pracę The Formal Foundation ofthe General Theory of Relativity,
02.1916: idea fal grawitacyjnych zrodziła się po wymianie listówpomiędzy A. Einsteinem a K. Schwarzschildem,
06.1916: artykuł A. Einsteina Approximative Integration of theField Equations of Gravitation skierowany do Pruskiej AkademiiNauk z wyprowadzeniem równania falowego
kontrowersje wokół istnienia fal grawitacyjnych i problemu, czyprzenoszą one energię trwały do połowy lat 50-tych,
uznanie istnienia fal grawitacyjnych (A. Trautman, H. Bondi, R.Feynmann)
lata 60-te: pierwsze (uznane jako nieudane) próby detekcji(Joseph Weber) w oparciu o drgania dwóch jednotonowychwalców aluminiowych na Uniwersytecie Maryland
1974: pośrednie potwierdzenie istnienia fal grawitacyjnych (J.Taylor, R. Hulse) — układ podwójny dwóch pulsarów PSRB1913+16
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 10(126)
![Page 31: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/31.jpg)
Fale grawitacyjne — historia
11.1915: A. Einstein publikuje pracę The Formal Foundation ofthe General Theory of Relativity,
02.1916: idea fal grawitacyjnych zrodziła się po wymianie listówpomiędzy A. Einsteinem a K. Schwarzschildem,
06.1916: artykuł A. Einsteina Approximative Integration of theField Equations of Gravitation skierowany do Pruskiej AkademiiNauk z wyprowadzeniem równania falowego
kontrowersje wokół istnienia fal grawitacyjnych i problemu, czyprzenoszą one energię trwały do połowy lat 50-tych,
uznanie istnienia fal grawitacyjnych (A. Trautman, H. Bondi, R.Feynmann)
lata 60-te: pierwsze (uznane jako nieudane) próby detekcji(Joseph Weber) w oparciu o drgania dwóch jednotonowychwalców aluminiowych na Uniwersytecie Maryland
1974: pośrednie potwierdzenie istnienia fal grawitacyjnych (J.Taylor, R. Hulse) — układ podwójny dwóch pulsarów PSRB1913+16
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 10(126)
![Page 32: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/32.jpg)
Fale grawitacyjne — historia
11.1915: A. Einstein publikuje pracę The Formal Foundation ofthe General Theory of Relativity,
02.1916: idea fal grawitacyjnych zrodziła się po wymianie listówpomiędzy A. Einsteinem a K. Schwarzschildem,
06.1916: artykuł A. Einsteina Approximative Integration of theField Equations of Gravitation skierowany do Pruskiej AkademiiNauk z wyprowadzeniem równania falowego
kontrowersje wokół istnienia fal grawitacyjnych i problemu, czyprzenoszą one energię trwały do połowy lat 50-tych,
uznanie istnienia fal grawitacyjnych (A. Trautman, H. Bondi, R.Feynmann)
lata 60-te: pierwsze (uznane jako nieudane) próby detekcji(Joseph Weber) w oparciu o drgania dwóch jednotonowychwalców aluminiowych na Uniwersytecie Maryland
1974: pośrednie potwierdzenie istnienia fal grawitacyjnych (J.Taylor, R. Hulse) — układ podwójny dwóch pulsarów PSRB1913+16
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 10(126)
![Page 33: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/33.jpg)
Fale grawitacyjne — historia
11.1915: A. Einstein publikuje pracę The Formal Foundation ofthe General Theory of Relativity,
02.1916: idea fal grawitacyjnych zrodziła się po wymianie listówpomiędzy A. Einsteinem a K. Schwarzschildem,
06.1916: artykuł A. Einsteina Approximative Integration of theField Equations of Gravitation skierowany do Pruskiej AkademiiNauk z wyprowadzeniem równania falowego
kontrowersje wokół istnienia fal grawitacyjnych i problemu, czyprzenoszą one energię trwały do połowy lat 50-tych,
uznanie istnienia fal grawitacyjnych (A. Trautman, H. Bondi, R.Feynmann)
lata 60-te: pierwsze (uznane jako nieudane) próby detekcji(Joseph Weber) w oparciu o drgania dwóch jednotonowychwalców aluminiowych na Uniwersytecie Maryland
1974: pośrednie potwierdzenie istnienia fal grawitacyjnych (J.Taylor, R. Hulse) — układ podwójny dwóch pulsarów PSRB1913+16
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 10(126)
![Page 34: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/34.jpg)
Fale grawitacyjne — historia
11.1915: A. Einstein publikuje pracę The Formal Foundation ofthe General Theory of Relativity,
02.1916: idea fal grawitacyjnych zrodziła się po wymianie listówpomiędzy A. Einsteinem a K. Schwarzschildem,
06.1916: artykuł A. Einsteina Approximative Integration of theField Equations of Gravitation skierowany do Pruskiej AkademiiNauk z wyprowadzeniem równania falowego
kontrowersje wokół istnienia fal grawitacyjnych i problemu, czyprzenoszą one energię trwały do połowy lat 50-tych,
uznanie istnienia fal grawitacyjnych (A. Trautman, H. Bondi, R.Feynmann)
lata 60-te: pierwsze (uznane jako nieudane) próby detekcji(Joseph Weber) w oparciu o drgania dwóch jednotonowychwalców aluminiowych na Uniwersytecie Maryland
1974: pośrednie potwierdzenie istnienia fal grawitacyjnych (J.Taylor, R. Hulse) — układ podwójny dwóch pulsarów PSRB1913+16
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 10(126)
![Page 35: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/35.jpg)
Fale grawitacyjne — historia
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 11(126)
![Page 36: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/36.jpg)
Fale grawitacyjne — źródła
niezwykle słabe: względne przesunięcia 10−20–10−22,
h(t) = A(t) cos Φ(t)
niesymetryczny kolaps grawitacyjny gwiazd (supernowe typu II),jeśli miałby miejsce w naszej Galaktyce prowadziłby dowzględnego przesunięcia 10−18
obracające się, niesymetryczne masywne obiektyukłady podwójne zwartych obiektów (czarnych dziur, gwiazdneutronowych, białych karłów): utrata energii na skutek emisjifal grawitacyjnych (fale o częstotliwości 10−4–1 Hz)zderzenia zwartych obiektów: nagły wzrost częstotliwości fal (dokHz) i amplitudy w ostatnich chwilach przed połączeniem2005: trzy grupy teoretyków z USA opublikowały pierwsze wynikinumerycznych obliczeń (numerical relativity) ostatnich cykliewolucji oraz procesu zderzenia (merger) i relaksacjipozderzeniowej (ring down) układu dwóch czarnych dziur otakich samych masach,na bazie tych obliczeń można było uzyskać postaci sygnałówgrawitacyjnych (waveform)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 12(126)
![Page 37: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/37.jpg)
Fale grawitacyjne — źródła
niezwykle słabe: względne przesunięcia 10−20–10−22,
h(t) = A(t) cos Φ(t)
niesymetryczny kolaps grawitacyjny gwiazd (supernowe typu II),jeśli miałby miejsce w naszej Galaktyce prowadziłby dowzględnego przesunięcia 10−18
obracające się, niesymetryczne masywne obiektyukłady podwójne zwartych obiektów (czarnych dziur, gwiazdneutronowych, białych karłów): utrata energii na skutek emisjifal grawitacyjnych (fale o częstotliwości 10−4–1 Hz)zderzenia zwartych obiektów: nagły wzrost częstotliwości fal (dokHz) i amplitudy w ostatnich chwilach przed połączeniem2005: trzy grupy teoretyków z USA opublikowały pierwsze wynikinumerycznych obliczeń (numerical relativity) ostatnich cykliewolucji oraz procesu zderzenia (merger) i relaksacjipozderzeniowej (ring down) układu dwóch czarnych dziur otakich samych masach,na bazie tych obliczeń można było uzyskać postaci sygnałówgrawitacyjnych (waveform)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 12(126)
![Page 38: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/38.jpg)
Fale grawitacyjne — źródła
niezwykle słabe: względne przesunięcia 10−20–10−22,
h(t) = A(t) cos Φ(t)
niesymetryczny kolaps grawitacyjny gwiazd (supernowe typu II),jeśli miałby miejsce w naszej Galaktyce prowadziłby dowzględnego przesunięcia 10−18
obracające się, niesymetryczne masywne obiektyukłady podwójne zwartych obiektów (czarnych dziur, gwiazdneutronowych, białych karłów): utrata energii na skutek emisjifal grawitacyjnych (fale o częstotliwości 10−4–1 Hz)zderzenia zwartych obiektów: nagły wzrost częstotliwości fal (dokHz) i amplitudy w ostatnich chwilach przed połączeniem2005: trzy grupy teoretyków z USA opublikowały pierwsze wynikinumerycznych obliczeń (numerical relativity) ostatnich cykliewolucji oraz procesu zderzenia (merger) i relaksacjipozderzeniowej (ring down) układu dwóch czarnych dziur otakich samych masach,na bazie tych obliczeń można było uzyskać postaci sygnałówgrawitacyjnych (waveform)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 12(126)
![Page 39: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/39.jpg)
Fale grawitacyjne — źródła
niezwykle słabe: względne przesunięcia 10−20–10−22,
h(t) = A(t) cos Φ(t)
niesymetryczny kolaps grawitacyjny gwiazd (supernowe typu II),jeśli miałby miejsce w naszej Galaktyce prowadziłby dowzględnego przesunięcia 10−18
obracające się, niesymetryczne masywne obiekty
układy podwójne zwartych obiektów (czarnych dziur, gwiazdneutronowych, białych karłów): utrata energii na skutek emisjifal grawitacyjnych (fale o częstotliwości 10−4–1 Hz)zderzenia zwartych obiektów: nagły wzrost częstotliwości fal (dokHz) i amplitudy w ostatnich chwilach przed połączeniem2005: trzy grupy teoretyków z USA opublikowały pierwsze wynikinumerycznych obliczeń (numerical relativity) ostatnich cykliewolucji oraz procesu zderzenia (merger) i relaksacjipozderzeniowej (ring down) układu dwóch czarnych dziur otakich samych masach,na bazie tych obliczeń można było uzyskać postaci sygnałówgrawitacyjnych (waveform)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 12(126)
![Page 40: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/40.jpg)
Fale grawitacyjne — źródła
niezwykle słabe: względne przesunięcia 10−20–10−22,
h(t) = A(t) cos Φ(t)
niesymetryczny kolaps grawitacyjny gwiazd (supernowe typu II),jeśli miałby miejsce w naszej Galaktyce prowadziłby dowzględnego przesunięcia 10−18
obracające się, niesymetryczne masywne obiektyukłady podwójne zwartych obiektów (czarnych dziur, gwiazdneutronowych, białych karłów): utrata energii na skutek emisjifal grawitacyjnych (fale o częstotliwości 10−4–1 Hz)
zderzenia zwartych obiektów: nagły wzrost częstotliwości fal (dokHz) i amplitudy w ostatnich chwilach przed połączeniem2005: trzy grupy teoretyków z USA opublikowały pierwsze wynikinumerycznych obliczeń (numerical relativity) ostatnich cykliewolucji oraz procesu zderzenia (merger) i relaksacjipozderzeniowej (ring down) układu dwóch czarnych dziur otakich samych masach,na bazie tych obliczeń można było uzyskać postaci sygnałówgrawitacyjnych (waveform)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 12(126)
![Page 41: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/41.jpg)
Fale grawitacyjne — źródła
niezwykle słabe: względne przesunięcia 10−20–10−22,
h(t) = A(t) cos Φ(t)
niesymetryczny kolaps grawitacyjny gwiazd (supernowe typu II),jeśli miałby miejsce w naszej Galaktyce prowadziłby dowzględnego przesunięcia 10−18
obracające się, niesymetryczne masywne obiektyukłady podwójne zwartych obiektów (czarnych dziur, gwiazdneutronowych, białych karłów): utrata energii na skutek emisjifal grawitacyjnych (fale o częstotliwości 10−4–1 Hz)zderzenia zwartych obiektów: nagły wzrost częstotliwości fal (dokHz) i amplitudy w ostatnich chwilach przed połączeniem
2005: trzy grupy teoretyków z USA opublikowały pierwsze wynikinumerycznych obliczeń (numerical relativity) ostatnich cykliewolucji oraz procesu zderzenia (merger) i relaksacjipozderzeniowej (ring down) układu dwóch czarnych dziur otakich samych masach,na bazie tych obliczeń można było uzyskać postaci sygnałówgrawitacyjnych (waveform)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 12(126)
![Page 42: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/42.jpg)
Fale grawitacyjne — źródła
niezwykle słabe: względne przesunięcia 10−20–10−22,
h(t) = A(t) cos Φ(t)
niesymetryczny kolaps grawitacyjny gwiazd (supernowe typu II),jeśli miałby miejsce w naszej Galaktyce prowadziłby dowzględnego przesunięcia 10−18
obracające się, niesymetryczne masywne obiektyukłady podwójne zwartych obiektów (czarnych dziur, gwiazdneutronowych, białych karłów): utrata energii na skutek emisjifal grawitacyjnych (fale o częstotliwości 10−4–1 Hz)zderzenia zwartych obiektów: nagły wzrost częstotliwości fal (dokHz) i amplitudy w ostatnich chwilach przed połączeniem2005: trzy grupy teoretyków z USA opublikowały pierwsze wynikinumerycznych obliczeń (numerical relativity) ostatnich cykliewolucji oraz procesu zderzenia (merger) i relaksacjipozderzeniowej (ring down) układu dwóch czarnych dziur otakich samych masach,na bazie tych obliczeń można było uzyskać postaci sygnałówgrawitacyjnych (waveform)Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 12(126)
![Page 43: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/43.jpg)
Fale grawitacyjne — detekcja
detektory rezonansowe: cylindryczne detektory rezonasowe(Uniwersytety W Rzymie, Stanu Luizjana, Perth, Legarno, itd.)
interferometry: LIGO (koordynowany przez Caltech) w Hanfordw stanie Washington (pn-zach USA) i w Livingstone w stanieLuizjana (pd-wsch USA), VIRGO w Pizie (Włochy)
interferometria kosmiczna: LISA
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 13(126)
![Page 44: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/44.jpg)
Fale grawitacyjne — detekcja
detektory rezonansowe: cylindryczne detektory rezonasowe(Uniwersytety W Rzymie, Stanu Luizjana, Perth, Legarno, itd.)
interferometry: LIGO (koordynowany przez Caltech) w Hanfordw stanie Washington (pn-zach USA) i w Livingstone w stanieLuizjana (pd-wsch USA), VIRGO w Pizie (Włochy)
interferometria kosmiczna: LISA
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 13(126)
![Page 45: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/45.jpg)
Fale grawitacyjne — detekcja
detektory rezonansowe: cylindryczne detektory rezonasowe(Uniwersytety W Rzymie, Stanu Luizjana, Perth, Legarno, itd.)
interferometry: LIGO (koordynowany przez Caltech) w Hanfordw stanie Washington (pn-zach USA) i w Livingstone w stanieLuizjana (pd-wsch USA), VIRGO w Pizie (Włochy)
interferometria kosmiczna: LISA
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 13(126)
![Page 46: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/46.jpg)
Fale grawitacyjne — detekcja
detektory rezonansowe: cylindryczne detektory rezonasowe(Uniwersytety W Rzymie, Stanu Luizjana, Perth, Legarno, itd.)
interferometry: LIGO (koordynowany przez Caltech) w Hanfordw stanie Washington (pn-zach USA) i w Livingstone w stanieLuizjana (pd-wsch USA), VIRGO w Pizie (Włochy)
interferometria kosmiczna: LISA
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 13(126)
![Page 47: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/47.jpg)
Zasady względności i równoważności
Zasada względności (STW)
Prawa fizyki są takie same we wszystkich inercjalnych układach odnie-sienia
Słaba zasada równoważności w OTW
W każdym punkcie czasoprzestrzeni, w dowolnym polu grawitacyjnymjest możliwe wskazanie lokalnego układu inercjalnego, takiego że w do-statecznie małym otoczeniu tego punktu, prawa ruchu swobodnie poru-szających się cząstek mają postać taką samą jak w nieprzyspieszającym,kartezjańskim układzie współrzędnych w nieobecności sił grawitacji
Silna zasada równoważności w OTW
W każdym punkcie czasoprzestrzeni, w dowolnym polu grawitacyjnymjest możliwe wskazanie lokalnego układu inercjalnego, takiego że w do-statecznie małym otoczeniu tego punktu, prawa fizyki mają postać takąsamą jak w nieprzyspieszającym, kartezjańskim układzie współrzęd-nych w nieobecności sił grawitacji
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 14(126)
![Page 48: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/48.jpg)
Zasady względności i równoważności
Zasada względności (STW)
Prawa fizyki są takie same we wszystkich inercjalnych układach odnie-sienia
Słaba zasada równoważności w OTW
W każdym punkcie czasoprzestrzeni, w dowolnym polu grawitacyjnymjest możliwe wskazanie lokalnego układu inercjalnego, takiego że w do-statecznie małym otoczeniu tego punktu, prawa ruchu swobodnie poru-szających się cząstek mają postać taką samą jak w nieprzyspieszającym,kartezjańskim układzie współrzędnych w nieobecności sił grawitacji
Silna zasada równoważności w OTW
W każdym punkcie czasoprzestrzeni, w dowolnym polu grawitacyjnymjest możliwe wskazanie lokalnego układu inercjalnego, takiego że w do-statecznie małym otoczeniu tego punktu, prawa fizyki mają postać takąsamą jak w nieprzyspieszającym, kartezjańskim układzie współrzęd-nych w nieobecności sił grawitacji
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 14(126)
![Page 49: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/49.jpg)
Zasady względności i równoważności
Zasada względności (STW)
Prawa fizyki są takie same we wszystkich inercjalnych układach odnie-sienia
Słaba zasada równoważności w OTW
W każdym punkcie czasoprzestrzeni, w dowolnym polu grawitacyjnymjest możliwe wskazanie lokalnego układu inercjalnego, takiego że w do-statecznie małym otoczeniu tego punktu, prawa ruchu swobodnie poru-szających się cząstek mają postać taką samą jak w nieprzyspieszającym,kartezjańskim układzie współrzędnych w nieobecności sił grawitacji
Silna zasada równoważności w OTW
W każdym punkcie czasoprzestrzeni, w dowolnym polu grawitacyjnymjest możliwe wskazanie lokalnego układu inercjalnego, takiego że w do-statecznie małym otoczeniu tego punktu, prawa fizyki mają postać takąsamą jak w nieprzyspieszającym, kartezjańskim układzie współrzęd-nych w nieobecności sił grawitacji
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 14(126)
![Page 50: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/50.jpg)
Zasady względności i równoważności
Zasada względności (STW)
Prawa fizyki są takie same we wszystkich inercjalnych układach odnie-sienia
Słaba zasada równoważności w OTW
W każdym punkcie czasoprzestrzeni, w dowolnym polu grawitacyjnymjest możliwe wskazanie lokalnego układu inercjalnego, takiego że w do-statecznie małym otoczeniu tego punktu, prawa ruchu swobodnie poru-szających się cząstek mają postać taką samą jak w nieprzyspieszającym,kartezjańskim układzie współrzędnych w nieobecności sił grawitacji
Silna zasada równoważności w OTW
W każdym punkcie czasoprzestrzeni, w dowolnym polu grawitacyjnymjest możliwe wskazanie lokalnego układu inercjalnego, takiego że w do-statecznie małym otoczeniu tego punktu, prawa fizyki mają postać takąsamą jak w nieprzyspieszającym, kartezjańskim układzie współrzęd-nych w nieobecności sił grawitacji
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 14(126)
![Page 51: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/51.jpg)
Geometria czasoprzestrzeni
Czasoprzestrzeń Minkowskiego: kwadrat odległości pomiędzyzdarzeniami (x0 = ct, x1, x2, x3) oraz(c(t + dt), x1 + dx1, x2 + dx2, x3 + dx3) wynosi
dl2 = ±(c2dt2 − (dx1)2 − (dx2)2 − (dx3)2)
dl jest niezmiennikiem transformacji LorentzaCzasoprzestrzeń OTW — czterowymiarowa powierzchnia(rozmaitość różniczkowa)Mierzenie odległości i pól — metryka (pseudo-riemannowska)
dl2 =3
∑α,β=0
gαβ(x)dxαdxβ ≡ gαβ(x)dxαdxβ
Pola tensorowe — przekształcenia wieloliniowe żyjące wprzestrzeniach stycznych czasoprzestrzeni transformujące się wzadany sposób przy zmianach układu współrzędnych
wektory kontrawariantne (np. wektory styczne do krzywych)wektory kowariantne (np. gradient funkcji)kontrakcja i obniżanie indeksu: vαωα, gαβvα = vβ
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 15(126)
![Page 52: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/52.jpg)
Geometria czasoprzestrzeni
Czasoprzestrzeń Minkowskiego: kwadrat odległości pomiędzyzdarzeniami (x0 = ct, x1, x2, x3) oraz(c(t + dt), x1 + dx1, x2 + dx2, x3 + dx3) wynosi
dl2 = ±(c2dt2 − (dx1)2 − (dx2)2 − (dx3)2)
dl jest niezmiennikiem transformacji Lorentza
Czasoprzestrzeń OTW — czterowymiarowa powierzchnia(rozmaitość różniczkowa)Mierzenie odległości i pól — metryka (pseudo-riemannowska)
dl2 =3
∑α,β=0
gαβ(x)dxαdxβ ≡ gαβ(x)dxαdxβ
Pola tensorowe — przekształcenia wieloliniowe żyjące wprzestrzeniach stycznych czasoprzestrzeni transformujące się wzadany sposób przy zmianach układu współrzędnych
wektory kontrawariantne (np. wektory styczne do krzywych)wektory kowariantne (np. gradient funkcji)kontrakcja i obniżanie indeksu: vαωα, gαβvα = vβ
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 15(126)
![Page 53: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/53.jpg)
Geometria czasoprzestrzeni
Czasoprzestrzeń Minkowskiego: kwadrat odległości pomiędzyzdarzeniami (x0 = ct, x1, x2, x3) oraz(c(t + dt), x1 + dx1, x2 + dx2, x3 + dx3) wynosi
dl2 = ±(c2dt2 − (dx1)2 − (dx2)2 − (dx3)2)
dl jest niezmiennikiem transformacji LorentzaCzasoprzestrzeń OTW — czterowymiarowa powierzchnia(rozmaitość różniczkowa)
Mierzenie odległości i pól — metryka (pseudo-riemannowska)
dl2 =3
∑α,β=0
gαβ(x)dxαdxβ ≡ gαβ(x)dxαdxβ
Pola tensorowe — przekształcenia wieloliniowe żyjące wprzestrzeniach stycznych czasoprzestrzeni transformujące się wzadany sposób przy zmianach układu współrzędnych
wektory kontrawariantne (np. wektory styczne do krzywych)wektory kowariantne (np. gradient funkcji)kontrakcja i obniżanie indeksu: vαωα, gαβvα = vβ
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 15(126)
![Page 54: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/54.jpg)
Geometria czasoprzestrzeni
Czasoprzestrzeń Minkowskiego: kwadrat odległości pomiędzyzdarzeniami (x0 = ct, x1, x2, x3) oraz(c(t + dt), x1 + dx1, x2 + dx2, x3 + dx3) wynosi
dl2 = ±(c2dt2 − (dx1)2 − (dx2)2 − (dx3)2)
dl jest niezmiennikiem transformacji LorentzaCzasoprzestrzeń OTW — czterowymiarowa powierzchnia(rozmaitość różniczkowa)Mierzenie odległości i pól — metryka (pseudo-riemannowska)
dl2 =3
∑α,β=0
gαβ(x)dxαdxβ ≡ gαβ(x)dxαdxβ
Pola tensorowe — przekształcenia wieloliniowe żyjące wprzestrzeniach stycznych czasoprzestrzeni transformujące się wzadany sposób przy zmianach układu współrzędnych
wektory kontrawariantne (np. wektory styczne do krzywych)wektory kowariantne (np. gradient funkcji)kontrakcja i obniżanie indeksu: vαωα, gαβvα = vβ
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 15(126)
![Page 55: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/55.jpg)
Geometria czasoprzestrzeni
Czasoprzestrzeń Minkowskiego: kwadrat odległości pomiędzyzdarzeniami (x0 = ct, x1, x2, x3) oraz(c(t + dt), x1 + dx1, x2 + dx2, x3 + dx3) wynosi
dl2 = ±(c2dt2 − (dx1)2 − (dx2)2 − (dx3)2)
dl jest niezmiennikiem transformacji LorentzaCzasoprzestrzeń OTW — czterowymiarowa powierzchnia(rozmaitość różniczkowa)Mierzenie odległości i pól — metryka (pseudo-riemannowska)
dl2 =3
∑α,β=0
gαβ(x)dxαdxβ ≡ gαβ(x)dxαdxβ
Pola tensorowe — przekształcenia wieloliniowe żyjące wprzestrzeniach stycznych czasoprzestrzeni transformujące się wzadany sposób przy zmianach układu współrzędnych
wektory kontrawariantne (np. wektory styczne do krzywych)wektory kowariantne (np. gradient funkcji)kontrakcja i obniżanie indeksu: vαωα, gαβvα = vβ
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 15(126)
![Page 56: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/56.jpg)
Geometria czasoprzestrzeni
Czasoprzestrzeń Minkowskiego: kwadrat odległości pomiędzyzdarzeniami (x0 = ct, x1, x2, x3) oraz(c(t + dt), x1 + dx1, x2 + dx2, x3 + dx3) wynosi
dl2 = ±(c2dt2 − (dx1)2 − (dx2)2 − (dx3)2)
dl jest niezmiennikiem transformacji LorentzaCzasoprzestrzeń OTW — czterowymiarowa powierzchnia(rozmaitość różniczkowa)Mierzenie odległości i pól — metryka (pseudo-riemannowska)
dl2 =3
∑α,β=0
gαβ(x)dxαdxβ ≡ gαβ(x)dxαdxβ
Pola tensorowe — przekształcenia wieloliniowe żyjące wprzestrzeniach stycznych czasoprzestrzeni transformujące się wzadany sposób przy zmianach układu współrzędnych
wektory kontrawariantne (np. wektory styczne do krzywych)wektory kowariantne (np. gradient funkcji)
kontrakcja i obniżanie indeksu: vαωα, gαβvα = vβ
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 15(126)
![Page 57: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/57.jpg)
Geometria czasoprzestrzeni
Czasoprzestrzeń Minkowskiego: kwadrat odległości pomiędzyzdarzeniami (x0 = ct, x1, x2, x3) oraz(c(t + dt), x1 + dx1, x2 + dx2, x3 + dx3) wynosi
dl2 = ±(c2dt2 − (dx1)2 − (dx2)2 − (dx3)2)
dl jest niezmiennikiem transformacji LorentzaCzasoprzestrzeń OTW — czterowymiarowa powierzchnia(rozmaitość różniczkowa)Mierzenie odległości i pól — metryka (pseudo-riemannowska)
dl2 =3
∑α,β=0
gαβ(x)dxαdxβ ≡ gαβ(x)dxαdxβ
Pola tensorowe — przekształcenia wieloliniowe żyjące wprzestrzeniach stycznych czasoprzestrzeni transformujące się wzadany sposób przy zmianach układu współrzędnych
wektory kontrawariantne (np. wektory styczne do krzywych)wektory kowariantne (np. gradient funkcji)kontrakcja i obniżanie indeksu: vαωα, gαβvα = vβ
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 15(126)
![Page 58: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/58.jpg)
Geometria czasoprzestrzeni. Koneksja afiniczna
Przesuwanie obiektów — koneksja afiniczna wyznaczona przezsymbole Christoffela
~v = vα~eα =⇒ d~v = dvα~eα + vαd~eα = (dvα + vµΓανµdxν)~eα .
Γαβγ =12
gαδ(∂γgδβ+ ∂βgγδ− ∂δgβγ) ≡12
gαδ(gδβ,γ+ gγδ,β− gβγ,δ)
cząstkowa pochodna kowariantna
vα;β = vα,β + Γαγβvγ
ωα;β = ωα,β − Γγαβωγ
Tµν;α = Tµν,α − ΓβµαTβν − ΓβανTµβ
Bµν;α = Bµν,α + ΓµαβBβν + ΓνβαBµβ
Geometria pseudoriemannowska — Γαβγ = Γαγβ, gµν;α = 0
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 16(126)
![Page 59: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/59.jpg)
Geometria czasoprzestrzeni. Koneksja afiniczna
Przesuwanie obiektów — koneksja afiniczna wyznaczona przezsymbole Christoffela
~v = vα~eα =⇒ d~v = dvα~eα + vαd~eα = (dvα + vµΓανµdxν)~eα .
Γαβγ =12
gαδ(∂γgδβ+ ∂βgγδ− ∂δgβγ) ≡12
gαδ(gδβ,γ+ gγδ,β− gβγ,δ)
cząstkowa pochodna kowariantna
vα;β = vα,β + Γαγβvγ
ωα;β = ωα,β − Γγαβωγ
Tµν;α = Tµν,α − ΓβµαTβν − ΓβανTµβ
Bµν;α = Bµν,α + ΓµαβBβν + ΓνβαBµβ
Geometria pseudoriemannowska — Γαβγ = Γαγβ, gµν;α = 0
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 16(126)
![Page 60: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/60.jpg)
Geometria czasoprzestrzeni. Koneksja afiniczna
Przesuwanie obiektów — koneksja afiniczna wyznaczona przezsymbole Christoffela
~v = vα~eα =⇒ d~v = dvα~eα + vαd~eα = (dvα + vµΓανµdxν)~eα .
Γαβγ =12
gαδ(∂γgδβ+ ∂βgγδ− ∂δgβγ) ≡12
gαδ(gδβ,γ+ gγδ,β− gβγ,δ)
cząstkowa pochodna kowariantna
vα;β = vα,β + Γαγβvγ
ωα;β = ωα,β − Γγαβωγ
Tµν;α = Tµν,α − ΓβµαTβν − ΓβανTµβ
Bµν;α = Bµν,α + ΓµαβBβν + ΓνβαBµβ
Geometria pseudoriemannowska — Γαβγ = Γαγβ, gµν;α = 0
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 16(126)
![Page 61: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/61.jpg)
Geometria czasoprzestrzeni. Koneksja afiniczna
Przesuwanie obiektów — koneksja afiniczna wyznaczona przezsymbole Christoffela
~v = vα~eα =⇒ d~v = dvα~eα + vαd~eα = (dvα + vµΓανµdxν)~eα .
Γαβγ =12
gαδ(∂γgδβ+ ∂βgγδ− ∂δgβγ) ≡12
gαδ(gδβ,γ+ gγδ,β− gβγ,δ)
cząstkowa pochodna kowariantna
vα;β = vα,β + Γαγβvγ
ωα;β = ωα,β − Γγαβωγ
Tµν;α = Tµν,α − ΓβµαTβν − ΓβανTµβ
Bµν;α = Bµν,α + ΓµαβBβν + ΓνβαBµβ
Geometria pseudoriemannowska — Γαβγ = Γαγβ, gµν;α = 0
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 16(126)
![Page 62: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/62.jpg)
Geometria czasoprzestrzeni. Koneksja afiniczna
Przesuwanie obiektów — koneksja afiniczna wyznaczona przezsymbole Christoffela
~v = vα~eα =⇒ d~v = dvα~eα + vαd~eα = (dvα + vµΓανµdxν)~eα .
Γαβγ =12
gαδ(∂γgδβ+ ∂βgγδ− ∂δgβγ) ≡12
gαδ(gδβ,γ+ gγδ,β− gβγ,δ)
cząstkowa pochodna kowariantna
vα;β = vα,β + Γαγβvγ
ωα;β = ωα,β − Γγαβωγ
Tµν;α = Tµν,α − ΓβµαTβν − ΓβανTµβ
Bµν;α = Bµν,α + ΓµαβBβν + ΓνβαBµβ
Geometria pseudoriemannowska — Γαβγ = Γαγβ, gµν;α = 0
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 16(126)
![Page 63: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/63.jpg)
Geometria czasoprzestrzeni. Geodezyjna
Jaką postać ma najkrótsza krzywa łącząca dwa punkty wczasoprzestrzeni? (krzywa geodezyjna)
τ — parametr geodezyjnej xµ(τ)
d2xµ
dτ2 + Γµναdxν
dτdxα
dτ= 0
Równanie geodezyjnej
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 17(126)
![Page 64: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/64.jpg)
Geometria czasoprzestrzeni. Geodezyjna
Jaką postać ma najkrótsza krzywa łącząca dwa punkty wczasoprzestrzeni? (krzywa geodezyjna)
τ — parametr geodezyjnej xµ(τ)
d2xµ
dτ2 + Γµναdxν
dτdxα
dτ= 0
Równanie geodezyjnej
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 17(126)
![Page 65: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/65.jpg)
Geometria czasoprzestrzeni. Geodezyjna
Jaką postać ma najkrótsza krzywa łącząca dwa punkty wczasoprzestrzeni? (krzywa geodezyjna)
τ — parametr geodezyjnej xµ(τ)
d2xµ
dτ2 + Γµναdxν
dτdxα
dτ= 0
Równanie geodezyjnej
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 17(126)
![Page 66: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/66.jpg)
Geometria czasoprzestrzeni. Krzywizna
Krzywizna — tensor (krzywizny) Riemanna
Rδαβγ := Γδαβ,γ − Γδαγ,β + ΓδµγΓµαβ − ΓδµβΓ
µαγ
Rδαβγ = gµδRµαβγ =12(gαβ,δγ + gδγ,αβ − gαγ,δβ − gδβ,αγ)
Podstawowe twierdzenie sięgające jeszcze czasów Gaussa orzeka,że
Przestrzeń jest płaska wtedy i tylko wtedy gdy znikają wszystkie skła-dowe tensora krzywizny Rδαβγ w każdym punkcie przestrzeni.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 18(126)
![Page 67: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/67.jpg)
Geometria czasoprzestrzeni. Krzywizna
Krzywizna — tensor (krzywizny) Riemanna
Rδαβγ := Γδαβ,γ − Γδαγ,β + ΓδµγΓµαβ − ΓδµβΓ
µαγ
Rδαβγ = gµδRµαβγ =12(gαβ,δγ + gδγ,αβ − gαγ,δβ − gδβ,αγ)
Podstawowe twierdzenie sięgające jeszcze czasów Gaussa orzeka,że
Przestrzeń jest płaska wtedy i tylko wtedy gdy znikają wszystkie skła-dowe tensora krzywizny Rδαβγ w każdym punkcie przestrzeni.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 18(126)
![Page 68: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/68.jpg)
Geometria czasoprzestrzeni. Krzywizna
Krzywizna — tensor (krzywizny) Riemanna
Rδαβγ := Γδαβ,γ − Γδαγ,β + ΓδµγΓµαβ − ΓδµβΓ
µαγ
Rδαβγ = gµδRµαβγ =12(gαβ,δγ + gδγ,αβ − gαγ,δβ − gδβ,αγ)
Podstawowe twierdzenie sięgające jeszcze czasów Gaussa orzeka,że
Przestrzeń jest płaska wtedy i tylko wtedy gdy znikają wszystkie skła-dowe tensora krzywizny Rδαβγ w każdym punkcie przestrzeni.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 18(126)
![Page 69: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/69.jpg)
Geometria czasoprzestrzeni. Krzywizna
Krzywizna — tensor (krzywizny) Riemanna
Rδαβγ := Γδαβ,γ − Γδαγ,β + ΓδµγΓµαβ − ΓδµβΓ
µαγ
Rδαβγ = gµδRµαβγ =12(gαβ,δγ + gδγ,αβ − gαγ,δβ − gδβ,αγ)
Podstawowe twierdzenie sięgające jeszcze czasów Gaussa orzeka,że
Przestrzeń jest płaska wtedy i tylko wtedy gdy znikają wszystkie skła-dowe tensora krzywizny Rδαβγ w każdym punkcie przestrzeni.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 18(126)
![Page 70: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/70.jpg)
Geometria czasoprzestrzeni. Krzywizna
Tensor krzywizny ma następujące algebraiczne własności symetrii
1 symetria par: Rαβµν = Rµναβ,2 antysymetria indeksów:
Rαβµν = −Rβαµν = −Rαβνµ = Rβανµ ,
3 cykliczność:Rαβµν + Rανβµ + Rαµνβ = 0 .
4 W ogólności, w przestrzeni N-wymiarowej jest N2(N2 − 1)/12niezależnych składowych tensora krzywizny.
5 Tożsamości Bianchi są dodatkowymi związkami zawierającymipochodne.
Tensor Ricciego
Rαβ := gµνRµανβ = Rνανβ
skalar krzywizny R = gµνRµν
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 19(126)
![Page 71: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/71.jpg)
Geometria czasoprzestrzeni. Krzywizna
Tensor krzywizny ma następujące algebraiczne własności symetrii
1 symetria par: Rαβµν = Rµναβ,2 antysymetria indeksów:
Rαβµν = −Rβαµν = −Rαβνµ = Rβανµ ,
3 cykliczność:Rαβµν + Rανβµ + Rαµνβ = 0 .
4 W ogólności, w przestrzeni N-wymiarowej jest N2(N2 − 1)/12niezależnych składowych tensora krzywizny.
5 Tożsamości Bianchi są dodatkowymi związkami zawierającymipochodne.
Tensor Ricciego
Rαβ := gµνRµανβ = Rνανβ
skalar krzywizny R = gµνRµν
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 19(126)
![Page 72: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/72.jpg)
Geometria czasoprzestrzeni. Krzywizna
Tensor krzywizny ma następujące algebraiczne własności symetrii
1 symetria par: Rαβµν = Rµναβ,2 antysymetria indeksów:
Rαβµν = −Rβαµν = −Rαβνµ = Rβανµ ,
3 cykliczność:Rαβµν + Rανβµ + Rαµνβ = 0 .
4 W ogólności, w przestrzeni N-wymiarowej jest N2(N2 − 1)/12niezależnych składowych tensora krzywizny.
5 Tożsamości Bianchi są dodatkowymi związkami zawierającymipochodne.
Tensor Ricciego
Rαβ := gµνRµανβ = Rνανβ
skalar krzywizny R = gµνRµν
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 19(126)
![Page 73: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/73.jpg)
Geometria czasoprzestrzeni. Krzywizna
Tensor krzywizny ma następujące algebraiczne własności symetrii
1 symetria par: Rαβµν = Rµναβ,2 antysymetria indeksów:
Rαβµν = −Rβαµν = −Rαβνµ = Rβανµ ,
3 cykliczność:Rαβµν + Rανβµ + Rαµνβ = 0 .
4 W ogólności, w przestrzeni N-wymiarowej jest N2(N2 − 1)/12niezależnych składowych tensora krzywizny.
5 Tożsamości Bianchi są dodatkowymi związkami zawierającymipochodne.
Tensor Ricciego
Rαβ := gµνRµανβ = Rνανβ
skalar krzywizny R = gµνRµν
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 19(126)
![Page 74: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/74.jpg)
Geometria czasoprzestrzeni. Krzywizna
Tensor krzywizny ma następujące algebraiczne własności symetrii
1 symetria par: Rαβµν = Rµναβ,2 antysymetria indeksów:
Rαβµν = −Rβαµν = −Rαβνµ = Rβανµ ,
3 cykliczność:Rαβµν + Rανβµ + Rαµνβ = 0 .
4 W ogólności, w przestrzeni N-wymiarowej jest N2(N2 − 1)/12niezależnych składowych tensora krzywizny.
5 Tożsamości Bianchi są dodatkowymi związkami zawierającymipochodne.
Tensor Ricciego
Rαβ := gµνRµανβ = Rνανβ
skalar krzywizny R = gµνRµν
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 19(126)
![Page 75: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/75.jpg)
Geometria czasoprzestrzeni. Krzywizna
Tensor krzywizny ma następujące algebraiczne własności symetrii
1 symetria par: Rαβµν = Rµναβ,2 antysymetria indeksów:
Rαβµν = −Rβαµν = −Rαβνµ = Rβανµ ,
3 cykliczność:Rαβµν + Rανβµ + Rαµνβ = 0 .
4 W ogólności, w przestrzeni N-wymiarowej jest N2(N2 − 1)/12niezależnych składowych tensora krzywizny.
5 Tożsamości Bianchi są dodatkowymi związkami zawierającymipochodne.
Tensor Ricciego
Rαβ := gµνRµανβ = Rνανβ
skalar krzywizny R = gµνRµν
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 19(126)
![Page 76: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/76.jpg)
Tensor energii-pędu
Tensor energii pędu informuje jak odpowiada układ na wariacjętensora metrycznego
gαβ −→ gαβ + δgαβ
Jego konkretna postać zależy od opisywanej postaci materii
Tαβ =
gęstość 1/c× strumień energii przezenergii powierzchnię prostopadłą do ek
c×gęstośćwektorapędu
tensor napięć = stru-mienie składowychwektora pędu
Tα0 = cdpα
dV, Tαk =
dpα
dtdSk
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 20(126)
![Page 77: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/77.jpg)
Tensor energii-pędu
Tensor energii pędu informuje jak odpowiada układ na wariacjętensora metrycznego
gαβ −→ gαβ + δgαβ
Jego konkretna postać zależy od opisywanej postaci materii
Tαβ =
gęstość 1/c× strumień energii przezenergii powierzchnię prostopadłą do ek
c×gęstośćwektorapędu
tensor napięć = stru-mienie składowychwektora pędu
Tα0 = cdpα
dV, Tαk =
dpα
dtdSk
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 20(126)
![Page 78: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/78.jpg)
Tensor energii-pędu
Tensor energii pędu informuje jak odpowiada układ na wariacjętensora metrycznego
gαβ −→ gαβ + δgαβ
Jego konkretna postać zależy od opisywanej postaci materii
Tαβ =
gęstość 1/c× strumień energii przezenergii powierzchnię prostopadłą do ek
c×gęstośćwektorapędu
tensor napięć = stru-mienie składowychwektora pędu
Tα0 = cdpα
dV, Tαk =
dpα
dtdSk
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 20(126)
![Page 79: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/79.jpg)
Tensor energii-pędu
Tensor energii pędu informuje jak odpowiada układ na wariacjętensora metrycznego
gαβ −→ gαβ + δgαβ
Jego konkretna postać zależy od opisywanej postaci materii
Tαβ =
gęstość 1/c× strumień energii przezenergii powierzchnię prostopadłą do ek
c×gęstośćwektorapędu
tensor napięć = stru-mienie składowychwektora pędu
Tα0 = cdpα
dV, Tαk =
dpα
dtdSk
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 20(126)
![Page 80: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/80.jpg)
Tensor energii-pędu
dla pyłu: cząstki poruszające przez dany obszar bez zderzeń zniewielkimi prędkościami względnymi (równoległe linie świata),uα = [c,~v], pα = [E/c,~p]
Tαβ = ρ0uαuβ ,
ρ0 — gęstość (masy) pyłu,
relatywistyczny gaz doskonały: cząstki chaotycznie poruszającesię w danym obszarze
Tαβ = diag[ε,ε/3,ε/3,ε/3]
ε — gęstość energii
płyn — nierelatywistyczna ciecz (może być ściśliwa)
Tαβ = (p + ρ)uαuβ − pgαβ
p — ciśnienie, ρ — gęstość energii (wszystkich postaci)
dla pola elektromagnetycznego i innych pól
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 21(126)
![Page 81: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/81.jpg)
Tensor energii-pędu
dla pyłu: cząstki poruszające przez dany obszar bez zderzeń zniewielkimi prędkościami względnymi (równoległe linie świata),uα = [c,~v], pα = [E/c,~p]
Tαβ = ρ0uαuβ ,
ρ0 — gęstość (masy) pyłu,
relatywistyczny gaz doskonały: cząstki chaotycznie poruszającesię w danym obszarze
Tαβ = diag[ε,ε/3,ε/3,ε/3]
ε — gęstość energii
płyn — nierelatywistyczna ciecz (może być ściśliwa)
Tαβ = (p + ρ)uαuβ − pgαβ
p — ciśnienie, ρ — gęstość energii (wszystkich postaci)
dla pola elektromagnetycznego i innych pól
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 21(126)
![Page 82: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/82.jpg)
Tensor energii-pędu
dla pyłu: cząstki poruszające przez dany obszar bez zderzeń zniewielkimi prędkościami względnymi (równoległe linie świata),uα = [c,~v], pα = [E/c,~p]
Tαβ = ρ0uαuβ ,
ρ0 — gęstość (masy) pyłu,
relatywistyczny gaz doskonały: cząstki chaotycznie poruszającesię w danym obszarze
Tαβ = diag[ε,ε/3,ε/3,ε/3]
ε — gęstość energii
płyn — nierelatywistyczna ciecz (może być ściśliwa)
Tαβ = (p + ρ)uαuβ − pgαβ
p — ciśnienie, ρ — gęstość energii (wszystkich postaci)
dla pola elektromagnetycznego i innych pól
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 21(126)
![Page 83: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/83.jpg)
Tensor energii-pędu
dla pyłu: cząstki poruszające przez dany obszar bez zderzeń zniewielkimi prędkościami względnymi (równoległe linie świata),uα = [c,~v], pα = [E/c,~p]
Tαβ = ρ0uαuβ ,
ρ0 — gęstość (masy) pyłu,
relatywistyczny gaz doskonały: cząstki chaotycznie poruszającesię w danym obszarze
Tαβ = diag[ε,ε/3,ε/3,ε/3]
ε — gęstość energii
płyn — nierelatywistyczna ciecz (może być ściśliwa)
Tαβ = (p + ρ)uαuβ − pgαβ
p — ciśnienie, ρ — gęstość energii (wszystkich postaci)
dla pola elektromagnetycznego i innych pól
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 21(126)
![Page 84: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/84.jpg)
Tensor energii-pędu
dla pyłu: cząstki poruszające przez dany obszar bez zderzeń zniewielkimi prędkościami względnymi (równoległe linie świata),uα = [c,~v], pα = [E/c,~p]
Tαβ = ρ0uαuβ ,
ρ0 — gęstość (masy) pyłu,
relatywistyczny gaz doskonały: cząstki chaotycznie poruszającesię w danym obszarze
Tαβ = diag[ε,ε/3,ε/3,ε/3]
ε — gęstość energii
płyn — nierelatywistyczna ciecz (może być ściśliwa)
Tαβ = (p + ρ)uαuβ − pgαβ
p — ciśnienie, ρ — gęstość energii (wszystkich postaci)
dla pola elektromagnetycznego i innych pól
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 21(126)
![Page 85: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/85.jpg)
Własności tensora energii-pędu
Symetria Tαβ = Tβα
Jeśli teoria (Lagrangian) jest niezmiennicza z uwagi na(infinitezymalne) przesunięcia w czasoprzestrzeni
xµ −→ xµ +ξµ
to znika czterodywergencja tensora energii pędu
Tµν;ν = 0
Są to prawa zachowania, które są przejawem twierdzenia Noetherdla pola grawitacyjnego.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 22(126)
![Page 86: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/86.jpg)
Własności tensora energii-pędu
Symetria Tαβ = Tβα
Jeśli teoria (Lagrangian) jest niezmiennicza z uwagi na(infinitezymalne) przesunięcia w czasoprzestrzeni
xµ −→ xµ +ξµ
to znika czterodywergencja tensora energii pędu
Tµν;ν = 0
Są to prawa zachowania, które są przejawem twierdzenia Noetherdla pola grawitacyjnego.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 22(126)
![Page 87: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/87.jpg)
Własności tensora energii-pędu
Symetria Tαβ = Tβα
Jeśli teoria (Lagrangian) jest niezmiennicza z uwagi na(infinitezymalne) przesunięcia w czasoprzestrzeni
xµ −→ xµ +ξµ
to znika czterodywergencja tensora energii pędu
Tµν;ν = 0
Są to prawa zachowania, które są przejawem twierdzenia Noetherdla pola grawitacyjnego.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 22(126)
![Page 88: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/88.jpg)
Własności tensora energii-pędu
Symetria Tαβ = Tβα
Jeśli teoria (Lagrangian) jest niezmiennicza z uwagi na(infinitezymalne) przesunięcia w czasoprzestrzeni
xµ −→ xµ +ξµ
to znika czterodywergencja tensora energii pędu
Tµν;ν = 0
Są to prawa zachowania, które są przejawem twierdzenia Noetherdla pola grawitacyjnego.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 22(126)
![Page 89: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/89.jpg)
Tensor energii-pędu
Przykład: Niech Tαβ = ρuαuβ
Tα0;α = c(ρ,αuα + ρuα;α) =⇒ c
(∂ρ
∂t+∇(ρ~v)
)Równanie ciągłości
Tαβ;α = (ρuαuβ);α = ρuαuβ;α =⇒ ρ(
∂~v∂t
+ (~v · ∇)~v)
Równanie Eulera
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 23(126)
![Page 90: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/90.jpg)
Tensor energii-pędu
Przykład: Niech Tαβ = ρuαuβ
Tα0;α = c(ρ,αuα + ρuα;α) =⇒ c
(∂ρ
∂t+∇(ρ~v)
)
Równanie ciągłości
Tαβ;α = (ρuαuβ);α = ρuαuβ;α =⇒ ρ(
∂~v∂t
+ (~v · ∇)~v)
Równanie Eulera
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 23(126)
![Page 91: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/91.jpg)
Tensor energii-pędu
Przykład: Niech Tαβ = ρuαuβ
Tα0;α = c(ρ,αuα + ρuα;α) =⇒ c
(∂ρ
∂t+∇(ρ~v)
)Równanie ciągłości
Tαβ;α = (ρuαuβ);α = ρuαuβ;α =⇒ ρ(
∂~v∂t
+ (~v · ∇)~v)
Równanie Eulera
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 23(126)
![Page 92: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/92.jpg)
Tensor energii-pędu
Przykład: Niech Tαβ = ρuαuβ
Tα0;α = c(ρ,αuα + ρuα;α) =⇒ c
(∂ρ
∂t+∇(ρ~v)
)Równanie ciągłości
Tαβ;α = (ρuαuβ);α = ρuαuβ;α =⇒ ρ(
∂~v∂t
+ (~v · ∇)~v)
Równanie Eulera
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 23(126)
![Page 93: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/93.jpg)
Tensor energii-pędu
Przykład: Niech Tαβ = ρuαuβ
Tα0;α = c(ρ,αuα + ρuα;α) =⇒ c
(∂ρ
∂t+∇(ρ~v)
)Równanie ciągłości
Tαβ;α = (ρuαuβ);α = ρuαuβ;α =⇒ ρ(
∂~v∂t
+ (~v · ∇)~v)
Równanie Eulera
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 23(126)
![Page 94: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/94.jpg)
Równanie Einsteina
Geometria czasoprzestrzeni ∼ rozkład i ruch materii oraz energii
Rµν −12
Rgµν = κTµν
lub
Rµν = κ(
Tµν −12
gµνT)
, T = gαβTαβ .
Granica newtonowska pozwoli wyznaczyć
κ =8πG
c4
Ogólniej dopuszczalna jest postać
Rµν −12
Rgµν +Λgµν = κTµν
gdzie Λ — stała kosmologiczna (tradycyjnie = 0), przejawciemnej energii (?)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 24(126)
![Page 95: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/95.jpg)
Równanie Einsteina
Geometria czasoprzestrzeni ∼ rozkład i ruch materii oraz energii
Rµν −12
Rgµν = κTµν
lub
Rµν = κ(
Tµν −12
gµνT)
, T = gαβTαβ .
Granica newtonowska pozwoli wyznaczyć
κ =8πG
c4
Ogólniej dopuszczalna jest postać
Rµν −12
Rgµν +Λgµν = κTµν
gdzie Λ — stała kosmologiczna (tradycyjnie = 0), przejawciemnej energii (?)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 24(126)
![Page 96: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/96.jpg)
Równanie Einsteina
Geometria czasoprzestrzeni ∼ rozkład i ruch materii oraz energii
Rµν −12
Rgµν = κTµν
lub
Rµν = κ(
Tµν −12
gµνT)
, T = gαβTαβ .
Granica newtonowska pozwoli wyznaczyć
κ =8πG
c4
Ogólniej dopuszczalna jest postać
Rµν −12
Rgµν +Λgµν = κTµν
gdzie Λ — stała kosmologiczna (tradycyjnie = 0), przejawciemnej energii (?)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 24(126)
![Page 97: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/97.jpg)
Równanie Einsteina
Geometria czasoprzestrzeni ∼ rozkład i ruch materii oraz energii
Rµν −12
Rgµν = κTµν
lub
Rµν = κ(
Tµν −12
gµνT)
, T = gαβTαβ .
Granica newtonowska pozwoli wyznaczyć
κ =8πG
c4
Ogólniej dopuszczalna jest postać
Rµν −12
Rgµν +Λgµν = κTµν
gdzie Λ — stała kosmologiczna (tradycyjnie = 0), przejawciemnej energii (?)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 24(126)
![Page 98: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/98.jpg)
Równanie Einsteina
Geometria czasoprzestrzeni ∼ rozkład i ruch materii oraz energii
Rµν −12
Rgµν = κTµν
lub
Rµν = κ(
Tµν −12
gµνT)
, T = gαβTαβ .
Granica newtonowska pozwoli wyznaczyć
κ =8πG
c4
Ogólniej dopuszczalna jest postać
Rµν −12
Rgµν +Λgµν = κTµν
gdzie Λ — stała kosmologiczna (tradycyjnie = 0), przejawciemnej energii (?)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 24(126)
![Page 99: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/99.jpg)
Równanie Einsteina
Geometria czasoprzestrzeni ∼ rozkład i ruch materii oraz energii
Rµν −12
Rgµν = κTµν
lub
Rµν = κ(
Tµν −12
gµνT)
, T = gαβTαβ .
Granica newtonowska pozwoli wyznaczyć
κ =8πG
c4
Ogólniej dopuszczalna jest postać
Rµν −12
Rgµν +Λgµν = κTµν
gdzie Λ — stała kosmologiczna (tradycyjnie = 0), przejawciemnej energii (?)Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 24(126)
![Page 100: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/100.jpg)
Granica newtonowska
Założenia1 Ruch obiektów jest powolny, tzn. |~v| c2 Pole grawitacyjne jest słabe, tzn.
gαβ = ηαβ + hαβ , |hαβ| 1 , |hi j| |h00|
gαβ = ηαβ − hαβ ,
3 Podnoszenie i obniżanie indeksów odbywa się przy użyciu ηαβoraz ηαβ.
4 Pola są wolnozmienne w czasie, tzn. można zaniedbać ichpochodne czasowe w stosunku do pochodnych przestrzennych.
Z założenia (4) zrezygnujemy przy granicy newtonowskiej dla falgrawitacyjnych, gdyż pociąga ono za sobą natychmiastoweoddziaływanie pola grawitacyjnego.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 25(126)
![Page 101: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/101.jpg)
Granica newtonowska
Założenia1 Ruch obiektów jest powolny, tzn. |~v| c
2 Pole grawitacyjne jest słabe, tzn.
gαβ = ηαβ + hαβ , |hαβ| 1 , |hi j| |h00|
gαβ = ηαβ − hαβ ,
3 Podnoszenie i obniżanie indeksów odbywa się przy użyciu ηαβoraz ηαβ.
4 Pola są wolnozmienne w czasie, tzn. można zaniedbać ichpochodne czasowe w stosunku do pochodnych przestrzennych.
Z założenia (4) zrezygnujemy przy granicy newtonowskiej dla falgrawitacyjnych, gdyż pociąga ono za sobą natychmiastoweoddziaływanie pola grawitacyjnego.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 25(126)
![Page 102: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/102.jpg)
Granica newtonowska
Założenia1 Ruch obiektów jest powolny, tzn. |~v| c2 Pole grawitacyjne jest słabe, tzn.
gαβ = ηαβ + hαβ , |hαβ| 1 , |hi j| |h00|
gαβ = ηαβ − hαβ ,
3 Podnoszenie i obniżanie indeksów odbywa się przy użyciu ηαβoraz ηαβ.
4 Pola są wolnozmienne w czasie, tzn. można zaniedbać ichpochodne czasowe w stosunku do pochodnych przestrzennych.
Z założenia (4) zrezygnujemy przy granicy newtonowskiej dla falgrawitacyjnych, gdyż pociąga ono za sobą natychmiastoweoddziaływanie pola grawitacyjnego.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 25(126)
![Page 103: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/103.jpg)
Granica newtonowska
Założenia1 Ruch obiektów jest powolny, tzn. |~v| c2 Pole grawitacyjne jest słabe, tzn.
gαβ = ηαβ + hαβ , |hαβ| 1 , |hi j| |h00|
gαβ = ηαβ − hαβ ,
3 Podnoszenie i obniżanie indeksów odbywa się przy użyciu ηαβoraz ηαβ.
4 Pola są wolnozmienne w czasie, tzn. można zaniedbać ichpochodne czasowe w stosunku do pochodnych przestrzennych.
Z założenia (4) zrezygnujemy przy granicy newtonowskiej dla falgrawitacyjnych, gdyż pociąga ono za sobą natychmiastoweoddziaływanie pola grawitacyjnego.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 25(126)
![Page 104: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/104.jpg)
Granica newtonowska
Założenia1 Ruch obiektów jest powolny, tzn. |~v| c2 Pole grawitacyjne jest słabe, tzn.
gαβ = ηαβ + hαβ , |hαβ| 1 , |hi j| |h00|
gαβ = ηαβ − hαβ ,
3 Podnoszenie i obniżanie indeksów odbywa się przy użyciu ηαβoraz ηαβ.
4 Pola są wolnozmienne w czasie, tzn. można zaniedbać ichpochodne czasowe w stosunku do pochodnych przestrzennych.
Z założenia (4) zrezygnujemy przy granicy newtonowskiej dla falgrawitacyjnych, gdyż pociąga ono za sobą natychmiastoweoddziaływanie pola grawitacyjnego.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 25(126)
![Page 105: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/105.jpg)
Granica newtonowska
Założenia1 Ruch obiektów jest powolny, tzn. |~v| c2 Pole grawitacyjne jest słabe, tzn.
gαβ = ηαβ + hαβ , |hαβ| 1 , |hi j| |h00|
gαβ = ηαβ − hαβ ,
3 Podnoszenie i obniżanie indeksów odbywa się przy użyciu ηαβoraz ηαβ.
4 Pola są wolnozmienne w czasie, tzn. można zaniedbać ichpochodne czasowe w stosunku do pochodnych przestrzennych.
Z założenia (4) zrezygnujemy przy granicy newtonowskiej dla falgrawitacyjnych, gdyż pociąga ono za sobą natychmiastoweoddziaływanie pola grawitacyjnego.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 25(126)
![Page 106: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/106.jpg)
Granica newtonowska równania linii geodezyjnej
Jaki jest sens fizyczny wielkości hαβ?
Przykład: Równanie geodezyjnej w granicy newtonowskiej
d2xµ
dτ2 + Γµ00
dx0
dτdx0
dτ+ . . . = 0
Γµ00 =
12
gνµ(g0ν,0 + g0,ν,0 − g00,ν) ' −12
gνµg00,ν
składowa 0 równania geodezyjnej
cd2tdτ2 −
12(ηk0 + hk0)
∂(η00 + h00)
∂xk c2( dt
dτ
)2+ . . . = 0 =⇒ d2t
dτ2 = 0
składowa j równania geodezyjnej
d2x j
dτ2 −12(ηk j + hk j)
∂(η00 + h00)
∂xk c2( dt
dτ
)2+ . . . = 0
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 26(126)
![Page 107: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/107.jpg)
Granica newtonowska równania linii geodezyjnej
Jaki jest sens fizyczny wielkości hαβ?
Przykład: Równanie geodezyjnej w granicy newtonowskiej
d2xµ
dτ2 + Γµ00
dx0
dτdx0
dτ+ . . . = 0
Γµ00 =
12
gνµ(g0ν,0 + g0,ν,0 − g00,ν) ' −12
gνµg00,ν
składowa 0 równania geodezyjnej
cd2tdτ2 −
12(ηk0 + hk0)
∂(η00 + h00)
∂xk c2( dt
dτ
)2+ . . . = 0 =⇒ d2t
dτ2 = 0
składowa j równania geodezyjnej
d2x j
dτ2 −12(ηk j + hk j)
∂(η00 + h00)
∂xk c2( dt
dτ
)2+ . . . = 0
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 26(126)
![Page 108: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/108.jpg)
Granica newtonowska równania linii geodezyjnej
Jaki jest sens fizyczny wielkości hαβ?
Przykład: Równanie geodezyjnej w granicy newtonowskiej
d2xµ
dτ2 + Γµ00
dx0
dτdx0
dτ+ . . . = 0
Γµ00 =
12
gνµ(g0ν,0 + g0,ν,0 − g00,ν) ' −12
gνµg00,ν
składowa 0 równania geodezyjnej
cd2tdτ2 −
12(ηk0 + hk0)
∂(η00 + h00)
∂xk c2( dt
dτ
)2+ . . . = 0 =⇒ d2t
dτ2 = 0
składowa j równania geodezyjnej
d2x j
dτ2 −12(ηk j + hk j)
∂(η00 + h00)
∂xk c2( dt
dτ
)2+ . . . = 0
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 26(126)
![Page 109: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/109.jpg)
Granica newtonowska równania linii geodezyjnej
Jaki jest sens fizyczny wielkości hαβ?
Przykład: Równanie geodezyjnej w granicy newtonowskiej
d2xµ
dτ2 + Γµ00
dx0
dτdx0
dτ+ . . . = 0
Γµ00 =
12
gνµ(g0ν,0 + g0,ν,0 − g00,ν) ' −12
gνµg00,ν
składowa 0 równania geodezyjnej
cd2tdτ2 −
12(ηk0 + hk0)
∂(η00 + h00)
∂xk c2( dt
dτ
)2+ . . . = 0 =⇒ d2t
dτ2 = 0
składowa j równania geodezyjnej
d2x j
dτ2 −12(ηk j + hk j)
∂(η00 + h00)
∂xk c2( dt
dτ
)2+ . . . = 0
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 26(126)
![Page 110: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/110.jpg)
Granica newtonowska równania linii geodezyjnej
Jaki jest sens fizyczny wielkości hαβ?
Przykład: Równanie geodezyjnej w granicy newtonowskiej
d2xµ
dτ2 + Γµ00
dx0
dτdx0
dτ+ . . . = 0
Γµ00 =
12
gνµ(g0ν,0 + g0,ν,0 − g00,ν) ' −12
gνµg00,ν
składowa 0 równania geodezyjnej
cd2tdτ2 −
12(ηk0 + hk0)
∂(η00 + h00)
∂xk c2( dt
dτ
)2+ . . . = 0 =⇒ d2t
dτ2 = 0
składowa j równania geodezyjnej
d2x j
dτ2 −12(ηk j + hk j)
∂(η00 + h00)
∂xk c2( dt
dτ
)2+ . . . = 0
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 26(126)
![Page 111: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/111.jpg)
Granica newtonowska równania linii geodezyjnej
dla ηαβ = [1,−1,−1,−1] mamy
η jk ∂h00
∂xk = −∇h00 , j = 1, 2, 3 .
ostatecznied2~rdt2 +
c2
2∇h00 + . . . = 0
h00 =2Vc2 + const
gdzie V jest newtonowskim potencjałem grawitacyjnym orazconst = 0
g00 = 1 +2Vc2
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 27(126)
![Page 112: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/112.jpg)
Granica newtonowska równania linii geodezyjnej
dla ηαβ = [1,−1,−1,−1] mamy
η jk ∂h00
∂xk = −∇h00 , j = 1, 2, 3 .
ostatecznied2~rdt2 +
c2
2∇h00 + . . . = 0
h00 =2Vc2 + const
gdzie V jest newtonowskim potencjałem grawitacyjnym orazconst = 0
g00 = 1 +2Vc2
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 27(126)
![Page 113: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/113.jpg)
Granica newtonowska równania linii geodezyjnej
dla ηαβ = [1,−1,−1,−1] mamy
η jk ∂h00
∂xk = −∇h00 , j = 1, 2, 3 .
ostatecznied2~rdt2 +
c2
2∇h00 + . . . = 0
h00 =2Vc2 + const
gdzie V jest newtonowskim potencjałem grawitacyjnym orazconst = 0
g00 = 1 +2Vc2
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 27(126)
![Page 114: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/114.jpg)
Granica newtonowska równania linii geodezyjnej
dla ηαβ = [1,−1,−1,−1] mamy
η jk ∂h00
∂xk = −∇h00 , j = 1, 2, 3 .
ostatecznied2~rdt2 +
c2
2∇h00 + . . . = 0
h00 =2Vc2 + const
gdzie V jest newtonowskim potencjałem grawitacyjnym orazconst = 0
g00 = 1 +2Vc2
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 27(126)
![Page 115: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/115.jpg)
Granica newtonowska równania pola
Mamy dla tensora krzywizny i tensora Ricciego
Rδαβγ =12(gαβ,δγ + gδγ,αβ − gαγ,δβ − gδβ,αγ)
Rαγ '12
(hδα,δγ + hβγ,αβ −2hαγ − h,αγ
)R00 '
12
(hδ0,0γ + hβ0,0β −2h00 − h,00
)' 1
2∇2h00
Mamy dla tensora energii–pędu Tµν = ρuµuν
T = Tµµ = ρuµuµ = ρc2[1− v2
c2
]' ρc2
κ(
T00 −12η00T
)=
12κρc2
Ostatecznie po porównaniu z równaniem Poissona ∇2V = 4πGρ
∇2h00 = κρc2 =⇒ κ =8πG
c4
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 28(126)
![Page 116: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/116.jpg)
Granica newtonowska równania pola
Mamy dla tensora krzywizny i tensora Ricciego
Rδαβγ =12(gαβ,δγ + gδγ,αβ − gαγ,δβ − gδβ,αγ)
Rαγ '12
(hδα,δγ + hβγ,αβ −2hαγ − h,αγ
)R00 '
12
(hδ0,0γ + hβ0,0β −2h00 − h,00
)' 1
2∇2h00
Mamy dla tensora energii–pędu Tµν = ρuµuν
T = Tµµ = ρuµuµ = ρc2[1− v2
c2
]' ρc2
κ(
T00 −12η00T
)=
12κρc2
Ostatecznie po porównaniu z równaniem Poissona ∇2V = 4πGρ
∇2h00 = κρc2 =⇒ κ =8πG
c4
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 28(126)
![Page 117: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/117.jpg)
Granica newtonowska równania pola
Mamy dla tensora krzywizny i tensora Ricciego
Rδαβγ =12(gαβ,δγ + gδγ,αβ − gαγ,δβ − gδβ,αγ)
Rαγ '12
(hδα,δγ + hβγ,αβ −2hαγ − h,αγ
)
R00 '12
(hδ0,0γ + hβ0,0β −2h00 − h,00
)' 1
2∇2h00
Mamy dla tensora energii–pędu Tµν = ρuµuν
T = Tµµ = ρuµuµ = ρc2[1− v2
c2
]' ρc2
κ(
T00 −12η00T
)=
12κρc2
Ostatecznie po porównaniu z równaniem Poissona ∇2V = 4πGρ
∇2h00 = κρc2 =⇒ κ =8πG
c4
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 28(126)
![Page 118: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/118.jpg)
Granica newtonowska równania pola
Mamy dla tensora krzywizny i tensora Ricciego
Rδαβγ =12(gαβ,δγ + gδγ,αβ − gαγ,δβ − gδβ,αγ)
Rαγ '12
(hδα,δγ + hβγ,αβ −2hαγ − h,αγ
)R00 '
12
(hδ0,0γ + hβ0,0β −2h00 − h,00
)' 1
2∇2h00
Mamy dla tensora energii–pędu Tµν = ρuµuν
T = Tµµ = ρuµuµ = ρc2[1− v2
c2
]' ρc2
κ(
T00 −12η00T
)=
12κρc2
Ostatecznie po porównaniu z równaniem Poissona ∇2V = 4πGρ
∇2h00 = κρc2 =⇒ κ =8πG
c4
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 28(126)
![Page 119: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/119.jpg)
Granica newtonowska równania pola
Mamy dla tensora krzywizny i tensora Ricciego
Rδαβγ =12(gαβ,δγ + gδγ,αβ − gαγ,δβ − gδβ,αγ)
Rαγ '12
(hδα,δγ + hβγ,αβ −2hαγ − h,αγ
)R00 '
12
(hδ0,0γ + hβ0,0β −2h00 − h,00
)' 1
2∇2h00
Mamy dla tensora energii–pędu Tµν = ρuµuν
T = Tµµ = ρuµuµ = ρc2[1− v2
c2
]' ρc2
κ(
T00 −12η00T
)=
12κρc2
Ostatecznie po porównaniu z równaniem Poissona ∇2V = 4πGρ
∇2h00 = κρc2 =⇒ κ =8πG
c4
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 28(126)
![Page 120: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/120.jpg)
Granica newtonowska równania pola
Mamy dla tensora krzywizny i tensora Ricciego
Rδαβγ =12(gαβ,δγ + gδγ,αβ − gαγ,δβ − gδβ,αγ)
Rαγ '12
(hδα,δγ + hβγ,αβ −2hαγ − h,αγ
)R00 '
12
(hδ0,0γ + hβ0,0β −2h00 − h,00
)' 1
2∇2h00
Mamy dla tensora energii–pędu Tµν = ρuµuν
T = Tµµ = ρuµuµ = ρc2[1− v2
c2
]' ρc2
κ(
T00 −12η00T
)=
12κρc2
Ostatecznie po porównaniu z równaniem Poissona ∇2V = 4πGρ
∇2h00 = κρc2 =⇒ κ =8πG
c4
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 28(126)
![Page 121: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/121.jpg)
Granica newtonowska równania pola
Rezygnujemy z założenia o zaniedbaniu pochodnych czasowych
12
(hµα,µβ + hµβ,αµ −2hαβ − h,αβ
)=
8πGc4
(Tαβ −
12ηαβT
).
Wprowadźmy
hαβ := hαβ −12
hδαβ , h = hµµ
wybierzmy cechowanie Lorentza, w którym hαβ,α = 0Wówczas
Rαβ ' −122hαβ
Rαβ −12ηαβR = −1
22hαβ
Ostatecznie otrzymujemy równanie falowe postaci
2hαβ = −16πGc4 Tαβ
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 29(126)
![Page 122: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/122.jpg)
Granica newtonowska równania pola
Rezygnujemy z założenia o zaniedbaniu pochodnych czasowych
12
(hµα,µβ + hµβ,αµ −2hαβ − h,αβ
)=
8πGc4
(Tαβ −
12ηαβT
).
Wprowadźmy
hαβ := hαβ −12
hδαβ , h = hµµ
wybierzmy cechowanie Lorentza, w którym hαβ,α = 0Wówczas
Rαβ ' −122hαβ
Rαβ −12ηαβR = −1
22hαβ
Ostatecznie otrzymujemy równanie falowe postaci
2hαβ = −16πGc4 Tαβ
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 29(126)
![Page 123: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/123.jpg)
Granica newtonowska równania pola
Rezygnujemy z założenia o zaniedbaniu pochodnych czasowych
12
(hµα,µβ + hµβ,αµ −2hαβ − h,αβ
)=
8πGc4
(Tαβ −
12ηαβT
).
Wprowadźmy
hαβ := hαβ −12
hδαβ , h = hµµ
wybierzmy cechowanie Lorentza, w którym hαβ,α = 0Wówczas
Rαβ ' −122hαβ
Rαβ −12ηαβR = −1
22hαβ
Ostatecznie otrzymujemy równanie falowe postaci
2hαβ = −16πGc4 Tαβ
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 29(126)
![Page 124: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/124.jpg)
Granica newtonowska równania pola
Rezygnujemy z założenia o zaniedbaniu pochodnych czasowych
12
(hµα,µβ + hµβ,αµ −2hαβ − h,αβ
)=
8πGc4
(Tαβ −
12ηαβT
).
Wprowadźmy
hαβ := hαβ −12
hδαβ , h = hµµ
wybierzmy cechowanie Lorentza, w którym hαβ,α = 0Wówczas
Rαβ ' −122hαβ
Rαβ −12ηαβR = −1
22hαβ
Ostatecznie otrzymujemy równanie falowe postaci
2hαβ = −16πGc4 Tαβ
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 29(126)
![Page 125: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/125.jpg)
Granica newtonowska równania pola
Rezygnujemy z założenia o zaniedbaniu pochodnych czasowych
12
(hµα,µβ + hµβ,αµ −2hαβ − h,αβ
)=
8πGc4
(Tαβ −
12ηαβT
).
Wprowadźmy
hαβ := hαβ −12
hδαβ , h = hµµ
wybierzmy cechowanie Lorentza, w którym hαβ,α = 0
Wówczas
Rαβ ' −122hαβ
Rαβ −12ηαβR = −1
22hαβ
Ostatecznie otrzymujemy równanie falowe postaci
2hαβ = −16πGc4 Tαβ
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 29(126)
![Page 126: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/126.jpg)
Granica newtonowska równania pola
Rezygnujemy z założenia o zaniedbaniu pochodnych czasowych
12
(hµα,µβ + hµβ,αµ −2hαβ − h,αβ
)=
8πGc4
(Tαβ −
12ηαβT
).
Wprowadźmy
hαβ := hαβ −12
hδαβ , h = hµµ
wybierzmy cechowanie Lorentza, w którym hαβ,α = 0Wówczas
Rαβ ' −122hαβ
Rαβ −12ηαβR = −1
22hαβ
Ostatecznie otrzymujemy równanie falowe postaci
2hαβ = −16πGc4 Tαβ
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 29(126)
![Page 127: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/127.jpg)
Granica newtonowska równania pola
Rezygnujemy z założenia o zaniedbaniu pochodnych czasowych
12
(hµα,µβ + hµβ,αµ −2hαβ − h,αβ
)=
8πGc4
(Tαβ −
12ηαβT
).
Wprowadźmy
hαβ := hαβ −12
hδαβ , h = hµµ
wybierzmy cechowanie Lorentza, w którym hαβ,α = 0Wówczas
Rαβ ' −122hαβ
Rαβ −12ηαβR = −1
22hαβ
Ostatecznie otrzymujemy równanie falowe postaci
2hαβ = −16πGc4 Tαβ
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 29(126)
![Page 128: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/128.jpg)
Równanie falowe poza źródłami
2hαβ = 0
10 równań z uwagi na symetryczność tensorów
4 równania cechowania Lorentza hαβ,α = 0warunku cechowania nadal nie zmienia transformacjaxµ → xµ +ξµ, o ile 2ξµ = 0 (4 warunki)cechowanie TT (transverse-traceless gauge)1 można wybrać jedno ξµ tak, aby h = 0, wówczas hαβ = hαβ2 można wybrać pozostałe ξµ tak, aby hk0 = 0, wówczas
0 = hαβ,α = hαβ,α = h00,0 + hk0
,k = h00,0
3 można wybrać h00 = 0 i wówczas
hα0 = 0 , h = 0 , h jk, j = 0 .
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 30(126)
![Page 129: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/129.jpg)
Równanie falowe poza źródłami
2hαβ = 0
10 równań z uwagi na symetryczność tensorów
4 równania cechowania Lorentza hαβ,α = 0warunku cechowania nadal nie zmienia transformacjaxµ → xµ +ξµ, o ile 2ξµ = 0 (4 warunki)cechowanie TT (transverse-traceless gauge)1 można wybrać jedno ξµ tak, aby h = 0, wówczas hαβ = hαβ2 można wybrać pozostałe ξµ tak, aby hk0 = 0, wówczas
0 = hαβ,α = hαβ,α = h00,0 + hk0
,k = h00,0
3 można wybrać h00 = 0 i wówczas
hα0 = 0 , h = 0 , h jk, j = 0 .
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 30(126)
![Page 130: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/130.jpg)
Równanie falowe poza źródłami
2hαβ = 0
10 równań z uwagi na symetryczność tensorów
4 równania cechowania Lorentza hαβ,α = 0
warunku cechowania nadal nie zmienia transformacjaxµ → xµ +ξµ, o ile 2ξµ = 0 (4 warunki)cechowanie TT (transverse-traceless gauge)1 można wybrać jedno ξµ tak, aby h = 0, wówczas hαβ = hαβ2 można wybrać pozostałe ξµ tak, aby hk0 = 0, wówczas
0 = hαβ,α = hαβ,α = h00,0 + hk0
,k = h00,0
3 można wybrać h00 = 0 i wówczas
hα0 = 0 , h = 0 , h jk, j = 0 .
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 30(126)
![Page 131: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/131.jpg)
Równanie falowe poza źródłami
2hαβ = 0
10 równań z uwagi na symetryczność tensorów
4 równania cechowania Lorentza hαβ,α = 0warunku cechowania nadal nie zmienia transformacjaxµ → xµ +ξµ, o ile 2ξµ = 0 (4 warunki)
cechowanie TT (transverse-traceless gauge)1 można wybrać jedno ξµ tak, aby h = 0, wówczas hαβ = hαβ2 można wybrać pozostałe ξµ tak, aby hk0 = 0, wówczas
0 = hαβ,α = hαβ,α = h00,0 + hk0
,k = h00,0
3 można wybrać h00 = 0 i wówczas
hα0 = 0 , h = 0 , h jk, j = 0 .
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 30(126)
![Page 132: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/132.jpg)
Równanie falowe poza źródłami
2hαβ = 0
10 równań z uwagi na symetryczność tensorów
4 równania cechowania Lorentza hαβ,α = 0warunku cechowania nadal nie zmienia transformacjaxµ → xµ +ξµ, o ile 2ξµ = 0 (4 warunki)cechowanie TT (transverse-traceless gauge)
1 można wybrać jedno ξµ tak, aby h = 0, wówczas hαβ = hαβ2 można wybrać pozostałe ξµ tak, aby hk0 = 0, wówczas
0 = hαβ,α = hαβ,α = h00,0 + hk0
,k = h00,0
3 można wybrać h00 = 0 i wówczas
hα0 = 0 , h = 0 , h jk, j = 0 .
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 30(126)
![Page 133: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/133.jpg)
Równanie falowe poza źródłami
2hαβ = 0
10 równań z uwagi na symetryczność tensorów
4 równania cechowania Lorentza hαβ,α = 0warunku cechowania nadal nie zmienia transformacjaxµ → xµ +ξµ, o ile 2ξµ = 0 (4 warunki)cechowanie TT (transverse-traceless gauge)1 można wybrać jedno ξµ tak, aby h = 0, wówczas hαβ = hαβ
2 można wybrać pozostałe ξµ tak, aby hk0 = 0, wówczas
0 = hαβ,α = hαβ,α = h00,0 + hk0
,k = h00,0
3 można wybrać h00 = 0 i wówczas
hα0 = 0 , h = 0 , h jk, j = 0 .
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 30(126)
![Page 134: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/134.jpg)
Równanie falowe poza źródłami
2hαβ = 0
10 równań z uwagi na symetryczność tensorów
4 równania cechowania Lorentza hαβ,α = 0warunku cechowania nadal nie zmienia transformacjaxµ → xµ +ξµ, o ile 2ξµ = 0 (4 warunki)cechowanie TT (transverse-traceless gauge)1 można wybrać jedno ξµ tak, aby h = 0, wówczas hαβ = hαβ2 można wybrać pozostałe ξµ tak, aby hk0 = 0, wówczas
0 = hαβ,α = hαβ,α = h00,0 + hk0
,k = h00,0
3 można wybrać h00 = 0 i wówczas
hα0 = 0 , h = 0 , h jk, j = 0 .
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 30(126)
![Page 135: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/135.jpg)
Równanie falowe poza źródłami
2hαβ = 0
10 równań z uwagi na symetryczność tensorów
4 równania cechowania Lorentza hαβ,α = 0warunku cechowania nadal nie zmienia transformacjaxµ → xµ +ξµ, o ile 2ξµ = 0 (4 warunki)cechowanie TT (transverse-traceless gauge)1 można wybrać jedno ξµ tak, aby h = 0, wówczas hαβ = hαβ2 można wybrać pozostałe ξµ tak, aby hk0 = 0, wówczas
0 = hαβ,α = hαβ,α = h00,0 + hk0
,k = h00,0
3 można wybrać h00 = 0 i wówczas
hα0 = 0 , h = 0 , h jk, j = 0 .
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 30(126)
![Page 136: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/136.jpg)
Rozwiązanie w postaci fali płaskiej
Rozwiązaniem2hαβ = 0
jesthαβ = Aαβ cos(kσxσ ) ,
gdzie kσ = [ω/c,−~k], kσkσ = 0, Aαβ — tensor polaryzacji.
fala jest poprzeczna: z hαβ,α = 0 wynika
Aαβkα = 0 .
odpowiedni wybór stałych Cα w ξα = −Cα sin(kσxσ ) pozwalawybrać cechowanie TT
hα0TT = 0 , hTT = 0 , (hTT)
jk, j = 0 .
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 31(126)
![Page 137: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/137.jpg)
Rozwiązanie w postaci fali płaskiej
Rozwiązaniem2hαβ = 0
jesthαβ = Aαβ cos(kσxσ ) ,
gdzie kσ = [ω/c,−~k], kσkσ = 0, Aαβ — tensor polaryzacji.
fala jest poprzeczna: z hαβ,α = 0 wynika
Aαβkα = 0 .
odpowiedni wybór stałych Cα w ξα = −Cα sin(kσxσ ) pozwalawybrać cechowanie TT
hα0TT = 0 , hTT = 0 , (hTT)
jk, j = 0 .
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 31(126)
![Page 138: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/138.jpg)
Rozwiązanie w postaci fali płaskiej
Rozwiązaniem2hαβ = 0
jesthαβ = Aαβ cos(kσxσ ) ,
gdzie kσ = [ω/c,−~k], kσkσ = 0, Aαβ — tensor polaryzacji.
fala jest poprzeczna: z hαβ,α = 0 wynika
Aαβkα = 0 .
odpowiedni wybór stałych Cα w ξα = −Cα sin(kσxσ ) pozwalawybrać cechowanie TT
hα0TT = 0 , hTT = 0 , (hTT)
jk, j = 0 .
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 31(126)
![Page 139: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/139.jpg)
Rozwiązanie w postaci fali płaskiej
Rozwiązaniem2hαβ = 0
jesthαβ = Aαβ cos(kσxσ ) ,
gdzie kσ = [ω/c,−~k], kσkσ = 0, Aαβ — tensor polaryzacji.
fala jest poprzeczna: z hαβ,α = 0 wynika
Aαβkα = 0 .
odpowiedni wybór stałych Cα w ξα = −Cα sin(kσxσ ) pozwalawybrać cechowanie TT
hα0TT = 0 , hTT = 0 , (hTT)
jk, j = 0 .
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 31(126)
![Page 140: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/140.jpg)
Polaryzacje plus i cross
Są dwie niezależne polaryzacje fali grawitacyjnej w próżni
Dla fali rozchodzącej się wzdłuż osi z odpowiadają one wyborommacierzy E+
i j oraz E×i j w postaci
E+i j =
0 0 0 00 1 0 00 0 −1 00 0 0 0
i j
,
E×i j =
0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 0
i j
Wówczas
hTTi j (ct− z) = E+
i j h+(ct− z) + E×i j h×(ct− z)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 32(126)
![Page 141: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/141.jpg)
Polaryzacje plus i cross
Są dwie niezależne polaryzacje fali grawitacyjnej w próżni
Dla fali rozchodzącej się wzdłuż osi z odpowiadają one wyborommacierzy E+
i j oraz E×i j w postaci
E+i j =
0 0 0 00 1 0 00 0 −1 00 0 0 0
i j
,
E×i j =
0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 0
i j
Wówczas
hTTi j (ct− z) = E+
i j h+(ct− z) + E×i j h×(ct− z)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 32(126)
![Page 142: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/142.jpg)
Polaryzacje plus i cross
Są dwie niezależne polaryzacje fali grawitacyjnej w próżni
Dla fali rozchodzącej się wzdłuż osi z odpowiadają one wyborommacierzy E+
i j oraz E×i j w postaci
E+i j =
0 0 0 00 1 0 00 0 −1 00 0 0 0
i j
,
E×i j =
0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 0
i j
Wówczas
hTTi j (ct− z) = E+
i j h+(ct− z) + E×i j h×(ct− z)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 32(126)
![Page 143: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/143.jpg)
Polaryzacje plus i cross
Są dwie niezależne polaryzacje fali grawitacyjnej w próżni
Dla fali rozchodzącej się wzdłuż osi z odpowiadają one wyborommacierzy E+
i j oraz E×i j w postaci
E+i j =
0 0 0 00 1 0 00 0 −1 00 0 0 0
i j
,
E×i j =
0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 0
i j
Wówczas
hTTi j (ct− z) = E+
i j h+(ct− z) + E×i j h×(ct− z)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 32(126)
![Page 144: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/144.jpg)
Polaryzacje plus i cross
Są dwie niezależne polaryzacje fali grawitacyjnej w próżni
Dla fali rozchodzącej się wzdłuż osi z odpowiadają one wyborommacierzy E+
i j oraz E×i j w postaci
E+i j =
0 0 0 00 1 0 00 0 −1 00 0 0 0
i j
,
E×i j =
0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 0
i j
Wówczas
hTTi j (ct− z) = E+
i j h+(ct− z) + E×i j h×(ct− z)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 32(126)
![Page 145: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/145.jpg)
Fala o dowolnym kierunku propagacji
Niech kierunek propagacji fali wyznacza wektor ~n =~k/|~k|,wówczas
hTTi j (~n) = Λi j,kl(~n)hkl
gdzie Λ jest projektorem na kierunek ~n, tzn.
Λi j,kl = PikPjl −12
Pi jPkl , Pi j(~n) = δi j − nin j
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 33(126)
![Page 146: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/146.jpg)
Fala o dowolnym kierunku propagacji
Niech kierunek propagacji fali wyznacza wektor ~n =~k/|~k|,wówczas
hTTi j (~n) = Λi j,kl(~n)hkl
gdzie Λ jest projektorem na kierunek ~n, tzn.
Λi j,kl = PikPjl −12
Pi jPkl , Pi j(~n) = δi j − nin j
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 33(126)
![Page 147: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/147.jpg)
Dwie niezależne składowe tensora krzywizny
w granicy newtonowskiej
R0i0 j '12(hi0,0 j + h0 j,i0 − hi j,00 − h00,i j)
w cechowaniu TT
R0i0 j ' −12
hTTi j,00
tylko dwie składowe tensora krzywizny są niezależne
R0101 = −R0202 , R0201 = R0102
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 34(126)
![Page 148: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/148.jpg)
Dwie niezależne składowe tensora krzywizny
w granicy newtonowskiej
R0i0 j '12(hi0,0 j + h0 j,i0 − hi j,00 − h00,i j)
w cechowaniu TT
R0i0 j ' −12
hTTi j,00
tylko dwie składowe tensora krzywizny są niezależne
R0101 = −R0202 , R0201 = R0102
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 34(126)
![Page 149: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/149.jpg)
Dwie niezależne składowe tensora krzywizny
w granicy newtonowskiej
R0i0 j '12(hi0,0 j + h0 j,i0 − hi j,00 − h00,i j)
w cechowaniu TT
R0i0 j ' −12
hTTi j,00
tylko dwie składowe tensora krzywizny są niezależne
R0101 = −R0202 , R0201 = R0102
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 34(126)
![Page 150: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/150.jpg)
Dwie niezależne składowe tensora krzywizny
w granicy newtonowskiej
R0i0 j '12(hi0,0 j + h0 j,i0 − hi j,00 − h00,i j)
w cechowaniu TT
R0i0 j ' −12
hTTi j,00
tylko dwie składowe tensora krzywizny są niezależne
R0101 = −R0202 , R0201 = R0102
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 34(126)
![Page 151: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/151.jpg)
Rozwinięcie post-newtonowskie
równanie Einsteina w próżni
Gµν [gµν ] := Rµν −12
Rgµν = 0
rozwinięcie względem małego parametru ε
gµν = ηµν +εh(1)µν +ε2h(2)µν + . . .
Gµν = G(0)µν +εG(1)
µν +ε2G(2)µν + . . .
G(1)µν [h
(1)µν ] = 0 ,
G(1)µν [h
(2)µν ] = −G(2)
µν [h(1)µν ]︸ ︷︷ ︸
źródło
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 35(126)
![Page 152: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/152.jpg)
Rozwinięcie post-newtonowskie
równanie Einsteina w próżni
Gµν [gµν ] := Rµν −12
Rgµν = 0
rozwinięcie względem małego parametru ε
gµν = ηµν +εh(1)µν +ε2h(2)µν + . . .
Gµν = G(0)µν +εG(1)
µν +ε2G(2)µν + . . .
G(1)µν [h
(1)µν ] = 0 ,
G(1)µν [h
(2)µν ] = −G(2)
µν [h(1)µν ]︸ ︷︷ ︸
źródło
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 35(126)
![Page 153: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/153.jpg)
Rozwinięcie post-newtonowskie
równanie Einsteina w próżni
Gµν [gµν ] := Rµν −12
Rgµν = 0
rozwinięcie względem małego parametru ε
gµν = ηµν +εh(1)µν +ε2h(2)µν + . . .
Gµν = G(0)µν +εG(1)
µν +ε2G(2)µν + . . .
G(1)µν [h
(1)µν ] = 0 ,
G(1)µν [h
(2)µν ] = −G(2)
µν [h(1)µν ]︸ ︷︷ ︸
źródło
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 35(126)
![Page 154: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/154.jpg)
Rozwinięcie post-newtonowskie
równanie Einsteina w próżni
Gµν [gµν ] := Rµν −12
Rgµν = 0
rozwinięcie względem małego parametru ε
gµν = ηµν +εh(1)µν +ε2h(2)µν + . . .
Gµν = G(0)µν +εG(1)
µν +ε2G(2)µν + . . .
G(1)µν [h
(1)µν ] = 0 ,
G(1)µν [h
(2)µν ] = −G(2)
µν [h(1)µν ]︸ ︷︷ ︸
źródło
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 35(126)
![Page 155: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/155.jpg)
Rozwinięcie post-newtonowskie
równanie Einsteina w próżni
Gµν [gµν ] := Rµν −12
Rgµν = 0
rozwinięcie względem małego parametru ε
gµν = ηµν +εh(1)µν +ε2h(2)µν + . . .
Gµν = G(0)µν +εG(1)
µν +ε2G(2)µν + . . .
G(1)µν [h
(1)µν ] = 0 ,
G(1)µν [h
(2)µν ] = −G(2)
µν [h(1)µν ]︸ ︷︷ ︸
źródło
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 35(126)
![Page 156: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/156.jpg)
Tensor energii-pędu fali grawitacyjnej
Uśrednienie po obszarze dostatecznie dużym, aby zawierał wieledługości fali grawitacyjnej
TGWµν = − c4
8πG
⟨G(2)µν [h
(1)µν ]⟩
Isaacson w 1968 roku pokazał, że z dokładnością do ε2
TGWµν =
c4
32πG〈hi j
TT,µhTTi j,ν〉
Przypadek fali płaskiejhTT
i j (ct− z) = E+i j h+(ct− z) + E×i j h×(ct− z)
TGW00 =
c4
16πG〈(∂0h+)2 + (∂0h×)2〉
Przypadek fali monochromatycznej o częstości ω
TGW00 =
c4ω2
32πG(A2
+ + A2×)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 36(126)
![Page 157: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/157.jpg)
Tensor energii-pędu fali grawitacyjnej
Uśrednienie po obszarze dostatecznie dużym, aby zawierał wieledługości fali grawitacyjnej
TGWµν = − c4
8πG
⟨G(2)µν [h
(1)µν ]⟩
Isaacson w 1968 roku pokazał, że z dokładnością do ε2
TGWµν =
c4
32πG〈hi j
TT,µhTTi j,ν〉
Przypadek fali płaskiejhTT
i j (ct− z) = E+i j h+(ct− z) + E×i j h×(ct− z)
TGW00 =
c4
16πG〈(∂0h+)2 + (∂0h×)2〉
Przypadek fali monochromatycznej o częstości ω
TGW00 =
c4ω2
32πG(A2
+ + A2×)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 36(126)
![Page 158: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/158.jpg)
Tensor energii-pędu fali grawitacyjnej
Uśrednienie po obszarze dostatecznie dużym, aby zawierał wieledługości fali grawitacyjnej
TGWµν = − c4
8πG
⟨G(2)µν [h
(1)µν ]⟩
Isaacson w 1968 roku pokazał, że z dokładnością do ε2
TGWµν =
c4
32πG〈hi j
TT,µhTTi j,ν〉
Przypadek fali płaskiejhTT
i j (ct− z) = E+i j h+(ct− z) + E×i j h×(ct− z)
TGW00 =
c4
16πG〈(∂0h+)2 + (∂0h×)2〉
Przypadek fali monochromatycznej o częstości ω
TGW00 =
c4ω2
32πG(A2
+ + A2×)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 36(126)
![Page 159: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/159.jpg)
Tensor energii-pędu fali grawitacyjnej
Uśrednienie po obszarze dostatecznie dużym, aby zawierał wieledługości fali grawitacyjnej
TGWµν = − c4
8πG
⟨G(2)µν [h
(1)µν ]⟩
Isaacson w 1968 roku pokazał, że z dokładnością do ε2
TGWµν =
c4
32πG〈hi j
TT,µhTTi j,ν〉
Przypadek fali płaskiejhTT
i j (ct− z) = E+i j h+(ct− z) + E×i j h×(ct− z)
TGW00 =
c4
16πG〈(∂0h+)2 + (∂0h×)2〉
Przypadek fali monochromatycznej o częstości ω
TGW00 =
c4ω2
32πG(A2
+ + A2×)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 36(126)
![Page 160: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/160.jpg)
Tensor energii-pędu fali grawitacyjnej
Uśrednienie po obszarze dostatecznie dużym, aby zawierał wieledługości fali grawitacyjnej
TGWµν = − c4
8πG
⟨G(2)µν [h
(1)µν ]⟩
Isaacson w 1968 roku pokazał, że z dokładnością do ε2
TGWµν =
c4
32πG〈hi j
TT,µhTTi j,ν〉
Przypadek fali płaskiejhTT
i j (ct− z) = E+i j h+(ct− z) + E×i j h×(ct− z)
TGW00 =
c4
16πG〈(∂0h+)2 + (∂0h×)2〉
Przypadek fali monochromatycznej o częstości ω
TGW00 =
c4ω2
32πG(A2
+ + A2×)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 36(126)
![Page 161: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/161.jpg)
Skutki przejścia fali grawitacyjnej
Przyspieszenie pływowe
∆~a =~a(~r +~ξ)−~a(~r ) = (~ξ · ∇)~a(~r ) = −ξkV,km~e m
Tensor pływów ζkm = V,km
∆am = −ξkζkm(~r)
Przykład: Dla potencjału newtonowskiego,
ζi j(~r) = −GMz
r5 (3xix j − δi jr2)
oraz ~ξ = [0, 0, ∆z],~r = [0, 0, z]
∆a1 = −∆zζ31, ∆a2 = −∆zζ32, ∆a3 = −∆zζ33
przy czym
ζ(0, 0, z) =GMz
z3
1 0 00 1 00 0 −2
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 37(126)
![Page 162: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/162.jpg)
Skutki przejścia fali grawitacyjnej
Przyspieszenie pływowe
∆~a =~a(~r +~ξ)−~a(~r ) = (~ξ · ∇)~a(~r ) = −ξkV,km~e m
Tensor pływów ζkm = V,km
∆am = −ξkζkm(~r)
Przykład: Dla potencjału newtonowskiego,
ζi j(~r) = −GMz
r5 (3xix j − δi jr2)
oraz ~ξ = [0, 0, ∆z],~r = [0, 0, z]
∆a1 = −∆zζ31, ∆a2 = −∆zζ32, ∆a3 = −∆zζ33
przy czym
ζ(0, 0, z) =GMz
z3
1 0 00 1 00 0 −2
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 37(126)
![Page 163: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/163.jpg)
Skutki przejścia fali grawitacyjnej
Przyspieszenie pływowe
∆~a =~a(~r +~ξ)−~a(~r ) = (~ξ · ∇)~a(~r ) = −ξkV,km~e m
Tensor pływów ζkm = V,km
∆am = −ξkζkm(~r)
Przykład: Dla potencjału newtonowskiego,
ζi j(~r) = −GMz
r5 (3xix j − δi jr2)
oraz ~ξ = [0, 0, ∆z],~r = [0, 0, z]
∆a1 = −∆zζ31, ∆a2 = −∆zζ32, ∆a3 = −∆zζ33
przy czym
ζ(0, 0, z) =GMz
z3
1 0 00 1 00 0 −2
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 37(126)
![Page 164: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/164.jpg)
Skutki przejścia fali grawitacyjnej
Przyspieszenie pływowe
∆~a =~a(~r +~ξ)−~a(~r ) = (~ξ · ∇)~a(~r ) = −ξkV,km~e m
Tensor pływów ζkm = V,km
∆am = −ξkζkm(~r)
Przykład: Dla potencjału newtonowskiego,
ζi j(~r) = −GMz
r5 (3xix j − δi jr2)
oraz ~ξ = [0, 0, ∆z],~r = [0, 0, z]
∆a1 = −∆zζ31, ∆a2 = −∆zζ32, ∆a3 = −∆zζ33
przy czym
ζ(0, 0, z) =GMz
z3
1 0 00 1 00 0 −2
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 37(126)
![Page 165: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/165.jpg)
Skutki przejścia fali grawitacyjnej
Przyspieszenie pływowe w OTW
ζi j = V,i j 'c2
2h00,i j ' −c2 R0i0 j
∆ak := ξ iζik = −c2ξ iR0i0k
w przypadku płaskiej fali grawitacyjnej rozchodzącej się wkierunku z, R0i0k = − 1
2 hik,00, zatem
R0101 = −R0202 = −12
∂200h+
R0102 = R0201 = −12
∂200h×
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 38(126)
![Page 166: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/166.jpg)
Skutki przejścia fali grawitacyjnej
Przyspieszenie pływowe w OTW
ζi j = V,i j 'c2
2h00,i j ' −c2 R0i0 j
∆ak := ξ iζik = −c2ξ iR0i0k
w przypadku płaskiej fali grawitacyjnej rozchodzącej się wkierunku z, R0i0k = − 1
2 hik,00, zatem
R0101 = −R0202 = −12
∂200h+
R0102 = R0201 = −12
∂200h×
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 38(126)
![Page 167: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/167.jpg)
Skutki przejścia fali grawitacyjnej
Przyspieszenie pływowe w OTW
ζi j = V,i j 'c2
2h00,i j ' −c2 R0i0 j
∆ak := ξ iζik = −c2ξ iR0i0k
w przypadku płaskiej fali grawitacyjnej rozchodzącej się wkierunku z, R0i0k = − 1
2 hik,00, zatem
R0101 = −R0202 = −12
∂200h+
R0102 = R0201 = −12
∂200h×
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 38(126)
![Page 168: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/168.jpg)
Skutki przejścia fali grawitacyjnej
Przyspieszenie pływowe w OTW
ζi j = V,i j 'c2
2h00,i j ' −c2 R0i0 j
∆ak := ξ iζik = −c2ξ iR0i0k
w przypadku płaskiej fali grawitacyjnej rozchodzącej się wkierunku z, R0i0k = − 1
2 hik,00, zatem
R0101 = −R0202 = −12
∂200h+
R0102 = R0201 = −12
∂200h×
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 38(126)
![Page 169: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/169.jpg)
Skutki przejścia fali grawitacyjnej
przyspieszenie pływowe
∆a1 = −c2R0101ξ1 − c2R0201ξ
2 =c2
2(ξ1
∂200h+ +ξ2
∂200h×)
∆a2 = −c2R0102ξ1 − c2R0202ξ
2 =c2
2(ξ1
∂200h× −ξ2
∂200h+)
∆a3 = 0
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 39(126)
![Page 170: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/170.jpg)
Skutki przejścia fali grawitacyjnej
przyspieszenie pływowe
∆a1 = −c2R0101ξ1 − c2R0201ξ
2 =c2
2(ξ1
∂200h+ +ξ2
∂200h×)
∆a2 = −c2R0102ξ1 − c2R0202ξ
2 =c2
2(ξ1
∂200h× −ξ2
∂200h+)
∆a3 = 0
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 39(126)
![Page 171: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/171.jpg)
Skutki przejścia fali grawitacyjnej
przyspieszenie pływowe
∆a1 = −c2R0101ξ1 − c2R0201ξ
2 =c2
2(ξ1
∂200h+ +ξ2
∂200h×)
∆a2 = −c2R0102ξ1 − c2R0202ξ
2 =c2
2(ξ1
∂200h× −ξ2
∂200h+)
∆a3 = 0
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 39(126)
![Page 172: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/172.jpg)
Skutki przejścia fali grawitacyjnej
przyspieszenie pływowe
∆a1 = −c2R0101ξ1 − c2R0201ξ
2 =c2
2(ξ1
∂200h+ +ξ2
∂200h×)
∆a2 = −c2R0102ξ1 − c2R0202ξ
2 =c2
2(ξ1
∂200h× −ξ2
∂200h+)
∆a3 = 0
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 39(126)
![Page 173: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/173.jpg)
Źródła fali grawitacyjnej
Równanie falowe ze źródłem
2hαβ = −16πGc4 Tαβ
cechowanie Lorentza jest zgodne z warunkiem znikania (płaskiej)czterodywergencji tensora energii-pędu
hµα,µ = 0 =⇒ Tµα,µ = 0 .
Rozwiązaniem szczególnym równania falowego jest
hαβ(x0,~r) =4Gc4
∫S
Tαβ(
x0 − |~r−~r ′|,~r ′)
|~r−~r ′| d~r ′
gdzie całkowanie przebiega po obszarze źródła,~r jest odległościąod źródła.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 40(126)
![Page 174: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/174.jpg)
Źródła fali grawitacyjnej
Równanie falowe ze źródłem
2hαβ = −16πGc4 Tαβ
cechowanie Lorentza jest zgodne z warunkiem znikania (płaskiej)czterodywergencji tensora energii-pędu
hµα,µ = 0 =⇒ Tµα,µ = 0 .
Rozwiązaniem szczególnym równania falowego jest
hαβ(x0,~r) =4Gc4
∫S
Tαβ(
x0 − |~r−~r ′|,~r ′)
|~r−~r ′| d~r ′
gdzie całkowanie przebiega po obszarze źródła,~r jest odległościąod źródła.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 40(126)
![Page 175: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/175.jpg)
Źródła fali grawitacyjnej
Równanie falowe ze źródłem
2hαβ = −16πGc4 Tαβ
cechowanie Lorentza jest zgodne z warunkiem znikania (płaskiej)czterodywergencji tensora energii-pędu
hµα,µ = 0 =⇒ Tµα,µ = 0 .
Rozwiązaniem szczególnym równania falowego jest
hαβ(x0,~r) =4Gc4
∫S
Tαβ(
x0 − |~r−~r ′|,~r ′)
|~r−~r ′| d~r ′
gdzie całkowanie przebiega po obszarze źródła,~r jest odległościąod źródła.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 40(126)
![Page 176: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/176.jpg)
Źródła fali grawitacyjnej
Równanie falowe ze źródłem
2hαβ = −16πGc4 Tαβ
cechowanie Lorentza jest zgodne z warunkiem znikania (płaskiej)czterodywergencji tensora energii-pędu
hµα,µ = 0 =⇒ Tµα,µ = 0 .
Rozwiązaniem szczególnym równania falowego jest
hαβ(x0,~r) =4Gc4
∫S
Tαβ(
x0 − |~r−~r ′|,~r ′)
|~r−~r ′| d~r ′
gdzie całkowanie przebiega po obszarze źródła,~r jest odległościąod źródła.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 40(126)
![Page 177: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/177.jpg)
Skale odległości
R wielkość źródłaλ typowa długość fali grawitacyjnejr odległość do źródła
Strefa dalekaR λ r
Strefa bliskaR r λ
Obszar żródła
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 41(126)
![Page 178: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/178.jpg)
Skale odległości
R wielkość źródłaλ typowa długość fali grawitacyjnejr odległość do źródła
Strefa dalekaR λ r
Strefa bliskaR r λ
Obszar żródła
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 41(126)
![Page 179: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/179.jpg)
Skale odległości
R wielkość źródłaλ typowa długość fali grawitacyjnejr odległość do źródła
Strefa dalekaR λ r
Strefa bliskaR r λ
Obszar żródła
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 41(126)
![Page 180: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/180.jpg)
Skale odległości
R wielkość źródłaλ typowa długość fali grawitacyjnejr odległość do źródła
Strefa dalekaR λ r
Strefa bliskaR r λ
Obszar żródła
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 41(126)
![Page 181: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/181.jpg)
Rozwiązane w strefie dalekiej
Rozwiązaniem szczególnym równania falowego w strefie dalekiejjest
hαβ(x0,~r) ' 4Gc4r
∫S
Tαβ(x0 − r,~r ′)d~r ′
Wyznaczamy hi j. Rachunki prowadzą do wzoru
hi j(x0,~r) ' 2Gc4r
∂200
∫S
x′ix′ jT00(x0 − r,~r ′)d~r ′
Wprowadzamy tensor momentu kwadropulowego
Ii j(t′) :=1c2
∫S
x′ix′ jT00(t′,~r ′)d~r ′
hi j(t, r) ' 2Gc4r
Ii j(t− r/c) .
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 42(126)
![Page 182: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/182.jpg)
Rozwiązane w strefie dalekiej
Rozwiązaniem szczególnym równania falowego w strefie dalekiejjest
hαβ(x0,~r) ' 4Gc4r
∫S
Tαβ(x0 − r,~r ′)d~r ′
Wyznaczamy hi j. Rachunki prowadzą do wzoru
hi j(x0,~r) ' 2Gc4r
∂200
∫S
x′ix′ jT00(x0 − r,~r ′)d~r ′
Wprowadzamy tensor momentu kwadropulowego
Ii j(t′) :=1c2
∫S
x′ix′ jT00(t′,~r ′)d~r ′
hi j(t, r) ' 2Gc4r
Ii j(t− r/c) .
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 42(126)
![Page 183: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/183.jpg)
Rozwiązane w strefie dalekiej
Rozwiązaniem szczególnym równania falowego w strefie dalekiejjest
hαβ(x0,~r) ' 4Gc4r
∫S
Tαβ(x0 − r,~r ′)d~r ′
Wyznaczamy hi j. Rachunki prowadzą do wzoru
hi j(x0,~r) ' 2Gc4r
∂200
∫S
x′ix′ jT00(x0 − r,~r ′)d~r ′
Wprowadzamy tensor momentu kwadropulowego
Ii j(t′) :=1c2
∫S
x′ix′ jT00(t′,~r ′)d~r ′
hi j(t, r) ' 2Gc4r
Ii j(t− r/c) .
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 42(126)
![Page 184: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/184.jpg)
Rozwiązane w strefie dalekiej
Rozwiązaniem szczególnym równania falowego w strefie dalekiejjest
hαβ(x0,~r) ' 4Gc4r
∫S
Tαβ(x0 − r,~r ′)d~r ′
Wyznaczamy hi j. Rachunki prowadzą do wzoru
hi j(x0,~r) ' 2Gc4r
∂200
∫S
x′ix′ jT00(x0 − r,~r ′)d~r ′
Wprowadzamy tensor momentu kwadropulowego
Ii j(t′) :=1c2
∫S
x′ix′ jT00(t′,~r ′)d~r ′
hi j(t, r) ' 2Gc4r
Ii j(t− r/c) .
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 42(126)
![Page 185: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/185.jpg)
Rozwiązane w strefie dalekiej
Rozwiązaniem szczególnym równania falowego w strefie dalekiejjest
hαβ(x0,~r) ' 4Gc4r
∫S
Tαβ(x0 − r,~r ′)d~r ′
Wyznaczamy hi j. Rachunki prowadzą do wzoru
hi j(x0,~r) ' 2Gc4r
∂200
∫S
x′ix′ jT00(x0 − r,~r ′)d~r ′
Wprowadzamy tensor momentu kwadropulowego
Ii j(t′) :=1c2
∫S
x′ix′ jT00(t′,~r ′)d~r ′
hi j(t, r) ' 2Gc4r
Ii j(t− r/c) .
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 42(126)
![Page 186: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/186.jpg)
Rozwiązanie TT w strefie dalekiej
w cechowaniu TT wykorzystamy bezśladową postać tensoramomentu kwadropulowego
I- i j(t′) =1c2
∫S
(x′ix′ j − 1
3δi jr′2)T00(t′,~r ′)d~r ′
hi jTT(t, r) =
2Gc4r
I- i jTT(t− r/c) , I- TT
i j = Λi j,kl I- kl
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 43(126)
![Page 187: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/187.jpg)
Rozwiązanie TT w strefie dalekiej
w cechowaniu TT wykorzystamy bezśladową postać tensoramomentu kwadropulowego
I- i j(t′) =1c2
∫S
(x′ix′ j − 1
3δi jr′2)T00(t′,~r ′)d~r ′
hi jTT(t, r) =
2Gc4r
I- i jTT(t− r/c) , I- TT
i j = Λi j,kl I- kl
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 43(126)
![Page 188: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/188.jpg)
Rozwiązanie TT w strefie dalekiej
w cechowaniu TT wykorzystamy bezśladową postać tensoramomentu kwadropulowego
I- i j(t′) =1c2
∫S
(x′ix′ j − 1
3δi jr′2)T00(t′,~r ′)d~r ′
hi jTT(t, r) =
2Gc4r
I- i jTT(t− r/c) , I- TT
i j = Λi j,kl I- kl
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 43(126)
![Page 189: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/189.jpg)
Rozwiązane w strefie bliskiej
hαβ(x0,~r) =4Gc4
∫S
Tαβ(
x0 − |~r−~r ′|,~r ′)
|~r−~r ′| d~r ′
Rozwiązanie w strefie bliskiej opiera się na rozwinięciumultipolowym (w różnych postaciach!)
Niech~r = r~n, wówczas
|~r−~r ′| ' r(
1− ~n ·~r ′r
)
oraz
Ti j(t− |~r−~r ′|/c,~r ′) = Ti j(
t− r/c +~n ·~r ′
c+ . . . ,~r ′
)= Ti j(t− r/c,~r′) + ∂tTi j(t− r/c,~r ′)
~n ·~r ′c
+12
∂2ttT
i j(t− r/c,~r ′)(~n ·~r ′)2
c2 + . . .
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 44(126)
![Page 190: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/190.jpg)
Rozwiązane w strefie bliskiej
hαβ(x0,~r) =4Gc4
∫S
Tαβ(
x0 − |~r−~r ′|,~r ′)
|~r−~r ′| d~r ′
Rozwiązanie w strefie bliskiej opiera się na rozwinięciumultipolowym (w różnych postaciach!)
Niech~r = r~n, wówczas
|~r−~r ′| ' r(
1− ~n ·~r ′r
)
oraz
Ti j(t− |~r−~r ′|/c,~r ′) = Ti j(
t− r/c +~n ·~r ′
c+ . . . ,~r ′
)= Ti j(t− r/c,~r′) + ∂tTi j(t− r/c,~r ′)
~n ·~r ′c
+12
∂2ttT
i j(t− r/c,~r ′)(~n ·~r ′)2
c2 + . . .
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 44(126)
![Page 191: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/191.jpg)
Rozwiązane w strefie bliskiej
hαβ(x0,~r) =4Gc4
∫S
Tαβ(
x0 − |~r−~r ′|,~r ′)
|~r−~r ′| d~r ′
Rozwiązanie w strefie bliskiej opiera się na rozwinięciumultipolowym (w różnych postaciach!)
Niech~r = r~n, wówczas
|~r−~r ′| ' r(
1− ~n ·~r ′r
)
oraz
Ti j(t− |~r−~r ′|/c,~r ′) = Ti j(
t− r/c +~n ·~r ′
c+ . . . ,~r ′
)= Ti j(t− r/c,~r′) + ∂tTi j(t− r/c,~r ′)
~n ·~r ′c
+12
∂2ttT
i j(t− r/c,~r ′)(~n ·~r ′)2
c2 + . . .
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 44(126)
![Page 192: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/192.jpg)
Rozwiązane w strefie bliskiej
hαβ(x0,~r) =4Gc4
∫S
Tαβ(
x0 − |~r−~r ′|,~r ′)
|~r−~r ′| d~r ′
Rozwiązanie w strefie bliskiej opiera się na rozwinięciumultipolowym (w różnych postaciach!)
Niech~r = r~n, wówczas
|~r−~r ′| ' r(
1− ~n ·~r ′r
)
oraz
Ti j(t− |~r−~r ′|/c,~r ′) = Ti j(
t− r/c +~n ·~r ′
c+ . . . ,~r ′
)= Ti j(t− r/c,~r′) + ∂tTi j(t− r/c,~r ′)
~n ·~r ′c
+12
∂2ttT
i j(t− r/c,~r ′)(~n ·~r ′)2
c2 + . . .
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 44(126)
![Page 193: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/193.jpg)
Rozwiązane w strefie bliskiej
hαβ(x0,~r) =4Gc4
∫S
Tαβ(
x0 − |~r−~r ′|,~r ′)
|~r−~r ′| d~r ′
Rozwiązanie w strefie bliskiej opiera się na rozwinięciumultipolowym (w różnych postaciach!)
Niech~r = r~n, wówczas
|~r−~r ′| ' r(
1− ~n ·~r ′r
)
oraz
Ti j(t− |~r−~r ′|/c,~r ′) = Ti j(
t− r/c +~n ·~r ′
c+ . . . ,~r ′
)= Ti j(t− r/c,~r′) + ∂tTi j(t− r/c,~r ′)
~n ·~r ′c
+12
∂2ttT
i j(t− r/c,~r ′)(~n ·~r ′)2
c2 + . . .
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 44(126)
![Page 194: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/194.jpg)
Momenty tensora naprężeń
Mi j(t′) =∫
STi j(t′,~r ′)d~r ′
Mi j|k(t′) =∫
Sx′kTi j(t′,~r ′)d~r ′
Mi j|k`(t′) =∫
Sx′kx′`Ti j(t′,~r ′)d~r ′
· · · · · ·
Rozwinięcie multipolowe
hi j(t,~r) =4Gc4r
[Mi j(t− r/c)+
nkc
Mi j|k(t− r/c)+12
nkn`
c2 Mi j|k`(t− r/c)+ . . .]
gdzie
Mi j =12
Ii j
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 45(126)
![Page 195: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/195.jpg)
Momenty tensora naprężeń
Mi j(t′) =∫
STi j(t′,~r ′)d~r ′
Mi j|k(t′) =∫
Sx′kTi j(t′,~r ′)d~r ′
Mi j|k`(t′) =∫
Sx′kx′`Ti j(t′,~r ′)d~r ′
· · · · · ·
Rozwinięcie multipolowe
hi j(t,~r) =4Gc4r
[Mi j(t− r/c)+
nkc
Mi j|k(t− r/c)+12
nkn`
c2 Mi j|k`(t− r/c)+ . . .]
gdzie
Mi j =12
Ii j
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 45(126)
![Page 196: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/196.jpg)
Momenty tensora naprężeń
Mi j(t′) =∫
STi j(t′,~r ′)d~r ′
Mi j|k(t′) =∫
Sx′kTi j(t′,~r ′)d~r ′
Mi j|k`(t′) =∫
Sx′kx′`Ti j(t′,~r ′)d~r ′
· · · · · ·
Rozwinięcie multipolowe
hi j(t,~r) =4Gc4r
[Mi j(t− r/c)+
nkc
Mi j|k(t− r/c)+12
nkn`
c2 Mi j|k`(t− r/c)+ . . .]
gdzie
Mi j =12
Ii j
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 45(126)
![Page 197: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/197.jpg)
Momenty tensora naprężeń
Mi j(t′) =∫
STi j(t′,~r ′)d~r ′
Mi j|k(t′) =∫
Sx′kTi j(t′,~r ′)d~r ′
Mi j|k`(t′) =∫
Sx′kx′`Ti j(t′,~r ′)d~r ′
· · · · · ·
Rozwinięcie multipolowe
hi j(t,~r) =4Gc4r
[Mi j(t− r/c)+
nkc
Mi j|k(t− r/c)+12
nkn`
c2 Mi j|k`(t− r/c)+ . . .]
gdzie
Mi j =12
Ii j
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 45(126)
![Page 198: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/198.jpg)
Rozwinięcie multipolowe
Momenty tensora naprężeń można wyrazić przez prostszewielkości dzięki prawom zachowania Tαβ,α = 0, np.
Mi j|k =16
...I i jk +
13(Pi| jk + Pk|i j + P j|ki)
gdzie
Pi| jk(t) =1c
∫S
T0i(t− r/c,~r ′)x′ jx′kd~r ′
Ii jk =1c2
∫S
T00(t− r/c,~r ′)x′ix′ jx′kd~r ′
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 46(126)
![Page 199: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/199.jpg)
Rozwinięcie multipolowe
Momenty tensora naprężeń można wyrazić przez prostszewielkości dzięki prawom zachowania Tαβ,α = 0, np.
Mi j|k =16
...I i jk +
13(Pi| jk + Pk|i j + P j|ki)
gdzie
Pi| jk(t) =1c
∫S
T0i(t− r/c,~r ′)x′ jx′kd~r ′
Ii jk =1c2
∫S
T00(t− r/c,~r ′)x′ix′ jx′kd~r ′
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 46(126)
![Page 200: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/200.jpg)
Przykłady. Obracająca się niejednorodna bryła
Obracający się pręt o masie M = 1 kg, długości l = 1 m zprędkością kątową ω = 1 s−1 produkuje deformacjęczasoprzestrzeni na poziomie
h ∼ 2Gc4r
I GMl2ω3
πc5 ∼ 10−53
Obracająca się elipsoida trójosiowa, w chwili t = 0 układwspółrzędnych orientujemy w kierunku osi głównych, obrót wokółosi Z z częstością ω
T00(~r, t) = c2ρ(Rz(ωt)~r)
gdzie
Rz(φ) =
cosφ sinφ 0− sinφ cosφ 0
0 0 1
jest macierzą obrotu wokół osi Z
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 47(126)
![Page 201: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/201.jpg)
Przykłady. Obracająca się niejednorodna bryła
Obracający się pręt o masie M = 1 kg, długości l = 1 m zprędkością kątową ω = 1 s−1 produkuje deformacjęczasoprzestrzeni na poziomie
h ∼ 2Gc4r
I GMl2ω3
πc5 ∼ 10−53
Obracająca się elipsoida trójosiowa, w chwili t = 0 układwspółrzędnych orientujemy w kierunku osi głównych, obrót wokółosi Z z częstością ω
T00(~r, t) = c2ρ(Rz(ωt)~r)
gdzie
Rz(φ) =
cosφ sinφ 0− sinφ cosφ 0
0 0 1
jest macierzą obrotu wokół osi Z
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 47(126)
![Page 202: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/202.jpg)
Przykłady. Obracająca się niejednorodna bryła
Obracający się pręt o masie M = 1 kg, długości l = 1 m zprędkością kątową ω = 1 s−1 produkuje deformacjęczasoprzestrzeni na poziomie
h ∼ 2Gc4r
I GMl2ω3
πc5 ∼ 10−53
Obracająca się elipsoida trójosiowa, w chwili t = 0 układwspółrzędnych orientujemy w kierunku osi głównych, obrót wokółosi Z z częstością ω
T00(~r, t) = c2ρ(Rz(ωt)~r)
gdzie
Rz(φ) =
cosφ sinφ 0− sinφ cosφ 0
0 0 1
jest macierzą obrotu wokół osi Z
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 47(126)
![Page 203: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/203.jpg)
Obracająca się bryła
I jest wówczas tensorem bezwładności oraz
I(t) = Rz(ωt)I0R−1z (ωt)
gdzie
I0 =
I1 0 00 I2 00 0 I3
jest początkowym tensorem momentu bezwładności
Ostatecznie
I(t) =
12 I + 1
2εI3 cos 2ωt − 12εI3 sin 2ωt 0
− 12εI3 sin 2ωt 1
2 I − 12εI3 cos 2ωt 0
0 0 I3
gdzie I = I1 + I2, ε = (I1 − I2)/I3
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 48(126)
![Page 204: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/204.jpg)
Obracająca się bryła
I jest wówczas tensorem bezwładności oraz
I(t) = Rz(ωt)I0R−1z (ωt)
gdzie
I0 =
I1 0 00 I2 00 0 I3
jest początkowym tensorem momentu bezwładności
Ostatecznie
I(t) =
12 I + 1
2εI3 cos 2ωt − 12εI3 sin 2ωt 0
− 12εI3 sin 2ωt 1
2 I − 12εI3 cos 2ωt 0
0 0 I3
gdzie I = I1 + I2, ε = (I1 − I2)/I3
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 48(126)
![Page 205: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/205.jpg)
Obracająca się bryła
I jest wówczas tensorem bezwładności oraz
I(t) = Rz(ωt)I0R−1z (ωt)
gdzie
I0 =
I1 0 00 I2 00 0 I3
jest początkowym tensorem momentu bezwładności
Ostatecznie
I(t) =
12 I + 1
2εI3 cos 2ωt − 12εI3 sin 2ωt 0
− 12εI3 sin 2ωt 1
2 I − 12εI3 cos 2ωt 0
0 0 I3
gdzie I = I1 + I2, ε = (I1 − I2)/I3
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 48(126)
![Page 206: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/206.jpg)
Deformacja metryki
Tensor
I(t) = 2ω2εI3
− cos 2ωt′ sin 2ωt′ 0sin 2ωt′ cos 2ωt′ 0
0 0 0
jest bezśladowy i prostopadły do kierunku osi propagacji Z,
hTT(t, z) =
4Gω2εI3
c4z
− cos 2ω(t− z/c) sin 2ω(t− z/c) 0sin 2ω(t− z/c) cos 2ω(t− z/c) 0
0 0 0
Częstość fali grawitacyjnej jest dwukrotnie większa niż częstośćobrotów!
Strumień energii przez powierzchnię dS prostopadłą do osi Z
dEdtdS
= cTGW03 = −cTGW
00 = − c3
16πG〈h2
+ + h2×〉 = −
4Gε2 I23
πc5z2 ω6
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 49(126)
![Page 207: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/207.jpg)
Deformacja metryki
Tensor
I(t) = 2ω2εI3
− cos 2ωt′ sin 2ωt′ 0sin 2ωt′ cos 2ωt′ 0
0 0 0
jest bezśladowy i prostopadły do kierunku osi propagacji Z,
hTT(t, z) =
4Gω2εI3
c4z
− cos 2ω(t− z/c) sin 2ω(t− z/c) 0sin 2ω(t− z/c) cos 2ω(t− z/c) 0
0 0 0
Częstość fali grawitacyjnej jest dwukrotnie większa niż częstośćobrotów!
Strumień energii przez powierzchnię dS prostopadłą do osi Z
dEdtdS
= cTGW03 = −cTGW
00 = − c3
16πG〈h2
+ + h2×〉 = −
4Gε2 I23
πc5z2 ω6
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 49(126)
![Page 208: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/208.jpg)
Deformacja metryki
Tensor
I(t) = 2ω2εI3
− cos 2ωt′ sin 2ωt′ 0sin 2ωt′ cos 2ωt′ 0
0 0 0
jest bezśladowy i prostopadły do kierunku osi propagacji Z,
hTT(t, z) =
4Gω2εI3
c4z
− cos 2ω(t− z/c) sin 2ω(t− z/c) 0sin 2ω(t− z/c) cos 2ω(t− z/c) 0
0 0 0
Częstość fali grawitacyjnej jest dwukrotnie większa niż częstośćobrotów!
Strumień energii przez powierzchnię dS prostopadłą do osi Z
dEdtdS
= cTGW03 = −cTGW
00 = − c3
16πG〈h2
+ + h2×〉 = −
4Gε2 I23
πc5z2 ω6
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 49(126)
![Page 209: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/209.jpg)
Deformacja metryki
Tensor
I(t) = 2ω2εI3
− cos 2ωt′ sin 2ωt′ 0sin 2ωt′ cos 2ωt′ 0
0 0 0
jest bezśladowy i prostopadły do kierunku osi propagacji Z,
hTT(t, z) =
4Gω2εI3
c4z
− cos 2ω(t− z/c) sin 2ω(t− z/c) 0sin 2ω(t− z/c) cos 2ω(t− z/c) 0
0 0 0
Częstość fali grawitacyjnej jest dwukrotnie większa niż częstośćobrotów!
Strumień energii przez powierzchnię dS prostopadłą do osi Z
dEdtdS
= cTGW03 = −cTGW
00 = − c3
16πG〈h2
+ + h2×〉 = −
4Gε2 I23
πc5z2 ω6
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 49(126)
![Page 210: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/210.jpg)
Deformacja metryki
Tensor
I(t) = 2ω2εI3
− cos 2ωt′ sin 2ωt′ 0sin 2ωt′ cos 2ωt′ 0
0 0 0
jest bezśladowy i prostopadły do kierunku osi propagacji Z,
hTT(t, z) =
4Gω2εI3
c4z
− cos 2ω(t− z/c) sin 2ω(t− z/c) 0sin 2ω(t− z/c) cos 2ω(t− z/c) 0
0 0 0
Częstość fali grawitacyjnej jest dwukrotnie większa niż częstośćobrotów!
Strumień energii przez powierzchnię dS prostopadłą do osi Z
dEdtdS
= cTGW03 = −cTGW
00 = − c3
16πG〈h2
+ + h2×〉 = −
4Gε2 I23
πc5z2 ω6
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 49(126)
![Page 211: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/211.jpg)
Deformacja metryki
Tensor
I(t) = 2ω2εI3
− cos 2ωt′ sin 2ωt′ 0sin 2ωt′ cos 2ωt′ 0
0 0 0
jest bezśladowy i prostopadły do kierunku osi propagacji Z,
hTT(t, z) =
4Gω2εI3
c4z
− cos 2ω(t− z/c) sin 2ω(t− z/c) 0sin 2ω(t− z/c) cos 2ω(t− z/c) 0
0 0 0
Częstość fali grawitacyjnej jest dwukrotnie większa niż częstośćobrotów!
Strumień energii przez powierzchnię dS prostopadłą do osi Z
dEdtdS
= cTGW03 = −cTGW
00 = − c3
16πG〈h2
+ + h2×〉 = −
4Gε2 I23
πc5z2 ω6
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 49(126)
![Page 212: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/212.jpg)
Rozkład kątowy fali grawitacyjnej
Niech fala rozchodzi się w kierunku
~n = [sinθ sinφ, sinθ cosφ, cosθ]
hTTi j (~n, t) =
2Gc4r
Λi j,kl(~n) Ikl(t− r/c)
Podstawienie Λi j,kl = PikPjl − 12 Pi jPkl prowadzi do
hTT(~n, t) =2Gc4r
(PI(t− r/c)P− 1
2tr(PI(t− r/c))P
), Pi j = δi j−nin j .
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 50(126)
![Page 213: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/213.jpg)
Rozkład kątowy fali grawitacyjnej
Niech fala rozchodzi się w kierunku
~n = [sinθ sinφ, sinθ cosφ, cosθ]
hTTi j (~n, t) =
2Gc4r
Λi j,kl(~n) Ikl(t− r/c)
Podstawienie Λi j,kl = PikPjl − 12 Pi jPkl prowadzi do
hTT(~n, t) =2Gc4r
(PI(t− r/c)P− 1
2tr(PI(t− r/c))P
), Pi j = δi j−nin j .
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 50(126)
![Page 214: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/214.jpg)
Rozkład kątowy fali grawitacyjnej
Niech fala rozchodzi się w kierunku
~n = [sinθ sinφ, sinθ cosφ, cosθ]
hTTi j (~n, t) =
2Gc4r
Λi j,kl(~n) Ikl(t− r/c)
Podstawienie Λi j,kl = PikPjl − 12 Pi jPkl prowadzi do
hTT(~n, t) =2Gc4r
(PI(t− r/c)P− 1
2tr(PI(t− r/c))P
), Pi j = δi j−nin j .
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 50(126)
![Page 215: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/215.jpg)
Rozkład kątowy fali grawitacyjnej
Niech fala rozchodzi się w kierunku
~n = [sinθ sinφ, sinθ cosφ, cosθ]
hTTi j (~n, t) =
2Gc4r
Λi j,kl(~n) Ikl(t− r/c)
Podstawienie Λi j,kl = PikPjl − 12 Pi jPkl prowadzi do
hTT(~n, t) =2Gc4r
(PI(t− r/c)P− 1
2tr(PI(t− r/c))P
), Pi j = δi j−nin j .
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 50(126)
![Page 216: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/216.jpg)
Przykład: Promieniowanie wzdłuż osi X
Niech ~n będzie wzdłuż osi X, wówczas
(PIP− 1
2tr(PI)P
)=
0 0 00 ( I22 − I33)/2 I230 I23 −( I22 − I33)/2
h+ =
2Gc4r
I22
2=
2GεI3
c2rω2 cos 2ωt′
h× = 0
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 51(126)
![Page 217: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/217.jpg)
Przykład: Promieniowanie wzdłuż osi X
Niech ~n będzie wzdłuż osi X, wówczas
(PIP− 1
2tr(PI)P
)=
0 0 00 ( I22 − I33)/2 I230 I23 −( I22 − I33)/2
h+ =2Gc4r
I22
2=
2GεI3
c2rω2 cos 2ωt′
h× = 0
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 51(126)
![Page 218: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/218.jpg)
Przykład: Promieniowanie wzdłuż osi X
Niech ~n będzie wzdłuż osi X, wówczas
(PIP− 1
2tr(PI)P
)=
0 0 00 ( I22 − I33)/2 I230 I23 −( I22 − I33)/2
h+ =
2Gc4r
I22
2=
2GεI3
c2rω2 cos 2ωt′
h× = 0
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 51(126)
![Page 219: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/219.jpg)
Przykład: Promieniowanie wzdłuż osi X
Niech ~n będzie wzdłuż osi X, wówczas
(PIP− 1
2tr(PI)P
)=
0 0 00 ( I22 − I33)/2 I230 I23 −( I22 − I33)/2
h+ =
2Gc4r
I22
2=
2GεI3
c2rω2 cos 2ωt′
h× = 0
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 51(126)
![Page 220: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/220.jpg)
Moc promieniowania źródła
LGW = −dEdt
=c3r2
32πG
∫sfera〈hTT
i j hi jTT〉dΩ ,
gdzie
hTTi j =
2Gc4r
...I TT
i j =2Gc4r
Λi j,kl(~n)...I kl
Wówczas
LGW =G
8πc5
∫sfera〈...I TT
i j...I
i jTT〉dΩ ,
gdzie...I TT
i j...I
i jTT = tr[P(Ω)
...I P(Ω)
...I ]−
12(tr[P(Ω)
...I ]])2
Całkowanie po sferze daje∫sfera〈...I TT
i j...I
i jTT〉dΩ =
8π5〈...I kl ...I kl −
13(...I k
k)2〉
Ostatecznie
LGW =G
5c5 〈...I kl ...I kl −
13(...I k
k)2〉 = G
5c5 〈...I- kl...I- kl〉
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 52(126)
![Page 221: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/221.jpg)
Moc promieniowania źródła
LGW = −dEdt
=c3r2
32πG
∫sfera〈hTT
i j hi jTT〉dΩ ,
gdzie
hTTi j =
2Gc4r
...I TT
i j =2Gc4r
Λi j,kl(~n)...I kl
Wówczas
LGW =G
8πc5
∫sfera〈...I TT
i j...I
i jTT〉dΩ ,
gdzie...I TT
i j...I
i jTT = tr[P(Ω)
...I P(Ω)
...I ]−
12(tr[P(Ω)
...I ]])2
Całkowanie po sferze daje∫sfera〈...I TT
i j...I
i jTT〉dΩ =
8π5〈...I kl ...I kl −
13(...I k
k)2〉
Ostatecznie
LGW =G
5c5 〈...I kl ...I kl −
13(...I k
k)2〉 = G
5c5 〈...I- kl...I- kl〉
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 52(126)
![Page 222: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/222.jpg)
Moc promieniowania źródła
LGW = −dEdt
=c3r2
32πG
∫sfera〈hTT
i j hi jTT〉dΩ ,
gdzie
hTTi j =
2Gc4r
...I TT
i j =2Gc4r
Λi j,kl(~n)...I kl
Wówczas
LGW =G
8πc5
∫sfera〈...I TT
i j...I
i jTT〉dΩ ,
gdzie...I TT
i j...I
i jTT = tr[P(Ω)
...I P(Ω)
...I ]−
12(tr[P(Ω)
...I ]])2
Całkowanie po sferze daje∫sfera〈...I TT
i j...I
i jTT〉dΩ =
8π5〈...I kl ...I kl −
13(...I k
k)2〉
Ostatecznie
LGW =G
5c5 〈...I kl ...I kl −
13(...I k
k)2〉 = G
5c5 〈...I- kl...I- kl〉
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 52(126)
![Page 223: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/223.jpg)
Moc promieniowania źródła
LGW = −dEdt
=c3r2
32πG
∫sfera〈hTT
i j hi jTT〉dΩ ,
gdzie
hTTi j =
2Gc4r
...I TT
i j =2Gc4r
Λi j,kl(~n)...I kl
Wówczas
LGW =G
8πc5
∫sfera〈...I TT
i j...I
i jTT〉dΩ ,
gdzie...I TT
i j...I
i jTT = tr[P(Ω)
...I P(Ω)
...I ]−
12(tr[P(Ω)
...I ]])2
Całkowanie po sferze daje∫sfera〈...I TT
i j...I
i jTT〉dΩ =
8π5〈...I kl ...I kl −
13(...I k
k)2〉
Ostatecznie
LGW =G
5c5 〈...I kl ...I kl −
13(...I k
k)2〉 = G
5c5 〈...I- kl...I- kl〉
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 52(126)
![Page 224: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/224.jpg)
Moc promieniowania źródła
LGW = −dEdt
=c3r2
32πG
∫sfera〈hTT
i j hi jTT〉dΩ ,
gdzie
hTTi j =
2Gc4r
...I TT
i j =2Gc4r
Λi j,kl(~n)...I kl
Wówczas
LGW =G
8πc5
∫sfera〈...I TT
i j...I
i jTT〉dΩ ,
gdzie...I TT
i j...I
i jTT = tr[P(Ω)
...I P(Ω)
...I ]−
12(tr[P(Ω)
...I ]])2
Całkowanie po sferze daje∫sfera〈...I TT
i j...I
i jTT〉dΩ =
8π5〈...I kl ...I kl −
13(...I k
k)2〉
Ostatecznie
LGW =G
5c5 〈...I kl ...I kl −
13(...I k
k)2〉 = G
5c5 〈...I- kl...I- kl〉
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 52(126)
![Page 225: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/225.jpg)
Przykład: Wirująca niejednorodna elipsoida
...I (t) = 4ω3εI3
sin 2ωt′ cos 2ωt′ 0cos 2ωt′ − sin 2ωt 0
0 0 0
︸ ︷︷ ︸
B
LGW =G
5c5 (4ω3εI3)
2〈tr(B2)〉 = 325
Gc5ε
2 I23ω
6
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 53(126)
![Page 226: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/226.jpg)
Przykład: Wirująca niejednorodna elipsoida
...I (t) = 4ω3εI3
sin 2ωt′ cos 2ωt′ 0cos 2ωt′ − sin 2ωt 0
0 0 0
︸ ︷︷ ︸
B
LGW =G
5c5 (4ω3εI3)
2〈tr(B2)〉 = 325
Gc5ε
2 I23ω
6
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 53(126)
![Page 227: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/227.jpg)
Przykład: Wirująca niejednorodna elipsoida
...I (t) = 4ω3εI3
sin 2ωt′ cos 2ωt′ 0cos 2ωt′ − sin 2ωt 0
0 0 0
︸ ︷︷ ︸
B
LGW =G
5c5 (4ω3εI3)
2〈tr(B2)〉 = 325
Gc5ε
2 I23ω
6
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 53(126)
![Page 228: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/228.jpg)
Przykład: Wirowanie z precesją
I1(θ cosψ+ ϕ sinθ sinψ) = J sinθ sinψ = J′1I2(−θ sinψ+ ϕ sinθ cosψ) = J sinθ cosψ = J′2
I3(ψ+ ϕ cosθ) = J cosθ = J′3
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 54(126)
![Page 229: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/229.jpg)
Przykład: Wirowanie z precesją
I1(θ cosψ+ ϕ sinθ sinψ) = J sinθ sinψ = J′1I2(−θ sinψ+ ϕ sinθ cosψ) = J sinθ cosψ = J′2
I3(ψ+ ϕ cosθ) = J cosθ = J′3
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 54(126)
![Page 230: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/230.jpg)
Przykład: Wirowanie z precesją
I1(θ cosψ+ ϕ sinθ sinψ) = J sinθ sinψ = J′1I2(−θ sinψ+ ϕ sinθ cosψ) = J sinθ cosψ = J′2
I3(ψ+ ϕ cosθ) = J cosθ = J′3
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 54(126)
![Page 231: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/231.jpg)
Przykład: Wirowanie z precesją
Oś rotacji nie pokrywa się z osią główną
W układzie inercjalnym xyz moment pędu ~J = [0, 0, J]
W układzie inercjalnym x′y′z′ moment pędu ~J ′ = [J′1, J′2, J′3]Przy I1 = I2 = I1 θ = 02 oś z′ obraca się ze stałą prędkością kątową ϕ = Ω = J/I wokół
kierunku ~J3 precesja z prędkością kątową Ωp Ω
Ωp = ψ = εΩ cosθ = const. , ε =II3− 1
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 55(126)
![Page 232: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/232.jpg)
Przykład: Wirowanie z precesją
Oś rotacji nie pokrywa się z osią główną
W układzie inercjalnym xyz moment pędu ~J = [0, 0, J]
W układzie inercjalnym x′y′z′ moment pędu ~J ′ = [J′1, J′2, J′3]Przy I1 = I2 = I1 θ = 02 oś z′ obraca się ze stałą prędkością kątową ϕ = Ω = J/I wokół
kierunku ~J3 precesja z prędkością kątową Ωp Ω
Ωp = ψ = εΩ cosθ = const. , ε =II3− 1
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 55(126)
![Page 233: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/233.jpg)
Przykład: Wirowanie z precesją
Oś rotacji nie pokrywa się z osią główną
W układzie inercjalnym xyz moment pędu ~J = [0, 0, J]
W układzie inercjalnym x′y′z′ moment pędu ~J ′ = [J′1, J′2, J′3]Przy I1 = I2 = I1 θ = 02 oś z′ obraca się ze stałą prędkością kątową ϕ = Ω = J/I wokół
kierunku ~J3 precesja z prędkością kątową Ωp Ω
Ωp = ψ = εΩ cosθ = const. , ε =II3− 1
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 55(126)
![Page 234: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/234.jpg)
Przykład: Wirowanie z precesją
Oś rotacji nie pokrywa się z osią główną
W układzie inercjalnym xyz moment pędu ~J = [0, 0, J]
W układzie inercjalnym x′y′z′ moment pędu ~J ′ = [J′1, J′2, J′3]
Przy I1 = I2 = I1 θ = 02 oś z′ obraca się ze stałą prędkością kątową ϕ = Ω = J/I wokół
kierunku ~J3 precesja z prędkością kątową Ωp Ω
Ωp = ψ = εΩ cosθ = const. , ε =II3− 1
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 55(126)
![Page 235: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/235.jpg)
Przykład: Wirowanie z precesją
Oś rotacji nie pokrywa się z osią główną
W układzie inercjalnym xyz moment pędu ~J = [0, 0, J]
W układzie inercjalnym x′y′z′ moment pędu ~J ′ = [J′1, J′2, J′3]Przy I1 = I2 = I1 θ = 02 oś z′ obraca się ze stałą prędkością kątową ϕ = Ω = J/I wokół
kierunku ~J3 precesja z prędkością kątową Ωp Ω
Ωp = ψ = εΩ cosθ = const. , ε =II3− 1
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 55(126)
![Page 236: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/236.jpg)
Przykład: Wirowanie z precesją
...I = εI3Ω
3 sinθ
−4 sinθ sin 2Ωt 4 sinθ cos 2Ωt − cosθ cos Ωt4 sinθ cos 2Ωt 4 sinθ sin 2Ωt − cosθ sin Ωt− cosθ cos Ωt − cosθ sin Ωt 0
LGW =G
5c5 (εI3Ω3 sinθ)2〈tr B2〉
tr B2 = 2(cos2θ+ 16 sin2θ)
fala grawitacyjna ma dwie charakterystyczne częstości ω = 2Ωoraz ω = Ω
w ogólności, gdy I1 6= I2 6= I3 są dwie rodzinycharakterystycznych częstości
ω = 2Ω+ kΩp , ω = Ω+ (2k + 1)Ωp
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 56(126)
![Page 237: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/237.jpg)
Przykład: Wirowanie z precesją
...I = εI3Ω
3 sinθ
−4 sinθ sin 2Ωt 4 sinθ cos 2Ωt − cosθ cos Ωt4 sinθ cos 2Ωt 4 sinθ sin 2Ωt − cosθ sin Ωt− cosθ cos Ωt − cosθ sin Ωt 0
LGW =G
5c5 (εI3Ω3 sinθ)2〈tr B2〉
tr B2 = 2(cos2θ+ 16 sin2θ)
fala grawitacyjna ma dwie charakterystyczne częstości ω = 2Ωoraz ω = Ω
w ogólności, gdy I1 6= I2 6= I3 są dwie rodzinycharakterystycznych częstości
ω = 2Ω+ kΩp , ω = Ω+ (2k + 1)Ωp
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 56(126)
![Page 238: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/238.jpg)
Przykład: Wirowanie z precesją
...I = εI3Ω
3 sinθ
−4 sinθ sin 2Ωt 4 sinθ cos 2Ωt − cosθ cos Ωt4 sinθ cos 2Ωt 4 sinθ sin 2Ωt − cosθ sin Ωt− cosθ cos Ωt − cosθ sin Ωt 0
LGW =G
5c5 (εI3Ω3 sinθ)2〈tr B2〉
tr B2 = 2(cos2θ+ 16 sin2θ)
fala grawitacyjna ma dwie charakterystyczne częstości ω = 2Ωoraz ω = Ω
w ogólności, gdy I1 6= I2 6= I3 są dwie rodzinycharakterystycznych częstości
ω = 2Ω+ kΩp , ω = Ω+ (2k + 1)Ωp
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 56(126)
![Page 239: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/239.jpg)
Przykład: Wirowanie z precesją
...I = εI3Ω
3 sinθ
−4 sinθ sin 2Ωt 4 sinθ cos 2Ωt − cosθ cos Ωt4 sinθ cos 2Ωt 4 sinθ sin 2Ωt − cosθ sin Ωt− cosθ cos Ωt − cosθ sin Ωt 0
LGW =G
5c5 (εI3Ω3 sinθ)2〈tr B2〉
tr B2 = 2(cos2θ+ 16 sin2θ)
fala grawitacyjna ma dwie charakterystyczne częstości ω = 2Ωoraz ω = Ω
w ogólności, gdy I1 6= I2 6= I3 są dwie rodzinycharakterystycznych częstości
ω = 2Ω+ kΩp , ω = Ω+ (2k + 1)Ωp
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 56(126)
![Page 240: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/240.jpg)
Przykład: Wirowanie z precesją
...I = εI3Ω
3 sinθ
−4 sinθ sin 2Ωt 4 sinθ cos 2Ωt − cosθ cos Ωt4 sinθ cos 2Ωt 4 sinθ sin 2Ωt − cosθ sin Ωt− cosθ cos Ωt − cosθ sin Ωt 0
LGW =G
5c5 (εI3Ω3 sinθ)2〈tr B2〉
tr B2 = 2(cos2θ+ 16 sin2θ)
fala grawitacyjna ma dwie charakterystyczne częstości ω = 2Ωoraz ω = Ω
w ogólności, gdy I1 6= I2 6= I3 są dwie rodzinycharakterystycznych częstości
ω = 2Ω+ kΩp , ω = Ω+ (2k + 1)Ωp
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 56(126)
![Page 241: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/241.jpg)
Radialne spadanie w czarną dziurę
ciało o masie m rozpoczyna spadek z nieskończoności z z(0) = 0opis newtonowski w zlinearyzowanej teorii grawitacji
12
mz2 − GMmz
= 0
z = −(2GM
z
)1/2= −c
(RSz
)1/2
nieznikającą składową tensora bezwładności jest I33 = mz2
LGW =G
5c5 〈...I 2
33 −13
...I 2
33〉 =2G
15c5 〈...I 2
33〉 =2G15
m2cR3S〈z−5〉
ilość wypromieniowanej energii do osiągnięcia punktu z = r
−∆E =2
105mc2 m
M
(RSr
)7/2
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 57(126)
![Page 242: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/242.jpg)
Radialne spadanie w czarną dziurę
ciało o masie m rozpoczyna spadek z nieskończoności z z(0) = 0
opis newtonowski w zlinearyzowanej teorii grawitacji
12
mz2 − GMmz
= 0
z = −(2GM
z
)1/2= −c
(RSz
)1/2
nieznikającą składową tensora bezwładności jest I33 = mz2
LGW =G
5c5 〈...I 2
33 −13
...I 2
33〉 =2G
15c5 〈...I 2
33〉 =2G15
m2cR3S〈z−5〉
ilość wypromieniowanej energii do osiągnięcia punktu z = r
−∆E =2
105mc2 m
M
(RSr
)7/2
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 57(126)
![Page 243: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/243.jpg)
Radialne spadanie w czarną dziurę
ciało o masie m rozpoczyna spadek z nieskończoności z z(0) = 0opis newtonowski w zlinearyzowanej teorii grawitacji
12
mz2 − GMmz
= 0
z = −(2GM
z
)1/2= −c
(RSz
)1/2
nieznikającą składową tensora bezwładności jest I33 = mz2
LGW =G
5c5 〈...I 2
33 −13
...I 2
33〉 =2G
15c5 〈...I 2
33〉 =2G15
m2cR3S〈z−5〉
ilość wypromieniowanej energii do osiągnięcia punktu z = r
−∆E =2
105mc2 m
M
(RSr
)7/2
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 57(126)
![Page 244: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/244.jpg)
Radialne spadanie w czarną dziurę
ciało o masie m rozpoczyna spadek z nieskończoności z z(0) = 0opis newtonowski w zlinearyzowanej teorii grawitacji
12
mz2 − GMmz
= 0
z = −(2GM
z
)1/2= −c
(RSz
)1/2
nieznikającą składową tensora bezwładności jest I33 = mz2
LGW =G
5c5 〈...I 2
33 −13
...I 2
33〉 =2G
15c5 〈...I 2
33〉 =2G15
m2cR3S〈z−5〉
ilość wypromieniowanej energii do osiągnięcia punktu z = r
−∆E =2
105mc2 m
M
(RSr
)7/2
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 57(126)
![Page 245: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/245.jpg)
Radialne spadanie w czarną dziurę
ciało o masie m rozpoczyna spadek z nieskończoności z z(0) = 0opis newtonowski w zlinearyzowanej teorii grawitacji
12
mz2 − GMmz
= 0
z = −(2GM
z
)1/2= −c
(RSz
)1/2
nieznikającą składową tensora bezwładności jest I33 = mz2
LGW =G
5c5 〈...I 2
33 −13
...I 2
33〉 =2G
15c5 〈...I 2
33〉 =2G15
m2cR3S〈z−5〉
ilość wypromieniowanej energii do osiągnięcia punktu z = r
−∆E =2
105mc2 m
M
(RSr
)7/2
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 57(126)
![Page 246: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/246.jpg)
Radialne spadanie w czarną dziurę
ciało o masie m rozpoczyna spadek z nieskończoności z z(0) = 0opis newtonowski w zlinearyzowanej teorii grawitacji
12
mz2 − GMmz
= 0
z = −(2GM
z
)1/2= −c
(RSz
)1/2
nieznikającą składową tensora bezwładności jest I33 = mz2
LGW =G
5c5 〈...I 2
33 −13
...I 2
33〉 =2G
15c5 〈...I 2
33〉 =2G15
m2cR3S〈z−5〉
ilość wypromieniowanej energii do osiągnięcia punktu z = r
−∆E =2
105mc2 m
M
(RSr
)7/2
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 57(126)
![Page 247: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/247.jpg)
Radialne spadanie w czarną dziurę
ciało o masie m rozpoczyna spadek z nieskończoności z z(0) = 0opis newtonowski w zlinearyzowanej teorii grawitacji
12
mz2 − GMmz
= 0
z = −(2GM
z
)1/2= −c
(RSz
)1/2
nieznikającą składową tensora bezwładności jest I33 = mz2
LGW =G
5c5 〈...I 2
33 −13
...I 2
33〉 =2G
15c5 〈...I 2
33〉 =2G15
m2cR3S〈z−5〉
ilość wypromieniowanej energii do osiągnięcia punktu z = r
−∆E =2
105mc2 m
M
(RSr
)7/2
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 57(126)
![Page 248: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/248.jpg)
Radialne spadanie i siły pływowe
Siła pływowa
Fp =GMm/2(r− a)2 −
GMm/2(r + a)2 ' 2GMm
ar3
siła wzajemnego oddziaływania dwóch mas m/2
Fg =G(m/2)2
(2a)2
obiekt ulegnie rozerwaniu pod wpływem sił pływowych jeśliFp > Fg
r < η 3√
M/ma ≡ rp
gdzie η = 2 3√
4 w tym uproszczonym modelu. W ogólności ηzależy od własności sprężystych obiektu.Rozwiązanie równania spadku
23
z3/2 = −cR1/2S (t− t0) +
23
z3/20 , z(t0) = z0
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 58(126)
![Page 249: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/249.jpg)
Radialne spadanie i siły pływowe
Siła pływowa
Fp =GMm/2(r− a)2 −
GMm/2(r + a)2 ' 2GMm
ar3
siła wzajemnego oddziaływania dwóch mas m/2
Fg =G(m/2)2
(2a)2
obiekt ulegnie rozerwaniu pod wpływem sił pływowych jeśliFp > Fg
r < η 3√
M/ma ≡ rp
gdzie η = 2 3√
4 w tym uproszczonym modelu. W ogólności ηzależy od własności sprężystych obiektu.Rozwiązanie równania spadku
23
z3/2 = −cR1/2S (t− t0) +
23
z3/20 , z(t0) = z0
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 58(126)
![Page 250: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/250.jpg)
Radialne spadanie i siły pływowe
Siła pływowa
Fp =GMm/2(r− a)2 −
GMm/2(r + a)2 ' 2GMm
ar3
siła wzajemnego oddziaływania dwóch mas m/2
Fg =G(m/2)2
(2a)2
obiekt ulegnie rozerwaniu pod wpływem sił pływowych jeśliFp > Fg
r < η 3√
M/ma ≡ rp
gdzie η = 2 3√
4 w tym uproszczonym modelu. W ogólności ηzależy od własności sprężystych obiektu.Rozwiązanie równania spadku
23
z3/2 = −cR1/2S (t− t0) +
23
z3/20 , z(t0) = z0
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 58(126)
![Page 251: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/251.jpg)
Radialne spadanie i siły pływowe
Siła pływowa
Fp =GMm/2(r− a)2 −
GMm/2(r + a)2 ' 2GMm
ar3
siła wzajemnego oddziaływania dwóch mas m/2
Fg =G(m/2)2
(2a)2
obiekt ulegnie rozerwaniu pod wpływem sił pływowych jeśliFp > Fg
r < η 3√
M/ma ≡ rp
gdzie η = 2 3√
4 w tym uproszczonym modelu. W ogólności ηzależy od własności sprężystych obiektu.
Rozwiązanie równania spadku
23
z3/2 = −cR1/2S (t− t0) +
23
z3/20 , z(t0) = z0
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 58(126)
![Page 252: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/252.jpg)
Radialne spadanie i siły pływowe
Siła pływowa
Fp =GMm/2(r− a)2 −
GMm/2(r + a)2 ' 2GMm
ar3
siła wzajemnego oddziaływania dwóch mas m/2
Fg =G(m/2)2
(2a)2
obiekt ulegnie rozerwaniu pod wpływem sił pływowych jeśliFp > Fg
r < η 3√
M/ma ≡ rp
gdzie η = 2 3√
4 w tym uproszczonym modelu. W ogólności ηzależy od własności sprężystych obiektu.Rozwiązanie równania spadku
23
z3/2 = −cR1/2S (t− t0) +
23
z3/20 , z(t0) = z0
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 58(126)
![Page 253: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/253.jpg)
Deformacja spadającego obiektu
Niech w t0 obiekt rozciągły o rozmiarach δz0 = 2a mija odległośćrp. Wariacja względem z0 (rozmiarów obiektu) prowadzi do
z1/2δz = z1/20 δz0 , δz =
( rp
z
)1/22a
Ponieważ z < rp, to rozmiary ciała zwiększają się w kierunku osizZmienia się charakterystyka (także widmowa) promieniowaniagrawitacyjnego!
obiekt 2a [km] M/M (rp/RS)1/2
gwiazda ciągu głównego 7 · 105 10 300103 70106 7
biały karzeł 104 10 40103 8106 1
gwiazda neutronowa 10 10 1.3103 1106 1
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 59(126)
![Page 254: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/254.jpg)
Deformacja spadającego obiektu
Niech w t0 obiekt rozciągły o rozmiarach δz0 = 2a mija odległośćrp. Wariacja względem z0 (rozmiarów obiektu) prowadzi do
z1/2δz = z1/20 δz0 , δz =
( rp
z
)1/22a
Ponieważ z < rp, to rozmiary ciała zwiększają się w kierunku osizZmienia się charakterystyka (także widmowa) promieniowaniagrawitacyjnego!
obiekt 2a [km] M/M (rp/RS)1/2
gwiazda ciągu głównego 7 · 105 10 300103 70106 7
biały karzeł 104 10 40103 8106 1
gwiazda neutronowa 10 10 1.3103 1106 1
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 59(126)
![Page 255: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/255.jpg)
Deformacja spadającego obiektu
Niech w t0 obiekt rozciągły o rozmiarach δz0 = 2a mija odległośćrp. Wariacja względem z0 (rozmiarów obiektu) prowadzi do
z1/2δz = z1/20 δz0 , δz =
( rp
z
)1/22a
Ponieważ z < rp, to rozmiary ciała zwiększają się w kierunku osiz
Zmienia się charakterystyka (także widmowa) promieniowaniagrawitacyjnego!
obiekt 2a [km] M/M (rp/RS)1/2
gwiazda ciągu głównego 7 · 105 10 300103 70106 7
biały karzeł 104 10 40103 8106 1
gwiazda neutronowa 10 10 1.3103 1106 1
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 59(126)
![Page 256: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/256.jpg)
Deformacja spadającego obiektu
Niech w t0 obiekt rozciągły o rozmiarach δz0 = 2a mija odległośćrp. Wariacja względem z0 (rozmiarów obiektu) prowadzi do
z1/2δz = z1/20 δz0 , δz =
( rp
z
)1/22a
Ponieważ z < rp, to rozmiary ciała zwiększają się w kierunku osizZmienia się charakterystyka (także widmowa) promieniowaniagrawitacyjnego!
obiekt 2a [km] M/M (rp/RS)1/2
gwiazda ciągu głównego 7 · 105 10 300103 70106 7
biały karzeł 104 10 40103 8106 1
gwiazda neutronowa 10 10 1.3103 1106 1
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 59(126)
![Page 257: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/257.jpg)
Deformacja spadającego obiektu
Niech w t0 obiekt rozciągły o rozmiarach δz0 = 2a mija odległośćrp. Wariacja względem z0 (rozmiarów obiektu) prowadzi do
z1/2δz = z1/20 δz0 , δz =
( rp
z
)1/22a
Ponieważ z < rp, to rozmiary ciała zwiększają się w kierunku osizZmienia się charakterystyka (także widmowa) promieniowaniagrawitacyjnego!
obiekt 2a [km] M/M (rp/RS)1/2
gwiazda ciągu głównego 7 · 105 10 300103 70106 7
biały karzeł 104 10 40103 8106 1
gwiazda neutronowa 10 10 1.3103 1106 1Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 59(126)
![Page 258: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/258.jpg)
Siła reakcji promieniowania
Siła reakcji promieniowania jest odpowiedzią układu (np.modyfikacją jego ruchu) na emisję promieniowania grawitacyjnego
W przybliżeniu newtonowskim określamy ją jako
T∫0
~FRR ·~vdt = −LGW = − G5c5
T∫0
...I- i j...I- i jdt
Po przekształceniach
T∫0
FRRj v jdt = −2Gm
5c5
T∫0
d5 I- i j
dt5 xiv jdt
Stąd identyfikujemy
FRRj = −2Gm
5c5 x j d5 I- i j
dt5
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 60(126)
![Page 259: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/259.jpg)
Siła reakcji promieniowania
Siła reakcji promieniowania jest odpowiedzią układu (np.modyfikacją jego ruchu) na emisję promieniowania grawitacyjnego
W przybliżeniu newtonowskim określamy ją jako
T∫0
~FRR ·~vdt = −LGW = − G5c5
T∫0
...I- i j...I- i jdt
Po przekształceniach
T∫0
FRRj v jdt = −2Gm
5c5
T∫0
d5 I- i j
dt5 xiv jdt
Stąd identyfikujemy
FRRj = −2Gm
5c5 x j d5 I- i j
dt5
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 60(126)
![Page 260: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/260.jpg)
Siła reakcji promieniowania
Siła reakcji promieniowania jest odpowiedzią układu (np.modyfikacją jego ruchu) na emisję promieniowania grawitacyjnego
W przybliżeniu newtonowskim określamy ją jako
T∫0
~FRR ·~vdt = −LGW = − G5c5
T∫0
...I- i j...I- i jdt
Po przekształceniach
T∫0
FRRj v jdt = −2Gm
5c5
T∫0
d5 I- i j
dt5 xiv jdt
Stąd identyfikujemy
FRRj = −2Gm
5c5 x j d5 I- i j
dt5
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 60(126)
![Page 261: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/261.jpg)
Siła reakcji promieniowania
Siła reakcji promieniowania jest odpowiedzią układu (np.modyfikacją jego ruchu) na emisję promieniowania grawitacyjnego
W przybliżeniu newtonowskim określamy ją jako
T∫0
~FRR ·~vdt = −LGW = − G5c5
T∫0
...I- i j...I- i jdt
Po przekształceniach
T∫0
FRRj v jdt = −2Gm
5c5
T∫0
d5 I- i j
dt5 xiv jdt
Stąd identyfikujemy
FRRj = −2Gm
5c5 x j d5 I- i j
dt5
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 60(126)
![Page 262: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/262.jpg)
Siła reakcji promieniowania
Siła reakcji promieniowania jest odpowiedzią układu (np.modyfikacją jego ruchu) na emisję promieniowania grawitacyjnego
W przybliżeniu newtonowskim określamy ją jako
T∫0
~FRR ·~vdt = −LGW = − G5c5
T∫0
...I- i j...I- i jdt
Po przekształceniach
T∫0
FRRj v jdt = −2Gm
5c5
T∫0
d5 I- i j
dt5 xiv jdt
Stąd identyfikujemy
FRRj = −2Gm
5c5 x j d5 I- i j
dt5
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 60(126)
![Page 263: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/263.jpg)
Utrata momentu pędu
W ogólności
dJGWidt
= −cεi jk
∮sfera〈x jTkr − xkT jr〉nrdΩ
W przybliżeniu newtonowskim określamy
d~JGW
dt= 〈~r× ~FRR〉
OstatecznieJGWidt
= −2Gm5c5 εi jk〈
...I- k
r I- jr〉
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 61(126)
![Page 264: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/264.jpg)
Utrata momentu pędu
W ogólności
dJGWidt
= −cεi jk
∮sfera〈x jTkr − xkT jr〉nrdΩ
W przybliżeniu newtonowskim określamy
d~JGW
dt= 〈~r× ~FRR〉
OstatecznieJGWidt
= −2Gm5c5 εi jk〈
...I- k
r I- jr〉
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 61(126)
![Page 265: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/265.jpg)
Utrata momentu pędu
W ogólności
dJGWidt
= −cεi jk
∮sfera〈x jTkr − xkT jr〉nrdΩ
W przybliżeniu newtonowskim określamy
d~JGW
dt= 〈~r× ~FRR〉
OstatecznieJGWidt
= −2Gm5c5 εi jk〈
...I- k
r I- jr〉
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 61(126)
![Page 266: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/266.jpg)
Utrata momentu pędu
W ogólności
dJGWidt
= −cεi jk
∮sfera〈x jTkr − xkT jr〉nrdΩ
W przybliżeniu newtonowskim określamy
d~JGW
dt= 〈~r× ~FRR〉
OstatecznieJGWidt
= −2Gm5c5 εi jk〈
...I- k
r I- jr〉
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 61(126)
![Page 267: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/267.jpg)
Układ podwójny jako źródło fali grawitacyjnej
Przykład orbity kołowej o promieniu R dla dwóch mas m
I11 = 2mR2 cos2ωt
I12 = 2mR2 sinωt cosωt
I22 = 2mR2 sin2ωt , ω =12
(GmR3
)1/2
Zaburzenie
hi j = −2Gc4r
4mR2ω2
cos 2ωt sin 2ωt 0sin 2ωt − cos 2ωt 0
0 0 0
Moc promieniowania
LGW =2G4m5
5c5R5
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 62(126)
![Page 268: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/268.jpg)
Układ podwójny jako źródło fali grawitacyjnej
Przykład orbity kołowej o promieniu R dla dwóch mas m
I11 = 2mR2 cos2ωt
I12 = 2mR2 sinωt cosωt
I22 = 2mR2 sin2ωt , ω =12
(GmR3
)1/2
Zaburzenie
hi j = −2Gc4r
4mR2ω2
cos 2ωt sin 2ωt 0sin 2ωt − cos 2ωt 0
0 0 0
Moc promieniowania
LGW =2G4m5
5c5R5
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 62(126)
![Page 269: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/269.jpg)
Układ podwójny jako źródło fali grawitacyjnej
Przykład orbity kołowej o promieniu R dla dwóch mas m
I11 = 2mR2 cos2ωt
I12 = 2mR2 sinωt cosωt
I22 = 2mR2 sin2ωt , ω =12
(GmR3
)1/2
Zaburzenie
hi j = −2Gc4r
4mR2ω2
cos 2ωt sin 2ωt 0sin 2ωt − cos 2ωt 0
0 0 0
Moc promieniowania
LGW =2G4m5
5c5R5
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 62(126)
![Page 270: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/270.jpg)
Układ podwójny jako źródło fali grawitacyjnej
Przykład orbity kołowej o promieniu R dla dwóch mas m
I11 = 2mR2 cos2ωt
I12 = 2mR2 sinωt cosωt
I22 = 2mR2 sin2ωt , ω =12
(GmR3
)1/2
Zaburzenie
hi j = −2Gc4r
4mR2ω2
cos 2ωt sin 2ωt 0sin 2ωt − cos 2ωt 0
0 0 0
Moc promieniowania
LGW =2G4m5
5c5R5
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 62(126)
![Page 271: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/271.jpg)
Układ podwójny jako źródło fali grawitacyjnej. Orbitaeliptyczna
W układzie środka masy układu dwóch mas m1, m2 o energii E imomencie pędu J
~r1 = − µ
m1~r12 , ~r2 =
µ
m2~r12 ,
1µ
=1
m1+
1m2
r12 = |~r1−~r2| =a(1− e2)
1 + e cosϕ, a = −Gm1m2
2E, J2 =
Gm21m2
2m1 + m2
a(1− e2)
I11 = αcos2ϕ
(1 + e cosϕ)2
I12 = αsinϕ cosϕ
(1 + e cosϕ)2
I22 = αsin2ϕ
(1 + e cosϕ)2 , α = µa2(1− e2)2
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 63(126)
![Page 272: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/272.jpg)
Układ podwójny jako źródło fali grawitacyjnej. Orbitaeliptyczna
W układzie środka masy układu dwóch mas m1, m2 o energii E imomencie pędu J
~r1 = − µ
m1~r12 , ~r2 =
µ
m2~r12 ,
1µ
=1
m1+
1m2
r12 = |~r1−~r2| =a(1− e2)
1 + e cosϕ, a = −Gm1m2
2E, J2 =
Gm21m2
2m1 + m2
a(1− e2)
I11 = αcos2ϕ
(1 + e cosϕ)2
I12 = αsinϕ cosϕ
(1 + e cosϕ)2
I22 = αsin2ϕ
(1 + e cosϕ)2 , α = µa2(1− e2)2
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 63(126)
![Page 273: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/273.jpg)
Układ podwójny jako źródło fali grawitacyjnej. Orbitaeliptyczna
W układzie środka masy układu dwóch mas m1, m2 o energii E imomencie pędu J
~r1 = − µ
m1~r12 , ~r2 =
µ
m2~r12 ,
1µ
=1
m1+
1m2
r12 = |~r1−~r2| =a(1− e2)
1 + e cosϕ, a = −Gm1m2
2E, J2 =
Gm21m2
2m1 + m2
a(1− e2)
I11 = αcos2ϕ
(1 + e cosϕ)2
I12 = αsinϕ cosϕ
(1 + e cosϕ)2
I22 = αsin2ϕ
(1 + e cosϕ)2 , α = µa2(1− e2)2
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 63(126)
![Page 274: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/274.jpg)
Orbita eliptyczna
Przy różniczkowaniu należy pamiętać, że J = µϕr212
ϕ =J(1 + e cosϕ)2
µa2(1− e2)2 = β(1 + e cosϕ)2
Ostatecznie...I- 11 =
12αβ3(1 + e cosϕ)2[8 sin 2ϕ+ e(5 sinϕ+ 3 sin 3ϕ)]
...I- 12 = −1
2αβ3(1 + e cosϕ)2[8 cos 2ϕ+ e(5 cosϕ+ 3 cos 3ϕ)]
...I- 22 = −1
2αβ3(1 + e cosϕ)2[8 sin 2ϕ+ e(5 sinϕ+ 3 sin 3ϕ)]
Moc promieniowania LGW =G
5c5 〈...I- kl...I- kl〉 =
2G5c5
14α2β6〈`(ϕ)〉
gdzie uśrednienie po okresie ma postać
〈`(ϕ)〉 = (1− e2)3/2
2π
2π∫0
`(ϕ)(1+ e cosϕ)−2dϕ =4π3(96+ 292e2 + 37e4)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 64(126)
![Page 275: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/275.jpg)
Orbita eliptyczna
Przy różniczkowaniu należy pamiętać, że J = µϕr212
ϕ =J(1 + e cosϕ)2
µa2(1− e2)2 = β(1 + e cosϕ)2
Ostatecznie...I- 11 =
12αβ3(1 + e cosϕ)2[8 sin 2ϕ+ e(5 sinϕ+ 3 sin 3ϕ)]
...I- 12 = −1
2αβ3(1 + e cosϕ)2[8 cos 2ϕ+ e(5 cosϕ+ 3 cos 3ϕ)]
...I- 22 = −1
2αβ3(1 + e cosϕ)2[8 sin 2ϕ+ e(5 sinϕ+ 3 sin 3ϕ)]
Moc promieniowania LGW =G
5c5 〈...I- kl...I- kl〉 =
2G5c5
14α2β6〈`(ϕ)〉
gdzie uśrednienie po okresie ma postać
〈`(ϕ)〉 = (1− e2)3/2
2π
2π∫0
`(ϕ)(1+ e cosϕ)−2dϕ =4π3(96+ 292e2 + 37e4)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 64(126)
![Page 276: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/276.jpg)
Orbita eliptyczna
Przy różniczkowaniu należy pamiętać, że J = µϕr212
ϕ =J(1 + e cosϕ)2
µa2(1− e2)2 = β(1 + e cosϕ)2
Ostatecznie...I- 11 =
12αβ3(1 + e cosϕ)2[8 sin 2ϕ+ e(5 sinϕ+ 3 sin 3ϕ)]
...I- 12 = −1
2αβ3(1 + e cosϕ)2[8 cos 2ϕ+ e(5 cosϕ+ 3 cos 3ϕ)]
...I- 22 = −1
2αβ3(1 + e cosϕ)2[8 sin 2ϕ+ e(5 sinϕ+ 3 sin 3ϕ)]
Moc promieniowania LGW =G
5c5 〈...I- kl...I- kl〉 =
2G5c5
14α2β6〈`(ϕ)〉
gdzie uśrednienie po okresie ma postać
〈`(ϕ)〉 = (1− e2)3/2
2π
2π∫0
`(ϕ)(1+ e cosϕ)−2dϕ =4π3(96+ 292e2 + 37e4)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 64(126)
![Page 277: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/277.jpg)
Orbita eliptyczna
Przy różniczkowaniu należy pamiętać, że J = µϕr212
ϕ =J(1 + e cosϕ)2
µa2(1− e2)2 = β(1 + e cosϕ)2
Ostatecznie...I- 11 =
12αβ3(1 + e cosϕ)2[8 sin 2ϕ+ e(5 sinϕ+ 3 sin 3ϕ)]
...I- 12 = −1
2αβ3(1 + e cosϕ)2[8 cos 2ϕ+ e(5 cosϕ+ 3 cos 3ϕ)]
...I- 22 = −1
2αβ3(1 + e cosϕ)2[8 sin 2ϕ+ e(5 sinϕ+ 3 sin 3ϕ)]
Moc promieniowania LGW =G
5c5 〈...I- kl...I- kl〉 =
2G5c5
14α2β6〈`(ϕ)〉
gdzie uśrednienie po okresie ma postać
〈`(ϕ)〉 = (1− e2)3/2
2π
2π∫0
`(ϕ)(1+ e cosϕ)−2dϕ =4π3(96+ 292e2 + 37e4)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 64(126)
![Page 278: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/278.jpg)
Orbita eliptyczna
Przy różniczkowaniu należy pamiętać, że J = µϕr212
ϕ =J(1 + e cosϕ)2
µa2(1− e2)2 = β(1 + e cosϕ)2
Ostatecznie...I- 11 =
12αβ3(1 + e cosϕ)2[8 sin 2ϕ+ e(5 sinϕ+ 3 sin 3ϕ)]
...I- 12 = −1
2αβ3(1 + e cosϕ)2[8 cos 2ϕ+ e(5 cosϕ+ 3 cos 3ϕ)]
...I- 22 = −1
2αβ3(1 + e cosϕ)2[8 sin 2ϕ+ e(5 sinϕ+ 3 sin 3ϕ)]
Moc promieniowania LGW =G
5c5 〈...I- kl...I- kl〉 =
2G5c5
14α2β6〈`(ϕ)〉
gdzie uśrednienie po okresie ma postać
〈`(ϕ)〉 = (1− e2)3/2
2π
2π∫0
`(ϕ)(1+ e cosϕ)−2dϕ =4π3(96+ 292e2 + 37e4)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 64(126)
![Page 279: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/279.jpg)
Utrata energii i momentu pędu przez układ podwójny
Utrata energii
dEdt
= −325
G4
(ca)5 m21m2
2(m1 + m2) f (e) = −325
G4
(ca)5µ2 M3 f (e)
Utrata momentu pędu
dJdt
= −325
G7/2
c5a7/2m2
1m22(m1 +m2)
1/2g(e) = −325
G7/2
c5a7/2µ2 M3/2g(e)
f (e) = (1− e2)−7/2(
1+7324
e2 +3796
e4)
, g(e) = (1− e2)−2(
1+78
e2)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 65(126)
![Page 280: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/280.jpg)
Utrata energii i momentu pędu przez układ podwójny
Utrata energii
dEdt
= −325
G4
(ca)5 m21m2
2(m1 + m2) f (e) = −325
G4
(ca)5µ2 M3 f (e)
Utrata momentu pędu
dJdt
= −325
G7/2
c5a7/2m2
1m22(m1 +m2)
1/2g(e) = −325
G7/2
c5a7/2µ2 M3/2g(e)
f (e) = (1− e2)−7/2(
1+7324
e2 +3796
e4)
, g(e) = (1− e2)−2(
1+78
e2)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 65(126)
![Page 281: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/281.jpg)
Utrata energii i momentu pędu przez układ podwójny
Utrata energii
dEdt
= −325
G4
(ca)5 m21m2
2(m1 + m2) f (e) = −325
G4
(ca)5µ2 M3 f (e)
Utrata momentu pędu
dJdt
= −325
G7/2
c5a7/2m2
1m22(m1 +m2)
1/2g(e) = −325
G7/2
c5a7/2µ2 M3/2g(e)
f (e) = (1− e2)−7/2(
1+7324
e2 +3796
e4)
, g(e) = (1− e2)−2(
1+78
e2)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 65(126)
![Page 282: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/282.jpg)
Utrata energii i momentu pędu przez układ podwójny
Utrata energii
dEdt
= −325
G4
(ca)5 m21m2
2(m1 + m2) f (e) = −325
G4
(ca)5µ2 M3 f (e)
Utrata momentu pędu
dJdt
= −325
G7/2
c5a7/2m2
1m22(m1 +m2)
1/2g(e) = −325
G7/2
c5a7/2µ2 M3/2g(e)
f (e) = (1− e2)−7/2(
1+7324
e2 +3796
e4)
, g(e) = (1− e2)−2(
1+78
e2)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 65(126)
![Page 283: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/283.jpg)
Mody harmoniczne promieniowania układu podwójnego
(dEdt
)n=
325
G4
(ca)5µ2 M3g(n, e)
gdzie pierwsza częstość harmoniczna ω20 =
GMa3 oraz ωn = nω0
e = 0.01
e = 0.1
e = 0.5
e = 0.7
0 2 4 6 8 10 12n0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5g(n,e)
g(n, e) są znane analitycznie i wyrażają się przez funkcje Bessela
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 66(126)
![Page 284: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/284.jpg)
Mody harmoniczne promieniowania układu podwójnego
(dEdt
)n=
325
G4
(ca)5µ2 M3g(n, e)
gdzie pierwsza częstość harmoniczna ω20 =
GMa3 oraz ωn = nω0
e = 0.01
e = 0.1
e = 0.5
e = 0.7
0 2 4 6 8 10 12n0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5g(n,e)
g(n, e) są znane analitycznie i wyrażają się przez funkcje Bessela
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 66(126)
![Page 285: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/285.jpg)
Mody harmoniczne promieniowania układu podwójnego
(dEdt
)n=
325
G4
(ca)5µ2 M3g(n, e)
gdzie pierwsza częstość harmoniczna ω20 =
GMa3 oraz ωn = nω0
e = 0.01
e = 0.1
e = 0.5
e = 0.7
0 2 4 6 8 10 12n0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5g(n,e)
g(n, e) są znane analitycznie i wyrażają się przez funkcje Bessela
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 66(126)
![Page 286: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/286.jpg)
Mody harmoniczne promieniowania układu podwójnego
(dEdt
)n=
325
G4
(ca)5µ2 M3g(n, e)
gdzie pierwsza częstość harmoniczna ω20 =
GMa3 oraz ωn = nω0
e = 0.01
e = 0.1
e = 0.5
e = 0.7
0 2 4 6 8 10 12n0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5g(n,e)
g(n, e) są znane analitycznie i wyrażają się przez funkcje BesselaJacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 66(126)
![Page 287: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/287.jpg)
Zmiana parametrów orbity
Półoś wielka a i mimośród e
a = −Gm1m2
2E, J2 =
Gm21m2
2m1 + m2
a(1− e2)
Zatem
dadt
=Gm1m2
2E2dEdt
= −645
G3
c5a3 m1m2(m1 +m2) f (e) = −645
G3
c5a3µM2 f (e)
2JdJdt
=Gm2
1m22
m1 + m2
[dadt
(1− e2)− 2eadedt
]dedt
= −30415
G3
c5a4 m1m2(m1 + m2)k(e) = −30415
G3
c5a4µM2k(e)
k(e) =e
(1− e2)5/2
(1 +
121304
e2)
Orbita kołowa pozostaje kołowa!Dla e 6= 0, de
dt < 0, zatem orbita ewoluuje w kierunku orbity omniejszym mimośrodzie!
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 67(126)
![Page 288: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/288.jpg)
Zmiana parametrów orbity
Półoś wielka a i mimośród e
a = −Gm1m2
2E, J2 =
Gm21m2
2m1 + m2
a(1− e2)
Zatem
dadt
=Gm1m2
2E2dEdt
= −645
G3
c5a3 m1m2(m1 +m2) f (e) = −645
G3
c5a3µM2 f (e)
2JdJdt
=Gm2
1m22
m1 + m2
[dadt
(1− e2)− 2eadedt
]dedt
= −30415
G3
c5a4 m1m2(m1 + m2)k(e) = −30415
G3
c5a4µM2k(e)
k(e) =e
(1− e2)5/2
(1 +
121304
e2)
Orbita kołowa pozostaje kołowa!Dla e 6= 0, de
dt < 0, zatem orbita ewoluuje w kierunku orbity omniejszym mimośrodzie!
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 67(126)
![Page 289: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/289.jpg)
Zmiana parametrów orbity
Półoś wielka a i mimośród e
a = −Gm1m2
2E, J2 =
Gm21m2
2m1 + m2
a(1− e2)
Zatem
dadt
=Gm1m2
2E2dEdt
= −645
G3
c5a3 m1m2(m1 +m2) f (e) = −645
G3
c5a3µM2 f (e)
2JdJdt
=Gm2
1m22
m1 + m2
[dadt
(1− e2)− 2eadedt
]dedt
= −30415
G3
c5a4 m1m2(m1 + m2)k(e) = −30415
G3
c5a4µM2k(e)
k(e) =e
(1− e2)5/2
(1 +
121304
e2)
Orbita kołowa pozostaje kołowa!Dla e 6= 0, de
dt < 0, zatem orbita ewoluuje w kierunku orbity omniejszym mimośrodzie!
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 67(126)
![Page 290: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/290.jpg)
Zmiana parametrów orbity
Półoś wielka a i mimośród e
a = −Gm1m2
2E, J2 =
Gm21m2
2m1 + m2
a(1− e2)
Zatem
dadt
=Gm1m2
2E2dEdt
= −645
G3
c5a3 m1m2(m1 +m2) f (e) = −645
G3
c5a3µM2 f (e)
2JdJdt
=Gm2
1m22
m1 + m2
[dadt
(1− e2)− 2eadedt
]dedt
= −30415
G3
c5a4 m1m2(m1 + m2)k(e) = −30415
G3
c5a4µM2k(e)
k(e) =e
(1− e2)5/2
(1 +
121304
e2)
Orbita kołowa pozostaje kołowa!Dla e 6= 0, de
dt < 0, zatem orbita ewoluuje w kierunku orbity omniejszym mimośrodzie!
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 67(126)
![Page 291: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/291.jpg)
Zmiana parametrów orbity
Półoś wielka a i mimośród e
a = −Gm1m2
2E, J2 =
Gm21m2
2m1 + m2
a(1− e2)
Zatem
dadt
=Gm1m2
2E2dEdt
= −645
G3
c5a3 m1m2(m1 +m2) f (e) = −645
G3
c5a3µM2 f (e)
2JdJdt
=Gm2
1m22
m1 + m2
[dadt
(1− e2)− 2eadedt
]dedt
= −30415
G3
c5a4 m1m2(m1 + m2)k(e) = −30415
G3
c5a4µM2k(e)
k(e) =e
(1− e2)5/2
(1 +
121304
e2)
Orbita kołowa pozostaje kołowa!
Dla e 6= 0, dedt < 0, zatem orbita ewoluuje w kierunku orbity o
mniejszym mimośrodzie!
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 67(126)
![Page 292: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/292.jpg)
Zmiana parametrów orbity
Półoś wielka a i mimośród e
a = −Gm1m2
2E, J2 =
Gm21m2
2m1 + m2
a(1− e2)
Zatem
dadt
=Gm1m2
2E2dEdt
= −645
G3
c5a3 m1m2(m1 +m2) f (e) = −645
G3
c5a3µM2 f (e)
2JdJdt
=Gm2
1m22
m1 + m2
[dadt
(1− e2)− 2eadedt
]dedt
= −30415
G3
c5a4 m1m2(m1 + m2)k(e) = −30415
G3
c5a4µM2k(e)
k(e) =e
(1− e2)5/2
(1 +
121304
e2)
Orbita kołowa pozostaje kołowa!Dla e 6= 0, de
dt < 0, zatem orbita ewoluuje w kierunku orbity omniejszym mimośrodzie!Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 67(126)
![Page 293: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/293.jpg)
Zmiana czasu obiegu
Na mocy III prawa Keplera
a3 =G(m1 + m2)
(2π)2 T2
mamyTT
=32
aa
TT
= −965(GM)5/3
c5
(2πT
)8/3f (e) ,
M = (m1m2)3/5(m1 + m2)
−1/5 = µ3/5 M2/5
Dla układu podwójnego gwiazd neutronowych PSR1913+16(Hulse i Taylor)
m1 = 1.4411(7) M , m2 = 1.3873(7) M ,T = 0.322997462736(7) dnia , e = 0.6171308(4)
TT
= −2.40243(5) · 10−12 s−1
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 68(126)
![Page 294: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/294.jpg)
Zmiana czasu obiegu
Na mocy III prawa Keplera
a3 =G(m1 + m2)
(2π)2 T2
mamyTT
=32
aa
TT
= −965(GM)5/3
c5
(2πT
)8/3f (e) ,
M = (m1m2)3/5(m1 + m2)
−1/5 = µ3/5 M2/5
Dla układu podwójnego gwiazd neutronowych PSR1913+16(Hulse i Taylor)
m1 = 1.4411(7) M , m2 = 1.3873(7) M ,T = 0.322997462736(7) dnia , e = 0.6171308(4)
TT
= −2.40243(5) · 10−12 s−1
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 68(126)
![Page 295: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/295.jpg)
Zmiana czasu obiegu
Na mocy III prawa Keplera
a3 =G(m1 + m2)
(2π)2 T2
mamyTT
=32
aa
TT
= −965(GM)5/3
c5
(2πT
)8/3f (e) ,
M = (m1m2)3/5(m1 + m2)
−1/5 = µ3/5 M2/5
Dla układu podwójnego gwiazd neutronowych PSR1913+16(Hulse i Taylor)
m1 = 1.4411(7) M , m2 = 1.3873(7) M ,T = 0.322997462736(7) dnia , e = 0.6171308(4)
TT
= −2.40243(5) · 10−12 s−1
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 68(126)
![Page 296: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/296.jpg)
Zmiana czasu obiegu
Na mocy III prawa Keplera
a3 =G(m1 + m2)
(2π)2 T2
mamyTT
=32
aa
TT
= −965(GM)5/3
c5
(2πT
)8/3f (e) ,
M = (m1m2)3/5(m1 + m2)
−1/5 = µ3/5 M2/5
Dla układu podwójnego gwiazd neutronowych PSR1913+16(Hulse i Taylor)
m1 = 1.4411(7) M , m2 = 1.3873(7) M ,T = 0.322997462736(7) dnia , e = 0.6171308(4)
TT
= −2.40243(5) · 10−12 s−1
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 68(126)
![Page 297: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/297.jpg)
Czas do połączenia się obiektów
Niech początkowy okres obiegu wynosi T0
0∫T0
T5/3dT = −955(2π)8/3 (GM)5/3
c5
tc∫0
f (e(t))dt
Dla orbit kołowych f (0) = 1, czas do połączenia tc określony jestjako
tc =5
256
( T0
2π
)8/3 c5
(GM)5/3
Ewolucja okresu
T(t) = 16π[1
5(GM)5/3
c5 (tc − t)]3/8
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 69(126)
![Page 298: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/298.jpg)
Czas do połączenia się obiektów
Niech początkowy okres obiegu wynosi T0
0∫T0
T5/3dT = −955(2π)8/3 (GM)5/3
c5
tc∫0
f (e(t))dt
Dla orbit kołowych f (0) = 1, czas do połączenia tc określony jestjako
tc =5
256
( T0
2π
)8/3 c5
(GM)5/3
Ewolucja okresu
T(t) = 16π[1
5(GM)5/3
c5 (tc − t)]3/8
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 69(126)
![Page 299: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/299.jpg)
Czas do połączenia się obiektów
Niech początkowy okres obiegu wynosi T0
0∫T0
T5/3dT = −955(2π)8/3 (GM)5/3
c5
tc∫0
f (e(t))dt
Dla orbit kołowych f (0) = 1, czas do połączenia tc określony jestjako
tc =5
256
( T0
2π
)8/3 c5
(GM)5/3
Ewolucja okresu
T(t) = 16π[1
5(GM)5/3
c5 (tc − t)]3/8
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 69(126)
![Page 300: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/300.jpg)
Czas do połączenia się obiektów
Niech początkowy okres obiegu wynosi T0
0∫T0
T5/3dT = −955(2π)8/3 (GM)5/3
c5
tc∫0
f (e(t))dt
Dla orbit kołowych f (0) = 1, czas do połączenia tc określony jestjako
tc =5
256
( T0
2π
)8/3 c5
(GM)5/3
Ewolucja okresu
T(t) = 16π[1
5(GM)5/3
c5 (tc − t)]3/8
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 69(126)
![Page 301: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/301.jpg)
Ewolucja fazy
ϕ =dϕdt
=2π
T(t)=
18
[15(GM)5/3
c5 (tc − t)]−3/8
ϕ(t) =18(5c5)3/8
(GM)5/8
t∫0
(tc − t′)−3/8dt′
=15(5c5)3/8
(GM)5/8[t5/8
c − (tc − t)5/8]
Oznaczając
ϕc =ϕ(tc) =15(5c5)3/8
(GM)5/8t5/8c
ϕ(t) =ϕc −[1
5c3
GM (tc − t)]5/8
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 70(126)
![Page 302: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/302.jpg)
Ewolucja fazy
ϕ =dϕdt
=2π
T(t)=
18
[15(GM)5/3
c5 (tc − t)]−3/8
ϕ(t) =18(5c5)3/8
(GM)5/8
t∫0
(tc − t′)−3/8dt′
=15(5c5)3/8
(GM)5/8[t5/8
c − (tc − t)5/8]
Oznaczając
ϕc =ϕ(tc) =15(5c5)3/8
(GM)5/8t5/8c
ϕ(t) =ϕc −[1
5c3
GM (tc − t)]5/8
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 70(126)
![Page 303: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/303.jpg)
Ewolucja fazy
ϕ =dϕdt
=2π
T(t)=
18
[15(GM)5/3
c5 (tc − t)]−3/8
ϕ(t) =18(5c5)3/8
(GM)5/8
t∫0
(tc − t′)−3/8dt′
=15(5c5)3/8
(GM)5/8[t5/8
c − (tc − t)5/8]
Oznaczając
ϕc =ϕ(tc) =15(5c5)3/8
(GM)5/8t5/8c
ϕ(t) =ϕc −[1
5c3
GM (tc − t)]5/8
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 70(126)
![Page 304: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/304.jpg)
Ewolucja fazy
ϕ =dϕdt
=2π
T(t)=
18
[15(GM)5/3
c5 (tc − t)]−3/8
ϕ(t) =18(5c5)3/8
(GM)5/8
t∫0
(tc − t′)−3/8dt′
=15(5c5)3/8
(GM)5/8[t5/8
c − (tc − t)5/8]
Oznaczając
ϕc =ϕ(tc) =15(5c5)3/8
(GM)5/8t5/8c
ϕ(t) =ϕc −[1
5c3
GM (tc − t)]5/8
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 70(126)
![Page 305: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/305.jpg)
Ewolucja fazy
ϕ =dϕdt
=2π
T(t)=
18
[15(GM)5/3
c5 (tc − t)]−3/8
ϕ(t) =18(5c5)3/8
(GM)5/8
t∫0
(tc − t′)−3/8dt′
=15(5c5)3/8
(GM)5/8[t5/8
c − (tc − t)5/8]
Oznaczając
ϕc =ϕ(tc) =15(5c5)3/8
(GM)5/8t5/8c
ϕ(t) =ϕc −[1
5c3
GM (tc − t)]5/8
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 70(126)
![Page 306: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/306.jpg)
Zmiany w kształcie fali grawitacyjnej
hTTi j =
2Gc4r
GµMa(1− e2)
[Be(ϕ)]i j
Be(ϕ) — macierz zależna od fazy i mimośrodu
Dla orbity kołowej i polaryzacji plus, w kierunku osi Zprostopadłej do płaszczyzny orbity układu
h+(t) =2Gc4r
GµM(GM)1/3
( 2πT(t′)
)2/3cos 2ϕ(t′)
h+(t) =2(GM)5/3
c4r
( 2πT(t′)
)2/3cos 2ϕ(t′) ,
T(t) = 16π[1
5(GM)5/3
c5 (tc − t)]3/8
h+(t) =12r
(GMc2
)5/4( 5c(tc − t′)
)1/4cos 2ϕ(t′)
gdzie t′ = t− r/c jest czasem retardowanym!
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 71(126)
![Page 307: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/307.jpg)
Zmiany w kształcie fali grawitacyjnej
hTTi j =
2Gc4r
GµMa(1− e2)
[Be(ϕ)]i j
Be(ϕ) — macierz zależna od fazy i mimośrodu
Dla orbity kołowej i polaryzacji plus, w kierunku osi Zprostopadłej do płaszczyzny orbity układu
h+(t) =2Gc4r
GµM(GM)1/3
( 2πT(t′)
)2/3cos 2ϕ(t′)
h+(t) =2(GM)5/3
c4r
( 2πT(t′)
)2/3cos 2ϕ(t′) ,
T(t) = 16π[1
5(GM)5/3
c5 (tc − t)]3/8
h+(t) =12r
(GMc2
)5/4( 5c(tc − t′)
)1/4cos 2ϕ(t′)
gdzie t′ = t− r/c jest czasem retardowanym!
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 71(126)
![Page 308: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/308.jpg)
Zmiany w kształcie fali grawitacyjnej
hTTi j =
2Gc4r
GµMa(1− e2)
[Be(ϕ)]i j
Be(ϕ) — macierz zależna od fazy i mimośrodu
Dla orbity kołowej i polaryzacji plus, w kierunku osi Zprostopadłej do płaszczyzny orbity układu
h+(t) =2Gc4r
GµM(GM)1/3
( 2πT(t′)
)2/3cos 2ϕ(t′)
h+(t) =2(GM)5/3
c4r
( 2πT(t′)
)2/3cos 2ϕ(t′) ,
T(t) = 16π[1
5(GM)5/3
c5 (tc − t)]3/8
h+(t) =12r
(GMc2
)5/4( 5c(tc − t′)
)1/4cos 2ϕ(t′)
gdzie t′ = t− r/c jest czasem retardowanym!
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 71(126)
![Page 309: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/309.jpg)
Chirp signal
Sygnał grawitacyjny od układu podwójnego (w kierunku osi Z)
h+(t) = A+(tc − t′) cos 2ϕ(tc − t′) , t′ = t− rc
h×(t) = A×(tc − t′) sin 2ϕ(tc − t′)
gdzie
A(tc − t′) =12r
(GMc2
)5/4( 5c(tc − t′)
)1/4
ϕ(tc − t′) =ϕc −[1
5c3
GM (tc − t′)]5/8
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 72(126)
![Page 310: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/310.jpg)
Chirp signal
Sygnał grawitacyjny od układu podwójnego (w kierunku osi Z)
h+(t) = A+(tc − t′) cos 2ϕ(tc − t′) , t′ = t− rc
h×(t) = A×(tc − t′) sin 2ϕ(tc − t′)
gdzie
A(tc − t′) =12r
(GMc2
)5/4( 5c(tc − t′)
)1/4
ϕ(tc − t′) =ϕc −[1
5c3
GM (tc − t′)]5/8
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 72(126)
![Page 311: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/311.jpg)
Ewolucja częstości fali grawitacyjnej
fGW =2
T(t)=
18
[ 5c5
(GM)5/31
tc − t
]3/8
tc − t = 2.18 s(1.21 M
M
)5/3(100 HzfGW
)8/3
Dla m1 = m2 = 1.4 M, chirp mass M = 1.21 M
10 Hz 100 Hz 1 kHz
tc − t 17 min 2 s 3 ms
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 73(126)
![Page 312: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/312.jpg)
Ewolucja częstości fali grawitacyjnej
fGW =2
T(t)=
18
[ 5c5
(GM)5/31
tc − t
]3/8
tc − t = 2.18 s(1.21 M
M
)5/3(100 HzfGW
)8/3
Dla m1 = m2 = 1.4 M, chirp mass M = 1.21 M
10 Hz 100 Hz 1 kHz
tc − t 17 min 2 s 3 ms
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 73(126)
![Page 313: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/313.jpg)
Ewolucja częstości fali grawitacyjnej
fGW =2
T(t)=
18
[ 5c5
(GM)5/31
tc − t
]3/8
tc − t = 2.18 s(1.21 M
M
)5/3(100 HzfGW
)8/3
Dla m1 = m2 = 1.4 M, chirp mass M = 1.21 M
10 Hz 100 Hz 1 kHz
tc − t 17 min 2 s 3 ms
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 73(126)
![Page 314: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/314.jpg)
Ewolucja częstości fali grawitacyjnej
fGW =2
T(t)=
18
[ 5c5
(GM)5/31
tc − t
]3/8
tc − t = 2.18 s(1.21 M
M
)5/3(100 HzfGW
)8/3
Dla m1 = m2 = 1.4 M, chirp mass M = 1.21 M
10 Hz 100 Hz 1 kHz
tc − t 17 min 2 s 3 ms
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 73(126)
![Page 315: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/315.jpg)
Ewolucja częstości fali grawitacyjnej
fGW =2
T(t)=
18
[ 5c5
(GM)5/31
tc − t
]3/8
tc − t = 2.18 s(1.21 M
M
)5/3(100 HzfGW
)8/3
Dla m1 = m2 = 1.4 M, chirp mass M = 1.21 M
10 Hz 100 Hz 1 kHz
tc − t 17 min 2 s 3 ms
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 73(126)
![Page 316: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/316.jpg)
Częstość obcięcia
według OTW w czasoprzestrzeni Schwartzschilda nie mastabilnych orbit (dla ciał masywnych) wewnątrz obszaru oradialnej współrzędnej
r < 3RS =6Gm
c2
kończy się faza orbitowania ciał, zaczyna się zderzenie ipołączeniemożna oszacować (z III prawa Keplera) częstość, przy którejsygnał grawitacyjny zmieni swój charakter
ωcut =1
6√
6c3
Gm
szacunkowe wartości częstotliwości obcięciaNS–NS BH–BH gwiazdowe BH–BH supermas.
fcut [Hz] 800 200 ∼ mHz
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 74(126)
![Page 317: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/317.jpg)
Częstość obcięcia
według OTW w czasoprzestrzeni Schwartzschilda nie mastabilnych orbit (dla ciał masywnych) wewnątrz obszaru oradialnej współrzędnej
r < 3RS =6Gm
c2
kończy się faza orbitowania ciał, zaczyna się zderzenie ipołączeniemożna oszacować (z III prawa Keplera) częstość, przy którejsygnał grawitacyjny zmieni swój charakter
ωcut =1
6√
6c3
Gm
szacunkowe wartości częstotliwości obcięciaNS–NS BH–BH gwiazdowe BH–BH supermas.
fcut [Hz] 800 200 ∼ mHz
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 74(126)
![Page 318: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/318.jpg)
Częstość obcięcia
według OTW w czasoprzestrzeni Schwartzschilda nie mastabilnych orbit (dla ciał masywnych) wewnątrz obszaru oradialnej współrzędnej
r < 3RS =6Gm
c2
kończy się faza orbitowania ciał, zaczyna się zderzenie ipołączenie
można oszacować (z III prawa Keplera) częstość, przy którejsygnał grawitacyjny zmieni swój charakter
ωcut =1
6√
6c3
Gm
szacunkowe wartości częstotliwości obcięciaNS–NS BH–BH gwiazdowe BH–BH supermas.
fcut [Hz] 800 200 ∼ mHz
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 74(126)
![Page 319: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/319.jpg)
Częstość obcięcia
według OTW w czasoprzestrzeni Schwartzschilda nie mastabilnych orbit (dla ciał masywnych) wewnątrz obszaru oradialnej współrzędnej
r < 3RS =6Gm
c2
kończy się faza orbitowania ciał, zaczyna się zderzenie ipołączeniemożna oszacować (z III prawa Keplera) częstość, przy którejsygnał grawitacyjny zmieni swój charakter
ωcut =1
6√
6c3
Gm
szacunkowe wartości częstotliwości obcięciaNS–NS BH–BH gwiazdowe BH–BH supermas.
fcut [Hz] 800 200 ∼ mHz
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 74(126)
![Page 320: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/320.jpg)
Częstość obcięcia
według OTW w czasoprzestrzeni Schwartzschilda nie mastabilnych orbit (dla ciał masywnych) wewnątrz obszaru oradialnej współrzędnej
r < 3RS =6Gm
c2
kończy się faza orbitowania ciał, zaczyna się zderzenie ipołączeniemożna oszacować (z III prawa Keplera) częstość, przy którejsygnał grawitacyjny zmieni swój charakter
ωcut =1
6√
6c3
Gm
szacunkowe wartości częstotliwości obcięciaNS–NS BH–BH gwiazdowe BH–BH supermas.
fcut [Hz] 800 200 ∼ mHz
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 74(126)
![Page 321: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/321.jpg)
Charakterystyka widmowa promieniowaniagrawitacyjnego
Transformata Fouriera zaburzeń czasoprzestrzeni h+,×(t)
h+,×(ω) =∫R
h+,×(t)e−iωtdt
odwrotna transformata Fouriera
h+,×(t) =1
2π
∫R
h+,×(ω)eiωtdω
strumień energii w jednostce czasu
dEdtdS
=c3
16πG〈h2
+ + h2×〉
strumień energii
dEdS
=c3
16πG
∫R(h2
+ + h2×)dt
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 75(126)
![Page 322: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/322.jpg)
Charakterystyka widmowa promieniowaniagrawitacyjnego
Transformata Fouriera zaburzeń czasoprzestrzeni h+,×(t)
h+,×(ω) =∫R
h+,×(t)e−iωtdt
odwrotna transformata Fouriera
h+,×(t) =1
2π
∫R
h+,×(ω)eiωtdω
strumień energii w jednostce czasu
dEdtdS
=c3
16πG〈h2
+ + h2×〉
strumień energii
dEdS
=c3
16πG
∫R(h2
+ + h2×)dt
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 75(126)
![Page 323: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/323.jpg)
Charakterystyka widmowa promieniowaniagrawitacyjnego
Transformata Fouriera zaburzeń czasoprzestrzeni h+,×(t)
h+,×(ω) =∫R
h+,×(t)e−iωtdt
odwrotna transformata Fouriera
h+,×(t) =1
2π
∫R
h+,×(ω)eiωtdω
strumień energii w jednostce czasu
dEdtdS
=c3
16πG〈h2
+ + h2×〉
strumień energii
dEdS
=c3
16πG
∫R(h2
+ + h2×)dt
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 75(126)
![Page 324: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/324.jpg)
Charakterystyka widmowa promieniowaniagrawitacyjnego
Transformata Fouriera zaburzeń czasoprzestrzeni h+,×(t)
h+,×(ω) =∫R
h+,×(t)e−iωtdt
odwrotna transformata Fouriera
h+,×(t) =1
2π
∫R
h+,×(ω)eiωtdω
strumień energii w jednostce czasu
dEdtdS
=c3
16πG〈h2
+ + h2×〉
strumień energii
dEdS
=c3
16πG
∫R(h2
+ + h2×)dt
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 75(126)
![Page 325: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/325.jpg)
Charakterystyka widmowa promieniowaniagrawitacyjnego
Transformata Fouriera zaburzeń czasoprzestrzeni h+,×(t)
h+,×(ω) =∫R
h+,×(t)e−iωtdt
odwrotna transformata Fouriera
h+,×(t) =1
2π
∫R
h+,×(ω)eiωtdω
strumień energii w jednostce czasu
dEdtdS
=c3
16πG〈h2
+ + h2×〉
strumień energii
dEdS
=c3
16πG
∫R(h2
+ + h2×)dt
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 75(126)
![Page 326: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/326.jpg)
Charakterystyka widmowa energii
mamy
h+,×(t) =1
2π
∫R
iω h+,×(ω)eiωtdω
w konsekwencji
dEdS
=c3
32π2G
∫Rω2(|h+(ω)|2 + |h×(ω)|2)dω
stąd odczytujemy charakterystykę widmową energii
dEdω
=c3r2
32π2G
∫sfera
ω2(|h+(ω, Ω)|2 + |h×(ω, Ω)|2)dΩ
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 76(126)
![Page 327: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/327.jpg)
Charakterystyka widmowa energii
mamy
h+,×(t) =1
2π
∫R
iω h+,×(ω)eiωtdω
w konsekwencji
dEdS
=c3
32π2G
∫Rω2(|h+(ω)|2 + |h×(ω)|2)dω
stąd odczytujemy charakterystykę widmową energii
dEdω
=c3r2
32π2G
∫sfera
ω2(|h+(ω, Ω)|2 + |h×(ω, Ω)|2)dΩ
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 76(126)
![Page 328: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/328.jpg)
Charakterystyka widmowa energii
mamy
h+,×(t) =1
2π
∫R
iω h+,×(ω)eiωtdω
w konsekwencji
dEdS
=c3
32π2G
∫Rω2(|h+(ω)|2 + |h×(ω)|2)dω
stąd odczytujemy charakterystykę widmową energii
dEdω
=c3r2
32π2G
∫sfera
ω2(|h+(ω, Ω)|2 + |h×(ω, Ω)|2)dΩ
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 76(126)
![Page 329: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/329.jpg)
Charakterystyka widmowa energii
mamy
h+,×(t) =1
2π
∫R
iω h+,×(ω)eiωtdω
w konsekwencji
dEdS
=c3
32π2G
∫Rω2(|h+(ω)|2 + |h×(ω)|2)dω
stąd odczytujemy charakterystykę widmową energii
dEdω
=c3r2
32π2G
∫sfera
ω2(|h+(ω, Ω)|2 + |h×(ω, Ω)|2)dΩ
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 76(126)
![Page 330: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/330.jpg)
Charakterystyka widmowa energii dla układupodwójnego
Sygnał grawitacyjny od układu podwójnego (w kierunku osi Z)
h+(t) = A+(tc − t′) cos 2ϕ(tc − t′) , t′ = t− rc
h×(t) = A×(tc − t′) sin 2ϕ(tc − t′)
gdzie
A(tc − t′) =12r
(GMc2
)5/4( 5c(tc − t′)
)1/4
ϕ(tc − t′) =ϕc −[1
5c3
GM (tc − t′)]5/8
Dla polaryzacji plus mamy
h+(ω) =∫RA(tc − t′) cos Φ(tc − t′)e−iωtdt
=12
e−iωr/c∫RA(tc − t′)(eiΦ(tc−t′) + e−iΦ(tc−t′))e−iωt′dt′
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 77(126)
![Page 331: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/331.jpg)
Charakterystyka widmowa energii dla układupodwójnego
Sygnał grawitacyjny od układu podwójnego (w kierunku osi Z)
h+(t) = A+(tc − t′) cos 2ϕ(tc − t′) , t′ = t− rc
h×(t) = A×(tc − t′) sin 2ϕ(tc − t′)
gdzie
A(tc − t′) =12r
(GMc2
)5/4( 5c(tc − t′)
)1/4
ϕ(tc − t′) =ϕc −[1
5c3
GM (tc − t′)]5/8
Dla polaryzacji plus mamy
h+(ω) =∫RA(tc − t′) cos Φ(tc − t′)e−iωtdt
=12
e−iωr/c∫RA(tc − t′)(eiΦ(tc−t′) + e−iΦ(tc−t′))e−iωt′dt′
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 77(126)
![Page 332: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/332.jpg)
Charakterystyka widmowa energii dla układupodwójnego
Sygnał grawitacyjny od układu podwójnego (w kierunku osi Z)
h+(t) = A+(tc − t′) cos 2ϕ(tc − t′) , t′ = t− rc
h×(t) = A×(tc − t′) sin 2ϕ(tc − t′)
gdzie
A(tc − t′) =12r
(GMc2
)5/4( 5c(tc − t′)
)1/4
ϕ(tc − t′) =ϕc −[1
5c3
GM (tc − t′)]5/8
Dla polaryzacji plus mamy
h+(ω) =∫RA(tc − t′) cos Φ(tc − t′)e−iωtdt
=12
e−iωr/c∫RA(tc − t′)(eiΦ(tc−t′) + e−iΦ(tc−t′))e−iωt′dt′
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 77(126)
![Page 333: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/333.jpg)
Charakterystyka widmowa energii dla układupodwójnego
Całkę określającą h+(ω) można oszacować przyjmując dwazałożenia1 funkcja A(tc − t′) jest wolnozmienna w czasie,2 można stosować przybliżenie/metodę punktu stacjonarnego
Przy tych założeniach otrzymamy przybliżoną postaćtransformaty
h+(ω) ' 12
e−iψ+A(tc − t′∗)( 2πΦ(tc − t′∗)
)1/2
gdzie t′∗ jest rozwiązaniem równania Φ = ω
tc − t′∗ =5c5
(GM)5/3(4ω)−8/3
oraz ψ+ = ωr/c +ωt′∗ −Φ(tc − t′∗)− π/4.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 78(126)
![Page 334: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/334.jpg)
Charakterystyka widmowa energii dla układupodwójnego
Całkę określającą h+(ω) można oszacować przyjmując dwazałożenia1 funkcja A(tc − t′) jest wolnozmienna w czasie,
2 można stosować przybliżenie/metodę punktu stacjonarnego
Przy tych założeniach otrzymamy przybliżoną postaćtransformaty
h+(ω) ' 12
e−iψ+A(tc − t′∗)( 2πΦ(tc − t′∗)
)1/2
gdzie t′∗ jest rozwiązaniem równania Φ = ω
tc − t′∗ =5c5
(GM)5/3(4ω)−8/3
oraz ψ+ = ωr/c +ωt′∗ −Φ(tc − t′∗)− π/4.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 78(126)
![Page 335: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/335.jpg)
Charakterystyka widmowa energii dla układupodwójnego
Całkę określającą h+(ω) można oszacować przyjmując dwazałożenia1 funkcja A(tc − t′) jest wolnozmienna w czasie,2 można stosować przybliżenie/metodę punktu stacjonarnego
Przy tych założeniach otrzymamy przybliżoną postaćtransformaty
h+(ω) ' 12
e−iψ+A(tc − t′∗)( 2πΦ(tc − t′∗)
)1/2
gdzie t′∗ jest rozwiązaniem równania Φ = ω
tc − t′∗ =5c5
(GM)5/3(4ω)−8/3
oraz ψ+ = ωr/c +ωt′∗ −Φ(tc − t′∗)− π/4.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 78(126)
![Page 336: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/336.jpg)
Charakterystyka widmowa energii dla układupodwójnego
Całkę określającą h+(ω) można oszacować przyjmując dwazałożenia1 funkcja A(tc − t′) jest wolnozmienna w czasie,2 można stosować przybliżenie/metodę punktu stacjonarnego
Przy tych założeniach otrzymamy przybliżoną postaćtransformaty
h+(ω) ' 12
e−iψ+A(tc − t′∗)( 2πΦ(tc − t′∗)
)1/2
gdzie t′∗ jest rozwiązaniem równania Φ = ω
tc − t′∗ =5c5
(GM)5/3(4ω)−8/3
oraz ψ+ = ωr/c +ωt′∗ −Φ(tc − t′∗)− π/4.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 78(126)
![Page 337: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/337.jpg)
Charakterystyka widmowa energii
Ostatecznie
h+(ω) ' 2r
e−iψ+
(10π3
)1/2 (GM)5/6
c3/2(4ω)−7/6
wyrażenie opisujące h×(ω) różni się tylko fazą ψ× (które i tak sąnieistotne!)
uzupełniając h+ oraz h× o zależność od kierunku i całkując pokątach otrzymamy
dEdω
=c3r2
32π2Gω2
∫sfera
(|h+(ω, Ω)|2 + |h×(ω, Ω)|2)dΩ
' (GM)5/3
3G(4ω)−1/3
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 79(126)
![Page 338: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/338.jpg)
Charakterystyka widmowa energii
Ostatecznie
h+(ω) ' 2r
e−iψ+
(10π3
)1/2 (GM)5/6
c3/2(4ω)−7/6
wyrażenie opisujące h×(ω) różni się tylko fazą ψ× (które i tak sąnieistotne!)
uzupełniając h+ oraz h× o zależność od kierunku i całkując pokątach otrzymamy
dEdω
=c3r2
32π2Gω2
∫sfera
(|h+(ω, Ω)|2 + |h×(ω, Ω)|2)dΩ
' (GM)5/3
3G(4ω)−1/3
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 79(126)
![Page 339: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/339.jpg)
Charakterystyka widmowa energii
Ostatecznie
h+(ω) ' 2r
e−iψ+
(10π3
)1/2 (GM)5/6
c3/2(4ω)−7/6
wyrażenie opisujące h×(ω) różni się tylko fazą ψ× (które i tak sąnieistotne!)
uzupełniając h+ oraz h× o zależność od kierunku i całkując pokątach otrzymamy
dEdω
=c3r2
32π2Gω2
∫sfera
(|h+(ω, Ω)|2 + |h×(ω, Ω)|2)dΩ
' (GM)5/3
3G(4ω)−1/3
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 79(126)
![Page 340: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/340.jpg)
Charakterystyka widmowa energii
Ostatecznie
h+(ω) ' 2r
e−iψ+
(10π3
)1/2 (GM)5/6
c3/2(4ω)−7/6
wyrażenie opisujące h×(ω) różni się tylko fazą ψ× (które i tak sąnieistotne!)
uzupełniając h+ oraz h× o zależność od kierunku i całkując pokątach otrzymamy
dEdω
=c3r2
32π2Gω2
∫sfera
(|h+(ω, Ω)|2 + |h×(ω, Ω)|2)dΩ
' (GM)5/3
3G(4ω)−1/3
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 79(126)
![Page 341: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/341.jpg)
Charakterystyka widmowa energii
Ostatecznie
h+(ω) ' 2r
e−iψ+
(10π3
)1/2 (GM)5/6
c3/2(4ω)−7/6
wyrażenie opisujące h×(ω) różni się tylko fazą ψ× (które i tak sąnieistotne!)
uzupełniając h+ oraz h× o zależność od kierunku i całkując pokątach otrzymamy
dEdω
=c3r2
32π2Gω2
∫sfera
(|h+(ω, Ω)|2 + |h×(ω, Ω)|2)dΩ
' (GM)5/3
3G(4ω)−1/3
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 79(126)
![Page 342: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/342.jpg)
Zakresy częstotliwości
zakres częstotliwości typowe źródła
bardzo niski – supermasywne układy BH–BH (> 106 M)1 nHz–1mHz – tło grawitacyjne
niski – supermasywne układy BH–BH (103 – 106 M)1 mHz–1 Hz – układy WD–WD
– układy podwójne o dużym stosunku masy– obracające się gwiazdy z niesymetrycznym
rozkładem masywysoki – gwiazdowe układy BH–BH
1 Hz–10 kHz – układy podwójne NS–NS– pulsary z niesymetrycznym rozkładem masy
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 80(126)
![Page 343: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/343.jpg)
Zakresy częstotliwości
zakres częstotliwości typowe źródła
bardzo niski – supermasywne układy BH–BH (> 106 M)1 nHz–1mHz – tło grawitacyjne
niski – supermasywne układy BH–BH (103 – 106 M)1 mHz–1 Hz – układy WD–WD
– układy podwójne o dużym stosunku masy– obracające się gwiazdy z niesymetrycznym
rozkładem masywysoki – gwiazdowe układy BH–BH
1 Hz–10 kHz – układy podwójne NS–NS– pulsary z niesymetrycznym rozkładem masy
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 80(126)
![Page 344: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/344.jpg)
Detektory rezonansowe
nazwa lokalizacja budowaAllegro Baton Rouge,
USAdziałający do 2008 roku aluminiowy walectypu Webera, chłodzony, f = 904 Hz
Auriga Padwa, Włochy aluminiowy walec typu Webera, chłodzonyExplorer Genewa,
Szwajcariaaluminiowy walec typu Webera, chłodzony
MiniGRAIL
Leiden, Holan-dia
kula ze stopu miedzi i aluminium, f = 3.25kHz
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 81(126)
![Page 345: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/345.jpg)
Detektory rezonansowenazwa lokalizacja budowaAllegro Baton Rouge,
USAdziałający do 2008 roku aluminiowy walectypu Webera, chłodzony, f = 904 Hz
Auriga Padwa, Włochy aluminiowy walec typu Webera, chłodzonyExplorer Genewa,
Szwajcariaaluminiowy walec typu Webera, chłodzony
MiniGRAIL
Leiden, Holan-dia
kula ze stopu miedzi i aluminium, f = 3.25kHz
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 81(126)
![Page 346: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/346.jpg)
Detektory rezonansowenazwa lokalizacja budowaAllegro Baton Rouge,
USAdziałający do 2008 roku aluminiowy walectypu Webera, chłodzony, f = 904 Hz
Auriga Padwa, Włochy aluminiowy walec typu Webera, chłodzonyExplorer Genewa,
Szwajcariaaluminiowy walec typu Webera, chłodzony
MiniGRAIL
Leiden, Holan-dia
kula ze stopu miedzi i aluminium, f = 3.25kHz
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 81(126)
![Page 347: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/347.jpg)
Detektory rezonansowe
Allegro — 2300 kg of aluminum, 3 meters in length. Suspended in acryogenic vacuum tank at 4.2 Kelvin, the bar’s natural resonantfrequency (the lowest longitudinal mode) is near 904 Hz. The strain onthe bar is measured by coupling a second, much lighter, suspendedmass to the main heavier mass as a mechanical transformer at thesame resonant frequency. Therefore, small motions of the primarymass generate much larger motions in the smaller mass.
AURIGA — is the Antenna Ultracriogenica Risonante per l’IndagineGravitazionale Astronomica. The detector consists of an aluminumcylinder 3 meters in length and weighing approximately 2.3 tons. Thewhole apparatus is cooled to a few thousandths of a degree aboveabsolute zero to minimize the effect of thermal vibrations of its atoms.
The antenna EXPLORER (installed at CERN Laboratories inGeneva) is a cylinder of Aluminium, it weights 2300 kg, it is 3 m longand it has a diameter of 60 cm. It is cooled at the temperature ofliquid helium (4.2 K) and it operates at the temperature of 2 K, whichis reached by lowering the pressure on the liquid helium reservoir. Itsresonance frequencies are around 906 and 923 Hz.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 82(126)
![Page 348: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/348.jpg)
Detektory rezonansowe
Allegro — 2300 kg of aluminum, 3 meters in length. Suspended in acryogenic vacuum tank at 4.2 Kelvin, the bar’s natural resonantfrequency (the lowest longitudinal mode) is near 904 Hz. The strain onthe bar is measured by coupling a second, much lighter, suspendedmass to the main heavier mass as a mechanical transformer at thesame resonant frequency. Therefore, small motions of the primarymass generate much larger motions in the smaller mass.
AURIGA — is the Antenna Ultracriogenica Risonante per l’IndagineGravitazionale Astronomica. The detector consists of an aluminumcylinder 3 meters in length and weighing approximately 2.3 tons. Thewhole apparatus is cooled to a few thousandths of a degree aboveabsolute zero to minimize the effect of thermal vibrations of its atoms.
The antenna EXPLORER (installed at CERN Laboratories inGeneva) is a cylinder of Aluminium, it weights 2300 kg, it is 3 m longand it has a diameter of 60 cm. It is cooled at the temperature ofliquid helium (4.2 K) and it operates at the temperature of 2 K, whichis reached by lowering the pressure on the liquid helium reservoir. Itsresonance frequencies are around 906 and 923 Hz.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 82(126)
![Page 349: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/349.jpg)
Detektory rezonansowe
Allegro — 2300 kg of aluminum, 3 meters in length. Suspended in acryogenic vacuum tank at 4.2 Kelvin, the bar’s natural resonantfrequency (the lowest longitudinal mode) is near 904 Hz. The strain onthe bar is measured by coupling a second, much lighter, suspendedmass to the main heavier mass as a mechanical transformer at thesame resonant frequency. Therefore, small motions of the primarymass generate much larger motions in the smaller mass.
AURIGA — is the Antenna Ultracriogenica Risonante per l’IndagineGravitazionale Astronomica. The detector consists of an aluminumcylinder 3 meters in length and weighing approximately 2.3 tons. Thewhole apparatus is cooled to a few thousandths of a degree aboveabsolute zero to minimize the effect of thermal vibrations of its atoms.
The antenna EXPLORER (installed at CERN Laboratories inGeneva) is a cylinder of Aluminium, it weights 2300 kg, it is 3 m longand it has a diameter of 60 cm. It is cooled at the temperature ofliquid helium (4.2 K) and it operates at the temperature of 2 K, whichis reached by lowering the pressure on the liquid helium reservoir. Itsresonance frequencies are around 906 and 923 Hz.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 82(126)
![Page 350: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/350.jpg)
Detektory rezonansowe
Allegro — 2300 kg of aluminum, 3 meters in length. Suspended in acryogenic vacuum tank at 4.2 Kelvin, the bar’s natural resonantfrequency (the lowest longitudinal mode) is near 904 Hz. The strain onthe bar is measured by coupling a second, much lighter, suspendedmass to the main heavier mass as a mechanical transformer at thesame resonant frequency. Therefore, small motions of the primarymass generate much larger motions in the smaller mass.
AURIGA — is the Antenna Ultracriogenica Risonante per l’IndagineGravitazionale Astronomica. The detector consists of an aluminumcylinder 3 meters in length and weighing approximately 2.3 tons. Thewhole apparatus is cooled to a few thousandths of a degree aboveabsolute zero to minimize the effect of thermal vibrations of its atoms.
The antenna EXPLORER (installed at CERN Laboratories inGeneva) is a cylinder of Aluminium, it weights 2300 kg, it is 3 m longand it has a diameter of 60 cm. It is cooled at the temperature ofliquid helium (4.2 K) and it operates at the temperature of 2 K, whichis reached by lowering the pressure on the liquid helium reservoir. Itsresonance frequencies are around 906 and 923 Hz.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 82(126)
![Page 351: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/351.jpg)
Detektory rezonansowe
MiniGRAIL — When gravitation waves pass through theMiniGRAIL ball, it will vibrate with displacements on the orderof 10−20 m. To improve sensitivity, the detector was intended tooperate at a temperature of 20 mK. The original antenna for theMiniGRAIL detector was a 68 cm diameter sphere made of analloy of copper with 6% aluminium. This sphere had a mass of1,150 kg and resonated at a frequency of 3,250 Hz. It was isolatedfrom vibration by seven 140 kg masses. The bandwidth of thedetector was expected to be ±230 Hz.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 83(126)
![Page 352: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/352.jpg)
Detektory rezonansowe
MiniGRAIL — When gravitation waves pass through theMiniGRAIL ball, it will vibrate with displacements on the orderof 10−20 m. To improve sensitivity, the detector was intended tooperate at a temperature of 20 mK. The original antenna for theMiniGRAIL detector was a 68 cm diameter sphere made of analloy of copper with 6% aluminium. This sphere had a mass of1,150 kg and resonated at a frequency of 3,250 Hz. It was isolatedfrom vibration by seven 140 kg masses. The bandwidth of thedetector was expected to be ±230 Hz.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 83(126)
![Page 353: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/353.jpg)
Uproszczona teoria detektorów rezonansowych
Załóżmy, że fala grawitacyjna jest opisana funkcją h+(t) irozchodzi się w kierunku ZW walcu o osi w kierunku X, długości l i masie 2m falagrawitacyjna wzbudza drgania w kierunku XWalec modelujemy dwoma kulami o masach m połączonychsprężyną o stałej sprężystości k
x + 2βx +ω20x = −R0101l (1)
gdzie
ω0 =
√2km
, R0101 = −12
h+
Z punktu widzenia teorii przetwarzania sygnałów
h+(t) 7−→ x(t)sygnał graw. 7−→ przesunięcie
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 84(126)
![Page 354: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/354.jpg)
Uproszczona teoria detektorów rezonansowych
Załóżmy, że fala grawitacyjna jest opisana funkcją h+(t) irozchodzi się w kierunku Z
W walcu o osi w kierunku X, długości l i masie 2m falagrawitacyjna wzbudza drgania w kierunku XWalec modelujemy dwoma kulami o masach m połączonychsprężyną o stałej sprężystości k
x + 2βx +ω20x = −R0101l (1)
gdzie
ω0 =
√2km
, R0101 = −12
h+
Z punktu widzenia teorii przetwarzania sygnałów
h+(t) 7−→ x(t)sygnał graw. 7−→ przesunięcie
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 84(126)
![Page 355: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/355.jpg)
Uproszczona teoria detektorów rezonansowych
Załóżmy, że fala grawitacyjna jest opisana funkcją h+(t) irozchodzi się w kierunku ZW walcu o osi w kierunku X, długości l i masie 2m falagrawitacyjna wzbudza drgania w kierunku X
Walec modelujemy dwoma kulami o masach m połączonychsprężyną o stałej sprężystości k
x + 2βx +ω20x = −R0101l (1)
gdzie
ω0 =
√2km
, R0101 = −12
h+
Z punktu widzenia teorii przetwarzania sygnałów
h+(t) 7−→ x(t)sygnał graw. 7−→ przesunięcie
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 84(126)
![Page 356: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/356.jpg)
Uproszczona teoria detektorów rezonansowych
Załóżmy, że fala grawitacyjna jest opisana funkcją h+(t) irozchodzi się w kierunku ZW walcu o osi w kierunku X, długości l i masie 2m falagrawitacyjna wzbudza drgania w kierunku XWalec modelujemy dwoma kulami o masach m połączonychsprężyną o stałej sprężystości k
x + 2βx +ω20x = −R0101l (1)
gdzie
ω0 =
√2km
, R0101 = −12
h+
Z punktu widzenia teorii przetwarzania sygnałów
h+(t) 7−→ x(t)sygnał graw. 7−→ przesunięcie
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 84(126)
![Page 357: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/357.jpg)
Uproszczona teoria detektorów rezonansowych
Załóżmy, że fala grawitacyjna jest opisana funkcją h+(t) irozchodzi się w kierunku ZW walcu o osi w kierunku X, długości l i masie 2m falagrawitacyjna wzbudza drgania w kierunku XWalec modelujemy dwoma kulami o masach m połączonychsprężyną o stałej sprężystości k
x + 2βx +ω20x = −R0101l (1)
gdzie
ω0 =
√2km
, R0101 = −12
h+
Z punktu widzenia teorii przetwarzania sygnałów
h+(t) 7−→ x(t)sygnał graw. 7−→ przesunięcie
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 84(126)
![Page 358: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/358.jpg)
Uproszczona teoria detektorów rezonansowych
Na poziomie transformaty Fouriera
x(t) F7−→ X(ω) , h+(t)F7−→ H(ω)
X(ω) = G(ω)H(ω)
gdzie G(ω) jest gęstością spektralną, która opisuje własnościukładu L przetwarzającego sygnał L : h+(t) 7→ x(t)W omawianym przypadku
G(ω) =l2
ω2
(ω+ iβ)2 +β2 −ω20
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 85(126)
![Page 359: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/359.jpg)
Uproszczona teoria detektorów rezonansowych
Na poziomie transformaty Fouriera
x(t) F7−→ X(ω) , h+(t)F7−→ H(ω)
X(ω) = G(ω)H(ω)
gdzie G(ω) jest gęstością spektralną, która opisuje własnościukładu L przetwarzającego sygnał L : h+(t) 7→ x(t)W omawianym przypadku
G(ω) =l2
ω2
(ω+ iβ)2 +β2 −ω20
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 85(126)
![Page 360: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/360.jpg)
Uproszczona teoria detektorów rezonansowych
Na poziomie transformaty Fouriera
x(t) F7−→ X(ω) , h+(t)F7−→ H(ω)
X(ω) = G(ω)H(ω)
gdzie G(ω) jest gęstością spektralną, która opisuje własnościukładu L przetwarzającego sygnał L : h+(t) 7→ x(t)
W omawianym przypadku
G(ω) =l2
ω2
(ω+ iβ)2 +β2 −ω20
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 85(126)
![Page 361: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/361.jpg)
Uproszczona teoria detektorów rezonansowych
Na poziomie transformaty Fouriera
x(t) F7−→ X(ω) , h+(t)F7−→ H(ω)
X(ω) = G(ω)H(ω)
gdzie G(ω) jest gęstością spektralną, która opisuje własnościukładu L przetwarzającego sygnał L : h+(t) 7→ x(t)W omawianym przypadku
G(ω) =l2
ω2
(ω+ iβ)2 +β2 −ω20
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 85(126)
![Page 362: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/362.jpg)
Przesunięcie w rezonansie
Rozwiązanie szczególne (1) przy periodycznej fali grawitacyjnejh+(t) = h cosωt jest postaci
x(t) = xmax cos(ωt + δ)
gdzie
xmax =12
hlω2√
(ω−ω0)2 + 4ω2β2, tg δ =
2βωω2 −ω2
0
w rezonansie ω =ω0, (h = 10−20)
xrez =12
hlQ ∼ 1.5 · 10−15 m , Q =ω0
2β∼ 105
gdzie Q jest dobrocią oscylatora.
Energia kinetyczna w warunkach rezonansu
〈Ek〉rez ∼ 〈2mx2〉 = mω20x2
rez
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 86(126)
![Page 363: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/363.jpg)
Przesunięcie w rezonansie
Rozwiązanie szczególne (1) przy periodycznej fali grawitacyjnejh+(t) = h cosωt jest postaci
x(t) = xmax cos(ωt + δ)
gdzie
xmax =12
hlω2√
(ω−ω0)2 + 4ω2β2, tg δ =
2βωω2 −ω2
0
w rezonansie ω =ω0, (h = 10−20)
xrez =12
hlQ ∼ 1.5 · 10−15 m , Q =ω0
2β∼ 105
gdzie Q jest dobrocią oscylatora.
Energia kinetyczna w warunkach rezonansu
〈Ek〉rez ∼ 〈2mx2〉 = mω20x2
rez
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 86(126)
![Page 364: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/364.jpg)
Przesunięcie w rezonansie
Rozwiązanie szczególne (1) przy periodycznej fali grawitacyjnejh+(t) = h cosωt jest postaci
x(t) = xmax cos(ωt + δ)
gdzie
xmax =12
hlω2√
(ω−ω0)2 + 4ω2β2, tg δ =
2βωω2 −ω2
0
w rezonansie ω =ω0, (h = 10−20)
xrez =12
hlQ ∼ 1.5 · 10−15 m , Q =ω0
2β∼ 105
gdzie Q jest dobrocią oscylatora.
Energia kinetyczna w warunkach rezonansu
〈Ek〉rez ∼ 〈2mx2〉 = mω20x2
rez
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 86(126)
![Page 365: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/365.jpg)
Przesunięcie w rezonansie
Rozwiązanie szczególne (1) przy periodycznej fali grawitacyjnejh+(t) = h cosωt jest postaci
x(t) = xmax cos(ωt + δ)
gdzie
xmax =12
hlω2√
(ω−ω0)2 + 4ω2β2, tg δ =
2βωω2 −ω2
0
w rezonansie ω =ω0, (h = 10−20)
xrez =12
hlQ ∼ 1.5 · 10−15 m , Q =ω0
2β∼ 105
gdzie Q jest dobrocią oscylatora.
Energia kinetyczna w warunkach rezonansu
〈Ek〉rez ∼ 〈2mx2〉 = mω20x2
rez
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 86(126)
![Page 366: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/366.jpg)
Wzmocnienie odczytu przemieszczenia
Przetwornik mechaniczny drgań — dodatkowa, niewielka masam0 sprzężona z walcem. Amplituda drgań masy m0 jestwzmocniona
A0 '√
mm0
xrez ,mm0∼ 103 .
Wzmocnione drgania masy m0 są dalej przetwarzane na zmianypola elektromagnetycznego, które są odczytywane jako sygnałelektryczny.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 87(126)
![Page 367: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/367.jpg)
Wzmocnienie odczytu przemieszczenia
Przetwornik mechaniczny drgań — dodatkowa, niewielka masam0 sprzężona z walcem. Amplituda drgań masy m0 jestwzmocniona
A0 '√
mm0
xrez ,mm0∼ 103 .
Wzmocnione drgania masy m0 są dalej przetwarzane na zmianypola elektromagnetycznego, które są odczytywane jako sygnałelektryczny.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 87(126)
![Page 368: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/368.jpg)
Wzmocnienie odczytu przemieszczenia
Przetwornik mechaniczny drgań — dodatkowa, niewielka masam0 sprzężona z walcem. Amplituda drgań masy m0 jestwzmocniona
A0 '√
mm0
xrez ,mm0∼ 103 .
Wzmocnione drgania masy m0 są dalej przetwarzane na zmianypola elektromagnetycznego, które są odczytywane jako sygnałelektryczny.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 87(126)
![Page 369: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/369.jpg)
Szumy
Zanieczyszczenie sygnału wejściowego przez stochastycznyczynnik wprowadzany przez układ przetwarzający L o znanejgęstości spektralnej
n(t) 7−→ ξ(t)szum 7−→ dodatkowe przesunięcie
Na poziomie transformaty Fouriera
n(t) F7−→ N(ω) , ξ(t) F7−→ ξ(ω)
ξ(ω) = G(ω)N(ω)
Spektralna gęstość szumu Sn(ω) ([s] = [Hz−1])
A(t− t′) = 〈n(t)n(t′)〉 , A(τ)F7−→ 1
2Sn(ω)
gdzie A(τ) jest funkcją autokorelacji szumu.Wówczas
〈N(ω)N∗(ω′)〉 = π Sn(ω)δ(ω−ω′)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 88(126)
![Page 370: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/370.jpg)
Szumy
Zanieczyszczenie sygnału wejściowego przez stochastycznyczynnik wprowadzany przez układ przetwarzający L o znanejgęstości spektralnej
n(t) 7−→ ξ(t)szum 7−→ dodatkowe przesunięcie
Na poziomie transformaty Fouriera
n(t) F7−→ N(ω) , ξ(t) F7−→ ξ(ω)
ξ(ω) = G(ω)N(ω)
Spektralna gęstość szumu Sn(ω) ([s] = [Hz−1])
A(t− t′) = 〈n(t)n(t′)〉 , A(τ)F7−→ 1
2Sn(ω)
gdzie A(τ) jest funkcją autokorelacji szumu.Wówczas
〈N(ω)N∗(ω′)〉 = π Sn(ω)δ(ω−ω′)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 88(126)
![Page 371: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/371.jpg)
Szumy
Zanieczyszczenie sygnału wejściowego przez stochastycznyczynnik wprowadzany przez układ przetwarzający L o znanejgęstości spektralnej
n(t) 7−→ ξ(t)szum 7−→ dodatkowe przesunięcie
Na poziomie transformaty Fouriera
n(t) F7−→ N(ω) , ξ(t) F7−→ ξ(ω)
ξ(ω) = G(ω)N(ω)
Spektralna gęstość szumu Sn(ω) ([s] = [Hz−1])
A(t− t′) = 〈n(t)n(t′)〉 , A(τ)F7−→ 1
2Sn(ω)
gdzie A(τ) jest funkcją autokorelacji szumu.Wówczas
〈N(ω)N∗(ω′)〉 = π Sn(ω)δ(ω−ω′)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 88(126)
![Page 372: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/372.jpg)
Szumy
Zanieczyszczenie sygnału wejściowego przez stochastycznyczynnik wprowadzany przez układ przetwarzający L o znanejgęstości spektralnej
n(t) 7−→ ξ(t)szum 7−→ dodatkowe przesunięcie
Na poziomie transformaty Fouriera
n(t) F7−→ N(ω) , ξ(t) F7−→ ξ(ω)
ξ(ω) = G(ω)N(ω)
Spektralna gęstość szumu Sn(ω) ([s] = [Hz−1])
A(t− t′) = 〈n(t)n(t′)〉 , A(τ)F7−→ 1
2Sn(ω)
gdzie A(τ) jest funkcją autokorelacji szumu.
Wówczas〈N(ω)N∗(ω′)〉 = π Sn(ω)δ(ω−ω′)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 88(126)
![Page 373: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/373.jpg)
Szumy
Zanieczyszczenie sygnału wejściowego przez stochastycznyczynnik wprowadzany przez układ przetwarzający L o znanejgęstości spektralnej
n(t) 7−→ ξ(t)szum 7−→ dodatkowe przesunięcie
Na poziomie transformaty Fouriera
n(t) F7−→ N(ω) , ξ(t) F7−→ ξ(ω)
ξ(ω) = G(ω)N(ω)
Spektralna gęstość szumu Sn(ω) ([s] = [Hz−1])
A(t− t′) = 〈n(t)n(t′)〉 , A(τ)F7−→ 1
2Sn(ω)
gdzie A(τ) jest funkcją autokorelacji szumu.Wówczas
〈N(ω)N∗(ω′)〉 = π Sn(ω)δ(ω−ω′)Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 88(126)
![Page 374: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/374.jpg)
Gęstość spektralna szumu
Z drugiej strony
4π 〈(n(t))2〉 =∞∫−∞ Sn(ω)dω = 2
∞∫0
Re Sn(ω)dω
Z uwagi na ξ(ω) = G(ω)N(ω) oraz
〈N(ω)N∗(ω′)〉 = π Sn(ω)δ(ω−ω′)
mamy
〈ξ(ω)ξ∗(ω′)〉 = G(ω)G∗(ω′)〈N(ω)N∗(ω′)〉
w konsekwencjiSξ(ω) = |G(ω)|2Sn(ω)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 89(126)
![Page 375: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/375.jpg)
Gęstość spektralna szumu
Z drugiej strony
4π 〈(n(t))2〉 =∞∫−∞ Sn(ω)dω = 2
∞∫0
Re Sn(ω)dω
Z uwagi na ξ(ω) = G(ω)N(ω) oraz
〈N(ω)N∗(ω′)〉 = π Sn(ω)δ(ω−ω′)
mamy
〈ξ(ω)ξ∗(ω′)〉 = G(ω)G∗(ω′)〈N(ω)N∗(ω′)〉
w konsekwencjiSξ(ω) = |G(ω)|2Sn(ω)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 89(126)
![Page 376: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/376.jpg)
Gęstość spektralna szumu
Z drugiej strony
4π 〈(n(t))2〉 =∞∫−∞ Sn(ω)dω = 2
∞∫0
Re Sn(ω)dω
Z uwagi na ξ(ω) = G(ω)N(ω) oraz
〈N(ω)N∗(ω′)〉 = π Sn(ω)δ(ω−ω′)
mamy
〈ξ(ω)ξ∗(ω′)〉 = G(ω)G∗(ω′)〈N(ω)N∗(ω′)〉
w konsekwencjiSξ(ω) = |G(ω)|2Sn(ω)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 89(126)
![Page 377: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/377.jpg)
Gęstość spektralna szumu
Z drugiej strony
4π 〈(n(t))2〉 =∞∫−∞ Sn(ω)dω = 2
∞∫0
Re Sn(ω)dω
Z uwagi na ξ(ω) = G(ω)N(ω) oraz
〈N(ω)N∗(ω′)〉 = π Sn(ω)δ(ω−ω′)
mamy
〈ξ(ω)ξ∗(ω′)〉 = G(ω)G∗(ω′)〈N(ω)N∗(ω′)〉
w konsekwencjiSξ(ω) = |G(ω)|2Sn(ω)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 89(126)
![Page 378: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/378.jpg)
Gęstość spektralna szumu
Z drugiej strony
4π 〈(n(t))2〉 =∞∫−∞ Sn(ω)dω = 2
∞∫0
Re Sn(ω)dω
Z uwagi na ξ(ω) = G(ω)N(ω) oraz
〈N(ω)N∗(ω′)〉 = π Sn(ω)δ(ω−ω′)
mamy
〈ξ(ω)ξ∗(ω′)〉 = G(ω)G∗(ω′)〈N(ω)N∗(ω′)〉
w konsekwencjiSξ(ω) = |G(ω)|2Sn(ω)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 89(126)
![Page 379: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/379.jpg)
Szum termiczny
Stochastyczna siła F(t) działa na jedną z mas m
x + 2βx +ω20x =
F(t)m
F(t) ma funkcję korelacyjną szumu termicznego, jeśli
〈F(t)F(t′)〉 = mβkTδ(t− t′)
Gęstość spektralna szumu termicznego ma postać
SF(ω) = 2mβkT
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 90(126)
![Page 380: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/380.jpg)
Szum termiczny
Stochastyczna siła F(t) działa na jedną z mas m
x + 2βx +ω20x =
F(t)m
F(t) ma funkcję korelacyjną szumu termicznego, jeśli
〈F(t)F(t′)〉 = mβkTδ(t− t′)
Gęstość spektralna szumu termicznego ma postać
SF(ω) = 2mβkT
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 90(126)
![Page 381: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/381.jpg)
Szum termiczny
Stochastyczna siła F(t) działa na jedną z mas m
x + 2βx +ω20x =
F(t)m
F(t) ma funkcję korelacyjną szumu termicznego, jeśli
〈F(t)F(t′)〉 = mβkTδ(t− t′)
Gęstość spektralna szumu termicznego ma postać
SF(ω) = 2mβkT
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 90(126)
![Page 382: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/382.jpg)
Szum termiczny
Stochastyczna siła F(t) działa na jedną z mas m
x + 2βx +ω20x =
F(t)m
F(t) ma funkcję korelacyjną szumu termicznego, jeśli
〈F(t)F(t′)〉 = mβkTδ(t− t′)
Gęstość spektralna szumu termicznego ma postać
SF(ω) = 2mβkT
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 90(126)
![Page 383: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/383.jpg)
Szum termiczny
Szum siły objawia się jako szum w dodatkowym przesunięciu ξ(t)jako
Sξ(ω) = |Z(ω)|2SF , Z(ω) =x(ω)
F(ω)
gdzie
|Z(ω)|2 =1
m21
(ω2 −ω0)2 + 4β2ω2
Ponieważ Sξ(ω) = |G(ω)|2Sn(ω), to
Sn(ω) =8βkT
ml2ω4
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 91(126)
![Page 384: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/384.jpg)
Szum termiczny
Szum siły objawia się jako szum w dodatkowym przesunięciu ξ(t)jako
Sξ(ω) = |Z(ω)|2SF , Z(ω) =x(ω)
F(ω)
gdzie
|Z(ω)|2 =1
m21
(ω2 −ω0)2 + 4β2ω2
Ponieważ Sξ(ω) = |G(ω)|2Sn(ω), to
Sn(ω) =8βkT
ml2ω4
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 91(126)
![Page 385: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/385.jpg)
Detektory rezonasowe. Podsumowanie
Inne źródła szumówszum związany ze sprzężeniem małej masyszum przetwornika sczytującego niewielkie drgania izmieniającego go na prądszumy innych układów elektronicznych
Spektralna gęstość szumu jest na poziomie
S1/2n = 10−21 Hz−1/2
i nie przekraczaS1/2
n < 4 · 10−21 Hz−1/2
w przedziale ±100 Hz wokół rezonansu f0 = 930 Hz
czułość ta pozwala wykryć błyski promieniowania grawitacyjnegoo energii 10−2 Mc2 odpowiadające h ∼ 2 · 10−21 (NS–NSmerging) na częstotliwości 1 kHz i czasie trwania 1 ms z naszejGalaktyki
czułość ta pozwala zaobserwować periodyczny sygnał zobracającej się NS z ok. 3 kpc
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 92(126)
![Page 386: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/386.jpg)
Detektory rezonasowe. Podsumowanie
Inne źródła szumów
szum związany ze sprzężeniem małej masyszum przetwornika sczytującego niewielkie drgania izmieniającego go na prądszumy innych układów elektronicznych
Spektralna gęstość szumu jest na poziomie
S1/2n = 10−21 Hz−1/2
i nie przekraczaS1/2
n < 4 · 10−21 Hz−1/2
w przedziale ±100 Hz wokół rezonansu f0 = 930 Hz
czułość ta pozwala wykryć błyski promieniowania grawitacyjnegoo energii 10−2 Mc2 odpowiadające h ∼ 2 · 10−21 (NS–NSmerging) na częstotliwości 1 kHz i czasie trwania 1 ms z naszejGalaktyki
czułość ta pozwala zaobserwować periodyczny sygnał zobracającej się NS z ok. 3 kpc
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 92(126)
![Page 387: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/387.jpg)
Detektory rezonasowe. Podsumowanie
Inne źródła szumówszum związany ze sprzężeniem małej masyszum przetwornika sczytującego niewielkie drgania izmieniającego go na prądszumy innych układów elektronicznych
Spektralna gęstość szumu jest na poziomie
S1/2n = 10−21 Hz−1/2
i nie przekraczaS1/2
n < 4 · 10−21 Hz−1/2
w przedziale ±100 Hz wokół rezonansu f0 = 930 Hz
czułość ta pozwala wykryć błyski promieniowania grawitacyjnegoo energii 10−2 Mc2 odpowiadające h ∼ 2 · 10−21 (NS–NSmerging) na częstotliwości 1 kHz i czasie trwania 1 ms z naszejGalaktyki
czułość ta pozwala zaobserwować periodyczny sygnał zobracającej się NS z ok. 3 kpc
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 92(126)
![Page 388: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/388.jpg)
Detektory rezonasowe. Podsumowanie
Inne źródła szumówszum związany ze sprzężeniem małej masyszum przetwornika sczytującego niewielkie drgania izmieniającego go na prądszumy innych układów elektronicznych
Spektralna gęstość szumu jest na poziomie
S1/2n = 10−21 Hz−1/2
i nie przekraczaS1/2
n < 4 · 10−21 Hz−1/2
w przedziale ±100 Hz wokół rezonansu f0 = 930 Hz
czułość ta pozwala wykryć błyski promieniowania grawitacyjnegoo energii 10−2 Mc2 odpowiadające h ∼ 2 · 10−21 (NS–NSmerging) na częstotliwości 1 kHz i czasie trwania 1 ms z naszejGalaktyki
czułość ta pozwala zaobserwować periodyczny sygnał zobracającej się NS z ok. 3 kpc
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 92(126)
![Page 389: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/389.jpg)
Detektory rezonasowe. Podsumowanie
Inne źródła szumówszum związany ze sprzężeniem małej masyszum przetwornika sczytującego niewielkie drgania izmieniającego go na prądszumy innych układów elektronicznych
Spektralna gęstość szumu jest na poziomie
S1/2n = 10−21 Hz−1/2
i nie przekraczaS1/2
n < 4 · 10−21 Hz−1/2
w przedziale ±100 Hz wokół rezonansu f0 = 930 Hz
czułość ta pozwala wykryć błyski promieniowania grawitacyjnegoo energii 10−2 Mc2 odpowiadające h ∼ 2 · 10−21 (NS–NSmerging) na częstotliwości 1 kHz i czasie trwania 1 ms z naszejGalaktyki
czułość ta pozwala zaobserwować periodyczny sygnał zobracającej się NS z ok. 3 kpc
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 92(126)
![Page 390: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/390.jpg)
Detektory rezonasowe. Podsumowanie
Inne źródła szumówszum związany ze sprzężeniem małej masyszum przetwornika sczytującego niewielkie drgania izmieniającego go na prądszumy innych układów elektronicznych
Spektralna gęstość szumu jest na poziomie
S1/2n = 10−21 Hz−1/2
i nie przekraczaS1/2
n < 4 · 10−21 Hz−1/2
w przedziale ±100 Hz wokół rezonansu f0 = 930 Hz
czułość ta pozwala wykryć błyski promieniowania grawitacyjnegoo energii 10−2 Mc2 odpowiadające h ∼ 2 · 10−21 (NS–NSmerging) na częstotliwości 1 kHz i czasie trwania 1 ms z naszejGalaktyki
czułość ta pozwala zaobserwować periodyczny sygnał zobracającej się NS z ok. 3 kpc
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 92(126)
![Page 391: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/391.jpg)
Detektory rezonasowe. Podsumowanie
obecnie nie da się zaobserwować ostatnich etapów ewolucjiBH–BH z uwagi na częstotliwość obcięcia w okolicach 200-500 Hzw zależności od masy gwiazdowych BH, co jest poza zakresemczułości detektorów rezonansowych
spektralna gęstość szumu dla detektora kulistego miniGrail jestna poziomie
S1/2n ∼ 10−20 Hz−1/2
ale planowana ma być na poziomie 10−22–10−23 Hz−1/2.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 93(126)
![Page 392: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/392.jpg)
Detektory rezonasowe. Podsumowanie
obecnie nie da się zaobserwować ostatnich etapów ewolucjiBH–BH z uwagi na częstotliwość obcięcia w okolicach 200-500 Hzw zależności od masy gwiazdowych BH, co jest poza zakresemczułości detektorów rezonansowych
spektralna gęstość szumu dla detektora kulistego miniGrail jestna poziomie
S1/2n ∼ 10−20 Hz−1/2
ale planowana ma być na poziomie 10−22–10−23 Hz−1/2.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 93(126)
![Page 393: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/393.jpg)
Detektory rezonasowe. Podsumowanie
obecnie nie da się zaobserwować ostatnich etapów ewolucjiBH–BH z uwagi na częstotliwość obcięcia w okolicach 200-500 Hzw zależności od masy gwiazdowych BH, co jest poza zakresemczułości detektorów rezonansowych
spektralna gęstość szumu dla detektora kulistego miniGrail jestna poziomie
S1/2n ∼ 10−20 Hz−1/2
ale planowana ma być na poziomie 10−22–10−23 Hz−1/2.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 93(126)
![Page 394: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/394.jpg)
Detektory interferometryczne
nazwa lokalizacja budowaLIGO Hanford &
Livingston,USA
Interferometr Michelsona (4 km + 2 km) zwnękami Fabry-Perota i recyklingiem energii
Virgo Piza, Wło-chy
Interferometr Michelsona (3 km + 3 km) zwnękami Fabry-Perota i recyklingiem energii
GEO600
Hannover,Niemcy
Interferometr Michelsona (600 m + 600 m) zpodwójnym recyklingiem energii
TAMA300
Tokyo, Japo-nia
do 2008 roku Interferometr Michelsona (600m + 600 m) z podwójnym recyklingiem ener-gii
CLIO Kamioka,Japonia
Interferometr Michelsona (100 m + 100 m) zchłodzonymi lustrami, podziemny
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 94(126)
![Page 395: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/395.jpg)
Detektory interferometryczne
nazwa lokalizacja budowaLIGO Hanford &
Livingston,USA
Interferometr Michelsona (4 km + 2 km) zwnękami Fabry-Perota i recyklingiem energii
Virgo Piza, Wło-chy
Interferometr Michelsona (3 km + 3 km) zwnękami Fabry-Perota i recyklingiem energii
GEO600
Hannover,Niemcy
Interferometr Michelsona (600 m + 600 m) zpodwójnym recyklingiem energii
TAMA300
Tokyo, Japo-nia
do 2008 roku Interferometr Michelsona (600m + 600 m) z podwójnym recyklingiem ener-gii
CLIO Kamioka,Japonia
Interferometr Michelsona (100 m + 100 m) zchłodzonymi lustrami, podziemny
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 94(126)
![Page 396: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/396.jpg)
Detektory interferometryczne II i III generacji
nazwa lokalizacja budowaaLIGO Hanford & Li-
vingston, USAoba ramiona 4 km i podwójny recyklingenergii
advanceVirgo
Piza, Włochy podwójny recykling energii
KAGRA Kamioka, Ja-ponia
Interferometr Michelsona (3 km + 3km) z chłodzonymi lustrami, podziem-ny
LISA,TianQin,DECIGO
kosmiczne planowane na lata 20-te i 30-te
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 95(126)
![Page 397: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/397.jpg)
Detektory interferometryczne II i III generacji
nazwa lokalizacja budowaaLIGO Hanford & Li-
vingston, USAoba ramiona 4 km i podwójny recyklingenergii
advanceVirgo
Piza, Włochy podwójny recykling energii
KAGRA Kamioka, Ja-ponia
Interferometr Michelsona (3 km + 3km) z chłodzonymi lustrami, podziem-ny
LISA,TianQin,DECIGO
kosmiczne planowane na lata 20-te i 30-te
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 95(126)
![Page 398: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/398.jpg)
LIGO
https://www.ligo.caltech.edu/page/about
(Hanford, Washington)
(Livingstone, Lousiana)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 96(126)
![Page 399: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/399.jpg)
Interferometr Michelsona
Esym =E0
2[r2e−2ikl2 + r1e−2ikl1 ]eiωt ,
Eniesym =E0
2[r2e−2ikl2 − r1e−2ikl1 ]eiωt
Dobieramy l1 oraz l2 tak, aby w kierunku fotodiody nie biegłyfotony (interferencja destruktywna)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 97(126)
![Page 400: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/400.jpg)
Interferometr Michelsona
Esym =E0
2[r2e−2ikl2 + r1e−2ikl1 ]eiωt ,
Eniesym =E0
2[r2e−2ikl2 − r1e−2ikl1 ]eiωt
Dobieramy l1 oraz l2 tak, aby w kierunku fotodiody nie biegłyfotony (interferencja destruktywna)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 97(126)
![Page 401: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/401.jpg)
Interferometr Michelsona
Esym =E0
2[r2e−2ikl2 + r1e−2ikl1 ]eiωt ,
Eniesym =E0
2[r2e−2ikl2 − r1e−2ikl1 ]eiωt
Dobieramy l1 oraz l2 tak, aby w kierunku fotodiody nie biegłyfotony (interferencja destruktywna)Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 97(126)
![Page 402: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/402.jpg)
Interferometr Michelsona
Fale i błyski grawitacyjne powodują względne zaburzeniaczasoprzestrzeni na poziomie
h . 10−21
Deformacje względne, które można wykryć interferometrycznie
h ∼ ∆ll
zmiana długości ramion ∆l = ∆l1 − ∆l2 ∼ λlaser ∼ 1µm
h ∼ ∆ll∼ λlaser
l∼ 10−6 m
103 m∼ 10−9
Możemy zmniejszać ∆l lub zwiększać l
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 98(126)
![Page 403: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/403.jpg)
Interferometr Michelsona
Fale i błyski grawitacyjne powodują względne zaburzeniaczasoprzestrzeni na poziomie
h . 10−21
Deformacje względne, które można wykryć interferometrycznie
h ∼ ∆ll
zmiana długości ramion ∆l = ∆l1 − ∆l2 ∼ λlaser ∼ 1µm
h ∼ ∆ll∼ λlaser
l∼ 10−6 m
103 m∼ 10−9
Możemy zmniejszać ∆l lub zwiększać l
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 98(126)
![Page 404: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/404.jpg)
Interferometr Michelsona
Fale i błyski grawitacyjne powodują względne zaburzeniaczasoprzestrzeni na poziomie
h . 10−21
Deformacje względne, które można wykryć interferometrycznie
h ∼ ∆ll
zmiana długości ramion ∆l = ∆l1 − ∆l2 ∼ λlaser ∼ 1µm
h ∼ ∆ll∼ λlaser
l∼ 10−6 m
103 m∼ 10−9
Możemy zmniejszać ∆l lub zwiększać l
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 98(126)
![Page 405: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/405.jpg)
Interferometr Michelsona
Fale i błyski grawitacyjne powodują względne zaburzeniaczasoprzestrzeni na poziomie
h . 10−21
Deformacje względne, które można wykryć interferometrycznie
h ∼ ∆ll
zmiana długości ramion ∆l = ∆l1 − ∆l2 ∼ λlaser ∼ 1µm
h ∼ ∆ll∼ λlaser
l∼ 10−6 m
103 m∼ 10−9
Możemy zmniejszać ∆l lub zwiększać l
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 98(126)
![Page 406: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/406.jpg)
Interferometr Michelsona z wnęką Fabry-Perota
efektywna droga promieniowania l ∼ λGW ∼ c/ fGW ∼ 1000 km
h ∼ ∆ll∼ λlaserλGW
∼ 10−6 m106 m
∼ 10−12
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 99(126)
![Page 407: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/407.jpg)
Interferometr Michelsona z wnęką Fabry-Perota
efektywna droga promieniowania l ∼ λGW ∼ c/ fGW ∼ 1000 km
h ∼ ∆ll∼ λlaserλGW
∼ 10−6 m106 m
∼ 10−12
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 99(126)
![Page 408: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/408.jpg)
Szum liczby fotonów
Jaką zmianę światła może zarejestrować fotodioda?
Niech τ będzie czasem zbierania światła, N liczbą fotonów, szum(dyspersja) w liczbie fotonów ∼
√N (statystyka Poissona)
możliwa do wykrycia ilość światła odpowiada
∆l ∼ 1√Nλlaser
czas integracji fotonów τ ∼ 1/ fGW
Liczba fotonów
N =Plaserτ
Efoton=
Plaserhc/λlaser
1fGW
Przykład: dla Plaser = 1 W, λlaser = 1µm, fGW = 300 Hz,dostajemy N ∼ 1016
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 100(126)
![Page 409: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/409.jpg)
Szum liczby fotonów
Jaką zmianę światła może zarejestrować fotodioda?
Niech τ będzie czasem zbierania światła, N liczbą fotonów, szum(dyspersja) w liczbie fotonów ∼
√N (statystyka Poissona)
możliwa do wykrycia ilość światła odpowiada
∆l ∼ 1√Nλlaser
czas integracji fotonów τ ∼ 1/ fGW
Liczba fotonów
N =Plaserτ
Efoton=
Plaserhc/λlaser
1fGW
Przykład: dla Plaser = 1 W, λlaser = 1µm, fGW = 300 Hz,dostajemy N ∼ 1016
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 100(126)
![Page 410: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/410.jpg)
Szum liczby fotonów
Jaką zmianę światła może zarejestrować fotodioda?
Niech τ będzie czasem zbierania światła, N liczbą fotonów, szum(dyspersja) w liczbie fotonów ∼
√N (statystyka Poissona)
możliwa do wykrycia ilość światła odpowiada
∆l ∼ 1√Nλlaser
czas integracji fotonów τ ∼ 1/ fGW
Liczba fotonów
N =Plaserτ
Efoton=
Plaserhc/λlaser
1fGW
Przykład: dla Plaser = 1 W, λlaser = 1µm, fGW = 300 Hz,dostajemy N ∼ 1016
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 100(126)
![Page 411: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/411.jpg)
Szum liczby fotonów
Jaką zmianę światła może zarejestrować fotodioda?
Niech τ będzie czasem zbierania światła, N liczbą fotonów, szum(dyspersja) w liczbie fotonów ∼
√N (statystyka Poissona)
możliwa do wykrycia ilość światła odpowiada
∆l ∼ 1√Nλlaser
czas integracji fotonów τ ∼ 1/ fGW
Liczba fotonów
N =Plaserτ
Efoton=
Plaserhc/λlaser
1fGW
Przykład: dla Plaser = 1 W, λlaser = 1µm, fGW = 300 Hz,dostajemy N ∼ 1016
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 100(126)
![Page 412: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/412.jpg)
Szum liczby fotonów
Jaką zmianę światła może zarejestrować fotodioda?
Niech τ będzie czasem zbierania światła, N liczbą fotonów, szum(dyspersja) w liczbie fotonów ∼
√N (statystyka Poissona)
możliwa do wykrycia ilość światła odpowiada
∆l ∼ 1√Nλlaser
czas integracji fotonów τ ∼ 1/ fGW
Liczba fotonów
N =Plaserτ
Efoton=
Plaserhc/λlaser
1fGW
Przykład: dla Plaser = 1 W, λlaser = 1µm, fGW = 300 Hz,dostajemy N ∼ 1016
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 100(126)
![Page 413: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/413.jpg)
Szum liczby fotonów
Jaką zmianę światła może zarejestrować fotodioda?
Niech τ będzie czasem zbierania światła, N liczbą fotonów, szum(dyspersja) w liczbie fotonów ∼
√N (statystyka Poissona)
możliwa do wykrycia ilość światła odpowiada
∆l ∼ 1√Nλlaser
czas integracji fotonów τ ∼ 1/ fGW
Liczba fotonów
N =Plaserτ
Efoton=
Plaserhc/λlaser
1fGW
Przykład: dla Plaser = 1 W, λlaser = 1µm, fGW = 300 Hz,dostajemy N ∼ 1016
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 100(126)
![Page 414: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/414.jpg)
Szum liczby fotonów
Jaką zmianę światła może zarejestrować fotodioda?
Niech τ będzie czasem zbierania światła, N liczbą fotonów, szum(dyspersja) w liczbie fotonów ∼
√N (statystyka Poissona)
możliwa do wykrycia ilość światła odpowiada
∆l ∼ 1√Nλlaser
czas integracji fotonów τ ∼ 1/ fGW
Liczba fotonów
N =Plaserτ
Efoton=
Plaserhc/λlaser
1fGW
Przykład: dla Plaser = 1 W, λlaser = 1µm, fGW = 300 Hz,dostajemy N ∼ 1016
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 100(126)
![Page 415: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/415.jpg)
Szum liczby fotonów
Dla danych z Przykładu
h ∼ ∆ll∼ 1√
NλlaserλGW
∼ 10−8 · 10−12 = 10−20
Zwiększanie mocy promieniowanialaser większej mocy dla sygnału wejściowegoukład odzyskiwania energii(planowany) układ odzyskiwania sygnału
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 101(126)
![Page 416: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/416.jpg)
Szum liczby fotonów
Dla danych z Przykładu
h ∼ ∆ll∼ 1√
NλlaserλGW
∼ 10−8 · 10−12 = 10−20
Zwiększanie mocy promieniowanialaser większej mocy dla sygnału wejściowegoukład odzyskiwania energii(planowany) układ odzyskiwania sygnału
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 101(126)
![Page 417: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/417.jpg)
Szum liczby fotonów
Dla danych z Przykładu
h ∼ ∆ll∼ 1√
NλlaserλGW
∼ 10−8 · 10−12 = 10−20
Zwiększanie mocy promieniowanialaser większej mocy dla sygnału wejściowego
układ odzyskiwania energii(planowany) układ odzyskiwania sygnału
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 101(126)
![Page 418: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/418.jpg)
Szum liczby fotonów
Dla danych z Przykładu
h ∼ ∆ll∼ 1√
NλlaserλGW
∼ 10−8 · 10−12 = 10−20
Zwiększanie mocy promieniowanialaser większej mocy dla sygnału wejściowegoukład odzyskiwania energii
(planowany) układ odzyskiwania sygnału
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 101(126)
![Page 419: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/419.jpg)
Szum liczby fotonów
Dla danych z Przykładu
h ∼ ∆ll∼ 1√
NλlaserλGW
∼ 10−8 · 10−12 = 10−20
Zwiększanie mocy promieniowanialaser większej mocy dla sygnału wejściowegoukład odzyskiwania energii(planowany) układ odzyskiwania sygnału
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 101(126)
![Page 420: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/420.jpg)
Interferometr z układem odzyskiwania energii
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 102(126)
![Page 421: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/421.jpg)
Interferometr z układem odzyskiwania energii
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 102(126)
![Page 422: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/422.jpg)
Opis interferometru i jego oddziaływania z falągrawitacyjną
Klasyczna optyka wykorzystująca współczynniki odbicia luster,współczynniki transmisji i odbicia dla wnęk (w szczególnościrelacje Stokesa), BS (beam splitter)
Opis w układzie laboratoryjnym: czasoprzestrzeń jest płaska, awskutek przejścia fali grawitacyjnej zmieniają się współrzędneelementów optycznych i odległości, jakie światło ma do przebycia
Opis w zmiennych cechowania TT: układ, w którym pozycje(współrzędne) elementów optycznych nie zmieniają się, a falaświetlna odczuwa zmiany pola grawitacyjnego na skutekzaburzenia metryki
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 103(126)
![Page 423: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/423.jpg)
Opis interferometru i jego oddziaływania z falągrawitacyjną
Klasyczna optyka wykorzystująca współczynniki odbicia luster,współczynniki transmisji i odbicia dla wnęk (w szczególnościrelacje Stokesa), BS (beam splitter)
Opis w układzie laboratoryjnym: czasoprzestrzeń jest płaska, awskutek przejścia fali grawitacyjnej zmieniają się współrzędneelementów optycznych i odległości, jakie światło ma do przebycia
Opis w zmiennych cechowania TT: układ, w którym pozycje(współrzędne) elementów optycznych nie zmieniają się, a falaświetlna odczuwa zmiany pola grawitacyjnego na skutekzaburzenia metryki
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 103(126)
![Page 424: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/424.jpg)
Opis interferometru i jego oddziaływania z falągrawitacyjną
Klasyczna optyka wykorzystująca współczynniki odbicia luster,współczynniki transmisji i odbicia dla wnęk (w szczególnościrelacje Stokesa), BS (beam splitter)
Opis w układzie laboratoryjnym: czasoprzestrzeń jest płaska, awskutek przejścia fali grawitacyjnej zmieniają się współrzędneelementów optycznych i odległości, jakie światło ma do przebycia
Opis w zmiennych cechowania TT: układ, w którym pozycje(współrzędne) elementów optycznych nie zmieniają się, a falaświetlna odczuwa zmiany pola grawitacyjnego na skutekzaburzenia metryki
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 103(126)
![Page 425: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/425.jpg)
Opis interferometru i jego oddziaływania z falągrawitacyjną
Klasyczna optyka wykorzystująca współczynniki odbicia luster,współczynniki transmisji i odbicia dla wnęk (w szczególnościrelacje Stokesa), BS (beam splitter)
Opis w układzie laboratoryjnym: czasoprzestrzeń jest płaska, awskutek przejścia fali grawitacyjnej zmieniają się współrzędneelementów optycznych i odległości, jakie światło ma do przebycia
Opis w zmiennych cechowania TT: układ, w którym pozycje(współrzędne) elementów optycznych nie zmieniają się, a falaświetlna odczuwa zmiany pola grawitacyjnego na skutekzaburzenia metryki
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 103(126)
![Page 426: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/426.jpg)
Oddziaływanie fali grawitacyjnej na układ pomiarowy
Dla fali o polaryzacji h+(t) rozchodzącej się w kierunku osi ZOTW wynika metryka w zmiennych cechowania TT postaci
dl2 = c2dt2 − (1 + h+(t))dx2 − (1− h+(t))dy2 − dz2
zatem odległości w kierunkach X i Y są wyznaczone przez
dx = ±(
1− 12
h+(t))
cdt , dy = ±(
1 +12
h+(t))
cdt
światło biegnące w kierunku X od BS (w chwili t0) do lustra
l1 = c(t1 − t0)−c2
∫ t1
t0
h+(t)dt
światło biegnące w kierunku X od lustra (w chwili t1) do BS
l1 = c(t′1 − t1)−c2
∫ t′1
t1
h+(t)dt
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 104(126)
![Page 427: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/427.jpg)
Oddziaływanie fali grawitacyjnej na układ pomiarowy
Dla fali o polaryzacji h+(t) rozchodzącej się w kierunku osi ZOTW wynika metryka w zmiennych cechowania TT postaci
dl2 = c2dt2 − (1 + h+(t))dx2 − (1− h+(t))dy2 − dz2
zatem odległości w kierunkach X i Y są wyznaczone przez
dx = ±(
1− 12
h+(t))
cdt , dy = ±(
1 +12
h+(t))
cdt
światło biegnące w kierunku X od BS (w chwili t0) do lustra
l1 = c(t1 − t0)−c2
∫ t1
t0
h+(t)dt
światło biegnące w kierunku X od lustra (w chwili t1) do BS
l1 = c(t′1 − t1)−c2
∫ t′1
t1
h+(t)dt
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 104(126)
![Page 428: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/428.jpg)
Oddziaływanie fali grawitacyjnej na układ pomiarowy
Dla fali o polaryzacji h+(t) rozchodzącej się w kierunku osi ZOTW wynika metryka w zmiennych cechowania TT postaci
dl2 = c2dt2 − (1 + h+(t))dx2 − (1− h+(t))dy2 − dz2
zatem odległości w kierunkach X i Y są wyznaczone przez
dx = ±(
1− 12
h+(t))
cdt , dy = ±(
1 +12
h+(t))
cdt
światło biegnące w kierunku X od BS (w chwili t0) do lustra
l1 = c(t1 − t0)−c2
∫ t1
t0
h+(t)dt
światło biegnące w kierunku X od lustra (w chwili t1) do BS
l1 = c(t′1 − t1)−c2
∫ t′1
t1
h+(t)dt
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 104(126)
![Page 429: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/429.jpg)
Oddziaływanie fali grawitacyjnej na układ pomiarowy
Dla fali o polaryzacji h+(t) rozchodzącej się w kierunku osi ZOTW wynika metryka w zmiennych cechowania TT postaci
dl2 = c2dt2 − (1 + h+(t))dx2 − (1− h+(t))dy2 − dz2
zatem odległości w kierunkach X i Y są wyznaczone przez
dx = ±(
1− 12
h+(t))
cdt , dy = ±(
1 +12
h+(t))
cdt
światło biegnące w kierunku X od BS (w chwili t0) do lustra
l1 = c(t1 − t0)−c2
∫ t1
t0
h+(t)dt
światło biegnące w kierunku X od lustra (w chwili t1) do BS
l1 = c(t′1 − t1)−c2
∫ t′1
t1
h+(t)dt
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 104(126)
![Page 430: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/430.jpg)
Oddziaływanie fali grawitacyjnej na układ pomiarowy
Dla fali o polaryzacji h+(t) rozchodzącej się w kierunku osi ZOTW wynika metryka w zmiennych cechowania TT postaci
dl2 = c2dt2 − (1 + h+(t))dx2 − (1− h+(t))dy2 − dz2
zatem odległości w kierunkach X i Y są wyznaczone przez
dx = ±(
1− 12
h+(t))
cdt , dy = ±(
1 +12
h+(t))
cdt
światło biegnące w kierunku X od BS (w chwili t0) do lustra
l1 = c(t1 − t0)−c2
∫ t1
t0
h+(t)dt
światło biegnące w kierunku X od lustra (w chwili t1) do BS
l1 = c(t′1 − t1)−c2
∫ t′1
t1
h+(t)dt
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 104(126)
![Page 431: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/431.jpg)
Oddziaływanie fali grawitacyjnej na układ pomiarowy
Ostatecznie dodając powyższe równania
t′1 − t0 =2l1c
+12
t′1∫t0
h+(t)dt
Niech h+(t) = h0 cos(ωgwt)
t′1 − t0 =2l1c
+h0
2ωgw[sin(ωgwt′1)− sin(ωgwt0)]
z uwagi na przybliżoną relację t′1 = t0 + 2l1/c + o(h0), mamy
t′1 − t0 =2l1c
+l1h0
csinc(ωgwl1/c) cos(ωgw(t0 + l1/c))
Podobnie dla światła biegnącego w kierunku Y
t′2 − t0 =2l2c
+l2h0
csinc(ωgwl2/c) cos(ωgw(t0 + l2/c))
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 105(126)
![Page 432: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/432.jpg)
Oddziaływanie fali grawitacyjnej na układ pomiarowy
Ostatecznie dodając powyższe równania
t′1 − t0 =2l1c
+12
t′1∫t0
h+(t)dt
Niech h+(t) = h0 cos(ωgwt)
t′1 − t0 =2l1c
+h0
2ωgw[sin(ωgwt′1)− sin(ωgwt0)]
z uwagi na przybliżoną relację t′1 = t0 + 2l1/c + o(h0), mamy
t′1 − t0 =2l1c
+l1h0
csinc(ωgwl1/c) cos(ωgw(t0 + l1/c))
Podobnie dla światła biegnącego w kierunku Y
t′2 − t0 =2l2c
+l2h0
csinc(ωgwl2/c) cos(ωgw(t0 + l2/c))
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 105(126)
![Page 433: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/433.jpg)
Oddziaływanie fali grawitacyjnej na układ pomiarowy
Ostatecznie dodając powyższe równania
t′1 − t0 =2l1c
+12
t′1∫t0
h+(t)dt
Niech h+(t) = h0 cos(ωgwt)
t′1 − t0 =2l1c
+h0
2ωgw[sin(ωgwt′1)− sin(ωgwt0)]
z uwagi na przybliżoną relację t′1 = t0 + 2l1/c + o(h0), mamy
t′1 − t0 =2l1c
+l1h0
csinc(ωgwl1/c) cos(ωgw(t0 + l1/c))
Podobnie dla światła biegnącego w kierunku Y
t′2 − t0 =2l2c
+l2h0
csinc(ωgwl2/c) cos(ωgw(t0 + l2/c))
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 105(126)
![Page 434: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/434.jpg)
Oddziaływanie fali grawitacyjnej na układ pomiarowy
Ostatecznie dodając powyższe równania
t′1 − t0 =2l1c
+12
t′1∫t0
h+(t)dt
Niech h+(t) = h0 cos(ωgwt)
t′1 − t0 =2l1c
+h0
2ωgw[sin(ωgwt′1)− sin(ωgwt0)]
z uwagi na przybliżoną relację t′1 = t0 + 2l1/c + o(h0), mamy
t′1 − t0 =2l1c
+l1h0
csinc(ωgwl1/c) cos(ωgw(t0 + l1/c))
Podobnie dla światła biegnącego w kierunku Y
t′2 − t0 =2l2c
+l2h0
csinc(ωgwl2/c) cos(ωgw(t0 + l2/c))
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 105(126)
![Page 435: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/435.jpg)
Oddziaływanie fali grawitacyjnej na układ pomiarowy
Ostatecznie dodając powyższe równania
t′1 − t0 =2l1c
+12
t′1∫t0
h+(t)dt
Niech h+(t) = h0 cos(ωgwt)
t′1 − t0 =2l1c
+h0
2ωgw[sin(ωgwt′1)− sin(ωgwt0)]
z uwagi na przybliżoną relację t′1 = t0 + 2l1/c + o(h0), mamy
t′1 − t0 =2l1c
+l1h0
csinc(ωgwl1/c) cos(ωgw(t0 + l1/c))
Podobnie dla światła biegnącego w kierunku Y
t′2 − t0 =2l2c
+l2h0
csinc(ωgwl2/c) cos(ωgw(t0 + l2/c))
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 105(126)
![Page 436: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/436.jpg)
Przesunięcie fazy w wyniku przejścia fali
Ostatecznie, na BS interferują fale, które opuściły go w chwilachtx0 oraz ty
0
tx0 = t− 2l1
c− l1
ch+(t− l1/c)sinc(ωgwl1/c)
ty0 = t− 2l2
c+
l2c
h+(t− l2/c)sinc(ωgwl2/c)
Fale na BS biegnące w kierunku fotodiody (fazy ulegają zmianietylko przy odbiciach/transmisji przez elementy optyczne)
Ex(t) = −12
E0e−iωtx0 = −1
2E0e−iω(t−2l1/c)+i∆φx
Ey(t) =12
E0e−iωty0 =
12
E0e−iω(t−2l2/c)+i∆φy
gdzie
∆φx =h0ωl1
csinc(ωgwl1/c) cos(ωgw(t− l1/c))
∆φy = −h0ωl2c
sinc(ωgwl2/c) cos(ωgw(t− l2/c))
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 106(126)
![Page 437: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/437.jpg)
Przesunięcie fazy w wyniku przejścia fali
Ostatecznie, na BS interferują fale, które opuściły go w chwilachtx0 oraz ty
0
tx0 = t− 2l1
c− l1
ch+(t− l1/c)sinc(ωgwl1/c)
ty0 = t− 2l2
c+
l2c
h+(t− l2/c)sinc(ωgwl2/c)
Fale na BS biegnące w kierunku fotodiody (fazy ulegają zmianietylko przy odbiciach/transmisji przez elementy optyczne)
Ex(t) = −12
E0e−iωtx0 = −1
2E0e−iω(t−2l1/c)+i∆φx
Ey(t) =12
E0e−iωty0 =
12
E0e−iω(t−2l2/c)+i∆φy
gdzie
∆φx =h0ωl1
csinc(ωgwl1/c) cos(ωgw(t− l1/c))
∆φy = −h0ωl2c
sinc(ωgwl2/c) cos(ωgw(t− l2/c))
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 106(126)
![Page 438: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/438.jpg)
Przesunięcie fazy w wyniku przejścia fali
Ostatecznie, na BS interferują fale, które opuściły go w chwilachtx0 oraz ty
0
tx0 = t− 2l1
c− l1
ch+(t− l1/c)sinc(ωgwl1/c)
ty0 = t− 2l2
c+
l2c
h+(t− l2/c)sinc(ωgwl2/c)
Fale na BS biegnące w kierunku fotodiody (fazy ulegają zmianietylko przy odbiciach/transmisji przez elementy optyczne)
Ex(t) = −12
E0e−iωtx0 = −1
2E0e−iω(t−2l1/c)+i∆φx
Ey(t) =12
E0e−iωty0 =
12
E0e−iω(t−2l2/c)+i∆φy
gdzie
∆φx =h0ωl1
csinc(ωgwl1/c) cos(ωgw(t− l1/c))
∆φy = −h0ωl2c
sinc(ωgwl2/c) cos(ωgw(t− l2/c))
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 106(126)
![Page 439: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/439.jpg)
Przesunięcie fazy w wyniku przejścia fali
Ostatecznie, na BS interferują fale, które opuściły go w chwilachtx0 oraz ty
0
tx0 = t− 2l1
c− l1
ch+(t− l1/c)sinc(ωgwl1/c)
ty0 = t− 2l2
c+
l2c
h+(t− l2/c)sinc(ωgwl2/c)
Fale na BS biegnące w kierunku fotodiody (fazy ulegają zmianietylko przy odbiciach/transmisji przez elementy optyczne)
Ex(t) = −12
E0e−iωtx0 = −1
2E0e−iω(t−2l1/c)+i∆φx
Ey(t) =12
E0e−iωty0 =
12
E0e−iω(t−2l2/c)+i∆φy
gdzie
∆φx =h0ωl1
csinc(ωgwl1/c) cos(ωgw(t− l1/c))
∆φy = −h0ωl2c
sinc(ωgwl2/c) cos(ωgw(t− l2/c))
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 106(126)
![Page 440: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/440.jpg)
Interferencja promieni biegnących w stroną fotodiody
W najprostszej sytuacji, gdy l1 ' l2 ≡ l, ∆φy = −∆φx
Fale Ex(t) oraz Ey(t) interferują
E(t) = Ex(t) + Ey(t) =12
E0e−iω(t−2l/c)(
e−∆φx − ei∆φx)
= −iE0e−iω(t−2l/c) sin(∆φx)
Fala grawitacyjna powoduje przesunięcie fazowe fali na poziomie10−8 rad!
W praktyce, interferometr kalibruje się tak, aby w warunkachnormalnej pracy, na fotodiodę padało jak najmniej fotonów.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 107(126)
![Page 441: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/441.jpg)
Interferencja promieni biegnących w stroną fotodiody
W najprostszej sytuacji, gdy l1 ' l2 ≡ l, ∆φy = −∆φx
Fale Ex(t) oraz Ey(t) interferują
E(t) = Ex(t) + Ey(t) =12
E0e−iω(t−2l/c)(
e−∆φx − ei∆φx)
= −iE0e−iω(t−2l/c) sin(∆φx)
Fala grawitacyjna powoduje przesunięcie fazowe fali na poziomie10−8 rad!
W praktyce, interferometr kalibruje się tak, aby w warunkachnormalnej pracy, na fotodiodę padało jak najmniej fotonów.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 107(126)
![Page 442: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/442.jpg)
Interferencja promieni biegnących w stroną fotodiody
W najprostszej sytuacji, gdy l1 ' l2 ≡ l, ∆φy = −∆φx
Fale Ex(t) oraz Ey(t) interferują
E(t) = Ex(t) + Ey(t) =12
E0e−iω(t−2l/c)(
e−∆φx − ei∆φx)
= −iE0e−iω(t−2l/c) sin(∆φx)
Fala grawitacyjna powoduje przesunięcie fazowe fali na poziomie10−8 rad!
W praktyce, interferometr kalibruje się tak, aby w warunkachnormalnej pracy, na fotodiodę padało jak najmniej fotonów.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 107(126)
![Page 443: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/443.jpg)
Interferencja promieni biegnących w stroną fotodiody
W najprostszej sytuacji, gdy l1 ' l2 ≡ l, ∆φy = −∆φx
Fale Ex(t) oraz Ey(t) interferują
E(t) = Ex(t) + Ey(t) =12
E0e−iω(t−2l/c)(
e−∆φx − ei∆φx)
= −iE0e−iω(t−2l/c) sin(∆φx)
Fala grawitacyjna powoduje przesunięcie fazowe fali na poziomie10−8 rad!
W praktyce, interferometr kalibruje się tak, aby w warunkachnormalnej pracy, na fotodiodę padało jak najmniej fotonów.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 107(126)
![Page 444: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/444.jpg)
Interferencja promieni biegnących w stroną fotodiody
W najprostszej sytuacji, gdy l1 ' l2 ≡ l, ∆φy = −∆φx
Fale Ex(t) oraz Ey(t) interferują
E(t) = Ex(t) + Ey(t) =12
E0e−iω(t−2l/c)(
e−∆φx − ei∆φx)
= −iE0e−iω(t−2l/c) sin(∆φx)
Fala grawitacyjna powoduje przesunięcie fazowe fali na poziomie10−8 rad!
W praktyce, interferometr kalibruje się tak, aby w warunkachnormalnej pracy, na fotodiodę padało jak najmniej fotonów.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 107(126)
![Page 445: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/445.jpg)
Szumy
szum sejsmiczny
S1/2n ( f ) ∼ 10−12
(10 Hzf
)2Hz−1/2 , f > 10 Hz
Lustra na wahadłach
S1/2n ( f ) ∼ 10−12
( fwahf
)2(10 Hzf
)2Hz−1/2 , f > 10 Hz
fwah = 0, 76 Hz
Siedmiostopniowy tłumik drgań
S1/2n ( f ) ∼ 10−12
( fwahf
)2(10 Hzf
)10Hz−1/2 , f > 10 Hz
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 108(126)
![Page 446: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/446.jpg)
Szumy
szum sejsmiczny
S1/2n ( f ) ∼ 10−12
(10 Hzf
)2Hz−1/2 , f > 10 Hz
Lustra na wahadłach
S1/2n ( f ) ∼ 10−12
( fwahf
)2(10 Hzf
)2Hz−1/2 , f > 10 Hz
fwah = 0, 76 Hz
Siedmiostopniowy tłumik drgań
S1/2n ( f ) ∼ 10−12
( fwahf
)2(10 Hzf
)10Hz−1/2 , f > 10 Hz
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 108(126)
![Page 447: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/447.jpg)
Szumy
szum sejsmiczny
S1/2n ( f ) ∼ 10−12
(10 Hzf
)2Hz−1/2 , f > 10 Hz
Lustra na wahadłach
S1/2n ( f ) ∼ 10−12
( fwahf
)2(10 Hzf
)2Hz−1/2 , f > 10 Hz
fwah = 0, 76 Hz
Siedmiostopniowy tłumik drgań
S1/2n ( f ) ∼ 10−12
( fwahf
)2(10 Hzf
)10Hz−1/2 , f > 10 Hz
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 108(126)
![Page 448: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/448.jpg)
Szumy
szum sejsmiczny
S1/2n ( f ) ∼ 10−12
(10 Hzf
)2Hz−1/2 , f > 10 Hz
Lustra na wahadłach
S1/2n ( f ) ∼ 10−12
( fwahf
)2(10 Hzf
)2Hz−1/2 , f > 10 Hz
fwah = 0, 76 Hz
Siedmiostopniowy tłumik drgań
S1/2n ( f ) ∼ 10−12
( fwahf
)2(10 Hzf
)10Hz−1/2 , f > 10 Hz
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 108(126)
![Page 449: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/449.jpg)
Szumy
Szum termiczny w temperaturze pokojowej związany zewzbudzeniami modów wibracyjnych luster
S1/2n ( f ) ∼ 10−23
(100 Hzf
)1/2Hz−1/2 ,
oraz termiczną rozciągliwością podwieszenia luster
S1/2n ( f ) ∼ 10−23
(100 Hzf
)5/2Hz−1/2 ,
dyspersja rozkładu fotonów (shot noise)
wahania ciśnienia promieniowania
zmiany pola grawitacyjnego w okolicy
S1/2n ( f ) ∼ 3 · 10−23
(10 Hzf
)2Hz−1/2 , f > 10 Hz
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 109(126)
![Page 450: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/450.jpg)
Szumy
Szum termiczny w temperaturze pokojowej związany zewzbudzeniami modów wibracyjnych luster
S1/2n ( f ) ∼ 10−23
(100 Hzf
)1/2Hz−1/2 ,
oraz termiczną rozciągliwością podwieszenia luster
S1/2n ( f ) ∼ 10−23
(100 Hzf
)5/2Hz−1/2 ,
dyspersja rozkładu fotonów (shot noise)
wahania ciśnienia promieniowania
zmiany pola grawitacyjnego w okolicy
S1/2n ( f ) ∼ 3 · 10−23
(10 Hzf
)2Hz−1/2 , f > 10 Hz
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 109(126)
![Page 451: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/451.jpg)
Szumy
Szum termiczny w temperaturze pokojowej związany zewzbudzeniami modów wibracyjnych luster
S1/2n ( f ) ∼ 10−23
(100 Hzf
)1/2Hz−1/2 ,
oraz termiczną rozciągliwością podwieszenia luster
S1/2n ( f ) ∼ 10−23
(100 Hzf
)5/2Hz−1/2 ,
dyspersja rozkładu fotonów (shot noise)
wahania ciśnienia promieniowania
zmiany pola grawitacyjnego w okolicy
S1/2n ( f ) ∼ 3 · 10−23
(10 Hzf
)2Hz−1/2 , f > 10 Hz
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 109(126)
![Page 452: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/452.jpg)
Szumy
Szum termiczny w temperaturze pokojowej związany zewzbudzeniami modów wibracyjnych luster
S1/2n ( f ) ∼ 10−23
(100 Hzf
)1/2Hz−1/2 ,
oraz termiczną rozciągliwością podwieszenia luster
S1/2n ( f ) ∼ 10−23
(100 Hzf
)5/2Hz−1/2 ,
dyspersja rozkładu fotonów (shot noise)
wahania ciśnienia promieniowania
zmiany pola grawitacyjnego w okolicy
S1/2n ( f ) ∼ 3 · 10−23
(10 Hzf
)2Hz−1/2 , f > 10 Hz
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 109(126)
![Page 453: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/453.jpg)
Szumy
Szum termiczny w temperaturze pokojowej związany zewzbudzeniami modów wibracyjnych luster
S1/2n ( f ) ∼ 10−23
(100 Hzf
)1/2Hz−1/2 ,
oraz termiczną rozciągliwością podwieszenia luster
S1/2n ( f ) ∼ 10−23
(100 Hzf
)5/2Hz−1/2 ,
dyspersja rozkładu fotonów (shot noise)
wahania ciśnienia promieniowania
zmiany pola grawitacyjnego w okolicy
S1/2n ( f ) ∼ 3 · 10−23
(10 Hzf
)2Hz−1/2 , f > 10 Hz
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 109(126)
![Page 454: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/454.jpg)
Szumy
Szum termiczny w temperaturze pokojowej związany zewzbudzeniami modów wibracyjnych luster
S1/2n ( f ) ∼ 10−23
(100 Hzf
)1/2Hz−1/2 ,
oraz termiczną rozciągliwością podwieszenia luster
S1/2n ( f ) ∼ 10−23
(100 Hzf
)5/2Hz−1/2 ,
dyspersja rozkładu fotonów (shot noise)
wahania ciśnienia promieniowania
zmiany pola grawitacyjnego w okolicy
S1/2n ( f ) ∼ 3 · 10−23
(10 Hzf
)2Hz−1/2 , f > 10 Hz
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 109(126)
![Page 455: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/455.jpg)
Charakterystyka szumów
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 110(126)
![Page 456: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/456.jpg)
Charakterystyka szumów
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 110(126)
![Page 457: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/457.jpg)
Planowane modyfikacje
ulepszona izolacja sejsmiczna
aktywna izolacja sejsmiczna (sieć czujników z wyprzedzenieminformująca o zbliżających się ruchach gruntu) kompensującaprzewidywane drgania
lepszej jakości elementy optyczne zmniejszające szum termicznyna niskich częstotliwościach, a także umożliwiający zwiększeniemocy lasera
masywniejsze lustra (dzięki temu mniejszy szum związany zciśnieniem promieniowania)
interferometry podziemne (mniejsze zaburzenia sejsmiczne)(Japonia)
chłodzone lustra (cały układ tłumiący) (Japonia)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 111(126)
![Page 458: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/458.jpg)
Planowane modyfikacje
ulepszona izolacja sejsmiczna
aktywna izolacja sejsmiczna (sieć czujników z wyprzedzenieminformująca o zbliżających się ruchach gruntu) kompensującaprzewidywane drgania
lepszej jakości elementy optyczne zmniejszające szum termicznyna niskich częstotliwościach, a także umożliwiający zwiększeniemocy lasera
masywniejsze lustra (dzięki temu mniejszy szum związany zciśnieniem promieniowania)
interferometry podziemne (mniejsze zaburzenia sejsmiczne)(Japonia)
chłodzone lustra (cały układ tłumiący) (Japonia)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 111(126)
![Page 459: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/459.jpg)
LISA
Laser Interferometer Space Antenna (LISA) is a planned NASA/ESAmission to measure gravitational waves through spacecraft trackingusing laser interferometry. LISA will consist of a triangularconstellation of three spacecraft in heliocentric orbits that trail theEarth’s orbit by 20. The inter-spacecraft distance will be 5 · 109 m,and laser interferometry between pairs of detectors is used to track theinter-spacecraft separations. Contained within each spacecraft will betwo proof masses that move along spacetime geodesics (thesurrounding spacecraft follow the motion of the proof masses andshield them from external buffeting, e.g. from the solar wind andradiation). LISA will be sensitive to gravitational waves between 0.03mHz and 0.1 Hz.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 112(126)
![Page 460: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/460.jpg)
LISA
Laser Interferometer Space Antenna (LISA) is a planned NASA/ESAmission to measure gravitational waves through spacecraft trackingusing laser interferometry. LISA will consist of a triangularconstellation of three spacecraft in heliocentric orbits that trail theEarth’s orbit by 20. The inter-spacecraft distance will be 5 · 109 m,and laser interferometry between pairs of detectors is used to track theinter-spacecraft separations. Contained within each spacecraft will betwo proof masses that move along spacetime geodesics (thesurrounding spacecraft follow the motion of the proof masses andshield them from external buffeting, e.g. from the solar wind andradiation). LISA will be sensitive to gravitational waves between 0.03mHz and 0.1 Hz.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 112(126)
![Page 461: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/461.jpg)
LISA
Laser Interferometer Space Antenna (LISA) is a planned NASA/ESAmission to measure gravitational waves through spacecraft trackingusing laser interferometry. LISA will consist of a triangularconstellation of three spacecraft in heliocentric orbits that trail theEarth’s orbit by 20. The inter-spacecraft distance will be 5 · 109 m,and laser interferometry between pairs of detectors is used to track theinter-spacecraft separations. Contained within each spacecraft will betwo proof masses that move along spacetime geodesics (thesurrounding spacecraft follow the motion of the proof masses andshield them from external buffeting, e.g. from the solar wind andradiation). LISA will be sensitive to gravitational waves between 0.03mHz and 0.1 Hz.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 112(126)
![Page 462: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/462.jpg)
Filtr wzmacniający
Sygnał grawitacyjny h(t) jest efektywnie zaszumiony przez n(t).Detektor rejestruje sygnał
s(t) = h(t) + n(t)
〈n(t)〉 = 0 , 〈N(ω)N∗(ω′)〉 = πSn(ω)δ(ω−ω′)
szukamy (rzeczywistego) filtru wzmacniającego k(t), takiego abystosunek sygnału do szumu SNR był maksymalny
SNR :=|〈x〉|√
(Var x)h=0,
gdzie x jest zmienną losową
x =∫R
k(t)s(t)dt , 〈x〉 =∫R
k(t)h(t)dt
Na poziomie częstości
|〈x〉|2 =( 1
2π
)2∣∣∣ ∫R
K∗(ω)H(ω)dω∣∣∣2 =
( 12π
)2|〈K|H〉|2
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 113(126)
![Page 463: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/463.jpg)
Filtr wzmacniający
Sygnał grawitacyjny h(t) jest efektywnie zaszumiony przez n(t).Detektor rejestruje sygnał
s(t) = h(t) + n(t)
〈n(t)〉 = 0 , 〈N(ω)N∗(ω′)〉 = πSn(ω)δ(ω−ω′)
szukamy (rzeczywistego) filtru wzmacniającego k(t), takiego abystosunek sygnału do szumu SNR był maksymalny
SNR :=|〈x〉|√
(Var x)h=0,
gdzie x jest zmienną losową
x =∫R
k(t)s(t)dt , 〈x〉 =∫R
k(t)h(t)dt
Na poziomie częstości
|〈x〉|2 =( 1
2π
)2∣∣∣ ∫R
K∗(ω)H(ω)dω∣∣∣2 =
( 12π
)2|〈K|H〉|2
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 113(126)
![Page 464: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/464.jpg)
Filtr wzmacniający
Sygnał grawitacyjny h(t) jest efektywnie zaszumiony przez n(t).Detektor rejestruje sygnał
s(t) = h(t) + n(t)
〈n(t)〉 = 0 , 〈N(ω)N∗(ω′)〉 = πSn(ω)δ(ω−ω′)
szukamy (rzeczywistego) filtru wzmacniającego k(t), takiego abystosunek sygnału do szumu SNR był maksymalny
SNR :=|〈x〉|√
(Var x)h=0,
gdzie x jest zmienną losową
x =∫R
k(t)s(t)dt , 〈x〉 =∫R
k(t)h(t)dt
Na poziomie częstości
|〈x〉|2 =( 1
2π
)2∣∣∣ ∫R
K∗(ω)H(ω)dω∣∣∣2 =
( 12π
)2|〈K|H〉|2
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 113(126)
![Page 465: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/465.jpg)
Filtr wzmacniający
Sygnał grawitacyjny h(t) jest efektywnie zaszumiony przez n(t).Detektor rejestruje sygnał
s(t) = h(t) + n(t)
〈n(t)〉 = 0 , 〈N(ω)N∗(ω′)〉 = πSn(ω)δ(ω−ω′)
szukamy (rzeczywistego) filtru wzmacniającego k(t), takiego abystosunek sygnału do szumu SNR był maksymalny
SNR :=|〈x〉|√
(Var x)h=0,
gdzie x jest zmienną losową
x =∫R
k(t)s(t)dt , 〈x〉 =∫R
k(t)h(t)dt
Na poziomie częstości
|〈x〉|2 =( 1
2π
)2∣∣∣ ∫R
K∗(ω)H(ω)dω∣∣∣2 =
( 12π
)2|〈K|H〉|2
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 113(126)
![Page 466: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/466.jpg)
Filtr wzmacniający
Sygnał grawitacyjny h(t) jest efektywnie zaszumiony przez n(t).Detektor rejestruje sygnał
s(t) = h(t) + n(t)
〈n(t)〉 = 0 , 〈N(ω)N∗(ω′)〉 = πSn(ω)δ(ω−ω′)
szukamy (rzeczywistego) filtru wzmacniającego k(t), takiego abystosunek sygnału do szumu SNR był maksymalny
SNR :=|〈x〉|√
(Var x)h=0,
gdzie x jest zmienną losową
x =∫R
k(t)s(t)dt , 〈x〉 =∫R
k(t)h(t)dt
Na poziomie częstości
|〈x〉|2 =( 1
2π
)2∣∣∣ ∫R
K∗(ω)H(ω)dω∣∣∣2 =
( 12π
)2|〈K|H〉|2
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 113(126)
![Page 467: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/467.jpg)
Filtrowanie wzmacniające poszukiwany sygnał(matched filtering)
Na poziomie częstości
Var x = 〈x2〉h=0 =1
4π
∫R
Sn(ω)|K(ω)|2dω =1
4π〈S1/2
n K|S1/2n K〉
Stosunek sygnału do szumu można zapisać jako
SNR2 =1π
|〈K|H〉|2
〈S1/2n K|S1/2
n K〉=
1π
|〈S1/2n K|S−1/2
n H〉|2
|S1/2n K|2
Z nierówności Cauchy’ego-Schwartza
|〈S1/2n K|S−1/2
n H〉|2 6 |〈S1/2n K〉|2|〈S−1/2
n H〉|2
Ostatecznie
SNR2 61π|S−1/2
n H|2
przy czym równość jest osiągana przy spełnieniu warunku
S1/2n (ω)K(ω) = αS−1/2
n (ω)H(ω)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 114(126)
![Page 468: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/468.jpg)
Filtrowanie wzmacniające poszukiwany sygnał(matched filtering)
Na poziomie częstości
Var x = 〈x2〉h=0 =1
4π
∫R
Sn(ω)|K(ω)|2dω =1
4π〈S1/2
n K|S1/2n K〉
Stosunek sygnału do szumu można zapisać jako
SNR2 =1π
|〈K|H〉|2
〈S1/2n K|S1/2
n K〉=
1π
|〈S1/2n K|S−1/2
n H〉|2
|S1/2n K|2
Z nierówności Cauchy’ego-Schwartza
|〈S1/2n K|S−1/2
n H〉|2 6 |〈S1/2n K〉|2|〈S−1/2
n H〉|2
Ostatecznie
SNR2 61π|S−1/2
n H|2
przy czym równość jest osiągana przy spełnieniu warunku
S1/2n (ω)K(ω) = αS−1/2
n (ω)H(ω)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 114(126)
![Page 469: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/469.jpg)
Filtrowanie wzmacniające poszukiwany sygnał(matched filtering)
Na poziomie częstości
Var x = 〈x2〉h=0 =1
4π
∫R
Sn(ω)|K(ω)|2dω =1
4π〈S1/2
n K|S1/2n K〉
Stosunek sygnału do szumu można zapisać jako
SNR2 =1π
|〈K|H〉|2
〈S1/2n K|S1/2
n K〉=
1π
|〈S1/2n K|S−1/2
n H〉|2
|S1/2n K|2
Z nierówności Cauchy’ego-Schwartza
|〈S1/2n K|S−1/2
n H〉|2 6 |〈S1/2n K〉|2|〈S−1/2
n H〉|2
Ostatecznie
SNR2 61π|S−1/2
n H|2
przy czym równość jest osiągana przy spełnieniu warunku
S1/2n (ω)K(ω) = αS−1/2
n (ω)H(ω)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 114(126)
![Page 470: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/470.jpg)
Filtrowanie wzmacniające poszukiwany sygnał(matched filtering)
Na poziomie częstości
Var x = 〈x2〉h=0 =1
4π
∫R
Sn(ω)|K(ω)|2dω =1
4π〈S1/2
n K|S1/2n K〉
Stosunek sygnału do szumu można zapisać jako
SNR2 =1π
|〈K|H〉|2
〈S1/2n K|S1/2
n K〉=
1π
|〈S1/2n K|S−1/2
n H〉|2
|S1/2n K|2
Z nierówności Cauchy’ego-Schwartza
|〈S1/2n K|S−1/2
n H〉|2 6 |〈S1/2n K〉|2|〈S−1/2
n H〉|2
Ostatecznie
SNR2 61π|S−1/2
n H|2
przy czym równość jest osiągana przy spełnieniu warunku
S1/2n (ω)K(ω) = αS−1/2
n (ω)H(ω)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 114(126)
![Page 471: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/471.jpg)
Filtrowanie wzmacniające poszukiwany sygnał(matched filtering)
Na poziomie częstości
Var x = 〈x2〉h=0 =1
4π
∫R
Sn(ω)|K(ω)|2dω =1
4π〈S1/2
n K|S1/2n K〉
Stosunek sygnału do szumu można zapisać jako
SNR2 =1π
|〈K|H〉|2
〈S1/2n K|S1/2
n K〉=
1π
|〈S1/2n K|S−1/2
n H〉|2
|S1/2n K|2
Z nierówności Cauchy’ego-Schwartza
|〈S1/2n K|S−1/2
n H〉|2 6 |〈S1/2n K〉|2|〈S−1/2
n H〉|2
Ostatecznie
SNR2 61π|S−1/2
n H|2
przy czym równość jest osiągana przy spełnieniu warunku
S1/2n (ω)K(ω) = αS−1/2
n (ω)H(ω)Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 114(126)
![Page 472: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/472.jpg)
Filtrowanie wzmacniające poszukiwany sygnał(matched filtering)
Postać k(t) (α = 2π)
k(t) =∫R
H(ω)
Sn(ω)eiωtdω
Optymalny stosunek sygnału do szumu
SNR2 =1π
∫R
|H(ω)|2Sn(ω)
dω
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 115(126)
![Page 473: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/473.jpg)
Filtrowanie wzmacniające poszukiwany sygnał(matched filtering)
Postać k(t) (α = 2π)
k(t) =∫R
H(ω)
Sn(ω)eiωtdω
Optymalny stosunek sygnału do szumu
SNR2 =1π
∫R
|H(ω)|2Sn(ω)
dω
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 115(126)
![Page 474: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/474.jpg)
Filtrowanie wzmacniające poszukiwany sygnał(matched filtering)
Postać k(t) (α = 2π)
k(t) =∫R
H(ω)
Sn(ω)eiωtdω
Optymalny stosunek sygnału do szumu
SNR2 =1π
∫R
|H(ω)|2Sn(ω)
dω
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 115(126)
![Page 475: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/475.jpg)
Sygnał z 15 września 2015
Rysunek : LIGO Livingston Observatory was the first detector to sense thepassage of a gravitational wave. Hanford detected the gravitational wavesignal 7 milliseconds after Livingston, but the Hanford signal was moreprominent. Hanford’s interferometer was more sensitive than Livingston atthe time of the detection.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 116(126)
![Page 476: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/476.jpg)
Sygnał z 15 września 2015
Rysunek : LIGO Livingston Observatory was the first detector to sense thepassage of a gravitational wave. Hanford detected the gravitational wavesignal 7 milliseconds after Livingston, but the Hanford signal was moreprominent. Hanford’s interferometer was more sensitive than Livingston atthe time of the detection.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 116(126)
![Page 477: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/477.jpg)
Sygnał z 15 września 2015
Rysunek : Shape of first detection ’waveform’. The blue line shows thestretching and shrinking of the Hanford Observatory’s arms, and the orangeline shows how Livingston’s arms responded in the presence of thegravitational wave. The scale on the vertical axis (10−18 meters) revealsthat for this detection, LIGO measured movement 4000–5000 times smallerthan a proton!
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 117(126)
![Page 478: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/478.jpg)
Sygnał z 15 września 2015
Rysunek : The top two plots show data received at Livingston and Hanford,along with the predicted shapes for the waveform.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 118(126)
![Page 479: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/479.jpg)
Ogłoszenie obserwacji
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 119(126)
![Page 480: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/480.jpg)
Detektor
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 120(126)
![Page 481: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/481.jpg)
Algorytmy poszukujące
1 Dwa rodzaje algorytmów wyszukujących z zastosowaniemfiltrowania wzmacniającego poszukiwany sygnał (matchedfiltering)
poszukiwanie sygnału zderzeń masywnych obiektów w oparciu owzorce sygnałów obliczone w ramach numerycznej Ogólnej TeoriiWzględności (ok. 250 000 wzorców zderzeń)poszukiwanie silnego sygnału w możliwie najszerszym przedzialeczęstości i minimalnych założeniach co do jego wzorca
2 Sprawdzanie zgodności obserwacji na obu detektorach i określeniestatystycznej istotności zdarzenia (1 zdarzenie na 203 000 lat)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 121(126)
![Page 482: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/482.jpg)
Algorytmy poszukujące
1 Dwa rodzaje algorytmów wyszukujących z zastosowaniemfiltrowania wzmacniającego poszukiwany sygnał (matchedfiltering)
poszukiwanie sygnału zderzeń masywnych obiektów w oparciu owzorce sygnałów obliczone w ramach numerycznej Ogólnej TeoriiWzględności (ok. 250 000 wzorców zderzeń)poszukiwanie silnego sygnału w możliwie najszerszym przedzialeczęstości i minimalnych założeniach co do jego wzorca
2 Sprawdzanie zgodności obserwacji na obu detektorach i określeniestatystycznej istotności zdarzenia (1 zdarzenie na 203 000 lat)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 121(126)
![Page 483: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/483.jpg)
Algorytmy poszukujące
1 Dwa rodzaje algorytmów wyszukujących z zastosowaniemfiltrowania wzmacniającego poszukiwany sygnał (matchedfiltering)
poszukiwanie sygnału zderzeń masywnych obiektów w oparciu owzorce sygnałów obliczone w ramach numerycznej Ogólnej TeoriiWzględności (ok. 250 000 wzorców zderzeń)poszukiwanie silnego sygnału w możliwie najszerszym przedzialeczęstości i minimalnych założeniach co do jego wzorca
2 Sprawdzanie zgodności obserwacji na obu detektorach i określeniestatystycznej istotności zdarzenia (1 zdarzenie na 203 000 lat)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 121(126)
![Page 484: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/484.jpg)
Algorytmy poszukujące
1 Dwa rodzaje algorytmów wyszukujących z zastosowaniemfiltrowania wzmacniającego poszukiwany sygnał (matchedfiltering)
poszukiwanie sygnału zderzeń masywnych obiektów w oparciu owzorce sygnałów obliczone w ramach numerycznej Ogólnej TeoriiWzględności (ok. 250 000 wzorców zderzeń)poszukiwanie silnego sygnału w możliwie najszerszym przedzialeczęstości i minimalnych założeniach co do jego wzorca
2 Sprawdzanie zgodności obserwacji na obu detektorach i określeniestatystycznej istotności zdarzenia (1 zdarzenie na 203 000 lat)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 121(126)
![Page 485: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/485.jpg)
Algorytmy poszukujące
1 Dwa rodzaje algorytmów wyszukujących z zastosowaniemfiltrowania wzmacniającego poszukiwany sygnał (matchedfiltering)
poszukiwanie sygnału zderzeń masywnych obiektów w oparciu owzorce sygnałów obliczone w ramach numerycznej Ogólnej TeoriiWzględności (ok. 250 000 wzorców zderzeń)poszukiwanie silnego sygnału w możliwie najszerszym przedzialeczęstości i minimalnych założeniach co do jego wzorca
2 Sprawdzanie zgodności obserwacji na obu detektorach i określeniestatystycznej istotności zdarzenia (1 zdarzenie na 203 000 lat)
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 121(126)
![Page 486: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/486.jpg)
Polska grupa Virgo-Polgraw
https://polgraw.camk.edu.pl/
9 polskich jednostek naukowych
Kierownikiem projektu jest prof. Andrzej Królak z InstytutuMatematycznego PAN
Grupa zajmuje się analizą danych, rozwijaniem statystycznejteorii wykrywania sygnałów, modelowaniem astrofizycznychźródeł fal grawitacyjnych, przewidywaniami dotyczącymipopulacji tych źródeł, obserwacjami emisji elektromagnetycznejtowarzyszącej emisji fal grawitacyjnych oraz budowąinterferometru Virgo
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 122(126)
![Page 487: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/487.jpg)
Polska grupa Virgo-Polgraw
https://polgraw.camk.edu.pl/
9 polskich jednostek naukowych
Kierownikiem projektu jest prof. Andrzej Królak z InstytutuMatematycznego PAN
Grupa zajmuje się analizą danych, rozwijaniem statystycznejteorii wykrywania sygnałów, modelowaniem astrofizycznychźródeł fal grawitacyjnych, przewidywaniami dotyczącymipopulacji tych źródeł, obserwacjami emisji elektromagnetycznejtowarzyszącej emisji fal grawitacyjnych oraz budowąinterferometru Virgo
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 122(126)
![Page 488: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/488.jpg)
Dane astrofizyczne i wnioski
Masa grawitonu < 1.2 · 10−22 eV/c2
Istnienie czarnych dziur o masach > 25 M
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 123(126)
![Page 489: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/489.jpg)
Dane astrofizyczne i wnioski
Masa grawitonu < 1.2 · 10−22 eV/c2
Istnienie czarnych dziur o masach > 25 M
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 123(126)
![Page 490: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/490.jpg)
Dane astrofizyczne i wnioski
Masa grawitonu < 1.2 · 10−22 eV/c2
Istnienie czarnych dziur o masach > 25 M
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 123(126)
![Page 491: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/491.jpg)
Sygnał z 26 grudnia 2015
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 124(126)
![Page 492: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/492.jpg)
Sygnał z 26 grudnia 2015
Rysunek : Based on current waveform modeling, we find that GW151226passed through LIGO’s sensitive band in 1 s, increasing in frequency overapproximately 55 cycles from 35 Hz to a peak amplitude at 450 Hz. Thesignal-to-noise ratio (SNR) accumulates equally in the early inspiral (45cycles from 35 to 100 Hz) and late inspiral to merger (10 cycles from 100 to450 Hz). This is different from the more massive GW150914 binary forwhich only the last 10 cycles, comprising inspiral and merger, dominatedthe SNR
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 125(126)
![Page 493: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/493.jpg)
Dane astrofizyczne
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 126(126)
![Page 494: Wprowadzenie do fal grawitacyjnych - UMKjacekj/Files/Fale/fale-graw-2016.pdfApplications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042315/5f04422f7e708231d40d1713/html5/thumbnails/494.jpg)
Czekamy na kolejne detekcje ,
Rysunek : The joint research team of NAOJ and other research institutessucceeded in observing a very close binary black hole system just before itsmerger. Recent observation results provide possible evidence that asupermassive black hole with billions of times the mass of the Sun exists inthe center of active galactic nuclei 3C66B, which is a giant radio galaxy anda giant elliptical galaxy, by observing the orbital motion of the central corein the galaxy. The team conducted further detailed observations atmillimeter wavelengths and identified that the binary black hole will mergein about 500 years.
Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 127(126)