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小时物理百科项目的官方网站为 wuli.wiki，网站上免费提供本书的网页版和 pdf 版的下载，仅供个人学习使用．为了维持项目不断发展，强烈建议每位读者试读超过 1 小时后在网站上捐款，我们在此表示衷心感谢．若未经同意，请勿以任何方式转载本项目内容（包括插图，代码，网页等）．版权所有，

保留一切权利．

本书不定期更新，为保证内容质量请及时下载最新版．当前版本编译于：

2020 年 5 月 23 日．

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小时物理百科

简介

小时物理百科（以下简称百科）从结构上尝试将教材和百科这两种不同形

式的文本融合到一起，使其既适合初学者自学，又可按照非常灵活的顺序阅

读．百科计划涵盖物理专业本科课程中的大部分内容，适用于具有普通高中及

以上数学物理水平的读者．也正因为如此，百科是一个庞大的工程，短时间内

很难被完成，所以百科将长期处于更新状态．为保证阅读质量，请定期从项目

网站下载最新版．

在介绍百科的特点以前，我们先来看一般数理教材的不足：

1. 需要按顺序学习，不适合初学者快速了解或查找某个话题或知识点．例如某高中生需要了解角动量的概念，直接翻开力学书的相关章节发现看

不懂，却又不知道需要先学什么，也没时间从头先看完高等数学和线性

代数的教材再开始学习．

2. 读者不能自己掌握所学内容的深度和严谨性．例如许多高等数学教材在读者对微积分还没有一个大概的了解时就介绍极限的 ε − δ 定义，微分/积分中值定理，可微，可积等．这些内容对物理的初步学习来说显得过于严谨，会极大加重学习成本．

3. 不够自洽（self-contained）．一本教材的自洽性指目标读者在学习前是否还需要学习其他教材．大部分本科物理教材对高中生都是不自洽的，因

为它们往往假设读者具有一定的微积分和线性代数基础．

再来看一般网络百科（如百度百科或维基百科）的不足：

1. 每个词条都大而全，涵盖词条标题的所有相关内容．

2. 读者同样不能自己掌握所学内容的深度和严谨程度．

3. 容易出现公式定理的堆积，缺乏知识点导入和讲述，缺乏例题，习题等．

为了克服上述困难，百科采用以下形式：

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力场与一维势能

位置矢量

功

牛顿 — 莱布尼兹公式

梯度 梯度定理

不定积分 定积分

线积分方向导数

全微分

偏导数

点乘

几何矢量

导数

极限

N维势能

图 1: 由“预备知识”画出的知识树（目标词条为“力场 势能[563]”）

1. 将知识点划分为词条，且在每个词条中列出学习该词条前需要先学习哪些词条．这样相当于建立了一个知识树（如图 1）．项目网站 wuli.wiki上可以自动生成任意目标词条的知识树．

2. 采用词条分级，把同一个话题以不同深度，严谨度和适用范围等划分成若干个等级的同名词条．这样读者可以选择螺旋式学习（例如初中，高

中，大学物理中所学的话题几乎相同，但程度不同）．暂定初级词条从科

普开始，尽量少使用数学．随着词条级别升高，会使用适用范围更广的

定义，更严谨的表述和更抽象的数学等．

词条

百科内容繁多，不同词条的重要性相去甚远，不建议初学者按照词条的排

列顺序依次学习，而是应该以初级词条给出的主线来学习，再根据兴趣和需要

阅读其余词条．

理论上来说，读者可以直接跳到最感兴的词条，如果“预备知识”中列出

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的词条都已经掌握，就可以开始学习该词条，否则就先掌握“预备知识”中的

词条．如果“预备知识”出现在词条开始，则必须先掌握，如果出现在正文中，

则只有阅读该部分时需要掌握．如果正文中引用了没有出现在“预备知识”中

的内容，则读者可自行决定是否阅读．

为了便于书内的跳查，词条之间进行了大量的交叉引用，例如“导数简

介[150]”右上角中括号中的数字代表被引用词条的页码．由于每个词条的公式

编号都从 1开始，引用其他词条中的公式有时会用类似“式 2[150]”的格式，右上角的方括号中是公式所在词条的起始页码．在本书的 PDF 电子版中，点击该页码即可自动跳转到对应的页面．在电脑上阅读，推荐使用 Adobe Reader阅读器，在苹果® 的 iOS 设备上推荐使用 GoodReader 应用（两个软件都可以在不同的面板中打开同一本书的不同页码）．在 Adobe Reader 中，使用快捷键组合“Alt + 左箭头”即可返回跳查前的位置，在移动设备的阅读软件中通常也有相应的返回按钮．由于本书的电子版是原生 PDF（区别于扫描版），还具有占用设备存储空间小，便于分享，便于查找关键字等种种优势．

目录

第一部分 科普

第一章 经典力学

经典力学及其他物理理论 [3] 经典力学 [4]

第二章 电动力学

电动力学 [10] 静电的基本规律和性质 [12] 荷质比的测定 [13]

第三章 量子力学

原子的观念 [17] 从天球的音乐到玻尔模型 [30] 量子力学 [55]

第四章 其他

天文学常识 [69]

第二部分 微积分

第一章 基础

公理系统 [78] 集合 [79] 整数 [83] 映射 [86] 二项式定理 [89] 二项式定

理（非整数幂）[90] 直线和平面的交点 [91] 等比数列 [91] 三角恒等式 [92]

双曲函数 [93] sinc 函数 [95] 充分必要条件 [96] 四象限 Arctan 函数 [97]

极坐标系 [98] 阿基米德螺线 [100] 柱坐标系 [101] 球坐标系 [101] 球坐

标与直角坐标的转换 [104] 圆锥曲线的极坐标方程 [106] 椭圆的三种定

义 [108] 双曲线的三种定义 [109] 抛物线的三种定义 [112] 圆锥曲线的光

学性质 [113] 复数 [118] 复变函数 [122] 幂函数（复数） [123] 指数函数

（复数）[124] 三角函数（复数）[125] 复变函数的导数柯西—黎曼条件 [127]

复变函数的积分 [128] 柯西积分定理 [137] 立体角 [139]

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目录 vi

第二章 一元微积分

微积分导航 [141] 极限 [142] 小角正弦极限 [145] 自然对数底 [146] 切线

与割线 [147] 函数的连续性 [148] 导数 [150] 求导法则 [152] 反函数求导 [154]

基本初等函数的导数 [155] 高阶导数 [159] 莱布尼兹公式 [159] 导数与函

数极值 [160] 用极值点确定函数图像 [162] 一元函数的微分 [163] 复合函

数求导 链式法则 [164] 泰勒展开 [169] 导数与差分 [172] 不定积分 [173]

换元积分法 [174] 分部积分法 [176] 积分表 [178] 定积分 [184] 牛顿—莱

布尼兹公式 [188] 极坐标中的曲线方程 [191] 函数的算符 [192] 常微分方

程 [193] 一阶线性微分方程 [194] 二阶常系数齐次微分方程 [195] 一维齐

次亥姆霍兹方程 [197] 二阶常系数非齐次微分方程 [198] 正交函数系 [200]

傅里叶级数（三角）[202] 傅里叶级数（指数）[208] 狄拉克 delta函数 [210]

傅里叶变换（三角） [212] 傅里叶变换（指数） [212] 拉普拉斯变换 [214]

拉普拉斯变换的性质 [216] gamma 函数 [221]

第三章 多元微积分与矢量分析

偏导数 [224] 最小二乘法 [225] 全微分 [227] 复合函数的偏导链式法则 [228]

全导数 [230] 矢量的导数 求导法则 [231] 偏微分算符 [233] 一元矢量函

数的积分 [234] 方向导数 [236] 二元函数的极值 [238] 重积分 [239] 极坐

标系中单位矢量的偏导 [242] 正交曲线坐标系 [243] 多元函数的傅里叶

级数 [245] 曲线坐标系中的重积分 [245] 矢量场 [248] 线积分 [249] 曲面

积分 通量 [250] 证明闭合曲面的法向量面积分为零 [253] 矢量算符 [253]

拉普拉斯算符 [255] 一种矢量算符的运算方法 [256] 梯度 梯度定理 [257]

散度 散度定理 [261] 旋度 斯托克斯定理 [265] 矢量分析总结 [268] 拉格

朗日乘数法 [273] 一阶线性常微分方程组 [275] 齐次函数的欧拉定理 [278]

多元泰勒展开 [280] 雅可比行列式 [280] 高斯积分 [281] 多维球体的体

积 [282] 多元函数积分和宇称 [285]

第三部分 线性代数

第一章 线性代数 1

线性代数导航 [289] 几何矢量 [290] 矢量内积 [294] 正交归一基底 [297] 施

目录 vii

密特正交归一化 [298] 右手定则 [300] 矩阵 [301] 行列式 [307] 矢量叉乘 [310]

矢量叉乘分配律的几何证明 [314] 叉乘的矩阵形式 [315] 连续叉乘的化

简 [316] 高斯消元法解线性方程组 [317] 线性相关线性无关 [322] 克莱姆

法则 [323] 三矢量的混合积 [324] 平面旋转变换 [325] 线性变换 [327] 逆

矩阵 [328] 平面旋转矩阵 [329] 三维旋转矩阵 [331] 绕轴旋转矩阵 [332] 旋

转矩阵的导数 [334] 厄米矩阵 [335] 矩阵的本征方程 [336] 对称矩阵的本

征问题 [337] 厄米矩阵的本征问题 [339] 相似变换和相似矩阵 [340] 矩阵

的迹 [341]

第二章 线性代数 2

矢量空间 [344] 内积 [347] 狄拉克符号 [349] 线性相关 线性无关 [349] 子

空间 [350] 直和 [352] 对易算符 [353] 代数矢量 [354] 矩阵与线性映射 [357]

正交子空间 [359] 矩阵的秩 [360] 证明矩阵行秩等于列秩 [361] 线性方程

组与矢量空间 [362] 酋矩阵 [364] 超定线性方程组 [366] 傅里叶变换与矢

量空间 [366] 海森矩阵 [369] 张量积空间 [370] 四元数与旋转矩阵 [378]

第四部分 抽象代数基础

第一章 群论

群 [382] 子群和正规子群 [386] 群同态 [395] 群作用 [397] 商空间 [400] 群

论中的证明和习题解答 [401]

第二章 其他

环 [403] 域上的代数 [403]

第五部分 拓扑学

第一章 点集拓扑

拓扑空间 [408] 点集的内部、外部和边界 [410] 连续映射和同胚 [413] 紧

致性 [415] 连通性 [418] 道路连通性 [420] 分离性 [420]

目录 viii

第六部分 李群和李代数

第七部分 概率与统计

第一章 基础

随机变量概率分布函数 [424] 随机变量的变换 [427] 多变量分布函数 [429]

高斯分布（正态分布） [431] 二项分布 [432] 中心极限定理 [436] 二维随

机走动 [437] 平均值的不确定度 [438]

第八部分 偏微分方程和特殊函数

第一章 基础

分离变量法 [442] 拉普拉斯方程 [442] 柱坐标系中的拉普拉斯方程 [442]

球坐标系中的梯度散度旋度及拉普拉斯算符 [444] 球坐标系中的拉普拉

斯方程 [444] 球坐标系中的亥姆霍兹方程 [446] 勒让德多项式 [447] 连带

勒让德多项式 [449] 贝赛尔函数 [450] 球贝塞尔函数 [452] 球谐函数 [453]

球谐函数表 [456] Wigner D 矩阵 [457] 平面波的正交归一 [458] 平面波的球谐展开 [460] 球谐波的归一化 [462] 分离变量法与张量积空间 [463]

广义球谐函数 [464] 误差函数 [466] 虚误差函数 [468] 超几何函数 [469] 椭

圆积分 [470] 库仑函数 [470]

第九部分 其他数学

第一章 数学分析

度量空间 [476] 范数 [476] 投影算符 [478] 柯西—施瓦茨不等式 [479] 巴

拿赫空间 [480] 希尔伯特空间 [481] 一致连续 [481] 一致收敛 [482] 数学

分析笔记 [482] 黎曼积分与勒贝格积分 [488] 泛函分析笔记 1 [489] 泛函分析笔记 2 [497] 泛函分析笔记 3 [503] 泛函分析笔记 4 [505] 泛函分析笔记 5 [506]

目录 ix

第二章 其他

堆放排列组合 [515] 选择的展开定理 [515] 解三棱锥顶角 [516] 足球顶点

坐标的计算 [518] CG系数 [522] Wigner 3j符号 [525] Wigner 6j符号 [527]

Wigner 9j 符号 [527] 二元关系 [528] 流形 [530] 群论笔记 [530] 范畴论 [531]

第十部分 力学

第一章 运动学

物理量和单位转换 [540] 无单位的物理公式 [541] 位置矢量位移 [543] 速

度加速度（一维）[544] 速度加速度 [546] 圆周运动的速度 [547] 圆周运

动的加速度 [549] 匀加速运动 [552] 极坐标中的速度和加速度 [553] 速度

的坐标系变换 [554] 加速度的坐标系变换 [556]

第二章 质点

牛顿运动定律惯性系 [560] 功功率 [561] 动能动能定理（单个质点）[563]

力场 势能 [563] 机械能守恒（单个质点） [567] 动量 动量定理（单个

质点） [568] 角动量 角动量定理 角动量守恒（单个质点） [569] 简谐振

子 [570] 受阻落体 [572] 单摆 [573] 傅科摆 [575] 惯性力 [577] 离心力 [579]

科里奥利力 [580] 地球表面的科里奥利力 [581]

第三章 质点系与刚体

常见物理量 [584] 物理学常数定义 [584] 自由度 [586] 质点系 [587] 质心

质心系 [588] 质点系的动量 [594] 刚体 [595] 轻杆模型 [596] 质点系的动

量 [600] 动量定理动量守恒 [600] 质点系的动能柯尼希定理 [601] 力矩 [602]

刚体的静力平衡 [605] 角动量 [607] 角动量定理角动量守恒 [608] 二体系

统 [610] 二体碰撞 [612] 刚体的绕轴转动 转动惯量 [615] 平行轴定理与

垂直轴定理 [618] 常见几何体的转动惯量 [619] 刚体的平面运动方程 [622]

惯性张量 [624] 瞬时转轴 [628] 刚体绕轴转动 2 [628] 刚体的动能定理 [629]

刚体的运动方程 [630] 刚体运动方程（四元数） [632]

目录 x

第四章 软体和液体

绳的法向压力 [634] 流密度 [636] 浮力 [636]

第五章 振动与波动

振动的指数形式 [640] 能量法解谐振动问题 [641] 拍频 [643] 受阻简谐振

子 [644] 简谐振子的品质因数 [646] 简谐振子受迫运动 [648] 平面波 [650]

多普勒效应（一维匀速） [653] 多普勒效应 [656] 一维波动方程 [657] 二

维波动方程 [660] 波的能量 [661] 波的强度 [663] 冲击波 [664]

第六章 中心力场问题

万有引力引力势能 [667] 球体的引力场 [668] 中心力场问题 [672] 开普勒

问题 [676] 开普勒三定律 [678] 拉普拉斯—龙格—楞次矢量 [679] 轨道方

程 比耐公式 [680] 开普勒第一定律的证明 [681] 开普勒第二和第三定律

的证明 [683] 反开普勒问题 [684] 散射 [686] 卢瑟福散射 [686] 闭合轨道

的条件 [687]

第七章 狭义相对论

狭义相对论 [690] 洛伦兹变换 [690] 光的多普勒效应 [693] 洛伦兹群 [694]

第八章 分析力学

拉格朗日方程 [699] 单摆（大摆角） [704] 双摆和三摆 [705] 达朗贝尔定

理 [706] 哈密顿原理 [708] 运动积分 [710] 哈密顿正则方程 [715] 分析力

学笔记 [717]

第九章 轨道力学

二体问题综述 [722] 轨道参数时间变量 [727] 限制性三体问题 [730] 雅可

比常量 [732] 拉格朗日点 [734]

目录 xi

第十一部分 光学

第一章 几何光学

惠更斯原理 [740] 光的折射 斯涅尔定律 [742] 薄透镜 [743]

第二章 波动光学

可见光谱 [747] 双缝干涉中一个重要极限 [747] 杨氏双缝干涉实验 [749]

劳埃德镜实验 [752] 普通光源的发光机理 [753] 单色光 [753]

第十二部分 电动力学

第一章 基础

电流 [757] 电流密度 [757] 库仑定律 [757] 电场 [758] 电势电势能 [764] 电

偶极子 [767] 电偶极子 2 [768] 导体 [769] 电压 [771] 电容 [773] 电介质 [775]

电极化强度 [779] 电极化强度与极化电荷的关系 [779] 介质中的静电场 [780]

电阻欧姆定律 [783] 电感 [785] 电场的高斯定理 [786] 电场的能量 [791] LC振荡电路 [792] 力电振动类比 [795] LC 受迫振荡电路 [795] 比奥萨伐尔定律 [797] 安培环路定理 [800] 洛伦兹力 [801] 磁场的能量 [802] 磁通量 [803]

安培力 [804] 磁场中闭合电流的合力 [805] 磁场中闭合电流的力矩 [806]

法拉第电磁感应定律 [807] 分子电流和分子磁矩 [808] 磁介质 [810] 磁

化强度 [811] 顺磁质的磁化 [814] 有磁介质时的安培环路定理 [814] 电

路 [816] 基尔霍夫电路定律 [818] 惠斯通电桥 [823]

第二章 电动力学 2

电荷守恒电流连续性方程 [827] 电多极展开 [827] 电磁场标势和矢势 [828]

磁标势 [829] 磁多极矩 [830] 规范变换 [832] 洛伦兹规范 [832] 库仑规范 [833]

电磁场的能量守恒 坡印廷矢量 [834] 麦克斯韦方程组 [837] 麦克斯韦方

程组（介质） [837] 非齐次亥姆霍兹方程 推迟势 [838] 电场波动方程 [841]

真空中的平面电磁波 [841] 介质中的波动方程 [842] 菲涅尔公式 [843] 盒

中的电磁波 [844] 电磁场的动量守恒 动量流密度张量 [846] 磁旋比 玻尔

磁子 [849]

目录 xii

第三章 电动力学 3

电磁场的参考系变换 [852] 拉格朗日电磁势 [853] 电磁场角动量分解 [855]

第十三部分 量子力学

第一章 量子力学 1

玻尔原子模型 [859] 原子单位 [861] 量子力学与矩阵 [865] 算符和本征问

题 [869] 定态薛定谔方程 [872] 薛定谔方程 [873] 不确定原理 [873] 多维

空间中的量子力学 [874] 高斯波包 [876] 无限深势阱 [877] 升降算符 [879]

简谐振子（升降算符） [880] 简谐振子升降算符归一化 [883] 简谐振子

（级数） [884] 有限深球势阱 [885] 一维 delta 势能散射 [885] 方势垒 [888]

拉比频率 [890] 二维无限深势阱 [891] 平均值（量子力学） [893] 守恒量

（量子力学） [894] 薛定谔方程的分离变量法 [896] 对易厄米算符与共同

本征矢 [897] 类氢原子的约化质量 [900] 概率流密度 [901] 算符的矩阵

表示 [903] 轨道角动量 [906] 轨道角动量升降算符归一化 [908] 自旋角动

量 [908] 自旋角动量矩阵 [909]

第二章 量子力学 2

算符的指数函数 波函数传播子 [912] 平移算符 [913] 旋转算符 [914] 角

动量加法（量子力学） [916] 能量归一化 [918] 氢原子基态的波函数 [919]

球坐标和柱坐标中的定态薛定谔方程 [921] 球坐标中的薛定谔方程 [923]

量子力学中的变分法 [924] 含时微扰理论 [925] 几种含时微扰 [929] 含连

续态的微扰理论 [930] 量子散射 [931] 波恩近似（散射） [935] 质心系中

的多粒子问题 [937] 三维简谐振子（球坐标） [937] 球面散射态与平面散

射态的转换 [939] 库仑波函数 [941] 量子力学的基本假设 [944] 共振 [945]

带电粒子的薛定谔方程 [946] 电磁场中的单粒子薛定谔方程 [947] 电磁

场中的类氢原子 [948] 氢原子电离截面 [949] Volkov 波函数 [950] 氢原子的选择定则 [951] 康普顿散射 [952] 全同粒子 [953] 密度矩阵 [956] Hartree-Fork 方法 [957] 多通道散射 [962] Adiabatic 笔记 [963] 量子力学中的数学笔记 [964] 晶体衍射 [964]

目录 xiii

第三章 量子力学与量子场论

前言 [967] 基本概念 [967] 全同粒子的统计 [981] 近似理论：微扰 [985] 角

动量 [990] 冷原子基本知识 [995] 两个原子间的相互作用 [1004] Feshbach共振 [1012] BCS-BEC Crossover 的平均场描述 [1014] BEC 超流 [1017]

第十四部分 原子分子物理

第一章 原子

类氢原子的定态波函数 [1024] 氢原子波函数分析 [1028] 电子轨道与元

素周期表 [1030] 原子符号 [1032] Keldysh 参数 [1033] FROG [1034] Frog-Crab [1037]

第十五部分 热力学和统计力学

第一章 热力学

气体分子对容器壁的压强 [1042] 理想气体状态方程 [1044] 温度温标 [1046]

理想气体的内能 [1047] 压强体积图 [1047] 热平衡 热力学第零定律 [1048]

热传导定律 [1049] 热力学第一定律 [1050] 等压过程 [1050] 等体过程 [1054]

等温过程 [1056] 热容量 [1057] 绝热过程 [1058] 熵 [1060] 准静态过程 [1060]

卡诺热机 [1062] 分子平均碰壁数 [1065] 气体分子的速度分布 [1066] 麦克

斯韦—玻尔兹曼分布 [1068] 理想气体分压定律 [1068] 饱和蒸汽压 [1069]

第二章 统计力学

统计力学公式大全 [1073] 相空间 [1076] 理想气体的状态密度（相空间）[1076] 理想气体单粒子能级密度 [1077] 理想气体（微正则系综法） [1078]

正则系宗法 [1079] 理想气体（正则系宗法）[1079] 理想气体（巨正则系综

法） [1082] 等间隔能级系统（正则系宗） [1084] 巨正则系综法 [1086] 量

子气体（单能级巨正则系综法） [1087] 量子气体（巨正则系宗） [1089]

目录 xiv

第十六部分 计算物理

第一章 Matlab 简介

计算物理导航 [1092] Matlab简介 [1093] Matlab的变量与矩阵 [1096] Matlab的判断与循环 [1107] Matlab 的函数 [1111] Matlab 画图 [1115] Matlab 的程序调试及其他功能 [1117]

第二章 Python 简介

Python 简介 [1121] Python 数据类型 [1125] Numpy 库 [1126] Python 的字符串与文件读写 [1131] Python 的判断与循环 [1140] Python 函数 [1142]

Python 画图 [1147] Python 的类 [1151] Python 模块 [1151] SciPy 数值微分与积分 [1154] SciPy 最小二乘法 [1157]

第三章 Linux 简介

Linux 基础 [1163] 在 Linux 上编译 C/C++ 程序 [1165] Make 简介 [1168]

Makefile 笔记 [1171]

第四章 C++ 简介

C++基础 [1175] C/C++多文件编译笔记 [1177] SLISC库简介 [1179] BLAS简介 [1179] 矩阵的数据结构 [1184] 带对角矩阵 [1185] GNU Scientific Li-brary [1186] 简单的矢量和矩阵类 [1186] C++ 中的 SFINAE 技巧 [1188]

第五章 其他

LaTeX结构简介 [1193] GitHub Desktop的简单使用 [1196] cuBLAS库 [1199]

第六章 数值验证及常用算法

二项式定理（非整数幂）的数值验证 [1208] 二分法 [1208] 多区间二分

法 [1210] 冒泡法 [1212] 高斯消元法程序 [1214] Nelder-Mead算法 [1218] 最小二乘法的数值计算 [1222] 数值积分（梯形法）[1224] 稀疏矩阵 [1226] 函

数求值 [1227] 离散傅里叶变换 [1228] 离散正弦变换 [1234]

目录 xv

第七章 计算机图形学

图像坐标系 [1237] 三维投影 [1237] 相机模型 [1239] 由图像坐标计算射

线 [1241] 计算 3D 艺术画 [1241] 相机的定位 [1244]

第八章 微分方程数值解

简谐振子受迫运动的简单数值计算 [1246] 天体运动的简单数值计算 [1247]

常微分方程（组）的数值解 [1250] 中点法解常微分方程（组） [1252] 四

阶龙格库塔法 [1255] 刚体转动数值模拟 [1258]

第九章 偏微分方程数值解

一维波动方程的数值解 [1265]

第十章 一维薛定谔方程数值解

一维势能束缚态数值解（试射法） [1271] 无限深势阱中的高斯波包 [1279]

第十一章 氢原子薛定谔方程数值解

球谐函数数值计算 [1285] Crank-Nicolson算法（一维）[1286] Gauss-Lobatto积分 [1287] FEDVR 算法 [1288] Lanczos 算法 [1292] 指数格点 [1297] 虚时间法求基态波函数 [1297] 氢原子薛定谔方程数值解 [1298] 氢原子球坐

标数值解 TDSE [1300]

第十二章 氦原子薛定谔方程数值解

氦原子数值解 TDSE 笔记 [1304] 氦原子波函数数值分析 [1312]

第一部分

科普

1

第一章

经典力学

2

第一章 经典力学 3

经典力学及其他物理理论

物理学理论的可证伪性

著名的奥地利哲学家波普尔（Popper）对科学的划界是：一个命题是科学的，当且仅当它是可证伪的．如果有人提出一个物理理论，那么既可以尝试用

它来计算已有的实验结果，也可以用它来预言一些没有做过的实验结果．如果

在实验误差范围内，所有实验与理论计算得到的结果一致，那么就还没有证据

表明这个理论是错误的，但也不能说它是绝对正确的．毕竟我们不可能把一个

理论的每一种实验，每一套参数都做一遍．然而一旦有一个实验与该理论的计

算结果不相符，那么就可以证明这个理论是错误的1，这就是物理学理论的可

证伪性．

然而可惜的是，在物理学中目前还没有一个理论可以在任意范围内解释实

验或观测结果，所有的理论（如经典力学，相对论，量子力学，量子场论）都

只在一定的范围内成立．我们能做的仅仅是不断创造与实验符合得更精确，且

适用范围更广的理论．这样一来，给一个曾经普遍接受的理论打上“错误”的

标签似乎有些不妥，于是我们一般称其为在适用范围内成立．

物理理论的适用范围

本科物理学课程一般从经典力学开始，我们将其作为例子来讨论．经典力

学在宏观低速的范围内适用．粗略而言，“宏观”要求物体的质量远大于原子

的质量，“低速”要求物体的运动速度远小于光速．事实上还有一个条件是“弱

引力场”，例如由于水星离太阳较近，引力场较强，导致其轨道与经典力学的

计算出现偏差（轨道进动）．所以严格来说，经典力学是一个被证伪的理论．

若上述中只有“低速”条件不满足，我们就需要使用狭义相对论，若“弱引

力场”条件不满足，就需要广义相对论（狭义相对论是广义相对论的一部分），

若“宏观”条件不满足，就需要量子力学，若都不满足，那么现在还没有非常

完善的理论可以计算（我们预先把它叫做万物之理，theory of everything）．以相对论（狭义和广义的统称）为例，它所适用的范围既包含了经典力学

1当然首先要考虑是否存在计算错误，实验操作失误，或者存在未考虑到的因素

第一章 经典力学 4

适用的范围，又包含了“高速”和“强引力场”，所以原则上相对论可以完全

取代经典力学．由于经典力学在适用的范围内已经得到几百年来大量的实验验

证，那么如果相对论是正确的，在经典力学适用的范围内，用相对论计算问题

就应该得到同样的结果2．值得注意的是，相对论提出的一些物理概念与经典

力学大相径庭．经典的万有引力定律提出任何两个物体之间都存在万有引力，

而相对论却指出并不存在引力，而是有质量的物体扭曲了周围的时空，使周围

物体的运动方式不同．既然相对论的适用范围更广，那么至少从目前看来相对

论对物理现象的解释才是更可信的，而经典力学的解释是错误的．

既然如此，为什么我们还要先学习经典力学呢？首先无论在概念上还是数

学上，经典力学比相对论简单得多．其次在日常生活或生产中我们接触的绝

大部分运动都在经典力学的适用范围内．第三，相对论中同样会出现“参考

系”，“速度”，“能量”，“动量”，等概念，这些概念只有先学习经典力学才会

有一个初步的认识，才能继续学习相对论．最后，通过学习经典力学可以了解

物理中常见的数学工具，包括一些基础的微积分，矢量分析，线性代数等，这

些数学在物理的其他领域更是无处不在．

以上论述同样适用于量子力学与经典力学的关系．量子力学除了在经典力

学的范围适用，还描述了微观粒子的运动．总而言之经典力学在现代的物理学

中只是一个简单的近似模型，提出的一些原理并不正确，公式也只是一种近似．

一些民间科学家（俗称民科）时常企图推翻牛顿定律，显然是还不了解这点．

另一方面，即使是相对论和量子力学也并非完美无瑕，通常所说的量子力

学是指“非相对论量子力学”，即同样要求“低速”和“弱引力场”．量子场

论（Quantum Field Theory）结合了量子力学和狭义相对论，但仍然没有解决“强引力场”的问题．

经典力学

预备知识 物理理论[3]

2准确来说，二者计算结果的误差需要在实验的测量误差范围内．

第一章 经典力学 5

经典力学

经典力学描述的是若干（宏观低速）的粒子（就是高中所讲的质点）受若

干力以后的运动情况．牛顿三定律[560] 可以作为经典力学的公设．公设在这里

指的是某个理论体系（例如经典力学）内的基本假设．由这些假设可以推导出

理论体系中的所有推论，但其本身却无法被推导而来3，只能通过实验证明．我

们可以将牛顿三定律想象成一个懂经典力学的电脑，只需输入初始时刻所有粒

子的状态（位置和速度/动量），以及每个粒子的受力/势能函数，就可以得到接下来每个粒子的运动方式（位置关于时间的函数）．我们在研究某个问题时，

往往把讨论范围内的粒子叫做系统．

例如我们要研究太阳系中行星的运动，就往往把这些行星看作是粒子（质

点），这是因为比起他们的距离来，他们本身的大小可以忽略不计4．我们只要

知道某时刻（初始时刻）它们的位置和动量（在大学物理中，你会发现我们更

多地使用动量而不是速度，在已知质量的情况下，它们所包含的信息是一样的，

即一一对应），将它们输入“牛顿三定律”这台电脑中，就可以得到接下来所

有天体的运动情况，即任意时刻任意粒子的位置和动量．

刚体和流体

质点的模型忽略了物体的实际大小，如果要考虑一个大小不可忽略的物体

的转动，以及若干个大小不可忽略的物体之间的相互作用该怎么办？事实上，

这些物体也是由原子和分子构成的5．在固体中，原子之间的作用力使它们相

对位置较难改变，例如可以想象每个原子和与它相邻的原子都以较硬的弹簧相

连．所以，我们同样可以把这些物体看作是由质点组成得．这样，我们就可以

用质点的力学来描述有形状有质量分布的物体了．在力学中我们经常使用一种

理想模型叫做刚体，即假设物体中连接这些质点的弹簧的劲度系数为无限大，

或者把他们看成不可伸缩的棍子．所以如果我们近似认为一个物体无限硬，忽

略其自身的形变，我们就可以用刚体的模型来描述它．

3“无法被推导”是在这个理论内部而言的．一个理论的基本假设可以由更高级，使用范围更广的理

论的基本假设推导出来．例如牛顿第二定律可以由狭义相对论或量子力学的基本假设推导而来．4在物理中，我们经常使用这种手段简化问题，并将其称为近似5经典力学不能准确描述原子的结构和运动，要使用量子力学，但我们这里讨论的是组成物体后的宏

观运动，所以即使用经典力学来描述原子得到的宏观运动也是正确的

第一章 经典力学 6

另一种物质的形态，液体，同样可以用理想化的力学模型来描述，我们把

它叫做流体，流体力学是力学中十分重要的分支，轮船，高铁，飞机和火箭的

设计都要使用它．

受力决定运动

经典力学中最简单的一类问题是：已知初始时刻若干粒子的运动状态，以

及接下来每一个粒子的受力．以直线运动为例，F 随时间 t 的变化（即函数

F (t)）．根据牛顿第二定律，可以求出每个粒子任意时刻的加速度 a（正比于

F），进而求出速度 v 随时间的变化，也就是求“加速度—时间”曲线下面在某

段时间的面积（这在数学上叫做定积分）．有了速度随时间的变化，我们又可

以通过面积求位置随时间的变化（同样是定积分，求“速度—时间”曲线下面

的面积）．例如我们知道一个沿直线运动的粒子受一个恒力（例如自由落体），

它的加速度是恒定的，这个过程如图 1．这种方法适用于任何形状的 F (t) 曲线．

图 1: 匀加速直线运动（见“互动演示”页面），加速度曲线下方从 0 到 t 的面积是速度，速度曲线下方从 0 到 t 的面积是位移

http://wuli.wiki/apps/consta.html

第一章 经典力学 7

简谐振子

为了方便下文举例，我们先来介绍力学中的一个经典模型即简谐振子．假

设无摩擦的光滑水平直轨道上有一根质量不计的弹簧一端固定不动，而另一端

上固定了一个质点．如果给这个质点一个初速度或初位移，那么它将会沿着轨

道往复运动，我们把这种运动叫做简谐运动．顺带一提，我们以后会看到位置

关于时间的函数恰好是 cos(ωt)，ω 是角频率，代表振动的快慢．

x0A− A

图 2: 简谐振子

更困难的问题

事实上我们很少会遇到“已知每个质点的 F (t)”这么简单的条件．即使在

简谐振子这样简单的模型中，我们也不可能事先就知道质点受力关于时间的变

化情况．因为受力分析得到的是力关于位置的变化（F (x) = −kx，k 是劲度系数），而粒子的位置变化（函数 x(t)）又取决于受力．这样一来，我们就没有

办法像上面一样直接用定积分来解决这个问题了．

为了解决这样的问题，我们需要使用微分方程．但现在我们可以用以下的

简单思路进行一个近似的数值计算：例如在简谐振子的模型中，假设质点初始

时刻处于弹簧的平衡位置 x = 0（受力为零）并具有一个初速度 v0，在很小一

段时间 ∆t 内，由于 x 仍然很小，我们可以继续认为质点不受力，做匀速运动．

这样当它移动到 x = v∆t 时，我们重新计算它的受力得到 F = −kx = xv∆t，然后假设在下一段很短的时间 ∆t 内仍然假设质点受力不变，计算出位置和速

度的变化．如此循环，就可以数值计算出 x(t)的一系列散点，连起来就得到了

位移—时间曲线．当 ∆t 取得越小，这种近似就越精确．

分析力学

分析力学的数学形式比牛顿定律复杂，但和牛顿力学是等效的，即任何分

析力学计算的问题用牛顿定律同样能计算并得到完全相同的结果，反之亦然．

第一章 经典力学 8

分析力学常见的形式有两种，一种是拉格朗日力学，使用拉格朗日方程，另一

种叫哈密顿力学，使用哈密顿方程．量子力学就是在哈密顿力学的基础上建立

起来的，其重要性可见一斑．

相比与牛顿力学，分析力学的优势主要有两点．一是当计算的系统越来越

复杂的时候（例如蒸汽机等复杂的机械结构）分析力学一般能更快捷地列出微

分方程组，而牛顿力学所需要的受力分析会变得非常复杂．另一方面，分析力

学能使我们站在更高的高度看问题（例如可以分析出系统中的守恒量）．

为什么复杂的数学形式反而在一些情况下使列方程变得简单呢？如果把

牛顿定律比作电脑，那么分析力学就相当于一个更智能的电脑，对于系统中的

某些物体，无需告诉电脑它的受力，只需告诉电脑它物体之间的运动的约束

即可．约束简单来说就是怎样的运动是不可能的：例如单摆中的质点就“不可

能”沿着绳的方向运动，两个咬合的齿轮“不可能”一个转动一个不转．用约

束条件代替受力分析，在适当的时候可以大大提高列方程的效率．

例如在以下活塞结构中，活塞，连杆，飞轮被约束起来，活塞的运动状态

（位置和速度）决定了整个系统的运动状态（未完成）

狭义相对论

（未完成）同样讨论质点组成的系统受力后的运动情况．牛顿三定律只适

用于宏观低速弱引力场条件，如果粒子的速度相对光速不可忽略，那就需要

使用“更精确”的牛顿第二定律，且惯性参考系切换也变得更复杂（洛伦兹变

换）．当速度越低，狭义相对的计算结果越接近牛顿力学．相对论同样并不适

用微观．

广义相对论

（未完成）加上强引力场和非惯性系．

混沌

（未完成）二体运动是令人愉悦的简单曲线（可参考词条“二体运动”），但

三体问题不是．事实上，三体问题除去一些简单近似周期解（可参考“限制性

三体问题”），之外没有解析解．

还有更复杂的问题，例如：湍流．

第二章

电动力学

9

第二章 电动力学 10

电动力学

预备知识 经典力学[4]

本科阶段通常会有几门不同深度关于电磁场场的课程，第一门往往叫做电

磁学（electromagnetism），比较高级的课程叫做电动力学（electrodynamics）．从课程内容上来说，电磁学就是简单的电动力学．严格来说，电动力学强调

场和电荷的运动规律，如果研究静止的电荷和电磁场，可以将其称为静电学

（electrostatics）或静磁学（magnetostatics）．我们以下统一使用电动力学．经典力学研究若干粒子（质点）受若干力后的运动情况，这里的粒子可以

是任何有质量的粒子，力也可以是任何力．电动力学研究的是一堆带电荷的质

点（既有质量又有电荷）受一堆电磁力后的运动情况．所以唯一需要做的是，

弄清如何计算这些电磁力，再用经典力学就可以得出粒子的运动．

电磁力和电磁场

E

F

E

F

图 1: 静止的电荷突然振动几下又停下来，扰动就会以电磁波（橙色部分）的形式向外传播，到达另一电荷的位置时，才会有力的变化．图中只画出了一个

电荷产生的场．

经典力学中万有引力是超距的，就是说只要两个质点存在，不管他们相隔

多远都会立即有作用力（与质量和距离有关），如果它们之间的距离发生改变，

第二章 电动力学 11

那么这个作用力也会立即改变．这是不合理的（现在我们知道任何信息的传递

都不可能超过光速，如果一个粒子动一下，另一个粒子马上就能感到力的变

化，那就可以超过光速传递信息）．电动力学不同，我们需要先计算电场和磁

场（场就像波一样，传播需要时间），再根据粒子所在位置的场计算粒子的受

力（其他地方的场如何与粒子受力无关）．例如库仑定理的形式虽然和万有引

力一样，但是在电动力学中我们先计算一个粒子在另一个粒子处产生的电场，

再计算处于该电场中的粒子所受电场力（库仑力）．当两个粒子都静止时，这

么做似乎和直接由距离计算力有没有区别，但如果某时刻其中一个粒子抖动了

一下，电场（先不提磁场）就会像扰动的水波一样将这个扰动沿各个方向以一

定的速度传播，直到传播到另一个粒子所在的地方，另一个粒子才能从电场中

感觉到受力的变化．

磁场虽然产生的方式和对粒子的作用与电场不同，但也会像波一样传播．

事实上，电场和磁场并不是独立传播的，上面说的电场扰动的传播时必须同时

借助磁场．

电荷

电荷在电动力学中扮演了两个角色．一是电磁场是由电荷产生的．二是只

有带电荷的粒子在电磁场中才会受力，其他粒子不会．

麦克斯韦方程组

麦克斯韦方程组是一组写描述场变化规律的数学公式．可以想象成一个懂

电动力学的计算机，只要告诉它所有的带电粒子在哪里，以及如何运动（位置

关于时间的函数），它就能计算出空间中任何一点的电磁场．和机械波（如水

波）不同，电场和磁场在每个位置都既有方向也有大小（有方向和大小的量叫

做矢量，这种场叫做矢量场）．

麦克斯韦方程组是电动力学的公设之一．

电磁力

任何一个带电粒子某时刻受到的电磁力（也叫广义洛伦兹力），都可以由

它所在的位置处的电磁场（两个矢量）以及它当时运动速度（也是矢量）通过

公式计算出来．这是电动力学的另一个公设．

第二章 电动力学 12

可见，在经典力学的基础上加上麦克斯韦方程和广义洛伦兹力的公式后，

如果我们知道一堆带电粒子在某个时刻的运动状态（位置和速度），我们就可

以知道接下来每个粒子如何运动．

静电的基本规律和性质

两种电荷

高中时候我们就已经了解到摩擦带电，并且人们将用绸子摩擦过的玻璃棒

所带电荷称为正电荷，将用毛皮摩擦过的硬橡胶棒所带电荷叫做负电荷．（注

意这种命名一开始是任意的，但一直沿用至今）

这两种电荷相互接触能够互相中和，也就是正负电荷完全抵消．

性质同性相斥，异性相吸．（也就是同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸

引）

电荷守恒定律

电荷既不能被创造，也不能被消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物

体，或者从物体的一部分转移到另一部分．换句话说，就是任何物理过程中电

荷的代数和是守恒的．（这是物理学中的普遍的基本定律）∑Qi = C (1)

电荷的量子化（charge quantization）

通过密里根油滴实验，密里根发现油滴所带的总电荷是一个数值的整数

倍．这个数值就是电荷量 e，也就是量子化的．在这里稍微提一下其实验内容,对其实验感兴趣的读者可以去查找相关资料作为补充阅读．

具体实验图如下：

这个实验的原理是根据油滴的受力平衡原理（粗略的理解可以认为：油滴

的重力 mg 和电场力 qE 平衡，但其实具体实验过程中还需考虑空气的粘滞性

对油滴产生的阻力等因素），计算出油滴的带电量，从而得出电荷量．）

第二章 电动力学 13

图 1: Simplified scheme of Millikan’s oil drop experiment(来自维基百科)

点电荷

在研究带电体的时候，当带电体的形状大小，和电荷分布等因素可以忽略

不考虑的情况下，我们为了研究的方便，经常把这样的物体抽象的看成一个几

何点，也就是点电荷．

Reference:

赵凯华, 陈熙谋. 电磁学 (新概念物理教程, 第二版)[J]. 2006.

荷质比的测定

预备知识 静电的基本规律和性质[12]

荷质比

原理：利用电子（或其他带电粒子）在磁场中偏转性的特点，测得粒子电

荷与质量之比（即荷质比）说明：荷质比是带电微观粒子的基本参量之一．

典型的测量荷质比的方式有两种

汤姆孙测量电子荷质比的方法

玻璃管内抽成真空，在阳极 A 与阴极 K 之间维持数千伏特的电压，靠管

内残存的气体的离子在阴极引起的二次发射产生电子流．阳极 A 和第二个金

第二章 电动力学 14

图 1: 汤姆孙法测荷质比

属屏 A′ 中央各有一个小孔，K、A 之间被加速了电子流，只有很窄一束能够

通过两孔．玻璃管的中部 C、D 为电容板的两极板，在其间可产生一竖直方向

的电场．图中阴影部分，是由管外的电磁铁产生一方向垂直纸面的磁场．适当

的调节电场和磁场的强度，可使它们作用在电子上的力达到平衡，即：

eE = evB (1)

然后，将电场切断，电子束在磁场区域内将沿圆弧运动，此圆弧半径可得：

R =mv

eB(2)

因此，电子的荷质比为：

e

m=

v

RB=

E

RB2(3)

通过测得 R 之后，我们就能求出荷质比了．

磁聚焦法

图 2: 磁聚焦法测荷质比

抽真空的玻璃管中装有热阴极 K 和有小孔的阳极 A．在 A，K 之间加电压 ∆U 时，由阳极的小孔射出的电子动能为：

1

2mv2= e∆U (4)

第二章 电动力学 15

从得到其速率为：

v =

√2e∆U

m(5)

在电容器 C 上加一个不大的横向交变电场，使不同时刻通过这里的电子发生

不同程度的偏转．在电容器 C 和荧光屏 S 之间加一均匀的纵向磁场, 电子从C 出来后将沿螺旋线运动，到达距离 h = 2πmv

eB的地方聚焦．适当的调节磁感

应强度 B 大小，使得电子流的焦点落在荧光屏 S 上．其中 h 是 C 到 S 间的

距离．将上述方程中的 v 消去，我们有：

e

m=

8π2∆U

h2B2(6)

(上式中方程右边的各量都能够测出来，因此我们能够确定 e/m)参考文献：赵凯华, 陈熙谋. 电磁学 [M]. Gao deng jiao yu chu ban she,

2011.

第三章

量子力学

16

第三章 量子力学 17

原子的观念

1在《生活大爆炸》的第 3 季第 10 集中，莱纳德邀请伯纳黛特参观他正在做的验证 AB 效应（全称是阿哈朗诺夫-玻姆效应）的实验．佩妮不想落于人后，也想在聚餐的时候谈论莱纳德的实验，于是央求谢尔顿教她物理．

但物理是没法速成的，要讲就得从古希腊开始．

“假想在一个炎热的夏季的夜晚，你刚刚在阿戈拉（集市）买完东西……”

“但，这与莱纳德的研究有什么关系呢？”

谢尔顿的回答是：“科学是个 2600 年的旅程，从古希腊开始，经由牛顿，到玻尔（旧量子论），然后薛定谔（波动力学），到哥本哈根学派”，最后我们

才能谈论莱纳德的实验．

我们也采用类似的路径，首先让我们回到 2600 年前雅典的阿戈拉，一个炎热的夏季夜晚，那里正有人在发表关于原子的理论．

图 1: 公元前 2 世纪雅典鸟瞰图

柏拉图的四元素说

关于物质的理论，自古就有，比如古希腊的泰勒斯曾说“万物皆水”，后

来又有人说万物是四种元素“水、气、土、火”构成．这就是所谓四元素说．

1本文根据 CC-BY 协议转载自季燕江的《量子序曲》，进行了重新排版和少量修改

第三章 量子力学 18

四元素说本来是古希腊人的常识（common sense），但柏拉图给这种关于物质的学说理论化，系统化了．这些内容被记载在柏拉图（427 BC —347 BC）的宇宙论《蒂迈欧篇》中．

这里我们可以给出一个论证的概要：

• 万物或者是可见的，或者是可以触摸的．可见是因为光，可以触摸是因为坚硬．光是火的性质，坚硬是土的性质，这样我们就有了“火和土”两

种元素．

• 万物是三维的，我们需要像“胶水”一样的元素把“火和土”按比例混合起来成为三维的物体．这里柏拉图是通过构造如下数列来论证的：

1 = 12 = 13, 2, 4 = 22, 8 = 23, 16 = 42, 32, 64 = 43, ... (1)

这里 1 = 13，8 = 23，64 = 43，...，叫做立方数．每两个立方数之间正好是两个数，比如 1 和 8 之间是 2 和 4；而 8 和 64 之间是 16 和 32．柏拉图因此论证说需要两种元素在“火和土”之间调和使生成万物，这两

种元素就是水和气．

• 不论是可见，还是可以触摸，都可以归结为形状，而形状可以归结为多边形的拼合，多边形则可以归结为三角形的拼合．三角形是研究形的基

础，或说三角形是研究几何学的基础．

• 柏拉图提出了两种基本的直角三角形：（1）等腰直角三角形，记做 T45；（2）一个锐角为 30o 的直角三角形，记做 T30．

• 利用两种基本的直角三角形可以拼成四种正多面体，即正四面体、正八面体、正六面体和正二十面体．

1. 柏拉图认为立方体，即正六面体最稳定，因此把土的形定为正六面体．

2. 正四面体有最锐利的尖角，因此是最活跃的．火的形就是正四面体．

3. 剩下的还有气和水．因为气比水活跃，因此气的形就是正八面体．

4. 还剩下最后一个，正二十面体，是水的形．

第三章 量子力学 19

图 2: 五种正多面体，也称柏拉图多面体．这里面的正十二面体没有出现在对元素的构造中，这是柏拉图理论中欠缺美感的地方．

表 1: 柏拉图的“元素说”元素 正 n 面体 等腰直角三角形 30o 直角三角形

土 正六面体 12 0火 正四面体 0 8气 正八面体 0 16水 正二十面体 0 40

这些形都是很小的，用今天的话说就是“水气土火”的原子．并且这些原

子还可以相互转化．

• 只有土是由等腰直角三角形围成的，因此土最稳定，它会被火溶解，可以被气或水分解，但不会转变成其它元素．

•“火、气、水”都是由 30o 的直角三角形围成的，因此可相互转换．比如，我们可以写出如下的反应方程式：

1Water → 2Gas+ 1Fire (2)

反应前有 40 个 T30，而反应后有 2× 16+ 8 = 40 个 T30．我们可以把上式与电解水的反应方程式比较：

2H2O → 2H2 ↑ +O2 ↑ (3)

第三章 量子力学 20

从思维的角度这是属于同一母型（Prototype）的．如果我们说古代思想会对近代科学有启迪作用，或我们说人总是在几种思维母型里打转转就毫不奇怪

了．实际上量子力学的创建者，比如海森堡自幼就熟读《蒂迈欧篇》，如果说

这些这些直观的图像会对他有潜移默化的影响可能并不夸张．

以上是柏拉图元素论的概要，当然这些都是非常粗糙的论证，而且经不起

实验的定量检测，但元素之间可以互相转化，这个想法还是启迪了后来的炼金

术，并最终导致了近代化学的出现．

伊壁鸠鲁的原子论

原子在古希腊语中不可再分的意思，这个不可再分固可以做物理上的拆分

理解，亦可作逻辑上的不可再分（析）理解．比如刚才介绍的柏拉图关于“水

气火土”四元素的理论就是逻辑上无法再分析的范例．

柏拉图的理论在古代是显学，2000 多年来一直有稳定的传承，但它在古代并非没有对手，比如从德谟克利特、留基伯到伊壁鸠鲁、卢克莱修的原子论．

但说实话这两种理论区别并不大，他们争执不休，以至于柏拉图都准备带弟子

去焚烧德谟克利特的著作，并非是他们对自然真有什么本质的看法不同，毕竟

都是一个时代对自然的看法．

关键的分歧是他们对伦理学和政治学的观点不一样，而古人的学问是个整

体，伦理学的基础是哲学和科学，要驳倒对方，争取听众，釜底抽薪，攻击对

方的科学观点是一个潜在的选择．

古代原子论者是今天所说的唯物论者，他们不相信灵魂，把生命看做是一

堆原子具有功能性、活性或协调一致运动的集合．就好像是一把调谐良好的里

拉琴，只要弦不断就能奏出美妙的音乐，对应于人的生命状态，而弦断则对应

人亡，灵魂在这里是无所栖身的．没有灵魂，自然就没有死后世界，所有传统

的道德说理就被架空了，Polis 将处于危机之中．柏拉图派对唯物论者（或自然哲学家）的反感和敌对就在这里．

当然这并非我们现在的主题，我也不再继续展开讨论，而仅仅强调一点，

即当我们讲到古代原子论的时候，我们应把柏拉图派的很多观点、理论也置于

古代原子论的范畴内，而不仅仅是介绍自然哲学家的原子论．实际上很多柏拉

图派的理念，比如天球的理念和近代原子模型是很接近的．对玻尔、海森堡这

些哲学倾向很强的物理学家，很难想象他们没有阅读过《理想国》和《蒂迈欧

第三章 量子力学 21

篇》，而如果读过的话，他们一定对柏拉图的“数学-几何学”的宇宙模型印象深刻．

下面我将扼要地介绍伊壁鸠鲁的原子论，伊壁鸠鲁（341 BC —270 BC）的《致希罗多德书信》是现存最早的关于原子论的记录，再早的比如德谟克利

特和留基伯的就都已经失传了．

• 在视觉上存在最小的点，再小我们就看不见了，这个视觉上的最小的点是有大小的．由此类比：物质也是由最小的不可再分的最小单元构成的，

再小是不存在的．就这一点而言，伊壁鸠鲁的方案和柏拉图的方案是不

同的，柏拉图的基础三角形没有明确地说存在最小、最基础的三角形．今

天的人大多会认为物质存在最小的不可再分的单元是很抽象的，或很难

想象，但在古人那里也许未必．比如在中国古代是通过计量“肥而美”的

“黑小米”来建立度量衡制度的，而在古代西方也有类似的比喻，比如卢

克莱修在《物性论》中把水想象为大量罂粟籽的集合，比如阿基米德在

《数沙者》中假想整个宇宙都充满了沙子，然后计算了整个宇宙中有多少

粒沙子．古人的数学观念是由“1，2，3，……”出发开始建立的，对他们来说想象一个由原子构成的世界其实是更简单的．这个原子就好比构

成宇宙、万物的基础砖石，我们先寻求生命的结构和功能，进而问生命

的可能的意义是什么？

• 原子很小，因为我们谁也没见过原子．但我们没法假设原子的大小是绝对的 0，因为如果那样的话，很多原子就无法构成万物了，而万物在我们的眼里是有体积的．

• 原子如果有大小，那它就有部分，有形状．所以这里我们说的“不可再分”其实是物理意义下的，因为从几何学的角度，原子既然有部分，有

形状，那它就可以在想象中继续分解．这里区分了物理意义下的“分”，

和数学意义下的“分”．前者对应今天的原子物理和量子力学，而后者对

应的则是数学分析．

• 原子既然有大小，有形状，它们之间就可以发生机械的相互作用，甚至结合成几个原子构成的具有特定功能的结构单元——分子．

没错，这都是伊壁鸠鲁天才的猜想．从字面上说已经很类似今天化学、甚

至生物化学对结构和功能的解释．

第三章 量子力学 22

当然，这里我们无需把这一天才的猜想神秘化，古代世界是个机械的世

界，各种机械装置，从三列战舰、到攻城者德米特里乌斯的巨型攻城器

械，古希腊人生活在这样一个机械无所不在的航海和贸易的时代，把原

子想象成简单机械，把分子想象成具有特定功能的机械组合，进而把生

命想象成极复杂的巨型机械都不是不可能的．

小结一下：柏拉图的四元素说和伊壁鸠鲁的原子论都是基于“形”的学说，

但伊壁鸠鲁不能把他的理论数学化同时他的兴趣也不在于研究诸如——既然

原子是有大小的，那么原子的大小到底是多少呢？——这类问题．

因此虽然古代原子论，无论是柏拉图的学说还是伊壁鸠鲁等自然哲学家的

学说对人们想象原子有启发，但都不能说古希腊人已经接近了一个近代的原子

论．近代原子论正如海森堡所说，是建立在一系列实验事实基础上的，当然还

有概念体系和计算方法．

以下摘录海森堡在《物理学和哲学》第四章的一段讨论作为本小节的结

束．

“在将原子物理学中的现代观点和希腊哲学作了类比之后，我们必须补充

一个警告，即对这种类比不应有所误解．乍看起来，似乎希腊哲学家由于某种

天才直觉而得到了与我们现代相同或很相似的结论，而我们的结论却是经过几

个世纪的实验和数学方面的艰苦劳动才得到的．对我们的类比的这种解释无论

如何是一种完全的误解．

在现代科学和希腊哲学之间有着巨大的差别，那就是现代科学的经验主义

态度．自从伽利略和牛顿的时代以来，现代科学就已奠基于对自然的详细研究

之上，奠基于这样一个假设之上，这就是：只有已被实验证实的或至少能被实

验证实的陈述才是容许作出的．为了研究细节并在连续不断的变化中找到经久

不变的定律，人们可用一个实验在自然中隔离出若干事件，这种观念希腊哲学

家是没有想到过的．

由此可见，现代科学在一开始就立足于一个比古代哲学更谨慎同时也更巩

固得多的基础之上．因此，现代物理学的陈述在某种意义上比希腊哲学更严肃

得多．”

第三章 量子力学 23

三角学

角度

首先由圆出发，假设圆的半径是 R，角 θ 张成的圆弧是 l．

图 3: 圆

l = Rθ (4)

这其实构成了对角度 θ 的定义，

θ =l

R(5)

假想这个圆以半径 R 完整地转一圈，我们把这个角度定义为 2π，在平面

上的张角只能取 0 → 2π，π 是个无理数，它近似地等于：

π = 3.14159265... (6)

这样定义的角度叫“弧度制”．但通常我们会把一个完整的圆周分成完全

相等的 360 份，每一份称为一度，一度再等分为 60 份，每份叫一分，一分再等分为 60 份，每份叫 1 秒，这就是所谓“度分秒”制．“度分秒制”的好处是，60 很容易被 2、3、4、5、6 等分，这对古人精确

地计算星星在天空中的方位是很重要的．比如：17 度 25 分 30 秒可记为：

17o25′30′′ (7)

我们可以把一个圆周对应的张角分成完全相等的四份，每一份都是个直

角，一个直角在弧度制下是 π/2，而在度分秒制下则是 90o．

第三章 量子力学 24

正弦和余弦函数

现在来考虑一个直角三角形，即一个角是直角的三角形：

图 4: 直角三角形

假设其中一个锐角是 θ，θ 所对的直角边是 a，另一条直角边是 b，斜边是

c，我们有毕达哥拉斯定理：“斜边的平方等于两直角边的平方和”．

c2 = a2 + b2 (8)

我们可定义正弦和余弦函数如下：

sin θ = ac

cos θ = bc

(9)

即正弦函数被定义为对边 a 与斜边 c 之比，而余弦函数被定义为邻边 b

和斜边 c 之比．

类似地我们还可定义正切函数（tan θ）和余切函数（cot θ）：

tan θ = ab

cot θ = ba

(10)

现在考虑一个单位圆，即半径为 1的圆，假设圆上一点逆时针地围绕圆心转动起来．这一点向 x 轴的投影是 x，向 y 轴的投影是 y．

据说第一个三角函数表（Trigonometric table）是古希腊天文学家伊巴古（又译作喜帕恰斯，190-125 BC）编纂的．

根据上表，我们可以计算：

sin(θ + π/2) = sin θ cos π/2 + cos θ sin π/2 = cos θ

cos(θ + π/2) = cos θ cos π/2− sin θ sin π/2 = − sin θ(11)

第三章 量子力学 25

图 5: 两角和公式

图 6: 投影

于是得到正弦/余弦函数的性质：

sin(θ + π/2) = cos θ

cos(θ + π/2) = − sin θ(12)

当 θ 从 0 → 2π 变化时，x 的取值将从 1 → 0 → −1 → 0 → 1，然后重复，而 y 的取值将从 0 → 1 → 0 → −1 → 0，然后重复．这种周期性的运动很类似月相的变化，望是满月，朔是新月，由于月球围

绕地球的运动，我们在地球上观察将看到月亮由月初的新月，到月中（十五）

的满月，然后到月末又回到新月，然后重复．

第三章 量子力学 26

表 2: 常见三角函数的取值θ sin θ cos θ0 0 1π/4 1√

21√2

π/2 1 0π 0 -1

图 7: sin θ 和 cos θ

在此意义下我们称 θ 为相位（phase）．正弦和余弦函数在物理学中的用处很多，比如它是弹簧振子的解，是波动

方程的解等．

振动

对振动而言，相位是：

θ = ωt (13)

这里 ω 叫角频率，当 ωt = 2π 时，振动正好重复一个周期 T，

T =2π

ω(14)

描述振动的方程是：

A cosωt (15)

A 叫做振幅，振动将在 A→ 0 → −A→ 0 → A 重复发生．

第三章 量子力学 27

表 3: A cosωt 描述的运动时间 相位 位置

0 0 AT/4 π/2 0T/2 π -A3T/4 3π/2 0

T 2π A

但有时候当 t = 0 时，我们就已经有了一个非零的相位 θ0 了，这时描述

振动的方程将变成：

A cos(ωt+ θ0) (16)

这里 θ0 叫做初相位（initial phase），我们管用正弦/余弦函数描述的振动叫简谐振动．

波动

振动是在时间变量上的重复．波动是在时间和空间上的重复．我们所处的

世界是一维的时间再加上三维的空间．为了简单，我们先考虑空间也是一维的

情况．

假设我们在体育场里造人浪（Mexican wave），开始的时候也许只有一个人重复地做“站起-欢呼-坐下”，再“站起-欢呼”再“坐下”，然后重复的动作，他旁边紧挨着的人注意到他的动作，也会跟着模仿他的动作，但因为距离的存

在，旁边的人要反应过来跟着他一起做需要过一段时间，即有个时间的延迟．

图 8: 墨西哥人浪起源于 1986 年的墨西哥世界杯．在那届世界杯上，热情的球迷自发地运用一种交替起立欢呼的方式自娱自乐，为球队加油，从远处看就像

一阵阵的海浪．

假设人与人之间的间距是 ∆x，时间的延迟是 ∆t，波动在空间上传播的速

度就是：

第三章 量子力学 28

v =∆x

∆t(17)

假设第一个人正好完成了一个振动的周期 T：“坐着、站起、欢呼、坐下、

坐着”

这时如果他抬头看的话，他会发现距离他 λ 远处某个人正处于和他一样

“坐着”的状态，而且他马上就要站起来了，因为他紧邻的人已经在做“站起”

的动作了．

可以设想，这两个相距 λ 的人将做完全同步的振动，在我们外人看来，他

们一起“坐着”，又一起“站起”，一起“欢呼”，……

如果用振动的语言说的话，它们的相位是相同的．但这么说让我们不舒服，

因为毕竟后一个人的运动要晚于第一个人，我们说，“空间相距 λ 远的两个点，

它们运动的相位正好差 2π”．

这样说就舒服了．

现在我们假设体育场里已经造起了人浪，我们应该如何描述它呢？这是一

个以空间位置 x 和时间 t 为变量的函数．

假设 t 固定，比如令 t = 0 我们得到一个随 x 起伏变化的函数，这就相当

于是照相机照的快照，在某个时间运动冻结了，但仍会在空间 x 上有个分布，

假设这个函数是：

ψ(x, t = 0) (18)

这个分布其实就是个波形，它围绕 x = 0 附近展开．单独看这个随 x 起

伏的波形，它也是周期性的，是空间调制意义下的周期性，每增加波长 λ，ψ

就重复．

假设 ψ 可以表示为一个正弦/余弦函数，这意味着：x 每增加 λ，相位的变化是 2π．即：

ψ(x, t = 0) = A cos 2πxλ

(19)

现在假设时间是 t，并且 t > 0，波形会向前传播，时间 t 波形向前移动了

vt，这意味着波函数是在 x = vt 附近展开的．

ψ(x, t) = A cos 2πλ

(x− vt) (20)

第三章 量子力学 29

图 9: 经过时间 t，波形会向前移动 vt，或者说是函数沿 x方向发生了平移，平移前函数是 ψ(x)，而平移后函数是 ψ(x− vt)．

假设波形移动 λ 需要花费时间 T，波形移动的速度 v 是：

v =λ

T(21)

波函数 ψ(x, t) 变成：

ψ(x, t) = A cos 2π(x

λ− tT

)(22)

定义波矢 k，和角频率 ω 分别为：

k =2π

λ

ω =2π

T

(23)

波函数取常见的形式：

ψ(x, t) = A cos (kx− ωt) (24)

现在相位是：

kx− ωt (25)

固定时间，我们会得到波动随空间的分布，x 越大，相位也越大．固定位

置，我们会得到波动就在这个位置随时间的振动．

习题 1假设人眼瞳孔大小是 2 mm，可见光波长是 550 nm，利用公式：

第三章 量子力学 30

θ = 1.22 · λD

(26)

估算人眼的角分辨本领，并把结果换算为“度分秒”为单位．

据说第谷（1546-1601）对星星观察的准确度能够达到二弧分，已经逼近肉眼的理论极限，当然夜晚观星瞳孔会放大，这有利于提高他的精度．

从天球的音乐到玻尔模型

2形或古希腊人所说的“idea”，有多种含义，比如：形状，这是和视觉有关的；比如风格、分类，这可以是和视觉有关的，也可以无关，比如音乐也可

以有风格，这就是和声音有关的了．

和视觉有关的“形”是直观的，我们无须论证，纠结于如何用语言表达，

仅凭图形——或者是静态的，或者是想象中动态的——直接给出结果．对形的

研究会导向几何学，几何本身是视觉的，而视觉是偏好静的，偏好不动的，但

一加“学”，几何“学”或“学”几何就动起来了．

我们如何学呢？或者演示，用圆规和直尺，或者像毕达哥拉斯那样拿根木

棍面对沙土，世界是一步一步地被展现出来的，一笔一划本身就是个动态的过

程．我们努力说：“首先如何，其次如何，然后，又然后……”

所谓动态就是次序，我们首先只关注首先要解决的，其次，带着对刚刚过

去的对首先的记忆，探讨紧接着要解决的问题，我们的思想没法分叉．人在专

注的状态下，视觉也需要一个焦点．当我们的视觉遭遇挑战，看不清某物的时

候，我们凝眼观瞧，把视线使劲聚焦于某物，凝眼就是凝神，不受诱惑地专注

于某物，看清楚一点再继续看下一点．

这个结构很像自然数：“0，1，2，3，……”，一步一步地展示给你看，比如“我是如何用直尺和圆规作图的”，这种线性展开的结构就是时间，“学”的

过程，对学的人是学，在 Challenge，对展示的人来说是在“证”，在说服，这个过程是世界次第展开的过程，是叙事、是 Chronicle．

2本文根据 CC-BY 协议转载自季燕江的《量子序曲》，进行了重新排版和少量修改

第三章 量子力学 31

形与声

“学”依赖语言，语言是一种声音现象．

据说人能够发出一个八度再加一个四度的声音．

古代世界，天和地很近，音乐和人也很近．孔子闻韶乐“三月不知肉味”，

这种沉浸在声音里的境界和我们今天听流行音乐，把音乐当做一种背景噪音，

是完全不同的两种声音技术．今天我们听音乐往往是为了抑制我们心中的背景

噪音．

古代的音乐都很简单．简单到好比就是敲击单音音叉发出的声音，单音

音叉是校音用的，它在古代世界的对应物是中国的黄钟律管或希腊的单弦琴

（Monochord）．它们发出很纯的音，基本上就是一个频率．孔子一生关心礼，礼与乐相联，乐就是音及音的混杂与排列．

我们用音高，频率，响度，音色等来描述声音．音高就是频率，是描述“音”

诸参数中最重要的一个．人天生就是一个感知音高的灵敏动物，高音激越，使

人振奋，低音呜咽，让人伤感．简单的音乐庄重使人入静，而复杂多变的音乐

也如一场“视觉的盛宴”，它使我们好奇和沉迷．

听觉和视觉一样，是感觉，同时也是思维，我们的眼睛和耳朵接受信息，

同时也处理、歪曲信息以为我们所用．古代的政治传统，古代的教育家都注重

音乐教育，这其中最重要的就是对音乐体系的保留和传承．

比如唱歌的时候要先定调，调可以定低点，显得庄重，也可以定高点，显

得轻快．定好调后，一系列的声音次第展开，它们的相对音高保持一个固定的

结构，比如：

“低，低低，高，高高，低，中中，……”

在给定乐谱的前提下．基准音高的选取，或所谓定调是任意的．我们可以

定高点，无非大家唱不上去而已．但因为有人唱不上去，这个定调就也不是完

全主观任意的了．

古代政治秩序大多由推崇勇猛进取精神的战士集团建立，对战士共同体而

言，最重要的是要保持这种勇猛进取的精神，能够保持这种精神的音乐会与特

定音高有关，这是人群的共同经验．比如柏拉图在《理想国》中就说，要摒弃

悲伤和软绵绵的吕底亚调和伊奥尼亚调，而推崇多利亚调和佛里吉亚调．

保持这种对声音的共同经验在古代政治传统中是非常重要的，其中之一就

是确定音调，或基准音的频率，然后在此基础上给出其他音的定义，其他音是

第三章 量子力学 32

相对于基准音而言的，可以更高，也可以更低，构成一个阶梯状的结构．

原子的“idea”是无所不在的，这里由人的听觉经验，我们再次得到了原子的概念，即存在着“音高”的原子，进一步细分不同音高的原子是没有必要

的．

保存音乐制度最简单的方法就是造一套标准的乐器，然后后人反复向这些

标准的乐器学习，第一套自然是由城邦的缔造者“铸造”的．

考虑到弦乐器与弦绷紧的程度有关，受湿度、温度影响较大，青铜器制造

的发音器会是理想的选择，这是为什么“钟”会成为“国家”符号的原因，塔

可夫斯基电影《安德烈·卢布廖夫》再现的是俄罗斯帝国创旦的精神基础，在

影片的结尾就出现了工匠之子铸钟的奇迹．

图 1: 工匠之子铸钟

钟是要发音的，音高是有标准的，“音高”高一些，低一些，很微妙，但

人的耳朵，或某些人的耳朵天生就是辨别音高的灵敏仪器．只有能发出特定音

高的钟才是可以被接受，一只发音不准的钟在敲响的时候不嘹亮，不能激发人

民激越的精神，这对城邦是不利的．

这里有个似是而非但很有趣的讨论，人有时间感，但人的时间感是非常内

在的，几乎不存在什么可以相互交流的基础．这是妨碍人产生运动观念，并研

究运动的重要原因．音高即频率，频率就是时间的倒数，人没法准确标记时间

的流逝，但人却是辨别频率（时间倒数）的精密仪器．同时我们的发音器官，

还能娴熟地对不同音高的声音进行模仿，这是我们具有语言和音乐能力的生物

学基础．

类似地，我们还可以讨论视觉，讨论视觉对位置和速度的分辨．人天生就

能在相当精确的意义下辨别位置，但我们对速度的判断就要差许多．我们说 A比 B 快，其实是通过位置下的判断，即 AB 同时出发，但 A 先撞线，所以 A

第三章 量子力学 33

更快．这是亚里士多德无法得到“正确”的落体规律的原因，他受人本身的局

限，速度是很难直接被看的．

古代实验技术还没有充分发展起来，而实验技术的充分发展与资本主义的

生产方式兴盛有关，近代自然科学与资本主义生产方式同步爆发并非巧合．回

顾二者，科学史和资本主义发展史，两者讲的是同一个故事，只是叙事的角度

生了变化．

由“造钟”故事，我们得到一个新洞见，即：“音与形有关”．对钟来说这

是大大地简单化了，因为材质也很重要，但形状确实决定了钟振动的频率．这

意味着：“听音可以定形，定形可以定音”．

形既是形状也是模型，还是形式．在毕达哥拉斯和柏拉图的传统里，形是

与数紧密相连的．比如钟的形由何而定呢？长、宽、高、是数字，钟的厚度也

是数字，但这一堆数字的集合又有什么意义呢？

当我滔滔不绝地罗列一堆数字的时候，这是没有意义的．我们需要给出数

字和数字之间的关系，才有意义．而且最好是只给出一个关系（或最少关系），

就能让所有的数字各就各位．找到这样的规律自然是对思维的奖励，是可以向

众人夸耀的；同时这也是技术，有了技术我们就能铸钟，小孩的父亲是会铸钟

的，但他把技术带到坟墓里去了．

《安德烈·卢布廖夫》中的小孩是幸运的，他必须试试，他也只能试试．在

拜占庭衰败之后，东正教来到了俄罗斯与当地的土豪、愚民混合，文明在绝望

中重新开始，这就是俄罗斯的宿命．卢布廖夫受不会铸造但却造出钟的小孩的

激励，重新拿起画笔开始画注定会塑造俄罗斯民族精神的那些很平、很抽象圣

像画．

画是形（idea），音是声（logos）．形和声都能塑造性格，前提是我们生活在某种生活中，或我们生活在某种历史中．

数字与和谐

“几何学”（Geometry）是对形的规定，而“和声学”（Harmonics）是对音的规定．所谓规定就是数字之间的联系，最简单的数字和数字间的联系是“相

等”，稍微高级点的是比例，是合乎比例．

比如人脸，人脸上五官的位置和尺寸是需要合乎比例的，这种合乎比例是

我们天生可以判断的，但很难用数字说清楚．近一二十年随着计算机对数据处

第三章 量子力学 34

图 2: 卢布廖夫的《三圣像》

理能力的提高和神经科学的进步，在这方面有了很多具体技术的进展．

比例或合乎比例会产生美，这是某种审美观念下的模式识别．比如古代东

夷部族以扁头为美，甚至不惜把小孩的头骨弄扁以合乎比例．这个习俗在今天

还有遗存，不少地方有端正小孩睡姿以把头睡扁的说法．

在音乐中我们很容易发现音高与数字的关系．这是毕达哥拉斯的贡献．音

乐的历史一定很古老．在毕达哥拉斯之前人类就有音乐了，不但有音乐还有规

定音高的一套体系，即有一套术语来说清楚“不同音高”的音之间的关系．

比如当我发出一个音后，让你发出一个高四度的音，你就能发出这样一个

音，并得到我的认同．这套语言游戏能够玩儿的起来．这些当然都是基于感官

经验讲的，本来和数字没啥关系．传说毕达哥拉斯在路过铁匠铺时，受到叮叮

当当声音的启发，回去研究各种乐器的音高，比如弦乐．

所谓弦乐器就是一根绷紧的弦，两端固定，中间可以快速振动起来，扰动

空气发出声音，弦乐的频率自然就是琴弦发出的声音．这是典型的机械振动的

问题，弦上会有波动，但因琴弦两端是固定的，所以波传播不出去，它只能被

限制在琴弦上振动，并整体具有一个轮廓，琴弦就在这个轮廓内振动，这种振

动叫驻波．

琴弦上的振动是波动，当一列波从左向右传播时碰到弦的端点会反射回

来，驻波就是两列相向传播的波的叠加：

第三章 量子力学 35

A

2(cos(kx− ωt) + cos(kx+ ωt)) = A cos kx cosωt (1)

这里 A 是振动的幅度，振动的轮廓线是：

A cos kx (2)

k = 2πλ是波矢，λ 是波长，因为琴弦的两端已经被限制住了，琴弦的长度

L 可以取半波长，一个波长，一个半波长，……，简单说就是半波长的整数倍：

L =nλ

2, n = 1, 2, 3, ... (3)

波长可以表示为：

λ =2L

n(4)

这就是合乎比例．

考虑到弦上波速 v 是个常量，频率可以表示为：

ν =nv

2L(5)

给定弦长 L，只有这样的波动，或这样波动的叠加才可以存在．进一步讲，

如果我们考虑一个符合两端被限制住的琴弦的一般运动，这个一般运动总是可

以被分解为一系列不同 n 取值的，波长为 λn =2Ln，频率为 νn =

nv2L的振动的

叠加．

∑n

An cosnπx

Lcos nπvt

L(6)

我们管 n = 1 的音叫做基音，这个频率 v2L的声音是最主要的，但弦上也

会有 n = 2, 3, ... 的成分，这些音叫做泛音．

拨动长度 L 的琴弦，我们听到的是基因和泛音的混合，最主要的是基因，

频率为 ν1 =v2L，其次是第一个泛音，频率为 ν2 = 2ν1，它们之间是 1: 2 的关

系．

假如我们把琴弦的长度减半，其实就是用手在弦长的一半按住琴弦，此时

我们会有新的弦长 L/2，同时新的基因频率 2ν1，但此时，因为弦长只剩下一

半了，我们拨动琴弦发出的声音里就没有 ν1 的成分了．

第三章 量子力学 36

听起来的感觉是这样的，首先 L/2 琴弦发出的音和 L 琴弦发出的音很像，

其次 L/2 琴弦发出的音当然要比 L 琴弦发出的音要高，这就好比是一个人沿

螺旋形的楼梯升高，每个台阶都对应一个特定音高的音，在螺旋式升高了几个

音之后我们又回到了起始位置，只是高了一些，我们还可以继续螺旋升高，每

提升一个台阶都会感觉和曾经的某个台阶很像，只是更高了．

在音乐理论里，我们管这个结构叫“八度”，当音高由 ν0 提高一倍到 2ν0

的时候，我们就说“升了八度”．类似地，当音高由 nu0 降一倍到 ν0/2 时，我

们就说“降了八度”．我们一般能发出一个八度再加一个四度的音．

毕达哥拉斯的和声学

毕达哥拉斯研究了音和形的关系，并发现这个关系可以被数字精确地描

述．比如我们刚刚讨论过的，当弦乐器的弦长比是 1：2时，频率比是 2：1，正好对应音乐理论中的“八度音程”．

八度关系本来就存在于音乐实践中，属于人的日常经验．现在发现“一个

八度”可以表示为精确的数字比 1：2，这个数字比其实是对形的描述．只是因为这里弦是一维的，我们对形的描述比较简单．

一个日常经验可以对应于一个数字的比例关系是足够让人兴奋的，毕达哥

拉斯讲“万物皆数”，其实讲的是“万物皆合乎比例”．只有合乎比例，万物才

能存在，只是这些比例有待我们的发现．

合乎比例是个静态的世界观．

除了 1：2，毕达哥拉斯还发现当弦长比是 2：3 时，音的关系是音乐理论中的五度音程．而弦长比是 3：4 时是音乐理论中的四度音程．毕达哥拉斯只发现了这几个关系．它足够优美，但还不足以解释音乐理论中所有的音．但这

已经足够他嘚瑟的了．

更重要的是他开辟了一个用数字、用比例关系去研究音乐的方法，进而是

研究整个宇宙万物的方法，可以说今天的理论家都是毕达哥拉斯的信徒．

毕达哥拉斯方案的缺陷是他被简单数字迷住了，1：2，2：3，3：4 确实解释了八度音程、五度音程、和四度音程．但再要想把人对声音的感官经验——

极其灵敏的感官经验——和简单数字比（m：n）建立关系就很困难了．根据近代的十二平均律，我们在八度音程里面做 12 均分，这个均分是合

乎比例地分——作为人，我们当然是凭我们的耳朵来分，这里我们必须赞叹人

第三章 量子力学 37

图 3: 蒙德里安的作品是“万物皆数”、“整体和谐”观念在绘画领域的实践．

听觉器官的精密——我们要找到某个合适的比例因子 q，使得：

1ν0，qν0，q2ν0，……q

12ν0 = 2ν0

因此：

q = 2112 (7)

这里难的是对 2 开 12 次方，√2 就已经是无理数了，即

√2 就已经没办

法表示成一个简单数字的比例了！这是毕达哥拉斯方案失败的原因．

我们解出：q ≈ 1.059463，并制表：

表 1: ��平均律n qn

0 11 1.0594632 1.122462… …

11 1.887712 2

四度音程对应的弦长比是 3：4，计算出来的频率比是：43= 1.33333，对应

十二平均律表格中是 n = 5 的情形，可见：1.33484 和 1.33333 相当接近．五

度音程对应的弦长比是 3：2，频率比是：23= 1.5，对应十二平均律是 n = 7，

1.49831 和 1.5 也很接近．

第三章 量子力学 38

天体音乐

音乐与舞蹈相联系，古人总是载歌载舞，而载歌载舞是对“天”，对想象

中“绝对秩序”的模仿，通过模仿来表达对“天”和人格化的“天”——神的

亲近和虔敬．

根据古人的观念，天是天球，有几重天球，离地球最远的是恒星天，它们

构成了一个背景，一个不动的背景．还有行星，“金木水火土，太阳和月亮”，

它们相对于不动的背景穿行．每个行星都有自己的天球，以自己独特的方式运

动．

天体运行的很慢，在没有灯光污染的古代，天体运行是很合适的研究对象，

对恒星而言就是绘制星表，把所有可见的，相对而言都不运动的那些恒星的方

位表达出来，所谓方位就是方向，所有恒星离我们是一样远的，它们居于最外

层的天球．

在这种叙述下，每个恒星对应一个倾角 θ 和一个方位角 ϕ，我们需要某种

制图技术把天球上的恒星投影到平面上，这种制图技术和制作世界地图的技术

没有什么区别．我们得到的星图，简单说就是诸星座．

恒星天以下还有土星天球，木星天球，火星天球，太阳天球，金星天球，

水星天球和月亮天球．这是按照由外到内的次序，月亮天球离我们最近，月亮

之下就是凡俗世界了（月下世界），万物变化不定，没有规律．但自月亮天球

及以上就是神圣的所在，天球庄严地运转，超脱于朽坏和变化，被神圣的数学

描述．

数字关系是不朽的，诸天也是不朽的，研究天体运行是研究数学，即像毕

达哥拉斯在音乐中曾经找到的，找到简单的比例，天球的运行需要合乎比例，

并作为一个整体和谐地存在，所谓和谐就是和声（Harmonics）．这是“万物皆数”观念在天文学中的运用，古希腊的哲学家们已经能够计

算太阳的大小，月球的大小，太阳和地球的距离，以及月亮到地球的距离，各

个行星运转的周期等等．在他们的眼里，宇宙整体是一个和谐的存在：诸天各

有各的半径，这是宇宙的形，而诸天各以不同的速度运转将会发出声音，速度

越快音高就越高，月音低沉，土星离地球最远，运行最快因此土星音也是最激

昂的．

传说乐器是阿波罗神给人的礼物，它是理性的象征，乐器因形的合乎比例

而发出和谐的声音，和谐的声音使人的心灵柔和、敏感，function well 成为一

第三章 量子力学 39

架理性的机器．

据柏拉图的《蒂迈欧篇》，宇宙是造物主理性的设计，在比喻的意义下，我

们把宇宙想象为一把里拉琴，诸天的位置对应弦上不同的位置．我们无法想象

这天体的音乐是不合乎比例的，虽然我们谁都没有听过天体的音乐（天籁之

声），但诸天发出的音乐，有的如男低音，有的如男高音，又有的如女低音，有

的如女高音．并整体符合某种比例，某种和谐关系．就好像毕达哥拉斯发�