10

WYKŁAD 1

Rozdział 1: Wiadomości wstępne

1.1. Istota, występowanie i znaczenie drgań

Drganiem nazywamy przebieg czasowy dowolnej wielkości fizycznej, np.

przemieszczenia tłoka w cylindrze silnika spalinowego, kąta obrotu wirnika, natężenia prądu

w obwodzie elektrycznym lub indukcji magnetycznej w rdzeniu elektromagnesu, jeśli

przebieg ten charakteryzuje się tym, że wielokrotnie na przemian rośnie i maleje, oscylując

wokół pewnej wartości średniej – stałej lub zmiennej w czasie. Typowy doświadczalnie

uzyskiwany przebieg drgań przedstawia elektrokardiogram serca pokazany na Rys. 1.1.

Analiza tego przebiegu drgań, niezależnie od tego, jaką wielkość fizyczną przedstawia,

pozwala na diagnozowanie ważnych zmian w funkcjonowaniu tego organu, zarówno

fizjologicznych, jak i chorobowych.

Rys. 1.1. Elektrokardiogram człowieka jako przykład przebiegu drgań

Z powyższej definicji drgań wynika, że możemy mieć do czynienia z drganiami

mechanicznymi, elektrycznymi, magnetycznymi i wieloma innymi rodzajami drgań, które

mogą zależeć od siebie wzajemnie. Znajomość ich natury, związanych z nimi zjawisk oraz

opisu matematycznego umożliwiającego analizę, nabiera szczególnego znaczenia, zwłaszcza

w dobie szybkiego rozwoju układów mechatronicznych, których istotą są sprzężenia elektro-

magneto-mechaniczne wynikające z budowy tych systemów oraz ich sterowania. Drgania

występują powszechnie w przyrodzie, czego najbardziej spektakularnym przykładem są

trzęsienia ziemi, turbulencje w atmosferze i naturalne efekty akustyczne. Występują też w

maszynach, pojazdach i obiektach latających, powodując zmęczenie materiałów, hałas, straty

energii oraz dyskomfort pasażerów i różne dysfunkcje urządzeń, a często tragiczne katastrofy.

Drgania mogą być również użyteczne i celowo wzbudzane, np. w instrumentach muzycznych,

w urządzeniach diagnostycznych, w rozmaitych metodach drążenia i obróbki materiałów,

11

utwardzania i zagłębiania elementów w gruncie, wytwarzania ciepła i w wielu innych

technologiach. Jasna jest więc motywacja do poznania natury, przyczyn i opisu drgań oraz do

nabycia umiejętności ich analizowania i wpływania na ich przebieg.

Przedmiotem tego wykładu są drgania mechaniczne, a więc zmienne w czasie

przebiegi przemieszczeń lub prędkości ciał lub układów ciał (mechanizmów, maszyn,

pojazdów), traktowanych modelowo jako układy punktów materialnych i brył sztywnych na

gruncie Mechaniki ogólnej lub jako ciała odkształcalne, znane z Wytrzymałości materiałów w

ujęciu statycznym. Do analizowanych przebiegów drganiowych zaliczymy również zmienne

w czasie siły wewnętrzne, w tym naprężenia w rozpatrywanych ciałach odkształcalnych,

powodujące między innymi groźne w skutkach zmęczenie materiałów.

Kluczowe znaczenie w badaniu drgań ma określenie relacji pomiędzy przyczyną

(procesem wzbudzenia lub wymuszenia) i skutkiem w postaci zmiennego w czasie przebiegu

drgań. W niniejszym kursie Drgań mechanicznych relacje te będą opisane równaniami

różniczkowymi - zwyczajnymi dla układów ciał modelowo nieodkształcalnych oraz

równaniami cząstkowymi w przypadku rozpatrywanych ciał odkształcalnych, takich jak pręty,

struny, wały i belki. Rozwiązując te równania i nadając interpretacje fizyczną otrzymanym

wynikom, poznamy najważniejsze właściwości drgań, np. zjawisko rezonansu, aby móc

skutecznie na nie wpływać.

1.2. Modele układów drgających

Układem drgającym nazywamy pojedyńcze ciało lub układ ciał (mechanizm, maszynę

pojazd lub inne urządzenie, którego elementy wykonują ruchy powyżej określone jako

drgania. Układem drgającym jest więc zarówno pojazd poruszający się po nierównościach

drogi, jak i wieżowiec w czasie trzęsienia ziemi oraz most wiszący poddany działaniu silnego

wiatru bocznego (jak Tacoma Bridge w USA podczas spektakularnej katastrofy w roku 1942).

Te i podobne rzeczywiste układy drgające – choć niezwykle interesujące i ważne - nie będą

rozważane w ramach tego wykładu. Przedmiotem Drgań mechanicznych, podobnie jak

Mechaniki ogólnej i Wytrzymałości materiałów, są modele ciał i układów rzeczywistych –

możliwie proste, ale na tyle złożone, aby oddać najistotniejsze interesujące nas właściwości

układu rzeczywistego. Modelowanie układu drgającego polega na pomijaniu cech

drugorzędnych i mniej istotnych z punktu widzenia przyjętego celu. Może to dotyczyć w

szczególności liczby stopni swobody modelowanego układu, jeśli jego natura tej liczby z góry

nie narzuca. Jako przykład można podać modelowanie pojazdu poruszającego się po

12

nierównościach drogi. Aby poznać zjawisko rezonansu drgań pionowych, wystarczy

najprostszy model o jednym stopniu swobody. Badanie kątowych drgań podłużnych wymaga

modelu o dwóch stopniach swobody, a drgań kątowych podłużnych i poprzecznych – modelu

o co najmniej trzech stopniach swobody. Różne modelowanie pojazdu traktowanego jako

układ ciał sztywnych w ruchu po nierównościach drogi pokazano na Rys. 1.2.

Rys. 1.2 Modelowanie drgań pionowych pojazdu jako układu ciał sztywnych w ruchu po

nierównościach drogi; stopnie swobody: (a) s=1, (b) s=2, (c) s=4

W tym miejscu – jeszcze bez wyjaśnienia szczegółów – należy zaznaczyć, że

pojedyncze ciało odkształcalne, w którym masa rozłożona jest w sposób ciągły, takie jak

podatna giętnie belka czy odkształcalny skrętnie wał, należy traktować jako układ o

nieskończenie wielu stopniach swobody. Taki układ nazywamy ciągłym, w odróżnieniu od

znanych z Mechaniki ogólnej układów ciał sztywnych o skończonej liczbie stopni swobody,

zwanych dalej układami dyskretnymi. Z punktu widzenia liczby stopni swobody, modele

układów drgających można podzielić na trzy poniższe kategorie:

a) układy dyskretne (złożone modelowo z punktów materialnych i brył sztywnych),

b) układy ciągłe (ciała odkształcalne lub ich układy),

c) układy hybrydowe (zawierające zarówno ciała sztywne jak i odkształcalne).

Modelowanie rzeczywistych układów drgających może również obejmować rozmaite

uproszczenia dotyczące kształtu elementów, właściwości materiałowych, właściwości oporów

ruchu lub ich zupełnego pominięcia, nieliniowości charakteru wzbudzenia i innych cech. Z

modelowaniem wiąże się klasyfikacja drgań, o czym będzie mowa w dalszej części wykładu.

1.3. Modele oddziaływań wzbudzających drgania

Podobnie jak rzeczywiste układy drgające, modelowaniu podlegają oddziaływania

mechaniczne zależne od czasu (siły skupione lub rozłożone, momenty napędowe),

13

powodujące te drgania. Od modelu oddziaływania zależy metoda jaką należy zastosować w

badaniu drgań. Realne procesy )(tF wymuszające drgania mają następujące modele:

a) proces harmoniczny

)sin()( tFtF a , (1.1)

gdzie aF oznacza amplitudę, - częstość kołową [rad/s], a - fazę początkową procesu.

Przypomnijmy, że związek częstości kołowej z okresem procesu harmonicznego T jest

następujący: T

2 ,

b) proces poliharmoniczny

n

i

iiai tFtF

1

)sin()( , (1.2)

gdzie iiaiF , , są ciągami liczb o interpretacji jak w punkcie a),

c) proces okresowy nieharmoniczny, o okresie T

1

)2

sin()(

n

nan tT

nFtF

, (1.3)

gdzie anF i n są ciągami liczb wyznaczanymi na podstawie rzeczywistej funkcji

)()( TtFtF , na podstawie teorii szeregów Fouriera [4,6],

d) proces skokowy

)( )( 0 tHFtF , (1.4)

gdzie 0F jest skokiem siły F od poziomu 0 w chwili 0t ( )(tH jest funkcją Heaviside’a

[4]),

e) proces impulsowy

(t) )( 0 JtF , (1.5)

gdzie 0J jest impulsem siły wymuszającej w chwili 0t ( )(t jest dystrybucją Diraca [4]).

Należy zaznaczyć, że przyczyną wywołującą drgania może być nie tylko siła lub

moment bezpośrednio działające na element układu, ale też zadany ruch pewnego elementu

lub punktu układu. Tego typu wymuszenie nazywamy kinematycznym. Tak więc,

wymuszenia podzielimy na siłowe (w tym poprzez momenty) oraz kinematyczne (poprzez

zadane ruchy). Powyższa klasyfikacja, z wyjątkiem pozycji d) i e) dotyczy też procesów

wymuszenia kinematycznego.

14

1.4. Klasyfikacja drgań

Istnieje wiele klasyfikacji drgań, wyróżniających kategorie według rozmaitych

kryteriów. Poniżej podajemy najważniejsze z tych kryteriów i odpowiadające im typy drgań.

Kryterium źródeł energii:

a) drgania swobodne – jedynym źródłem energii są warunki początkowe, poprzez które

jednorazowo wprowadzana jest do układu energia potencjalna i kinetyczna; energia ta

zostaje zachowana lub jest rozpraszana w wyniku pracy sił oporów ruchu,

b) drgania wymuszone – energia jest dostarczana do układu w wyniku pracy sił

wymuszających, a jednocześnie jest rozpraszana na skutek oporów ruchu, przy czym

może dojść do zrównoważonego bilansu energii, co prowadzi do drgań wymuszonych

ustalonych,

c) drgania wymuszone parametrycznie – źródłem energii są wywołane przez czynniki

zewnętrzne lub wewnętrzne okresowe zmiany parametrów układu, które mogą prowadzić

do narastania drgań, ale też do drgań ustalonych przy zrównoważonym bilansie

energetycznym; przykładem mogą być drgania wahadła o okresowo zmiennym momencie

bezwładności względem osi obrotu,

d) drgania samowzbudne – energia dostarczana jest do układu z istniejącego stałego źródła w

wyniku pracy sił niezależnych jawnie od czasu (innych niż wymuszenia siłowe,

kinematyczne i parametryczne), ale zależnych od bieżącego położenia i prędkości

elementów układu; przykładem są drgania strun instrumentów smyczkowych, którym

energii dostarcza praca siły tarcia smyczka po strunie, a stałym źródłem energii jest muzyk

poruszający smyczkiem.

Kryterium stopni swobody (jak w modelowaniu układów):

a) drgania układów dyskretnych,

b) drgania układów ciągłych,

c) drgania układów dyskretno-ciągłych (hybrydowych).

Kryterium liniowości równań:

a) drgania liniowe,

b) drgania nieliniowe.

Kryterium prawdopodobieństwa dla zmiennych, wymuszeń i parametrów:

a) drgania deterministyczne – wszystkie wielkości układu i wzbudzenia są zdeterminowane,

b) drgania losowe – przynajmniej jedna wielkość jest zmienną lub procesem losowym.

15

1.5. Składanie drgań harmonicznych

Rozpatrzmy najpierw problem sumowania algebraicznego drgań harmonicznych.

Interesuje nas, jakie właściwości ma drganie będące sumą n składników harmonicznych

)sin()sin(...)sin()(

1

111 ii

n

i

innn tatatatx

. (1.6)

Rozpatrzymy następujące przypadki szczególne.

a) Składniki harmoniczne mają tę samą częstość

Przyjmiemy n...21 . Wówczas:

)sin()sincoscossin()sin()(

1 1

tAtatatatx ii

n

i

n

i

iiii , (1.7)

gdzie

2

1

2

1

sincos

n

i

ii

n

i

ii aaA oraz

n

i

ii

n

i

ii

a

a

1

1

cos

sin

tg

. (1.8)

Wniosek

Suma dowolnej liczby drgań harmonicznych o jednakowej częstości jest drganiem

harmonicznym o tej samej częstości oraz o amplitudzie i fazie początkowej zależnej od

amplitud i faz początkowych składników, w sposób pokazany powyżej.

b) Składniki harmoniczne mają różne częstości, ale częstości te są współmierne

Współmierność częstości drgań oznacza, że istnieją takie liczby naturalne nkkk ,..., 21 , że:

pkkk n

n

...2

2

1

1 ,

gdzie p jest pewną liczbą rzeczywistą. Korzystając z tej właściwości możemy stwierdzić, że

okresy drgań składowych spełniają warunek:

2

... 2

...22

111111

2211

Tp

TkTkTkpTkTkTk nn

. (1.9)

Oznacza to, że istnieje wspólny okres dla wszystkich drgań składowych, który jest też

okresem ich sumy. Jest on najmniejszą wspólną wielokrotnością okresów drgań składowych.

Wniosek

Jeśli w ciągu częstości drgań składowych n ,..., 21 istnieje choćby jedna para częstości

niewspółmiernych, to drganie sumaryczne )(tx jest nieokresowe.

16

c) Przypadek dwóch składników harmonicznych o zbliżonych częstościach

Precyzując ten przypadek, założymy, że:

tatatx )(sinsin)( 21 , gdzie const. , (1.10)

Uwaga

Przyjęta zerowość fazy początkowej pierwszego składnika upraszcza obliczenia, ale nie

zmienia ogólności rozważań, ponieważ zachowane jest przesunięcie w fazie obu składników.

Przekształcając wzór (1.10), otrzymujemy:

,)(sin)(cos)sin(sin)cos(

)sin(cos)cos(sinsin)(

221

221

tttAttattaa

ttattatatx

(1.11)

gdzie:

)cos(

)sin()( tg,)sin()cos()(

21

222

221

taa

tattataatA . (1.12)

Funkcje (t) i )( tA są wolnozmiennymi okresowymi funkcjami czasu, przedstawiającymi

zmienną amplitudę i fazę początkową drgań )(tx . Okres obu tych funkcji wynosi /2T .

Wniosek

Suma drgań harmonicznych o zbliżonych częstościach jest drganiem zbliżonym do

harmonicznego, charakteryzującym się wolnozmienną amplitudą i fazą początkową.

Zjawisko „falowania” amplitudy drgań znane jest pod nazwą dudnienia (Rys. 1.3). Można je

często zaobserwować jako efekt akustyczny nakładania się dźwięku emitowanego przez dwa

źródła, np. silniki samolotu o nieidealnie zsynchronizowanej prędkości obrotowej.

Rys. 1.3. Przebieg amplitudy drgań w przypadku dudnienia

Warto zauważyć, że drganie )(tx jako suma drgań harmonicznych o zbliżonych

częstościach, może być drganiem okresowym, jeśli częstości i są współmierne lub

nieokresowym, jeśli warunek ten nie jest spełniony.

Przykład 1.1.

17

Wyznaczyć zmienną w czasie amplitudę drgań będących sumą drgań harmonicznych o

jednakowej amplitudzie a i zerowej fazie początkowej.

Zauważmy najpierw, że postać sumowanych drgań może być zarówno sinusowa, jak i

kosinusowa, to jest tatatx )sin(sin)( lub tatatx )cos(cos)( .

Przyjmując postać sinusową i korzystając z wzoru (1.12), otrzymujemy:

2

cos22

cos4))cos(1(2)sin()cos()( 222 ta

tatatataatA

. (a)

Dla postaci kosinusowej mamy najpierw

tattaatttattatatx sinsincoscossin sincos coscos)( (b)

oraz, jak dla postaci sinusowej:

2

cos2)sin()cos()(22 t

atataatA

. (c)

Wykres funkcji )(tA wraz z przebiegiem drgań )(tx pokazano na Rys. 1.4.

Rys. 1.4. Suma drgań harmonicznych o zbliżonej częstości i jednakowej amplitudzie

Koniec Przykładu 1.1.

Oprócz algebraicznego sumowania drgań (zachodzących w tym samym kierunku)

rozważa się również ich sumowanie geometryczne w przypadku, kiedy zachodzą w

kierunkach prostopadłych. Ograniczając się do płaszczyzny, np. Oxy formułujemy problem

następująco. Współrzędne prostokątne punktu P na płaszczyźnie Oxy są drganiami

harmonicznymi:

).sin()(

),sin()(

22

11

tbty

tatx (1.13)

Jaki jest tor punktu P na płaszczyźnie Oxy ? Problem ten był rozważany w kinematyce

punktu materialnego w kursie Mechaniki ogólnej [MO] i nawiązuje bezpośrednio do

18

wykorzystania oscyloskopu w rejestracji i badaniu sygnałów elektrycznych. Składanie drgań

w kierunkach prostopadłych jest też podstawą badania drgań na płaszczyźnie fazowej, o czym

będzie mowa w dalszych wykładach.

Jakie zatem właściwości może mieć trajektoria punktu o współrzędnych prostokątnych (1.13),

obserwowana np. na ekranie oscyloskopu? Przede wszystkim należy zauważyć, że jeśli

częstości 21 i są współmierne, to istnieje wspólny okres obu funkcji i punkt P po tym

okresie wraca do swego położenia początkowego (i każdego innego zajmowanego na

trajektorii). Oznacza to, że trajektoria jest krzywą zamkniętą, po której punkt P krąży, lub

otwartą, po której punkt P porusza się okresowo tam i z powrotem.

Przykład 1.2

Na cewki odchylające oscyloskopu podawane są sygnały ttx cos)( oraz tty 2cos2)( . Jaką

krzywą jest trajektoria obserwowana na ekranie?

Problem polega na znalezieniu krzywej )(xyy poprzez eliminację czasu z równań

sygnałów. Dokonamy tego, wykorzystując wzory trygonometryczne:

241cos22sincos22cos2 2222 xtttty . (a)

Trajektoria obserwowana na ekranie oscyloskopu jest więc parabolą pokazaną na Rys. 1.5.

Rys. 1.5. Parabola jako trajektoria obserwowana na ekranie oscyloskopu w Przykładzie 1.2

Punkt ),( yxP porusza się po trajektorii tam i z powrotem, zaczynając z położenia

początkowego (1,2) i powracając do tego położenia po każdym okresie 2T [s].

Koniec Przykładu 1.2.

Dalsze rozważania dotyczące sumowania drgań zachodzących w kierunkach

prostopadłych ograniczymy do przypadku drgań harmonicznych o jednakowej częstości, ale

przesuniętych względem siebie w fazie. Można je zapisać następująco:

19

).sin()(

),sin()(

tbty

tatx (1.14)

Eliminując czas, korzystamy z zależności trygonometrycznych:

sin 1cossincoscossin

2

x

a

bbx

a

btbtby . (1.15)

Podnosząc wyrażenie (1.15) stronami do kwadratu, otrzymujemy:

0sincos2 222

a

x

a

x

b

y

b

y. (1.16)

Równanie (1.16) przedstawia krzywą II stopnia. Jej wyróżnik

1cos4 2

22

ba (1.17)

jest mniejszy lub równy zeru, co oznacza, że krzywa ta jest typu eliptycznego i w zależności

od kąta przesunięcia fazowego , może być:

a) elipsą o środku w początku układu współrzędnych i osiach obróconych względem osi

układu, jeśli 0cos ; dla 0cos elipsa ta ma osie równoległe do osi układu xyO ,

b) prostą xa

by , gdy 1cos lub prostą x

a

by gdy 1cos .

1.6. Analiza harmoniczna drgań okresowych

Analiza harmoniczna drgań okresowych (ogólniej wszystkich procesów okresowych,

w tym tych, które mogą wzbudzać drgania) polega na przedstawieniu okresowej funkcji czasu

w postaci sumy procesów harmonicznych o różnych częstościach, amplitudach i fazach

początkowych. Analizie harmonicznej służy aparat matematyczny szeregów Fouriera [3,9].

Wykorzystamy w tym wykładzie niektóre rezultaty teorii szeregów Fouriera, w sposób

niewymagający głębszych przypomnień lub studiów. Proces (niekoniecznie ciągły) )(tx o

zadanym okresie T można przedstawić w postaci nieskończonego szeregu składowych

procesów harmonicznych (zwanych harmonikami), w następujący sposób:

1

0 sin cos)(

n

nn tnbtnaatx , (1.18)

gdzie T

2 jest częstością podstawową procesu i częstością jego pierwszej harmoniki, 0a

jest wartością średnią procesu, rozumianą jako średnia całkowa:

20

T

dttxT

a

0

0 )(1

(1.19)

a liczby nn ba i wyznacza się z wzorów znanych jako wzory Eulera do szeregów Fouriera

[3,9]:

T

n

T

n dttntxT

bdttntxT

a

00

sin)(2

, cos)(2

. (1.20)

Poszczególne harmoniki w szeregu Fouriera (1.18) można przedstawić w formie zawierającej

amplitudę i fazę początkową:

nnnn tnAtnbtna sin sin cos , (1.21)

gdzie

n

nnnnn

b

abaA tg,22 . (1.22)

Szereg Fouriera przyjmuje postać:

1

0 )( sin)(

n

nn tnAatx . (1.23)

Wynikiem analizy harmonicznej procesu lub drgań okresowych jest widmo amplitudowo-

częstościowe oraz widmo fazowo-częstościowe. Widma (inaczej spektra) są to diagramy

przedstawiające amplitudy kolejnych harmonik i ich fazy początkowe odpowiadające

częstościom tych harmonik. Poszczególne harmoniki charakteryzują się tym, ze ich częstości

są wielokrotnościami częstości podstawowej T/2 . Powoduje to, że prążki widma

procesu okresowego leżą w równych odległościach od siebie. Niektóre z nich mogą mieć

wysokość zerową. Ogólny charakter widm drgań okresowych pokazano na Rys. 1.6.

Rys. 1.6. Widmo amplitudowo-częstościowe (a) i fazowo-częstościowe (b) drgań okresowych

Przykład 1.3

Znaleźć widmo amplitudowo-częstościowe procesu okresowego, przedziałami stałego,

pokazanego na Rys. 1.7.

21

Rys. 1.7. Proces okresowy z Przykładu 1.3

Z Rys. 1.7 wynika, że okres funkcji )(tx wynosi 2T . W przedziale czasu

odpowiadającym okresowi, funkcję tę opisujemy następująco:

2 2

3 dla

2

30 dla

)(

t

ttx . (a)

Częstość podstawowa tej funkcji wynosi 12/2/2 T . Funkcję )(tx przedstawimy

w postaci szeregu Fouriera (1.18). Wartość średnią 0a i współczynniki nn ba , obliczamy na

podstawie wzorów Eulera:

2

1 )(

2

1)(

2

12/3

0

2

2/3

2

0

0

dtdtdttxa , (b)

2

3sin

2sin

1sin

1 cos )( cos

2

2 22/3

2/30

2/3

0

2

2/3

nn

ntn

ntn

ntdtntdtan

, (c)

2

3cos1

2cos

1cos

1sin )(sin

2

2 22/3

2/30

2/3

0

2

2/3

nn

ntn

ntn

ntdtntdtbn . (d)

Pierwszych 8 współczynników nn ba , oraz amplitud 22nnn baA pokazano w Tabeli 1.1.

Tab. 1.1.

Numer harmoniki 1 2 3 4 5 6 7 8

na -2 0 2/3 0 -2/5 0 2/7 0

nb 2 2 2/3 0 2/5 2/3 2/7 0

nA 22 2 22 /3 0 22 /5 2/3 22 /7 0

22

Widmo amplitudowo-częstościowe funkcji )(tx pokazano na Rys. 1.8.

Rys. 1.8. Widmo amplitudowo-częstościowe funkcji )(tx z Przykładu 1.3

1.7. Budowanie równań ruchu układów drgających

Przedmiotem naszego zainteresowania w tym kursie drgań mechanicznych będą

dynamiczne równania ruchu modelowych układów złożonych z punktów materialnych i brył

sztywnych, charakteryzujących się skończona liczą stopni swobody i jak już wiemy

nazywanych układami dyskretnymi, a także równania wybranych modelowych ciał

odkształcalnych w postaci prętów, strun wałów i belek, traktowanych jako układy ciągłe.

Statyczne równania przemieszczeń wyżej wymienionych układów ciągłych (z wyjątkiem

strun) znane są Czytelnikowi z kursu Wytrzymałości materiałów [9]. Budując ich dynamiczne

równania (równania drgań), wykorzystamy podstawowe założenia i hipotezy przyjęte w

Wytrzymałości materiałów dla każdego z tych elementów. Budowa równań ruchu poprzedza

analizę ich drgań i będzie zaprezentowana w odpowiedniej części wykładu. W tym miejscu

zatem skoncentrujemy się na budowie równań ruchu układów dyskretnych. Ze względu na

podstawowy zakres tego wykładu i jego rolę na poziomie studiów I stopnia, rekomendowane

następujące metody układania równań ruchu układów dyskretnych:

a) Metoda bezpośredniego zastosowania II prawa Newtona

Istnieje wiele układów drgających, nawet o wielu stopniach swobody, które można

podzielić na elementy w postaci punktów materialnych, do których można wprost zastosować

II prawo Newtona, uwzględniając wszystkie siły działające na te elementy, w tym siły

zewnętrzne czynne, reakcje i opory ruchu oraz siły wewnętrzne wszelkiej możliwej natury, w

tym w podatnych elementach sprężystych i tłumiących, którymi połączone są punkty

materialne. Równanie ruchu i -tego elementu ma postać [1]:

),,...,,,...,,( 2121 txxxxxFxm niii , ),...,1( ni , (1.24)

gdzie im oraz ix oznaczają masę i współrzędną i -tego punktu materialnego, a iF jest sumą

wszystkich sił odpowiadających współrzędnej ix , zależną ogólnie od wszystkich

23

współrzędnych i ich pochodnych oraz od czasu. Wyrażenie (1.24) jest układem n

sprzężonych równań różniczkowych zwyczajnych, ogólnie nieliniowych i niejednorodnych.

Omawiając bezpośrednie wykorzystanie prawa Newtona do budowy równań ruchu

układu drgającego, należy zauważyć, że elementy sprężyste, traktowane jako bezmasowe,

mogą być nie tylko sprężynami liniowymi i obrotowymi, które są już znane Czytelnikowi z

kursu mechaniki ogólnej [1], ale też mogą mieć charakter belek, ram, prętów, wałów, płyt lub

innych elementów, których sprężyste przemieszczenia pod działaniem sił statycznych

potrafimy wyznaczać na podstawie wiedzy z kursu Wytrzymałości materiałów. Współczynnik

sztywności każdego takiego elementu można obliczyć jako stosunek siły do wywołanego

przez tę siłę statycznego przemieszczenia.

Bezmasowe elementy sprężyste o sztywnościach 21 i kk można łączyć równolegle lub

szeregowo, otrzymując element zastępczy o sztywności zk , jak pokazano na Rys. 1.9.

Rys. 1.9. Łączenie bezmasowych elementów sprężystych: a) równoległe, b) szeregowe

W połączeniu równoległym obydwa elementy mają jednakowe wydłużenie 21 , takie

jak element zastępczy, a siła F w elemencie zastępczym jest równa sumie sił w elementach

składowych, 21, FF . Wynika stąd sztywność elementu zastępczego w połączeniu

równoległym:

21212121 )( kkkkkkkFFF z . (1.25)

Dwa elementy sprężyste połączone szeregowo przenoszą jednakową siłę 21 FFF , a suma

ich wydłużeń stanowi wydłużenie elementu zastępczego 21 . Stąd sztywność

zastępcza:

2121

21

111

kkkk

F

k

F

k

F

zz

. (1.26)

Zauważmy, reguły łączenia sprężyn w układach mechanicznych są takie same, jak reguły

łączenia kondensatorów w obwodach elektrycznych.

Przykład 1.4.

24

Wyznaczyć sztywność zastępczą elementów sprężystych w postaci sprężyny o sztywności sk

oraz belki wspornikowej o długości l i sztywności giętnej EI [9], w połączeniach

pokazanych na Rys. 1.10.

Rys. 1.10. Połączenia sprężyny i belki wspornikowej: a) równoległe, b) szeregowe

Najpierw należy określić sztywność elementu belkowego w odniesieniu do ugięcia jej

swobodnego końca f pod działaniem pewnej próbnej siły F . Sztywność tę wyznaczymy na

podstawie wiedzy z wytrzymałości materiałów, dotyczącej zależności ugięcia belki

wspornikowej od jej obciążenia siłą na końcu:

3

3 3

3 l

EI

f

Fk

EI

Flf b . (a)

Sztywności zastępcze połączeń równoległego i szeregowego (Rys. 1.10 a,b) wynoszą więc:

równoległe:

3

3

3 3

3

:szeregowe ,3

l

EIk

l

EIk

kk

kkk

l

EIkkkk

s

s

bs

bs

ZsbsZ

, (b)

gdzie E oznacza moduł Younga, a I jest geometrycznym momentem bezwładności przekroju

względem osi obojętnej naprężeń.

Koniec Przykładu 1.4.

Uwaga

W przypadku drgań w ruchu obrotowym względem stałej osi, odpowiednie równania ruchu,

wynikające z prawa zmienności krętu względem osi obrotu, zastosowanego do każdego z ciał

z osobna, mają postać analogiczną do (1.24):

),,...,,,,...,,( 2121 tMJ ssiii , ),...,1( si , (1.27)

gdzie iJ oraz i oznaczają masowy moment bezwładności względem osi obrotu oraz kąt

obrotu i -tej bryły, a iM jest sumą momentów działających na tę bryłę, względem jej osi

obrotu.

25

b) Metoda równań Lagrange’a

Równania Lagrange’a (II rodzaju) są znane z kursu mechaniki ogólnej [1], z którym

skoordynowany jest ten wykład. Nie będziemy zatem ich wyprowadzać ani szczegółowo

komentować. Ograniczymy się do podania ich rekomendowanej postaci opartej na energii

kinetycznej, energii potencjalnej oraz dysypacyjnej funkcji Rayleigha, ograniczając się do

przypomnienia sposobu korzystania z nich. Równania Lagrange’a mają następującą postać:

),...,1( siQq

D

q

E

q

E

q

E

dt

di

ii

p

i

k

i

k

, (1.28)

gdzie DEE pk ,, oznaczają odpowiednio energię kinetyczną, energię potencjalną i

dysypacyjną funkcję Rayleigha [1], s jest liczbą stopni swobody układu, a iq oraz iQ

oznaczają współrzędne uogólnione oraz odpowiadające im siły uogólnione wymuszające

drgania (niepotencjalne i niedysypacyjne). Równania Lagrange’a (1.28) po wykonaniu

wszystkich niezbędnych operacji matematycznych stają się układem równań różniczkowych

zwyczajnych, ogólnie nieliniowych i niejednorodnych. W dalszych wykładach równania te

będziemy rozwiązywać, stosując standardowe metody analityczne i interpretując fizycznie

otrzymane wyniki.

Budowa równań Lagrange’a, po podjęciu decyzji o modelu fizycznym układu drgającego,

obejmuje następujące etapy.

1) Przyjęcie współrzędnych uogólnionych w liczbie równej liczbie stopni swobody układu.

2) Zbudowanie energii kinetycznej układu w jego możliwym ruchu i wyrażenie jej przez

współrzędne i prędkości uogólnione.

3) Zbudowanie wyrażenia na energię potencjalną układu w jego chwilowym położeniu w

czasie ruchu i wyrażenie jej przez współrzędne uogólnione.

4) Zbudowanie wyrażenia na dysypacyjną funkcję Rayleigha i wyrażenie jej przez

współrzędne i prędkości uogólnione.

5) Wyznaczenie wszystkich sił uogólnionych odpowiadających przyjętym współrzędnym.

6) Wykonanie różniczkowań przewidzianych w wyrażeniu (1.28) i końcowe sformułowanie

równań ruchu Lagrange’a.

W przypadku, gdy bezmasowe elementy sprężyste łączące punkty materialne układu

drgającego są elementami belkowymi lub ramowymi, wygodne jest w budowie równań ruchu

zastosowanie uogólnionej na dynamikę metody sił, stosowanej w wytrzymałości materiałów

26

do obliczania statycznych przemieszczeń w ramach. Nie omawiamy tej metody, odsyłając

Czytelnika do literatury uzupełniającej [2].

Pytania sprawdzające do Wykładu 1

1. Jakie jest znaczenie drgań w budowie maszyn?

2. Jakie właściwości ma drganie będące sumą: tttx 101sin100sin)( ?

3. Co to jest widmo drgań okresowych i jak się je otrzymuje?

4. Klasyfikacja drgań ze względu na źródło energii.

5. Jaki opis i właściwości mają drgania harmoniczne?

6. Co to jest proces skokowy?

7. Na czym polega analiza harmoniczna drgań?

8. Jaki jest warunek okresowości sumy algebraicznej drgań harmonicznych?

9. Jakie są reguły łączenia bezmasowych elementów sprężystych w układach drgających?

10. Jaką postać mają równania Lagrange’a II rodzaju i do czego służą?