wykłady z fizyki – kurs podstawowy mechanika cz. i

Wykłady z fizyki – kurs Wykłady z fizyki – kurs podstawowypodstawowy

Mechanika cz. I Mechanika cz. I

home.agh.edu.pl/~wmwoch Wiesław Marek Woch

LiteraturaJ. Orear, Fizyka, WNT 1990, t.1 I 2R. Resnic, D. Halliday, Fizyka, PWN, t. I i II, D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Podstawy fizyki, PWN, t. I-VC. Kittel, W.D. Knight, M.A. Ruderman, Mechanika, PWN E.M. Purcell, Elektryczność i magnetyzm, PWNF.C. Crawford, Fale, PWNE.H. Wichmann, Fizyka kwantowa, PWNF. Reif, Fizyka statystyczna, PWN R.P. Feynman, R.B.Leighton, M. Sands, Feynmana wykłady z fizyki, PWN, t.

I, cz. I i II, t. II, cz.I i II, t. IIIA.K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski, Wstęp do fizyki, PWN, t. I i IIJ. R. Taylor, Wstęp do analizy błędu pomiarowego, PWNMatematykaF. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWNK. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWNG. M. Fichtenholtz, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWNA. Mostowski, M. Stark, Elementy algebry wyższej, PWNE. Karaśkiewicz, Zarys teorii wektorów i tensorow, PWN

Pojęcia podstawowe

φύσις physis – natura, przyroda

Matematyka jest językiem fizyki

WektoryPochodneCałki

Matematyka jest językiem fizyki

Isaac Newton (1642 -1727) – angielski fizyk, matematyk, astronom, filozof, historyk, badacz Biblii i alchemik.W swoim słynnym dziele Philosophiae naturalis principia mathematica (1687 r.) przedstawił prawo powszechnego ciążenia, a także prawa ruchu leżące u podstaw mechaniki klasycznej. Niezależnie od Gottfrieda Leibniza przyczynił się do rozwoju rachunku różniczkowego i całkowego.Jako pierwszy wykazał, że te same prawa rządzą ruchem ciał na Ziemi, jak i ruchem ciał niebieskich. Jego dociekania doprowadziły do rewolucji naukowej i powszechnego przyjęcia teorii heliocentryzmu. Podał matematyczne uzasadnienie dla praw Keplera i rozszerzył je udowadniając, że orbity (w większości - komet) są nie tylko eliptyczne, ale mogą być też hiperboliczne i paraboliczne. Głosił, że światło ma naturę korpuskularną, czyli że składa się z cząstek, którym towarzyszą fale decydujące o ruchu rozchodzenia się światła. Rozwinął prawo stygnięcia. Sformułował twierdzenie o dwumianie i zasady zachowania pędu oraz momentu pędu.

Matematyka jest językiem fizykiGottfried Wilhelm Leibniz, znany także pod nazwiskiem Leibnitz (1646 - 1716) – niemiecki filozof, matematyk, prawnik, inżynier–mechanik, fizyk, historyk i dyplomata. Wstępując na Uniwersytet w Lipsku miał 15 lat. Po skończeniu studiów filozoficznych na Uniwersytecie w Lipsku i napisaniu rozprawy naukowej pt. De principio individuali (1663), wyjechał bez zgody ojca do Heidelbergu, a potem do Jeny, aby studiować nowożytną fizykę, matematykę i prawo.W filozofii starał się rozwinąć myśli Kartezjusza, wprowadzając pojęcie monad rozwiązać dylemat dualizmu systemu kartezjańskiego.W matematyce, niezależnie od Newtona, stworzył rachunek różniczkowy, przy czym jego notacja tego rachunku okazała się praktyczniejsza.Podał pojęcie całki jako sumy nieskończonej liczby różniczek i wprowadził jej symbol.Jako inżynier–mechanik Leibniz zajmował się konstrukcją zegarów, maszyn wydobywczych i zbudował jedną z pierwszych mechanicznych maszyn liczących.W fizyce stworzył pojęcie momentu pędu i momentu siły.Karta rękopisu Monadologii

Experientia est mater studiorum

Konfucjusz (Kǒng Fūzǐ; dosł. „Mistrz Kong”) urodził się w 551 r.p.n.e. w rejonach dzisiejszej prowincji Shangdong, a zmarł w wieku 72 lat w 479 r.p.n.e.

• Powiedz mi, a zapomnę

• Pokaż mi, a zapamiętam

• Pozwól mi zrobić, a zrozumiem

Wiedza dzięki pomiarom! (Heike KAMERLINGH- ONNES)

Układy jednostek miar

Układ jednostek miar – uporządkowany i spójny zbiór jednostek miar, za pomocą których można mierzyć wielkości fizyczne

Układy miar oparte na wielkościach: długość-masa-czas (LMT), (uzupełnionym ewentualnie o temperaturę, natężenie prądu elektrycznego i inne wielkości podstawowe):

-CGS-MKS-MKSA-MTS-SI-Anglosaski układ jednostek miarUkłady miar oparte na wielkościach: długość-siła-czas (LFT): MKGS (ciężarowy)

Historyczne układy miar:Staropolski układ jednostek miarNowopolski układ jednostek miarMiary greckie


Układ jednostek miar składa się z jednostek miar podstawowych (elementarnych) przyjętych umownie oraz zbudowanych na ich podstawie jednostek pochodnych

Jednostką miary spójną nazywa się jednostkę miary wyrażoną za pomocą jednostek podstawowych wzorem, w którym współczynnik liczbowy jest równy jedności.

Układem spójności jednostek miar nazywa się układ jednostek miar ze zbioru jednostek podstawowych i z pochodnych jednostek spójnych


Układ jednostek miar CGS (Centymetr Gram Sekunda) nazywany bezwzględnym układem jednostek. Zastąpiony przez układ SI ?????.Jednostki podstawowe: centymetr (cm), gram (g), sekunda (s)

„Każda dziedzina wiedzy i techniki posługuje się własnymi jednostkamiwielkości. Milion elektronowoltów (MeV) jest jednostką w fizyce jądrowej, kilokaloria – jednostką energii w chemii, a kilowatogodzina – jednostkąenergii używaną w technice. (...) W publikacjach fizycznych stosuje sięprzeważnie trzy układy jednostek: układ Gaussa CGS, MKS i praktyczny.Każdy naukowiec i inżynier, jeżeli chce korzystać z literatury fizycznej, musi znać wszystkie te trzy układy jednostek”Charles Kittel, Walter D Knight, Malvin A Rudeman, Mechanika, (Berkeley Physics Coures – Volume I)

Układy jednostek miarUkład jednostek miar CGSprzykłady jednostek pochodnych:dyna=g*cm/s2

bar=106 dyna/cm2

Układ jednostek miar MKSJednostki podstawowe: metr (m), kilogram (kg), sekunda (s)

Układ jednostek miar MKSA Jednostki podstawowe: metr (m), kilogram (kg), sekunda (s), amper (A).

Układy jednostek miarUkład jednostek miar MTSJednostki podstawowe: metr (m), tona (t), sekunda (s)

Układ jednostek miar ciężarowy Jednostki podstawowe: metr (m), kilogram-siła (kG), sekunda (s).

Jednostką masy jest w tym układzie inert.1 inert = 1 kg*s2/m = 9,80665 kgEnergia 1 kilogramometr = 9,80665 J.Moc 1 kilogramometr/s = 9,80665 W i jego wielokrotność koń mechaniczny.Ciśnienia 1 kG/m2 = 9,80665 Pa i jego wielokrotność atmosfera techniczna = 98 066,5 Pa.

Układy jednostek miarAnglosaski układ jednostek miar

1 cal = 1/12 stopy 1 cal = 2,54 cm

1 mila angielska 1 mila angielska = 1,609 km

1 jard = 3 stopy (ang. yard) 1 y = 0,9144 metra

1 stopa (ang. foot) 1 foot = 30,48 cm = 12 cali

Staropolski układ jednostek miar

1 ćwierć = 2 dłonie = 1/4 łokcia (stąd nazwa) = 0,1489 m1 sztych = 8 cali = 0,1985 m1 stopa = 1,5 sztycha = 12 cali = 0,2978 m1 łokieć (miara podstawowa) = 2 stopy = 0,5955 m1 sążeń = 3 łokcie = 1,787 m1 morga (miara podstawowa) = 5985 m² 1 łan frankoński = 43,2 morgi = 258 554 m² 1 kwarta = 0,9422 l1 garniec (miara podstawowa) = 4 kwarty = 3,7689 l1 łut = 0,0127 kg 1 funt (miara podstawowa) = 2 grzywny = 0,4052 kg


L.p Wielkość fizyczana

Jednostka

Symbol

Wielkości podstawowe

1. Długość metr m 2. Masa kilogram kg 3. Czas sekunda s 4. Liczność materii mol mol 5. Natężenie prądu

elektrycznego amper A

6. Temperatura termodynamiczna

kelwin K

7. Światłość kandela cd Wielkości

uzupełniające

8. Kąt płaski radian rad 9. Kąt bryłowy steradian sr

Układ SI

Przedrostek Oznaczenie Mnożnik

eksa penta tera giga mega kilo hekto deka - decy centy mili mikro nano piko femto atto

E P T G M k h da - d c m n p f a

1018

1015

1012

109

106

103

102

101

100

10-1

10-2

10-3

10-6

10-9

10-12

10-15

10-18

Przedrostki powiększające i pomniejszające


Sekunda (łac. secunda - następna, najbliższa) - jednostka podstawowa większości układów jednostek miar np. SI, MKS, CGS - oznaczana s. Termin sekunda pochodzi od łacińskiego wyrażenia pars minuta secunda (druga mała część).

Jest to czas równy 9 192 631 770 okresów promieniowania odpowiadającego przejściu między dwoma poziomami F = 3 i F = 4 struktury nadsubtelnej stanu podstawowego 2S1/2 atomu cezu 133Cs

(powyższa definicja odnosi się do atomu cezu w spoczynku, w temperaturze 0 K).

Definicja ta, obowiązująca od 1967 r., została ustalona przez Międzynarodowy Układ Jednostek Miar.

Poprzednio sekundę definiowano jako 1/31 556 925,9747 część roku zwrotnikowego 1900 lub 1/86400 część doby.

Jednostka czasu


Zegar atomowy - wzorzec częstotliwości

Dokładność takich zegarów dochodzi do 10-15, co oznacza 10-10 sekundy (1/10 nanosekundy) na dzień. Zegary te utrzymują ciągły i stabilny czas TAI (z fr. Temps Atomique International).

Wzorzec - światowy czas uniwersalny UTC.

Pierwszy zegar atomowy został zbudowany w 1949 roku w amerykańskim National Bureau of Standards. Pierwszy zegar atomowy bazujący na drganiu atomów cezu-133, zbudował Louis Essen w roku 1955 w National Physical Laboratory w Anglii.

Układy jednostek miarOBSERWATORIUM ASTROGEODYNAMICZNECENTRUM BADAŃ KOSMICZNYCH PANBorowiec ul. Drapałka 4 62-035 Kórnikhttp://www.cbk.poznan.pl/sluzba_czasu/ogolne.php

Laboratorium Czasu i Częstotliwości, we współpracy z Bureau International des Poids et Mesures (BIPM), zaangażowane jest w tworzeniu międzynarodowej skali czasu atomowego TAI i UTC i polskiej skali czasu atomowego TA(PL).

Wyposażenie w cztery zegary atomowe i najnowsze systemy dowiązania skal czasu pozwala na utrzymanie wysokiej dokładności pomiaru czasu, z błędem pomiarów czasu 100 pikosekund. Jest to jeden z najlepszych wyników wśród laboratoriów czasu na świecie.

Laboratorium Czasu i Częstotliwości wraz z innymi laboratoriami zrzeszonymi w krajowym TA(PL) tworzy Polską Skalę Czasu oraz współuczestniczy w tworzeniu światowego czasu uniwersalnego UTC. Obserwatorium w Borowcu, to jedyna polska placówka, która współtworzy i będzie brała czynny udział w europejskim systemie GALILEO.


GPS-NAVSTAR (ang. Global Positioning System – NAVigation Signal Timing And Ranging) – system nawigacji satelitarnej obejmujący zasięgiem całą Kulę Ziemską.

Zasada działania polega na pomiarze czasu dotarcia sygnału radiowego z satelitów do odbiornika. Znając prędkość fali elektromagnetycznej można obliczyć odległość odbiornika od satelitów.

Pomiar aktualnego czasu GPS z dokładnością do jednej milionowej sekundy.

System GPS jest utrzymywany i zarządzany przez Departament Obrony USA. Korzystać z jego usług może w zasadzie każdy - wystarczy tylko posiadać odpowiedni odbiornik GPS. Takie odbiorniki są produkowane przez niezależne firmy komercyjne.


System GPS składa się z zestawu 31 (wcześniej 24) satelitów krążących wokół Ziemi po określonych orbitach. System pracuje na obszarze całej Ziemi, bo w każdym punkcie globu widoczne są zawsze przynajmniej cztery satelity.

Satelity krążą po orbitach na wysokości około 20183 km nad powierzchnią Ziemi. Jest to orbita niższa od geostacjonarnej

Układy jednostek miarDefinicja metra

Metr – jednostka podstawowa długości w układach: SI, MKS, MKSA, MTS

Metr został zdefiniowany 26 marca 1791 roku we Francji w celu ujednolicenia jednostek odległości

• 1795 - 1889 długość równa 10-7 długości mierzonej wzdłuż południka paryskiego od równika do bieguna. Na podstawie tej definicji wykonano wzorzec metra. W trakcie powtórnych pomiarów stwierdzono różnice między wzorcem a definicją. 0.02 mm

• 1889 - 1960 I Generalna Konferencja Miar (1889) określiła metr jako odległość między odpowiednimi kreskami na wzorcu platynowo - irydowym, równą 0,999914 · 10-7 połowy południka ziemskiego. Wzorzec przechowywany jest w Międzynarodowym Biurze Miar i Wag w Sèvres koło Paryża. 200 nm

• 1960 - 1983 XI Generalna Konferencja Miar (1960) zdefiniowała metr jako długość równą 1 650 763,73 długości fali promieniowania w próżni odpowiadającego przejściu między poziomami 2p10 a 5d5 atomu 86Kr (kryptonu 86) 4 nm

• 1983 XVII Generalna Konferencja Miar i Wag - mnetr jest to odległość, jaką pokonuje światło w próżni w czasie 1/299 792 458 s. 0.13 nm

Układy jednostek miarDefinicja metra

Kilogram jest równy masie międzynarodowego prototypu kilograma - walec platynoirydu (Pt-Ir) przechowywany w siedzibie BIPM w Paryżu, Francja. Jednak pomimo przechowywania go w starannie kontrolowanych warunkach, waga oficjalnego kilograma nie jest stała - w ciągu ostatnich stu lat zmieniła się o około 50 mikrogramów.

Układy jednostek miarDefinicja kilograma

Nowa definicjaOkreślona liczba atomów w pojedynczym, jednokilogramowym krysztale krzemu, który stosunkowo łatwo otrzymać w postaci niezwykle czystych, dużych i niemal doskonałych kryształów. Atomy policzono z dokładnością 2 x 10-8 (liczba AVOGADRO 6,022 x 1023)

Analiza błędów (niepewności) Pomiarowych

Pomiar wielkości fizycznej polega na porównaniu jej z wielkością tego samego rodzaju przyjętą za jednostkę. Liczba otrzymana jako wynik pomiaru zależy od wyboru jednostki (przykład: pomiar długości w cm, m, ft, in itp.). Wynik pomiaru musi więc zawsze składać się z dwóch części: wartości liczbowej oraz jednostki

Pomiary wielkości fizycznych dzielimy na bezpośrednie i pośrednie.

Niezależnie od metody pomiarów nie możemy nigdy bezwzględnie dokładnie wyznaczyć rzeczywistej wartości wielkości fizycznej. Różnicę pomiędzy wynikiem pomiaru, a rzeczywistą wartością mierzonej wielkości nazywamy błędem pomiaru. Błędy pomiarów dzielimy na grube (omyłki), przypadkowe oraz systematyczne.


Błędy grube powstają zwykle na skutek nieuwagi lub niestaranności obserwatora przy odczytywaniu lub zapisywaniu wyników lub w wyniku nagłej zmiany warunków pomiaru (np. wstrząsy). Jeśli mamy serię pomiarów wyniki obarczone błędem grubym są łatwe do wykrycia i usunięcia.

Błędy systematyczne wynikają z niedoskonałości przyrządów i metod pomiarowych. Można je redukować stosując bardziej doskonałe i precyzyjne metody i przyrządy, jednak całkowite wyeliminowanie błędów systematycznych jest niemożliwe. Rozpoznane błędy systematyczne należy uwzględniać poprzez wprowadzenie odpowiednich poprawek do wyniku,

Błędy przypadkowe występują zawsze. Wynikają one z różnych przypadkowych i nie dających się uwzględnić czynników (np. wahania temperatury, lub ruch powietrza w pobliżu przyrządu pomiarowego). Inną przyczyną może być niezgodność przyjętego modelu z obiektem mierzonym – np. gdy mamy zmierzyć średnicę pręta, zakładamy milcząco, że jest on idealnym walcem, co nie jest prawdą. O istnieniu błędów przypadkowych świadczy niepowtarzalność wyników pomiaru jednej i tej samej wielkości. Błędy przypadkowe redukuje się poprzez wielokrotne powtarzanie pomiaru – zachodzi wówczas częściowa kompensacja przypadkowych zawyżających i zaniżających odchyłek wyniku.


Wykonujemy serię n pomiarów bezpośrednich wielkości fizycznej X otrzymując wyniki X1, X2 ...Xn.

Postulat Gaussa

Wykonujemy tylko jeden pomiar – szacujemy błąd na podstawie warunków pomiarowych

Błąd rzeczywisty dla i-tego pomiaru określa równanie

Ri XXX gdzie XR jest wielkością prawdziwą

RXX Szukamy

n

ii XX

1

2 min

n

XXX

n

ii

R

1


n

ii XX

1

2 min

n

XXXXn

XnXXXXX

XXXXXd

dXX

Xd

d

n

iin

ii

n

ii

n

i

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

1

1

11 11

11

2

1

2

022222

)1(2

Analiza błędów (niepewności) Pomiarowych Regresja liniowa – metoda najmniejszych kwadratów

n

iii

n

iii

ii

baxyxyybaS

yxbxay

1

2

1

2)(),(

),(

Suma S(a,b) musi osiągać minimum! (postulat Gaussa)

Analiza błędów (niepewności) Pomiarowych Regresja liniowa – metoda najmniejszych kwadratów

min!)(),(

),(

1

2

1

2

n

iii

n

iii

ii

baxyxyybaS

yxbxay

n

ii

n

ii

n

ii

n

i

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

n

iii

n

iii

n

iiiii

n

iiii

ynbaxybax

xybxax

baxybaxyb

S

bxaxxyxbaxya

S

11111

111

2

11

1

2

1

00)1(2

00)(2

Regresja liniowa – metoda najmniejszych kwadratów


n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

ynbax

xybxax

11

111

2

n

iii

n

ii

n

ii

n

iin

ii

n

ii

n

iii

n

ii

b

n

ii

n

ii

n

iiin

ii

n

ii

n

iii

a

n

ii

n

iin

ii

n

ii

n

ii

g

xyxyxyx

xyxW

xyxynny

xxyW

xxnnx

xxW

1111

2

11

11

2

111

1

11

2

11

2

1

11

2

baxy

xxn

xyxyx

W

Wb

xxn

xyxyn

W

Wa

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

g

b

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

g

a

2

11

2

1111

2

2

11

2

111

Prawo GaussaCarl Friedrich Gauß (Gauss) (1777 - 1855) – niemiecki matematyk, fizyk, astronom i geodeta. Uznawany jest za jednego z twórców geometrii nieeuklidesowej. Gauss jest jednym z największych matematyków, przez sobie współczesnych określany był mianem „Księcia matematyków” (łac. princeps mathematicorum).

Zasadnicze (podstawowe) twierdzenie algebryStopień niezerowego wielomianu zespolonego jest równy sumie krotności jego zespolonych pierwiastków. Jest to równoważne temu, iż każdy wielomian zespolony stopnia można przedstawić w postaci iloczynu:

W roku 1833 wspólnie z Weberem zbudował pierwszy w Niemczech telegraf elektromagnetyczny.

W 1832 r. opracował układ jednostek miar CGS. Na jego cześć jednostkę indukcji magnetycznej nazwano gausem (G lub Gs).

Prawo Gaussa

2xexf α

Rozkład normalny, zwany też rozkładem Gaussa

Postulat Gaussa najmniejszych kwadratów


Odchylenie standardowe wartości średniej

)1(

)( 1

2

2

nn

XXsXu

n

ii

X

1

)( 1

2

n

XXXu

n

ii

Błąd średni kwadratowy (odchylenie standardowe) pojedynczego pomiaru


),...,,( 21 kXXXfY kXXX ,...,, 21 kXXX ,...,, 21

),...,,( 21 kXXXfYY )(),...,(),( 21 kXuXuXu

k

j

jk

jc XuXXX

X

fYu

1

2

2

21 ,...,,)(

jk

j j

kc Xu

X

XXfu

1

1,...,


Wyniki pomiaru zapisujemy zawsze łącznie z błędem (niepewnością) i jednostką. Błędy (niepewność) podajemy zawsze z dokładnością do jednej cyfry znaczącej z wyjątkiem sytuacji gdy pierwszą cyfrą znaczącą jest jedynka; wówczas podajemy dwie cyfry znaczące. Liczbę cyfr znaczących wyniku dobieramy tak, aby ostatnia cyfra rezultatu i niepewności należały do tego samego rzędu. Korzystamy na ogół z zapisu z wykorzystaniem symbolu lub z użyciem nawiasów.

Wynik pomiaru

wartość pomiaru ± błąd pomiarowy

Podział Fizyki

Wektor wodzący – prędkość

x

y

z

r

r1

r2r

prędkość średnia

t

r

tt

rr

12

12

srV

r (t)

zdt

dzy

dt

dyx

dt

dx

dt

rd

t

rlim

0t

V

prędkość chwilowa

Prędkość to pochodna wektora wodzącego r(t) po czasie

pochodna wektora, to suma iloczynów pochodnych jego współrzędnych przez odpowiednie wersory

Ruch jednostajny

Ruch jest jednostajny jeśli wektor prędkości nie zmienia się w czasie

V(t)V

)t(const

t

rlim

dt

rd0t

t)0(r)t(rt

)0(r)t(r

t

r

VV

tV)0(r)t(r

)tV)0(z(z)tV)0(y(y)tV)0(x(x)t(r zyx

tV)0(z)t(z,tV)0(y)t(y,tV)0(x)t(x zyx

Inny zapis wektora wodzącego w ruchu jednostajnym

Przyspieszenie

Przyspieszenie to pochodna wektora prędkości V(t) po czasie (szybkość zmiany wektora prędkości)

2

2

2

2

2

2

2

2

t

zdz

t

yy

t

xx

t

t

dVz

t

Vy

t

Vx

t

Va zyx

dˆ

d

dˆ

d

dˆ

d

d

dˆ

d

dˆ

d

dˆ

d

d

r

Ruch jednostajne przyspieszony

W ruchu jednostajnie przyśpieszonym wektor wodzący zależy od czasu wg. relacji

Ruch jest jednostajnie przyśpieszony, jeśli wektor przyspieszenia nie zmienia się w czasie

2

tat)0(V)0(r)t(r

2

ta)0(V)2

tat)0(V)0(r(

dt

d

dt

)t(rdV

2

Ruch „jednostajny” po okręgu

r

v

t

r

r

v

trr

v

t

va

r

rvv

v

v

r

r

rv

rt

rt

r

t

rv

rrr

r

vvv

rrr

ttt

ttt

2

000

000

21

21

limlimlim

limlimlim

x

v

r1r2

v1

v2

y

r

Ruch „jednostajny” po okręgu

222222222 cossincossin

ˆcosˆsin)(

)(

,ˆsinˆcos)(

rttrtrtrVVV

ytrxtrdr

trdtV

tytrxtrtr

rv

y

x

y

rytrxtr

ytrxtrdt

tvda

22

22

ˆsinˆcos

ˆsinˆcos)(

Wartość przyspieszenia:

ra 2

Rzut pionowy

Spadek swobodny Vp=0

Rzut poziomy

Rzut ukośny

Inne przykłady ruchu niejednostajnego

Prędkość i przyspieszenie w biegunowym układzie współrzędnych

rvrvdt

drr

dt

dr

dt

rdv

dt

d

dt

rd

dt

d

dt

rdr

dt

drrr

dt

rd

dt

rdv

rrr

r

ˆˆˆˆ

ˆˆ

),cos,sin(ˆ

)cos,sin(ˆ

,sin,cosˆ

ˆˆ

ˆ

),(

Każdy punkt na płaszczyźnie opisuje para liczb:

vr – prędkość radialnav - prędkość transwersalna

cos

sin

sin0cos1

sin1cos0

sin

cos

01

10

sin

cos

2cos

2sin

2sin

2cos

cossin

sincos

x

y

r

r

v


aardt

d

dt

dr

dt

dr

dt

dr

dt

rdra

dt

drr

dt

dr

dt

d

dt

dr

dt

d

dt

dr

dt

rdra

dt

rd

dt

dv

dt

dr

dt

d

dt

dr

dt

dvdt

drv

dt

drv

dt

dr

dt

d

dt

d

dt

rd

dt

dvr

dt

rdv

dt

dv

dt

dvvrv

dt

d

dt

vda

r

r

r

rrr

ˆˆ2ˆˆ

ˆˆˆˆˆ

,

,

ˆˆ

,ˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

x

y

r

r

v


aar

dt

d

dt

dr

dt

dr

dt

dr

dt

rdra r

ˆˆ2ˆˆ2

22

2

2

w ruchu po okręgu:

2

22

ˆˆdt

dr

dt

drra

rozważmy ruch ciała w obracającym się układzie współrzędnych (np. obracająca się Ziemia)

rCorrCor

od

r

vmFmvF

rmrF

vrra

t

2lubˆ2

ˆ

2ˆˆ2

2

'

gdzie - prędkość kątowa układu współrzędnych (jest stała w czasie)

x

y

r

r

v

DynamikaTransformacja Galileusza

ttzz

yy

tuxx

''

'

'

uVV

udt

dx

dt

dx

zz

yy

tuxx

'

'

'

'

'Galileusz (Galileo Galilei; 1564 - Pizie, 1642 - Arcetri) – włoski astronom, astrolog, matematyk, fizyk i filozof, twórca podstaw nowożytnej fizyki. Wykładowca matematyki na uniwersytecie w Pizie. Następnie na Uniwersytet w Padwie. Galileusz skonstruował ulepszony mikroskop, temometr, udoskonalił kompas geometryczny i wojskowy, odkrył księżyce Jowisza (Io, Europa, Kallisto, Ganimedesa), odkrył fazy Wenus. Jego bardzo ważnym odkryciem było odkrycie zjawiska bezwładności.

Zasady dynamiki NewtonaPierwsze prawo Newtona

Jeżeli na ciało nie działa żadna siła, lub działające siły równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ze stałą prędkością (ruchem jednostajnym prostoliniowym)

Drugie prawo Newtona

Trzecie prawo Newtona

Całkowita siła działająca na ciało równa jest iloczynowi masy ciała i przyspieszenia.Jeżeli na ciało działa niezrównoważona siła, to ciało porusza się ruchem zmiennym.

Masa miarą bezwładności ciała!

Gdy dwa ciała oddziałują na siebie, to siła wywierana przez ciało pierwsze na ciało drugie, jest równa co do wartości sile wywieranej przez ciało drugie na pierwsze, lecz ma przeciwny zwrot.

m

FaamF

,

dt

vdm

dt

dmv

dt

vmdFtmm

amdt

vdm

dt

vmd

dt

pdFconstmvmp

dt

pdF

)(

)(,,

Układy inercyjne (Galileusza)Układy - nieinercyjne

Dynamika

Podstawowe prawa fizyki zachowują niezmienną postać w dwóch układach odniesienia, do których stosuje się transformacja Galileusza

Zasada zachowania pędu

constpdt

pdF

FF

vmpp

tottot

tot

n

iitot

n

iii

n

iitot

0

1

11

m1

m2

V1p

V2

p

V1k

V2k

Zderzenia elastyczne

pprzed=ppo

EKprzed= EKpo

Zderzenia nieelastyczne

m1

m2

V1p

V2p

V1

k

V2

k

pprzed=ppo

DynamikaSiły pozorne (pseudosiły, d'Alemberta) W inercyjnym układzie:

constmamF i

Z: a0 - przyspieszenie układu nieinercjalnego, a – przyspieszenie mierzone w układzie nieinercjalnym

000

00

amFamFF

aamFaaa i

Siły tarcia

1. Siła tarcia jest niezależna od wielkości powierzchni stykających się ze sobą ciał i zależy jedynie od ich rodzaju.

2. Wartość siły tarcia dla ciała znajdującego się w spoczynku może zmienić się od zera do granicznej wartości, proporcjonalnej do całkowitego nacisku normalnego.

3. W przypadku, gdy ciało ślizga się po pewnej powierzchni, siła tarcia jest zawsze skierowana przeciwnie do kierunku ruchu i jest mniejsza od granicznej wartości.

Prawa tarcia Coulomba i Morena

KSNF

Dynamika

Praca

B

A

rdFw

A

B

F

dr

)()( SIJCGSergW

BA

BABA

B

A

B

A

rFrF

rFrFrFrdFconstFrdFw

1),(cos

),(cos

F rA-B

A

B

Twierdzenie o pracy i energii. Moc

BA vBvAZ ,:

kAkBAB

vv

v

v

v

v

v

v

B

A

B

A

B

A

EEmvmvvmvdvmvdvm

vddt

rdmrd

dt

vdmrdamrdFw

B

A

B

A

B

A

B

A

222

2

1

2

1

2

1

Moc

vFdt

rdF

dt

rdF

dt

dWP

rdFdW

s

erg

dt

dWP

2

1

t

t

dttPWdttPdW

Ruch obrotowy – zasady dynamiki Newtona

Dynamika

m

FaamF

, Masa miarą bezwładności ciała!?

rdm

N

iii

M

mrI

dmrI

1

2

2

mi

ri

N

ii

N

iii

CM

m

rmR

1

1

)( obrotuośII

rdm

ICM Ix

d

DynamikaTwierdzenie Steinera

Moment bezwładności bryły sztywnej względem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładności względem osi równoległej do danej i przechodzącej przez środek masy bryły oraz iloczynu masy bryły i kwadratu odległości między tymi dwiema osiami,

2dmII CMx

22

22

21

2

3

1

5

2

)(2

1

2

1

LmIRmI

RRmIRmI

PK

WWW

DynamikaRuch obrotowy – zasady dynamiki Newtona

tot

N

iiN

ii

N

ii

N

ii

N

iii

N

ii

N

iii

N

ii

N

iii

N

ii

N

iii

N

ii

N

iii

CM

ppm

p

m

vm

m

rdtd

m

m

rdtd

m

m

rmdtd

dt

RdR

m

rmR

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1 ,

Jeśli

constRVconstpF CMCM

N

iizew

1

0

DynamikaRuch obrotowy – zasady dynamiki Newtona

Pęd - moment pędu

ILILvmrprLvmp ˆ

Siła - moment siły

FrM

MFrdt

pdr

dt

Ld

vmvpdt

rddt

pdrp

dt

rd

dt

Ld

0

IMIM

MMMdt

LdM wewzew

ˆ

0

Druga zasada dynamiki Newtonadla ruchu krzywoliniowego (obrotowego )

Prędkość i przyspieszenie

2

2

dt

d

dt

d

dt

d

DynamikaZasada zachowania momentu pędu

,dt

LdM

jeśli 000

L

dt

LdM

Siła centralna

constLdt

LdrfrrFrM

rfrF

00)(ˆ

)(ˆ

Całkowity moment pędu w inercyjnym układzie odniesienia

N

nnn

CMCM

N

nnCMn

N

nnCMnn

N

nnnn

vmP

PRJvRmvRrmL

obrotuośLLvrmL

1

11

1

,

)(

JCM moment pędu względem środka masy, RCM x P momentpędu środka masy względem początku układu

Dynamika bryły sztywnejpodstawy

,dt

LdM

Dynamika ciała sztywnego jest najbardziej skomplikowanym i interesującymale zarazem najtrudniejszym działem mechaniki klasycznej. Zagadnienia są skomplikowane, gdyż na ogół wymagają jednoczesnego rozwiązania trzech równańróżniczkowych względem składowych prędkości kątowej. Musimy rozpatrywać wynikizarówno w układzie związanym z obracającym się ciałem, jak i w układzieinercyjnym, w którym środek masy znajduje się w spoczynku.(...)Teoria giroskopu jest przedstawiona prawie w całości w czterotomowym dzieleF. Kleina i A. Sommerfelda, Theorie des Kreisels.C Kittel et al., Mechanika, PWN 1973

segway


iiiii FrMvrmL

Momentu pędu; moment siły

i

iiCMi m

rmRF 0

Prędkość i-tej cząstki określa równanie:

)(

)()(

2

iiiiii

iii

ii

rrrmrrmL

baccabcbarrmL

rv


xzzxyyxxxx

iiixz

iiixy

iiixx

iiiziiiyiiix

iiiziiiyiixiixx

ziyixii

iiiiixx

iiii

IIIL

zxmI

yxmI

xrmI

zxmyxmxrm

zxmyxmxmrmL

zyxr

zyxrrxmrmL

constrrrmL

)(

)(

,,)(

)(

22

22

22

2

2


zzzyyyyxxy

iiiyz

iiiyy

iiiyx

iiiziiiyiiix

iiiziiyiiixiiyy

ziyixii

iiiiiyy

xzzxyyxxxx

iiii

IIIL

zymI

xrmI

xymI

zymyrmxym

zymymxymrmL

zyxr

zyxrrymrmL

IIIL

constrrrmL

)(

)(

,,)(

)(

22

22

22

2

2


z

y

x

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

z

y

x

zzzyzyxzxz

zyzyyyxyxy

zxzyxyxxxx

III

III

III

L

L

L

IIIL

IIIL

IIIL

iiixy

iiizziiiyy

iiiiiixx

iiii

yxmI

zrmIyrmI

zymxrmI

zyxr

)()(

)()(2222

2222

2222

dVrrrmzrm

yrmxrmIII

dVxyrIdVxrrI

iiiii

iiiiiizzyyxx

xyxx

2222

2222

22

)(22)(

)()(

)())((

Suma Ixx+ Iyy+ Izz jest izotropowa!Wyrazy przekątne są symetryczne!

zxxzzxxzyxxy IIIIII


Moment bezwładności powłoki kulistej (sfery)Pozaprzekątne wyrazy macierzy I są równe zero

drrrdrrrmI

rm

IIIIIIIII

powpow

pow

xxzzyyxxzzyyxx

4222

2

3

84

3

2

3

2

2

33

r

dr

dr

r

2235

0

5

0

4

0

4

5

2

3

4

5

2

53

8

53

8

3

8

3

8

RmRRRr

drrdrrII

R

RR

pow

powkuli


Konwencja sumowania:(i ) wskaźnik powtórzony w iloczynie dwa razy oznacza sumowanie po x, y z(ii ) wskaźnik, który nie pojawia się w iloczynie dwa razy może oznaczać x, albo y, albo z.

Delta Kroneckera

jidla

jidlaij ,0

,1

zizyiyxixjij IIII

zzzyzyxzxz

zyzyyyxyxy

zxzyxyxxxx

jiji

IIIL

IIIL

IIIL

IL

dVxxxxrdVxrrI

zyxxxzyxx

jiijllxx

iii

))(())(( 22

222


Energia kinetyczna

)222(2

12

1)()(

2

1

)()()()(

))(())(())(())(()(

)()(2

1)(

2

1

2

1

222

22222

2

222

xzzxzyyzyxxyzzzzyyyyxxxxk

jiijjiijllji

jiijlljijjiijjii

iiiik

IIIIIIE

IdVxxxxr

xxxxxxxxrrrr

cbdadbcadcbarrr

dVrrrmvmE

2222

2

1)(

2

1 IIEIIII zyxkzzyyxx

Dla kuli

Energia kinetyczna w ruchu obrotowym i postępowym

ghvghvmghvm

vmvmvmvmRv

mRvmE

kuliDla

IvmE

IE

kK

kc

k

7

10

10

7

10

7

10

2

10

5

252

2252

2

22

2

22

222

22

22

2

22

2

v

Rv

R

h

l



Odpowiedni sposób wyboru osi - osie główne

333222111

233

222

211321 2

1

2

1

2

1

ILILIL

IIIEIIIIII kzzyyxx

)222(2

1 222xzzxzyyzyxxyzzzzyyyyxxxxk IIIIIIE

Całkowita energia rotacyjna w układzie osi głównych:

23

3

22

2

21

1 2

1

2

1

2

1L

IL

IL

IEk


Równania Eulera

MLdt

LdL

dt

Ld

dt

Ld

dt

LdM

I

Z: osie kartezjańskiego uk. wsp. leżą w układzie wirującymwzdłuż osi głównych (1, 2, 3)

321211

3

231311

2

123321

1

123321

112233321

1

12233321

123321

1

1

)(

)(

)(

)(

MIIdt

dI

MIIdt

dI

MIIdt

dI

MIIdt

dIMII

dt

dI

MIIdt

dILL

dt

LdL

dt

Ld


Dla 0

M

constLLLLLLLdt

LdLLL

dt

d

Ldt

LdL

dt

LdML

dt

Ld

23

22

21022

0

Składowe prędkości kątowej a zatem także składowe momentuwzględem osi związanych sztywno z bryłą sztywną nie są stałe,nawet jeśli wypadkowy moment sił jest równy zero.Jeśli wypadkowy moment jest równy zero, towartość liczbowa momentu pędu jest stała.


Precesja to obrót wektora momentu pędu pod wpływem momentu sił zewnętrznych.

S

F=mg

RL=I

d

L

Lsin

dL=Mdt

sin

M R mg

M Rmg

Moment pędu i oś symetrii zataczają stożek o kącie rozwartości 2.

dL L, a to oznacza, że | L | pozostaje stały

dL M, czyli dL pozostaje na płaszczyźnie poziomej.

sin

dLd

L


L

Rmg

L

Rmg

L

M

LdtdL

dt

d

sin

sin

sinsin L

Rmg

dt

d

Gdy oś momentu pędu nie pokrywa się z osią symetrii bąka, na ruch precesyjny osi symetrii nakłada się nutacja o okresie Tn.

Oś symetrii bąka zakreśla wtedy linię wężykowatą


Precesja

B

constLtALtAL

dt

dLBL

dt

dLBL

dt

dLBLB

dt

Ld

BMLzBB

zyx

zx

yy

x

cossin

0

ˆ

Rezonans

B

tHLdt

dL

tHLLdt

dLL

dt

dLBLB

dt

Ld

BHzBxtHB

yz

zxy

yx

c

sin

sin

ˆˆsin


Rezonans

B

BB

tLH

LtLH

L

LHC

LHA

LHACCA

tLHAtC

tLHtAtCtCtA

tHLLdt

dLL

dt

dL

tCLtAL

constLLdt

dLLLZ

yx

zxy

yx

yx

zz

zy

max

cossin

,

,

sin)(sin

sinsinsin,coscos

sin

cossin

0:

2222

2222

Elektronowy Rezonans Paramagnetyczny (Spinowy) EPRJądrowy Rezonans Magnetyczny NMR

Materiały źródłowe:J. Orear, Fizyka, WNT 1990, t.1 I 2 R. Resnic, D. Halliday, Fizyka, PWN, t. I i II, D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Podstawy fizyki, PWN, t. I-V C. Kittel, W.D. Knight, M.A. Ruderman, Mechanika, PWN E.M. Purcell, Elektryczność i magnetyzm, PWN F.C. Crawford, Fale, PWN E.H. Wichmann, Fizyka kwantowa, PWN F. Reif, Fizyka statystyczna, PWN R.P. Feynman, R.B.Leighton, M. Sands, Feynmana wykłady z fizyki, PWN, t. I, cz. I i II, t. II, cz.I i II, t. III A.K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski, Wstęp do fizyki, PWN, t. I i II J. R. Taylor, Wstęp do analizy błędu pomiarowego, PWN

Matematyka F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN G. M. Fichtenholtz, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN A. Mostowski, M. Stark, Elementy algebry wyższej, PWN E. Karaśkiewicz, Zarys teorii wektorów i tensorow, PWN

http://pl.wikipedia.org/wikihttp://portalwiedzy.onet.plhttp://www.bazywiedzy.comhttp://hyperphysics.phy-astr.gsu.eduhttp://www.physicsclassroom.comhttp://www.rapidtables.comhttp://chemistry.about.comhttp://www.britannica.comhttp://www.newscientist.comhttp://www.learner.org

wykłady z fizyki – kurs podstawowy mechanika cz. i

Documents