xac suat thong ke va qua trinh ngau nhien

8/8/2019 Xac Suat Thong Ke Va Qua Trinh Ngau Nhien

http://slidepdf.com/reader/full/xac-suat-thong-ke-va-qua-trinh-ngau-nhien 1/187

Ts t« v¨n ban

Bµi gi¶ng

X¸c suÊt thèng kª

Vµ

Qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn

(Dành cho các lớ p cao học k ỹ thuật - HVKTQS)

PHIªn B¶N 09/05 - 12/05 - 08/06 - 11/06 - 20/03/07 - 15/05/07 - 10/7/2007 - 05/09/07(Ch− a hoµn thiÖn)

Hµ néi - 2005 - 2006 - 2007



M ỤC L ỤC

PhÇn –Ch− ¬ng Néi dung trang

Môc lôc 2

Lêi nãi ®Çu 5

Çc ký hiÖu hay sö dông 7PhÇn I X¸c suÊt Thèng kª 9

Ch− ¬ng I KiÕn thøc bæ sung vÒ x¸c suÊt 9

§1.1. Çc biÕn ngÉu nhiªn quan träng 9

§1.1. BiÕn nhÉu nhiªn chuÈn 8

§1.2. VÐc t¬ ngÉu nhiªn chuÈn 11

§1.3. Më réng kh¸i niÖm mËt ®é ®èi víi BNN rêi r¹c 17C©u hái vµ bµi tËp Ch− ¬ng I 20

Ch− ¬ng II

Ch− ¬ng III §3.5.Sù héi tô cña d·y çc BNN

3.5.1. Çc d¹ng héi tô

3.5.2. Çc ®Þnh lý giíi h¹n

23

23

25

Ch− ¬ng IV Lý thuyÕt − íc l− îng

PhÇn II Qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn 32Ch− ¬ng V Nh÷ng kh¸i niÖm tæng qu¸t 32

§5.1. Më ®Çu

5.1.1. Çc ®Þnh nghÜa

5.1.2. Ph©n lo¹i s¬ bé

5.1.3. VÝ dô vÒ QTNN

5.1.4. Hä çc ph©n bè h÷u h¹n chiÒu

32

32

33

34

35

§5.2. Mét sè líp çc qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn

5.2.1. Qu¸ tr×nh cÊp II

5.2.2. Qu¸ tr×nh sè gia ®éc lËp

5.2.3. Qu¸ tr×nh dõng (QT dõng theo nghÜa hÑp, dõng

theo nghÜa réng, dõng ®ång thêi)

5.2.4. Qu¸ tr×nh Gauss

36

36

38

39

45

§5.3.TÝnh chÊt ergodic vµ trung b×nh thêi gian 46

2



5.3.1. Giíi thiÖu

5.3.2. Ergodic kú väng

5.3.3. Ergodic ph− ¬ng sai, tù hiÖp ph− ¬ngsai, PS chÐo

5.3.4. Çc lo¹i ergodic kh¸c

5.3.5. §o hµm t− ¬ng quan

46

47

50

54

55

§5.4.Liªn tôc, ®¹o hµm, tÝch ph©n

5.4.1. Liªn tôc (theo x¸c suÊt, theo trung b×nh)

5.4.2. §¹o hµm (theo b×nh ph− ¬ng trung b×nh)

5.4.3. TÝch ph©n (theo b×nh ph− ¬ng trung b×nh)

57

57

59

61

§5.5.Hai QTNN quan träng

5.5.1. QT Poisson (®Þnh nghÜa, x¸c suÊt ®ång thêi n

chiÒu, hµm tù t− ¬ng quan, d·y thêi ®iÓm ®Õn, x¸c

®Þnh c− êng ®é dßng ®Õn, çc biÕn thÓ, nhiÔu b¾n,sinh çc quü ®¹o)

5.5.2. QT Wiener (®. nghÜa, çc tÝnh chÊt, sinh quü ®¹o)

5.5.3. Giíi thiÖu vÒ çc QTNN kh¸c

65

65

75

74

77

§5.6. Qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn phøc

C©u hái lý thuyÕt vµ bµi tËp ch− ¬ng V

77

79

Ch− ¬ng VI Xö lý çc QTNN 86

§6.1.MËt ®é phæ c«ng suÊt

6.1.1. VÊn ®Ò nghiªn cøu QTNN trong miÒn tÇn sè

6.1.2. MËt ®é phæ c«ng suÊt

6.1.3. MËt ®é phæ c«ng suÊt chÐo

6.1.4. MËt ®é phæ c«ng suÊt cho QT thùc kh«ng dõng

6.1.5. MËt ®é phæ c«ng suÊt cho d·y ngÉu nhiªn

6.1.6. Mét sè m« h×nh nhiÔu (nhiÔu tr¾ng, nhiÔu nhiÖt,

nhiÔu tr¾ng th«ng d¶i, nhiÔu mµu, nhiÔu b¾n)

6.1.7. Phæ c«ng suÊt cña QTNN phøc(VÝ dô: Phæ v¹ch, hiÖu øng Doppler)

86

86

89

93

95

97

99

103

§6.2.C¨n b¶n vÒ hÖ tuyÕn tÝnh

6.2.1. HÖ tuyÕn tÝnh tæng qu¸t

6.2.2. HÖ tuyÕn tÝnh bÊt biÕn theo thêi gian

6.2.3. HÖ nh©n qu¶ vµ hÖ æn ®Þnh

107

107

109

112

3



6.2.4. Tr− êng hîp hÖ rêi r¹c 113

§6.3. HÖ tuyÕn tÝnh víi ®Çu vµo ngÉu nhiªn

6.3.1. VÊn ®Ò ®Çu ra

6.3.2. C¸c ®Æc tr− ng x¸c suÊt cña QT ®Çu ra

6.3.3. §¸p øng hÖ LTI rêi r¹c víi ®Çu vµo ngÉu nhiªn

6.3.4. C¸c vÝ dô (HÖ lý tưëng, Läc bËc nhÊt, Trung b×nh

trưît, Phæ cña QT ®¹o hµm)

115

115

117

120

122

§6.4. Qu¸ tr×nh tù håi quy – trung b×nh ®éng

6.4.1. Qu¸ tr×nh tù håi quy AR

4.4.2. Qu¸ tr×nh trung b×nh ®éng MA

6.4.3. Qu¸ tr×nh ARMA

124

124

128

130

§6.5. Qu¸ tr×nh th«ng d¶i vµ ®iÒu chÕ

6.5.1. Qu¸ tr×nh th«ng d¶i

6.5.2. NhiÔu trong hÖ th«ng tin ®iÒu biªn AM

6.5.3. NhiÔu trong hÖ th«ng tin ®iÒu tÇn FM

133

133

138

142

§6.6. Läc phèi hîp

6.6.1. Tr− êng hîp tæng qu¸t

6.6.2. Läc phèi hîp cho nhiÔu mµu

6.6.3. Läc phèi hîp cho nhiÔu tr¾ng

§6.7. ¦íc l− îng tuyÕn tÝnh tèi − u

6.7.1. §Æt bµi to¸n

6.7.2. Bµi to¸n lµ tr¬n – Läc Wiener bÊt kh¶ thi

6.7.3. Läc Wiener kh¶ thi

C©u hái lý thuyÕt vµ bµi tËp Ch− ¬ng VI

147

147

148

149

151

151

153

155

159

Chư¬ng VII

(dù tr÷)⎧⎨⎩

Qu¸ tr×nh Markov

• XÝch Markov

• Qu¸ tr×nh Markov víi thêi gian liªn tôc

PhÇn III Phô lôc A - Các bảng thống kê

Phô lôc B - PhÐp biÕn ®æi Fourier

B¶ng B-1 TÝnh chÊt cña phÐp biÕn ®æi Fourier

B¶ng B-2. CÆp phÐp biÕn ®æi Fourier

171

171

172

Tµi liÖu tham kh¶o 173

4



Ch− ¬ng 1. kiÕn thøc bæ Sung vÒ x¸c suÊt§1.1.C¸c biÕn ngÉu nhiªn quan träng1.1.1.BiÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c

Tªn KÝ hiÖu X¸c suÊt P X k = K× väng Ph− ¬ng sai

NhÞ thøc B(n,p) k k n k nC p (1 p) ;k 0,1,..., n−− = np np(1-p)

Poisson P( )λk e

; k 0,1,...k!

−λλ= λ λ

H×nh häc G(p) p(1-p) k=0,1,2,...k ;

1 p

p

−

2

1 p

p

−

Siªu h×nhhäc

H(N,n,p)

k n k Np N Np

n N

C C; k 0,1,..., n

C

−−

= ........ .........

C¸c luËt ph©n bè rêi r¹c kh¸c: ®Òu rêi r¹c, nhÞ thøc ©m,...

1.1.2BiÕn ngÉu nhiªn liªn tôcTªn KÝ hiÖu MËt ®é K× väng Ph− ¬ng sai

§Òu U([a;b])1

; a x b b a

≤ ≤−

a b

2

+

2(b a)

12

−

Mò E( )λ λ xe− λ ; λ ,x>0 1/ λ 21/ λ

Cauchy C ( , )α β 2 2/ [ ( (x ) )]β π β + − α Kh«ng tån t¹iKh«ng tån

t¹i

ChuÈn N(m, 2σ )2

22

1 (x m)exp ( 0)

22

⎧ ⎫−⎪ ⎪− σ >⎨ ⎬σ⎪ ⎪πσ ⎩ ⎭

m 2σ

Gamma (r, )Γ λ r 1 x( x) e ; , r, x 0

(r)

− −λλλ λ >

Γ

r

λ

2

r

λ

Khi b×nhph− ¬ng

2 (n)χ n x n

12 2 2x e /(2 (n / 2); x 0,n 1,2,...

− −Γ > =

n 2n

Student T(n)((n 1) / 2))

n (n / 2)

Γ +

πΓ

2(n 1) / 2x

(1 )n

− ++ 0n

n 2−

Fisher-Snecdecor

F(n,m)n 2 n m

2Bx (m nx) ;

− +−

+ 2 m, n, x > 0.......... ..........

Weibul W( , )α λ 1 xx e ; , , x 0λλ− −ααλ α λ >

1

(1 1/ )−

λα Γ + λ

..........

L«ga chuÈn2LN(m, )σ

21

22

1 (ln x m)x exp ; , x 0

22

− ⎧ ⎫−⎪ ⎪− σ >⎨ ⎬

σ⎪ ⎪πσ ⎩ ⎭exp

2

m2

⎧ ⎫σ⎪ ⎪+⎨ ⎬

⎪ ⎪⎩ ⎭ ……

Rayleigh2(x a) / b2

(x a)e , x a b

− −− ≥ b

a4

π+

4 b

4

− π



L− u ý: víi u>0 – hµm Gamma.u 1 to

(u) t e dt∞ − −Γ = ∫

TÝnh chÊt: ;(u 1) u (u)Γ + = Γ (n) (n 1)! ; (1/ 2)Γ = − Γ = π .C¸c luËt ph©n bè liªn tôc kh¸c: Bª ta, tam gi¸c,...BiÕn ngÉu nhiªn chuÈn rÊt quan träng ta dµnh ra 1 phÇn riªng.

§.1.2. BiÕn ngÉu nhiªn chuÈn

1.2.1.TÝnh chÊt hµm mËt ®é . f(x) =2

22

1 (x m)exp ( 0)

22

⎧ ⎫−⎪ ⎪− σ >⎨ ⎬

σ⎪ ⎪πσ ⎩ ⎭

+Hµm mËt ®é x¸c ®Þnh trªn ¡ ;+f(x) > 0: §å thÞ n»m trªn trôc hoµnh;+Trôc Ox lµ tiÖm cËn ngang;

+Gi¸ trÞ cùc ®¹i2

1

2πσ

, ®¹t ®− îc t¹i x = m;

+§å thÞ ®èi xøng qua ®− êng th¼ng x=m, cã d¹ng h×nh chu«ng (H×nh 1.1).

H×nh 1.1. §å thÞ hµm mËt ®é cña ph©n bè chuÈn.

2

1

2πσ

m xO

1.2.2.C¸c tham sè ®Æc tr− ng2

E[X] m;

D[X] .

=⎧⎪⎨

= σ⎪⎩(1.1)

Nh− vËy nhËn thÊy r»ng, chØ cÇn biÕt k× väng vµ ph− ¬ng sai lµ cã thÓ biÕtmËt ®é f(x) vµ do ®ã hoµn toµn biÕt vÒ ph©n bè chuÈn. Cßn cã thÓ tÝnh ®− îc

+§é chÖch Skew(X) =3

3

E[(X EX) ]−

σ

= 0;

+§é nhän Kurt(X) =4

4

E[(X EX) ]−

σ- 3 = 0. (1.2)

1.2. 3.Bnn chuÈn ho¸ (chuÈn t¾c).X ®− îc gäi lµ biÕn nn chuÈn t¾c nÕu X ∼ N(0,1).Hµm mËt ®é cña nã cho bëi

8



2x

21

(x) e2

−ϕ =

π. (1.3)

§Æc ®iÓm : -Gi¸ trÞ cña ®− îc lËp b¶ng víi x(x)ϕ ∈0;4];

-§å thÞ ®èi xøng qua trôc tung;

-Hµm ph©n bè t− ¬ng øng2

tx2

1F(x) e dt

2

−

−∞=

π∫ (1,4)

còng ®− îc lËp b¶ng. Tuy nhiªn, ®Ó tiÕt kiÖm b¶ng, thay cho F(x), ng− êi ta lËpb¶ng gi¸ trÞ cña hµm Laplace:

2tx

20

1

(x) e dt,2

−

Φ = π ∫ x∈[0; 3]. (1.5)

Víi x > 3, coi (x)Φ ≈1

2.

H×nh 1.2. §å thÞ hµm mËt ®é chuÈn ho¸ (a) vµ ®å thÞ hµm Laplace (b).

Khi cÇn tÝnh F(x) qua Φ (x) hay ng− îc l¹i, dïng c«ng thøc :

F(x) =1

2+ Φ (x). (1,6)

C«ng thøc sau rÊt cã Ých ®Ó tÝnh x¸c suÊt X n»m trªn ®o¹n nµo ®ã:

[ ] P X a;b (b) (a).∈ = Φ − Φ (1,7)

1.2.4.BiÕn ®æi tuyÕn tÝnh bnn chuÈn.

+Cho X ∼ N(m, ) Y= a X+b cã ph©n bè chuÈn.2σ ⇒ a,b ,∀ ∈ ¡

Tõ ®ã dÔ thÊy aX+b ∼ N(am+b, 2 2a σ ).

+HÖ qu¶. X∼ 2 X m N(m, ) U

−σ ⇒ =

σ ∼ N(0,1). (1.8)

9



HÖ qu¶ nµy cho ta ph− ¬ng ph¸p thuËn lîi ®Ó tÝnh P X [a;b]∈ :

[ ] P X a;b∈ =P a m X m b m− − −⎧ ⎫≤ ≤⎨ ⎬

σ σ σ⎩ ⎭

b m a m( ) ( ).

− −= Φ − Φ

σ σ(1.9)

1.2.5.Ph©n vÞ .Ph©n vÞ chuÈn møc α , kÝ hiÖu Uα , lµ gi¸ trÞ x¸c ®Þnh bëi

P U Uα> = α , víi U ∼ N(0,1)

2t

2

U

1e dt

2

+∞ −

α

⇔ = απ

∫ . (1.10)

H×nh 1.3. Ph©n vÞ chuÈn møc α .TÝnh chÊt: 1U U−α α= − . (1.11)

Mét sè gi¸ trÞ ®Æc biÖt: (1.12)0,10 0,025

0,05 0,01

U 1,280; U 1,960;

U 1,645; U 2,326.

= =⎧⎪⎨

= =⎪⎩

L− u ý: NhiÒu tµi liÖu kh«ng lËp b¶ng cña Uα mµ lËp b¶ng cña hoÆc pα uα

víi

P U pα< = α ; P U uα< = α .

1.2. 6. Sai sè trung gian, d¹ng mËt ®é chuÈn dïng trong ph¸o binh.

Cho X ∼ , U( 2 N m,σ ) α lµ ph©n vÞ chuÈn møc α, ®Æt

σ=σ= 6745,0UL 25,0 ;

.4769,02/U 25,0 ==ρ (1.13)Chóng ta cã thÓ viÕt l¹i hµm mËt ®é cña X d− íi d¹ng

( )2 2(x m) / Lf x e

L

−ρ − 2ρ=

π. (1.14)

Râ rµng lµ , nÕu m = 0 th×

5,0LXLP =<<− . (1.15)

10



Nh− vËy nÕu quan s¸t BNN chuÈn quy t©m nhiÒu lÇn th× cã kho¶ng 50% sè

lÇn BNN ®ã r¬i vµo kho¶ng (-L;L). ChÝnh v× thÕ, L ®− îc gäi lµ sai sè trung gian,

nã tØ lÖ víi ®é lÖch chuÈn. D¹ng mËt ®é (1.14) cña ph©n bè chuÈn hay ®− îc dïng

trong ph¸o binh.

1.2.7.Quy t¾c 2 ,σ 3 .σCho X ∼ N(m, ), theo c«ng thøc (1.9) ta cã2σ

X m

P X m Pε − ε⎧ ⎫− < ε = − < <⎨ ⎬σ σ σ⎩ ⎭

=2 ( )ε

Φσ

. (1.16)

Thay ta ®− îc1 ,2 ,3ε = σ σ σ

P X m 1 2 (1) 0,68268− < σ = Φ = ;

P X m 2 2 (1) 0,95450− < σ = Φ = ;

P X m 3 2 (1) 0,9973.− < σ = Φ = (1.17)

C¸c x¸c suÊt 0,9545; 0,9973 lµ c¸c x¸c suÊt rÊt lín. Theo nguyªn lÝ x¸c suÊtlín ta cã quy t¾c 2 sau ®©y:,(3 )σ σ

Quy t¾c.NÕu BNN cã ph©n bè chuÈn th× hÇu nh− ch¾c ch¾n (®é tin cËy trªn95%(trªn 99%)), BNN chØ sai lÖch víi gi¸ trÞ trung b×nh cu¶ nã mét l− îng kh«ngqu¸ 2 ).(3 )σ σ

1.2.8.TÝnh phæ cËp cña ph©n bè chuÈn. Thùc tÕ chóng ta rÊt hay gÆp ph©n bè chuÈn. Së dÜ nh− vËy v× x¶y ra §Þnh lÝ giíi h¹n trung t©m sau ®©y (xem môc3.5.2d):

NÕu bnn X lµ kÕt qu¶ cña rÊt nhiÒu nguyªn nh©n, mçi nguyªn nh©n chØ cã

vai trß kh«ng ®¸ng kÓ ®Õn kÕt qu¶ cuèi cïng th× X cã ph©n bè rÊt gÇn ph©n bè chuÈn.

§1.3.VÐc t¬ ngÉu nhiªn chuÈn. 1.3.1.VÐc t¬ k× väng, ma trËn t− ¬ng quan, ma trËn hÖ sè t− ¬ng quan

a)Tr− êng hîp 2 biÕn. XÐt 2 BNN X, Y b×nh ph− ¬ng kh¶ tÝch. M« men t− ¬ngquan (gèc) cña X vµ Y, kÝ hiÖu , x¸c ®Þnh theo c«ng thøcXYR

XYR E[XY= ].

HiÖp ph− ¬ng sai cña X vµ Y, kÝ hiÖu Cov(X,Y) x¸c ®Þnh bëi

.Cov(X,Y) E[(X EX)(Y EY)]= − −Hai BNN X vµ Y ®− îc gäi lµ kh«ng t− ¬ng quan nÕu

.Cov(X,Y) E[(X EX)(Y EY)] 0= − − =§iÒu nµy t− ¬ng ®− ¬ng víi

.E[XY] E[X] E[Y]=Tr¸i l¹i, nÕu ®¼ng thøc kh«ng x¶y ra, X vµ Y ®− îc gäi lµ kh«ng t− ¬ng quan.

11



NÕu X vµ Y ®éc lËp th× chóng kh«ng t− ¬ng quan. Ng− îc l¹i kh«ng ®óng:Tån t¹i nh÷ng BNN X vµ Y kh«ng t− ¬ng quan, song chóng kh«ng ®éc lËp.

§èi víi 2 BNN chuÈn X, Yth× X vµ Y ®éc lËp ⇔ X vµ Y kh«ng t− ¬ng quan.b) Tr− êng hîp t«ng qu¸t.

Cho lµ VTNN víi çc thµnh phÇn lµ nh÷ng BNN

b×nh ph− ¬ng kh¶ tÝch. §Æt

1 T1 n

n

X

X ... (X ,...,X )

X

⎛ ⎞⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎞⎟⎟⎟

⎠

1 1

n n

E[X ] m

m E[X] ... ...

E[X ] m

⎛ ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜= = =⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

- vÐc t¬ k× väng;

Ma trËn t− ¬ng quan cña X cho bëi

( )ij i jR (R ) E[X X ]= = .

Râ rµng .2ii iR E[X= ]

Ma trËn hiÖp ph− ¬ng sai cña X cho bëi

ij( )Σ = Σ = Cov(X) = E[(X-m) . (1.18)T(X m) ]−

L− u ý:2 2i i i i iiD[X ] E[(X m ) ]σ = = − = Σ

j

- ph− ¬ng sai cña .iX

ij

Σ = - hiÖp ph− ¬ng sai cña .i i j j i

E[X m )(X m )] Cov(X , X )− − =i j

X ,X

i j i i j jij

i j i j

Cov(X ,X ) E[(X m )(X m )]

D[X ]D[X ] D[X ]D[X ]

− −ρ = = - hÖ sè t− ¬ng quan cña .i jX ,X

R -ma trËn çc hÖ sè t− ¬ng quan.ij( )= ρ

c)TÝnh chÊt 1) ij 1, i, j.ρ ≤ ∀ (1.19)

2) NÕu çc thµnh phÇn X1 ®éc lËp th× kh«ng t− ¬ng

quan vµ R= –ma trËn chÐo,n j,...,X iX ,X

ij(R ) ij( )ρ -ma trËn ®¬n vÞ . Ng− îc l¹i kh«ng ®óng.

3) vµ R ®èi xøng , x¸c ®Þnh kh«ng ©m.Σ 1.3.2. VTNN chuÈn, çc tÝnh chÊt quan träng.

VTNN X= ®− îc gäi lµ VTNN chuÈn ( X gäi lµ cã ph©n bè

chuÈn trong

T1 n(X ,...,X )

n ) nÕu tæ hîp tuyÕn tÝnh bÊt k× çc thµnh phÇn cña nã cã ph©n bè chuÈn.

12



Nãi c¸ch kh¸c,∀ u1,...,un, BNN Y= 1 1 n nu X ... u X+ + cã ph©n bè chuÈn.

HÖ qu¶. Tõng thµnh phÇn cña VTNN chuÈn lµ BNN chuÈn.L− u ý: §iÒu ng− îc l¹i nãi chung kh«ng ®óng: Tõng thµnh phÇn cña VTNN

lµ chuÈn ⇏ chuÈn.T1 nX (X ,...,X )= T1 nX (X ,...,X )=B©y giê gäi m = E[X] lµ vÐc t¬ k× väng vµ Σ = Cov(X) lµ ma trËn hiÖp

ph− ¬ng sai cña X (dÔ thÊy tån t¹i ), ph©n bè chuÈn ®− îc kÝ hiÖu bëi N(m, Σ ).VTNN chuÈn X cã vÐc t¬ k× väng m vµ ma trËn hiÖp ph− ¬ng sai ®− îc kÝ hiÖubëi

Σ

X ∼ N(m, ).Σ+ NÕu ®Þnh thøc cña Σ b»ng 0 th× VTNN chuÈn X ®− îc gäi lµ suy biÕn. §Æt

(h¹nh cña ), tån t¹i kh«ng gian con k chiÒu cñak Rang( )= Σ Σ n¡ ®Ó chiÕu cña

X trªn kh«ng gian nµy lµ VTNN chuÈn kh«ng suy biÕn.

MÖnh ®Ò- ®Þnh nghÜa. Gi¶ sö X lµ VTNN chuÈn víi ma trËn t− ¬ng quanΣ .NÕu det(Σ ) 0 th× X ®− îc gäi lµ VTNN chuÈn kh«ng suy biÕn vµ mËt ®é cña nãcho bëi

≠

f(x)= T 1

n / 2 1/ 2

1 1exp (x m) (x m)

2(2 ) (det )

−⎧ ⎫− − Σ −⎨ ⎬⎩ ⎭π Σ

, nx ∈ ¡ . (1.20)

Nh− vËy, vÐc t¬ gi¸ trÞ trung b×nh m vµ ma trËn hiÖp ph− ¬ng sai hoµn toµnx¸c ®Þnh ph©n bè chuÈn; c¸c th«ng tin vÒ m« men cÊp cao h¬n lµ kh«ng cÇn thiÕt.

Σ

§Æt1

n

G .

⎛ ⎞σ

⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟σ⎝ ⎠

DÔ thÊy 1G− =

1

n

1/

.

1/

σ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟σ⎝ ⎠

, víi i iD[X ]σ =

L¹i ®Æt ;1 1R G G− −= Σ

DÔ thÊy Σ = GRG ; 1 1 1G R G

1− − − −Σ = ;

11 1n1

n1 nn

D ....D1

R ..............det(R)

D ....D

−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

trong ®ã lµ phÇn phô ®¹i sè cña trong ma trËn R. Thay vµo (1.20) ta ®− îcijD ijR

13



f(x) =n

j ji iijn / 2 1/ 2

i ji, j 11 n

x m1 1 x mexp D .

2... (2 ) (det R) =

⎧ ⎫−−⎪ ⎪−⎨ ⎬

σ σσ σ π ⎪ ⎪⎩ ⎭∑ (1.21)

MÖnh ®Ò . Cho X = T1 n(X ,...,X ) N(m, )Σ: . Khi ®ã lµ çc BNN

®éc lËp khi vµ chØ khi kh«ng t− ¬ng quan

1X ,...,Xn

n1X ,...,X

( lµ ma trËn chÐo:⇔ Σ

21

2n

.

⎛ ⎞σ⎜ ⎟

Σ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟σ⎝ ⎠

)

1.3.3.BiÕn ®æi tuyÕn tÝnh VTNN chuÈn.

MÖnh ®Ò. Cho X ∼ N(m, Σ ), A- ma trËn cÊp k×n tuú ý cßn k b∈ ¡ bÊt k×.

Khi ®ã VTNN Y=AX+b cã ph©n bè chuÈn trªn k ¡ víi T

E[Y] Am b;

Cov(Y) A A .

= +⎧⎪⎨

= Σ⎪⎩

HÖ qu¶. Gi¶ sö X∼N(m, Σ ) lµ VTNN chuÈn trong n¡ . Khi ®ã tån t¹i matrËn trùc giao A sao cho

U = A(X-m) N(0, D):trong ®ã D lµ ma trËn chÐo, çc phÇn tö trªn ®− êng chÐo chÝnh cña nã kh«ng ©m.

NÕu X kh«ng suy biÕn (det 0Σ ≠ ) th× çc phÇn tö trªn ®− êng chÐo chÝnh cñaD d− ¬ng.

Chøng minh. Ta chøng minh cho tr− êng hîp det 0Σ ≠ . Khi ®ã, Σ ®èi xøng,

x¸c ®Þnh d− ¬ng, vËy tån t¹i ma trËn trùc giao F cã çc vÐc t¬ cét ei lµ çc vÐc t¬ riªng cña Σ víi çc gi¸ trÞ riªng iλ t− ¬ng øng sao cho

D =1

1 T

n

F F .− −

λ⎛ ⎞⎜ ⎟Σ = ⎜⎜ ⎟

⎟λ⎝ ⎠

(1.22)

lµ ma trËn chÐo. V× Σ x¸c ®Þnh d− ¬ng nªn çc gi¸ trÞ riªng i 0λ > . §Æt A = 1F

− th×

E[U] = 0 ; Cov(U) = E T T T[F (X m)(X m) F] F F D− − = Σ = . (1.23)

Khi ®ã U lµ VTNN chuÈn, quy t©m, çc thµnh phÇn ®éc lËp. Bëi v× mçi phÐp biÕn ®æi trùc giao chÝnh lµ mét phÐp quay trong n¡ nªn ta cãthÓ ph¸t biÓu hÖ qu¶ trªn b»ng lêi nh− sau:

§èi víi mçi VTNN chuÈn, ta cã thÓ dïng mét phÐp quay thÝch hîp ®Ó biÕnnã thµnh VTNN chuÈn víi çc thµnh phÇn ®éc lËp.

14



H×nh 1.4.§− êng ®ång møc cña mËt ®é chuÇn 2 chiÒu.

O x

1.3.4. Mét sè BNN liªn quan ®Õn VTNN chuÈn.

MÖnh ®Ò. ®éc lËp cïng ph©n bè chuÈn N(0,1) th×1X ,...,Xn

2 2 21 nY X ... X (n)= + + χ: . (1.24)MÖnh ®Ò. U N(0,1) , V , U, V ®éc lËp th×:

2(n)χ:

U

TV / n

= T(n): . (1.25)

MÖnh ®Ò (Fisher). NÕu X = lµ VTNN n chiÒu sao cho c¸c

thµnh phÇn lµ nh÷ng BNN ®éc lËp, cïng ph©n bè chuÈn N(m,

T1 n(X ,..., X )

2σ ) th× :

a)n

i

i 1

1X X

n =

= ∑ vµ ( )n

2 2i

i 1

1S X

n

X

=

= −∑ lµ hai BNN ®éc lËp;

b)

2

22 n2i

2i 1

X N(m, );n

X XnS(n 1).

=

⎧ σ⎪⎪⎨

⎛ ⎞−⎪ = χ⎜ ⎟⎪ σσ ⎝ ⎠⎩∑

:

: −

(1.26)

HÖ qu¶. ®éc lËp cïng ph©n bè chuÈn N(m,1X ,...,Xn2σ ) th×

n 2i

i 1

X mn

1(X X)

n 1 =

−

−−

∑

:T = T(n-1). (1.27)

1.3.5.Mét sè ph©n vÞ kh¸c.

a) . Ph©n vÞ møc α cña ph©n bè “Khi b×nh ph− ¬ng” víi n bËc tù do, kÝ

hiÖu lµ χ , lµ gi¸ trÞ x¸c ®Þnh tõ biÓu thøc:

2 (n)αχ2

(n)α

15



2P X (n)α> χ = α , 0 1< α <

trong ®ã .2X (χ: n)

b) . Ph©n vÞ Student møct (n)α α víi n bËc tù do, kÝ hiÖu lµ , lµ gi¸ trÞ

x¸c ®Þnh tõ biÓu thøc:

t (n)α

P T t (n)α> = α , 0 1< α <trong ®ã T .T(n):

TÝnh chÊt: * 1t (n) t (n)−α α= − ;

* t (n)α Uα≈ víi n > 30.

Ng− êi ta lËp b¶ng gi¸ trÞ cña 2(n)αχ vµ t (n)α víi nh÷ng gi¸ trÞ kh¸c nhau

cña vµ n.α

2 t (n)α(n)αχ

H×nh 1.5. Ph©n vÞ cña ph©n bè “Khi b×nh ph− ¬ng”(a) vµ cña ph©n bè Student (b).

1.3.5.VÐc t¬ ngÉu nhiªn chuÈn 2 chiÒu.Cho Z = (X,Y) lµ VTNN chuÈn 2 chiÒu (kh«ng suy biÕn) víi vÐc t¬ k× väng

m = ( vµ ma trËn hÖ sè t− ¬ng quan) .T

1, 2m m1

R 1

ρ⎛ ⎞= ⎜ρ⎝ ⎠

⎟ Theo c«ng thøc (1.21),

mËt ®é ®ång thêi cña Z cho bëif(x,y) =

2 2

1 1 222 1 1 2 21 2

1 1 x m x m x m x mexp 2

2(1 )2 1

⎧ ⎫2

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − −⎪ ⎪⎢ ⎥− − ρ +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟σ σ σ σ⎢ ⎥− ρ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪πσ σ − ρ ⎣ ⎦⎩ ⎭

.(1.28)

DÔ dµng tÝnh ®− îcE[X1] = m; D[X] = 2

1σ ;

E[X2 ]= m; D[X] = 22σ ; XY .ρ = ρ (1.29)

§Æc biÖt, nÕu X vµ Y ®éc lËp ⇔ ρ = 0 (⇔ X vµ Y kh«ng t− ¬ng quan), mËt ®é

®ång thêi cho bëi

16



f(x,y) =

2 2

2

1 2 1 2

1 1 x y mexp

2 2

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎪ ⎪⎢ ⎥− +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟πσ σ σ σ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

. (1.30)

§èi víi m« men bËc cao chóng ta cã kÕt qu¶ quan träng sau ®©y:

NÕu (X, Y) lµ VTNN chuÈn quy t©m th×2 2 2 2 2E[X Y ] E[X ]E[Y ] 2E [XY]= + . (1.31)

B©y giê chän X = Y N(0,:2)σ th× 4

E[X ] 34= σ vµ chóng ta nhËn ®− îc c«ng

thøc tÝnh ®é nhän (1.2).1.3.6. MËt ®é chuÈn 2 chiÒu dïng trong ph¸o binh - ElÝp t¶n m¸t.

§Ó nghiªn cøu møc ®é t¶n m¸t cña ®¹n r¬i trªn mÆt ph¼ng n»m ngang, ng− êita lËp hÖ trôc Oxy víi gèc O trïng víi môc tiªu (®iÓm ng¾m b¾n), trôc Ox lµh− íng b¾n. T − ¬ng tù nh− (1.13) ®Æt

(1.32)

D 1 0,25 1

H 1 0,25 2

L U 0,6745 ;

L U 0,6745 .

= σ = σ⎧⎪

⎨ = σ = σ⎪⎩

§Þnh luËt t¶n m¸t kh¼ng ®Þnh r»ng, to¹ ®é ®iÓm ®¹n r¬i (X, Y) tu©n theo luËt

chuÈn víi hµm mËt ®é (1.30), m1 = m2 = 0. Cã thÓ viÕt l¹i mËt ®é nµy d− íi d¹ng

2 22

2 2D H D H

x yf (x, y) exp

L L L L

2⎧ ⎫⎛ ⎞ρ ⎪ ⎪= −ρ +⎜ ⎟⎨ ⎬⎜π ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

(1.33)

trong ®ã LD - sai sè trung gian vÒ tÇm, LH - sai sè trung gian vÒ h− íng .

§èi víi hÇu hÕt çc ph¸o th«ng dông, LD lín gÊp 10 15÷ lÇn LH.

Elip t¶n m¸t (E) lµ elÝp cã çc b¸n trôc 4LD, 4LH (cã tµi liÖu ghi lµ LD, LH).

X¸c suÊt ®Ó ®iÓm ®¹n r¬i (X,Y) n»m ngoµi elip t¶n m¸t rÊt nhá, cã thÓ bá qua:

( ) ( ) ( )2 2

2

0,25X Y

X YP X,Y E P 4U 0,025

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪∉ = + ≥ ≈⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟σ σ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

. (1.34)

Ng− êi ta chia (E) thµnh çc vïng víi tØ lÖ % xÊp xØ ®¹n r¬i vµo (H×nh 1.5);

nhê ®ã cã thÓ tÝnh dÔ dµng x¸c suÊt ®¹n r¬i vµo miÒn G cho tr− íc nµo ®ã.y

22 LD

71625LH

25167

x

17



H×nh 1.6 . Elip t¶n m¸t víi thang chia ®é.

⇓1.4. Më réng kh¸i niÖm mËt ®é ®èi víi BNN rêi r¹c.+Chóng ta biÕt r»ng, nÕu X lµ BNN liªn tôc víi hµm ph©n bè F(x) vµ hµm

mËt ®é f(x) th×:

*dF(x)

f (x) , xdx

= ¡∈

=

;

0.

; (1.35)

* ; (1.36)f (x) 0; f (x)dx 1∞

−∞

≥ ∫

* . (1.37) b

a

P a X b f (x)dx≤ < = ∫

+§Ó më réng kh¸i niÖm hµm mËt ®é cho BNN rêi r¹c tr−

íc hÕt ta ®−

a rahµm b− íc nh¶y ®¬n vÞ, ®ã lµ hµm:

1 khi x 0u(x)

0 khi x

≥⎧= ⎨

<⎩(1.38)

+Hµm delta. Hµm delta (cßn goÞ lµ hµm delta-Dirac) t¹i ®iÓm x , kÝ hiÖu

, lµ hµm suy réng, b»ng kh«ng víi

0

0(x x )δ − 0x x≠ vµ b»ng v« h¹n t¹i x = :0x

( ) 00

0

0 khi x x ;x x

khi x x ,

≠⎧δ − = ⎨

+∞ =⎩

(1.39)

vµ tho¶ m·n quan hÖ : Víi a < b, b

00

0 oa

1 khi a x b;(x x )dx

0 khi x a hay x

≤ <⎧δ − = ⎨

b.< ≥⎩∫ (1.40)

O x

1

y(a)

x0xOO x

11

yy(c)(b)

H×nh 1.7. Hµm b− íc nh¶y ®¬n vÞ(a), hµm delta (b) vµ hµm delta t¹i (c).0x

Mét ®Þnh nghÜa kh¸c cho hµm delta lµ

18



j x1(x) e d

2

∞− ω

−∞δ =

π ∫ ω . (1.41)

Hµm delta ®− îc thÓ hiÖn b»ng vÐc t¬ ®¬n vÞ //Oy (H×nh 1.7.). Nã cã thÓ coi

lµ ®¹o hµm cña hµm b− íc nh¶y ®¬n vÞ:

du(x)(x)

dxδ =

k 0 h;h,k 0

u(h) u(k)lim

h k < < →

−=

−(1.42)

Khi ®ã, nÕu X lµ BNN rêi r¹c tËp trung t¹i ix ,i 1,2,...= víi

i i p P X x ,= = ii 1

p 1≥

=∑

i

, th× cã thÓ coi X cã mËt ®é

. (1.43)ii 1

f (x) p (x x )≥

= δ −∑

MËt ®é nµy tho¶ m·n c¸c tÝnh chÊt (1.36) - (1.37) cña hµm mËt ®é th«ng

th− êng. Ngoµi ra, cã thÓ coi nã lµ ®¹o hµm cña hµm ph©n bè:dF(x)

f(x)dx

= .

§Æc biÖt, hµm delta t¹i a chÝnh lµ hµm mËt ®é cña BNN h»ng sè X = a; së dÜ

nh− vËy lµ v× :

du(x a)(x a)

dx

−δ − = ; (x a) 0;δ − ≥ (x a)dx 1

∞

−∞

δ − =∫ . (1.44)

Ng− êi ta còng hay xÐt hµm khèi l− îng x¸c suÊt cña BNN X

p(x) P X x , x .= = ∈ ¡ VÝ dô. Cho X lµ BNN víi b¶ng x¸c suÊt

Hµm mËt ®é (suy réng) vµ hµm khèi l− îng x¸c suÊt thÓ hiÖn ë H×nh 1.8.

H×nh 1.8. Hµm mËt ®é (a) vµ hµm khèi l− îng x¸c suÊt (b) cña BNN rêi r¹c.

X 1 2 4

P 0,5 0,3 0,2

0,5

O x1 2 4

y

0,5

O x1 2 4

y

0,5 khi x 1

0,3 khi x 2⎪ =⎪

p(x)0,2 khi x 4

0 trai lai

=⎧

= ⎨=⎪

⎪⎩

19



Câu hỏi Chươ ng I

1.1 Nêu một số hiểu biết về biến ngẫu nhiên r ờ i r ạc.

1.2 Nêu một số hiểu biết về BNN liên tục, 4 luật phân bố liên tục.

1.3 BNN chuẩn: định ngh ĩ a, tính chất hàm mật độ, các tham số đặc tr ưng, BNN

chuẩn tắc, biến đổi tuyến tính, phân vị Uα .

1.4 BNN chuẩn: định ngh ĩ a, sai số trung gian, dạng mật độ BNN chuẩn dùng

cho pháo binh, qui tắc 2σ ,3 σ .

1.5 Véc tơ k ỳ vọng, ma tr ận tươ ng quan, ma tr ận hiệ p phươ ng sai của véc tơ ngẫu nhiên n chiều; vài tính chất.

1.6 Véc tơ ngẫu nhiên chuẩn: định ngh ĩ a, tính chất.1.7 Biến đổi tuyến tính VTNN chuẩn.

1.8 Một số biến ngẫu nhiên liên quan đến VTNN chuẩn.

1.9 Phân vị , véc tơ ngẫu nhiên chuẩn 2 chiều.2 (n); t (n)α αχ

1.10 Mật độ chuẩn 2 chiều dùng trong pháo binh, elip tản mát.1.11 Khái niệm mật độ vớ i BNN r ờ i r ạc. Bµi tËp ch− ¬ng I.

1.1. Chøng tá r»ng nÕua) X th× E[X] = np; D[X] =np(1-p).B(n,p):

b) X th×P( )λ: E[X] ; D[X]= λ = λ ;c) th× E[X] =(1-p)/p .X G(P):

1.2. Chøng tá r»ng nÕu X [ ]U a;b: th× E[X] =2a b (b a)

; D[X] .2 1

+ −=

2

1.3. Cho X ; chøng tá r»ng E[X] =m.2 N(m, )σ:1.4. Cho X . ViÕt ra hµm mËt ®é cña X vµ tÝnh c¸c s¸c suÊt N(2,9):

a) P 0 X 1 ; b)P 1 X 4 .< ≤ ≤ ≤

1.5. Cho X . T×m mËt ®é cña Y = 2X – 3. TÝnh E[Y], D[Y]. N(0,1):

1.6. Cho X .TÝnh N(0,1): P X 1,645 ; P X 1,960 ; P X 1,960 .> > >

1.7. ViÕt mËt ®é cña ph©n bè chuÈn, biÕt r»ng nã cã k× väng 0 vµ sai sè trunggian 2. TÝnh P 2 X 2 ; P 0 X 2− ≤ ≤ ≤ ≤ .

1.8. §− êng kÝnh cña viªn bi cã ph©n bè chuÈn víi trung b×nh 20 vµ ®é lÖch

chuÈn 0,5. Quy t¾c kh¼ng ®Þnh cho ta ®iÒu g×?2 ; 3σ σ

⎞⎟

⎞⎟

1.9. Cho (X,Y) : . N(0, )∑

a) Gi¶ sö , kÕt luËn g× vÒ tÝnh ®éc lËp gi÷a X vµ Y?1 0

0 3

⎛ ∑ = ⎜

⎝ ⎠

b)Gi¶ sö , t×m hÖ sè t− ¬ng quan gi÷a X vµ Y.4 1

1 9

⎛ ∑ = ⎜

⎝ ⎠

20



1.10. Ma trËn nµo sau ®©y lµ ma trËn hiÖp ph− ¬ng sai?

a) ; b) ; c) ; d) .2 0

0 1

⎛ ⎜⎝ ⎠

⎞⎟

⎞⎟

⎞⎟

2 1

1 1

⎛ ⎜⎝ ⎠

2 1

0 1

⎛ ⎜⎝ ⎠

1 1

1 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1.11. Cho U=(X,Y,Z) N(m, )∑: ,trong ®ã Tm (0,1, 2)= ;

1 0,5 0,5

0,5 1 0

0,5 0 4

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ =

, )∑

.

T×m ph©n bè cña T = X – 2Y + 3Z .

1.12. Cho , trong ®ãX

U N(0Y

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠:

1 0,5

0,5 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ =

⎞⎟

10

210

.

T×m VTNN d¹ng sao cho 2 thµnh phÇn cña V, tøc lµ

aX+bY vµ cX+dY lµ 2 BNN ®éc lËp.

aX bYV

cX dY

+⎛ = ⎜ +⎝ ⎠

1.13. Cho lµ nh÷ng BNN ®éc lËp cïng ph©n bè chuÈn N(0,1).§Æt

. T×m a, b ®Ó1X ,...,X

2 2 21 5 1X X ... X ; Y X ... X= + + = + +

P X a 0,05; P Y b 0,05> = < = .

1.14. Gi¶ sö ®iÓm ®¹n r¬i (X,Y) cã ph©n bè chuÈn, trong ®ã ®é lÖch h− íngX vµ ®é lÖch tÇm Y kh«ng cã sai sè hÖ thèng (tøc lµ k× väng 0), ®éc lËp, vµ cïng®é lÖch chuÈn 4 mÐt. TÝnh x¸c suÊt ®Ó ®¹n r¬i vµo vßng trßn t©m O b¸n kÝnh 3mÐt.

1.15. Gi¶ sö ®iÓm ®¹n r¬i (X,Y) cã ph©n bè chuÈn, trong ®ã ®é lÖch h−

íngX : , ®é lÖch tÇm Y , X vµ Y ®éc lËp. TÝnh x¸c suÊt ®Ó ®¹n r¬i vµovßng trßn b¸n kÝnh 3 mÐt, t©m t¹i ®iÓm ng¾m b¾n..

N(0, 4) N(0,5):

1.16. ø ¬c l− îng x¸c suÊt ®¹n tróng vµo xe t¨ng, biÕt r»ng ta ng¾m b¾n vµo®iÓm gi÷a cña phÇn d− íi cña xÝch vµ sau khi vÏ xe lªn hÖ trôc víi elÝp t¶n m¸t th×thu ®− îc h×nh vÏ sau ®©y.

y

22 LD

71625LH25167

x

H×nh 1.9 . Xe t¨ng trong hÖ thèng elip t¶n m¸t .

21



1.17. Cho , tínhX U[a;b: ] P X EX 2 − < σ , P X EX 3 − < σ vớ i

DXσ = ; so sánh vớ i công thức (1.17).

1.18. Giả sử . Chứng tỏ r ằng X là BNN “không có trí nhớ ” theo

ngh ĩ aX E( )λ:

PX s t | X t PX s, t,s 0> + > = > ∀ ≥ .

1.19. Cho , X và Y độc lậ p. Chứng minh r ằngX E( ), Y E(λ: : )γ X Y+

. Mở r ộng k ết quả sang tr ườ ng hợ p có nhiều biến ngẫu nhiên.E( )λ + γ:

1.20. Biết r ằng mật độ của BNN X có dạngx

kxe khi x 0f(x)

0 x

−⎧ ≥⎪= ⎨

<⎪⎩ 0.

a)Tìm hằng số k, Mod(X).

b)Tính 2E[X], E[X ], D[X].

c)Tìm mật độ của BNN X .

ĐS. ;2k 1; Mod(X) 1; E[X] 2; E[X ] 6= = = =

23 x

Xx) 2x e .−=f (

1.21. VTNN (X, Y) có mật độ (x y)e khi x 0, y 0

f(x,y)0 trai lai

− +⎧ ≥ ≥⎪= ⎨

⎪⎩

a) Tìm mật độ biên . Suy ra r ằng X, Y là hai BNN độc lậ p.X Yf (x), f (y)

b) Tìm mật độ của Z = X + Y.

c) Tìm mật độ của BNN .2

X

ĐS. xXf (x) e , (x 0)

−= ≥ ; xZf (x) xe , (x 0)

−= ≥ x2X

1f (x) e , (x 0

2 x

−)= ≥ .

22



Chươ ng 3VÉC TƠ NGẪU NHIÊN

§3.5. SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN

Mục này trình bày bốn dạng hội tụ thông dụng nhất của dãy các BNN cũngnhư những định lý hạt nhân của lý thuyết xác suất về sự hội tụ của dãy các BNN

độc lậ p: luật số lớ n, định lý giớ i hạn trung tâm. Sự hội tụ của dãy các BNN dạng

khác như xích Markov, martilgal… đượ c trình bày ở chuyên khảo khác.

3.5.1. Các dạng hội tụ a) Định nghĩ a. Giả sử X và , n = 1, 2, … là các BNN cùng xác định trên

không gian xác suất (nX

), ,PΩ ℑ .

(i) Ta nói dãy các BNN nX hội tụ chắc chắn tớ i BNN X và viết

(hay (cc)) nếuccnX X ⎯⎯→ nX → Xn

nlim X ( ) X( ),→∞

ζ = ζ ∀ζ ∈Ω .

(i) Ta nói dãy các BNN nX hội tụ hầu chắc chắn tớ i BNN X và viết

(hay (hcc)) nếu tồn tại biến cố vớ i P(A) = 1 saocho

hccnX X ⎯⎯→ nX → X A ⊂ Ω

nnlim X ( ) X( ), A→∞

ζ = ζ ∀ζ ∈ .

(ii) Ta nói dãy các BNN nX hội tụ theo xác suất tớ i BNN X và viết

nếuP

nX X ⎯⎯→ n

nlim P X X 0, 0.→∞

− ≥ ε = ∀ε >

(iii) Ta nói dãy các BNN nX hội tụ trung bình cấ p p (0 < p < ∞ ) tớ i BNN

X , và viết (hay theo trung bình cấ p p), nếuLPnX X ⎯⎯→ nX → X

pnE X , n< ∞ ∀ và

pn

nlim E X X 0→∞

− = .

(4i) Ta nói dãy các BNN nX hội tụ theo luật đến BNN X và ta viết

hay ⇒ nếuLnX ⎯⎯→X Xn

F XF

X Xnnlim F (x) F (x)→∞ =

tại mọi điểm liên tục của hàm phân bố XF (x).Từ bất đẳng thức Liapunov (xem 5.2.1), hội tụ trung bình cấ p p sẽ suy ra hội

tụ trung bình cấ p q vớ i 0 < q < p. Tuy nhiên trong thực tế ứng dụng thì hội tụ trung bình cấ p hai là quan tr ọng nhất; hội tụ trung bình cấ p hai còn gọi là hội tụ bình phươ ng trung bình hay MS - hội tụ (mean square convergence), ký hiệu

MSnX X, (n ⎯⎯→ → ∞) hay nl.i.m. X X=

23



(l.i.m. là viết tắt của chữ limit in mean).Riêng vớ i hội tụ theo luật, các BNN và X có thể xác định trên những

không gian xác suất khác nhau.nX

b. Tiêu chuẩ n Cauchy về sự hội t ụ Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số thông thườ ng cũng như

một vài k ỹ thuật khác, chúng ta phát biểu các tiêu chuẩn Cauchy sau đây về sự hộitụ của dãy các BNN. ¦ u điểm của các tiêu chuẩn Cauchy là không cần sự có mặtcủa BNN giớ i hạn X.

Định nghĩ a: Ta nói dãy các BNN nX là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) hầu

chắc chắn, theo xác suất hay theo bình phươ ng trung bình nếu lần lượ t thoả mãncác tính chất sau:

+ Dãy nX ( ),n 1,2,...ζ = là dãy Cauchy vớ i hầu hết ζ ∈Ω ;

+ ,0∀ε > n mP X X 0− ≥ ε → khi n, m → ∞ ;

+2

n mE X X 0 khi n,m .− → → ∞

Định lý (tiêu chuẩn Cauchy). Dãy các BNN nX hội tụ đến BNN X nào đó:(i) hầu chắc chắn khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy hầu chắc chắn.(ii) theo xác suất khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy theo xác suất;(iii) theo bình phươ ng trung bình khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy theo bình

phươ ng trung bình.Độc giả có thể tham khảo chứng minh trong các cuốn sách chuyên biệt về

xác suất như [4], [11].c. M ố i quan hệ giữ a các d ạng hội t ụ Chúng ta sẽ phát biểu định lý sau đây nêu lên mối quan hệ giữa các dạng hội

tụ vừa nêu.

Định lý. (i) Dãy nX hội tụ hầu chắc chắn sẽ hội tụ theo xác suất:hcc

nX X ⎯⎯→ PnX X⇒ ⎯⎯→ .

(ii) Dãy nX hội tụ bình phươ ng trung bình thì cũng hội tụ theo xác suất:MS P

n nX X X ⎯⎯→ ⇒ ⎯⎯→X.

(iii) Dãy nX hội tụ theo xác suất thì cũng hội tụ theo luật:

X XP Ln nX X. ⎯⎯→ ⇒ ⎯⎯→

Mối quan hệ giữa các dạng hội tụ thể hiện ở giản đồ sau

hầu chắc chắn Theo xác suất

Theo trung bình

Theo luậtChắc chắn

Ngoài ra, quan hệ sau đây cũng hay đượ c sử dụng: Định lý. Nếu dãy các BNN X hội tụ theo xác suất đến X thì có thể tích ra

một dãy con hội tụ hầu chắc chắn đến X.n

nk X ,k 1,2,...=

24



3.5.2. Các định lý giớ i hạn.Các định lý giớ i hạn ở mục nhỏ này khảo sát dáng điệu của tổng các BNN

độc lậ p cũng phân bố khi số các số hạng tăng lên vô hạn, bao gồm luật yếu số lớ n,luật mạnh số lớ n và định lý giớ i hạn trung tâm. Tr ướ c hết, chúng ta tìm hiểu bấtđẳng thức Chebyshev. Ngoài việc dùng để chứng minh luật yếu số lớ n, bất đẳngthức này còn đượ c ứng dụng vào nhiều mục đích khác.

a. Bấ t đẳ ng thứ c ChebyshevGiả sử X là BNN vớ i k ỳ vọng EX và phươ ng sai DX hữu hạn. Khi đó,

xảy ra bất đẳng thức:0∀ε >

2

D[X]P X E[X] .− ≥ ε ≤

ε(3.5.1)

Chứ ng minh. Chúng ta chứng minh cho tr ườ ng hợ p X có hàm mật độ, ta có:E[X]

2 2D[X] (x E[X]) f (x)dx (x E[X]) f (x)dx−ε+∞

−∞ −∞

= − ≥ −∫ ∫

2 2

E[X] (x E[X]) f (x)dx P X E[X] .

+∞

+ε+ − ≥ ε −∫ ≥ ε

Nhận đượ c đ pcm.

Đôi khi dạng sau đây của (3.5.1) cũng r ất tiện lợ i:

2

D[X]P X E[X] 1 .− < ε ≥ −

ε

Đặc biệt, khi ε là một số nguyên lần độ lệch chuẩn chúng ta thu đượ c

2

1P X E[X] n 1 .

n− < σ ≥ −

Nếu chọn n = 3 thì

8

P X E[X] 3 .9

− < σ ≥ (3.5.2)

Bất đẳng thức (3.5.2) cũng đượ c phát biểu dướ i dạng quy tắc 3σ :Mỗi BNN không lệch khỏi giá tr ị trung bình của nó một lượ ng 3 vớ i xác

xuất khá lớ n.σ

Chúng ta thấy xác suất “khá lớ n” ở đây chỉ là 8/9, thấ p hơ n r ất nhiều so vớ i0.9973 ở tr ườ ng hợ p X có phân bố chuẩn theo công thức (1.17). Như vậy, nếu biếtthêm thông tin về tính chuẩn của BNN X, chúng ta có những khẳng định mạnh

hơ n về khả năng xuất hiện biến cố X E[X] 3 .− < σ

b. Luật yế u số l ớ nCho dãy BNN nX độc lậ p, cùng phân bố vớ i k ỳ vọng iE[X ] m= và

phươ ng sai hữu hạn. Khi đó, vớ i mọi2iD[X ] = σ 0ε > cố định,

1 n

n

X ... Xlim P 1.

n→∞

⎧ ⎫+ +− µ < ε =⎨

⎩ ⎭⎬ (3.5.3)

25Chứ ng minh. Từ giả thiết suy ra



21 n 1 nX ... X X ... X

E ; Dn n

+ + + + σ= µ = .

n

Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev chúng ta có2

1 n2

X ... XP 1

n n

⎧ ⎫.

+ + σ− µ < ε ≥ −⎨ ⎬

ε⎩ ⎭

Chuyển qua giớ i hạn khi nhận đượ c đ pcm. n → ∞Theo các dạng hội tụ xét đến ở mục 3.5.1, luật yêu số lớ n chính là:Đối vớ i dãy BNN độc lậ p, cùng phân bố vớ i phươ ng sai hữu hạn, dãy trung

bình cộng hội tụ theo xác suất đến k ỳ vọng chung của dãy.Định lý này đượ c nêu ra bở i Bernoulli ở cuối thế k ỷ 17 như là thành công

đầu tiên của lý thuyết xác suất non tr ẻ. Thực ra, vớ i cùng giả thiết, chúng ta cònthu đượ c sự hội tụ hầu chắc chắn, dạng hội tụ mạnh hơ n hội tụ theo xác suất. Đó lànội dung của luật mạnh số lớ n, công trình thuộc về Kolmogorov.

c.Luật mạnh số l ớ nCho dãy BNN nX độc lậ p, cùng phần bố vớ i k ỳ vọng iE[X ] = µ và

phươ ng sai D[ hữu hạn. Khi đó2iX ] = σ

1 n

n

X ... XP lim 1

n→∞

+ +⎧ ⎫= µ =⎨⎩ ⎭

⎬ . (3.5.4)

Chứng minh đầy đủ định lý này khá sâu sắc và chúng ta bỏ qua. Như vậy, vớ i điều kiện nêu ra, dãy trung bình cộng ( )1 nX ... X / n+ + hội

tụ hầu chắc chắn đến k ỳ vọng µ .Ví d ụ 5. Xét dãy các phép thử Becnoulli.

26

i

1X

0

⎧= ⎨

⎩

Trung bình cộng ( ) 1 nn

X ... XX

n

+ += bằng - tần suất xuất hiện biến cố

A trong n phép thử đầu tiên. Vớ i P = P(A) ta có

nf

i iE[X ] p; D[X ] p(1 p).= = −

nếu biến cố A xảy ra ở phép thử thứ i

nếu trái lại

Theo luật mạnh số lớ n, tần suất hội tụ hầu chắc chắn đến E[ iX ] p P(A).= = Như vậy, luật mạnh số lớ n là cơ sở toán học của định ngh ĩ a thống kê về xác

suất, đưa ra ở giai đoạn đầu của lý thuyết này.Ví d ụ 5.. Hình 3...(a) trình bày k ết quả mô phỏng vớ i BNN mũ X vớ i k ỳ

vọng E[X] = 1. Theo các giá tr ị , chúng ta tính toán đượ c trung bình cộngiX

( ) 1 nn

X ... XX .n

+ +=

Sau khoảng 200 phép thử chúng ta dườ ng như nhận đượ c sự ổn định.Hình 3....(b) chỉ ra hình ảnh của n(X) vớ i 50 giá tr ị đầu, sự biến động

dườ ng như còn lớ n.



( )nX

10 30 50400 1000200

•

n

•

•

• (a) b

Hình 3. . Trung bình cộng của dãy BNN mũ k ỳ vọng 1.

Nhận xét: Sự hội tụ của dãy n(X) thườ ng là chậm hơ n r ất nhiều so vớ i sự hội tụ của dãy tất định hay gặ p thông thườ ng.

Ví dụ, nếu chúng ta cần một ngưỡ ng xác suất (độ tin cậy) 95%, đối vớ iBNN có , theo bất đẳng thức Chebychev chúng ta có thể đưa ra bảng sau đâyvề số phép thử cần thiết để trung bình cộng

1σ =

n(X) lệch khỏi k ỳ vọng E[X] một

lượ ng bé hơ n .ε Sai số tuyệt đối ε 0,1 0,01 0.001

Số phép thử n 2 000 200 000 2 000 000

Gần đây ngườ i ta đưa ra những bất đẳng thức tinh vi hơ n, số phép thử cầnthiết giảm cỡ 5 lần.

d) Định lý giớ i hạn trung tâm.

n(X)Để nghiên cứu tỉ mỉ hơ n về , hãy chuẩn hoá nó bằng cách đặt

n

n

(X)

T n

− µ

= σ .Z ] 1.

(3.5.5)Rõ ràng và D[nE[T ] 0= n = Như vậy, k ỳ vọng và phươ ng sai của

BNN giớ i hạn (nếu có) vẫn là 0 và 1 tươ ng ứng. Câu hỏi đặt ra là: Hàm phân bố hay hàm mật độ (nếu có) của BNN giớ i hạn sẽ ra sao?

Định lý sau đây tr ả lờ i cho câu hỏi này. Định lý (Định lý giớ i hạn trung tâm). Cho dãy BNN nX độc lậ p, cùng

phân bố vớ i k ỳ vọng iE[X ] = µ và phươ ng sai 2iD[X ] = σ hữu hạn. Khi đó đối

vớ i dãy iT xác định theo (3.5.5) xảy ra đẳng thức:

2tx 2

nx

1lim P T x e dt2

−

→∞−∞

< =π ∫ (3.5.6)

Vế phải của (3.5.6) chính là hàm phân bố chuẩn tắc F(x). Như vậy, định lýgiớ i hạn trung tâm khẳng định r ằng: Đối vớ i dãy BNN độc lậ p cùng phân bố và

phươ ng sai hữu hạn, dãy chuẩn hoá của trung bình cộng hội tụ theo luật đến phân bố chuẩn tắc.

Định lý đượ c công bố đầu tiên bở i Laplace cho dãy vớ idựa vào công thức Stirling. Định lý đượ c chứng minh theo phươ ng pháp hàm đặc

nX nX ~ B(1, p)

27



tr ưng. Độc giả cũng có thể tham khảo chứng minh tỉ mỉ khác ở [ ]. Vì tầm quantr ọng đặc biệt, ngườ i ta đã phát triển định lý này theo r ất nhiều hướ ng khác nhau.

Nhận xét. Ngườ i ta nhận thấy tốc độ hội tụ ở định lý giớ i hạn trung tâm khátốt, thể hiện ở bất đẳng thức

3i i

x 3x

E X EXSup F (x) F(x) C

n−∞< <+∞

−− ≤

σ

trong đó hằng số C thoả mãn (xem [4] trang 2.2.6):1

C 0.2

≤ ≤π

8

Như vậy, tôc độ hội tụ là1

O( )n

và phụ thuộc vào độ bất đối xứng

Trong thực tế áp dụng, vớ i các BNN có phân bố gần đối xứng,chỉ cần ; vớ i các biến ngẫu nhiên khác, chỉ cần n đã có xấ p xỉ tốt.

3 31 1E[X EX ] / .− σ

n 20≥ 30≥ H ệ quả (Định lý giớ i hạn Mouvra - Laplace).

Giả sử là BNN có phân bố nhị thức B(n;p) (0 < p < 1). Đặt:nZn

nZ np

Tnpq

.−

= (3.5.7)

Khi đó

2tx2

nn

1lim P T x e dt.

2

−

→∞−∞

< =π ∫ (3.5.8)

Nói cách khác, nT hội tụ theo luật đến phân bố chuẩn tắc.

Chứ ng minh. Đặt như ở Ví dụ 5... và đặtiX n 1S X ... X .n= + + Khi đó có

phân bố nhị thức B(n,p) và suy ra theo (3.5.7) là BNN chuẩn hoá của . Theođịnh lý giớ i hạn trung tâm ta nhận đượ c (3.5.8).

nS

nT nS

Như vậy, vớ i n lớ n chúng ta có xấ p xỉ nP T x F(x)< ≈ (3.5.9)

vớ i F(x) là hàm phân bố chuẩn tắc.Bây giờ ta quay tr ở lại tính xấ p xỉ n 1 2P (k k )÷ như nêu ra ở . Chúng ta có

n 1 2 1 n 2P (k k ) P k S k ÷ = ≤ ≤

= 1 n 2k np S np k npP

npq npq npq

⎧ ⎫− − −⎪ ⎪≤ ≤⎨ ⎬

⎪ ⎪⎩ ⎭

2 1k np k npF( ) F( ).

npq npq

− −≈ −

Cuối cùng, vì1

F(x) (x)2

= + Φ chúng ta nhận đượ c xấ p xỉ

n 1 2 2 1P (k k ) (x ) (x ),÷ ≈ Φ − Φ (3.5.10)trong đó

ii

k npx , i

npq1,2

−= =

28



2tx2

0

1(x) e dt

2

−Φ =

π ∫ - hàm Laplace.

Ngườ i ta thấy r ằng xấ p xỉ là tốt nếu np > 5; nq > 5 hoặc npq > 20.Công thứ c hiệu chỉ nh. Vớ i các điều kiện vừa nêu cho n, p, q ngườ i ta thấy

có thể làm tốt hơ n xấ p xỉ (3.5.9) bằng cách tăng lên nửa đơ n vị, và giảm đinửa đơ n vị. Cụ thể, nên sử dụng xấ p xỉ sau:

2k 1k

n 1 2 2 1P (k k ) (x ) (x ),∗ ∗÷ ≈ Φ − Φ (3.5.11)trong đó

1 2

1 2

1 1k np k

2 2x ; xnpq npq

∗ ∗np− − +

= =−

>

vớ i điều kiện hoặc npq > 20.np 5; nq 5>Ví d ụ: Xác suất trúng đích của một xạ thủ khi bắn một viên đạn vào bia là

0,75. Tính xác suất để xạ thủ đó bắn 100 viên có 81 phát trúng đích tr ở lên.Giải. np, nq > 10, chúng ta có thể áp dụng các k ết quả nêu trên.

100 2 1P P (81 100) (x ) (x )= ÷ ≈ Φ − Φ ;

181 100.75

x 1,38100.0,75.0.25

−= ≈ ;

29

2100 100.75

x 5,77.100.0,75.0.25

−= ≈

(1,38) 0,4162; (5,77) (3,0) 0,5000Φ = Φ ≈ Φ =

Tra bảng ta có ;P 0,5000 0,4162 0,0838 8%⇒ = − = ≈ .

Nếu ta dùng công thức hiệu chỉnh thì

181 0,5 100.75

x 1,27

100.0,75.0.25

∗ − −= ≈ ; 2

100 0,5 100.75x 5,889.

100.0,75.0.25

∗ + −= ≈

(1,27) 0,398; (5,77) (3,0) 0,5000Φ = Φ ≈ Φ =

;

P 0,500 0,398 0,102 10%⇒ = − = ≈ .Xấ p xỉ (3.5.9) và do đó (3.5.10) là tốt vớ i các diều kiện đã đưa ra. Các diều

kiện này thoả mãn, chẳng hạn khi n lớ n hoặc khi p gần vớ i 1/2. Khi n nhỏ , ngườ i ta đã lậ p bảng giá tr ị cho các xác suất . Khi n không lớ n

lắm, hoặc khi

(n 20)≤ nP (k;p)

p 0 haykhi p 1,≈ ≈ các công thức trên không còn chính các nữa,ngườ i ta sử dụng định lý giớ i hạn Poisson sau đây.

Định lý (Định lý giớ i hạn Poisson). Giả sử trong lượ c đồ Becnoulli p P(A),= và khi mà npn → ∞ const= λ = thì

k

nnlim P (k) e

k!−λ

→∞

λ= .

Chứ ng minh. Từ công thức Becnoulli ta có

k k k k (n k)n n

n(n 1)...(n k 1)P (k) C p (1 p) p (1 p)

k!−− − +

= − = − .

Từ chỗ p / n= λ suy ra



k n

nn(n 1)...(n k 1)

P (k) 1k! n n

−− − + λ λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

k

n k k 1 k 11.(1 )...(1 ) 1

k! n n n

−λ − λ⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠

.

Chuyển qua giớ i hạn khi (k cố định) ta đượ cn → ∞

nnlim P (k)→∞

=

n( )( ) k k k

nlim 1 e

k! n k!

− −λ −λ −λ

→∞

λ λ λ⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Ý nghĩ a. Khi n lớ n còn npλ = không lớ n lắm ( 5λ ≤ chẳng hạn), xảy ra côngthức xấ p xỉ

k

nP (k) ek!

np

−λ⎧ λ≈⎪

⎨⎪ λ =⎩

(3.5.12)

Xấ p xỉ là tốt khi n > 50; p < 0,1.Vì xác suất p là bé nên biến cố A r ất ít khi xảy ra khi thực hiện một phép thử.

Chính vì thế, Định lý giớ i hạn Poisson còn đượ c gọi là định luật về các sự kiệnhiếm hoi.

Ngườ i ta đã lậ p bảng các giá tr ị củak

ek!

−λ .λ

Có tài liệu lại lậ p bảng giá tr ị

chok m

k 0

e

k!

−λ

=

λ∑ . Các xác suất n 1 2P (k k )÷ có thể dễ dàng tính đượ c từ (3.5.12) và

các bảng này.Ví d ụ. Xác suất để một loại máy bay trên một tuyền đườ ng nhất định bị tai

nạn là 4 p 10−= . Tìm xác suất để trong 1000 lần bay có :a) một lần bị tai nạn; b) có ít nhất 1 lần bị tai nạn.

Giải. Ta có thể áp dụng Định lý giớ i hạn Poisson vớ i n = 1000, p = 0,0001;.np 0,1λ = =

10,1

a 1000(0,1)

P P (1) e 0,0905.1!

−= ≈ =

00,1

b 1000 1000(0,1)

P P (1 1000) 1 P (0) 1 e 0,0952.0!

−= ÷ = − ≈ − =

Nếu bây giờ p = 0,001, tính toán tươ ng tự ta đượ c a bP 0,3679; P 0,6321.≈ ≈ Đây là những xác suất khá lớ n.

Câu hỏi ôn tập chươ ng III3.1. Dãy BNN hội tụ hcc, theo xác suất, bình phươ ng trung bình và theo luật.

Mối quan hệ giữa các dạng hội tụ này.3.2. Phát biểu và chứng minh bất đẳng thức Chebyshev, luật yếu số lớ n. Phát

biểu luật mạnh số lớ n.3.3. Định lý giớ i hạn trung tâm.

30



Phần IIQUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

Chươ ng 5NHỮ NG KHÁI NIỆM TỔNG QUÁT

§5.1. MỞ ĐẦU

Trong chươ ng này chúng ta sẽ nghiên cứu những khái niệm căn bản nhất về

quá trình ngẫu nhiên (QTNN). Khở i đầu, lý thuyết QTNN đượ c phát triển gắn vớ i

dao động và nhiễu trong những hệ vật lý. QTNN đưa ra những mô hình hữu hiệu

để nghiên cứu các l ĩ nh vực khác nhau như vật lý thống kê, thông tin liên lạc, phân

tích chuỗi thờ i gian, phân tích hoạt động mạng máy tính và khoa học quản lý.5.1.1. Các định ngh ĩ a

*Giả sử I là tậ p vô hạn nào đó còn ( )S, Pℑ, là không gian xác suất cơ bản.

Họ các biến ngẫu nhiên (BNN) tX , t I∈ cùng xác định trên ( )S, Pℑ, đượ c gọi là

hàm ngẫu nhiên.

Tậ p chỉ số I đượ c gọi là tậ p xác định; tậ p giá tr ị E của các BNN đượ c

gọi là tậ p giá tr ị của hàm ngẫu nhiên.

tX

Khi I ⊂ ¡ , tham biến t thườ ng đóng vai trò thờ i gian (cũng có thể có ýngh ĩ a khác) và chúng ta gọi tX ,t I∈ là QTNN. Hơ n nữa, nếu I là tậ p đếm đượ c

thì ta gọi tX , t I∈ là QTNN vớ i thờ i gian r ờ i r ạc hay dãy các BNN. Đặc biệt, ta

gọi nX , n∈N hoặc n 0 0X , n n ,n 1,...= + là dãy các BNN một phía. Nếu I =Z

thì ta gọi nX , n∈Z là dãy các BNN hai phía.

Khi I là một khoảng suy r ộng của , chúng ta gọiR tX ,t I∈ là QTNN thờ i

gian liên tục, đơ n giản là QTNN.

Đối vớ i các tr ườ ng hợ p khác, ví dụ k I = R , tX , t I∈ đượ c gọi là tr ườ ng

ngẫu nhiên. Chúng ta sẽ nghiên cứu chủ yếu QTNN thờ i gian r ờ i r ạc hoặc thờ i

gian liên tục. Trong quyển sách này nếu không nói gì thêm, QTNN xem xét là

QTNN thực, ở đó tậ p giá tr ị là tậ p con của . Khi tậ p giá tr ị là tậ p con của ,

chúng ta có QTNN phức, chúng ta sẽ nói rõ QT là phức.

R C

*Thực chất, chúng ta đang đề cậ p đến hàm 2 biến X X(t, ), t I, S= ς ∈ ς ∈

sao cho:

Khi cố định, là một BNN;t I∈ X(t, )ς

32



Khi cố định, là một hàm số thông thườ ng trên I, đượ c gọi là

một quỹ đạo (tên khác: thể hiện, hàm chọn) của QT ứng vớ i k ết cục của thí

nghiệm ngẫu nhiên.

Sς ∈ X(t, )ς

ς

*Cũng là chính đáng, và đôi khi lại là thoả đáng nhất khi coi QTNN như là

một ánh xạ ứng mỗi vớ i quỹ đạoSς ∈ X(., )ς - một hàm số thông thườ ng trên I.Thuật ngữ hàm ngẫu nhiên có lẽ xuất phát từ quan điểm này.

Như vậy, chúng ta lại có thể coi QTNN như là họ của các quỹ đạo hay là

một tổng thể (ensemble) của các thể hiện (hay các hàm chọn) của nó.

Sự khác biệt giữa các quan niệm nêu trên về QTNN nằm ở mục đích và

phươ ng pháp nghiên cứu.

Để tiện lợ i chúng ta hay viết X(t) thay cho , cũng như hay viếttX ( )X t,ζ

thay cho ( )tX ζ là giá tr ị của quá trình (QT) tại thờ i điểm t khi k ết quả của thí

nghiệm ngẫu nhiên là ζ (khi xảy ra biến cố sơ cấ p Sζ∈ ). Chúng ta cũng hay ký

hiệu QT bở i X(t, ), t I, Sς ∈ ς ∈ X(t), t I, X(t)∈ hay đơ n giản là X.

5.1.2. Phân loại sơ bộ.

Tùy theo tậ p chỉ số I và không gian giá tr ị E (trong Vật lý, E đượ c gọi là

không gian tr ạng thái), ngườ i ta phân QTNN làm bốn loại sau đây:

i) I liên tục, E liên tục: QTNN vớ i thờ i gian liên tục và tr ạng thái liên tục

(tên khác: QTNN liên tục);

ii) I liên tục, E r ờ i r ạc: QTNN vớ i thờ i gian liên tục và tr ạng thái r ờ i r ạc (tênkhác: QTNN r ờ i r ạc);

iii) I r ờ i r ạc, E liên tục: QTNN vớ i thờ i gian r ờ i r ạc và tr ạng thái liên tục (tên

khác: dãy ngẫu nhiên liên tục ).

iv) I r ờ i r ạc, E r ờ i r ạc: QTNN vớ i thờ i gian r ờ i r ạc và tr ạng thái r ờ i r ạc (tên

khác: dãy ngẫu nhiên r ờ i r ạc).

Theo các tính chất của quỹ đạo, ngườ i ta có thể phân loại QTNN một cách tỉ

mỉ hơ n. Chẳng hạn, khi I là khoảng suy r ộng nào đó của R , ta nói tX , t I∈ là:

* QT liên tục theo quỹ đạo nếu hầu hết các quỹ đạo của nó là hàm liên tục;* QT bướ c nhảy nếu hầu hết các quỹ đạo của nó là hàm bậc thang…

Lưu ý r ằng trong cuốn sách này, thuật ngữ “hầu hết” hay “hầu chắc chắn”

đượ c sử dụng vớ i ý ngh ĩ a r ằng, các tính chất k ể đến xảy ra vớ i xác suất 1.

Hình 5.1(a) mô tả một quỹ đạo điển hình của QTNN liên tục X(t). Hình

5.1(b) mô tả dãy ngẫu nhiên có đượ c bằng cách lấy mẫu QT X(t) theo chu k ỳ T0

chọn tr ướ c: ( )n 0X X n T , n 0,1,2,...= = Hình 5.1(c) mô tả quỹ đạo của QT dấu của

QT ban đầu: Khi X(t) dươ ng, Y(t) nhận giá tr ị 1; giá tr ị -1 đượ c nhận tại những

33



trong đó f c là tần số mang, thườ ng nằm trong dải tần 88 108MHz÷ , k f là hệ số

điều chế máy phát (transmitter`s modulation constant), còn a(s) là tín hiệu âm

thanh cần truyền đi. Thậm chí không có nhiễu, X(t) là tín hiệu ngẫu nhiên từ chỗ

a(s) là ngẫu nhiên.

Ví d ụ 5.5. Sóng sin ng ẫ u nhiên. Cho [ ]U U 0;1: là biến ngẫu nhiên có phân bố đều trên [0;1]. Xét quá trình

( ) ( ) ( )X t, U sin 2 t , tζ = ζ π ∈R .

Mỗi hàm mẫu của nó là một hàm hình sin theo thờ i gian vớ i biên độ ngẫu

nhiên.

Ví d ụ 5.6. Dãy nhiễ u tr ắ ng . Dãy các BNN X(n) đượ c gọi là dãy nhiễutr ắng nếu nó quy tâm (k ỳ vọng không), cùng phươ ng sai và không tươ ng quan.Một quỹ đạo điển hình của dãy nhiễu tr ắng vớ i 2 1σ = thể hiện ở Hình 5.2. Dãy

nhiễu tr ắng và QTNN nhiễu tr ắng có vai trò quan tr ọng trong nghiên cứu QTNN.

Hình 5.2. M ột thể hiện của dãy nhiễ u tr ắ ng Gauss vớ i phươ ng sai 1.

5.1.4. Họ các phân bố hữ u hạn chiềuGiả sử ( ) X t , t I∈ là QTNN. Đối vớ i thờ i điểm 1t I∈ cố định, X(t1) là

biến ngẫu nhiên vớ i hàm phân bố FX(x1,t1) xác định bở i

( ) ( ) X 1 1 1 1F x , t P X t x= < . (5.1.1)

Bây giờ giả sử 1 nJ t ,..., t= là một tậ p con hữu hạn của I. Hàm phân bố

đồng thờ i của ( ) ( )1 nX t ,...,X t :

( ) ( ) ( ) X 1 n 1 n 1 1 n nF x ,..., x ; t ,..., t P X t x ,...,X t x= < < (5.1.2)

35



đượ c gọi là hàm phân bố hữu hạn chiều (ở đây có n chiều) của quá trình

( ) X t ứng vớ i tậ p chỉ số J. Tậ p các hàm phân bố hữu hạn chiều đượ c gọi là họ

các hàm phân bố hữu hạn chiều.

Rõ ràng, họ các hàm phân bố hữu hạn chiều có hai tính chất sau đây:

i) Tính chất đối xứng: Hàm phân bố hữu hạn chiều không thay đổi nếu tahoán vị bộ chỉ số (1, 2,…,n). Ví dụ, khi hoán vị hai chỉ số đầu chúng ta có:

( )X 1 2 n 1 2 nF x , x ,..., x ; t , t ,..., t = ( )X 2 1 3 n 2 1 3 nF x , x , x ,..., x ; t , t , t ,..., t . (5.1.3)

ii) Tính nhất quán theo ngh ĩ a

( ) ( )X 1 n 1 n X 1 n 1 1 n 1xnlim F x ,..., x ; t ,..., t F x ,..., x ; t ,..., t− −

→∞= . (5.1.4)

Ngượ c lại, cho họ hàm phân bố hữu hạn chiều thoả mãn hai tính chất nêu

trên thì tồn tại QTNN ( ) X t , t T∈ vớ i họ hàm phân bố hữu hạn chiều đã cho.

Đó chính là nội dung của định lý tồn tại của Kolmogorov (ngườ i Nga).R ất nhiều tính chất quan tr ọng của QTNN đượ c quy định bở i tính chất của

các hàm phân bố hữu hạn chiều của nó, trong đó quan tr ọng nhất là hàm phân bố

một chiều F(x; t) và hàm phân bố hai chiều F(x1, x2; t1, t2).

Thông thườ ng, chúng ta phải nghiên cứu đồng thờ i một số QT. Từ đó, mở

r ộng (5.1.2), chúng ta đưa vào khái niệm hàm phân bố đồng thờ i của hai quá trình

( ) ( ) X X t ,Y Y t= = :

( )XY 1 n 1 m 1 n 1 mF x ,..., x , y ,..., y ; t ,..., t ,s ,...,s = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 n n 1 1 m mP X t x ;...;X t x ;Y s y ;Y s s= < < < < . (5.1.5)

Độc giả cũng có thể dễ dàng mở r ộng sang tr ườ ng hợ p có hữu hạn QT.

§5.2. MỘT SỐ LỚ P QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

5.2.1. Quá trình cấp II

QTNN ( ) X X t , t I= ∈ đượ c gọi là QT cấ p p (p > 0) nếu vớ i mọi

( )t I, X t∈ là biến ngẫu nhiên khả tích cấ p p, tức là ( ) p

E X t < ∞ .Từ bất đẳng thức Liapunov (xem [4 ], Phần III tr 127)

( )( ) ( )( )1/ q 1/ pq p

E X t E X t , 0 q p≤ < < (5.2.1)

suy ra nếu QT là cấ p p thì nó cũng là cấ p q vớ i 0 < q < p.

Tr ườ ng hợ p quan tr ọng nhất khi p = 2, lúc đó ta có QT cấ p hai.

Đối vớ i QT cấ p hai ( ) X X t , t I= ∈ đặt

36



( )

( ) ( ) ( )( )X

X

t E (X(t));

R t,s E X t X s , t,s I

µ =

= ∈ ;

( ) ( ) ( )( )XC t,s Cov X t ,X s , t,s I= ∈ . (5.2.2)

và gọi ( )X tµ là hàm k ỳ vọng, R X (t,s) là hàm tự tươ ng quan và CX(t,s) là hàm tự

hiệ p phươ ng sai của quá trình X đã cho.

Khi biết hàm k ỳ vọng , hàm tự hiệ p phươ ng sai và hàm tự tươ ng quan có

thể biểu diễn qua nhau theo công thức

( ) ( ) ( ) ( )X X X XC t,s R t,s t s= −µ µ . (5.2.3)

Cũng từ đây, nếu QT là quy tâm, tức là hàm trung bình bằng 0, thì hàm tự

tươ ng quan và hàm tự hiệ p phươ ng sai trùng nhau.

Nhiều khi chúng ta cần tìm ( ) ( )2

E X t X s⎡ − ⎤⎣ ⎦ là k ỳ vọng của bình phươ ng

số gia X(t) – X(s) của quá trình tại hai điểm t, s. Đại lượ ng này có thể tính thông

qua hàm tự tươ ng quan:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

X X XE X t X s R t, t 2R t,s R s,s⎡ − ⎤ = − +⎣ ⎦ . (5.2.4)

Trong k ỹ thuật, thườ ng thì ( ) X t là dạng sóng theo thờ i gian của điện áp

hay dòng trên kháng 1 ôm. Công suất của QT tại thờ i điểm t là X2(t) và công suất

trung bình tại thờ i điểm này là E(X2(t)), ký hiệu bở i PX(t). Như vậy, trong biểu

thức (5.2.2) cho t = s ta nhận đượ c công suất trung bình( ) ( ) ( )2

X XP t E[X t ] R t, t= = (5.2.5)

và hàm phươ ng sai

( ) ( ) ( )( ) ( ) (22 2

X X X X Xt C (t, t) E X t t R t, t tσ = = − µ = −µ ) . (5.2.6)

Để chuẩn hoá hàm tự hiệ p phươ ng sai, ngườ i ta dùng hệ số tự tươ ng quan

( )( )

( ) ( )X

XX X

C t,st, s

C t, t C s,sρ = . (5.2.7)

Hàm trung bình và hàm tự tươ ng quan là hai thống kê quan

tr ọng nhất của QT. Tuy nhiên, để tính chúng phải thông qua trung bình tổng thể,

tức là phải biết mật độ xác suất hai chiều của QT - điều r ất khó thực hiện trong

thực tế. Ở bài §3.5 tiế p theo chúng ta sẽ giớ i thiệu cách tính xấ p xỉ các hàm này

trong tình huống khi việc lấy trung bình tổng thể không thể làm đượ c.

X (t )µ XR (t,s)

Đối vớ i hai QTNN cùng xác định trên I và không gian xác suất ( )S, Pℑ, , đặt

( ) ( ) ( )XYR t,s E[X t Y s= ], (5.2.8)

( )XY X YC t,s E[(X(t) (t)) (Y(s) (s))]; t,s I= −µ −µ ∈ , (5.2.9)

37



XYXY

XY XY

C (t,s)(t,s)

C (t, t) C (s,s)ρ = (5.2.10)

và đượ c gọi lần lượ t là hàm tươ ng quan chéo, hàm hiệ p phươ ng sai chéo và hệ số

tươ ng quan chéo của hai quá trình X và Y.

Dễ thấy quan hệ (5.2.3) có thể mở r ộng cho hàm hiệ p phươ ng sai chéo:( ) ( ) ( ) ( )XY XY X YC t,s R t,s t s= −µ µ . (5.2.11)

Hai quá trình X và Y đượ c gọi là không tươ ng quan nếu:

( )XYC t,s 0, t,s I= ∀ ∈ . (5.2.12)

Điều này tươ ng đươ ng vớ i

( )XYR t,s E[X(t) ].E[Y(t)], t ,s I= ∈ .

Hai quá trình X và Y đượ c gọi là tr ực giao nếu:

( )XYR t,s E[X(t)Y(s)] 0, t,s I= = ∀ ∈ . (5.2.13)Rõ ràng, nếu một trong hai QT là quy tâm thì hai khái niện không tươ ng

quan và tr ực giao là tươ ng đươ ng:

X quy tâm: X,Y không tươ ng quan ⇔ X, Y tr ực giao.

Ví d ụ 5.7. Ví dụ tầm thườ ng về QTNN là tín hiệu tất định X(t) = f(t), trong

đó f(t) là hàm số cho tr ướ c. Đối vớ i tr ườ ng hợ p này,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )X Xt f t ; R t,s f t f sµ = = .

Ví d ụ 5.8. Xét quá trình ( ) X t vớ i

( ) ( ) 0,2 t sX Xt 3; R t,s 9 4e− −µ = = + .

Hãy tìm k ỳ vọng, phươ ng sai, hiệ p phươ ng sai của các biến ngẫu nhiên

Z = X(5); W = X(8).

Ta có E[Z] = E[W] = 3

( ) ( )

( )

2 2X X

X

E[Z ] R 5,5 13; E[W ] R 8,8 13;

E[Z W] R 5,8 11,195.

= = =

= =

=

Vậy D[Z] = D[W] = 13 - = 42

3Cov(Z, W) = E[Z W] – E[Z]E[W] = 2,195.

5.2.2. Quá trình số gia độc lập

Định nghĩ a. QTNN ( ) X X t , t I= ∈ đượ c gọi là QT số gia độc lậ p nếu

các số gia của nó trên những khoảng thờ i gian r ờ i nhau là những BNN độc lậ p:

Vớ i mọi t0, t1, …, tn trên I: t0 < t1 < …< tn, các số gia

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 n nX t ,X t X t ,...,X t X t 1−− −

là những BNN độc lậ p.

38



Thêm vào đó, nếu luật phân bố của X(t) – X(s) chỉ phụ thuộc vào hiệu t – s

thì ta gọi X là quá trình số gia độc lậ p thuần nhất.

Ví d ụ 5.9. Cho n , n 0,1,...ξ = là dãy BNN độc lậ p. Dãy tổng riêng Xn

0 0 1 0 1 2 0 1 2X ; X ; X ,...= ξ = ξ + ξ = ξ + ξ + ξ

lậ p thành dãy số gia độc lậ p (hãy chứng minh !). Định nghĩ a. Cho tX X , t I= ∈ là QT cấ p hai: ( )

2E X t t I.< ∞ ∀ ∈ Ta

nói X là QT số gia không tươ ng quan nếu hai số gia của nó trên những khoảng thờ i

gian r ờ i nhau là những BNN không tươ ng quan.

Cụ thể là, vớ i t0, t1, t2, t3 bất k ỳ trên I sao cho t0 < t1 < t2 < t3 ta có:

1 0 3 2Cov(X(t ) X(t ), X(t ) X(t )) 0− − = .

Rõ ràng là, nếu X là QT số gia độc lậ p và là QT cấ p hai thì X là QT số gia

không tươ ng quan. Điều ngượ c lại nói chung không đúng (có những phản ví dụ chứng tỏ điều này).

5.2.3. Quá trình dừ ng

QT dừng có vai trò đặc biệt quan tr ọng trong vô tuyến điện cũng như nhiều

ngành khác. Về đại thể, quá trình dừng có “dáng điệu” bất biến theo thờ i gian.

Chúng ta phân QT dừng làm hai loại: theo ngh ĩ a hẹ p và theo ngh ĩ a r ộng.

a) Quá trình d ừ ng theo nghĩ a hẹ p

Định nghĩ a. Ta nói QTNN tX X , t I= ∈ là QT dừng theo ngh ĩ a hẹ p (hay

QT dừng mạnh) nếu vớ i số tự nhiên n bất k ỳ, vớ i J = t1,…, tn là tậ p con tùy ýcủa I và vớ i số thực h bất k ỳ sao cho 1 nK t h,..., t h I= + + ⊂ , các VTNN

1 n(X(t ), ...,X(t )) và 1 n(X(t h),...,X(t h))+ +

có cùng luật phân bố.

Nói ngắn gọn, đó là quá trình có họ phân bố hữu hạn chiều bất biến vớ i phép

dịch chuyển thờ i gian.

Thườ ng ngườ i ta xét tr ườ ng hợ p I = R ; cũng có thể xét các tr ườ ng hợ p

khác, ví dụ [ )I 0;= +∞ hay [ ]I a; b= .Thực tế, việc kiểm tra điều kiện dừng nói trên r ất khó khăn. Tuy nhiên, lại

có thể phát biểu một loạt điều kiện cần (nhưng không đủ) để một quá trình (QT) là

dừng theo ngh ĩ a hẹ p. Nếu vi phạm dù 1 trong các điều kiện này thì khẳng định

r ằng QT không là dừng theo ngh ĩ a hẹ p.

* Cho n = 1. Chúng ta nhận đượ c

( ) ( )X XF x, t F x, t h , x , t,h : t, t h I= + ∀ ∈ ∀ +R ∈ .

Như vậy, đối vớ i QT dừng theo ngh ĩ a hẹ p hàm phân bố một chiều không phụ

thuộc vào thờ i gian.

39



* Nếu QT là cấ p k (k nguyên không âm) thìk

k E(X (t)) , t I= υ ∀ ∈ .

Đặc biệt, nếu QT là cấ p hai thì hàm trung bình và phươ ng sai là hằng số:

( ) ( )

( ) ( )

X

2 2X

t E[X t ] ;

t D[X t ] , t

µ = = µ

σ = = σ ∀ ∈I.

* Bây giờ chọn n = 2, t0 cố định tùy ý trên I nhận đượ c:

( ) ( )( )X 1 2 1 2 X 1 2 0 0 2 1F x , x ; t , t F x , x ; t , t t t .= + −

Như vậy, một điều kiện đủ là: Hàm phân bố hai chiều chỉ phụ thuộc hiệu

thờ i gian:

( ) ( )X 1 2 1 2 X 1 2F x , x ;t , t F x , x ;= τ vớ i 2 1t tτ = − .

Nếu các hàm phân bố có mật độ thì điều kiện này tươ ng đươ ng vớ i

( ) ( )X 1 2 1 2 X 1 2 2 1f x , x ; t , t f x , x ; t t= − .

* Tươ ng tự, hàm tự tươ ng quan R X(t,s) và hàm tự hiệ p phươ ng sai CX(t,s)

chỉ phụ thuộc vào hiệu thờ i gian:

( ) ( ) ( ) ( )X XR t,s E[X t X s ] R t s= = − ;

( ) ( ) ( )( ) ( )X XC t,s Cov X t ,X s C t s= = .−

Thực vậy,

( ) ( ) ( )X

2 2

R t,s xydF x, y; t,s xydF x, y; t s= =∫∫ ∫∫ R R

−

chỉ phụ thuộc vào hiệu t - s. Tươ ng tự cho hàm ( )XC t,s .

Những trình bày về dừng theo ngh ĩ a hẹ p nêu trên có thể đượ c mở r ộng thành

dừng theo ngh ĩ a hẹ p đồng thờ i của hai QT:

Hai QT ( ) X t và ( ) Y t đượ c gọi là dừng theo ngh ĩ a hẹ p đồng thờ i nếu

các hàm phân bố đồng thờ i của chúng (xác định theo (5.1.5)) bất biến vớ i phép

dịch chuyển thờ i gian.

b) Quá trình d ừ ng theo nghĩ a r ộng Định nghĩ a. Giả sử tX X , t I= ∈ là QT cấ p hai. Ta nói r ằng X là QT

dừng theo ngh ĩ a r ộng nếu:

i) Hàm k ỳ vọng là hằng số

( ) ( )X Xt E[X t ] , tµ = =µ ∈I ;

ii) Hàm tự tươ ng quan chỉ phụ thuộc vào hiệu thờ i gian

( ) ( ) ( ) ( )X XR t,s E[X t X s ] R , t s= = τ τ= −

trong đó ( )XR τ là hàm nào đó của biến τ .

40



Để tiện lợ i, QT dừng theo ngh ĩ a r ộng đượ c gọi tắt là QT dừng.

Lưu ý r ằng nếu xảy ra (i) thì điều kiện (ii) tươ ng đươ ng vớ i

ii’) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )X X X XC t,s E[(X t t )(X s s ) C , t s= − µ − µ = τ τ= −

là hàm chỉ phụ thuộc vào hiệu t – s.

Ngườ i ta cũng gọi hàm ( )XR τ , ( )XC τ lần lượ t là hàm tự tươ ng quan và tự hiệ p phươ ng sai của quá trình dừng X.

Các điều kiện (ii) và (ii’) đượ c viết dướ i dạng tiện lợ i sau đây:

( ) ( )

( ) (X X

X X

R t , t R

C t , t C .

+ τ = τ

+ τ = τ)

;

Phươ ng sai của QT dừng là hằng số:

( ) ( ) ( )2 2X XD[X t ] t C 0=σ = =σ , t I∀ ∈ .

Ngườ i ta gọi là k ỳ vọng chung,Xµ 2Xσ là phươ ng sai chung của QT X.Rõ ràng, mỗi QT dừng theo ngh ĩ a hẹ p và là cấ p hai sẽ là một QT dừng theo

ngh ĩ a r ộng. Ngượ c lại nói chung không đúng (có những ví dụ minh hoạ điều này).

Sau đây chúng ta nêu ra một số tính chất của hàm tự tươ ng quan.

Định lý 5.1. Cho ( )XR τ là hàm tự tươ ng quan của QT dừng nhận giá tr ị

thực ( ) X t , t ∈R . Khi đó:

i) ( )XR τ là hàm chẵn, tức là ( ) ( )X XR R ,−τ = τ ∀τ ∈ R .

ii) Hàm ( )XR τ đạt cực đại tại 0τ = :

( ) ( )X XR R 0 ,τ ≤ ∀τ∈R .

iii) ( )XR τ là hàm xác định không âm theo ngh ĩ a:

Vớ i mỗi bộ 2n số thực t1,…, tn, b1,…,bn bất k ỳ luôn xảy ra bất đẳng thức:

( )n

i j X i ji, j 1

b b R t t 0=

− ≥∑ . (5.2.14)

Chứ ng minh.i) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )X X X X XR R 0 R 0, R ,0 R −τ = − τ = τ = τ = τ .

ii) Áp dụng bất Cauchy-Schwarz, ta có

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

X X

1/ 22 2X

R R ,0 E X X 0

E X E X 0 R 0 .

τ = τ = τ

≤ τ =

iii) ( ) ( ) ( )2n n

i i i j i j

i 1 i, j 1

0 E b X t b b E[X t X t ]

= =

⎛ ⎞≤ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ ∑ =

41



42

) (n

i j X i ji, j 1

b b R t t=

= ∑ − .

Câu hỏi tự nhiên đặt ra là, vấn đề “ngượ c lại” phải chăng cũng đúng? Định

lý không kèm chứng minh sau đây sẽ là câu tr ả lờ i cho vấn đề này.

Định lý 5.2. Hàm số ( )R ,τ τ∈R là hàm tự tươ ng quan của một QTNN thực,dừng khi và chỉ khi ( )R τ là hàm xác định không âm.

Kiểm tra tính xác định không âm của một hàm số cho tr ướ c là điều khá khó

khăn. Định lý sau đây (xem [12], tr 404) nêu lên một điều kiện đủ để một hàm cho

tr ướ c là hàm tự tươ ng quan.

Định lý 5.3.(Polya). Hàm chẵn ( )R ,τ τ∈R là hàm tự tươ ng quan của một

QTNN thực, dừng nào đó nếu thoả mãn hai điều kiện sau đây:

i) ( )R τ là hàm lồi trên ( )0;+∞ ;ii) ( )lim R c ;

τ→∞τ = c - hữu hạn.

Ví d ụ 5.10. Xét dao động điều hoà vớ i biên độ và tần số hằng số, pha ngẫu nhiên:

( ) ( )X t Asin t + , t= ω Θ ∈R

trong đó A, ω là các hằng số, có phân bố đều trên [0;2π]. Chúng ta có:Θ

( )2

0

AE[X(t)] sin t + d 0

2

π

= ω θ θ =π ∫ ;

( ) ( )( ) ( )

( )

X

2

2

R t , t E Asin t + .Asin t +

AE cos cos 2 t + 2

2

Acos ,

2

⎡ ⎤+ τ = ω τ + Θ ω Θ⎣ ⎦

= ⎡ ωτ − ω Θ + ωτ ⎤⎣ ⎦

= ωτ

là hàm số chỉ phụ thuộc vào τ.

Vậy X dừng. Hơ n nữa chứng minh đượ c (xem [15] tr 90 -91):

Cho ω là hằng số, A và Θ là hai BNN độc lậ p; X(t),t∈R xác định ở Vídụ 5.11 là QT dừng mạnh khi và chỉ khi Θ có phân bố đều trên [0;2π].

Ví d ụ 5.11. Xét sóng sin ngẫu nhiên

( ) ( )X t Asin 2 t , t= π ∈R

trong đó A là biến ngẫu nhiên có phân bố đều trên [0;1]. Dễ thấy

( )X1

t sin 2 t con2

µ = π ≠ st , vậy ( ) X t không là QT dừng (theo ngh ĩ a r ộng).

Chúng ta cũng có thể tính đượ c



( )( ) ( )

( )( ) ( )

X Xsin 2 t sin 2 s sin 2 t sin 2 s

R t,s ; C t,s3 1

π π π π= =

2.

Định nghĩ a. QTNN ( ) X t , t∈R đượ c gọi là tuần hoàn theo bình phươ ng

trung bình (hay MS - tuần hoàn) nếu tồn tại số thực t0 sao cho

.20E[X(t t ) X(t)] 0, t+ − = ∀ ∈R Ta gọi t0 là MS - chu k ỳ của quá trình.

Từ định ngh ĩ a suy ra ngay r ằng, vớ i xác suất 1,vớ i mọi t∈ ¡

0X(t t ) X(t)+ = .

Lư u ý: Không suy ra ( ) ( ) 0P :X t t , X t, , t 1ζ + ζ = ζ ∀ = .

Định lý 5.4. Nếu đối vớ i dừng ( ) X t xảy ra đẳng thức ( ) ( )X XR 0 R t= 0

thì ( ) X t là MS - tuần hoàn vớ i MS - chu k ỳ là t0.

Lưu ý r ằng hàm tự tươ ng quan của QT dừng có thể có thành phần hằng số

khác không, có thể có thành phần tuần hoàn, có thể có thành phần tắt dần nhanh

hoặc chậm. Hình 5.3 đưa ra các dạng điển hình của hàm tự tươ ng quan.

XR ( )τ

XR ( )τ

XR ( )τ

XR ( )τ

Hình 5.3. Các d ạnh đ iể n hình của hàm t ự t ươ ng quan của QT d ừ ng Đối vớ i QT dừng ( ) X t , hệ số tươ ng quan (5.2.7) tr ở thành

( )( )( )

XX

X

C,

C 0

τρ τ = τ∈R . (5.2.15)

c)Dừ ng đồng thờ i. Định nghĩ a. Ta nói hai QT X(t),Y(t) là dừng đồng thờ i nếu mỗi QT

X(t) , Y(t) là dừng, hơ n nữa hàm tươ ng quan chéo của chúng chỉ phụ thuộc

vào hiệu thờ i gian:

43



XY XYR (t,s) E[X(t)Y(s)] R (t s).= = − Đòi hỏi này đượ c viết lại dướ i dạng tiện lợ i sau đây:

XY XYR (t , t) E[X(t )Y(t)] R ( ).+ τ = + τ = τ (5.2.16)

Hàm đượ c gọi là hàm tươ ng quan chéo của hai QT XYR (τ) X(t),Y(t) .

Khi mỗi QT X, Y là dừng, ràng buộc (5.2.16) tươ ng đươ ng vớ i hàm hiệ p

phươ ng sai chéo chỉ phụ thuộc vào hiệu thờ i gian:C (XY XY XY X Yt , t) C ( ) R ( ) .+ τ = τ = τ − µ µ (5.2.17)

Khác vớ i hàm tự tươ ng quan, hàm tươ ng quan chéo nói chung không chẵn.Sau đây là một số tính chất của hàm tươ ng quan chéo hai QT dừng đồng thờ i.

Định lý 5.5. Đối vớ i hai QT thực dừng đồng thờ i X(t),Y(t) ta có:

XY YX(i) R ( ) R ( );−τ = τ

XY X Y(ii) R ( ) R (0) R (0) ;τ ≤

(iii) X YXY

R (0) R (0)R ( )

2

.+

τ ≤

Chứ ng minh. Tính chất (i) tr ực tiế p suy từ định ngh ĩ a. Từ bất đẳng thứcCauchy-Schwarz và từ tính dừng suy ra

( 2 2 2E[X(t )Y(t)]) E[X (t )]E[Y (t)]+ τ ≤ + τ

= = 2 2X YE[X (0)].E[Y (0)] R (0) R (0),

chúng ta nhận đượ c (ii). Tính chất (iii) suy ra từ (ii) và bất đẳng thực Cauchy:

X YX Y

R (0) R (0)R (0)R (0) .

2

+≤

Một số dạng có thể của hàm tự tươ ng quan chéo thể hiện ở Hình 5.4.

Hình 5.4.Hàm t ươ ng quan chéo của hai QT thự c, d ừ ng đồng thờ i

Một lợ i ích của hàm tươ ng quan chéo là nhờ đó ta có thể tính đượ c hàm tự tươ ng quan của tổng hai QT.

Định lý 5.6. Đối vớ i hai QT dừng đồng thờ i X(t),Y(t) ta có

(5.2.18)X Y X Y XY YXR ( ) R ( ) R ( ) R ( ) R ( ).+ τ = τ + τ + τ + τ

44



Chứ ng minh. Ta cóE[X(t ) Y(t )][X(t) Y(t)]+ τ + + τ +

= E[X(t )X(t)] E[Y(t )Y(t)] E[X(t )Y(t)] E[Y(t )X(t)]+ τ + + τ + + τ + + τ

= X Y XY YXR ( ) R ( ) R ( ) R ( ).τ + τ + τ + τ

5.2.4. Quá trình Gauss

QTNN ( ) X t , t I∈ đượ c gọi là quá trình Gauss (hay QT chuẩn) nếu các

phân bố hữu hạn chiều cuả nó là chuẩn. Nói cách khác, đối vớ i mỗi tậ p con hữu

hạn J = t1,...,tn ⊂ I, véc tơ ngẫu nhiên có phân bố chuẩn.1(X(t ), ...,X(t ))n

∈

Theo định ngh ĩ a của VTNN chuẩn, điều kiện này chính là:

1 na ,...,a∀ R , BNN ( ) ( )1 1 n na X t ... a X t+ + có phân bố chuẩn.

Để đơ n giản cách viết, giả sử ( )iX X ti= , đặt

;1 1

n n

X E[X ]

[X ]

X ; m E(X)

X E

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

g g1

n

xx ;

x

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

g ( )1 nC Cov X ,...,X .=

Hàm mật độ đồng thờ i của các biến ngẫu nhiên cho bở i1X ,...Xn

( )( )

( ) (T 1

1 n

1x m C x m

2X ,...,X 1 n n / 2n / 2

1f x ,..., x e

2 det C

− )− − −=

π. (5.2.19)

Đặc biệt, phân bố một chiều và phân bố hai chiều là các phân bố chuẩn.

Mật độ đồng thờ i (5.2.19) hoàn toàn quyết định bở i các phân bố một chiều(vì ) và các phân bố hai chiều (vìi i iim E[X ], C D[X ]= = i ( )ij i jC Cov X ,X= vớ i

i ≠ j). Vì vậy, nếu QT đã cho là dừng (theo ngh ĩ a r ộng) thì các giá tr ị sẽ bất

biến đối vớ i phép dịch chuyển thờ i gian, và do đó, mật độ đồng thờ i ở (5.2.19)

cũng sẽ bất biến. Từ đó chúng ta có:

im , Cij

Định lý5.7. Nếu quá trình Gauss là dừng (theo ngh ĩ a r ộng) thì nó cũng là QT

dừng theo ngh ĩ a hẹ p.

Hai lớ p QTNN đặc biệt quan tr ọng là QT Poisson và QT Wiener sẽ đượ cgiớ i thiệu ở §5.5.

45



⇓§5.3. TÍNH CHẤT ERGODIC VÀ TRUNG BÌNH THỜ I GIAN

5.3.1. Giớ i thiệu

Ergodic là một tính chất tinh vi, thoạt đầu khó có thể chấ p nhận đượ c nó, thế

nhưng lại r ất hữu ích và đượ c sử dụng r ộng rãi. Khái niệm này đượ c định ngh ĩ a

theo nhiều dạng khác nhau: theo ngh ĩ a bình phươ ng trung bình hay theo ngh ĩ a hầu

chắc chắn; theo k ỳ vọng, theo hiệ p phươ ng sai hay theo mô men cấ p p nào đó; áp

dụng cho quá trình dừng hay cho quá trình bất k ỳ. Những định lý ergodic đượ c

phát hiện đầu tiên vào nửa đầu thế k ỷ XX bở i J.Von.Neumann, B.Birkoff (M ĩ ),

A.Ia. Khinchin (Nga).

Nói một cách ngắn gọn, tính chất ergodic đảm bảo r ằng:

Nếu một tham số thống kê nào đó của QT đượ c tính bằng k ỳ vọng, tức là

trung bình tổng thể thì tham số đó cũng có thể đượ c tính theo trung bình thờ i gian

đối vớ i một quỹ đạo đơ n lẻ.

Để hình dung ra tính ergodic, chúng ta xét ví dụ sau đây. Sắ p xế p thờ i gian

trong ngày theo phút ta có thể coi t I 0, 00; 0, 01;...; 24, 00∈ = . Giả sử ở phút thứ

t, số gói tin chuyển qua một nút nào đó của một mạng máy tính là N(t). Số gói tin

trung bình chuyển qua nút lúc 10 giờ là E[N(10,00)].

Để tính giá tr ị này, chúng ta ghi lại k ết quả quan sát của N ngày, ví như N= 100. Theo luật mạnh số lớ n ta có thể xấ p xỉ

( ) ( )( )1 1001

E[N(10,00)] N 10,00 ... N 10,00100

≈ + +

trong đó Ni(10,00) là số gói tin chuyển qua nút trong 1 phút vào lúc 10 giờ ở ngày

thứ i.

Nếu quá trình ( ) N t có tính ergodic, chúng ta chỉ cần quan sát trong một

ngày nào đó, vớ i thờ i đoạn khá lớ n nào đó - chẳng hạn N = 100 phút – quanh 10

giờ , ví như từ 9 giờ 00 đến 10 giờ 40. Chúng ta chỉ việc lấy số gói tin chuyển qua

nút trong 100 phút đó chia cho 100 sẽ đượ c xấ p xỉ cho giá tr ị trung bình cần tìm.

Để đơ n giản, ngườ i ta có thể tiến hành hai thí nghiệm trên theo phươ ng pháp

mô phỏng thống kê. K ể cả khi ấy, chúng ta thấy lợ i ích lớ n lao của việc lấy trung

bình theo thờ i gian. Tiện ích của việc lấy trung bình thờ i gian lớ n đến mức ngườ i

ta cứ tiến hành phươ ng pháp này, dù r ằng quá trình có thể không là ergodic.

Chúng ta đưa ra sau đây hai dạng của tính ergodic: ergodic k ỳ vọng và

ergodic hiệ p phươ ng sai, và hầu như chỉ áp dụng cho QT dừng.



5.3.2. Ergodic k ỳ vọng

Định nghĩ a. Đối vớ i hàm số f(t),t ∈ ¡ cho tr ướ c, trung bình thờ i gian của

f(t) xác định bở iT

TT

1lim f (t)dt

2T→ +∞

−

∫ , (5.3.1)

và đượ c ký hiệu là A[ f(t)]. Toán tử A[ . ] đượ c gọi là toán tử trung bình thờ i gian.

Tr ườ ng hợ p f(t) là QTNN, giớ i hạn đưa ra đượ c hiểu theo bình phươ ngtrung bình.

Định nghĩ a. QTNN dừng nhận giá tr ị thực ( ) X t đượ c gọi là ergodic k ỳ

vọng nếu k ỳ vọng µ của QT bằng trung bình thờ i gian của một quỹ đạo bất k ỳ:

( ) ( )T

TT

1E[X t ] lim X t dt,

2T→+∞ −

= ∫ (5.3.2)

giớ i hạn theo bình phươ ng trung bình.

Đặt ( )T

TT

1X X

2T −

= ∫ t dt . (5.3.3)

TX là giá tr ị trung bình thờ i gian trên [- T; T] của X(t) . Khi , giớ i

hạn là giá tr ị trung bình của quỹ đạo trên toàn tr ục số. Đối vớ i QTNN

tổng quát, giớ i hạn đã nêu là một BNN, tức là phụ thuộc vào

T→∞

TtlimX→∞

Sζ∈ . Tuy nhiên:

Đối vớ i QT ergodic, chúng ta có thể lấy trung bình thờ i gian của một quỹ đạo bất k ỳ làm trung bình tổng thể của quá trình :

E[X(t)] A[X(t)]= .

Định lý 5.8. Giả sử ( ) X t là QTNN dừng, nhận giá tr ị thực vớ i hàm trung

bình và hàm tự hiệ p phươ ng saiµ ( )XC τ . Điều kiện cần và đủ để ( ) X t là QT

ergodic k ỳ vọng là

( )T

X

T 0

1lim 1 C d 0

T T→+∞

τ⎛ ⎞− τ τ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫ . (5.3.4)

Chứ ng minh. Theo tính chất của tích phân (xem mục 5.4.3) chúng ta có:T

TT

1E[X ] E[X(t)]dt .

2T −

= =∫ µ

Từ đó, ( )TX T→ µ → ∞ theo bình phươ ng trung bình khi và chỉ khi

( )2T TD[X ] 0 Tσ = → → ∞ . Lại áp dụng tính chất của tích phân và tính dừng của

( ) X t chúng ta đi tớ i



( )( ) ( )( )T T

2T T

T T

1 1D[X ] E X t dt X s ds

2T 2T− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤σ = = − µ − µ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫

( )( ) ( )( )T T

2T T

1E X t X s dtds

4T − −

⎡ ⎤= − µ −⎣ ⎦∫ ∫ µ

( )T T

X2T T

1C t s dtd

4T − −

= −∫ ∫ s

s

.

Đối vớ i tích phân kép cuối cùng, bằng cách đổi biến u t s , v t= − = + ta đi tớ i:

( )2T

X2T

11 C

2T 2T−

⎛ ⎞τd− τ τ⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ .

(Nếu các bạn khó khăn trong việc xác định cận của biến tích phân u, v, tr ướ c

Bây giờ sử dụng tính chẵn của hàm C(τ) ta đượ c

u 2 = τ . Cũng có thể dùng lượ c

đồ vi phân để tính tích phân này).

( ) ( )u t s 2 ; v t s 2= − = + ,

trong tích phân đơ n thu đượ c đặt

hết hãy dùng phép quay s

t

T

T

( )2T

2T T X

0

1D[X ] 1 C d

T 2T

τ⎛ ⎞σ = = − τ τ⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ . (5.3.5)

Từ đó nhận đượ c k ết luận của định lý.

Nhận xét. Theo quan điểm của thống kê toán, XT chính là một ướ c lượ ng

không chệch và vững của k ỳ vọng µ . Hơ n nữa, theo bất đẳng thức Chebychev

(3.5.1), phươ ng sai tính theo (5.3.5) còn cho phép chúng ta tìm khoảng tin cậy

cho ướ c lượ ng này. Chẳng hạn, độ tin cậy để

2Tσ

( )T T T TX 4,47 ; X 4,47µ ∈ − σ + σ ( )T T T T3 ; X 3 )( Xµ∈ − σ + σ

T

là lớ n hơ n 95% (lớ n hơ n 8/9).

Như vậy khi là một ướ c lượ ng thoả đánh của k ỳ vọng µ .T , Xσ << µ

Thực ra, điều kiện ergodic (5.3.2) đượ c đảm bảo bở i điều kiện khá đơ n giản

theo định lý sau đây. (Có thể xem chứng minh trong [ 8 ], trang 430).

Định lý 5.9 ( Định lý Slutsky). Quá trình dừng nhận giá tr ị thực ( ) X t vớ i

hàm tự tươ ng quan ( )XC là ergodic khi và chỉ khiτ

( )T

XT

0

1lim C d 0

T→ +∞τ τ =∫ . (5.3.6)

Hai hệ quả sau đây đưa ra những điều kiện cho tính ergodic r ất dễ kiểm tra



trong nhiều tr ườ ng hợ p.

H ệ quả.

a) Nếu tích phân hội tụ thì quá trình( )X0

C∞

τ τ∫ d ( ) X t là ergodic k ỳ vọng.

b) Nếu ( ) ( )2X XR τ →µ τ→∞ hay tươ ng đươ ng

( ) ( )XC 0τ → τ→∞

thì ( ) X t là QT ergodic k ỳ vọng.

Chứ ng minh.

a) là hiển nhiên. Để chứng minh b) giả sử 0ε > cho tr ướ c. Khi đó tìm đượ c

T0 > 0 để ( )C τ < ε / 2 vớ i . Từ đó0Tτ>

( ) ( )TT 0

X X0 0

1 1C d C dτ

T Tτ τ = τ∫ ∫ ( )

( )T0 X 0

XT0

T C 0 T T1C d

T T 2

−εT

+ τ τ ≤ + ≤∫ ε

vớ i T đủ lớ n.

Không phải mọi QT dừng đều là ergodic k ỳ vọng, xét ví dụ sau đây.

Ví d ụ 5.12. Xét ( ) X t vớ i ( )X t U= , trong đó U là biến ngẫu nhiên vớ i

E(U) = m; 0 < D[U] < + ∞.

Dễ thấy ( ) X t là QT dừng, các quỹ đạo đều là những đườ ng thẳng nằmngang, ( ) ( )tX Uζ = ζ vớ i mọi Sζ ∈ .

Bở i vì D[U] > 0 nên biến cố: ( ) :U mζ ζ ≠ có xác suất dươ ng, và do đó

( ) ( )TTlim X U( ) m E X t→∞

ζ = ζ ≠ = .

Vậy ( ) X t không là QT ergodic k ỳ vọng.

Ví d ụ 5.13. Đối vớ i QT dừng ( ) X t vớ i ( ) cXC qe− ττ = chúng ta có

( ) ( ) ( )T T c cT

X0 0

1 1 qC d qe d 1 e 0 TT T cT

− τ −τ τ = τ= − → →∞∫ ∫ .

Theo định lý Slutsky, ( ) X t là ergodie k ỳ vọng. Ngoài ra, theo (5.3.5)

chúng ta tính đượ c phươ ng sai 2Tσ như sau:

2T2 cT T

0

1D[X ] 1 qe d

T 2T− ττ⎛ ⎞σ = = − τ⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ( )

2cTq 1 e1 0

cT 2cT

−⎛ ⎞−T= − →⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠→∞ .

Các k ết quả k ể trên cho QT dừng, thực, thờ i gian liên tục đượ c mở r ộng cho

dãy dừng, thực.



Định nghĩ a. Dãy ngẫu nhiên dừng nhận giá tr ị thực ( ) X n đượ c gọi là

ergodic k ỳ vọng nếu:

( ) ( ) ( ) N

Nn N

1X X n E[X n ],

2N 1 =− N= → µ = →∞

+∑ ,

giớ i hạn theo bình phươ ng trung bình. Định lý 5.10. Cho dãy ngẫu nhiên dừng nhận giá tr ị thực ( ) X n vớ i hàm tự

tươ ng quan CX(n). Dãy ( ) X n là ergodic k ỳ vọng khi và chỉ khi phươ ng sai 2 Nσ

của X N

( ) N

2 N N X

n N

n1D[X ] 1 C n

2N 1 2N 1=−

⎛ ⎞σ = = −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

∑ (5.3.7)

dần đến không khi N →∞.

Đinh lý 5.11 ( Định lý Slutsky). Dãy dừng nhận giá tr ị thực ( ) X n là

ergodic k ỳ vọng khi và chỉ khi

( ) N

X N n 0

1lim C n 0.

N→∞ ==∑ (5.3.8)

Nhận xét. Nếu dãy dừng ( ) X n là ergodic k ỳ vọng thì

( ) N

Nn N

1X X

2N 1 =−=

+∑ n

sẽ là ướ c lượ ng không chệch và vững của k ỳ vọng µ vớ i phươ ng sai đượ c tính

theo (5.3.7).

Ví d ụ 5.14. Xét dãy dừng ( ) X n vớ i ( ) nXC n Pa= , (0 < a <1). Khi đó

( )

Nn n2

N Nn N n

1 PD[X ] Pa a

2N 1 2N 1

P 1 a0 N .

2N 11 a

+∞

=− =−∞σ = ≤ ≤

+ +

+= → →∞

+ −

∑ ∑

Suy ra ( ) X n là dãy ergodic k ỳ vọng.

5.3.3. Ergodic phươ ng sai ( )

Đối vớ i quá trình dừng, thực ( ) X t vớ i k ỳ vọng µ , phươ ng sai V của nó

không phụ thuộc vào thờ i gian và đượ c tính bở i

( ) 2 2V D[X t ] E[(X(t) ) ] E[X (t)]= = − µ = 2− µ .

a) Tr ườ ng hợ p k ỳ vọng đ ã biế t

Định nghĩ a. Quá trình dừng nhận giá tr ị thực ( ) X t đượ c gọi là ergodic phươ ng sai nếu phươ ng sai V của nó bằng phươ ng sai theo thờ i gian của một quỹ



đạo bất k ỳ, cụ thể là:

( )( ) ( )( )T

2 2

TT

1V E[ X t ] lim X t dt

2T→+∞ −

= − µ = − µ∫ , (5.3.9)


Nói một cách ngắn gọn, đối vớ i QT ergodic phươ ng sai, trung bình tổng thể và trung bình theo thờ i gian của bình phươ ng các độ lệch (X(t) -µ )2 là như nhau:

.( )( ) ( )( )2 2

E[ X t ] A[ X t ]− µ = − µ

Lưu ý r ằng trong nhiều tr ườ ng hợ p, ta có thể coi quá trình quy tâm hoá

( )( ) 2X t − µ - ký hiệu là ( )

2X − µ - là QT dừng. Như vậy, điều kiện ergodic

phươ ng sai của QT ( ) X t cũng chính là điều kiện ergodic k ỳ vọng của QT

( )( ) 2X t − µ , đó là( )

( )T2XT

0

1lim C d 0T −µ→+∞

τ τ =∫ . Bằng cách khai triển dễ thấy

22 2

(X )C ( ) E[(X(t+ )- ) (X(t) - ) ] -

−µτ = τ µ µ σ4 ,

điều kiện tr ở nên đơ n giản hơ n một chút:

Điều kiện cần và đủ để ( ) X t là ergodic phươ ng sai là

T2 2 4 2

X XT

0

1lim E[(X(t+ ) ) (X(t) ) ]d = C (0)

T→∞τ − µ − µ τ σ =∫ . (5.3.10)

Trong hệ thức (3.5.10) chúng ta cần đến những mô men cấ p 4. Tuy nhiên,

vớ i quá trình Gauss, vấn đề tr ở nên đơ n giản hơ n.

H ệ quả. Cho ( ) X t là QT dừng Gauss vớ i k ỳ vọng µ đã biết. QT ( ) X t

là ergodic phươ ng sai khi và chỉ khi

( )T

2X

T0

1lim C d 0.

T→+∞τ τ =∫ (5.3.11)

Khi đó, ( ) X t cũng là quá trình ergodic k ỳ vọng.

Chứ ng minh. Đối vớ i quá trình Gauss, áp dụng hệ thức (1.31) ta có

22 2

X(X )C ( ) E[(X(t+ ) - ) (X(t) - ) ] -

−µτ = τ µ µ σ4

X

4 2 4 2X X( 2E [(X(t+ ) - )(X(t) - )]) - 2C ( )= σ + τ µ µ σ = τ

Bây giờ chỉ việc áp dụng định lý Slutsky. Phần còn lại suy từ khẳng định

( ) ( ) ( )2T T

2X X

0 0

1 10 C d C d 0 , T

T T≤ τ τ ≤ τ τ → →∞∫ ∫ .

Nhận xét. Nếu ( ) X t là ergodic phươ ng sai thì trung bình thờ i gian trên



] )[ T;T− của bình phươ ng độ lệch ( )(2

X t − µ xác định bở i

( )( )T

2T

T

1V X t

2T −

= −∫ dtµ

sẽ là ướ c lượ ng không chệch cho phươ ng sai V = D[X(t)] = CX(0). Phươ ng sai của

ướ c lượ ng này cho bở i (5.3.5), trong đó CX(τ) cần phải thay thế bở i( )

( )2XC

−µτ .

b) Tr ườ ng hợ p k ỳ vọng chư a biế t.

Bây giờ chúng ta không quan tâm đến ergodic phươ ng sai nữa, vấn đề là làm

thế nào để ướ c lượ ng V. Bở i vì µ chưa biết, chúng ta có thể dùng trung bình thờ i

gian XT theo (5.3.2) để ướ c lượ ng, r ồi sau đó tính ướ c lượ ng

( )( ) ( )T T

2 2T T

T T

1 1V X t X dt X t dt

2T 2T− −

= − = −∫ ∫ 2TX . (5.3.12)

Xác định các tính chất thống kê của khá khó khăn. Để khắc phục, chúng

ta dựa vào nhận xét sau đây. Nói chúng, là một ướ c lượ ng chệch của phươ ng

sai V. Tuy nhiên, khi T lớ n, độ chệch có thể bỏ qua. Hơ n thế, phươ ng sai có

thể đượ c xấ p xỉ bở i phươ ng sai của V

TV

TV

TV

T – là ướ c lượ ng của V khi đã biết. Trong

nhiều tr ườ ng hợ p, sai số bình phươ ng trung bình là nhỏ hơ n

vớ i giá tr ị T lớ n. Từ đó, dùng để ướ c lượ ng V có thể sẽ tốt hơ n

dùng V

µ

2T

ˆE[(V V) ]−

2TE[(V V) ]− TV

T để ướ c lượ ng V k ể cả khi µ đã biết.

c) Ergodic t ự hiệ p phươ ng sai

Nếu ( ) X t có k ỳ vọng µ đã biết, chúng ta có thể xét ( ) X t − µ . Nếu

( ) X t có k ỳ vọng chưa biết, chúng ta có thể dùng Xµ T theo (5.3.2) để ướ c

lượ ng µ và xét ( ) TX t X− vớ i lưu ý r ằng k ết quả là khá chính xác vớ i T lớ n.

Như vậy, chúng ta có thể giả sử r ằng QT là quy tâm, tức là E(X ) = 0.t

Đối vớ i cố định, quá trình tíchλ∈R ( ) ( ) X t X t+ λ có thể coi là dừng vớ ik ỳ vọng ( )XC λ . Áp dụng các k ết quả ở mục 5.3.2 để ướ c lượ ng ( )XC λ , chúng ta

có thể dùng trung bình thờ i gian

( )( ) ( )T

X TT

1C Z

2T −

λ = ∫ t dt, (5.3.13)

vớ i ( ) ( ) ( )Z t X t X t= + λ .

Đây là ướ c lượ ng không chệch của ( )XC λ , phươ ng sai của nó cho bở i

(5.3.5), trong đó ( )XC τ cần phải đượ c thay thế bở i hàm tự hiệ p phươ ng sai của



quá trình ( ) Z t :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2Z XC E X t+ + X t+ X t+ X t Cτ = ⎡ λ τ τ λ ⎤ −⎣ ⎦ λ .

Áp dụng định lý Slutsky ta đi đến k ết luận:

Quá trình ( ) X t là ergodic tự hiệ p phươ ng sai nếu và chỉ nếu

( )T

ZT

0

1lim C d 0.

T→+∞τ τ =∫ (5.3.14)

Nếu bây giờ giả thiết thêm ( ) X t là quá trinh Gauss thì

( ) ( ) ( ) ( )2Z X X XC C C Cτ = λ + τ λ − τ + τ .

Trong tr ườ ng hợ p này (5.3.5) cho ta

( )( )( )

( ) ( ) ( )T

2X X X X

T 0

2D C C C C d

T

⎡ ⎤λ = λ + τ λ − τ + τ τ

⎣ ⎦∫ .

Nếu ( )XC 0τ → thì ( ) ( )ZC 0τ → τ→∞ , từ đó ta nhận đượ c k ết quả sau đây:

H ệ quả. Nếu quá trình dừng Gauss nhận giá tr ị thực có ( )C 0τ → ( )τ→∞

thì nó là QT ergodic tự hiệ p phươ ng sai.

Tính chất ergodic k ỳ vọng và ergodic tự hiệ p phươ ng sai hay đượ c sử dụng

hơ n cả. Chính vì thế, quá trình có hai tính chất này còn đượ c gọi là ergodic suy

r ộng (xem [13] tr 93). Chúng ta xét thêm một loại ergodic nữa liên quan đến hai

quá trình.d) Ergodic hiệ p phươ ng sai chéo.

Hai QT nhận giá tr ị thực, dừng đồng thờ i ( ) X t và ( ) Y t đượ c gọi là

ergodic hiệ p phươ ng sai chéo nếu từng QT là ergodic tự hiệ p phươ ng sai, hơ n nữa

hiệ p phươ ng sai của chúng

( ) ( )( ) ( )( )XY X YC E[ X t+ Y tτ = τ − µ − µ ]

có thể đượ c tính thông qua trung bình thờ i gian

( ) ( )( ) ( )(T

XY X YT

T1C lim X t Y t2T→+∞ −

τ = + τ − µ − µ∫ )dt , (5.3.15)


Giống như đã tiến hành ở mục c), bằng cách quy tâm hoá, chúng ta có thể

coi ( ) X t và ( ) Y t là quy tâm. Trung bình thờ i gian

( ) ( ) ( )T

XY TT

1C X t+

2T −

τ = τ∫ Y t dt , (5.3.16)

là một ướ c lượ ng không chệch của ( )XYC τ và phươ ng sai của ướ c lượ ng này



đượ c tính theo (5.3.5), ở đó ( )XC τ phải đượ c thay bở i ( )XYC τ .

Nếu cả ba hàm ( )XC ,τ ( ) ( )Y XYC , Cτ τ đều dần đến 0 khi thìτ→∞

( ) X t và ( ) Y t là ergodic hiệ p phươ ng sai chéo. ()

5.3.4. Các loại ergodic khác

Xét một quỹ đạo X(t, ), t R ζ ∈ của QT X. Vớ i x ∈ ¡ cố định, hàm số

1 X(t, )u(x X(t, ))

0 X(t, )

x

x

ζ <⎧− ζ = ⎨

ζ ≥⎩

thể hiện vị trí tươ ng đối của quỹ đạo so vớ i ngưỡ ng x (Hình 5.5). Đại lượ ngT

T

1u(x X(t, ))dt

2T −

− ζ∫

đặc tr ưng cho tỷ lệ thờ i gian trung bình trên đoạn [-T; T] quỹ đạo nằm dướ i

ngưỡ ng x. Trên Hình 5.5 đó là ( )1 21

x x x2T

∆ + ∆ + ∆ 3 .

Hình 5.5.Nhữ ng thờ i đ oạn trên [-T; T] ở đ ó qu ỹ đạo nằ m d ướ i ng ưỡ ng x.

-T T

X(t)

t3x∆2x∆1x∆

Cho , chúng ta nhận đượ c trung bình thờ i gian của hàmT → +∞

u(t X(t, ))− ζ :

[ ]T

A u(t X(t, )) lim→+∞

− ζ =T

T

1u(x X(t, ))dt

2T −

− ζ∫ .

Định nghĩ a.

* Giả sử A[ . ] là toán tử trung bình thờ i gian, u(x) là hàm bướ c nhảy đơ n

vị, - hàm delta. Xét QT dừng(x)δ X X(t)= vớ i hàm phân bố một chiều .

Nếu

XF (x)

XF (x) A[u(x - X(t, ))]= ζ

vớ i mọi và vớ i mọi quỹ đạox R ∈ X(t, ), tζ ∈ ¡ thì X(t) đượ c gọi là QT

ergodic hàm phân bố.

* Hơ n nữa, giả sử hàm phân bố một chiều có mật độ . Nếu

xảy ra đẳng thức

XF (x) Xf (x)

Xf (x) A[ (x -X(t, ))], x R,= δ ζ ∀ ∈ ∀ζ ∈ Ω



thì X(t) đượ c gọi là ergodic hàm mật độ.

* Nếu vớ i k > 0,k k E(X (t)) A[X (t, )],= ζ ∀ζ ∈ Ω

thì X(t) đượ c gọi là QT ergodic mô men cấ p k.

V ấ n đề trung bình thờ i gian và ergodic

Một cách đầy đủ nhất:

Nếu tất cả các đặc tr ưng xác suất của QT tính thông qua trung bình tổng thể

đều có thể đượ c tính thông qua trung bình thờ i gian của các đặc trung tươ ng ứng

thì QT đó đượ c gọi là QT ergodic.

Ngườ i ta cũng tìm đượ c các điều kiện (gọi là điều kiện egrodic), chủ yếu

vớ i quá trình dừng để có đượ c tính chất đó.

Tính ergodic là một dạng r ất hạn chế của tính dừng và thật là khó khăn để

kiểm tra xem trong tình huống vật lý cụ thể nào đó, giả thiết ergodic thoả đáng hay

không. Dù sao, chúng ta vẫn thườ ng giả thiết QT là ergodic để đơ n giản hoá bài

toán. Trong thế giớ i thực, chúng ta vẫn buộc lòng phải làm việc vớ i chỉ một hàm

mẫu của quá trình. Khi ấy, dù muốn hay không, chúng ta vẫn phải tìm giá tr ị trung

bình, hàm tự tươ ng quan… chỉ từ một hàm dạng sóng theo thờ i gian. Từ giả thiết

ergodic, chúng ta có thể coi những giá tr ị tính đượ c là những tham số thống kê của

quá trình. Nhiều ngườ i cảm thấy khó chấ p nhận những lờ i bàn luận này. Tuy nhiên

cần phải nhớ r ằng, lý thuyết của chúng ta chỉ phục vụ để mô hình hoá những điều

xảy ra trong thế giớ i thực.

5.3.5. Đo hàm tươ ng quan.

Thực tế không bao giờ ta có thể đo đượ c hàm tươ ng quan của hai QT bở i vì

ta không thể nào biết hết các thể hiện của chúng. Nói chung, chúng ta chỉ biết một

đoạn của một quỹ đạo của mỗi quá trình. Như vậy, chúng ta cần phải giả sử r ằng,

các QT của chúng ta là ergodic đồng thờ i (hay ít ra là ergodic tươ ng quan đồng

thờ i). Thực ra các giải thiết này- gọi là giả thiết ergodic- ít quan tr ọng, ta vẫn tiến

hành công việc của ta cho dù các QT không phải là ergodic.

Trên tinh thần đó, ngườ i ta tạo ra những thiết bị vật lý để đo hàm tươ ng

quan của các QTNN, gọi là tươ ng quan k ế (correlometer) để đo hàm tươ ng quan

chéo của hai QTNN X(t),Y(t) .

Sơ đồ khối của tươ ng quan k ế thể hiện ở Hình 5.6. Nó bao gồm hai bộ giữ

chậm, bộ nhân và bộ tích phân. Thể hiện x(t) và y(t) của hai QT X(t) và Y(t)

đượ c giữ chậm lần lượ t là T và T đơ n vị thờ i gian; tiế p theo, tích của các hàm

sóng giữ chậm đượ c tạo thành. Sau nữa, tích này đượ c tích luỹ lại qua bộ tích

phân để ở đầu ra là tích phân trên đoạn

− τ

[ ]1 1t ; t 2T+ vớ i độ dài 2T.



y(t)

x(t)

A

0 1R (t 2T)+

B Giữ chậm

Bộ nhân ( )t 2T1t1

1dt

2T

+∫ g

Giữ chậm−

Hình 5.6. S ơ đồ khố i t ươ ng quan k ế

Giả sử tín hiệu tồn tại ít ra từ thờ i điểm – T, còn dươ ng tuỳ ý. Dễ thấy đầu

ra nhận đượ c

1t

t T1

0 1t T1

1R (t 2T) x(t )y(t)dt

2T

+

−

+ = + τ∫ .

Ví dụ, nếu ta chọn , từ tính ergodic ta đượ c1t = 0

T

0 XT

1Y XY(2T) X(t )y(t)dt A ( ) R ( )

2T −

= + τ ≈ τ = τ∫ R .

Cho thay đổi (thông qua các bộ giữ chậm) ta có thể đo xấ p xỉ hàm tươ ng

quan chéo của X và Y.

τ

Khi thay đổi các điểm nối A, B và áp dụng cả hai đầu vào là x(t) hoặc cả hai

đầu vào là y(t), ta có thể đo hàm tự tươ ng quan XR ( )τ , YR ( )τ .

Cần lưu ý độ dài đoạn lấy tích phân 2T phải đủ lớ n. Vớ i một số QT cụ thể,

ta có thể tính đượ c độ dài 2T tối thiểu để sai số tươ ng đối đủ nhỏ, ví dụ .5%≤R ất nhiều sơ đồ khác đượ c thiết k ế để đo hàm tự tươ ng quan. Ví dụ, ngoài

việc giữ nguyên hai bộ giữ chậm, ngườ i ta bố trí bộ cộng thay cho bộ nhân. Sau

bộ cộng là bộ lọc bình phươ ng (dùng điôt) r ồi mớ i đến bộ lọc âm tần.

Đáng lưu tâm nhất phải k ể đến các tươ ng quan k ế quang học của Michelson.

Chi tiết xem [8 ] tr 439 – 441.

5.3.6. Ướ c lượ ng dãy tươ ng quan.

Đối vớ i dãy dừng (và ergodic!) X(n), ngườ i ta dùng 2 ướ c lượ ng sau đâycho dãy tự tươ ng quan:

a) Ướ c l ượ ng t ự t ươ ng quan không chệch

µ µ N k

X Xi 1

1R (k) R ( k) X(i k)X(i) (0 k N)

N k

−

== − = + ≤ ≤

−∑ . (5.3.17)

Vì nên đây là ướ c lượ ng không chệch. Nếu thêm giả thiết X(n) là Gauss, quy tâm thì đây là ướ c lượ ng vững. Tuy nhiên, có thể

µX XE[R (k)] R (k)=

µ XR (k) không đạt cực đại tại k = 0, từ đó ma tr ận tươ ng quan có thể không xác

định không âm.



b)Ướ c l ượ ng t ự t ươ ng quan chệch

µ µ N k

X Xi 1

1R (k) R ( k) X(i k)X(i) (0 k N)

N

−

== − = + ≤ ≤∑ (5.3.18)

Đây là ướ c lượ ng chệch, song là ướ c lượ ng tiệm cận không chệch. Nó cũnglà ướ c lượ ng vững. Ư u điểm nổi bật của ướ c lượ ng này là nó đạt cực đại tại k = 0

và ma tr ận tươ ng quan luôn luôn xác định không âm. Ngườ i ta thấy r ằng, chỉ nên ướ c lượ ng vớ i k N /10≤ .Khi N lớ n, sai số bình phươ ng trung bình của ướ c lượ ng không chệch là lớ n

hơ n so vớ i ướ c lượ ng chệch. Vậy khi có thể, hãy dùng ướ c lượ ng chệch, sẽ tốthơ n ướ c lượ ng không chệch.

§5.4. LIÊN TỤC, ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN

Liên tục, đạo hàm, tích phân là những khái niệm trung tâm để nghiên cứu,

dáng điệu của hệ tất định, ở đó tín hiệu đầu vào là hàm xác định của thờ i gian.

Chúng ta cần hoàn thiện về mặt xác suất, tiến hành những nghiên cứu sâu sắc hơ n,sang hệ vớ i đầu vào ngẫu nhiên. Mỗi khái niệm đã nêu đều liên k ết chặt chẽ vớ i

một trong ba dạng giớ i hạn: hầu chắc chắn, theo xác suất và theo trung bình cấ p p

(xem §3.5). Tuy nhiên trong thực tế, hội tụ bình phươ ng trung bình (MS - hội tụ)

là quan tr ọng nhất. Vì thế, chúng ta sẽ hướ ng sự chú ý vào dạng hội tụ này. Trong

mục này, chúng ta chỉ xét những QT vớ i thờ i gian liên tục.

5.4.1. Liên tục

a) Liên t ục theo xác suấ t

Định nghĩ a. Cho QTNN ( ) X X t , t I= ∈ . Quá trình X đượ c gọi là liên tụctheo xác suất tại nếu:0t ∈ I

( ) ( ) 0t t0

0, lim P X t X t 0→

∀ε > − > ε = . (5.4.1)

Nếu X liên tục theo xác suất tại mọi điểm 0t J I∈ ⊂ thì X đượ c gọi là liên tục

theo xác suất trên J.

b) Liên t ục theo trung bình

Giả sử ( )

X X t , t I= ∈ là QT cấ p p (p > 0), tức là (xem mục 5.2.1):

( ) p

E X t , t I< ∞ ∀ ∈ .

Định nghĩ a. Quá trình cấ p p ( ) X t , t I∈ đượ c gọi là liên tục trung bình cấ p

p tại nếu0t ∈I

( ) p

t0t t0lim E X t X 0→

− = . (5.4.2)

Nếu ( ) X t liên tục trung bình cấ p p tại mọi điểm 0t J I∈ ⊂ thì nó đượ c gọi

là liên tục trung bình cấ p p trên J.



Từ bất đẳng thức Chebyshev và bất đẳng thức (5.2.1) suy ra:

+ Liên tục trung bình cấ p p (p > 0) thì liên tục theo xác suất;

+ Liên tục trung bình cấ p p thì liên tục trung bình cấ p q vớ i 0 < q < p.

Trong ứng dụng, ngườ i ta xét chủ yếu quá trình cấ p hai. Chúng ta tách liên

tục trung bình cấ p hai (gọi là liên tục bình phươ ng trung bình) ra mục riêng.

c) Liên t ục bình phươ ng trung bình

Định nghĩ a. QTNN ( ) X X t , t I= ∈

I

đượ c gọi là liên tục bình phươ ng trung

bình (hay MS - liên tục) tại nếu0t ∈

( ) ( )2

0t t0lim E X t X t 0→

− = . (5.4.3)

Nếu đẳng thức xảy ra tại mọi điểm 0t I∈ , quá trình ( ) X t đượ c gọi là liên

tục bình phươ ng trung bình (hay MS – liên tục) trên I.

Định lý sau đưa ra một điều kiện đủ thông qua hàm tự tươ ng quan, dễ dàng

kiểm tra trong thực hành.

Định lý5.12. Giả sử ( ) X X t , t I= ∈ là QT cấ p hai vớ i hàm trung bình, hàm

tự tươ ng quan và hàm tự hiệ p phươ ng sai lần lượ t là ( ) ( ) ( )X X Xt ,R t,s ,C t,sµ .

Khi đó,

a) Nếu X là MS – liên tục thì ( )X tµ là hàm số liên tục.

b) X là MS- liên tục khi và chỉ khi hàm hai biến ( )XR t,s liên tục.

c) X là MS – liên tục khi và chỉ khi các hàm số ( )X tµ và ( )XC t,s là những

hàm liên tục.

Chứ ng minh.

a) Theo bất đẳng thức Schwarz chúng ta có:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

X X 0 0

20

0 t t E X t X t E X t X t

E[X t X t ] 0 t 0 .

≤ µ − µ = − ≤ −

≤ − → →

0

Vậy ( )X tµ là hàm liên tục. b) Điề u kiện cần. Khi thì0 0t t , s s→ → ( ) ( ) ( ) ( )0 0X t X t , X s X s→ → theo

bình phươ ng trung bình. Từ tính chất của k ỳ vọng chúng ta nhận đượ c

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )X 0 0 X 0 0R t,s E[X t X s ] E[X t X s ] R t ,s= → = ( )0 0t t , s s→ → .

(Bạn nào khó khăn khi dẫn ra giớ i hạn vừa nêu, hãy dùng đồng nhất thức)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )0 0 0 0X t X s X t X s X t X t X s X s− = − − +

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

0 0 0X t X s X s X s X t X t+ − + − 0 (*)

r ồi sử dụng các bất đẳng thức quen biết).



Điề u kiện đủ. Dùng công thức (5.2.4) và tính liên tục của R X ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

0 X X 0 X 0 X 0 0E X t X t R t, t R t, t R t , t R t , t 0→− = − − + 0t )→(t

c) Đây là hệ quả của (a), (b) và đồng nhất thức (5.2.3).

Lư u ý. Thực ra, dựa vào (*) chúng ta còn có thể phát biểu :

QT X(t) là MS - liên tục tại khi và chỉ khi liên tục tại ;X(t) là MS - liên tục khi và chỉ khi liên tục tại vớ i mọi

ot XR (t,s) o o(t , t )

XR (t,s) o o(t , t ) ot I∈ .

Ví d ụ 5.15. Đối vớ i sóng sin ngẫu nhiên ở Ví dụ 5.11 chúng ta đã tính đượ c

( )( ) ( )

Xsin 2 t sin 2 s

R t,s3

π π= là hàm liên tục theo hai biến t, s. Vậy đây là quá

trình MS - liên tục.

Lư u ý. Đối vớ i QT Poisson sẽ xét ở mục 5.5.1 chúng ta sẽ tính đượ c

( ) ( )2

XR t,s min t,s ts=λ + λ là hàm liên tục. Từ đó, QT Poisson là MS – liên tục. Tuy nhiên, mọi quỹ đạo của

QT này đều làm hàm bậc thang và do đó không liên tục.

Trong thực tế, làm thế nào kiểm tra tính liên tục bình phươ ng trung bình?

Áp dụng định lý trên, chúng ta mong muốn biết dạng của hàm tự tươ ng quan

( )XR t,s . Trong hầu hết các tình huống thực tế, chúng ta chỉ có thể tính ( )XR t,s

một cách xấ p xỉ thông qua tổ chức đồ của nó, mà tổ chức đồ lại là một hàm bậc

thang! Vì vậy, chỉ tr ừ khi tổ chức đồ quá rõ ràng vi phạm tính liên tục, chúng ta

thườ ng phải công nhận r ằng, QT đó là MS – liên tục.

5.4.2. Đạo hàm

Định nghĩ a. QTNN ( ) X X t , t I= ∈

I

đượ c gọi là khả vi theo bình phươ ng

trung bình (hay MS - khả vi) tại 0t ∈ nếu tồn tại BNN ( )0X t′ sao cho

( ) ( )( ) (0

X t X tX t 0

+ ε −′→ ε

ε)→ (5.4.4)

giớ i hạn theo bình phươ ng trung bình, chính là

( ) ( )( )

2

00

X t X tlim E X t 0ε→

⎡ + ε − ⎤′− =⎢ ⎥ε⎣ ⎦

.

Khi đó, ( )0X t′ đượ c gọi là đạo hàm của quá trình ( ) X t , t I∈ tại điểm t0.

Nếu (5.4.4) xảy ra tại mọi điểm 0t I∈ thì quá trình ( ) X t đượ c gọi là MS -

khả vi, quá trình ( ) X t′ đượ c gọi là đạo hàm của quá trình ( ) X t .

Định lý 5.13. Giả sử ( ) X t là QTNN cấ p hai vớ i hàm tự tươ ng quan

( )XR t,s . Nếu ( )XR t,s là hàm khả vi cấ p hai tại điểm (t0, t0) thì quá trình ( ) X t



là MS - khả vi tại điểm t0.

Chứ ng minh. Theo (5.2.4) chúng ta có:2

0 0 0X(t ) X(t ) X(t ) X(t )h( , ) E

+ ε − + δ − 0⎡ ⎤ε δ = −⎢ ⎥ε δ⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )2 20 0 02 21 1E X t X t E X t X t⎡ ⎤ ⎡= + ε − + + δ −⎣ ⎦ ⎣ε δ

0 ⎤⎦

( ) ( )( ) ( ) (( )0 0 02

E X t X t X t X t− + ε − + δ −εδ

)0

( ) ( ) (X 0 X 0 0 X 0 02

1R t , t 2R t , t R t , t )⎡ ⎤= + ε + ε − + ε +⎣ ⎦ε

( ) ( ) (X 0 X 0 0 X 0 02

1R t , t 2R t , t R t , t )⎡ ⎤+ + δ + δ − + δ +⎣ ⎦δ

( ) ( ) ( ) (X 0 0 X 0 0 X 0 0 X 0 02 R t , t R t , t R t , t R t , t⎡ ⎤− + ε + δ − + ε − + δ +⎣ ⎦εδ

) .

Khai triển Taylor đến cấ p hai hàm ( )XR t,s tại (t0, t0) chúng ta nhận đượ c

( ) ( )h , 0 , 0ε δ → ε δ → . Theo tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ, tồn tại BNN bình

phươ ng khả tích ( )0X t′ sao cho( ) ( )X t X t+ ε −

→ε

( )0X t′ (MS - hội tụ).

Như vậy, nếu QT cấ p hai là MS - khả vi thì QT đạo hàm lại là quá trình cấ p

hai. Tính chất sau đây cho phép chúng ta tính hàm trung bình và hàm tự tươ ngquan của QT đạo hàm cũng như hàm tự tươ ng quan chéo của nó vớ i quá trình xuất

phát (xem chứng minh trong [6],tr 221).

Định lý 5.14. Giả sử ( ) X t , t I∈ là QTNN MS- khả vi vớ i hàm trung bình

( )X tµ , hàm tự tươ ng quan . Khi đóXR (t,s) ( )X tµ là hàm khả vi; quá trình

( ) X t′ là QT cấ p hai vớ i các tính chất sau:

( ) ( ) ( )X Xt E(X t ) t′ ;′ ′µ = =µ

( ) ( ) ( )( )2

XX

R t,sR t,s E (X t X s )

t s′

∂′ ′= =

∂ ∂;

( ) ( ) ( )( )X

X XR t,s

R t,s E(X t X s )t

′∂

′= =∂

. (5.4.5)

Ví d ụ 5.16. Cho QT dừng ( ) X t vớ i hàm tự tươ ng quan .

Chứng tỏ r ằng đây là quá trình MS - khả vi. Tính các hàm trung bình, hàm tự

tươ ng quan và tươ ng quan chéo.

( )23

XR 10e− ττ =



Giải. là hàm khả vi cấ p hai theo hai biến t, s, vậy( ) ( )23 t sXR t,s 10e− −=

( ) X t là quá trình MS - khả vi.

Giả sử ( )EX tµ = , ta có

( ) ( )( ) ( )X dt E X t 0dt′ ′µ = = µ = ;

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 23 t sX

2 23 t s

R t,s E X t X s 10et s

60e 6 t s t s 1 ;

− −′

− −

∂ ⎛ ⎞′ ′= = ⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠

⎡ ⎤= − − + − +⎣ ⎦

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 23 t s 3 t s

X XR t,s E X t X s 10e 60e t st

− − − −′

∂ ⎛ ⎞′= = = −⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠.−

Vì ( )X t′µ không đổi còn hàm tươ ng quan XR ′ chỉ phụ thuộc vào t – s nên

( ) X t′ là QT dừng. Hơ n nữa, hàm tươ ng quan chéo X XR ′ cũng chỉ phụ thuộc

vào t – s nên X và là dừng đồng thờ i.X′

Tính chất vừa nêu xảy ra không chỉ ở ví dụ này mà còn ở QT dừng bất k ỳ:

H ệ quả. Nếu hàm tươ ng quan ( )XR τ của QT dừng X là khả vi liên tục cấ p

hai thì X là quá trình MS - khả vi, QT đạo hàm X′ là dừng, hơ n nữa X và X′ là

dừng đồng thờ i vớ i

2XXX X 2

dR ( ) d R ( )R ( ) ; R ( )

d d′ ′

Xτ ττ = − τ = −τ τ

. (5.4.6)

5.4.3. Tích phâna)Tích phân trên đ oạn hữ u hạn. Giống như tích phân Riemann vớ i hàm tất

định, chúng ta có thể xây dựng tích phân của một QTNN trên đoạn [a;b] như sau:

Định nghĩ a. Giả sử ( ) [ ] X t , t a;b∈ là QTNN cấ p hai. Ứ ng vớ i phép phân

hoạch đoạn [a;b] bở i các điểm chia t0, t1, …, tn vớ i a = t0 < t1 < … < tn = b, ta lậ p

tổng tích phân

( )n

n ii 1

S X s=

= ∆∑ i

trong đó s i là điểm tùy ý trên đoạn [ ]i 1 i i i it ; t ; t t 1− −∆ = − . Nếu khi sao chon →∞

imax ,i 1,...,n 0∆ = → , tồn tại giớ i hạn (theo bình phươ ng trung bình) của dãy

nS đến một BNN Y xác định, không phụ thuộc vào cách phân hoạch đoạn [a;b]

cũng như các điểm trung gian si, thì quá trình ( ) X t đượ c gọi là MS - khả tích



trên đoạn [a;b] còn Y đượ c gọi là tích phân (theo ngh ĩ a bình phươ ng trung bình

hay MS – tích phân) của QTNN ( ) X t trên [a;b]:

( ) b

a

Y X t d= ∫ t .

Định lý sau cho phép chúng ta dễ dàng kiểm tra điều kiện khả tích thông quahàm tự tươ ng quan.

Định lý 5.15. Giả sử ( ) [ ] X t , t a;b∈ là QTNN vớ i hàm tự tươ ng quan

( )XR t,s . Nếu tồn tại tích phân kép

( ) b b

Xa a

R t,s dtds∫ ∫ (5.4.7)

thì ( ) X t là MS - khả tích trên [a;b].

Chứ ng minh. Theo tiêu chuẩn Cauchy, chúng ta biết r ằng tích phân của

( ) X t tồn tại khi

( ) ( ) ( )( )

2n m

i i i 1 i i i 1i 1 j 1

E X s t t X v u u− −= =

⎡ ⎤− − − →⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑ 0

−

−

)

,

khi . (5.4.8)n,m 0→

Khai triển ngoặc vuông chúng ta đượ c ba số hạng. Biến đổi các số hạng này,

ví dụ đối vớ i số hạng thứ hai ta nhận đượ c:

( ) ( )( )( )n mi j i i 1 j j 1

i 1 j 1

2E X s X v t t u u− −= =

⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∑∑

= ( )( )( )n m

X i j i i 1 j j 1i 1 j 1

2 R s ,u t t u u− −= =

⎡ ⎤− −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦∑∑

( ) ( b b

Xa a

2 R t,s dt ds n,m→− →∞∫ ∫ .

Tươ ng tự vớ i mỗi số hạng còn lại, chúng đều dần đến suy

ra (5.4.8) và nhận đượ c đ pcm.

( )

b b

Xa a R t,s dtds∫ ∫

H ệ quả.

1) Nếu ( )XR t,s liên tục trên hình vuông [a; b]× [a; b] thì quá trình ( ) X t là

MS - khả tích trên [a; b].

2) Mỗi quá trình MS - liên tục là một quá trình MS - khả tích (trên đoạn [a; b]).

Tích phân vừa xây dựng (còn đượ c gọi là MS – tích phân) có các tính chất của

tích phân xác định thông thườ ng: tính chất tuyến tính, tính chất xác định không âm, hệ



thức Saclơ . Nó cũng thoả mãn công thức Newton – Leibnitz, ta cũng có thể tính đượ c

các đặc tr ưng xác suất của nó, cụ thể là:

i) Nếu quá trình ( ) [ ] X t , t a;b∈ là MS - khả vi liên tục (ngh ĩ a là ( ) X t′

là MS - liên tục) trên [a;b] thì

( ) ( ) ( ) b

a

X t dt X b X a′ = −∫ . (5.4.9)

ii) Giả sử QT ( ) [ ] X t , t a;b∈ là MS - liên tục. Đặt . Khi đó( ) ( )t

a

Y t X s ds= ∫

* ( ) Y t , t [a;b]∈ là quá trình MS - khả vi và ( ) ( )Y t X t′ = .

* Hàm k ỳ vọng và hàm tự tươ ng quan của Y(t) cho bở i:

t t t

Y Xa a a(t) E[ X(s)ds] E[X(s)]ds (s)ds;µ = = = µ∫ ∫ ∫

t t

Ya a

R (t,s) E X(u)du X(v)dv⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

. (5.4.10)t s t s

Xa a a a

E[X(u)X(v)]dudv R (u, v)dudv= =∫ ∫ ∫ ∫

*Nếu X(t) là QT Gauss thì Y(t) cũng là QT Gauss.

Nhận xét. (i) Nếu( )

X t là MS - khả tích thì không nhất thiết các quỹ đạo

( )X ,⋅ ζ là khả tích Riemann vớ i xác suất 1. Tuy nhiên, nếu giả thiết thêm r ằng các

quỹ đạo ( )X t,ζ khả tích Riemann vớ i xác suất 1 (ví dụ, vớ i QT liên tục theo quỹ

đạo hay QT bướ c nhảy bị chặn) thì có thể thấy r ằng, vớ i xác suất 1

( ) ( ) b

a

Y X t,ζ = ζ∫ dt

i

.

Nói cách khác, tích phân có thể tính thông qua tích phân của mỗi

quỹ đạo nếu tích phân đó cũng như tích phân của mỗi quỹ đạo tồn tại.

( ) b

a

X t dt∫

Sở d ĩ như vậy vì tổng tích phân ( )n

ii 1

X s=

∆∑ tại ζ ∈Ω cũng là tổng tích phân

của hàm mẫu tươ ng ứng, và từ chỗ, từ sự hội tụ theo trung bình có thể trích ra một

dãy hội tụ hầu chắc chắn.

(ii) Đối vớ i QTNN phức, các k ết quả ở trên vẫn còn đúng vớ i lưu ý r ằng, ký

hiệu tr ị tuyệt đối . bây giờ phải hiểu là mô đun của số phức tươ ng ứng; ví dụ,

2X(t) bây giờ phải hiểu là .*X(t)X (t )



b)Tích phân suy r ộng

Giả sử X(t) là QT cấ p hai, đo đượ c (*) vớ i hàm tự tươ ng quant ∈ ¡

XR (t,s) sao cho vàX XP (t) R (t, t)= 2h(t,s) là những hàm khả tích trên mỗi đoạn

hữu hạn. Khi đó, theo Định 5.15, để tồn tại

[ ] b

a; ba

Y (t) h(t,s)X(s)d= ∫ s

cần và đủ là tồn tại tích phân hai lớ p

[a;b]

b b b b

Y Xa a a a

R (u, v)dudv h(t, u)h(t, v)R (u, v)dudv=∫ ∫ ∫ ∫ .

Bây giờ đặt b

aa b

h(t,s)X(s)ds l.i .m. h(t,s)X(s)ds+∞

→−∞−∞ →+∞

=∫ ∫ .

Giớ i hạn này tồn tại khi và chỉ khi tích phân hai lớ p

Xh(t,u)R (u, v)h(t, v)dudv+∞ +∞

−∞ −∞∫ ∫ (5.4.11)

hội tụ. Nếu điều kiện (5.4.11) thoả mãn vớ i mọi t ∈ ¡ thì QT Y(t),t ∈ ¡ thu

đượ c là QT cấ p hai vớ i hàm tự tươ ng quan

Y XR (t,s) h(t, u)R (u, v)h(s, v)dudv+∞ +∞

−∞ −∞

= ∫ ∫ . (5.4.12)

Nếu hàm h(t,s) có tính chất h(t,s) h(t s), t, s= − ∀ ∈ ¡ (xảy ra, ví dụ khi h(t,s)là hàm đáp ứng xung của hệ LTI bất biến theo thờ i gian (xem mục 6.2.2)), điềukiện nêu trên tr ở thành đòi hỏi hội tụ của tích phân hai lớ p

Xh(t u)R (u, v)h(t v)dudv+∞ +∞

−∞ −∞

− −∫ ∫ , (5.4.13)

trong đó 2h(t) và khả tích trên đoạn hữu hạn bất k ỳ. Hàm tự tươ ng

quan của QT Y tr ở thànhX XP (t) R (t, t)=

Y XR (t,s) h(t u)R (u, v)h(s v)dudv+∞ +∞

−∞ −∞

= − −∫ ∫ . (5.4.14)

---------------

(*) Vớ i những ngườ i quan tâm đến ứng dụng có thể bỏ qua khái niệm đo đượ c của QTNN.

QTNN X(t), đượ c gọi là đo đượ c nếu ánh xạ t I∈

( )( )[ I ]X : I S; ( , )× σ ℜ × ℑ → ℜ% ¡ là ánh xạ đo đượ c, trong đó là

- đại số Borel trên là - đại số Borel trên I,

ℜ

σ [ I ]; ℜ¡ σ ( )[ I ]σ ℜ × ℑ là σ - đại số tích của

vớ i , còn là - đại số đầy đủ của[ I ]ℜ ℑ ( )[ I ]σ ℜ × ℑ% σ σ - đại số ( )[ I ]σ ℜ × ℑ .



§5.5. HAI QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN QUAN TR ỌNG

5.5.1. Quá trình Poisson

QT Poisson đượ c sử dụng r ộng rãi nhất trong lý thuyết xế p hàng, trong phân

tích độ tr ễ và thông lượ ng của hệ và mạng máy tính. Ngườ i ta đã đưa ra nhiều

định ngh ĩ a về QT Poisson (tất nhiên, chúng tươ ng đươ ng nhau) nhằm phục vụ cho

các mục đích riêng của họ. Sau đây, chúng ta trình bày một trong các định ngh ĩ a

đó. Sẽ dễ dàng hiểu định ngh ĩ a QT Poisson ( ) N t , t 0≥ khi ta hình dung biến

ngẫu nhiên N(t) như là “số biến cố xảy ra trong khoảng thờ i gian (0;t]” hay là

“số lần tớ i một hệ phục vụ trong khoảng thờ i gian (0;t]”.

a)M ở đầu

Định nghĩ a. QTNN ( ) N t , t 0≥ đượ c gọi là QT Poisson vớ i tham số

nếu:

0λ >

1) N(0) = 0 vớ i xác suất 1;

2) ( ) N t có s ố gia độc lậ p;

3) Vớ i mọi t, s, 0 ≤ s < t, BNN N(s,t] = N(t) – N(s) có phân bố Poisson vớ i

tham số ( )t sλ − :

( ) ( )k

t s t sP N(s, t] k e , k 0,1,2...

k!

−λ − ⎡λ − ⎤⎣ ⎦= = = (5.5.1)

BNN N(s,t] mô tả “số bướ c nhảy” của QT trên khoảng thờ i gian (s,t]. Công

thức (5.5.1) chứng tỏ r ằng, QT Poisson là quá trình số gia độc lậ p thuần nhất (xem

mục 5.2.2).

Dướ i dạnh hàm mật độ, xác suất (5.5.1) đượ c viết lại như sau

k (t s)

N(s,t]k 0

[ (t s)]f (x) e (x k

k!

∞−λ −

=

λ −)= δ −∑ . (5.5.1

’)

Ý nghĩ a của tham số λ . Như thườ ng lệ, tỉ số

( ) ( )( ) ( )E N t N s

0 s tt s

− ≤ <−

thể hiện vận tốc trung bình của số lần tớ i trên khoảng thờ i gian (s;t]. Từ đó

( )( ) ( )( )

t s

E N t N sv s lim

t s↓

−=

−

đượ c coi là vận tốc (hay cườ ng độ) của quá trình tại thờ i điểm s. Từ đòi hỏi (3),

( ) ( )( ) ( )E N t N s t s− =λ − nên ( )v s const=λ = . Như vậy:

Vận tốc của QT Poisson là không đổi và bằng λ; tham số λ đượ c gọi là vậntốc (hay cườ ng độ) của QT Poisson.



Để tìm hiểu thêm về dáng điệu của ( ) N t , chúng ta hãy xét khoảng thờ i

gian , công thức (5.5.1) cho ta( ]t; t t+ ∆

tP N(t, t t] 0 e−λ∆+ ∆ = = ;

t

P N( t, t t] 1 t e

−λ∆

+ ∆ = =λ∆ ;

( )

k

ttP N(t, t t] k e , (k 1)

k!

−λ∆λ∆+ ∆ = = > . (5.5.2)

Bây giờ giả sử đủ nhỏ, khai triển hàm mũ, bỏ qua số hạng vô cùng bé bậc

cao

t∆

( )o t∆ , chúng ta có thể viết lại biểu thức trên dướ i dạng sau đây:

( ] P N t, t t 0 1 t ;+ ∆ = ≈ − λ∆

P N(t, t t] 1 t+ ∆ = ≈λ∆ ;

P N(t, t t] k 0, k 1+ ∆ = ≈ > .

Hai biểu thức cuối nói lên r ằng, các “biến cố” hay các “số lần tớ i” mô tả ở

QT Poisson không thể xảy ra “dồn dậ p” hay “đồng thờ i” đượ c; nói cách khác, các

bướ c nhảy của QT Poisson phải bằng 1.

Từ định ngh ĩ a, N(t s, ) N(t, )+ ζ ≥ ζ vớ i mọi vàt,s 0≥ ∀ζ∈ Ω . Hơ n nữa,

là khoảng đóng bên phải nên dễ thấy quỹ đạo là hàm liên tục trái. Vậy:( ]0;t

Quỹ đạo của QT Poison là không giảm và liên tục trái.

Quỹ đạo điển hình của QT Poisson thể hiện ở Hình 5.7a vớ i 5 bướ c nhảy và

5.7b vớ i 20 bướ c nhảy.

N(t) N(t)

tt

(a) (b)

Hình 5.7. Qu ỹ đạo đ iể n hình của QT Poisson

b) Xác suấ t đồng thờ i n chiề u và hàm t ự t ươ ng quan

Trong tr ườ ng hợ p n = 1, phân bố một chiều ( ) P N t k = đã đượ c cho ở

(5.5.1) khi lấy s = 0.

Vớ i n = 2, lấy t1, t2 : và vớ i k, nguyên, 010 t t≤ < 2 l k ≤ ≤l ta có



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1P N t ; N t k P N t N t k ; N t= = = − = − =l l l

( )(k )

t t t2 1 12 1 1[ (t t )] ( t )

e e(k )! !

−−λ − −λλ − λ

=−

l l

l l

(k )t 2 1 12

[ (t t )] ( (t 0))e

(k )! ( 0)!

−−λ λ − λ −

=− −

l l

l l. (5.5.3)

Bở i vì ( ) ( )1 N t N t≤ 2 nên vớ i k < l thì

( ) ( ) 2 1P N t k; N t 0= = =l .

Khi n > 2, giả sử ik là các số nguyên không âm vớ i 0 10 i i ... in= ≤ ≤ ≤ , thực

hiện tính toán như trên dễ dàng thu đượ c

( ) ( ) 1 1 n nP N t i ;...; N t i= =

( )

( )

(i i )k k 1nk k 1tn

k 1k k 1

t te

i i !

− −−−λ

= −

⎡λ − ⎤⎣ ⎦= Π−

. (5.5.4)

Từ (5.5.3) chúng ta dễ dàng tính hàm trung bình, hàm tự hiệ p phươ ng sai và

hàm tự tươ ng quan ( ) ( ) ( ) N N Nt ,C t,s ,R t,sµ :

( ) N t tµ =λ ;

( ) ( ) NC t,s min t,s ;=λ

( ) ( ) 2 NR t,s min t,s ts=λ + λ . (5.5.5)

Như vậy, QT Poisson không dừng (mặc dầu như đã nói, nó là quá trình số

gia độc lậ p thuần nhất !)

Để có những nghiên cứu sâu sắc hơ n về QT Poisson, ngườ i ta đưa ra những

BNN điển hình gắn k ết vớ i nó. Sau đây, chúng ta nghiên cứu vài BNN như vậy.

c) Dãy thờ i đ iể m đế n - Dãy thờ i đ oạn trung gian

Thờ i điểm đến là thờ i điểm tại đó xảy ra bướ c nhảy của QT. Giả sử

nA , n 0,1,...= vớ i A0 = 0 là dãy thờ i điểm đến. Dễ thấy đây là dãy vô hạn vớ i

xác suất 1 (hãy chứng minh !). Đặt

n n n 1S A A , n 1,2,...−= − =

và gọi Sn là thờ i đoạn trung gian thứ n. Như vậy Sn bằng khoảng thờ i gian giữa lầnđến thứ n – 1 và lần đến thứ n. Rõ ràng

* n0 S , n 0,1,2...≤ =

* 1 n n0 S ... S A , n 1,2,...≤ + + = =

Hơ n nữa, định lý sau cho chúng ta rõ về cấu trúc của dãy nS và nA .

Định lý 5.16 . Cho ( ) N t , t 0≥ là QT Poisson vớ i cườ ng độ λ. Khi đó

i) Dãy các thờ i đoạn trung gian nS , n 1,2,3,...= là dãy các BNN độc lậ p,

cùng phân bố mũ vớ i tham số λ.



ii) An (thờ i điểm đến thứ n) có phân bố gamma vớ i tham số (n, λ).

Chứ ng minh. Ta chứng minh cho tr ườ ng hợ p n = 2, tr ườ ng hợ p n > 2 đượ c

chứng minh tươ ng tự.

y∆

x

S1

O A1

S2

A2

y

x∆

Xét biến cố 1 2x A x x; y A y y< ≤ + ∆ < ≤ + ∆ vớ i 0 < x, y; đủ nhỏ.x, y∆ ∆

Từ hình vẽ chúng ta thấy biến cố này xem như tươ ng đươ ng vớ i biến cố:

Thờ i điểm đến không xuất hiện trong các khoảng (0;x], ( x x; x x y]+ ∆ + ∆ + và

xuất hiện đúng một lần trong mỗi khoảng

(x;x x], (x x y; x x y y+ ∆ + ∆ + + ∆ + + ∆ ].

K ể đến ( ) N t là QT s ố gia độc lậ p và (5.5.2) ta nhận đượ c

( ) ( )S S 1 21 2f x, y x y P x S x x; y S y y o x∆ ∆ = < < + ∆ < < + ∆ + ∆ ∆y

( ] ( ] P N 0;x 0 P N x;x x 1= = × + ∆ =

)

PN(x x;x x y] 0

PN(x x y;x x y y] 1 o( x y

× + ∆ + ∆ + =

× + ∆ + + ∆ + + ∆ = + ∆ ∆

x x y y(e )( x)(e )(e )( y)(e ) o( x y)−λ −λ∆ −λ −λ∆= λ∆ λ∆ + ∆ ∆

( )x yx y( e )( e )e ( x y) o( x y)

−λ ∆ +∆−λ −λ∆= λ λ ∆ ∆ + ∆ ∆ .

Chia hai vế cho , sau đó chox y∆ ∆ x 0, y 0∆ → ∆ → chúng ta nhận đượ c

mật độ đồng thờ i của S1 và S2.

( ) ( )( )x yS S1 2

f x, y e e−λ −λ= λ λ .

Chứng tỏ r ằng S1 và S2 là độc lậ p, mỗi BNN có phân bố mũ tham số λ.

ii) Để ý r ằng biến cố nA x≤ xảy ra khi và chỉ khi trong khoảng thờ i gian

(0;x] có ít nhất n lần đến. Như vậy chúng ta có thể tính hàm phân bố của An như sau:

( ) ( ) ( ) ( ) A nnF x P A x P N x n P N x N 0 n= ≤ = ≥ = − ≥

( ) ( )k k

n 1x

k n k 0

xe 1 e

k! k!

∞ −xx−λ

= =

λ λ= = −∑ ∑ −λ .

Lấy đạo hàm theo x ta nhận đượ c mật độ đòi hỏi của BNN .

nA

Lư u ý. P hân bố gamma (n, )Γ λ vớ i n 1,2,...= còn gọi là phân bố Erlang.



Ví d ụ.5.17. Tín hiệu điện báo nửa ngẫu nhiên. Giả sử N(t) là QT Poisson

vớ i cườ ng độ . Xét QT điện báoλ Y(t) xác định bở i N(t)Y(t) ( 1)= − .

Y(t) là nửa ngẫu nhiên vì Y(0) = 1 vớ i xác suất 1. Một quỹ đạo điển hình

của nó thể hiện ở Hình 5.8. Chúng ta đi tìm hàm k ỳ vọng và tự tươ ng quan. P Y(t) 1 P N(t) 0 P N(t) 2 P N(t) 4 ...= = = + = + = +

2 4t t( t) ( t)

e [1+ + ...] e ch( t).2! 4!

−λ −λλ λ= = λ

P Y(t) 1 P N(t) 1 P N(t) 3 ...= − = = + = +

3 5t t( t) ( t)

e [ t+ + ...] e sh( t).3! 5!

−λ −λλ λ= λ = λ

Vậyt 2

Y (t) E[Y(t)] e [ch( t) - sh( t)] = e .t−λ − λ= λ λ

(t,s)

µ =

Để tính R , ta lưu ý r ằng nếu s < t vàY Y(s) 1= thì số biến cố xảy ratrên khoảng (s ; t] là chẵn khi và chỉ khi Y(t) = 1. Từ đó, vớ i s tτ = −

P Y(t) 1| Y(s) 1 e ch( ).−λτ= = = λτ

Vậy

P Y(t) 1;Y(s) 1 P Y(t) 1 | Y(s) 1 .P Y(s) 1= = = = = =

λ se ch( ).e ch( s).−λτ −λ= λτTươ ng tự

sP Y(t) 1;Y(s) 1 e sh( ).e ch( s).−λτ −λ= − = = λτ λ

s

P Y (t) 1;Y(s) 1 e sh( ).e sh( s).−λτ −λ

= = − = λτ λ sP Y(t) 1;Y(s) 1 e ch( ).e sh( s).−λτ −λ= − = − = λτ λ

Bỏ qua tính toán chi tiết, ta thu đượ c2 t s

YR (t,s) e .− λ −=

Lưu ý r ằng, tuy hàm tự tươ ng quan chỉ phụ thuộc vào hiệu t – s

song không là QT dừng vì hàm k ỳ vọng không là hằng số.

YR (t,s)

Y(t)

t1 t2 t3 t4

1

t

-1

Hình 5.8. Quá trình đ iện báo nử a ng ẫ u nhiên

d) Xác định cườ ng độ dòng đế n

Vận tốc dòng đến tại một nút máy tính, thông lượ ng của một đườ ng truyền

thông tin, vận tốc của một thuật toán trong một phần mềm….., tất cả là những độ đo hình thức, đượ c định ngh ĩ a là số lượ ng tươ ng ứng (gói tin, bít, cấu trúc…) trên



một đơ n vị thờ i gian. Thông thườ ng trong thực tế, k ể cả bằng mô phỏng, chúng ta

đếm số đơ n vị U[0;T] của các đại lượ ng đã nêu trong khoảng thờ i gian [0;T]. Vận

tốc trung bình trong khoảng [0;T] xác định bở i

( )[ ]U 0;T

r T

T

= .

Chúng ta hy vọng khi T lớ n, vận tốc r(T) hội tụ về hằng số:

( ) ( )r T r, T→ → ∞

và ta sẽ gọi r là vận tốc dòng đến, vận tốc đườ ng truyền, thông lượ ng của bộ xử lý…

Tuy nhiên, vì r(T) là QTNN, việc làm trên có hợ p lệ không? Sau đây chúng

ta khẳng định r ằng, thủ tục đưa ra là đúng đắn nếu đầu vào là QT Poisson hoặc

QT đếm nói chung.

Định lý 5.17. Giả sử ( ) N t , t 0≥ là QT Poisson vớ i cườ ng độ λ. Khi đó

vớ i xác suất 1,

( )t

N tlim

t→∞= λ ,

nói cách khác( )

( )hcc N t

tt

→ λ → ∞ .

Chứ ng minh. Giả sử nA là dãy thờ i điểm đến. Vớ i t > 0 cố định, A N(t) là

thờ i điểm đến cuối cùng xảy ra tr ướ c t, vì vậy

( ) ( ) N t N t 1A t A +≤ <

vớ i xác suất 1. Chia các vế cho N(t) ta đượ c

( )

( ) ( )( )

( ) N t N t 1A At

N t N t N t

+≤ < .

Mặt khác, dãy iS độc lậ p, cùng phân bố (xem phần c)), theo luật mạch số lớ n,

n hcc

i 1i 1

1 1S E[S ]

n =→ =

λ∑ .

Bở i vì nên . Từ đó dễ suy rahcc

nA →∞ ( ) ( )hcc

N t , t→∞ → ∞

( )

( ) ( )

( ) N t hcc N t

i 1i 1

A 1 1S E[S ]

N t N t == → =

λ∑ .

Cuối cùng

( )

( )( )

( )( )

( )

hcc N t 1 N t 1A A N t t 1

. E[ N t N t 1 N t

+ + +S]= → =

+ λ.

Theo định lý k ẹ p, chúng ta nhận đượ c đ pcm.



Thực ra vớ i cùng một chứng minh, định lý trên còn đúng cho QT đếm, đó là

QT đượ c xây dựng như sau:

Xét dãy các BNN không âm, độc lậ p, cùng phân bố vớ i k ỳ vọng

và phươ ng sai hữu hạn (không nhất thiết có phân bố mũ). Dãy

thờ i điểm đến xác định bở i

nS

E[S] m 1/ 0= = λ >

nA n

0 n ii 1

A 0; A S , n 1,2,...=

= = =∑

Quá trình xác định bở i N(t), t 0≥

( ) n N t Sup n : A t= ≤

đượ c gọi là QT đếm liên k ết vớ i dãy thờ i điểm đếm .nA

e) Các biế n thể của quá trình Poisson

QT Poisson có cấu trúc r ất chặt chẽ nên có thể trong những tình huống thựctế, nó sẽ là mô hình không phù hợ p. Để xử lý trong những tình huống như thế,

ngườ i ta phải cải biên theo những cách khác nhau. Sau đây chúng ta sẽ giớ i thiệu

một số biến thể điển hình.

e1) Nhiễ u bắ n

Giả sử nA , n 1,2,...= là dãy các thờ i điểm đến liên k ết vớ i QT Poisson.

Xét quá trình ( ) X t , t 0≥ như sau

( ) ( )ii 1

X t t A

∞

== δ −∑ . (5.5.6)

X(t) chính là thể hiện tiện lợ i về mặt toán học dãy thờ i điểm đến nA .

QT này đượ c gọi là xung Poisson.

Khi tác động X(t) lên đầu vào của một hệ tuyến tính bất biến theo thờ i

gian vớ i hàm đáp ứng xung h(t) (sẽ xét k ỹ hơ n hệ này ở chươ ng sau), đầu ra sẽ là

QTNN xác định bở iY(t)

( ) ( )ii 1Y t h t A

∞

== −∑ (5.5.7)

Hình 5.9. Qũ y đạo nhiễ u bắ n vớ i đầu vào Poisson



Hình 5.9 thể hiện một quỹ đạo của đầu ra của hệ thống nêu trên, ở đó hàm

h(t) đượ c chọn là hàm mũ đối xứngt

e−α

tức là ứng vớ i lọc thông thấ p. QT này

đầu tiên đượ c đề cậ p trong việc nghiên cứu những thiết bị điện tử, ở đó các điện tử

có thể đậ p vào màn xử lý tại các thờ i điểm (chúng đượ c mô hình hoá như dòng

các hàm delta). Dòng điện tạo thành đượ c biểu diễn như một ghép nối của cáchàm, trông như Hình 5.9. Từ đó, QT có tên là nhiễu bắn.

iA

Thuật ngữ này cũng phù hợ p vớ i khái niệm nhiều bắn trong Vật lý: Là đầu

ra của hệ động lực đượ c tác động bở i dãy xung xảy ra tại các thờ i điểm ngẫu

nhiên .iA

e2. Quá trình Poisson có phân loại

* Giả sử ( ) N t , t 0≥ là QT Poisson vớ i cườ ng độ λ, liên k ết vớ i dãy thờ i

điểm đến . Tại thờ i điểm đến , đối tượ ng đến (ví dụ: khách hàng) đượ c

phân làm hai loại (có thể xét tr ườ ng hợ p k loại): Loại I vớ i xác suất p và loại II

vớ i xác suất q = 1 – p. Giả sử thêm r ằng, sự phân loại này là độc lậ p vớ i các thờ i

điểm đến.

iA

iA

Ký hiệu là số lượ ng đối tượ ng loại i đến trong khoảng thờ i gian (0;t]

(i = 1,2). Tất nhiên N(t) = N

i N (t)

1(t) + N2(t). Hãy nghiên cứu các quá trình Ni(t)!.

(Tr ả lờ i: N1(t) và N2(t) là hai QT Poisson độc lậ p vớ i các tham số tươ ng

ứng là λ p và λq, xem [3,Phần III], tr 129).

* Điều gì xảy ra nếu cườ ng độ đến không là hằng số, mà là hàm của thờ igian: λ = λ(t)? Bạn đọc quan tâm cũng có thể tìm hiểu ở [3,Phần III]; tr 129.

e3) Quá trình Poisson ng ắ t quãng

Xét hệ thống hoạt động như sau:

Hệ có hai tr ạng thái bật và tắt, có thể thay đổi cho nhau.

TắtBật

Khi hệ ở tr ạng thái bật, hệ sẽ vẫn còn ở tr ạng thái này một khoảng thờ i gian

nữa là BNN có phân bố mũ vớ i tham số σon, r ồi nó sẽ chuyển sang tr ạng thái tắt.

Khi biết r ằng hệ ở tr ạng thái tắt, hệ sẽ vẫn ở tr ạng thái này một khoảng thờ i gian

nữa, là BNN có phân bố mũ vớ i tham số off σ (ta sẽ thấy hệ như vậy đượ c điều

khiển bở i một xích Markov).

Trong khoảng thờ i gian hệ ở tr ạng thái bật, dòng đến là QT Poisson vớ i

tham số λ. Trong khoảng thờ i gian hệ ở tr ạng thái tắt, hoàn toàn không có dòng

đến.



Nghiên cứu số lần đến ( ) N t trong kho ảng thờ i gian (0;T] của hệ như vậy,

chúng ta có khái niệm QT Poisson ngắt quãng (xem [3, Phần III], trang 150).

e4) Quá trình Poisson hỗ n hợ p

Giả sử ( ) N t , t 0≥ là QT Poisson liên k ết vớ i dãy thờ i điểm đến iA .

Cũng có thể coi Ai là thờ i điểm xảy ra sự cố A lần thứ i. Giả sử sự cố xảy ra lần

thứ i sẽ gây ra hậu quả là Yi . (Thuật ngữ hậu quả cần hiểu một cách linh động,

thậm chí nó là thu nhậ p, lợ i nhuận…!).

Như vậy, hậu quả tổng cộng cho đến thờ i điểm t, ký hiệu là Y(t), xác định bở i:

( )( ) N t

k k 0

Y t Y , t 0=

= ≥∑

trong đó Y0 đượ c giả thiết là hằng hay BNN nào đó, độc lậ p vớ i các BNN Yi,

còn 1 2Y ,Y ,... để đơ n giản, coi là độc lậ p, cùng phân bố; iA và iY độc lậ p.Quá trình ( ) Y t như trên gọi là QT Poisson hỗn hợ p.

Mỗi QT Poisson là một QT Poisson hỗn hợ p. Điều ngượ c lại nói chung

không đúng.

Ví dụ, trong l ĩ nh vực viễn thông, N(t) có thể coi là số gói tin truyền đến máy

chủ, Yi thể hiện kích cỡ gói tin theo bít, thờ i gian chuyển qua… Khi đó Y(t) sẽ là

số bít tổng cộng truyền qua.

Nghiên cứu Y(t) vượ t quá (hay xuống quá) một ngưỡ ng nào nó là bài toán

đặc biệt quan tr ọng trong lý thuyết bảo hiểm, ứng dụng cực k ỳ hiệu quả cho các

ngành, công ty tài chính, bảo hiểm, ngân hàng, tích nướ c đậ p thuỷ điện (xem [8 ]).

Nghiên cứu chung về ( ) Y t có thể tìm thấy ở [8], [3], ở đó phải dùng công

cụ hàm đặc tr ưng và phép biến đổi Laplace.

f) Sinh các qu ỹ đạo quá trình Poisson

Dựa vào hai tính chất:

i) Dãy các thờ i đoạn trung gian nS là độc lậ p, cùng phân bố mũ vớ i tham

số λ,

ii) ( )n

ii 1

N t Sup n : S t ,=

⎧ ⎫= ≤⎨ ⎬

⎩ ⎭∑

chúng ta có thể sinh các quỹ đạo của QT Poisson vớ i cườ ng độ λ như sau.

Bướ c 1. Sinh k biến ngẫu nhiên iS ,i 1,..., k = độc lậ p, cùng phân bố mũ vớ i

tham số λ theo bất cứ phươ ng pháp nào đã biết (xem trang….), số lượ ng BNN k

theo đòi hỏi.



Bướ c 2. Đặt

( ) jk

i j 1 i 1

N t u t S ,= =

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑

trong đó u(x) là hàm bướ c nhảy đơ n vị.

Hình 5.10 chỉ ra một quỹ đạo điển hình vớ i 100 lần đến. Đây đượ c xem làhình ảnh thu nhỏ của QT đến. Lưu ý r ằng quỹ đạo gần như một đườ ng thẳng vớ i

hệ số góc λ.

Hình 5.10. M ột qu ỹ đạo của quá trình Poisson

5.5.2. Quá trình Wiener

a) Định nghĩ a. QTNN ( ) X t , t 0≥ đượ c gọi là QT Wiener nếu

1) ( )X 0 0= ;

2) ( ) ( )( )X t E X t 0=µ = ;3) X(t) có số gia độc lậ p thuần nhất;

4) Số gia X(t) – X(s) có phân bố chuẩn.

Nhận xét . Có thể chứng minh r ằng vớ i 4 đòi hỏi vừa nêu, QT Wiener sẽ có

một bản sao liên tục. Từ đó, chúng ta có thể đưa vào đòi hỏi thứ 5 về QT Wiener:

5) ( ) X t , t 0≥ là QT liên tục theo quỹ đạo, tức là hầu hết các quỹ đạo của

nó là những hàm liên tục.

QT Wiener còn có tên là QT chuyển động Brown bở i vì xuất phát điểm

nghiên cứu của QT này dùng để mô hình hoá chuyển động của hạt trong chất lỏng

hay khí thuần nhất. Sau đây là một số tính chất sơ bộ của QT Wiener.

b) Các tính chấ t

Định lý5.18. Đối vớ i QT Wiener X(t), t 0≥ ta có:

i) ( ) X t là quá trình Gauss;

ii) ( )( ) ( )( ) 2E X t 0; D X t t= = σ ;

iii) Vớ i , số gia X(t) – X(s) có phân bố chuẩn0 s t≤ < ( )( )2

N 0; t s .σ −



iv) Hai hàm ( )XR t,s và ( )XC t,s trùng nhau và cho bở i:

( )XR t,s = ( ) ( )2XC t,s min t,s , t,s 0=σ ≥ .

v) Hàm mật độ đồng thờ i xác định theo công thức

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 n 1 2 1 n nX t ...X t X t X t X t X t X t1 n 1 2 1 n n 1f x ,..., x f x f x x f x x −− − −

= − 1−

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 222 1 n n 11

21 2 1 n n 1

x x x xx1...

t t t t t2

n2

1 2 1 n n 1

e

2 t t t ... t t

−

−

⎡ ⎤− −⎢ ⎥− + + +

− −⎢ ⎥σ ⎣ ⎦

−

=

πσ − −

. (5.5.8)

Chứ ng minh.

i) Xét một tổ hợ p tuyến tính bất k ỳ vớ i( )n

i i

i 1

a X t

=

∑ 1 n0 t ... t , ai≤ < < là các

hằng số thực. Chúng ta viết lại tổng này như sau:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) (

n

i i 1 n 1i 1

2 n 2 n n n n 1

a X t a ... a X t X 0

a ... a X t X t ... a X t X t .

=

−

= + + ⎡ − ⎤ +⎣ ⎦

)+ + + ⎡ − ⎤ + + ⎡ − ⎤⎣ ⎦ ⎣

∑

⎦

Từ đòi hỏi (3) và (4) ở định ngh ĩ a, vế phải của đồng nhất thức vừa viết là tổ

hợ p tuyến tính của các BNN chuẩn, độc lậ p, suy ra đó là BNN chuẩn. Theo định

ngh ĩ a, ( ) X t là quá trình Gauss.

ii) Xét hàm số ( )g t D[X(t)].= Theo các đòi hỏi ở định ngh ĩ a chúng ta có:

.t,s 0∀ ≥

( ) ( ) ( ) ( ) ( )g t s D X t s X s X s X 0+ = ⎡ + − + −⎣ ⎦⎤

( ) ( ) ( ) ( )D X t s X s D X s X 0= ⎡ + − ⎤ + ⎡ − ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

D X t X 0 D X s X 0

g t g s .

= ⎡ − ⎤ + ⎡ − ⎤⎣ ⎦ ⎣= +

⎦

Như vậy g(t) thoả mãn phươ ng trình hàm Cauchy, suy ra tồn tại hằng số k

để g(t) = kt. Lại do ( ) ( )k g 1 D[X 1 ]= = ta nhận đượ c

( ) 2D[X t ] t=σ vớ i .

2D[X(1)]σ =

iii) Bây giờ vớ i 0 chúng ta cós t≤ <

( ) ( ) ( ) ( ) ( )D[X t ] D X t X s X s X 0= ⎡ − + − ⎤⎣ ⎦

[ ]D X(t) X(s) D[X(s)].= − +

Vậy ( ) ( ) ( ) ( )D X t X s D[X t ] D[X s ]⎡ − ⎤ = −⎣ ⎦ ( )2 t s= σ − . (*)



iv) Trong tr ườ ng hợ p 0 chúng ta bi ến đổi như saus t≤ <

( ) ( ) ( ) ( )( )D X t X s D[X(t)] D[X(s)] 2Cov X t ,X s .⎡ − ⎤ = + −⎣ ⎦

Từ đó, sử dụng (*) và (ii) chúng ta nhận đượ c

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

1Cov X t , X s D[X t ] D[X s ] D X t X s

2= + − ⎡ − ⎤

⎣ ⎦

( ) ( )2

2 2t s t s s min t,s

2

σ= + − − = σ = σ .

Tươ ng tự cho tr ườ ng hợ p 0 t s≤ < .

v) Suy từ chỗ 1 2 1 n nX(t ),X(t ) X(t ),...,X(t ) X(t )1−− − là các BNN độc lậ p,

. i i 1X(t ) X(t )−− :2

i i 1 N(0, (t t ))−σ −

Ngoài các tính chất vừa nêu, ngườ i ta còn chứng minh đượ c các tính chất sau đây

nói về quỹ đạo của QT Wiener (xem chứng minh trong [3, Phần III] trang 180).Hầu hết các quỹ đạo của QT Wiener không có biến phân giớ i nội trên đoạn

hữu hạn [a;b] bất k ỳ và do đó, hầu hết các quỹ đạo của nó đều không khả vi tại

một điểm bất k ỳ.

Tính chất này làm cho mỗi quỹ đạo của QT Wiener tr ở nên “khủng khiế p”,

“không vẽ nổi”, “không tưở ng tượ ng nổi”. Thế nhưng chúng ta vẫn phải hình

dung cho tốt về nó!

c) Sinh một phần qu ỹ đạo của quá trình Wiener

Vì mỗi quỹ đạo của một QT Wiener không có biến phân giớ i nội nên takhông có cách gì sinh ra một quỹ đạo đầy đủ bất k ỳ. Tuy nhiên chúng ta lại có thể

sinh đượ c giá tr ị của quỹ đạo tại một số điểm quan tâm cho tr ướ c.

Giả sử cần sinh giá tr ị của QT Wiener tại các điểm vớ i

. Ta có

0 1 nt , t ,..., t

0 1t 0 t ... t= < < < n

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )k k k 1 k 1 k 2 1 0

1 k

X t X t X t X t X t ... X t X t

S ... S ,

− − −= − + − + + −

= + +

trong đó ( ) ( ) ( )( )2i i i 1 i i 1S X t X t N 0; t t−= − σ − ,−: Si là dãy độc lậ p.

Từ đó chúng ta có thể sử dụng thuật toán sau đây.

1. Tạo dãy các thờ i điểm quan tâm nt , i 0,1,...,n ;= t0 = 0. Tính

.i i i 1 0t t ; 0−∆ = − ∆ =

2. Sinh các BNN chuẩn tắc iG ,i 1,..., n= .

3. Tính số gia i iS G= σ ∆ i .

4.

( )k 0 1 k X t S S ... S , k 0,1,...,n .= + + + =



Hình 5.11 đưa ra hình ảnh của 50 hàm mẫu của QT Wiener vớ i

.i1; 0,1σ= ∆ =

Hình 5.11. Các qu ỹ đạo của QT Wiener.

5.5.3.Giớ i thiệu về các QTNN loại khác

Các QTNN loại khác có nhiều ứng dụng trong k ỹ thuật là:*QTNN Markov (r ờ i r ạc, liên tục) (xem [3], [7], [9], [10], [13])

*QT Martingal (xem [3])

*QT sinh, tử.

*QTNN véc tơ (xem [11])

§5.6. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN PHỨ C

Tín hiệu phức là một công cụ r ất hiệu quả để nghiên cứu tín hiệu nói riêng và

k ỹ thuật điện tử nói chung. Cùng vớ i QTNN thực, ngườ i ta nghiên cứu QTNN phức:

Z(t) X(t) jY(t)= +

trong đó X(t) , Y(t) là những QTNN thực.

Hàm k ỳ vọng, hàm tự tươ ng quan và hàm tự hiệ p phươ ng sai đượ c định

ngh ĩ a hơ i khác vớ i tr ườ ng hợ p QT thực, đó là:

Z(t) E[X(t)] jE[Y(t)];µ = +

*ZR (t,s) E[Z(t) Z (s)];=

*ZC (t, s) E[(Z(t) E[Z(t)]) (Z(s) E[Z(s)]) ].= − −

Nhiều tính chất của hàm tự tươ ng quan, tự hiệ p phươ ng sai vớ i QT thực vẫn bảo toàn, song tính chất đối xứng đã thay đổi một chút, đó là:

*Z ZR (t,s) R (s, t);=

*Z ZC (t,s) C (s, t).=

Định ngh ĩ a hàm tươ ng quan chéo của hai QT phức cũng đượ c thay đổi cho

phù hợ p:

*ZWR (t,s) E[Z(t)W (s)]=

( )( )*

ZW Z WC (t,s) E[ Z(t) (t) W(s) (s) ]= − µ − µ .

Tính chất đối xứng bây giờ tr ở thành



. ZW WZR (t,s) R (s, t)

∗=Khái niệm về tính dừng cũng như dừng đồng thờ i vẫn không thay đổi:

QTNN phức Z(t) là dừng nếu hàm k ỳ vọng Z (t )µ là hằng số và hàm tự

tươ ng quan chỉ phụ thuộc hiệu thờ i gian:ZR (t,s)

Z ZR (t ,s) R ( ).+ τ = τ Hai QTNN phức Z(t), W(t) đượ c gọi là dừng đồng thờ i nếu mỗi quá

trình Z(t), W(t) là dừng; hơ n nữa, hàm tươ ng quan chéo của chúng chỉ phụ

thuộc vào hiệu thờ i gian:

ZW ZWR (t , t) R ( ).+ τ = τ

Ví d ụ 5.18. T ổ ng hợ p dao động đ iề u hoà phứ c cùng t ần số .Xét QTNN V(t) cho bở i

N j( t U )o n

nn 1

V(t) A eω +

== ∑

trong đó n mA , U ,n,m i,..., N= là các BNN độc lậ p, phân b ố đều trên [mU ]0;2 .π Để ý đến tính độc lậ p, ta có:

2 N j( t u)o

nn 1 0

1E[V(t)] E[A ] e du 0

2

πω +

== =

π∑ ∫ ;

N N j( (t ) U ) j( t U )o n o m

V n mn 1 m 1

R (t , t) E A e A eω +τ + − ω +

= =

⎡ ⎤+ τ = ⎢ ⎥

⎣ ⎦∑ ∑

= N

j j(U U )o n mn m

n,m 1

E[A A ]e E[e ].ω τ −

=∑

Vớ i m n thì≠2 2

j(U U )n m2

0 0

1E[e ] (cos(u-v)+jsin(u-v))dudv = 0.

(2 )

π π− =

π ∫ ∫

Vậy N

j 2oV n

n 1

R (t , t) e E[A ].ω τ

=+ τ = ∑

Từ đó, là QT dừng, quy tâm vớ i . V(t) N

j 2oV n

n 1

R ( ) e E[A ]ω τ

=τ = ∑



Theoretical Questions for Chapter V

5.1. Basic definitions about random sequences and processes, rough

classifications, sample functions (orbits or realizations) of the processes.

5.2. Family of finite-dimensional joint cdf’s (cumulative distribution

functions) of a RP (random process), two properties of this family.

5.3.The second order process: definition, mean, autocorrelation function

and auto-covariance function of a RP and cross-correlation function of 2 RP’s.

5.4. Process with independent increments: definition, examples, process

with noncorrelation increments.

5.5. Strict-sense stationary (SSS) process: definition, some properties of

SSS processes.

5.6. Wide-sense stationary (WSS) process: definition, properties of the

autocorrelation function of a WSS process, necessary and sufficient conditions

for a given real function to be the autocorrelation function of a WSS process.

5.7. Two jointly stationary processes: def., properties of their cross-

correlation function.

5.8. Gaussian process: def., the n-dimensional joint probability density

functions. Characteristics of stationary gaussian processes.

5.9. Mean ergodic: def., condition for a WSS process to be mean ergodic.

Measurement of cross-correlation functions and autocorrelation ones.

5.10. Continuity in probability and in mean square, condition in terms of

the autocorrelation function for a RP to be continuous in mean square.

5.11. MS-derivative (derivative in mean square sense): def., condition in

terms of the autocorrelation function for a RP to have the MS-derivative at a point .ot

5.12. MS-integral (integral in mean square sense): def., condition in terms

of for a RP to have the MS-integral over the inteval [a, .XR (t,s) b]

5.13. Poisson process: def., meaning of the parameter λ .

5.14. Poisson process: n-dimensianal jpmf’s (joint probability mass

functions) and autocorrelation function.

5.15. Poisson process: computing the rate of arrivals and generating

realizations of a Poisson process.

5.16. Wiener process: def., some fundamental properties.

5.17. Wiener process: def., generating a part of the sample function of the

process.

5.18. Complex random process: def., mean function, autocorrelation

function, autocovariance function, some their properties, case of stationary

processes with complex values.

79



Câu hỏi ôn tập chươ ng V

5.1. Những định ngh ĩ a cơ bản về dãy và quá trình ngẫu nhiên, sơ bộ phân

loại của chúng; qu ĩ đạo (hay thể hiện) của QTNN, sự phân loại theo quỹ đạo.

5.2. Họ phân bố hữu hạn chiều của QTNN, hai tính chất của họ hàm này.

5.3. QT cấ p hai: định ngh ĩ a, hàm k ỳ vọng, hàm tự tươ ng quan, hàm tự hiệ p

phươ ng sai, hàm tươ ng quan chéo của 2 QT.

5.4. QT số gia độc lậ p: định ngh ĩ a, ví dụ, QT số gia không tươ ng quan.

5.5. QT dừng theo ngh ĩ a hẹ p: định ngh ĩ a, một vài điều kiện cần của QT

dừng theo ngh ĩ a hẹ p.

5.6. QT dừng theo ngh ĩ a r ộng: định ngh ĩ a, tính chất của hàm tươ ng quan

của QT dừng; điều kiện cần và đủ và điều kiện đủ để hàm thực cho tr ướ c là hàm

tươ ng quan của QT dừng

5.7. Dừng đồng thờ i: định ngh ĩ a 2 QT dừng đồng thờ i; tính chất hàm tươ ng

quan chéo của chúng.

5.8. Quá trình Gauss: định ngh ĩ a; hàm mật độ đồng thờ i; tính đặc thù của

QT Gauss dừng.

5.9. Ergodic k ỳ vọng: định ngh ĩ a, điều kiện để một quá trình dừng là

ergodic k ỳ vọng. Đo hàm tươ ng quan chéo và tự tươ ng quan.

5.10. Liên tục theo xác suất, liên tục theo bình phươ ng trung bình; điều

kiện thông qua hàm tự tươ ng quan để xảy ra liên tục theo trung bình.

5.11. Khả vi theo bình phươ ng trung bình: định ngh ĩ a, điều kiện thông qua

hàm tự tươ ng quan để QT khả vi theo bình phươ ng trung bình.XR (t,s)

5.12 Tích phân theo bình phươ ng trung bình: định ngh ĩ a, điều kiện thông

qua hàm để QT khả tích theo bình phươ ng trung bình.XR (t,s)

5.13 QT Poisson: định ngh ĩ a, ý ngh ĩ a của tham số λ .

5.14 QT Poisson: xác suất đồng thờ i n chiều và hàm tự tươ ng quan.

5.15 QT Poisson: vấn đề xác định cườ ng độ dãy đến và sinh các qũi đạo.

5.16 QT Wiener: định ngh ĩ a, các tính chất sơ bộ.

5.17. QT Wiener: định ngh ĩ a, sinh một phần quỹ đạo của QT.5.18. QTNN phức: định ngh ĩ a, hàm k ỳ vọng, hàm tự tươ ng quan, hàm tự

hiệ p phươ ng sai, vài tính chất, tr ườ ng hợ p QT phức, dừng.

80



Problems for Chapter V

5.1. A process X has 5 following realizations with the same probabilities:

1

2

x (t) 2cos(t)

x (t) 2sin(t)

= −

= −

4

5

x (t) cos(t) sin(t)

x (t) sin(t) cos(t)

= −

= −

3x (t) 2[cos(t) sin(t)]= + .

a) Describe the ensembe, sketch and find the mean function

X (t) E[X(t)]µ = .

b) Calculate one-dimensional comulative distribution function XF (x;1).

Hint: X (t) 0µ = ; the comulative distribution function of X(1) defines from

the following table of probabilities

X(1) -1.6829 -1.0806 -0.3012 0.3012 2.7635

P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2

5.2. Consider the RP defined by X(t) = Ycos(X(t) t), t 0ω ≥ , where ω

is a constant and Y is uniformly distributed in (0; 1 ).

a) Sketch some realizations. Find the (one-dimensional) probability density

function of the process at and att 0= t / 4.= π

b) Find the mean function E[X(t)] and the autocorrelation function

XR (t,s).

Ans. b) ;1 x [0;1]

0 x [0;1]

∈⎧⎨

∉⎩

2 x 0; 1/ 2

0 x 0; 1/ 2

⎧ ⎡ ⎤∈⎪ ⎣ ⎦⎨

⎡ ⎤∉⎪ ⎣ ⎦⎩

;

5.3. Suppose that is a sequence of IID (independent identically

distributed) random variables with1 2Z , Z ,...

nPZ 1 p,= = nPZ 1 q 1 p,= − = = − . Put

oX 0;=n

n ii 1

X Z , n 1,2,...=

= =∑

+

The random process is called a (simple) random walk.nX ,n 0≥a) Describle the random walk (which class of random processes does it

belong to? The state space, the set of parameters).

b) Plot a realization of .nX

c) Put Plot a realization of the RP .nX(t) X , n t n 1.= ≤ < X(t)

Sol. a) This is a discret-time random process (a random sequence). The

state space is E ..., 2, 1,0,1,2,...= = − −¢ , it is also the rang of the process and

the index parameter set is T 0,1, 2,...= .

81



X p q 1/ 2 : R (n,m) min(n,m) n,m 0.= = = >

5.6. Let X(n) be a random sequence, where are independent

random variables with identically distributed function mean and

variance .

1 2X ,X ,...

XF (x), µ

2σ

a) Find the finite-dimensional cdf.

b) Find the mean function and the autocorrelation function .XR (n,m)

c) Find the autocovariance function and the variance oneXC (n,m)2X (n).σ

d) Prove that it is a stationary sequence.

Ans. 1 m 1 mF(x ,..., x ;n ,...,n ) = X 1 X mF (x )...F (x );

22

22 2

0 n mn m; ;

n mn m

⎧ ≠⎧µ ≠⎪ ⎪µ σ⎨ ⎨

σ =⎪µ + σ =⎪ ⎩⎩; .

5.7. Prove that if a second order process is SSS, it is also WSS.

5.8. Prove that a WSS process X(t) is MS-cotinuous if and only if its

autocorrelation function is continuous at 0τ = .

5.9. Consider two RPs X(t) sin( t )= ω + Θ and Y(t) cos( t )= ω + Θ , where

is a constant and . Are two processes X and Y jointly wide-sense

stationary? Find covariance functions of every process X and Y and their cross-

correlation coefficient.

ω U[0;1]Θ :

Ans. XY

R ( ) (1/ 2)sin( )τ = ωτ .

5.10. Consider a random process X(t) defined by

,X(t) Ucos( t)+Vsin( t), < t <+= ω ω −∞ ∞

where ω is a constant, U and V are two random variables.

a) Prove that the condition

E[U] E[V] 0= =

is nesessary for to be a stationary process.X(t)

b) With that condition, prove that the process

X(t) is stationary if and

only if U and V are uncorrelated random variables and have the same variance; in

other words, .2 2E[UV] 0 and E[U ] E[V ]= = 2= σ

5.11. Suppose that is a gaussian stationary process with zero mean

and the autocorrelation function

X(t)

[ ]

[ ]X

1 TR ( ) T

0 T

⎧ τ− τ∈ −⎪

τ = ⎨⎪ τ ∉ −⎩

;T

;T .

83



Suppose that iX(t ), i 1,2,...,n= is the sample sequence of the process

at equidistant timesX(t) i

Tt i

2= , i = 1, 2, ...,n.

Find the mean and the variance of the sample meann

n i

i 1

1ˆ X(t )

n =

µ = ∑ .

Ans. n n 2

2n 1ˆ ˆE( ) 0; D( ) .

n

−µ = µ =

5.12. A random process X(t) has two sample functions

and . The sample functions are chosen by tossing a coin: if a head

appears (with probability p) then is chosen, if a tail appears (with

probability ) then is chosen.

1x (t) sin( t / 2)= π

2x (t) 2=

1x (t)

q 1 p= − 2x (t)

a) Sketch the sample functions, find distribution functions XF (x;1) and

XF (x, y;1,2).

b) Find the ensemble average and the time average . How

do they depend on time and outcomes of the experiment? How is ergodicity of

the process?

E[X(t)] A[X(t)]

Hint a) Put ,X(1) U, X(2) V= = Xg(x, y) F (x, y;1,2) PU x; V y= = < < .

The range of U is , of V is .1;2 0;2

U 1 V 0= = = =a head appears with probability p,

U 2 V 2= = = = a tail appears with probability q.

84

Then the function is as

in the following figureXF (x;1)

XF (x;1)

1

O 1 2 x

* or x 1≤ y 0≤ : g(x, y) 0=

*1 x 2;0 y 2 : g(x, y) PU 1; V 0 p< ≤ < ≤ = = = =

* 2 x;0 y 2 : g(x, y) PV 0 p< < ≤ = = =

*1 x 2; 2 y : g(x, y) PU 1 p< ≤ < = = =

* .2 x; 2 y : g(x, y) 1< < =

X

0 x 1 or y 0

F (x, y;1,2) p 1 x 2 or 0 y 2

1 2 x, 2 y

≤ ≤⎧⎪

⇒ = < ≤ <⎨

⎪ < <⎩

≤



b)t

E[X(t)] psin 2q2

π= + , depends on t, not on outcomes of the experiment.

0 if a tail appearsA[X(t)]

2 if a head appears

⎧= ⎨

⎩

does’nt depend on t but on outcomes of the experiment. The process is notergodic.

5.13. Prove that if is a gaussian process and its MS-derivative X(t) X (t)′

exists, then the derivative process X (t)′ is also a gaussian process.

5.14. Find the autocorrelation function and the autovariance

function of a Poisson process with parameter

XR (t,s)

XC (t,s) λ .

Ans: E[X(t)] t D[X(t)]= λ = ;

2

X XC (t,s) min(t,s); R (t,s) min(t,s) ts.= λ = λ + λ 5.15. Denote be the nth arrival instant (time of nth arrival) of a Poisson

process with parameter . Prove that is gamma (Erlang in this case) random

variable with parameters

nA

λ nA

(n, ).λ

5.16. Sketch a realization of shot noise being an output of a RL circuit with

an impulse response and a Poisson process with parameter (rate)

as an input.

th(t) e u(t)

−α=

1λ =

Hint. Generate some values of the sequence ; evalute and then put

.

nS nA

ni 1

Y(t) h(t A )∞

== −∑

The function has a sawtooth waveform.

5.17. Patients visit a doctor’s office according to a Poisson process with

rate (minute). The doctor only starts working when there are 3 patients

in the waiting room.

1/10λ =

a) Find the average waiting time from the moment at that the office’s door

is opened until the first patient is admitted.

b) Evaluate the probability so that there is no patient admitted in the first

hour.

Hint. Put - the arriving instant of the nnAth

patient.

n 1 n iA S ... S , S E(1/10).= + + :

a) (minutes);3E(A ) 3.10 30= =

b) 6P P N(60) N(0) 2 e (1 6 18) 0,062−= − ≤ = + + ≈

5.18. Suppose that N(t) is a Poisson process with a rate λ . Find

with .2E[X(t) X(s)] − t s>

85



Ans. 2 2

(t s) (t s) .λ − + λ −5.19. Prove that a Wiener process X(t) is a gaussian one.

Hint: Set up an arbitrary linear combination.

5.20. Prove that a Wiener process X(t) is a MS-continuous one.

5.21. Prove that a Wiener process X(t) does’nt have MS-derivatives at

any point (but has a generalized one, that is a white noise, see Problem 5.23).ot

5.22. Let X(t) be a Wiener process with a parameter . Put

Find the mean function, the autocorrelation function and the

autocovariance function of Y(t).

2σt

0

Y(t) X( )d .= α α∫

Hint. t

s

Y(t) Y(s) [X( ) - X(s)]d + (t - s)X(s) (0 s t)= + α α ≤ <

∫ .

2 32 2 2Y Y

t 1[Y(t)] 0; (t) ; R (t,s) s (3t s), (t s 0)

3 6

σ= σ = = σ − > ≥ Ans. E

min(t,s)s2 2 2

Y0 0

C (t,s) u(t )d 1d min(t,s)= σ − β β = σ β = σ∫ ∫ .

5.23. Let X(t) be gaussian white noise. Putt

0

Y(t) X( )d .= α α∫

a) Find the autocorrelation function of Y(t).

b) Prove that Y(t) is a Wiener process.

(So we can regard gaussian white noise as a generalized derivative of a

Wiener process).

Sol. According to (5.4.7), exist the integral with every positive t. (We can

also prove the exist of the integral through a limit of integral sums). Using

(5.4.10) we gett s s t

2Y X

0 0 0 0

R (t,s) R ( , )d d [ ( )d ]d= α β α β = σ δ β − α α β∫ ∫ ∫ ∫

min(t,s)s

2 2 2

0 0

u(t )d 1d min(t,s)= σ − β β = σ β = σ∫ ∫ .

b) Y(0) = 0; Y(t) is gaussian process and has zero mean because X(t) is

gaussian and zero mean one; Y(t) has independent increments because white

noise X(t) has independent increments. We see that the autocorrelation of

Y(t) is equal to the autocorrelation function of the Wiener, and it is trivial to

show that it is a process with stationary independent increments. Thus Y(t) is a

Wiener process.

86



Chươ ng 6XỬ LÝ CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

§6.1. MẬT ĐỘ PHỔ CÔNG SUẤT

6.1.1. Vấn đề nghiên cứ u quá trình ngẫu nhiên trong miền tần số () Trong tr ườ ng hợ p tất định, biến đổi Fourier của tín hiệu cho ta biết tần số

có mặt trong tín hiệu. Ví dụ, vớ i các tín hiệu

( ) ( )1 0s t cos tω = ,

( ) ( )2

1s t rect t

0

⎧= = ⎨

⎩

các biến đổi Fourier tươ ng ứng là:

( ) ( ) ( )1 0 0S ⎡ ⎤ω = π δ ω − ω + δ ω − ω⎣ ⎦ ,

( )( )

2

sin / 2

S Sa / 22

1

ω⎧ω ⎪⎛ ⎞ω = = ω⎨⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎪⎩

Các hàm ( )1S ,ω ( )2S ω chẵn, đồ thị của chúng ứng vớ i thể hiện ở

Hình 6.1.

0ω >

Hình 6.1. T ần số của hai tín hiệu

Vớ i tr ườ ng hợ p thứ nhất, tín hiệu có một tần số 0ω , vớ i tr ườ ng hợ p thứ hai,

tín hiệu có vô hạn tần số.

Bên cạnh việc nghiên cứu tín hiệu trong miền thờ i gian (theo biến t), việc

nghiên cứu tín hiệu trong miền tần số - tức là nghiên cứu phổ của tín hiệu - là

mảng nghiên cứu hết sức hiệu quả để xử lý tín hiệu tất định. Về vấn đề phổ (biến

đổi Fuorier của tín hiệu tất định), chúng ta có thể tham khảo ở [5], [9], [7]. Khi

tín hiệu là ngẫu nhiên, từ chỗ mỗi quỹ đạo ( )X t, ( Sζ ζ∈ cố định) của một

QTNN là một tín hiệu tất định, một nghiên cứu hứa hẹn là biểu diễn các quỹ đạo

này trên miền tần số. Như vậy, một cách tự nhiên, chúng ta xét biến đổi Fourier

của quỹ đạo X(t, )ζ

S1(ω) 2S ( )ω

ω

1π

0 ω0 ω

vớ i t 1/ 2 ,≤

t 1/ 2>

0ω ≠vớ i

vớ i 0,ω =



( ) ( ) j tX , X t, e dt

∞− ω

−∞

ω ζ = ζ∫ . (6.1.1)

Hàm phổ tính theo (6.1.1) xác định vớ i từng quỹ đạo của quá trình, nó đượ cgọi là phổ biên độ. Thườ ng thì X(t) là điện áp của một đoạn mạch nào đó vớ i

kháng 1 Ω nên nó cũng đượ c gọi là phổ điện áp.Tuy nhiên, hai nguyên nhân sau là những cản tr ở nặng nề mà hầu như

chúng ta không thể vượ t qua:

Thứ nhất, đối vớ i hầu hết các QTNN, vớ i xác suất dươ ng hoặc thậm chí

bằng 1, điều kiện hội tụ tuyệt đối của tích phân

( )X t, dt∞

−∞

ζ∫

không thoả mãn. Từ đó, về mặt lý thuyết, dườ ng như tích phân (6.1.1) không bao

giờ tồn tại.Thứ hai, về mặt thực tiễn, gần như không bao giờ chúng ta biết hết các quỹ

đạo của QTNN đã cho, thậm chí là một quỹ đạo của QT Poisson hay QT Wiener.

Hơ n nữa, dù quỹ đạo có thể biết đượ c, nhiều khó khăn khác cũng không khắc

phục nổi.

Một trong những hướ ng xử lý vấn đề là nghiên cứu tích phân (6.1.1) như là

giớ i hạn theo bình phươ ng trung bình giá tr ị chính của tích phân, đó là

, trong đó tích phân trên đoạn [-T;T] hiểu theo ngh ĩ a bình

phươ ng trung bình.

( )T

j t

T T

lim X t e dt− ω

→∞ −

∫

Biểu diễn phổ như thế của một QTNN cũng có nhiều k ết quả quan tr ọng

(xem [3] phần II, [6],[8]). Tuy nhiên ở cuốn sách này chúng ta chưa có điều kiện

đề cậ p tớ i.Từ bỏ ý định sử dụng phép biến đổi Fourier (6.1.1), bằng cách nghiên cứu

năng lượ ng của QTNN, ngườ i ta đi đến khái niệm hàm mật độ phổ công suất.

Sau đây chúng ta dẫn ra một cách tiệm cận khái niệm này. Để đơ n giản, tr ướ c hết

hãy xét vấn đề trên cho quá trình dừng.Đối vớ i một quỹ đạo bất k ỳ ( ) X t, , tζ ∈ ¡ , xét quỹ đạo chặt cụt

( )( ) [ ]

[ ]T

X t, khi t T;T ,X t,

0 t T

⎧ ζ ∈ −⎪ζ = ⎨

∈ −⎪⎩ ;T .

Nói chung, chúng ta có thể giả thiết ( )T

i

T

X t, dt−

ζ < ∞∫ , i = 1,2 (ví dụ, vớ i

QT có quỹ đạo liên tục hay bướ c nhảy).



Vớ i Sζ∈ , năng lượ ng của quỹ đạo tất định ( ) X t, ζ trên đoạn thờ i gian

là[ ]T;T− ( )T

2

T

X t, dt−

ζ∫ . Từ đó, công suất trung bình của tín hiệu ( ) X t, ζ trên

đoạn này là ( ) ( )

T2 2

T TT

1 1

P X t, dt X t,2T 2T dt

∞

− −∞= ζ = ζ∫ ∫ .

Mặt khác, do ( )TX t, dt+∞

−∞

ζ <∞∫ nên có thể xác định đượ c biến đổi Fourier

của ( ) TX t,ζ :

ℱ T[X (t, )]=ζ ( ) ( )T

j t j tT

T

X t, e dt X t, e dt∞

− ω − ω

−∞ −

ζ = ζ∫ ∫ .

Sử dụng định lý Parseval chúng ta nhận đượ c

( )

( ) ( )

2

T T

T T j t j s

T T

1P X t, dt

2T

1 1X t, e dt X s, e ds d .

2 2T

∞

−∞

∞− ω ω

−∞ − −

= ζ

⎡ ⎤ ⎡=

⎤ζ ζ ω⎢ ⎥ ⎢

π ⎣ ⎦ ⎣

∫

∫ ∫ ∫ ⎥⎦

Như vậy có thể coi

( ) ( ) ( )T T

j t j sT

T T

1X , X t, e dt X s, e ds

2T

− ω ω

− −

⎡ ⎤ ⎡ω ζ = ζ ζ⎢ ⎥ ⎢

⎣ ⎦ ⎣∫ ∫

⎤⎥⎦

(6.1.2)

là công suất trung bình của tín hiệu ( ) X t,ζ trên đoạn [ ]T;T− trong dải tần

; nói cách khác, đó là hàm mật độ phổ vì khi lấy tích phân trên[ ; dω ω + ω] ¡ r ồi

nhân vớ i 1/ chúng ta nhận đượ c P(2 )π T.

( )TX ,ω ζ là BNN vì phụ thuộc vào ζ ∈Ω . Khi , nói chung BNNT →∞

( )TX ω không dần đến giớ i hạn xác định. Tuy nhiên chứng minh đượ c, đối vớ i

mọi tần số ω, phươ ng sai của các BNN này bị chặn (xem, ví dụ, Левин Б.Р., Cơ

sở lý thuyết vô tuyến thống kê, M.Coв. Paдиo, 1975, mục 3.5.5). Từ đó, ngườ i talấy giớ i hạn (nếu có) của mô men bậc một của mật độ (6.1.2)

( ) ( )( )TXT

S lim E X→∞

ω = ω (6.1.3)

làm hàm mật độ phổ công suất (trung bình) của QT ( ) X t .

Lấy kì vọng hai vế (6.1.2), bằng tính toán giống như ở Định lý 5.8 ta đi đến

( ) ( )2T

jT X

2T

E X , 1 R e d .2T

− ωτ

−

⎛ ⎞τ⎡ ⎤ω ζ = − τ⎜ ⎟⎣ ⎦

⎝ ⎠∫ τ



df .( ) ( ) j2 f X XR f e

∞π τ

−∞

τ = ∫ S (6.1.5')

Mối quan hệ giữa tần số góc và tần số vòng là:

2 f ω = π .

Từ đó, mối quan hệ giữa "hai dạng mật độ" là:

( )

( ) ( )

X X

X X

S ,2

f S 2 f

⎧

.

ω⎛ ⎞ω =⎪ ⎜ ⎟π⎝ ⎠⎨⎪ = π⎩

S

S

(6.1.6)

Nếu không sợ hiểu nhầm, ngườ i ta có thể viết ( )XS f thay cho X .2

ω⎛ ⎞⎜ ⎟π⎝ ⎠

S

Vớ i quy ướ c đó thì:

( ) ( )X XS Sω = f .

Tính chất của phổ công suất thể hiện ở định lý sau.

Định lý 6.1. Phổ công suất ( )XS ω của QTNN thực, dừng ( ) X t , t∈ ¡ có

các tính chất sau đây:

i) ( )XS ω là hàm thực, không âm, chẵn của tần số ω∈¡ và có thể tính theo

công thức

( ) ( ) ( ) ( ) ( )X X X

0

S R cos d 2 R cos d∞ ∞

−∞

.ω = τ ωτ τ = τ ωτ∫ ∫ τ (6.1.7)

ii) ( )XS ω xác định duy nhất hàm tự tươ ng quan ( )XR τ :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )X X X

0

1 1R S cos d S cos

2

∞ ∞

−∞

d .τ = ω ωτ ω = ω ωτπ π∫ ∫ ω (6.1.8)

iii) Công suất của QT ( ) X t là hằng số, xác định theo:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )2 2X X

1P t E X t E X 0 S d

2

∞

−∞

= = = ωπ ∫ ω . (6.1.9)

Chứ ng minh. (i) Vì ( )XR τ là thực và chẵn suy ra:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

X X

X X

0

S R ( ) cos jsin d

R cos d 2 R cos d .

∞

−∞

∞ ∞

−∞

ω = τ ⎡ ωτ − ωτ ⎤ τ⎣ ⎦

= τ ωτ τ = τ ωτ

∫

∫ ∫ τ

Từ (6.1.2) và từ chỗ k ỳ vọng của BNN không âm là không âm, ta suy ra

( )XS ω ≥0. Tính chất thực và chẵn của ( )XS ω đượ c suy từ (6.1.7).



(ii) Khẳng định suy ra từ tính chẵn của ( )XS ω và tính chất của phép biến

đổi Fourier: ( )XR τ là biến đổi Fourier ngượ c của ( )XS ω

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

jX X

X X

0

1R S e d

2

1 1S cos d S cos

2

∞ωτ

−∞

∞ ∞

−∞

τ = ω τπ

= ω ωτ τ = ω ωτπ π

∫

∫ ∫ d .τ

(iii) Thay τ = 0 vào (6.1.8) ta nhận đượ c (6.1.9).

Ví d ụ 6.1. Sóng sin ng ẫ u nhiên. Xét QTNN

( ) ( )0X t Asin t U , t= ω + ∈¡

vớ i A, ω0 - hằng số, U có phân bố đều trên [0; 2π].

là dừng vớ i ( ) ( )

2

X o

A

R cos2τ = ω τ .Từ Ví dụ 5.10 , ta thấy ( ) X t

Từ bảng B-2 các phép biến đổi Fourier ở Phụ lục, ta có

( ) ( ) (2

X 0

AS

2

π)0⎡ ⎤ω = δ ω − ω + δ ω + ω⎣ ⎦ .

Hình 6.2 mô tả mật độ này. Các tính chất (i), (ii) dễ dàng đượ c kiểm

nghiệm. Công suất của tín hiệu tính bở i:

( )2 2 2

X X

1 A AP S d

2 4

+∞

−∞

= ω ω = + =π ∫

A.

4 2

XS ( )ω

ω0−ω 0ω

2A

2

π

Hình 6.2. Phổ công suấ t của sóng sin ng ẫ u nhiên

Ví d ụ 6.2. Tín hiệu đ iện báo ng ẫ u nhiên. Đó là QTNN

Z(t) = AY(t)

trong đó ( ) Y t là QT điện báo nửa ngẫu nhiên xét đến ở Ví dụ 5.18, còn A là

BNN nhận giá tr ị ± 1 vớ i xác suất 1/2 và độc lậ p vớ i Y(t).

Chúng ta sẽ chứng tỏ ( ) Z t là QT dừng và tìm phổ công suất của nó.

Tr ướ c hết ta có:

( ) ( )E Z t E[A]E T t 0.⎡ ⎤ = ⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦



Bở i vì 2E[A] 0 ; E[A ] 1= = , sử dụng k ết quả ở Ví dụ 5.18 suy ra:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2Z

2 2

R t , t E A Y t Y t

E[A ]E Y t Y t e , t, 0.− λτ

⎡ ⎤+ τ = + τ⎣ ⎦

= ⎡ + τ ⎤ = τ⎣ ⎦ ≥

Vậy ( ) Z t là QT dừng. Tính tr ực tiế p hoặc sử dụng bảng B-2 các phép biến đổi Fourier ở Phụ lục B ta đượ c

( ) 2 jZ 2 2

4S e e d

4

∞− λ τ − ωτ

−∞

λω = τ =

λ + ω∫ .

Giả sử cho tr ướ c hàm số ( )S ,ω ω∈¡ . Vớ i điều kiện nào ( )S ω là phổ công

suất của một QT dừng ( ) X t nào đó? Định lý sau cho ta câu tr ả lờ i vớ i tr ườ ng

hợ p thờ i gian liên tục.

Định lý 6.2. Hàm ( )S ,ω ω∈¡ là phổ công suất của một QT dừng, nhận giá

tr ị thực vớ i công suất hữu hạn nào đó khi và chỉ khi ( )S ω là hàm chẵn, thực,

không âm, khả tích trên ¡ .

Chứ ng minh. Điều kiện cần suy từ tính chất phổ công suất (Định lý 6.1). Để

chứng minh điều kiện đủ, xét QTNN ( ) X t là dao động ngẫu nhiên

( ) ( )X t a cos Vt+U=

trong đó a là hằng số chọn sau; U là V là hai BNN độc lậ p; U có phân bố đều trên

[0;2π]; V có hàm mật độ f V(x) chọn sau.Tr ướ c hết thấy ( ) X t là QT dừng. Thực vậy, từ chỗ U và V độc lậ p ta có:

( ) ( )

( ) ( )

E X t a E cos Vt+U

aE[cos Vt ]E[cos (U)] E[sin Vt ]E[sin(U)] 0.

2

⎡ ⎤ = ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= ⎡ −⎣ ⎦⎤ =

Tươ ng tự tính toán ta thấy ( )( )E cos V 2t+ 2U 0.⎡ ⎤τ + =⎣ ⎦ Từ đó:

( ) ( ) ( )( ) ( )2E X t+ X t a E cos V t+ +U cos Vt+U⎡ ⎤⎡ τ ⎤ = τ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( )( ) 2a

E[cos V ] E[cos V 2t+ 2U ]2

= τ + τ + ( )2a

E[cos V ].2

= τ

là hàm chỉ phụ thuộc vào τ. Vậy QT ( ) X t dừng vớ i

( ) ( ) ( ) ( )2 2

X V

a aR E[cos V ] f cos d .

2 2

∞

−∞

τ = τ = ω ωτ ω∫

Theo (6.1.8), chúng ta chọn mật độ f V(x) sao cho

( ) ( ) ( )

( )2

V V 2

2Sa

f S hay f 2 a

ω

ω = ω ω = .



1Vì ta chỉ cần chọn( )Vf d∞

−∞

ω ω =∫ ( )a 2 S d∞

−∞

.= ω ω∫ Cuối cùng

( )( )

( )

V

S xf x

S x dx∞

−∞

=

∫

là dạng chuẩn hoá của phổ công suất S(ω) (để tr ở thành mật độ xác suất).

Lư u ý: Nếu bỏ tính chẵn của S( )ω , ta đượ c phổ công suất của QT dừng, nói

chung nhận giá tr ị phức (xem Định lý 6. 2′ ).

6.1.3. Mật độ phổ công suất chéoGiống như trên, ta dùng định ngh ĩ a sau đây về mật độ phổ công suất chéo.

Định nghĩ a. Ta gọi biến đổi Fourier của hàm tự tươ ng quan chéo của hai

quá trình dừng đồng thờ i là mật độ phổ công suất chéo (gọi tắt: phổ công suất chéo) của chúng:

X(t),Y(t)

( ) ( ) jXY XYS R e d

∞− ωτ

−∞

ω = τ∫ τ

d .

,

( ) ( ) jYX YXS R e

+∞− ωτ

−∞

ω = τ∫ τ (6.1.10)

Như vậy, phổ công suất chéo là biến đổi Fourier của hàm tươ ng quan chéo.

Từ tính chất của phép biến đổi Fourier ta đượ c:

( ) ( ) jXY XY

1R S e

2d ,

∞ωτ

−∞

τ = ωπ ∫ ω

( ) ( ) jYX YX

1R S

2e d

∞ωτ

−∞

τ = ωπ ∫ ω . (6.1.11)

Nói chung, phổ công suất chéo là hàm nhận giá tr ị phức, k ể cả khi QT xuất

phát nhận giá tr ị thực. Ngoài ra, phổ công suất chéo còn có các

tính chất khác thể hiện ở định lý sau đây:

X(t),Y(t)

Định lý 6.3. Đối vớ i hai quá trình thực, dừng đồng thờ i thì:X(t),Y(t)

i) ( ) ( ) ( )*XY YX YXS S Sω = −ω = ω . (6.1.12)

ii) ( )XYRe S⎡ ω⎣ ⎦⎤ và ( )YXRe S⎡ ω⎣ ⎤⎦ là những hàm chẵn của ω.

iii) ( )XYIm S⎡ ω⎣ ⎦⎤ và ( )YXIm S⎡ ω ⎤⎣ ⎦ là những hàm lẻ của ω.

iv) Nếu X(t) và Y(t) là hai QT tr ực giao thì:

( ) ( )XY YXS S 0ω = ω = .

v) Nếu là hai quá trình không tươ ng quan thìX(t),Y(t)

( ) ( ) ( )XY YX X YS S 2ω = ω = πµ µ δ ω . (6.1.13)



Như đã thấy (xem Ví dụ 5.10), mỗi QT ( ) X t và ( ) Y t là dừng. Chúng

ta tính hàm tươ ng quan chéo

( ) ( )( ) ( )XY 0 0R t+ ,t E sin t U cos t U⎡ ⎤τ = ω + τ + ω +⎣ ⎦

( ) ( )( )0 0

1

E sin sin 2t 2U2 ⎡ ⎤= ω τ + ω + τ +⎣ ⎦ ( ) ( )0 XY

1

sin R .2= ω τ = τ

Đây là hàm chỉ phụ thuộc τ, vậy ( ) ( ) X t , Y t là dừng đồng thờ i. Ta tính

phổ công suất chéo

( ) ( ) ( ) ( ) jXY 0 0 0

1 jS sin e d

2 2

∞− ωτ

−∞

π.⎡ ⎤ω = ω τ τ = δ ω + ω − δ ω − ω⎣ ⎦∫

Sử dụng (6.1.12) chúng ta nhận đượ c

( ) ( ) (*YX XY 0 0

j)( ) .

2

S S− π

⎡ ⎤ω = ω = δ ω + ω − δ ω − ω⎣ ⎦

Ví d ụ 6.5. Cho phổ công suất chéo

ba j

W

ω+ vớ i − W < ω < W

( )XYS ω =

0 ngượ c lại

trong đó a, b, W là các hằng số thực, W > 0. Tích phân từng phần ta đượ c

( )

( ) ( ) (

W j

XY

-W

2

1 bR a+j e d ...

2 W

1aW b sin W bW cos W .

W

ωτω⎛ ⎞τ = ω= =⎜ ⎟π ⎝ ⎠

= ⎡ τ − τ + τ τ)⎤⎣ ⎦π τ

∫

6.1.4. Mật độ phổ công suất cho quá trình thự c, không dừ ng

Ngườ i ta cũng nghiên cứu phổ công suất cho QT không dừng. Chúng ta

lướ t qua một vài k ết quả chính.

Các hàm tự tươ ng quan, tươ ng quan chéo trong các công thức (6.1.4),

(6.1.5), (6.1.10) cần phải thay bở i hàm tự tươ ng quan thờ i gian, tươ ng quan chéo

thờ i gian:

( ) ( ) jX X

-

S A R t , t e∞

− ωτ

∞

ω = ⎡ + τ ⎤ τ⎣ ⎦∫ d ,

( ) ( ) jX X

-

1A R t ,t S e d .

2

∞ωτ

∞

⎡ + τ ⎤ = ω⎣ ⎦ π ∫ τ

R t , t e d .

(6.1.16)

S A( ) ( ) jXY XY

-

∞− ωτ

∞

ω = ⎡ + τ ⎤ τ⎣ ⎦∫ (6.1.17)



Đặc biệt, nếu X(t) là QT thấ p tần vớ i độ r ộng dải băng W/2 còn đủ

lớ n thì oω

o( W/ω > 2) Y(t) là QT thông giải vớ i độ r ộng dải băng W (Hình 6.3)

Hình 6.3. Phổ công suấ t của QT đầu vào bộ nhân (a) và của đầu ra (b)

Chúng ta sẽ nhận đượ c k ết quả tươ ng tự khi X(t) là dừng, đầu ra bộ

nhân dạng , trong đóo oY(t) X(t)A cos( t )= ω + Θ Θ phân bố đều trên [ ] vàđộc lậ p vớ i X(t).

0;2π

6.1.5. Mật độ phổ công suất cho dãy ngẫu nhiên

Định nghĩ a. Chúng ta gọi biến đổi Fourier của dãy tự tươ ng quan ( ) XR n

của dãy BNN dừng ( ) X n

( ) ( ) j nX X

n

S R n e ,+∞

− ω

=−∞ω = ∑ R ω∈ (6.1.21)

là phổ công suất của dãy đó.

Theo tính chất của phép biến đổi Fourier, ( )XS ω là biến đổi Fourier ngượ c

của dãy tự tươ ng quan ( ) XR n :

( ) ( ) j nX X

1R n S e d

2.

πω

−π

= ωπ ∫ ω (6.1.22)

( )XR n và ( )XS ω lậ p thành một cặ p phép biến đổi Fourier:

( )XR n ↔ ( )XS ω .

Tính chất của phổ công suất của dãy dừng thể hiện ở định lý sau.

Định lý 6.6 . Nếu ( ) X n là dãy các BNN dừng, nhận giá tr ị thực thì:

i) ( ) ( )X XS S .2ω = ω + π

ii) ( )XS ω ∈ R và ( )XS 0ω ≥ .

iii) ( ) ( )X XS S .−ω = ω

iv) ( ) ( ) ( )2X X X

1P E X n R 0 S d

2

.π

−π

⎡ ⎤= = = ω⎣ ⎦π

∫ ω

X

X

S ( )

0)

ω

S (

ω 2

−2

W

oω

Y

2o

X

S ( )

A

S (0)4

ω

ω



Tính chất (i) suy từ chỗ: Vớ i mọi n, hàm j n

e− ω tuần hoàn chu k ỳ 2π. Các

tính chất còn lại đượ c chứng minh tươ ng tự như vớ i tr ườ ng hợ p liên tục.

Tính chất (i) nói r ằng, phổ công suất là hàm tuần hoàn chu k ỳ 2π, vì thế chỉ

cần xét trong khoảng [-π ; π] hay [0 ; 2π ]. Tính chất (ii), (iii) nói r ằng phổ công

suất của dãy dừng thực là hàm thực, không âm và chẵn.(Tính chất thực, không âm của phổ công suất còn đúng cả cho dãy dừng

nhận giá tr ị phức!)

Tính chất cuối cùng ngh ĩ a là: Công suất trung bình của QT bằng1

2πlần

diện tích hình thang cong giớ i hạn bở i 1 chu k ỳ đườ ng cong phổ công suất vớ itr ục hoành; như vậy, bằng giá tr ị trung bình của phổ công suất trên 1 chu k ỳ.

Nhận xét . Ngườ i ta còn dùng biến đổi Z của dãy tự tươ ng quan :X

R (n)

S nX X

n

(z) R (n)z∞

−=−∞

= ∑

và đôi khi (một cách lạm dụng) cũng gọi là phổ công suất của X. Nếu chuỗi hội

tụ trên vòng tròn đơ n vị, quan hệ giữa 2 loại “phổ công suất” này là

S j

X(e ) S ( )ω = ω

Ví d ụ 6.7. Trung bình tr ượ t cấ p một. Giả sử ( ) N n là dãy các BNN cùng

phân bố, k ỳ vọng không, không tươ ng quan và phươ ng sai chung hữu hạn:

( ) ( )

2

NE N n 0 ; D N n⎡ ⎤ = ⎡ ⎤ = σ <∞

⎣ ⎦ ⎣ ⎦;

[ ]vớ i m n≠ .E N(n)N(m) 0=

Ở mục 6.1.6d, dãy như thế sẽ đượ c gọi là dãy nhiễu tr ắng. Đây là một dãy

dừng. Dãy ARMA tạo thành từ ( ) N n đại diện cho hầu hết các dãy trong thực

tế. Ở đây chúng ta xét tr ườ ng hợ p đơ n giản, đó là dãy trung bình tr ượ t cấ p một

( ) X n xác định bở i:

( ) ( ) ( )X n N n b N n 1 , n= + − ∈ Z .

Dãy số liệu này r ất đơ n giản: Giá tr ị hiện tại X(n) là tổ hợ p tuyến tính đơ n

giản của giá tr ị hiện tại và quá khứ gần nhất của dãy nhiễu tr ắng xuất phát( ) N n . Rõ ràng:

( ) ( )

( )2 2 N

2 N

1 b

E X n k X n b

0

⎧ + σ⎪⎪+ = σ⎡ ⎤ ⎨⎣ ⎦⎪⎪⎩

Như vậy ( ) X n là dãy dừng. Tính toán phổ công suất như sau:

S R ( ) ( ) ( ) j k 2 2X X

k Nk e 1 b 2bcos .∞ − ω

=−∞

⎡ ⎤ω = = + + ω σ⎣ ⎦∑

vớ i k = 0

vớ i k 1= ±

trái lại



Ví d ụ 6.8. Phổ công suấ t của quá trình l ấ y mẫ u.

Trong ứng dụng, nhiều QT số (digital process) - tức là dãy ngẫu nhiên -

đượ c tạo thành bằng cách lấy mẫu một quá trình tươ ng tự (analog process) - tức

là QT vớ i thờ i gian liên tục – nào đó. Sau đây chúng ta trình bày mối liên hệ giữa

các hàm tươ ng quan cũng như mật độ phổ của hai QT này.

Cho QT tươ ng tự ( ) aX t , t∈R . Quá trình số ( ) dX n đượ c tạo ra bằng

cách lấy mẫu:

( ) ( )d aX n X nT , n= ∈Z .

Ở đây T là hằng số, gọi là chu k ỳ lấy mẫu, chỉ số dướ i d để chỉ quá trình số

(digital), chỉ số dướ i a để chỉ QT tươ ng tự (analog). Rõ ràng:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (

X a Xd a

X a a Xd a

n E X nT nT ;

R n,m E X nT X mT R nT,mT .

µ = ⎡ ⎤ =µ⎣ ⎦

= ⎡ ⎤ =⎣ ⎦ )

Nếu ( ) aX t là QT dừng thì ( ) dX n cũng là dãy dừng và

( )

( ) ( )

X Xd a

X Xd a

n ;

R k R kT

µ =µ

= .

Khi đó, từ công thức tổng Poisson:

" Nếu thì( ) ( ) ( ) juxf x F u f x e dx

∞−

−∞

↔ = ∫ ox ,c∀ ∈R ,

( )2

jn xoco

n n

1 2f x nc F n ec c

π∞ ∞

=−∞ =−∞

π⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ "

(xem[8] tr.395), khi chọn j( / T)xXa

f (x) R (x)e ,− ω= oc T, x 0= = ta nhận đượ c

( ) ( ) j k X X Xd a a

n k

1 2S R kT e S

T T

∞ ∞− ω

=−∞ =−∞

k ω + π⎛ ⎞ω = = ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ,

trong đó ( )XaS ω là phổ công suất của QT tươ ng tự xuất phát ( ) aX t .

6.1.6. Một số mô hình nhiễua) Nhiễ u tr ắ ng

Định nghĩ a. Ta gọi QTNN ( ) N t , t∈R là nhiễu tr ắng nếu đó là QT dừng,

qui tâm và phổ công suất bằng hằng số trên tất cả các tần số:

( ) 2 NS ,ω =σ ω∈R .

(Một số tài liệu dùng độ lớ n phổ công suất hai phía - có tài liệu lại

dùng độ lớ n phổ công suất 1 phía - thay cho ký hiệu

o N / 2

o N 2σ ở định ngh ĩ a trên).



Dùng biến đổi Fourier ngượ c chúng ta nhận đượ c hàm tự tươ ng quan:

( ) ( )2 NR ,τ =σ δ τ τ∈R.. (6.1.23)

Nếu thêm giả thiết r ằng ( ) N t là quá trình Gauss thì ta có nhiễu tr ắng

Gauss. Tuy nhiên mục này chúng ta chỉ đề cậ p đến nhiễu tr ắng thông thườ ng.

Thuật ngữ nhiễu tr ắng xuất phát từ tên gọi tươ ng tự vớ i ánh sáng "tr ắng",gồm tất cả các tần số có thể trong phổ của nó.

Phổ công suất và hàm tự tươ ng quan của nhiễu tr ắng thể hiện ở Hình 6.4.

NS ( )ω

NR ( )τ2σ

2σ

τ ω

(b)(a)

Hình 6.4. Hàm t ự t ươ ng quan (a), và phổ công suấ t (b) của nhiễ u tr ắ ng

Công suất của QT đượ c tính như sau:

( ) N N

1R S d

2.

+∞

−∞

= ω ωπ ∫ =∞ (6.1.24)

Từ đó, công suất của nhiễu tr ắng là vô hạn, điều không thể xảy ra trong

thực tế: Mỗi QT xảy ra trong thực tế đều có công suất hữu hạn!

Hơ n nữa, từ (6.1.23) suy ra: Giá tr ị của QT tại hai thờ i điểm gần nhau baonhiêu chăng nữa cũng không tươ ng quan vớ i nhau. Đây lại là một hiện tượ ng

mâu thuẫn vớ i thực tế: Giá tr ị của mỗi quá trình có thực tại hai thờ i điểm đủ gần

nhau luôn tươ ng quan vớ i nhau!

Như vậy, nhiễu tr ắng là QT lý tưở ng hoá, không có trong thế giớ i thực. Tuy

nhiên, trong lý thuyết mạch, mạng thông tin,…, nhiễu tr ắng luôn là mô hình đượ cnghiên cứu và ứng dụng r ộng rãi nhất. Hai trong những lý do quan tr ọng giải

thích cho hiện tượ ng này là:

+ Mỗi quá trình dừng vớ i phổ công suất không quá đặc biệt (QT chính quy)đều có thể đượ c biểu diễn một cách thuận lợ i khi coi nó là đầu ra của một hệ

tuyến tính phù hợ p vớ i đầu vào là nhiễu tr ắng (xem [14]).

+ Một dạng nhiễu tồn tại trong thế giớ i thực gần xấ p xỉ vớ i nhiễu tr ắng, đó

là nhiễu nhiệt.

Sau đây chúng ta giớ i thiệu sơ bộ về nhiễu nhiệt.

Nhiễ u nhiệt sinh ra do dao động của điện tử trong bất k ỳ một thiết bị điện

nào. Nhiễu nhiệt có phổ công suất là hằng số đến một tần số r ất cao r ồi sau đó

giảm dần.



Một kháng tại nhiệt độ T (Kelvin) sinh ra một điện thế nhiễu tại đầu ra của

một mạch mở vớ i phổ công suất

( )( )2

N / T

/ TS

e 1α ω

σ α ωω =

−, (6.1.25)

trong đó (Kelvin/giây) là hằng số.12

7,64.10−

α =Đây là hàm giảm; tại nhiệt độ trong phòng T = 290

0K (20

0C) giá tr ị của nó

vào khoảng 0,92σ2 đối vớ i những tần số lên tớ i 10

12Hz (1000GHz). Như vậy,

nhiễu nhiệt có phổ công suất gần đều vớ i tất cả các tần số mà chúng ta vẫn dùng

ngày nay (bao gồm sóng radio, vi sóng hay sóng milimét).

b) Nhiễ u tr ắ ng d ải t ần hữ u hạn (band - limited white noise).

Mở r ộng khái niệm nhiễu tr ắng ngườ i ta đi đến khái niệm nhiễu tr ắng dải

tần hữu hạn.

Định nghĩ a. Chúng ta gọi QTNN ( ) N t là nhiễu tr ắng dải tần hữu hạn

nếu đây là QT dừng, quy tâm, có mật độ phổ là hằng số khác không trong một

dải tần hữu hạn quanh tần số gốc 0, bằng không ngoài dải đó:

c vớ i [ ]W;W ,ω ∈ − ( ) NS ω =

0 vớ i [ ]W;W .ω ∉ −

W đượ c gọi là độ r ộng dải nhiễu. Công suất nhiễu đượ c tính theo (6.1.9):

( ) N N N

P1 cWP S d c2 W

∞

−∞

π= ω ω= ⇒ =π π∫ .

Từ đó mật độ phổ đượ c viết lại dướ i dạng

P

W

πvớ i W < < W,− ω

( ) NS ω =

0 nếu ngượ c lại,

trong đó P là công suất nhiễu.

Biến đổi Fourier ngượ c chúng ta nhận đượ c hàm tự tươ ng quan

( )( )

N

sin WR P P Sa(W

W

τ)τ = =

ττ

trong đó W là tần số cực đại của nhiễu.

Tr ườ ng hợ p5

W =π

và P = 1, phổ công suất và hàm tự tươ ng quan thể hiện ở

Hình 6.5.



NR ( )ω

Hình 6.5. Phổ công suấ t (a) và hàm t ự t ươ ng quan

(b) của nhiễ u tr ắ ng d ải t ần hữ u hạn.

c) Nhiễ u tr ắ ng thông d ải (bandpass white noise)

Tồn tại những bộ lọc có thể loại bỏ hết những tần số thấ p, để nguyên lại

những tần số cao hơ n (gọi là bộ lọc thông dải). Qua bộ lọc này, nhiễu tr ắng dải

tần hạn chế sẽ tr ở thành nhiễu tr ắng thông dải.

Định nghĩ a. QTNN ( ) N t d ừng, k ỳ vọng không vớ i phổ công suất

P

W

πvớ i 0 0

W W< <

2 2ω − ω ω + ,

( ) NS ω =

0 ngượ c lại.

trong đó P, W, ω0 là những hằng số gọi là nhiễu tr ắng thông dải. W đượ c gọi là

độ r ộng dải nhiễu.

Ta dễ dàng tìm đượ c công suất nhiễu là P; như vậy, P N = P.

d) Tr ườ ng hợ p r ờ i r ạc

Đối vớ i dãy các BNN chúng ta cũng có khái niệm nhiễu tr ắng. Định nghĩ a. Dãy ngẫu nhiên ( ) X n đượ c gọi là nhiễu tr ắng nếu nó là dãy

dừng, quy tâm và hàm tự tươ ng quan cho bở i:

( ) ( )2 NR k k , k =σ δ ∈Z .

Như vậy, ( ) N n là nhiễu tr ắng khi và chỉ khi ( ) N n là dãy BNN k ỳ

vọng không, cùng phươ ng sai2

D[X(n)] = σ và không tươ ng quan.

Thực hiện phép biến đổi Fourier vớ i dãy tự tươ ng quan ( ) NR n

2

ta nhận

đượ c phổ công suất:

( ) ( )2 j k N

k

S k e∞

− ω

=−∞ω =σ δ =σ∑ .

Rõ ràng ( ) NS ω tuần hoàn chu k ỳ 2π. Công suất của QT tính bở i

( ) ( )2

2 2 N N

0

1P E N 1 S d

2.

π⎡ ⎤= = ω ω⎣ ⎦ π ∫ =σ

e) M ột số loại nhiễ u khác

Giống như ánh sáng màu chỉ bao gồm một phần tần số có thể trong phổ của

nó, chúng ta định ngh ĩ a nhiễu màu như sau.

τ

NS ( )ω

2/ 5π

ω5/ π

(a)



Định nghĩ a. Nhiễu không phải là nhiễu tr ắng gọi là nhiễu màu.

Ví d ụ 6.9. Xét nhiễu ( ) N t là QT d ừng, quy tâm vớ i hàm tự tươ ng quan

( )3

NR Pe ,− ττ = τ∈R ,

trong đó P là hằng số.

Chúng ta tìm phổ công suất và công suất QT.

( ) 3 j N 2

6PS Pe e d

9.

∞− τ − ωτ

−∞

ω = τ=+ ω∫

X 2

1 6PP d

2 9P.

∞

−∞

= ωπ + ω∫ =

Một dạng nhiễu quan tr ọng hay xảy ra trong k ỹ thuật điện tử là nhiễu bắn

(xem mục 5.5.1e1).

6.1.7. Phổ công suất của QTNN phứ cChúng ta đã nghiên cứu hàm k ỳ vọng và hàm tươ ng quan QTNN phức ở

§5.6. Mục này dành cho phổ công suất của chúng. Để đơ n giản, phổ công suất

đượ c định ngh ĩ a theo phươ ng pháp tươ ng quan.

Định ngh ĩ a phổ công suất, phổ công suất chéo vẫn giữ nguyên như tr ườ ng

hợ p thực, chúng ta ghi lại ở đây.

Định nghĩ a. Gải sử ( )Z tµ và ( )ZR τ lần lượ t là hàm k ỳ vọng và hàm tự

tươ ng quan của QTNN phức dừng( ) ( ) ( )Z t X t jY t= + .

Phổ công suất của quá trình ( ) Z t xác định bở i

( ) ( ) jZ ZS R e d .

∞− ωτ

−∞

ω = τ∫ τ

Từ tính chất của phép biến đổi Fourier suy ra

( ) ( ) jZ Z

1R S e

2

d .∞

ωτ

−∞

τ = ω

π

∫ ω

Như vậy và là cặ p biến đổi Fourier:ZR ( )τ ZS ( )ω

( ) ( )Z ZR S .τ ↔ ω (6.1.26)

Từ chỗ suy ra*Z ZR ( ) R ( )−τ = τ *

Z ZS ( ) S ( )ω = ω , vậy phổ công suất luôn là

hàm thực; tuy nhiên, nói chung nó không chẵn. Giống như Định lý 6.2, ta có

(xem [8], tr 321):

Định lý 6.2’ . Hàm ( )S ,ω ω∈ ¡ là phổ công suất của một QT dừng (có thể

thể nhận giá tr ị phức) vớ i công suất hữu hạn khi và chỉ khi ( )S ω là hàm thực,không âm, khả tích trên ¡ .



Đối vớ i phổ công suất chéo vẫn xảy ra hiện tượ ng:

Hàm tươ ng quan chéo và phổ công suất chéo là cặ p phép biến đổi Fourier:

( ) ( )

( ) ( )XY XY

YX YX

R S

R S

;

.

τ ↔ ω

τ ↔ ω(6.1.27)

Chẳng hạn:

( ) ( ) jXY XYS R e d ;

∞− ωτ

−∞

ω = τ∫ τ

( ) ( ) jXY XY

1R S e

2d

∞ωτ

−∞

τ = ωπ ∫ ω

Vì hàm tươ ng quan chéo có tính chất ( ) ( )*XY YXR R −τ = τ nên công thức

(6.1.12) đượ c thay thế ở đây bở i

( ) ( )XY YXS S∗

ω = ω . (6.1.28)

Ví d ụ 6.10. T ổ ng hợ p dao động đ iề u hoà phứ c cùng t ần số . Trong Ví dụ

5.19 chúng ta đã xét tổng hợ p dao động điều hoà phức cùng tần số

( ) ( ) N

j t U0 nn

n 1

V t A eω +

== ∑ ,

trong đó nA và nU là các BNN độc lậ p; Un có phân bố đều trên [0;2π]; còn

ω0 là hằng số thực. Hàm tự tươ ng quan của QT là .( ) N

j 2oX n

n 1

R e E Aω τ

=

⎡ ⎤τ = ⎣ ⎦∑

Biến đổi Fourier hàm này ta nhận đượ c phổ công suất

( )XS ω =ℱ N

j 20n

n 1

e E Aω τ

=

⎛ ⎞⎡ ⎤⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠∑

N2n

n 1

E A=

⎡ ⎤= ⎣ ⎦∑ ℱ ( ) ( ) N

j 200 n

n 1

e 2 E Aω τ

=

⎡ ⎤= π δ ω − ω ⎣ ⎦∑ .

Vậy phổ thu đượ c là phổ vạch tại ω0 vớ i công suất N

2n

n 1

E A=

⎡ ⎤⎣ ⎦∑ .

Ví d ụ 6.11. Phổ vạch. Xét tổng hợ p dao động điều hoà phức, cùng pha, tần

số hằng số, biên độ ngẫu nhiên

( ) N

j tnn

n 1

X t A eω

== ∑ ,

trong đó ωn là các hằng số thực, nA là các BNN thực, quy tâm, không tươ ng

quan, .[ ] 2n nD A = σ < ∞

Rõ ràng Ngoài ra, tính toán cụ thể ta có:X (t) 0.µ =



( ) ( ) ( )XR t , t E X t X t∗⎡ ⎤+ τ = + τ⎣ ⎦

( ) N N

j t j tn mn m

n 1 m 1

E A e A eω +τ − ω

= =

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦∑ ∑

[ ] ( ) N N

j t j j2n m n nn m n

m,n 1 n 1

E A A e eω ω + ω τ ω τ−

= == =∑ ∑ σ

là hàm chỉ phụ thuộc τ. Vậy ( ) X t là QT dừng

( )XS ω = ℱ ⎛ ⎞

( ) N N

j2 2nn n

n 1 n 1

e 2ω τ

= =n .σ = π σ δ ω − ω

⎝ ⎠∑ ∑⎜ ⎟

Như vậy, phổ thu đượ c chỉ chứa một số tần số (một số vạch).

Lưu ý r ằng mỗi số hạng j n

nA eω τ

có phổ ( ) ( )2n nS 2 nω = πσ δ ω− ω (tậ p

trung tại tần số vớ i công suấtnω 2nσ ). Vậy phổ thu đượ c (bao gồm các vạch) là

tổng đơ n giản của các phổ công suất thành phần.

Ví d ụ 6.12(). Hiệu ứ ng Đôpple (Doppler). Máy phát dao động điều hoà

đặt tại điểm chuyển động theo tr ục Ox vớ i vận tốc V (Hình 6.6(a)). Giả

sử tín hiệu máy phát là e còn tín hiệu nhận đượ c của máy thu đặt tại O là:

P Ox∈ j

0tω

( )r

j t0 cX t a e

⎛ ⎞ω −⎜ ⎟⎝ ⎠=

trong đó a là hằng số thể hiện sự suy giảm tín hiệu, c là vận tốc truyền (âm thanh,

sóng điện từ…) và . Vì máy phát có dao động riêng nên chúng ta giả

sử r ằng vận tôc V là BNN vớ i mật độ f 0

r r V= + t

V(x). Rõ ràng

( )

r V o o j 1 toc c

X t a e

ω⎡ ⎤⎛ ⎞ω − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦=

0ω00

c(1 )

cω −

V

ω

P

0ω ω

S( )ω b Phổ hát

xO(c) Phổ thu

(a)

Hình 6.6. Hiệu ứ ng Doppler: Ngoài hiện t ượ ng t ă ng (giảm) t ần số

còn hiện t ượ ng nớ i r ộng phổ

Dễ thấy đây là QT dừng vớ i hàm tự tươ ng quan là



( )V

j 1o2 cXR a E[e ] ( )

⎛ ⎞ω − τ⎜ ⎟⎝ ⎠τ =

s j 1o2 c

Va f s e d

⎛ ⎞∞

sω − τ⎜ ⎟

⎝ ⎠

−∞

= ∫ .

Vớ i phép đổi biến 0

s1

c

⎛ ω= ω −⎜⎝ ⎠

⎞⎟ , tích phân tr ở thành

( ) 2 jX V

0 0

1 cR 2 a f c 1 e

2

∞ωτ

−∞

⎛ ⎞⎛ ⎞ωτ = π − ω⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟π ω ω⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ d .

Vế phải là biến đổi Fourier ngượ c của hàm

( ) 2V

0 0

cS 2 a f c 1

⎛ ⎞⎛ ⎞ωω = π −⎜ ⎜ ⎟⎜ω ω⎝ ⎠⎝ ⎠

.⎟⎟ (6.1.29)

Đây là hàm số dươ ng nên nó là mật độ phổ (Định lý 6. 2′ ). Do tính duy nhất

của biến đổi Fourier suy ra ( ) ( )XS S .ω = ω

Trong tr ườ ng hợ p chuyển động tạo vớ i tr ục Ox một góc α, chúng ta phải

thay vận tốc V bở i hình chiếu lên tr ục Ox và các bàn luận trên vẫn còn giá tr ị.xV

Xét tr ườ ng hợ p V = 0. Khi đó

( ) j2 0XR a e

ω ττ = ; ( ) ( )2X 0S 2ω = πσ δ ω − ω .

Rõ ràng phổ này trùng vớ i phổ của tín hiệu phát.

Bây giờ giả sử và giả sử 0V c cons= = t c0c < (vận tốc chuyển động thấ p

hơ n vận tốc truyền). Khi đó

2 00

cS( ) 2 a (1 ) .c

⎛ ω = π δ ω − ω −⎜⎝ ⎠

⎞⎟ (6.1.30)

Như vậy, máy thu nhận đượ c tín hiệu vớ i tần số 00

c(1 )

cω − , thấ p hơ n tần số

phát, phù hợ p vớ i hiện tượ ng nêu ở Vật lý đại cươ ng.

Tr ườ ng hợ p tổng quát, khi mật độ f V(x) của vận tốc V tậ p trung quanh c0

(ví dụ, khi Mod V = c0) thì phổ công suất tậ p trung quanh 00

c1

c

⎛ ω −⎜⎝ ⎠

⎞⎟ (Hình

6.6(c)). Như vậy, ngoài hiện tượ ng suy giảm tần số, chuyển động dao động còn

gây ra sự phân tán của phổ, làm cho phổ bị "mờ đi". Ta nói dao động gây ra sự

nớ i r ộng phổ. ()



§6.2. CĂN BẢN VỀ HỆ TUYẾN TÍNH Phần lớ n những công việc của chúng ta cho đến bây giờ là nhằm mô tả các

hiện tượ ng ngẫu nhiên bằng cách mô hình hoá nó như là quỹ đạo của QTNN.Chúng ta nhận ra r ằng, phươ ng pháp miền thờ i gian dựa vào hàm tươ ng quan vàk ỹ thuật miền tần số dựa vào phổ công suất lậ p nên những cách cực k ỳ hiệu quả để

xác định dáng điệu của tín hiệu ngẫu nhiên. Tuy nhiên, chúng ta phải dừng lại ở đây, bở i vì khía cạnh quan tr ọng nhất của tín hiệu ngẫu nhiên là gắn k ết chúng thế nào đó vớ i hệ tuyến tính. Tr ướ c hết ở mục này, chúng ta thảo luận những điều căn

bản về hệ tuyến tính. Chú ý của chúng ta tậ p trung vào hệ tất định, chỉ có một đầuvào, một đầu ra và là hệ liên tục (tức là tín hiệu đầu vào và đầu ra là những tín hiệuvớ i thờ i gian liên tục). Ai đã thạo về hệ tuyến tính tất định có thể bỏ qua mục này,chuyển ngay đến mục §6.3 tiế p sau.

6.2.1. Hệ tuyến tính tổng quát

Hệ là mô hình toán học của một quá trình vật lý mà tác động lên tín hiệu đầuvào x(t) để tạo thành tín hiệu đầu ra y(t).

Như vậy, hệ là phép biến đổi (ánh xạ) tín hiệu x(t) nằm trong tậ p các tín hiệuđượ c phép D nào đó thành tín hiệu y(t). Phép biến đổi này ký hiệu bở i T và chúngta viết

( ) ( ) ( )y t T x t , x t= ⎡ ⎤ ∈⎣ ⎦ D . (6.2.1)

Khi không sợ hiểu nhầm, ta có thể không viết ra đòi hỏi . Tín hiệu

đầu vào x(t) còn đượ c gọi là tín hiệu kích thích, tín hiệu đầu ra y(t) - tín hiệu đáp

ứng. Ánh xạ T thể hiện tác động của hệ lên tín hiệu x(t) (xem Hình 6.7).

( )x t ∈D

107

Hệ tuyến tính Đầu ra y(t)

Đầu ra y(t)Đầu vào x(t)

Đầu vào x(t)

Hệ LTI

(a)

(b)

Hình 6.7. H ệ tuyế n tính đơ n giản (a) và hệ tuyế n tính bấ t biế n thờ i gian (b)

Hệ đượ c gọi là tuyến tính nếu ánh xạ T là tuyến tính, tức là:

i) Tậ p các tín hiệu đượ c phép là tuyến tính;D

ii) Ánh xạ T có hai tính chất sau:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2T x t x t T x t T x t⎡ + ⎤ = ⎡ ⎤ + ⎡⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎤⎦ (cộng tính)

( ) ( )T x t T x t⎡α ⎤ = α ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (thuần nhất)



6.2.2. Hệ tuyến tính bất biến theo thờ i gian Định nghĩ a. Hệ tuyến tính đượ c gọi là bất biến theo thờ i gian (Linear Time -

Invariant), ký hiệu là LTI, nếu mỗi phép dịch chuyển thờ i gian ở tín hiệu đầu vàogây ra cùng một phép dịch chuyển thờ i gian ở tín hiệu đầu ra. Cụ thể là: ,0t∀ ∈ R

( ) ( ) ( ) ( )0y t L x t y t t L x t t0⎡ ⎤= ⎡ ⎤ ⇒ − = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

. (6.2.6)

Định lý 6.7. Cho hệ tuyến tính vớ i đáp ứng xung h(t,s). Hệ là bất biến theothờ i gian khi và chỉ khi xảy ra một trong hai điều kiện sau:

i) ( ) ( )h t,s h t s .= − (6.2.7)

ii) (6.2.8)( ) ( ) ( )y t h t s x s ds.∞

−∞

= −∫

Chứ ng minh. Giả sử hệ là tuyến tính và bất biến theo thờ i gian, và giả sử vớ i

kích thích (tại t = 0) nhận đượ c đáp ứng h(t). Khi đó vớ i kích thích( )tδ ( )0t tδ −

(xung δ tại t = t0) sẽ nhận đượ c đáp ứng ( )0h t t− . Suy ra

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0h t t L t t s t h t,s ds h t, t .0

∞

−∞

⎡ ⎤− = δ − = δ − =⎣ ⎦ ∫

Điều này có ngh ĩ a là xảy ra (6.2.7). Rõ ràng (6.2.8) cũng xảy ra. Điều ngượ c

lại dễ dàng. Đối vớ i hệ LTI, hàm số

h(t) L[ (t)]= δ (6.2.9)

cũ

ngđượ

c gọ

i làđ

ápứ

ng xung củ

a hệ. Định lý 6.8. Đối vớ i hệ LTI vớ i đáp ứng xung h(t) khả tích tuyệt đối:

( )h t dt∞

−∞

< ∞∫ , nếu đầu vào x(t) khả tích tuyệt đối thì đầu ra y(t) cũng khả tích

tuyệt đối.Chứ ng minh. Theo định lý Fubini ta có:

( ) ( ) ( )y t dt h t s x s dt ds∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞

= −∫ ∫ ∫ ( ) ( )x s ds. h t dt .∞ ∞

−∞ −∞

≤ <∞∫ ∫

Lư u ý: Sử dụng ký hiệu tích phân chậ p ∗ cũng như tính chất giao hoán củanó, chúng ta có thể viết lại (6.2.8) dướ i dạng tiện lợ i sau đây:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t h t x t h t s x s ds∞

−∞

= ∗ = −∫

109

( ) ( ) ( ) ( )x t h t x t s h s ds.∞

−∞

= ∗ = −∫ (6.2.10)



Định nghĩ a. Biến đổi Fourier của đáp ứng xung h(t) của hệ LTI, ký hiệu là

H(ω), đượ c gọi là hàm truyền (transfer function) (tên khác: đáp ứng tần số, đặc

tr ưng tần số, hàm hệ thống, hệ số truyền).

( )H ω = ℱ ( ) ( ) j th t h t e dt.∞

− ω

−∞

⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ∫ (6.2.11)

Để thấy ý ngh ĩ a của hàm truyền, chúng ta xét tín hiệu đầu vào x(t) cũng như h(t) khả tích tuyệt đối. Theo định lý vừa nêu, y(t) cũng khả tích tuyệt đối. Chúng ta

có thể xét các biến đổi Fourier của hai tín hiệu này, lần lượ t ký hiệu là X(ω), Y(ω).Theo định lý Fubini về đổi thứ tự lấy tích phân nhận đượ c:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

j t j t

j (t s) j s

Y y t e dt h t s x s ds e dt

x s h t s e dt e ds

∞ ∞ ∞− ω − ω

−∞ −∞ −∞

∞ ∞− ω − − ω

−∞ −∞

⎡ ⎤ω = = −⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤= −⎢ ⎥

⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

∫ ∫

(6.2.12)( ) ( ) ( ) ( ) j sx s H e ds H X .∞

− ω

−∞

= ω = ω∫ ω

Đây là một công thức cơ bản, cho ta mối liên hệ r ất đơ n giản giữa biến đổiFourie đầu ra vớ i biến đổi Fourier đầu vào.

Định lý 6.9. Xét một hệ LTI bất k ỳ, khi đó:a) Biến đổi Fourie của đầu ra bằng biến đổi Fourier đầu vào nhân vớ i hàm

truyền của hệ:

( ) ( ) ( )Y H Xω = ω ω (6.2.13) b) Hàm truyền của hệ có thể đượ c tính theo công thức

( ) j t

j t

L eH

e

ω

ω .⎡ ⎤⎣ ⎦ω = (6.2.14)

Chứ ng minh. Chúng ta đã chứng minh (a) ở trên. Ngoài ra

( ) j t j sL e e h t s ds.∞

ω ω

−∞

⎡ ⎤ = −⎣ ⎦ ∫

Đổi biến ta đượ ct s u; s t u , ds du− = = − = − ( ) ( )

j t u j tL e e h u du∞

ω −ω

−∞

⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ∫ ( ) ( ) j t j u j te e h u du e H .∞

ω − ω ω

−∞

= =∫ ω

Công thức (6.2.14) cho một cách khác r ất tiện lợ i để tính hàm truyền. Ngườ i

ta chứng minh đượ c là họ hàm duy nhất thoả mãn tính chất (6.2.14). Theo j te ω

110



quan điểm của ánh xạ tuyến tính, các hàm j te , tω ∈R là hàm riêng của toán tử

tuyến tính L, H(ω) là giá tr ị riêng tươ ng ứng.

Ví d ụ 6.13. Tìm hàm truyền cho mạch điện chỉ ra trên Hình 6.8.(a)

(b)R

Đầu vào x(t) Đầu ra y(t)

(a)L

Đầu vào x(t) Đầu ra y(t)

Hình 6.8. H ệ tuyế n tính bấ t biế n thờ i gian a) R L b) RC.

Giải. Dòng điện i trong mạch vòng thoả mãn phươ ng trình

dix(t) L y(t)

dt= + .

Do y(t) = iR nêndi 1 dy

dt R dt= và ta có phươ ng trình

L dyx(t) y(t)

R dt= + . (*)

Bây giờ xét đầu vào j tx(t) e ω= . Theo (6.2.14), đầu ra phải là j t j ty(t) L[e ] H( )eω ω= = ω .

Thay vào (*) ta đượ c

j t j t j tLe H( )( j )e H( )e

R ω ω= ω ω + ω ω .

Vậy1

H( )1 ( j L / R)

ω =+ ω

R 1R L jL

=+ ω

.

Biến đổi Fourier ngượ c nhận đượ c (R/L) tR h(t) u(t)e

L−= .

Tươ ng tự, đối vớ i mạch RC (Hình 6.8.(b)) thì có thể tính đượ c

t 1h(t) e , ; H( ) .

RC j−α α

= α α = ω =α + ω

111



6.2.3. Hệ nhân quả và hệ ổn địnha) H ệ nhân quả

Ta gọi hệ là nhân quả nếu đầu vào là nguyên nhân, đầu ra là k ết quả, sự biếnđổi tươ ng lai đầu ra gây ra là do sự biến đổi hiện tại và quá khứ đầu vào; sự biếnđổi tươ ng lai đầu vào không gây ra sự biến đổi quá khứ đầu ra. Về mặt toán học,

điều này có ngh ĩ a là: ,0t∀ ∈R ( ) ( )0 0x t 0 t t y t 0, t t= ∀ ≤ ⇒ = ∀ ≤ . (6.2.15)

Hệ nhân quả còn gọi là hệ vật lý thực hay hệ khả thi.Đối vớ i hệ LTI, (6.2.15) tươ ng đươ ng vớ i

( )h t 0 , t 0= ∀ ≤ . (6.2.16)

Như vậy, đối vớ i hệ LTI nhân quả thì:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )t

0

y t x s h t s ds h s x t s ds∞

−∞

= − = −∫ ∫ . (6.2.17)

Ngườ i ta có khả năng (!) xây dựng đượ c bộ thiết bị, linh kiện…có các chứcnăng của hệ nhân quả. Tuy nhiên, vớ i hệ không là nhân quả thì không thể làmđượ c như vậy: Mặc dầu tích phân (6.2.8) vẫn có ngh ĩ a, vẫn có thể tính đượ c về mặt toán học, nhưng nếu chỉ biết thông tin quá khứ và hiện tại của tín hiệu, takhông thể thiết k ế đượ c thiết bị mà đầu ra là y(t) đòi hỏi. Từ đó, hệ nhân quả còngọi là hệ vật lý thực hay hệ khả thi.

Do tính phức tạ p của vấn đề, thườ ng thì tính khả thi của hệ không quantr ọng lắm và chưa đượ c để ý đến khi phân tích. Sau khi tìm đượ c lờ i giải ngườ i ta

mớ i tìm điều kiện để hệ là khả thi.b) H ệ ổ n định

Hệ đượ c gọi là ổn định nếu tín hiệu đầu vào bị chặn thì tín hiệu đầu ra cũng bị chặn:

( ) ( )t tSup x t Sup y t

∈ ∈< ∞ ⇒ < ∞

R R .

Ngườ i ta hay viết đòi hỏi này một cách đơ n giản hơ n:

Nếu ( )x t M< thì ( )y t MI ,< ( t∀ ∈R )

trong đó M, I là hai hằng số nào đó.Từ (6.2.8), điều kiện đủ để hệ LTI ổn định là:

( )I h t dt .∞

−∞

= < ∞∫

112



6.2.4. Trườ ng hợ p hệ rờ i rạcĐối vớ i hệ r ờ i r ạc, đầu vào và đầu ra là những tín hiệu r ờ i r ạc, tức là những

dãy ( ) ( ) X n , Y n .

Định ngh ĩ a hệ tuyến tính không có thay đổi đáng k ể:

( ) ( ) ( )m

y n h n,m x m

∞

=−∞= ∑ (6.2.18)

trong đó

( ) ( )h n,m L n m= ⎡δ − ⎤⎣ ⎦ ;

( )1 khi n 0,

n0 khi n 0.

=⎧δ = ⎨

≠⎩

δ(n) đượ c gọi là xung đơ n vị tại 0, h(n,m) đượ c gọi là đáp ứng xung của hệ.

Đòi hỏi hệ bất biến theo thờ i gian (hệ LTI) bây giờ tr ở thành: ,0n∀ ∈ Z

( ) ( ) ( ) ( )0 0y n L x n y n n L x n n .⎡ ⎤= ⎡ ⎤ ⇒ − = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦


( ) ( )h n,m h n m .= − (6.2.19)

Cũng vậy

(6.2.20)( ) ( ) ( )m

y n h n m x m∞

=−∞= −∑

trong đó ( ) ( )h n L n= ⎡δ ⎤⎣ ⎦ . (6.2.21)

T ổ ng chậ p. Tươ ng tự vớ i khái niệm tích phân chậ p trong hệ liên tục, trong hệ r ờ i r ạc ngườ i ta đưa ra khái niệm tổng chậ p.

Tổng chậ p của hai tín hiệu u(n), v(n), ký hiệu là u(n)∗ v(n), xác định bở i:

( ) ( ) ( ) ( )m

u n v n u n m v m .∞

=−∞∗ = −∑ (6.2.22)

Tổng chậ p có tính chất giao hoán và k ết hợ p:

( ) ( ) ( ) ( )u n v n v n u n .∗ = ∗

[u (n) v(n)] (n) u(n) [v(n) (n)].∗ ∗ω = ∗ ∗ ω

Chính vì thế có thể bỏ ngoặc, viết đơ n giản thành ( ) ( ) ( )u n v n n .∗ ∗ω

Vớ i ký hiệu tổng chậ p và tính chất giao hoán của nó, ta có thể viết lại(6.2.20) dướ i các dạng tiện lợ i sau:

113



( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

m

m

y n h n x n h n m x m

x n h n x n m h m .

∞

=−∞

∞

=−∞

= ∗ = −

= ∗ = −

∑

∑(6.2.23)

Hệ LTI là hệ nhân quả (hay hệ vật lý thực - hay hệ khả thi) nếu:

( )h n 0, n 1; 2,...= ∀ =− − (6.2.24)


( ) ( ) ( ) ( ) ( )n

m m 0

y n h n m x m x n m h m .∞

=−∞ == − = −∑ ∑ (6.2.25)

Hệ là ổn định nếu:

( ) ( )n nSup x n Sup y n

∈ ∈< ∞ ⇒ < ∞

Z Z. (6.2.26)

Điều kiện cần của ổn định là:

( )m

h n .∞

=−∞< + ∞∑ (6.2.27)

Định nghĩ a. Biến đổi Fourie và biến đổi Z của đáp ứng xung h(n) của hệ LTIr ờ i r ạc, ký hiệu lần lượ t là và H(z), xác định bở iH( )ω

H( )ω =ℱ j n

n

[h(n)] h(n)e∞

− ω

=−∞

= ∑ ,

H Ʒ(z) = n

n

[h(n)] h(n)z∞

−

=−∞

= ∑ ;

chúng đều đượ c gọi là hàm truyền của hệ.(Ngườ i ta cũng gọi H(z) là hàm hệ thống).Công thức (6.2.12) về mối liên hệ giữa biến đổi Fourier đầu vào - đầu ra của

hệ liên tục vẫn đúng cho hệ r ờ i r ạc:Y( ) H( )X( )ω = ω ω Y H X (z).(z) = (z)

Nếu vòng tròn đơ n vị z : z 1= nằm trong miền hội tụ thì H .

Khi không sợ hiểu nhầm, ngườ i ta viết quan hệ này dướ i dạng

j(e ) H( )ω = ω

H (z) H( )= ω

vớ i lưu ý r ằng phải chọn j

z eω

= . Nếu hệ r ờ i r ạc là khả thi thì h(n) 0 n 1= ∀ ≤ − . Khi đó, ngoài biến đổi Fourier và biến đổi Z của h(n) ngườ i ta còn xét biền đổi Laplace của nó:

ℍ (s ℒ) = sn

n

[h(n)] h(n)e .∞

−

=−∞

= ∑

Nếu miền hội tụ chứa tr ục ảo jω thì vớ i jz e , s jω= = ω ta luôn có

114



H( )ω = H j(e )ω =ℍ ( j )ω .Khi không sợ hiểu lầm, ngườ i ta viết quan hệ này dướ i dạng

H( )ω = H(z) = H(s)vớ i lưu ý r ằng không có sự khác biệt về ký hiệu hàm (chữ cái H), và phải chọn

. jz e ; s jω= = ω

Ví d ụ 6.14. Tìm hàm truyền của toán tử tr ễ a) một đơ n vị; b) k đơ n vị .(k 0)≥Giải. a)Gọi đáp ứng xung h(n) của toán tử tr ễ đơ n vị là h(n) thì h(1) 1;=

Vậyh(n) 0 n 1.= ∀ ≠

1H n

n

(z) h(n)z z∞

− −

=−∞

= ∑ = (*)

H( )ω = H j j(e ) eω − ω= .

b) Dễ thấy H k j(z) z ; H( ) e .k − − ω= ω =

Nhận xét . i) Vì nên toán tử tr ễ k đơ n vị (còn gọi là phép dịch

chuyển ngượ c) là ghép nối liên tiế p của k toán tử tr ễ đơ n vị. Cũng có thể xét, khi đó toán tử tươ ng ứng gọi là toán tử dịch chuyển tiến.

k 1z (z− −= k )

1k ≤ −ii) Ví dụ trên chứng tỏ r ằng, trong tr ườ ng hợ p r ờ i r ạc có khi phép biến đổi Z

lại có ưu thế hơ n so vớ i phép biến đổi Fourier.

§6.3. HỆ TUYẾN TÍNH VỚ I ĐẦU VÀO NGẪU NHIÊN

6.3.1. Vấn đề đầu raGiả sử chúng ta có hệ LTI. Tr ướ c hết giả sử vớ i đáp ứng xung h(t) khả tích tuyệt

đối trên . Xét QTNN R ( ) x t , t∈ R , các qũy đạo ( )x t,ζ của nó là đầu vào hệ đã cho

(Hình 6.9)

Y( t,ζ )X( t,ζ )h(t)

Hình 6.9. H ệ LTI vớ i đầu vào ng ẫ u nhiên

Vớ i mỗi k ết cục của thí nghiệm ngẫu nhiên Sζ ∈

)

cố định, tín hiệu tất định

(Y t,ζ xác định bở i:

( ) ( ) ( )Y t, X t s, h s ds

∞

−∞ζ = − ζ∫ (6.3.1)

chính là đầu ra của hệ tuyến tính.Về mặt toán học, câu hỏi tự nhiên sau đây đặt ra:

"Tậ p hợ p ( ) Y t , t∈ R có lậ p thành một QTNN hay không ?".

115



( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

X

X 2 X

E X t X s u h u du R t,s u h u du

R t,s h s L R t,s .

∞ ∞

−∞ −∞

= ⎡ − ⎤ = −⎣ ⎦

= ∗ = ⎡ ⎤⎣ ⎦

∫ ∫

118

⎤⎥⎦

* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )YR t,s E Y t Y s E X t u h u du X s v h v dv∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞

⎡ ⎤ ⎡= = − −⎢ ⎥ ⎢

⎣ ⎦ ⎣∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( )E X t u X s v h u h v du dv.

∞ ∞

−∞−∞

= ⎡ − − ⎤⎣ ⎦∫ ∫

Điều này chứng minh (6.3.5). Để chứng minh (6.3.6) ta tiế p tục biến đổi như sau. Từ định lý Fubini và (6.3.4) ta có:

( ) ( ) ( ) ( )Y XR t,s R t u,s v h v dv h u du∞ ∞

−∞ −∞

⎡ ⎤= − −⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ ∫

( ) ( ) ( )XR t u,s h s h u du∞

−∞= ⎡ − ∗ ⎤⎣ ⎦∫ XYR (t u,s)h(u)du

∞

−∞= −∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )XY XR t,s h t [R t,s h s ] h t .= ∗ = ∗ ∗

Lư u ý:i) Công thức (6.3.3) khẳng định r ằng:Hàm k ỳ vọng của QT đầu ra chính là đầu ra của hệ tuyến tính đã cho khi đầu

vào là hàm k ỳ vọng µ của QT đầu vào (xem Hình 6.10 (a)).( )X t

ii) Có thể tính toán hàm tự tươ ng quan của đầu ra tr ực tiế p theo (6.3.5). Tuyvậy, vì chúng ta đã có sẵn hệ LTI nên về mặt hoạt động của hệ, ngườ i ta vẫn

chuộng tính R Y(t,s) theo (6.3.6). Theo phươ ng pháp gián tiế p, tr ướ c hết ta đặt hàmtự tươ ng quan R X(t,s) vào đầu vào của hệ, hệ tác động lên biến thứ hai (biến s), ở đầu ra ta nhận đượ c hàm tươ ng quan chéo R XY(t,s). Lại đặt đầu ra này vào đầu vàocủa hệ đã cho, hệ tác động lên biến thứ nhất (biến t), ở đầu ra chúng ta nhận đượ cR Y(t,s) (Hình 6.10(b)).

X(t) X(t)

µX(t) µY(t)

Y(t) h(t)

R Y(t,s)

h(t)h(s)

XY(t,s)R R X(t,s)

(a) (b)

Hình 6.10. Hàm k ỳ vọng (a) và t ự t ươ ng quan (b) của QT đầu ra



b) Tr ườ ng hợ p đầu vào là QT d ừ ng

Nếu đầu vào ( ) X t là QT dừng thì theo (6.3.4) và (6.3.6), R XY(t,s) và

R Y(t,s) chỉ phụ thuộc vào hiệu t – s nên ( ) ( ) X t , Y t là hai quá trình dừng

đồng thờ i. Các công thức (6.3.3) – (6.3.6) đượ c đơ n giản đi r ất nhiều.

Định lý 6.13. Giả sử thoả mãn các giả thiết ở Định lý 6.10, ngoài ra QT đầuvào ( )X t là dừng vớ i hàm k ỳ vọng ( )X tµ và hàm tự tươ ng quan R X(τ). Khi đó

( ) ( ) X t , Y t là hai quá trình dừng đồng thờ i, hơ n nữa:

( )Y X h t dt ;∞

−∞

µ =µ ∫ (6.3.7)

( ) ( ) ( )XY XR R hτ = τ ∗ −τ ; (6.3.8)

( ) ( ) ( )Y XYR R hτ = τ ∗ τ

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )X XR h h R = τ ∗ −τ ∗ τ = τ ∗ρ τ (6.3.9)

trong đó ( ) ( ) ( )h hρ τ = τ ∗ −τ

( ) ( ) ( )2

h t h t dt H .∞

−∞

= − τ ↔ ω∫

Nhận xét. Hàm số

( ) h( ) h( ) h(t )h( )d h(t)h(t )d∞ ∞

−∞ −∞

ρ τ = τ ∗ −τ = − τ τ τ = + τ τ∫ ∫

đượ c gọi là hàm tươ ng quan của đáp ứng xung của hệ, gọi tắt là hàm tươ ng quancủa hệ. Như vậy, khi đầu vào là QT dừng, hàm tươ ng quan của QT đầu ra bằngtích chậ p của hàm tươ ng quan của QT đầu vào vớ i hàm tươ ng quan của hệ.

H ệ quả. (Phổ công suấ t QT đầu vào - đầu ra).

( ) ( ) ( )XY XS S H∗ω = ω ω ; (6.3.10)

2Y XY XS ( ) S ( )H( ) S ( ) H( ) ;ω = ω ω = ω ω (6.3.11)

( ) ( )2

Y X1

P S H

2

d .∞

−∞

= ω ω

π

∫ ω (6.3.12)

Định lý 6.13 như là một hệ quả tr ực tiế p của Định lý 6.12 trong tr ườ ng hợ p

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

X X X

XY XY XY

Y Y Y

R t,s R t s R ;

R t,s R t s R

R t,s R t s R .

= − = τ

;= − = τ

= − = τ

vớ i và tính chất k ết hợ p, giao hoán của tính chậ p. Hệ quả suy ra từ chỗ t sτ = −119



( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

X X Y Y

XY XY

R S ; R S ;

R S ; h t H ;

τ ↔ ω τ ↔ ω

τ ↔ ω ↔ ω

cũng như tính chất của tích chậ p: Biến đổi Fourier của tích chậ p bằng tích các biếnđổi Fourier cuả từng thành phần:

ℱ ( ) ( )u t v t∗ =⎡ ⎤⎣ ⎦

ℱ ( )u t .⎡ ⎤⎣ ⎦

ℱ ( )v t .⎡ ⎤⎣ ⎦

Công thức (6.3.11) có ý ngh ĩ a r ất quan tr ọng: Phổ công suất đầu ra hệ LTI bằng tích phổ công suất đầu vào vớ i bình phươ ng môđun hàm truyền. Chính vì

thế, ngườ i ta gọi 2H( )ω là hàm truyền công suất của hệ.

So sánh vớ i (6.2.13) ta thấy có sự giống nhau nhất định. Tuy nhiên cần lưu ýr ằng, phổ công suất không là biến đổi Fourier của quá trình, mà là biến đổi Fourier của hàm tự tươ ng quan của QT; sự khác biệt giữa hai công thức (6.2.13) và(6.3.11) là điều hiểu đượ c.

c) Tr ườ ng hợ p QT phứ c. Nếu đầu vào là tín hiệu ngẫu nhiên phức, đáp ứng xung là hàm phức thì các

k ết quả trên thay đổi một chút. Vói các lý do như vớ i tr ườ ng hợ p thực chúng tanhận đượ c các k ết luận sau.

Thay thế các công thức (6.3.4), (6.3.5) là:

XY XR (t,s) R (t,s) h (s)∗= ∗ ,

Y XYR (t,s) R (t,s) h(t)= ∗ . (6.3.13)

Khi QT là dừng, các công thức (6.3.8), (6.3.9) tr ở thành

XY XR ( ) R ( ) h (∗τ = τ ∗ −τ)

τ

,

Y XY XR ( ) R ( ) h( ) R ( ) h ( ) h( )∗τ = τ ∗ τ = τ ∗ −τ ∗ τ .

. (6.3.14)XR ( ) ( )= τ ∗ρ

trong đó2

( ) h( ) h ( ) h(t )h (t)dt H( )∞

∗ ∗

−∞

ρ τ = τ ∗ −τ = + τ ↔ ω∫ .

Các công thức (6.3.3), (6.3.7), (6.3.10) - (6.3.12) vẫn còn đúng cho tr ườ nghợ p phức.

6.3.3. Đáp ứ ng hệ LTI rờ i rạc vớ i đầu vào ngẫu nhiênChúng ta đã nghiên cứu hàm tươ ng quan và phổ công suất của dãy ngẫu

nhiên ở các mục 6.1.5 và 6.2.4. Bây giờ giả sử tại đầu vào của hệ LTI r ờ i r ạc cho

tác động một dãy ngẫu nhiên ( ) X n . Theo (6.2.23) ta xác định đượ c ( ) Y n .

120m

Y(n) X(n m)h(m)∞

=−∞= −∑ , (6.3.15)



H ệ quả. (Phổ công suấ t của QT đầu vào - đầu ra).

( )XY XS S ( )H∗ω = ω ω( ); (6.3.20)

( ) ( ) ( )2

Y XS S Hω = ω ω . (6.3.21 )

Nhận xét. Khi dùng phép biến đổi Z, trong tr ườ ng hợ p h(n) thực, do

H ∗ H ta có(z) = 1(z )−

S SY (z) = X (z) = H H( (6.3.21(z) 1/ z) ’)

6.3.4. Các ví dụ.Ví d ụ 6.14. H ệ lý t ưở ng. Để đơ n giản phân tích nhiều hệ phức tạ p, ngườ i ta

thườ ng xấ p xỉ hàm truyền H(ω ) của hệ bằng một hàm truyền lý tưở ng. Hàmtruyền lý tưở ng hoá đượ c mô tả trên Hình 6.11(a) đối vớ i hệ thông thấ p LP(lowpass system), (b) đối vớ i hệ thông dải BP (bandpass system), (c) đối vớ i hệ thông cao HP (highpass system).

ω

1

-W

WH( ) , ( )ω θ ω

W ωω o−ω oω

11

(b)(a)

(c)

Hình 6.11. Hàm truyề n của hệ lý t ưở ng Trong mỗi tr ườ ng hợ p, hàm truyền có môđun bằng 1 trên giá của nó, bằng 0

ngoài giá còn pha θ ω là hàm tuyến tính của tần số ( ) ω .Khi dùng hệ lý tưở ng để thay thế hệ thực, hệ lý tưở ng phải đượ c chọn lựa để

trung điểm của giá xấ p xỉ vớ i giá tr ị trung tâm của tần số của hệ thực và hệ số góccủa pha phải xấ p xỉ hệ số góc pha của hệ thực. Giá tr ị W - đượ c gọi là độ r ộng dải

băng hệ lý tưở ng - đượ c chọn lựa theo một cơ sở hợ p lý nào đó, ví dụ bằng độ r ộng dải băng 3 - dB của hệ thực.

Bây giờ xét bộ lọc lý tưở ng thông dải không có độ lệch pha ( ( , ở đầu

vào ta cho tác động QT dừng . QT đầu ra

) 0)θ ω =

X(t) Y(t) có phổ công suất là

X 0Y

0

S ( ) khi W/2S ( )

0 khi W/2.

⎧ ω ω − ω <⎪ω = ⎨

ω − ω ≥⎪⎩

(6.3.22)

122



Đối vớ i QT thực thì XS ( )ω là chẵn và do đó+W/2o

Y Y Y XW/2o

1 1P R (0) S ( )d S ( )d

2

ω∞

−∞ ω −= = ω ω = ω

π π∫ ∫ ω . (6.3.23)

Ví d ụ 6.1.15. Ta biết r ằng sóng sin ngẫu nhiên oX(t) Asin( t +U)= ω xét ở Ví

dụ 6.1 có phổ công suất là [2

oA ( ) (2π ]0 )δ ω − ω + δ ω + ω . Giả sử X(t) tác động

lên đầu vào của mạch RC nói đến ở Ví dụ 6.13. Đây là lọc bậc nhất vớ i

vàth(t) e u(t)− α= α H( ) j

αω =

α + ω. Theo (6.3.10) ta nhận đượ c

2

XY X o o

AS ( ) S ( )H ( ) [ ( ) + ( )]

2 j∗ π α

ω = ω ω = δ ω − ω δ ω + ωα − ω

,

2Y XS ( ) S ( ) H( )ω = ω ω [ ]

2 2

o o2 2A

( ) (2( )

π α)= δ ω − ω + δ ω + ω

α + ω

Bở i vì YS ( )ω [ ]( )2

o o2 2A 2

( ) (2.2

α α= π δ ω − ω + δ ω

α + ω)+ ω

2A

4

α= ℱ (e )−α τ

ℱ o(cos( ))ω τ .

nên YR ( )τ =2A

4

α(e )−α τ

o(cos( ))∗ ω τ .

Ví d ụ 6.16. Trung bình tr ượ t . Xét hệ vớ i đầu ra biểu diễn bở it T

t T

1

Y(t) X(s)ds2T

+

−= ∫ , là giá tr ị trung bình của X(t) trên đoạn [t - T; t + T].Rõ ràng đáp ứng xung h(t) của hệ là thực và là xung chữ nhật, còn

là xung tam giác (Hình 6.12).(t) h(t) h( t)ρ = ∗ −Theo (6.3.11) ta tính đượ c

123

T j

T

1 sin(TH( ) e d

2T T− ωτ

−

) 2

Y X 2sin (T )

) S ( )(T )

ωω = ω

ω

ωω = τ =

ω∫ S ( .;

(a)

(t)ρ h(t)

12T

12T

t-2TtT-Tt-Ttt-T

(c)(b)

Hình 6.12. Trung bình tr ượ t (a), đ áp ứ ng xung (b) và hàm (t)ρ của nó (c).



Như vậy, nhận những giá tr ị khác 0 có ý ngh ĩ a chỉ trên một khoảng

quanh gốc toạ độ vớ i độ r ộng

H( )ω

( )O 1/ T ( cùng bậc vớ i 1/T). Từ đó, trung bình tr ượ t

làm teo đi những thành phần tần số cao của đầu vào. Đơ n giản, đó là lọc thôngthấ p.

Lọc thông cao. Bây giờ , đặt

Z(t) X(t) Y(t)= − .Z(t) là đầu ra của hệ vớ i đầu vào là X(t), còn hàm truyền làsin(T )

H( ) 1T

ωω = −

ω.

Hàm truyền này gần bằng 0 tại một khoảng độ r ộng cỡ O(1/T) quanh gốc toạ độ, tiến đến 1 tại những lớ n. Như vậy, xem nó như lọc thông cao, làm teo đinhững tần số thấ p đầu vào.

ω

Ví d ụ 6.17. Phổ QT đạo hàm. Phân tích phổ của QT đạo hàm giúp ích quantr ọng cho phân tích hệ thông tin xử lí tấn số FM. QT đạo hàm của quá trình MS -khả vi X(t) bất kì có thể xem là đầu ra của bộ lọc vớ i hàm truyền H còn

đầu vào là QT X(t). Theo (6.3.10) và (6.3.11) thì

( ) jω = ω

XX X XS ( ) H ( ) S ( ) j S ( ),∗′ ω = ω ω = − ω ω

2 2X XS ( ) H( ) S ( ) S ( )′ ω = ω ω = ω ωX . (6.3.24)

Từ tính chất của phép biến đổi Fourier ngượ c suy ra

XXR ( )′ τ =ℱ [ ]1XXS ( )−

′ ω = −ℱ 1[j− ωℱ X X[R ( )]]= R ( ),′ω − τ

XR ( )′ τ =ℱ [ ]1XS ( )−

′ ω = −ℱ 1 2[(j )− ω ℱ X X[R ( )]]= R ( ).′′ω − τ

Chúng ta lấy lại công thức (5.4.6).

Tổng quát, đặt là đạo hàm cấ p n của quá trình MS - khả vi n

lần X(t). Khi đó Y(t) là đầu ra của hệ vớ i đầu vào X(t), hàm truyền

(n)Y(t) X (t)=n( j )ω .

Hơ n nữa,2n n (2n)

Y X YS ( ) S ( ); R ( ) ( 1) R ( ).ω = ω ω τ = − τ (6.3.25)

§6.4. QUÁ TRÌNH TỰ HỒI QUY - TRUNG BÌNH ĐỘNG ()

Quá trình tự hồi quy – trung bình động ARMA xem như đầu ra của hệ LTIđặc biệt vớ i hàm truyền phân thức, đầu vào nhiễu tr ắng. QT này biểu diễn lớ p r ấtr ộng dãy các tín hiệu ngẫu nhiên và có nhiều áp dụng trong phân tích tín hiệu.

Dạng đơ n giản của nó là mô hình tự hồi quy AR và mô hình trung bình động MA.

6.4.1.Quá trình tự hồi quy AR a) Định nghĩ a. Giả sử N(t) là dãy nhiễu tr ắng vớ i phươ ng sai chung

. Dãy các BNN X(n) đượ c gọi là QT tự hồi quy cấ p p, viết tắt là AR(p)(autoregressive process), nếu nó thoả mãn phươ ng trình

2 N 0σ ≠

124



1 pX(n) a X(n 1) ... a X(n p) N(n)= − − − − − + (6.4.1)

trong đó , còn N(n) là BNN không tươ ng quan vớ i các “quá

khứ” X1 p pa ,..., a , a 0∈ ≠¡

(n 1), X(n 2),...− −Dấu tr ừ đặt tr ướ c các hệ số để dễ tính toán và phù hợ p vớ i ký hiệu trong

MATLAP.ia

Phươ ng trình (6.4.1) là một dạng mô hình hoá số liệu, ở đó giá tr ị hiện tạiX(n) của QT bằng tổng tr ọng số của p giá tr ị quá khứ gần nhất của chính QT này

µ1 pX(n) a X(n 1) ... a X(n p)= − − − − − (6.4.2)

là dự báo của QT sau 1 bướ c tại thờ i điểm n - 1 và thêm vào 1 sai số. Chính vì thế,mô hình tự hồi quy AR còn đượ c gọi là mô hình dự báo tuyến tính LP (linear

prediction).b) Điề u kiện d ừ ng - Điề u kiện khả nghịch.

Ta gọi QT X(n) là khả nghịch nếu tồn tại dãy số k c và dãy nhiễu tr ắng

N(n) sao cho (MS - hội tụ), có thể là tổng hữu hạn.k k 0n, N(n) c X(k)

∞

=∀ = ∑Rõ ràng quá trình AR là khả nghịch vớ i giá tr ị tuỳ ý của các hệ số .iaTuy nhiên, không phải mọi quá trình AR đều dừng. Để xét tính dừng của nó,

tr ướ c hết ta xét quá trình cấ p 1

1X(n) a X(n 1) N(n)= − − + (6.4.3)hay (6.4.31X(n) a X(n 1) N(n) (a 0).+ − = ≠1

’)

Gọi là nghiệm của phươ ng trìnhθ 1z a 0+ = , thế thì 1aθ = − .

Thay bở i vào (6.4.3), lại thay bở ivào biểu thức vừa thu đượ c… ta đi đến

X(n 1)− X(n 2) N(n 1)θ − + − X(n 2)−X(n 3) N(n 2)θ − + −

m m 1X(n) N(n) N(n 1) ... N(n m) X(n m 1)+= + θ − + + θ − + θ − − .Để tổng vế phải có phươ ng sai hữu hạn cần có 1θ < . Nếu xảy ra điều này

thì và ta nhận đượ cm 1l.i.m. X(n m 1) 0+θ − − =

k

k 0X(n) N(n k)

∞

== θ −∑

sẽ là QT dừng. Tươ ng tự vớ i quá trình AR bậc p > 1 bất k ỳ ngườ i ta chứng minhđượ c định lý:

Định lý 6.15. ( Điề u kiện d ừ ng). Nếu tất cả các nghiệm jθ của đa thức

p p p 11 pz A(z) z a z ... a−= + + +

đều nằm trong vòng tròn đơ n vị: j 1θ < , thì quá trình tự hồi quy (6.4.1) là dừng

và có thể biểu diễn đượ c dướ i dạng tổng vô hạn

k k 0

X(n) c N(n k)∞

== ∑ − (MS - hội tụ). (6.4.4)

125



H ệ quả. Đối vớ i quá trình AR(1), điều kiện dừng là

1a 1< . (6.4.5)

Đối vớ i quá trình AR(2), điều kiện dừng là

1 2

1 2

2

(a a ) 1

a a

a 1

⎧− + <⎪

− <⎨

⎪

1

<⎩

(6.4.6)

c)Lọc AR. Viết lại (6.4.1) dướ i dạng

1 pX(n) a X(n 1) ... a X(n p) N(n)+ − + + − = (6.4.7)

Ta lại biết hàm hệ thống của toán tử tr ễ đơ n vị là 1z− . Vậy, (6.4.7) biểu diễnmột lọc vớ i đầu vào X(n), đầu ra nhiễu tr ắng N(n), hàm hệ thống

1 p1 pA(z) 1 a z ... a z− −= + + + .

Lọc này có tên là lọc tẩy tr ắng (whitening filter) vì nó biến QT đã cho thành

nhiễu tr ắng; cũng có tên là lọc ngượ c, nhiễu tr ắng thu đượ c đượ c gọi là tr ắng hoácủa QT đã cho. Rõ ràng lọc tẩy tr ắng này là khả thi. Như đã thấy ở b), nếu mọi nghiệm của đa thức

p p p 11 pz A(z) z a z ... a−= + + +

đều nằm trong vòng tròn đơ n vị thì tồn tại phép biến đổi LTI khả thi, ngượ c của phép biến đổi AR đã cho, biến N(n) thành X(n) vớ i hàm hệ thống là

11 p

1 1L(z) .

A(z) 1 a z ... a z p− −= =

+ + + (6.4.8)

Lọc ứng vớ i phép biến đổi này gọi là lọc AR; nó cũng đượ c gọi là lọc hoàn

nguyên (innovations filter), tức là từ QT tr ắng hoá của X(t), qua lọc ta nhận lạiđượ c X(t). Ở đây, lọc tẩy tr ắng có cấu trúc hình thang thể hiện ở Hình 6.13(a),lọc hoàn nguyên (hay lọc AR) thể hiện ở Hình 6.13(b).

126

1

A(z)

N(n)

X(n)1z− 1z−

-a1 -a p

X(n) N(n)(b)

(a)

Hình 6.13. Lọc t ẩ y tr ắ ng (a) và l ọc hoàn nguyên (l ọc AR)(b)



d) Nhận d ạng hệ thố ng. Như đã thấy ở a), hàm hệ thống hoàn toàn xác định bở i các hệ số

Để tính các hệ số này, tr ướ c hết từ tính không tươ ng quan trong định ngh ĩ a quátrình AR suy ra

1 na ,...,a .

2 NE[X(n)N(n)] ; E[X(n m)N(n)] 0= σ − = vớ i .m 0>

Nhân 2 vế (6.4.7) vớ i X(n - m) và đặt m 0.1,2, ...= ta nhận đượ c2

X 1 X p X

X 1 X p X

X 1 X p X

R (0) a R (1) ... a R (p)

R (1) a R (0) ... a R (p 1) 0

R (p) a R (p 1) ... a R (0) 0

⎧ + + +⎪

+ + + −⎪⎨

N= σ

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎪⎪ + − + + =⎩

(6.4.9)

và (m > p) (6.4.10)X 1 X p XR (m) a R (m 1) ... a R (m p) 0+ − + + − =

p + 1 phươ ng trình đầu lậ p thành hệ Yule – Walker, dùng để ướ c lượ ng p +

1 tham số và thông qua p + 1 giá tr ị . (Dãycác tự tươ ng quan này đượ c ướ c lượ ng theo (5.3.17) hoặc (5.3.18)). Nghiệm củahệ sẽ duy nhất nếu định thức ma tr ận các hệ số (chính là ma tr ận tươ ng quan

1 pa , ...,a

2

Nσ X X XR (0), R (1),..., R (p)

N∆

của X(n) ) khác không ( dươ ng).⇔

Phươ ng trình (6.4.10) cho phép tìm ướ c lượ ng của vớ im > p như là dự báo thông qua ướ c lượ ng của p quá khứ gần nhất của nó, hệ số của phươ ng trình dự báo trùng vớ i hệ số của phươ ng trình dự báo của chính QT đãcho ( PT (6.4.2)).

µXR (m) XR (m)

Có thể giải hệ (6.4.9) theo phươ ng pháp thông thườ ng (ví dụ, khử Gauss),

song không hiệu quả khi p lớ n. Thuật toán Levinson – Durbin tính đến ma tr ận hệ số của hệ là ma tr ận Toeplitz - tức là ma tr ận đối xứng và các phần tử trên đườ ngchéo chính bằng nhau - sẽ hiệu quả hơ n nhiều. Trong MATLAP có hàm lpc cho

phép tìm ướ c lượ ng của từ tậ p số liệu đã cho.ia$ iaĐể tính phổ công suất chúng ta sử dụng (6.3.21’):

2 1X NS (z) L(z)L(z )−= σ

2 jX X Nz e 2 p

jk k

k 1

1S ( ) S (z)

1 a e

ω=− ω

=

⇒ ω = = σ

+ ∑

(6.4.11)

Chứng minh đượ c, ướ c lượ ng bình phươ ng cực tiểu của phổ công suất là

$2X N 2 p

jk k

k 1

1S ( )

1 a e− ω

=

ω = σ

+ ∑

$

$

. (6.4.11’)

127



129

qq

Lọc này đượ c gọi là lọc MA. Hiển nhiên đây là lọc khả thi. Đáp ứng xungchỉ có hữu hạn thành phần khác không nên lọc MA cũng là lọc có đáp ứng xunghữu hạn, viết tắt là lọc FIR (finite impulse response). Rõ ràng hàm hệ thống củalọc là

11B(z) 1 b z ... b z− −= + + + (6.4.14)

Lọc MA đượ c mô tả ở Hình 6.15.

X(n)

N(n)

q b 1 b 0 b

1z−1z−

Hình 6.15. Lọc MA.

Như đã nêu ở phần b), nếu mọi nghiệm của đa thức q q 11 qz b z ... b−+ + + đều

nằm trong vòng tròn đơ n vị thì tồn tại lọc hoàn nguyên khả thi vớ i hàm hệ thống1

(z)B(z)

Λ = .

Rõ ràng, hàm truyền của lọc MA là j j1 qH( ) 1 b e ... b e q− ωω = + + + − ω . Tuy

nhiên, dạng (6.4.14) là tiện lợ i hơ n nhiều.d) Nhận d ạng hệ thố ng.

Để tính dãy tự tươ ng quan ta lưu ý r ằng l(k) = 0 vớ i k > q hoặc k < 0, sử dụng (6.3.19) ta nhận đượ c

( )2 2X N N N

k R (n) R (n) (n) (k) (n k) (n)

∞

=−∞= ∗ρ = σ δ ρ − = σ ρ∑

2 N

k l(n k)l(k)

∞

=−∞= σ +∑

q n q n2 2 N N k n k

k 0 k 0l(n k)l(k) b b (0 n q)

− −

+= =

= σ + = σ ≤∑ ∑ ≤

q

,

.XR (n) 0 (n q)= >Cụ thể là

2 2 2 2

X N 0 1 q2

X N 0 1 1 2 q 1

2X N 0 q 0

X

R (0) (b b ... b )

R (1) (b b b b ... b b )

R (q) b b (b 1)

R (n) 0 (n q 1)

−

⎧ = σ + + +⎪⎪ = σ + + +⎪⎪

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎨⎪

= σ =⎪⎪ = ≥ +⎪⎩

(6.4.15)



Nhận xét. i) Hệ (6.4.15) cho ta hai khẳng định:Thứ nhất, nếu biết tr ướ c các tr ọng số 1 q b ,...,b ta có thể tính đượ c dãy các tự

tươ ng quan XR (n) .

Thứ hai, nếu biết tr ướ c dãy các tự tươ ng quan XR (n) (mà trong nhiều

tr ườ ng hợ p ta có thể tính xấ p xỉ theo (5.3.17) hoặc (5.3.18)), thay vào (6.4.15) ta

có khả năng tính đượ c các tr ọng số 1 q b ,...,b . Tuy nhiên, đây là hệ phi tuyến, việcgiải hệ chỉ thuận lợ i khi q khá nhỏ.

ii) Để tránh giải hệ phi tuyến (6.4.15) có thể dùng phươ ng pháp tách phổ sauđây.

Do nên ta có thể tính đượ cXR (k) 0 k q 1= ∀ ≥ +q

2 k X X X

k qS (z) R (k)z−

=−= σ ∑ .

Vấn để bây giờ là tìm 1 q1 qB(z) 1 b z ... b z− −= + + + để

.2X NS (z) B(z)B(1/ z)= σVì X(n) là QT thực nên X XR (n) R ( n)= − . Thế thì là hàm của

. Vậy khi là phân thức hữu tỷ thì nếu là không điểm hay cực

điểm thì suy ra cũng là không điểm hay cực điểm. Từ đó, có thể phân chúng

ra làm 2 nhóm: Một nhóm “bên trong” bao gồm những mà

XS (z)1z z−+ XS (z) iz

1i(z )−

iz iz < 1, một nhóm

“bên ngoài” bao gồm những màiz iz > 1. B(z) là tỷ số hai phân thức mà các

nghiệm của nó là các không điểm hay cực điểm “bên trong” của . Ta hãythực hiện điều này thông qua một ví dụ.

XS (z)

Giả sử biết phổ công suất 1XS (z) 5 2(z z )−= + + . Tìm 2 NP N= σ và B(z).

2 12 5 2 1 1 1S(z) (z z 1) (z )(z 2) 4(1 z )(1 z)

z 2 z 2 2 2−= + + = + + = + +

Vậy 2 1 N

14; B(z) 1 z

2−σ = = + .

Phươ ng pháp này còn đượ c áp dụng cả cho tr ườ ng hợ p là hàm phân

thức của (quá trình ARMA xét sau đây). Mặc dầu khá đượ c ưa dùng, phươ ng pháp tách phổ cần tìm nghiệm của đa thức. Phươ ng pháp chính quy hơ nđể tìm thừa số Hurwitz B(z) từ phổ S(z) sử dụng thuật toán Levinson đề cậ p đến ở [8], tr 470.

XS (z)1z z−+

6.4.3.Quá trình ARMA Ngườ i ta thấy r ằng, để xây dựng mô hình cho dãy số liệu thì nên k ết hợ p cả

những số hạng tự hồi quy, cả những số hạng trung bình động để đượ c mô hình hỗnhợ p sát hơ n vớ i số liệu, có tính linh động hơ n từng mô hình đơ n lẻ.

130



a) Định nghĩ a. Giả sử N(n) là dãy nhiều tr ắng vớ i phươ ng sai chung 2 Nσ .

Dãy ngẫu nhiên X(n)

∈

0 ta

đượ c gọi là QT tự hồi quy - trung bình động cấ p (q, q), ký

hiệu ARMA(p,q), nếu có thể biểu diễn nó dướ i dạng p q

i k i 1 k 0

X(n) a X(n i) b N(n k)= =

= − − + −∑ ∑ (6.4.16)

trong đó , và giả thiết thêm r ằng N(n) không tươ ng quan vớ i cácquá khứ X(n-1), X(n-2),…

0 i k b 1, a , b= ¡

Đặc biệt, khi nhận đượ c quá trình MA(q);1 p qa ... a 0, b= = = ≠ ,

khi 1 q p b ... b 0, a 0= = = ≠ , ta nhận đượ c quá trình AR(p).

b) Điề u kiện d ừ ng - Điề u kiện khả nghịch.

Chúng ta chỉ xét quá trình ARMA mà quá trình AR tươ ng ứng là dừng, vàquá trình MA tươ ng ứng là khả nghịch, cụ thể là tất cả các nghiệm của 2 đa thức

p p p 11 pz A(z) z a z ... a−= + + + và q q q 1

1 qz B(z) z b z ... b−= + + +

đều nằm trong vòng tròn đơ n vị.Có thể chứng minh r ằng, vớ i quá trình ARMA như thế, luôn có thể coi nónhư là một quá trình tự hồi quy cấ p vô hạn AR( )∞ :

k k 1

N(n) c X(n k)∞

== −∑ ;

cũng như có thể coi nó như là một quá trình trung bình tr ượ t cấ p vô hạn :MA( )∞

k k 0

X(n) d N(n k)∞

== −∑ .

c)Lọc ARMA. Chúng ta viết lại (6.4.16) dướ i dạng

1 p 1 qX(n) a X(n 1) ... a X(n p) N(n) b N(n 1) ... b N(n q)+ − + + − = + − + + − .(6.4.17)Từ đó dễ thấy hàm hệ thống của lọc là

1 q1 q

1 p1 p

1 b z ... b z B(z)L(z)

A(z)1 a z ...a z

− −

− −

+ + +=

+ += . (6.4.18)

Như vậy, từ điều kiện dừng và khả nghịch, quá trình ARMA là dừng và khả nghịch, lọc ARMA là ghép nối tiế p của 2 lọc MA(q) và AR(p):

Y(n) X(n) N(n) 1

A(z)

B(z)

Hình 6.16. Lọc ARMA .

d) Ướ c l ượ ng tham số . Nhân 2 vế (6.4.17) vớ i X(n m)− r ồi lấy k ỳ vọng, sử dụng điều kiện ta thu đượ cE[X(n m)N(n r)] 0 khi m r − − = >

>X 1 X p XR (m) a R (m 1) ... a R (m p) 0 (m q)+ − + + − = (6.4.19)

131



§6.5.QUÁ TRÌNH THÔNG DẢI VÀ ĐIỀU CHẾ 6.5.1. Quá trình thông dải Định nghĩ a. QTX(t) đượ c gọi là tần thấ p (hay âm tần) (lowpass process)

nếu phổ công suất của nó triệt tiêu ngoài một dải (-W; W) nào đó chứa

(Hình 6.17(a)).XS ( )ω

0ω =QT X(t) đượ c gọi là thông dải (bandpass process) nếu ngoài dải tần

nào đó không chứa vớ i độ r ộng W, phổ công suất của nó bằng 0:1 2( ; )ω ω 0ω =

XS ( ) 0,ω = vớ i 1 1[ ; W]ω ∉ ω ω +

(Hình 6.17(b)). Nhận xét. Phổ công suất gắn vớ i hệ vật lý thực luôn giảm từ một tần số đủ

lớ n nào đó và có dạng như ở Hình 6.17(c). Từ đó, chúng ta luôn chọn đượ c tần số thuận tiện, gần vớ i nơ i mà S (oω X )ω đạt giá tr ị cực đại và một đoạn độ dài W

quanh sao cho trên đoạn này S (oω X X o) aS ( )ω ≥ ω ( thườ ng thì chọn a = 0,1).Khi đó, chúng ta có thể xấ p xỉ QT xem xét bằng QT thông dải, cho phép bài toánđưa ra có lờ i giải.

ω ω

XS ( )ωXS ( )ω

W

W

1ω oω

(a)

XS ( )ω

o

W

ω ω 1ω

(c)

(b)

Hình 6.17. Phổ QT t ần thấ p (a), thông d ải (b) và “thông d ải’’ thự c t ế (c)

Định nghĩ a. QT thông dải X đượ c gọi là dải hẹ p (hay tựa đơ n sắc) nếu≪ , trong đó2 1W = ω − ω oω oω là tần số nào đó đượ c chọn gần trung tâm dải

băng tần hay gần nơ i phổ công suất đạt giá tr ị cực đại (Hình 6.18). Nếu XS ( )ω làhàm xung thì QT đượ c gọi là đơ n sắc.

133



134

Hình 6.18. Phổ công suấ t QT d ải hẹ p

XS ( )ω

1 0 2ω ω ω ωo−ω

Định nghĩ a. Cho hai QT thực, dừng đồng thờ i a(t) và b(t) , là

hằng số dươ ng tuỳ ý. Quá trìnho 0ω >

o oX(t) a(t)cos( t) b(t)sin( t)= ω − ω

(6.5.1)or(t)cos( t (t))= ω + ϕ

trong đó 2 2r(t) a (t) b (t)= + ,

b(t)tg( (t))a(t)

ϕ =

đựơ c gọi là QT điều biên (điều chế biên độ) vớ i điều biên r(t) và điều pha .(t)ϕ

K ể cả khi là BNN có phân bố đều trên(t)ϕ [ ]0;2π và độc lậ p vớ i r(t), r(t)

vẫn có thể không là QT dừng. Định lý sau cho ta điều kiện cần và đủ đặt lên haithành phần a(t) và b(t) để QT X(t) là dừng.

Định lý 6.17. Để QT điều biên (6.5.1) là dừng, quy tâm, điều kiện cần và đủ là mỗi QT a(t) và b(t) là quy tâm và thoả mãn hai điều kiện

a bR ( ) R ( );τ = τ ab baR ( ) R ( ).τ = − τ (6.5.2)

Khi đó, X a o ab oR ( ) R ( )cos( ) R ( )sin ( ).τ = τ ω τ + τ ω τ

Chứ ng minh. Vì a(t) và b(t) là hai QT dừng đồng thờ i nên

a o bE[X(t)] = (t)cos( t) (t)sin( t).µ ω − µ ωo (6.5.3)

o2E[X(t )X(t)] 2E[a(t )cos( (t ))+ τ = + τ ω + τ − o b(t )sin( (t ))].+ τ ω + τ [a o(t)cos( t)ω − o b(t) sin( t)]ω

+a b o ab ba[R ( ) R ( )]cos( ) [R ( ) R ( )]sin( )= τ + τ ω τ + τ − τ ω τo

R ( ) R ( )]cos( (2t )) [R ( ) R ( )]sin( (2t ))τ − τ ω + τ − τ + τ ω + τ+[ . (6.5.4)a b o ab ba o

*Từ (6.5.3), X(t) quy tâm khi và chỉ khi a(t) và b(t) quy tâm.

*Từ (6.5.4), không phụ thuộc t khi và chỉ khi[E X(t )X(t)+ τ ]) R ( )τ = τ .R ( vàa b ab baR ( ) R ( )τ = − τ

Phần còn lại là rõ ràng.



Lấy biến đổi Fourier ngượ c suy ra

136

.(XX

XX XX

R ( ) R ( ),

R ( ) R ( )

τ = τ⎧⎪⎨

τ = − τ⎪⎩

(

((6.5.13)

Bây giờ đặt

j to

Z(t) X(t) jX(t),

W(t) Z(t)e a(t) jb(t).− ω

⎧ = +⎪⎨ = = +⎪⎩ (6.5.14)

Dễ kiểm tra r ằng j to

o

o o

Z(t) W(t)e ,

a(t) X(t)cos( t) X(t)sin( t),o

b(t) X(t)cos( t) X(t)sin( t).

ω⎧ =⎪⎪

= ω + ω⎨⎪ = ω − ω⎪⎩

(

((6.5.15)

Suy ra

o oX(t) Re(Z(t)) a(t)cos( t) b(t)sin( t)= = ω − ω ,

ta nhận đượ c biểu diễn (6.5.5). Còn phải chỉ rõ các tính chất của a(t) , b(t) .Áp dụng Định lý 6.17 cho cặ p QT X(t) , X(t)− cũng như cặ p QT

X(t), X(t) suy ra a(t) và b(t) là thực, dừng, quy tâm và

a b X o XXR ( ) R ( ) R ( )cos( ) R sin( )τ = τ = τ ω τ − ω τ(o

o

.

Ngoài ra, tính toán chi tiết và sử dụng (6.5.13) ta đượ cE[a(t )b(t)]+ τ E[b(t )a(t)]= − + τ X o XXR ( )sin( ) R ( )cos( )= − τ ω τ − τ ω τ(

Vậy a(t) , b(t) là dừng đồng thờ i vớ i

.ab ba X o oXXR ( ) R ( ) R ( )sin ( ) R cos( )τ = − τ = − τ ω τ − ω τ(

Để chứng minh a) ta nhận thấy Z(t) là đầu ra ứng vớ i đầu vào X(t) quahệ vớ i hàm truyền Áp dụng (6.3.11) ta thấy1 j( j)sgn 2u( ).+ − ω = ω Z(t ) thoả

mãn hệ thức đầu của (6.5.6).

Hệ thức thứ hai suy từ chỗ j oW ZR ( ) e R ( )− ω ττ = τ và do đó

ℱ WS ( )ω = W[R ( )]τ =ℱ j oZ Z[e R ( )] S ( )− ω τ

oτ = ω + ω .

Đẳng thức đầu của (6.5.7) là rõ ràng. Để chứng minh đẳng thức thứ hai,tr ướ c hết vớ i W(t) xác định theo (6.5.14) dễ kiểm tra r ằng

W a abR ( ) 2R ( ) 2jR ( )τ = τ + τ .

b

ab

Ngoài ra, từ chỗ và sử dụng Định lý 5.5 ta đi tớ iab baR ( ) R ( )−τ = τ; j j

W W a aS ( ) e R ( )d e [2R ( ) 2 jR ( )]d∞ ∞

− ωτ − ωτ

−∞ −∞

ω = τ τ = τ + τ τ∫ ∫

jW aS ( ) e [2R ( ) 2jR ( )]d

+∞ωτ

−∞

−ω = τ + τ τ∫



137

∫ ja abe [2R ( ) 2jR ( )]d

∞− ωτ

−∞

= −τ + −τ τ ja bae [2R ( ) 2jR ( )]d

∞− ωτ

−∞

= τ + τ τ∫ .

Cộng vế vớ i vế đượ c

jW W a aS ( ) S ( ) 4 e R ( )d 4S ( ),

∞− ωτ

−∞

ω + −ω = τ τ = ω∫

chúng ta nhận đượ c (6.5.7).Để chứng minh (6.5.8), từ (6.5.6) và (6.5.7) suy ra

j ja a Z o Z o

1 1 1R ( ) S ( )e d [S ( ) S ( )] e d

2 2 4

∞ ∞ωτ ωτ

−∞ −∞

τ = ω ω = ω + ω + −ω + ω ωπ π∫ ∫

jX o o X o o

1 1[4S ( )u( ) 4S ( )u( )] e d

2 4

∞ωτ

−∞

= ω + ω ω + ω + −ω + ω −ω + ω ωπ ∫ .

Bằng các phép đổi biến tích phân và rút gọn, ta nhậnđượ c (6.5.8).Cuối cùng, thay vào (6.5.8) ta nhận đượ c (6.5.9). ()0τ =

Lư u ý. j to

Z(t) X(t) jX(t),

W(t) Z(t)e a(t) jb(t).− ω⎧ = +⎪⎨

= = +⎪⎩

Các QT a(t), b(t) đượ c gọi lần lượ t là thành phần chính pha (inphasecompnent) và thành phần cầu phươ ng (quadrature componont) của X(t), W(t)đượ c gọi là biên độ phức của X(t) còn khai triển (6.5.5) đượ c gọi là biểu diễn Ricecủa X(t).

H ệ quả. Nếu QT thực, dừng, quy tâm X(t) là thông dải vớ i giá phổ côngsuất thì có thể chọn[ ]1 2;ω ω [ ]o 1 2;ω ∈ ω ω để biên độ phức W(t) và và các

thành phần chính pha a(t) và thành phần cầu phươ ng b(t) là những QT tầnthấ p. Hơ n nữa, có thể nhận đượ c a(t) và b(t) từ lượ c đồ ở Hình 6.19(a), trongđó tần số ngưỡ ng W của bộ lọc lý tưở ng thông thấ p LP thoả mãn quan hệ

. (6.5.16)o 1 2 o o o 1Max ( ; ) W < ( )ω − ω ω − ω < ω + ω − ω

Đặc biệt, nếu N(t) là nhiễu tr ắng thông dải vớ i mật độ phổ công suất 2σ

trên giá [ ] thì1 2 o 1 2; , ( ) /ω ω ω = ω + ω 2

o

2a b ( ) / 22 1

S ( ) S ( ) 2 rest ( )ω −ωω = ω = σ ω .

Thực vậy, từ (6.5.6) ta có W X oS ( ) 4S ( )u( )ω = ω + ω ω + ω . Vớ i cách chọn

đã nêu, W(t) là QT tần thấ p vàoω W X o o 1S ( ) 0, : W ( ) Max( ; )ω = ∀ω ω > ω = ω − ω ω − ω2 o

]

.

Biểu thức (6.5.7) cũng chứng tỏ r ằng a(t) và b(t) là các QT thấ p tần vớ igiá .X o X o[ W ( );W ( )− ω ω



Hình 6.19.Tách thành phần chính pha và cầu phươ ng bằ ng l ọc thông thấ p

W(t) = a(t)+jb(t)X(t)

o2cos( t)ω

j to2e− ω

b(t)

a(t)

X(t)

- 2sin ( t0 )ω

LP

LP

Lịch sử: Tôi đã viết cẩn thận 1 VD về lọc cầu phươ ng. Song trong khuôn khổ giáo trình, tôiđã phải hy sinh, viết gộ p nó lại như ở đây. CMĐịnh lý ở đây có cải tiến đáng k ể so vớ i ở Pa.Hệ BĐT (6.4.16) cũng có cải tiến đáng k ể; ở Pa. họ viết lòng thòng, khó hiểu hơ n nhiều.

(b)

(a)

LP

Để chứng minh phần còn lại, nhận thấy r ằng lượ c đồ ở Hình 6.19(a) là tươ ngđươ ng vớ i lượ c đồ ở Hình 6.19(b), trong đó lọc lý tưở ng thông thấ p LP có tần số ngưỡ ng W. Rõ ràng

j to2X(t) Z(t) Z (t) : W (t) = Z (t)e ω∗ ∗ ∗= + .Từ đó,

j t 2 j to o2X(t)e W(t) W (t)e− ω − ω∗= + .

Phổ của QT W(t) và bằng-2j toW (t)e ω∗WS ( )ω và

tươ ng ứng. Từ giả thiết, phổ thứ nhất có giá nằm trong dải của lọc thông thấ p LP, phổ thứ hai có giá nằm ngoài dải này. Như vậy, đầu ra của bộ lọc bằng W(t)

(chính xác hơ n, QT đầu ra của bộ lọc có phổ trùng vớ i phổ của W(t)).

W oS ( 2 )− ω − ω

6.5.2.Nhiễu trong hệ thống thông tin điều biên AMMô t ả. Hệ thống truyền thanh công cộng thông dụng là hệ điều biên (điều

chế biên độ), gọi tắt là hệ AM (amplitude modulation). Trong hệ thống này, biênđộ của “sóng mang” tần số cao đượ c thay đổi (điều chế) bở i hàm tuyến tính củasóng mang tin tức (nhạc, âm thanh…). Ở M ĩ , các tần số sóng mang biến thiên từ 540 đến 1600 KHz, cách nhau 10 KHz. Sau đây, chúng tôi giớ i thiệu r ất ngắn gọnhệ thống truyền tin công cộng AM và mô tả nguyên lý nhiễu đượ c sử dụng ra saođể phân tích các hiện tượ ng của hệ thống.

Lượ c đồ hệ truyền tin AM đượ c nêu ở Hình 6.20. Ở tr ạm phát, tr ướ c hết, tínhiệu đượ c kích hoạt thêm một điện thế , sau đó ở bộ nhân nó k ết hợ p vớ i sóngmang để đượ c tín hiệu phát AM

oA

AM o o ox (t) (A x(t))cos( t )= + ω + θ (6.5.17)

trong đó những hằng số.o oA 0, ,> ω θ o là

138



Tín hiệu qua một kênh truyền đến máy thu. Ở máy thu, ngườ i ta bố trí bộ lọcthông dải vớ i độ r ộng dải băng W ít nhất bằng 2 lần độ r ộng phổ của tín hiệuX(t), nhưng cũng không r ộng hơ n mức cần thiết quá nhiều. Đầu ra của bộ lọcthông dải BP gắn vớ i đầu vào vào bộ phát hiện hình bao ED (envelope detector),cũng gọi là bộ giải điều chế (demodulator). Tín hiệu đầu ra bộ giải điều chế là hàmhình bao tín hiệu đầu vào của nó.

Suy giảm Gch

N t

BP ED

Má thu

Tínhiệu

o ocos( t )ω + θoA

Máy phát

R R s (t) n (t)+

d ds (t) n (t)+

Hình 6.20. Lượ c đồ khố i chứ c nă ng của hệ truyề n tin AM Phân tích. Chú ý r ằng, biên độ o(A x(t))+ của sóng mang – nói khác, hàm

hình bao của tín hiệu - là hàm tuyến tính của sóng âm x(t). Nói chung,

ta không điều khiển đượ c bở i vì thờ i gian đóng mở truyền sóng là ngẫu nhiênvà bản thân việc truyền sóng cũng có thể biến đổi góc pha, cho ta một góc pha

nào đó. Hợ p lý nhất sẽ coi pha là ngẫu nhiên, kí hiệu

AMx (t)

oθ

oθ Θ , và phân bố đều trên

đoạn [0; 2 ]. Hơ n nữa, ta có thể mô hình hoá x(t) như là quỹ đạo của QTNNX(t), và X(t) độc lậ p. Như vậy, tín hiệu đượ c mô hình hoá bở i

πΘ AMx (t)

AM o oX (t) (A X(t))cos( t )= + ω + Θ . (6.5.18) Nói chung, không là QT dừng, nhưng ta vẫn tính đượ c phổ công

suất của nó (xem mục 6.1.4). Vớ iAMX (t)

oω lớ n hơ n nhiều tần số cực đại của ,như ở mục 6.5.1, có thể chứng minh r ằng đây là QT thông dải vớ i dải tần tậ p trungquanh . Nếu

AMX (t)

oω X(t) là QT dừng, công suất tổng cộng là (xem Bài tậ p 6.13)

2 2AM AM o X

1P E[X (t)]= [A P

2= ]+ . (6.5.19)

Qua kênh truyền vớ i độ suy giảm kênh (hay độ nhạy kênh?) (channel gain), biên độ truyền bị suy giảm, tín hiệu đầu vào máy thu bây giờ chỉ còn

. Nó là tín hiệu thông dải nên khi qua bộ lọc thông dải BP, bỏ qua sự làm méo, xem như tín hiệu này vẫn giữ nguyên. Chúng ta giả sử r ằng qua kênhtruyền, tín hiệu bị cộng thêm vào một nhiễu tr ắng Gauss vớ i mật độ phổ công suất

. Kênh truyền thực còn có tác động tr ễ, tuy nhiên ta không xét ở đây vì chỉ để ýđến hiệu ứng của nhiễu. Qua bộ lọc BP, nhiễu tr ắng tr ở thành nhiễu tr ắng thôngdải.

chG

ch AMG x (t)

2σ

139



Như vậy, đầu ra bộ lọc thông dải cho ta = và màchúng ta có thể mô hình hoá bằng QT và đều là thông dải vớ i

R s (t) ch AMG x (t) R n (t)

R S (t) R N (t)

140

Θ+ Θ

R

R ch AMS (t) G X (t)=

ch o oG [A X(t)]cos( t )= + ω + ;

R N o N o N (t) a (t)cos( t ) b (t)sin ( t )= ω + Θ − ω (6.5.20)

trong đó và là những QT thấ p tần và Na (t) Nb (t) a b N N NP P P= = (từ Địnhlý 6.18 và Hệ quả của nó).

Ở đây, dạng sóng tổng cộng là

R R ch o N o N oS (t) N (t) [G (A X(t)) a (t)]cos( t ) b (t)sin( t )+ = + + ω + Θ − ω + Θ= oA(t)cos[ t (t)]ω + Θ + ψ (6.5.21)

trong đó

N

ch o N

b (t)tg( (t))

G [A X(t)] a (t)ψ =

+ +,

2 2 1/

ch o N NA(t) [[G (A X(t)) a (t)] b (t)]= + + + 2

1/22 2 N N N

ch o 2ch o ch o

2a (t) a (t) b (t)= G (A X(t)) 1+

G [A X(t)] G [A X(t)]

⎡ ⎤++ +⎢ ⎥

+ +⎢ ⎥⎣ ⎦2

)

2

. (6.5.22)

Giả sử đủ lớ n để không xảy ra quá tải điều chế (overmodulation), tức là

luôn dươ ng. Bây giờ ta chỉ quan tâm đến hình bao A(t) bở i vì đầu ra

của bộ phát hiện biên độ chính là hình bao này. Nhận thầy r ằng, là

hàm hình bao của , còn là hàm hình bao của tín hiệu đầuvào bộ phát hiện hình bao. Chúng ta giả thiết r ằng tỷ số công suất tín - tạ p đầu vào

máy thu là đủ lớ n, đến mức mà tỷ số

oA

oA X(t+2 2 N Na (t) b (t)+

2R N (t) 2

ch oG (A X(t))+

2 2 N N2ch o

a (t) b (t)

G (A X(t))

+

+ 2

;

.

là nhỏ vớ i mọi t. Vớ i giả

thiết này, (6.5.22) cho ta xấ p xỉ . (6.5.23)ch o NA(t) G (A X(t)) a (t)≈ + +

Khi mô hình hoá tín hiệu đầu ra và nhiễu đầu ra ở Hình 6.20 lần

lượ t bở i và , (6.5.23) dẫn đếnds (t) dn (t)

dS (t) d N (t)

d ch o

d N

S (t) G (A X(t)),

N (t) a (t).

≈ +⎧⎨

=⎩(6.5.24)

Công suất trung bình tín hiệu đầu ra (của bộ phát hiện biên độ) hữu hiệu, kíhiệu bở i , là công suất trung bình tín hiệu đầu ra của bộ phát hiện này đã quytâm hoá, nói khác ứng vớ i X(t) ở (6.5.24). Ngoài ra, khi kí hiệu công suất nhiễutrung bình đầu ra (bộ phát hiện) bở i thì

oS

o N2 2 2

o ch X chS G P G E[X (t)]= = 2

o N a N Nd N R N P P E[a (t)] P= = = = (6.5.25)



6.5.3.Nhiễu trong hệ thông tin điều biên FMa)Mô t ả. Sơ đồ khối chức năng của hệ thông tin điều chế tần số (điều biên)

FM thể hiện ở Hình 6.21.

i iX N+

R R X N+

FMX

MÁY THU

X Bộ điềuchế FM

N: Nhiễu tr ắng

Gauss phổ 2σ

BP

Bộ phân bi tMÁY PHÁT

Độ nhạy kênh chG

Bộ chặn

D DX N+

LP o oX N+

Hình 6.21. S ơ đồ khố i chứ c nă ng hệ thông tin công cộng FM So vớ i hệ AM quá trình phát – thu phức tạ p hơ n. Tại máy phát, QT mang

tin đượ c xử lí ở bộ điều chế (xem[9]) tr ở thành sóng phát FMXt

FM o0

X (t) Acos[ t X( )d= ω + Θ + λ α α∫ ] (6.5.28)

trong đó A > 0 là biên độ cực đại, oω - tần số sóng mang, Θ là BNN độc lậ p vớ i

X(t) và có phân bố đều trên [0;2 ]π ; hằng số λ là hệ số điều chế máy phát(transmite’s modulation constant), đơ n vị là Rad/s trên Vol nếu X(t) là điện áp.Tần số tức thờ i của tín hiệu điều chế là o X(t)ω + λ . Thực tế, các tr ạm (đài) phát

đượ c thiết k ế một tần số trung tâm o / 2ω π là một trong 100 khả năng có thể từ 88,1 đếm 107,9 MHz, cách nhau 200kHz.

Qua kênh truyền vớ i độ nhạy kênh G tín hiệu bị suy giảm công suất, hơ nnữa, nó còn bị tác động thêm vào một nhiễu. Ở máy thu, giống như vớ i tr ườ ng hợ phệ AM, đầu tiên ngườ i ta bố trí bộ lọc thông dải BP. Các khối tiế p theo là bộ chặn,

bộ phân biệt và cuối cùng là lọc thông thấ p LP để nhận đượ c tín hiệu mong muốn.

ch

b) Phân tích. Hướ ng nghiên cứ u thứ nhất là những tìm tòi về mặt lýthuyết những tính chất của tín hiệu điều chế FMX (t) . Thông qua thống kê và

phổ của QT X(t) hay của QT

t

0(t) X( )dϕ = α∫ α , ngườ i ta tính toán phổ và cácthống kê của QT . Theo hướ ng này có một số k ết quả quan tr ọng sau:FMX

b.1. Nếu X(t) là QT dừng mạnh thì FMX (t) là QT dừng theo ngh ĩ a

r ộng. Đặc biệt, nếu X(t) là Gauss dừng thì FMX (t) là dừng.

142



b.2. ( Định lý Woodward (*)). Hơ n nữa, nếu X(t) là QT có quỹ đạo liên

tục, hàm mật độ một chiều bị chặn thì vớ iXf (x) λ lớ n, phổ công suất của QT

FMX (t) đượ c xấ p xỉ bở i

oX X XFMS ( ) f f 2

o⎡ ⎤ω − ω −ω − ωπ ⎛ ⎞ ⎛

ω ≈ +⎜ ⎟ ⎜

⎞

⎟⎢ ⎥λ λ λ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ . (6.5.29)Đặc biệt, khi X(t) là QT Gauss, dừng, quy tâm còn hệ số điều chế máy

phát đủ lớ n sao choλ2 2

X oP λ τ ? 1

]

(6.5.30)trong đó

là công suất của QT mang tin 2XP E[X (t)= X(t) ,

o X X X o: R ( ) R (0) P , :τ τ ≈ = ∀τ τ < τ

)

(5.5.31)

thì xảy ra xấ p xỉ (6.5.29).

Ngườ i ta cũng nghiên cứu xấ p xỉ của phổ XFMS (ω trong tr ườ ng hợ p X làGauss, λ nhỏ. Chi tiết xem [8] tr 369- 372.

Hướ ng nghiên cứ u thứ hai sẽ đượ c chúng ta tìm hiểu chi tiết, đó là tínhtoán các thống kê và phổ của các QT tín hiệu, các QT nhiễu cũng như hiệu năngcủa hệ thống ở mỗi giai đoạn truyền trong thực tế.

Nói chung X(t) không bị chặn. Tuy nhiên, đối vớ i các QT cần truyền

trong thực tế, như ở mục 6.5.2 có thể giả thiết không xảy ra hiện tượ ng quá tảiđiều chế (overmodulation). Vì thế có thể xem QT X(t) là bị chặn:

o maxX(t) A X≤ = . Hệ số tr ội (crest-factor) của QT X(t) xác định bở i

maxcr 2

XK

E[X (t )]= . (6.5.32)

Peebles (1976) đã chỉ ra r ằng, độ r ộng dải băng của đối vớ i tr ườ nghợ p băng r ộng ( λ lớ n) đượ c xấ p xỉ bở i

FMX

FM max

2cr

W 2 X

2 K E[X (t)]

≈ λ

= λ

. (6.5.33)2= ∆ω trong đó

maxX∆ω = λ (6.4.34)

-------(*)Woodward, P.M. The spectrum of random frequency modulation. Telecommunication research.

Great Malvern, England, Memo 666. 1952.

143



.QT là thấ p tần vớ i độ r ộng dải băng bằng độ r ộng dải băng của

lọc BP. Thực ra, qua bộ phân biệt, ngoài nhiễu còn xuất hiện nhiễu mớ i tạonên do chính bộ phân biệt, những nhiễu này có thể có dải băng r ộng hơ n nhiều. Vì

thế, ngườ i ta phải bố trí một lọc thấ p tần BP cho phép

D N XW / 2

D N

D DX K X(t)= λ qua và loạiđi những nhiễu thừa này; độ r ộng dải băng nên chọn là . Để đơ n giản, chúng tavẫn kí hiệu công suất nhiễu đầu ra là , tính bở i

XW

o N

o No N P= =

X

X

2W2 2D

chW

1 K 2 d

2 G A−

⎛ ⎞ω σ ω⎜ ⎟π ⎝ ⎠

∫ 2 2 3D

2 2ch

2K W

3 G A

σ=

πx . (6.5.45)

Từ đó, chúng ta nhận đượ c hiệu năng của hệ

o

o FM

S

N

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠o

o

2 2 2X ch X

2 3 N X

FM

P 3 G A P

P 2 W

⎛ ⎞ π λ=⎜ ⎟

⎜ ⎟ σ

⎝ ⎠

. (6.5.46)

Một dạng thuận lợ i của công thức này là

o

o FM

S

N

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠o i

o i

3X X

2 N Xcr FMFM

P P6

P W PK

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞∆ω=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ N

. (6.5.47)

Nhận xét. Trong công thức (6.5.47), độ r ộng dải băng còn có mặt ở

mẫu của tỉ số

2∆ω

i

i

X

N FM

P

P

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

. Từ đó, tỉ số tín - tạ p thực ra chỉ tỉ lệ vớ i bình phươ ng độ

r ộng dải băng FM . Khi tăng hệ số điều chế máy phát λ , hiệu ứng hệ tăng lên

nhanh chóng. R ất tiếc, lại có một ngưỡ ng cho thủ tục này, đó là khi điều kiện mà phươ ng trình hiệu ứng không còn phù hợ p nữa. Điểm ngưỡ ng xảy ra tại nơ i màr ơ i xuống dướ i 10 (hay 10dB).

iX NP / Pi

Ví d ụ 6.20 . Hệ FM sử dụng sóng mang tin hệ số tr ội 3 và độ r ộng dải băng. Độ r ộng dải băng điều chế FM làXW / 2 3kHzπ = 2 /2 40kHz∆ω π = và tỉ số tín -

tạ p đầu vào máy thu là 41. Theo (6.5.48), o

o FM

P

N

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

3

26 20 2

413 23

⋅ π⎛ ⎞ ⋅ =⎜ ⎟⋅ π⎝ ⎠1081,31

(hay 30,34dB). Nếu bây giờ tăng lên 4,1 lần, tỉ số tín - tạ p đầu vào máy thu sẽ giảm từ

41 xuống còn 10. Tuy nhiên, độ r ộng dải băng điều chế sẽ tăng lên 4,1 lần và hiệu

năng sẽ là

∆ω

o

o FM

P

N

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

3

26 (20 4,1) 2

103 23

⋅ ⋅ π⎛ ⎞ ⋅ =⎜ ⎟⋅ π⎝ ⎠18176,8 (hay43dB).

Như vậy, khi độ r ộng dải băng tăng lên 4,1 lần hiệu năng hệ tăng lên 16,81lần.

146



22

2

F( )S( ) H( ) d d

S( )1

2S( ) H( ) d

∞ ∞

−∞ −∞∞

−∞

ωω ω ω ω

ω≤

πω ω ω

∫ ∫

∫

2F( )1d

2 S( )

∞

−∞

ω= ω

π ω∫ . (6.6.7)

Giá tr ị cực đại đạt đượ c khi và chỉ khio j tF( )e

S( )H( ) CS( )

∗ω⎛ ⎞ωω ω = ⎜⎜ ω⎝ ⎠

⎟⎟hay

o j t

optF ( )e

H ( ) CS( )

− ω∗ ωω =

ω(6.6.8)

vớ i C là hằng số tuỳ ý. Nhận thấy r ằng, hàm truyền của lọc phối hợ p tỷ lệ vớ i liên hợ p phức của

phố tín hiệu đầu vào, vì thế hệ có tên là lọc phối hợ p (hay lọc phù hợ p?), tức là nó

phụ thuộc vào (phù hợ p vớ i) tín hiệu đầu vào. Hàm truyền đó cũng tỷ lệ nghịchvớ i phổ của nhiễu đầu vào.Trong biểu thức (6.6.8) còn có mặt hằng số tỉ lệ C tuỳ ý. Hiện tượ ng này

cho phép hệ tối ưu có độ khuyếch đại tuỳ ý. Dù sao chúng ta cũng cảm nhận đượ cđiều này, vì cả tín hiệu (có ích) đầu vào lẫn nhiễu đầu vào đều bị tác động về mặtkhuyếch đại giống nhau; tỉ số r ở (6.6.6) đã triệt tiêu độ khuyếch đại.

Thờ i điểm tham gia vào hàm truyền của lọc tối ưu thông qua thừa số

. Thừa số này chỉ biểu hiện độ tr ễ tối ưu. Thườ ng thì nhà thiết k ế cần lựachọn sao cho hệ tối ưu là nhân quả, tức là khả thi về mặt vật lý.

ot

o j te− ω

6.6.3.Lọc phối hợ p cho nhiễu trắng.

Khi nhiễu đầu vào là tr ắng, 2S( )ω = σ , hàm truyền lọc ở (6.6.8) tr ở thànho j t

optH ( ) K F ( )e− ω∗ω = ω (6.6.9)

vớ i K là hằng tuỳ ý.Khi đó, r nhận giá tr ị cực đại là

2 f Max 2

o

1r H( ) d

S

∞E

−∞

= ω ω =σ∫ (6.6.10)

trong đó là năng lượ ng của tín hiệu f(t), tính bở if E

( ) ( )2 2

f 1

E F d f t2

∞ ∞

−∞ −∞= ω ω =π ∫ ∫ dt

Biến đổi Fourie ngượ c ta đượ c

opth (t) = ℱ 1

opt o(H ( )) K f (t t)− ∗ω = − . (6.6.11)

Trong tr ườ ng hợ p tín hiệu thực

opt oh (t) K f (t t).= − (6.6.12)

149



Nhận xét. Bở i vì oo

t tf (t t) f[ (t )]

2 2− = − − o nên chỉ việc lấy đối xứng đồ thị

hàm số qua đườ ng thẳngy Kf (t)=o

t t / 2= ta nhận đượ c đồ thị của .opt

y h (t= )

Nói chung, hệ xác định bở i (6.6.8) là bất khả thi. Trong một số tr ườ ng hợ p

của nhiễu (tr ắng hoặc màu) ngườ i ta tìm đượ c lọc tối ưu khả thi. Tr ườ ng hợ pngượ c lại, ngườ i ta xấ p xỉ lọc (6.6.8) bằng bộ lọc khả thi vớ i hàm truyền dạng j T j mT

o 1 mH( ) a a e ... a e− ω −ω = + + + ω (6.6.13)(xem [14] tr 386).

Ngườ i ta mong muốn tín hiệu phát thoả mãn các yêu cầu sau:+ Dễ hiện thực hoá tín hiệu đó trong thực tế;+ Lọc thích nghi khả thi, có thể thiết k ế đơ n giản;+ Vớ i cùng tỉ số tín - tạ p đầu vào, tỉ số tín - tạ p đầu ra của lọc tối ưu cao…Thực tế không có tín hiệu nào thoả mãn tất cả các đòi hỏi này, và do đó r ất

nhiều loại tín hiệu khác nhau đã đượ c sử dụng.

Ví d ụ 6.22. Giả sử tín hiệu f(t) là xung chữ nhật vớ i đáy [ ;và biên độ A như ở Hình 6.22(a), còn nhiễu đầu vào là tr ắng. Theo

(6.6.12), đồ thị đáp ứng xung h(t) của lọc phối hợ p thích nghi thể hiện ở Hình6.22(b). Hàm truyền của hệ này là

o o ]− τ τ − τo( )τ > τ

H( )ω = ℱ o o j (t / 2)(h .(t)) K A Sa e2

− ω +τ −τωτ⎛ ⎞= τ ⎜ ⎟⎝ ⎠

(Cũng có thể nhận đượ c H( )ω bằng cách sử dụng (6.6.9)). Để lọc tối ưu làkhả thi (nhân quả) thì h(t) = 0, t 0∀ < . Điều này xảy ra khi và chỉ khi .o ot ≥ τ− τ

Nếu điều này thoả mãn, chúng ta có khả năng xây dựng bộ lọc như ở Hình

6.22(c), ở đó cần phải hoàn thiện bộ tích phân; song không thể làm đượ c như vậy.Tuy nhiên, một xấ p xỉ r ất tốt là dùng những bộ khuyếch đại hoàn hảo dựa vàonguyên lý xử lý tín hiệu ngượ c (xem [9], trang 303). Tóm lại, trong thực tế ứngdụng, có thể xây dựng đượ c lọc phối hợ p cho tín hiệu xung chữ nhật.

Đầu vào

Giữ chậmτ

Bộ tích phân

dt∫ g

KA

ot ot o ot + τo ot + τ − τ

A

tto−τ oτ − τ

h tf t (a) (b)

(c)

Đầu ra

Hình 6.22. Bộ l ọc phố i hợ p: a) Tín hiệu đầu vào, b) Đáp ứ ng xung c)S ơ đồ.

150



§6.7. ƯỚ C LƯỢ NG TUYẾN TÍNH TỐI Ư U6.7.1. Đặt bài toán.Khở i đầu, bài toán ướ c lượ ng tuyến tính tối ưu do Kolmogorov đặt ra vào

năm 1930 đối vớ i dãy, Wiener đặt ra và giải quyết vào năm 1940 cho tr ườ ng hợ pliên tục. Sau này, bài toán đượ c tổng quát dướ i dạng sau đây.

a)Bài toán ướ c l ượ ng bình phươ ng t ố i thiể u t ổ ng quát ( ).Cho hai QTNN thực X(t), t I∈ và S(t), t I∈ . Giả sử chúng ta có quan sát

của quá trình X(t) trong đoạn thờ i gian [a; b] , trong đó a, b có thể là hữu

hạn hoặc vô hạn. Hãy tìm ướ c lượ ng của QT S(t) tại

I⊂

oS(t )$o

t I∈ dướ i dạng

oS(t ) fX(t)|t [a;b]= ∈$ (6.7.1)

là hàm của các giá tr ị , sao cho là ℱ [a

- đo đượ c (* và thoả

mãn các điều kiện:

X(t), t [a; b]∈o

S(t )$;b]

)

i) BNN là bình phươ ng khả tích;oS(t )$ii) Đặt thì

o o(t ) S(t ) S(t )ε = − $

o

2o

2o oE[ (t )] E[S(t ) S(t )]ε = − $ (6.7.2)

đạt giá tr ị nhỏ nhất.

Vì là ℱ [a

-đo đượ c nên dễ dàng chứng minh k ết qủa sau đây (xem

[14], tr 298).o

S(t )$;b]

Định lý 6.19. BNN bình phươ ng khả tích dạng (6.7.1) làm cực tiểu sai số (6.7.2) xác định duy nhất vớ i xác suất 1 và cho bở i k ỳ vọng điều kiện

o oS(t ) ES(t )=$ ;b]|ℱ [a . (6.7.3) Nhận xét . Ướ c lượ ng (6.7.3) là phi tuyến (toán tử phi tuyến của các quỹ đạo

của QT ). Một vài k ết quả nhỏ khác về ướ c lượ ng phi tuyến xấ p xỉ đượ c trình bày ở [14] trang 301. Ướ c lượ ng phi tuyến r ất khó thực hiện trong thựctế. Vả lại, có thể chứng minh đượ c r ằng, nếu QT

X(t), t [a; b]∈

X(t), t I∈ là Gauss thì ướ c

lượ ng phi tuyến tối ưu (6.7.3) trùng vớ i ướ c lượ ng tuyến tính tối ưu đưa ra ở phần b) dướ i. Chíng vì thế, sau đây chúng ta sẽ không xét ướ c lượ ng phi tuyến dạng(6.7.3) mà chỉ để ý đến bài toán ướ c lượ ng tuyến tính. ()

b) Ướ c l ượ ng tuyế n tính t ố i ư u.

Cho hai QTNN thực X(t), t I∈ và S(t), t I .∈ Xét các ướ c lượ ng tuyến tính củaQT S(t) tại dạng

ot

-----------(*) Nêu I hữu hạn, đây là hàm Borel của các đối số. Nếu I vô hạn, đượ c

hiểu là BNN đo đượ c vớ i - đại số ℱ

fX(t)|t [a;b]∈

σ [a;b] X(t), t [a;b]= σ ∈ sinh bở i các BNN .X(t), t [a; b]∈

Bạn đọc chỉ quan tâm đến ứng dụng có thể bỏ qua khái niệm đo đượ c.

151



b

oa

S(t ) k(s)X(s)ds= ∫ $ . (6.7.4)

Hàm số k(s) thế nào đó để tích phân hội tụ theo bình phươ ng trung bình. Đặt

o o(t ) S(t ) S(t )ε = − $

o

2

(6.7.5)

là sai số của ướ c lượ ng. Hãy tìm BNN dạng (6.7.4) - chính là tìm hàm k(t) - làmcực tiểu sai số bình phươ ng trung bình

b2 2

o o 0 oa

E[ (t )] E[S(t ) S(t )] E[S(t ) k(s)X(s)ds]ε = − = − ∫ $ . (6.7.6)

Nhận xét r ằng tích phân (6.7.4) là giớ i hạn theo bình phươ ng trung bình của

dãy các BNN dạng . Từ đó, là phần tử của không gian

Hilbert các BNN bình phươ ng khả tích sinh bở i . Theo

lý thuyết của không gian Hilbert, là hình chiếu của lên .Đó là nội dung của nguyên lý tr ực giao sau đây.

n

i i ii 1

c X(s ), s [a,b]=

∈∑ 0S(t )$

H(X,[a;b]) X(t), t [a;b]∈

oS(t )$ oS(t ) H(X,[a;b])

Định lý 6.20.(Nguyên lý tr ự c giao). Sai số bình phươ ng trung bình

của ướ c lượ ng dạng tích phân (6.7.4) của QT S(t) tại thờ i điểm đạt giá tr ị nhỏ

nhất khi và chỉ khi các BNN X(t),

2o

E[ (t )]ε

ot

t [a;b]∈ tr ực giao vớ i sai số o(t )ε , nói khác

[ ] b

oa

E S(t ) k(s)X(s)ds) X(t) 0, t a;b ,⎡ ⎤⎛ ⎞

− = ∀⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ∈

b

]

b a

(6.7.7)

hoặc tươ ng đươ ng, k(s) là nghiệm của phươ ng trình b

SX o Xa

R (t , t) k(s)R (s, t)ds= ∫ . (6.7.8)

Chúng ta sẽ sử dụng các thuật ngữ sau đây. Nếu trong biểu thức (6.7.4), là

điểm trong của khoảng (a; b) thì ta gọi ướ c lượ ng của là ướ c lượ ng là

tr ơ n (gọi tắt: là tr ơ n) (smoothing estimator).

ot

oS(t )$

oS(t )

Nếu thì đượ c gọi là lọc (filtering estimater).ot = oS(t )$

Nếu , X(t) = S(t) thì đượ c gọi là một dự báo (predictor).

Ngoài ra, nếu thì là dự báo tr ướ c,

ot [a;b∉

oS(t )$

ot > oS(t )$ ot < thì là dự báo ngượ c.Tr ườ ng hợ p

oS(t )$X(t) S(t)≠ thì là lọc và dự báo.

oS(t )$

Phươ ng trình (6.7.8) là phươ ng trình tích phân Fredhom loại II vớ i nhânHermit. Nói chung, ngườ i ta phải giải nó theo phươ ng pháp số. Sau đây chúng taxét một số tr ườ ng hợ p đặc biệt có thể tìm đượ c lờ i giải tườ ng minh.

152



6.7.2.Bài toán là trơ n - Lọc Wiener bất khả thi.Bây giờ chúng ta xét ướ c lượ ng tuyến tính (6.7.4) cho tr ườ ng hợ p

, QT X(t) là tổng của QT mang tin S(t) và nhiễu N(t), hàmk(t) có dạng(a;b) I= = ¡

oh(t t)− (ướ c lượ ng là đầu ra của hệ LTI tại vớ i đầu vào X(t)). Vì

nên đây là bài toán là tr ơ n. Mặt khác, ướ c lượ ng lại là đầu ra của hệ LTI nên đây cũng đượ c gọi là lọc. Vì tầm quan tr ọng đặc biệt, chúng ta phát biểulại bài toán này đầy đủ như sau.

ot

ot I (∈ = ¡ )

Giả sử tín hiệu s(t) là ngẫu nhiên, vì thế nó đượ c mô hình hoá là hàm mẫucủa QTNN S( . Cùng vớ i tín hiệu còn có nhiễu cộng tính n(t), đượ c coi làhàm mẫu của QTNN S(

t), t I∈t), t I∈ quy tâm. Hơ n thế, giả sử r ằng là

hai QT dừng đồng thờ i. Tổng của tín hiệu và nhiễu XX(t),N(t)

(t) S(t) N(t)= + tác động lênđầu vào hệ LTI vớ i đáp ứng xung h(t) và hàm truyền H( )ω tươ ng ứng; quá trìnhđầu ra ký hiệu là Y(t). Giả sử tại bất k ỳ trong I ta dùng làm ướ c lượ ng

(xấ p xỉ) cho - vì thế ngườ i ta hay ký hiệu bở i - xác định bở i

ot

oY(t )

oS(t ) oY(t ) oS(t )$

o o oS(t ) h(s)X(t s)ds h(t s)X(s)ds∞ ∞

−∞ −∞

= − = −∫ ∫ $ . (6.7.9)

Sai số của ướ c lượ ng là

o o(t ) S(t ) S(t )ε = − $o

2

. (6.7.10)

Sai số bình phươ ng trung bình của ướ c lượ ng là

2 2o o 0 o oE[ (t )] E[S(t ) S(t )] E[S(t ) h(s)X(t s)ds]

∞

−∞

ε = − = − −∫ $ . (6.7.11)

Hãy lựa chọn lọc (h(t) H( )ω ) để sai số bình phươ ng trung bình nhỏ nhất.Theo nguyên lý tr ực giao, lọc h(t) là tối ưu khi và chỉ khi

o 0E[(S(t ) S(t ))X(t)] 0 t .− = ∀$ ¡∈

τĐặt , điều này tươ ng đươ ng vớ iot t= − o 0 oE[(S(t ) S(t ))X(t )] 0− − τ =$ hay

SX XR ( ) h(s)R ( s)ds∞

−∞

τ = τ −∫ . (6.7.12)

Giải phươ ng trình tích phân này khá dễ nếu ta dùng phép biến đổi Fourier.Lưu ý r ằng vế phải là tích chậ p Xh( ) R ( )τ ∗ τ , lấy biến đổi Fourier hai vế thì

SX XS ( ) H( )S ( )ω = ω ω .Từ đó

SXopt

X

S ( )H ( )

S ( ).

ωω =

ω(6.7.13)

Rõ ràng, lọc tối ưu không phụ thuộc vào thờ i điểm lấy mẫu . Nói chung

đây không là lọc khả thi. Ta đưa ra định ngh ĩ ao

t

153



Định nghĩ a. Lọc vớ i hàm truyền (6.7.13) đượ c gọi là lọc Wiener bất khả thi.Sai số bình phươ ng trung bình số của ướ c lượ ng ứng vớ i lọc này là cực tiểu

và dễ thấy đượ c tính bở i

2 2o o o

E[ (t )] E[S(t ) h(s)X(t s)ds]∞

−∞

ε = − −∫ S SR (0) h(s)R (s)ds

∞

−∞

= − ∫ X

S SX

1[S ( ) H ( )S ( )]d

2

∞∗

−∞

= ω − ω ωπ ∫ ω (6.7.14)

không phụ thuộc . Nếu tín hiệu và nhiễu là không tươ ng quan ( tr ực giao, vì

E[N(t)] = 0) thì . Từ đó ta nhận đượ cot ⇔

SX S X S NS ( ) S ( ); S ( ) S ( ) S ( )ω = ω ω = ω + ω

H ệ quả. Nếu tín hiệu S(t) và nhiễu quy tâm N(t) là tr ực giao thì lọcWiener và sai số bình phươ ng trung bình cho bở i biểu thức

Sopt

S N

S ( )H ( )

S ( ) S ( );

ωω =

ω + ω

2 S No

S N

S ( ) S ( )1E[ (t )] d

2 S ( ) S ( )

∞

−∞

ω ωε =

π ω + ω∫ ω . (6.7.15)

Đặc biệt, nếu phổ công suấtS

S ( )ω và N

S ( )ω có giá không giao nhau thì

trên dải băng của tín hiệu vàopt

H ( ) 1ω = optH ( ) 0ω = trên dải băng nhiễu. Đồng

thờ i .2o

E[ (t )] 0ε =

Ví d ụ 6.23. Tìm lọc Wiener bất khả thi và sai số bình phươ ng trung bình biết

r ằng 2S N SN2 2

A) , S ( ) , S ( ) 0.ω = ω = σ ω =

α + ω

S (

Giải.

jSN SN

1R ( ) S ( ) e d 0

2

∞ωτ

−∞

τ = ω ω =π ∫ SN

E[S(t )N(t)] R ( ) 0 t, .⇒ + τ = τ = ∀ τ∈ ¡

Vậy S(t) và nhiễu quy tâm N(t) là tr ực giao. Theo (6.7.15) thì

opt2 22 2 2

22 2

A AH ( )

AA [( ) ]( )ω = =

⎡ ⎤ 2σ + α + ωα + ω + σ⎢ ⎥ σα + ω⎣ ⎦

;

opth (t) =ℱ [ ] B t12

AH( ) e

2B

−− ω =

σ

;

22 2

2o 2 2

22 2

A1 A 1 A

E (t ) d dA2 2B 2 B

∞ ∞

−∞ −∞

σα + ω⎡ ⎤ε = ω = ω =⎣ ⎦ π π + ω+ σ

A

2Bα + ω

∫ ∫

vớ i 2 2B (A /= α + σ ) .

154



6.7.3. Lọc Wiener khả thi.a)Tr ườ ng hợ p t ổ ng quát. Nếu ta có quan sát đầy đủ về QT (quá khứ, hiện

tại, tươ ng lai), lọc Wiener khả thi cho ta xấ p xỉ tốt về giá tr ị hiện tại của QT đãcho. Đó là lờ i giải tối ưu để giải bài toán là tr ơ n khi có đầy đủ quan sát. Trong mộtsố ít tr ườ ng hợ p, lọc Wiener (6.7.9) là khả thi. Trái lại, khi lọc tối ưu không khả

thi, ngườ i ta tìm cách xấ p xỉ nó bở i lọc khả thi. Dù sao, lọc tối ưu cho ta mức “lýtưở ng” về sai số mà lọc xấ p xỉ khả thi cần hướ ng tớ i. Khi không có đầy đủ quansát - chính xác hơ n - khi ta chỉ có các quan sát quá khứ và hiện tại về quá trình,chúng ta chỉ có thể sử dụng lọc khả thi. Vậy, một hướ ng nghiên cứu khác là chỉ xét các lọc khả thi, tìm lọc “tốt nhất” trong các lọc như vậy.

Tất nhiên, nếu đặt N(t) X(t) S(t)= − thì luôn có thể coi N(t) là nhiễu vàX(t) là tổng của tín hiệu và nhiễu: X(t) S(t) N(t)= + . Tuy nhiên xét tr ườ ng hợ ptổng quát, không nhất thiết S(t) và N(t) là không tươ ng quan. K ết quả chínhtheo hướ ng này là định lý sau đây.

Định lý 6.21. Giả sử X(t) , S(t) là hai QT dừng đồng thờ i, quy tâm. Xét

các ướ c lượ ng của QT S(t) tại dạngo

t

ot

o oS(t ) h(t s)X(s)ds−∞

= −∫ $ . (6.7.16)

Vớ i sai số , sai số bình phươ ng trung bình tươ ng ứng lào o

(t ) S(t ) S(t )ε = − $o

2

,

0t2 2

o o 0 o 0E[ (t )] E[S(t ) S(t )] E[S(t ) h(t s)X(s)ds]−∞

ε = − = − −∫ $ . (6.7.17)

Khi đó, lọc tuyến tính khả thi dạng (6.7.16) làm cực tiểu sai số bình phươ ng

trung bình (6.7.17) thoả mãn phươ ng trình

SX XR ( ) h( s)R (s)dsτ

−∞

τ = τ −∫ . (6.7.18)

Sai số bình phươ ng trung bình ứng vớ i lọc này làot

2o S o SX oE[ (t )] R (0) h(t s)R (t s)ds

−∞

ε = − − −∫ . (6.7.19)

Chứ ng minh. Chỉ việc áp dụng Định lý 6.20 cho tr ườ ng hợ p (

. Thực vậy, ướ c lượ ng (6.7.4) bây giờ có dạng

a; b)o

( ; t )= −∞

ok(t) h(t t)= −

ot

o oS(t ) h(t s)X(s)ds−∞

= −∫ $

chính là ướ c lượ ng (6.7.16). Phươ ng trình (6.7.8) tr ở thànhot

SX o o XR (t , t) h(t s)R (s, t)ds−∞

= −∫ .

155



Chọn ta nhận đượ c phươ ng trìnho

t , t= τ = 0

o

Tôi đã đưa vào sách ĐL 9.5trong [12]về hàm truyền củalọc khả thi tối ưu(ĐL khôngđượ c CM). Song khi dùng ĐLđó để giải BT 12. ở [14] thì 3ngày không ra, vần khôngkhớ p, giải cách khác thì đượ c.Thì ra, ĐL đó sai.SX XR ( ,0) h( s)R (s,0)ds

τ

−∞

τ = τ −∫

chính là phươ ng trình (6.7.18). Theo nguyên lý tr ực giao, sai số (6.7.6) tính bở iot

2o o oE[ (t )] E S(t ) h(t s)X(s)ds (t )

−∞

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ε = − − ε⎢ ⎥⎨ ⎬

⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭∫

ot

o o o oE[S(t ) (t )] E h(t s)X(s)ds (t )

−∞

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪= ε − − ε⎢ ⎥⎨ ⎬

⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭∫

−

o ot t

o o o o oE[S(t )[S(t ) h(t s)X(s)ds] h(t s)E[X(s) (t )]ds−∞ −∞

= − − − − ε∫ ∫

ot

2o o oE[S (t )] h(t s)E[S(t )X(s)]ds] 0

−∞= − −∫ .

Như vậy, (6.7.19) đượ c chứng minh. Nhận xét. i)Nếu đầu vào là tổng của QT tín hiệu S(t) vớ i nhiễu N(t), tín

hiệu và nhiễu không tươ ng quan thì;

SNR ( ) 0τ =

SX SR ( ) R ( );τ = τ

X S NR ( ) R ( ) R ( )τ = τ + τ ;

S ( ℱ [R X

)ω = ( )]S

τ + ( )ℱ [R N

]τS N

S ( ) S ( )= ω + ω (6.7.20)

phươ ng trình (6.7.17) tr ở thành

S SR ( ) h( s)[R (s) R (s)]ds

τ

−∞τ = τ − +∫ N . (6.7.21)ii) Nếu QT S(t) không quy tâm thì dùng phép quy tâm hoá bằng cách xét

QT ÀS

S(t) S(t) (t), X(t) X(t) (t)= − µ = − µX

ÁÂ , ta có thể áp dụng Định lý 6.21 cho

các QT quy tâm này. K ết quả dễ dàng chuyển về QT xuất phát.Ví d ụ 6.23. Tr ườ ng hợ p đầu vào là nhiễ u tr ắ ng.

Giả sử đầu vào X(t) là nhiễu tr ắng vớ i hàm tự tươ ng quan .

Theo (6.7.18) thìX

R ( ) ( )τ = δ τ

SXR ( ) h( s) (s)ds h( ), 0.

τ

−∞

τ = τ − δ = τ τ ≥∫

Vậy SXR ( ) 0

h( )0 0

τ τ ≥⎧τ = ⎨

τ <⎩; H( j

SX0

) R ( )e d∞

− ωτω = τ τ∫ .

b) Lọc Wiener khả thi hai bướ c. Nói chung, việc xác định lọc khả thi tối ưuthông qua phươ ng trình (6.7.18) là khó khăn. Một hướ ng khắc phục tình tr ạng nàylà xây dựng lọc tối ưu qua hai bướ c: Đầu tiên là tẩy tr ắng tín hiệu, sau đó tìm lọccho nhiễu tr ắng theo sơ đồ ở Hình 6.23.

156



X(t) S(t)$ Nhiễu tr ắng W(t)Tẩy tr ắng

1 1h (t) (H ( ))ω 2 2

h (t) (H ( ))ω

Hình 6.23. Lọc t ố i ư u khả thi 2 bướ c.

Đầu tiên phải xây dựng lọc 1H ( )ω để chuyển tín hiệu đầu vào X(t) thànhnhiễu tr ắng W(t) (vì thế, lọc có tên là tẩy tr ắng) vớ i cườ ng độ 1. Sau đó lọc

2H ( )ω

đượ c xây dựng theo Ví dụ 6.24 để ướ c lượ ng S(t) từ nhiễu tr ắng W(t). Lọc tối ưucần tìm là tích .

1 2H ( )H ( )ω ω

Từ (6.3.11) ta có2

W X 11 S ( ) S ( ) H ( )= ω = ω ω . (6.7.22)

Ta hãy viết dướ i dạngX

S ( )ω2

X X X XS ( ) A ( ) A ( )A ( )∗ω = ω = ω ω .

Bây giờ chỉ việc chọn

1X

1H ( )

A ( )ω =

ω,

biểu thức (6.7.21) sẽ thoả mãn và W(t) sẽ là nhiễu tr ắng. Tuy nhiên nảy sinh vấnđề là phải chăng lọc này khả thi? Như đã nhắc đến ở [12] trang 496: Nếu thoả mãnđiều kiện Palay – Wiener (1934)

X2

logS ( )d

1

∞

−∞

ωω < ∞

+ ω∫

thì có thể phân tích2

X X X XS ( ) A ( ) A ( )A ( )∗ω = ω = ω ω sao cho cả hai lọc XA ( )ω

vàX

1

A ( )ωlà khả thi.

Giống như công thức (6.3.10), ta có

SW SX 1 SX

1S ( ) S ( ) (H ( )) S ( )

A ( )∗

∗ω = ω ω = ω

ω.

Tóm tắt: Thuật toán tách phổ (đểtìm lọc khả thi tối ưu hai bướ c).

1.Tách S ( :X

)ω2

X X X XS ( ) A ( ) A ( )A ( )∗ω = ω = ω ω ; Đặt

1

X

1H ( )

A ( )ω =

ω.

2.Tính SW SX

1S ( ) S ( )

A ( )∗ω = ωω

; thu đượ c SWR ( )τ =ℱ -1

SW[S ( )]ω .

3. Tính j2 SW

0

H ( ) R ( )e d .∞

− ωτω = τ τ∫ 4. Đặt .1 2H( ) H ( )H ( )ω = ω ω

157



Ví d ụ 6.24. SW X2 2

16 16S ( ) ; S ( ) 9

1 1ω = ω = +

+ ω + ω.

Ta có thể tách như sauXS ( )ω

2

X 2

25 9 5 3j 5 3jS ( )

1 j 1 j1

+ ω + ω −ω = =

ω

+ ω − ω+ ω.

Chọn lọc tẩy tr ắng là

1X

1 1 jH ( ) .

A ( ) 5 3j

+ ωω = =

ω + ω

VậySW 2

16 1 j 2 2S ( )

5 3j 1 j (5 / 3) j1

− ωω = = +

− ω + ω −+ ω ω.

Từ Bảng B-2 ở Phụ lục nhận đượ c

SWR ( )τ = ℱ

-1 2[ ]+ -1 2

[ ](5/3) j− ω

ℱ (5/3)2e u( ) 2e u( )−τ τ= τ + −τ .

1+jω

Lưu ý r ằng số hạng thứ nhất bằng 0 khi τ âm, số hạng thứ hai bằng 0 khi τ dươ ng, từ đó

j2

0

H ( ) (2e u( ))e d∞

−τ − ωτω = τ∫ τ =ℱ [ ℱ 1 2 2[ ]]1 j 1 j

− =+ ω + ω

.

Từ đó dễ tìm ra và .opt 1 2H ( ) H ( )H ( )ω = ω ω opth (t)

c) Các nghiên cứ u khác. Ngườ i ta cũng nghiên cứu các bài toán là tr ơ n, lọc,dự báo cho các tr ườ ng hợ p sau (xem thêm ở [14] tr. 486 – 515):

• Bài toán d ự báo. Đó là khi X(t) = S(t) (không có nhiễu), S(t) đượ cquan sát trên I thuộc vào một trong 3 dạng ( ; t), (t T; t)−∞ − hoặc (0; t). Hãy tìmướ c lượ ng bình phươ ng cực tiểu dướ i dạng lọc khả thi cho giá tr ị tươ ng lai

vớ i của QT S(t) r ờ i r ạc hoặc liên tục.S(t )+ λ 0λ ≥• Bài toán l ọc và d ự báo. X(t) tổng quát, đượ c quan sát trên. Tìm ướ c lượ ng bình phươ ng cực tiểu dạng lọc khả thi cho giá tr ị tươ ng lai

vớ i của QT S(t).( :t−∞ )S(t )+ λ 0λ ≥

• Lọc Kalman. Tìm lọc tối ưu cho dãy số liệu ARMA…

158



Theoretical Questions for Chapter VI6.1. Reasons that we can't use the voltage spectral density for a random

process.6.2. Power spectrum for a WSS (wide-sense stationary) process;

autocorrelation function by means of the power spetrum.6.3. Propeties (with proof) of the power spetrum of real stationary

processes.6.4. Necesarry and sufficient conditions for a function S( ) therebyωa) it is a power spectrum of a real stationary process with a finite power;

b) it is a power spectrum of a complex stationary process with a finite power.

6.5. Cross-power spectrum of two jointly WSS processes: definition,calculation of the autocorrelation function using the cross-power spectrum, the

power spectrum of every those process.6.6. Power spectrum of random sequences: definition, calculation of the

autocorrelation sequence by means of the power spectrum; properties of the power spectrum and some comment.

6.7. White noise: definition, the autocorrelation function of white noise;disadvantages and utility of studying white noise; thermal noise.

6.8. Band-limited white noise: definition, the power function and theautocorrelation one; bandpass white noise.

6.9. White noise sequence.6.10. Power spectrum of complex random processes: definition, the

relation between a) the autocorrelation function and the power spectrum; b) thecross- autocorrelation and the cross-power spectrum.

6.11. Essentials about a linear system.6.12. Nesessary conditions for a input process to be relevant to a givensystem.

6.13. Theorem (with proof) above the average function and the auto-correlation one of the ouput process, the cross-correlation function of the inputand output processes.

6.14. Theorem above the average function and the autocorrelation one of the ouput process, the cross-correlation function of the input and output

processes when the input process is stationary; consequence: power spectrum,cross-power spectrum and powers in input and output processes.

6.15. Lowpass process, bandpass process, narrow band process andamptitude-modulated one; theorem above stationarity and having zero mean of an amptitude-modulated process; Rice’s theorem (without proof).

6.16. Some knowledge about noise analysis in an AM broacast system.6.17. Some knowledge about noise analysis in a FM broacast system.6.18. Application scope of matched filters; the matched filter for white

noise and colored noise.6.19. Optimal linear estimation: introduction, the orthogonality principle.6.20. Causal Wiener filter: the general case, the two step-optimal causal

filter.



Problems for Chapter VI

6.1. Consider the random sinusoid 0X(t) Asin ( t + U) , t= ω ¡∈

]

where A

and are constants,0ω [U U 0;2π: . Compute and plot X XR ( ); S ( )τ ω ; XP .

6.2. Let where is unchanged

and U is an uniform random variable on

0X(t) sin( t U); Y(t) cos( t + U)= ω + = ω0 0ω

[ ]0;2π . Show that X(t) , Y(t) are

jointly stationary processes. Find XR ( );τ YR ( )τ ; XYR ( );τ

.X YS ( ); S ( );ω ω

XYS (ω)

6.3. Let N(t) be a WSS zero mean process with the autocorrelation

function2

NR ( . Find S () Pe ,− ττ = τ∈ ¡ );P . N Xω

6.4. Suppose where A, B are two continuous

uncorrelated random variables and D[A] = 1; D[B] = 2. Show that is a

WSS process; find its autocorrelation function and the power spectrum.

jt j2tX(t) Ae Be= +

X(t)

6.5. Consider the random process oX(t) Acos( t )= ω + Θ where A,

. Show that it is not a WSS process. Evaluate the variant

function (the power one) σ and the power spectrum S (

o ,ω ∈ ¡ U[0; /2]Θ π:

2X (t) X )ω .

Anw. 2X (t)σ =

2 2

oA A

sin(2 t)2

−π

ω

depends on t. 2

2X

AP A E[X (t)] ... .

2= = =

−

6.6. Consider a LTI system with h(t)= e . Evaluate the response of the

signal

2x / 2

1

x x

y rest (x) 0 x

⎧ ≤⎪

= = ⎨ >⎪⎩

1

1

Find the transfer function of the system.

6.7. A random process X(t) with the autocorrelation function

aXR ( ) e

− ττ = (a is a real constant) is the input to a LTI system with the impulse

function h(t) = e u , where b is a real constant, u(t) is an unit step function.

Evalute the autocorrelation of the output process.

bt (t)−

Ans: b a

Y 2 2

1R ( ) (ae be )

(a b )b

− τ − ττ = −−

.

6.8. The discret-time system shown in the figure consists of one unit delayelement and one scaler multiplier (a < 1). The input X(n) is white noise

sequence with average power 2σ . Find the power spectrum and the average power of the output Y(n).

Delay 1

Y(n)X n



2

Y Y j 2

1) ; P R (0) .

1 ae 1 a− ω

σω = = =

− − Ans. H(

6.9. Show that the envelop of the autocorrelation sequence of a AR(1) process is a decaying exponential.

Hint . mR(m) ... ( a) R(0)= = −2 N

2R(0)

1 a

σ=

−.

2m N

2R(m) ( a) (m 0)

1 a

σ= − ≥

−, propotional with

m( a)− .

6.10. Suppose from the data we get estimatesµ µ µ µ µR(0) 1; R(1) 0,300; R(2) 0,091; R(3) 0,030; R(m) 0 (m 4)= = = = ≈ > .

a) Let the model be AR(3), find .1 2a , a , a$ $ $3

b) The results suggest which order p of the model should we choose?Find parameter estimates of the new model.

Sol. From (6.4.9) we get

21 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 0,300a 0,091a 0,030a

0,300 a 0,300a 0,091a 0

0,091 0.300a a 0,300a 0

0,300 0,091a 0,300a a 0

⎧ + + +⎪+ + +⎪

⎨+ + +⎪

⎪ + + +⎩

N= σ=

=

=

⇔

1

2

3

2 N

a 0,2997a 0,0003

a 0,000

0,8999

= −⎧⎪ = −⎪⎨ = −⎪⎪σ =⎩

3

The prediction equation isµX(n) 0,2997X(n 1) 0,0003X(n 2) 0,0003X(n 3) N(n)= − − − − − − +

with the error .2 N 0,8999σ =

The valuesµ

2 3a , a$

are very small. Then we would test with AR(1). For this new model the system (6.4.9 ) yields

21 N

1

1 0,3a

0,3 a 0

⎧ + = σ⎪⎨

+ =⎪⎩

1

2 N

a 0,3

0,9100

= −⎧⎪⇔ ⎨

σ =⎪⎩

Now the prediction equation is with

. So, the error of the new model increases slightly, but the model is

greatly simplified when we reduce the model order from 3 to 1.

µX(n) 0,3X(n 1) N(n)= − − +2 N 0,91σ =

This fact is predictable because is the autocorrelation

sequence of AR(1) considered in the Problem 6.9.

µ mR(m) ( 0,3)≈ −

6.11. Power spectrum of an ARMA process is5 4cos

S( )10 6cos

−ω =

− ωω

. Find

the transform function of the corresponding ARMA filter; show its zeros and poles. Are the stationary and invertibility conditions valid?

Sol. Because jz jz1cos (e e )

2

−ω = + with z j= ω , so

1

1

5 2(z z ) 2 (z 1/ 2)(z 2)S(z)

3 (z 1/ 3)(z 3)10 3(z z )

−

−− + − −

= =− −− +



1

1

11 z

z 1/ 2 2L(z)1z 1/ 3 1 z3

−

−

−−⇒ = =

− −; 2

N2

3σ =

Zero: , pole: . Yes.z 1/ 2= z 1/3=

6.12. In an AM broacast system the total average transmitted power is1kW. The channel gain is 3

chG 3 2.10−= . Average noise power at the envelop

detector’s input is and the input signal-to-noise power ratio of thereceiver is 180 (or 22,5 dB).

510 W−

a) What is the average signal power at the input to the envelop detector? b) Find i i AM(S / N ) .

c) What is the transmitter’s efficiency? Ans. 4,24W; 56,27dB; 0,1.

6.13. Show that if has zero mean (may be nonstationary) then the

time-averaged autocorrelation function of

X(t)

AMX (t) as given by (6.5.17) is

2X o XAM

1A[R (t , t)] = A A[R (t , t)] cos( )

2⎡ ⎤

o+ τ + + τ⎣ ⎦ ω τ

and the power spectrum is2o

X o oAM

AS ( ) [ ( ) (

2

πω = δ ω − ω + δ ω + ω )]

1

4+ X o X o[S ( ) S ( )]ω − ω + ω + ω .

Especially, if the process X(t) is WSS then

2

AM X o X oAM

1R ( ) R ( ) = [A R ( )]cos( ).

2τ τ + τ@ ω τ

2 2AM AM o X

1P E[X (t)]= [A P

2= + ] .

Proof. Note that2

0

1E[cos ] = cos d = 0;

2

πΘ θ θ

π∫ 2

2 2

0

1 1E[cos ]= cos d = ;

2 2

πΘ θ θ

π∫

2 1E[sin ] =

2Θ

C,D , E[cos(C+ )cos(D+ )]=⇒ ∀ ∈ Θ Θ¡1

... cos(C-D)2

= .

X o o oFMR (t , t) E[(A +X(t+ ))(A +X(t))cos( (t ) )cos( t )]+ τ = τ ω + τ + Θ ω + Θ

o2o oE[A +A (X(t+ )+X(t))+X(t+ )+X(t)]= τ τ o oE[cos( (t ) )cos( t )]ω + τ + Θ ω + Θ

2o X

1[A 0 0 R (t , t)] cos( )

2= + + + + τ ωoτ .

( )2X o XAM

1A[R (t , t)] = A A[R (t , t)] cos( )

2⇒ + τ + + τ oω τ . (*)

By Fourie transform and using its linearity and frequency shifting (seeAppendix B-2) we conclude

XAMS ( )ω =ℱ

2o

o

A

cos( )2

⎡ ⎤

ω τ +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ℱ X o

1

A[R (t , t)]cos( )2

⎡ ⎤+ τ ω τ⎢ ⎥⎣ ⎦



2o

o oA

[ ( - ) ( )]+2

= π δ ω ω + δ ω + ω ℱ

j jo o

Xe e

A[R (t , t)]2

ω τ − ω τ⎡ ⎤++ τ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

2o

o oA

[ ( - ) ( )]2

= π δ ω ω + δ ω + ω X o X o1

[S ( ) S ( )]4

+ ω − ω + ω + ω .

If AMX (t) is WSS then XA[R (t , t)] R ( )X+ τ = τ . 6.14. In a FM system the transmitted signal has 10 kW of average power

and a bandwith of approximately 150 kW when a random message with a crest-

factor of 4 is used. The signal passes over a channel for which and

the power spectrum of noise

6chG 10−=

2 155.10 / 3−σ = .a) Find the signal and noise average power and the signal-to-noise power

ratio at the receiver ’s input. b) What is the message’s spectral extent if the output signal-to-noise

power ratio of the receiver is found to be 25 000?

Ans. 10 ; 9.27kHz.8 -12W; 79,58.10 W; 125,66( or 21dB)−

6.15. An FM signal of peak amptitude 0.1 V at the input to an FMdemodulator results in an input signal-to-noise power ratio of 20. If

rad/s in the FM signal and the effective transmitted signal voltage isA = 2kV. Find:

5.10∆ω = π

a) ;2chG ; b)σ

c) If the transmitted message is an audio signal for which

maxX 1,4V, cr K 3== / s , find4

XW .10 rad= π ( )oo / NFM

S and the

transmitter’s modulation constant λ .

Sol. a) 4ch ch

0,1 1A 2000; G .A 0,1 G .10

2000 2

−= = ⇒ = = .

b) ( )i i

2 2ch

X N 2FM

G A20 P / P

4

π= =

σ ∆ω

2⇒ σ =2 2 4 2 3 2

9ch5

G A ((1/ 2).10 ) (2.10 )1,25.10

4. .20 4( 10 ).20

−−π π

= =∆ω π

.

c)

35

o 2 4o FM

S 6 .10.20 13 333 N 3 .10

⎛ ⎞⎛ ⎞ π= =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟π⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(or 41,25dB).

55

maxmax

.10X 2,24.10

X 1,4

∆ω π∆ω = λ ⇒ λ = = = .

Ans. 0 4 9 4 5,5 10 ; 1, 2510 ; 1,33.10 ( 41, 25dB), 2, 24.10− − =

6.16. Let a message process X(t) be gaussian with zero mean. Find the

autocorrelation function of FMX (t) (in (6.5.28)) by means of the correlation

coefficient and the variant of the process

t

0(t) X( )dΓ = α∫ α .



Sol. Because the process X(t) is gaussian with zero mean then the

proces (t)Γ is also gaussian with zero mean.

In addition, is a gaussian random variable.t

t

(t ) (t) X( )d+τ

Γ + τ − Γ = α α∫

t

t

(t) E[X( )]d 0+τΓµ = α α =∫ ;

[ ]D (t ) (t)Γ + τ − Γ =t t t t

t t t t

E X(u)du X(v)dv E[X(u)X(v)]dudv+τ +τ +τ +τ⎡ ⎤

=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ ∫

t t

Xt t

R (u v)dudv+τ +τ

= −∫ ∫

X0 0

R (u v)dudvτ τ

= −∫ ∫

2

X0

2 R ( )( )d ( )τ

Γ

= α τ − α α σ

∫ @ τ

=

that does not depend on t. (To simplify the double integral to the single one let us put u v )., v− = α = β

FM oX (t) Acos( t (t))= ω + Θ + Γ

= j( t (t)) j( t (t))o oAe e

2

ω +Θ+Γ − ω +Θ+Γ⎡ ⎤+⎣ ⎦

.

jnE[e ] 0Θ = ⇒ [ ]FM FM FMXFMR (t , t) R (t , t) E X (t )X (t)+ τ = + τ = + τ

[ ] [ ]

2 j ( (t ) (t)) -j ( (t ) (t))o oA

... E[e ]+E[e ]4

ω τ+λ Γ +τ −Γ ω τ+λ Γ +τ −Γ

= =

2

j j j ( (t ) (t)) -j ( (t ) (t))o oAe E[e ] + e E[e ]

4

ω τ − ω τλ Γ +τ −Γ λ Γ +τ −Γ= .

Note that is the characteristic function of the normal

random variable

j ( (t ) (t))E[e ]λ Γ +τ −Γ

(t ) (t)Γ + τ − Γ , using (…) we get

FMR (t , t)+ τ1 12 2 2 22 ( ) ( )

j jo o2 2A

e e + e e 4

− λ σ τ − λ σ τΓ Γω τ − ω τ=

1 2 22

( )2oA cos( )e

2− λ σ τΓ= ω τ .

6.17. Suppose that a signal is a triangle pulse f (t) A tri (t)τ= and it is

added to noise with power spectrum2

W

W 2+ ω; where A, , Wτ are positive

constants. The sum is applied to a matched filter.a) Find the transfer function optH ( )ω of the matched filter.

b) Find the filter ’s impulse response, plot it.c) Is there some value at which the matched filter is causal one? If yes,

find it.

ot



Sol. a)1

2 N N 1S ( ) S ( ) H ( ) Aω = ω ω = ⇒ 1 N (t) is white noise.

Through the filter colored noise N(t) becomes white noise ;

this explains the meaning of the term “whitening filter”.

1 N (t)

b) ℱ [ ℱ 1F ( )ω = ]1f (t) = 1[f (t)] H ( ) F( )H ( )1ω = ω ω (by (6.2.12)).

By use of (6.6.9) the matched filter to in white noise is1f (t) 1 N (t)o j t

2 1H ( ) KF ( )e− ω∗ω = ω o j t

1KF ( )H ( )e− ω∗ ∗= ω ω .

1 2H( ) H ( )H ( )⇒ ω = ω ω = N N N

1 1 1then

S ( ) T ( ) T ( )

∗⎛ ⎞⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎜ ⎟ω ω ω⎝ ⎠⎝ ⎠

o j t

N

F ( )K e

S ( )

∗− ωω

ω, thus the filter is matched.

c) Factor N N NS ( ) T ( )T ( )∗ω = ω ω ⇒ 1

N

1H ( )

T ( )

ω =

ω

.

Is the filter causal? Relating to the problem it can be shown that

under the so-called Paley-Wiener (1934) condition1H ( )ω

N2

log(S ( ))d ,

1

∞

−∞

ωω < ∞

+ ω∫

XS ( )ω can be factored out as2

NT ( )ω with both NT ( )ω and N

1

T ( )ωbeing

causal filters.

It is necesary to search whether 2H ( )ω is the causal filter.6.19. Find the output signal to the matched filter given in the

Example 6.22.f Y (t)

Ans. f t)Y ( = 20K A tri (t t ).ττ −

6.20. A signal 2 2tf (t) 5u(t) t e−= is added to white noise with power

spectrum 2 210 W/Hz−σ = and the sum is applied to the input of a matched filter.

a) Find the transfer function and sketch the impulse response of the filter. b) Find the signal-to-noise ratio o 0r S / N= .

c) Is the filter causal?Sol. a) ℱ [f(t)] F( )ω =

3

25.

(2 j )=

+ ω.

o j topt 3

2H ( ) K 5. e

(2 j )

∗− ω⎛ ⎞

ω = ⎜ ⎟⎜ ⎟+ ω⎝ ⎠o j t

3

2( 2K) 5. e

( 2 j )

− ω⎡ ⎤⎛ ⎞= − ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟− + ω⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

.

opth (t) =ℱ 1

opt[H ( )]− ωo

2 2to

t t( 2K) 5u(t)t e ( 2K)f (t t )−

−⎡ ⎤= − = − −⎣ ⎦

.

b) From (6.6.10),

2 2tf

2o

E

r (100) 5 t e dt 125

∞−

= = =σ ∫ (or 20,97dB).



0c) , the filter is causal.ot∀ >6.21. A rectangular pulse f (t) A rest (t)τ= added to white noise with

power spectrum arrives at a receiver. For some practical reasons the receiver (filter) is not matched but a lowpass simple filter with transfer function

2σ

W

H( ) W + jω = ω ; W > 0 is a costant.

a) Find the ratio of instantaneous output signal power at any time t

to white noise with power at the filter output. At what time, denoted by

, is the ratio maximum?

2of (t)

2oE[N (t)]

ot

b) At the time what the band width W will maximize the signal-to-

noise ratio?ot

c) Plot the loss in output signal-to-noise ratio that results, compare to amatched filter for various values of 0 W 5/< ≤ τ . What is the minimum loss?

Sol a) h(t) =ℱ WW+j

⎛ ⎞⎜ ⎟ω⎝ ⎠

- WtWe u(t)= .

of (t) f (t) h(t) A rest (s)h(t s)ds

+∞

τ−∞

= ∗ = −∫ W(t-s)A We u(t s)ds

τ−

−τ

= −∫ .

Consider cases of thent ; t ;< −τ − τ ≤ ≤ τ τ < t

(t )o

Wt

0 t

f (t) A(1 e ) t

2A e sh(W ) t < .

− +τ

−

< −τ⎧⎪

= − − τ ≤ ≤⎨⎪

τ τ⎩

τ

It is clear that the function is nonnegative, continuous and gets it

maximum

of (t)

2WA(1 e )− τ− at . Moreover t = τ

22 2o o

1 N E[N (t)] H( ) d

2

∞

−∞

= = σ ω ωπ ∫

2 2

2 2

W Wd

2 2W

∞ 2

−∞

σ σ= ω

π + ω∫ = .

So we conclude2o

o

f (t)r(t)

N= . This ratio maximizes at ot = τ , where

2 2W 2o 2

8A e sh (W )r(t )W

− τ τ=σ

.

b) withor(t ,W) g(u)=2 2u 2

2

8A e sh (u)g(u)

u

−τ=

σ, u W= τ .

Using derivative method it can be shown that the ratio gets its maxima at

the root of the equation 2ue (4u 1) 1 o0,628

u u 0,628 W≈ ⇒ ≈τ

− + = ⇒ = .

c)2

2f max

2 2 2

E 1 2Ar A dt

τ

−τ

τ= = =

σ σ σ∫ .



2W 2 2u 2

o

max

r(t ) e sh (W ) e sh4 4

r W

− τ −τ⇒ = =

τu

u, u W= τ .

As we see this ratio gets its maxima at uo 0,628≈ with the correspondent

value 0,815. Then the minimal loss is 18,5%.

6.22. A random signal X(t) and colored noise N(t) are jointly

stationary with autocorrelation functionsB W

X NR ( ) Ae , R ( ) We

− τ −τ = τ = τ

.(A, B,W 0)>a) Find the transfer function of the uncausal optimal Wiener filter.

b) Find and sketch the impulse of the filter.c) Find the minimum mean-squared error of the filter.

Sol. a) By Appendix B-2

ℱ X 2

2B2

( )] A ;B

τ =[R X

S ( )ω =+ ω

NS ( )ω =ℱ N 2

2W2

( )] WW

τ =[R .+ ω

2 2

opt 2

2 2 2 2

2AB/(B )H ( )

2AB 2W

B W

+ ωω =

++ ω + ω

2 2

AB 2... G

AB W

λ= = +

2+ λ + ω

where2 2 2 2

2 2

W (AB B ) ABW (W B ); G

AB W 2 (AB W )

+ − 2

2=

+ λ +

t) =

λ = .

b) h ( ℱ opt

t1

opt 2

AB[H ( )] (t) G e

AB W

−λ− ω = δ +

+

.

When2

ABG 1

2(AB W )λ = ,= =

+(t)

h(t)2the plot of h is as in the firgure.

opt

c)

12 2

2

o 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2AB 2W 2AB 2W

E[ (t )] d2 B W B W

−∞

−∞

⎡ ⎤

ε = +⎢ ⎥π + ω + ω + ω + ω⎣ ⎦∫ ω

12 2 2

2

2 2

1 ABW W (AB B )d

AB W AB W

−∞

−∞

⎡ ⎤+= + ω ω⎢ ⎥π + +⎣ ⎦

∫ 2 2

ABW

(AB W )(AB B )=

+ +.

6.23. Suppose where S and N are two jointly stationary

uncorrelation processes, N has zero mean and

X S N= +

S 2 2

1S ( ) ,

(1 )ω =

+ ω

N

1S ( ) .

1

ω =

+ ω

2Find the uncausal Wiener filter.



6.24. Work the Problem 6.23 for the signal and uncorrelation colored

noise defined byS N2 4

1 1S ( ) , S ( ) .

1 1ω = ω =

+ ω + ω

6.25. A random signal S(t) and uncorrelated white noise N(t) have

respective power spectrums

22

S SS S N4 4S

S ( ) 2 2 P W , S ( )W

ω

ω = ω+ ω = σ

, where

is average power in while andSS

P S(t)S

W2σ are positive constants.

a) Find the transfer function of the Wiener filter for the signal and noise. b) What is the minimum mean-squared filter error?

c) Evaluate the result of b) for 2

SS SP 2W, W 15rad / s, 0,1W / H= = σ = z.

Hint: Use the known integral (Thomas, 1969, p. 249)2

1 o o 1 2 o2 2 2 2 4

o 1 22 1 o 2 o

(b b )d a b a b1

2 2a a aa (a 2a a ) a

∞

−∞

− ω ω −=

π + − ω + ω∫

1 2a

where are constants and the equationo 1 2 o

a , a , a , b and b 2

o 1a aλ + λ + = 0 has

roots with nonnegative image path.

Sol. a) Sopt

S N

S ( )H ( )

S ( ) S ( )

ωω = =

ω + ω

2

SS S

2 4 2 2 4

SS S S

2 2P W

2 2P W W

ω

σ ω + ω + σ.

b)

22SS X

4 42 S

o 22SS S

4 4S

2 2P W

W1E[ (t )] d

2 2 2P W

W

∞

−∞

ωσ

+ ωε = ω

π ω+ σ

+ ω

∫ =2 2

SS S

2 4 2 2 4

SS S S

2 2P W d1

2 2 2 P W W

∞

−∞

− σ ω ω−π σ ω + ω + σ∫

2

SS S SS S

2 2

SS S SS S

0 (2 2P W ) P W1

2 2. . 2 2P W 2 . 2 2P W

− σ σ σ−⎛ ⎞= =⎜ ⎟π⎝ ⎠ σ + σ σ π + σ.

c) 2 2

o

2.15. 0,1E[ (t )] 0,2315 0,4812

2 2 .2.15 0,1ε = = =

π +.

6.26. Suppose that we have to find the estimate of a random telegraph

signal S(t) in terms of the sum X(t) S(t) N(t)= + and the past of the sum,

where2

SR ( ) e ,− λ τ

τ = NR ( ) L ( );τ = δ τ SNR ( ) 0.τ = Show that

cs

0

1S(t) (c 2 ) X(t s)e ds, c 2 1

L

∞−= − λ − = λ +

λ∫ $ .

Sol. 2

SX SR ( ) R ( ) e ,

− λ ττ = τ =SX

S ( )ω =ℱ SX

[R ( )]τ =2 2

2.(2 )

(2 )

λ

λ + ω.

XS ( )ω = ℱ ℱ

X[R ( )]τ =

S[R ( )]τ + ℱ

N[R ( )]τ

2 2

2 2 2 2

4 cL L , c 2 1

L(2 ) (2 )

λ + ω= + = = λ

λλ + ω λ + ω

1+ .



X X

c j c jS ( ) L . L A ( )A ( )

2 j 2 j

∗⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ω − ω⇒ ω = = ω ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ + ω λ − ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠

X.

1

X

1 2 jH ( ) .

A ( ) L(c j )

λ + ωω = =

ω + ω

SW SX

X

1S ( ) S ( )A ( )∗ω = ω =ω 2 24

(2 ) λλ + ω2 j .L(c j )λ − ω− ω

4 2 j

(2 j ) (2 j ) (c j )L

λ λ − ω=

λ − ω λ + ω − ω4 1

2 j c j(c 2 ) L

1⎡ ⎤λ= +⎢ ⎥λ + ω − ω+ λ ⎣ ⎦

As in Example 6.25, we get2

H ( )ω = …4 1

2 j(c 2 ) L

λ=

λ + ω+ λ.

opt 1 2H ( ) H ( )H ( )ω = ω ω =

2 j

L(c j )

λ + ω

+ ω

4 1

2 j(c 2 ) L

λλ + ω+ λ

4 1 1(c 2 )L(c 2 ) c j c j

λ= = − λ+ λ + ω + ω

.

c t

opth (t) (c 2 )e−= − λ .

6.27. Suppose whereX(t) S(t) N(t)= + 0,2

SR ( ) 5e ,

− ττ =

Find the MS (mean-squared) estimates of S(t) and the

corresponding MS error for the cases:

NR ( ) 5 ( ),τ = δ τ

SNR ( ) 0τ = .

a) the noncausal filter of S(t), b) the causal filter of S(t).

Ans. a).opt 2

0,4H ( )0,44

ω =+ ω

,opt

h (t) = 0,44 t0,44 e2,2

− .

2

o

1E[ (t )] 1,5076.

0,44ε = =

b)X

S ( )ω0,44 j 0,44 j

5 50,2 j 0,2 j

⎛ ⎞⎛ ⎞+ ω −= ⎜ ⎟⎜

+ ω − ω⎝ ⎠⎝

ω⎟

⎠.

1

X

1 0,2 jH ( )

A ( ) 5( 0,44 j )

+ ωω = =

ω + ω.

2H ( )ω

11 1

5(0,2 j )

−=+ ω

.

opt 1 2H ( ) H ( )H ( )ω = ω ω

11 1 1

5 0,44 j

−=

+ ω.

opth (t) =

11 1

5

− 0,44 te u− (t) .

2E[ (t)]ε 2,3166≈ (1,5 times as much as that in case a)).



Câu hỏi ôn tập chươ ng VI6.1. Tại sao ta không dùng đượ c phổ điện áp cho QTNN?6.2. Định ngh ĩ a mật độ phổ công suất của QT dừng. Tính hàm tự tươ ng

quan thông qua mật độ phổ.6.3. Nêu tính chất (có chứng minh) của phổ công suất QT dừng, thực.6.4. Nêu điều kiện cần và đủ để một hàm S( ω ) là phổ công suất của QT

dừng, thực, công suất hữu hạn; để S( ω ) là phổ công suất của QT dừng (phức),công suất hữu hạn.

6.5. Mật đổ phổ công suất chéo của hai QT dừng đồng thờ i: định ngh ĩ a,tính hàm tươ ng quan chéo thông qua phổ công suất chéo, ứng dụng để tìm phổ của tổng các QT.

6.6. Phổ công suất cho dãy ngẫu nhiên: định ngh ĩ a, tính hàm tự tươ ngquan qua phổ công suất; các tính chất và ý ngh ĩ a.

6.7. Nhiễu tr ắng: định ngh ĩ a, hàm tự tươ ng quan cuả nhiễu tr ắng; những bất hợ p lý và tác dựng của việc nghiên cứu nhiễu tr ắng; nhiễu nhiệt.

6.8. Nhiễu tr ắng dải tần hữu hạn: định ngh ĩ a, công suất, hàm tự tươ ngquan; nhiễu tr ắng thông dải.

6.9. Dãy nhiễu tr ắng.6.10. Phổ công suất của QTNN phức: định ngh ĩ a, hàm tự tươ ng quan qua

phổ công suất; quan hệ hàm tự tươ ng quan chéo và phổ công suất chéo.6.11. Căn bản về hệ tuyến tính .6.12. Điều kiện cần để quá trình đầu vào phù hợ p vớ i hệ.6.13. Phát biểu và chứng minh định lý về hàm trung bình, hàm tự tươ ng

quan QT đầu ra và hàm tươ ng quan chéo đầu vào - đầu ra.6.14. Phát biểu định lý về hàm trung bình, hàm tự tươ ng quan QT đầu ra

và hàm tươ

ng quan chéođầ

u vào -đầ

u ra khiđầ

u vào là QT dừ

ng - Hệ

quả: ph

ổ công suất, phổ công suất chéo đầu vào - đầu ra, công suất.

6.15. Định ngh ĩ a QT tần thấ p, thông dải, dải hẹ p, điều biên. Chứng minhđịnh lý về điều kiện cần và đủ để QT điều biên là dừng, quy tâm. Phát biểu Địnhlý về biểu diễn Rice.

6.16. Một số hiểu biết về phân tích nhiễu trong hệ thông tin công cộngAM.

6.17. Một số hiểu biết về phân tích nhiễu trong hệ thông tin công cộngFM.

6.18. Phạm vi ứng dụng của lọc thích nghi; lọc thích nghi cho nhiễu tr ắng,

nhiễu màu.6.19. Ướ c lượ ng tuyến tính tối ưu: Đặt bài toán, nguyên lý tr ực giao.6.20. Lọc Wiener khả thi: tr ườ ng hợ p tổng quát, xây dựng lọc khả thi tối

ưu hai bướ c.



PHỤ LỤC B - BIẾN ĐỔI FOURIER (LIÊN TỤC)

x(t) X( )↔ ω ; j tX( ) x(t)e dt;+∞

− ω

−∞

ω = ∫ j t1x(t) X( )e d

2

+∞ω

−∞

= ω ωπ ∫

Bảng B-1 Tính chất của phép biến đổi Fourier

Tính chất Tín hiệu Biến đổi Fourier Tuyến tính 1 1 2 2a x (t) a x (t)+ 1 1 2 2a X ( ) a X ( )ω + ω

Dịch chuyển thờ i gian ox(t t )− j toe X(− ω ω)

Dịch chuyển tần số j toe x(t)ω

oX( )ω − ω

Lấy tỷ lệ theo thờ i gian x( t)α 1

Xω⎛ ⎞

⎜ ⎟α α⎝ ⎠

Lấy đảo thờ i gian ( )x t− ( )X −ω

Đối ngẫu X(t) 2 x( )π −ω

Lấy vi phân theo thờ i gian

dx(t)

dt n

n

d x(t)

dt

j X( )ω ω

( )n

j X(ω ω)

Lấy vi phân theo tần số

( jt)x(t)−

( )n

jt x(t)−

dX( )

d

ωω

n

n

d X( )

d

ω

ω

Tích phân

t

x( )d

−∞

τ τ∫

1x(0) (t) x(t)

jtπ δ −

1X(0) ( ) X( )

jπ δ ω + ω

ω

X( )dω

−∞

ξ ξ∫

Tích chậ p 1 2x (t) x (t)∗ 1 2X ( )X ( )ω ω

Nhân 1 2x (t) x (t) 1 21

X ( ) X ( )2

ω ∗ ωπ

Lấy liên hợ p x (t)∗ X ( )∗ −ω

Khai triển chẵn - lẻ

tín hiệu thực cx(t) x (t) x (t)= + l X( ) A( ) jB( )

X( ) X ( )∗

ω = ω + ω

−ω = ω

Thành phần chẵn cx (t) Re X( ) A( )ω = ω

Thành phần lẻ x (t)l jIm X( ) jB( )ω = ω

Định lý Parseval21

x(t)dt X( ) d2

+∞ +∞

−∞ −∞

= ω ωπ∫ ∫

Điều kiện (đủ) tồn tại x(t)dt∞−∞∫ hội tụ tuyệt đối

171



Bảng B-2 Cặp phép biến đổi Fourier

x(t) X( )ω Ghi chú

1 (t)δ 1

2 o(t t )δ − j toe− ω

3 1 2 ( )πδ ω

41 1

(t)2 j2

δ −πt

u( )ω

5 j toeω

o2 ( )πδ ω− ω

6 ocos( t)ω o o[ ( ) ( )]π δ ω − ω + δ ω + ω

7 sin o( tω ) o o j [ ( ) ( )]− π δ ω − ω − δ ω + ω

8 u(t)1

( ) j

πδ ω +ω

9 ou(t)cos( t)ω o o 2 2o

j[ ( ) ( )]2

π ωδ ω − ω + δ ω + ω + ω − ω

10 ou(t) sin( t)ω o o 2 2o

j j [ ( ) ( )]

2

π ω− δ ω − ω − δ ω + ω +

ω − ω

11 te u(t−α )1

jω + α 0α >

12 tte u(t)−α 21/( j )−ω + α 0α >

13 2 tt e u(t)−α 32!/( j )−ω + α 0α >

14 3 tt e u(t)−α 43!/( j )−ω + α 0α >

15 te

−α 2 2

2α

α + ω 0α >

162te−α

21/ 2 /(4 )( / ) e−ω απ α 0α >

17 2 2

1

tα + e

−α ω 0α >

18 Wrest (t) 2W Sa(W )ω W 0>

19 Wtri (t) 2 WW Sa ( )

2ω W 0>

20 W Sa(Wt)π

Wrest ( )ω W 0>

212W

Sa (Wt)π

Wtri ( )ω W 0>

22 sgn(t) 2 /( j )ω

23k

(t kT)∞

=−∞δ −∑ o o o

k

2( k ),

T

∞

=−∞

πω δ ω − ω ω =∑

172



173



Tài liệu tham khảo

[1] Đào Hữu Hồ, Nguyễn Văn Hữu, Hoàng Hữu Như - Thống kê toán học -

Nxb Đại học Quốc gia Hà nội - 2003.

[2] Tống Đình Quỳ - Giáo trình Xác suất thống kê - Nxb Giáo dục - 1999.

[3] Nguyễn Duy Tiến - Đặng Hùng Thắng - Các mô hình xác suất và ứng dụng- Phần I- II – III - Nxb Đại học Quốc gia Hà nội - 2001.

[4] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Việt Yên - Lý thuyết xác suất - Nxb Giáo dục -

2001.

[5] Ngô Quốc Trung -

[6] Hwei P. Hsu - Schaum s′ outline of theory and problem of probability,

random variables, and random processes - Mc Graw - Hill - 1993.

[7] D. G. Childer - Probability and random processes - IRWIN - 1997.

[8] A. Papoulis - Probability, random variables, and stochastic processes - 3th -

Mc Graw - Hill - 1991.

[9] P. Z. Peebles - Probability, random variables, and random signal principles- 3th - Mc Ggraw-Hill - 1993.

[10] N. U. Prabhu - Stochastic Storage Processes - Springer -Verlag - 1980.

[11] A.N. Shiryaev - Probability - 2th - Springer - 1996.

[12] Y. Viniotis - Probability and random processes for electrical engineers -

Mc Graw - Hill - 1998 .

[13] И. К. Волков, С. М. Зуев, Г. М. Цьветкова - Случайны процессов.

Москва – МГТУ - им. Баумана - 2003.

[14] И. И. Гихман, А. В. Скороход - Введение в теорию случайных

процессов - Москва - Наука -1977.

[15] Б. Р. Левин - Теоретичесие основы статистичесной раиотехники.Москва - Наука -1989.

173



K Ế HOẠCH HỌC – THILớ p Cao học 19 (11,12-2007)

PHẦ N I: Tiểu luận (6điểm)CƠ ĐIỆN

*5 câu hỏi lý thuyết (có đanh sáchkèm theo)

* câu bài tậ p, trong đó câu ở

Ch. I

6≤ 2≤

*6 câu hỏi lý thuyết (có đanh sáchkèm theo)

* 7≤ câu bài tậ p, trong đó câu ở

Ch. I

2≤

PHẦ N II: Thi viết (4điểm, 40 phút).

Câu I. Định ngh ĩ a 2 trong các QT sau:a) QTNNdừng theo ngh ĩ a r ộng, 2 QTNNdừng đồng thờ i.

b) QTNN Gauss.c) QT ergodic k ỳ vọng.d) QT Poisson, dãy thờ i điểm đến, dãy thờ i đoạn trung gian.e) QT Winner.f) (Dành cho Điện) Định ngh ĩ a phổ công suất, phổ công suất chéo, các tính chất của

nó. Tính hàm tươ ng quan từ phổ công suất.g) (Dành cho Điện) Phát biểu định lý nói lên mối liên hệ giữa hàm k ỳ vọng, hàm tươ ng quan của cácQT đầu vào, đầu ra, tươ ng quan chéo. Định lý tươ ng ứng, hệ quả vớ i các QT dừng.

Câu II . Một bài tậ p của Chươ ng I.

Câu III. Cho số liệu (n 7)≤

ix 1x .. nx

iy 1y .. ny

a)Tìm mô hình hồi quy tuyến tính thực nghiệm dạng y ax b= +$

b) Tìm hệ số phù hợ p .2R c)Tìm ướ c lượ ng cho phươ ng sai chung của mô hình 2

σ .d) Thể hiện dãy các phần dư ie lên đồ thị, đánh giá.

e) Kiểm định giả thuyết a = 0.f) Tìm miền tin cậy cho hệ số ag) Tìm dự đoán ; đánh giá.0y(x ); x(y )0

1



(Trang bìa)Học Viện K ỹ thuật Quân Sự

Khoa Công Nghệ Thông Tin

Tiểu luận

Một số vấn đề của Xác suất, Thống kê

và Quá trình ngẫu nhiên

Họ và tên:

Lớ p:

Giáo viên hướ ng dẫn: Tô Văn Ban

Hà nội 11-2007

3



K ế hoạch học tập vớ i lớ p CH ĐIỆN IINéidung

ThuyÕt tr×nh Bæ xung -Ph¶n biÖn I

Bæ xung -Ph¶n biÖn II

ChuÈn bÞM¸y

Ch-− ¬ng 1

Gi¸o viªn Lớ ptr ưở ng

§5.1§5.2

§ç TuÊn C− ¬ngNg« Quang HuyNg Träng Thanh

§oµn V¨n AnhVò ThÞ Lª H»ngHoµng V¨n DuyÓn

Chu Quèc Th¸iNg T BÝch NgaNg ThÞ B×nh

§5.3§5.4

KhuÊt V¨n §ångNg Xu©n Phó S¬nNg Hoµng An

§µo TiÕn VËnNg Quang H¶iNg ThÞ Th¶o

Chu Quèc Th¸iNg V¨n Tó

Ng Ph− ¬ng Anh

§5.5§5.6

Lª Quang Trung§inh V¨n HoanQu¸ch thÕ Dòng

TrÇn Nh− S¬nBïi ThÞ Thuú§µo TiÕn VËn

§ç Kh¾c HoµngNg V¨n §øc

Ng Thµnh long

§6.1Do·n V¨n MinhTrÇn Hång Th¾m

Ng TiÕn Dòng

Ph¹m H¶i YÕnNg Quang Minh

Lª Anh Dòng

Ng MËu V− ¬ngNg Hång Qu©n

TrÇn Q Ph¸t§6.2 §6.3

§6.5

ÈTÇn Trung KiªnPhÝ H÷u NghÜaLª Nga ¸nh

§µo Xu©n HuyNg V¨n §øcPh¹m TiÕn Nguyªn

TrÇn T T H− ¬ng§µo NhËt Quang

§µo ThÕ H÷u

K ế hoạch học tập vớ i lớ p CH CƠ Néidung

ThuyÕt tr×nh Bæ xung -Ph¶n biÖn I

Bæ xung -Ph¶n biÖn II

ChuÈn bÞM¸y

Ch− ¬ng 1 Gi¸o viªn Lớ p tr ưở ng

§5.1§5.2

Vò Quang B×nh

Lª Thanh B»ngNg §×nh S©m

L¹i Quang §¹o

Hµ Thµnh trungNg Ngäc Linh

Léc V¨n Quang

Ng Anh V− îng

§5.3§5.4

NguyÔn Hµ HïngNg Kiªn TrungTÞnh §×nh Th×n

NguyÔn SÜ HoµLª D¨ng TrängVò §øc B×nh

Ng ChÝ ThµnhLª Xu©n L©n

§5.5§5.6

Ng Gia NghÜaPh¹m V¨n NgäHµ Thµnh Trung

TrÇn Huy ThanhPh¹m D− MinhNg C¶nh Tïng

Ng Xu©n S¬nTrÇn V¨n S¬n

§6.1Bïi SÜ GiangNg H÷u HµTiÕn Thanh H− ng

Ng« Do·n LîiNg Anh TuÊnNg Anh V− îng

Ph Thanh ToµnN. T. Thanh Mai

Ôn tậ p

5



C¥Líp: Xe m¸y QS, CB. Kho¸: 19 (TT)

TT Hä vµ tªn h.viªnC©u hái

C. IC©u hái

C.V§iÓmT. luËn

§iÓm thit¹i líp

KÕt qu¶

1 Vò Quèc B×nh1-10 2-8-15

2 §oµn Quang Dòng 2-8 3-11-14

3 Vâ Quèc §¹i 1-8 1-12-14

4 L¹i Quang §¹o 6-7 6-8-13

5 NguyÔn M¹nh Hïng 5-8 3-9-13

6 T¹ TiÕn Long 3-9 1-11-18

7 NguyÔn V¨n Ngäc 6-10 6-7-14

8 NguyÔn Träng T©n 1- 1-9-16

9 Hå Xu©n Thµnh 2-11 3-7-13

10 TrÇn Huy Thanh 5-11 2-11-17

11 Ph¹m Thanh Toµn 4-10 2-13-14

12 TrÇn V¨n B×nh 6-9 1-8-13

13 Lu Minh Hïng 4-8 4-10-15

14 TrÇn Ých T¸ch 2-7 5-12-13

15 Bïi V¨n H¶i 1-8 1-9-11

16 Ng« Do·n Lîi 3-7 2-3-11 17 Léc V¨n Quang 6-7 4-9-11

18 NguyÔn ChÝ Thµnh 5-9 2-6-11

19 D¬ng Quang Minh 4-10 6-8-11

20 NguyÔn Gia NghÜa 2-7 5-12-13

21 NguyÔn Xu©n S¬n 1-8 1-9-11

22

6



Líp: Vò khÝ §¹n Kho¸: 19 (TT)


C. IC©u hái

C.V§iÓmT. luËn

§iÓm thit¹i líp

1 §ç Thµnh Biªn 3-7 2-3-16

2 Bïi SÜ Giang 6-7 4-9-113 TrÇn B¸ HiÖu 5-9 2-6-15

4 NguyÔn Sü Hoµ 4-10 6-8-18

5 Hå Minh Hïng 5-11 4-6-11

6 NguyÔn Hµ Hïng 6-10 5-7-17

7 Lª Xu©n L©n 2-7 3-10-17

8 T¨ng Xu©n Long 3-8 3-8-14

9NguyÔn

Xu©n

Lîi1-9 5-9-11

10 Ng« V¨n Lu 3-10 2-8-15

11 TrÇn V¨n S¬n 6-11 3-10-13

12NguyÔnH÷u

T©n5-11 1-9-15

13 Ph¹m V¨n Thä 4-10 4-12-14

14 NguyÔn Anh TuÊn 3-9 1-10-16

15NguyÔnC¶nh

Tïng2-8 1-11-18

16 Ng« §øc V− îng 1-7 6-10-15

17NguyÔnQuang

Dòng2-8 2-10-16

18 Lª KiÕn Giang 6-7 1-9-17

19 Vò Tïng L©m 6-9 2-10-16

20 Phan D¬ng Minh 1-10 3-6-13

21NguyÔn§øc

ThuËn2-11 1-9-17

22 TrÞnh §×nh Th×n 3-10 2-10-13

23 NguyÔnKh¾c

Trinh 3-10 2-10-13

24 Lª §¨ng Träng 4-8 4-10-18

25 NguyÔn Kiªn Trung 3-9 2-9-17

7



TT

Hä vµ tªn h.viªn

C©u háiC. V

C©u háiC.VI

§iÓmT.luËn

§iÓm thit¹i líp

KÕtqu¶

27.

NguyÔn Tµi §¹t1-9-15 4-10-18

28.

Vâ Xung Hµ 4-12-14 2-9-14

29.

NguyÔn Nh Khuª1-10-16 4-8-14

30.

TrÇn H÷u L¬ng1-11-18 4-7-19

31.

NguyÔn V¨n Tó6-10-15 1-9-17

32.

L¬ng V¨n Tr×nh2-10-16 2-11-17

33.

TrÞnh Xu©n Trung1-9-17 4-9-16

34.

Ph¹m Thanh TruyÒn2-10-16 2-8-15

35.

Hoµng V¨n ViÖt3-6-13 7-9-20

36.

TrÇn Xu©n YÕn1-9-17 3-12-14

2-10-13 1-11-15

Líp: Th«ng tin (DS) Kho¸: 19 (TT)


C.VC©u hái C.

VI§iÓm

T. luËn§iÓm thi

t¹i líp

1 Lª §øc Anh 4-10-18 6-7-20

2 NguyÔn TuÊn Anh2-9-17 3-10-16

3 NguyÔn ThÞ Ph¬ng Dung 4-8-14 4-8-14

4 Hoµng V©n §«ng 1-7-13 5-9-175 NguyÔn DiÔm VÜnh Hµ 1-9-17 4-7-18

6 Bïi ViÖt H¶i 2-11-17 3-13-18

7 §Æng Trung HiÕu 4-9-16 6-7-16

8 TrÇn ThÞ H− êng 2-8-15 3-10-16

9 NguyÔn Ngäc Kiªn 1-9-14 1-9-19

10




C.VC©u hái C.

VI§iÓm

T. luËn§iÓm thi

t¹i líp

10 TrÇn §¹i Léc 3-12-14 2-11-17

11 §inh TiÕn NghÜa 1-11-15 8-9-20

12 Ch©u Thanh Ph− ¬ng 1-7-17 6-8-16

13 Vò ThÞ Quúnh 3-10-16 5-10-15

14 NguyÔn TÊt S¬n 4-8-14 3-12-16

15 Lª ThÞ Thanh T©m 5-9-17 4-9-14

16 NguyÔn N¨ng Thµnh 4-7-13 7-10-19

17 D¬ng Hïng Th¾ng 3-9-18 5-9-15

18 NguyÔn Toµn Th¾ng 1-7-16 6-9-18

19 TrÇn Träng Th¾ng 3-10-16 4-8-20

20 Vò C«ng Trung 1-9-14 2-12-1421 2-11-17 1-9-16

1-9-13 3-11-17

11



§IÖN IILíp: §iÒu khiÓn (QS) Kho¸: 19 (TT)


C.VC©u hái C.

VI§iÓm

T. luËn§iÓm thi

t¹i líp

1 NguyÔn Hoµng An6-8-16 1-10-20

2 NguyÔn ThÞ Lan Anh 5-10-15 5-7-16

3 Ph¹m ThÞ Ph¬ng Anh 3-12-16 3-9-14

4 §ç TuÊn C¬ng 4-9-18 4-8-19

5 Lª Anh Dòng 1-10-16 5-10-17

6 NguyÔn TiÕn Dòng 5-9-15 2-12-15

7 Qu¸ch ThÕ Dòng 2-9-18 4-9-15

8 KhuÊt V¨n §ång 4-8-14 1-7-16

9 NguyÔn V¨n §øc 2-12-14 1-9-18

10 §ç Kh¾c Hoµng 1-9-12 2-12-20

11 §µo Xu©n Huy 3-11-17 4-9-14

12 TrÇn Trung Kiªn 1-10-16 2-13-19

13 NguyÔn Thµnh Long 1-7-16 1-9-17

14 Do·n V¨n Minh 3-9-14 3-10-16

15 Lª Träng NghÜa 4-8-12 5-11-15

16 Ph¹m TiÕn Nguyªn 5-10-17 1-9-1717

§µo NhËt Quang2-12-

153-11-16

18 NguyÔn Hång Qu©n 4-9-15 4-8-16

19 TrÇn Nh S¬n 1-7-16 3-9-17

20 §Æng V¨n Thµnh 1-9-18 5-8-19

21 Lª Quang Trung 2-11-13 1-9-14

22 Vò §øc Trêng 4-9-14 3-12-14

23 §µo TiÕn VËn 2-8-13 1-11-20

1-9-17 1-7-17

3-10-16 3-10-16

5-11-15 4-8-14

12



Líp: §iÒu khiÓn (DS) Kho¸: 19 (TT)

TT Hä vµ tªn h.viªnC©u hái C.V C©u hái C.

VI§iÓm

T.luËn

§iÓm thi t¹ilíp

1 §oµn V¨n Anh 1-9-17 5-9-17

2 NguyÔn ThÞ B×nh 3-11-16 4-7-203 Ph¹m §øc C¬ng 4-8-16 3-9-18

4 Hoµng V¨n DuyÒn 3-9-17 6-7-16

5 Bïi Minh H»ng 5-8-18 3-10-19

6 NguyÔn ThÞ Thuý H»ng 3-12-14 2-11-17

7 Vò ThÞ LÖ H»ng 1-11-15 8-9-20

8 NguyÔn Quang H¶i 1-7-17 6-8-16

9 Bïi ThÞ Thu HiÒn 3-10-16 5-10-15

10 Ng« Quang Huy 4-8-14 3-12-16

11 NguyÔn Thµnh Qu©n 5-9-17 4-9-14

12 NguyÔn Xu©n Phó S¬n 4-7-13 7-10-19

13 Chu Quèc Th¸i 3-9-18 5-9-15

14 NguyÔn ThÞ Th¶o 1-7-16 6-9-18

15 TrÇn ThÞ Hång Th¾m 3-10-16 4-8-20

16 NguyÔn Träng Thanh 1-9-14 2-12-14

17 Bïi ThÞ Thuû 2-11-17 1-9-1618 Ph¹m H¶i YÕn 1-9-13 3-11-17

19 PhÝ H÷u NghÜa 2-9-17 3-10-16

13



Líp: Ho¸ Kho¸: 19 (TT)

TT Hä vµ tªn h.viªnC©u hái C.V C©u hái C.

VI§iÓm

T. luËn§iÓm thi t¹i

líp

1 Lª Ngäc ¸nh 1-11-18 4-9-20

2 D¬ng Ngäc C¬ 6-7-14 2-12-15

3 NguyÔn TiÕn Dòng 1-9-16 6-13-20

4 NguyÔn Thanh H¶i 3-7-13 4-6-16

5 §inh V¨n Hoan 2-11-17 5-10-20

6 NguyÔn Kh¸nh H− ng 2-13-14 3-10-17

7 §µo ThÕ H÷u 1-8-13 6-8-14

8 NguyÔn Quang Minh 4-10-15 5-9-16

9 NguyÔn ThÞ BÝch Nga 5-12-13 7-13-15

10 TrÇn Quang Ph¸t 1-9-11 3-10-20

11 NguyÔn V¨n Tó 2-3-16 1-9-15

xac suat thong ke va qua trinh ngau nhien

Documents