X ÂÓÇÎÂÑÊÎ-ÀÊÀÄÅÌÈ×ÅÑÊÀß

ÎËÈÌÏÈÀÄÀ ÏÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÅ2010 � 2011 ó÷.ã.

Ðåøåíèÿ çàäà÷

Ñîñòàâèòåëè çàäà÷: Øåâàëäèí Â.Ò., Íîõðèí Ñ.Ý., Õëîïèí Ä.Â.

Ñàéò îëèìïèàäû: http://acm.usu.ru

5 � 6 ÊËÀÑÑ(5�6.1)  ïàêåòå 9 êã êðóïû. Êàê ïðè ïîìîùè ÷àøå÷íûõ âåñîâ è åäèíñòâåííîé ãèðè

âåñîì 200 ã çà òðè âçâåøèâàíèÿ îòìåðèòü ðîâíî 2 êã êðóïû?Ðåøåíèå. Ïåðâûì âçâåøèâàíèåì ïîëîæèì íà îäíó èç ÷àøåê âåñîâ ãèðþ, à âñþ êðóïó

ðàçëîæèì íà ÷àøêè âåñîâ òàê, ÷òîáû ïîñëåäíèå óðàâíîâåñèëèñü. Òàê êàê îáùàÿ ìàññàâçâåøèâàåìîãî ðàâíà 9,2 êã, òî íà êàæäîé ÷àøêå âåñîâ áóäåò âåñ 4,6 êã. Òåïåðü óáåð¼ìêðóïó ñ ÷àøêè, ãäå ãèðè íå áûëî, îáðàòíî â ìåøîê, ñíèìåì ãèðþ, à âñþ îñòàâøóþñÿêðóïó (å¼, êîíå÷íî, îñòàíåòñÿ 4,4 êã) ðàçëîæèì íà îáå ÷àøêè òàê, ÷òîáû âåñû ïðèøëè âñîñòîÿíèå ðàâíîâåñèÿ (ýòî âòîðîå âçâåøèâàíèå). ßñíî, ÷òî ñåé÷àñ íà êàæäîé ÷àøêå ïî 2,2êã. Òåïåðü óáåð¼ì âñþ êðóïó ñ îäíîé èç ÷àøåê â ìåøîê, ïîñòàâèì íà ýòó ÷àøêó ãèðþ, èíà äðóãîé ÷àøêå âåñîâ îñòàâèì ñòîëüêî êðóïû, ñêîëüêî ýòà ãèðÿ âåñèò, ò.å. 0,2 êã (òðåòüåâçâåøèâàíèå). Âñÿ êðóïà, ñíÿòàÿ ñî âòîðîé ÷àøêè, âåñèò òîãäà ðîâíî 2, 2− 0, 2 = 2 êã.

(5�6.2) Èìååòñÿ 5 ýëåêòðè÷åñêèõ ðîçåòîê è 10 òðîéíèêîâ. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñ-ëî ýëåêòðîïðèáîðîâ ìîæíî âêëþ÷èòü â ñåòü ñ èõ ïîìîùüþ? (Ñóììàðíîå êîëè÷åñòâîâêëþ÷¼ííûõ â êàæäûé òðîéíèê ýëåêòðîïðèáîðîâ è òðîéíèêîâ íå áîëåå òð¼õ, à â ðîçåò-êó ìîæåò áûòü âêëþ÷¼í èëè îäèí òðîéíèê, èëè îäèí ýëåêòðîïðèáîð, èëè íè÷åãî.)

Ðåøåíèå. Åñëè íå èñïîëüçîâàòü òðîéíèêè, òî ýëåêòðîïðèáîðîâ ìîæíî âêëþ÷èòü ñòîëü-êî, ñêîëüêî ðîçåòîê. Ïîäêëþ÷àÿ î÷åðåäíîé òðîéíèê, ìû çàíèìàåì îäíî èç ìåñò âêëþ÷åíèÿïðèáîðà, íî äîáàâëÿåì òðè íîâûõ ìåñòà, ïîýòîìó ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî âêëþ÷¼ííûõ ïðè-áîðîâ óâåëè÷èâàåòñÿ íà 2.  ðåçóëüòàòå íàõîäèì, ÷òî íàèáîëüøåå ÷èñëî ýëåêòðîïðèáîðîâðàâíî n + 2m, ãäå n � ÷èñëî ðîçåòîê, m � ÷èñëî òðîéíèêîâ.  êîíêðåòíîì íàøåì ñëó÷àåèìååì 5 + 2 · 10 = 25.

ÎÒÂÅÒ: 25.(5�6.3) Áèëåò ñ øåñòèçíà÷íûì íîìåðîì íàçîâ¼ì ïî÷òè ñ÷àñòëèâûì, åñëè ñóììà

êàêèõ-ëèáî òð¼õ åãî öèôð ðàâíà ñóììå òð¼õ îñòàâøèõñÿ. Ðîìà è Ìèøà âçÿëè â òðîë-ëåéáóñå äâà áèëåòà ñ ïîäðÿä èäóùèìè íîìåðàìè, è îáà áèëåòà îêàçàëèñü ïî÷òè ñ÷àñòëè-âûìè. Äîêàæèòå, ÷òî ñðåäè 12 öèôð ýòèõ áèëåòîâ îáÿçàòåëüíî âñòðåòèòñÿ öèôðà 0.

Ðåøåíèå. Ïóñòü áèëåò ÿâëÿåòñÿ ïî÷òè ñ÷àñòëèâûì. Òîãäà åãî öèôðû ìîæíî ðàñïðå-äåëèòü â äâå ãðóïïû, ñóììà â êîòîðûõ áóäåò îäíîé è òîé æå, ñêàæåì, S. Òîãäà ñóììà âñåõöèôð áèëåòà ðàâíà 2S � ÷èñëî ÷¼òíîå. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ñðåäè öèôð áèëåòà íå÷¼òíûõ öèôð÷¼òíîå êîëè÷åñòâî. Åñëè ïðè ýòîì ïîñëåäíÿÿ öèôðà íîìåðà íå ðàâíà 0, òî ïðåäûäóùèéáèëåò èìååò ïåðâûå 5 öèôð òå æå ñàìûå, à ïîñëåäíþþ � íà 1 ìåíüøå. Çíà÷èò, êîëè÷åñòâî÷¼òíûõ öèôð èçìåíèëîñü íà 1 (íåâàæíî, óìåíüøèëîñü èëè óâåëè÷èëîñü).  ðåçóëüòàòåâ ïðåäûäóùåì áèëåòå íå÷¼òíîå êîëè÷åñòâî íå÷¼òíûõ öèôð, ò.å. îí íå áóäåò ñ÷àñòëèâûì.Âûâîä: â ïðèîáðåò¼ííîì Ðîìîé è Ìèøåé áèëåòå ñ áîëüøèì íîìåðîì ïîñëåäíÿÿ öèôðàðàâíà 0. Ñèòóàöèÿ, îïèñàííàÿ â óñëîâèè, âîçìîæíà: íàïðèìåð, íîìåðà áèëåòîâ 220369(2 + 3 + 6 = 2 + 9 + 0)) è 220370 (2 + 2 + 3 = 7 + 0 + 0)). Óòâåðæäåíèå çàäà÷è äîêàçàíî.

(5�6.4) Íà ñòîëå ëåæàò 20 îäèíàêîâûõ ìîíåò: 5 îðëîì ââåðõ è 15 îðëîì âíèç. Îòâàñ òðåáóåòñÿ ðàçëîæèòü âñå ìîíåòû â äâå êó÷êè (âîçìîæíî, ïåðåâåðíóâ íåêîòîðûå èçìîíåò) òàê, ÷òîáû â ïåðâîé è âòîðîé êó÷êàõ áûëî îäèíàêîâîå ÷èñëî ìîíåò, ëåæàùèõîðëîì ââåðõ. Ïðè ýòîì ó âàñ çàâÿçàíû ãëàçà, ïîýòîìó âû íå ìîæåòå âèäåòü, êàê èìåííîëåæàò ìîíåòû, à íà îùóïü îòëè÷èòü ðåøêó îò îðëà âû òîæå íå ìîæåòå.

Ðåøåíèå. Âîçüì¼ì ëþáûå 5 ìîíåò è îáðàçóåì èç íèõ ïåðâóþ êó÷êó, ïåðåâåðíóâ âñå 5.Îñòàëüíûå ìîíåòû îáðàçóþò âòîðóþ êó÷êó (èõ íå ïåðåâîðà÷èâàåì). Ïîêàæåì, ÷òî òàêèì

2

îáðàçîì ìû ðåøèì çàäà÷ó. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü â ïåðâîé êó÷êå îðëîì ââåðõ îêàçàëèñü mìîíåò. Òîãäà îñòàëüíûå ìîíåòû (èõ 5−m øòóê) � ýòî â òî÷íîñòè òå ìîíåòû èç âûáðàííûõ,êîòîðûå èçíà÷àëüíî ëåæàëè ââåðõ îðëîì. Çíà÷èò, âî âòîðîé êó÷êå ââåðõ îðëîì ëåæàòîñòàëüíûå 5− (5−m) ìîíåò, ò.å. òîæå m øòóê.

(5�6.5) Áàðîí Ìþíõãàóçåí óòâåðæäàåò, ÷òî íà Ñûð-

ê ðåøåíèþ çàäà÷è 5�6.5.

íîì îñòðîâå èìåþòñÿ ÷åòûðå îáëàñòè, êàæäàÿ â ôîðìåòðåóãîëüíèêà, è ïðè ýòîì ëþáûå äâå èç íèõ èìåþò îá-ùóþ ãðàíèöó â âèäå îòðåçêà íåíóëåâîé äëèíû. Ìîãóò ëèñëîâà áàðîíà îêàçàòüñÿ ïðàâäèâûìè?

Ðåøåíèå. Áàðîí � ÷åñòíåéøèé ÷åëîâåê íà ñâåòå. Âîç-ìîæíàÿ êàðòà ýòèõ îáëàñòåé ïðèâåäåíà íà ðèñóíêå.

ÎÒÂÅÒ: Ìîãóò.(5�6.6) Ìàëüâèíà ïðîäèêòîâàëà Áóðàòèíî äâà ñëîâà:

ÏßÒÀÊ è ÏßÒÊÀ. Îäíàêî ïðè íàïèñàíèè ýòèõ ñëîâ Áó-ðàòèíî çàìåíèë îäèíàêîâûå áóêâû îäèíàêîâûìè öèôðàìè,à ðàçíûå � ðàçíûìè, òàê ÷òî âìåñòî ñëîâ îáðàçîâàëèñü äâà ïÿòèçíà÷íûõ ÷èñëà.  íà-êàçàíèå Ìàëüâèíà çàñòàâèëà Áóðàòèíî íàéòè ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî, íà êîòîðîå äåëèòñÿêàæäîå èç íàïèñàííûõ èì ÷èñåë. Ó Áóðàòèíî ïîëó÷èëîñü, ÷òî ýòî ÷èñëî 117.

a) Äîêàæèòå, ÷òî Áóðàòèíî îøèáñÿ.á) Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî ìîã ïîëó÷èòü Áóðàòèíî,

åñëè áû íå îøèáàëñÿ â ñ÷¼òå?Ðåøåíèå. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè, ïóñòü K > A. Çàìåòèì, ÷òî åñëè n � îáùèé

äåëèòåëü ÷èñåë ÏßÒÀÊ è ÏßÒÊÀ, òî íà n äåëèòñÿ è ðàçíîñòü ýòèõ ÷èñåë, ðàâíàÿ 10K +A−(10À+Ê) = 9(K−A). Çíà÷èò, n 6 9(K−A). Íî òàê êàê Ê è À � öèôðû, òî ìàêñèìóì èõðàçíîñòè ðàâåí 9 è äîñòèãàåòñÿ ïðè K = 9, À = 0. Òîãäà n 6 81, ïîýòîìó Áóðàòèíî îøèáñÿ.Èç ðàññóæäåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî Áóðàòèíî íå ìîã ïîëó÷èòü ÷èñëà, áîëüøåãî 81. Ïîêàæåì, ÷òî81 � âîçìîæíûé âàðèàíò ïðàâèëüíîãî îòâåòà. Äåéñòâèòåëüíî, òàêîå ìîãëî ïðîèçîéòè ïðèóñëîâèè Ï = 2, ß = 3, Ò = 4, Ê = 9, À = 0 (ïðèìåð, êîíå÷íî, íå åäèíñòâåííûé).  ýòîìñëó÷àå ÏßÒÊÀ = 23490 = 81 · 290, ÏßÒÀÊ = 23409 = 81 · 289.

ÎÒÂÅÒ: á) 81.

3

7 ÊËÀÑÑ(7.1) Äîêàæèòå, ÷òî

1− 1

2+

1

3− 1

4+ . . . +

1

99− 1

100=

1

51+

1

52+

1

53+ . . . +

1

99+

1

100.

Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì ëåâóþ ÷àñòü ðàâåíñòâà ÷åðåç A, ïðàâóþ � ÷åðåç B, è ïóñòüS = 1 +

1

2+

1

3+ . . . +

1

99+

1

100. Òîãäà S − A = S −

(1− 1

2+

1

3− 1

4+ . . . +

1

99− 1

100

)=

2 · 1

2+ 2 · 1

4+ . . . + 2 · 1

98+ 2 · 1

100= 1 +

1

2+ . . . +

1

49+

1

50. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, S −

B =

(1 +

1

2+ . . . +

1

99+

1

100

)−

(1

51+

1

52+ . . . +

1

99+

1

100

)= 1 +

1

2+ . . . +

1

49+

1

50, ò.å.

S − A = S −B, îòêóäà A = B.

(7.2) Ïîêàæèòå, êàê çàìîñòèòü ïëîñêîñòü îäèíàêîâûìè ïëèòêàìè

ê óñëîâèþçàäà÷è 7.2.

âèäà, èçîáðàæ¼ííîãî íà ðèñóíêå? Ïëèòêè ðàçðåøàåòñÿ ïîâîðà÷èâàòü èïåðåâîðà÷èâàòü.

Ðåøåíèå. Ñîåäèíèì ïëèòêè ïî äâå, êàê óêàçàíî íà ðèñóíêå. Ïîëó÷èìïëèòêè íîâîãî òèïà � ïðÿìîóãîëüíûå, ñ ïàðîé âûðåçàííûõ ïðîòèâîïî-ëîæíûõ óãëîâ. Ýòèìè ïëèòêàìè çàìîñòèì âñþ ïëîñêîñòü, âûñòðàèâàÿ èõäèàãîíàëüíûìè ðÿäàìè (ñì. ðèñóíîê).

ê ðåøåíèþ çàäà÷è 7.2.

(7.3) Íàçîâ¼ì íàòóðàëüíîå ÷èñëî çàìå÷àòåëüíûì, åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøèì÷èñëîì èç âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ñ òàêîé æå, êàê ó íåãî, ñóììîé öèôð. Âñå çàìå-÷àòåëüíûå ÷èñëà óïîðÿäî÷èëè ïî âîçðàñòàíèþ. Êàêîâà ñóììà öèôð ó 2011-ãî ïî ñ÷¼òóçàìå÷àòåëüíîãî ÷èñëà? Îòâåò îáîñíîâàòü.

Ðåøåíèå.Ïåðâûé ñïîñîá. Ïóñòü íàòóðàëüíîå ÷èñëî n = akak−1ak−2 . . . a2a1 èìååò ñóììó öèôð

S = ak + ak−1 + ak−2 + . . . + a2 + a1. Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë

1, 2, . . . , a1, 1a1, 2a1, . . . , a2a1, 1a2a1, 2a2a1, . . . , n

4

(åñëè êàêîå-òî ai = 0, òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ ÷àñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îòñóòñòâóåò). ßñíî,÷òî âñå ýòè ÷èñëà (êðîìå ïîñëåäíåãî) ìåíüøå n, à ñóììû èõ öèôð � ñóòü ïîñëåäîâà-òåëüíûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà îò 1 äî S. Ïîýòîìó âñå çàìå÷àòåëüíûå ÷èñëà ñ ñóììîé öèôðìåíüøå S ëåæàò íà îòðåçêå [1; n− 1]. Åñëè äîïîëíèòåëüíî ÷èñëî n çàìå÷àòåëüíîå, òî âñåçàìå÷àòåëüíûå ÷èñëà ñ ñóììîé áîëüøå, ÷åì S, ëåæàò íà ëó÷å [n+1; ∞). Èíûìè ñëîâàìè âíàòóðàëüíîì ðÿäó çàìå÷àòåëüíûå ÷èñëà èäóò â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ ñóìì ñâîèõ öèôð. Èçòîãî, ÷òî äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî n èìååòñÿ çàìå÷àòåëüíîå ÷èñëî, ñóììà öèôð êîòîðîãîðàâíà n, ñëåäóåò, ÷òî n-e ïî ñ÷¼òó íàòóðàëüíîå ÷èñëî èìååò ñóììó n.

Âòîðîé ñïîñîá. Ïóñòü íàòóðàëüíîå ÷èñëî n ÿâëÿåòñÿ çàìå÷àòåëüíûì. Òîãäà âñå åãîöèôðû, êðîìå ïåðâîé, � äåâÿòêè. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè åñòü íå ïåðâàÿ öèôðà, îòëè÷íàÿîò 9, òî óâåëè÷èâ ýòó öèôðó íà åäèíèöó è îäíîâðåìåííî ïîíèçèâ íà 1 öèôðó ñòàðøåãîðàçðÿäà, ïîëó÷èì ìåíüøåå ÷èñëî ñ òîé æå ñóììîé öèôð. Î÷åâèäíî, âåðíî è îáðàòíîå, ò.å.,âñÿêîå ÷èñëî âèäà m99 . . . 9 ÿâëÿåòñÿ çàìå÷àòåëüíûì. Èòîãî: ïåðâûå äåâÿòü çàìå÷àòåëü-íûõ ÷èñåë � ñóòü îäíîçíà÷íûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, ñëåäóþùèå 9 � äâóçíà÷íûå ÷èñëà,îêàí÷èâàþùèåñÿ íà 9, ñëåäóþùèå 9 � òð¼õçíà÷íûå, îêàí÷èâàþùèåñÿ íà 99, è ò.ä. Ïî-ñêîëüêó 2011 = 9 ·223+4, òî 2011 çàìå÷àòåëüíîå ÷èñëî èìååò âèä 4 9999 . . . 999︸ ︷︷ ︸

223 öèôðû. Î÷åâèäíî,

åãî ñóììà ðàâíà 2011.Òðåòèé ñïîñîá. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ âñÿêîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà ñ ñóììîé öèôð S > 1,

íàéäåòñÿ ìåíüøåå ÷èñëî, ñóììà öèôð êîòîðîãî ðàâíà S − 1 (äîñòàòî÷íî êàêóþ-íèáóäüíåíóëåâóþ öèôðó óìåíüøèòü íà åäèíèöó). Òîãäà, ïîñëåäîâàòåëüíî óìåíüøàÿ èñõîäíîå÷èñëî, ìîæíî ïîëó÷èòü íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ñ ëþáîé ñóììîé öèôð, ìåíüøåé S. Òàêèìîáðàçîì, ó âñÿêîãî çàìå÷àòåëüíîãî ÷èñëîì n ñ ñóììîé öèôð S íàéäóòñÿ ìåíüøèå åãî ÷èñëà(â òîì ÷èñëå è çàìå÷àòåëüíûå) ñ ñóììàìè öèôð îò 1 äî S − 1. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñðåäè÷èñåë, ìåíüøèõ n, íåò ÷èñåë ñ ñóììîé áîëüøå S (ïîòîìó ÷òî òîãäà ñðåäè ìåíüøèõ, ÷åìn ÷èñåë, áûëî áû è çàìå÷àòåëüíîå ñ áîëüøåé, ÷åì S ñóììîé, è ïðåäûäóùåå ïðåäëîæåíèåïðèâåëî áû ê ïðîòèâîðå÷èþ). Çíà÷èò, ïåðåä çàìå÷àòåëüíûì ÷èñëîì ñ ñóììîé öèôð k ñòîèòðîâíî k−1 çàìå÷àòåëüíîå ÷èñëî, ïîýòîìó ñóììà öèôð 2011-ãî çàìå÷àòåëüíîãî ÷èñëà ðàâíà2011.

ÎÒÂÅÒ: 2011.(7.4) Â íåêîòîðîé êîìïàíèè êàæäûé ñîòðóäíèê ëèáî ðûöàðü (âñåãäà ãîâîðèò ïðàâäó),

ëèáî ëæåö (ãîâîðèò òîëüêî ëîæü). Êàæäûé ñîòðóäíèê ñêàçàë ïðî êàæäîãî äðóãîãî: �Îíëæåö� èëè �Îí ðûöàðü�. Âñåãî ñëîâî �ëæåö� ïðîçâó÷àëî 2010 ðàç. Êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëîñîòðóäíèêîâ ìîæåò ðàáîòàòü â òàêîé êîìïàíèè?

Ðåøåíèå. Ïóñòü â êîìïàíèè ðàáîòàåò x ðûöàðåé è y ëæåöîâ. Òîãäà êàæäûé ðûöàðüïðîèçíåñ¼ò ñëîâî �ëæåö� y ðàç (âñåãî xy �ëæåöîâ�), à êàæäûé ëæåö � ðîâíî x ðàç (åù¼ xy�ëæåöîâ�). Èìååì 2010 = 2xy, îòêóäà xy = 1005 = 3 · 5 · 67. Çíà÷èò, ïðè x 6 y èìååì ëèáîx = 1, y = 1005, ëèáî x = 3, y = 315, ëèáî x = 5, y = 201, ëèáî x = 15, y = 67, à ïðè x > yïîëó÷àåì òå æå ïàðû, òîëüêî â îáðàòíîì ïîðÿäêå. Íàèìåíüøóþ ñóììó x + y èìååò ïàðàx = 15, y = 67 (èëè ñèììåòðè÷íàÿ åé x = 67, y = 15) è ýòà ñóììà ðàâíà 82.

ÎÒÂÅÒ: 82.(7.5) Íà ñòîëå ëåæàò 20 îäèíàêîâûõ ìîíåò: 5 îðëîì ââåðõ è 15 îðëîì âíèç. Îò

âàñ òðåáóåòñÿ ðàçëîæèòü ìîíåòû â äâå êó÷êè (âîçìîæíî, ïåðåâåðíóâ íåêîòîðûå èçìîíåò) òàê, ÷òîáû â ïåðâîé è âòîðîé êó÷êàõ áûëî îäèíàêîâîå ÷èñëî ìîíåò, ëåæàùèõ

5

îðëîì ââåðõ. Ïðè ýòîì ó âàñ çàâÿçàíû ãëàçà, ïîýòîìó âû íå ìîæåòå âèäåòü, êàê èìåííîëåæàò ìîíåòû, à íà îùóïü îòëè÷èòü ðåøêó îò îðëà âû òîæå íå ìîæåòå.

Ðåøåíèå. Âîçüì¼ì ëþáûå 5 ìîíåò è îáðàçóåì èç íèõ ïåðâóþ êó÷êó, ïåðåâåðíóâ âñå 5.Îñòàëüíûå ìîíåòû îáðàçóþò âòîðóþ êó÷êó (èõ íå ïåðåâîðà÷èâàåì). Ïîêàæåì, ÷òî òàêèìîáðàçîì ìû ðåøèì çàäà÷ó. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü â ïåðâîé êó÷êå îðëîì ââåðõ îêàçàëèñü mìîíåò. Òîãäà îñòàëüíûå ìîíåòû (èõ 5−m øòóê) � ýòî â òî÷íîñòè òå ìîíåòû èç âûáðàííûõ,êîòîðûå èçíà÷àëüíî ëåæàëè ââåðõ îðëîì. Çíà÷èò, âî âòîðîé êó÷êå ââåðõ îðëîì ëåæàòîñòàëüíûå 5− (5−m) ìîíåò, ò.å. òîæå m øòóê.

(7.6) Ðåêà ñ ïàðàëëåëüíûìè áåðåãàìè èìååò øèðèíó 100 ì. Íà îäíîì å¼ áåðåãó èìååò-ñÿ ïðèñòàíü. Òðåáóåòñÿ íà êàòåðå ïðîïëûòü îò ïðèñòàíè äî ïðîòèâîïîëîæíîãî áåðåãà.Ðåêà âñþäó ñóäîõîäíà, íî íà íåé èìååòñÿ åäèíñòâåííûé îñòðîâ, ïðî êîòîðûé èçâåñòíîòîëüêî òî, ÷òî ïåðèìåòð îñòðîâà ðàâåí 800 ì. Äîêàæèòå, ÷òî êàêîé áû íè áûëà ôîð-ìà îñòðîâà, è â êàêîì áû ìåñòå ðåêè (ïî îòíîøåíèþ ê ïðèñòàíè) îí íå ðàñïîëàãàëñÿ,ìîæíî âûïîëíèòü çàäàíèå, ïðîïëûâ ïðè ýòîì íå áîëåå 300 ì. Òå÷åíèå ðåêè ñëàáîå, èäâèæåíèþ êàòåðà íå ìåøàåò.

Ðåøåíèå.Ïðîåêöèÿ îñòðîâà íà áåðåã ðåêè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îòðåçîê äëèíîé íå áîëåå400 ì (òàê êàê ïðè îáõîäå îñòðîâà ïî ïåðèìåòðó ïðîåêöèÿ áóäåò ïðîéäåíà êàê ìèíèìóìäâàæäû: â îäíó è â äðóãóþ ñòîðîíó). Åñëè ïðèñòàíü íå ïîïàäàåò â ýòó ïðîåêöèþ, òî ðåêàïðåîäîëåâàåòñÿ ïî ïðÿìîé, ïåðïåíäèêóëÿðíî áåðåãó, ïðè ýòîì ïóòü çàíèìàåò 100 ì. Åñëèæå ïîïàäàåò, òî â ñèëó ïðèíöèïà Äèðèõëå äî îäíîãî èç êîíöîâ ïðîåêöèè ðàññòîÿíèå íåáîëåå 200 ì. Ïëûâ¼ì òàê: ïàðàëëåëüíî ê áåðåãó äî áëèæàéøåãî êîíöà ïðîåêöèè (íå áîëåå200 ì), çàòåì ïåðïåíäèêóëÿðíî áåðåãó ðåêè (åù¼ 100 ì). Âñåãî íå áîëåå 300 ì.

Ïðèìå÷àíèå. Óìåíüøèòü ÷èñëî 300 íåëüçÿ: Åñëè îñòðîâ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óçêóþ ïî-ëîñó äëèíîé 400 ì, ðàñïîëîæåí âäîëü ðåêè áëèçêî ê áåðåãó, íà êîòîðîì ñòîèò ïðèñòàíü, èïðèñòàíü êàê ðàç íàïðîòèâ ñåðåäèíû îñòðîâà, îïèñûâàåìûé â ðåøåíèè ïóòü áóäåò êðàò-÷àéøèì è èìåòü äëèíó ðîâíî 300 ì.

6

8 ÊËÀÑÑ(8.1) (Ïîñâÿùàåòñÿ ÷åìïèîíàòó ìèðà ïî ôóòáîëó 2018 ãîäà.) Íà ôóòáîëü-

íîì ïîëå òðåíèðóþòñÿ 7 èãðîêîâ: Ñàøà Äåíèñîâ è øåñòü ôóòáîëèñòîâ ñáîðíîé Ðîññèè:Àðøàâèí, Áèëÿëåòäèíîâ, Æèðêîâ, Èãíàøåâè÷, Êåðæàêîâ è Ïàâëþ÷åíêî. Äèê Àäâîêàòðàçðåøàåò èì îòäàâàòü äðóã äðóãó ïàñû òîëüêî ïî ïîëþ (à íå ïî âîçäóõó), ïîýòîìó, åñëèìåæäó êàêèìè-òî äâóìÿ èãðîêàìè ñòîèò òðåòèé èãðîê, ïàñ îò ïåðâîãî âòîðîìó íåâîç-ìîæåí. Îêàçàëîñü, ÷òî Àðøàâèí ìîæåò îòäàòü ïàñ òîëüêî Êåðæàêîâó, Ïàâëþ÷åíêî èÁèëÿëåòäèíîâó; Êåðæàêîâ íå ìîæåò îòäàòü ïàñ Áèëÿëåòäèíîâó è Èãíàøåâè÷ó; Áèëÿ-ëåòäèíîâ íå ìîæåò îòäàòü ïàñ, êðîìå Êåðæàêîâà, åù¼ è Æèðêîâó. Ïåðå÷èñëèòå âñåõôóòáîëèñòîâ ñáîðíîé Ðîññèè, êîòîðûì ìîæåò îòäàòü ïàñ Ñàøà Äåíèñîâ, åñëè èçâåñò-íî, ÷òî íèêàêèå ÷åòûðå èãðîêà íå ðàñïîëàãàþòñÿ íà îäíîé ïðÿìîé. (Ïðåäïîëàãàåòñÿ,÷òî âñå òðåíèðóþùèåñÿ ñòîÿò íà ìåñòå è íå ïåðåìåùàþòñÿ ïî ïîëþ.)

Ðåøåíèå.Ïåðâûé ñïîñîá. Îòìåòèì íà ìàêåòå ïîëÿ òî÷êè A, B,

A

K

P

B

D

I

G

ê ðåøåíèþ çàäà÷è 8.1.

G, I, K, P è D, â êîòîðûõ ðàñïîëîæåíû Àðøàâèí, Áèëÿ-ëåòäèíîâ, Æèðêîâ, Èãíàøåâè÷, Ïàâëþ÷åíêî è Äåíèñîâ ñî-îòâåòñòâåííî.  ñèëó óñëîâèÿ çàäà÷è òî÷êè K, P , è B ðàñ-ïîëîæåíû ãäå-òî íà îòðåçêàõ [A,D], [A,G] è [A, I], ïðè÷¼ìíà êàæäîì îòðåçêå ñòîèò ðîâíî îäíà èç ýòèõ òî÷åê. Êðîìåòîãî, íèêàêèå äâà èç ðàññìîòðåííûõ îòðåçêîâ íå ëåæàò íàîäíîé ïðÿìîé. Íà îòðåçêàõ [K,B] è [K, I] òàêæå äîëæíîíàõîäèòñÿ ïî îäíîé îòìå÷åííîé òî÷êå; ÿñíî, ÷òî îáå ýòèòî÷êè ëåæàò íà ïðÿìîé (A,P ). Òàêèì îáðàçîì, òî÷êà I íåëåæèò íà ëó÷å (A,P ). Íå ëåæèò îíà è íà ïðÿìîé (A,K),òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå ïðîõîäèë áû ïàñ îò Êåðæàêîâà êÈãíàøåâè÷ó. Çíà÷èò, òî÷êè A, B è I ëåæàò íà îäíîé ïðÿ-ìîé è ðàñïîëîæåíû íà íåé èìåííî â òîì ïîðÿäêå, â êàêîìïåðå÷èñëåíû. Êðîìå òîãî, ëó÷ [A; P ) ëåæèò âíóòðè óãëà∠KAB. Òåïåðü, òàê êàê ïàñ îò Áèëÿëåòäèíîâà Æèðêîâó íåâîçìîæåí, âèäèì, ÷òî òî÷êà Gëåæèò íà ëó÷å [A, K). Òîãäà òî÷êà D îáÿçàíà ëåæàòü íà ëó÷å [A,P ), ïðè÷¼ì òî÷êà P ìåæ-äó òî÷êàìè A è D. Êðîìå òîãî, îäíà èç òî÷åê P è D ëåæèò íà îòðåçêå [K, B], à âòîðàÿ �íà ïåðåñå÷åíèè îòðåçêîâ [K; I] è [G; B]. Ïîëó÷èëè åäèíñòâåííî âîçìîæíîå ðàñïîëîæåíèåòî÷åê (ñì. ðèñóíîê). Òåïåðü âèäíî, ÷òî Ñàøà Äåíèñîâ ìîæåò îòäàòü ïàñ ëþáîìó èãðîêó,êðîìå Àðøàâèíà.

Âòîðîé ñïîñîá. Ïàñ íå ìîæåò áûòü îòäàí òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè ìåæäó èãðîêàìèåñòü äðóãîé èãðîê, òî åñòü, êàæäîé òàêîé ïàðå ìîæíî ñîïîñòàâèòü ðîâíî îäíó ïðÿìóþ,èìåþùóþ òðè èãðîêà. Íàçîâåì òàêóþ ïðÿìóþ çàïðåù¼ííîé.

 óñëîâèè òàêèõ ïàð óêàçàíî øåñòü, ñëåäîâàòåëüíî, è çàïðåù¼ííûõ ïðÿìûõ óêàçàíîøåñòü (åñëè áû äâå ïàðû ñîîòâåòñòâîâàëè îäíîé ïðÿìîé, òî íà íåé ñòîÿëî áû ìèíèìóì 4èãðîêà, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî Ñàøà Äåíèñîâ íå ìîæåò îòäàòüïàñ åùå êîìó-òî êðîìå Àðøàâèíà. Òîãäà çàïðåù¼ííûõ ïðÿìûõ áóäåò ñåìü. Äàëåå, âñåãîïðÿìûõ ÷åðåç ñåìü òî÷åê ìîæíî ïðîâåñòè 6 · 7/2 = 21. Íî, åñëè òðè èãðîêà íàõîäÿòñÿ íàîäíîé ïðÿìîé, òî îíà ïðè òàêîì ïîäñ÷¼òå áóäåò ó÷òåíà òðè ðàçà. Òàêèì îáðàçîì, ïðÿìàÿïðîâåäåííàÿ ÷åðåç ëþáûå äâå òî÷êè, â êîòîðûõ ðàñïîëîæåíû èãðîêè, ÿâëÿåòñÿ çàïðåù¼í-íîé.

7

Èòàê, ÷åðåç ñåìü èãðîêîâ ïðîõîäèò ðîâíî ñåìü ïðÿìûõ, êàæäàÿ èç êîòîðûõ çàïðå-ù¼ííàÿ. Íî òîãäà è ÷åðåç êàæäîãî èãðîêà ïðîõîäèò ðîâíî òðè çàïðåù¼ííûå ïðÿìûå. Â÷àñòíîñòè, íà êàæäîé ïðÿìîé â òð¼õ òî÷êàõ âñòðå÷àþòñÿ åù¼ ïî äâå ïðÿìûå, ïîýòîìóêàæäóþ ïðÿìóþ ïåðåñåêàþò âñå îñòàëüíûå, è âñå òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ íàõîäÿòñÿ ñðåäè ñå-ìè îòìå÷åííûõ.

Ïðîâåäåì âñå îòðåçêè ìåæäó òî÷êàìè, ïîëó÷èì êàêîé-òî âûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèêè íåêîòîðûé íàáîð îòðåçêîâ âíóòðè. Ïîñêîëüêó ëþáûå äâå ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ ïî îò-ìå÷åííûì òî÷êàì, òî ëþáûå äâå ñòîðîíû ìíîãîóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ, ñëåäîâàòåëüíî,ýòîò ìíîãîóãîëüíèê ñóòü òðåóãîëüíèê. Íà êàæäîé åãî ñòîðîíå ïî òðè îòìå÷åííûå òî÷êè;òî÷êè íà ñòîðîíàõ, îòëè÷íûå îò âåðøèí, îáîçíà÷èì ÷åðåç K,L, M , à ïîñëåäíþþ èç ñåìèòî÷åê (åäèíñòâåííóþ ëåæàùóþ âíóòðè òðåóãîëüíèêà) ÷åðåç O. Òåïåðü íà ïðÿìîé KL ëå-æèò åùå îäíà òî÷êà, íî âíå òðåóãîëüíèêà òî÷åê íåò, ñëåäîâàòåëüíî, ýòî O. Àíàëîãè÷íîòî÷êà O ëåæèò íà ïðÿìûõ KM è LM , òîãäà âñå ýòè ÷åòûðå òî÷êè K, L, M è O ëåæàòíà îäíîé ïðÿìîé, ÷òî íåâîçìîæíî. Ñëåäîâàòåëüíî Ñàøà Äåíèñîâ ìîæåò îòäàòü ïàñ âñåì,êðîìå Àðøàâèíà.

Ïðèìå÷àíèå. Êîíñòðóêöèÿ èç ñåìè òî÷åê, èññëåäóåìàÿ âî âòîðîì äîêàçàòåëüñòâå, íà-çûâàåòñÿ êîíå÷íîé ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòüþ âòîðîãî ïîðÿäêà èëè ïëîñêîñòüþ Ôàíî. Îíàäåéñòâèòåëüíî íå ìîæåò áûòü âëîæåíà â åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, â êîòîðîì âûïîëíÿåò-ñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå, íàçûâàåìîå àêñèîìîé Ôàíî: äèàãîíàëè âñÿêîãî ÷åòûðåõâåð-øèííèêà íå ïàðàëëåëüíû. Íà ïëîñêîñòè Ôàíî âñ¼ íàîáîðîò, âñÿêèå äâå äèàãîíàëè, êàê èïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû, ïåðåñåêàþòñÿ íà ãîðèçîíòå, òî åñòü ïàðàëëåëüíû.  ïëîñêîñòèÔàíî, êñòàòè, èìåííî KLM ëåæàëè áû íà îäíîé ïðÿìîé.

ÎÒÂÅÒ: Áèëÿëåòäèíîâ, Æèðêîâ, Èãíàøåâè÷, Êåðæàêîâ è Ïàâëþ÷åíêî.(8.2) (2011 ãîä � ãîä Êðîëèêà) Âåñü ïðîøëûé ãîä Êðîëèê ïðîâ¼ë â âû÷èñëåíèÿõ è

íàø¼ë-òàêè íàèáîëüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî N , äëÿ êîòîðîãî ÷èñëî N2010 + 1 � ïðîñòîå.À ñêîëüêî öèôð ñîäåðæèò äåñÿòè÷íàÿ çàïèñü òàêîãî ÷èñëà N?

Ðåøåíèå. Çàìåòèì, ÷òî 2010 = 3 · 670. Ïóñòü a = N670. Òîãäà N2010 + 1 = a3 + 1 =(a + 1)(a2 − a + 1).  îáåèõ ñêîáêàõ ñòîÿò íàòóðàëüíûå ÷èñëà, ïðè ýòîì ïåðâàÿ ñêîáêàçàâåäîìî íå ìåíüøå 2. Åñëè âòîðàÿ ñêîáêà òîæå íå ìåíüøå 2, òî ÷èñëî N2010 ñîñòàâíîå.Åñëè æå îíà ðàâíà 1, òî a2 − a = 0, ÷òî ðàâíîñèëüíî (äëÿ íàòóðàëüíûõ a) óñëîâèþ a = 1.Íî ýòî çíà÷èò, ÷òî N670 = 1, N = ±1, à òàê êàê ÷èñëî N � íàòóðàëüíîå, òî N = 1. Çíà÷èò,åäèíñòâåííûì íàòóðàëüíûì ÷èñëîì, êîòîðîå ìîã íàéòè Êðîëèê, ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 1. Ýòî÷èñëî ñîäåðæèò îäíó öèôðó â ñâîåé äåñÿòè÷íîé çàïèñè.

ÎÒÂÅÒ: Îäíó öèôðó.(8.3) Êàæäûé çðèòåëü Àðêàíçàñà, ïðèøåäøèé íà ñïåêòàêëü �Êîðîëåâñêèé æèðàô�,

ïðèí¼ñ ñ ñîáîé ëèáî îäíó äîõëóþ êîøêó, ëèáî äâà êî÷àíà ãíèëîé êàïóñòû, ëèáî òðè òóõ-ëûõ ÿéöà. Ñòîÿâøèé ó âõîäà Ãåêëüáåððè Ôèíí ïîäñ÷èòàë, ÷òî êîøåê áûëî 64 øòóêè.Ïîñëå ñïåêòàêëÿ çðèòåëè çàêèäàëè îáîèõ àêòåðîâ (êîðîëÿ è ãåðöîãà) ñâîèìè ïðèïàñàìè,ïðè÷åì êàæäûé ïðèíåñåííûé ïðåäìåò ïîïàë ëèáî â êîðîëÿ, ëèáî â ãåðöîãà. Îêàçàëîñü,÷òî íà äîëþ êàæäîãî èç íèõ äîñòàëîñü ïîðîâíó ïðåäìåòîâ. Ïðàâäà, êîðîëü ïðèíÿë íàñåáÿ ëèøü ïÿòóþ ÷àñòü âñåõ ÿèö è ñåäüìóþ ÷àñòü âñåé êàïóñòû, íî âñå äîõëûå êîøêèïîëåòåëè èìåííî â íåãî. Ñêîëüêî çðèòåëåé ïðèøëî íà ïðåäñòàâëåíèå?

Ðåøåíèå. Ïóñòü x çðèòåëåé ïðèíåñëè ãíèëóþ êàïóñòó, y � òóõëûå ÿéöà. Òîãäà âñåãîáûëî ïðèíåñåíî 2x + 3y + 64 ïðèïàñîâ, è ïîëîâèíà èç íèõ (à ýòî x + 1, 5y + 32) äîñòàëîñü

8

ãåðöîãó. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, íà äîëþ ãåðöîãà ïðèøëîñü 4 · 3y5

ÿèö è 6 · 2x7

êî÷àíîâ êàïó-

ñòû. Èìååì óðàâíåíèå x + 1, 5y + 32 =4 · 3y

5+

6 · 2x7

, êîòîðîå (ïîñëå óìíîæåíèÿ íà 70è ïðèâåäåíèÿ ïîäîáíûõ) ïðèâîäèòñÿ ê ðàâíîñèëüíîìó 50x + 63y = 32 · 70. Åãî òðåáóåòñÿðåøèòü â öåëûõ ÷èñëàõ. Çàìåòèì, ÷òî ÷èñëî 63y = 32 · 70− 50x äåëèòñÿ íà 10 áåç îñòàòêà,à òàê êàê ÷èñëà 63 è 10 âçàèìíî ïðîñòû, òî íà 10 äåëèòñÿ è ÷èñëî y. Àíàëîãè÷íî x äåëèòñÿíà 7. Ïóñòü x = 7x1, y = 10y1, x1, y1 � íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Ïîäñòàâèâ ýòè âûðàæåíèÿ âðåøàåìîå óðàâíåíèÿ ïîëó÷èì ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà 70: 5x1 + 9y1 = 32. Òåïåðü ÿñíî, ÷òîïðè y1 > 3 ëåâàÿ ÷àñòü áîëüøå ïðàâîé, è ðàâåíñòâî íåâîçìîæíî. Ñëó÷àè y1 = 1 è y1 = 2ïðèâîäÿò ê íåöåëîìó çíà÷åíèþ x1. Åäèíñòâåííûé âîçìîæíûé âàðèàíò y1 = 3, x1 = 1.Òîãäà y = 30, x = 7, à îáùåå ÷èñëî çðèòåëåé 30 + 7 + 64 = 101.

ÎÒÂÅÒ: 101 çðèòåëü.(8.4) Íà îñíîâàíèè AC ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ABC (AB = BC) îòìåòèëè

äâå ðàçëè÷íûå òî÷êè F è E, à íà ñòîðîíàõ AB è BC � ñîîòâåòñòâåííî òî÷êè D è Gòàê, ÷òî AC = AD + AE = CF + CG. Íàéäèòå óãîë ìåæäó ïðÿìûìè DF è EG, åñëè∠ABC = 70◦.

Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì ÷åðåç T òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ DF è EG. Âîçìîæíî äâàñëó÷àÿ â çàâèñèìîñòè îò òîãî, â êàêîì ïîðÿäêå íà îòðåçêå AC ðàñïîëîæåíû òî÷êè E è F� ñì. ðèñóíîê.

A AC C

BB

D

D

G

G

E

E

F

F

T

T

ê ðåøåíèþ çàäà÷è 8.4.

Ðàññóæäåíèÿ â îáîèõ ñëó÷àÿõ îäèíàêîâû. Èç ðàâåíñòâà AC = AD + AE ñëåäóåò, ÷òîAD = EC, à èç ðàâåíñòâà AC = CF + CG � ÷òî CG = AF . Òîãäà òðåóãîëüíèêè ADF èCGE ðàâíû ïî äâóì ñòîðîíàì è óãëó ìåæäó íèìè; çíà÷èò, ðàâíû óãëû ∠ADF = ∠CEG è∠AFD = ∠CGE. Ðàññìîòðèì òðåóãîëüíèê FET . Îí èìååò äâà óãëà, ðàâíûå äâóì óãëàìòðåóãîëüíèêà ADF . Òàê êàê ñóììà óãëîâ ëþáîãî òðåóãîëüíèêà îäíà è òà æå, îòñþäàñëåäóåò, ÷òî è òðåòüè óãëû óêàçàííûõ òðåóãîëüíèêîâ ðàâíû, ò.å. ∠FTE = ∠BAC. Íî âñèëó òîãî, ÷òî òðåóãîëüíèê ABC � ðàâíîáåäðåííûé, ïîëó÷àåì ∠BAC =

180◦ − ∠ABC

2=

55◦.ÎÒÂÅÒ: 55◦.(8.5) Êàê-òî íà ñòðîéêó ïðèâåçëè íåñêîëüêî áëîêîâ îáùèì âåñîì 100 ïóäîâ. Îêàçà-

ëîñü, ÷òî ñóììàðíûé âåñ òð¼õ ñàìûõ ë¼ãêèõ áëîêîâ ðàâíÿåòñÿ 25 ïóäàì, à òð¼õ ñàìûõòÿæ¼ëûõ � 35 ïóäàì. Òàêæå èçâåñòíî, ÷òî âåñà âñåõ áëîêîâ ðàçëè÷íû, è, êðîìå òîãî,

9

áëîê ìîæåò âåñèòü è íåöåëîå ÷èñëî ïóäîâ. Ñêîëüêî áëîêîâ ïðèâåçëè íà ñòðîéêó? Îòâåòîáîñíîâàòü.

Ðåøåíèå. Îáùèé âåñ âñåõ áëîêîâ, çà èñêëþ÷åíèåì òð¼õ ñàìûõ ë¼ãêèõ è òð¼õ ñàìûõòÿæ¼ëûõ, ðàâåí 100− 25− 35 = 40 ïóäîâ. Ïóñòü ýòèõ áëîêîâ n øòóê. Âåñ êàæäîãî èç íèõáîëüøå âåñà ñàìîãî òÿæ¼ëîãî áëîêà ñðåäè òð¼õ ñàìûõ ë¼ãêèõ, à îí (ïî ïðèíöèïó Äèðèõëå)áîëüøå, ÷åì 25/3 ïóäà. Àíàëîãè÷íî, âåñ êàæäîãî èç n áëîêîâ ìåíüøå âåñà ñàìîãî ë¼ãêîãîáëîêà èç òð¼õ ñàìûõ òÿæ¼ëûõ, êîòîðûé, â ñâîþ î÷åðåäü, ìåíüøå, ÷åì 35/3 ïóäà. Èìååìäâîéíîå íåðàâåíñòâî 25

3n < 40 <

35

3n, êîòîðîå ðàâíîñèëüíî íåðàâåíñòâó 120

35< n <

120

25.

Åäèíñòâåííîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî â ïîëó÷åííîì ïðîìåæóòêå � ýòî ÷èñëî 4. Çíà÷èò, n = 4,à âñåãî çàâåçëè 3+3+4 = 10 áëîêîâ. Ïðèìåð íà 10 áëîêîâ ëåãêî ñòðîèòñÿ: íàïðèìåð, âåñàáëîêîâ â ïóäàõ (â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ) òàêîâû: 23/3, 25/3, 27/3, 28/3, 29/3, 30/3, 33/3,34/3, 35/3, 36/3.

ÎÒÂÅÒ: 10 áëîêîâ.(8.6) Êîìïüþòåðíàÿ ïðîãðàììà ðàáîòàåò ñëåäóþùèì îáðàçîì: ðîâíî â ïîëäåíü, ò.å. â

12 ÷àñîâ 00 ìèíóò, îíà âûäà¼ò íà ýêðàí ñëó÷àéíî âûáðàííîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, à çàòåìñïóñòÿ êàæäóþ ìèíóòó ìåíÿåò åãî, ïðèáàâëÿÿ ê íàïèñàííîìó íà ýêðàíå ÷èñëó ñóììóåãî öèôð. Â÷åðà â 14 ÷àñîâ 30 ìèíóò íà ýêðàíå ïîÿâèëîñü ÷èñëî 2011.

a) Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî, âûáðàííîå ìàøèíîé â÷åðà â ïîëäåíü, íå ðàâíÿëîñü 3.á) Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî, âûáðàííîå ìàøèíîé â÷åðà â ïîëäåíü, íå ðàâíÿëîñü 2.Ðåøåíèå.à) Çàìåòèì, ÷òî åñëè â íåêîòîðûé ìîìåíò íà ýêðàíå ïîÿâèòñÿ ÷èñëî, êðàòíîå 3, òî

ñïóñòÿ ìèíóòó ê íåìó äîáàâèòñÿ ñóììà åãî öèôð (êîòîðàÿ òîæå äåëèòñÿ íà 3) è íîâîå ÷èñëîòàêæå áóäåò êðàòíî 3. Ïîýòîìó, åñëè áû ìàøèíà âûáðàëà ÷èñëî 3, òî âñå âîçíèêàþùèå÷èñëà áûëè áû êðàòíû 3. Íî ÷èñëî 2011 íà 3 íå äåëèòñÿ.

á) Ñîãëàñíî ïðèçíàêó äåëèìîñòè íà 3, ñóììà öèôð ëþáîãî ÷èñëà èìååò ïðè äåëåíèè íà3 òîò æå îñòàòîê, ÷òî è ñàìî ÷èñëî, ïîýòîìó åñëè â êàêîé-òî ìîìåíò íà ýêðàíå âîçíèêëî÷èñëî, êîòîðîå ïðè äåëåíèè íà 3 äà¼ò â îñòàòêå 1, òî ÷åðåç ìèíóòó ïîÿâèòñÿ ÷èñëî, äàþùåå(ïðè äåëåíèè íà 3) îñòàòîê 2, åù¼ ÷åðåç ìèíóòó � ÷èñëî, äàþùåå â îñòàòêå 1, çàòåì ñíîâà2, ñíîâà 1 è ò.ä. Òàêèì îáðàçîì, åñëè â ïîëäåíü ïîÿâèëàñü äâîéêà, òî â ìîìåíòû âðåìåíè12.02, 12.04, 12.06, . . . 14.30 áóäóò ïîÿâëÿòüñÿ ÷èñëà, êîòîðûå ïðè äåëåíèè íà 3 äàþò âîñòàòêå 2. Íî ÷èñëî 2011 ê òàêîâûì íå îòíîñèòñÿ.

10

9 ÊËÀÑÑ(9.1) (Ïîñâÿùàåòñÿ ïîáåäå ìîëîä¼æíîé ñáîðíîé Ðîññèè íà ÷åìïèîíàòå ìèðà

ïî õîêêåþ 2011 ãîäà.) Íà ëüäó Äâîðöà ñïîðòà õîêêåèñòû ñáîðíîé Ðîññèè îòðàáàòû-âàþò òåõíèêó ïàñà. Èì ðàçðåøåíî îòäàâàòü øàéáó äðóã äðóãó òîëüêî ïî ëüäó (à íå ïîâîçäóõó), ïîýòîìó, åñëè ìåæäó êàêèìè-òî äâóìÿ èãðîêàìè ñòîèò òðåòèé, ïàñ îò îä-íîãî äðóãîìó íåâîçìîæåí.  êàêîé-òî ìîìåíò òðåíèðîâêè îêàçàëîñü, ÷òî õîòÿ íè íàîäíîé ïðÿìîé íå íàõîäèòñÿ áîëåå òð¼õ õîêêåèñòîâ, ó êàæäîãî èãðîêà èìååòñÿ ïàðòí¼ð,êîòîðîìó îí íå ìîæåò îòäàòü ïàñ. Êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëî õîêêåèñòîâ ó÷àñòâîâàëîâ òðåíèðîâêå? Îòâåò îáîñíóéòå.

Ðåøåíèå. Íà ðèñóíêå óêàçàíî òðåáóåìîå ðàñïîëîæåíèå 6

ê ðåøåíèþ çàäà÷è 9.1.

õîêêåèñòîâ. Ïîêàæåì, ÷òî åñëè òðåíèðóþùèõñÿ ìåíüøå, òî óêà-çàííàÿ â çàäà÷å ñèòóàöèÿ íåâîçìîæíà. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå,ïóñòü õîêêåèñòîâ íå áîëüøå 5. Âûáåðåì ëþáîãî èç íèõ (èãðîêA), è ïóñòü îí íå ìîæåò äàòü ïàñ èãðîêó B. Íà ïðÿìîé AB ñòî-èò åù¼ òîëüêî îäèí èãðîê (îí ñòîèò ìåæäó èãðîêàìè A è B),îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç C. Ïóñòü èãðîê C íå ìîæåò îòäàòü èãðîêóD (ÿñíî, ÷òî èãðîê D îòëè÷åí îò òð¼õ ðàññìîòðåííûõ), òîãäàíà îòðåçêå [C,D] ñòîèò ïÿòûé èãðîê E. Òàê êàê â ñèëó ïðåäïî-ëîæåíèÿ äðóãèõ èãðîêîâ íà ïîëå íåò, òî èãðîê E ìîæåò îòäàòüïàñ âñåì ÷åòûð¼ì èãðîêàì A, B, C è D � ïðîòèâîðå÷èå.

ÎÒÂÅÒ: 6 õîêêåèñòîâ.(9.2) Èçâåñòíî, ÷òî x + 3y + 2z = 1. Äîêàæèòå íåðàâåíñòâî

√2x + 3 +

√6y + 1 +

√4z + 2 < 5, 5.

Ðåøåíèå. Ïåðâûé ñïîñîá. Èçâåñòíî, ÷òî äëÿ ëþáûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë a, b âåðíîíåðàâåíñòâî

2√

ab 6 a + b,

ïðè÷åì íåðàâåíñòâî îáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî òîëüêî ïðè a = b. Îòñþäà ïîëó÷àåì:√

2x + 3 +√

6y + 1 +√

4z + 2 =

=√

(2x + 3) · 1 +√

(6y + 1) · 1 +√

(4z + 2) · 1 6

6 2x + 3 + 1

2+

6y + 1 + 1

2+

4z + 2 + 1

2= x + 3y + 2z + 4, 5 = 1 + 4, 5 = 5, 5.

Ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè 2x+3 = 6y+1 = 4z+2 = 1, ò.å. ïðèx = −1, y = 0, z = −0, 25. Íî ýòà òðîéêà ÷èñåë íå óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó x+3y +2z = 1,ïîýòîìó â âûïèñàííîé îöåíêå íåðàâåíñòâî ñòðîãîå.

Âòîðîé ñïîñîá. Ïðîâåä¼ì ðàâíîñèëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ:

x + 3y + 2z = 1 ⇔ 2x + 6y + 4z = 2 ⇔ (2x + 3) + (6y + 1) + (4z + 2) = 8,

ïîýòîìó

(2x + 3)− 2√

2x + 3 + 1 + (6y + 1)− 2√

6y + 1 + 1 + (4z + 2)− 2√

4z + 2 + 1 =

11

= 11− 2(√

2x + 3 +√

6y + 1 +√

4z + 2)

÷òî ýêâèâàëåíòíî ðàâåíñòâó(√

2x + 3− 1)2

+(√

6y + 1− 1)2

+(√

4z + 2− 1)2

=

= 2(5, 5− (√

2x + 3 +√

6y + 1 +√

4z + 2)).

Ëåâàÿ ÷àñòü ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà íåîòðèöàòåëüíà, è îíà ðàâíà

ê óñëîâèþ çàäà÷è9.3.

íóëþ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà 2x + 3 = 6y + 1 = 4z + 2 = 1,ò.å. x = −1, y = 0, z = −0, 25. Òàê êàê òàêàÿ òðîéêà ÷èñåë x, y, zíå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ çàäà÷è, òî ëåâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà ñòðîãîïîëîæèòåëüíà, ïîýòîìó ïîëîæèòåëüíà è ïðàâàÿ, ÷òî è òðåáîâàëîñüäîêàçàòü.

(9.3) 40 áèêôîðäîâûõ øíóðîâ äëèíîé 1 ìåòð êàæäûé èìåþòñèíèé è êðàñíûé êîíåö. Îãîíü ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âäîëü áèêôîðäîâàøíóðà òîëüêî â íàïðàâëåíèè îò ñèíåãî êîíöà ê êðàñíîìó êîíöó, íî íåíàîáîðîò. Òðåáóåòñÿ èç øíóðîâ ñîáðàòü êâàäðàòíóþ ðåø¼òêó 4×4 ì(ñì. ðèñóíîê). Ìîæíî ëè ïðè ýòîì ñîñòàâèòü øíóðû òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ïîëó÷åííóþðåø¼òêó íåëüçÿ áûëî ñæå÷ü ïîëíîñòüþ, ïîäæèãàÿ å¼ â ëþáûõ 12 ìåñòàõ? ( óçëàõðåø¼òêè îãîíü ïåðåõîäèò ñ êðàñíîãî êîíöà íà âñå ïðèìûêàþùèå ê íåìó ñèíèå êîíöû.)

ÎÒÂÅÒ: Ìîæíî.

Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ðàñïîëîæåíèå êóñêîâ øíóðà, óêà-

ê ðåøåíèþ çàäà÷è 9.3.

çàííîå íà ðèñóíêå. Ñòðåëî÷êàìè îáîçíà÷åíû êðàñíûå êîí-öû øíóðîâ. Âûäåëèì 13 òî÷åê (îíè íà ðèñóíêå îòìå÷åíûáåëûìè êðóæêàìè). Êàê áû ìû íå ïîäæèãàëè êîíñòðóê-öèþ â 12 ìåñòàõ, ïî ïðèíöèïó Äèðèõëå íàéä¼òñÿ áåëûéêðóæîê, â êîòîðîì ïîäæîãà íå áóäåò. Íî òîãäà ýòà òî÷êàîñòàíåòñÿ íå ñãîðåâøåé, èáî îãîíü â íå¼ íå ìîæåò ïðèéòèíè ïî îäíîìó èç íàïðàâëåíèé.

(9.4) Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ âñåõ ÷èñåë a, b, c èç îòðåçêà[0; 1] ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

a + b + c 6 2 + abc.

Ðåøåíèå.Ïåðâûé ñïîñîá. Çàôèêñèðóåì ÷èñëà b è c è ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f(a) = a+ b+ c−abc.

Íàäî ïîêàçàòü, ÷òî îíà íå ïðåâîñõîäèò 2 äëÿ ëþáîãî a èç îòðåçêà [0; 1]. Òàê êàê f(a) �ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ, òî å¼ íàèáîëüøåå çíà÷åíèå äîñòèãàåòñÿ íà êîíöàõ îòðåçêà, ïîýòîìóäîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî f(0) 6 2 è f(1) 6 2. Ïåðâîå íåðàâåíñòâî î÷åâèäíî, òàê êàê îíîèìååò âèä b+ c 6 2, ãäå êàæäîå èç ÷èñåë b è c íå ïðåâîñõîäèò 1. Âòîðîå íåðàâåíñòâî èìååòâèä 1 + b + c− bc 6 2 ⇔ (1− b)(1− c) > 0, è òàêæå âåðíî ïðè 0 6 b 6 1 è 0 6 c 6 1.

Âòîðîé ñïîñîá. Ïåðåîáîçíà÷èì x = 1− a, y = 1− b, z = 1− c (âñå îíè òàêæå èç îòðåçêà[0; 1]), òîãäà èñõîäíîå íåðàâåíñòâî ýêâèâàëåíòíî ñëåäóþùåìó 3−x−y−z 6 2+(1−x)(1−

12

y)(1− z), òî åñòü 1−x− y− z 6 1−x− y− z +xy +xz + yz−xyz, è 0 6 xy +xz + yz(1−x),÷òî âûïîëíÿåòñÿ â ñèëó x, y, z > 0, x 6 1.

Òðåòèé ñïîñîá. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî â óñëîâèÿõ çàäà÷è âåðíà öåïî÷êà íåðàâåíñòâ

a + b + c− abc = a(1− bc) + b + c 6 1− bc + b + c = 1 + b(1− c) + c 6 1 + 1− c + c = 2.

Îòñþäà ñëåäóåò òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå.(9.5) Íà ñòîðîíàõ òðåóãîëüíèêà ABC âî âíåø-

А

А

А

B

B

B

C

C

C1

1

2

2

2

1

T

ê ðåøåíèþ çàäà÷è 9.5.

íþþ ñòîðîíó ïîñòðîåíû ïàðàëëåëîãðàììû AA2B1B,BB2C1C è CC2A1A. Âñåãäà ëè èç îòðåçêîâ A1A2, B1B2

è C1C2 ìîæíî ñîñòàâèòü òðåóãîëüíèê? Îòâåò îáîñ-íóéòå.

Ðåøåíèå. Ïðîâåä¼ì ÷åðåç âåðøèíó C ëó÷, ñîíà-ïðàâëåííûé ñ ëó÷îì AA2, è îòìåòèì íà í¼ì òî÷êó Tòàê, ÷òîáû AA2 = CT (ñì. ðèñóíîê). (Ïðè ýòîì, òàêêàê ÷åòûð¼õóãîëüíèê AA2B1B ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëî-ãðàììîì, òî BB1 ‖ CT è BB1 = CT .) ×åòûð¼õóãîëü-íèêè CTA2A è CTB1B � ïàðàëëåëîãðàììû (èõ ïðî-òèâîïîëîæíûå ñòîðîíû ðàâíû è ïàðàëëåëüíû), ïî-ýòîìó îòðåçêè AC è A2T òàêæå ðàâíû è ïàðàëëåëüíû (ýòîò æå ôàêò âåðåí è äëÿ îòðåçêîâCB è B1T ). Íî ÷åòûðåõóãîëüíèê ACC2A1 � ïàðàëëåëîãðàìì, ïîýòîìó ðàâíû è ïàðàëëåëü-íû îòðåçêè AC è A1C2. Òîãäà, â ñâîþ î÷åðåäü, ðàâíûìè è ïàðàëëåëüíûìè áóäóò îòðåçêèA2T è A1C2, ò.å. ÷åòûð¼õóãîëüíèê A2A1C2T � ïàðàëëåëîãðàìì, îòêóäà ñëåäóåò ðàâåíñòâîC2T = A1A2. Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåòñÿ ðàâåíñòâî C1T = B1B2. Íî òîãäà òðåóãîëüíèê C2C1Tè åñòü òðåóãîëüíèê, ñîñòàâëåííûé èç îòðåçêîâ A1A2, B1B2 è C1C2.

ÎÒÂÅÒ: à) Âñåãäà.(9.6) Ïóñòü S(x) îáîçíà÷àåò ñóììó öèôð äåñÿòè÷íîé çàïèñè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà x.

Ñóùåñòâóåò ëè òàêîå íàòóðàëüíîå a, (a > 10) ÷òî óðàâíåíèå a = x+S(x) îòíîñèòåëüíîx

a) íå èìååò ðåøåíèé â íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ;á) èìååò ðîâíî 2 ðåøåíèÿ â íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ;â) èìååò áîëåå 2 ðåøåíèé â íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ.Ðåøåíèå. à) Ïóñòü ÷èñëà a è x óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ èç óñëîâèÿ, è ïóñòü a �

äâóçíà÷íîå ÷èñëî. Òîãäà ÷èñëî x íå áîëåå ÷åì äâóçíà÷íîå, ò.å. x = 10m + n, ãäå m è n �öèôðû, îäíîâðåìåííî íå ðàâíûå íóëþ. Òîãäà a = x + S(x) = 10m + n + m + n = 11m + 2n.Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, a = 20. Óðàâíåíèå 11m + 2n = 20 â öèôðàõ ðåøåíèé íå èìååò,òàê êàê ïðè m < 1 ÷èñëî n äîëæíî áûòü áîëüøå èëè ðàâíî 10, à ïðè m > 1 ÷èñëî nîòðèöàòåëüíî, à ïðè m = 1 ÷èñëî n íå öåëîå.

á) Ïîêàæåì, ÷òî ÷èñëî a = 101 óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ çàäà÷è. Äåéñòâèòåëüíî, óðàâíå-íèå x+S(x) = 101 èìååò êîðíÿìè ÷èñëà x = 100 è x = 91. Äðóãèõ êîðíåé íåò, òàê êàê åñëèx áîëåå, ÷åì äâóçíà÷íîå ÷èñëî è îòëè÷íî îò 100, òî x + S(x) > 101, à åñëè x � äâóçíà÷íîåèëè îäíîçíà÷íîå ÷èñëî (x = 10m+n), òî óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä 11m+2n = 101. Îïÿòüïðè m < 8 ÷èñëî n äîëæíî áûòü áîëüøå 10, ïðè m = 8 ÷èñëî n íå ÿâëÿåòñÿ öåëûì, à ïðèm = 9 âîçíèêàåò óæå èçâåñòíîå ðåøåíèå x = 91. Êîíå÷íî, ñóùåñòâóþò è äðóãèå ÷èñëà a ñòàêèì ñâîéñòâîì; ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî a = 101 � íàèìåíüøåå èç íèõ.

13

â) Ïîäîéä¼ò, íàïðèìåð, ÷èñëî a = 1 000 . . . 000︸ ︷︷ ︸12 íóëåé

3. Íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî ÷èñ-

ëà x = 1 000 . . . 000︸ ︷︷ ︸12 íóëåé

1, y = 999 . . . 999︸ ︷︷ ︸11 äåâÿòîê

02 è z = 999 . . . 999︸ ︷︷ ︸10 äåâÿòîê

893 ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè óðàâíåíèÿ

a = x + S(x).ÎÒÂÅÒ: à) Äà. á) Äà. â) Äà.

14

10 ÊËÀÑÑ(10.1) Ðåøèòå íåðàâåíñòâî x2 6 [2x] · {2x}. Çäåñü [y] � öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà y, ò.å.

íàèáîëüøåå öåëîå ÷èñëî, íå ïðåâîñõîäÿùåå y, à {y} = y − [y] � äðîáíàÿ ÷àñòü ÷èñëà y.

Ðåøåíèå. Ïóñòü [2x] = c, {2x} = d. Òîãäà 0 6 d < 1 è x =c + d

2.  íîâûõ îáîçíà÷åíèÿõ

íåðàâåíñòâî èìååò âèä(

c + d

2

)2

6 cd ⇔ (c− d)2 6 0 ⇔ c = d. Íî òàê êàê c � ÷èñëî öåëîå,

à 0 6 d < 1, òî c = d = 0 è x =c + d

2= 0.

ÎÒÂÅÒ: x = 0.(10.2) Â ñóíäóêå Áèëëè-Áîíñà ëåæàò çîëîòûå, ñåðåáðÿíûå è ìåäíûå ìîíåòû îáùèì

÷èñëîì 120 øòóê. Ìîíåòû ëåæàò â ïÿòè ðàçëè÷íûõ îòäåëåíèÿõ, ïðè ýòîì íè â êàêèõäâóõ îòäåëåíèÿõ â ñóììå íå íàáåð¼òñÿ 30 çîëîòûõ ìîíåò, è íè â êàêèõ òð¼õ îòäåëåíèÿõâ ñóììå íå íàáåð¼òñÿ 20 ñåðåáðÿíûõ ìîíåò. Äîêàæèòå, ÷òî â êàêèõ-íèáóäü ÷åòûð¼õîòäåëåíèÿõ èìååòñÿ íå ìåíåå 15 ìåäíûõ ìîíåò.

Ðåøåíèå.Ïåðâûé ñïîñîá. ßñíî, ÷òî åñëè ìû áóäåì èçâëåêàòü èç ñóíäóêà ìîíåòû (íå ïåðåêëàäû-

âàÿ îñòàâøèåñÿ èç îäíîãî îòäåëåíèÿ ñóíäóêà â äðóãîå), òî óñëîâèå çàäà÷è ïî ïðåæíåìóáóäåò âûïîëíÿòüñÿ.

Ïîêàæåì, ÷òî çîëîòûõ ìîíåò â ñóíäóêå íå áîëåå 71. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Îñòàâèìâ ñóíäóêå êàêèå óãîäíî 72 çîëîòûå ìîíåòû, à âñå îñòàëüíûå ìîíåòû óáåð¼ì. Ðàññìîòðèìîòäåëåíèå ñóíäóêà, â êîòîðîì îñòàëîñü ìåíüøå âñåãî ìîíåò. Ïî ïðèíöèïó Äèðèõëå â ýòîìîòäåëåíèè 14 ìîíåò èëè ìåíüøå. Òîãäà â îñòàëüíûõ ÷åòûð¼õ îòäåëåíèÿõ ïî êðàéíåé ìåðå58 çîëîòûõ ìîíåò. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî èõ ðîâíî 58 (åñëè ýòî íå òàê, óáåð¼ì ëèøíèå èç ñóí-äóêà). Îïÿòü ïî ïðèíöèïó Äèðèõëå íàéä¼ì îòäåëåíèå, ñîäåðæàùåå 14 ìîíåò èëè ìåíüøå,òîãäà â òð¼õ îñòàâøèõñÿ îòäåëåíèÿõ áóäåò 44 çîëîòûõ ìîíåòû èëè áîëüøå. Ñ÷èòàåì, ÷òîâ íåêîòîðûõ òð¼õ îòäåëåíèÿõ ðîâíî 44 çîëîòûõ ìîíåòû. È åù¼ ðàç ïî ïðèíöèïó Äèðèõëåíàõîäèì êó÷êó, ñîäåðæàùóþ íå áîëåå 14 ìîíåò.  äâóõ îñòàâøèõñÿ îòäåëåíèÿõ îêàæåòñÿ30 çîëîòûõ ìîíåò (èëè áîëåå), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ.

Àíàëîãè÷íî ïîêàæåì, ÷òî ñåðåáðÿíûõ ìîíåò â ñóíäóêå íå áîëüøå 31. Ïóñòü èõ 32 (âñåîñòàëüíûå ìîíåòû óáåð¼ì).  ñàìîì �áåäíîì� èç îòäåëåíèé èõ íå áîëüøå 6, çíà÷èò, âêàêèõ-òî ÷åòûð¼õ èõ íå ìåíåå 26; ïîëàãàåì, ÷òî ìîíåò ðîâíî 26. Îïÿòü â ñàìîì �áåäíîì�èç îñòàâøèõñÿ îòäåëåíèé áóäåò íå áîëåå 6 ìîíåò, çíà÷èò, â òð¼õ îñòàâøèõñÿ 20 èëè áîëååìîíåò � ïðîòèâîðå÷èå.

Îáùåå ÷èñëî çîëîòûõ è ñåðåáðÿíûõ ìîíåò íå áîëüøå 102, çíà÷èò, â ñóíäóêå 18 èëèáîëüøå ìåäíûõ ìîíåò. Îñòàâèì ðîâíî 18 ìåäíûõ ìîíåò, óáðàâ îñòàëüíûå.  êàêîì-òî èçîòäåëåíèé (ïî ïðèíöèïó Äèðèõëå) áóäåò íå áîëåå 3 ìîíåò, çíà÷èò, â îñòàëüíûõ ÷åòûð¼õîòäåëåíèÿõ èõ íå ìåíåå 15, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.

Âòîðîé ñïîñîá. Ïóñòü ai, bi è ci (1 6 i 6 5) � êîëè÷åñòâà çîëîòûõ, ñåðåáðÿíûõ èìåäíûõ ìîíåò â i-îì îòäåëåíèè. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè, ìîæíî ïîëàãàòü, ÷òî a1 6a2 6 . . . 6 a5. Òàêæå ìîæíî ïîëàãàòü, ÷òî ïðè ýòîì b1 6 b2 6 . . . 6 b5 è c1 6 c2 6 . . . 6c5 (åñëè, íàïðèìåð, îêàæåòñÿ, ÷òî b1 > b2, òî ñåðåáðÿíûå ìîíåòû èç ïåðâîãî îòäåëåíèÿñóíäóêà ïåðåëîæèì âî âòîðîå, à èç âòîðîãî � â ïåðâîå, ïðè ýòîì óñëîâèå çàäà÷è îñòàíåòñÿâûïîëíåííûì). Òàê êàê a4+a5 < 30, òî a4 6 14, à ïîòîìó è âñå îñòàëüíûå ai íå ïðåâîñõîäÿò14. Òîãäà a1 + . . . + a5 < 14 + 14 + 14 + 30 = 72, ò.å. â ñóíäóêå Áèëëè Áîíñà íå áîëåå 71

15

çîëîòîé ìîíåòû. Àíàëîãè÷íî b3 + b4 + b5 < 20, îòêóäà b3 (à òîãäà è b1 è b2) íå áîëüøå,÷åì 6. Ïîýòîìó b1 + . . . + b5 < 6 + 6 + 20 = 32, çíà÷èò, ñåðåáðÿíûõ ìîíåò â ñóíäóêå íåáîëåå 31. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íè â êàêèõ ÷åòûð¼õ îòäåëåíèÿõ íåò 15 ìåäíûõ ìîíåò, òîãäàc2 + c3 + c4 + c5 6 14, c1 6 c2 6 3 è c1 + . . . + c5 6 3 + 14 = 17. Âñåãî ìîíåò â ñóíäóêå ïðèýòîì íå áîëüøå, ÷åì 71 + 31 + 17 = 119 � ïðîòèâîðå÷èå.

(10.3) Ïóñòü M è N � ñåðåäèíû ñòîðîí AB è AC òðåóãîëüíèêà ABC ñîîòâåòñòâåí-íî, òðåóãîëüíèêè APM è NQC � ïðàâèëüíûå, ïîñòðîåííûå âíå òðåóãîëüíèêà ABC,òî÷êà R ëåæèò íà ñòîðîíå BC è äåëèò å¼ â îòíîøåíèè 3 : 1, ñ÷èòàÿ îò òî÷êè B.Äîêàæèòå, ÷òî óãîë PRQ � ïðÿìîé.

Ðåøåíèå. Ïóñòü òî÷êè E è F � ñåðåäèíû

ê ðåøåíèþ çàäà÷è 10.3.

îòðåçêîâ AM è CN ñîîòâåòñòâåííî (ñì. ðèñó-íîê). Òîãäà PE ⊥ AB è QF ⊥ AC, ïîñêîëüêóâ ïðàâèëüíûõ òðåóãîëüíèêàõ âûñîòû è ìåäèàíûñîâïàäàþò. Êðîìå òîãî, AE : EB = 1 : 3 = CR :RB, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ïðÿìûå AC è ER ïà-ðàëëåëüíû. Àíàëîãè÷íî RF ‖ AB, ïîýòîìó ÷å-òûð¼õóãîëüíèê AERF � ïàðàëëåëîãðàìì. Òî-ãäà ∠BAC = ∠ERF = ∠BER = ∠RFC. Òàêêàê ∠PEB = 90◦ = ∠QCF , òî îòñþäà ñëåäóåòðàâåíñòâî óãëîâ ∠PER = ∠RFC. Òåïåðü âèä-íî, ÷òî åñëè ∠BAC = 90◦, òî÷êè P, E, R ëåæàòíà îäíîé ïðÿìîé; ýòî æå ñïðàâåäëèâî äëÿ òî÷åêR, F, Q. Òîãäà ∠PRQ = ∠ERF = ∠BAC = 90◦

è óòâåðæäåíèå â ýòîì ñëó÷àå äîêàçàíî.Ïóñòü ∠BAC 6= 90◦. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî óãîë A � îñòðûé (ñëó÷àé, êîãäà ýòîò óãîë

òóïîé, ðàçáèðàåòñÿ àíàëîãè÷íî). Ïîëîæèì x = FC, y = AE. Òîãäà RE = AF = 3x è

RF = AE = y. Êðîìå òîãî, ïîñêîëüêó âûñîòà ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñîñòàâëÿåò√

3

2

îò åãî ñòîðîíû, òî PE = y√

3 è QF = x√

3. Îòñþäà PE

ER=

y√

3

3x=

y√3x

=RF

QF, ÷òî

(ó÷èòûâàÿ ðàâåíñòâî ∠PER = ∠RFC) äîêàçûâàåò ïîäîáèå òðåóãîëüíèêîâ PER è RFC.Èç ýòîãî ïîäîáèÿ ñëåäóåò ðàâåíñòâî óãëîâ ∠PRE = ∠RQF è ∠FRQ = ∠RPE. Òîãäàèìååì ∠PRQ = ∠PRE+∠ERF +∠FRQ = ∠PRE+∠REB+∠RPE = 180◦−∠PEB = 90◦,è óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.

(10.4) Äîêàæèòå íåðàâåíñòâî | cos x|+ | cos y|+ | cos (x + y)| > 1.Ðåøåíèå.

| cos x|+ | cos y|+ | cos (x + y)| > | cos x|| sin y|+ | cos y|| sin x|+ | cos (x + y)| >> | cos x · sin y + cos y · sin x|+ | cos (x + y)| = | sin (x + y)|+ | cos (x + y)| >

> sin2 (x + y) + cos2 (x + y) = 1.

(10.5) Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë x, y, z ìîæíî ïîäîáðàòü òàêîåíàòóðàëüíîå ÷èñëî a, ÷òî ÷èñëî (x2y2 +a)(y2z2 +a)(z2x2 +a) áóäåò êâàäðàòîì íàòóðàëü-íîãî ÷èñëà.

16

Ðåøåíèå.Ïåðâûé ñïîñîá. Ïîëîæèì a = xyz(x + y + z). Òîãäà x2y2 + a = xy(xy + z(x + y + z)) =

xy(x(y + z) + z(y + z)) = xy(x + z)(y + z). Àíàëîãè÷íî, y2z2 + a = yz(x + y)(x + z) è(z2x2 + a = xz(x + y)(y + z).  èòîãå âñ¼ âûðàæåíèå ðàâíî (xyz(x + y)(x + z)(y + z))2.

Âòîðîé ñïîñîá. Çàäà÷à áóäåò ðåøåíà, åñëè äëÿ ëþáûõ íàòóðàëüíûõ x, y, z áóäåò íàé-äåíî ðåøåíèå â íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ ñèñòåìû óðàâíåíèé

x2y2 + a = pqy2z2 + a = qry2z2 + a = rp.

Âû÷èòàÿ óðàâíåíèÿ äðóã èç äðóãà ïî êðóãó, èìååì ýêâèâàëåíòíóþ ñèñòåìó

q(p− r) = y2(x2 − z2)r(q − p) = z2(y2 − x2)p(r − q) = x2(z2 − y2).

Åñëè òåïåðü ðàñïðåäåëèòü ìíîæèòåëè ñïðàâà òàê: q = y ·y, p− r = (x+ z) · (x− z), òî áóäåòa = 0, ÷òî íàñ íå óñòðàèâàåò. Ðàñïðåäåëèì èõ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

q=y(x+z), p−r=y(x−z), r=z(y+x), q−p=z(y−z), p=x(z+y), r−q=x(z−y).

Ïîëó÷èâøàÿñÿ ñèñòåìà (à, çíà÷èò, è èñõîäíàÿ ñèñòåìà) ñîâìåñòíà, ïðè ýòîì ÷èñëî a =xy(xy + zx + zy + z2)− x2y2 = xyz(x + y + z) åñòü ÷èñëî íàòóðàëüíîå.

(10.6) Íà çåìëå ëåæàò 2011 ïàëî÷åê, âñå ðàçíîé äëèíû. Âñåãäà ëè ìîæíî ðàçëîìèòüîäíó èç ïàëî÷åê íà 2 ÷àñòè (íå îáÿçàòåëüíî ðàâíûå) òàê, ÷òîáû ïîëó÷èâøèåñÿ 2012ïàëî÷åê ìîæíî áûëî áû ðàçëîæèòü íà äâå ãðóïïû ñóììàðíîé ðàâíîé äëèíû ïî 1006ïàëî÷åê â êàæäîé? Îòâåò îáîñíóéòå.

Ðåøåíèå. Âûáåðåì ñàìóþ äëèííóþ ïàëî÷êó (ïóñòü å¼ äëèíà a), à îñòàëüíûå ðàçëîæèìïðîèçâîëüíûì îáðàçîì â äâå êó÷êè ïî 1005 ïàëî÷åê â êàæäîé. Ïóñòü ñóììà äëèí ïàëî÷åêâ êó÷êàõ ðàâíû l è s ñîîòâåòñòâåííî è ïóñòü l > s. Âîçìîæíî äâà ñëó÷àÿ:

1) l−s < a. Òîãäà ðàçëîìèì ñàìóþ äëèííóþ ïàëî÷êó íà äâå ÷àñòè äëèíàìè a− (l − s)

2è

a + (l − s)

2. Ýòîò ðàçëîì èñêîìûé, òàê êàê äîáàâèâ ìåíüøóþ ÷àñòü ê êó÷êå áîëüøåé äëèíû,

à áîëüøóþ � ê êó÷êå ìåíüøåé äëèíû, ïîëó÷èì òðåáóåìîå ðàçëîæåíèå 2012 ïàëî÷åê.2) l−s > a. Áóäåì ïåðåêëàäûâàòü ïàëî÷êè â êó÷êàõ ñ öåëüþ äîáèòüñÿ ñèòóàöèè, îïèñû-

âàåìîé ïåðâûì ñëó÷àåì. Âîçüì¼ì èç êàæäîé êó÷êè ïî ïðîèçâîëüíîé ïàëî÷êå è ïîìåíÿåìèõ ìåñòàìè. Åñëè ðàçíîñòü ñóììàðíûõ äëèí êó÷åê âñ¼ åù¼ íå ìåíüøå a, âîçüì¼ì åù¼ ïîïàëî÷êå (îòëè÷íûå îò ðàíåå âçÿòûõ), ïîìåíÿåì èõ ìåñòàìè è ò.ä. Ïîêàæåì, ÷òî íàñòóïèòìîìåíò, êîãäà ñóììàðíàÿ ðàçíîñòü äëèí ñòàíåò ìåíüøå a. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ìû îñó-ùåñòâèì âñå 1005 ïåðåêëàäûâàíèé, òî íà÷àëüíûå êó÷êè ïðîñòî ïîìåíÿþòñÿ ìåñòàìè, èñóììà äëèí ïàëî÷åê â òîé êó÷êå, ãäå îíà áûëà ìåíüøåé, òåïåðü ñòàíåò áîëüøåé. Çíà÷èò,ïî õîäó ïåðåêëàäûâàíèé áûë ìîìåíò, êîãäà âïåðâûå ñóììà äëèí ïàëî÷åê â ïåðâîé êó÷êåñòàíåò ìåíüøå, ÷åì ñóììà äëèí ïàëî÷åê âî âòîðîé. Ïóñòü â ýòîò ìîìåíò ñóììàðíàÿ äëèíàïàëî÷åê ïåðâîé êó÷êè ðàâíà x, à âòîðîé ðàâíà y (x < y). Ïóñòü ïîñëåäíèì ïåðåêëàäûâà-íèåì ìû ïåðåëîæèëè äâå ïàëî÷êè, ðàçíîñòü äëèí êîòîðûõ ðàâíà d (ÿñíî, ÷òî d < a). Òîãäàñóììàðíûå äëèíû ïàëî÷åê â êó÷êàõ äî ýòîãî ïåðåêëàäûâàíèÿ áûëè x+d è y−d, ïðè ýòîì

17

ïî âûáîðó ìîìåíòà x + d > y− d. Ïîêàæåì, ÷òî ëèáî y− x < a, ëèáî (x + d)− (y− d) < a;ýòîãî äîñòàòî÷íî äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà. Ïóñòü, îò ïðîòèâíîãî, îáà íåðàâåíñòâàíåâåðíû, ò.å. y − x > a è x + d − y + d > a. Ñëîæèì ýòè íåðàâåíñòâà ïî÷ëåííî è ïîñëåñîêðàùåíèÿ íà 2 ïîëó÷èì d > a � ïðîòèâîðå÷èå.

ÎÒÂÅÒ: Âñåãäà ìîæíî.

18

11 ÊËÀÑÑ(11.1) Íàéäèòå âñå ïàðû äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë (x, y), êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò íåðà-

âåíñòâóy2 + y +

√y − x2 − xy 6 3xy.

Ðåøåíèå. Ïðîâåä¼ì ðàâíîñèëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ

y2 + y +√

y − x2 − xy 6 3xy

y2 − 3xy + (y − x2 − xy) + x2 + xy +√

y − x2 − xy 6 0

y2 − 2xy + x2 + (y − x2 − xy) +√

y − x2 − xy 6 0

(y − x)2 + z2 + z 6 0,

ãäå z =√

y − x2 − xy > 0. Òàê êàê ñóììà íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë íå ìîæåò áûòü âåëè÷è-íîé îòðèöàòåëüíîé, à ðàâíà íóëþ åñëè è òîëüêî åñëè âñå ñëàãàåìûå ðàâíû íóëþ, òî ïîëó-÷åííîå íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî ñèñòåìå óðàâíåíèé

{y − x = 0

z = 0⇔

{y = x

x2 + xy = y.

Ïîäñòàâèâ âî âòîðîå óðàâíåíèå y = x è ðåøèâ ïîëó÷åííîå êâàäðàòíîå óðàâíåíèå, ïîëó÷èìîòâåò.

ÎÒÂÅÒ: (0, 0), (1/2, 1/2).(11.2)  îäíîì ñòàðîì ó÷åáíèêå ãåîìåòðèè äàíî òàêîå îïðåäåëåíèå ïðèçìû: �Ïðèçìîé

íàçûâàåòñÿ ìíîãîãðàííèê, ó êîòîðîãî äâå ãðàíè � ðàâíûå ìíîãîóãîëüíèêè ñ ñîîòâåò-ñòâåííî ïàðàëëåëüíûìè ñòîðîíàìè, à âñå îñòàëüíûå ãðàíè � ïàðàëëåëîãðàììû.� Ïðèâå-äèòå ïðèìåð ìíîãîãðàííèêà, óäîâëåòâîðÿþùåãî ýòîìó îïðåäåëåíèþ, íî íå ÿâëÿþùåãîñÿïðèçìîé.

Ðåøåíèå. Ïðèìåð íåâûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà ìîæíî ïî-

ê ðåøåíèþçàäà÷è 11.2

ëó÷èòü, âçÿâ äâå ïðèçìû ñ ðàâíûìè îñíîâàíèÿìè, íî ñ ðàçíûìíàêëîíîì áîêîâûõ ãðàíåé è ïîñòàâèâ èõ îäíó íà äðóãóþ òàê,÷òîáû âåðõíÿÿ ãðàíü íèæíåé ïðèçìû ñîâìåñòèëàñü ñ íèæíåéãðàíüþ âåðõíåé (íà ðèñóíêå ïðèâåä¼í ïðèìåð, êîãäà ïðèçìûòðåóãîëüíûå). Áîëåå ñëîæíî ïðèâåñòè ïðèìåð âûïóêëîãî ìíîãî-ãðàííèêà ñ òàêèì ñâîéñòâîì. Ïîäîéä¼ò, íàïðèìåð, êóá, íà êàæ-äîé ãðàíè êîòîðîãî, êàê íà îñíîâàíèè, ïîñòðîåíà ïðàâèëüíàÿ ÷å-òûð¼õóãîëüíàÿ ïèðàìèäà ñ äâóãðàííûìè óãëàìè ïðè îñíîâàíèèðàâíûìè 45◦.  ñàìîì äåëå, áîêîâûå ãðàíè ðàçëè÷íûõ ïèðàìèäñ îáùèì ðåáðîì � ðåáðîì êóáà � ïðè ýòîì îáðàçóþò åäèíóþãðàíü, êîòîðàÿ áóäåò ðîìáîì, ïîýòîìó âñå ãðàíè ïîñòðîåííîãîìíîãîãðàííèêà áóäóò ðîìáàìè, è âñå ýòè ðîìáû ðàçîáüþòñÿ íà ïàðû ñ ïàðàëëåëüíûìèäðóãó äðóãó ñîîòâåòñòâóþùèìè ñòîðîíàìè. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ó ìíîãîãðàííèêà áóäåò 14âåðøèí: ê 8 âåðøèíàì êóáà äîáàâÿòñÿ 6 âåðøèí ïèðàìèä, ïîýòîìó îí íå ìîæåò îêàçàòüñÿïàðàëëåëåïèïåäîì.

(11.3) Ñóùåñòâóþò ëè 2000 ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ñðåäè êîòîðûõðîâíî 10 ïðîñòûõ?

19

Ðåøåíèå. Äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n îáîçíà÷èì ÷åðåç x(n) êîëè÷åñòâî ïðî-ñòûõ ÷èñåë â íàáîðå {n, n + 1, . . . n + 1999}. Òîãäà âîïðîñ çàäà÷è áóäåò çâó÷àòü òàê: ñó-ùåñòâóåò ëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî n òàêîå, ÷òî x(n) = 10? Ïîêàæåì, ÷òî îòâåò íà íåãîïîëîæèòåëåí.

Çàìåòèì, ÷òî x(1) > 10 (÷èñëà 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, . . . � ïðîñòûå) è ÷òîx(2001!+2) = 0, òàê êàê äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî n < 2000 ÷èñëî 2001!+n äåëèòñÿ íà n èíå ðàâíî n. Êðîìå òîãî, âèäèì, ÷òî x(n+1) = x(n), åñëè îáà ÷èñëà n è n+2000 ïðîñòûå èëèîíè îáà ñîñòàâíûå, x(n+1) = x(n)+1, åñëè ÷èñëî n � ñîñòàâíîå, à ÷èñëî n+2000 � ïðîñòîåè x(n + 1) = x(n) − 1, åñëè, íàîáîðîò, ÷èñëî n � ïðîñòîå, à ÷èñëî n + 2000 � ñîñòàâíîå.Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïåðåõîäå îò n ê ñëåäóþùåìó ÷èñëó n + 1 âåëè÷èíà x(n) ìåíÿåòñÿ íåáîëåå, ÷åì íà 1.  ñèëó äèñêðåòíîé íåïðåðûâíîñòè äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî n (ïðèýòîì 1 < n < 2001! + 2) ÷èñëî x(n) ïðèìåò çíà÷åíèå 10.

ÎÒÂÅÒ: Äà, ñóùåñòâóþò.

ê ðåøåíèþ çàäà÷è 11.4

(11.4) Êàêîå íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî êîðîëåé ìîæíî ïîñòà-âèòü íà èçíà÷àëüíî ïóñòóþ øàõìàòíóþ äîñêó 8×8 òàê, ÷òîáûêàæäûé êîðîëü áûë ïîä áîåì íå áîëåå îäíîãî äðóãîãî êîðîëÿ?

Ðåøåíèå. Äâà áüþùèõ äðóã äðóãà êîðîëÿ ìîãóò ñòîÿòü ëèáîâ êëåòêàõ, èìåþùèõ îáùóþ ñòîðîíó (íàçîâ¼ì òàêóþ ïàðó ëèíåé-íîé), ëèáî îáùóþ âåðøèíó (äèàãîíàëüíàÿ ïàðà). Êðîìå òîãî, íàäîñêå ìîãóò áûòü êîðîëè, êîòîðûå íå áüþò íèêàêîãî äðóãîãî(îäèíî÷íûå). Ïîäñ÷èòàåì ÷èñëî âåðøèí êëåòîê, êîòîðûå áüþòâñå êîðîëè. Îäèíî÷íûé êîðîëü áü¼ò 4 âåðøèíû, äèàãîíàëüíàÿïàðà 7 âåðøèí, à ëèíåéíàÿ 6. Îáùåå ÷èñëî âåðøèí íà äîñêå 81.Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè óäàñòñÿ âûñòàâèòü x äèàãîíàëüíûõ ïàð, y ëèíåéíûõ ïàð, è z îäèíî-êèõ êîðîëåé, òî áóäåò âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî 7x+6y +4z 6 81. Îáùåå ÷èñëî êîðîëåé ïðèýòîì ðàâíî n = 2x+2y+z. Òîãäà 81 > 3(2x+2y+z)+y+z = 3n+y+z > 3n, îòêóäà n 6 27.Íî ïðè n = 27 ÷èñëî z = n − 2x − 2y � íå÷¼òíî, ïîýòîìó z 6= 0 è ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâîöåïî÷êè ñòðîãîå, îòêóäà n < 27 � ïðîòèâîðå÷èå. Èòàê, n 6 26. Ïðèìåð ðàññòàíîâêè 26êîðîëåé ïðèâåä¼í íà ðèñóíêå.

Îòâåò: 26.

(11.5) Èçâåñòíî, ÷òî äëÿ âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë x èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî|a + b cos x + cos 2x + c cos 3x| 6 1. Äîêàæèòå, ÷òî a = b = c = 0.

Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì f(x) = a + b cos x + cos 2x + c cos 3x. Ïîäñòàâëÿÿ â íåðàâåí-ñòâî èç óñëîâèÿ òî÷êè x = 0, x = π è x = π/2, ïîëó÷àåì ñèñòåìó äâîéíûõ íåðàâåíñòâ−2 6 a + b + c 6 0−2 6 a− b− c 6 0

0 6 a 6 2. Ñêëàäûâàÿ ïåðâûå äâà íåðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì (ñ ó÷¼òîì òðå-

òüåãî), ÷òî a = 0. Ïðè a = 0 èç ïåðâûõ äâóõ íåðàâåíñòâ ñèñòåìû ïîëó÷àåì, ÷òî b + c > 0è b + c 6 0, ò.å. c = −b. Ôóíêöèÿ f(x) ñ ó÷¼òîì äîêàçàííîãî ïðèíèìàåò âèä f(x) =b(cos x − cos 3x) + cos 2x. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî b 6= 0. Òîãäà f(π/2) = −1, à f ′(π/2) =b(− sin x + 3 sin 3x) − 2 sin 2x|x=π/2 = −4b 6= 0. Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü òî÷êèx = π/2, â êîòîðîé ôóíêöèÿ f(x) ìîíîòîííà. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ëèáî ñëåâà, ëèáî ñïðàâà îòòî÷êè x = π/2 ñóùåñòâóþò òàêèå çíà÷åíèÿ x, ïðè êîòîðûõ f(x) < −1, ÷òî ïðîòèâîðå÷èòóñëîâèþ çàäà÷è. Çíà÷èò b = 0, c = −b = 0 è a = 0, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.

20

(11.6) Ïóñòü M è N � ñåðåäèíû ñòîðîí AB è AC òðåóãîëüíèêà ABC ñîîòâåòñòâåí-íî, òðåóãîëüíèêè APM è NQC � ïðàâèëüíûå, ïîñòðîåííûå âíå òðåóãîëüíèêà ABC,òî÷êà H � ïðîåêöèÿ òî÷êè A íà ïðÿìóþ BC . Äîêàæèòå, ÷òî óãîë PHQ � ïðÿìîé.

Ðåøåíèå.

ê ðåøåíèþ çàäà÷è 11.6.

Ïåðâûé ñïîñîá. Òðåóãîëüíèê PMB � ðàâíîáåäðåí-íûé, ñ óãëîì 120◦ ïðè âåðøèíå M , ïîýòîìó ∠MPB =30◦. Òîãäà ∠APB = ∠APM + ∠MPB = 90◦, ïîýòîìóòî÷êà P ëåæèò íà îêðóæíîñòè ñ äèàìåòðîì AB (ñì. ðè-ñóíîê). Ýòî æå ñïðàâåäëèâî è äëÿ òî÷êè H. Íî òîãäàóãëû ∠BHP è ∠BAP ðàâíû, êàê âïèñàííûå, îïèðàþ-ùèåñÿ íà îäíó è òó æå äóãó. Òàê êàê òðåóãîëüíèê APM� ïðàâèëüíûé, òî 60◦ = ∠MAP = ∠BAP = ∠BHP .Àíàëîãè÷íî ðàññóæäàÿ, âèäèì, ÷òî îêðóæíîñòü ñ äèà-ìåòðîì AC ñîäåðæèò òî÷êè H è Q, îòêóäà ∠CHQ =∠CAQ = 30◦. Òîãäà ∠PHQ = 180◦−∠CHQ−∠BHP =90◦, ÷òî è òðåáóåòñÿ äîêàçàòü.

Âòîðîé ñïîñîá. Çàìåòèì, ÷òî ïî óñëîâèþ PM = AM = MB, îòêóäà òî÷êè A,P, Bëåæàò íà îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â M . AB � åå äèàìåòð. Íî òîãäà è òî÷êà H íàõîäèòñÿíà òîé æå îêðóæíîñòè (òðåóãîëüíèê AHB � ïðÿìîóãîëüíûé). Îòñþäà âïèñàííûé óãîë∠PHA â äâà ðàçà ìåíüøå öåíòðàëüíîãî ∠PMA = 600, òî åñòü ∠PHA = 300.

Ïîâòîðÿÿ ðàññóæäåíèÿ èìååì, ÷òî H òàêæå ëåæèò íà îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì Q, ∠QHA =∠ANQ/2 = 900 − ∠CNQ/2 = 600. Ñêëàäûâàÿ, ïîëó÷àåì ∠QHP = ∠QHA + ∠PHA = 900

21