3

BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH

1. Giới thiệu bài toán

Trong tiểu luận này, tôi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình vi

phân hàm tuyến tính có dạng sau:

( )( )( ) ( )

dx tp x t q t

dt (1.1)

với điều kiện biên

0( ) .l x c (1.2)

Trong đó : ( ; ) ( ; )n np C I R L I R và : ( ; )n nl C I R R là những toán tử tuyến

tính bị chặn, ( ; ) nq L I R và 0

nc R .

Một số trường hợp đặc biệt của điều kiện biên (1.2) là:

i) Điều kiện ban đầu

0 0( )x t c với

0t I (1.3)

ii) Điều kiện biên tuần hoàn

0( ) ( ) .x b x a c (1.4)

Định nghĩa 1.1

Hàm véc tơ : nx I R gọi là nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) nếu nó

liên tục tuyệt đối, thỏa (1.1) hầu khắp nơi trên I và thỏa (1.2).

Trong phần hai ta xét điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán

biên (1.1), (1.2). Phần ba áp dụng các kết quả trên cho hệ phương trình vi

phân hàm đối số lệch

0

( )( ) ( ( )) ( )

dx tP t x t q t

dt (1.5)

thỏa mãn một trong những điều kiện sau

4

( ) ( )x t u t với 0, ( ) t I l x c , (1.6)

( ) ( )x t u t với 0 0, ( ) , t I x t c (1.7)

( ) ( )x t u t với 0, ( ) ( ) . t I x b x a c (1.8)

Trong đó 0( ; ), ( ; ), : n n nP L I R q L I R I R là hàm đo được và

: nu R R là một hàm véc tơ liên tục và bị chặn. Các bài toán này sẽ được

đưa về dạng (1.1), (1.k) (k=2,3,4). Để thấy được điều này đặt

0

khi ( ) ,

( ) ( ) khi ( ) ,

khi ( ) ,

a t a

t t a t b

b t b

(1.9)

0( )( ) ( ( )) ( ) ( ( ))Ip x t t P t x t (1.10)

và

0( ) (1 ( ( ))) ( ) ( ( )) ( ) Iq t t P t u t q t (1.11)

với I là hàm đặc trưng của .I

2. Hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính

2.1. Các định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Trước tiên xét hệ phương trình vi phân hàm thuần nhất tương ứng của

bài toán (1.1), (1.2)

( )( )( ),

dx tp x t

dt

0(1.1 )

( ) 0.l x 0(1.2 )

Trong suốt phần 1.2 ta giả thiết

(i) : ( ; ) ( ; )n np C I R L I R là toán tử tuyến tính và tồn tại một hàm khả

tích : I R sao cho

( )( ) ( )C

p x t t x với , ( ; ); nt I x C I R

(ii) : ( ; )n nl C I R R là toán tử tuyến tính bị chặn;

5

(iii) 0( ; ), . n nq L I R c R

Lấy 0t là một điểm cố định bất kỳ thuộc I . Ta định nghĩa dãy toán tử

: ( ; ) ( ; )k n np C I R C I R và ma trận n n

k R như sau :

0

0 1( )( ) ( ), ( )( ) ( ( ))( ) ( 1,2, ), t

k k

t

p x t x t p x t p p x s ds k (1.12)

0 1 1( ( ) ( ) ( )) ( 1,2, ). k

k l p E p E p E k (1.13)

Nếu tồn tại k sao cho ma trận k không suy biến ta lập

,0

, 0 1 1

( )( ) ( ),

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ( )).

k

k m m m k

k

p x t x t

p x t p x t p E t p E t l p x (1.14)

Định lý 1.2

Bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất nếu và chỉ nếu bài toán thuần

nhất tương ứng 0(1.1 ),

0(1.2 ) chỉ có nghiệm tầm thường.

Chứng minh

Đặt ( ; )n nB C I R R là không gian Banach chứa các phần tử ( ; )u x c

trong đó ( ; )nx C I R và nc R với chuẩn .B C

u x c

Với ( ; )u x c B tùy ý và 0t I cố định bất kỳ ta đặt

0

0( )( ) ( ( ) ( )( ) ; ( )) t

t

f u t c x t p x s ds c l x với ,t I (1.15)

0

0( ) ( ) ;

t

t

h t q s ds c với .t I

Bài toán (1.1), (1.2) tương đương với phương trình sau trong B

( ) , u f u h (1.16)

vì ( ; )u x c là nghiệm của (1.16) nếu 0c và x là nghiệm của bài toán (1.1),

(1.2).

6

Từ (i)-(iii) và (1.15), :f B B là toán tử tuyến tính compact.

Thật vậy, từ (i)-(iii) và (1.15) ta có f là toán tử tuyến tính, liên tục. Đặt

0

1 2

1 0

2

: ( ; ); : .

( )( ) ( ) ( )( ) ,

( ) ( ).

n n

t

t

f B C I R f B R

f u t c x t p x s ds

f u c l x

Khi 1B

u ta có 2( ) 1 ||| |||,f u l 1( )( ) 1 ,L

f u t

1 1( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) . t t t

s s s

f u t f u s p x d p x d d

Do đó ta có 2( (0,1))f B là tập compact tương đối trong ,nR

1( (0,1))f B là tập

bị chặn đều và đẳng liên tục trong ( ; ),nC I R với (0,1) : 1 .B

B u B u

Theo định lý Ascoli-Arzela ta có 1( (0,1))f B là tập compact tương đối trong

( ; )nC I R .Từ đó suy ra f là toán tử tuyến tính compact. Do đó theo định lý

Fredholm điều kiện cần và đủ để (1.16) có nghiệm duy nhất là phương trình

( )u f u (1.17)

chỉ có nghiệm tầm thường. Điều này tương đương với bài toán 0(1.1 ), 0(1.2 )

chỉ có nghiệm tầm thường. Ta có điều phải chứng minh.

Định lý 1.3

Giả sử tồn tại các số tự nhiên khác không , k m , số tự nhiên 0m và ma

trận n nA R

sao cho ma trận k ở (1.13) không suy biến,

( ) 1r A (1.18)

và bất đẳng thức sau đúng với mọi nghiệm x của 0(1.1 ),

0(1.2 )

0,, ( ) ( ) .k mk m

C Cp x A p x (1.19)

Khi đó bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất.

7

Chứng minh

Theo định lý 1.2 để chứng minh định lý 1.3 ta chỉ cần chứng minh bài

toán thuần nhất 0(1.1 ),

0(1.2 ) chỉ có nghiệm tầm thường.

Lấy x là một nghiệm bất kỳ của 0(1.1 ),

0(1.2 ). Rõ ràng

1( ) ( )( )x t c p x t với 0( )c x t .

Do đó

1 1

1 2

0 1 2

( ) ( ( ))( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ).

x t c p c p x t

c p c t p x t

p E t p E t c p x t

Nếu tiếp tục quá trình này ta có

0 1( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )i ix t p E t p E t c p x t (1.20)

với i nguyên dương bất kỳ.

Từ 0(1.2 ), (1.13) và (1.20) ta có

0 ( ( )). k

kc l p x

Vì k không suy biến ta suy ra

1 ( ( )). k

kc l p x

Kết hợp với (1.14), (1.20) ta có

0, ,( ) ( )( ), ( ) ( )( ). k m k mx t p x t x t p x t

Do đó

0, ,( )( ) ( )( ).k m k mp x t p x t

Kết hợp (1.19) suy ra

0 0, ,( ) ( )

k m k m

C Cp x A p x

hay

0,( ) ( ) 0

k m

CE A p x

8

Vì A không âm và điều kiện (1.18), ma trận E A có ma trận nghịch đảo

1( )E A không âm. Nhân cả hai vế của bất đẳng thức cuối với 1( )E A ta

được

0,( ) 0

k m

Cp x hay 0,

( ) 0k mp x .

Do đó ( ) 0x t . Định lý được chứng minh.

Nếu 0( ) ( )l x x t thì theo (1.12)-(1.14) với bất kỳ số nguyên dương k và

m ta có

,, ( ( )) 0, ( )( ) ( )( ). k k m m

k E l p x p x t p x t

Do đó ta có hệ quả

Hệ quả 1.4

Giả sử tồn tại số tự nhiên khác không m , số tự nhiên 0m và ma trận

n nA R

sao cho ( ) 1r A và với mọi nghiệm x của hệ 0(1.1 ) với điều kiện

đầu 0( ) 0x t thì

0( ) ( ) .mm

C Cp x A p x (1.21)

Khi đó bài toán (1.1), (1.3) có nghiệm duy nhất.

Lưu ý

Điều kiện ( ) 1r A trong hệ quả 1.4 không thể thay bằng điều kiện

( ) 1.r A (1.22)

Thật vậy, xét hệ vi phân sau :

( )

(1)dx t

xdt

(1.23)

trên đoạn [0,1]I với điều kiện đầu

(0) 1.x (1.24)

Nghiệm của (1.23) có dạng

( )x t ct

9

với nc R là một véc tơ hằng bất kỳ. Do đó bài toán (1.23) với điều kiện đầu

(1.24) không có nghiệm. Mặt khác ta có

1( )( ) (1),p x t tx

Khi đó (1.21), (1.22) thỏa với 01, 0 m m và .A E

Hệ quả 1.5

Giả sử tồn tại các số tự nhiên 0, m m và ma trận n nA R

sao cho

( )2( )

r Ab a

(1.25)

và

0

2 2( ( )) ( )

mm

L Lp p x A p x (1.26)

với x là nghiệm bất kỳ của hệ 0(1.1 ) với điều kiện đầu

0( ) 0x t .

Khi đó bài toán (1.1), (1.3) có nghiệm duy nhất.

Chứng minh

Ta phải chứng minh hệ 0(1.1 ) với điều kiện đầu

0( ) 0x t (1.27)

chỉ có nghiệm tầm thường.

Gọi x là nghiệm bất kỳ của bài toán 0(1.1 ) , (1.27). Theo (1.12) ta có

0 1( ) ( )( ) ( )( )m mx t p x t p x t

và

0

22

1( ) ( ) .m m

LLp x p x (1.28)

Mà

1 1

0( )( ) 0, ( )( ) ( ( ))( ). m m md

p x t p x t p p x tdt

Vì vậy theo bất đẳng thức Wirtinger ta có

10

2 2

1 2( )( ) ( ( ))

m m

L L

b ap x p p x

Do đó từ (1.26) và (1.28) ta có

0 0

2 2( ) ( )

m m

L Lp x B p x với

2( ).

b aB A Suy ra

0

2( ) ( ) 0

m

LE B p x

Theo (1.25) thì ( ) 1r B nên 0 ( ) 0m

p x . Do đó 0( ) ( )( ) 0.mx t p x t

Lưu ý

Trong điều kiện (1.25) ở hệ quả 1.5 dấu bằng không thể xảy ra. Thật

vậy, với mọi , nc R ( )

( ) sin2( )

t ax t c

b a

là nghiệm của hệ phương trình

thuần nhất

( ), ( ) 0.2( )

dxx b a t x a

dt b a

Điều kiện (1.26) thỏa với 0 0, , ( ) .2( ) 2( )

m m A E r A

b a b a

Hệ quả 1.6

Giả sử tồn tại số tự nhiên i sao cho ma trận

1

( ( ))( )

bij

i

j a

B p p E s ds

(1.29)

là ma trận không suy biến và tồn tại ma trận n nB R

sao cho

( )( )

b

C

a

p x t dt B x (1.30)

với mỗi x là nghiệm của hệ 0(1.1 ) thỏa ( ) ( )x b x a và

1 2( ) 1.i

ir B B B (1.31)

Khi đó bài toán (1.1), (1.4) có nghiệm duy nhất.

11

Chứng minh

Để chứng minh hệ quả trên ta chỉ cần kiểm tra các điều kiện của định lý

1.3 đều thỏa với

( ) ( ) ( ), 2, 1 l x x b x a k i m và 0 0m .

Thật vậy, ta có :

0 0

2 2

1 1 1

( ( )) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ( ))( ) ( ( ))( ) ( ( ))( ) .

k k k i i

b a b

i i i

t t a

l p x p x b p x a p x b p x a

p p x s ds p p x s ds p p x s ds

Từ (1.29),(1.30), (1.12)-(1.14) ta có i kB và

1

2 1 1 2

( ) ( )( ) ,

( ) ( ( ))( ) ( ) .

b

CCa

b

CC Ca

p x p x s ds B x

p x p p x s ds B p x B x

Tương tự ta có

1

1

1

1 1 2

( ) ( ( ))( )

( ) ( 1,2, ),

( ( )) ( ( ))( )

( ( ))( ) ( )

b

j j

Ca

j j

CC

b

k i

a

b

i i i

CCa

p x p p x s ds

B p x B x j

l p x p p x s ds

p p x s ds B p x B x

và

,1 1 1( ) ( ) ( ( )) k k

i CC Cp x p x B l p x A x ,

với 1 2 i

iA B B B . Theo (1.31) thì ( ) 1.r A Hệ quả được chứng minh.

12

1.2.2. Hệ phương trình vi phân hàm với toán tử Volterra

Trong mục này ta xét sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (1.1),

(1.2) khi p là toán tử Volterra.

Với bất kỳ 0t , t I và ( ; )nx C I R , đặt

0

*

* 0 0 0 0

*

, * 0 0

( , ) min , ; ( , ) max , ,

[ ( , ), ( , )],

t t

t t t t t t t t

I t t t t

và

00 0

,, , max ( ) : . t tt t t t

x x s s I

Định nghĩa 1.7

Toán tử p gọi là Volterra đối với 0t I nếu với bất kỳ t I và

( , )nx C I R thỏa mãn điều kiện ( ) 0x s với 0 ,t ts I thì ( )( ) 0p x s với hầu

hết 0 , .t ts I

Bổ đề 1.8

Nếu : ( ; ) ( ; )n np C I R L I R là toán tử Volterra đối với 0t I thì các bất

đẳng thức sau đúng với mọi ( ; )nx C I R :

0 ,

( )( ) ( )t t

p x t t x (1.32)

với hầu hết t I ,

0

0

,

1( )( ) ( )

!

kt

k

t t

t

p x t s ds xk

(1.33)

với , ( 1,2, ) t I k ,

trong đó là hàm ở trong điều kiện (i), : ( ; ) ( ; ) ( 1,2, ) k n np C I R C I R k

là các toán tử cho bởi các đẳng thức (1.12).

Chứng minh

Với bất kỳ t I và ( , )nx C I R , đặt:

13

0

* 0 * 0

*

, * 0 0

* *

0 0

( ( , )) khi ( , )

( ) ( ) khi ( , ) ( , )

( ( , )) khi ( , ).

t t

x t t s t t

x s x s t t s t t

x t t s t t

Ta có

0 0, ,( )( ) ( )( ) ( )( )t t t tp x s p x s p x x s

0 ,( )( ) 0t tx x s với

0 , . t ts I

Suy ra 0 ,( )( ) 0t tp x x s với hầu hết

0 ,t ts I do p là toán tử Volterra đối với

0t hay

0 ,( )( ) ( )( ) t tp x s p x s với hầu hết

0 ,t ts I .

Kết hợp với điều kiện (i) ta có

0 0

, ,( )( ) ( ) ( )t t t tC

p x s s x s x với hầu hết 0 , . t ts I

Vì t I lấy tùy ý ta suy ra (1.32) đúng.

Theo (1.12) và (1.32) ta có

0

0 0

1

,( )( ) ( )( ) ( ) ,

t t

t t

t t

p x t p x s ds s ds x

0

0 0

0

0 0

0 0

2 1 1

,

2

, ,

( )( ) ( ( ))( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )2!

t t

t st t

t

t st

t s t t

t t

p x t p p x s ds s p x ds

s ds

s d x ds x

với .t I

Bằng phương pháp quy nạp ta có (1.33) đúng.

Bổ đề 1.9

Nếu p là toán tử Volterra đối với 0t thì toán tử

1E p khả nghịch và

14

1 1

0

( ) k

k

E p p

(1.34)

với ( 0,1, )kp k là các toán tử xác định bởi (1.12).

Định lý 1.10

Nếu p là toán tử Volterra đối với 0t thì bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm

duy nhất nếu và chỉ nếu tồn tại các số nguyên dương , k m và ma trận

n nA R

sao cho ma trận k không suy biến, ( ) 1r A và

, ( )k m

CCp x A x với ( ; ).nx C I R (1.35)

Chứng minh

Điều kiện đủ suy ra từ định lý 1.3. Do đó ta chỉ cần chứng minh điều

kiện cần.

Giả sử bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất, khi đó bài toán 0(1.1 ) ,

0(1.2 ) chỉ có nghiệm tầm thường.

Giả sử x là nghiệm bất kỳ của hệ 0(1.1 ). Khi đó

1( ) ( )( )x t c p x t với

0( )c x t

Theo bổ đề 1.9 ta có

( ) ( )x t X t c với 0

( ) ( )( )i

i

X t p E t

Vì bài toán 0(1.1 ),

0(1.2 ) chỉ có nghiệm tầm thường nên hệ phương trình đại

số ( ) 0l X c chỉ có nghiệm tầm thường. Do đó

det( ( )) 0.l X (1.36)

Đặt

1

0

( ) ( )( ).k

i

k

i

X t p E t

Ta có ( ), lim 0

k k k Ckl X X X . Mà l liên tục nên

15

lim ( ).

kk

l X (1.37)

Từ (1.36), (1.37) suy ra tồn tại số nguyên dương 0k và số thực dương sao

cho

1

0 0det( ) 0, ||| ||| ( , 1, ; 1,2, ) k m kCX l k k k m (1.38)

với ||| |||l là chuẩn của toán tử l . Mặt khác từ bổ đề 1.8 ta có

0( ) ( 1,2, ),!

kk

CCp x x k

k (1.39)

trong đó

0 ( )

b

a

t dt

Từ (1.38) và (1.39) và (1.14) ta có

, 0 0

0 0( ) ( , 1, ; 1,2, )! !

m kk m

CCp x x k k k m

m k (1.40)

Chọn số nguyên dương 0 0m k sao cho

0 00 0 0 0

1( , 1, ; , 1, ).

! ! 2

m k

k m m m m mm k n

Cố định 0k m và

0m m , từ (1.40) suy ra bất đẳng thức (1.35), trong đó

n nA R

là ma trận với các phần tử 1

2n. Rõ ràng ( ) 1r A . Định lý được

chứng minh.

1.2.3. Các điều kiện cụ thể cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính

Định lý 1.11

Giả sử tồn tại ma trận hàm 0 ( ; ) n nP L I R sao cho hệ phương trình vi

phân

0

( )( ) ( )

dx tP t x t

dt (1.41)

16

với điều kiện biên 0(1.2 ) chỉ có nghiệm tầm thường. Với mọi nghiệm x của

bài toán 0(1.1 ) ,

0(1.2 ) có bất đẳng thức sau :

0 0 ( , ) ( )( ) ( ) ( ) b

C

a

G t s p x s P s x s ds A x (1.42)

trong đó 0G là ma trận Green của bài toán (1.41),

0(1.2 ) và n nA R

là ma

trận thỏa ( ) 1.r A

Khi đó bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất.

Chứng minh

Theo định lý 1.2, ta chứng minh bài toán 0(1.1 ) ,

0(1.2 ) với giả thiết của

định lý 1.11 chỉ có nghiệm tầm thường.

Lấy x là nghiệm bất kỳ của bài toán 0(1.1 ) ,

0(1.2 ). Do (1.41), 0(1.2 )

chỉ có nghiệm tầm thường nên theo định lý Lagrange ta có

0 0( ) ( , ) ( )( ) ( ) ( ) . b

a

x t G t s p x s P s x s ds

Do đó từ bất đẳng thức (1.42) ta có C C

x A x . Suy ra 0C

x từ ( ) 1r A .

Hệ quả 1.12

Giả sử tồn tại ma trận hàm 0 ( ; ) n nP L I R sao cho

0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )

t t

s s

P d P t P t P d (1.43)

với hầu hết , s t I và bất đẳng thức sau đúng với mọi nghiệm x của hệ

0(1.1 ) với điều kiện đầu 0( ) 0x t :

0

0 0 exp ( ) ( )( ) ( ) ( )

t t

C

t s

P d p x s P s x s ds A x với t I ,

n nA R

là ma trận thỏa ( ) 1r A .

Khi đó bài toán (1.1), (1.3) có nghiệm duy nhất.

17

Chứng minh

Do (1.43) nên ma trận Cauchy của hệ (1.41) có dạng

0 0( , ) exp ( )

t

s

C t s P d .

Lấy x là nghiệm bất kỳ của bài toán 0(1.1 ) ,

0(1.2 ). Theo định lý Lagrange ta

có

0

0

0 0 0 0 0

0 0

( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )( ) ( ) ( )

( , ) ( )( ) ( ) ( )

t

t

t

t

x t C t t x t C t s p x s P s x s ds

C t s p x s P s x s ds

Từ đó suy ra C C

x A x . Suy ra 0C

x từ ( ) 1r A .

Hệ quả 1.13

Giả sử tồn tại ma trận hàm 0 ( ; ) n nP L I R thỏa (1.43) sao cho ma trận

0 0exp ( )

b

a

A E P s ds không suy biến và

1

0 0 0exp ( ) ( )( ) ( ) ( )

t t

C

t b a s

A P d p x s P s x s ds A x (1.44)

với ,t I

0 0( )( ) ( )( ), ( ) ( ) p x t b a p x t P t b a P t (1.45)

và ma trận n nA R

thỏa ( ) 1r A .

Khi đó bài toán (1.1), (1.4) chỉ có nghiệm duy nhất.

Chứng minh

Từ (1.43) và do ma trận 0A không suy biến nên bài toán (1.41), 0(1.2 )

với ( ) ( ) ( )l x x b x a chỉ có nghiệm tầm thường.

18

Gọi 0G là ma trận Green của bài toán (1.41),

0(1.2 ) với ( ) ( ) ( )l x x b x a . Từ

(1.43) , với bất kỳ ( ; )nq L I R thì

1

0 0 0( , ) ( ) exp ( ) ( )

b t t

a t b a s

G t s q s ds A P d q s ds với , ( ) ( ). t I q t b a q t

Nên từ bất đẳng thức (1.44) suy ra bất đẳng thức (1.42). Do đó tất cả giả thiết

của định lý 1.11 đều thỏa mãn. Hệ quả được chứng minh.

1.3. Các định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi

phân hàm đối số lệch

Như đã nói ở phần giới thiệu, bài toán (1.5), (1.6) có thể viết về dạng

(1.1), (1.2) với toán tử p và hàm véc tơ q cho bởi các đẳng thức (1.10),(1.11)

và hàm 0 cho bởi đẳng thức (1.9).

Do : ( ; )n n

l C I R R là toán tử tuyến tính liên tục. Theo định lý Riesz,

tồn tại duy nhất ma trận hàm : n nI R sao cho các thành phần của có

biến phân bị chặn trên ,I

( )b (1.46)

và với mọi ( ; )nx C I R ta có :

( ) ( ) ( ). b

a

l x d t x t (1.47)

Rõ ràng từ (1.46) và (1.47) ta thấy nếu : nx I R là hàm liên tục tuyệt đối thì

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . b

a

l x a x a t x t dt (1.48)

Lấy 0t là một điểm cố định bất kỳ trên đoạn I . Với bất kỳ ma trận hàm

( ; ), n nV L I R đặt :

19

0

0

,0 ,1

( )

, 1 ,1 ,

[ ( )] , [ ( )] ( ( )) ( ),

[ ( )] [ ( )] [ ( )] ( 1,2, )

I

t

i i

t

V t V t t V t

V t V t V s ds i

với 0 là hàm cho bởi (1.9).

Từ (1.10), (1.12)-(1.14) và (1.48) ta có

01

, ,

0

( ) ( )[ ( )] ( ) [ ( )]

tbk

k i i

i a a

a s P s ds a P s ds

(1.49)

và

,

,( )k m

k m CCp x A x với ( ; ). nx C I R

Trong đó

01

1

, , ,0

( ) ( ) ( )

t bm

k m m i k k ki a a

A A E A P s ds s P s ds

(1.50)

và

0

,max ( ) : ( 0, , ).

t

i it

A P s ds t I i m (1.51)

Từ các định lý 1.2, 1.3, 1.10 và hệ quả 1.5-hệ quả 1.13 ta có các định lý và hệ

quả sau.

Định lý 1.14

Bài toán (1.5), (1.6) có nghiệm duy nhất nếu và chỉ nếu bài toán thuần

nhất tương ứng

0

( )( ( )) ( ) ( ( ))I

dx tt P t x t

dt

0(1.5 )

( ) 0l x 0(1.6 )

chỉ có nghiệm tầm thường.

20

Định lý 1.15

Giả sử tồn tại các số tự nhiên khác không k và m sao cho

det( ) 0,k (1.52)

và

,( ) 1k mr A (1.53)

với ,, k k mA là các ma trận cho bởi các đẳng thức (1.49)-(1.51).

Khi đó bài toán (1.5), (1.6) có nghiệm duy nhất.

Định lý 1.16

Giả sử có bất đẳng thức

0( ( ) )( ) 0t t t t

thỏa hầu khắp nơi trên .I

Khi đó bài toán (1.5), (1.6) có nghiệm duy nhất nếu và chỉ nếu tồn tại

các số tự nhiên khác không k và m thỏa bất đẳng thức (1.52) và (1.53) với

, và k k mA là các ma trận cho bởi các đẳng thức (1.49)-(1.51).

Hệ quả 1.17

Giả sử tồn tại số m nguyên dương sao cho

( ) 1mr A (1.54)

với

0

,max ( ) :

t

m mt

A P s ds t I .

Khi đó bài toán (1.5), (1.7) có nghiệm duy nhất.

Hệ quả 1.18

Giả sử là hàm liên tục tuyệt đối, đơn điệu và tồn tại một ma trận

n nA R

sao cho

( )2( )

r Ab a

(1.55)

21

và bất đẳng thức

1/2

( ( )) ( ) ( ) I t P t A t

thỏa hầu khắp nơi trên .I

Khi đó bài toán (1.5), (1.7) có nghiệm duy nhất.

Hệ quả 1.19

Giả sử

0det( ) 0B và 1 2

0( ) 1r B B B với

0 ( ( )) ( ) , ( ( )) ( ) . b b

I I

a a

B s P s ds B s P s ds

Khi đó bài toán (1.5), (1.8) có nghiệm duy nhất.

Định lý 1.20

Giả sử tồn tại ma trận hàm 0 ( ; )n nP L I R sao cho hệ phương trình vi

phân

0

( )( ) ( )

dx tP t x t

dt (1.56)

với điều kiện biên 0(1.6 ) chỉ có nghiệm tầm thường và

0 ( , ) ( ) b

a

G t s Q s ds A (1.57)

với t I , trong đó

0 ( )

0 0( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ,

t

I

t

Q t t P t P t P t P s ds (1.58)

0G là ma trận Green của bài toán (1.56), 0(1.6 ) và n nA R

là ma trận thỏa

( ) 1.r A (1.59)

Khi đó bài toán (1.5), (1.6) có nghiệm duy nhất .

Chứng minh

22

Gọi x là một nghiệm của bài toán 0(1.1 ),

0(1.2 ) với p là toán tử xác

định bởi đẳng thức (1.10). Dùng (1.58) ta có

0

0

( )

0 0 0 0

( )

0 0 0 0

( )( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )

( ( )) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) .

t

I

t

t

I I C

t

p x t P t x t t P t P t x t P t x s ds

t P t P t x t P t s P s x s ds Q t x

Kết hợp với (1.57) suy ra bất đẳng thức (1.42). Do đó tất cả giả thiết của định

lý 1.11 đều thỏa. Định lý được chứng minh.

Hệ quả 1.21

Giả sử tồn tại ma trận hàm 0 ( ; )n nP L I R sao cho

0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )

t t

s s

P d P t P t P d

(1.60)

với hầu hết , s t I và

0

0 exp ( ) ) ( )

t t

t s

P d Q s ds A với .t I (1.61)

Trong đó Q là ma trận hàm xác định bởi (1.58) và n nA R

là ma trận thỏa

(1.59).

Khi đó bài toán (1.5), (1.7) có nghiệm duy nhất.

Hệ quả 1.22

Giả sử tồn tại ma trận hàm 0 ( ; )n nP L I R sao cho đẳng thức (1.60)

thỏa với hầu hết , s t I ,

0 0exp ( )

b

a

A E P s ds (1.62)

là ma trận không suy biến và

23

1

0 0exp ( ) ( )

t t

t b a s

A P d Q s ds A với .t I (1.63)

Trong đó Q là ma trận hàm xác định bởi (1.58),

0 0( ) ( ), ( ) ( ) P t b a P t Q t b a Q t (1.64)

và n nA R

là ma trận thỏa (1.59).

Khi đó bài toán (1.5), (1.8) có nghiệm duy nhất.