CẦN THƠ, 2007

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM

GIÁO TRÌNH

XU HƯỚNG DẠY HỌC

KHÔNG TRUYỀN THỐNG Dành cho sinh viên sư phạm toán

Biên soạn: TS. GVC. NGUYỄN PHÚ LỘC

CẦN THƠ, 2007

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM

GIÁO TRÌNH

XU HƯỚNG DẠY HỌC

KHÔNG TRUYỀN THỐNG Dành cho sinh viên sư phạm toán

Biên soạn: TS. GVC. NGUYỄN PHÚ LỘC

LỜI NÓI ĐẦU

Giáo trình giới thiệu hai xu hướng hiện đại trong Giáo dục toán học ở nhà trường phổ thông mà hiện nay được nhiều nước trên thế giới quan tâm nghiên cứu và áp dụng. Đó là Lý thuyết tình huống didactic (Theory of didactical situation) và Dạy học khám phá (Learning by discovery).

Giáo trình này gồm hai chương.

- Chương 1: LÝ THUYẾT TÌNH HUỐNG DIDACTIC.

Lý thuyết tình huống didactic được phát triển từ trường phái “Didactic Toán” của Pháp. Lý thuyết được truyền bá đến Việt Nam từ thập niên 90 của thế kỷ XX; hiện nay, nó là một trong những nội dung chính trong chương trình đào tạo cao học chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán của trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh. Trong giáo trình này, chúng tôi chỉ giới thiệu các khái niệm chính của Lý thuyết tình huống didactic nhằm giúp sinh viên ngành sư phạm toán bước đầu có thể vận dụng vào việc nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán trong nhà trường phổ thông. Về thuật ngữ didactic, có tác giả dịch là “sư phạm” hoặc “dạy học”; trong giáo trình này, chúng tôi cũng giống như các đồng nghiệp ở trường Đại học Sư Phạm TP.HCM là giữ nguyên thuật ngữ tiếng Pháp này mà không dịch sang tiếng Việt.

- Chương 2: DẠY HỌC KHÁM PHÁ.

Dạy học khám phá là phương pháp dạy học tích cực, được khuyến khích sử dụng trong dạy học môn Toán hiện nay ở nhà trường phổ thông ở nước ta. Trong giáo trình, bên cạnh nêu lên đặc điểm và các kiểu dạy học khám phá, chúng tôi cũng giới thiệu các mô hình dạy học khám phá khái niệm, định lý cũng như khai thác mối liên hệ giữa “cái riêng” và “cái chung”, phép tương tự vào dạy học khám phá.

Chúng tôi xin chân thành cám ơn ThS. GVC. Lại Thị Cẩm đã đọc bản thảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho giáo trình này được hoàn thiện hơn.

Chúng tôi hy vọng giáo trình này sẽ góp phần nâng cao năng lực dạy học môn Toán cho các thầy giáo tương lai, và là tài liệu tham khảo tốt cho quý thầy cô đang dạy toán ở trường phổ thông. Chúng tôi rất mong và bày tỏ lòng biết ơn những ý kiến đóng góp của các em sinh viên và các đồng nghiệp gần xa.

Nguyễn Phú Lộc

ii

MỤC LỤC

Lời giới thiệu ii Mục lục iii

Chương 1: LÝ THUYẾT TÌNH HUỐNG DIDACTIC 1

1. TAM GIÁC “HỌC SINH – THẦY GIÁO - TRI THỨC” VÀ MÔI TRƯỜNG 1

2. CÁC TÌNH HUỐNG A-DIDACTIC 7

3. BIẾN DIDACTIC 12

4. TÌNH HUỐNG CƠ SỞ

5. HỢP ĐỒNG DIDACTIC

13

14

5. CHƯỚNG NGẠI NHẬN THỨC (COGNITIVE OBSTACLE) 15

Chương 2: DẠY HỌC KHÁM PHÁ 24

1. DẠY HỌC KHÁM PHÁ – MỘT PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC 24

2. DẠY HỌC KHÁM PHÁ KHÁI NIỆM VỚI CÁC MÔ HÌNH QUI NẠP 31

3. DẠY HỌC KHÁM PHÁ ĐỊNH LÝ VỚI GIẢTHUYẾT KHOA HOC 44

4. DẠY HỌC KHÁM PHÁ VỚI MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁI RIÊNG VÀ CÁI CHUNG 55

5. DẠY HỌC KHÁM PHÁ VỚI PHÉP TƯƠNG TỰ 63

TÀI LIỆU THAM KHẢO 70

iii

CHƯƠNG 1

LÝ THUYẾT TÌNH HUỐNG DIDACTIC Yêu cầu đối với sinh viên

- Hiểu được các khái niệm cơ bản của lý thuyết tình huống didactic.

- Biết vận dụng lý thuyết để nâng cao hiệu quả việc dạy học toán trong trường phổ thông.

Từ khóa: Lý thuyết tình huống didactic (theory of didactical situation), chuyển đổi didactic

(didactical transposition), tình huống a-didactic (a-didactical situation), hợp đồng didactic

(didactical contract), chướng ngại (obstacle).

Lý thuyết tình huống didactic được Guy Brousseau (Pháp) phát triển từ 1970 đến

1990. Lý thuyết này đã phân tích sâu sắc mối quan hệ giữa thầy giáo, học sinh, tri thức

và môi trường trong hệ thống dạy học. Lý thuyết có những đóng góp lớn cho ngành giáo

dục toán học bởi việc đưa ra các khái niệm như: tình huống a – didactic, chướng ngại

(về nhận thức), hợp đồng didactic. Chúng trở thành những công cụ đắc lực cho việc

nghiên cứu các các vấn đề liên quan đến giáo dục toán học.

Về mục đích của lý thuyết tình huống, Brousseau (1999) viết: “Lý thuyết tình

huống nhằm mục đích phục vụ cho nghiên cứu và đề ra các loại học tập và các tình

huống dạy học…Nó không là một phương pháp dạy học. Lý thuyết này có thể cung cấp

(provide) vài phương pháp dạy học, nó có thể điều chỉnh hay loại bỏ một vài phương

pháp khác”. Về mối quan hệ với dạy học khám phá, Brousseau (1999) viết: “Lý

thuyết tình huống chứa đựng một số mô hình mà có thể hỗ trợ cho các kế hoạch hành

động nhằm làm cho học sinh khám phá (tái khám phá) toán học. Do đó, các tình

huống didactic có tính “khám phá” có thể được gắn liền với các mô hình này”.

1. TAM GIÁC “HỌC SINH – THẦY GIÁO - TRI THỨC” VÀ MÔI TRƯỜNG

Câu hỏi 1 (Sinh viên thảo luận trong nhóm nhỏ)

- Hãy cho biết sự khác biệt giữa tri thức trong sách giáo khoa toán phổ thông

và tri thức khoa học toán học. Tri thức khoa học toán học có những đặc điểm gì? Tri

thức toán trong sách giáo khoa có đặc điểm gì?

- Hãy nêu lên quá trình chuyển đổi từ tri thức khoa học toán học đến tri thức

toán học mà học sinh thực sự học được.

1

Xu hướng dạy học “nêu vấn đề” hay “dạy học dựa theo vấn đề” đã và đang được

nhiều nhà nghiên cứu quan tâm phát triển. Tư tưởng chính của xu hướng trên là quá

trình dạy học cần nêu ra cho học sinh một tình huống có vấn đề. Tình huống này thu

hút học sinh tham gia vào giải quyết và kết quả của quá trình này là học sinh tiếp thu

được tri thức mới và phát triển các kỹ năng học tập, làm việc và nghiên cứu. Tuy

nhiên, theo Guy Brouseau (1986): “Để tạo ra, cải tiến, tái tạo, mô tả và hiểu rõ các tình

huống dạy học toán, điều cần thiết – và có thể thực hiện được – là phải lý thuyết hóa

hoạt động dạy học này, xem đó là một đối tượng nghiên cứu độc đáo, chứ không phải

là một sự kết hợp đơn giản của những sự kiện đã được lý thuyết hóa chỉ trong các lĩnh

vực độc lập như sư phạm học, xã hội học, tâm lí học, toán học, ngôn ngữ học và khoa

học luận”.

Nhưng vấn đề đặt ra là “để hiểu rõ các tình huống” ta cần lý thuyết điều gì? Đối

với Guy Brouseau (1986), đó là “những hiện tượng gắn liền với hoạt động dạy học,

biểu lộ ra trong những cái có tính đặc thù của kiến thức được giảng dạy”. Muốn vậy,

hệ thống tối thiểu có những thành tố cần được xét tới là: thầy giáo, học sinh, tri thức và

môi trường (Hình 1. 1).

Học sinh Thầy giáo

Môi trường Tri thức

Hình1. 1: Hệ thống dạy học

Như vậy, kiến thức trong một tình huống giảng dạy, theo G. Brouseau, có liên

quan đến sự tác động qua lại giữa học sinh, thầy giáo và môi trường.

1.1. Tri thức

“Tri thức khoa học toán học” (tri thức khoa học) được lưu hành trong các nhà

toán học và là đối tượng nghiên cứu của các nhà toán học. Từ tri thức khoa học toán

học đến tri thức toán mà học sinh thực sự học được có sự chuyển đổi didactic

(didactical transposition) (xem Hình 1. 2). Sự chuyển đổi didactic bao gồm sự chuyển

đổi tri thức khoa học toán học thành tri thức giáo khoa toán (tri thức giáo khoa), tri

2

thức này thể hiện trong chương trình hay trong sách giáo khoa. Từ tri thức giáo khoa

toán, thầy giáo chuyển đổi thành tri thức toán được dạy học (tri thức dạy học), tri thức

toán mà được thầy dạy học.

Tri thức khoa học

toán

Tri thức giáo khoa

toán

Tri thức toán được dạy học

Hình 1.2: Sự chuyển đổi didactic giữa các cấp độ tri thức toán học

Như vậy, chính có sự chuyển đổi didactic như trên mà ta có ba loại tri thức: tri

thức khoa học toán, tri thức giáo khoa toán và tri thức toán được dạy học.

1.1.1. Tri thức khoa học toán (tri thức khoa học)

Tri thức khoa học toán học là tri thức ở cấp độ của các nhà toán học (cấp độ hàn

lâm). Để trình bày một tri thức toán học, các nhà toán học có khuynh hướng trình bày nó

dưới dạng càng khái quát càng tốt theo những qui tắc diễn đạt thông dụng trong cộng

đồng khoa học; các nhà toán học không trình bày lịch sử của tri thức đó, bỏ qua những

sai lầm đã gặp phải và không nêu lại quá trình phát minh của mình; tức là tri thức khoa

học toán học đã được phi hoàn cảnh hóa, phi cá nhân hóa và phi thời gian hóa.

1.1.2. Tri thức giáo khoa toán (tri thức giáo khoa)

Tri thức giáo khoa toán học được nhiều người thuộc nhiều thành phần trong xã

hội (những người thiết kế chương trình, thầy giáo đứng lớp, những người đại diện xã

hội như phụ huynh học sinh, các chuyên gia về giảng dạy bộ môn,…) cùng nghiên cứu

nội dung và cách dạy học. Nhờ đó, tri thức khoa học toán học, sau khi được sàng lọc

thành tri thức giáo khoa toán, bảo đảm được sự tương hợp giữa hệ thống dạy học với

môi trường của nó. Tri thức này được mô tả một cách chính thức trong chương trình

học hay thể hiện trong các sách giáo khoa; vì thế, nó còn được gọi là tri thức chương

trình.

Tri thức giáo khoa là tri thức mà thầy giáo phải giảng dạy. Nhờ vào các sách

giáo khoa đã được công bố, các sách dành cho giáo viên, các bài bình luận trên các tạp

chí mà giáo viên hiểu rõ được nội dung chương trình và các phương pháp giảng dạy

cần quan tâm sử dụng trong quá trình dạy học.

Tri thức giáo khoa toán có những đặc trưng sau đây:

3

- Tri thức giáo khoa toán trở thành một chuẩn kiến thức hợp pháp (xác định bởi chương trình).

- Tri thức giáo khoa toán được sắp xếp theo trình tự thời gian. - Tri thức giáo khoa toán được sắp xếp theo một thứ tự hợp logic và tránh

những bước vòng lịch sử. Một điều cần ghi nhớ rằng tri thức giáo khoa toán khác với tri thức khoa học

toán không phải chỉ về mặt lượng mà thật sự là tri thức giáo khoa toán không phải là một tập hợp con của tri thức khoa học toán (Hình 1.3). Thể chế trường học đã xây dựng toán học như một môn học nên có nhiều phần của môn học nằm ngoài tri thức khoa học toán học. Nhiều khái niệm toán học hay định lý không được trình bày ở cấp độ hàn lâm. Một điều mà chúng ta thường gặp là nhiều tính chất toán học trong nhà trường học sinh chỉ công nhận mà có không chứng minh nếu việc chứng minh nó quá phức tạp và khó hiểu đối với học sinh.

Một điều cần chú ý nữa là môn toán trong nhà trường cũng có thể có những thể chế khác nhau. Chẳng hạn, hình học theo thể chế của chương trình nâng cao có nội dung khác với hình học theo thể chế của chương trình chuẩn.

Tri thức giáo khoa toán

Tri thức khoa học toán học

Hình 1.3: Mối liên hệ giữa tri thức khoa học toán và tri thức giáo khoa toán

1.1.3. Tri thức toán được dạy học (tri thức dạy học) Tri thức toán ở cấp độ này chính là tri thức được giảng dạy ở lớp học, hay nói

cách khác tri thức dạy học là đối tượng được giảng dạy. Chính ở cấp độ này mà thầy giáo tác động đến học sinh. Dựa vào trình độ của học sinh ở lớp học, cơ sở vật chất, phương tiện dạy học và khả năng sư phạm của mình mà thầy giáo biến đổi điều hiểu biết của họ về tri thức đó để có thể dạy được ở một trình độ xác định (Hình 1.4).

Về phương diện didactic, cái được hay không được chung của thầy giáo và của học sinh trong lớp là tri thức, nhưng các phương án của thầy và trò về tri thức đó là khác nhau do vị trí của họ trong mối quan hệ didactic.

Tri thức giáo khoa toán

Tri thức toán được dạy học

Hình1.4: Mối liên hệ giữa tri thức giáo khoa toán và tri thức toán được dạy học

4

Ở Việt nam, sự chuyển đổi từ tri thức khoa học toán đến tri thức toán mà học

sinh thực sự học được, theo chúng tôi, gồm nhiều bước chuyển đổi có thể mô tả như

Hình 1. 5.

Tri thức khoa học toán học (nhà toán

học)

Tri thức giáo khoa

toán (hệ thống giáo dục)

Tri thức toán

thực dạy (lớp học)

Tri thức toán thực

học (học sinh)

Tri thức toán học

soạn giảng

(giáo án)

Hình 1.5: Sự chuyển đổi didactic của các cấp độ tri thức toán ở Việt Nam

Câu hỏi 2: Hãy so sánh định nghĩa của khái niệm giới hạn của dãy và hàm số trong môn Giải tích 11 với khái niệm tương ứng trong một sách Giải tích ở bậc đại học.

Câu hỏi 3: Khi dạy học một tri thức toán học, thầy giáo thường thực hiện những công việc gì?

1.2. Thầy giáo Câu hỏi 4: Hãy cho biết hai chức năng chính của thầy giáo khi dạy học một tri thức. Lí thuyết tình huống chỉ ra hai chức năng trái ngược nhau của thầy giáo trong

dạy học một tri thức. - Làm sống lại tri thức, làm sao cho học sinh tạo ra tri thức đó. Đó là chức năng

ủy thác của thầy giáo; - Biến đổi kiến thức đó thành một “sự kiện” mới về nhận thức. Nói một cách

khác, gắn kiến thức đã được học sinh kiến tạo vào thể chế của kiến thức. Đó là chức năng thể chế hóa.

1.2.1.Ủy thác Như ta biết, nhà toán học truyền đạt những kết quả nghiên cứu của mình không

bao gồm quá trình tìm tòi ra chúng, mà họ tổ chức lại kiến thức và trình bày lại dưới dạng tổng quát nhất có thể có. Khi dạy học tri thức đó, thầy giáo phải đảm trách hành động ngược lại: hoàn cảnh hóa lại, thời gian hóa lại và cá nhân hóa lại tri thức cần giảng dạy. Tức là thầy giáo tìm những tình huống đem lại nghĩa cho kiến thức cần giảng dạy sao cho hoạt động học của học sinh “giống với” hoạt động của nhà nghiên cứu.

1.2.2. Thể chế hóa

5

Khi học sinh giải đáp được tình huống đặt ra trong pha ủy thác, học sinh chưa biết rằng mình đã sản sinh ra một tri thức có thể áp dụng vào nhiều trường hợp khác. Để biến đổi các câu giải đáp này thành tri thức mới, với sự giúp đỡ của thầy giáo, học sinh phải phi cá nhân hóa, phi hoàn cảnh hóa và phi thời gian hóa lại kiến thức đã sản sinh ra để nhận biết được trong những điều họ đã làm cái gì có tính phổ biến, biết được tầm quan trọng và vị trí của chúng trong chương trình (xem Hình 1.6).

Thầy giáo ủy thác (hoàn cảnh hóa, cá nhân hóa, thời gian hóa lại

tri thức): (Xây dựng tình huống mang lại

nghĩa của tri thức)

Thầy giáo giúp học sinh thể chế hóa

(phi hoàn cảnh hóa, phi cá

nhân hóa, phi thời gian hóa lại tri thức)

Học sinh tìm lời giải

đáp

Học sinh nhận biết tầm quan trọng của tri thức

Hình 1.6: Thầy giáo với hai chức năng ủy thác và thể chế hóa

Pha ủy thác Pha thể chế hóa

Câu hỏi 5: Hãy thực hiện hai chức năng của thầy giáo trong dạy học định lý

cosin trong tam giác. 1.3. Môi trường Môi trường có thể hiểu theo nghĩa của sinh thái học; chẳng hạn như rừng là môi

trường tự nhiên của hổ, hay nước là môi trường tự nhiên của cá. Do đó, môi trường didactic là môi trường tự nhiên của học sinh. Như chúng ta biết, mỗi người thông thường sống trong nhiều môi trường khác nhau và đóng vai trò khác nhau trong các môi trường đó. Anh ta có thể là người cha trong môi trường gia đình, và là một huấn luyện viên trong môi trường thể thao. Để tồn tại (chiến thắng) trong mỗi môi trường thì người ta cần phải biết “luật chơi” và phát triển những chiến lược để giành chiến thắng trong “cuộc chơi”.

Việc học tập không phải là kết quả của việc truyền đạt thông tin từ thầy giáo tới học sinh. Dạy học một kiến thức có nghĩa là tạo ra một môi trường didactic sao cho kiến thức này là điều kiện cần thiết cho học sinh tồn tại trong môi trường đó. Trong lý thuyết tình huống, kiến thức là kết quả của sự tương tác giữa học sinh và một môi trường được tổ chức bởi thầy giáo trong một khung cảnh của một tình huống a-didactic (Hình 1.7).

6

Chủ thể

Môi trường Kiến thức

Hình 1.7: Sự tương tác giữa học sinh và môi trường trong khung cảnh tình huống a - didactic

Tình huống a-didactic

Câu hỏi 6: Đối với phân môn hình học không gian 11, môi trường vật chất là bao gồm những gì? Môi trường toán học là bao gồm những gì?

1.4. Học sinh Với quan niệm như trên, khi dạy học một tri thức, thầy giáo phải đề ra một tình

huống sao cho học sinh xây dựng hay điều chỉnh kiến thức của mình, và xem đó là lời giải đáp cho những yêu cầu của môi trường chứ không phải thỏa mãn ý muốn của thầy. Về mối quan hệ giữa học sinh và môi trường, lý thuyết tình huống đưa ra hai giả thuyết sau đây:

Giả thuyết 1 (học tập bằng cách thích nghi): Chủ thể học bằng cách làm cho bản thân thích nghi (đồng hóa và điều tiết) với một môi trường sản sinh ra những mâu thuẫn, những khó khăn và tình trạng mất cân bằng. (Hình 1.8)

Giả thuyết 2: Một môi trường không có dụng ý didactic (tức là không có ý tổ chức để giảng dạy một tri thức) là không đủ để làm cho một chủ thể lĩnh hội được tất cả những kiến thức mà xã hội mong muốn chủ thể đó đạt được.

Chủ thể

Môi trường Kiến thức Tiên đoán

Hình 1. 8: Học tập bằng thích nghi của chủ thể với môi trường

Hành động Thông tin Phản hồi

2. CÁC TÌNH HUỐNG A-DIDACTIC

Rút ngắn hai công đoạn ủy thác và thể chế hóa là cách dạy truyền thống: thầy giáo trình bày tri thức và học sinh tự mình tìm cách chiếm lĩnh tri thức đó trong khả năng có thể được. Ở đây, khi dạy học một khái niệm, giáo viên phát biểu định nghĩa và cho một số bài tập mà học sinh có thể giải được nhờ áp dụng điều đã học mà không cần sự biến đổi nào. Học sinh trong trường hợp này thường làm theo mẫu hay “làm

7

tương tự” mà không có những hoạt động phá vỡ thế cân bằng và lập lại thế cân bằng. Các bài tập này thường không có tác dụng gắn cho khái niệm “một nghĩa”. Trong khi đó, đối với học sinh thì nghĩa của một kiến thức xuất phát chủ yếu từ những tình huống mà ở đó kiến thức tác động vào nhằm tạo ra những “thích nghi” thích đáng. Vì thế, các giả thuyết nêu trên (xem 1.4) dẫn ta đến yêu cầu phải đưa ra khái niệm tình huống a-didactic.

Tình huống a-didactic là tình huống chứa đựng tất cả những điều kiện nhằm

cho phép học sinh thiết lập được mối liên hệ với kiến thức mà không có liên quan gì

đến thầy giáo. Những hành động của học sinh, các câu trả lời hay lập luận mà học sinh

đưa ra phụ thuộc vào mối liên hệ của học sinh với tri thức, nghĩa là liên quan đến vấn

đề mà học sinh phải giải quyết hay những khó khăn mà học sinh phải vượt qua.

Có bốn loại tình huống a-didactic: tình huống hành động, tình huống diễn đạt,

tình huống xác nhận và tình huống thể chế hóa.

Chúng ta cần phân biệt tình huống a – didactic với tình huống không didactic và

tình huống didactic. Tình huống không didactic là một tình huống không được tổ chức

một cách rõ ràng để dạy học một tri thức. Tình huống didactic là tình huống được tổ

chức một cách rõ ràng nhằm dạy một tri thức. Học sinh làm hết các công việc mà thầy

giáo đưa ra nhằm truyền đạt kiến thức này cho học sinh.

Hình 1.9: Sự liên hệ giữa tình huống didactic và tình huống a-didactic

Học sinh

Môi trường Thích nghi Kiến thức

Thầy giáo Tình huống didactic

Tình huống a- didactic

Để hiểu rõ khái niệm tình huống a-didactic, ta xét ví dụ sau đây.

Ví dụ: “Hành trình đến 20”

Đây là một trò chơi một chọi một. Tham gia trò chơi có hai đối thủ, mỗi người

lần lượt nói một số. Đối thủ nào tìm cách nói trước được số 20 thì thắng cuộc. Người

8

thứ nhất nói 1 hoặc 2. Mỗi người tiếp theo sau chỉ có thể nói một số bằng số của

người vừa nói trước đó cộng thêm 1 hoặc 2.

Kịch bản

Màn 1

Cô giáo giải thích qui tắc của trò chơi. Cô giáo bắt đầu thi đấu một ván với một

học sinh tình nguyện. Sau ba lần chơi trong ván này, cô giáo nhường chỗ cho một học

sinh khác và cả hai chơi tới cuối ván.

Màn 2

Học sinh tham gia trò chơi, từng cặp học sinh thi đấu với nhau bốn ván và ghi

lại các số mà mỗi em chơi ở từng ván.

Màn 3

Lớp học được chia thành hai nhóm đối địch nhau và thi đấu với nhau 6 ván. Ở

mỗi ván, mỗi nhóm chọn một học sinh đại diện lên bảng thi đấu với nhau. Mỗi nhóm

có thể thảo luận với nhau về chiến lược chơi vào thời gian giữa các ván, nhưng không

can thiệp vào việc chơi của đại diện của nhóm trên bảng.

Màn 4

Giáo viên yêu cầu mỗi nhóm nêu ra các chiến lược chơi và các khám phá mà

nhờ đó các em thắng cuộc. Mỗi ý kiến của nhóm này đưa ra thì được đội đối địch xem

xét và xác nhận đúng hoặc bác bỏ coi là sai.

Câu hỏi 6

Màn 1

- Mục tiêu của màn này?

- Phân tích vai trò dành cho cô giáo.

Màn 2

- Môi trường trong đó học sinh tác động qua lại là môi trường nào?

- Qui trình nào là cơ bản?

- Vấn đề được thua đối với học sinh là gì ?

- Vì sao phải học sinh phải chơi nhiều ván ?

- Vai trò cô giáo diễn biến như thế nào ?

Màn 3

- Nêu lên những đặc điểm của những kiểu chơi có thể xuất hiện ở học sinh.

- Vấn đề được thua đối với học sinh là gì ?

9

- Vì sao lại chọn đại diện của mỗi nhóm ?

- Vai trò của cô giáo diễn biến như thế nào ?

Màn 4

- Môi trường trong đó học sinh tác động qua lại là môi trường nào ?

- Vấn đề được thua đối với học sinh là gì ?

- Vai trò của cô giáo diễn biến như thế nào ?

Tóm tắt lời giải

Màn 1

- Giáo viên chơi một ván với học sinh nhằm làm cho học sinh hiểu rõ qui tắc

chơi

- Sau ba lần chơi trong ván này, giáo viên nhường chỗ cho một học sinh khác

để không làm cản trở việc ủy thác trò chơi a-didactic. Vì nếu giáo viên chơi

hết ván thì học sinh chỉ tập trung chú ý xem cô giáo chơi như thế nào, chứ

không phải tìm cách lí giải làm thế nào để thắng.

Màn 2

- Đây là một tình huống hành động: từng cặp học sinh thi đấu với nhau.

- Mỗi học sinh đứng trước một môi trường: chơi trò chơi và cần chọn những

số nào để giành chiến thắng.

- Qui trình cơ sở: đến lượt mình cộng 1 hoặc 2 vào số của đối thủ của mình

vừa chọn.

- Giáo viên rút lui khỏi hiện trường. Tình huống này cung cấp thông tin phản

hồi cho học sinh và cho phép thấy tính hiệu quả của các giải pháp của họ.

Màn 3

- Tình huống này là một tình huống diễn đạt. Màn này có hai pha :

Pha a

Đại diện của nhóm lên bảng chơi với nhau. Học sinh còn lại không hành động

và không can thiệp vào việc thi đấu mà chỉ quan sát thu nhận thông tin từ cách

chơi của hai đại diện trên bảng.

Pha b

Học sinh tranh luận trong từng đội. Để thắng, học sinh không chỉ biết cần chơi

như thế nào mà còn phải chỉ cho đồng đội của mình nên chọn chiến lược nào.

Màn 4

10

Tình huống này là một tình huống hợp thức hóa, học sinh phải đưa ra những

phát biểu để người đối thoại với mình phán xét. Trong tình huống này có sự

tranh luận giữa học sinh với nhau.

Câu hỏi 7: “Hành trình đến 20” nhằm truyền thụ tri thức gì cho học sinh tiểu

học? Giải thích?

2.1. Tình huống hành động

Thầy giáo tổ chức một môi trường cho học sinh hành động rồi rút lui khỏi hiện

trường. Môi trường dành cho học sinh là môi trường: (a) có chứa một vấn đề mà học

sinh tiếp nhận một cách tự giác và có ước muốn giải quyết nó nhằm thỏa mãn tính tò

mò; (b) học sinh có những phương tiện để tìm ra được lời giải, hoặc bằng cách phát

minh ra một biện pháp mới hay chọn một trong các cách mà họ đã biết nhờ sự gợi ý

nào của thầy giáo. Trong tình huống này, kiến thức xuất hiện như một phương tiện cho

việc giải quyết vấn đề hay một lớp vấn đề.

Học sinh Môi trường

Hành động

Thông tin

Phản hồi

Hình 1.10: Mối liên hệ giữa học sinh và môi trường trong tình huống hành động

2.2. Tình huống diễn đạt

Môi trường dành cho học sinh được phát triển trên cơ sở các kinh nghiệm trước

đó hoặc từ họat động: Học sinh trao đổi và so sánh những điều quan sát được với nhau.

Họ có thể không có đủ ngôn ngữ để trình bày một cách rõ ràng những điều quan sát

được; vì thế, những cố gắng chính của học sinh là tìm ngôn từ để diễn tả hoặc thống

nhất với nhau những tính chất chung. Kiến thức trong tình huống này xuất hiện như

kết quả của một kinh nghiệm thuộc về cá nhân, điều cần phải được truyền đạt (được

phi cá nhân hóa và phi hòan cảnh hóa) để các học sinh khác hiểu.

Học sinh- người phát Học sinh-người nhận Các chiến lược diễn đạt

Phản hồi

Hình1.11: Vai trò của học sinh trong tình huống diễn đạt

11

2.3. Tình huống xác nhận

Thầy giáo đóng vai trò như một lí thuyết gia trong việc đánh giá sản phẩm của

các lí thuyết gia khác, trong trường hợp này là học sinh. Học sinh cố gắng giải thích

một hiện tượng nào đó, hay kiểm chứng một giả thuyết. Thầy giáo hành động như chủ

tọa một cuộc tranh luận khoa học: thầy giáo can thiệp chỉ để ổn định trật tự trong tranh

luận giữa học sinh với nhau, thu hút chú ý của học sinh vào những chỗ có bất đồng ý

kiến nếu có, và khuyến khích họ nên chính xác và có hệ thống hơn khi sử dụng các

khái niệm. Đối với học sinh, môi trường giống như một hội nghị khoa học hơn một

buổi nghe giảng bài. Kiến thức có tính chất sống động của một lý thuyết đang trong

quá trình được hình thành.

2.4. Tình huống thể chế hóa

Tình huống này đưa ra những giá trị đối với tri thức mà học sinh được học trong

lớp; nó luôn liên quan đến các khái niệm, kí hiệu và kiến thức. Thầy giáo sẽ cho biết tầm

quan trọng và thông báo cho học sinh về các thuật ngữ, định nghĩa, định lí mà đã được

công nhận chính thức trong chương trình môn học hay ở trong sách giáo khoa, và học

sinh có thể sử dụng kiến thức mới vừa nắm được để giải quyết các vấn đề về sau.

Làm sao có thể tạo ra một tình huống a-didactic?

1) Bản thân học sinh có thể tham gia được vào tình huống nhưng không biết

chắc được phương án nào tốt nhất để sử dụng, họ có thể đưa ra lời giải đáp sơ bộ (qui

trình cơ sở) nhưng không phải là điều mà thầy giáo muốn dạy.

2) Qui trình cơ sở này phải tỏ ra khiếm khuyết, vì thế học sinh phải tìm ra chiến

lược mới để chiến thắng hoặc để giải quyết được vấn đề mà làm thay đổi kiến thức của

mình. Điều này diễn ra trong một môi trường nơi mà học sinh có thể bác bỏ hay chấp

nhận một chiến lược nhờ vào sự phản hồi từ môi trường.

3. BIẾN DIDACTIC

Trong quá trình giảng dạy có những tình huống a – didactic, thầy giáo khi đặt

bài toán cho học sinh mong đợi học sinh giải bài toán đó, ít ra một phần, với tư cách là

những nhà toán học. Trong khuôn khổ đó, việc học là sự chỉnh lý kiến thức mà học

sinh tự sản sinh ra, còn người dạy phải gợi ra sự chỉnh lý đó bằng những lựa chọn các

biến của tình huống; các biến này được gọi là biến didactic. Sự lựa chọn giá trị của

biến didactic cũng rất quan trọng đối với việc làm xuất hiện một sai lầm mang bản chất

khoa học luận và cho phép vượt qua những sai lầm đó.

12

Câu hỏi 8: Hãy chỉ ra các biến didactic và các giá trị tương ứng của mỗi biến

trong cáci bài toán sau đây trong Hình học không gian?

1. Cho hai đường thẳng song song, một đường thẳng khác cắt đường thẳng này

thì cũng cắt đường thẳng kia. Đúng hay sai?

2. Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng duy nhất đi qua một điểm và

vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

3. Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì

chúng song song? Đúng hay sai”

4. Tồn tại một hình chóp đáy tứ giác có hai mặt đối diện vuông góc với mặt

đáy? Đúng hay sai?

4. TÌNH HUỐNG CƠ SỞ

Trong các tình huống a -didactic, học sinh phải giải một bài toán và xem đó là

trách nhiệm. Nhưng nảy ra vấn đề là làm sao để bảo đảm bài toán đặt ra thực sự thiết

yếu đối với kiến thức cần dạy?

Giả thuyết: “Với mỗi kiến thức (toán học) có một họ tình huống có khả năng

gán cho nó một nghĩa đúng so với lịch sử của khái niệm đó, so với bối cảnh xã hội, so

với cộng đồng khoa học”. Một tình huống cơ sở của một kiến thức là một sự mô hình

hóa của họ tình huống đó hay của những vấn đề đặc thù của tri thức cần đạt được.

Nó là cơ sở:

a) Đối với kiến thức: phải xây dựng tình huống cơ sở “sao cho kiến thức xuất

hiện ở dạng đã chọn, xem đó là lời giải hay phương tiện để thiết lập chiến lược tối ưu”.

Làm thế nào để tìm được họ tình huống như thế? Ta có thể dựa vào lịch sử khái

niệm và việc giảng dạy khái niệm, phân tích bản chất toán học của khái niệm được xét.

b) Đối với hoạt động giảng dạy: tình huống phải cho phép ta hình dung được

càng nhiều càng tốt các tình huống quan sát tại lớp, ngay cả những tình huống chưa

thật thỏa đáng, chừng nào mà chúng có thể giúp cho học sinh nắm được một dạng của

tri thức cần dạy…Ta thu được các tình huống này bằng việc chọn giá trị của một số

biến đặc trưng cho tình huống cơ sở.

Câu hỏi 9: Hãy tìm tình huống cơ sở của phép cộng các số tự nhiên.

Câu hỏi 10: Hãy xây dựng một tình huống a-didactic cho khái niệm cấp số

cộng; khái niệm phép đối xứng trục.

13

5. HỢP ĐỒNG DIDACTIC

Câu hỏi 11: Bài tập sau đây cho 97 học sinh tiểu học giải: “Trên thuyền có 20

con cừu và 10 con dê trên tàu. Hỏi thuyền trưởng bao nhiều tuổi?”. Kết quả là có 76

em trả lời là tuổi của thuyền trưởng là 30. Hãy bình luận về hiện tượng trên.

Khái niệm hợp đồng didactic được G. Brouseau đưa ra năm 1978 để lý giải một

trường hợp là có một học sinh Gaël học tập khá tốt các môn học khác, nhưng lại gặp

nhiều khó khăn khi học môn toán. Sau một quá trình cùng với gia sư của Gaël quan sát

hoạt động học tập của em này, ông phát hiện rằng Gaël chỉ biết được những điều mà

Gaël có thể lập lại được theo cách thức mà thầy đã làm mẫu trước đó. Đối với các bài

tập, cậu ta cố phát hiện ra những hành động mà theo cậu nghĩ là được thầy giáo mong

đợi cậu ấy thực hiện, cậu ta không chú tâm vào việc làm rõ ý nghĩa của kiến thức liên

quan các bài tập được đề ra cho cậu. Khi được hỏi: “Tại sao em cộng hai số này?”,

cậu ta luôn trả lời: “vì đây là điều thầy nói nên chúng em phải làm theo.”, “Đây là cách

mà em được dạy”, v.v… Gaël học kém môn toán không phải vì lí do chậm phát triển

tinh thần hoặc không thông minh mà lại do cái mà Brousseau gọi là “hợp đồng

didactic” làm cản trở việc học tập toán học của cậu ta. Để giúp cho Gaël không học

kém môn toán, Brousseau đã đưa ra cho Gaël những tình huống a-didactic mà có

những hợp đồng khác với giáo viên của cậu ta đã đưa ra trước đó. Nhờ vậy, cậu bé

không còn nói: “Làm y theo lời thầy giáo đã nói!” nữa.

Brousseau (1980) viết : “học sinh có khuynh hướng làm rõ bất kỳ thông tin hay

những điều còn hạn chế bằng cách sử dụng những điều mà thầy giáo, có thể cố ý hay

không cố ý, thể hiện trong hoạt động của ông ta. Chúng tôi cho rằng đây là thói quen

phổ biến nhất trong dạy học, và chúng tôi định nghĩa hợp đồng didactic như sự ứng xử

riêng biệt mà học sinh mong đợi ở thầy giáo và thầy giáo cũng mong đợi ở học sinh”.

Hợp đồng didactic đưa ra những qui tắc trong suốt quá trình học tập; thực sự là

nó gồm tòan bộ những mong đợi và ứng xử của học sinh và thầy giáo hướng về kiến

thức. Nó ngầm ẩn đưa ra những điều mà học sinh và thầy giáo phải làm, vai trò và

trách nhiệm của họ với nhau. Ví dụ, khi học sinh của một lớp học không giải được

một bài toán, các em có khuynh hướng cho rằng thầy giáo đã “phá vỡ hợp đồng” bởi

thầy đã cho bài toán quá khó. Thầy giáo nghĩa rằng học sinh đã phá vỡ hợp đồng bởi

vì các em không thực sự cố gắng để giải bài toán đó. Chúng ta có thể xét thêm một ví

dụ khác: khi học sinh giải một bài toán, các em ngầm hiểu rằng bài toán này không có

14

gì sai sót, nếu các em không giải được là do các em chưa thấu triệt hết mọi dữ kiện của

bài toán. Đây chính là đã có một hợp đồng didactic giữa thầy giáo và học sinh trong

việc “thầy ra đề toán - học sinh giải”.

Hợp đồng didactic có những đặc điểm sau đây:

1) Hợp đồng didactic chỉ nhắm vào kiến thức.

2) Có một hợp đồng didactic cho mọi loại kiến thức.

3) Để nắm kiến thức học sinh luôn luôn phải phá vỡ hợp đồng.

4) Hợp đồng didactic có tính ngầm định, và không bao giờ được giải thích đầy đủ.

5) Một hợp đồng hoàn toàn được dựa trên các qui tắc hành động của thầy giáo

và học sinh; quan hệ didactic sẽ không hoạt động như mong đợi nếu hợp đồng didactic

hoàn toàn rõ ràng.

Câu hỏi 12: Hãy cho biết ý kiến của bạn về sự ứng xử của hai học sinh trong

tình huống sau đây:

Thầy giáo cho học sinh một bài tập như sau: Hãy viết các số sau đây theo thứ

tự từ nhỏ đến lớn:

27, 32, 18, 9, 47, 45, 50.

Sau khi để học sinh giải bài toán trên, thầy giáo viết lời giải lên bảng.

Thầy giáo quay lại lớp hỏi: “Tại sao ta viết số 9 và số tiếp theo phải là số

18?”.

Học sinh A trả lời: “Tại vì thầy chỉ cho có bấy nhiêu số nên phải viết như thế”.

Thầy giáo trả lời học sinh với giọng tức giận: “Đó không phải điều mà tôi yêu

cầu em trả lời.

Học sinh B trả lời: “Bởi vì số 9 nhỏ hơn số 18”.

Thầy giáo: “Đúng, giỏi lắm”.

Câu hỏi 13: Khi giáo viên học sinh giải một bài tập mà bài tập này bị sai, hãy

dự đoán xem các em học sinh sẽ giải quyết bài tập này như thế nào.

Câu hỏi 14: Khi học sinh trình bày lời giải một bài toán hình học mà không có

hình vẽ thì bị thầy giáo cho điểm 0. Hãy bình luận về sự kiện này.

6. CHƯỚNG NGẠI (VỀ NHẬN THỨC)

6.1. Chướng ngại. Theo S. Papert: “Kiến thức mới thường có mâu thuẫn với kiến

thức cũ, và việc học tập hiệu quả đòi hỏi những chiến lược để giải quyết những mâu thuẫn

như vậy. Đôi khi một số mảng kiến thức có thể điều hoà được, đôi khi cái này hay cái kia

15

bị loại bỏ, và đôi khi cả hai được giữ lại nếu có thể duy trì chúng trong những phần riêng

biệt nhau”. Kiến thức cũ thường đặt ra những chướng ngại cho việc học tập kiến thức

mới. Ngoài ra, chướng ngại cũng có thể do nhiều nguyên nhân khác nhau như sau đây.

Khái niệm chướng ngại về nhận thức được Gaston Bachelard đưa ra vào năm

1938. Khái niệm này được chú ý nhằm để nghiên cứu giúp nhận ra những khó khăn

mà học sinh có thể gặp phải. G. Bachelard đã giới thiệu khái niệm “chướng ngại khoa

học luận” như sau: “Chúng ta phải nêu vấn đề về tri thức khoa học liên quan đến các

chướng ngại... nó nằm ngay bên trong bản thân hành động thu nhận kiến thức, nó xuất

hiện như kết quả tất yếu không thể tránh khỏi, làm chậm tốc độ học tập và gây ra

những khó khăn về nhận thức. Ở đây, nó chính là những nguyên nhân gây ra sự đình

trệ và ngay cả sự giật lùi, điều mà ta có thể hiểu là những lí do cho tính ì, điều đó được

chúng tôi gọi là chướng ngại khoa học luận”.

Trên cơ sở quan niệm về chướng ngại của Bachelard, Bernard Cornu (1991) đã

phân ra thành bốn loại chướng ngại như sau:

- Chướng ngại khoa học luận (epistemological obstacles) xuất hiện bởi bản chất

của chính các khái niệm toán học. Theo G. Bachelard, chướng ngại khoa học luận xảy

ra cả trong lịch sử phát triển của tư tưởng khoa học mà còn trong cả thực tiễn giáo dục.

Theo ông, các chướng ngại khoa học luận có hai tính chất chủ yếu:

* Chướng ngại khoa học luận là không thể tránh khỏi và là những thành phần

chủ yếu của kiến thức được lĩnh hội.

* Chướng ngại khoa học luận có thể được tìm thấy, ít nhất một phần, trong lịch

sử phát triển của khái niệm.

- Chướng ngại sư phạm (didactical obstacles) xuất hiện do bản chất của việc

dạy học của thầy giáo.

- Chướng ngại tâm và sinh lí (genetic and psychological obstacles) xảy ra như

là kết quả của sự phát triển cá thể của học sinh.

- Chướng ngại văn hóa. Loại chướng ngại này được lưu hành trong cuộc sống

văn hóa.

Câu hỏi 15: Dựa vào sự phân loại chướng ngại trên đây, hãy nêu ra các cách

giúp phát hiện chướng ngại nhận thức của học sinh trong học tập.

6.2. Các cách xác định chướng ngại. Để xác định chướng ngại, ta có các cách sau đây:

16

- Thứ nhất, nghiên cứu lịch sử phát triển của khái niệm để phát hiện chướng ngại mà

các nhà toán học đã gặp phải trong quá trình phát triển khái niệm đó, chướng ngại này thường

trở thành chướng ngại khoa học luận cho học sinh khi học tập khái niệm đó.

- Thứ hai, nghiên cứu những sai lầm có cùng bản chất của đa số học sinh xung

quanh khái niệm nào đó có thể giúp phát hiện các loại chướng ngại.

Ngoài hai cách trên, theo chúng tôi, ta có thể phát hiện chướng ngại bằng các cách

khác như sau:

- Thứ ba, nghiên cứu cấu tạo chương trình toán trong nhà trường phổ thông có

thể giúp giáo viên phát hiện những chướng ngại khoa học luận vì vốn hiểu biết của học

sinh có thể gây trở ngại cho học tập cái mới. Ví dụ, nghiên cứu nội dung chương trình

hình học phẳng có thể giúp ta phát hiện những chướng ngại của học sinh khi học hình

học không gian (do vốn kinh nghiệm về hình học phẳng của các em gây ra).

- Thứ tư, để phát hiện chướng ngại sư phạm trong học tập một khái niệm của học

sinh ta có thể tiến hành dạy khái niệm đó theo những cách khác nhau. Thông qua việc so

sánh và đánh giá kết quả học tập của học sinh giữa các cách dạy khác nhau giúp ta phát hiện

ra những chướng ngại sư phạm do cách dạy học này hay cách dạy học khác gây ra. Nhờ đó,

khi dạy học ở từng lớp cụ thể, giáo viên có thể xác định nên dạy theo cách này hay cách

khác và có những biện pháp hạn chế những khó khăn tương ứng để giúp học sinh lĩnh hội

tri thức một cách tốt hơn. Trong thực tiễn, giáo viên thường có khuynh hướng chủ quan về

hiệu quả cách dạy học nào đó cho các tri thức cụ thể; họ thường không có khâu phân tích

ban đầu (phân tích tiên nghiệm) để dự đoán những diễn biến có thể xảy ra trong dạy học, và

họ cũng không có kiểm tra và phân tích tiếp thu của học sinh (phân tích hậu nghiệm) để

xác định tính hiệu quả của cách dạy học mà mình đã tiến hành.

- Thứ năm, đặc điểm ngôn ngữ và văn hoá mà có thể gây chướng ngại cho nhận

thức. Ví dụ, thuật ngữ “dần tới” có thể gây chướng ngại cho nhận thức khái niệm giới

hạn. Trong thực tiễn, chúng tôi cũng đã từng gặp học sinh lưu ý học sinh rằng khi hàm

số f(x) có giới hạn là L khi x dần tới a thì f(x) chỉ dần tới L chứ không bao giờ bằng L”.

- Thứ sáu, xác định các dạng trí tuệ mà từng học sinh bị hạn chế. Thông qua quá

trình dạy học hoặc bằng khảo sát, giáo viên cần biết được mỗi học sinh có thế mạnh về

dạng trí tuệ nào và yếu về dạng trí tuệ nào. Chẳng hạn, với học sinh yếu về trí tuệ ngôn

ngữ thì các em sẽ có khó khăn về nhận thức khi học sinh chỉ trình bày bài học bằng lời.

17

6.3. Ví dụ về chướng ngại nhận thức: những chướng ngại trong học tập

khái niệm giới hạn của dãy số

6.3.1. Các loại chướng ngại

Các chướng ngại khoa học luận

Khái niệm giới hạn của dãy số được định nghĩa như sau: “Dãy (un) có giới hạn

là a khi với mọi ε dương (nhỏ bao nhiêu cũng được), tồn tại số nguyên N dương sao cho:

nu a− <ε , ”. Theo Cornu,n N∀ > có bốn chướng ngại khoa học luận trong lịch sử của

khái niệm giới hạn.

Thứ nhất, không tạo được mối liên kết giữa hình học với các số. Các nhà toán học

cổ Hy lạp đã phát triển những công cụ tương tự như khái niệm giới hạn. Chẳng hạn như

phương pháp “vét cạn” (the method of exhaustion) của Eudoxus (408-225 BC) có thể phát

biểu dưới ngôn ngữ ε như sau: với bất kỳ ε > 0 tồn tại một đa giác đều nội tiếp trong một

đường tròn mà hiệu số diện tích của đường tròn đó và đa giác nhỏ hơn ε. Do ý nghĩa hình

học và sự thành công của nó trong giải quyết một số bài toán thích hợp đã tạo một chướng

ngại ngăn cản cho việc đi đến khái niệm giới hạn số.

Thứ hai, khái niệm vô cùng lớn và vô cùng bé. Trong lịch sử của khái niệm giới

hạn có một giả định (supposition) về sự tồn tại những đại lượng vô cùng bé. Tuy

nhiên, các nhà toán học có những quan điểm rất khác nhau về giả định này. Euler sử

dụng rất tự do khái niệm vô cùng bé mà khi thích hợp có thể xem là bằng không.

Ngoài ra, có những tư tưởng “trung gian”: số ε là số không bằng không nhưng nhỏ hơn

bất kỳ số dương nào khác, hay tồn tại một số tự nhiên lớn hơn bất kỳ số khác, nhưng

không bằng vô cực.

Thứ ba, khía cạnh trừu tượng (metaphysical aspect) của khái niệm giới hạn.

Người ta dễ có cảm tưởng rằng nó không thực sự toán học. Học sinh rất khó nắm được

khái niệm vô cực, nhất là giới hạn không thể tính trực tiếp bằng cách dùng các phương

pháp đại số và số học quen thuộc. Trong thực tế, nhiều sinh viên ngành sư phạm toán

thắc mắc rằng tại sao không thể viết:

lim1n

nlim...1n

2lim1n

1lim1n

n...3212222 +

+++

++

=+

++++

vì tổng 1n

n...1n

21n

1222 +

+++

++

là một tổng hữu hạn.

18

Cuối cùng, giới hạn có đạt được hay không? Đây là vấn đề được tranh cãi trong

suốt chiều dài lịch sử khái niệm. Nhiều nhà toán học cho rằng giới hạn không bao giờ đạt

được giống như đa giác đều nội tiếp trong đường tròn không bao giờ bằng đường tròn.

Chướng ngại văn hóa

Những chướng ngại liên quan đến ngôn ngữ: cụm từ “giới hạn”, “dần về”, “bé tuỳ

ý” có ý nghĩa thông thường không tương hợp với khái niệm giới hạn của dãy ở cấp độ

hình thức (formal concept). Vì thế, nó làm nhiều học sinh hiểu sai khái niệm giới hạn.

Chướng ngại sư phạm

- Giáo viên và sách giáo khoa về Giải tích cả trong nhà trường phổ thông và đại

học thường thiếu quan tâm đúng mức trong việc xây dựng ý nghĩa cho khái niệm giới

hạn của dãy số. Các bài tập nhằm hỗ trợ cho học sinh hiểu thấu đáo khái niệm này là ít

được các tác giả chú ý. Giáo viên thường không có biện pháp sư phạm thích hợp cho

việc dạy học khái niệm này. Có nhiều giáo viên có khuynh hướng không dừng lâu để

làm rõ bản chất khái niệm mà chuyển nhanh sang các định lý về các phép toán về giới

hạn nhằm làm cho học sinh thấy “dễ chịu” hơn khi học môn Giải tích.

- Cách trình bày “mơ hồ” của các sách giáo khoa và sách tham khảo liên quan

đến khái niệm giới hạn của dãy. Nhiều tác giả trình bày lời giải các bài toán về giới

hạn của dãy còn nhiều điều không rõ ràng. Chẳng hạn như các ví dụ sau đây:

Ví dụ 1: Chứng minh 11n

nlimn

=+∞→

.

“Ta có 1n

111n

n1xn +=−

+=− . Do đó

11n1n

11xn −ε

>⇔ε<+

⇔ε<− .

Nếu chọn n0 = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −ε

11 (phần nguyên), thì 0nn >∀ ta có ε<−1xn ”.

Bình luận: số ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −ε

11 có thể âm, nhưng theo định nghĩa về giới hạn của tác giả

này thì n0∈N.

Ví dụ 2: Chứng minh 01n

2lim 2 =+

.

19

“Cho trước 0>ε , ta có: 12n01n

2 22 −

ε>⇔ε<−

+. Chọn n0∈ N* sao cho

n0 > 12−

εthì 02 nn

1n2

>∀ε<+

, theo định nghĩa 01n

2lim 2 =+

.”

Bình luận: 12−

ε có thể âm; do đó, số 12

−ε

có thể vô nghĩa.

c. Ví dụ 3: Chứng minh rằng: 21n

n2lim 2

2

n=

+∞→.

“Ta có: 1n

221n

n22a 22

2

n +=−

+=− .

Nếu, với mọi 0>ε , ta có:

12n12n21n1n

22a 222n −

ε>⇔−

ε>⇔

ε>+⇔ε<

+⇔ε<− ...”.

Bình luận: 12n12n2 −ε

>⇔−ε

> sai vì 12−

ε có thể âm.

- Nhầm lẫn tính trực quan của cụm từ “nhỏ bao nhiêu tuỳ ý”. Theo một số tác

giả sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 (Sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000), cụm từ

“nhỏ bao nhiêu tuỳ ý” theo sau cụm từ “với mọi số dương ε cho trước” trong định

nghĩa giới hạn của dãy số làm tăng tính trực quan của định nghĩa. Chúng tôi không

đồng tán thành quan điểm trên vì khi chúng tôi khảo sát 71 sinh viên ngành sư phạm

Toán – tin khóa 27 (năm thứ ba đại học) ở trường Đại học Cần Thơ bằng câu hỏi: Cụm

từ «nhỏ bao nhiêu tuỳ ý » trong định nghĩa giới hạn của dãy số có bỏ đi được không?

Kết quả như sau:

Không bỏ

được

Bỏ được Không có ý kiến

49

(69%)

21

(29,57%)

1

(1,4%)

Như vậy, đa số sinh viên hiểu sai rằng cụm từ “nhỏ bao nhiêu tuỳ ý” là một điều

kiện cần của khái niệm giới hạn.

6.3.2. Một số biện pháp sư phạm nhằm nâng cao hiệu quả dạy học khái

niệm giới hạn của dãy số

20

a. Quan tâm đúng mức việc phân tích định nghĩa khái niệm

Khái niệm giới hạn của dãy số theo ngôn ngữ “ε ” thường được các sách Giải

tích định nghĩa như sau: Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là a nếu với mọi số dương

ε cho trước (nhỏ bao nhiêu tuỳ ý), tồn tại số tự nhiên N sao cho ⏐un-a⏐< ε, n N∀ > .

Định nghĩa như trên là định nghĩa ở cấp độ hình thức (formal). Do đó, để hiểu nó ta

cần phân tích định nghĩa dưới nhiều góc độ khác nhau để tìm ra các thuộc tính bản

chất của khái niệm.

Phân tích về mặt lượng: dãy (un) có giới hạn là a khi bất kỳ khoảng (a-ε, a+ε)

(dù số dương ε nhỏ bao nhiêu đi nữa):

- hoặc không có số hạng nào của dãy nằm ngoài khoảng;

- hoặc chỉ có một số hữu hạn số hạng của dãy nằm ngoài khoảng.

Hay nói một cách khác, khoảng (a-ε, a+ε) (dù khoảng này nhỏ bao nhiêu đi nữa) hoặc chứa tất cả các số hạng của dãy; hoặc chứa tất cả các số hạng un với n > N (N là một số tự nhiên nào đó).

Từ việc phân tích trên ta có thể giản lược định nghĩa như sau: trong định nghĩa trên cụm từ “nhỏ bao nhiêu tuỳ ý” có thể lược bỏ. Hoặc ta có thể phát biểu cách khác: Dãy (un) có giới hạn là a khi và chỉ khi bất kỳ một khoảng nào chứa a thì nó chứa hầu hết các số hạng (có thể trừ ra một số hữu hạn số hạn đầu) của dãy.

Phân tích về mặt hình học: Dãy (u n) có giới hạn là a khi và chỉ khi với ε là số dương (dù nhỏ bao nhiêu đi nữa) thì:

- hoặc tất cả các số hạng của dãy đều có khoảng cách d(un, a) < ε;

- hoặc có tất cả các số hạng un với n > N có khoảng cách d(un, a)< ε (N là một số tự nhiên nào đó).

Về mặt đồ thị: Trong hệ trục toạ độ Descartes Oxy, dãy (u n ) có giới hạn là a khi

và chỉ khi với bất kỳ số dương ε, các điểm có toạ độ là (n ; u(n)) với n > N (N là một số tự

nhiên nào đó) đều nằm trong khoảng giữa của hai đường thằng y= a-ε và y=a+ε .

b. Cần đưa ra hệ thống bài tập thích hợp nhằm chuẩn bị và củng cố khái niệm và giúp học sinh có nhận thức đúng về khái niệm giới hạn

Qua thực tế dạy học, chúng tôi cho rằng đưa ra một hệ thống bài tập thích hợp là yếu tố quan trọng nhất cho việc dạy học hiệu quả khái niệm này. Thông qua hệ thống bài tập, ta có thể giứp học sinh có một bức tranh đúng đắn về khái niệm này (concept image).

21

Bài tập chuẩn bị Ngay khi dạy các chủ đề liên quan đến dãy số, giáo viên có thể các bài tập như:

Bài 1: Tìm các số hạng của dãy (n1

) sao cho khoảng cách giữa chúng đến đến cho 0 nhỏ

hơn 1000

1.

Bài 2: Tìm các số hạng của dãy (1n

n+

) sao cho khoảng cách giữa chúng đến số

1

a) nhỏ hơn 100

1; b) nhỏ hơn 1.

Các bài tập như thế sẽ giúp học sinh có dịp làm quen đần với kiểu phát biểu trong định nghĩa giới hạn của dãy số mà các em sẽ học sau này.

Bài tập củng cố Nhờ phân tích khái niệm giới hạn của dãy số như trên, học sinh có thể ra các bài

tập gồm các dạng như sau trong dạy học ở bậc đại học (và ở cả ở bậc phổ thông) để giúp sinh viên hay học sinh hiểu rõ hơn khái niệm giới hạn của dãy số.

Bài 1.Cho dãy (un) có số hạng tổng quát:

0 nếu n là số lẻ un= 1 nếu n là số chẵn.

Dãy trên có lim un=0 đúng hay sai? Tại sao? Bài 2. Cho dãy (un) có số hạng tổng quát:

1 nếu n > 1975 un= 0 nếu n ≤ 1975.

a) Dãy trên có lim un=0 là đúng hay sai? Tại sao?; b) Dãy trên có lim un=1 là đúng hay sai ? Tại sao?

Bài 3. Cho dãy (un) với un= 1n1n

+−

.

a) Dùng định nghĩa giới hạn của dãy số, chứng minh: lim 11n1n=

+−

.

22

b) Hãy chọn số tự nhiên N sao cho với mọi n > N thì khoảng cách giữa số hạng un và 1

nhỏ hơn 100

1.

Bài 4. Dãy số (n1

) có tính chất: với bất kỳ ε > 0 khoảng (-ε, ε) hoặc chứa tất cả

các số hạng của dãy hoặc có chỉ một số hữu hạn số hạng đầu của dãy không thuộc khoảng là đúng hay sai? Tại sao?

Bài 5. a) Tính lim3n2n4

1nn42

2

−++−

.

b) Suy ra rằng số hạng của dãy (3n2n4

1nn42

2

−++−

) không thuộc khoảng

)10001001,

1000999( nếu có thì chỉ là hữu hạn số hạng.

Bài 6.Cho dãy số (un) với un= 2n21n3

++

. Khoảng nào trong các khoảng sau đây

chứa hầu hết số hạng của dãy (có thể trừ ra một số hữu hạn số hạng).

a. (100

1,100

1−), b. ( 9 11,

10 10) , c. (

47,

45

), d. (0, 1).

c. Cần chú ý rằng việc giúp học sinh nắm được bản chất của một khái niệm giới hạn phải là một quá trình: Ôn tập các kiến thức liên quan - Tổ chức cho học sinh hành động trên đối tượng chứa đựng khái niệm đó - Tổ chức hoạt động trừu tượng hoá nhằm rút ra các thuộc tính bản chất của khái niệm - Tổ chức hoạt động khái quát hoá để đi đến định nghĩa khái niệm- Hoạt động phân tích để tìm những ý nghĩa khác nhau của khái niệm - Hoạt động củng cố và luyện tập vận dụng khái niệm.

Tóm lại, việc dạy học hiệu quả các môn học trong nhà trường phổ thông cần thiết phải gắn liền với việc phát hiện ra các chướng ngại về nhận thức của học sinh. Nhờ đó, học sinh có thể đưa ra những cách dạy học thích hợp nhằm giảm bớt khó khăn của học sinh trong học tập.

23

CHƯƠNG 2

DẠY HỌC KHÁM PHÁ Yêu cầu đối với sinh viên

- Nắm được đặc điểm, ưu và nhược điểm của dạy học khám phá.

- Biết tổ chức dạy học khám phá khái niệm toán học theo những mô hình khác nhau.

- Biết tiến hành dạy học định lý toán học với giả thuyết khoa học.

Từ khóa: Dạy học khám phá (learning by discovery), học tập tích cực (active learning), dạy

học khái niệm với các mô hình qui nạp, dạy học định lý với giả thuyết khoa học, dạy học

khám phá với mối quan hệ giữa cái riêng và cái chung, dạy học khám phá với phép tương tự.

1. DẠY HỌC KHÁM PHÁ – MỘT PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC

1.1. Thế nào là dạy học khám phá?

Việc học tập khám phá xảy ra khi các cá nhân phải sử dụng quá trình tư duy để

phát hiện ra điều gì đó có ý nghĩa cho bản thân họ. Nội dung dạy học cần được ẩn dấu,

công việc của học sinh là tự khám phá (phát hiện ra ý nghĩa) điều cần được học. Để có

điều này, học sinh phải kết hợp quan sát và rút ra kết luận, thực hiện làm rõ ý nghĩa số

liệu tạo ra một sự hiểu biết mới mà họ chưa từng biết đó. Công việc của giáo viên là

sắp đặt một môi trường học tập hoặc những điều kiện nhằm cung cấp tình huống, nhờ

đó mà học sinh sử dụng những quá trình tư duy để phát hiện ra ý nghĩa của một sự việc

nào đó cho bản thân họ. Môi trường học tập được tạo ra trong đó học sinh là những

người tham gia tích cực trong quá trình học.

Dạy học khám phá còn có thể định nghĩa ngắn gọn như sau:

1) Dạy học khám phá là một phương pháp dạy học khuyến khích học sinh đưa

ra câu hỏi và tự tìm ra câu trả lời, hay rút ra những nguyên tắc từ những ví dụ hay kinh

nghiệm thực tiễn.

2) Dạy học khám phá có thể định nghĩa như một tình huống học tập trong đó

nội dung chính cần được học không được giới thiệu trước mà phải tự khám phá bởi

học sinh, làm cho học sinh là người tham gia tích cực vào quá trình học.

24

Một số nhà nghiên cứu cho rằng dạy học khám phá quan hệ mật thiết với cách

giải quyết vấn đề: người học phải biết nhận ra vấn đề, tìm kiếm thông tin liên quan,

phát triển chiến lược giải, thực hiện chiến lược giải.

Theo một số nhà nghiên cứu, trong dạy học khám phá người học cần có một số

kỹ năng nhận thức như: quan sát, phân loại, phân tích, tiên đoán, mô tả, khái quát

hóa, luận ra (infer), hình thành giả thuyết (hypothesis generation), thiết kế thí nghiệm,

phân tích dữ liệu,….

1.2. Đặc điểm của dạy học khám phá

Theo Bicknell – Holmes and Hoffman (2000), dạy học khám phá có ba đặc

điểm sau đây:

1. Khảo sát và giải quyết vấn đề để hình thành, khái quát hóa kiến thức.

Đặc điểm thứ nhất này là rất quan trọng. Thông qua việc khảo sát và giải quyết

vấn đề, học sinh có vai trò tích cực trong việc tạo ra kiến thức. Thay cho việc chỉ lắng

nghe bài giảng, học sinh có cơ hội vận dụng các kỹ năng khác nhau trong các hoạt

động. Học sinh chính là người làm chủ việc học tập chứ không phải là thầy giáo.

2. Học sinh được thu hút vào hoạt động, hoạt động dựa trên sự hứng thú và ở

đó học sinh có thể xác định được trình tự và thời gian.

Đặc điểm thứ hai này khuyến khích học sinh học tập theo nhịp độ riêng của

mình. Học tập không phải là một tiến trình cứng nhắc không thay đổi được. Đặc điểm

này giúp học sinh có động cơ và làm chủ việc học của mình.

3. Hoạt động khuyến khích việc liên kết kiến thức mới vào vốn kiến thức của

người học.

Đặc điểm thứ ba này là dựa trên nguyên tắc là sử dụng kiến thức mà học sinh đã

biết làm cơ sở cho việc xây dựng kiến thức mới. Trong dạy học khám phá, học sinh

luôn luôn đặt trong những tình huống sao cho từ kiến thức vốn có của mình các em có

thể mở rộng hay phát hiện ra những ý tưởng mới.

Từ ba đặc điểm trên, dạy học khám phá có 5 điểm khác biệt với phương pháp

dạy học truyền thống là: 1) Người học tích cực chứ không thụ động; 2) Việc học tập có

tính quá trình chứ không là nội dung; 3) Thất bại là quan trọng; 4) Phản hồi là cần

thiết; và 5) Sự hiểu biết sâu hơn.

Theo M. D. Sviniki (1998), dạy học khám phá có ba đặc điểm chính sau đây: 1)

Học tập tích cực; 2) Học tập có ý nghĩa; 3) Thay đổi niềm tin và thái độ.

25

1. Học tập tích cực

Người học tập là người tham gia tích cực trong quá trình học tập chứ không

phải là một chiếc thuyền rỗng chứa những lời giảng của thầy giáo.

- Khi học sinh là người tham gia tích cực, học sinh sẽ tập trung chú ý cao hơn

trong quá trình học tập của mình. Việc học tập sẽ không xảy ra nếu học sinh lơ là với

việc học tập.

- Các hoạt động nhằm tập trung chú ý của học sinh vào những tư tưởng then

chốt mà các em được xem xét. Các hoạt động luôn được thiết kế để làm rõ một khái

niệm hay qui trình chứ không phải chỉ vì để hoạt động tích cực. Giai đoạn đầu tiên của

quá trình học tập là phát hiện ra cái cần được học và học sinh được thu hút vào những

hoạt động đó.

- Tham gia tích cực nhằm để kiến tạo nên những lời giải, nhờ vậy mà học sinh

sẽ có cơ hội thực hiện các quá trình xử lý thông tin một cách sâu sắc hơn. Khi học tập

khám phá học sinh phái dựa vào kiến thức trước đó để đáp ứng những yêu cầu của các

hoạt động. Vì vậy, các em phải trải qua quá trình xử lý tài liệu. Nhờ vào quá trình xử

lý này mà các em dễ huy động lại về sau khi cần vì nó đã có sự gắn kết với các kiến

thức đã học của các em.

- Học tập khám phá giúp học sinh có cơ hội nhận được phản hồi sớm về sự

hiểu biết của mình. Trong cách dạy truyền thống, giáo viên thường dạy học theo tốc độ

của mình, thường ít quan tâm xem học sinh có nắm được các thông tin mà thầy giáo

truyền đạt được hay không. Trong dạy học khám phá, việc hỗng kiến thức của học sinh

không thể bị bỏ qua; việc phản hồi của giáo viên xảy ra ngay trong bản thân nhiệm vụ

học tập: học sinh thành công hay thất bại. Giáo viên chính là nguồn phản hồi khi giáo

viên xem xét sự tiến triển của học sinh trong quá trình thực hiện nhiệm vụ học tập của

học sinh. Giáo viên phải đối mặt với những thực trạng về sự hiểu biết của học sinh và

bắt buộc giáo viên phải có những ứng xử kịp thời.

- Học trong môi trường tích cực làm cho học sinh có sự “ghi nhớ có tình tiết”;

tức là việc ghi nhớ này gắn liền với một sự kiện. Nhờ thế mà học sinh có thể tái tạo lại

kiến thức nếu họ quên.

- Dạy hoc khám phá gợi được động cơ học tập cho học sinh. Hầu hết các quá

trình trong dạy học khám phá là khêu gợi được tính tò mò của học sinh. Khía cạnh tò

26

mò và quá trình tìm kiếm những điều còn ẩn dấu nhằm thỏa mãn tính tò mò cả hai đều

là những dạng của động cơ.

2. Học tập có ý nghĩa

Một chìa khóa thành công thứ hai của dạy học khám phá đó là việc học có ý

nghĩa.

- Dạy học khám phá có nhiều ý nghĩa vì nó tận dụng sự liên tưởng của bản thân

học sinh như là cơ sở của sự hiểu biết. Trong học tập khám phá, học sinh phải sử dụng

ngôn ngữ riêng của mình để diễn tả những điều mình phát hiện. Có cơ hội liên kết kiến

thức mới với hệ thống kiến thức vốn có của mình; điều này giúp học sinh có thể huy

động lại chúng khi cần.

- Dạy học khám phá buộc học sinh phải đương đầu với những ý tưởng hiện có

của mình về chủ đề, nhiều trong chúng có thể là những sự hiểu sai lệch, và làm cho nó

tương thích với điều mà các em quan sát Trong giáo dục khoa học, một trong những

vấn đề khó khăn nhất là vấn đề hiểu sai của học sinh. Trong dạy học khám phá, học

sinh có cơ hội để điều chỉnh lại nhận thức sai của mình nhờ vào môi trường học tập.

- Dạy học khám phá có tính cụ thể và do đó dễ cho người bắt đầu học trong lĩnh

vực nào đó. Hầu hết các nhiệm vụ khám phá được dựa trên các bài toán thực hoặc tình

huống thực. Vì vậy, dạy học khám phá giúp học sinh dễ dàng hiểu được kiến thức.

- Dạy học khám phá làm cho thông tin rõ ràng hơn. Trong dạy học khám phá,

các kiến thức thường được trình bày trong một bối cảnh gắn liền với việc sử dụng nó,

người học dễ nhận ra cách sử dụng nó và thấy được giá trị của kiến thức đối với bản

thân mình.

- Dạy học khám phá khuyến khích người học tự nêu câu hỏi và tự giải quyết các

bài toán; nhờ đó, học sinh sẽ tự tin hơn khi gặp các vấn đề cần giải quyết.

3. Thay đổi niềm tin và thái độ

- Dạy học khám phá cho học sinh niềm tin rằng sự hiểu biết có được là do chính

các em kiến tạo lấy chứ không phải nhận từ thầy giáo.

- Dạy học khám phá cho học sinh thấy rằng khoa học là một quá trình chứ

không phải là tập hợp các dữ kiện. Dạy học khám phá được thiết kế nhằm cho phép

học sinh hành động như một nhà khoa học. Học sinh có dịp trải qua quá trình quan sát,

thử - sai, hình thành giả thuyết, kiểm chứng giả thuyết…

27

- Dạy học khám phá đặt nhiều trách nhiệm về học tập hơn cho người học. Trong

quá trình học tập khám phá, học sinh thường phải vận dụng các quá trình tư duy để

giải quyết vấn đề và phát hiện ra các điều cần học; vì vậy, các em phải có nhiều trách

nhiệm hơn cho sự học tập của mình.

1.3. Cơ sở lý thuyết của dạy học khám phá

J. Dewey, J. Piaget, L. Vygotsky, J. Bruner đã phát triển các lý thuyết làm cơ sở

cho dạy học khám phá. Theo các tác giả trên, dạy học phải có tính tích cực, có tính quá

trình và hợp tác.

J. Dewey

Dewey mô tả việc học tập như hành động trong đó kiến thức và tư tưởng xuất

hiện khi người học tương tác với nhau trong một cộng đồng và xây dựng kiến thức

bằng cách áp dụng các kiến thức có nghĩa và quan trọng mà họ đã biết. Dewey cho

rằng học sinh phải là người tham gia tích cực vào việc học chứ không nên là người

nhận việc học một cách thụ động.

J. Piaget

Piaget cho rằng hiểu biết thật sự phải đến từ khám phá. Ông là người chỉ ra rằng

học sinh không là những “chiếc thuyền rỗng” rồi được làm đầy bởi kiến thức mà phải

là những nhà kiến tạo kiến thức.

L. Vygotsky

Vygotsky nhấn mạnh sự ảnh hưởng của văn hóa và xã hội đến sự phát triển

nhận thức, đặc biệt là sự tương tác giữa trẻ em với người khác trong sự phát triển nhận

thức. Ông là người đưa ra khái niệm “vùng phát triển gần nhất”.

J. Bruner

Bruner cho rằng việc học tập phải là một quá trình tích cực trong đó học sinh

kiến tạo ý tưởng mới hay khái niệm mới trên cơ sở vốn kiến thức của họ. Ông đề nghị

rằng việc dạy học phải làm sao khuyến khích người học khám phá ra các dữ kiện và

các mối liên hệ cho chính họ. Bruner được xem là người đầu tiên đưa ra phương pháp

dạy học khám phá.

Trong học tập toán học, H. Freuthenthal (1991) cũng phát tin rằng: “Toán học

học được nhờ khám phá (re-invention) sẽ được hiểu tốt hơn và ghi nhớ dễ dàng hơn

học được bằng cách ít tích cực hơn”.

28

1.4. Các kiểu dạy học khám phá

Kiểu 1 Kiểu 2 Kiểu 3

Nguồn câu hỏi hay vấn đề

Thầy giáo Thầy giáo Học sinh

Nguồn câu trả lời cho

câu hỏi hay vấn đề

Thầy giáo

Học sinh

Học sinh

Bảng 2.1. Các kiểu dạy học khám phá

Câu hỏi cần được trả lời hay vấn đề cần được giải quyết có thể được đặt ra từ

giáo viên hay là học sinh.

Tương tự, phương pháp để trả lời câu hỏi bởi sự khảo sát có thể được đề nghị

từ giáo viên hay học sinh.

Tuỳ theo mức độ hướng dẫn của giáo viên mà dạy học khám phá chia làm ba

kiểu khác nhau (Bảng 2.1):

- Kiểu 1: được gọi là kiểu dạy học khám phá có hướng dẫn (Guided discovery

learning).

- Kiểu 2: được gọi là kiểu dạy học khám phá hỗ trợ (Modified discovery

learning)

- Kiểu 3: được gọi là kiểu dạy học khám phá tự do (Free discovery learning).

Người ta có thể tiến hành dạy học khám phá thông qua các mô hình dạy học sau

đây:

- Dạy học hợp tác;

- Dạy học nêu vấn đề;

- Dạy học dựa theo tình huống (Problem - based Learning);

- Dạy học dựa trên mô phỏng (Simulation – based learning);

- Dạy học dựa vào câu hỏi tìm tòi (inquiry – based learning).

….

1.5. Ưu và khuyết điểm của dạy học khám phá

Ưu điểm

Phương pháp dạy học khám phá nếu sử dụng đúng có hiệu quả thì sẽ đạt được

những thuận lợi sau:

29

- Thúc đẩy việc phát triển tư duy, vì trong quá trình khám phá đòi hỏi người học

phải đánh giá, phải có sự suy xét, phân tích tổng hợp; một cá nhân chỉ có thể học và

phát triển trí óc của mình bằng việc dùng nó.

- Phát triển động lực bên trong hơn là tác động bên ngoài, vì khi đạt được một kết

quả nào đó trong quá trình học tập, người học sẽ cảm thấy thoả mãn với những gì mình

đã làm và sẽ có ham muốn hướng tới những công việc khó hơn, đó chính là động lực

bên trong.

- Người học học được cách khám phá và phát triển trí nhớ của bản thân. Cách

duy nhất mà một người học học được các kỹ thuật khám phá đó là họ phải có cơ hội để

khám phá. Thông qua khám phá người học dần dần sẽ học được cách tổ chức và thực

hiện các nghiên cứu của mình.

- Phát triển trí nhớ của người học, bởi trong khám phá, người học phải tự tìm

hiểu, tức phải tự huy động kinh nghiệm của bản thân và vốn kiến thức đã có để nắm

bắt vấn đề đang học. Kết quả là các em sẽ hiểu được vấn đề, mối liên quan giữa vấn đề

mới với các kiến thức có trước và do đó sẽ nhớ bài lâu hơn, thậm chí có thể tái hiện lại

kiến thức khi có những thông tin liên quan.

Ngoài ra, các nhà giáo dục cho rằng phương pháp dạy học khám phá còn thể hiện

những điểm mạnh sau:

- Là phương pháp dạy học hướng vào hoạt động của người học; học sinh được

khuyến khích coi việc học là công việc của bản thân hơn là công việc của giáo viên,

nhu cầu học hỏi của người học nhờ đó cũng tăng lên.

- Là phương pháp dạy học hỗ trợ việc phát triển năng lực nhận thức riêng cũng

như tài năng của học sinh.

- Là phương pháp cho phép người học có thời gian tiếp thu, cập nhật thông tin và

đánh giá được năng lực thật sự của bản thân trong quá trình học tập và nghiên cứu.

- Các vấn đề nhỏ vừa sức học sinh được tổ chức thường xuyên trong quá trình

học tập, là phương thức để học sinh tiếp cận với kiểu dạy học hình thành giả thuyết

của các vấn đề có nội dung khái quát hoá rộng lớn.

- Đối thoại giữa trò- trò, trò - thầy đã tạo ra bầu không khí học tập sôi nổi, tích

cực và góp phần hình thành mối quan hệ giao tiếp trong lao động xã hội.

30

- Giải quyết thành công các vấn đề học tập là động cơ trí tuệ kích thích trực tiếp

lòng ham mê học tập của học sinh. Đó là động lực của quá trình dạy học, phát huy

được nội lực của học sinh tư duy tích cực độc lập sáng tạo trong quá trình học tập.

Khuyết điểm

Phương pháp dạy học khám phá cũng bộc lộ những hạn chế sau đây:

- Tốc độ chậm không phải mọi chủ đề đều có thể áp dụng được.

- Phụ thuộc rất nhiều vào kinh nghiệm và năng lực của giáo viên và học sinh. Vì

vậy, nếu giáo viên không nắm vững năng lực của học sinh và thiếu công phu trong

công tác chuẩn bị thì việc tổ chức dạy học khám phá sẽ kém hiệu quả.

Trong môn Toán, dạy học khám phá khái niệm toán học là tổ chức quá trình dạy

học sao cho học sinh phát hiện ra các thuộc tính bản chất (dấu hiệu đặc trưng) của khái

niệm; phát hiện ra các khả năng vận dụng khái niệm, phát hiện những ý nghĩa khác nhau

của khái niệm,…Dạy học khám phá định lý toán học bao gồm khám phá ra mệnh đề toán

học (xây dựng các giả thuyết); khám phá ra cách chứng minh định lý (kiểm chứng giả

thuyết); khám phá các cách vận dụng định lý, khám phá các ý nghĩa khác nhau của định

lý. Dạy học khám phá trong dạy học giải bài tập toán học phát hiện các cách giải các

bài toán; khai thác mở rộng bài toán.

Câu hỏi 1: Hãy dạy học khám phá khái niệm “Cấp số cộng”.

Câu hỏi 2: Hãy dạy học khám phá định lý: “Một đường thẳng vuông góc với một

mặt phẳng khi và chỉ khi nó vuông góc với hai đường thẳng đồng qui nằm trong mặt

phẳng đó”.

Câu hỏi 3: Hãy dạy học khám phá bài toán sau đây: “Cho hình chóp SABCD có

đáy là hình vuông; cạnh SA vuông góc với đáy. Gọi H, K, L lần lượt là hình chiếu

vuông góc của A lên các cạnh SB, SC, SD. Chứng minh rằng tứ giác trên là một tứ

giác nội tiếp trong một đường tròn.”

2. DẠY HỌC KHÁM PHÁ KHÁI NIỆM VỚI CÁC MÔ HÌNH QUI NẠP

2.1. Tại sao phải phát triển các mô hình hình thành khái niệm theo con

đường qui nạp

- Theo GS. Nguyễn Cảnh Toàn, qui nạp có vai trò lớn trong việc rèn luyện trí

thông minh cho học sinh và ông chỉ ra rằng: “Việc dạy toán chỉ với mục đích “truyền

thụ kiến thức” sẽ dẫn tới việc coi trọng suy diễn và coi nhẹ qui nạp. Nhưng nếu đặt

31

vấn đề “rèn luyện óc thông minh sáng tạo” cho học sinh thì vai trò của “qui nạp” sẽ lên

ngang với “suy diễn”.

- Các tài liệu hiện hành về phương pháp dạy học toán học hiện nay chưa đưa ra

các mô hình cụ thể cho việc hình thành khái niệm toán học theo con đường qui nạp;

cho nên sinh viên ngành sư phạm toán và giáo viên toán sẽ gặp nhiều khó khăn trong

quá trình hình thành khái niệm cho học sinh theo con đường qui nạp. Vì vậy, việc đưa

ra nhiều bài bản hình thành khái niệm trong toán học theo con đường qui nạp là một

yêu cầu cần thiết hiện nay.

Xuất phát từ thực tế nêu trên, chúng tôi tận dụng phép qui nạp khoa học, và đặc

biệt là sự phân loại các phương pháp xác định mối liên hệ nhân quả của các hiện tượng

của J. S. Mill (1806-1873) để xây dựng các mô hình dạy học khái niệm toán học theo

con đường qui nạp nhằm giúp sinh viên ngành sư phạm toán, và giáo viên toán biết

cách tiến hành dạy học khám phá khái niệm toán học theo con đường qui nạp.

2.2. Qui nạp khoa học

Qui nạp khoa học là phép qui nạp không hoàn toàn được thực hiện trên cơ sở

nghiên cứu một bộ phận cần khái quát. Song qui nạp khoa học có đặc trưng là kết luận

của nó phản ánh chính xác các dấu hiệu bản chất của cả lớp rút ra từ một bộ phận đối

tượng thông qua mối liên hệ tất yếu của các đối tượng trong lớp. Qui nạp khoa học dựa

trên cơ sở thiết lập (phát hiện) các mối liên hệ nhân quả giữa các hiện tượng. Để xây

dựng các mô hình hình thành khái niệm theo con đường qui nạp, chúng tôi dựa vào

bốn phương pháp để xác định mối liên hệ nhân quả của các hiện tượng của J. S. Mill

(1843) sau đây:

a. Phương pháp tương đồng (phương pháp giống nhau). Phương pháp này được

Mill coi chủ yếu là phương pháp quan sát bởi nó cho phép rút ra những yếu tố nào đó

có mặt trong mọi trường hợp đang xét.

Sơ đồ:

1) Hiện tượng “a” xuất hiện trong các điều kiện A, B, C;

2) Hiện tượng “a” xuất hiện trong các điều kiện A, D, M;

3) Hiện tượng “a” xuất hiện trong các điều kiện A, K, P;

Kết luận: Có thể điều kiện A là nguyên nhân của hiện tượng “a”.

32

b. Phương pháp dị biệt (phương pháp khác biệt). Phương pháp này đòi hỏi xem

xét ít nhất hai trường hợp khác nhau bởi một điều kiện duy nhất. Khi đó, điều kiện đó

xuất hiện thì hiện tượng xuất hiện, còn không thì hiện tượng biến mất.

Sơ đồ:

1) Hiện tượng “a” xuất hiện trong những điều kiện A, B, C;

2) Hiện tượng “a” không xuất hiện trong điều kiện B, C;

Kết luận: Có thể điều kiện A là nguyên nhân (hay một phần nguyên nhân) của

hiện tượng “a”.

c. Phương pháp cộng biến (phương pháp cùng biến). Phương pháp này được

diễn đạt như sau: Nếu mỗi khi xuất hiện hay biến đổi hiện tượng nào đó dẫn đến sự

xuất hiện hay biến đổi hiện tượng khác kèm theo hiện tượng ấy thì hiện tượng thứ

nhất, có thể là nguyên nhân của hiện tượng thứ hai.

Sơ đồ:

1) Hiện tượng “a” xuất hiện trong những điều kiện A, B, C;

2) Hiện tượng “a1” xuất hiện trong những điều kiện A1, B, C;

3) Hiện tượng “a2” xuất hiện trong những điều kiện A2, B, C;

Kết luận: Có thể điều kiện A là nguyên nhân của hiện tượng “a”.

c. Phương pháp loại trừ. Phương pháp loại trừ có thể diễn đạt như sau: nếu xác

định được rằng tất cả những điều kiện cần thiết của hiện tượng nghiên cứu, chỉ trừ một

điều kiện, đều không phải là nguyên nhân của nó, thì điều kiện bị loại trừ, có thể, là

nguyên nhân của hiện tượng đó.

Sơ đồ 1:

1) Hiện tượng a, b, c xuất hiện trong điều kiện A, B, C;

2) Hiện tượng b xuất hiện trong điều kiện B;

3) Hiện tượng c xuất hiện trong điều kiện C;

Kết luận: Có thể điều kiện A là nguyên nhân của hiện tượng a.

Sơ đồ 2:

1) Hiện tượng a xuất hiện trong điều kiện A, B, C;

2) Hiện tượng a xuất hiện trong điều kiện A, B;

3) Hiện tượng a xuất hiện trong điều kiện A, C.

Kết luận: Có thể điều kiện A là nguyên nhân của hiện tượng a.

33

Phương pháp qui nạp được Francis Bacon (1561-1626) đánh giá rất cao: Khoa

học thật sự phải biết dùng tư duy tổng hợp và phương pháp qui nạp khoa học để khái

quát các sự kiện do kinh nghiệm mang lại nhằm khám phá ra các qui luật, bản chất của

thế giới vật chất khách quan đa dạng và thống nhất. Hơn thế nữa, Bacon còn xem phép

qui nạp khoa học là một phương pháp khám phá. Cùng quan niệm với Bacon, J. S.

Mill cũng xem phép qui nạp là một công cụ hiệu lực để khám phá, nó đem lại cho

chúng ta những khái quát đầu tiên, là cơ sở của việc xây dựng giả thuyết khoa học.

2.3. Các mô hình hình thành khái niệm theo con đường qui nạp

Trên cơ sở bốn phương pháp trên của Mill, chúng tôi đề nghị năm mô hình

hình thành khái niệm bằng con đường qui nạp.

- Mô hình tương đồng-tìm kiếm, mô hình tương đồng - tìm đoán: cơ sở là

phương pháp tương đồng, phương pháp loại trừ được sử dụng để dẫn dắt học sinh phát

hiện những dấu hiệu đặc trưng (nếu cần).

- Mô hình dị biệt-tìm kiếm, mô hình dị biệt-tìm đoán: cơ sở là phương pháp dị

biệt, phương pháp loại trừ được sử dụng để dẫn dắt học sinh phát hiện những dấu hiệu

đặc trưng (nếu cần).

- Mô hình cộng biến: cơ sở là phương pháp cộng biến.

Mỗi mô hình cho phép học sinh tích cực tham gia vào quá trình dạy học, các em

có cơ hội quan sát, dự đoán, hay thảo luận với nhau để đưa ra những kết luận. Nhờ đó,

học sinh có thể nắm thấu đáo các khái niệm mà các em được học và đồng thời phát

triển năng lực nhận thức khoa học.

a. Mô hình tương đồng - tìm kiếm

Bước chính yếu nhất trong mô hình này là học sinh tìm kiếm các tính chất

chung trong các ví dụ được giáo viên đưa ra trước. Mô hình có các bước sau đây:

Bước 1 (Quan sát): Cho học sinh quan sát một số ví dụ về khái niệm.

Bước 2 (Tìm kiếm ): Yêu cầu học sinh nhận xét tìm ra các đặc điểm chung của

các ví dụ trên.

Bước 3 (Khái quát hoá): Khi học sinh nhận ra những thuộc tính chung đủ dùng

để định nghĩa khái niệm, giáo viên cho biết tên khái niệm này và yêu cầu học sinh phát

biểu định nghĩa trong trường hợp tổng quát.

Ví dụ: Khi hình thành khái niệm điểm cực tiểu của đồ thị hàm số, giáo viên có

thể tổ chức quá trình dạy học như sau:

34

y y=g(x)

x x0 0 xx0

y

0

y=f(x)

g(x0) f(x0)

M2 M1

Giáo viên: Hai điểm M1 (x0, g(x0)), M2 (x0, f(x0)) trên đồ thị của hai hàm số có

một đặc điểm chung. Các em hãy tìm xem đặc điểm chung đó là đặc điểm gì? Học sinh có thể nêu ra các đặc điểm chung như: cả hai đều nằm trên trục

hoành hay các giá tri f(x0) và g(x0) đều dương,...

Cuối cùng (giáo viên gợi ý nếu cần), học sinh phát hiện dấu hiệu dùng để định

nghĩa điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Bình luận

- Mô hình tương đồng – tìm kiếm có thể được tiến hành dưới hình thức dạy học

hợp tác như sau: Lớp chia thành nhiều nhóm. Mỗi nhóm thảo luận để tìm ra các tính

chất chung có thể có ở các ví dụ mà giáo viên nêu ra. Sau đó, mỗi nhóm trình bày,

tranh luận bảo vệ ý kiến của mình trước lớp. Cuối cùng, dưới sự hướng dẫn của giáo

viên học sinh sẽ tiến hành hoạt động khái quát hóa để đi đến định nghĩa khái niệm

(xem Hình 2.1)

Giáo viên đưa ra các Ví

dụ

Học sinh thảo luận nhóm tìm các tính chất chung

Học sinh tường thuật, bảo vệ ý kiến trước lớp

Giáo viên tổ chức cho học sinh khái quát

hóa và định nghĩa khái

niệm

Hình 2.1: Dạy học hợp tác khái niệm với mô hình tương đồng – tìm kiếm

35

- Hình thành khái niệm với mô hình tương đồng – tìm kiếm chính là dạy học

khám phá khái niệm. Vì định nghĩa khái niệm không được đưa ra trước mà chính học

sinh tự phát hiện khái niệm.

- Hình thành khái niệm với mô hình tương đồng – tìm kiếm là một dạng dạy

học kiến tạo vì chính học sinh kiến tạo khái niệm bằng các họat động quan sát, phân

tích, trừu tượng hóa và khái quát hóa. Hình thành khái niệm với mô hình này cũng tạo

ra cơ hội cho học sinh huy động lại tri thức đã học trong quá trình phát hiện các tính

chất chung có thể có của các ví dụ.

b. Mô hình tương đồng - tìm đoán

Khác với mô hình tương đồng – tìm kiếm, giáo viên trong mô hình tương đồng

- tìm đoán yêu cầu học sinh đoán một (hay một vài) tính chất chung của các ví dụ là

tính chất giáo viên đặc biệt chú ý. Mỗi khi học sinh đoán sai ý của mình, giáo viên

phủ nhận ý kiến của học sinh bằng cách đưa ra ví dụ mới. Mô hình gồm các bước sau

đây:

Bước 1 (Quan sát): Cho học sinh quan sát một số ví dụ về khái niệm.

Bước 2 (Tìm đoán): Các ví dụ trên có chung tính chất α (hay một số tính chất)

mà thầy đặc biệt chú ý, các em hãy dự đoán xem tính chất đó là tính chất gì?

Mỗi khi học sinh chỉ ra một tính chất không là α, giáo viên cho thêm ví dụ có

tính chất α mà không có tính chất đó nhằm bác bỏ ý kiến của học sinh. Cứ như thế,

đến khi học sinh rút đúng tính chất α cần dùng để định nghĩa (xem Hình 2.2).

Nếu sau một thời gian nhất định (theo kế hoạch của giáo viên) học sinh không

tìm tính chất α để định nghĩa, thì giáo viên có thể tự cho thêm một ví dụ và phản ví dụ,

hoặc giáo viên gợi ý (nếu cần).sao cho học sinh dễ nhận ra tính chất α.

Bước 3 (Khái quát hoá): Khi học sinh nhận ra đúng ngay những thuộc tính

chung α dùng để định nghĩa khái niệm, giáo viên cho biết tên khái niệm này và yêu

cầu học sinh phát biểu định nghĩa trong trường hợp tổng quát.

36

Cho ví dụ không chứa

thuộc tính (*)

Học sinh quan sát

Một số ví dụ

Một tính chất chung mà giáo

viên đặc biệt chú ý. học sinh

dự đoán?

- giáo viên giới thiệu tên khái niệm. - học sinh phát biểu định nghĩa

thuộc tính (*) không phù hợp

đúng Hình 2.2: Mô hình tương đồng-tìm đoán cho dạy học khái niệm

Ví dụ: Dạy học khái niệm nguyên hàm

Giáo viên: Xét hai cặp hàm số sau đây:

(1) y= sinx; y= cosx ;

(2) y= sin2x; y=2cos2x.

Cặp hàm số ở (1) và cặp hàm số ở (2) có một đặc điểm giống nhau mà

thầy đặc biệt chú ý, các em thử dự đoán xem đặc điểm đó là đặc điểm gì?

Khả năng 1: Nếu học sinh phát hiện ra đặc điểm: hàm số đứng sau là đạo hàm

của hàm số đứng trước, giáo viên có thể giới thiệu tiếp: Hàm số đứng trước được gọi

là nguyên hàm của hàm số đứng sau.

Giáo viên: Một cách tổng quát, hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của

hàm f(x) khi nào? Học sinh phát biểu, giáo viên chỉnh sửa (nếu cần) để có một định

nghĩa chính xác khái niệm nguyên hàm.

Khả năng 2: Nếu học sinh đưa ra đặc điểm: các cặp hàm số đều là các hàm số

lượng giác, giáo viên cho biết là chưa đúng và giáo viên cho thêm một ví dụ khác nữa

để phủ nhận ý kiến của học sinh:

(3) y= x2 +1; y=2x.

37

Cho biết là hai hàm số ở (3) cũng có chung một đặc điểm với các cặp hàm số ở

(1) và (2). Vậy đặc điểm đó là đặc điểm gì? (giáo viên gợi ý nếu cần).

Nếu học sinh dự đoán chưa đúng giáo viên lặp lại quá trình tương tự như trên

sao cho cuối cùng học sinh dự đoán đúng (gợi ý (nếu cần), chú ý đến hai số hạng kế

tiếp nhau), dẫn dắt học sinh đi đến định nghĩa khái niệm như khả năng 1.

Một số điểm cần chú ý:

- Có thể tiến hành dạy học theo mô hình tương đồng tìm đoán trong nhà trường

phổ thông đối với bất kỳ đối tượng nào.

- Khi dạy học theo mô hình tương đồng tìm - đoán: giáo viên nên chọn các ví

dụ mở đầu có nhiều tính chất chung để cho nhiều học sinh tham gia vào quá trình dạy

học.

- Học sinh có thể phát hiện ra những tính chất mới đối với giáo viên. Vì vậy,

nếu giáo viên có kinh nghiệm trong xử lý các tình huống này thì không nên vội vàng

công nhận hay bác bỏ ý kiến của học sinh nếu cảm thấy còn nghi ngờ; giáo viên nên

phát triển chúng như một bài tập về nhà, và yêu cầu học sinh kiểm chứng tính đúng

đắn của chúng. Nếu nhận định của giáo viên tại lớp chưa được chính xác thì giáo viên

phải đính chính vào tiết học sau.

- Quá trình dạy học bao gồm cả vừa dạy, vừa ôn, vừa phát triển năng lực phân

tích, trừu tượng, khái quát hoá cho học sinh. Đặc biệt, có nhiều sự tương tác giữa

thầy - trò trong quá trình dạy học.

- Dạy học theo mô hình tương đồng tìm - đoán giúp giáo viên có cơ hội mở

rộng kiến thức vì có nhiều điều học sinh phát hiện mà giáo viên chưa từng biết. -

Giáo viên có thể dùng các câu hỏi sau đây để gợi ý học sinh : Hãy tìm tính chất mà

trong ví dụ 1 có mà ví dụ 2 cũng có?; Tất cả các ví dụ đều có tính chất mà thầy quan

tâm, vậy tính chất đó là tính chất gì?; Bây giờ thầy cho thêm một số ví dụ nữa mà

chúng đều có tính chất mà thầy quan tâm, dự đoán xem tính chất đó là tính chất gì?;

Em nào có ý kiến khác?

c. Mô hình dị biệt - tìm kiếm

Trong mô hình dị biệt - tìm kiếm, giáo viên cho học sinh quan sát ví dụ và phản

ví dụ và yêu cầu các em tìm những tính chất chỉ có mặt trong ví dụ. Việc dạy học khái

niệm theo mô hình này bao gồm các bước sau đây:

38

Bước 1 (Quan sát): Cho học sinh quan sát một số ví dụ và một số phản ví dụ về

khái niệm cần dạy.

Bước 2 (Tìm kiếm): Yêu cầu học sinh tìm các thuộc tính chung α của các ví dụ

mà các phản ví dụ không có.

Bước 3 (Khái quát hoá): Khi học sinh tìm ra đủ các tính chất chung dùng để

định nghĩa, giáo viên cho biết tên khái niệm này và yêu cầu học sinh phát biểu định

nghĩa trong trường hợp tổng quát.

Ví dụ: Khi dạy học khái niệm nguyên hàm, giáo viên có thể tiến hành dạy học

như sau:

F(x)= x2 + x+ 1 và f(x)=2x+1;

G(x)= sinx và g(x)= cosx +1.

Giáo viên: Giữa hàm số F(x) và f(x) có một mối liên hệ mà G(x) và g(x) không

có mối quan hệ đó. Các em hãy tìm xem mối quan hệ đó là mối quan hệ gì?

Bình luận

- Có thể tiến hành dạy học hợp tác khái niệm với mô hình dị biệt – tìm kiếm bằng

cách chia lớp thành nhiều nhóm khác nhau. Nhiệm vụ đặt ra cho mỗi nhóm là tìm

kiếm những tính chất mà chỉ có trong các ví dụ mà trong phản ví dụ không có. Sau đó,

giáo viên yêu cầu mỗi nhóm trình bày các kết quả mà mỗi nhóm thu được trước lớp.

Cuối cùng, giáo viên hướng dẫn cho khái quát hóa và phát biểu định nghĩa khái niệm

(Hình 2.3).

- Dạy học khái niệm theo mô hình này chính là dạy học khám phá và dạy học

kiến tạo khái niệm.

Giáo viên đưa ra Ví dụ và Phản

ví dụ

Học sinh thảo luận nhóm tìm các tính chất mà chỉ có trong Ví dụ

Học sinh tường thuật, bảo vệ ý kiến trước lớp.

Giáo viên tổ chức cho học sinh khái quát hóa và định nghĩa khái niệm

Hình 2.3: Dạy học hợp tác khái niệm với mô hình dị biệt – tìm kiếm

39

d. Mô hình dị biệt - tìm đoán

Giáo viên cho một số ví dụ và một số

phản ví dụ

Học sinh quan sát

Học sinh đoán thuộc tính mà chỉ có trong ví dụ mà thầy chú ý

thuộc tính (*) không phù hợp

đúng Điểm khác biệt của mô hình tìm - đoán so với mô hình dị biệt - tìm kiếm là trong

mô hình này học sinh được yêu cầu tìm đoán tính chất mà giáo viên đặc biệt chú ý chỉ

có trong ví dụ. Nếu học sinh đoán sai thì giáo viên cho thêm ví dụ hoặc phản ví dụ để

phủ nhận ý kiến của học sinh. Mô hình dạy học này tạo ra sự tương tác giữa thầy và trò.

Mô hình này gồm các bước sau đây:

Bước 1 (Quan sát): Cho học sinh quan sát một (một số) ví dụ và một (một số)

phản ví dụ về khái niệm cần dạy.

Bước 2 (Tìm đoán): Trong ví dụ có tính chất α (hay một số tính chất), thầy đặc

biệt chú ý mà trong phản ví dụ không có, các em hãy dự đoán xem tính chất đó là tính

chất gì.

Nếu học sinh đưa ra những thuộc tính không bản chất (không dùng để định

nghĩa), giáo viên cho thêm những ví dụ về khái niệm không có các thuộc tính đó, hay

hay đưa thêm phản ví dụ có chứa có các thuộc tính không bản chất đó để bác bỏ ý kiến

của học sinh, cứ tiếp tục cho đến khi học sinh rút đúng các thuộc tính cần định nghĩa

- Giáo viên giới thiệu tên khái niệm. - Học sinh phát biểu định nghĩa.

Cho ví dụ không chứa thuộc tính (*) /phản ví dụ chứa thuộc tính (*)

Hình 2.4: Mô hình dị biệt-tìm đoán cho dạy học khái niệm

40

Bước 3 (Khái quát hoá): Khi học sinh tìm ra đủ các thuộc tính chung dùng để

định nghĩa, giáo viên cho biết tên khái niệm này và yêu cầu học sinh phát biểu định

nghĩa trong trường hợp tổng quát (xem Hình 2.4).

Ví dụ : Dạy học khái niệm cấp số cộng

Cho bốn dãy số sau đây:

Ví dụ Phản ví dụ

1, 2, 3, 4, 5, 6,... (1)

3, 6, 9, 12, 15,... (2)

-1, -2, -4, -5, -7,... (3)

-1, 4, 5, 7, 10, 11,... (4)

Giáo viên: Thầy quan tâm đến một tính chất chung α của dãy (1), (2) mà dãy

(3), (4) không có, các em hãy dự đoán xem tính chất α mà thầy muốn ám chỉ là tính

chất gì?

Khả năng 1: Nếu học sinh phát biểu: dãy (1) và (2) có tính chất chung là số

hạng đứng sau bằng số hạng đứng kề trước cộng cùng một số thì lúc bấy giờ giáo viên

cho biết dãy số (1) và (2) được gọi là cấp số cộng. Tiếp theo, giáo viên yêu cầu học

sinh phát biểu định nghĩa cấp số cộng một cách tổng quát.

Khả năng 2: Nếu học sinh phát biểu: dãy số gồm các số hạng dương thì giáo

viên nói rằng “chưa đúng”. Giáo viên viết dãy (5) bên phản ví dụ. Và có thể cho thêm

một ví dụ bên cột Ví dụ dãy số: ,...,,,,231

210

21− và phản ví dụ (bên cột Phản ví dụ):

1, 5, 7, 8,... rồi yêu cầu học sinh nhận xét tiếp. Đến khi học sinh phát hiện đúng (gợi ý

nếu cần), giáo viên thực hiện tiến trình dạy học như khả năng 1.

Các điểm cần chú ý

- Khi dạy học theo mô hình dị biệt tìm- đoán, giáo viên nên chọn 1 ví dụ và 1

phản ví dụ mở đầu. Giữa chúng có nhiều điểm khác biệt để cho nhiều học sinh tham gia

vào quá trình dạy học, và giữa giáo viên và học sinh có nhiều cơ hội tương tác nhau.

- Về các câu hỏi có thể dùng gợi ý cho học sinh, giáo viên có thể dùng các câu

hỏi sau đây: Để tìm ra tính chất mà thầy quan tâm, các em chú ý đến những tính chất

mà trong ví dụ có, nhưng ở phản ví dụ không có; Trong các ví dụ có một tính chất mà

thầy quan tâm nhưng trong các phản ví dụ thì không có, vậy tính chất đó là tính chất

gì?; Bây giờ thầy cho thêm một số ví dụ và phản ví dụ, các em tìm ra tính chất mà

thầy quan tâm chưa?; Em nào có ý kiến khác?

41

- Khi học sinh phát hiện ngay tính chất mà thầy giáo quan tâm, giáo viên không

nên vội đi đến định nghĩa khái niệm mà nên khuyến khích cho học sinh phát hiện thêm

những tính chất khác bằng câu hỏi: Em nào có ý kiến khác nào?

e. Mô hình cộng biến

Trong mô hình cộng biến, việc dạy học một khái niệm có thể tiến hành theo các

bước sau đây:

Bước 1 (Quan sát). Cho học sinh quan sát nhiều ví dụ, trong đó có một hiện

tuợng thay đổi.

Bước 2 (Phát hiện). Yêu cầu học sinh rút nguyên nhân của hiện tượng (đó cũng

chính là thuộc tính bản chất của khái niệm cần định nghĩa).

Ví dụ 1 Ví dụ 2 Ví dụ 3

Quan sát

Kết luận

Định nghĩa khái niệm

Hình 2. 5: Mô hình cộng biến cho dạy học khái niệm

Bước 3 (Khái quát hoá). Giáo viên cho biết tên khái niệm này và yêu cầu học

sinh phát biểu định nghĩa trong trường hợp tổng quát (Hình 2. 5).

Ví dụ: Dạy học khái niệm hàm số liên tục

Bài toán 1: Cho hàm số y=f(x)= 1x1x2

−−

(1)

Tính . limf(x)1x→

Giáo viên: Gọi một học sinh lên bảng tính giới

hạn này. Trong khi học sinh tính giới hạn, giáo

viên vẽ đồ thị của (1) của hàm số (Hình 1).

1

x1

y

2

3

O

Hình 1

42

Giáo viên: Ta có = 1, tại sao đồ thị của (1) không liền nét tại điểm (1 ; 2)? limf(x)1x→

Học sinh : Vì hàm số không xác định tại x=1.

Bây giờ nếu mở rộng hàm số thành hàm số (2) như

sau:

Bài toán 2: Giáo viên : Cho hàm số

.

Hàm số (2) xác định tại x=1 với f(1)=3, và

=1, nhưng đồ thị của (2) vẫn không liền nét

tại (1,2).

)(lim1xf

x→

112

−−

xx khi x ≠1

y=f(x)=

3 khi x=1(2)

1

x1

y

2

3

O

Hình 2

Vậy cần thay f(1) của hàm số trên bằng bao

nhiêu để đồ thị trên được liền nét? 1

x1

y

2

3

O

Hình 3

học sinh: Đồ thị của hàm số là một đường thẳng

không bị đứt đoạn tại điểm (1 ; 2) khi f(1)=2

112

−−

xx khi x ≠1

y=f(x)=

2 khi x=1.

(3)

Giáo viên: Hàm số (3) có =2 = f(1). Trong trường hợp này người ta nói rằng:

hàm số (3) liên tục tại x=1.

1x)x(flim

→

Giáo viên: Một cách tổng quát, các em thử phát biểu định nghĩa hàm số f(x)

liên tục tại một điểm x=x0?

Kết luận, khi dạy học khái niệm toán học nếu giáo viên khéo vận dụng các mô

hình dạy học trên sẽ phát huy được tính tích cực của học sinh; học sinh học tập khái

niệm một cách sâu sắc, có cơ hội để đưa ra những dự đoán và năng lực phân tích, trừu

tượng hoá, khái quát hoá được phát triển trong quá trình học tập.

Câu hỏi 4 : Hãy hình thành khái niệm hai vectơ bằng nhau theo các mô hình

quy nạp.

43

3. DẠY HỌC KHÁM PHÁ ĐỊNH LÝ VỚI GIẢTHUYẾT KHOA HOC

Dạy học định lý có khâu dự đoán được GS. Nguyễn Bá Kim (2007) trình bày

trong giáo trình về Phương pháp dạy học môn Toán. Tuy nhiên, qua thực tế dự nhiều

tiết dạy của giáo viên môn Toán trong nhà trường phổ thông và qua nhiều năm hướng

dẫn sinh viên tập giảng (mỗi sinh viên toán của trường Đại học Cần Thơ đề phải đều

phải tập giảng ít nhất một tiết trong năm thứ ba) chúng tôi nhận thấy rằng giáo viên và

sinh viên ít quan tâm dạy học có khâu định lý dự đoán; dù rằng có nhiều trường hợp

đưa ra những dự đoán trong quá trình dạy học định lý không làm mất thời gian và

không khó thực hiện. Để làm rõ tầm quan trọng của việc dạy học định lý có khâu dự

đoán trong môn Toán, chúng tôi xem dự đoán với tư cách là giả thuyết khoa học - một

phương pháp nhận thức khoa học- và phân tích quá trình dạy học này dưới góc độ của

nhiều lý thuyết dạy học khác nhau.

3.1. Giả thuyết khoa học là phương pháp nhận thức khoa học

Giả thuyết khoa học, còn gọi là giả thuyết nghiên cứu, là một nhận định sơ bộ, một

kết luận giả định về bản chất sự vật do người nghiên cứu đưa ra để chứng minh hay bác

bỏ. Thực chất, giả thuyết là câu trả lời có thể có cho vấn đề đặt ra nhưng cần phải chứng

minh hoặc bác bỏ. Như vậy, hình thành một giả thuyết khoa học chính là đưa ra một dự

đoán về bản chất sự vật. Giả thuyết là một khâu trong phương pháp nghiên cứu khoa học.

Xét về mặt cấu trúc logic của nghiên cứu, thì giả thuyết nằm ở vị trí luận đề. Để công

nhận hay bác bỏ giả thuyết cần phải có các luận cứ và luận chứng.

Phương pháp nghiên cứu khoa học bao gồm các bước sau đây:

Bước 1: Quan sát.

Bước 2: Phát biểu vấn đề cần giải quyết.

Bước 3: Xây dựng giả thuyết (tiên đoán khoa học) trả lời sơ bộ cho vấn đề đặt ra.

Bước 4: Phương pháp: tìm phương pháp để kiểm tra giả thuyết đúng hay sai.

Bước 5: Kết luận: chấp nhận, bổ sung hay bác bỏ giả thuyết.

Đánh giá về vai trò của giả thuyết trong sự phát triển khoa học, Angel viết: “ Hình

thức phát triển của khoa học tự nhiên, trong chừng mực mà khoa học này tư duy, là giả

thuyết…Tài liệu kinh nghiệm sau này sẽ chọn lọc lại những giả thuyết ấy, gạt bỏ những giả

44

thuyết này, sửa đổi những giả thuyết khác cho đến lúc, cuối cùng, qui luật được xác định

dưới hình thức thuần khiết”.

Trong Toán học, M. Seigel và R. Borasi (1994) cho rằng tri thức toán học được

tạo ra thông qua một quá trình không tuyến tính trong đó sự khái quát hoá các giả

thuyết đóng vai trò then chốt. Quan điểm này có nhiều điểm chung với luận điểm của

Lakatos rằng tri thức toán học có ý nghĩa được tạo ra thông qua quá trình lặp đi lặp lại

của các chứng minh và bác bỏ khi nhà toán học đặt ra cơ cấu giải thích tạm thời- một

giả thuyết- trước khi có chứng cứ đầy đủ sao cho cơ cấu giải thích hay giả thuyết đó

được chấp nhận. Logic của khám phá toán học của Lakatos có thể được diễn giải như

một qui trình có tính vòng tròn trong đó giả thuyết và chứng minh không chính thức

được đưa ra trước. Như vậy, theo nhiều nhà nghiên cứu lịch sử toán học thì lịch sử

phát triển của Toán học là lịch sử của sự chứng minh và bác bỏ các giả thuyết khoa

học. Do vậy, giả thuyết khoa học được xem là một phương pháp nhận thức khoa học

nói chung và là phương pháp nhận thức toán học nói riêng.

3.2. Tại sao cần dạy học định lý với giả thuyết khoa học

a) Theo Nguyễn Cảnh Toàn, để đào tạo học sinh thành những người nắm toán

học để cải tạo thực tiễn thì “không thể chỉ dạy học thứ toán học đã hình thành sẵn mà

phải dạy cho học sinh thứ Toán học đang vận động, đang phát triển do sự thức đẩy của

thực tiễn và do những nhu cầu nội tại”. Vì vậy, việc dạy học các định lý có khâu hình

thành giả thuyết hay xây dựng các bài tập mà cần phải sử dụng những dự đoán rồi để giả

chính là giúp học học sinh học tập trên cơ sở kiến tạo hay tái tạo lại tri thức. Quá trình dạy

học như vậy phản ánh được phương pháp nhận thức hay phương pháp phát minh toán

học. Nhờ vậy, nó sẽ góp phần phát triển năng lực sáng tạo, phát triển tư duy khoa học cho

học sinh.

b) Đối với với nhiều định lý toán học, giáo viên không phải tốn nhiều thời gian

có thể giúp học sinh “phát hiện” hay đưa ra những kết luận có tính dự đoán.

Chẳng hạn, trong môn Giải tích học sinh có thể đưa ra giả thuyết thông qua

phương tiện đồ thị của hàm số hay xét các hàm số mà các em đã học trước đó. Vì vậy,

việc tiến hành dạy học với giả thuyết sẽ giúp phát triển năng lực quan sát, năng lực

45

khái quát hóa, năng lực đọc đồ thị hàm số và nhất là học sinh thấy được mối liên hệ

giữa kiến thức đã học và kiến thức mới.

c) Trong môn Toán có nhiều bài tập muốn giải nó đòi hỏi phải sử dụng khâu dự đoán

(đưa ra giả thuyết) bằng con đường qui nạp rồi dùng suy diễn kiểm chứng. Vì vậy, dạy học

với giả thuyết khoa học sẽ góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh, và

quá trình giải các bài toán trên sẽ giúp học sinh thấy được mối liên hệ giữa qui nạp và suy

diễn trong nghiên cứu toán học: dùng qui nạp để đưa ra các giả thuyết và dùng suy diễn để

chứng minh hay bác bỏ.

3.3. Mô hình dạy học định lý với giả thuyết khoa học

Trong tài liệu về phương pháp dạy học toán, GS. Nguyễn Bá Kim (2007) đã

giới thiệu một mô hình dạy học định lý có khâu dự đoán mà có thể trình bày lại như

Hình 2.6.

Gợi động cơ và phát biểu vấn đề

Dự đoán và phát biểu định lý

Chứng minh định lý

Vận dụng định lý để giải quyết vấn đề đặt ra

Củng cố định lý

Hình 2.6: Dạy học định lý có khâu dự đoán (Nguyễn Bá Kim, 2007) )

46

Gợi động cơ và phát biểu vấn đề

Học sinh quan sát, khảo sát các trường hợp riêng,…

Hình thành giả thuyết

Kiểm chứng giả thuyết

Bổ sung, chính xác hóa (nếu cần) và phát biểu định

lý hay qui luật

-

+

Vận dụng và củng cố định lý

Hình 2.7: Mô hình dạy học định lý trong môn Toán với giả thuyết khoa học

Trên cơ sở mô hình dạy học có khâu dự đoán trên đây của Nguyễn Bá Kim và để

xem xét quá trình dạy học theo hướng này một cách sâu sắc hơn, chúng tôi xem dự đoán

là giả thuyết khoa học – một phương pháp nhận thức toán học và phát triển mô hình dạy

học định lý trong môn Toán với giả thuyết khoa học được mô tả như Hình 2.7.

Bình luận: - Mô hình dạy học định lý với giả thuyết khoa học có bao gồm khâu

kiểm chứng giả thuyết. Khâu này là cần thiết vì giả thuyết có thể đúng mà cũng có thể

sai ; điều này thường gặp trong dạy học môn Toán trong nhà trường phổ thông; chẳng

hạn, khi được hỏi: Trong mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với

một đường thẳng khác thì chúng song song, trong không gian nếu hai mặt phẳng phân

biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng này sẽ có quan hệ gì

47

với nhau? Chúng tôi thường gặp nhiều học sinh đưa ra giả thuyết sai rằng hai mặt

phẳng đó song song nhau”. Và trường hợp sau đây đã xảy ra: Một giáo viên đưa ra hai

ví dụ về cấp số nhân như sau:

2, 4, 8, 16, 32, …, 2n,…

3, 9, 27, 81, …, 3n,…

rồi yêu cầu học sinh quan sát tìm các tính chất liên quan đến các số trong mỗi cấp số

nhân. Một học sinh đã đưa ra dự đoán sai: “trong cấp số nhân số hạng đứng sau bằng

số hạng đứng liền trước nhân cho số hạng đầu”. Vì vậy, ngay sau khi học sinh đưa ra

giả thuyết phải là bước kiểm chứng để chấp nhận hay bác bỏ giả thuyết.

- Mô hình dạy học khám phá định lý với giả thuyết khoa học không có tính tuyến

tính vì khi đưa ra một tình huống mà yêu cầu học sinh đưa ra dự đoán thì học sinh có

thể đưa ra nhiều dự đoán khác nhau mà trong đó có thể có cái sai và có cái đúng. Vì

vậy, trong quá trình dạy học định lý với giả thuyết khoa học nhiều khi phải bác bỏ

nhiều dự đoán sai của học sinh và khẳng định những dự đoán đúng của các em.

- Khi dạy học định lý với giả thuyết khoa học theo mô hình trên, giáo viên thực

hiện hai chức năng: ủy thác và thể chế hóa theo ý nghĩa của lý thuyết tình huống của

trường phái Didactic của Pháp vì:

Giai đoạn từ quan sát đến kiểm chứng thực chất là giai đoạn mà giáo viên thực

hiện chức năng “ủy thác”. Giáo viên đã hoàn cảnh hóa, thời gian hóa và cá nhân hóa

lại tri thức giáo khoa nhằm chuyển hóa tri thức này thành kiến thức của học sinh.

Giai đoạn bổ sung, chính xác hóa và phát biểu thành định lý phải chính là giai

đọan giáo viên thực hiện chức năng « thể chế hóa » của mình theo tinh thần của lý

thuyết tình huống. Trong giai đoạn này giáo viên thực hiện việc phi hoàn cảnh hóa, phi

thời gian hóa và phi cá nhân hóa lại kiến thức và cần giúp người học:

+ Xác nhận kiến thức đó;

+ Thấy được kiến thức đó là cần thiết phải học, cần phải ghi nhớ và biết được vị

trí và tầm quan trọng của nó trong chương trình.

- Dạy học định lý với giả thuyết khoa học là dạy học khám phá vì ở đây kiến

thức cần truyền thụ không đưa ra trước mà được “ẩn dấu”. Học sinh phát hiện ra định

lý phải trải qua các họat động gần giống như nhà toán học.

- Dạy học định lý với giả thuyết khoa học là dạy học kiến tạo. Kiến thức toán

học được học sinh tiếp thu không phải là kiến thức toán học đã “có làm sẵn” hay “kiến

48

thức đã hình thành” mà học sinh phải liên hệ vốn tri thức đã biết để đưa ra giả thuyết

(dự đoán) và tích cực vận dụng các kiến thức đã biết để chứng minh hay bác bỏ. Khi

tiến hành dạy học theo mô hình này nếu giáo viên có nhiều cơ hội tạo ra sự tương tác

giữa giáo viên và học sinh, học sinh với học sinh thông qua việc thảo luận để đưa ra dự

đoán và tranh luận với nhau nhằm để chấp nhận hay bác bỏ giả thuyết đã đưa ra.

- Dạy học định lý với giả thuyết khoa học chính là dạy học tìm tòi và giải quyết

vấn đề. Việc hình thành giả thuyết khoa học chính là một tình huống có vấn đề, giai

đọan kiểm chứng chính là giai đọan giải quyết vấn đề và giai đọan bổ sung chính xác

hóa, phát biểu định lý và vận dụng chính là giai đọan cuối cùng của dạy học tìm tòi và

giải quyết vấn đề.

- Dạy học định lý với giả thuyết khoa học đã gợi được động cơ học tập (một

thành tố cơ sở của phương pháp dạy học toán) cho học sinh: quá trình dạy học này

đã tạo ra động cơ mở đầu cho học sinh vì đã khêu gợi tính tò mò và động viên được sự

suy nghĩ của các em để đưa ra các dự đoán; tạo ra động cơ trung gian bởi sự cần thiết

phải tiến hành kiểm chứng; tạo động cơ kết thúc bởi sự xem xét lại quá trình và tìm

khả năng áp dụng kết quả vừa thu được.

3.4. Các phương án dạy học định lý trong môn Toán với giả thuyết khoa học

Tùy theo mức độ tham gia của học sinh vào quá trình dạy học, theo chúng tôi dạy

học định lý với giả thuyết khoa học có thể chia thành chín phương án sau đây:

Phương án 1: Giáo viên đưa ra giả thuyết và giáo viên khẳng định tính đúng đắn của

giả thuyết đó bằng nội dung định lý. Phương án 1 có thể dùng đối với các định lý không

có phần chứng minh.

Phương án 2: Học sinh đưa ra giả thuyết có sự hướng dẫn của giáo viên và giáo

viên khẳng định tính đúng đắn của giả thuyết bằng nội dung định lý. Phương án 2 có

thể dùng đối với các định lý không có phần chứng minh.

Phương án 3: Giáo viên đưa ra giả thuyết và giáo viên tiến hành kiểm chứng giả

thuyết.

Phương án 4: Giáo viên đưa ra giả thuyết và hướng dẫn học sinh kiểm chứng giả

thuyết.

Phương án 5: Giáo viên đưa ra giả thuyết và học sinh tự lực kiểm chứng giả

thuyết.

49

Phương án 6: Học sinh đưa ra giả thuyết có sự hướng dẫn của giáo viên và giáo

viên chứng minh giả thuyết.

Phương án 7: Học sinh đưa ra giả thuyết và học sinh kiểm chứng giả thuyết đều

có sự hướng dẫn của giáo viên.

Phương án 8: Học sinh đưa ra giả thuyết có sự gợi ý của giáo viên và học sinh tự

lực kiểm chứng giả thuyết.

Phương án 9: Học sinh tự lực đưa ra giả thuyết và tự lực kiểm chứng giả thuyết.

Để chọn phương án nào trong dạy học trong môn Toán, giáo viên nên căn cứ

thời lượng dành cho tiết dạy, căn cứ vào trình độ của học sinh, mức độ khó dễ của

khâu đưa ra giả thuyết, mức độ khó dễ của việc kiểm chứng.

3.5. Phương pháp xây dựng giả thuyết khoa học trong dạy học môn Toán

Có nhiều cách xây dựng giả thuyết khoa học trong môn Toán. Ở đây, trong dạy

học môn Toán ở trường phổ thông, ta cần chú trọng ba phương pháp sau đây: xây

dựng giả thuyết bằng mối quan hệ “cái riêng” và “cái chung”, phương pháp tương tự,

phương pháp qui nạp. Để xây dựng giả thuyết bằng phương pháp qui nạp, chúng ta có

thể sử dụng qui nạp không hoàn toàn, phương pháp qui nạp tương đồng, phương pháp

qui nạp dị biệt, phương pháp cộng biến, phương pháp loại trừ của J. S. Mill. Hình 2.8

cho ta mô hình chung để xây dựng giả thuyết bằng phương pháp qui nạp.

Trường hợp riêng 1

Quan sát

Xây dựng giả thuyết

Trường hợp riêng 2

Hình 2.8: Mô hình xây dựng giả thuyết bằng qui nạp

3.6. Một số ví dụ

Trong môn Toán ở nhà trường phổ thông, mô hình dạy học định lý với giả thuyết

khoa học có thể áp dụng vào dạy học các định lý và giải bài tập. Sau đây là những ví

dụ minh họa.

50

Ví dụ (dùng phương pháp qui nạp tương đồng để xây dựng giả thuyết):

yy=g(x)

x x0 0

x0

x

y

0

y=f(x)

Giáo viên có thể tổ chức cho học sinh hình thành giả thuyết về điều kiện để hàm

số đạt cực tiểu bằng hai câu hỏi như sau:

Câu hỏi 1: Hai hàm số có đồ thị đều đạt cực tiểu tại x=x0. Hãy tìm các tính chất

của hàm số khi nó đạt cực tiểu tại x0?

Câu hỏi 2: Các em có kết luận gì về điều kiện của đạo hàm để hàm số đạt cực

tiểu tại x0?

Ví dụ (xây dựng giả thuyết bằng qui nạp không hoàn toàn):

Tìm limSn biết:

( )1nn1...

4.31

3.21

2.11Sn +

++++= .

Giải

S1= 21

21

= ;

S2= 32

61

21

=+ ;

S3= 43

121

61

21

=++ .

Giả thuyết: 1n

nSn += .

Ta kiểm chứng giả thuyết trên đúng nhờ phép qui nạp toán học.

51

Do đó, limSn= 11=

+nnlim .

3. 7. Một số điểm cần lưu ý khi dạy học với giả thuyết khoa học

a) Trong nghiên cứu Toán học, sau khi nhà toán học đưa ra giả thuyết khoa học

thì khâu kiểm chứng là khâu bắt buộc phải có để khẳng định tính đúng đắn của giả

thuyết. Tuy nhiên, trong môn Toán ở trường trung học phổ thông có nhiều định lý

không chứng minh. Vì vậy, nên khi dạy các định lý đó giáo viên tiến hành gợi động có

học tập và hình thành giả thuyết, và ngay sau khâu hình thành giả thuyết là khâu “thể

chế hóa” định lý. Khi thể chế hóa, giáo viên cần nhấn mạnh rằng giả thuyết trên (nếu

đúng) đã được các nhà toán học chứng minh là đúng và nhờ vậy ta có định lý cần học.

Trong thực tế, chúng tôi đã từng gặp một trường hợp như sau: sau khi tổ chức cho học

sinh phát hiện một công thức bằng qui nạp không hoàn toàn chúng tôi hỏi “Cách lập

luận như chúng ta vừa làm có bảo đảm là công thức này đúng chưa? Có cần chứng

minh không?”. Cả lớp đều xem khâu kiểm chứng là không cần. Vì vậy, khi dạy học

giáo viên cần lưu ý cho học sinh rằng giả thuyết chỉ được công nhận là đúng sau khi

nó được chứng minh.

b) Trong khi dạy học môn Toán, giáo viên cần lưu ý học sinh rằng dùng qui nạp

không hoàn toàn để đưa ra một giả thuyết (dự đoán) một công thức hay qui tắc và

kiểm chứng bằng phương pháp qui nạp toán học là một trong những phương pháp khá

thông dụng khi giải các bài toán liên quan đến dãy số.

Ví dụ. Cho dãy số (un) xác định bởi

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

=

+ 21u

u

2u

n1n

1.

Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn. Tìm giới hạn đó.

Chứng minh dãy trên có giới hạn ta có thể dùng định lý: dãy tăng và bị chặn trên

thì có giới hạn, dãy giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn.

* Quan sát một số trường hợp riêng: u1=2, u2= 23

.

Giả thuyết: (un) là dãy giảm. Kiểm chứng (đúng).

(un) bị chặn dưới (do un≥2 với ∀n).

Kết luận, dãy số trên có giới hạn.

52

Chính vì nhờ sự lưu ý đó của giáo viên mà nhiều học sinh lớp 11 A1 của trường

Trung học Phổ thông Châu Văn Liêm của TP. Cần Thơ trong năm học 2004 - 2005 đã

giải bài toán như ví dụ sau đây như sau:

Ví dụ. Tính 12

2124321+

−−++−+−n

n)n(...lim .

Giải:

Đặt Sn=1-2+…+ (2n-1) - 2n.

n=1: S1= -1;

n=2: S2= 1-2+3-4=-2;

Sn=-n? (1).

Học sinh kiểm chứng (1) đúng bằng qui nạp toán học. Từ đó suy ra:

1 2 3 4 ... (2n 1) 2n n 1lim lim2n 1 2n 1 2

− + − + + − − − −= =

+ + .

c) Dù rằng vận dụng phương pháp giả thuyết khoa học để tìm ra các công thức và

các qui luật là một phương pháp khá hiệu lực để giải nhiều bài toán nhưng phương

pháp này đôi lúc khá dài dòng. Vì vậy, trong dạy học môn Toán, giáo viên nên lưu ý

học sinh rằng đôi khi ta có thể tìm cách giải toán nhanh hơn con đường dự đoán bằng

cách quan sát, phân tích bài toán để tìm ra các cách giải khác nhanh hơn.

Chẳng hạn, khi yêu cầu học sinh tìm nhiều cách giải bài toán tìm

122124321

+−−++−+−

nn)n(...

lim trong ví dụ trên, ngoài cách giải như trên, học sinh

của lớp học nêu trên còn phát hiện nhiều cách giải khác nhờ quan sát rút ra các dạng -

mẫu của bài toán như sau:

Đặt Sn=1-2+3-4+…+ (2n-1)-2n. Học sinh phát hiện các “dạng - mẫu” khác nhau

như sau đây:

Cách 1: Sn= (1-2) +(3-4)+…+(2n-1 – 2n)= -1 +(-1)+…+(-1) = - n.

1 2 3 4 ... (2n 1) 2n n 1lim lim2n 1 2n 1 2

− + − + + − − − −= =

+ +.

Cách 2: Sn= 1 +(-2+3)+….+ (-(2n-2+(2n-1)) -2n = n (1) -2n=-n.

Cách 3: S +n = (2-2) + (4-4) +…+(2n-2n)=0 nên Sn=-n.

Cách 4: Sn= (1+3+…+(2n-1))-(2+4+…+2n)= n n(1 2n 1) (2 2n)2 2

+ − − + =-n.

53

Nhờ đó mà học sinh tính 21

12122124321 −

=+

−=

+−−++−+−

nnlim

nn)n(...lim

khá nhanh. d) Để yêu cầu học sinh đưa ra giả thuyết, giáo viên có thể dùng câu hỏi như sau: Từ các ví dụ trên các em thử đưa một kết luận có tính tổng quát hơn về …? Hãy đưa ra một kết luận về mối liên hệ giữa …và … ? Từ trường hợp riêng này theo các em thì số hạng tổng quát của dãy số trên có thể là gì ? Từ các trường hợp riêng này các em hãy dự đoán công thức tổng quát của …là gì? e) Khi dạy học định lý với giả thuyết khoa học giáo viên có thể tạo ra sự tương tác giữa học sinh với nhau bằng cách khuyến khích học sinh hay nhóm hợp tác đưa ra nhiều giả thuyết khác nhau đối với tình tuống đặt ra. Và tạo ra không khí tranh luận giữa các em với nhau nhằm bảo vệ ý kiến của mình hay của nhóm hoặc bác bỏ ý kiến của bạn (xem Hình 2.9)

Kết luận

Giáo viên đưa ra tình huống

Khuyến khích cá nhân học sinh hay nhóm hợp tác đưa ra nhiều giả thuyết

Kiểm chứng giả thuyết: Khuyến khích học sinh tranh luận nhằm bác bỏ ý kiến của bạn hoặc bảo vệ ý kiến của mình hay của nhóm

Giáo viên bổ sung, chính xác hóa thành định lý cần học

Hình 2.9: Dạy học hợp tác định lý với giả thuyết khoa học

- Dạy học định lý với giả thuyết khoa học tránh được việc áp đặt kiến thức cho học sinh. Trái lại, nó động viên được hoạt động tư duy của học sinh trong quá trình dạy học.

- Dạy học định lý với giả thuyết khoa học chính là tổ chức cho học sinh chiếm lĩnh tri thức toán học bằng con đường kiến tạo hay khám phá lại tri thức; học sinh đựoc học tập kiến thức theo con đường tìm tòi và phát hiện vấn đề. Do đó, năng lực phỏng đoán, năng lực tìm tòi cách chứng minh hoặc bác bỏ một giả thuyết của học sinh có cơ hội được rèn luyện và phát triển.

- Dạy học định lý với giả thuyết khoa học kích thích tư duy, khêu gợi óc tò mò của học sinh, tạo động cơ học tập cho các em, và hướng đích trong quá trình dạy học môn Giải tích.

54

- Dạy học định lý với giả thuyết khoa học góp phần phát triển tư duy khoa học

cho học sinh; nghĩa là trong quá trình học tập môn Toán trong nhà trường phổ thông

học sinh không những chiếm lĩnh tri thức mà còn được rèn luyện kỹ năng vận dụng

phương pháp nghiên cứu khoa học nói chung, và phương pháp nghiên cứu khoa học

toán học nói riêng.

Câu hỏi 5: Hãy dạy học định lý tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng với

mô hình dạy học định lý với giả thuyết khoa học.

4. DẠY HỌC KHÁM PHÁ VỚI MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁI RIÊNG VÀ CÁI CHUNG

Câu hỏi 6: Hãy giải hai phương trình sau đây:

a. 3. 9x – 5. 6x + 2.4x = 0;

b. 25x – 10x - 4x =0 .

Hãy cho biết hai phương trình trên có dạng tổng quát là gì?

4.1. Cơ sở triết học

a) Theo Triết học duy vật biện chứng, cái riêng là phạm trù được dùng để chỉ một

sự vật, một hiện tượng, một quá trình riêng lẻ nhất định. Cái chung là phạm trù được

dùng để chỉ những mặt, những thuộc tính chung không những có mặt ở một kết cấu vật

chất nhất định, mà còn được lặp lại trong nhiều sự vật, hiện tượng hay quá trình riêng

lẻ khác. Giữa cái chung và cái riêng có bốn quan hệ sau đây:

(1) Cái chung chỉ tồn tại trong cái riêng;

(2) Cái riêng chỉ tồn tại trong mối liên hệ đưa tới cái chung;

(3) Cái chung là một bộ phận của cái riêng, cái chung không gia nhập hết vào cái riêng;

(4) Trong quá trình phát triển khách quan của sự vật, trong những điều kiện nhất

định, cái đơn nhất có thể biến thành cái chung, và ngược lại, cái chung có thể biến

thành cái đơn nhất. Cái đơn nhất là phạm trù được dùng để chỉ những nét, những mặt,

những thuộc tính...chỉ có ở một kết cấu vật chất nhất định và không được lặp lại ở bất

kỳ một kết cấu vật chất khác.

b) Mối quan hệ giữa cái riêng và cái chung có vai trò rất lớn trong sáng tạo tóan

học. Theo GS. Nguyễn Cảnh Toàn thì “có thể dùng cặp phạm trù này để thâu tóm vấn

đề phát minh, sáng tạo trong tóan học”. Cũng theo GS. Nguyễn Cảnh Toàn: tập dượt

phát minh chính là tập dượt mở rộng. Mở rộng là đi từ cái riêng đến cái chung, nếu cái

chung này, trước đó chưa ai biết, thì đó là phát minh.

55

4.2. Dạy học khám phá môn Toán với mối quan hệ giữa cái riêng và cái chung

a. Tìm tính chất chung từ xét một cái riêng

Từ (1) trên đây suy ra rằng cái riêng có chứa đựng cái chung. Do đó, từ cái riêng

nếu sử dụng quá trình quan sát và phương pháp phân tích thì chúng ta có thể phát hiện

cái chung ẩn náu trong cái riêng.

Theo Phạm Văn Hoàn (1981), quá trình nhận thức theo quan hệ giữa cái riêng và

cái chung bao gồm “đi từ cái riêng đến cái chung, rồi cái chung lại chuyển hóa thành

cái riêng”. Trong dạy học Toán học, GS. Nguyễn Bá Kim cho rằng khi khái quát hóa

tài liệu từ mối quan hệ giữa cái riêng và cái chung chúng ta không chỉ yêu cầu học sinh

“đi từ cái riêng đến cái chung (khái quát hóa) mà còn đòi hỏi họ đi từ cái chung đến

cái riêng (đặc biệt hóa) và làm rõ mối quan hệ chung riêng giữa cái đạt được và cái

xuất phát” (1982). Trên cơ sở các tư tưởng trên đây, chúng tôi đề nghị mô hình dạy

học môn Toán theo quan hệ giữa cái riêng và cái chung như Hình 2.10.

Quan sát. Cho học sinh quan sát hay khảo sát một hay nhiều trường hợp riêng

Phân tích. Hướng dẫn học sinh phân tích với các câu hỏi sau: Hãy tìm các mối liên hệ giữa … ? Chúng có đặc điểm gì giống nhau ?...

Khái quát hóa. Hướng dẫn học sinh khái quát hóa bằng các câu hỏi như sau: - Các em hãy đưa ra kết luận có tính tổng quát (những tiên đoán) về …? - Các em hãy thử đưa ra một dự đoán về …?

Kiểm chứng và áp dụng. Hướng dẫn học sinh kiểm chứng: chấp nhận hay bác bỏ điều dự đoán trên. Nếu chấp nhận thì làm rõ quan hệ cái chung đã đạt được và cái xuất phát và đề xuất các bài toán mới, đưa ra những áp dụng…

Hình 2. 10. Mô hình dạy học môn Toán theo quan hệ giữa cái riêng và cái chung

56

Ví dụ: Dạy học điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Giáo viên: Hãy kể các hàm số mà các em đã học.

Học sinh: Hàm bậc nhất y=ax+b và hàm y=x2,…

Giáo viên: Hãy xét tính đơn điệu của hai hàm số y=ax+b (a≠ 0) và y=x2.

Sau đó, giáo viên hỏi thêm hãy tìm đạo hàm của hai hàm số trên và ta có kết luận gì

về mối liên hệ giữa dấu của đạo hàm và tính đơn điệu. Cuối cùng, giáo viên “thể chế

hóa” kết luận đúng của học sinh và cho các bài tập áp dụng.

b. Tìm nhiều tính chất chung khác nhau từ xét một cái riêng. Từ (1) và (3) suy ra

rằng “cái riêng” có chứa đựng nhiều cái chung khác nhau; hay nói theo Nguyễn Cảnh

Toàn: “Một cái riêng có thể là trường hợp đặc biệt của nhiều cái chung khác nhau”. Do

đó, ta có thể phát hiện những cái chung khác nhau bằng cách xét cái riêng theo những

cách nhìn khác nhau, bằng những cách tiếp cận khác nhau hay nói một cách khác: “Từ

một cái riêng nếu biết nhìn theo nhiều quan điểm khác nhau thì có thể khái quát thành

nhiều cái chung khác nhau”. Để tìm thấy mỗi cái chung, chúng ta áp dụng qui trình

như Hình 2. 10.

Ví dụ: Đối với nhị thức bậc nhất f(x)= ax+b (a ≠ 0), ta có qui tắc xét dấu và sự tồn

tại nghiệm duy nhất. Liệu ta có thể tìm được về qui tắc xét dấu và tồn tại nghiệm duy

nhất của một biểu thức khác từ việc nghiên cứu đặc điểm của nhị thức bậc nhất không?

Tìm qui tắc xét dấu một biểu thức

Quan sát qui tắc xét dấu nhị thức bậc nhất:

Trường hợp a > 0:

x - ∞

a2b

− +∞

f(x) - 0 +

Trường hợp a < 0:

x - ∞

a2b

− + ∞

f(x) + 0 -

57

Xét theo quan điểm hàm số, f(x) = ax+b (a ≠ 0) là một hàm số hàm đơn điệu.

Nên qui tắc xét dấu trên đây có thể giải thích như sau:

a > 0: f(a2b

− ) = 0, f(x) đồng biến trên R nên:

f(x) > 0 ⇔ x > a2b

− ;

f(x) < 0 ⇔ x < a2b

− .

a < 0: f(a2b

− ) = 0, f(x) nghịch biến trên R nên:

f(x) > 0 ⇔ x < a2b

−

f(x) < 0 ⇔ x > a2b

−

Từ đó, ta có thể khái quát hoá như sau :

* Nếu f(x) đồng biến trên tập D và f(x0)=0, ta có:

f(x) > 0 ⇔ x > x0 và f(x) < 0 ⇔ x < x0 với Dx∈∀

* Nếu f(x) nghịch biến trên tập D và f(x0) = 0, ta có:

f(x) > 0 ⇔ x < x0 và f(x) < 0 ⇔ x > x0 với Dx∈∀

Nhờ đó, ta có thể giải các bài tập sau đây:

Bài 1: Giải bất phương trình:

F(x) = 04x

5x3xx2

57>

−−++

.

Giải

P(x)= x7+ x5+3x-5, P’(x) > 0 với mọi x suy ra P(x) đồng biến trên R, vì P(1)=0,

(x2-4) là tam thức bậc hai có hai nghiệm: x=2, x=-2. Do đó, ta có bảng xét dấu sau đây:

58

x -∝ - 2 1 2 +∝

P(x) - - 0 + +

x2-4 + 0 - - 0 +

F(x) - + 0 - +

Kết luận: tập nghiệm S= (-2, 1)∪ (2, +∝)

Bài 2: Tìm nghiệm x thuộc khoảng (0, )2π

của bất phương trình sau đây: 2cos2x

+ cotg 3x + 2 cosx – 3 <0 (i).

Giải. Đặt f(x) =2cos2x + cotg 3x + 2 cosx – 3 . Ta có: f( )4π

=0,

f(x) nghịch biến trên (0, )2π

(do f’(x) < 0 với mọi x ∈ (0, )2π

), nên

(i) ⇔ f(x) < f( )4π

⇔ 4π

< x < 2π

.

Bài 3: Giải bất phương trình:

0

231

534

x2x

xxx≤

−+

−+ (i)

Ta có (i) ⇔ 0

123

21

153

54

xx

xx

≤

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

, bất phương trình này có thể giải được do

f(x) = 153

54 xx

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ , g(x)= 1

23

21

xx

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ đều là hai hàm nghịch biến và

có f(2) =g(2) =0.

Tìm một phương pháp chứng minh việc tồn tại nghiệm duy nhất của phương trình

59

Hàm f(x) = ax+b (a ≠0) là hàm đơn điệu trên R, nên phương trình f(x)= 0 có một

nghiệm duy nhất. Suy ra rằng hàm f(x) bất kỳ mà đơn điệu trên tập D thì phương trình

f(x) = 0 nếu có nghiệm thì cũng có không quá một nghiệm (dễ dàng chứng minh tính

chất này). Đây là một tính chất giúp ta có thể giải nhiều bài tóan mà nếu giải bằng cách

thông thường là khá khó khăn, chẳng hạn như các bài tập sau đây:

Bài 4: Giải phương trình log2(x+1) + log3(x+2) + 2x+1- 6 = 0.

Giải: Dễ dàng chứng minh rằng hàm số f(x) = log2(x+1) + log3(x+2) + 2x+1- 6

đồng biến trên tập (-1, + ), và f(1)=0, nên phương trình có x= 1 là nghiệm duy nhất. ∞

c. Tìm cái chung từ nhiều cái riêng. Từ (2) cái riêng chỉ tồn tại trong mối liên hệ

đưa tới cái chung, do đó nếu quan sát nhiều cái riêng có thể giúp phát hiện ra cái

chung.

Ví dụ: Tính tích phân

a) I= dxxsinxcos

xsin2/

0∫

π

+. Bằng phép đổi biến: t = x

2−

π ta có

I= dttsintcos

tcos2/

0∫π

+. Suy ra I =

21

4dx

xsinxcosxcosxsin2/

0

π=

++

∫π

.

b) Tính J= dxxsinxcos

xsin2/

044

4

∫π

+. Giải một cách tương tự như trên ta có:

J= 4π

.

Từ a) và b) ta có thể rút ra tính chất chung như sau:

4dx

xsinxcosxsindx

xsinxcosxcos 2/

0nn

n2/

0nn

n π=

+=

+∫∫

ππ (với n ). 1≥

Tổng quát hơn nữa, ta có kết quả sau đây:

Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số liên tục trên đoạn ]2

,0[ π

và u(x) +w(x) = v(x) và u( )2

x−π

= w(x) với mọi x ]2

,0[ π∈ thì

I= dx)x(v)x(u2/

0∫

π= dx

)x(v)x(w2/

0∫

π=

4π

.

60

Áp dụng: Tính

a) dxxcosx2sinxsin

xcosxsinxcos2/

0∫

π

+++

;

b) / 2 4 3

3 30

sin x cos x dxsin x(sin x 1) cos x(cos x 1)

π ++ + +∫ .

4.3. Các công dụng khác của mối quan hệ giữa cái riêng và cái chung

a. Phát triển trí nhớ thông qua quan hệ giữa cái riêng và cái chung

Vì cái chung tồn tại trong cái riêng, nên ta có thể ghi nhớ cái chung thông qua

một cái riêng. Ngoài ra, để kiểm tra tính chính xác của nhiều tính chất hay công thức

chúng ta có thể kiểm chứng chúng thông qua một cái riêng.

Ví dụ: Để ghi nhớ các tính chất của một cấp số cộng, ta có thể xuất phát từ dãy

số: 1, 2, 3,…, 98, 99, 100 và ghi nhớ (hoặc tìm lại) các tính chất của cấp số cộng như

Hình 2.11.

Cấp số cộng 1, 2, 3, 4,...,98, 99, 100

1+100=2+99=…=101 S100= 2

100 (1+100)

S n= 2n (u1+un)

(Sn=u1+u2+...+un)

2=21 (1+3),

3=21 (2+4)..

b=21 (a+c)

(a,b,c là 3 số liên tiếp)

Hình 2.11: Cách ghi nhớ các tính chất của cấp số cộng

Ví dụ: Để ghi nhớ điều kiện lồi lõm và cực trị của hàm số bằng đạo hàm cấp

hai, nhờ vào hàm số y = x2 ta dễ dàng tìm lại các kết quả sau đây:

61

O

x

yy=x2

Hình 2.12: Ghi nhớ các đấu hiệu lồi lõm và cực trị nhờ đồ thị hàm y=x2

y’’>0: đồ thị lõm. Suy ra y’’ <0: đồ thị lồi.

x:0)(''0)('

0

0

⎩⎨⎧

>=

xfxf

0 cực tiểu. Suy ra x:0)(''0)('

0

0

⎩⎨⎧

<=

xfxf

0 cực đại.

Chỉ ra các dạng toán có tính tổng quát và với thuật giải tương ứng

Thông thường, mỗi bài toán mà các em học sinh gặp trong nhà trường phổ thông

thuộc một dạng toán tổng quát nào đó. Nhằm giúp học sinh có thể giải nhanh chóng

bài toán có thuộc các dạng quen thuộc, giáo viên cần tổng kết các dạng toán có tính

tổng quát (có thuật giải tương ứng cho từng dạng toán) sau khi dạy một chương hay

một chủ đề.

Ví dụ: Sau khi giải các bài toán như: tính các giới hạn

2nn3n7lim

2

2

+

−,

nn21n2n6lim

3

3

−

+−,

3n3n1n2lim

3

2

+−

+,

giáo viên cần chỉ ra các dạng tổng quát như sau:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<

=

>∞

=++

++

pmnÕu0

pmnÕuba

pmnÕu

b...bna...an

lim0

p0

m;

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<

=

>∞

=++

++∞→

pmnÕu0

pmnÕuba

pmnÕu

b...bxa...ax

lim0

p0

m

x.

62

để học sinh có thể đoán trước kết quả của các giới hạn thuộc các dạng trên.

Ví dụ: Khi dạy học hàm số bậc ba: y= f(x) ax3+bx2+cx+d (a≠0) (C), ngoài việc nêu

các dạng đồ thị của hàm số này, ở cuối chương giáo viên cần tổng kết các dạng toán có

tính tổng quát liên quan. Chẳng hạn, ta có thể tổng kết các dạng bài toán liên quan đến

điểm uốn của đồ thị hàm số bậc ba như bài toán sau đây:

- Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị.

- Chứng minh rằng tại điểm uốn chỉ kẻ được duy nhất một tiếp tuyến với đồ thị.

- Chứng minh rằng hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn có giá trị nhỏ nhất (hay

giá trị lớn nhất).

- Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm A, B và C phân biệt sao cho AB = BC.

Tóm lại, trong dạy học môn Toán, nếu khai thác mối quan hệ cái riêng và cái

chung thì giáo viên:

- Có thể tiến hành dạy học khám phá, dạy học với giả thuyết khoa hoc (dự đoán);

- Có thể xây dựng bài toán mới từ các bài toán đã biết. Điều này được Nguyễn

Cảnh Toàn viết như sau khi bàn về mối quan hệ biện chứng giữa cái chung và cái

riêng: “Không có cái “mới” tuyệt đối, cái “mới” bao giờ cũng ra đời từ cái “cũ”, kế

thừa cái “cũ”. Khái quát, mở rộng cái “cũ” là con đường đi đến cái “mới”;

- Chỉ ra những dạng toán có tính tổng quát cho học sinh. Vì vậy, giúp phát triển

năng lực giải toán cho học sinh;

- Có thể góp phần tập dượt hoạt động sáng tạo cho học sinh;

- Nắm cấu trúc chương trình toán phổ thông một cách sâu sắc, thấy được mối liên

hệ giữa các loại tri thức. Nhờ đó, họ có thể chọn được các phương pháp dạy học thích

hợp cho từng nội dung tri thức trong chương trình nhằm đảm bảo tính “liên thông”,

tính “toàn cục” của các tri thức;

- Phát triển trí nhớ cho học sinh.

5. DẠY HỌC KHÁM PHÁ VỚI PHÉP TƯƠNG TỰ Câu hỏi 7: Hãy dùng phép tương tự dạy học khám phá khái niệm khoảng cách giữa một điểm và một mặt phẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

63

5.1. Cơ sở lý thuyết Danh từ tương tự có nguồn gốc từ một từ toán học của Hy lạp. Từ này có nghĩa là sự bằng nhau của hai tỉ số. Ví dụ hệ hai số 3 và 4 tương tự với hệ hai số 9 và 12. Trong logic, tương tự là suy luận trong đó kết luận về sự giống nhau của các dấu hiệu được rút ra trên cơ sở giống nhau của các dấu hiệu khác của các đối tượng. Có hai loại tương tự: tương tự theo thuộc tính và tương tự theo quan hệ. Gọi là tương tự theo thuộc tính khi dấu hiệu được rút ra trong kết luận biểu thị thuộc tính, gọi là tương tự theo quan hệ khi dấu hiệu được rút ra trong kết luận biểu thị quan hệ. 5.2. Các mô hình dạy học có sử dụng phép tương tự Khi dạy học có sử dụng tương tự, cần chú ý đến ba thành phần: - Kiến thức đích (target): kiến thức mà học sinh cần truyền thụ - Kiến thức nguồn (analog): kiến thức được dùng làm tương tự - Các dấu hiệu tương ứng giữa kiến thức nguồn và đích Mục tiêu của việc sử dụng tương tự ở đây là chuyển những tư tưởng từ những kiến thức nguồn (cái quen thuộc) thành kiến thức đích (cái không quen thuộc). Nếu chúng có chung một số đặc điểm (hay tính chất), thì một điều tương tự có thể được rút ra. Như vậy, tư tưởng chính của phép tương tự có thể được tóm tắt như Hình 2. 13.

Kiến thức nguồn

Kiến thức đích

Các dấu hiệu tương ứng

Hình 2. 13: Các thành phần cơ bản của quá trình dạy học tương tự.

Để biểu thị quá trình so sánh các đặc điểm trong khi dùng phép tương tự, ta có thể dùng sơ đồ sau đây:

TƯƠNG TỰ

Kiến thức nguồn so sánh Kiến thức đích Đặc điểm 1,2,3, v.v… Đặc điểm 1,2,3, v.v…

64

Qui trình của dạy học với tương tự được thể hiện trong mô hình T-W-A (the Teaching-With-Analogies), do Glynn đề nghị (1989) gồm các bước như sau:

1. Giới thiệu kiến thức cần dạy (kiến thức đích). 2. Khơi dậy ký ức của học sinh về tình huống tương tự. 3, Nhận biết các đặc điểm quan trọng kiến thức dùng làm tương tự (kiến thức nguồn). 4. Thiết lập sự tương ứng giữa kiến thức nguồn và kiến thức đích. 5. Chỉ ra những kết luận không đúng.

6. Rút ra kết luận về kiến thức đích. Trước và sau khi dạy học một tương tự, giáo viên cần phân tích tương tự đó để cho việc dạy học hiệu quả hơn. Mô hình FAR (the Focus-Action-Reflection) hướng dẫn giáo viên thực hiện việc phân tích khi dạy học một tương tự. Mô hình FAR (Treagust, Venville, Stocklmayer& Thiele, 1993)

Tâm điểm (Focus):

KHÁI NIỆM Khái niệm cần học có khó, không quen thuộc hay trừu tượng.

HỌC SINH Những ý tưởng nào mà học sinh đã biết về khái niệm.

NGUỒN Có điều gì học sinh quen thuộc.

Hành động (Action):

TƯƠNG ĐỒNG Thảo luận những đặc điểm của nguồn và khái niệm và rút ra

những điểm giống nhau giữa chúng.

DỊ BIỆT Thảo luận những điểm nào của nguồn không giống với khái niệm.

Suy xét (Reflection):

KẾT LUẬN Nguồn có rõ ràng và hữu ích, hay gây nhầm lẫn.

CẢI TIẾN Xét lại tâm điểm trên cơ sở những kết luận.

5.3. Dạy học khám phá với phép tương tự - Dùng tương tự để xây dựng giả thuyết khoa học

65

Trong dạy học môn toán, ta có thể sử dụng phép tương tự theo thuộc tính hay tương tự theo quan hệ giữa các đối tượng mà đưa ra giả thuyết, sau đó tiến hành chứng minh hay bác bỏ (xem Hình 2.14, Hình 2.15).

-A có tính chất Pn+1

- A và B cùng có các tính chất

P1,.., Pn

B có tính chất Pn+1?

Hình 2.14: Mô hình xây dựng giả thuyết bằng tương tự theo thuộc tính

- A có quan hệ với C

- A và B cùng loại (hay có cấu

trúc tương tự)

B có quan hệ với C?

Hình 2.15: Mô hình xây dựng giả thuyết bằng tương tự theo quan hệ

Ví dụ: Sử dụng tương tự trong dạy học Cấp số nhân.

Nguồn Đích

Trong cấp số cộng có số hạng đầu là

u1và cộng sai là d thì số hạng tổng quát

là un=u1+(n-1)d

Trong cấp số nhân có số hạng đầu u1 và

công bội là q thì số hạng tổng quát liệu

có là: un= u1. q(n-1) ?

Nếu a, b, c là ba số hạng liên tiếp của

một cấp số cộng thì b là trung bình cộng

của a và c.

Một cách tương tự nếu a, b, c là ba số

hạng liên tiếp của một cấp số nhân thì

liệu b có bằng trung bình nhân của a và

c?

Ví dụ: Sử dụng tương tự trong dạy học đạo hàm

Nguồn Đích

axlim→

(u v)= u v ±ax

lim→

±ax

lim→

axlim→

(uv)= u. v ax

lim→ ax

lim→

axlim→

(vu

)=ax

ax

vlim

ulim

→

→

(u±v)’=u’±v’

(u.v)’=u’.v’ ?

'

''

vu

vu

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ?

66

- Dùng tương tự khám phá nội dung học tập. Trong môn Toán ở nhà trường phổ

thông có nhiều chủ đề có bố cục nội dung nghiên cứu giống nhau. Vì vậy, khi dạy học

chủ để sau có thể tổ chức cho học sinh tự đề ra các vấn đề nghiên cứu nhờ sử dụng

tương tự.

Ví dụ: Dạy học cấp số nhân. Sau khi phát biểu định nghĩa khái niệm giáo viên

cho ví dụ về một cấp số nhân ; chẳng hạn,

2, 4, 8, 16, 32..., 2n, .. (1)

Giáo viên: Tương tự như cấp số cộng, theo các em tiếp theo đây chúng ta sẽ học

gì?

Học sinh: Số hạng tổng quát của cấp số nhân, tính chất của ba số hạng liên tiếp,

tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân. Sau đó giáo viên tổ chức cho học sinh dựa

vào định nghĩa và phép qui nạp không hoàn toàn: u2 = u1.q, u3=u1.q2, để phát hiện công

thức tính số hạng tổng quát của cấp số nhân un=u1.qn-1 và chứng minh công thức này

đúng. Để giúp học sinh phát hiện tính chất uk2=uk-1.uk+1, giáo viên cho học sinh quan

sát và tìm mối liên hệ của từng ba số liên tiếp (2, 4, 8), (4,8,16) của (1).

5.4. Các công dụng khác của phép tương tự

- Dùng tương tự trong xây dựng ý nghĩa của tri thức. Trong quá trình dạy học, để

giúp học sinh hiểu được những khái niệm khoa học, giáo viên thường sử dụng tương

tự. Chẳng hạn, con mắt giống như một máy quay phim, trái tim giống như một máy

bơm, dòng điện giống như một dòng nước. Trong Toán học, một vô cùng lớn trừ cho

một số hữu hạn là một vô cùng lớn giống như ta lấy một số hữu hạn thùng nước biển

ra khỏi biển không làm thay đổi mực nước biển; một dãy số có giới hạn là a thì các số

hạng có khuynh hướng tập trung quanh số a giống như trên khi một đoạn đường qui

định xe ô tô chỉ được chạy với vận tốc giới hạn là 35km/g thì tốc độ của các xe ô tô

đến đoạn đường này hầu hết giữ tốc độ 35 km/g; đồ thị của hàm số gián đoạn tại một

điểm bị đứt khoảng tại điểm đó giống như trên một tuyến đường lưu thông có một cây

cầu bị gãy.

- Dùng tương tự để dự đoán và ngăn ngừa sai lầm của học sinh. Trong học toán,

học sinh thường mắc sai lầm khi sử dụng tương tự vì hai đối tượng dù tương tự nhưng

vẫn có những dấu hiệu không giống nhau. Chẳng hạn, trong mặt phẳng hai đường

thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song nhau. Khi học

hình học không gian, học sinh (thậm chí có cả sinh viên sư phạm toán) bị sai lầm khi

67

cho rằng mệnh đề trên vẫn đúng, hay phát biểu rằng hai mặt phẳng phân biệt cùng

vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song nhau. Vì vậy, trong quá trình dạy học

toán, giáo viên cần đặc biệt lưu ý ngăn ngừa những sai lầm của học sinh khi dạy học

những chủ đề tương tự nhau trong chương trình.

Ví dụ : Khi dạy phép toán tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số có đạo hàm,

giáo viên cần chú ý rằng vì học sinh đã quá quen thuộc với các phép toán tương tự về

luỹ thừa, phép toán về giới hạn của hàm số, hàm số liên tục,... nên các em dễ bị sai khi

tính đạo hàm của tích và thương của hai hàm số. Do đó, giáo viên đặc biệt lưu ý nhắc

nhở và cho học sinh luyện tập nhiều hơn về loại toán tính đạo hàm của tích và thương

của hai hàm số.

Ví dụ: Vì nhiều dạng toán về giới hạn của hàm số tương tự với dạng toán về

giới hạn của dãy số nên học sinh thường mắc sai lầm trong việc giải các bài toán về

giới hạn của hàm số. Chẳng hạn, từ việc giải bài toán tính limn

1nn2 +− bằng cách:

limn

1nn2 +− =

nn1

n11n

lim2

+−=

1n1

n11

lim2

+−=1,

học sinh thường giải bài toán x

1xxlim2

x

+−∞→

tương tự như sau:

x

1xxlim2

x

+−∞→

=x

x1

x11x

lim2

x

+−

∞→=

1x1

x11

lim2

x

+−

∞→=1

Kết luận, nếu giáo viên sử dụng tương tự thích hợp thì quá trình dạy học có

những ưu điểm sau đây:

- Trực quan. Việc dùng những khái niệm tri thức mà học sinh đã biết hay đã quen

thuộc giúp học sinh học tập khái niệm trừu tượng một cách trực quan.

- Liên hệ với đời thường. Sử dụng các tri thức đời thường làm tương tự tạo thuận

lợi cho học sinh hiểu kiến thức mới trừu tượng.

- Gây động cơ học tập cho học sinh bởi các tình huống có vấn đề được tạo ra

bằng tương tự.

68

- Khuyến khích giáo viên chú ý kiến thức vốn có của học sinh trước khi dạy tri

thức mới.

- Phát triển năng lực giải quyết vấn đề. Do đó, phát triển năng lực làm việc độc lập

- Phát triển khả năng phát hiện kiến thức mới cho học sinh. Do đó, góp phần rèn

luyện năng lực sáng tạo cho học sinh.

Ngược lại, nếu giáo viên sử dụng kiến thức nguồn mà không được học sinh biết rõ

thì sự tương tự có thể gây rối rắm cho học sinh. Ngoài ra, kiến thức nguồn và đích

thường có những dấu hiệu giống nhau, và cũng có những dấu hiệu khác nhau, nên tương

tự cũng có thể làm học sinh hiểu sai những vấn đề nằm ngoài dự kiến của giáo viên.

Câu hỏi 8: Hãy sử dụng phép tương tự để dạy khám phá các tính chất liên quan

đến mặt cầu.

69

TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT

1. A. Bessot, C. Comiti & F. Richard (1993), Nhập môn didactic toán, Nxb Thế giới, Hà Nội.

2. A. A. Bessot, C. Comiti (2007), Bài giảng về Lý thuyết tình huống và Didactic Toán,

Trường Didactic Toán (Đà Lạt, ngày 12-15 tháng 3 năm 2007).

3. Nguyễn Bá Kim (1982), Tập luyện cho học sinh khái quát hóa tài liệu toán học, Tạp

chí Nghiên cứu giáo dục số 5/1982, tr. 19-22, Hà Nội.

4. Nguyễn Bá Kim (2007), Phương pháp dạy học môn Toán, Nxb Đại học Sư Phạm, Hà Nội.

5. Phạm Văn Hoàn (1981), Giáo dục học môn Toán, Nxb Giáo dục, Hà Nội.

6. Nguyễn Phú Lộc (1997),Tổ chức dạy học khám phá trong môn Giải tích bằng máy

tính, tạp chí Nghiên cứu giáo dục, số 10 (305) 1997.

7. Nguyễn Phú Lộc (2001), Dạy học khám phá – một biện pháp nâng cao tính tích cực

của học sinh trong dạy học toán, tạp chí Giáo dục, số 19-12/2001

8. Nguyễn Phú Lộc (2003), Qui nạp khoa học và ba mô hình dạy học khái niệm toán học,

Tạp chí Giáo dục, số 51 (2/2003), tr. 28-30, Hà Nội.

9. Nguyễn Phú Lộc (2003), Dạy học định lý toán học với giả thuyết khoa học, Tạp chí

Giáo dục, số 67 (9/2003), tr. 24-25. Hà Nội.

10. Nguyễn Phú Lộc (2003), Khai thác quan hệ giữa “cái riêng” và “cái chung” trong dạy

học toán, Tạp chí Giáo dục, số 70 (10/2003), tr. 35-36, Hà Nội.

11. Nguyễn Phú Lộc (2004), “Bức tranh ý niệm” và “định nghĩa khái niệm”: hai tế bào trong nhận

thức khái niệm, Tạp chí Giáo dục, số 80 (3/2004), tr. 33-34, Hà Nội.

12. Nguyễn Phú Lộc (2004), "Sử dụng tương tự trong dạy học toán học", Tạp chí Giáo

dục, 87 (5/2004), tr. 27&31-32, Hà Nội.

13. Nguyễn Phú Lộc (2004), "Dạy học “cấp số cộng” dựa theo các phương pháp nhận thức

khoa học", Tạp chí Giáo dục, số 92 (7/2004), tr. 27-30, Hà Nội.

14. Nguyễn Phú Lộc (2005), "Những chướng ngại về nhận thức trong học tập khái niệm

giới hạn của dãy số và một số biện pháp khắc phục", Tạp chí Giáo dục, số 110-3/2005,

tr. 30-31, Hà Nội.

15. Nguyễn Phú Lộc (2005), "Thực trạng đặt câu hỏi hình thành khái niệm theo con

đường qui nạp của giáo viên phổ thông và sinh viên Sư phạm Toán", Kỷ yếu hội nghị

khoa học năm 2005- Chuyên đề: Thiết kế và sử dụng câu hỏi trong dạy học, Đại học

Cần thơ, tr. 10-12.

16. Nguyễn Phú Lộc (2006), Nâng cao hiệu quả dạy học môn Giải tích trong nhà trường

70

trung học phổ thông theo hướng tiếp cận một số vấn đề của phương pháp luận toán

học (Luận án tiến sĩ), Đại học Vinh, Vinh.

17. Nguyễn Cảnh Toàn (2001), Tuyển tập tác phẩm-Tự giáo dục, tự học, tự nghiên cứu,

tập 1, Trung tâm Đại Học Sư Phạm Hà Nội, Hà Nội.

TIẾNG ANH

18. Bicknell – Holmes, T. & Hoffman, P. S. (2000). Elicit, engage, experience, explore:

Discovery learning in library instruction. Reference Services Review. 28(4), 313 – 322.

19. Freuthenthal, F. (1993), Mathematics as an educational task, Dordrecht: R. Reidel

Publishing Company.

20. 16. Glynn, S., Russell, A., Noah, D., Teaching Science Concepts to Children: The

Role of Analogies, College of Education, Univesity of Georgia,

http://www.coe.uga.edu./edpsych/faculty/glynn/twa.html, ntc: 28/4/2003.

21. Harrison, A. G (1992), Evaluation of a model for teaching anlogies in secondary

science, Master thesis of Science, Science and Mathematics Centre, Curtin

University, http://adt.curtin.edu.au/theses/available/adt-WCU20020826.122106, ntc:

28/4/2003.

22. A. Sierpinska (2003), Theory of didactical situations, Concordia University, Montreal

(Canada), 2003.

23. Svinicki, M. D. (1998). A theoretical foundation for discovery learning. Advances in

Physiology Education 275:4-8, 1998.

71