y = x2 -1

y = x2+1

y = x2

aukeavat ylöspäin

symmetrisiä y-akselin suhteen

y-akseli on paraabelin akseli

6.2.1. PARAABELI (2. ASTEEN FUNKTION KUVAAJIA)

Toisen asteen polynomifunktio f(x) = ax2 + bx + c , a 0

* kuvaaja paraabeli

* sijainti koordinaatistossa riippuu kertoimista a, b, c

* kaartumisen jyrkkyys riippuu kertoimesta a

* paraabeli on symmetrinen huipun kautta kulkevan pystysuoran akselin suhteen

Jos a > 0, paraabeli ylöspäin aukeava

Jos a < 0, paraabeli alaspäin aukeava

a > 0 a < 0Nollakohtien lukumäärä eli

ax2 + bx + c= 0, a0 2 nk

1 nk

ei

nk

E.1.

Piirrä paraabeli y = x2 - 4

x y = x2 - 4

-2 (-2)2 - 4 = 0

-1 (-1)2 - 4 = -3

0 02 - 4 = -4

1 12 - 4 = -3

2 22 - 4 = 0

7.1.2. Yhtälö ax2 + bx = 0

- vasen puoli jaetaan tekijöihin

- tulo on nolla jos ja vain jos jokin tulon tekijöistä on nolla

Tulon nollasääntö

ab = 0 a = 0 tai b = 0

E.1. x(x – 2) = 0

x = 0 tai x – 2 = 0

x = 2

7.1.1. Toisen asteen yhtälön perusmuoto x2 + bx + c = 0, a 0

E.2. a) 4x2 – 8x = 0 4x(x – 2) = 04x = 0 |:4 tai x – 2 = 0 x = 0 x = 2

V: x1 = 0, x2 = 2

b) x2 = -4x x2 + 4x = 0 x(x + 4) = 0 x = 0 tai x + 4 = 0

x = -4

V: x1 = 0, x2 = -4

7.1.3. Yhtälö ax2 + c = 0

- ratkaistaan ensin x2:

x2 = r

E.3. a) x2 – 9 = 0 x2 = 9

x = ±3

b) 2x2 – 10 = 0 2x2 = 10 |:2 x2 = 5

rx rx tai

5x

E.4.a) (x + 2)(x – 2) = 12 x2 – 4 = 12 x2 = 16 x = ±4

b) (x + 2)2 = 4x x2 +4x + 4 = 4xx2 +4x + 4 - 4x = 0 x2 = -4V: ei reaalista ratkaisua

E.5.

10x3 – 10x = 0

10x(x2 – 1) = 0

10x = 0 | :10 tai x2 – 1 = 0

x = 0 x2 = 1

x = ±1

7.2.2. asteen yhtälön ratkaisukaava

ax2 + bx + c= 0, a0

a

acbbx

2

42

E.1.x2 + 4x - 5 = 0a = 1 b = 4 c = -5

52

64

ai t

12

64

x

x

12

)5(1444 2

x

2

20164

2

64

2

364

E.2. Ratkaise yhtälö

x(x - 3) - 2 = 8

x2 - 3x - 2 = 8

x2 - 3x - 2 - 8 = 0

x2 - 3x - 10 = 0

a =1 b = -3 c = -10

12

)10(14)3(3 2

x

2

4093

2

73

2

493

V: x1 = 5, x2 = -2

E.3. Ratkaise yhtälö

12

)16(1466 2

y

2

64366

2

106

2

1006

V: x1 = 2 x2 = -8

024

3

8

1 2 yy | ·8

01662 yy

a = 1 b = 6 c = -16

a

acbbx

2

42

Esimerkki

4x2 - 2x = 0

Tapa 1:

Tulon nollasäännöllä:

2x(2x - 1) = 02x = 0 tai 2x - 1 = 0 x = 0 2x = 1 :2 x = ½

Tapa 2:

Ratkaisukaavalla:

a = 4 b = -2 c = 0

42

044)2()2( 2

x

8

42 x

8

22

x= ½ tai x = 0

a

acbbx

2

42

Esimerkki

4x2 - 16 = 0

Tapa 1:

4x2 - 16 = 0 4x2 = 16 :4 x2 = 4

Tapa 2:

Ratkaisukaavalla:

a = 4 b = 0 c = -16

42

)16(4400 2

x

8

2560 x

8

160

x= 2 tai x = -224 x

7.2.3. Diskriminantti

D = b2 - 4ac eli 2. asteen yhtälön ratkaisukaavassa neliöjuuren alla oleva lauseke.

E.1. Laske yhtälön diskriminantti

a) x2 + 3x - 4 = 0 b) 3x2 – 4x + 5 = 0

a) a = 1 b = 3 c = -4

D = 32 - 4·1·(-4) = 25

a) a = 3 b = -4 c = 5

D = (-4)2 - 4·3·5 = -44

Toisen asteen yhtälön ratkaisujen lukumäärä diskriminantin avulla

ax2 + bx + c = 0

Jos D > 0, on yhtälöllä kaksi erisuurta reaalista ratkaisua.

a

Dbx

2

Jos D = 0, on yhtälöllä yksi kaksinkertainen reaalinen ratkaisu. (kaksoisjuuri)

Jos D < 0, ei yhtälöllä ole yhtään reaalista ratkaisua

E.2. Montako ratkaisua on yhtälöllä a) 2x2 - 3x - 4 = 0 b) 0,25x2 + x + 1 = 0 c) 3x2 - 4x + 2 = 0 ?

a) D = (-3)2 – 4 · 2 · (-4) = 41 > 0 2 ratkaisuab) D = 12 - 4 · 0,25 · 1 = 0 1 ratkaisuc) D = (-4)2 - 4 · 3 · 2 = -8 ei ratkaisua reaalilukujoukossa

E.3. Millä a:n arvoilla yhtälöllä x2 - 4x + a = 0 on a) kaksi b) yksi c) nolla ratkaisua?

D = (-4)2 - 4 · 1 · a = 16 - 4a

a) 16 – 4a > 0

-4a > -16

a < 4

b) Yksi ratkaisu, kun D = 0:16 - 4a = 0 -4a = -16 a = 4

c) 16 – 4a < 0 -4a < -16 a > 4

E.4.

Määritä a, kun yhtälöllä x2 + (a – 1)x + 9 = 0 on yksi reaalinen ratkaisu.

Mikä on tämä ratkaisu?

D = (a - 1)2 – 4 · 1 · 9

= a2 - 2a + 1 – 36

= a2 – 2a - 35

a = 7:

x2 + 6x + 9 = 0

12

91466 2

x

12

)35(14)2(2 2

a

12

1442

a

12

122

a

a1 = 7

a2 = -5

12

06

= -3

a = -5:

x2 - 6x + 9 = 0

12

914)6(6 2

x 12

06

= 3

E.6. Köyden pituus on 100 m. Sillä aidataan 600 m2 suorakulmion muotoinen alue. Miten pitkiä ovat sivut?

x(50 - x) = 600

50x - x2 = 600

-x2 + 50x - 600 = 0

x2 – 50x + 600 = 0

x

50 - x

12

60014)50(50 2

x

12

1050

x1 = 30

x2 = 20

V: 30 m, 20 m

20 m, 30 m

7.3.1. 2. asteen yhtälön ratkaisujen summa ja tulo

Jos toisen asteen yhtälön ax2 + bx + c = 0 ratkaisut ovat x1 ja x2 ,

niin

a

bxx 21 a

cxx 21

Huomaa, jos a = 1, niin

x1 + x2 = -b ja x1 · x2 = c

E.1. Määritä yhtälön ratkaisujen summa ja tulo

a) x2 + 4x - 5 = 0a = 1 b = 4 c = -5x1 + x2 = - b = -4 x1 · x2 = c = -5

(aikasemmin: x1 = 1 ja x2 = -5)

b) 4x2 - 2x = 0

2

1

4

221

a

bxx

04

021 a

cxx

(aikaisemmin: x1 = 0 ja x2 = ½)

7.3.2. Toisen asteen polynomin ax2 + bx + c jakaminen tekijöihin

1) Laske nollakohdat x1 ja x2

2) ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)

Huom: Jos x1 = x2, niin ax2 + bx + c = a(x – x1)2

E.2. Jaa tekijöihina) x2 – 4x – 5 b) 2x2 – 5x - 3

a) Ratkaisukaavalla x1 = 5 x2 = - 1

x2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1)

b) Ratkaisukaavalla x1= 3 x2 =-½

2x2 - 5x - 3 = 2(x - 3)(x + ½) = (x - 3)(2x + 1)

Tekijälause

x – a on P(x):n tekijä P(a) = 0

Siis

Binomi (x – a) on polynomin P(x) tekijä, jos ja vain jos x = a on polynomin P(x) nollakohta

E.3. (t.550b) Määritä a siten, että polynomilla ax2 – 6x + 4 on tekijänä x – 1

Tekijälauseen mukaan x = 1 on polynomin nollakohta:

a · 12 – 6 · 1 + 4 = 0

a – 2 = 0

a = 2

Toisen asteen epäyhtälöRatkaisu nollakohtia ja kuvaajaa käyttäen1) Epäyhtälö perusmuotoon ax2 + bx + c > 0 (tai <, ≤, ≥)2) Ratkaistaan nollakohdat3) Hahmotellaan paraabeli (nollakohdat, aukeamissunnta)4) Päätellään ratkaisu

E.1.x2 + 4x - 5 > 0

x = 1 tai x = -5

Kuvaaja:

Vastaus: x < -5 tai x > 11-5

12

)5(1444 2

x

2

64

Nollakohdat: x2 + 4x - 5 = 0

E.2

a) x2 < 4 x2 - 4 < 0

Nollakohdat: Kuvaaja:

2

+

-

V: -2 < x < 2

-2

+

x2 – 4 = 0

x2 = 4

x = ±2

E.3.xx 692

x2 - 6x + 9 < 0

Nollakohdat: x2 – 6x + 9 = 0

32

06

12

914)6(6 2

x

x1 = x2 = 3

Kuvaaja:

V:

(tyhjä joukko)

+

3

+

E.4.01682 xx

Nollakohdat: -x2 + 8x – 16 = 0

42

08

)1(2

)16()1(488 2

x

x1 = x2 = 4

Kuvaaja:

V: x R

4

E.5. (t.570)

Osoita, että funktion f(x) = x2 – 4x + 5 kaikki arvot ovat positiivisia

x2 – 4x + 5 > 0

Nollakohdat: x2 – 4x + 5 = 0

2

44

12

514)4(4 2

x

ei ratkaisua, sillä D < 0

Kuvaaja:

=> f(x) > 0 kaikilla x R

++

Esimerkkejä:

1. Millä x:n arvoilla funktio f(x) = 2x2 - 3x + 2 saa pienempiä arvoja kuin 4?2x2 - 3x + 2 < 4 2x2 - 3x - 2 < 0nollakohdat, paraabeli, vastaus

2. Millä vakion a arvoilla yhtälön x2 - 3ax + 2a = 0 ratkaisut ovat reaaliset?D = (-3a)2 - 4 *1*2a = 9a2 - 8a9a2 - 8a > 0nollakohdat, paraabeli, vastaus

Polynomin jakaminen tekijöihin

Kertausta1) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

2) a2 - 2ab + b2 = (a - b)2

3) a2 – b2 = (a + b) (a – b)

E.1. Jaa tekijöihina) x2 + 3x = x(x + 3)b) 6x2 – 8x = 2x(3x – 4)c) 5x3 – 10x2

= 5x2(x – 2)d) x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

e) x2 – 2x + 1 = (x – 1)2

f) x2 – 49 =(x + 7)(x – 7)

8.1.2. Korkeamman asteen yhtälöt

YhtälötTulo on nolla, jos jokin tulon tekijöistä on nollaMerkitse kaikki tulon tekijät = 0 ja ratkaise näin saadut yhtälöt

E.2. Ratkaise(x – 2)(x2 – 9) = 0 x – 2 = 0 tai x2 – 9 = 0 x = 2 x2 = 9 x = 3

Tulo = 0, yhteinen tekijä

Kaikki termit vasemmalle puolelleJaetaan tekijöihin

Ratkaistaan näin saatu tulo = 0 yhtälö merkitsemällä kaikki tekijät = 0.

E.3. Ratkaise x3 – 2x2 – 3x = 0 x(x2 – 2x – 3 ) = 0x1 = 0 tai x2 – 2x – 3 = 0

x2 = 3, x3 = -1 (RTK-KAAVALLA)

Tulo = 0, ryhmittely

Kaikki termit vasemmalle puolelleRyhmittely, yhteinen tekijäTekijät = 0

E.4. Ratkaise x3 – 3x2 + x – 3 = 0 (x3 – 3x2) + (x – 3) = 0 x2(x – 3) + (x – 3) = 0 (x2 + 1) (x – 3) = 0

x2 + 1 = 0 tai x – 3 = 0 x2 = -1 x = 3ei ratkaisua

E.5. (598)

a) x4 – 5x2 +4 = 0 b) x4 + 5x2 + 4 = 0

Tulo > 0 ( <, , )Tekijät =0, merkitLukusuorataulukkoVastauksen päättely

8.2. Korkeamman asteen epäyhtälöt

E.6. Ratkaise (x2 – x)(x + 1) > 0

NK: (x2 – x)(x + 1) = 0 x(x – 1)(x + 1) = 0x1 = 0 x – 1 = 0 x + 1 = 0

x2 = 1 x3 = -1

TAPA I: (kokeilu)

f(x) = (x2 – x)(x + 1) = x3 + x2 – x2 – x = x3 - x

-1 0 1x f(x) = x3 – x

-2 (-2)3 – (-2) = -6 < 0 -

-½ (-½)3 – (-½) = 3/8 > 0

+

½ (½)3 – ½ = -3/8 < 0

-

2 23 – 2 = 6 > 0

+

V: -1 < x < 0 tai x > 1

TAPA II:

x(x – 1)(x + 1) > 0

NK: Kuten edellä

x1 = 0 x2 = 1 x3 = -1

E.7. Ratkaise 3x3 > 2x2 + x

3x3 - 2x2 – x > 0

x(3x2 – 2x – 1) > 0NK:

x(3x2 – 2x – 1) = 0

x1 = 0 V 3x2 – 2x – 1 = 0

32

)1(34)2(2 2

x6

162

6

42

x2 = 1 3

13 x

Yhden ratkaisun etsiminen ”kokeilemalla” Jos huomattu x = a, on tekijänä (x - a)Kaikki termit vasemmalle puolelleJakamalla vasen puoli yhteisellä tekijällä saat toisen tekijänNäin saat yhtälön tulo = 0, joka ratkaistaan

E.4. Ratkaise x3 - 4x2 + 3x + 2 = 0Kokeilemalla yksi rtk: x = 2

Onko annettu binomi polynomin tekijä?

x3 – x2 - 5x – 3, (x – 3)

Siis

jos x – 3 on tekijänä => 3 on polynomin nollakohta

a) Tapa 1

nk: x = 1

x -1 tekijänä

0

44x

44x -

33

473 12

2

xx

xxx

3x - 4

Tapa 2

Ratkaisukaavalla nollakohdat:

6

17

32

434)7(7 2

x

x = 1 tai x = 4/3

)3

4)(1(3473 2 xxxx

)43)(1( xx

663. P(x) = ax3 -31x2 + 1 eräs nollakohta on x = 1. Määritä a.

P(x) = 0 ?

P(1) = 0: a · 13 - 31 · 12 + 1 = 0

a = 30

jakokulmassa

Johdantoesimerkki – kirja sivut 161 -162

E.1. Määritä paraabelin y = x2 – 2x huippu

Kuvaaja ”katkoviiva”

Paraabelin symmetrisyyden perusteella huipun x-koordinaatti on x-akselin ja paraabelin leikkauspisteiden keskiarvo

12

20

221

xxx

y sijoittamalla: y = 12 - 2·1 = -1

Huippu: (1, -1)

E.2. Määritä paraabelin y = x2 – 2x + 2 huippu

Kuvaaja: 2 yksikköä ylöspäin

Huipun x – koordinaatti pysyy samana

Huipun y-koordinaatti kasvaa 2:lla

Huippu

(1, 1)

7.1.4. Paraabelin y= ax2 + bx + c huipun määrittäminen

-Käytetään hyväksi paraabelia y = ax2 + bx:

lasketaan nollakohdat ax2 + bx = 0

huipun x koordinaatti on nollakohtien keskiarvo

huipun y-koordinaatti saadaan sitten sijoittamalla huipun x-korrdinaatti paraabelin yhtälöön

E.1. Määritä paraabelin huippua) y = 3x2 - 4x b) y = x2 - 6x + 5

a) 3x2 – 4x = 0

x(3x – 4) = 0

x1 = 0 tai 3x – 4 = 0

3x = 4

x2 = 4/3

221 xx

x

2

34

0

3

2

3

4

3

24)

3

2(3 2 y

V: Huippu on )3

4,

3

2(

b) x2 – 6x = 0

x(x – 6) = 0

x1 = 0 tai x – 6 = 0

x2 = 6

221 xx

x

2

60 3

453632 y

V: Huippu on )4,3(

7.2.1. Neliöksi täydentäminen

ks. kirja sivut 165 - 166

E.1. Ratkaise x2 – 2x + 1 = 9

(x – 1)2 = 32

x - 1 = 3tai x – 1 = -3

x = 4 tai x =-2

E.2. Ratkaise x2 – 6x + 5 = 0

x2 – 6x = -5

x2 – 6x + 32 = -5 + 32

(x – 3)2 = 4

(x – 3)2 = 22

x - 3 = 2tai x – 3 = -2

x = 5 tai x = 1

(a – b)2 = a2 -2ab + b2

E.3. Ratkaise 16x2 + 24x - 16 = 0

16x2 + 24x = 16

(4x)2 + 2 · 3 ·4x = 16

(4x)2 + 2 · 3 ·4x + 32 = 16 + 32

(4x)2 + 2 · 3 ·4x + 32 = 25 (4x + 3)2 = 25

(4x + 3)2 = 52

4x + 3 = 5 tai 4x + 3 = -5

x = ½ tai x = -2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

7.2.2. Ratkaisukaava. kirja s. 166

ax2 + bx + c = 0

Kerrotaan puolittain luvulla 4a

4a2x2 + 4abx + 4ac =0

4a2x2 + 4abx = -4ac

(2ax)2 + 2 ·b · 2ax = -4ac

(2ax)2 + 2 ·b · 2ax + b2 = -4ac + b2

(2ax)2 + 2 ·b · 2ax + b2 = b2 – 4ac

Merkitään: b2 – 4ac = D

(2ax + b)2 = D

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Dbax 2

bDax 2

a

Dbx

2

a

acbbx

2

42