(z-tranform)poseidon.csd.auth.gr/new_courses/signal_processing/... · Οκτώβριος2005 ΨΕΣ...

Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 1

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου∆ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace

Απόκριση συχνότητας

Εφαρµογέςεπίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς συντελεστέςυπολογισµός της απόκρισης γραµµικών και χρονικά αµετάβλητων συστηµάτωνγραµµικά φίλτρα


Ορισµός

Ο Μετασχηµατισµός Ζ µιας ακολουθίας x(n) διακριτού χρόνου ορίζεται από την σχέση:

Η µιγαδική µεταβλητή z ονοµάζεται Μιγαδικήσυχνότητα ωjezz || =

∑∞

−∞=

−=n

nznxzX )()(


Αντίστροφος Μετασχηµατισµός Ζ

∫ −− =≡ C1n1 dzz)z(X

j21)]z(X[Z)n(xπ

C είναι ένας κλειστός δρόµος που περικλείει τηναρχή των αξόνων του µιγαδικού επιπέδου καιβρίσκεται µέσα στη περιοχή σύγκλισης


Αναγκαιότητα

( ) ( )j jnX e x n eω ω∞

−

−∞

= ∑ ∞<=∑∞

−∞=Qnx

n)(

Η ύπαρξη DTFT µιας ακολουθίας x(n)προϋποθέτει να είναι απολύτως συγκλίνουσα.

π.χ. η u(n) δεν έχει DTFT

ωω jj ere || →−−Η γενίκευση του DTFT µε αντικατάσταση του όρου ejω

Οδηγεί στο z-transform που συγκλίνει ανάλογαµε το µέτρο της µιγαδικής µεταβλητής ∑

∞

−∞=

−=n

nznxzX )()(


ΠαράδειγµαΝα υπολογιστεί ο Μετασχηµατισµός Ζ της ακολουθίας

( ) 1, 0.8, 0.64, ...x n =

Από τον ορισµό του µετ/µού Ζθα έχουµε

∑∞

−∞=

−=n

nznxzX )()(

0 1 2

1 1 2

1

( ) 0.8 0.64 ...( ) 1 (0.8 ) (0.8 ) ...

1( )1 0.8

X z z z zX z z z

X zz

− −

− −

−

= + ⋅ + ⋅ +

= + ⋅ + ⋅ +

=− ⋅

Note: |0.8 z-1|<1


επίπεδο-z

Re(z)

Im(z)

µοναδιαίοςκύκλος

Μιγαδικό επίπεδο

ωjezz || =

- To πεδίο ορισµού της Χ(z)


Περιοχή Σύγκλισης –region of convergence – (ROC)

Το σύνολο των τιµών του z που ο Χ(z) υπάρχει ονοµάζεταιπεριοχή σύγκλισηςKαθορίζεται από δύο θετικούς αριθµούς Rx+ και Rx- : Rx-<|z|<Rx+

Im(z)

Re(z)

Rx+

Rx-

ROC

Το επίπεδο z, και ένα γενικό ROC

Η µορφή του ROC είναιπάντα ένας ανοιχτός ήκλειστός δακτύλιος


π.χ. Εάν επιλέξουµε από το επίπεδο z την τιµή z=2 έχουµε ότι η σειρά

Χ(2)=1+2-1+2-2+2-3+...... = Χ(z)|z=2

δηλ. συγκλίνει γιατί η τιµή z=2 ∈ROC

Παράδειγµα

Εποµένως η Περιοχή Σύγκλισης (ROC)βρίσκεται έξω από ένα κύκλο ακτίνας=1

0 0

1 2

11

( ) ( )

1 ...1 εάν 1 1

1

n n

n nX z x n z z

z z

z zz

∞ ∞− −

= =

− −

−−

= =

= + + + +

= < ↔ >−

∑ ∑

2211

z11

12z

1 =−

=−

=−

=−

Υπολογισµός z-µετ/σµού της u(n)


z-transform για ακολουθίες θετικού και αρνητικού χρόνου

x1(n) = anu(n) για n>0

a z1 a , a a1

1

....aa1a)()(

11

2211

011

>⇒<−

=−

=

=+++===

−−

−−∞

=

−∞

−∞=

− ∑∑

zzz

z

zzzznxzXn

nn

n

n

a

ROC


x2(n)= - bnu(-n-1) για χρόνους (n≤-1)

∑∑ ∑

∑∑

∞

=

−

−∞=

∞

=

−=

−

−∞=

−∞

−∞=

−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎯⎯ →⎯⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

=−==

0

1

1

1

22

1

)()()(

m

m

n m

mnm

nn

nn

n

n

bz

bz

zb

zbznxzX

bzbz

zbz

bz

bz

<⇒<−

=−

−=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++−= 1b

z , ]1

1[1....]1[12

ROC

b


x1(n)=anu(n) για n>0

a)(1 −=zzzX για a<|z|<∞

x2(n)= -bn u(-n-1) για χρόνους (n≤-1)

bzzzX−

=)(2 για 0<|z|<b

Το συµπέρασµα από τη µελέτη των δύο παραπάνω ακολουθιών είναι ότι ενώγια a=b, οι µετασχ.z , είναι ίδιοι: Χ1(z)=X2(z), oι αντίστοιχες ακολουθίες x1(n) καιx2(n) είναι διαφορετικές.

Αντίθετα, τα δύο ROC διαφέρουν


1. ∆ύο διαφορετικά σήµατα µπορεί να έχουν ίδιο z-µετ/σµό

2. H ROC είναι αναγκαία πληροφορία ….



Έστω το σήµα x(n)=αnu(n)-bnu(-n-1)

έχουµε :

||||||

|||:|2,|||:|1,

)(0

1

bzabzz

azz

bzROCbzzazROC

azz

zbzazXn

nnnn

<<−

+−

=

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ <

−+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ >

−=

=−=∑ ∑∞

=

−

∞−

−−


Πόλοι-µηδενισµοί –ιδιότητες του ROC

Οι ρίζες του παρονοµαστού και οι ρίζες του αριθµητού µίαςσυνάρτησης Χ(z) ονοµάζονται αντίστοιχα

πόλοι και µηδενισµοί της Χ(z)

Ισχύει ότι το ROC δεν µπορεί να περικλείει ένα πόλο της Χ(z)

Tο ROC είναι µία συνεκτική περιοχή δηλ. δεν µπορεί νααποτελείται από σύνολο επί µέρους τµηµάτων.


ΠίνακαςΜετασχηµατισµών Ζκαι περιοχών σύγκλισης

n

2

-1

-1 2

( ) 1

( ) 11

a ( ) aa

( ) a( 1)

( 1) 11

( 1)

a z( ) a(1 a z )

n

n

n zzu n z

zzu n z

zzn u n z

zzu n z

zzb u n z b

z b

n a u n z

δ →

→ >−

⋅ → >−

⋅ → >−

− − − → <−

− ⋅ − − → <−⋅

⋅ ⋅ → >− ⋅


http://poseidon.csd.auth.gr/GR/http://pigeon.csd.auth.gr:1667/

Monday 31 Oct.

http://images.google.com/imgres?imgurl=http://www.cti.gr/gr_v/atypi_synodos/images/room/Room-School%2520Lab.JPG&imgrefurl=http://www.cti.gr/gr_v/atypi_synodos/&h=1200&w=1600&sz=792&tbnid=N_6XcWlQOTAJ:&tbnh=112&tbnw=150&hl=en&start=5&prev=/images%3Fq%3Dlab%26svnum%3D10%26hl%3Den%26lr%3D%26rls%3DDVXA,DVXA:2005-16,DVXA:en%26sa%3DN


Αντίστροφος µετασχηµατισµός Ζ

∫ −− =≡ C1n1 dzz)z(X

j21)]z(X[Z)n(xπ


Αντίστροφος µετασχηµατισµός zΜέθοδος Ολοκληρωτικών υπολοίπωνΓια µια ακολουθία x(n) βάσει του θεωρήµατος τωνολοκληρωτικών υπολοίπων του Cauchy έχουµε:

∑∫ −−− ==≡ ]z)z(X[resdzz)z(Xjπ2

1)z(XZ)n(x 1nC

1n1

ξεωςτηςλουςπγια

καιξεωςτλουςπγια

άό

zXzpzzXzs

άmό

pzzXzdzd

mzXzs

nipz

n

pz

mi

nm

m

pz

n

pz

ii

ii

1

)]()[(lim)]([Re

]))(([lim)!1(

1)]([Re

11

11

11

−

→

−

=

−−

−

→

−

=

−=

−−

=Όπου:


Παράδειγµα h(n))(

h(n)1

z

⎯→⎯

⎯→⎯−ZzH

H(z)

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

2

2 1

1

2

1 1

11

1 1

0.50.5

( )1 0.5

[ ] Re1 0.5

1 Re 21 0.5 0.5

0.5 Re 0.51 0.5 1

[ ] 2 0.5

m

n

n

n

z p

n n

zz

n n

zz

zH zz z

z zh n sz z

z zp sz z z

z zp sz z z

h n

−

=

+ +

==

+ +

==

=− −

⎡ ⎤= ⎢ ⎥− −⎣ ⎦

⎡ ⎤= → = =⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

⎡ ⎤= → = = −⎢ ⎥− − −⎣ ⎦= −

∑

p1=1, p2= 0.5


Αντίστροφος µετασχηµατισµός z

Μέθοδος ανάπτυξης σε δυναµοσειρά

Εκτελούµε την διαίρεση – (long division)Παράδειγµα : Να βρεθεί ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Ζ της

( )

( ) ( ) ( )

1

1

2 31 1 1 1

1 2 3 4

11.2

1 1.2

[1 1.2 1.2 1.2 ...]

1.2 1.44 1.728 ...

X zz

zz

z z z z

z z z z

−

−

− − − −

− − − −

= =+

= =+

= + − + − + − + =

= − + − +

( ) 11.2

X zz

=+

Αρα x(n)=0 , 1, -1.2, 1.44, -1.728 ....



Μέθοδος ανάπτυξης σε µερικά κλάσµατα

Η µέθοδος αυτή αποτελεί την πιο διαδεδοµένη και βασίζεται στην µετατροπή της Χ(z) σε απλά κλάσµατα .

Εάν η Χ(z) έχει την µορφή :

η ανάπτυξη σε µερικά κλάσµατα υλοποιείται µε τα εξής βήµατα.

Εκφράζουµε την Χ(z) ως εξής

Εκτελούµε ανάπτυξη σε µερικά κλάσµατα στο πρώτο µέρος του Χ(z) και λαµβάνουµε:

Και τελικά

( )1

11

1

...1 a ... a

Mo M

NN

b b z b zX z

z z

− −

− −

+ + +=

+ + +

( )1 1

1 11

01

...1 a ... a

N M No N k

kNkN

b b z b zX z C zz z

− − + −− −

− −=

+ + += +

+ + + ∑% % %

( ) 11 01

N M Nkk

kk kk

RX z C zP z

−−

−= =

= +−∑ ∑

∑∑−

=−

−

=−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

NM

0kk1

k

1N

1kk )kn(C

zp11ZR δ


Αντίστροφος µετασχηµατισµός zΜέθοδος ανάπτυξης σε µερικά κλάσµατα

Παράδειγµα 1

( ) 23 4 1zX z

z z=

− +Να βρεθεί η x(n) όταν

( )

1

1 22

1

111 1

13( ) 4 14 1 13

3 33 31

1 1 1 1311 2 1 2 11 133

zzX zz zz z

z

z zz z

−

− −

−

−−− −

• = = =⎛ ⎞ − +− +⎜ ⎟⎝ ⎠

= = ⋅ − ⋅−⎛ ⎞ −− −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Πόλοι: 1,13

xx 1/3 1


a ,a

)( 1),1(a)( <−

=∴−≤−−−= zzzzXnnunx n

∞<<−

=∴>= zzzzXnnunx n a ,

a)( 0),(a)(

312

1 12

1)(−

−−

=zz

zzzX

1 z< ( ) ( )1 1 1( )2 2 3

n

x n u n u n⎛ ⎞→ = − ⎜ ⎟⎝ ⎠

Εάν :

Εάν :

Εάν :

1 13

z< < ( ) ( )1 1 1( 1)2 2 3

n

x n u n u n⎛ ⎞→ =− − − − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

13

z < → ( ) ( ) ( )1 1 11 12 2 3

n

x n u n u n⎛ ⎞→ =− − − + ⋅ − −⎜ ⎟⎝ ⎠


Αντίστροφος µετασχηµατισµός zΜέθοδος ανάπτυξης σε µερικά κλάσµατα-

Παράδειγµα2

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

1

1

11 2 1

1 2 11 1 4

1 1 4 [1 2 ]1 2 1 1 0.5

[ ] [ 1] [ 1] 2 0.5 [ 1]n

X zz z zA B CX zz z z

A B Cz zX z z

z z z z zx n n u n u nδ

−

−

=− ⋅ −

= + +− −

⇒ = = =−

⇒ = + − = + − ⇒− − − −

⇒ = − + − − −

Tabulated z-transforms



Μέθοδος ανάπτυξης σε µερικά κλάσµατα- Παράδειγµα3

∆ιπλός πόλος

)z9.01()z9.01(1)z(X 121 −− +−

= : |z|>0.9

=+

+−

+−

=−−− 1211 z9.01

25.0)z9.01(

5.0z9.01

25.0)z(X

121

1

1 z9.0125.0

)z9.01(9.0z9.0z5.0

z9.0125.0

−−

−

− ++

−+

−=

→ h(n)=0.25 0.9n u(n)+5/9 (n+1) 0.9n+1 u(n+1) +0.25 (-0.9)n u(n)



από την εξίσωση διαφορών- Παράδειγµα

Θεωρώντας ότι αντιστοιχεί σε ένα

σύστηµα, η κρουστική απόκριση του

συστήµατος θα µας δίνει την h(n).

( ) ( )H z h n↔



( ) ( )( )( )( )

11 2 1

Y zH z

z z z X z⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎜ ⎟− − ⎝ ⎠

( ) ( )( )( )( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

3 2

1 2 3

11 2 1

1 2 1

2 3

2 3

2 3 1 2 3

2 3 1 2 3

0 0 1 0

Έχουµε :

από την οποία προκύπτει :

Y zH z

z z z X z

Y z z z z X z

Y z z z z X z

Y z z z z X z

y n y n y n x n

x n n h n h n h n n

h h

για δ δ

− − −

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟− − ⎝ ⎠

→ − − =

⎡ ⎤− + =⎣ ⎦⎡ ⎤− + =⎣ ⎦

→ − − + − = −

= → − − + − = −

= =

( ) ( )

( ) ( ) ( )

12 0 32

4 1.5 3 0.5 2 0.75

h h

h h h

= =

= − =


Ιδιότητες Μετασχηµατισµού Ζ

ΓραµµικότηταΑν η x(n) έχει µετασχηµατισµό τον X(z)και η y(n) έχει µετασχηµατισµό τον Y(z)µε περιοχές σύγκλισης και αντίστοιχα

τότε :

xR yR

( ) ( ) ( ) ( )Zax n by n aX z bY z+ ←⎯→ +


Kαθυστέρηση - µετατόπιση στο χρόνο Αν η x(n) έχει µετασχηµατισµό τον X(z) τότε :

( ) ( )mx n m z X z−− →

0 )()()(

1 )()()(

00

0

n

n

n

n

n

zznnzXnn

zznzXn

−∞

−∞=

−

−∞

−∞=

−

∑

∑

=−=→−

===→

δδ

δδΠαράδειγµα:


Ιδιότητες Μετασχηµατισµού z – (συνέχεια)

Συµπεριφορά για Αν η x(n) έχει µετασχηµατισµό τον X(z)

n →∞( ) ( )

1

1lim limzn

zx n X zz→→∞

−=

ΠαράδειγµαTo σύστηµα έχει είσοδο την u(n).

Στην σταθερή κατάσταση έχουµε:

( )0.8zH z

z=

−( )n →∞

( ) ( )1 1

1 1lim lim lim 51 0.8 1 0.8z zn

z z zy n H zz z z→ →→∞

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠


Ιδιότητες Μετασχηµατισµού z – (συνέχεια)

Θεώρηµα συνέλιξηςΕάν και

τότε :

[ ] ( )1 1x n X z⇒ [ ] ( )2 2x n X z⇒

[ ] [ ] ( ) ( )1 2 1 2*x n x n X z X z⇒ ⋅

[ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

( ) ( )( ) ( )[ ]

1 2 3 4 1 2

1 2 3 4 6

1 2 3 1 1 0 0 0 0 ...

2 1 1 0 0 0 0 0 0 ... και *

2 3 3 3 6 0 1 0 0 ...

1 2 3 και 2

2 3 3 3 6

2 3 3 3 6 0 1 0 0 ...δηλαδή ό

x n

h n y n x n h n

y n

X z z z z z H z z z

X z H z z z z z z

y n

− − − − − −

− − − − −

= − − −

= − = ⇒

= − −

− − − − − − − − − − − − − − − − − − −

= − + − − = + −

= − + + − + ⇒

⇒ = − −

πως και προηγουµένως



Άλλες ιδιότητες Μετασχηµατισµού Ζ – (συνέχεια)

Αντιστροφή στο χρόνο

Αν x(n) X(z) Τότε x(-n) Χ(z-1)

ΠαράγωγοςΑν X(z) είναι ο µετασχηµατισµός z µιας ακολουθίας x(n),τότε ο µετασχηµατισµός z της n x(n) ισούται µε :

( ) ( )Z dX znx n z

dz←⎯→−



( ) 1 1

1 1 1 z1

nZu n

a a z a− −⎛ ⎞ ←⎯→ >⎜ ⎟ −⎝ ⎠

( ) ( )nx n na u n= −

( ) 1

1 z1

Zna u n aaz−

←⎯→ >−

Και τελικά µε την ιδιότητα της παραγώγου προκύπτει ότι

( ) 1

1 z1

Zna u n aa z−− ←⎯→ <

−

( )1

21 1

1 1 1

d a zz z adz a z a z

−

− −− = <

− −

εποµένως θα είναι και

χρησιµοποιώντας την ιδιότητα της αντιστροφής στο χρόνο

( ) ( )nx n na u n= −

Να υπολογιστεί ο µετ/σµός z της


Ιδιότητες Μετασχηµατισµού zΜετασχηµατισµός του επιπέδου–sστο επίπεδο–z (Laplace ↔z)

Το σήµα x(n) παριστάνεται σαν σήµα συνεχούς χρόνου

είναι ο µετασχηµατισµός z∑∞

=

−=0n

nz)n(x)z(X

∑∞

=

−=0

)()(x(n)k

knkx δ

∑∞

=

−=0

sampled )()()t(xk

nTtnTx δ

∑∞

=

−=0

)(k

nTss enTx(s)X

Mε σύγκριση των παραπάνω : z=eTs

και έχει µετασχηµατισµό Laplace

του ψηφιακού σήµατος


επειδή s=d+jΩ |z|=eTd και ∠z = ΩΤ

εάν d=0 |z|=1 δηλ. ο άξονας jΩ του επιπέδου –s απεικονίζεταιστο µοναδιαίο κύκλο του επιπέδου –z.

εάν d<0 |z|<1 δηλ. το αριστερό ηµιεπίπεδο του επιπέδου –sαπεικονίζεται στο εσωτερικότου µοναδιαίου κύκλου του επιπέδου –z.

zz==eeTsTs

επίπεδο-z

Re(z)

Im(z)

µοναδιαίοςκύκλος

επίπεδο-s

d

jΩ


Σχέση µετασχηµατισµού-z και Fourier

0( ) ( ) n

nX z x n z

∞−

=

= ⋅∑

( ) ( )j jnX e x n eω ω∞

−

−∞

= ∑

-∞

Μετασχηµατισµός DTFT

Μετασχηµατισµός -z

Αν µια δυναµοσειρά x(n) έχει µετασχηµατισµό-z τον X(z)και µετασχηµατισµό Fourier (DTFT) τον X(ejω) τότε :

Aπό τη σχέση αυτή υπολογίζεται η απόκριση συχνότητας (µετασχηµατισµός Fourier - DTFT)

ωjezωj )z(X)e(X

==


O z-µετασχ/µόςστη µελέτη LTI- συστηµάτων

- H συνέλιξη στο χρόνο µετατρέπεται σε πολλαπλασιασµό στο χώρο της µιγαδικής µεταβλητής z

-Ανάλογα προς την απόκριση συχνότητας ορίζεται η συνάρτηση µεταφοράς ενός συστήµατος


Reminder: απόκριση συχνότητας


Definition: συνάρτηση µεταφοράς

∑∞

∞−

−=≡ nz)n(h)n(hZ)z(H


Υπολογισµός της απόκρισης συχνότητας από τον

µετασχηµατισµό z -Παράδειγµα

∆ίνεται η . Να βρεθεί η H(ejω) για 4πω =

7071.0z1z)z(H

−+

=

=−+

++=

=−+

++=

=−

+=

7071.045ηµj45συν45ηµj45συν1

7071.0ηµωjσυνωηµωjσυνω17071.0e1e)e(H ωj

ωjωj

o5.67je6131.2

7071.07071.0j7071.07071.0j7071.01

−=

=−+

++=

πόλοςµηδενισµός

z=ejπ/4


Γεωµετρικός υπολογισµόςΑπόκρισης συχνότητας (DTFT)


Επίπεδο z

8.0e8.0e)ω(H

8.0z8.0z)z(H ωj

ωj

+−

=⇒+−

=

ω=0ω1

ω=π

1ωjez =

π 2π 3π ω

|Η|


Απόκριση Συχνότητας –(συνέχεια)

Υπολογισµός του |X(ejω)|

Η ιδιότητα αυτή διευκολύνει πολύ τον υπολογισµό της απόκρισης πλάτους, που ακολουθεί στο επόµενο παράδειγµα.

ωjez1ωjωj

ωj*ωj2ωj

)z(X)z(X)e(Χ)e(Χ

)e(Χ)e(Χ)e(Χ

=

−− =

==


Απόκριση Συχνότητας - Παράδειγµα

( )2

2

10.9 0.81zH z

z z+

=− +

Να υπολογιστεί η απόκριση του

Βήµα 1ο :

Βήµα 2ο : υπολογίζουµε για

81.0z9.0z1z

81.0z9.0z1z)z(H)z(H 12

2

2

21

+−+

+−+

=−−

−−

( ) ( ) ( )

( )

2 22

2 2 1

20.81 1.629 2.4661

2 2 20.81 2 2 3.258 2.4661

j z zH ez z z z

ω

συν ωσυν ω συνω

−

− −

+ +=

+ − + +

+=

− +

jz e ω=

(z-tranform)poseidon.csd.auth.gr/new_courses/signal_processing/... · Οκτώβριος2005 ΨΕΣ...

Documents