základní vztahy hydrodynamiky, proudění vody v potrubí, ztráty
DESCRIPTION
Základní vztahy hydrodynamiky, proudění vody v potrubí, ztráty. Jana Pařílková. Základní vztahy hydrodynamiky- elementární pojmy kinematiky kapalin. Otevřený průřez (řeka, potok, průplav, příkop) – vždy se vytvoří volná hladina . - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Základní vztahy Základní vztahy hydrodynamiky,hydrodynamiky,
proudění vody v potrubí,proudění vody v potrubí,ztrátyztráty
Jana Pařílková
Základní vztahy hydrodynamiky-Základní vztahy hydrodynamiky-elementární pojmy kinematiky kapalinelementární pojmy kinematiky kapalin
Otevřený průřez Otevřený průřez (řeka, potok, (řeka, potok, průplav, příkop) – vždy se vytvoří průplav, příkop) – vždy se vytvoří volná hladinavolná hladina..
Uzavřený průřezUzavřený průřez (potrubí, stoka, (potrubí, stoka, štola, propustek) – zcela vyplněn štola, propustek) – zcela vyplněn kapalinou (vodovodní potrubí), kapalinou (vodovodní potrubí), zčásti vyplněn kapalinou = proudění zčásti vyplněn kapalinou = proudění o volné hladině (městská stoka za o volné hladině (městská stoka za malého přítoku vody).malého přítoku vody).
Průtočná plocha (průtočný průřez) Průtočná plocha (průtočný průřez) AA [m[m22]] je příčný průřez kolmý ke je příčný průřez kolmý ke směru proudění a vyplněný proudící směru proudění a vyplněný proudící kapalinou.kapalinou.
Baťův kanál – úsek u Rohatce
Moravany – propustek v místě dálnice Vídeň - Wroclaw
Elementární pojmy kinematiky kapalinElementární pojmy kinematiky kapalin
Částicová (bodová) rychlost Částicová (bodová) rychlost u [m/s]u [m/s] kapaliny kapaliny je dráha částice kapaliny je dráha částice kapaliny dldl, kterou urazí za čas , kterou urazí za čas dtdt..
Objemový průtok (průtok)Objemový průtok (průtok) je objem je objem VV [m[m33]] kapaliny, který protekl celou průtočnou plochou kapaliny, který protekl celou průtočnou plochou A [mA [m22]] za jednotku času za jednotku času tt [s][s]..
Střední hodnota rychlosti Střední hodnota rychlosti v [m/s]v [m/s] (průřezová, (průřezová, střední profilová)střední profilová) kapaliny kapaliny je definovaná tak, je definovaná tak, že jejím vynásobením průtočnou plochou A [mže jejím vynásobením průtočnou plochou A [m22] ] dostáváme skutečný průtok Q [mdostáváme skutečný průtok Q [m33/s]./s].
smdt
dlu /
]/[ 3 smdAuQ
]/[ smA
dAuv
]/[ 3 smAvQ
Základní rovnice pohybu kapalinZákladní rovnice pohybu kapalin
Obecný případ neustáleného proudění vazké stlačitelné kapaliny je složitým jevem.
Proto se zavádějí zjednodušující předpoklady a uvažují se modely:
Ideální kapalina – nevazká, nestlačitelná ( = 0, = konst.),
Skutečná kapalina – vazká, nestlačitelná ( = konst.).
Soustavu základních rovnic popisujících pohyb kapaliny tvoří:
Rovnice kontinuityRovnice kontinuity (zákon zachování hmotnosti), (zákon zachování hmotnosti),Pohybová rovnicePohybová rovnice (2. Newtonův zákon vyjadřující silové (2. Newtonův zákon vyjadřující silové působení v proudící kapalině – pro ideální kapalinu se působení v proudící kapalině – pro ideální kapalinu se nazývá Eulerova rovnice, pro skutečnou nestlačitelnou nazývá Eulerova rovnice, pro skutečnou nestlačitelnou kapalinu se nazývá Navierova-Stokesova resp. kapalinu se nazývá Navierova-Stokesova resp. Reynoldsova pro turbulentní proudění),Reynoldsova pro turbulentní proudění),Bernoulliho rovniceBernoulliho rovnice (zákon zachování mechanické (zákon zachování mechanické energie proudu),energie proudu),Věta o hybnostiVěta o hybnosti (vztahuje se na poměry na plochách (vztahuje se na poměry na plochách ohraničujících určitou oblast kapaliny, takže není nutné ohraničujících určitou oblast kapaliny, takže není nutné znát průběh proudění).znát průběh proudění).
Při praktických výpočtech jsou doplněny zpravidla stavovou rovnicí (vyjadřuje vztah mezi hustotou kapaliny a tlakem) nebo tokovou rovnicí (vztah mezi tenzorem napětí a tenzorem rychlosti deformace).
Rovnice kontinuityRovnice kontinuity
Rovnice kontinuity má pro Rovnice kontinuity má pro nestlačitelnou kapalinunestlačitelnou kapalinu v ortogonálním kartézském systému souřadnic tvarv ortogonálním kartézském systému souřadnic tvar
0
z
u
y
u
x
u zyx
pro proudovou trubicipro proudovou trubici
2211 AvAvQ
Pohybová rovnice pro ideální kapalinu – Pohybová rovnice pro ideální kapalinu – Eulerova rovniceEulerova rovnice
z
pa
z
uu
y
uu
x
uu
t
u
y
pa
z
uu
y
uu
x
uu
t
u
x
pa
z
uu
y
uu
x
uu
t
u
zz
zz
yz
xz
yy
zy
yy
xy
xx
zx
yx
xx
1
1
1
Lokální zrychlení Konvektivní zrychleníZrychlenívnějšíchobjemových sil
Tlakovésíly
Vnější síly a měrná hmotnost jsou obvykle známy. Zůstávají 4 neznámé p, ux, uy, uz ; je nutno použít další rovnici = rovnici kontinuity.
Pohybová rovnice pro skutečnou Pohybová rovnice pro skutečnou nestlačitelnou kapalinu – nestlačitelnou kapalinu –
Navierova-Stokesova rovniceNavierova-Stokesova rovnice
jj
i
ii
j
ij
i
xx
u
x
pa
x
uu
t
u
21
Navier – Stokesova rovnice vztažená na jednotku hmotnosti má tvar:
Přistupují síly tření způsobené vazkostíLokální zrychlení
Konvektivní zrychlení
Zrychlenívnějšíchobjemových sil Tlakové
síly
Pohybová rovnice pro skutečnou Pohybová rovnice pro skutečnou nestlačitelnou kapalinu při turbulentním nestlačitelnou kapalinu při turbulentním
proudění – proudění – Reynoldsova rovniceReynoldsova rovnice
'uuu
Odvozena z Navierovy – Stokesovy rovnice tak, že okamžitá bodová rychlost resp. tlak, je rozložena na střední (časově vyhlazenou) rychlost ū a fluktuační (pulsační) složku rychlosti u‘:
''21
jijjj
i
ii
j
ij
i uuxxx
u
x
pa
x
uu
t
u
Potom:
, kde
2
2
1T
t
Tt
dtuT
u
Ustálené prouděníUstálené proudění (permanentní) (permanentní) je takový pohyb kapaliny, který se nemění v čase. je takový pohyb kapaliny, který se nemění v čase.
smkonstvAvAvAvAQ nn /.... 3332211
Proudění kapalin (pohyb vody)Proudění kapalin (pohyb vody)
1
221 A
Avv
kde indexy 1,2,…n se vztahují k jednotlivým příčným řezům koryta. V uvedeném tvaru platí pro nestlačitelné tekutiny (kapaliny), pro stlačitelné tekutiny (vzdušiny) jen při pohybu za stálého tlaku a teploty.
Popsán je Popsán je rovnicí kontinuity (spojitosti)rovnicí kontinuity (spojitosti) ustáleného proudu: ustáleného proudu:
0dt
dQ
Proudění kapalin (pohyb vody)Proudění kapalin (pohyb vody)Pohyb rovnoměrnýPohyb rovnoměrný je zvláštní případ pohybu ustáleného, při němž jsou průtočné průřezy celého uvažovaného úseku stejné, A1 = A2 = …= An = konst. Protože při ustáleném pohybu také Q=konst., jsou střední rychlosti nezávislé časově i místně.
0,0 dx
dv
dt
dv
l
ztgJ T 0
Rybník „Návesní“, potok Lopač,Ostrov u Macochy, Blanensko
J0
v
J0 – sklon dna
0: RJCvChézy
Pohyb ustálený nerovnoměrný Pohyb ustálený nerovnoměrný vzniká při ustáleném proudění (vzniká při ustáleném proudění (Q = konstQ = konst.) při .) při změně průtočné plochy změně průtočné plochy ((A A ≠≠ konst konst.). .).
0,0 dx
dv
dt
dv
Proudění kapalin (pohyb vody)Proudění kapalin (pohyb vody)
zrychlený zrychlený – průtočné plochy se ve směru toku zmenšují nebo – průtočné plochy se ve směru toku zmenšují nebo zpožděnýzpožděný - průtočné plochy se ve směru toku zvětšují. - průtočné plochy se ve směru toku zvětšují.
PohybPohyb může být: může být:
Proudění kapalin (pohyb vody)Proudění kapalin (pohyb vody)Neustálené proudění kapaliny Neustálené proudění kapaliny je pohyb, při je pohyb, při
němž se průtok mění v čase němž se průtok mění v čase Q Q ≠≠ konst konst. . Nastává časová i pohybová změna vodních Nastává časová i pohybová změna vodních stavů. (Pohyb povodně v řece – průtok se stavů. (Pohyb povodně v řece – průtok se zvětšuje do maxima a potom klesá). zvětšuje do maxima a potom klesá).
0,0 dx
dQ
dt
dQ0,0
dx
dy
dt
dy
Druhé rameno řeky Opavy se vytvořilo po povodních v r. 2002.
Proudnice Proudnice jsou čáry vedené proudící kapalinou tak, že jsou čáry vedené proudící kapalinou tak, že v každém místě má jejich tečna směr souhlasný se v každém místě má jejich tečna směr souhlasný se směrem rychlosti proudění v tomto místě. Při ustáleném směrem rychlosti proudění v tomto místě. Při ustáleném proudění jsou totožné s drahami jednotlivých částeček proudění jsou totožné s drahami jednotlivých částeček kapaliny.kapaliny.
Uvažujeme-li v kapalině Uvažujeme-li v kapalině
nekonečně malou uzavřenou nekonečně malou uzavřenou
křivku a v každém jejím křivku a v každém jejím
bodě vedeme příslušnou bodě vedeme příslušnou
proudnici, pak tyto proudnice proudnici, pak tyto proudnice
vytvářejí vytvářejí proudovou trubiciproudovou trubici
a kapalina v této trubici se nazývá a kapalina v této trubici se nazývá proudovým vláknem.proudovým vláknem.
Proudění kapalin (pohyb vody)Proudění kapalin (pohyb vody)
Bernoulliho rovniceBernoulliho rovniceVyjadřuje zákon zachování mechanické energie proudu Vyjadřuje zákon zachování mechanické energie proudu kapaliny.kapaliny. Je základním vztahem hydrodynamiky. Je základním vztahem hydrodynamiky.
konstg
u
g
phE
2
2
Jinak řečeno: pro tíhovou jednotku proudící kapaliny je součet Jinak řečeno: pro tíhovou jednotku proudící kapaliny je součet (polohové, tlakové)-potenciální a pohybové-kinetické energie konstantní.(polohové, tlakové)-potenciální a pohybové-kinetické energie konstantní.
kde h značí polohovou (geodetickou) výšku osy proudového vlákna, p tlak, hustota kapaliny, u bodovou rychlost a g tíhové zrychlení Země.
Pro Pro ustálené proudění ideální ustálené proudění ideální kapalinykapaliny v proudové trubici v proudové trubici pro všechny průřezy pro všechny průřezy proudového vlákna je součet proudového vlákna je součet polohové (geodetické), polohové (geodetické), tlakové a rychlostní výšky stálý.tlakové a rychlostní výšky stálý.
Bernoulliho rovniceBernoulliho rovnicePro Pro ustálené proudění skutečné kapalinyustálené proudění skutečné kapaliny (nestlačitelná, ale uvažuje se vnitřní tření) má tvar:(nestlačitelná, ale uvažuje se vnitřní tření) má tvar:
Zhg
v
g
ph
g
v
g
ph
22
222
2
211
1
kde hz je ztrátová výška (přičítá se vždy v tom průřezu, který je dále po toku), v je průřezová rychlost, je Coriolisovo kritérium (nesprávně číslo = 1,05 - 1,10). Coriolisovo kritérium odstraňuje chybu zavedením průřezové rychlosti místo skutečného rozdělení rychlosti v průřezu. Vyjadřuje podíl skutečné kinetické energie v průřezu ku kinetické energii vyjádřené z průřezové rychlosti.
dAuvA A 3
3
1
Věta o hybnostiVěta o hybnostiPůsobí-li na hmotný bod o hmotnosti Působí-li na hmotný bod o hmotnosti mm stálá stálá síla síla FF, mění se rychlost , mění se rychlost uu..
Podle Newtonova zákona: umddtFdt
udmF
impuls síly hybnost hmotného bodu
Integrací v časovém intervalu t1 do t2, v němž je síla stálá a vektor rychlosti se mění z u1 do u2 lze psát:
)()( 1212 ttFuum
Věta o hybnosti při ustáleném Věta o hybnosti při ustáleném proudění kapalinproudění kapalin
Za dobu 1s při ustáleném proudění kapalin Za dobu 1s při ustáleném proudění kapalin každým průřezem projde průtok o hmotnosti každým průřezem projde průtok o hmotnosti QQ, jehož hybnost je , jehož hybnost je QvQv..
Rychlost v průtočném průřezu není rozdělena rovnoměrně, počítáme s její průměrnou hodnotou v. Pro zpřesnění výpočtu zavádíme korekční součinitel – Boussinesqovo kriterium (zpravidla v nepravidelných průtočných průřezech. Je to obdobaCoriolisova kriteria a jeho hodnota se pohybuje kolem 1.
)( 12 vvQF Věta o hybnosti řeší takové případy, kdy nedovedeme určit ztráty, ale známe všechny síly působící na určitý objem kapaliny. Na rozdíl od Bernoulliho rovnice (energetická bilance) se jedná o vztah vektorový.
Na potrubí s průměrem DNa potrubí s průměrem D11 = 0,3 m, kterým protéká průtok = 0,3 m, kterým protéká průtok
Q = 0,110 mQ = 0,110 m33/s, je napojeno potrubí s průměrem /s, je napojeno potrubí s průměrem DD22 = 0,15 m. V potrubí D = 0,15 m. V potrubí D22 vypočítejte velikost rychlostní vypočítejte velikost rychlostní
výšky. (Neuvažujte ztráty.)výšky. (Neuvažujte ztráty.)
]975,181,92
225,61[
2
]/225,615,0
3,0556,1[
]/556,13,0
110,04[
4
222
2
2
2
22
21
12
1122211
221
1
1
11
mg
vh
smD
Dv
A
AvvAvAv
smD
Q
A
Qv
k
Voda proudí potrubím A-B, které je sériově spojeno Voda proudí potrubím A-B, které je sériově spojeno s potrubím B-C. V potrubí B-C je průřezová rychlost s potrubím B-C. V potrubí B-C je průřezová rychlost vv22 = 2 m/s. V uzlu C se potrubí větví na část C-D, ve které = 2 m/s. V uzlu C se potrubí větví na část C-D, ve které
je průřezová rychlost vje průřezová rychlost v33 = 1,5 m/s. V úseku C-E je průtok = 1,5 m/s. V úseku C-E je průtok
QQ44 = ½ Q = ½ Q33. Vypočítejte průřezové rychlosti a průtoky ve . Vypočítejte průřezové rychlosti a průtoky ve
všech úsecích potrubí a v úseku C-D určete odpovídající všech úsecích potrubí a v úseku C-D určete odpovídající průměr. (Neuvažujte ztráty.)průměr. (Neuvažujte ztráty.)
Řešení
A-B a B-C jsou řazeny sériově → stejný průtok Q1 = Q2. Rce kontinuity:
2
32
2
22
22111 /008836,024
075,014,3
4Qsmv
DvAvAQ
Průřezová rychlost:
sm
A
Qv /5,4
05,0
008836,04
21
11
Průtok v potrubí B-C se rovná součtu průtoků v trase C-D a C-E:
Q2= Q3 + Q4. Protože Q4 = 0,5 Q3 , je Q2= Q3 + 0,5 Q3=1,5 Q3 a platí:
smQ
Q /005891,05,1
008836,0
5,132
3
sm
QQ /002945,0
2
005891,0
233
4
Odpovídající D3 se vyjádří rovněž z rce kontinuity
mv
QDv
DvAQ 071,0
5,114,3
005891,044
4 3
333
23
333
Průřezová rychlost v úseku C-E
smD
Q
D
Qv /17,4
03,014,3
002945,044
4
224
424
44
Sériově spojené vodovodní potrubí dle obrázku má Sériově spojené vodovodní potrubí dle obrázku má průměry Dprůměry D11 = 0,024 m, D = 0,024 m, D22 = 0,056 m a D = 0,056 m a D33 = 0,040 m. = 0,040 m.
Tlakové výšky v otevřených piezometrech v průřezech 1 Tlakové výšky v otevřených piezometrech v průřezech 1 resp. 2 jsou hresp. 2 jsou h1 1 = 0,68 m resp. h= 0,68 m resp. h22 = 0,84 m. Vypočítejte = 0,84 m. Vypočítejte
tlakovou výšku htlakovou výšku h33. Předpokládejte proudění ideální kapaliny . Předpokládejte proudění ideální kapaliny
s hustotou s hustotou = 1000 kg/m = 1000 kg/m33..
]825,0649,0356,081,92
184,0[
2
1
22
22
]/356,0056,0
024,080244,1[
]/6488795,0040,0
024,080244,1[
]/80244,1
056,0
024,01
)68,084,0(81,92[
1
)(2
),(2
22,
22
223
23
2223
23
3
22
2
23
3
22
2
2
22
21
12
2
2
23
21
13
1133311
4
4
42
41
121
22
21
12
11212
22
21
22
2
21
1
22
2
21
1
mh
vvg
hhg
vh
g
vh
g
v
g
ph
g
v
g
ph
smD
Dvv
smD
Dv
A
AvvAvAv
sm
DD
hhgv
DD
vAAv
vhhgvv
g
vh
g
vh
g
v
g
ph
g
v
g
ph
aa
aa
Vysvětlete princip měření bodové rychlosti pomocí Pitotovy Vysvětlete princip měření bodové rychlosti pomocí Pitotovy trubice v kanálu s volnou hladinou.trubice v kanálu s volnou hladinou.
Pitotova trubice je do pravého úhlu ohnutá trubice na obou koncích otevřená.Zúženým otvorem v krátkém vodorovném rameni se vloží proti proudu, ve svislém rameni vystoupí kapalina nad hladinu do úrovně 3.
Prandtlova sonda –dvě vedení v trubici
Řešení
Stoupnutí hladiny v trubici je způsobeno přeměnou kinetické energie proudící kapaliny na energii potenciální.
Protože u2=0 → h1 = h2, u1 = u, platí:g
uH
g
pp
2
212
gHu 2
Bernoulliho rovnice pro proudové vlákno v místech 1-2 g
u
g
ph
g
u
g
ph
22
222
2
211
1
Kde H je převýšení hladiny ve svislém rameni Pitotovy trubice nad hladinou. Proto určuje Pitotova trubice rychlostní výšku. Pro rychlost proto platí:
gHu 2Deformací proudu vznikají ztráty. Výsledek je tedy nutno opravit součinitelem φ<1, který se určuje experimentálně.
Do vodovodního potrubí byl pro měření průtoku vřazen Do vodovodního potrubí byl pro měření průtoku vřazen venturimetr (dle obrázku). Vypočítejte rychlosti vventurimetr (dle obrázku). Vypočítejte rychlosti v11, v, v22
a průtok Q, je-li průměr Da průtok Q, je-li průměr D11 = 100 mm, D = 100 mm, D22 = 50 mm, rozdíl = 50 mm, rozdíl
tlaku v piezometrických trubicích H = 80 mm, tlaku v piezometrických trubicích H = 80 mm, = 1 = 1 a geodetické výšky ha geodetické výšky h1 1 == hh22. Předpokládejte proudění ideální . Předpokládejte proudění ideální
kapaliny s hustotou kapaliny s hustotou = 1000 kg/m = 1000 kg/m33, teplotou T = 20°C , teplotou T = 20°C a a = 1,01.10 = 1,01.10-6-6mm22/s. Určete hodnoty Reynoldsových kritérií /s. Určete hodnoty Reynoldsových kritérií v profilech 1 a 2.v profilech 1 a 2.
]640591001,1
05,0294,1[Re
]319801001,1
1,0323,0[Re
]/323,010,005,0
294,1[
]/10541,2405,0
294,1[4
]/294,1
10,0
05,01
08,081,92[
1
2
,2
22
,1,,0,22
622
2
611
1
2
21
22
21
3322
2222
4
4
41
42
2
21
22
21
221
21
22
21
2221
2121
222
2
211
1
íturbulentnDv
íturbulentnDv
smDD
vv
smD
vAvQ
sm
DD
gHv
DD
vAAv
vgHvv
gv
gv
Hg
pg
p
Hg
pg
phhhh
gv
gp
hgv
gp
h zz
Vodovodní potrubí průměru Vodovodní potrubí průměru DD11=(50+P)mm=(50+P)mm se vloženou se vloženou
armaturou zužuje na průměr armaturou zužuje na průměr DD22=(25+0,5P)mm=(25+0,5P)mm. Připojené . Připojené
piezometry ukazují rozdíl hladin piezometry ukazují rozdíl hladin H= (50+2P)mmH= (50+2P)mm. Vypočtěte . Vypočtěte průtok průtok QQ vody potrubím a rychlost vody potrubím a rychlost vv22 ve zúženém průřezu. ve zúženém průřezu.
Ztráty zanedbejte, Ztráty zanedbejte, ≈≈ 1,0 1,0. Počítejte pro . Počítejte pro P = 10P = 10..
Řešení pro: P=10, D1=60 mm, D2=30 mm, H=70 mm
Rce kontinuity:
smm
gHv
mvgH
mvvgH
vvgH
/21,125,011
07,081,92
1
2
12
2
2
222
222
222
22
21
22
slsmv
DAvQ /85,0/00085,021,1
4
03,014,3
43
2
2
22
222
Vychází z Bernoulliho rovniceg
v
g
ph
g
v
g
ph
22
222
2
211
1
25,006,0
03,0
;
2
2
21
22
21
1
2
1
2212211
D
Dmmvv
mA
A
A
AvvvAvA
g
vvH
2
21
22
Z nádoby 1 o průřezu Z nádoby 1 o průřezu AA00 vytéká voda trubicí, jejíž výtokový vytéká voda trubicí, jejíž výtokový
průřez průřez AA11 je v hloubce je v hloubce hh11 pod hladinou v nádobě. Uprostřed pod hladinou v nádobě. Uprostřed
je trubice zúžena na plochu je trubice zúžena na plochu AA22. Svislou trubku, vedoucí od . Svislou trubku, vedoucí od
tohoto zúžení do nádoby 2, zatím neuvažujeme. Vodu tohoto zúžení do nádoby 2, zatím neuvažujeme. Vodu v nádobě 1 stále doplňujeme na původní úroveň, takže v nádobě 1 stále doplňujeme na původní úroveň, takže pohyb je ustálený. Zjistěte, zda vznikne ve zúženém pohyb je ustálený. Zjistěte, zda vznikne ve zúženém průřezu podtlak.průřezu podtlak.
Sací účinek proudu
Řešení
Pro průřezy A0 - A1, v nichž je atmosférický tlak p0 bude za předpokladuproudění beze ztrát Bernoulliho rce:
g
v
g
p
g
v
g
ph
22
210
200
1
Rce kontinuity:0
1101100 A
AvvvAvA
Z obou rovnic plyne 120
21
21 1
2h
A
A
g
v
A je-li A0>A1, lze druhý člen zanedbat:
111
21 2
2ghvh
g
v
Bernoulliho rce pro průřezy A0 –A2:
2
20
2220
222
200
2
2
22
hg
vv
g
pp
g
v
g
p
g
v
g
ph
Rce kontinuity:
2
1121122 A
AvvvAvA
220
22
21
2120 11
2h
AAg
Av
g
pp
potom
Zanedbáme-li
22
20
11
AA
a dosadíme za v1, potom 2
2
2
11
20 hA
Ah
g
pp
2
2
2
11
20 hA
Ah
g
pp
výraz je kladný, tj. tlak vnějšího vzduchu p0 je větší než tlak vody p2 ve zúženém průřezu, když:
1
2
2
1
2
2
112 .
h
h
A
Atj
A
Ahh
Při splnění této podmínky vzniká ve
zúženém průřezu podtlak p2 < p0.
Navrtáme-li za takových podmínek stěnu trubice ve zúženém průřezu, voda tímto otvorem nevytéká, ale naopak vnější vzduch je nasáván do trubice. Je-li otvor propojen trubkou s níže položenou druhou nádobou, je voda z této nádoby nasávána tak dlouho, pokud tlak sloupce gh3 < (p0 – p2).
Na tomto principu jsou založena hydraulická čerpadla a hydraulické vývěvy.
Z nádrže vytéká ideální kapalina o měrné hmotnosti Z nádrže vytéká ideální kapalina o měrné hmotnosti ρρ=1000 kg/m=1000 kg/m33 svislým divergentním potrubím, jehož vstupní průměr je svislým divergentním potrubím, jehož vstupní průměr je DD11=0,015 m=0,015 m, ,
výstupní průměr výstupní průměr DD2 2 =0,0=0,022 m m a délka a délka l =1 ml =1 m. Výška hladiny v nádržce . Výška hladiny v nádržce
nad výtokovým průřezem je nad výtokovým průřezem je H = 2 mH = 2 m. Vypočítejte průtok potrubím, . Vypočítejte průtok potrubím, v průřezu 1 zjistěte hodnotu tlaku.v průřezu 1 zjistěte hodnotu tlaku.
Řešení Bernoulliho rce pro hladinu v nádrži 0 a výtokový průřez 2→v2, průtok z rce kontinuity. S.R. se volí ve výtokovém průřezu.
smgHvg
v
g
p
g
pH aa /26,6281,922
200 2
22
smA
Qvresp
smvAQ
/128,11015,014,3/001966,04.
/001966,04/02,014,326,6
2
11
3222
Bernoulliho rce pro hladinu v nádrži 0 a výtokový průřez 1
..3,562,19
12,1112
2
20
2211
211
slvmg
vlH
g
pp
g
v
g
pl
g
pH
as
sa
V průřezu 1 je podtlak.
Pozn. V rozšiřujícím se potrubí není průběh tlakové čáry lineární.
Ke stěně nádrže je připevněno vodorovné potrubí s proměnným Ke stěně nádrže je připevněno vodorovné potrubí s proměnným průměrem, kterým vytéká ideální kapalina o měrné hmotnosti průměrem, kterým vytéká ideální kapalina o měrné hmotnosti ρρ=1000 kg/m=1000 kg/m33 do volného prostoru. Hladina v nádrži je ve výšce do volného prostoru. Hladina v nádrži je ve výšce H=3 m nad osou potrubí. Průměry a délky potrubí jsou H=3 m nad osou potrubí. Průměry a délky potrubí jsou DD11=0,24 m=0,24 m, ,
ll11=3 m, =3 m, DD2 2 =0,=0,11 m m,, ll22 =1 m, =1 m, DD33 =0,=0,1212 m m,, ll33 =2 m =2 m. Vypočítejte průtok . Vypočítejte průtok
potrubím a zakreslete průběh čáry energie a tlaku.potrubím a zakreslete průběh čáry energie a tlaku.
mg
vh
smD
Dv
A
AvvAvAv
mg
vh
smD
Dv
A
AvvAvAv
smAvQ
smgHvg
v
g
p
g
v
g
pH
k
k
aa
2,681,92
05,11
2
/05,111,0
12,067,7
1874,081,92
9175,1
2
/9175,124,0
12,067,7
/0868,04
12,067,7
/67,7381,9222
02
222
2
2
2
22
23
32
3323322
221
1
2
2
21
23
31
3313311
32
33
3
23
20
Tlakové poměry v průřezu 0-1 se získají z Bernoulliho rce
..9,21,032
.2
00
121
211
slvmg
pp
g
vH
respg
v
g
p
g
pH
as
sa
v průřezu 0-2
..2,32,632
.2
00
222
222
slvmg
pp
g
vH
respg
v
g
p
g
pH
as
sa
v průřezu 3 působí atmosférický tlak pa
přetlak
podtlak
Pozn. Při vykreslování tlakové čáry jsou přetlaky nad S.R. a podtlaky pod ní.
V potrubí, které je skloněné o úhel α = 45°, se na délce l = 2 m mění průřez z D1 = 0,2 m na průměr D2 = 0,1 m. Jestliže potrubím protéká olej o ρ0 = 900 kg/m3 a průřezová rychlost je v profilu 1 v1 = 2 m/s, určete pokles tlaku na délce l = 2 m (ztráty se neuvažují). Při měření tlaků diferenciálním manometrem, ve kterém je rtuť o ρHg = 13 600 kg/m3 , určete rozdíl hladin v manometru Hm.
Laminární a turbulentní prouděníLaminární a turbulentní prouděníPomocí hodnoty Pomocí hodnoty Reynoldsova kritériaReynoldsova kritéria se určuje režim se určuje režim proudění (laminární nebo turbulentní). proudění (laminární nebo turbulentní). Při laminárním režimu proudění se jednotlivé vrstvy kapaliny Při laminárním režimu proudění se jednotlivé vrstvy kapaliny mezi sebou nemísí. mezi sebou nemísí. Turbulentní režim proudění se vyznačuje nepravidelnou Turbulentní režim proudění se vyznačuje nepravidelnou pulsací složek rychlosti a tlaku kolem jejich střední hodnoty.pulsací složek rychlosti a tlaku kolem jejich střední hodnoty.
Proudění v potrubíProudění v potrubí
Kruhové potrubíKruhové potrubí - Reynoldsovo kritérium - Reynoldsovo kritérium je definováno vztahem:je definováno vztahem:
kde kde je součinitel kinematické viskozity, je součinitel kinematické viskozity, DD je průměr potrubí. je průměr potrubí.
(pro t = 20°C –(pro t = 20°C –2020= 1,01.10= 1,01.10-6-6 m m22/s). Kritické hodnoty jsou:/s). Kritické hodnoty jsou:
ReRekritkrit < 2320 - laminární proudění; < 2320 - laminární proudění;
Re > 13 800 - kvadratická oblast ztrát třením.Re > 13 800 - kvadratická oblast ztrát třením. Obecný průřezObecný průřez - Reynoldsovo kritérium - Reynoldsovo kritérium je definováno vztahem: je definováno vztahem: kde R je hydraulický poloměr. Kritické hodnoty jsou:kde R je hydraulický poloměr. Kritické hodnoty jsou:ReReRkritRkrit < 580 - laminární proudění; < 580 - laminární proudění;
ReReRR > 3 450 - kvadratická oblast ztrát třením > 3 450 - kvadratická oblast ztrát třením
v obecném průřezu. v obecném průřezu.
Reynoldsovo kritériumReynoldsovo kritérium
Dv
Re
Rv
R
Re
O
AR
A je plocha,O je omočený obvodPozn.: Hydraulický poloměr v kruhovém potrubí je R=D/4.
Při jakých rychlostech proudění vody Při jakých rychlostech proudění vody 20°C20°C teplé je zajištěn teplé je zajištěn laminární režim proudění potrubím kruhového průřezu laminární režim proudění potrubím kruhového průřezu o vnitřním průměru o vnitřním průměru D= 50 mmD= 50 mm??(pro (pro t = 20°Ct = 20°C je je 2020= 1,01.10= 1,01.10-6-6 m m22/s/s))
smD
v /047,005,0
1001,12320Re 6Řešení
Ztráty Ztráty
Při laminárním proudění jsou hydraulické ztráty úměrné hodnotě střední rychlosti. Při turbulentním proudění, při němž odpory značně narůstají vlivem pulsací rychlostí, jsou ztráty úměrné až kvadrátu rychlosti.
můžeme vyjádřit z Bernoulliho rovnice v proudu skutečné kapaliny, po úpravě pak
g
v
g
ph
g
v
g
phh
22=
222
2
211
1z
Celkovou ztrátu hz dostaneme složením jednotlivých
ztrát, jež se provede sečtením: mtz hhh
Na vodorovném potrubí stálého průřezu bude ztrátová výška dána rozdílem tlakových výšek (v1 = v2 a h1 = h2):
g
p
g
pph
21
z =
Ztráta třením a místní ztráta se obvykle vyjadřují jako část rychlostní výšky ve tvaru :
g
vh
2=
21
z Kde je součinitel příslušné ztráty.
Ztráty třením, výpočet dlouhého potrubí
Zg
v
g
pz
g
v
g
pz
22
222
2
211
1
mtz hhZh
Ztráty třením – Darcy-Weisbachova rovnice
2
22
22 gAD
LQ
gD
LvLih Et
(iE je hydraulický sklon tj. sklon ČE)
EiRgkdev
020 ,
8
Je tečné napětí u stěny potrubí,R je hydraulický poloměr.
Vypočítejte ztrátu třením na délce L = 1000 m běžného litinového potrubí (n = 0,013, = 0,002 m) o průměru D = 250 mm, kterým protéká průtok Q = 60 l/s vody (teplota vody t = 20oC).
Řešení
L = 1000 m; D = 0,25 m; Q = 0,060 m3/s; = 1,0105 10-6 m2/s; n = 0,013; = 0,002 m;
sm
D
Q=
A
Qv /222,1
25,0
06,044=
22
proud.) turb.(vyvinuté 326 302 100105,1
0,251,222==Re
6Dv
m 0,0625
4
25,0=
4=R
24
1D
D
D
Zadání
dle Manninga 0,033425,0
013,0124,58124,58=
848=
3/1
2
3/1
2
3/1
23/1
2
D
n
D
ng
C
g
mgg
v
D
Lht 17,10
2
222,1
25,0
10000334,0=
2=
22
dle Pavlovského
0,0309=848
=2
22
2 y
y
D
ng
C
g
1524,00,1)-(75,0-0,13-2,5= nRny
mgg
v
D
Lht 41,9
2
222,1
25,0
10000309,0=
2=
22
dle Ševeljeva 0318,025,0
0,0210=
0,0210=
3.03.0
D
mgg
v
D
Lht 68,9
2
222,1
25,0
10000318,0=
2=
22
Colebrook-Whiteova rovnice 0354,03,7
+Re
2,51log2-=
1
D
mgg
v
D
Lht 78,10
2
222,1
25,0
10000354,0=
2=
22
Ztráty třením na délce potrubí L = 1000 m jsou podle jednotlivých autorů v rozmezí od 9,41 ~ 10,78 m .
Hydraulicky krátké potrubíHydraulicky krátké potrubíje takové potrubí, u něhož místní ztráty hm nejsou
zanedbatelné vůči ztrátám třením ht. Celkové ztráta hz se
počítá podle vztahu:g
v
D
Lhhh mtz 2
+=+=2
kde je součinitel tření, L délka úseku potrubí, D průměr potrubí, součinitel místní ztráty, v průřezová rychlost, g tíhové zrychlení.
Hranice mezi potrubím hydraulicky krátkým a dlouhým není otázkou geometrickou, ale hydraulickou. Je nutné posoudit, zda je ztráta místní zanedbatelná vůči ztrátě třením. Typickými příklady krátkého potrubí jsou shybky, potrubí čerpadel, násosky, atd.
ShybkaShybkaOtevřené vodní toky (náhony, potoky, kanály, ...) vedeme pod místními překážkami (komunikace, jiný vodní tok, ...) krátkými úseky tlakových potrubí - shybkami. Vtok shybky navrhujeme rozšířený nebo zaoblený. Umisťujeme jej tak hluboko pod hladinu, aby se netvořil vtokový vír a aby do shybky nevnikal vzduch. Před vtokem se obvykle umisťují hrubé česle a lapák splavenin.Aby shybkou protekl určitý průtok, musí hladina před objektem zaujmout vyšší polohu, než hladina za objektem. Před shybkou dochází většinou ke změně beztlakového proudění na tlakové a za shybkou k opačné změně.
Položte shybku kruhového průřezu o poloměru D=0,6 m Položte shybku kruhového průřezu o poloměru D=0,6 m a délce L= 25 m náhonu pod silnicí. Vypočítejte ztrátovou a délce L= 25 m náhonu pod silnicí. Vypočítejte ztrátovou výšku při průtoku Q = 450 l/s. Stupeň drsnosti dle výšku při průtoku Q = 450 l/s. Stupeň drsnosti dle Manninga pro kanalizační trouby je n = 0,013.Manninga pro kanalizační trouby je n = 0,013.
Řešení
Na potrubí, které spojuje dvě nádrže s olejem A a D, je umístěno čerpadlo BC. Čerpadlo má čerpat průtok Q = 160 l/s do horní nádrže D. Sací i výtlačné potrubí má průměr D = 0,3 m. Ztráty v sacím potrubí jsou 2,5 m; ve výtlačném potrubí 6,5 m sloupce oleje. Jestliže jsou známé polohové výšky hladin v nádržích a osy čerpadla, vypočtěte příkon čerpadla, je-li účinnost jeho čerpání = 0,6 a měrná hmotnost oleje = 760 kg/m3.
Tlaková čáraPříkon čerpadla
][WHQg
Pmč
– měrná hmotnostQ – průtokH – dopravní výškač – účinnost čerpadlam – účinnost elmotoru