zÁkladnÍ pojmy a vztahy v technickÉ...
TRANSCRIPT
![Page 1: ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTImech.fd.cvut.cz/members/jira/studijni-podklady/pzp/Uvod... · Oba vztahy platí pro celý průřez. ... Prostý ohyb Jedinou vnitřní](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040512/5e5e906628b50e1884702b57/html5/thumbnails/1.jpg)
ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTI
Napětí velikost vnitřní síly na jednotku plochy konečné podíly elementů vnitřních sil a ploch
Podle směru vnitřních sil zavádíme:
napětí celkové dAdS
r =σ v obecném
směru k ploše
φ N(σ)
S(σr)
T(τ)
tn
napětí normálové dAdN
=σ ve směru
normály k ploše
napětí tangenciální dAdT
=τ ve směru
tečném k ploše.
![Page 2: ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTImech.fd.cvut.cz/members/jira/studijni-podklady/pzp/Uvod... · Oba vztahy platí pro celý průřez. ... Prostý ohyb Jedinou vnitřní](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040512/5e5e906628b50e1884702b57/html5/thumbnails/2.jpg)
Označíme-li úhel mezi paprskem celkového napětí a normálou k ploše jako ϕ , bude platit:
σ = 22 sin cos τσσϕστϕσ +=⋅=⋅ rrr
Můžeme-li pokládat sílu S a její složky n, t za rovnoměrně rozložené po ploše velikosti A, určujeme napětí podílem vnitřní síly a plochy
TNSAAAr === τσσ , ,
Napětí má rozměr síla lomeno plochou, tady [ ]2N/m . Tato jednotka má v mezinárodní soustavě jednotek SI označení pascal.
2-1-2 skgm1N/m 1 Pa1 ==Platí tedy . V praxi se obvykle užívá jejích násobků. Jsou povoleny násobky:
kPa ( kilopascal ) a MPa ( megapascal ), tedy 1 Pa = 103 kPa = 106 Pa.
![Page 3: ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTImech.fd.cvut.cz/members/jira/studijni-podklady/pzp/Uvod... · Oba vztahy platí pro celý průřez. ... Prostý ohyb Jedinou vnitřní](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040512/5e5e906628b50e1884702b57/html5/thumbnails/3.jpg)
Působení normálových sil mění rozměry tělesa. - rozměr ve směru síly před deformací l - po deformaci l´
ll −′=∆- rozdíl l skutečné ( absolutním ) protažení tělesa ve směru l. Protažení má rozměr délky:
lll −′=∆- je kladné - protažení - lll −′=∆ záporné - nazýváme je zkrácením
Protažení tělesa Rovnovážná soustava normálových sil, působících na těleso
- těleso ve směru působících sil se protahuje - v příčném směru se stlačuje
Tažená tyč se tedy ve směru tahu prodlužuje, v příčném směru zužuje, tlačená se naopak ve směru působících sil zkracuje, v příčných směrech rozšiřuje.
![Page 4: ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTImech.fd.cvut.cz/members/jira/studijni-podklady/pzp/Uvod... · Oba vztahy platí pro celý průřez. ... Prostý ohyb Jedinou vnitřní](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040512/5e5e906628b50e1884702b57/html5/thumbnails/4.jpg)
Ze spojitosti pružného prostředí předpokládáme, že se podobně deformuje účinkem normálových sil i libovolně malý prvek tělesa. Označujeme skutečným protažením veličinu danou rozdílem původní délky prvku ds a délky elementu po přetvoření ds´
sds ′=∆ ds−
Častěji než se skutečným protažením tělesa nebo elementu počítáme s poměrným protažením ε , které je poměrem skutečného protažení a původní délky, tedy
l∆l
=ε nebo dsds∆
=ε ,
které má znaménko shodné se skutečným protažením a jako poměr dvou délek je to veličina bezrozměrná.
![Page 5: ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTImech.fd.cvut.cz/members/jira/studijni-podklady/pzp/Uvod... · Oba vztahy platí pro celý průřez. ... Prostý ohyb Jedinou vnitřní](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040512/5e5e906628b50e1884702b57/html5/thumbnails/5.jpg)
Tangenciální ( smyková ) napětí způsobují posunutí bodů v rovině průřezu. Tím se mění původní pravé úhly v kosé.
Relativní zkosení
Označíme-li jako rozdíl posunutí dvou koncových bodů úsečky
∆ab kolmé před
deformací k průřezu a délku úsečky ab jako l, potom poměr rozdílu posunutí k délce kolmého vlákna
l∆
=γ nebo dsd∆
=γ
je poměrné zkosení. Je to obdobně jako relativní protažení hodnota bezrozměrná. Značí tangentu úhlu, o nějž se změnil úhel vlákna k průřezu. Protože se jedná o velmi malý úhel, lze ho zaměnit tangentou.
![Page 6: ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTImech.fd.cvut.cz/members/jira/studijni-podklady/pzp/Uvod... · Oba vztahy platí pro celý průřez. ... Prostý ohyb Jedinou vnitřní](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040512/5e5e906628b50e1884702b57/html5/thumbnails/6.jpg)
Tahová zkouška
Tahová zkouška
Vložíme ocelovou tyč poměrně značné délky l a malé průřezové plochy A do čelistí trhacího stroje a zvyšujeme tah F. Předpokládá se, že napětí je po průřezu rozděleno rovnoměrně a má hodnotu
FA
=σ .
- Měříme-li délku l´ tyče mezi dvěma značkami vzdálenými před zkouškou
l, pozorujeme, že tato délka se vzrůstem síly F roste. - S rostoucím napětím vzrůstá proto také poměrné protažení. - Závislost normálového napětí σ na poměrném protažení ε - tzv. pracovní
diagram. Tvar pracovního diagramu závisí na materiálu i jeho zpracování.
![Page 7: ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTImech.fd.cvut.cz/members/jira/studijni-podklady/pzp/Uvod... · Oba vztahy platí pro celý průřez. ... Prostý ohyb Jedinou vnitřní](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040512/5e5e906628b50e1884702b57/html5/thumbnails/7.jpg)
- konvenční nebo jmenovité napětí. - skutečné napětí
σdεd
E =
- modul pružnosti, přesněji modul pružnosti v tahu nebo tlaku. σ- M mez úměrnosti.
- eσ mez pružnosti (elasticity) - obor plasticity σPracovní diagram oceli - p mez pevnosti.
V technické praxi jsou používána normová označení jednotlivých charakteristik v pracovním diagramu oceli:
Rm je mez pevnosti, Ry je mez kluzu, Rpr je mez úměrnosti
![Page 8: ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTImech.fd.cvut.cz/members/jira/studijni-podklady/pzp/Uvod... · Oba vztahy platí pro celý průřez. ... Prostý ohyb Jedinou vnitřní](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040512/5e5e906628b50e1884702b57/html5/thumbnails/8.jpg)
Pracovní diagramy různých látek se od sebe značně liší. Některé látky se chovají odlišně v tahu a v tlaku.
Pracovní diagramy pro různé materiály: a)litina, b) bronz, c) mramor,
d) beton, e) dřevo,f) kůže
![Page 9: ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTImech.fd.cvut.cz/members/jira/studijni-podklady/pzp/Uvod... · Oba vztahy platí pro celý průřez. ... Prostý ohyb Jedinou vnitřní](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040512/5e5e906628b50e1884702b57/html5/thumbnails/9.jpg)
Obor plasticity
Odlehčování v plastickém oboru
Výpočet za stavu plasticity:
a) bez zpevnění b) b) se zpevněním
![Page 10: ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTImech.fd.cvut.cz/members/jira/studijni-podklady/pzp/Uvod... · Oba vztahy platí pro celý průřez. ... Prostý ohyb Jedinou vnitřní](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040512/5e5e906628b50e1884702b57/html5/thumbnails/10.jpg)
Výpočet konstrukcí v praxi zjednodušujeme předpokladem, že jde o látky: - stejnorodé čili homogenní, tj. stejné struktury a stejných vlastností ve všech bodech tělesa - izotropní, tj. takové, které mají ve všech směrech stejné materiálové vlastnosti. Ve skutečnosti se hmoty řídí těmito předpoklady jen přibližně, avšak pro výpočty podle nauky o pružnosti a pevnosti předpoklady homogenity a izotropie materiálu prakticky vyhovují. Většinou namáháme materiál z různých důvodů ( bezpečnost, vyloučení větších deformací apod.) jen po mez úměrnosti. Můžeme tudíž materiál idealizovat jako homogenní, izotropní a dokonale lineárně pružný – modul pružnosti je konstantní. Matematicky tento vztah vyjádříme rovnicí, tzv. Hookův zákon
εσ ⋅= E nebo Eσε =
kde E je modul pružnosti, σ normálové napětí a ε relativní protažení. Rovnice vyjadřuje základní vztah teorie pružnosti,.
![Page 11: ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTImech.fd.cvut.cz/members/jira/studijni-podklady/pzp/Uvod... · Oba vztahy platí pro celý průřez. ... Prostý ohyb Jedinou vnitřní](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040512/5e5e906628b50e1884702b57/html5/thumbnails/11.jpg)
Hookův zákon platí, jen pokud jsou splněny dva předpoklady: - napětí nepřestoupí mez úměrnosti - nepůsobí normálové napětí v příčných směrech.
Normálové napětí xσ ve směru osy x vyvolává kromě protažení ve směru svého působení také zkrácení ve směrech y, z ( záporné protažení ). Příčný rozměr se zkracuje ( relativně ) m – krát méně, než se prodlužuje délka ve směru tahových sil. Číslo m se nazývá Poissonova konstanta a vždy musí být větší než 2. Převrácená hodnota Poissonovy konstanty se nazývá Poissonovo číslo a značí se µ ( v cizí literatuře také ν ).
σNapětí xtedy vyvolává relativní deformace σεσEmE
xxzy
xx µεεε −=−=== ,
obdobně napětí yσ samotné vyvolává relativní deformace
EEy
zxy
y
σµεε
σε −=== ,
![Page 12: ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTImech.fd.cvut.cz/members/jira/studijni-podklady/pzp/Uvod... · Oba vztahy platí pro celý průřez. ... Prostý ohyb Jedinou vnitřní](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040512/5e5e906628b50e1884702b57/html5/thumbnails/12.jpg)
a napětí zσ samotné vyvolává relativní deformace σσEE
zyx
zz µεεε −=== ,
Sečteme-li účinky všech tří napětí na protažení ve směru x , dostaneme výsledné poměrné protažení
1 ( )zyxx Eµσµσσε −−=
a v ostatních směrech 1 ( ) ( )yxzzzxyy EE
µσµσσεµσµσσε −−=−−=1
Tyto závislosti udávají tzv. rozšířený Hookův zákon , jenž stanoví deformaci za současného působení normálových napětí ve třech kolmých směrech na zatěžovaný prvek.
![Page 13: ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTImech.fd.cvut.cz/members/jira/studijni-podklady/pzp/Uvod... · Oba vztahy platí pro celý průřez. ... Prostý ohyb Jedinou vnitřní](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040512/5e5e906628b50e1884702b57/html5/thumbnails/13.jpg)
Mezi relativním zkosením a tangenciálním napětím platí vztah obdobný Hookovu zákonu
Gτγ =
kde γ je relativní zkosení, τ tangenciální napětí a G je tzv. modul pružnosti ve smyku. Modul pružnosti v tahu E , modul pružnosti ve smyku G a Poissonovo číslo µ jsou tři materiálové konstanty, které v pružném oboru plně charakterizují daný materiál. Ovšem jen dvě materiálové konstanty jsou na sobě nezávislé, protože mezi nimi platí vztah
( )µ+=
12EG
Přetvoření vzniká
- působením zatížení - změna teploty - relativní protažení Tzyx ∆⋅=== αεεε - smršťování (např. betonu)
![Page 14: ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTImech.fd.cvut.cz/members/jira/studijni-podklady/pzp/Uvod... · Oba vztahy platí pro celý průřez. ... Prostý ohyb Jedinou vnitřní](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040512/5e5e906628b50e1884702b57/html5/thumbnails/14.jpg)
Prosté případy pružnosti Prut je konstrukční prvek, jehož jeden rozměr ( délka ) převládá nad ostatními rozměry ( průřez ). Střednice prutu spojuje ve směru délky těžiště všech podélných průřezů daného prutu. Na myšlený řez v zatíženém prutu působí vnitřní síly – ohybový moment, normálná síla, posouvající síla. Prostorovou soustavu sil ( zatížení, reakce ) lze nahradit jedinou silou v těžišti průřezu a statickým momentem – tzv. redukce síly k bodu.
![Page 15: ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTImech.fd.cvut.cz/members/jira/studijni-podklady/pzp/Uvod... · Oba vztahy platí pro celý průřez. ... Prostý ohyb Jedinou vnitřní](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040512/5e5e906628b50e1884702b57/html5/thumbnails/15.jpg)
střednice M M
T
T
N N
R
R
A B
F3
Ay
Ax
F2 F1
Vnitřní síly nosníku
V rovině průřezu může ještě působit kroutící moment. Působí-li na průřez jen jediná složka vnitřních sil jedná se o prostý případ pružnosti
![Page 16: ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTImech.fd.cvut.cz/members/jira/studijni-podklady/pzp/Uvod... · Oba vztahy platí pro celý průřez. ... Prostý ohyb Jedinou vnitřní](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040512/5e5e906628b50e1884702b57/html5/thumbnails/16.jpg)
1. Prostý tah a tlak Jedinou působící vnitřní silou na průřez prutu je normálná síla. V příčném směru nepůsobí žádná.
Platí Navierova hypotéza: 1. Osa prutu zůstane po
přetvoření přímá.
Tahové napětí A
y z
dA
y
z
x Ν
σx
2. Všechny body dvou sousedních rovnoběžných průřezů kolmých k ose prutu zůstanou po deformaci rovinné a kolmé k ose prutu.
Z této hypotézy vyplývá, že poměrná deformace je konstantní po celém průřezu.
![Page 17: ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTImech.fd.cvut.cz/members/jira/studijni-podklady/pzp/Uvod... · Oba vztahy platí pro celý průřez. ... Prostý ohyb Jedinou vnitřní](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040512/5e5e906628b50e1884702b57/html5/thumbnails/17.jpg)
konstdx
dx
dx
dxdxdxx
a z ní dále vyplývá podle Hookova zákona .konstExx
Oba vztahy platí pro celý průřez.
Součtová podmínka rovnováhy mezi napětím a vnitřní silou:
A
NdANdAN
A
x
A
x x
0 0
Normálové napětí je při prostém tahu a tlaku po celém průřezu
konstantní a je rovno normálové síle dělené plochou.
Momentová podmínka rovnováhy k ose y :
0 00 x AA
x dAzdAzN
![Page 18: ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTImech.fd.cvut.cz/members/jira/studijni-podklady/pzp/Uvod... · Oba vztahy platí pro celý průřez. ... Prostý ohyb Jedinou vnitřní](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040512/5e5e906628b50e1884702b57/html5/thumbnails/18.jpg)
Protože x
je konstanta, A
dAz je statický moment průřezu k těžišti, vyplývá
z momentové podmínky, že normálová síla musí procházet těžištěm (statický
moment průřezu k těžišti je nulový).
! Při excentrickém působení vyvolává normálová síla k těžišti průřezu
ještě ohybový moment a nejedná se o prostý tah či tlak.
Použití
a) pro návrh průřezu
dov
nutnédov
nutné
dovx
NA
A
N
V praxi je zpravidla rozdílné u skutečných materiálů dov
v tahu a tlaku.
ddov
nutné
tdov
nutné
tlakNA
tahNA
,,
)(
)(
![Page 19: ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTImech.fd.cvut.cz/members/jira/studijni-podklady/pzp/Uvod... · Oba vztahy platí pro celý průřez. ... Prostý ohyb Jedinou vnitřní](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040512/5e5e906628b50e1884702b57/html5/thumbnails/19.jpg)
b) velikost deformace l
∫=∆ x dxl0
ε , a protože AE
NE
xx ⋅
== x , εσ
ε potom
∫ ⋅=∆
l
dxAE
Nl0
a pro prut stálého průřezu EA
lNdxEANl
l ⋅=⋅=∆ ∫
0
2. Staticky neurčitý tah nebo tlak Pro určení neznámých nám chybí tolik podmínek, kolikrát je soustava staticky neurčitá. Statické podmínky rovnováhy se musí doplnit podmínkami deformačními.
![Page 20: ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTImech.fd.cvut.cz/members/jira/studijni-podklady/pzp/Uvod... · Oba vztahy platí pro celý průřez. ... Prostý ohyb Jedinou vnitřní](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040512/5e5e906628b50e1884702b57/html5/thumbnails/20.jpg)
3. Prostý ohyb Jedinou vnitřní silou je ohybový moment, který působí v hlavní centrální rovině setrvačnosti průřezu. Navierova hypotéza: Rovinné řezy kolmé ke střednici nosníku před deformací zůstanou i po deformaci rovinné a kolmé k deformované střednici.
hσ
( )zxσ
hσ
z
z
y y zh
zd
z M M
Ohybové napětí v průřezu nosníku
![Page 21: ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTImech.fd.cvut.cz/members/jira/studijni-podklady/pzp/Uvod... · Oba vztahy platí pro celý průřez. ... Prostý ohyb Jedinou vnitřní](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040512/5e5e906628b50e1884702b57/html5/thumbnails/21.jpg)
Proto se mění lineárně též relativní přetvoření zDyCB ⋅+⋅+=ε x , kde B, C, D jsou pro směr osy x konstanty.
Statické podmínky rovnováhy
dAN ∫= σA
x v tomto výrazu ( )zDyCBEE xx ⋅+⋅+== εσ
Potom −=M ∫∫ ⋅⋅−=⋅⋅
Axz
Axy dAyMdAz σσ
Normálná síla při čistém ohybu je nulová, moment působí jen k jedné hlavní ose průřezu, potom
== ∫∫ EdAN σ ( ) 0=⋅+⋅+AA
x dAzDyCB
( ) ( )∫∫ =⋅+⋅+⋅−=⋅+⋅+⋅−=AA
zy dAzDyCByEMdAzDyCBzEM 0
![Page 22: ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTImech.fd.cvut.cz/members/jira/studijni-podklady/pzp/Uvod... · Oba vztahy platí pro celý průřez. ... Prostý ohyb Jedinou vnitřní](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040512/5e5e906628b50e1884702b57/html5/thumbnails/22.jpg)
Po úpravě těchto rovnic dostaneme 0=++ ∫∫∫ zdADydACdAB
321321321yz S
A
S
A
A
A
, kde yx SS , jsou statické momenty průřezu,
které jsou k hlavním centrálním osám nulové, a z toho dostaneme podmínku 0 0 =⇒=⋅ BAB ;
EM
dAzDdAyzCdAzB y
I
A
D
A
S
A
yyzy
−=⋅+⋅+⋅ ∫∫∫434214342143421
2 a z toho
y
yyy EI
MD
EM
ID −=⇒−=⋅ ;
02 =⋅+⋅+⋅ ∫∫∫434214342143421
yzzz D
A
I
A
S
A
dAyzDdAyCdAyB a z toho 0 0 =⇒=⋅ CIC z
( pozn.: jsou-li osy y, z hlavní centrální osy setrvačnosti, je Dyz = 0 ).
![Page 23: ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTImech.fd.cvut.cz/members/jira/studijni-podklady/pzp/Uvod... · Oba vztahy platí pro celý průřez. ... Prostý ohyb Jedinou vnitřní](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040512/5e5e906628b50e1884702b57/html5/thumbnails/23.jpg)
Potom
y
yx
y
yx I
zMIE
zM ⋅−=⇒
⋅
⋅−= σε
Neutrální osa je množina bodů, v nichž je normálové napětí nulové. Návrh průřezu Napětí v nejvíce namáhaných vláknech průřezu nesmí přestoupit návrhovou hodnotu.
ddovy
hytdov
y
dy
IzM
IzM
,, σσ ≤⋅
≤⋅
Označíme-li ,, ddov
y
h
zh
tdov
y
d
yd
IzI
WI
zI
Wσσ⋅===
potom ddovh
ytdov
d
y
WM
WM
,, σσ ≤≤
![Page 24: ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTImech.fd.cvut.cz/members/jira/studijni-podklady/pzp/Uvod... · Oba vztahy platí pro celý průřez. ... Prostý ohyb Jedinou vnitřní](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040512/5e5e906628b50e1884702b57/html5/thumbnails/24.jpg)
kde Wd , Wh průřezový modul dolní a horní. Pak nutný průřezový modul pro dané namáhání ohybovým momentem je
dov
ynutné
MW
σ±≥
![Page 25: ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTImech.fd.cvut.cz/members/jira/studijni-podklady/pzp/Uvod... · Oba vztahy platí pro celý průřez. ... Prostý ohyb Jedinou vnitřní](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040512/5e5e906628b50e1884702b57/html5/thumbnails/25.jpg)
Tangenciální napětí za ohybu
Zvětšení únosnosti slepením
Vytvoříme nosník tím způsobem, že na sebe položíme pět prken: - tloušťky h mezi sebou vzájemně nespojených. Únosnost průřezu je úměrná průřezovému modulu, pět prken bude mít průřezový modul
51 225 66
5 bhbhW =⋅⋅=
- vzájemně spojených, takže vznikne jeden nosník o výšce . Průřezový modul tohoto nosníku bude
h5
251 ( ) 221 6
56
bhhbW ==
Spojením prken se průřezový modul nosníku zvětšil pětkrát. Je to tím, že lepidlo brání posunování prken vzájemně po sobě. Při ohybu nosníku vznikají mimo normálových napětí také napětí tangenciální.
![Page 26: ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTImech.fd.cvut.cz/members/jira/studijni-podklady/pzp/Uvod... · Oba vztahy platí pro celý průřez. ... Prostý ohyb Jedinou vnitřní](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040512/5e5e906628b50e1884702b57/html5/thumbnails/26.jpg)
Grashofova hypotéza Předpokládáme, že u symetrického průřezu zatíženého v rovině souměrnosti je složka tangenciálního napětí xzτ stálá v celé vrstvě vláken rovnoběžných s neutrální osou. Při označování tangenciálních napětí používáme dvojitého indexu. Oba indexy u tangenciálního napětí je možno zaměnit, neboť platí věta o vzájemnosti složek tangenciálního napětí, podle které jiij ττ = .
Kladné směry tangenciálních napětí
![Page 27: ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTImech.fd.cvut.cz/members/jira/studijni-podklady/pzp/Uvod... · Oba vztahy platí pro celý průřez. ... Prostý ohyb Jedinou vnitřní](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040512/5e5e906628b50e1884702b57/html5/thumbnails/27.jpg)
Oddělme z nosníku část omezenou dvěma sousedními průřezy x, x+dx a z horní části element až po vlákna vzdálená z od neutrální osy. Ve směru osy X působí na element v rovinách sousedních průřezů normálová napětí, která jsme vyšetřili z účinku ohybového momentu ( kladná jako tahy) a na spodní elementu konstantní tangenciální napětí zxτ (kladné proti směru osy x).
Výpočet tangenciálního napětí podle Grashofovy hypotézy
![Page 28: ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTImech.fd.cvut.cz/members/jira/studijni-podklady/pzp/Uvod... · Oba vztahy platí pro celý průřez. ... Prostý ohyb Jedinou vnitřní](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040512/5e5e906628b50e1884702b57/html5/thumbnails/28.jpg)
Ohybový moment M , vyvolává ve vzdálenosti ξ od neutrální osy napětí M ξ⋅
yx I
σ −=
Na základnu elementu v průřezu x působí ve směru záporné osy X kladná výslednice normálových napětí
ee M
y
ze
zyzxx I
SMdA
IdAN
⋅−=⋅−== ∫∫ ξσ
Vyloučíme-li elementy, kde se plocha průřezu náhle mění nebo kde je působiště osamělého zatěžovacího momentu, mění se xN mezi x a x+dx spojitě. Na uvažovanou část sousedního průřezu o souřadnici x+dx působí ve směru kladné osy X výslednice normálových napětí
SMN ⋅∂dx
IxNdx
xNN
y
zex
xxx
∂
∂+=
∂+=′
![Page 29: ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTImech.fd.cvut.cz/members/jira/studijni-podklady/pzp/Uvod... · Oba vztahy platí pro celý průřez. ... Prostý ohyb Jedinou vnitřní](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040512/5e5e906628b50e1884702b57/html5/thumbnails/29.jpg)
Tangenciální napětí zxτ dávají na spodní plošku elementu výslednici, která má při kladném zxτ směr záporné osy X , a protože na této plošce je zxτ konstantní, je velikost výslednice tangenciálních napětí zxτ rovna
dx⋅⋅ ητ 2zx Součtová podmínka rovnováhy ve směru osy X má tvar
′ 02 =⋅⋅−− dxNN zxxx ητ odkud po dosazení za Nx´ dostáváme po úpravě
⋅ SM
∂
∂⋅=
y
zezx Ixη
τ21 .
Prizmatický nosník ( nosník s konstantním průřezem ) - moment setrvačnosti průřezu Iy je konstantní - ve směru podélné osy nosníku se nemění statický moment Sze pro libovolná
vlákna z.
Potom dx
dMI
S
y
zezx ⋅
⋅=
ητ
2
![Page 30: ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTImech.fd.cvut.cz/members/jira/studijni-podklady/pzp/Uvod... · Oba vztahy platí pro celý průřez. ... Prostý ohyb Jedinou vnitřní](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040512/5e5e906628b50e1884702b57/html5/thumbnails/30.jpg)
Schwedlerova věta dx
dMT =
Pro prizmatický nosník pro tangenciální napětí za ohybu platí STη
ττ2
ze
yzxxz I==
Na horním i spodním okraji je statický moment nulový je na horním i spodním okraji průřezu tangenciální napětí nulové. Na obvodě průřezu musí mít výsledné tangenciální napětí směr tečny k průřezu.
Vysvětlení: Ze zákona o vzájemnosti tangenciálních napětí. Pokud by se totiž vyskytovala nenulová složka nτ ve směru normály k obrysu, musela by dle tohoto zákona existovat i stejně veliká složka v kolmé rovině, tedy tangenciální napětí mezi nosníkem a „vzduchem“. A protože takové napětí na nezatíženém okraji nemůže existovat, musí být nulová i složka nτ tangenciálního napětí na obvodu.
![Page 31: ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTImech.fd.cvut.cz/members/jira/studijni-podklady/pzp/Uvod... · Oba vztahy platí pro celý průřez. ... Prostý ohyb Jedinou vnitřní](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040512/5e5e906628b50e1884702b57/html5/thumbnails/31.jpg)
Uvažujeme průřezy symetrické podle svislé osy Z. Na ose symetrie má tangenciální napětí směr osy symetrie. Vektory tangenciálního napětí ve všech bodech průřezu, stejně vzdálených od neutrální osy, se protínají v témž bodě na ose symetrie. Označíme-li úhel mezi osou souměrnosti a spojnicí obecného bodu a průsečík vektorů tangenciálních napětí jako ω , bude závislost výsledného napětí τ obecném bodě a jeho svislým průmětem xzτ
τω
τcos
xz=
- Složka napětí xzτ je ve vláknech se stejnou souřadnicí z konstantní. ωcos- Největší výsledné napětí je tam, kde je nejmenší a tedy úhel ωnejvětší,
to je na obvodě průřezu. - Úhel mezi tečnou k obrysu a svislou osou symetrie ϕ .
τ- Výsledné tangenciální napětí 0na obvodu průřezu po dosazení rovno ST
ϕητ
cos20 ⋅⋅= ze
yI
![Page 32: ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTImech.fd.cvut.cz/members/jira/studijni-podklady/pzp/Uvod... · Oba vztahy platí pro celý průřez. ... Prostý ohyb Jedinou vnitřní](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040512/5e5e906628b50e1884702b57/html5/thumbnails/32.jpg)
- Napětí na obvodu je ze všech napětí ve vláknech se stejnou souřadnicí největší, stačí posoudit v průřezu největší tangenciální napětí vůbec.
T- Podíl yI
je na celém průřezu konstantní a proto největší tangenciální
napětí v průřezu bude na jeho obvodu v místě, kde Sd 0
cos2=
⋅ ϕη
ze
dz