základy elektrotechniky...ing. aleš zima 6 1 základní pojmy 1.1 soustava si soustava si (zkratka...
TRANSCRIPT
1.EM
Ing. Aleš Zima
ver.01 / 2018
Základy elektrotechniky
Ing. Aleš Zima 1
Obsah
1 Základní pojmy .............................................................................................................. 6
1.1 Soustava SI ............................................................................................................. 6
1.1.1 Sedm základních jednotek SI: ......................................................................... 6
1.1.2 Fyzikální veličiny a jednotky .......................................................................... 7
1.1.3 Další jednotky, nejsou součástí SI, .................................................................. 8
1.2 Násobky a díly jednotek ......................................................................................... 8
1.3 Převádění jednotek .................................................................................................. 9
1.4 Stavba látek a atomu ............................................................................................... 9
1.4.1 Hmota se projevuje jako: ................................................................................. 9
1.4.2 Částice látek ..................................................................................................... 9
1.4.3 Atom .............................................................................................................. 10
1.4.4 Ion .................................................................................................................. 11
1.5 Rozdělení látek podle elektrické vodivosti ........................................................... 12
1.5.1 Vodiče ............................................................................................................ 12
1.5.2 Polovodiče ..................................................................................................... 12
1.5.3 Nevodiče ........................................................................................................ 13
1.6 Elektrický náboj .................................................................................................... 14
1.6.1 Elektrický proud ............................................................................................ 14
1.6.2 Elektrický náboj prakticky............................................................................. 14
2 Stejnosměrný elektrický proud .................................................................................... 15
2.1 Zdroje stejnosměrného napětí a proudu ................................................................ 16
2.1.1 Nejrozšířenější zdroje stejnosměrného proudu: ............................................ 16
2.1.2 Směr elektrického proudu .............................................................................. 16
2.1.3 Řazení elektrických zdrojů ............................................................................ 16
2.2 Elektrický proud I (A), jako děj a jako fyzikální veličina .................................... 18
2.3 Elektrický odpor R (Ω) ......................................................................................... 19
Ing. Aleš Zima 2
2.3.1 Výpočet odporu a vodivosti ........................................................................... 19
2.3.2 Závislost odporu vodiče na teplotě ................................................................ 20
2.3.3 Pro elektrický odpor tedy platí následující: ................................................... 20
2.4 Ohmův zákon ........................................................................................................ 22
2.5 Kirchhoffovy zákony ............................................................................................ 24
2.5.1 I. Kirchhoffův zákon...................................................................................... 24
2.5.2 II. Kirchhoffův zákon .................................................................................... 25
2.6 Úbytek napětí ve vodiči ........................................................................................ 28
2.7 Elektrická práce, výkon a příkon .......................................................................... 30
2.7.1 Elektrická práce W (Ws; J) ............................................................................ 30
2.7.2 Výkon elektrického stejnosměrného proudu P (W) ...................................... 30
2.7.3 Příkon, výkon a účinnost ............................................................................... 31
2.8 Přeměna elektrické energie v teplo ....................................................................... 33
2.9 Řazení rezistorů .................................................................................................... 35
2.9.1 Rezistor: ......................................................................................................... 35
2.9.2 Řazení rezistorů sériově................................................................................. 35
2.9.3 Řazení rezistorů paralelně ............................................................................. 35
2.10 Dělič napětí ....................................................................................................... 37
2.10.1 Odporové děliče napětí .................................................................................. 37
2.10.2 Kapacitní dělič ............................................................................................... 39
3 Vodiče, dielektrika, izolanty a polovodiče .................................................................. 40
3.1 Všeobecná charakteristika a rozdělení .................................................................. 40
3.1.1 Vodič ............................................................................................................. 40
3.1.2 Dielektrikum .................................................................................................. 40
3.1.3 Permitivita ε [F.m-1] ...................................................................................... 41
3.1.4 Elektrický izolant ........................................................................................... 41
3.2 Polovodič .............................................................................................................. 42
Ing. Aleš Zima 3
3.2.1 Charakteristika polovodičů ............................................................................ 42
3.3 Rozdělení polovodičů podle vodivosti: ................................................................ 43
3.3.1 Vlastní polovodič ........................................................................................... 43
3.3.2 Nevlastní polovodič ....................................................................................... 43
4 Elektrostatika ............................................................................................................... 44
4.1 Elektrický náboj .................................................................................................... 44
4.2 Elektrostatické pole ............................................................................................... 45
4.2.1 Vznik ............................................................................................................. 45
4.2.2 Elektrostatické pole ....................................................................................... 45
4.3 Coulombův zákon ................................................................................................. 46
4.4 Plošná hustota náboje ............................................................................................ 47
4.5 Kondenzátory ........................................................................................................ 49
4.5.1 Vlastnosti kondenzátorů ................................................................................ 49
4.5.2 Dielektrikum .................................................................................................. 49
4.5.3 Elektrická pevnost ......................................................................................... 50
4.6 Spojování kondenzátorů ....................................................................................... 52
4.6.1 Kapacita kondenzátoru .................................................................................. 52
4.6.2 Sériové zapojení kondenzátoru ...................................................................... 52
4.6.3 Paralelní zapojení kondenzátorů .................................................................... 53
4.6.4 Kondenzátor v obvodu střídavého proudu..................................................... 53
5 Základy elektrochemie ................................................................................................ 55
5.1 Vedení elektrického proudu v kapalinách............................................................. 55
5.2 Faradayovy zákony pro elektrolýzu ...................................................................... 56
5.2.1 1.Faradayův zákon ......................................................................................... 56
5.2.2 2.Faradayův zákon ......................................................................................... 56
5.3 Praktické užití elektrolýzy .................................................................................... 58
6 Magnetismus a elektromagnetizmus ........................................................................... 59
Ing. Aleš Zima 4
6.1 Magnetické vlastnosti látek................................................................................... 59
6.1.1 Fyzikální podstata magnetismu ..................................................................... 59
6.1.2 Permeabilita prostředí .................................................................................... 59
6.1.3 Magnetizační charakteristiky ......................................................................... 60
6.1.4 Hysterezní smyčka ......................................................................................... 60
6.1.5 Curieův bod ................................................................................................... 63
6.2 Magnetické pole .................................................................................................... 63
6.3 Magnetický obvod ................................................................................................ 64
6.4 Magnetické pole přímého vodiče a cívky ............................................................. 65
6.5 Magnetická indukce .............................................................................................. 67
6.6 Magnetický indukční tok ...................................................................................... 68
6.7 Pohyb vodiče v magnetickém poli ........................................................................ 69
6.8 Vzájemné působení dvou vodičů v magnetickém poli ......................................... 70
6.9 Částice s nábojem v magnetickém poli ................................................................. 71
6.10 Jev elektromagnetická indukce ......................................................................... 73
6.11 Indukované napětí ............................................................................................. 74
6.11.1 Elektromagnetická indukce Φ (fí)– vznik indukovaného napětí ................... 74
6.11.2 Indukované napětí v magnetickém poli ......................................................... 75
6.12 Vlastní indukce .................................................................................................. 76
6.13 Princip transformátoru a točivých elektrických strojů ...................................... 77
6.13.1 Princip transformátoru ................................................................................... 77
6.13.2 Princip točivých elektrických strojů .............................................................. 79
6.14 Magnetické materiály ........................................................................................ 82
6.14.1 Rozdělení ....................................................................................................... 82
6.15 Magneticky tvrdé a měkké materiály ................................................................ 85
6.15.1 Měkké materiály ............................................................................................ 85
6.15.2 Magneticky tvrdé materiály ........................................................................... 86
Ing. Aleš Zima 5
6.16 Použití v magnetických obvodech..................................................................... 87
7 Seznam použitých informačních zdrojů ...................................................................... 89
Ing. Aleš Zima 6
1 Základní pojmy
1.1 Soustava SI
Soustava SI (zkratka z francouzského „Le Système International d'Unités“ – česky
„Mezinárodní systém jednotek“) je mezinárodně domluvená soustava jednotek fyzikálních
veličin, která se skládá ze sedmi základních jednotek, na nich aritmeticky závisejících
odvozených jednotek a dekadickými předponami tvořených násobků a dílů jednotek.
Definice těchto jednotek a uchovávání případných etalonů garantuje Mezinárodní úřad pro
míry a váhy v Sèvres (Francie).
Obrázek 1 Sedm základních jednotek SI
1.1.1 Sedm základních jednotek SI:
1 čas sekunda s
2 délka metr m
3 elektrický proud ampér A
4 látkové množství mol mol
5 hmotnost kilogram kg
6 termodynamická teplota kelvin K
7 svítivost kandela cd
Ing. Aleš Zima 7
1.1.2 Fyzikální veličiny a jednotky
Pojmenované jednotky odvozené ze soustavy SI
Název Symbol-jednotka Veličina Vyjádření Vyjádření v zákl.
jed. SI
radián rad úhel m·m−1 bezrozměrný
steradián sr prostorový úhel m2·m−2 bezrozměrný
hertz Hz frekvence 1/s s−1
newton N síla, váha kg·m/s2 kg·m·s−2
pascal Pa tlak, napětí N/m2 m−1·kg·s−2
joule J energie, práce, teplo N·m = C·V = W·s m2·kg·s−2
watt W výkon, zářivý tok J/s = V·A m2·kg·s−3
coulomb C elektrický náboj s·A s·A
volt V el. napětí, potenciál W/A = J/C m2·kg·s−3·A−1
farad F elektrická kapacita C/V m−2·kg−1·s4·A2
ohm Ω el. odpor, impedance V/A m2·kg·s−3·A−2
siemens S elektrická vodivost 1/Ω m−2·kg−1·s3·A2
weber Wb magnetický tok J/A m2·kg·s−2·A−1
tesla T magnetická indukce V·s/m2 kg·s−2·A−1
= Wb/m2 = N/(A·m)
henry H indukčnost V·s/A = Wb/A m2·kg·s−2·A−2
stupeň Celsia °C Celsiova teplota K (t/°C = T/K − 273,15) K
lumen lm světelný tok lx·m2 cd·sr
lux lx intenzita osvětlení lm/m2 m−2·cd·sr
becquerel Bq radioaktivita 1/s s−1
(počet rozpadů částic za sekundu)
gray Gy absorbovaná dávka J/kg m2·s−2
(ionizujícího záření)
sievert Sv dávkový ekvivalent J/kg m2·s−2
(ionizujícího záření)
katal kat katalytická aktivita mol/s s−1·mol
Ing. Aleš Zima 8
1.1.3 Další jednotky, nejsou součástí SI,
Název Symbol-jednotka Veličina Vyjádření v zákl. jed. SI
radián za sekundu rad/s úhlová rychlost s−1
coulomb na metr čtvereční C/m2 elektrická indukce m−2·s·A
coulomb na metr krychlový C/m3 hustota elektrického náboje m−3·s·A
ampér na metr čtvereční A/m2 hustota elektrického proudu A·m−2
siemens na metr S/m konduktivita m−3·kg−1·s3·A2
siemens metr čtver. na mol S·m2/mol molární konduktivita kg−1·s3·mol−1·A2
farad na metr F/m permitivita m−3·kg−1·s4·A2
henry na metr H/m permeabilita m·kg·s−2·A−2
volt na metr V/m intenzita elektrického pole m·kg·s−3·A−1
ampér na metr A/m intenzita magnetického pole A·m−1
kandela na metr čtvereční cd/m2 jas cd·m−2
ohm metr Ω·m rezistivita m3·kg·s−3·A−2
1.2 Násobky a díly jednotek
Základ Zkratka Koeficient
tera T 1 000 000 000 000 = 1 × 1012
giga G 1 000 000 000 = 1 × 109
mega M 1 000 000 = 1 × 106
kilo k 1 000 = 1 × 103
deka da 10
deci d 0,1
centi c 0,01
mili m 0,001 = 1× 10-3
mikro µ 0,000 001 = 1× 10-6
nano n 0,000 000 001 = 1× 10-9
piko p 0,000 000 000 001 = 1× 10-12
procento % 1/100
promile ‰ 1/1000
Tabulka 1 Tabulka převodních koeficientů
Ing. Aleš Zima 9
1.3 Převádění jednotek
Tabulka převodních koeficientů (tab.1) obsahuje převodní koeficienty, které vyjadřují
poměr mezi základní jednotkou a danou jednotkou. Koeficient vyjadřuje, kolikrát se "vejde"
základní jednotka do dané jednotky
(hodnota 1000 u kilometru znamená, že 1 km = 1000 m – metry jsou základní jednotkou).
Příklad 1: Převeďte Rk = 3 kΩ na základní jednotky R =?
Řešení: 𝑹 = 𝑹𝒌. 𝟏𝟎𝟎𝟎 = 𝟑. 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝜴 = 𝟑𝟎𝟎𝟎 𝜴
Příklad 2: Známe převodní koeficienty (viz tab. 1). Chceme zjistit kolik kilometrů je xkm=?
když xcm=520 cm.
Řešení: Převedeme na základní jednotky: 𝒙𝒎 = 𝒙𝒄𝒎. 𝟎, 𝟎𝟏 = 𝟓𝟐𝟎. 𝟎, 𝟎𝟏 = 𝟓, 𝟐𝒎
Převedeme ze základních jednotek na km 𝒙𝒌𝒎 =𝒙𝒎
𝟏𝟎𝟎𝟎=
𝟓,𝟐
𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒎 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝟐 𝒌𝒎
Příklad 3: Převodní koeficienty (viz tab.1). Chceme zjistit kolik mikrofaradů je Cµ=? když
Cm= 0,0764 mF.
Řešení: Dosadíme do vzorce 𝑪𝝁 =𝑪𝒎.𝟎,𝟎𝟎𝟏
𝟎,𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟏 =
𝟎,𝟎𝟕𝟓𝟒.𝟎,𝟎𝟎𝟏
𝟎,𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟏 𝝁𝑭 = 𝟕𝟔, 𝟒 𝝁𝑭
1.4 Stavba látek a atomu
Veškerá hmota ve vesmíru je složena z částic zvaných atomy. Slovo atom pochází z řeckého
slova atomos a znamená nedělitelný.
1.4.1 Hmota se projevuje jako:
• látka, která se skládá z hmotných částic
• pole, se podle klasické fyziky neskládá z částic. V moderní fyzice se ukázalo že částice
jistých polí vystupují jako kvanta.
1.4.2 Částice látek
• Látka -materiál z kterého jsou tvořena fyzikální tělesa
• Je tvořena molekulami (atomy)
Látky jsou homogenní (stejnorodé) mají v celém objemu stejné vlastnosti, anebo
heterogenní (různorodé) např. složené z různých tělísek.
Ing. Aleš Zima 10
1.4.3 Atom
je základní stavební jednotka hmoty. Skládá se z jádra a obalu.
Jádro atomu je složeno z kladně nabitých protonů a neutronů, které nemají žádný
elektrický náboj. Protony značíme p+ a neutrony n0.
Obal atomu je složen ze záporně nabitých elektronů, které značíme e-.
Atom drží pohromadě elektrostatické síly, které působí mezi kladně nabitým jádrem a
záporně nabitým obalem. Počet protonů v jádře atomu je shodný s počtem elektronů v obalu,
a proto je atom jako celek elektricky neutrální.
Proton je mikročástice s nejmenším kladným nábojem. Počet protonů v jádře atomu nám
vyjadřuje tzv. protonové číslo – Z. Uvádí se jako dolní index před značkou prvku, např. 1H,
17Cl, 25Mn…
Neutron je mikročástice bez elektrického náboje.
Elektron je elementární částice s nejmenším záporným nábojem. Elektrony se v obalu
atomu pohybují kolem jádra ve vrstvách. Elektronový obal může mít 1 až 7 elektronových
vrstev. Počet elektronů v jednotlivých vrstvách je přesně stanoven. Od jádra nejvzdálenější
elektronová vrstva se nazývá valenční vrstva a elektrony v této vrstvě se nazývají valenční
elektrony, které určují chemické vlastnosti atomu.
Protony a neutrony označujeme společným názvem nukleony. Počet nukleonů v jádře
atomu nám vyjadřuje tzv. nukleonové číslo – A, které se uvádí jako horní index před
značkou prvku. Počet neutronů v jádře atomu vyjadřuje neutronové číslo – N.
Platí: A = Z + N.
Hmotnost protonu a neutronu jsou přibližně stejné. Hmotnost elektronu proti hmotnosti
protonu můžeme zanedbat, neboť hmotnost elektronu je asi 1836 krát menší než hmotnost
protonu. Elektrický náboj protonu a elektronu jsou stejně velké, ale s opačným znaménkem.
Obrázek 2 stavba atomu Bóru
Ing. Aleš Zima 11
Veškerá hmotnost atomu je soustředěna v jeho jádře, kdežto objem atomu je tvořen jeho
obalem.
1.4.4 Ion
nebo iont je elektricky nabitá částice atomární velikosti (atom, molekula, někdy také
skupina atomů či molekul).
Působením energie se molekula vzduchu rozštěpí na kladný iont a elektron. Spojením
záporně nabitého elektronu a molekuly vzduchu vznikne záporný iont.
Rozlišujeme ionty je na:
• Kationty - jsou kladně nabité ionty, obvykle atomy nebo molekuly (části molekul),
které odevzdaly elektron(y), tzn. kationt má v elektronovém obalu méně elektronů než
odpovídající atom. Při elektrolýze putují směrem ke katodě.
• Anionty - jsou záporně nabité ionty, obvykle atomy nebo molekuly (části molekul),
které přijaly elektron(y), tzn. aniont má v elektronovém obalu více elektronů než
odpovídající atom. Při elektrolýze putují směrem k anodě.
• Zwitterionty jsou neutrální ionty nesoucí záporný i kladný náboj na různých částech
molekuly
Obrázek 3 Vznik záporných iontů v ovzduší
Ing. Aleš Zima 12
1.5 Rozdělení látek podle elektrické vodivosti
Podle toho, jakou má látka schopnost vést elektrický proud, ji rozdělujeme na tři skupiny:
• vodiče (např.: kovy, uhlík, vodivé roztoky a plyny)
• polovodiče (germanium, křemík),
• nevodiče (dřevo, plasty, sklo atd.).
1.5.1 Vodiče
jsou látky, které vedou elektrický proud, elektrony se z valenčních vrstev uvolňují bez
problémů a dá se říci volně putují v meziatomovém prostoru pevných látek.
• vodiče s elektronovou vodivostí – elektrický proud se vytváří tokem volných elektronů
a průchodem elektrického proudu se chemicky nemění, patří sem hlavně kovy (měď,
hliník, zinek, stříbro, zlato atd.) a uhlík,
• vodiče s iontovou vodivostí – elektrický proud se vytváří tokem kladných nebo
záporných iontů, průchodem elektrického proudu dochází k jejich rozkládání
(elektrolýza), patří sem vodivé roztoky (elektrolyty) a plyny.
1.5.2 Polovodiče
jsou látky, které vedou jen za určitých podmínek. Polovodiče tvoří předěl mezi izolanty a
vodiči. Mají řadu zvláštních vlastností, se kterými se seznámíte v kapitole „Polovodiče“.
Obrázek 5 polovodič typu N
Obrázek 4 Model rozložení elektronů v elektronovém obalu mědi
Ing. Aleš Zima 13
1.5.3 Nevodiče
jsou látky, které nevedou proud, protože nemají volné náboje umožňující vedení proudu.
Vnější slupky jejich atomů jsou obsazeny větším počtem elektronů a elektrony se z nich
uvolňují velmi nesnadno.
Dokonalé nevodiče neexistují, protože v látkách jsou vždy nečistoty. Dostávají se do nich
při výrobě nebo později ze vzduchu čí okolí.
Dielektrikum je materiál, který nevede elektrický proud a má schopnost polarizace obr.5.
Každé dielektrikum nemusí být izolantem.
Obrázek 6 schopnost polarizace dielektrika
Izolant je takové dielektrikum, které je upravené pro účel průmyslové aplikace s cílem
zamezit průchodu proudu. Každý izolant je tedy dielektrikem.
Mezi izolanty patří:
• Plasty (např. PVC), slída, pryž, papír a keramické látky (porcelán).
• Přírodní látky: slída, síra, jantar, dřevo a papír.
• Dobrým izolantem je i vakuum a suchý vzduch.
• Mezi kapaliny, které nevedou proud, patří např. oleje a tekutý parafín.
Ing. Aleš Zima 14
1.6 Elektrický náboj
Nás jako nosiče el. náboje budou zajímat elektrony. Velikost nejmenšího elektrického náboje
je právě velikost el. náboje jednoho elektronu e. Tomuto náboji se říká náboj elementární.
Náboj se značí Q a jeho jednotkou je coulomb C.
Velikost elementárního náboje e = 1,602×10-19 C.
Tokem el. nábojů je tvořen el. proud.
1.6.1 Elektrický proud
Proud se značí I a jeho jednotkou je ampér A.
Náboj jeden coulomb je potom náboj, který projde vodičem za jednu sekundu při proudu
jeden ampér.
Z toho máme vzorec pro výpočet přeneseného náboje: 𝑸 = 𝑰. 𝒕 [𝑪; 𝑨, 𝒔]
Zákon o zachování elektrického náboje nám říká, že el. náboj nelze vytvořit ani zničit.
V praxi se el. náboj vyjadřuje v Ampérhodinách Ah, které se používají např. při popisu
kapacity akumulátorů či baterií. Tyto jednotky názorně vyplývají z definice a ze základního
vzorce pro výpočet elektrického náboje.
3600 C = 1 Ah, to vyplývá ze vztahu: 1 hod = 3600 s
1.6.2 Elektrický náboj prakticky
K uchování elektrického náboje se používají akumulátory anebo kondenzátory.
Kondenzátor s kapacitou C a jednotkou farad F, který se po nabití odpojí od obvodu napětí
U s jednotkou volt V, udrží náboj podle kvality dielektrika kondenzátoru. Vzorec pro
výpočet náboje v kondenzátoru: 𝑸 = 𝑪.𝑼 [𝑪; 𝑭, 𝑽]
Obrázek 7 Siločáry elektrického pole nabitých těles
Pro názornost: Budeme-li nabíjet (automobilový) akumulátor konstantním proudem I po
určitou dobu t, dosáhne jeho kapacita při jmenovitém napětí U (12 V) určitého náboje Q.
S tímto nábojem lze pak nastartovat motor (a ještě zbyde).
Ing. Aleš Zima 15
2 Stejnosměrný elektrický proud
Stejnosměrný elektrický proud, zkráceně
označovaný ss nebo DC
(anglicky direct current),
nebo značkou = nebo je elektrický proud,
který protéká obvodem stále stejným směrem, na rozdíl od proudu střídavého.
Elektrický proud I, je tok náboje Q po určitou dobu t.
Elektrický proud I [A] se řadí mezi jednu ze sedmi základních jednotek SI.
Stejnosměrný proud byl historicky prvním využívaným druhem proudu. O jeho rozšíření se
zasloužil svými vynálezy především Thomas Alva Edison.
Stejnosměrný proud je nutné použít v obvodech, které využívají jeho vlastností – například
proto, že obsahují součástky citlivé na směr proudu.
To je například: elektrolytický kondenzátor nebo tranzistor. Také se využívá
pro elektrolýzu nebo galvanické pokovování.
Pro přenos elektrické energie na větší vzdálenosti je ale většinou ekonomicky výhodnější
střídavý proud.
Obrázek 8 diagram DC proudu
Ing. Aleš Zima 16
2.1 Zdroje stejnosměrného napětí a proudu
2.1.1 Nejrozšířenější zdroje stejnosměrného proudu:
galvanický článek – jedná se buď o primární články (např. tužková baterie) určené k
napájení spotřebičů s malým příkonem nebo články sekundární – akumulátory – určené pro
energeticky náročnější přenosné spotřebiče (např. mobilní telefon)
fotovoltaický článek – používaný k napájení malých kapesních kalkulátorů, ale i pro
stavbu mohutných fotovoltaických elektráren
termočlánek – napájí meziplanetární sondy jako součást radioizotopového
termoelektrického generátoru
dynamo – dříve nejrozšířenější stejnosměrný zdroj, nyní zcela vytlačen alternátorem s
usměrňovačem
usměrňovač – umožňuje získat stejnosměrný proud ze střídavého, většinou síťového
proudu
2.1.2 Směr elektrického proudu
je domluven od kladného k zápornému pólu zdroje, bez ohledu na skutečný směr
pohybu částic nesoucích elektrický náboj.
Obrázek 9 směr elektrického proudu
Ve složených elektrických obvodech se směr proudu v jednotlivých větvích určí
pomocí Kirchhoffových zákonů.
2.1.3 Řazení elektrických zdrojů
• Sériové řazení – články se spojují za sebou opačnými póly.
Při sériovém řazení roste celkové napětí baterie, ale narůstá vnitřní odpor a kapacita baterie
zůstává stejná.
Ing. Aleš Zima 17
Obrázek 10 sériové řazení článků
• Při paralelním zapojení je možný větší odběr proudu ze zdroje – je menší vnitřní
odpor zdroje. Napětí baterie je shodné s napětím jednoho článku.
Obrázek 11 paralelní řazení článků
Příklad:
Jak dlouhou dobu vydrží (teoreticky) baterie šesti paralelně zapojených článků o kapacitě
1000mAh na jeden článek napájet spotřebič proudem 1 A.
Řešení:
Celková kapacita baterie CA = 6.1000mAh = 6Ah
Při vybíjecím proudu 1 A je vybíjecí čas 𝑡 =𝐶𝐴
𝐼 [𝑠; 𝐴ℎ, ℎ]= 6 hod
Ing. Aleš Zima 18
2.2 Elektrický proud I (A), jako děj a jako fyzikální veličina
Elektrický proud je dán uspořádaným pohybem elektrických částic v určitém směru.
𝑰 =𝑸
𝒕 [𝑨; 𝑪, 𝒔]
Proud 1 A představuje náboj (jednoho coulombu) 1 C, který projde vodičem za (jednu
sekundu) 1 s.
Elektrický proud značíme písmenem I, jednotkou je ampér (A). Definujeme jej pomocí
silových účinků proudového pole.
Elektrický náboj značíme Q a udáváme jej v coulombech (C).
Příčinou elektrického proudu je zdroj elektrické energie, který vytváří elektrické napětí U a
udáváme jej ve voltech (V).
Vztah proudu, výkonu a napětí:
𝑰 =𝑷
𝑼 [𝑨;𝑾, 𝑽]
Obrázek 12 elektrický proud
Ing. Aleš Zima 19
2.3 Elektrický odpor R (Ω)
Pokud je vodič připojen na zdroj napětí změní se původně chaotický pohyb nosičů náboje –
elektronů na pohyb uspořádaný. Na jedné straně do vodiče elektrony vstupují (záporný pól)
a na druhé straně z něj vycházejí (kladný pól). Průchod nosičů náboje vodičem brzdí jejich
srážky s atomy v atomové mřížce. Tyto srážky se projevují jako elektrický odpor vodiče
R(Ω) (ohm). Elektrickým odporem popisujeme schopnost materiálu bránit průchodu
elektrickému proudu, čím větší je odpor např. vodiče, tím hůře elektrický proud vodičem
prochází.
Elektrický odpor nám v obvodu způsobuje ztráty, na vodiči, který má el. odpor se nám
elektrická energie přeměňuje na teplo (vodič se průchodem el. proudu zahřívá). Přeměny
elektrické energie na teplo se využívá např. pro ohřev vody, topná tělesa apod.
2.3.1 Výpočet odporu a vodivosti
• Elektrický odpor R(Ω).
Elektrický odpor R materiálu je přímo závislý na vnitřní stavbě materiálu – vyjádřeno
měrným odporem ρ, je přímo závislý na délce l (m) a nepřímo závislý na jeho průřezu
S (mm2).
𝑆 =𝜋. 𝑑2
4
𝑹 = 𝝆.𝒍
𝑺 [Ω]
• Měrný elektrický odpor ρ(ró)
Měrný odpor ρ (Ω.m2/m)
Měrný odpor mědi a hliníku:
o měď ρCu = 0,0178 Ω mm2/m
o hliník ρAl = 0,0285 Ω mm2/m
• Elektrická vodivost G
Elektrická vodivost G (S) (Siemens) je veličina, která popisuje schopnost materiálu vést
elektrický proud. Dobrý vodič (např. Cu) má vodivost větší, než vodič horší (např. Fe).
Vodivost se dá vyjádřit jako převrácená hodnota odporu, to znamená, že pokud má nějaký
materiál větší vodivost, než druhý má menší odpor:
𝑮 =𝟏
𝑹 [𝑺]
Elektrická vodivost je přímo závislá na vlastnosti materiálu nazývané
konduktivita– měrná el. vodivost γ (S.m/mm-2) (γ-gamma) na jeho průřezu S (mm2) a
nepřímo na jeho délce l (m):
Ing. Aleš Zima 20
𝑮 = 𝜸.𝑺
𝒍 [𝑺,
𝑺.𝒎
𝒎𝒎𝟐,𝒎𝒎𝟐,𝒎]
2.3.2 Závislost odporu vodiče na teplotě
Dále se odpor materiálu mění s teplotou, u kovů je tato závislost pozitivní to znamená, že s
rostoucí teplotou roste odpor. 𝐑𝛝 = 𝐑𝟎(𝟏 + 𝛂. 𝚫𝛝)
R𝜗– konečný odpor při změně teploty (𝜗 théta)
R0 – počáteční odpor
𝛥𝜗 – změna teploty
α – teplotní součinitel odporu liší se podle materiálu
Supravodivost
je pokles elektrického odporu při teplotě blízké nule na neměřitelnou hodnotu.
Hypervodivost
je velká vodivost některých dokonale čistých kovů, v oblasti velmi nízkých teplot, které jsou
ale mnohem vyšší, než je kritická teplota nejlepších supravodičů, Je založena na to, že
konduktivita roste se stupněm čistoty a poklesem teploty.
2.3.3 Pro elektrický odpor tedy platí následující:
1) Elektrický odpor je dán vlastností materiálu nazývanou rezistivita ρ (určí se z
tabulek).
2) Elektrický odpor se zvětšuje s rostoucí délkou vodiče l – čím delší vodič tím větší
odpor.
3) Elektrický odpor se zmenšuje s rostoucím průřezem vodiče S – čím má vodič větší
průřez tím má menší odpor.
4) Elektrický odpor materiálu se mění se změnou teploty 𝛥𝜗. U kovů platí: „pokud se
teplota zvyšuje, zvyšuje se i odpor vodiče“.
Příklad 1:
Spočítejte odpor vodiče o délce 50 m průřezu 4mm2, který je vyroben
a) z mědi ρCu = 0,0178 Ω.mm2/m,
b) z hliníku ρAl = 0,0285 Ω.mm2/m
Řešení:
Podle vztahu: 𝑹 = 𝝆.𝒍
𝑺
Dosazením získáme: 𝑅𝐶𝑢 = 𝜌𝐶𝑢.𝑙
𝑆= 0,0178.
50
4= 0,223 Ω
Dosazením získáme: 𝑅𝐴𝑙 = 𝜌𝐴𝑙 .𝑙
𝑆= 0,0285.
50
4= 0,356 Ω
Ing. Aleš Zima 21
Příklad 2:
Jak se změní odpor měděného vodiče z předchozího příkladu, pokud došlo k nárůstu
teploty o 25 °C
Počáteční odpor 𝑅0 = 0,223 𝛺
Změna teploty Δυ = 25 °C
Teplotní součinitel α = 3,92.10-3K-1
Řešení:
Dosazením do vztahu 𝑅𝜗 = 𝑅0(1 + 𝛼𝛥𝜗)
Získáme:
𝑅𝜗 = 𝑅0(1 + 𝛼𝛥𝜗) = 0,223(1 + 0,00392.25) = 0,245𝛺
Nárůst teploty způsobil zvýšení odporu o 0,022Ω.
Ing. Aleš Zima 22
2.4 Ohmův zákon
Ohmův zákon popisuje závislost elektrického proudu na napětí a odporu. Ohmův zákon říká,
že velikost protékajícího proudu je přímo úměrná velikosti el. napětí a nepřímo úměrná
velikosti odporu. Z toho vyplývá, že čím větší napětí tím větší bude protékající proud, a
naopak při narůstajícím odporu bude klesat proud.
Matematicky je Ohmův zákon vyjádřen známým vztahem:
𝑹 =𝑼
𝑰 [𝛀; 𝑽, 𝑨]
Vodič má elektrický odpor jeden ohm, jestliže při napětí mezi koncovými průřezy
jeden volt prochází vodičem proud jeden ampér.
Pro zjednodušení lze Ohmův zákon vyjádřit i graficky:
Z tohoto lze odvodit další varianty Ohmova zákona:
𝑰 =𝑼
𝑹 [𝐀; 𝐕, 𝛀] 𝑼 = 𝑹. 𝑰 [𝐕;𝛀, 𝑨]
Na některých součástkách požívaných v elektrotechnice, dochází k lineárnímu nárůstu
proudu při zvyšování napětí (např. rezistory) těmto součástkám říkáme lineární:
Obrázek 13 Lineární závislost proudu na napětí u rezistoru s odporem 2Ω.
Ing. Aleš Zima 23
Příklad 1:
Jaký proud protéká rezistorem s odporem 200 kΩ, pokud je připojen na napětí U=2 V
Řešení: R=200 kΩ=200 000 Ω
𝐼 =𝑈
𝑅=
2
200000= 0,00001 𝐴 = 10𝜇𝐴
Příklad 2:
Žárovka je připojena na napětí U=230 V a byl naměřen proud procházející žárovkou I=500
mA. Vypočtěte, jaký je odpor vlákna žárovky:
Řešení: I=500 mA =0,5 A
𝑅 =𝑈
𝐼=
230
0,5= 460 𝛺
Příklad 3:
Obvodem při napětí U1=18 V protéká proud 100 mA, vypočtěte napětí na jednotlivých
rezistorech:
R1=10Ω
R2=20Ω
R3=30Ω
R4=120Ω
Řešení: I=100 mA = 0,1 A
𝑈𝑅1 = 𝐼. 𝑅1 = 0,1.10 = 1 𝑉
𝑈𝑅2 = 𝐼. 𝑅2 = 0,1.20 = 2 𝑉
𝑈𝑅3 = 𝐼. 𝑅3 = 0,1.30 = 3 𝑉
𝑈𝑅4 = 𝐼. 𝑅4 = 0,1.120 = 12 𝑉
Ing. Aleš Zima 24
2.5 Kirchhoffovy zákony
Jsou základní zákony pro řešení elektrických obvodů, popisují důsledky zákona zachování
elektrického náboje a zákona zachování energie v elektrickém obvodu.
2.5.1 I. Kirchhoffův zákon
– definuje zákon zachování elektrického náboje v obvodu.
Platí pro uzel elektrického obvodu, ve kterém se elektrický proud rozděluje do větví.
Podle elektronové teorie, je elektrický proud způsoben usměrněným pohybem nosičů náboje
– elektronů. I. Kirchhoffův zákon dokazuje, že elektrony (stejnosměrný elektrický proud),
které do uzlu elektrického obvodu vstoupí, z něho musí také odejít.
Jinými slovy:
Součet proudů přitékajících do uzlu je roven součtu proudů z uzlu vytékajících.
Důležité pojmy:
• Uzel je místo, ve kterém se stýkají dva nebo více vodičů.
• Větev obvodu je dráha mezi dvěma uzly tvořená jedním nebo několika prvky,
spojenými za sebou.
• Smyčka je uzavřená dráha v části obvodu tvořená větvemi.
Dělí-li se proud do několika větví, musí být součet proudů přicházejících do uzlu roven
součtu proudů, které z uzlu odtékají.
Obrázek 14 uzly elektrického obvodu
Při realizaci tohoto součtu je nutné zvolit znaménka jednotlivých proudů. Obvykle proudům
přicházejícím do uzlu přiřadíme kladná znaménka (+), proudům odcházejícím z uzlu pak
záporná znaménka (-).
Potom je možno napsat rovnici:
𝑰𝟏 + 𝑰𝟐 + 𝑰𝟑 + 𝑰𝟒 + 𝑰𝟓 + 𝑰𝟔 = 𝟎
První Kirchhoffův zákon lze vyjádřit následujícím způsobem:
∑ 𝐼𝑘 = 0
𝑛
𝑘=1
Algebraický součet všech proudů v uzlu se rovná nule.
Ing. Aleš Zima 25
Příklad:
Pro uzly el. obvodu na obrázku 6, označené 1 a 2 platí:
uzel 1: 𝐼1 + 𝐼2 = 𝐼3 + 𝐼4
potom tedy platí, že součet všech proudů v uzlu el. obvodu je roven nule:
𝐼1 + 𝐼2 + (−𝐼3) + (−𝐼4) = 0[𝐴]
(podle dohody je proud tekoucí do uzlu kladný, zatímco proud tekoucí z uzlu záporný)
uzel 2: 𝐼4 = 𝐼5 + 𝐼6 + 𝐼7
potom tedy opět platí, že součet všech proudů v uzlu el. obvodu je roven nule:
𝐼4 + (−𝐼5) + (−𝐼6) + (−𝐼7) = 0[𝐴]
jinak zapsáno: ∑𝐼 = 0[𝐴]
2.5.2 II. Kirchhoffův zákon
– definuje zákon zachování energie pro elektrický obvod.
Energie získaná ze všech zdrojů v uzavřeném obvodě se spotřebuje na všech přítomných
spotřebičích. Platí pro uzavřené elektrické obvody a stanoví, že součet všech napětí na
svorkách zdrojů v uzavřeném elektrickém obvodě je roven součtu všech napětí (úbytků
napětí) na svorkách spotřebičů.
Součet úbytků napětí na jednotlivých odporech je roven svorkovému napětí
zdroje.
Při psaní rovnic podle druhého Kirchhoffova zákona je nutno zachovat následující postup:
• Vyznačíme uzavřenou šipkou smysly proudů v jednotlivých větvích na každém
spotřebiči (rezistoru). Smysl proudů lze volit libovolně, vyjde-li při matematickém řešení
nějaký proud se záporným znaménkem, znamená to pouze to, že skutečný proud
prochází v opačném smyslu.
• Vyjdeme od zvoleného uzlu a postupujeme po obvodu
ve stále stejném směru, který si ve schématu označíme
šipkou uvnitř smyčky. Součiny R, I zapisujeme jako
kladné (+), je-li smysl proudu na uvažovaném
spotřebiči stejný se směrem postupu ve smyčce, a jako
záporné (-), je-li smysl proudu opačný než směr
postupu ve smyčce.
• Směrovou šipku napětí volíme ve směru úbytku napětí,
tj. šipka napětí zdroje jde od kladné svorky k záporné
svorce zdroje. Potom je možno napsat rovnici:
𝑼𝟎𝟏 + 𝑼𝟎𝟐 − 𝑼𝟐 − 𝑼𝟏 = 𝟎 Obrázek 15
Ing. Aleš Zima 26
Druhý Kirchhoffův zákon lze vyjádřit následujícím způsobem:
∑ 𝑈𝑘 = 0
𝑛
𝑘=1
Algebraický součet všech svorkových napětí zdrojů a všech úbytků napětí na spotřebičích se
v uzavřené smyčce rovná nule.
Při řešení obvodů obvykle známe napětí zdrojů a odpory rezistorů a počítáme proudy
v jednotlivých větvích obvodu. Proto nejprve napíšeme rovnice pro proudy v jednotlivých
uzlech. Počet těchto rovnic však obvykle nestačí pro řešení obvodu, a proto musíme napsat
rovnice podle druhého Kirchhoffova zákona. Počet rovnic musí být shodný s počtem
neznámých veličin.
Příklad 1:
Určete odpor rezistoru RX, který je zapojen do série s rezistorem R1 = 10 Ω, aby při napětí
zdroje U = 40 V procházel větví procházel proud I = 2
Řešte pomocí druhého Kirchhoffova i bez jeho použití.
Výpočet:
𝑈 − 𝑅𝑋 . 𝐼 − 𝑅1. 𝐼 = 0
𝑅𝑋 =𝑈 − 𝑅1. 𝐼
𝐼=
𝑈
𝐼− 𝑅1
𝑅𝑋 = (40
2− 10)𝛺 = 10𝛺
𝑅 = 𝑅𝑋 + 𝑅1
𝑅 =𝑈
𝐼=
40
2 𝛺 = 20 𝛺
𝑅𝑋 = 𝑅 − 𝑅1 = (20 − 10)𝛺 = 10𝛺
Ing. Aleš Zima 27
Příklad 2:
Je dáno: 𝑹𝟏 = 𝟏𝟎 𝜴, 𝑹𝟐 = 𝟏𝟓 𝜴, 𝑹𝟑 = 𝟑𝟎 𝜴,𝑼 = 𝟏𝟐𝟎 𝑽
Vypočítejte celkový el. proud (I) obvodem.
Výpočet:
1
𝑅 =
1
10+
1
15+
1
30=
6
30
𝑅 =30
6= 5 𝛺
𝐼1 = 120/10 = 12 𝐴
𝐼2 = 120/15 = 8 𝐴
𝐼3 = 120/30 = 4 𝐴
𝐼 = 12 + 8 + 4 = 24 𝐴 kontrola Ω zákona: 𝐼 = 𝑈
𝑅=
120
5= 24 𝐴
Příklad 3:
Podle Ohmova zákona určete proudy I2 a I3 a podle I. Kirchhoffova zákona určete celkový
proud I1 v obvodu:
R1= 10 Ω, R2= 5 Ω, U1= 33 V
Řešení:
𝐼2 =𝑈1
𝑅2= 6,6 𝐴
𝐼3 =𝑈1
𝑅1= 3,3 𝐴
𝐼1 = 𝐼2 + 𝐼3 = 9,9 𝐴
Ing. Aleš Zima 28
2.6 Úbytek napětí ve vodiči
Úbytek napětí Uz (ztráty ve vodiči) na vodiči je přímo úměrný proudu I, procházející vodičem
a odporem daného vodiče R.
Tyto ztráty navíc u běžných vodičů rostou s teplotou. Ztráty mohou při nesprávném
dimenzování vést k přehřívání izolace a k jejímu zrychlenému stárnutí, v extrémním případě
může dojít i k poškození kabelu "shořením" izolace. Při určování průřezu vodičů by měly být
zohledněny následující faktory:
• maximální procházející proud (bývá určený jistícím prvkem)
• způsob uložení vodiče (lepší chlazení znamená možnost vyššího zatížení)
• teplota okolí
• souběžné uložení více kabelů (sousední kabely zhoršují chlazení a generují teplo)
• izolace vodiče (tepelná vodivost a tepelná odolnost)
• vliv prostředí z požárního hlediska
• povolený úbytek napětí na vodiči
• vliv skin efektu
Pro výpočet úbytku napětí použijeme Ohmův zákon: 𝑼𝒛 = 𝑹. 𝑰 [𝐕;𝛀, 𝑨] , pro stanovení
odporu vodiče použijeme vzorec: 𝑹 = 𝝆.𝒍
𝑺 [Ω], viz. kapitola 2.3.1
Běžné domácí elektrické instalace používají pro proud 10 A měděné kabely s průřezem 1,5
mm2 (světelný rozvod), pro zásuvkové rozvody s maximálním zatížením 16 A se používají
měděné kabely s průřezem 2,5 mm2. V průmyslových rozvodech záleží na typu použitých
kabelů a způsobu uložení.
Příklad:
Úbytek napětí na prodlužovacím vedení. Z elektrické zásuvky 230 V má být odebírán proud 10
A přes prodlužovací přívod s parametry
a) 40 m, 1,5 mm2, měď
b) 10 m, 1,0 mm2, měď
c) 5 m, 0,75 mm2, měď
d) 2 m, 0,5 mm2, měď
Určete výsledné napětí na spotřebiči při použití jednotlivých přívodů.
Řešení:
Zapojíme-li spotřebič ke zdroji přes prodlužovací šňůru, pak je potřeba jak na její fázový, tak
střední vodič nahlížet jako na rezistory zapojené spolu se spotřebičem v sérii.
Je-li l délka prodlužovacího přívodu, je odpor jedné žíly
𝑅 = 𝜌.𝑙
𝑆
kde S je průřez a ρ rezistivita vodiče žíly.
ρCu = 0,0178 Ω.mm2/m,
Ing. Aleš Zima 29
Proud teče „tam a zpět“, proto je celkový úbytek napětí na prodlužovacím přívodu
dvojnásobný, tj.
ΔU=2RI
Napětí na spotřebiči je tedy napětí zásuvky zmenšené o tento úbytek, tj.
U=U0−ΔU=U0−2RI
Výpočet:
Spotřebič je spolu s žílami prodlužovacího přívodu v sérii. Teče-li jím proud I, pak je výsledné
napětí na spotřebiči
U=U0 −2.R.I
kde U0 je napětí v zásuvce a R odpor jedné žíly, který je
𝑅 = 𝜌.𝑙
𝑆
Dosazením:
𝑈 = 𝑈0 −2𝜌. 𝑙. 𝐼
𝑆
Číselně pro jednotlivé případy
𝑈𝑎 = 230 −2.0,0178.40
1,5𝑉 = 229,05 𝑉
𝑈𝑏 = 230 −2.0,0178.10
1,0𝑉 = 229,64 𝑉
𝑈𝑐 = 230 −2.0,0178.5
0,75𝑉 = 229,76 𝑉
𝑈𝑑 = 230 −2.0,0178.2
0,5𝑉 = 229,86 𝑉
kde jsme dosazovali rezistivitu mědi ρCu = 0,0178 Ω.mm2/m,
.
Ing. Aleš Zima 30
2.7 Elektrická práce, výkon a příkon
2.7.1 Elektrická práce W (Ws; J)
je vykonávána, pokud přesuneme náboj Q mezi dvěma místy, mezi kterými je elektrické
napětí U. Jde o míru přeměny elektrické energie na jiný druh energie (např. teplo). Po
připojení vodiče ke zdroji elektrického napětí se ve vodiči vytvoří elektrické pole, které
způsobí usměrněný pohyb elektronů. Elektrony se přemisťují vodičem od jednoho pólu zdroje
ke druhému a tím konají práci. Vyjadřujeme ji jako součin proudu, napětí a času, po kterou
byla práce konána.
𝑾 = 𝑼.𝑸 = 𝑼. 𝑰. 𝒕 [𝑾𝒔; 𝑽, 𝑨, 𝒔]
Elektrická práce (výkon elektrického proudu v určitém čase) se měří elektroměry.
Obrázek 16 Zapojení 1f elektroměru v síti TN-C
Převod Joule – Wattsekundy (1Ws = 1 J):
• 1kWh = 3 600 000 J = 3,6 MJ
• 100Wh = 360 000 J = 0,36 MJ
• 1MWh = 3 600 000 000 J = 3,6 GJ
2.7.2 Výkon elektrického stejnosměrného proudu P (W)
Elektrický výkon je práce vykonaná za jednotku času. Výkon elektrického proudu je přímo
úměrný elektrické práci a nepřímo úměrný době, po kterou se práce koná, vyjadřujeme ho
jako součin elektrického proudu a napětí:
𝑷 =𝑾
𝒕[𝑾;𝑾𝒔, 𝒔] = 𝑼. 𝑰 [𝑾;𝑽, 𝑨]
S využitím Ohmova zákona lze získat i další vztahy pro výpočet výkonu elektrického proudu:
𝑷 = 𝑼. 𝑰 [𝑾; 𝑽, 𝑨]
Pokud za U podle Ohmova zákona dosadíme I.R dostáváme:
𝑷 = 𝑼. 𝑰 = 𝑰.𝑹. 𝑰 = 𝑰𝟐. 𝑹 [𝑾;𝑨𝟐, 𝛀]
Pokud za I dosadíme U ∕ R dostáváme:
𝑷 = 𝑼. 𝑰 = 𝑼. (𝑼
𝑹) =
𝑼𝟐
𝑹[𝑾;𝑽𝟐, 𝛀]
Elektrický výkon se měří wattmetrem, tento přístroj měří zároveň elektrické napětí i proud.
Ing. Aleš Zima 31
2.7.3 Příkon, výkon a účinnost
U elektrických strojů i přístrojů rozeznáváme dva druhy výkonů.
• Užitečný výkon
(někdy jen výkon), je výkon, který elektrický spotřebič odvádí. U elektromotoru jde o výkon
mechanický, u žárovky o výkon světelný atd.
• Příkon.
Výkon, který elektrický spotřebič odebírá ze zdroje (spotřebovává) se nazývá příkon. Protože
žádný spotřebič nepracuje beze ztrát, mezi oběma výkony P1-příkon, P2-výkon, vždy musí
platit P1> P2 rozdíl mezi výkony představují ztráty označované ΔP (Δ delta).
Jako příklad poslouží transformátor, elektrický stroj měnící úroveň elektrického napětí.
Elektrický výkon odebíraný transformátorem ze sítě označený jako P1 je příkon, užitečný výkon
odevzdaný transformátorem do zátěže označený jako P2 je výkon. Rozdílem jsou ztráty
vznikající v elektrickém obvodě a ztráty vznikající v magnetickém obvodě, u točivých strojů
mohou vznikat navíc ztráty mechanické (například třením).
Obrázek 17 schéma transformátoru pro zobrazení příkonu a výkonu
• Účinnost η (%) (η-éta)
Udává poměr mezi výkonem a příkonem a je uváděna v procentech %, nebo desetinným číslem
nižším než 1. Výkon elektrickým zařízením (např. strojem) odebíraný musí být vždy větší než
výkon odevzdaný. Rozdíl je způsoben ztrátami.
Výpočet účinnosti η: 𝜼 =𝒗ý𝒌𝒐𝒏
𝒑ří𝒌𝒐𝒏=
𝑷𝟐
𝑷𝟏. 𝟏𝟎𝟎 [%]
Příklad, pro porovnání účinnosti světelných zdrojů při přeměně elektrické energie na světlo:
Nejvyšší účinnost zde mají LD – laserové diody,
nejnižší účinnost mají klasické vláknové žárovky.
Nejnižší účinnost v tomto případě znamená, že na
žárovkách se nejméně spotřebované energie přemění na
užitečné světlo, zbytek se přemění na teplo.
Obrázek 18 účinnost světelných zdrojů
Ing. Aleš Zima 32
Příklad 1:
Vypočítejte, jakou elektrickou práci spotřeboval stolní počítač připojený na napětí 230 V a
kterým prochází proud 2 A po dobu 10 h. Spočítejte cenu spotřebované elektrické energie při
sazbě 4,5 Kč za 1 kWh.
Řešení: 𝑊 = 𝑈. 𝐼. 𝑡 = 230.2.10 = 4600 𝑊ℎ = 4,6 𝑘𝑊ℎ
Cena spotřebované elektrické energie: 4,6 kWh. 4,50Kč = 20,7 Kč
Příklad 2:
Jaký je elektrický výkon akumulátoru, jestliže má výstupní napětí 24 V a obvodem teče proud
500 mA.
Řešení: 𝑃 = 𝑈. 𝐼 = 24.0,5 = 12 𝑊
Příklad 3:
Jaký výkon odebírá ze zdroje stejnosměrný elektromotor, pokud odpor vinutí je 12 Ω a protéká
jím proud 3 A (výkon motoru odebíraný ze zdroje se označuje jako příkon elektromotoru).
Řešení: 𝑃 = 𝐼2. 𝑅 = 32. 12 = 9.12 = 108 𝑊
Příklad 4:
Elektromotor pohání stroj s výkonem P2= 120 W, účinnost elektromotoru η=88 % určete příkon
stroje P1.
Řešení: 𝑃1 =𝑃2.100
𝜂=
120.100
88= 136,36 𝑊
Příklad 5:
Spočítejte, jaký bude tepelný výkon topného tělesa s odporem R=10 Ω, připojeného na napětí
U=24 V. Účinnost topného tělesa je 95 %.
Řešení: 𝑃1 =𝑈2
𝑅=
576
10= 57,6 𝑊 (příkon)
𝑃2 =𝑃1.𝜂
100=
57,6.95
100= 54,75 𝑊 (výkon)
Ing. Aleš Zima 33
2.8 Přeměna elektrické energie v teplo
Elektrický proud, který obvodem prochází je vlastně pohybem elektrických nábojů, který koná
práci. Práce se mění v teplo.
Tepelná energie je výchozí, ale často i konečnou „odpadní“ formou energie provázející většinu
procesů a řetězců energetických přeměn. Proto se i nakonec vyzáří do okolí téměř veškerá
energie, kterou využíváme, ve formě tepla. Neustále tak vlastní činností ohříváme atmosféru,
vodu nebo půdu.
Ztrátový výkon na vodiči nebo na rezistoru můžeme po dosazení do Ohmova zákona
vypočítat ze vztahů:
𝑷 = 𝑼. 𝑰 = 𝑰.𝑹. 𝑰 = 𝑰𝟐. 𝑹 [𝑾;𝑨𝟐, 𝛀]
𝑷 = 𝑼. 𝑰 = 𝑼. (𝑼
𝑹) =
𝑼𝟐
𝑹[𝑾;𝑽𝟐, 𝛀]
Při výpočtu použijeme kterýkoliv z těchto vzorců.
Při daném odporu vodiče jsou tepelné ztráty na vodiči úměrné druhé mocnině procházejícího
proudu.
Při přenosu elektrické energie na velkou vzdálenost používáme vysokých napětí a tím i
malých proudů, abychom tyto ztráty snížili na minimum.
Elektrickou práci udáváme buď v joulech nebo v kilowatthodinách
1 kWh = 3,6. 106 J
V elektrických zařízeních (motor, transformátor) dochází k přeměně energie z jedné formy na
druhou.
Využití energie není nikdy stoprocentní, část energie se ztrácí ve formě tepla.
Definujeme příkon P1, výkon P2 a účinnost η – viz kapitola 2.7.3
𝜼 =𝒗ý𝒌𝒐𝒏
𝒑ří𝒌𝒐𝒏=
𝑷𝟐
𝑷𝟏. 𝟏𝟎𝟎 [%]
Obrázek 19 Schéma ztrát při výrobě elektřiny
Ing. Aleš Zima 34
Příklad 1:
Topnou spirálou vařiče prochází při napětí 220 V proud 2.5 A. Jakou práci vykoná elektrický
proud za 40 minut? Jaký je příkon vařiče?
P = U. I = 220. 2,5 = 550 W – příkon vařiče
A = P. t = 550. 40. 60 = 1 320 000 J = 0,367 kWh
Příklad 2:
Motor odebírá při napětí 230 V proud 1,2 A. Jaký je jeho výkon, pokud účinnost je 90 %.
P1 (příkon) = U. I = 230. 1,2 = 276 W
P2 (výkon) = P1.η = 276. 0,9 = 248,4 W
Příklad 3:
Na rezistoru 100 Ω jsme naměřili úbytek napětí 5 V. Jak velký proud jím teče a jak velký je
ztrátový výkon?
R = U/I = 5/100 = 0,05 A = 50 mA
P = U2/R = 52/100 = 0,25 W nebo P = U. I = 5. 0.05 = 0,025 W
Příklad 4:
Rezistor má hodnotu 4,7 Ω a maximální dovolené výkonové zatížení 0,2 W. Jak velký proud jím
může protékat a pak velké napětí na něm může trvale být?
𝑈 = √𝑃. 𝑅 = √0,2.4,7 𝑉 = √0,94 𝑉 = 0,97 𝑉
𝐼 = √𝑃
𝑅= √
0,2
4,7 𝐴 = √0,04255 𝐴 = 0,206 𝐴
Ing. Aleš Zima 35
2.9 Řazení rezistorů
2.9.1 Rezistor:
Pasivní (chová se jako spotřebič) elektrotechnická součástka, jejíž hlavní vlastností je
schopnost klást odpor průchodu elektrického proudu.
Do obvodu se zařazuje za účelem snížení hodnoty procházejícího proudu, nebo jako tzv.
odporový dělič k získání určitého úbytku napětí.
Obrázek 20 schématická značka rezistor výkonový rezistor
2.9.2 Řazení rezistorů sériově
Celkový odpor rezistorů zapojených do série je součtem jednotlivých odporů:
𝑹𝒄 = 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 + 𝑹𝟑 + ⋯
2.9.3 Řazení rezistorů paralelně
Celkový odpor libovolného počtu paralelně zapojených rezistorů lze vypočítat podle vzorce:
𝟏
𝑹𝒄=
𝟏
𝑹𝟏+
𝟏
𝑹𝟐+
𝟏
𝑹𝟑+
𝟏
𝑹𝟒+ ⋯
Pokud jde o celkový odpor dvou paralelních rezistorů lze postupovat podle následujícího
vzorce: 𝑹𝒄 =𝑹𝟏.𝑹𝟐
𝑹𝟏+𝑹𝟐
Obrázek 21 řazení rezistorů do série
Obrázek 22 řazení rezistorů paralelně
Ing. Aleš Zima 36
Příklad 1:
Vypočítejte celkový odpor Rc rezistorů zapojených podle schématu hodnota odporu všech
rezistorů je stejná: R1,2,3=10Ω.
Řešení:
Prvním výpočtem obvod zjednodušíme tím, že spočítáme celkový odpor paralelně zapojených
rezistorů R2 a R3:
𝑅2,3 =𝑅2. 𝑅3
𝑅2 + 𝑅3=
100
20= 5 Ω
Celkový odpor všech tří rezistorů pak spočítáme sečtením do série zapojených rezistorů R1 a
R2,3.
𝑅𝐶 = 𝑅1 + 𝑅2,3 = 10 + 5 = 15 Ω
Příklad 2:
Vypočítejte celkový odpor Rc rezistorů zapojených podle schématu hodnota odporu všech
rezistorů je stejná: R1,2,3=10Ω.
Řešení:
𝑅1,2 = 𝑅1 + 𝑅2 = 10 + 10 = 20 Ω
𝑅𝐶 =𝑅1,2. 𝑅3
𝑅1,2 + 𝑅3=
200
30= 6,667 Ω
Ing. Aleš Zima 37
2.10 Dělič napětí
2.10.1 Odporové děliče napětí
Odporové děliče napětí (děliče napětí, odporové děliče), slouží v elektrotechnice k získání
napětí menšího, než je svorkové napětí zdroje. Odporový dělič se skládá z dvou, nebo více
rezistorů zapojených do série Může být tvořen i rezistorem s mechanicky nastavitelnou
hodnotou odporu tzv. potenciometrem (nebo trimrem).
Nezatížený dělič napětí:
Nezatížený dělič napětí je dělič napětí, který nemá na výstupní
napětí U1 a U2 připojenu žádnou zátěž a z něhož není
odebíraný žádný el. proud. Nezatíženým děličem protéká
proud I1 podle Ohmova zákona:
𝑰𝟏 =𝑼
𝑹𝒄𝒆𝒍𝒌=
𝑼
𝑹𝟏 + 𝑹𝟐
Pro poměr napětí U1 a U2 platí:
𝑼𝟏
𝑼𝟐=
𝑹𝟏
𝑹𝟐
Pro výstupní napětí nezatíženého děliče platí podle Ohmova zákona:
𝑼𝟏 = 𝑰𝟏. 𝑹𝟏 =𝑼
𝑹𝟏+𝑹𝟐. 𝑹𝟏 = 𝑼.
𝑹𝟏
𝑹𝟏+𝑹𝟐
Pro U2 tedy platí:
𝑼𝟐 = 𝑰𝟏. 𝑹𝟐 =𝑼
𝑹𝟏+𝑹𝟐. 𝑹𝟐 = 𝑼.
𝑹𝟐
𝑹𝟏+𝑹𝟐
Zatížený dělič napětí:
Zatížený dělič napětí je dělič napětí, z něhož je odebíraný el. proud. To znamená, že na některé
z výstupních napětí je připojena zátěž o odporu Rz. Tento dělič řešíme postupným
zjednodušováním el. obvodu.
Obrázek 23 nezatížený dělič napětí
Ing. Aleš Zima 38
Pro celkový proud opět platí:
𝑰𝟏 =𝑼
𝑹𝒄𝒆𝒍𝒌
Pro získání Rcelk je nejprve nutno spočítat paralelní
kombinaci rezistorů R2, Rz:
𝑹𝟐,𝒛 =𝑹𝟐. 𝑹𝒛
𝑹𝟐 + 𝑹𝒛
Potom pro Rcelk platí:
𝑹𝒄𝒆𝒍𝒌 = 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐
Dosadíme do:
𝑰𝟏 =𝑼
𝑹𝒄𝒆𝒍𝒌
Pro výstupní napětí potom platí: 𝑼𝟐 = 𝑰𝟏. 𝑹𝟐,𝒛
Příklad 1:
Vypočítejte výstupní napětí U2 na nezatíženém odporovém děliči
při vstupním napětí U=230 V a hodnotách rezistorů R1=130 Ω;
R2=330 Ω.
Řešení:
𝑼𝟐 = 𝑰𝟏. 𝑹𝟐 = 𝑼.𝑹𝟐
𝑹𝟏 + 𝑹𝟐= 𝟐𝟑𝟎.
𝟑𝟑𝟎
𝟏𝟑𝟎 + 𝟑𝟑𝟎= 𝟏𝟔𝟓 𝑽
Příklad 2:
V obvodu vypočítejte napětí na rezistoru U1, pokud je obvod připojen na napětí U=50 V a
rezistory mají následující hodnoty odporů R1= 10 Ω; R2= 20 Ω; R3= 30 Ω; R4= 40 Ω
Řešení:
𝑰𝟏 =𝑼
𝑹𝑪=
𝑈
𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 + 𝑹𝟑 + 𝑹𝟒=
𝟓𝟎
𝟏𝟎𝟎= 𝟎, 𝟓 𝑨
𝑼𝟏 = 𝑰𝟏. 𝑹𝟏 = 𝟎, 𝟓. 𝟏𝟎 = 𝟓𝑽
Další napětí: U2=10 V
U3=15 V
U4=20 V
Obrázek 24 zatížený dělič napětí
Obrázek 25 nezatížený dělič
Obrázek 26 sériové zapojení rezistorů
U
Ing. Aleš Zima 39
Příklad 3:
Vypočítejte napětí na zatíženém děliči U2 při vstupním napětí U=230 V a hodnotách rezistorů
R1=130 Ω; R2=330 Ω. Dělič je zatížen rezistorem Rz = 330 Ω.
Řešení:
𝑅2,𝑧 =𝑅2. 𝑅𝑧
𝑅2 + 𝑅𝑧=
330.330
330 + 330= 165 𝛺
𝑅𝐶 = 𝑅1 + 𝑅2,𝑍 = 130 + 165 = 295 𝛺
𝐼1 =𝑈
𝑅𝐶=
230
295= 0,7796 𝐴
𝑈2 = 𝐼1. 𝑅2,𝑧 = 0,7796. 165 = 129𝑉
2.10.2 Kapacitní dělič
(capacitive divider) je obdobou odporového děliče. Výstupní napětí děliče pro stejnosměrný
proud je dáno vztahem:
𝑼𝒐𝒖𝒕 = 𝑼𝒊𝒏.𝑪𝟏
𝑪𝟏 + 𝑪𝟐
Nejjednodušší zapojení kapacitního děliče je na následujícím obrázku.
Obrázek 28 Kapacitní dělič
V případě, že použijeme střídavé napětí je nutné spočítat nejprve impedanci kondenzátorů
(kapacitanci) a tu poté použít k určení výstupního napětí. Impedanci spočítáme podle vztahu:
𝑿𝑪 =𝟏
𝟐. 𝝅. 𝒇. 𝑪 [𝜴;𝑯𝒛, 𝑭]
Obrázek 27 zatížený dělič
Ing. Aleš Zima 40
3 Vodiče, dielektrika, izolanty a polovodiče
Pojmenování v elektrotechnice pro látky, které mají
různou elektrickou vodivost.
3.1 Všeobecná charakteristika a rozdělení
3.1.1 Vodič
je slovo, které se ve fyzice užívá v různých významech:
• elektrický vodič – je látka schopná vedení elektrického proudu. Elektrický vodič musí
obsahovat volné částice s elektrickým nábojem, nejčastěji elektrony, příp. kladné nebo
záporné ionty. Lze také definovat jako látka s rezistivitou pohybující se mezi 10−6 a
10−8 Ωm.
V elektrotechnice se slovem vodič také rozumí vodivý drát, kabel, pásek nebo lanko, které
se použijí pro vodivé propojení součástek v elektrickém obvodu.
• tepelný vodič – látka, která dobře vede teplo
3.1.2 Dielektrikum
je látka (většinou izolant), která má schopnost polarizace (tedy být polarizována). Izolanty jsou
podmnožinou dielektrik, každý izolant je dielektrikem, nikoli však každé dielektrikum
izolantem.
Obrázek 29 Schéma polárního dielektrika v elektrickém poli.
Všechny elektrické dipóly mají při polarizaci stejnou polaritu opačnou k polaritě vnějšího
elektrického pole. Tím se velikost vnějšího elektrického pole zmenšuje.
Poměr intenzity E0 vnějšího elektrického pole
k intenzitě výsledného elektrického pole E
𝜺𝒓 =𝑬𝟎
𝑬
Ing. Aleš Zima 41
3.1.3 Permitivita ε [F.m-1]
Schopnost materiálu odolávat elektrickému poli udává relativní permitivita dielektrika εr:
Permitivita dielektrika určitého materiálu je však často reprezentována poměrem absolutní
permitivity 𝜺 , k permitivita vakua 𝜺𝟎 ≅ 8,85. 10−12 𝐹.𝑚−1.
𝜺𝒓 =𝜺
𝜺𝟎
3.1.4 Elektrický izolant
je látka, která nevede elektrický proud.
Elektrický izolant neobsahuje volné částice s elektrickým nábojem, nebo je obsahuje v
zanedbatelném množství. Zamezuje průtoku elektrického proudu mezi vodiči, které mají
rozdílný elektrický potenciál a k ochraně před dotykem s částmi zařízení pod napětím.
Každý izolant je dielektrikem.
Dobrými izolanty jsou porcelán, sklo, většina plastů, dřevo, papír, za normálních podmínek
i vzduch nebo jiné plyny.
Rozdíl izolantu a dielektrika
Často se zaměňují pojmy izolant a dielektrikum.
• Dielektrikum je materiál, který má schopnost polarizace.
• Izolant je takové dielektrikum, které je upravené pro účel průmyslové aplikace s cílem
zamezit průchodu proudu.
Ing. Aleš Zima 42
3.2 Polovodič
je pevná látka, jejíž elektrická vodivost závisí na vnějších nebo vnitřních podmínkách, a dá se
změnou těchto podmínek snadno ovlivnit.
Změna vnějších podmínek znamená dodání některého z druhů energie – nejčastěji tepelné,
elektrické nebo světelné.
Změnu vnitřních podmínek představuje příměs jiného prvku v polovodiči.
3.2.1 Charakteristika polovodičů
Polovodiče jsou látky, které jsou z hlediska rezistivity ρ
(měrný elektrický odpor, veličina ρ (Rhó), jednotky [Ω.m]), na rozmezí mezi vodiči a nevodiči.
Do skupiny polovodičů řadíme velkou skupinu látek s vodivostí:
• elektronovou
• děrovou
jejichž rezistivita při pokojové teplotě leží v intervalu zdola omezeným rezistivitou kovů
10−4. 𝛺.𝑚 a shora rezistivitou izolantů 108. 𝛺. 𝑚.
Jejich vlastnosti, elektrickou vodivost látek σ ovlivňuje množství cizích příměsí a strukturních
poruch.
(konduktivita-měrná elektrická vodivost σ [S.m-1])
Typickým znakem pro polovodiče je, že měrný elektrický odpor ρ s rostoucí teplotou t klesá.
Polovodiče nepřecházejí při nízkých teplotách t do supravodivého stavu.
Obrázek 30 tepelná charakteristika polovodiče
ρ
Ing. Aleš Zima 43
3.3 Rozdělení polovodičů podle vodivosti:
3.3.1 Vlastní polovodič
Vlastní polovodič nemá ve své krystalové mřížce žádné
elektricky aktivní příměsi.
Při uvolnění elektronu dojde k narušení kovalentní vazby a
na tomto místě zůstane „volné“ místo nazývané díra, které
působí jako kladný náboj o velikosti náboje elektronu.
Tento děj se při dodávání dostatečného množství energie neustále a na mnoha místech v
polovodiči opakuje a vzniká tak vlastní vodivost polovodiče.
Vlastní polovodiče za normální teploty dobře nevedou.
3.3.2 Nevlastní polovodič
Základními polovodivými materiály jsou prvky 4. skupiny periodické tabulky, nejvíce se z nich
v současné době využívají křemík a germanium.
Tyto prvky mají ve valenční sféře 4 elektrony a do pravidelné krystalové mřížky jsou vázány
pevnými kovalentními vazbami.
Vhodnou metodu, jak zvýšit vodivost polovodiče, je nahrazení některých atomu polovodiče
prvky jinými, nejlépe ze 3. skupiny (polovodič typu P) nebo 5. skupiny (polovodič typu N)
periodické tabulky.
Polovodič typu N
Mezi nejpoužívanější prvky 5. skupiny (polovodič typu N) patří
fosfor, arsen a antimon. To jsou pětimocné prvky, do vazby s
křemíkem jeden elektron přebývá.
Polovodič typu P
Druhou možností, jek zvýšit vlastní vodivost polovodiče, je
nahrazení původních atomů prvky 3. skupiny (polovodič typu P)
– např. bor, hliník, indium a galium.
Těmto prvkům naopak jeden elektron do vazby se 4-vazným
křemíkem chybí a vzniká tak kladný pohyblivý náboj o velikosti
náboje elektronu.
Obrázek 31 vlastní vodivost
Obrázek 32 typ N
Obrázek 33 typ P
Ing. Aleš Zima 44
4 Elektrostatika
se zabývá vzájemným působením elektricky nabitých
těles, která jsou v klidu (nejsou v pohybu) – jsou statická.
Základními pojmy elektrostatiky je elektrický
náboj a elektrické pole.
4.1 Elektrický náboj
• elektrický náboj značíme Q jednotka C – Coulomb
• náboj 1 C obsahuje 6,424. 1018 elektronů, nejmenší (nedělitelný) elektrický náboj je náboj
jednoho elektronu, tzv. elementární náboj a má velikost Qe= 1,602.10-19 C.
• fyzikální veličina vyjadřující vlastnost některých částic přítomných v atomu (elektron má
záporný náboj, proton má kladný náboj).
• el. náboj je schopnost těchto částic působit na sebe navzájem elektrickými silami, částice
se shodným nábojem se odpuzují, částice s rozdílným nábojem se přitahují - el. náboj nelze
od jejich nositele (částic) oddělit.
• el. náboj se nedá vytvořit, ani zničit
• volný el. náboj se dá přemístit
• el. náboj se dá uchovávat v součástkách zvaných kondenzátory
• el. náboj se dá měřit elektrometrem
Obrázek 34 značka – zařízení citlivé na elektrostatický náboj
Charles Augustin de Coulomb
Ing. Aleš Zima 45
4.2 Elektrostatické pole
Obrázek 35 Elektrické pole v okolí kladného a záporného náboje.
4.2.1 Vznik
Kolem každého elektricky nabitého tělesa je vytvořeno elektrické pole, pokud je nabité těleso
v klidu (je statické to znamená, že se nepohybuje) je i jeho elektrické pole statické, mluvíme o
elektrostatickém poli.
4.2.2 Elektrostatické pole
Dvě částice (tělesa) s elektrickým nábojem na sebe navzájem silově působí. Pokud mají částice
shodný náboj (např. proton-proton), tak se odpuzují, pokud mají rozdílný náboj (např. proton-
elektron) tak se přitahují.
Velikost síly, kterou se dvě elektricky nabitá tělesa přitahují je závislá na velikosti náboje,
vzdálenosti těchto nosičů náboje, a dielektrických vlastnostech prostředí, ve kterém se
nacházejí. Tuto sílu lze spočítat podle tzv. Coulombova zákona
Ing. Aleš Zima 46
4.3 Coulombův zákon
Velikost elektrické síly, kterou na sebe působí dvě tělesa s elektrickým nábojem, je přímo
úměrná velikosti nábojů Q1, Q2 a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti r.
𝑭 =𝑸𝟏. 𝑸𝟐
𝟒𝝅. (𝜺𝒓. 𝜺𝟎). 𝒓𝟐
Q1,2 – elektrický náboj těles
(εr.ε0) – permitivita prostředí
r – vzdálenost těles
Obrázek 36 Fyzikální nákres ke Coulombovu zákonu
Ing. Aleš Zima 47
4.4 Plošná hustota náboje
Na izolovaném nabitém vodiči je náboj rozložen vždy na jeho vnějším povrchu (obr. 4) a to
tak, aby náboje byly v rovnováze. Zavádí se plošná hustota náboje σ (sigma) na povrchu tělesa
vztahem 𝝈 =𝜟𝑸
𝜟𝑺
kde S je obsah plochy a Q náboj na této ploše. Plošná hustota náboje je největší v těch
místech vodiče, která jsou nejvíce zakřivena směrem ven (hrany, hroty), nejmenší je v dutinách.
Obrázek 37 Záporně nabité izolované vodivé těleso
V okolí nabitého vodiče vzniká elektrické pole. V okolí koule nabité nábojem Q je elektrické
pole stejné jako v okolí bodového náboje Q, který by byl v místě středu koule. Na povrchu
koule poloměru R ve vakuu je tedy intenzita elektrického pole
𝑬 =𝟏
𝟒𝝅. 𝜺𝟎.𝑸
𝑹𝟐
Uvnitř koule je intenzita el. pole nulová (jinak by jí tekl el. proud). Jelikož pro povrch S koule
platí vztah S = 4R2, máme po dosazení do předchozího vztahu
𝑬 =𝟏
𝜺𝟎.𝑸
𝑺
a vzhledem k definici plošné hustoty náboje je nakonec
𝑬 =𝝈
𝜺𝟎
Tento vztah platí i pro intenzitu el. pole u povrchu nabitého vodiče jiného než kulového tvaru
ve vakuu. Je-li vodič v prostředí o permitivitě , platí
𝑬 =𝝈
𝜺
Ze vztahu vyplývá, že el. pole je nejsilnější tam, kde je největší hustota náboje, tedy u hrotů a
hran.
Ing. Aleš Zima 48
Kde to můžeme vidět?
Elektrický vítr, sršení náboje.
Má-li těleso dostatečně ostrý hrot, může se i při malých hodnotách potenciálu tělesa vytvořit v
okolí hrotu "elektrický vítr". Elektrické pole v blízkosti hrotu je totiž tak silné, že ionizuje
molekuly vzduchu. Ty ionty, které mají náboj stejné polarity jako je náboj hrotu, jsou od hrotu
odpuzovány. Přitom s sebou strhují i okolní molekuly vzduchy a vzniká vítr. Opačně nabité
ionty se k hrotu přibližují a neutralizují ho.
Tento jev (zde nazývaný sršení náboje) také způsobuje ztráty ve vedení vysokého napětí
Ing. Aleš Zima 49
4.5 Kondenzátory
je pasivní elektrotechnická součástka, jejíž charakteristickou vlastností je kapacita.
Každý skutečný kondenzátor kromě toho vykazuje další, takzvané parazitní vlastnosti, jako
je indukčnost a odpor, čímž se odlišuje od kapacitoru, což je myšlená ideální součástka, která
má pouze kapacitu, navíc stálou a nezávislou na okolních podmínkách.
4.5.1 Vlastnosti kondenzátorů
• kapacita
• tolerance kapacity
• teplotní závislost kapacity
• napěťová závislost kapacity
• maximální povolené napětí
• ekvivalentní sériový odpor (ESR)
• ekvivalentní sériová indukčnost (ESL)
• paralelní vybíjecí odpor, nebo samovybíjecí proud
• ztrátový činitel tgΔ
• maximální dovolený proud (ripple current)
• rezonanční frekvence (nad ní se kondenzátor chová jako indukčnost)
• maximální povolená teplota
• tepelný odpor pouzdra
• činitel jakosti 𝑄 =𝑈𝐶
𝑈𝑅=
𝑋𝐶
𝑅
• a další vlastnosti
4.5.2 Dielektrikum
Dielektrikum je látka (většinou izolant), která má schopnost polarizace (tedy být polarizována).
Izolant je dielektrikem, nikoli však každé dielektrikum izolantem.
Dielektrikum obsahuje molekuly uspořádané tak, že jedna část molekuly nese kladný náboj a
druhá část náboj záporný. Takový útvar označujeme jako elektrický dipól
Obrázek 38 elektrický dipól,
Dielektrické vlastnosti (permitivita) popisují schopnost polarizace dané látky.
Ing. Aleš Zima 50
Polarizace = nerovnoměrné rozložení nabitých částic uvnitř atomu, nebo molekul po vložení
látky do elektrického pole. K jedné straně atomu se přesunou elektrony, ke druhé straně se
přesunou kladně nabitá jádra, z atomů se stávají tzv. elektrické dipóly. Při působení elektrického
pole na dielektrikum (např. kondenzátor) se část elektrické energie přemění v teplo, kterým se
dielektrikum ohřívá tomuto druhu ztrát, se říká dielektrické ztráty.
Obrázek 39 polarizace dielektrika
4.5.3 Elektrická pevnost
Důležitou veličinou v technické praxi je elektrická pevnost. Velikost elektrického pole, při které
ještě k průrazu nedojde, se nazývá elektrická pevnost.
Průraz dielektrika – při připojení dielektrika do elektrického pole může při překročení určité
hranice napětí (tzv. průrazné napětí) dojít k vodivému spojení tzv. průrazu. Elektrický proud
pak prochází dielektrikem a může dojít k dočasnému, nebo trvalému poškození dielektrika.
Elektrická pevnost Ep tedy udává velikost průrazného napětí Up lineárně přepočítaného na
tloušťku dielektrika d. Dostáváme vztah: 𝑬𝒑 =𝑼𝒑
𝒅
Hodnoty dielektrické pevnosti E pro některá dielektrika:
vzduch = 3.106 V.m-1
sklo = 14.106 V.m-1
papír = 30.106 V.m-1
polystyrén = 50.106 V.m-1
teflon = 60.106 V.m-1
Použití dielektrik
Elektrické izolanty se používají především k izolaci elektrických vodičů (kabelů), k oddělení
vodivých částí spotřebičů, ke zvýšení kapacity kondenzátorů.
Ing. Aleš Zima 51
Druhy kondenzátorů podle dielektrika:
• Otočný vzduchový – kapacita se mění otáčením desek a tím změnou jejich vzájemné plochy
Obrázek 40 vzduchový kondenzátor
• Papírový (svitkový) – dielektrikum je tvořeno voskovaným papírem
Obrázek 41 Kondenzátor papírový 47nF
• Keramický – dielektrikum je tvořeno keramikou
Obrázek 42 Kondenzátor keramický 68 p TK754 C
• Slídový – dielektrikum je slída
Obrázek 43 slídový kondenzátor 270pF/300 V
• Plastový – dielektrikum tvoří plast
• Elektrolytický – dielektrikum je tvořeno vrstvičkou oxidu kovu, vyznačují se vyšší
kapacitou, kondenzátor má určenou polaritu
Obrázek 44 Kondenzátor polypropylénový 6,8uF 250VDC
Ing. Aleš Zima 52
4.6 Spojování kondenzátorů
podobně jako u rezistorů je výsledná kapacita několika spojených kondenzátorů závislá na
způsobu zapojení:
4.6.1 Kapacita kondenzátoru
Kapacita C kondenzátoru závisí na ploše S jeho desek, vzájemné vzdálenosti d desek mezi
sebou a permitivitě ε dielektrika mezi deskami:
𝑪 = 𝜺𝟎. 𝜺𝒓.𝑺
𝒅
(platí jen pokud je vzdálenost zanedbatelná k rozměrům plochy)
Na desku kondenzátoru s kapacitou C lze uložit elektrický náboj Q:
𝑄 = 𝐶.𝑈 [𝐶; 𝐹, 𝑉]
𝑄 = 𝐼. 𝑡 [𝐶; 𝐴, 𝑠]
kde U je elektrické napětí mezi deskami kondenzátoru.
Jednotkou kapacity je F (farad) v soustavě SI je: [𝐹] = [𝑚−2. 𝑘𝑔−1. 𝑠4. 𝐴2]
4.6.2 Sériové zapojení kondenzátoru
Sériovým zapojením dvou a více kondenzátorů se celková kapacita snižuje. Převrácenou
hodnotu výsledné kapacity lze vypočítat jako součet převrácených hodnot jednotlivých kapacit:
1
𝐶=
1
𝐶1+
1
𝐶2+ ⋯
Příklad:
𝐶 =1
1
𝐶1+
1
𝐶2+
1
𝐶3
=1
1
3.10−6+
1
3.10−6+
1
3.10−6
𝐹 = 1. 10−6 𝐹 = 1 𝜇𝐹
Při sériovém řazení se musí dávat pozor na správné rozdělení napětí na jednotlivých
kondenzátorech.
Obrázek 45 sériové zapojení
Ing. Aleš Zima 53
4.6.3 Paralelní zapojení kondenzátorů
Paralelním zapojením kondenzátoru se celková kapacita zvyšuje. Výsledná kapacita se vypočte
součtem jednotlivých kapacit:
𝐶 = 𝐶1 + 𝐶2 + ⋯
Příklad:
𝐶 = 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 = 3. 10−6 + 3. 10−6 + 3. 10−6 𝐹 = 9. 10−6 𝐹 = 9 𝜇𝐹
Při paralelním řazení je na jednotlivých kondenzátorech stejné maximální napětí.
4.6.4 Kondenzátor v obvodu střídavého proudu
V obvodu střídavého proudu se kondenzátor opakovaně nabíjí a vybíjí, což má za následek
předbíhání elektrického proudu před napětím (fázový posun) a vznik kapacitance.
Obě závislosti okamžitého napětí u a okamžitého proudu i na čase t můžeme popsat rovnicemi
𝒖 = 𝑼𝒎. 𝒔𝒊𝒏(𝝎. 𝒕 + 𝜱𝒖)
𝒊 = 𝑰𝒎. 𝒔𝒊𝒏(𝝎. 𝒕 + 𝜱𝒊)
kde Um a Im jsou maximální hodnoty napětí a proudu, Φu a Φi jsou počáteční fáze napětí a
proudu a ω je úhlová frekvence, kterou lze vyjádřit pomocí frekvence f daného střídavého
napětí a proudu vztahem ω=2πf
u,i
U m
I m i
u
t
Obrázek 47 Závislost proudu a napětí na čase u kondenzátoru v obvodu střídavého proudu
Obrázek 46 paralelní zapojení
Ing. Aleš Zima 54
Poměr maximálního napětí a maximálního proudu v obvodu střídavého proudu s ideálním
kondenzátorem (bez uvažování jeho odporu) se nazývá kapacitance a závisí na kapacitě
kondenzátoru a úhlové frekvenci ω střídavého proudu vztahem 𝑋𝐶 =𝑈𝑚
𝐼𝑚=
1
𝜔.𝐶
Odtud můžeme vyjádřit kapacitu kondenzátoru jako 𝐶 =𝐼𝑚
𝜔.𝑈𝑚
Na obr.8 je vidět, že průběh proudu je fázově posunut před napětí. Velikost tohoto posunu
můžeme vyjádřit jako rozdíl počátečních fází proudu a napětí ∆𝜑 = 𝜑𝑖 − 𝜑𝑢
Pro ideální kondenzátor v obvodu střídavého proudu je velikost tohoto fázového rozdílu rovna
π/2 rad.
Každý kondenzátor má také parazitní sériovou indukčnost, která s kapacitou tvoří rezonanční
obvod. Nad rezonanční frekvencí se kondenzátory chovají jako cívky.
Příklad 2:
Vypočítejte celkovou kapacitu obvodu Cv a celkové množství elektrického náboje Q uchovaného
v obvodu, C1,2,3=10 μF a U=10 V.
Řešení:
Celková kapacita:
Množství uchovaného náboje:
Ing. Aleš Zima 55
5 Základy elektrochemie
5.1 Vedení elektrického proudu v kapalinách
V kovech se elektrický proud přenáší volnými elektrony.
V kapalinách volné elektrony nejsou. Ale zato jsou tu ionty
(atomy, které mají odlišný počet elektronů a protonů, mohou
být buď kladné nebo záporné).
Aby kapalina vedla el. proud, musí v ní tedy být ionty.
Čistá (destilovaná) voda el. proud nevede.
Kapaliny, které obsahují volné ionty, vedou elektrický proud a nazývají se elektrolyty.
Tento děj – vedení elektrického proudu v kapalinách – se nazývá elektrolýza.
Obrázek 48 Schematický průběh elektrolýzy
Michael Faraday
Ing. Aleš Zima 56
5.2 Faradayovy zákony pro elektrolýzu
Významný příspěvek pro vývoj představ o elektrolytické disociaci přinesl M. Faraday, který
při vyšetřování rozkladu vodných roztoků elektrolytů přihlédl ke kvantitativní stránce
elektrochemického děje. Elektrochemickou přeměnu na elektrodách vyložil vybíjením iontů.
Elektrodu, kterou je do roztoku přiváděna záporná elektřina, nazval katoda a elektrodu, kterou
je do roztoku přiváděna kladná elektřina (tj. odváděna záporná elektřina), nazval anoda.
Podobně ionty s kladným nábojem pohybující se vlivem elektrického proudu ke katodě
nazval kationty a ionty se záporným nábojem postupující k anodě nazval anionty.
Po kvantitativní stránce formuloval Faraday dva zákony (1833–34):
5.2.1 1.Faradayův zákon
Hmotnost látky m vyloučené na elektrodě závisí přímo úměrně na elektrickém proudu
I, procházejícím elektrolytem, a na čase t, po který elektrický proud procházel.
𝒎 = 𝑨. 𝑰. 𝒕
kde m je hmotnost vyloučené látky, A je elektrochemický ekvivalent látky, I je elektrický
proud, t je čas,
𝒎 = 𝑨.𝑸
anebo, kde Q je elektrický náboj prošlý elektrolytem.
𝑄 = 𝐼. 𝑡 [𝐶; 𝐴. 𝑠]
5.2.2 2.Faradayův zákon
Látková množství vyloučená stejným nábojem jsou pro všechny látky chemicky
ekvivalentní neboli elektrochemický ekvivalent A závisí přímo úměrně na molární
hmotnosti látky M.
𝑨 =𝑴
𝑭. 𝒛 [𝒌𝒈. 𝑪−𝟏]
Faradayova konstanta: F = 9,65.104 C.mol-1
z – je počet elektronů, které jsou potřeba při vyloučení jedné molekuly
(např. pro Cu2+ → Cu je z = 2, pro Ag+ → Ag je z = 1).
Jestliže elektrodou prochází po dobu t konstantní proud I, pak prošlý náboj je roven součinu
Q = I.t
Faradayova konstanta je součin F=e.NA [C.mol-1 ]
e je náboj elektronu, e = 1,602.10-19 C.
NA je Avogadrova konstanta, NA = 6,022.1023 mol-1
Ing. Aleš Zima 57
Elektrochemický ekvivalent látky je konstanta úměrnosti A, která je pro danou látku
charakteristická. Udává se v jednotkách kg.C-1.
𝐴 =𝑀
𝐹. 𝑧 [𝑘𝑔. 𝐶−1]
Molární hmotnost M [kg.mol-1] je fyzikální veličina, která udává hmotnost jednotkového
látkového množství dané látky (tedy hmotnost molu).
Oxidační číslo z (nebo také mocenství, oxidační stav či stupeň I. až IX.) definuje součet
pozitivních a negativních nábojů v atomu. Nepřímo udává počet přijatých, nebo
odevzdaných elektronů.
Pokud elektrony přijímá, je toto číslo záporné a pak se jedná o aniont, pokud je odevzdává, je
číslo kladné a jde o kationt.
Alkalické kovy mají oxidační stav +1,
Kovy alkalických zemin mají vždy oxidační číslo +2.
(např. pro Cu2+ → Cu je z = 2, pro Ag+ → Ag je z = 1)
Ing. Aleš Zima 58
5.3 Praktické užití elektrolýzy
• Výroba chlóru
• Rozklad různých chemických látek (elektrolýza vody)
• Elektrometalurgie – výroba čistých kovů (hliník)
• Elektrolytické čištění kovů – rafinace (měď, zinek, nikl)
• Galvanické pokovování (chromování, niklování, zlacení) - pokrývání předmětů vrstvou
kovu
• Galvanoplastika – kovové obtisky předmětů, např. pro výrobu odlévacích forem
• Galvanické leptání – kovová elektroda se v některých místech pokryje nevodivou vrstvou,
nepokrytá část se průchodem proudu elektrolytem vyleptá
• Polarografie – určování chemického složení látky pomocí změn elektrického proudu
procházejícího roztokem zkoumané látky
• Akumulátory – nabíjení chemického zdroje elektrického napětí průchodem elektrického
proudu
Ing. Aleš Zima 59
6 Magnetismus a elektromagnetizmus
6.1 Magnetické vlastnosti látek Název magnetismus pochází od jména starořeckého města Magnesia.
Toto město se nachází na východě Řecka na poloostrově Thesálie. Okolí
tohoto města bylo bohaté na železitou rudu zvanou magnetit nebo také
magnetovec.
6.1.1 Fyzikální podstata magnetismu
Při pohybu částic s elektrickým nábojem vzniká v jejich okolí magnetické pole. Elektrony
i protony mají elektrický náboj a pohybují se, proto můžeme říci, že kolem nich vzniká
magnetické pole, existence magnetismu je tedy přirozenou vlastností všech látek. V tomto
smyslu má každá látka magnetické vlastnosti, ale ne vždy je lze technicky využít.
Pohyb elektronu po dráze kolem jádra vyvolává dráhový magnetický moment
elektronu. Spinový pohyb elektronu vyvolává spinový magnetický moment elektronu.
Protony se též pohybují po určitých dráhách, ale jen velmi málo, nicméně tento pohyb
vyvolává dráhový magnetický moment protonu. Tento dráhový moment je menší než dráhový
moment elektronu, protože i pohyb protonů je podstatně menší než pohyb elektronů. Celkový
magnetický moment atomu je dán vektorovým součtem magnetických momentů všech
elektronů a protonů. Tento moment pak určuje magnetické vlastnosti materiálu a chování dané
látky v magnetickém poli.
6.1.2 Permeabilita prostředí
• Charakterizuje vliv magnetického pole na magnetický stav materiálu.
• Označuje se µ, jednotka je Hm-1.
• Obvykle se uvádí relativní permeabilita µr, která vyjadřuje, kolikrát je permeabilita
daného materiálu vyšší (nižší) než permeabilita vakua
𝜇𝑟 = 𝜇. 𝜇0 [−;𝐻.𝑚−1, 𝐻.𝑚−1]
𝜇0 = 4. 𝜋. 10−7 [𝐻.𝑚−1] … permeabilita vakua.
• Diamagnetické látky mají stálou 𝝁𝒓 < 𝟏 .
• Paramagnetické látky mají stálou 𝝁𝒓 > 𝟏 .
• Feromagnetické a ferimagnetické látky mají 𝝁𝒓 ≫ 𝟏 (až 106), není stálá, ale závisí na
hodnotě intenzity magnetického pole.
Velikost magnetické indukce cívky je závislá na permeabilitě prostředí, v němž se cívka
nachází resp., kterým je tvořeno její jádro. Proto je magnetická indukce cívky navinuté na
uzavřeném ocelovém jádře větší než magnetická indukce téže cívky bez jádra.
Hodnota relativní permeability je určena vlastnostmi atomů, z nichž je látka složena. S tímto poznatkem přišel
již Ampér, který tvrdil, že magnetické vlastnosti látek určují elektrické proudy uvnitř těchto látek.
Ing. Aleš Zima 60
6.1.3 Magnetizační charakteristiky
Magnetizační charakteristika je závislost magnetické indukce na intenzitě magnetického
pole B = f (H). Platí vztah
𝑩 = 𝝁.𝑯 = 𝝁𝟎. 𝝁𝒓. 𝑯 [𝑇;𝐻.𝑚−1, −, 𝐴.𝑚−1 ]
B… magnetická indukce (T)
𝝁𝟎… permeabilita vakua (𝐻.𝑚−1)
𝝁𝒓… relativní permeabilita materiálu (-)
H… intenzita magnetického pole (𝐴.𝑚−1)
Magnetizační charakteristiky různých skupin látek ukazuje graf 1.
Magnetizační charakteristiky látek diamagnetických a paramagnetických jsou přímky, protože
jejich 𝝁𝒓 je konstantní.
Magnetizační charakteristika feromagnetických a ferimagnetických látek není přímka, protože
jejich 𝝁𝒓 se v průběhu magnetizace mění v závislosti na intenzitě magnetického pole.
6.1.4 Hysterezní smyčka
Je uzavřená magnetizační křivka, která vyjadřuje závislost B = f (H) při pomalé plynulé
změně intenzity magnetického pole od +Hm do –Hm.
Získá se provedením jednoho magnetizačního cyklu.
Graf 1 Magnetizační charakteristiky různých skupin látek
Ing. Aleš Zima 61
Nejprve postupuje závislost dle křivky prvotní magnetizace až do bodu nasycení, kdy má
magnetická indukce hodnotu Bs (indukce nasycení) a intenzita magnetického pole
Hm (maximální).
Pak se při snižování intenzity magnetického pole H se zmenšuje magnetická indukce B (ale má
vyšší hodnoty než předtím), když je 𝐻 = 0 → 𝐵 ≠ 0, ale 𝐵 = 𝑩𝒓 - remanentní indukce.
Pro 𝐵 = 0 má intenzita magnetického pole hodnotu 𝐻 = 𝑯𝑪 - koercitivní intenzita.
Hysterezní smyčka s označením charakteristických hodnot je v graf 2.
Graf 2 Hysterezní smyčka
Ing. Aleš Zima 62
Remanentní indukce (remanence) – Br (T)
Je magnetická indukce, kterou si materiál podrží, i když intenzita magnetického pole klesne na
nulu. Též se označuje jako zbytková.
Obvyklé hodnoty jsou 0,5 – 1 T.
Indukce nasycení – BS (T)
Je magnetická indukce, při které je materiál magneticky nasycen.
Odpovídá maximální intenzitě magnetického pole.
Obvyklé hodnoty 0,1 – 2,15 T.
Koercitivní intenzita (koercitivita) – Hc (Am-1)
Je intenzita magnetického pole potřebná ke zrušení remanentní indukce.
Může dosahovat hodnot 10-1–105 Am-1 dle toho, zda se jedná o materiál magneticky měkký,
nebo magneticky tvrdý.
Obecně je tvar smyčky dán chemickým složením materiálu a jeho strukturou. Vliv mají též
vnější vlivy:
• teplota – s rostoucí teplotou klesají Bs, Br a Hc
• deformace materiálu v tahu smyčku obvykle zplošťuje, deformace v tlaku ji zužuje
• způsoby zpracování materiálu (válcování za tepla a studena, kalení, žíhání)
• frekvence – rostoucí frekvence přemagnetování snižuje Bs a zvětšuje Br
• vzduchová mezera v magnetickém obvodu smyčku zplošťuje
Různé tvary hysterezních smyček jsou na grafu V zásadě existují dva základní typy hysterezní
smyčky – úzká a široká. Kromě toho pak existují speciální tvary smyček,
jako pravoúhlá nebo perminvarová.
Graf 3 Základní tvary hysterezní smyčky
Ing. Aleš Zima 63
6.1.5 Curieův bod
Curieův bod (Tc) je teplota, při které přechází materiál z feromagnetického do
paramagnetického stavu, tedy zanikají domény.
Jedná se o nevratnou změnu, proto je potřeba při zpracování materiálu dbát na to, aby se této
teploty nedosáhlo.
Závisí na druhu materiálu (chemickém složení). Hodnoty Courieovy teploty jsou pro některá
feromagnetika v tab.2
Tabulka 2 Courieův bod pro některá feromagnetika
Látka Uspořádání TC (K)
Fe feromagnetické 1 043
Ni feromagnetické 627
Co feromagnetické 1 388
ferit FeO·Fe2O3 ferimagnetické 858
ferit MgO·Fe2O3 ferimagnetické 713
6.2 Magnetické pole
Magnetické pole je fyzikální pole, jehož zdrojem je pohybující se elektrický náboj
(je fyzikální veličina, která vyjadřuje velikost schopnosti působit elektrickou silou).
Magnetické pole lze tedy pozorovat kolem elektrických vodičů, kde je zdrojem volný
elektrický proud, ale také kolem tzv. permanentních magnetů, kde jsou zdrojem pole vázané
elektrické proudy. Magnetické pole může být také vyvoláno změnami elektrického pole.
Podle závislosti na čase lze magnetické pole rozdělit na:
• nestacionární magnetické pole – obecné, časově proměnné magnetické pole
• stacionární magnetické pole – časově neproměnné magnetické pole
Příčinou proudu je elektrické napětí a příčinou vzniku magnetických indukčních čar, je
magnetomotorické napětí, které vyvolá magnetické pole, jehož indukční čáry jsou soustředné
kružnice. Mezi každými dvěma body indukční čáry definujeme magnetické napětí Um, a je to
veličina skalární. Magnetické pole bylo vybuzeno elektrickým proudem, který je příčinou
vzniku magnetického pole čili magnetomotorického napětí. Fm – magnetomotorické napětí [A]
Ing. Aleš Zima 64
veličina skalární Magnetické pole přímého vodiče je vybuzeno proudem I, pak
magnetomotorické napětí Fm = I; Fm = [A] Magnetomotorické napětí cívky Fm = I. N [A]
Podle prostorového rozložení magnetické indukce dělíme magnetické pole na homogenní a
nehomogenní pole.
Homogenní (stejnorodé) magnetické pole je v dané oblasti prostoru takové magnetické pole,
jehož magnetická indukce je ve všech bodech této oblasti shodná velikostí i směrem. Lze
znázornit přímými, rovnoběžnými, stejně od sebe vzdálenými indukčními čarami.
Nehomogenní, v oblastech prostoru, kde toto není splněno, označujeme pole
jako nehomogenní.
Magnetické pole je částí elektromagnetického pole.
6.3 Magnetický obvod
Cívka navinutá na prstencovém jádře z feromagnetického materiálu je příkladem magnetického
obvodu. Všechny indukční magnetické siločáry procházejí jádrem a vytváření magnetický tok.
Siločáry, které procházejí vzduchem v okolí cívky, vytvářejí magnetické pole, které se nazývá
magnetický rozptyl. V uzavřeném magnetickém obvodě nevzniká severní a jižní pól.
V otevřeném magnetickém obvodu se sice magnetický tok
zeslabí podle šířky vzduchové mezery, ale nezanikne a
bude protékat mezerou od severního pólu k jižnímu pólu,
protože i vzduch je magneticky vodivý. Zeslabení
magnetického toku je ovšem dost značné.
Jestliže v magnetickém
obvodu je magnetické
pole o intenzitě H1,
pak v mezeře
vznikne pole o intenzitě H2, kde μ je permeabilita vzduchu.
𝑯𝟐 = 𝑯𝟏/𝝁
Obrázek 49 Magnetické indukční čáry.
Obrázek 51 Magnetický obvod s vzduchovou mezerou.
Obrázek 50 magnetický obvod
Ing. Aleš Zima 65
6.4 Magnetické pole přímého vodiče a cívky
vodič, jímž prochází elektrický proud, vytváří kolem sebe magnetické pole.
Obrázek 52 Ampérovo pravidlo pravé ruky
Směr magnetické síly v poli okolo vodiče znázorňují magnetické indukční čáry, které mají tvar
soustředných kružnic ležících v rovinách kolmých na vodič. Orientace indukčních čar závisí na
směru proudu a k jejímu určení používáme Ampérovo pravidlo pravé ruky: Naznačíme
uchopení vodiče do pravé ruky tak, aby palec ukazoval dohodnutý směr proudu ve vodiči, prsty
pak ukazují orientaci magnetických indukčních čar.
Velikost magnetické indukce okolo rovného dlouhého vodiče ve vzdálenosti d můžeme
vypočítat pomocí Biot – Savartova zákona 𝑩 = 𝝁𝟎/𝟐𝝅. 𝑰/𝒅 [𝑻]
nebo pro cívku o z závitech o poloměru r platí zákon ve tvaru
𝑩 = (𝝁𝟎. 𝑰. 𝒛)/𝟐𝒓 [𝑻]
Řemeslník William Surgeon už v roce 1825 objevil jednoduchý trik, jak znásobit magnetické
účinky elektrického proudu. Jeho vynálezem byl drát navinutý na válcové ploše – cívka
(solenoid, z řeckého solén – trubice a eidos – podoba). Jeho práce zůstala jen na úrovni hraček,
protože používal holý drát, a proto se závity nemohly dotýkat. Jeho cívka tedy měla jen velmi
málo závitů.
Teprve cívka s hustým vinutím z izolovaného drátu představuje soustavu mnoha proudových
smyček. Je-li cívka dostatečně dlouhá a hustě navinutá, vytvoří se při průchodu proudu uvnitř
homogenní magnetické pole s rovnoběžnými indukčními čarami. Na obr.5 jsou znázorněny
magnetické indukční čáry cívky, které jsou stejné jako u tyčového permanentního magnetu.
Poloha pólů cívky závisí na směru proudu v závitech cívky. Póly označujeme jako severní (N)
a jižní (S). Jestliže se směr proudu změní v opačný, změní se navzájem i póly cívky. Při daném
směru proudu určíme polohu pólů opět Ampérovým pravidlem (pro cívku): Pravou ruku
položíme na cívku tak, aby pokrčené prsty ukazovaly dohodnutý směr proudu v závitech cívky.
Palec pak ukazuje polohu severního pólu cívky.
Ing. Aleš Zima 66
Obrázek 53 Ampérovo pravidlo pravé ruky pro cívku.
Protéká-li vodičem elektrický proud, vytvoří se kolem něho magnetické pole. Toto pole je tím
silnější, čím větší proud vodičem protéká. André Ampére, zjistil, že cívka opatřená jádrem má
okolo sebe daleko silnější magnetické pole. Této vlastnosti využil Joseph Henry ke konstrukci
elektromagnetu. Elektromagnet se skládá z cívky, do které je vloženo jádro z měkké oceli
(feromagnetická látka s velkou hodnotou relativní permeability), například ve tvaru válcové
tyčky.
Zapojením proudu do cívky v jejím okolí vznikne magnetické pole o intenzitě H, jádro toto
pole mnohonásobně zesílí, a přitom se zmagnetuje.
Zesílení plyne ze vztahu 𝑩 = 𝝁.𝑯 [𝑻], kde μ je permeabilita jádra, která je mnohonásobně
větší než permeabilita vzduchu 𝝁 ≫ 𝝁𝟎. Dojde tedy k mnohonásobnému zvětšení magnetické
indukce a tím i zesílení výsledného magnetického pole. Na jednom konci jádra vznikne severní
pól, na opačném konci jižní pól. Změníme-li směr proudu, vymění si póly svou polohu. Silové
působení elektromagnetu můžeme měnit velikostí procházejícího proudu, průřezem a
materiálem jádra. Přerušíme-li proud v cívce, jádro se odmagnetuje a elektromagnet přestane
přitahovat železné předměty.
Jestliže cívku stočíme do kruhu, vznikne toroid.
Magnetické pole toroidu je v jeho vnitřku.
Obrázek 54 Toroidální cívka
Ing. Aleš Zima 67
6.5 Magnetická indukce
Magnetickou indukci popisuje stejnojmenná veličina se značkou B a jednotkou [𝑻] TESLA.
Účinek magnetické indukce se zeslabuje s rostoucí vzdáleností od magnetu. Magnetickou
indukci neovlivňují ani kapaliny, ani pevné látky, jen ve větších vrstvách feromagnetické látky.
Působí tedy jako stínění před magnetickým polem.
Magnetické indukce B vektorová fyzikální veličina charakterizující magnetické pole
Vlastnosti magnetické indukce:
• je to vektorová fyzikální veličina (směr je určen tečnou k dané indukční čáře)
• charakterizuje silové působení magnetického pole na vodič s proudem
• pro dané homogenní pole je konstantní
• jednotkou je Tesla značka T [𝑇 = 𝑁. 𝐴−1. 𝑚−1]
• homogenní mag. pole má magnetickou indukci 𝐁 = 𝟏 𝐓, působí-li na přímý vodič s
aktivní délkou 𝒍 = 𝟏 𝐦 kolmý k indukčním čarám ∝= 𝟗𝟎° a protékaným stálým
proudem 𝑰 = 𝟏 𝑨 silou 𝑭 = 𝟏 𝑵
• magnetické pole Země v našich zeměpisných šířkách B = 10-5 T
𝑩 = 𝑭/(𝑰. 𝒍) [𝑻;𝑵, 𝑨,𝒎]
Příklady:
1) Vodič délky 40 cm, kterým prochází proud 5 A, je umístěn kolmo k indukčním čárám homogenního magnetického
pole o magnetické indukci 30 mT. Určete velikost magnetické síly, která na vodič působí.
(60 mN)
2) V homogenním magnetickém poli o magnetické indukci 4 T působí na vodič délky 10 cm, kolmý k magnetickým
indukčním čárám, síla o velikosti 2,4 N. Určete proud ve vodiči.
(6 A)
3) Na vodič vinutí rotoru elektromotoru, kterým prochází proud 10 A, působí síla o velikosti 3,6 N. Určete velikost
indukce magnetického pole v místě, kterým vodič prochází kolmo k indukčním čárám. Délka vodiče je 45 cm.
(0,8 T)
4) Vodič, kterým prochází proud 1,5 A, je umístěn v homogenním magnetickém poli o magnetické indukci 40 mT.
Jaká magnetická síla působí na vodič, jestliže do magnetického pole zasahuje přímá část vodiče délky 20 cm, která
svírá se směrem magnetických indukčních čar úhel 45°?
(8 mN)
Obrázek 55 Magnetická indukce pole přímého vodiče
Ing. Aleš Zima 68
6.6 Magnetický indukční tok
Φ magnetický indukční tok, fyzikální veličina popisující elektromagnetickou indukci
S obsah rovinné plochy
n normála k ploše S
B vektor magnetické indukce
α úhel, který svírá normála s vektorem B
𝜱 = 𝑩. 𝑺. 𝒄𝒐𝒔 𝜶 [𝑾𝒃;𝑻,𝒎𝟐, −]
Vlastnosti magnetického indukčního toku:
• je to skalár
• jednotka: WEBER (Wb)
• jestliže plocha kolmá k vektoru B potom α = 0°, cos α = 1, Φ = B.S = maximum
jestliže indukční čáry s plochou rovnoběžné potom α = 90°, cos α = 0 ... Φ = 0 Wb
Příklad:
Magnetická indukce homogenního magnetického pole je 1,4 T. Vypočítejte magnetický
indukční tok kruhovou plochou s poloměrem 10 cm, jestliže rovina plochy svírá se směrem
indukce úhel α=60°.
(Φ = 0,038 Wb)
Ing. Aleš Zima 69
6.7 Pohyb vodiče v magnetickém poli
Pokud vodičem prochází elektrický proud,
jedním z projevů je vznik magnetického pole
kolem vodiče. Pokud takový vodič vložíme
do magnetického pole (například
permanentního magnetu), budou na sebe tyto
magnetická pole navzájem silově působit.
Toto silové působení způsobí pohyb vodiče
uvnitř tohoto magnetického pole. Velikost
síly působící na vodič je dána magnetickou
indukcí permanentního magnetu, velikostí
el. proudu procházejícího vodičem, a aktivní
délkou vodiče (délkou, kterou je vodič
vystaven působení cizího magnetického
pole). Dále je také důležitý úhel 𝛼, který
svírá vodič s magnetickými siločarami:
Pro sílu působící na vodič tedy platí:
𝑭 = 𝑰. 𝒍. 𝑩. 𝒔𝒊𝒏𝜶
Tato síla, kterou na sebe vzájemně působí magnetická pole, nám umožňuje konstrukci mnoha
typů elektrických strojů (elektromotorů). Směr působící síly je závislý na směru protékajícího
proudu a siločar magnetického pole. Dá se určit podle tzv. Flemingova pravidla levé ruky.
Obrázek 57 Vzájemné silové působení dvou vodičů – Flemingovo pravidlo levé ruky
Kolem dvou rovnoběžných vodičů, kterými protéká elektrický proud, vznikají dvě magnetická
pole, která na sebe navzájem také silově působí. Síla (její velikost), kterou na sebe tyto vodiče
působí je vyjádřená:
𝑭 =𝝁
𝟐𝝅.𝑰𝟏. 𝑰𝟐. 𝒍
𝒅
𝜇 – permeabilita prostředí, I1, I2 – proudy ve vodičích, l – vzájemná délka vodičů,
d vzdálenost vodičů
Obrázek 56 pohyb v mag. poly
Ing. Aleš Zima 70
6.8 Vzájemné působení dvou vodičů v magnetickém poli
Tento zjednodušený vztah platí pro dva vodiče zanedbatelného průřezu. Lze se z něj však
dozvědět o tom, co má vliv na velikost síly, která působí na tyto dva vodiče. Zejména při
extrémních zkratových proudech, může tato síla nabývat velkých hodnot.
Směr síly působící na vodiče:
Vodiči budou procházet proudy stejného směru a oba vodiče se budou navzájem přitahovat.
Vodiči budou procházet proudy opačného směru a oba vodiče se budou navzájem odpuzovat.
Obrázek 58 směr síly působící na vodiče
Využití dynamických účinků:
- Elektrické stroje – elektromotory
- Elektroakustické a akustickoelektrické měniče (reproduktory, sluchátka, mikrofony)
- Analogové měřicí přístroje
Z obecných znalostí víme, že v okolí vodiče, kterým protéká proud, se vytváří magnetické pole.
Zároveň víme, že magnetické pole působí určitou silou na vodič s proudem.
Díky použití Ampérova pravidla pravé ruky, díky kterému jsme zjistili orientaci indukčních
čar.
Tohoto poznání jsme využili pro zjištění směru síly, která bude působit mezi vodiči díky
Flemingovu pravidlu levé ruky.
Obrázek 60 Proud navzájem opačný Obrázek 59 Proud navzájem shodný
Ing. Aleš Zima 71
6.9 Částice s nábojem v magnetickém poli
Známe vzorec pro výpočet síly magnetického pole pro přímý vodič 𝑭𝒎 = 𝑩. 𝑰. 𝒍. 𝒔𝒊𝒏𝜶
a také víme, že v kovovém vodiči je elektrický proud tvořen elektrony s nábojem 𝑸 = 𝒆. 𝒏, kdy
n je počet elektronů. Výsledný vzorec pro výpočet síly působící na částice s nábojem v
magnetickém poli bude znít: 𝑭𝒎 = 𝑩.𝑸. 𝒗. 𝒔𝒊𝒏𝜶
Když drátem neprochází proud, magnetická síla na něj nepůsobí, jediné, co se v drátu změní,
když začne protékat proud, je vznik uspořádaného pohybu elektronů
⇒ magnetická síla na drát musí být důsledkem působení magnetického pole na pohybující se
elektrony (elektrony pak působí na krystalovou mřížku drátu a ten se pohne)
Příklad: Na následujícím obrázku je nakreslen drát, který se nachází v magnetickém poli s
vyznačenými siločárami. Drátem prochází
vyznačeným směrem elektrický proud.
Do obrázku vyznač:
• směr, kterým vodičem prochází elektrony
• sílu, kterou magnetické pole působí na drát
• síly, která působí na jednotlivé elektrony
magnetická siločára, vycházející z obrazovky kolmo k nám
elektron
Elektrony se pohybují proti směru proudu.
Směr magnetické síly působící na drát určíme pomocí pravidla levé ruky.
Síla, která působí na jednotlivé elektrony, musí mít zřejmě stejný směr jako síla působící na
celý drát.
Zkusíme najít vzorec pro velikost síly, kterou působí magnetické pole na jeden elektron. Síla
působící na drát: Fd = součet sil působících na jednotlivé elektrony Fe: ⇒
𝑭𝒅 = 𝜮𝑭𝒆 𝑭𝒅 = 𝑩. 𝑰. 𝒍 dosadíme: 𝑰 =𝑸
𝒕=
𝒆.𝒏
𝒕 (Q –
elektrický náboj[C], n – počet elektronů, e – jednotkový(elementární) náboj [C], e ≈1,602
177.10-19 C)
směr proudu
Ing. Aleš Zima 72
𝑭𝒅 = 𝑩.𝒆.𝒏
𝒕. 𝒍 trochu přeházíme pořadí členů ve výrazu, síla začne působit, když se
začnou elektrony pohybovat ⇒ zřejmě závisí na jejich rychlosti ⇒ zkusíme ve vztahu rychlost
vytvořit 𝒗 =𝒍
𝒕 [𝑚. 𝑠−1;𝑚, 𝑠]
𝑭𝒅 = 𝒏. 𝒆.𝒍
𝒕𝑩 přesně to, co jsme potřebovali
𝑭𝒅 = 𝒏. 𝒆. 𝒗. 𝑩 síla na celý drát, tedy na n elektronů
⇒ síla působící na jednotlivé elektrony: 𝑭𝒆 = 𝒆. 𝒗. 𝑩
vztah udává pouze velikost síly ne její směr, navíc pouze v případě, že směr pohybu je kolmý
na magnetické siločáry (pokud směr pohybu není kolmý, musíme podobně jakou vodiče
použít vzorec 𝑭𝒆 = 𝒆. 𝒗. 𝑩. 𝒔𝒊𝒏𝜶
platí pro všechny nabité částice
všechny příklady působení magnetické síly, které jsme viděli, jsou důsledkem tohoto působení
magnetického pole na jednotlivé částice látky
Jak zjistit směr síly? Dvě možnosti:
• stejně jako v našem případě použijeme Flemingovo pravidlo lev ruky ⇒ směr síly pro
kladné částice (směr proudu souhlasí se směrem kladných částic), směr síly pro záporné
částice je opačný
• použití vzorce, který bere v úvahu, že síla, rychlost i magnetická indukce jsou vektory:
= 𝒆. . (magnetická síla je tedy vektorový součin rychlosti a magnetické indukce)
⇒ vektory , , tvoří pro kladné náboje pravotočivou bázi (hodnota náboje se musí
dosazovat včetně znaménka)
Pokud se částice pohybuje v elektrické i magnetickém poli najednou, působí na ni součet
elektrostatické a magnetické síly = Lorentzova síla: 𝑭𝑳 = 𝑭𝒆𝒍 + 𝑭𝒎,
síla elektrického pole: 𝑭𝒆𝒍 = 𝑸.𝑬 pro 𝒏 = 𝟏 ⇒ ze vztahu 𝑸 = 𝒆. 𝒏 ⇒ 𝑸 = 𝒆,
𝑬 intenzita elektrického pole [𝑉.𝑚−1]
magnetická síla: 𝑭𝒎 = 𝒆. 𝒗. 𝑩. 𝒔𝒊𝒏𝜶 pro 𝜶 = 𝟗𝟎° ⇒ 𝒔𝒊𝒏𝜶 = 𝟏
vektorově: (Vektorový součin ×je v matematice binární operace vektorů v trojrozměrném vektorovém prostoru.
Výsledkem této operace je vektor. Výsledný vektor je kolmý k oběma původním vektorům.)
𝑭𝑳 = 𝒆. + 𝒆. × po úpravě 𝑭𝑳
= 𝒆. ( + × )
Shrnutí: Magnetické pole působí na každou nabitou pohybující se částici. Tato magnetická síla
je kolmá ke směru pohybu i indukčním čarám magnetického pole.
Ing. Aleš Zima 73
6.10 Jev elektromagnetická indukce
Díky nestacionárnímu magnetickému poli vzniká indukované elektrické pole a tomuto
jevu se říká elektromagnetická indukce.
V tomto případě vzniká na koncích cívky indukované elektrické napětí Ui a celým uzavřeným
obvodem prochází indukovaný elektrický proud Ii.
Využití:
• Indukční plotna – Těsně pod plotnou se nachází cívka napájená vysokofrekvenčním
střídavým proudem. Pomocí tohoto periodicky se střídajícího proudu se indikuje proud ve
vodivé pánvi, a protože má pánev nenulový odpor, vzniká na ní potřebné teplo k přípravě
potravin. Důležité je, že indukční plotna zůstává nezahřátá.
• Elektrický kytarový snímač – Kmitající kovová struna, působící jako magnet, indikuje ve
svém okolí nestacionární magnetické pole, a to následně mění směr magnetického
indukčního toku v cívce se stejnou frekvencí jako kmity struny a přenáší tyto kmity do
zesilovače, reproduktoru.
Ing. Aleš Zima 74
6.11 Indukované napětí
6.11.1 Elektromagnetická indukce Φ (fí)– vznik indukovaného napětí
Pokud vodič (cívku) vystavíme měnícímu se magnetickému poli, bude se v něm indukovat
elektrické napětí. Indukované napětí ve vodiči (cívce) tak vzniká při změně magnetického
indukčního toku v okolí tohoto vodiče (cívky).
Jak spočíst indukované napětí? 𝑼𝒊 = −𝜟𝜱
𝜟𝒕
Jak se určí Φ?
Φ je přímo úměrné procházejícímu proudu ⇒ 𝜱 = L.I
(Pokud se nemění permeabilita prostředí. Tento předpoklad nebývá často splněn, u každé cívky s feromagnetickým
jádrem se mění nasycení jádra a tím i permeabilita prostředí).
Konstanta úměrnosti L se nazývá indukčnost cívky (závisí na její konstrukci).
𝑼𝒊 = −𝜟𝜱
𝜟𝒕= −
𝜟(𝑳.𝑰)
𝜟𝒕= −𝑳
𝜟𝒍
𝜟𝒕
𝑳 =𝑼𝒊. 𝜟𝒕
𝜟𝑰 [𝑯; 𝑽, 𝒔, 𝑨]
Indukčnost má i obyčejný rovný drát, ale strašně malou.
Velkou indukčnost mají cívky (bez jádra 10−6 H až 10−2 H, s jádrem 10−1 H až 102 H) Vzorec
pro indukčnost cívky:𝑳 = 𝝁.𝑵𝟐.𝑺
𝒍 [𝑯]
N – počet závitů
S – plocha závitů
l – délka cívky
µ – permeabilita (pokud je jádro železné mění se µ s nasycením)
Tohoto principu se využívá především ve všech generátorech, transformátorech a některých
elektromotorech.
• Podmínkou vzniku indukce ve vodiči je tedy vzájemný pohyb vodiče a magnetického
pole.
• Další možností je vytvoření proměnného elektromagnetického pole, například s
využitím střídavého proudu obr.11.
Elektromagnetická indukce nastane i v případě zapojení
obvodu podle schéma na obr. 11. Nestacionární magnetické
pole vzniká jako důsledek změn proudu v primární cívce P,
která je vzhledem k cívce sekundární S v klidu. Při sepnutí
vypínače v obvodu primární cívky vzniká v sekundární
cívce indukované napětí a ručka voltmetru se vychýlí na jednu stranu.
Při rozpojení vypínače je výchylka opačná. Obrázek 61
Ing. Aleš Zima 75
K indukci napětí tak může dojít i v případě, pokud na primární P střídavě připojujeme zdroj
napětí. Tím se kolem této cívky střídavě vytváří a zaniká magnetické pole. Toto proměnné
magnetické pole pak v druhé cívce S indukuje elektrické napětí.
6.11.2 Indukované napětí v magnetickém poli
Velikost napětí indukovaného ve vodiči (nebo cívce) který se pohybuje v magnetickém poli, je
přímo úměrná magnetické indukce B [T], aktivní délce vodiče l [m] a rychlosti pohybu vodiče
v [m.s-1], je také závislá na úhlu 𝛼 mezi vodičem a siločarami magnetického pole: 𝑈𝑖 =
𝐵. 𝑙. 𝑣. 𝑠𝑖𝑛𝛼
Směr indukovaného proudu se řídí Lenzovo zákonem:
• Indukovaný proud má vždy takový směr, že se svými účinky snaží zabránit změně,
která ho vyvolala.
• Jestliže vznikl indukovaný proud přibližováním magnetu k cívce, brání magnetické pole
vyvolané indukovaným proudem přibližování magnetu. Jestliže byl indukovaný proud
vyvolán vzdalováním magnetu, snaží se magnetické pole tomuto vzdalování zabránit.
Ing. Aleš Zima 76
6.12 Vlastní indukce
Ve spojitosti s cívkou se setkáváme dále s jevem zvaným vlastní indukce (označovaná
písmenem L), při němž vzniká ve vodiči indukované elektrické pole změnami magnetického
pole. Díky těmto změnám se vytváří proud procházející „vlastním“ vodičem v opačném směru
než proud napájení.
Vlastní magnetické pole vytváří v cívce magnetický indukční tok Φ, který prochází
plochou závitů cívky a který je přímo úměrný proudu (v prostředí s konstantní
permeabilitou):𝜱 = 𝑳. 𝑰 [𝑾𝒃;𝑯,𝑨]. Veličina L[H] se nazývá indukčnost cívky a jedná se
o parametr cívky.
Využití: tlumivka – Je to cívka, která má uzavřené feromagnetické jádro a vysokou indukčnost. Má velké využití
v elektrotechnice.
Příklad
Zapneme-li vypínač v obvodu na obr.12, zjistíme, že žárovka ve
větvi s rezistorem se rozsvítí okamžitě, zatímco ve větvi s cívkou se
rozsvítí později. Příčinou je magnetické pole, které je vytvářeno
proudem v cívce.
V rezistoru vzniká průchodem elektrického proudu magnetické pole
také, ale toto pole je výrazně slabší než u cívky. Proto je možné magnetické pole vznikají
v rezistoru zanedbat.
• Po zapnutí se s rostoucím proudem cívkou zvětšuje magnetická indukce vznikajícího pole
a magnetický indukční tok.
• Magnetické pole je tedy nestacionární a je příčinou vzniku indukovaného elektrického pole
v cívce.
• Podle Lenzova zákona působí toto pole svými účinky proti změně, která ho vyvolala –
na koncích cívky proto vzniká napětí opačné polarity, než je napětí zdroje a musí se v
ní indukovat proud, který působí proti této změně.
• To způsobí, že přes cívku nejprve neteče proud.
• Cívka nemůže udržet nulový proud pořád (pak by se neměnil nejen proud, ale i magnetický
indukční tok a v cívce by se nic neindukovala (na indukci je potřeba změna) ale narůstá
postupně až na hodnotu určenou odporem cívky a dále se již nemění.
• Nastává ustálený stav a indukované elektrické pole zaniká. Žárovka svítí.
Obrázek 62
Ing. Aleš Zima 77
6.13 Princip transformátoru a točivých elektrických strojů
Transformátor – je elektrický netočivý stroj, který umožňuje přenášet elektrickou energii z
jednoho obvodu do jiného pomocí vzájemné elektromagnetické indukce.
Používá se většinou pro přeměnu střídavého napětí (např. z nízkého napětí na vysoké nebo
opačně) nebo pro galvanické oddělení obvodů.
6.13.1 Princip transformátoru
Transformátor pracuje jen na střídavý nebo pulzující proud!
Skládá se ze tří hlavních částí:
• vinutí – primární a sekundární
• magnetický obvod
• izolační systém
Up Us
Ip→ Is→
Primární vinutí slouží k převodu elektrické energie na magnetickou. Procházejícím proudem
se vytváří magnetický tok φ [Fí]. Tento tok je veden magnetickým obvodem (jádrem) k
sekundární cívce.
Účelem magnetického obvodu většiny transformátorů je zajistit, aby co nejvíce magnetických
siločar procházelo zároveň primární a sekundární cívkou.
V sekundární cívce se podle principu Faradayova indukčního zákona 𝒖𝒊 = −𝑵𝒅𝝋
𝒅𝒕 indukuje
elektrické napětí.
Obrázek 63 indukční tok v transformátoru
Ing. Aleš Zima 78
Dosadíme-li do indukčního zákona dvakrát veličiny primárního a sekundárního vinutí s
uvažováním, že magnetický tok je identický pro obě cívky a s uvažováním zákona zachování
energie, dostaneme rovnici ideálního transformátoru (bez ztrát):
𝒑 =𝑼𝒑
𝑼𝒔=
𝑰𝒔
𝑰𝒑
𝒑𝒛 =𝑵𝒑
𝑵𝒔
p = převod transformátoru
pz = závitový převod
kde Up je napětí na primární cívce, Ip je proud protékající primární cívkou, Np je počet závitů
primární cívky. Indexem s jsou značeny veličiny sekundární cívky. Písmeno p značí převod
transformátoru při 𝒑 > 𝟏 jde o snižující transformátor (napětí na sekundárním vinutí je nižší) a
při 𝒑 < 𝟏 je transformátor zvyšující.
Magnetické obvody a ztráty v transformátoru
Součet ztrát nakrátko a naprázdno dosahuje u moderních energetických transformátorů velkých
výkonů (MVA) pouze 0,5 %, účinnost je tedy 99,5 %. U malinkých transformátorů převládají
ztráty nakrátko (ve vinutí) a ztráty jsou řádově 10 %.
Příklad 1: Primární vinutí transformátoru má 300 závitů. Urči počet závitů sekundární cívky,
pokud chceme 230 V transformovat na 12 V.
N1=300 z, U1=230 V, U2=12 V, N2=? [𝒛]
𝑵𝟏
𝑵𝟐=
𝑼𝟏
𝑼𝟐 ⇒ 𝑵𝟐 =
𝑼𝟐
𝑼𝟏. 𝑵𝟏 =
𝟏𝟐
𝟐𝟑𝟎. 𝟑𝟎𝟎 (𝒛; 𝑽, 𝑽, 𝒛) = 𝟏𝟔 𝒛
Sekundární cívka musí mít 16 závitů.
Příklad 2: Máme k dispozici cívky o těchto počtech závitů: 60, 300, 600, 1200, 12000. Navrhni
transformátor, který by transformoval síťové napětí 230 V tak, abychom mohli k sekundárnímu
vinutí připojit žárovku o jmenovité hodnotě 6 V/0,7 W.
U1=230 V, U2=6 V, N1=? N2=?
snižujeme napětí ⇒ primární cívka má více závitů,
poměr primárního a sekundárního napětí (obrácený transformační poměr
transformátoru):𝒌 =𝑼𝟏
𝑼𝟐=
𝟐𝟑𝟎
𝟔= 𝟑𝟖,𝟑 ⇒ zkoušíme násobit počty závitů cívek (s
nejmenším počtem závitů) transformačním poměrem a kontrolujeme, zda nedostáváme číslo
blízké počtu závitů některé z cívek.
60 závitů: 𝑵𝟏 = 𝒌.𝑵𝟐 = 𝟑𝟖, 𝟑. 𝟔𝟎𝒛 = 𝟐𝟑𝟎𝟎𝒛 - (takovou cívku k dispozici nemáme),
300 závitů: 𝑵𝟏 = 𝒌.𝑵𝟐 = 𝟑𝟖, 𝟑. 𝟑𝟎𝟎 𝒛 = 𝟏𝟏𝟓𝟎𝟎𝒛 (počet závitů, který se blíží hodnotě
12000z). Síťové napětí 230 V můžeme transformovat na přibližně na napětí 6 V pomocí
transformátoru s primární cívkou o 12000 závitech a sekundární cívkou o 300 závitech.
Pokud transformátor sestavíme, a kromě napětí změříme i proud, který prochází žárovkou.
Naměřené hodnoty: U1=231 V, U2=4,5V, I2=86 mA.
Ing. Aleš Zima 79
6.13.2 Princip točivých elektrických strojů
Motory a generátory
Stejnosměrné a střídavé
Jednofázové a třífázové
Motory mění elektrickou energii na mechanickou, generátory vytváří elektrickou energii.
Stejnosměrné stroje (ss motor a dynamo) používají komutátor
Obrázek 64 princip komutátoru
Stejnosměrné elektromotory princip činnosti, magnetické pole se svislými indukčními čarami
se snaží srovnat závit s proudem do vodorovné polohy, pokud v tomto okamžiku otočíme směr
proudu v závitu, pole se snaží otočit závit o dalších 180°, pak opět prohodíme směr proudu, a
tak pořád dokola zařízení na prohazování směru proudu se jmenuje komutátor.
Postřeh: naprostá většina sériových i stejnosměrných motorů nemá komutátor složený ze dvou
částí, komutátor je složený z většího sudého počtu kousků, na rotoru je více vinutí – normální
stejnosměrný motor nezabírá v průběhu otočky stejně, záběr kolísá od nuly do maximální
hodnoty ⇒ v průběhu otáčky přepínám mezi větším počtem cívek v rotoru tak, aby proud
procházel tou, která je právě v poloze s největším záběrem ⇒ plynulejší chod motoru
Použití: Všechny motory v počítači (větráky, HDD), většina motorů v hračkách
Problém: většina domácích spotřebičů (pračky, fény, mixéry, vrtačky ...) nepatří ani k jednomu
z jmenovaných druhů. Jsou připojeny ke střídavému napětí, ale pouze k jedné fázi.
Střídavý proud vytvářející točivé magnetické pole umožňuje sestrojit asynchronní trojfázový
stroj (elektromotor) a synchronní stroje.
Asynchronní motor je točivý elektrický stroj (elektromotor), pracující na střídavý proud. Jde
o nejrozšířenější elektromotor.
Tok energie mezi hlavními částmi motoru (stator a rotor) je realizován výhradně
pomocí elektromagnetické indukce, proto se často tento motor označuje jako motor indukční.
Nejčastěji se používají jako napájené z běžné střídavé sítě. Napájecí napětí může být
jednofázové nebo trojfázové.
Jednofázový asynchronní motor:
Jednofázové hlavní vinutí vytváří pulzující magnetické pole, které se neotáčí ani nenatáčí.
Aby rotor vytvářel točivý moment, musí se magnetické pole statoru otáčet, nebo alespoň natáčet
vůči rotoru.
Ing. Aleš Zima 80
Při jednofázovém napájení se musí proudy v hlavním a pomocném vinutí fázově posunout, aby
vzniklo kruhové, nebo alespoň eliptické magnetické pole. Toho se dociluje zapojením
kondenzátoru do pomocného vinutí, nebo zhotovením pomocného vinutí z odporového
materiálu – zvětšením rezistivity vinutí. Fázový posun mezi proudy bývá až 90°. Působení pomocného
vinutí není pro samotný běh motoru nutné, a tak se v některých případech odpojuje po rozběhu.
Třífázový asynchronní motor:
Základem činnosti asynchronního stroje je vytvoření točivého magnetického pole statoru,
které vznikne průchodem střídavého trojfázového proudu vinutím statoru.
Toto magnetické pole indukuje v rotoru napětí a vzniklý proud rotoru vyvolává magnetický
tok, který je spřažen se statorem. Spřažený magnetický tok vyvolá silové působení na rotor a
tím otáčení rotoru.
Otáčky točivého pole statoru, tj. synchronní otáčky, jsou dány kmitočtem napájecího napětí a
počtem pólů trojfázového motoru. 𝒏𝒔 =𝟔𝟎.𝒇
𝒑[𝒎𝒊𝒏−𝟏],
kde f - je kmitočet proudu a p - je počet pólových dvojic statoru.
Asynchronní stroj může dávat na výstupní hřídeli kroutící moment jen tehdy, pokud rychlost
otáčení magnetického pole statoru je rozdílná oproti mechanickým otáčkám rotoru, tj. o skluz
(s).
Podle hodnoty skluzu lze snadno rozdělit oblasti práce asynchronního stroje:
• 𝑠 ∈ (−∞;0) - generátor, obvyklé meze 𝑠 ∈ (−1; 0)
• 𝑠 ∈ (0; 1) - motor
• 𝑠 ∈ (1;∞) - brzda, obvyklé meze 𝑠 ∈ (1; 2)
Synchronní stroje: název napovídá, že rotor se oproti asynchronnímu stroji otáčí stejnými
otáčkami, jaké má točivé magnetické pole vyvolané budícími cívkami statoru (platí pro
synchronní motor).
Provedením mohou být třífázové nebo jednofázové.
Synchronní stroje se podle funkce dělí na synchronní:
• generátory – třífázové alternátory jsou téměř
výhradním zdrojem elektrické energie v elektrárnách
• motory-otáčky jsou dány kmitočtem sítě 50 Hz (3000 ot.min-1)
• kompenzátory (stroje ke zlepšování účiníku v sítích)
• krokové motory
Princip funkce synchronního generátoru
Hlavní předností synchronního alternátoru je, že má cizí buzení, nezávislé na zatížení, a proto
může dodávat do sítě jak činný, tak i jalový výkon. Napětí synchronního generátoru lze
jednoduše řídit nezávisle na zatížení.
Obrázek 65 Schéma
jednoduchého alternátoru
Ing. Aleš Zima 81
Aby kmitočet vyráběného střídavého proudu byl stálý, musí být i otáčky synchronního
generátoru stálé a synchronní s kmitočtem podle vztahu.
𝑵𝑺 =𝟔𝟎.𝒇
𝒑[𝑜𝑡.𝑚𝑖𝑛−1; 𝐻𝑧, 𝑝𝑜č𝑒𝑡 𝑝𝑜𝑙. 𝑑𝑣𝑜𝑗𝑖𝑐]
NS – jsou synchronní otáčky stroje
Obrázek 66 Průběh proudu v závislosti úhlu natáčení rotoru vůči statoru jednofázového a třífázového stroje
Synchronní stroje v automobilech
Alternátory s vyniklými póly rotoru v motorových vozidlech se dělí na dva typy. S rotorem s
permanentními magnety a s rotorem buzeným stejnosměrným proudem. V obou případech
vznikne požadované točivé magnetické pole, které indukuje ve statorovém vinutí střídavý
elektrický proud. Výstupní proud (tedy i napětí) je sinusový, obvykle třífázový.
Alternátor musí být doplněn (elektronickým) regulačním obvodem pro zajištění konstantního
výstupního napětí při všech otáčkách motoru. Obvyklé napětí u osobních motorových vozidel
je 14,2[V].
Ing. Aleš Zima 82
6.14 Magnetické materiály
6.14.1 Rozdělení
Podle uspořádání elektronů v atomu dělíme magnetické látky do tří skupin:
Diamagnetické látky se skládají z diamagnetických atomů a mají relativní permeabilitu
nepatrně menší než 1 tj. µ𝒓 < 1. To znamená, že tyto látky mírně zeslabují magnetické pole
(patří sem inertní plyny, voda, zlato, měď, rtuť, zinek, germanium …).
Paramagnetické látky jsou složeny z paramagnetických atomů a jejich permeabilita je
nepatrně větší než 1, tj. µ𝒓 > 1. Tyto látky mírně zesilují magnetické pole (draslík, sodík,
hliník, mangan, chrom, modrá skalice, …).
Fakt, že měď patří mezi diamagnetické látky a modrá skalice mezi paramagnetické látky, je dán chemickou
vazbou mědi v modré skalici, přítomností dalších chemických prvků v této sloučenině, …
Paramagnetická látka se k magnetu přitahuje a bude sama přitahovat drobné kovové předměty
(kancelářské svorky, …) pouze v případě, že bude v blízkosti magnetu. Paramagnetickou látku
není možné zmagnetovat trvale.
Feromagnetické látky jsou složeny také z paramagnetických atomů, ale v takovém
uspořádání, že výrazně zesilují magnetické pole. Jejich relativní permeabilita je mnohem větší
než 1 (µ𝒓 ≫ 1). Již slabým magnetickým polem lze u nich vyvolat takové uspořádání atomů,
že se magnetické pole zesílí a dojde k magnetování látky. Magnetické pole ve feromagnetické
látce zůstává, i když vnější pole zanikne.
Příčinou magnetizace látky je působení tzv. výměnných sil mezi sousedními atomy. Jejich
vlivem nastává i bez vnějšího magnetického pole souhlasné uspořádání magnetických polí
v malé oblasti látky. Při této spontánní (samovolné) magnetizaci vznikají v látce zmagnetované
makroskopické útvary, jejich délka a šířka jsou řádově jednotky mm a tloušťka je řádově 0,001
až 0,1 mm, zvané magnetické domény, které jsou orientovány nahodile (viz obr.12). Působením
vnějšího magnetického pole se tyto domény orientují souhlasně a látka získává vlastnosti
magnetu (viz obr.13). Při tomto ději se objem domén postupně zvětšuje, až při jejich
souhlasném uspořádání doménová struktura mizí – látka je magneticky nasycena.
Feromagnetickou látku lze zmagnetovat trvale: např. přejedeme-li magnetem nůž nebo
šroubovák, začne přitahovat drobné kovové předměty (kancelářské svorky, šroubky, …).
Obrázek 67 Momenty atomů paramagnetické látky
Ing. Aleš Zima 83
Feromagnetická látka je tvořena týmž druhem atomů jako látka paramagnetická, liší se ale
v jiném uspořádání atomů, a tedy i v jiném vzájemném silovém působení.
Obrázek 68
Obrázek 69
Počet feromagnetických látek není velký, přesto mají značný praktický význam: vyrábějí se
z nich jádra cívek v elektromagnetech, transformátorech, elektrických strojích, …
Antiferomagnetické
Jedná se o paramagnetické látky, v jejichž doménách za vhodných podmínek dojde
k antiparalelní orientaci magnetických momentů atomů (jsou uspořádány rovnoběžně, avšak
s navzájem opačnými směry působení).
V důsledku antiparalelního postavení momentů dojde k jejich kompenzaci a jeví se navenek
jako nemagnetické.
Příkladem antiferomagnetické látky je mangan.
Magnetické momenty antiferomagnetických látek jsou na obr.14
Ferimagnetické
Podobně jako antiferomagnetické mají seřazeny sousední magnetické momenty antiparalelně,
ale tyto momenty nejsou stejně velké, takže se nevykompenzují a projevují se rozdílovým
magnetickým momentem.
Ferimagnetismus je zvláštním případem antiferomagnetismu.
Patří sem ferity (oxidy železa).
Magnetické momenty ferimagnetických látek jsou na obr.11
Obrázek 70 Momenty atomů antiferomagnetických a ferimagnetických látek
Ing. Aleš Zima 84
Základní vlastnosti feromagnetických látek:
1. Feromagnetismus se projevuje jen tehdy, je-li látka v krystalickém stavu – v kapalném
nebo plynném stavu se chovají jako látky paramagnetické. Feromagnetismus je tedy
vlastností struktury, ne jednotlivých atomů.
2. Pro každou feromagnetickou látku existuje určitá teplota (tzv. Curieova teplota), při
jejímž překročení látka ztrácí feromagnetické vlastnosti a stává se látkou
paramagnetickou.
Po překročení Curieovy teploty (řádově stovky stupňů Celsia) je tepelný pohyb tak intenzivní,
že se vzniklé magnetické domény rozpadají zpět na jednotlivé atomy.
Chcete-li tedy někomu zničit jeho magnet, vhoďte jej do ohně. Necháte-li jej chladnout bez přítomnosti
magnetického pole, získáte kus nemagnetického materiálu. Zahřejete-li jej ovšem znovu na Curieovu teplotu
a necháte-li jej poté chladnout v magnetickém poli, získáte opět magnet.
Mezi látky feromagnetické patří také ferimagnetické látky (ferity) – sloučeniny 𝑭𝒆𝟐𝑶𝟑 s oxidy
jiných kovů (Mn, Ba, …). Mají mnohem větší elektrický odpor než kovové feromagnetické
látky, a proto nalezly široké uplatnění v praxi (slaboproudá elektrotechnika, permanentní
magnety, …).
Ing. Aleš Zima 85
6.15 Magneticky tvrdé a měkké materiály
6.15.1 Měkké materiály
Společné vlastnosti magneticky měkkých materiálů
• Vykazují úzkou hysterezní smyčku, (viz graf 4).
• Snadno se zmagnetují (tj. slabým vnějším magnetickým
polem) a snadno se odmagnetují.
• Mají vysokou relativní permeabilitu, ta v průběhu
magnetizace klesá.
• Jejich koercitivní intenzita HC je nízká (pod 800 Am-1).
• Křivka prvotní magnetizace má strmý průběh.
• Indukce nasycení je obvykle vysoká.
• Součinitel tvarové magnetostrikce má nízkou hodnotu.
• Vykazují většinou malé hysterezní ztráty a ztráty vířivými proudy.
• Mají velmi kvalitní krystalovou strukturu.
• Používají se pro magnetické obvody.
Příklady měkkých materiálů
• Čisté železo a nízkouhlíkové oceli
Železo čistoty 99,99 % má µrmax = 100 000
Čisté železo má malou rezistivitu, v důsledku toho v něm vznikají velké ztráty při střídavé
magnetizaci.
Používá se proto pro magnetické obvody u stejnosměrných strojů a přístrojů.
• Křemíková ocel
µrmax ~ 160 000, Hc ~2 Am-1
Křemík zvyšuje rezistivitu, čímž se zmenšují se ztráty při střídavé magnetizaci. Křemíková ocel
se používá k výrobě transformátorových a dynamových plechů. Křemíková ocel je
nejdůležitější materiál pro použití ve střídavých magnetických polích s frekvencí 50 Hz.
• Slitiny Fe-Ni – Permalloy
µrmax = 80 000 – 100 000, rezistivita je dvakrát větší než u čistého Fe, takže mají nízké
hysterezní ztráty a ztráty vířivými proudy
Jsou to velmi kvalitní magneticky měkké materiály.
Použití ve sdělovací technice, přenos napětí v širokém rozsahu kmitočtů, jádra transformátorů,
tlumivek.
Graf 4 magneticky měkký materiál
Ing. Aleš Zima 86
• Slitiny Fe-Co – Permendur
Lze je použít např. relé, sluchátkové membrány, rotory elektrických strojů apod.
• Magneticky měkké ferity – FONOX.
µrmax = je od 10 do 10000.
Jsou oxidy železa, kde se projevuje feromagnetismus, Vznikají sloučením oxidu železitého
Fe2O3 s oxidem vhodného dvojmocného kovu.
Mají vysokou rezistivitu, používají se k výrobě součástek pro vysokofrekvenční techniku
6.15.2 Magneticky tvrdé materiály
Společné vlastnosti magneticky tvrdých materiálů
• Vykazují širokou hysterezní smyčku, (viz graf 5).
• Nesnadno se zmagnetují (tj. silným vnějším
magnetickým polem) a nesnadno se odmagnetují.
• Mají vysokou hodnota koercitivity Hc, obvykle nad
1000 Am-1 (až 105 Am-1).
• Mají vysokou remanentní indukci.
• Křivka prvotní magnetizace má pozvolnější průběh
než u magneticky měkkých.
• Používají se k výrobě permanentních magnetů.
Příklady tvrdých materiálů
• Magneticky tvrdé ferity
• Feritové magnety mají vysokou rezistivitu, nízkou remanenci Br.
Obsahují přibližně 80 % oxidu železa a 20 % oxidu Baria nebo
Stroncia. Magnetizace probíhá ve všech směrech. Feritové magnety
jsou tvrdé, křehké a choulostivé na rozbití. Feritové magnety jsou
odolné vůči vlivům počasí a neoxidují. Nejsou citlivé na
odmagnetizování a za normálních podmínek si udržují permanentní magnetizmus.
• Neodymové magnety jsou v současnosti nejsilnějším typem
magnetů s vynikajícími magnetickými vlastnostmi, jako je
remanence a energetická hustota. Patří do skupiny magnetů
založených na bázi vzácných zemin (lanthanoidy). Jejich hlavní
složkou je železo s příměsmi neodymu (Nd) a boru (B).
• Samarium-kobaltové magnety jsou druhým
nejsilnějším typem permanentních magnetů po
neodymech
Graf 5 magneticky tvrdý materiál
Ing. Aleš Zima 87
• AlNiCo magnety jsou směsí hliníku, niklu, kobaltu, železa, mědi a titanu. Vyrábějí se
sléváním nebo spékáním. Magnetované můžou být pouze v axiálním směru.
6.16 Použití v magnetických obvodech
• Čisté železo a nízkouhlíkové oceli se používají pro magnetické obvody
u stejnosměrných strojů a přístrojů.
• Křemíková ocel je nejdůležitější materiál pro použití ve střídavých magnetických polích
s frekvencí 50 Hz, používá k výrobě transformátorových a dynamových plechů. Jádra transformátorů se takto skládají z jednotlivých tenkých vzájemně izolovaných plechů, protože
kompaktní materiál by měl obrovské hysterezní ztráty a ztráty vířivými proudy.
• Slitiny Fe-Ni (označení Permalloy), se používají ve sdělovací technice, pro přenos napětí
v širokém rozsahu kmitočtů, jádra transformátorů, tlumivek, stínící kryty k magnetickému
odstínění, pro přenos signálů v transformátorech pro sdělovací elektrotechniku, pro
magnetofonové hlavy, v magnetických systémech měřících přístrojů.
• Slitiny Fe-Co, lze použít např. pro relé, sluchátkové membrány, rotory elektrických strojů
apod.
• Magneticky měkké ferity (označení FONOX),
používají se k výrobě součástek pro vysokofrekvenční techniku (MHz – GHz),
v radiotechnice a radioelektronice, mikrovlnné technice (jádra širokopásmových,
mezifrekvenčních, výstupních a pulzních transformátorů, hlavičky magnetofonů, jádra
sdělovacích vysokofrekvenčních transformátorů, feritové antény, magnetické zesilovače).
• Kovová skla (nazývají se též amorfní kovy nebo amorfní kovové slitiny), Využití
kovových skel je např. při výrobě transformátorů, zesilovačů, spínačů, záznamových
hlav atd.
Plechy pro transformátory z amorfních skel se vyrábějí v tloušťce pouze 0,025 mm.
• Permanentní magnety s obsahem neodymu, magneticky tvrdé ferity a slitiny typu
AlNiCo se používají velmi často pro permanentní magnety např. v měřících přístrojích,
elektrických strojích apod.
• Magnetické kompozity se používají dnes např. pro magnetické zámky, magnetické
pryžové těsnění v ledničkách, pro membrány reproduktorů, magnety pro korekci barev
Obrázek 71 Toroidní kroužek z manganato-zinečnatého feritu
Ing. Aleš Zima 88
barevných obrazovek, magnetické spínače, magnetické spojky, rotory a statory malých
motorků, ale také do magnetických laků a lepidel, pro magneticky aktivní vrstvy
magnetických pásků apod.
• amorfní slitiny vzácných zemin – 20 %Gd nebo Tb (gadolinium a terbium jsou stříbřitě
bílé, měkké přechodné kovy ze skupiny lanthanoidů, gadolinium je feromagnetické)
s železem nebo kobaltem. Pro princip magnetooptického záznamu dat.
Obrázek 72 Vytváření magnetooptického záznamu
Ing. Aleš Zima 89
7 Seznam použitých informačních zdrojů
• 8bitu.cz – Stavba látek, http://www.8bitu.cz/clanek/zaklady-elektrotechniky-2-naboj-
proud-a-odpor/
• 8bitu.cz – Základy elektrotechniky - 2 - Náboj, Proud a Odpor,
http://www.8bitu.cz/clanek/zaklady-elektrotechniky-2-naboj-proud-a-odpor/
• Adam – Omforum.cz, Ukázka magnetického pole, 2015,
https://www.omforum.cz/forum.php?t=87
• Brdička R., Dvořák J. - Základy fysikální chemie, Academia, Praha 1977, str.: 522,
http://archiv.eurochem.cz/polavolt/obecne/zaklady/brdicka.htm
• Elektronický učitel – programy, http://www.eucitel.cz/software/?id=17
• Eluc – Stavba látek, https://eluc.kr-olomoucky.cz/verejne/lekce/412
• Eluc – Rozdělení látek podle elektrické vodivosti, https://eluc.kr-
olomoucky.cz/verejne/lekce/413
• Encyklopedie fyziky – Elektřina a magnetizmus, Nestacionární magnetické pole,
http://fyzika.jreichl.com/main.article/view/301-nestacionarni-magneticke-pole
• Ing. Anna Mudruňková – Magnetické materiály, Elektrotechnické materiály I., 2016,
ISBN:978-80-88058-90-8, https://publi.cz/books/353/07.html
• Ing. M. Bešta – Elektrostatika, http://www.mbest.cz/wp-content/uploads/2014/01/T3.1-
Elektrostatika.pdf
• Ing. M. Bešta – Základy elektrotechniky – úvod, http://www.mbest.cz/wp-
content/uploads/2013/10/T1.1.pdf
• Ing. M. Bešta – Základy elektrotechniky, http://www.mbest.cz/?page_id=626
• Ing. Lubor Hajduch – Chemie pro VIII. ročník Základní školy, Kyjov
http://www.hajduch.eu/osmicka/stavba_a_sloen_atomu.html
• Jiří Bureš – conVERTER, http://www.converter.cz/prevody/nasobky-dily.htm#si
• Ing. Jiří Vlček – ZÁKLADY ELEKTROTECHNIKY, http://docplayer.cz/1107509-
Zaklady-elektrotechniky-ing-jiri-vlcek.html
• Jaromír Kekule – Elektrossgjn.cz – elektrostatika,
http://elektross.gjn.cz/el_pole/elstat.html
• Konstanty a hodnoty důležitých veličin, http://elektross.gjn.cz/konstanty.html#me
• Mgr. Martin Krynický, Www.realisticky.cz, fyzika SŠ, Elektřina a magnetismus
http://www.ucebnice.krynicky.cz/Fyzika/4_Elektrina_a_magnetismus/5_Magneticke_pole
/4506_Castice_s_nabojem_v_magnetickem_poli.pdf
• Mgr. Magda Králová – Magnetický obvod,
http://edu.techmania.cz/cs/encyklopedie/fyzika/magnetismus/magneticky-obvod
• Miroslav Jílek – Kondenzátor v obvodu střídavého proudu,
http://www.expoz.cz/material/kondenzator-v-obvodu-stridaveho-proudu
• PhDr. Martin Tomáš – Dielektrika, http://dielektrika.kvalitne.cz/zaklad.html
• Sbírka řešených úloh – Elektřina a magnetismus, http://reseneulohy.cz/1648/ubytek-napeti-
na-prodluzovaku
• Stavba atomu Bóru, https://image3.slideserve.com/5551612/stavba-atomu2-n.jpg
Ing. Aleš Zima 90
• Stavba atomu Bóru, https://image3.slideserve.com/5551612/stavba-atomu2-n.jpg
• Solný chrám – Záporné ionty – přírodní čistička vzduchu,
http://www.solnajeskyneletnany.cz/novinky/zaporne-ionty-prirodni-cisticka-
vzduchu/1fdbb76bc
• Vítejte na Zemi … – Ztráty elektrické energie a tepla,
http://www.vitejtenazemi.cz/cenia/index.php?p=ztraty_elektricke_energie_a_tepla&site=e
nergie
• WIKISKRIPTA – Magnetické pole,
https://www.wikiskripta.eu/w/Magnetick%C3%A9_pole#Elektromagnetick.C3.A1_induk
ce
• Wikipedie – molární hmotnost,
https://cs.wikipedia.org/wiki/Mol%C3%A1rn%C3%AD_hmotnost
• Wikipedie – oxidační číslo,
https://cs.wikipedia.org/wiki/Oxida%C4%8Dn%C3%AD_%C4%8D%C3%ADslo
• Wikipedie – elektrochemický ekvivalent,
https://cs.wikipedia.org/wiki/Elektrochemick%C3%BD_ekvivalent
• Wikipedie – Elektrolýza,
https://cs.wikipedia.org/wiki/Elektrol%C3%BDza#1._Faraday%C5%AFv_z%C3%A1kon
• Wikipedie – Coulombův zákon,
https://cs.wikipedia.org/wiki/Coulomb%C5%AFv_z%C3%A1kon
• Wikipedie – kondenzátor, https://cs.wikipedia.org/wiki/Kondenz%C3%A1tor
• Wikipedie – Elektrický izolant, https://cs.wikipedia.org/wiki/Elektrick%C3%BD_izolant
• Wikipedie – Dielektrikum, https://cs.wikipedia.org/wiki/Dielektrikum
• Wikipedie – Polovodič, https://cs.wikipedia.org/wiki/Polovodi%C4%8D
• Wikipedie – Elektrický vodič,
https://cs.wikipedia.org/wiki/Elektrick%C3%BD_vodi%C4%8D
• Wikipedie – Permitivita, https://cs.wikipedia.org/wiki/Permitivita
• Wikimedia Commons – Diagram of DC voltage,
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tensi%C3%B3n_corriente_continua.svg
• Wikipedie – ion, https://cs.wikipedia.org/wiki/Ion
• Wikipedie – Elektrický náboj, http://www.wikina.cz/a/Elektrick%C3%BD_n%C3%A1boj
• Zdeněk Moravec – Kapacitní dělič, http://z-
moravec.net/elektronika/kondenzatory/kapacitni-delic-napeti/