zÁklady speciÁlnÍ teorie relativityartemis.osu.cz/strep/strep.pdfzáklady speciální teorie...

ZÁKLADY SPECIÁLNÍ TEORIE

RELATIVITY

LADISLAV SKLENÁK

OSTRAVA 2005

TEORIE RELATIVITY (KFY/STREP) LS 2005 – 2006 Rozsah: 2/0/0 Počet kreditů: 2 Ukončení: zkouška kombinovaná Přednášející: doc.L.Sklenák

ČASOVÝ PLÁN 1. Einsteinovy postuláty. Historické poznámky, vývoj fyziky v 19.století. Aberace světla. Strhávací experimenty. Postuláty speciální teorie relativity.

2. Relativita času a prostoru. Dilatace času, relativistické skládání rychlostí. LORENTZOVA transformace, kontrakce délky.

3. Relativita času a prostoru. Inverzní a obecná LORENTZOVA transformace, zobecnění zákona pro skládání rychlostí. Relativistický výklad aberace světla hvězd a MICHELSON-MORLEYOVA pokusu. 4. Relativita času a prostoru. MINKOWSKÉHO čtyřrozměrný prostoročas, prostoročasový interval. Čtyřvektory, vlastní čas částice, čtyřrychlost.

5. Relativita událostí. Následné události, kvazisoučasné události. Geometrické znázornění MINKOWSKÉHO prostoročasu.

6. Relativita událostí. Relativnost současnosti bodových událostí, princip kauzality. Maximální rychlost signálu. 7. Relativistická dynamika. Invariance fyzikálních zákonů, kovariantní rovnice. Pohybová rovnice částice, MINKOWSKÉHO síla.

8. Relativistická dynamika. Čtyřhybnost, čtyřvektor energie-hybnosti. Relativistická a klidová hmotnost.

9. Relativistická dynamika. Klidová a celková energie částice. Síla v relativistické mechanice a její transformace. Nemechanické procesy.

10. Důsledky speciální teorie relativity. Klidová hmotnost a rychlost částice. Rozpad částice.

11. Důsledky speciální teorie relativity. Dokonale nepružná a dokonale pružná srážka částic.

12. Důsledky speciální teorie relativity. COMPTONŮV jev, ČERENKOVOVO záření. Relativistický DOPPLERŮV jev.

13. Několik slov o obecné teorii relativity.

DOPORUČENÁ LITERATURA SKLENÁK, L. Základy speciální teorie relativity. Studijní text KFY PřF OU, Ostrava 2004 SMÉKAL, P. Teorie relativity. Skriptum PdF Ostrava 1985 HORSKÝ, J. Úvod do teorie relativity. SNTL Praha 1975 TILLICH, J. Klasická mechanika. Skriptum PřF UP Olomouc 1973 HAVELKA, B., TILLICH, J.: Teorie relativity. Skriptum PřF UP Olomouc 1964 BARTUŠKA, K. Kapitoly ze speciální teorie relativity. SPN Praha 1989 VOTRUBA, V. Základy speciální teorie relativity. Academia Praha 1972 BRDIČKA, M., HLADÍK, A. Teoretická mechanika. Academia Praha 1987 KVASNICA, J. A KOL. Mechanika. Academia Praha 1988 FEYNMAN, R. P., aj. Feynmanove prednášky z fyziky, díl 1, 5. Alfa Bratislava 1980 MALÍŠEK, V. Co víte o dějinách fyziky. Horizont Praha 1986 EINSTEIN, A., INFELD, L. Fyzika jako dobrodružství poznání. Orbis Praha 1958 HALLIDAY, D., aj. Fyzika. Část 2. Brno: VUTIUM, Praha: PROMETHEUS 2000. ISBN 80-214-1868-0 (VUTIUM), ISBN 81-7196-213-9 (PROMETHEUS).

Základy speciální teorie relativity - 3 -

OBSAH Strana

1. EINSTEINOVY POSTULÁTY 5 1.1 Historické poznámky 5

1.1.1 Vývoj fyziky v 19. století 5 1.1.2 Aberace světla 6 1.1.3 FIZEAŮV pokus 7 1.1.4 MICHELSONŮV – MORLEYŮV pokus 8

1.2 Postuláty speciální teorie relativity 10

2. RELATIVITA ČASU A PROSTORU 11 2.1 LORENTZOVA transformace 11

2.1.1 Dilatace času 12 2.1.2 Relativistické skládání rychlostí 13 2.1.3 Speciální LORENTZOVA transformace 13 2.1.4 Kontrakce délky 14 2.1.5 Inverzní LORENTZOVA transformace 15 2.1.6 Obecná LORENTZOVA transformace 16 2.1.7 Zobecnění zákona o skládání rychlostí 16 2.1.8 Relativistický výklad aberace hvězd 17 2.1.9 Relativistický výklad MICHELSONOVA MORLEYOVA pokusu 18

2.2 MINKOWSKÉHO prostoročas 19 2.2.1 Prostoročasový interval 19 2.2.2 Čtyřvektory 20 2.2.3 Čtyřvektor rychlosti, vlastní čas 22

3. RELATIVITA UDÁLOSTÍ 25 3.1 Bodové události 25 3.1.1 Následné události 25 3.1.2 Kvazisoučasné události 27 3.1.3 Geometrické znázornění MINKOWSKÉHO prostoročasu 28 3.1.4 Relativnost současnosti 29 3.1.5 Princip kauzality, maximální rychlost signálu 31

4. RELATIVISTICKÁ DYNAMIKA 33 4.1 Invariance fyzikálních zákonů 33

4.2 Relativistická pohybová rovnice 34 4.2.1 Čtyřsíla 34 4.2.2 Relativistická hmotnost 36

4.3 Ekvivalence hmotnosti a energie 36 4.3.1 Čtyřvektor energie – hybnosti 38

4.4 Síla v relativistické mechanice 38 4.4.1 Transformace síly 39

4.5 Nemechanické procesy 42

5. NĚKTERÉ DŮSLEDKY SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY 43 5.1 Transformace energie 43

5.2 Klidová hmotnost a rychlost částic 44


5.3 Srážky částic 45 5.3.1 Dokonale nepružná srážka částic 45 5.3.2 Rozpad částice 48 5.3.3 Dokonale pružná srážka částic nenulové klidové hmotnosti 49 5.3.4 COMPTONŮV rozptyl 51

5.4 ČERENKOVOVO záření 53

5.5 Relativistický DOPPLERŮV jev 54

6. NĚKOLIK SLOV O OBECNÉ TEORII REALTIVITY 56

Základy speciální teorie relativity

- 5 -

1. EINSTEINOVY POSTULÁTY HISTORICKÉ POZNÁMKY, VÝVOJ FYZIKY V 19. STOLETÍ, ABERACE

SVĚTLA, STRHÁVACÍ EXPERIMENTY, EINSTEINOVY POSTULÁTY

1.1 HISTORICKÉ POZNÁMKY

Vznik speciální a posléze i obecné teorie relativity byl podmíněn historickou situací, k níž došlo ve fyzice ve druhé polovině 19.století. Tyto teorie – navždy spojené se jménem A. EINSTEINA – znamenaly pro fyziku nejen východisko ze slepé uličky, ale jsou také příkladem toho, jak je lidské poznání za příslušné situace schopno setřást a zavrhnout dogmata, s nimiž žilo a na nichž (a to nikoliv neúspěšně) stavělo stovky let. Historie vzniku speciální teorie relativity je velmi poučná a zajímavá i tím, že celá řada špičkových fyziků se dlouhou dobu snažila nejrůznějšími experimenty a spekulacemi dokázat nedokazatelné a právě negativní výsledky těchto experimentů přivodily pád do té doby „posvátných“ a nedotknutelných teorií a představ.

Vyslovení principu obecně platnějšího než GALILEIHO (mechanický) princip relativity pro inerciální vztažné soustavy bylo na přelomu 19. a 20. století již jen otázkou času (a osoby). Je nesporné, že řada „povolaných“ – jmenujme zde především HENRIHO JULESE POINCARÉHO a HENDRIKA ANTOONA LORENTZE – více než tušila nevyhnutelný pád postulátů o absolutním čase a prostoru. Obava z veřejného vyslovení těchto v té době „kacířských“ myšlenek je však zastavila na samotném prahu nové fyzikální epochy.

Tak se stalo, že roku 1905 se v sedmnáctém svazku věhlasného odborného periodika ANNALEN DER PHYSIK objevil třicetistránkový článek pod názvem „K elektrodynamice pohybujících se těles“, jehož autorem byl do té doby téměř neznámý fyzik ALBERT EINSTEIN. Článek byl mimořádný a pozoruhodný nejen svým obsahem, ale i tím, že v něm nebyly citovány žádné prameny a že se jeho pisatel neodvolával na žádné autority a zdroje. Styl článku byl velmi prostý a jeho značná část byla pochopitelná i bez náročnější matematické průpravy.

Uveřejnění tohoto článku znamenalo definitivní rozhodnutí o dalším vývoji fyziky a ve svých důsledcích umožnilo (kromě jiného) využití (i zneužití) jaderné energie. Ve spojení se souběžně se rozvíjející kvantovou teorií umožnilo průlom i v rozvoji poznání o mikrosktrukuře hmoty.

1.1.1 VÝVOJ FYZIKY V 19. STOLETÍ

Dominující fyzikální disciplinou během celého tohoto období byla (již téměř 200 let „stará“) NEWTONOVA mechanika zdokonalená EULEREM, LAPLACEM, LAGRANGEEM, BERNOULLIM, HAMILTONEM a dalšími velikány. Věci došly tak daleko, že axiomy mechaniky a použitelnost jejího na svou dobu dokonalého matematického formalismu byly kritériem pro správnost a platnost nových „nemechanických“ fyzikálních hypotéz a teorií v optice, elektřině, molekulové fyzice, termodynamice apod. Mechanika, považovaná za vrchol fyziky a popisu světa jak po stránce obsahové, tak i formální, ovlivnila také filosofii – mechanistický světový názor byl v tomto období (alespoň v intelektuálních kruzích) převládající.

Toto „království“ mechaniky začalo být vážně narušováno (jaksi „potají“ již před r. 1800, ale především v 19. století samém) zejména výsledky experimentů v optice a elektřině.

Optika, která je podstatně starší, než nauka o elektřině a magnetismu, se vyvíjela dosti autonomně a byla rovněž významně ovlivněna autoritou I. NEWTONA. I přes nesporný a ve své době velmi významný přínos (disperze, konstrukce zrcadlového dalekohledu apod.)


- 6 -

NEWTON svou premisou o korpuskulární (částicové) povaze světla uzavřel na dlouhou dobu diskuse, které započaly v době renesance po staletích nábožně uznávaných aristotelovských spekulací (i v této oblasti nelze nevzpomenout génia DA VINCIHO).

Již NEWTONŮV současník, holandský fyzik CHRISTIAN HUYGENS, vyslovil domněnku, že světlo je vlněním nevažitelné a blíže nedefinované substance – éteru. Autorita NEWTONOVA však byla obrovská a jeho emanační (výronová, korpuskulární, částicové) teorie světla proto na dlouhou dobu zvítězila nad undulační (vlnovou) teorií HUYGENSOVOU. Nové experimenty prokazující ohyb, interferenci a polarizaci světla (YOUNG, FRAUNHOFER, FRESNEL aj.) – tj. jevy typické pro vlnění – však stále více otřásaly představou o tom, že světlo je jen pouhým pohybem částic.

V polovině 19. století již nebylo pochybností o tom, že se světlo chová jako (příčné) vlnění. V zajetí mechanických představ si však fyzikové nedovedli představit šíření světla ve vakuu bez „nosiče“. Proto byl po staletích „oprášen“ HUYGENSŮV pojem éteru. Současně s tím byla představa klidného, nevažitelného a celý vesmír vyplňujícího éteru velmi lákavá – mohl totiž být ztotožněn s NEWTONOVÝM absolutním prostorem. Fyzikům se tak zdánlivě otevřela možnost určení absolutního pohybu těles vůči nehybnému éteru optickými metodami. Podstata všech experimentů, které byly k tomuto účelu konány, spočívala v použití klasického (a jak se později ukázalo v tomto případě principiálně nesprávného) mechanického předpokladu o skládání rychlosti pohybu světla s rychlostí pohybu jeho zdroje nebo pozorovatele.

Kromě diskusí o podstatě světla byl zájem fyziků zaměřen také na přesné určení rychlosti jeho šíření. Pokusy v tomto směru podnikl již GALILEI (1667). O. ROEMER v r. 1675 zjistil z astronomických pozorování zatmění jednoho z měsíců planety Jupiter, že světlo potřebuje k uražení dráhy rovné průměru trajektorie Země při jejím pohybu kolem Slunce asi 22 minut. Z těchto dat bylo možno stanovit rychlost světla (ve vakuu) jako asi

82,1 10 m s−⋅ ⋅ 1 . Četné další experimenty tento údaj postupně zpřesňovaly na dnes všeobecně přijímanou konvenčně pravou hodnotu

1299 792 458 m s (přesně)−⋅

Jedna z nejstarších nepřímých metod měření rychlosti světla vycházela z jevu, nazývaného

1.1.2 ABERACE SVĚTLA Tento jev (nazývaný česky odchylka světelného paprsku) zjistil poprvé v r. 1728 anglický astronom J. BRADLEY. Pozoroval, že stálice (hvězdy) opisují na obloze během roku velmi malé elipsy, jejichž hlavní poloosy jsou rovnoběžné s ekliptikou a mají nezávisle na vzdálenosti jednotlivých hvězd stejnou délku – přibl. 41′′ . Toto zjištění plynulo z během roku se měnící polohy optické osy jeho astronomického dalekohledu, vztažené na úhloměrnou stupnici pevně spojenou se Zemí při přesném zaměření stálice.

Při tehdejším výkladu tohoto jevu bylo nutno vyjít z konečné velikosti rychlosti světla, která se (klasicky) skládá s rychlostí pohybu Země kolem Slunce.

Vezměme jako rychlost světla ve vakuu hodnotu 83 10 m sc −= ⋅ ⋅ 1 . Rychlost Země vzhledem k Slunci je 4

Z 3 10 m s−= ⋅ ⋅v 1 . Při svém pohybu dalekohledem (obr. 1.1) musí světelný paprsek (foton) urazit dráhu cτ . Za stejný čas urazí dalekohled dráhu Zτv . Aby paprsek („tentýž“ foton) prošel středem objektivu i středem okuláru, musí být optická osa dalekohledu skloněna o určitý úhel, jehož hodnotu určíme ze vztahu 4

Ztg 10c −ε = =v ⇒ 20,5′′ε ≈ . Tato hodnota je tedy ve velmi dobrém souladu s experimentálně zjištěnou

hodnotou aberace.


- 7 -

Obr. 1.1

ε cτ

D

S

ZτvZvZv

τZvčerven prosinec

2ε S

D cτ

ε

1.1.3 FIZEAŮV POKUS Tento pokus, patřící mezi tzv. „strhávací“ experimenty, vycházel z představy, že rychlost světla v pohybujícím se látkovém prostředí (prostoupeném éterem) se skládá s rychlostí pohybu tohoto prostředí. Zároveň měl objasnit, nakolik je éter pohybujícím se látkovým prostředím strháván. Princip pokusu je patrný z obr. 1.2.

Jako pohybujícího se látkového prostředí použil FIZEAU (1851) vodu proudící trubicí T rychlostí 15 m s−= ⋅v .

Paprsek světla se po svém průchodu polopropustnou destičkou P pohybuje trubicí T před i po odraze na stěnách hranolu H souhlasným směrem jako voda. Rychlost paprsku má naopak v trubici vůči rychlosti proudící vody v směr opačný.

V době pokusu již bylo známo, že rychlost šíření světla 0u v klidné vodě

je menší než ve vakuu, takže absolutní index lomu klidné vody je

v

−v

T

Z H

+

Zd

P l

Int.

Obr. 1.2

10

0

4 225 000 km s3

cn uu

−= = ⇒ = ⋅ .

Podle FIZEAUOVÝCH předpokladů se v proudící vodě ( )v měla rychlost 0u světla zvětšit nebo zmenšit o celou rychlost v nebo o její část kv na hodnoty

: 1 0u u k= + : 2 0 k= − vu u ; 0 1k< ≤ ; v ;

k je tzv. strhávací koeficient, informující o tom, nakolik je éter proudící vodou strháván.

Rozdílná rychlost obou paprsků v trubici měla vést k jejich časovému posunutí t∆ v zorném poli interferometru Int.

22

2 2 2 20 0 0 0

2 2 4 4 4l l kl kl c klt nu k u k u c u c

∆ = − = = =− +

v v vv v

.

V důsledku toho, že ( ) , byl člen 2 20k <<v u ( ve jmenovateli zanedbán. )2kv

Vzhledem k předpokládanému časovému a tím i fázovému posunutí tedy byla očekávána interference paprsků a , pozorovatelná interferometrem Int . Interferenční proužky


- 8 -

byly skutečně zjištěny a zpětným výpočtem bylo pro strhávací koeficient k získáno vyjádření

2

11 .kn

= −

Pro rychlost u světla v proudící (a částečně éter strhávající) vodě tedy z výsledku pokusu dostáváme

0 2

11cu u kn n

= ± = ± −

v v .

Tento výsledek však přinášel velký a neřešitelný problém. Strhávací koeficient k by měl záviset na indexu lomu a index lomu přitom závisí na frekvenci světla (disperze). Pro přijetí tohoto vyjádření bychom proto museli vyslovit hypotézu o existenci nikoliv jediného, ale nekonečně mnoha éterů – pro každou barvu světla jiného. Vzhledem k této situaci nebylo možno uvedeným pokusem předpoklad o skládání rychlostí a o částečném strhávání éteru potvrdit.

Teprve později byl vznik skutečně pozorovaných interferenčních proužků při FIZEAUOVĚ pokusu vysvětlen chybou metody – zejména nemožností dokonalé adjustace celého zařízení. Ani četné další pokusy tohoto typu – další tzv.strhávací experimenty – nesplnily očekávání a fyzikové s napětím očekávali výsledky, které měl přinést

1.1.4 MICHELSONŮV – MORLEYŮV POKUS

V době, kterou popisujeme, se zdála fyzikálně zcela správnou (mechanická) představa, že rychlost světla šířícího se klidným éterem je závislá na rychlosti a směru pohybu pozorovatele. O svém (absolutním) pohybovém stavu vůči klidnému éteru by tedy pozorovatel mohl rozhodnout podle jím naměřené rychlosti světla. Z této úvahy vyšel americký fyzik ALBERT ABRAHAM MICHELSON (1852 – 1931) a pokusil se porovnat časové intervaly, v nichž světlo urazí dvě stejné dráhy různě orientované vzhledem k pohybu Země klidným éterem. Experimentální uspořádání jeho pokusu bylo principiálně jednoduché a důmyslné (obr. 1.3).

Zv Z′

L2

Obr. 1.3

Ζ

Z2

Int.

L1

L2

Z

Z2

Z1

Zd

Světlo vychází ze zdroje Zd a polopropustným zrcadlem Z je rozděleno na dva navzájem kolmé paprsky, které spolu po odrazu na zrcadlech 1Z , 2Z interferují v zorném poli interferometru Int. .


- 9 -

Předpokládejme, že rameno 11 ZZL = leží ve směru pohybu Země vzhledem k éteru. Čas,

za který světelný paprsek urazí dráhu 1ZZ Z , by tedy měl být

( )1 1 1 1

1 2 2ZZ Z2

2 2111

L L L Lt

c c c c βc

= + = =− + −−

vv v.

Celé zařízení se pohybuje spolu se Zemí a druhý paprsek se proto pohybuje po dráze

2ZZ Z′ . Ćas k tomu potřebný dostaneme použitím PYTHAGOROVY věty jako 2 2

2 Z 2 2 22 2 2

22 2 1t ct LL t

c + = ⇒ = − β

v .

Časový rozdíl mezi oběma paprsky bude tedy

( ) 2 12 1 21 2

211

L Lt t t

c

∆ = − = −

− β− β .

Otočíme-li celé zařízení o 90 , je ve směru pohybu Země rameno 2L a analogickým výpočtem získáme časový rozdíl obou paprsků jako

( ) 2 122 2

21 1

L Lt

c

∆ = − −β −β

.

Při otočení celého zařízení by tedy mělo dojít k posunutí interferenčních proužků, odpovídajícímu časovému rozdílu

( ) ( ) ( )1 2 22 1 2

2 11 1

t t t L Lc

∆ = ∆ − ∆ = + − −β −β

1 1 2 2L Lc+

≈ β .

Z optiky bylo známo, že k posunutí o jeden interferometrický proužek dojde tehdy, je-li časový rozdíl t∆ paprsků řádu cλ . Má-li být t∆ ≈ λ c , musí platit 2

1 2L L+ ≈ λ β , což při

předpokládaných hodnotách 410 ; 5.10 m−β ≈ λ ≈ 7− vyžadovalo, aby 1 2 50 mL L+ ≈ . Tuto podmínku bylo možno splnit vícenásobnými odrazy paprsků na zrcadlech.

První série pokusů konaných MICHELSONEM v r. 1881 v Postupimi byla nepoužitelná, neboť předpokládaný interferenční posun byl v mezích chyby měření (deformace při otáčení zařízení, vibrace apod.). Dostatečnou přesnost měla až druhá série pokusů, konaných společně s americkým chemikem E.MORLEYM v Clevelandu (1887). K překvapení experimentátorů i napjaté fyzikální veřejnosti však ani při opakování pokusu nedošlo k žádnému posunutí interferenčních proužků.

Pro vysvětlení negativního výsledku MICHELSONOVA – MORLEYOVA pokusu (i dalších důmyslných experimentů podobného typu) byla vymyšlena a „zkonstruována“ řada hypotéz. Žádná z nich však neobstála před seriózními fyzikálními argumenty a bylo nutno je neustále „obohacovat“ o další, později vždy napadnutelné předpoklady.

Po formální stránce byli vysvětlení negativního výsledku MICHELSONOVA – MORLEYOVA pokusu velmi blízko zejména holandský fyzik LORENTZ a Francouz POINCARÉ. Nejen oni, ale i řada dalších fyziků tušila podstatu problému, žádný z nich se však neodhodlal naplno ji vyslovit.


- 10 -

Po všech stránkách vyhovující řešení i vysvětlení celého problému proto podal teprve 26 letý a ve fyzikálních kruzích téměř neznámý zaměstnanec patentního úřadu v Bernu ALBERT EINSTEIN v r. 1905. Jeho teorie, postavená na dvou základních postulátech, byla nazvána speciální teorie relativity.

1.2 POSTULÁTY SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY

Hluboká analýza tehdejších představ o prostoru a čase, která přivedla A.EINSTEINA k jeho výsledkům, vyvolala obrovský otřes nejen ve fyzice, ale i ve filosofii. EINSTEIN navždy „pohřbil“ hypotézu absolutního času a prostoru a dospěl k závěru, že principiálně

není možné fyzikálními prostředky od sebe odlišit žádné dvě různé inerciální soustavy.

1. postulát STR – EINSTEINŮV princip relativity

Pro formulaci všech fyzikálních zákonů jsou všechny inerciální soustavy ekvivalentní

2. postulát STR – princip konstantní rychlosti světla

Světelné signály se šíří v prázdném prostoru přímočaře konstantní rychlostí c ve všech časech, ve všech směrech a ve

všech inerciálních soustavách; rychlost světla nezávisí na pohybu zdroje nebo pozorovatele.


2. RELATIVITA ČASU A PROSTORU DILATACE ČASU, LORENTZOVA TRANSFORMACE, KONTRAKCE DÉLKY.

RELATIVISTICKÉ SKLÁDÁNÍ RYCHLOSTÍ, MINKOWSKÉHO ČTYŘROZMĚRNÝ PROSTOROČAS, ČTYŘVEKTORY

2.1 LORENTZOVA TRANSFORMACE

Uvažujme dva pozorovatele A a B (ve vakuu) pevně spojené se souřadnicovými soustavami. Pozorovatel A je spojen s klidnou inerciální soustavou S , pozorovatel B pak se soustavou S ′ , která se vůči soustavě S pohybuje konstantní rychlostí v .

Oba pozorovatelé jsou vybaveni stejnými hodinami ( A t≈ ; B t≈ ), které si v okamžiku setkání seřídí na údaj 0t t′= = . Celou další situaci můžeme geometricky znázornit následujícím způsobem (obr. 2.1).

tv

)c=v

vtc

0 l (B)

(A)

Obr. 2.1 0 l

τ (A) ((B)

ε

Na svislou osu nanášíme délku ctτ = ( c je rychlost světla v daném izotropním prostředí), která je přímo úměrná chodu hodin pozorovatele A , na vodorovnou osu pak vzdálenost pozorovatelů l =v t . Pro úhel ε platí tg cε =v .

Pro pohyb světelného signálu (fotonu) rychlostí c směrem vpravo od (klidného) pozorovatele A je zřejmě

max 45c= ⇒ ε =v ,

čemuž odpovídá čárkovaná polopřímka na obr. 2.1. Pozorovateli B , jehož rychlost v je menší než c , přísluší tedy pouze světlejší sektor ( )45ε < .

Pozorovatel A vysílá v okamžicích , 2 , 3 ,T T T … na svých hodinách světelné

signály („pátrací“ fotony) směrem k pozorovateli B .

Pozorovatel B přijímá tyto signály podle svých hodin v okamžicích , 2 , 3 ,T′ ′ ′ …T T .

Z obr. 2.2 je zřejmé, že časový údaj, odečítaný na hodinách pozorovatele B , je úměrný údaji na hodinách pozorovatele A ⇒ T . kT′ =

2 32 3

T T T kT T T

′ ′ ′= = = =

T ′

2T ′

3T ′c=v

Obr. 2.2

τ

•

•

•

•

•

•

T

2T

3T

l 0

(B) (A)

Součinitel úměrnosti – koeficient " – je funkcí rychlosti "k v pozorovatele B vzhledem k pozorovateli A . Najdeme nyní explicitně závislost k ≈v .


Světelný signál (foton) vyslaný pozorovatelem A v okamžiku T je přijat pozorovatelem B v okamžiku T kT′ = a okamžitě vrácen (odražen) k pozorovateli A , který jej přijme v okamžiku 2T k′′ ′= =T k (obr. 2.3) T

Okamžik přijetí signálu pozorovatelem je z hlediska pozorovatele A roven

B(A)

′

T ′′

tv

Obr. 2.3

0 l

t

• T

• T

•

•

τ (B) ( )

221 1

2k Tt T k= +

2 2T T T′′+ +

= = .

Pozorovatel B je v okamžiku t od pozorovatele A vzdálen

( )21 12

t T k= +v v .

Světelný signál (foton) potřebuje k uražení této vzdálenosti (podle pozorovatele A ) dobu

( ) ( )2 21 11 12 2

T T k− = −t T T k− = + ,

a podle pozorovatele A musí být vzdálenosti tv a (c t T− ) stejné ⇒

( ) ( )2 2 2 21 11 12 2

T k c T k k ck c+ = − ⇒ + = − ⇒v v v

ABck kc

+= =

−vv

2.1.1 DILATACE ČASU Zkoumejme nyní souvislost mezi údaji hodin, které témuž ději přiřazují oba pozorovatelé. Vyjdeme přitom opět z obr. 2.3.

Přijetí signálu pozorovatelem B nastává podle pozorovatele A v okamžiku t , podle pozorovatele B v okamžiku T . Pro podíl kT′ = t T ′ dostáváme ( )c = βv

( )22

2 2

1 11 1 1 122 2

cT kt k tcT kT k Tc c

c

+ ++ + −= = = ⇒ =′ ′+ −

−

vvv vv

c⇒

2 2

211

T Tt

c

′ ′′= = ⇒

−β−v

t T> (2.1)

což je vztah pro dilataci (prodloužení) času v pohybující se (inerciální) soustavě S′ , pozorovanou pozorovatelem A pevně spojeným se soustavou S , vůči níž se soustava S′ pohybuje rychlostí konst.=v Upozorněme již na tomto místě, že písmeno β bude v dalším zásadně používáno pro poměr cv , v němž v je (konstantní) rychlost soustavy S′ vůči soustavě S . Zároveň uveďme, relativistické vztahy musí v limitním přechodu cv , tj. pro 0β → , přejít v nerelativistické vztahy klasické newtonovské mechaniky.


2.1.2 RELATIVISTICKÉ SKLÁDÁNÍ RYCHLOSTÍ K odvození relativistického vztahu pro skládání rychlostí připojíme k pozorovatelům A a B ještě dalšího pozorovatele C , který se pro jednoduchost pohybuje ve směru souhlasném s pohybem pozorovatele B rychlostí u′ vzhledem k pozorovateli B a rychlostí u vzhledem k pozorovateli A – obr.2.4.

Rychlost B vzhledem k A je v ; Rychlost C vzhledem k B je u′ ; u . ′ ↑↑v

Rychlost C vzhledem k A je u .

A T≈ ABB T k T′≈ = BCC T k T′′ ′≈ =

ACC T k T′′≈ =

A T≈

AC BC BC ABT k T k T k k T′′ ′= = = ⇒ AC AB BCk k k= ;

τ

v

u′

′

′′

A

B

Au

C vzhledem k

C vzhledem k

B vzhledem k

Obr. 2.4

0

•T

(B) (C) (A)

T•

T•

l

AB BCk k= =vv AC; ;c c u c uk

c c u c u′+ + +

=′− − −

.

AC AB BCc uk k kc u

= ⇒c c uc c u

′+ + += ⇒

′− − −vv

21

uu uc

′ += ′

+

vv (2.2)

Obdrželi jsme relativistický zákon pro skládání rychlostí. Připomeňme, že podle klasické „předeinsteinovské“ mechaniky by v tomto jednoduchém případě skládaných paralelních rychlostí u′ a v platil (limitní) vztah u u . ′= +v

2.1.3 SPECIÁLNÍ LORENTZOVA TRANSFORMACE

Zvolme nyní kartézskou soustavu souřadnic tak, že osu l ztotožníme s první souřadnicovou osou ( )i↑↑0 ;l x≡ vobr. 2.5.

–

1T

2T

2′

3T

4T

T

τ (A)

(B)

l ≡ x

P P0

0

t

Obr. 2.5

•

•

•

• • • •

•

•

1′T

Pozorovatel A chce „ohmatat“ náhodně zvolený bod P světelným signálem (fotonem), který vyšle v okamžiku 1T . Tento signál (foton) je pozorovatelem B zaregistrován v okamžiku

1T kT′= 1 . V bodě P se signál (foton) odráží a vrací zpět k pozorovateli A . Vracející se signál (foton) zaregistruje pozorovatel v okamžiku 2T ′ a pozorovatel A v okamžiku

2 2T kT ′=

B

.


Pozorovatel A na základě údajů svých hodin přiřadí bodu P následující prostorovou a časovou souřadnici

2 1 1;2 2

T T T Tx c t−= = (2.3) 2+ .

Pozorovatel B určí na základě údajů na svých hodinách prostorovou a časovou polohu bodu P souřadnicemi

2 1 2 1;2 2

T T T Tx c t′ ′ ′ ′− +′ ′= = ⇒ 2 1 2 1

2 ; 2x T T tc

′′ ′ ′ ′ ′− = + = ⇒T T

1 2;xT t T tc c′ ′

′ ′ ′ ′= − = +x ; (2.4)

11 1 1 2 2;TT kT T T kT

k′

′ ′= ⇒ = =1 1

2 2;

2 2

T TkT kTk kx c t

′ ′′ ′− +

= = ⇒ → (2.3) ⇒

1 12 2

2 ; 2T x TkT kT tk c k

′ ′′ ′− = + = 1 2;kx t xt T

c k′ ′= − = +T k ; (2.5) ⇒

kc

(2.4) , (2.5) ⇒ ;x k x x tt kt tc c c k′ ′

′ ′− = − + = +x

kc.

1. x′ ⇒ 2x t x kk tc k kc c

′= + − +

x ⇒ 2

21

x tx

c

−′ =

−

vv

;

2. t ⇒ ′ 2 ⇒ t x kt k tk kc c

′ = + + −x 2

2

21

t xc

c

−′ =

−

v

vt .

Speciální LORENTZOVA transformace souřadnic při přechodu mezi dvěma inerciálními soustavami S a S , které se vůči sobě pohybují konstantn í) rychlostí ′ í (relativn

konst.=v , rovnoběžnou se souřadnicovými osami 0x , 0 x′ ′ ( )i i′↑↑ ↑↑v , má tvar

2

2 2

2 2

; ; ;1 1

t xx t cx y y z z t

c c

−−′ ′ ′ ′= = = =

− −

vvv v

(2.6)

2.1.4 KONTRAKCE DÉLKY

Vraťme se znovu k obr. 2.5. Předpokládejme, že body P a 0P představují (okamžité) polohy začátku a konce pravítka, které se pohybuje s pozorovatelem B . Tyto polohy určí pozorovatel A tak, že vyšle signály v okamžicích 1 3,TT a odražené je přijme v okamžicích

2 4,T T . Proces měření poloh obou konců pravítka musí (při jeho pohybu) z hlediska pozorovatele A proběhnout v jediném okamžiku

( ) ( ) 21 2 3 4 4

1 12 2

t T T T T T k= + = + ∧ = (2.7) 3T .


Signál vyslaný pozorovatelem A v okamžiku 1T zaregistruje pozorovatel B v okamžiku

1T kT′= 1 , signál odražený od P pak v okamžiku 2 2T T′ = k . Délku pravítka určí pozorovatel ( )B jako (vzhledem k němu stálou) souřadnici bodu P

(2 1

22 1P B 2 1

1

2 2 2

T kTT T ckx l c c T k Tk

−′ ′−′ = = = = − ) . (2.8)

Pozorovatel A určí délku měřítka pomocí (okamžitých) souřadnic jeho koncových bodů

0

4 3 2P P;

2 2T T T Tx c x c− −

= = 1

jako

( ) ( ) ( ) (0

2A P P 2 1 4 3 2 1 3 1

2 2c cl x x T T T T T T T k = − = − − − = − − − ) . (2.9)

(2.7) ⇒ 2 1 21 2 3 3 3 2 1

T TT T T k T Tk

++ = + ⇒ = →

+ (2.9) ⇒

( ) ( )21 2A 2 1 2 1

2 1c T Tl T T k

k+ = − − − +

⇒ ( 2A 22 1

c Tk

= −+

)1k Tl ; (2.10)

(2.8) ⇒ 2 B2 1

2klT k Tc

− = (2.10) ⇒ →

22

A B B A B21 1l l l l lc

= − = −β ⇒ <v

(2.11)

Pravítko pohybující se s pozorovatelem B se tedy pozorovateli A jeví kratší než pozorovateli B – dochází ke (v klidné soustavě pozorované) kontrakci (zkrácení) délky (rozměru) tělesa ve směru jeho pohybu.

2.1.5 INVERZNÍ LORENTZOVA TRANSFORMACE

Speciální LORENTZOVA transformace pro přechod z klidné inerciální soustavy S do (čárkované) inerciální soustavy S′ pohybující se vůči soustavě S rychlostí ( );0;0v v má tvar [(2.6)]

2

21

x tx

c

−′ =

−

vv

; y y′ = ; z z′ = ; 2

2

21

t xct

c

−′ =

−

v

v.

Inverzní LORENTZOVU transformaci pro přechod do soustavy S dostaneme, když v předchozích vztazích zaměníme veličiny čárkované za nečárkované a vezmeme v úvahu, že soustava

S se vůči soustavě S pohybuje rychlostí ′ ( ;0;0− −v v ) . Dostáváme tedy

2

2 2

2 2

; ; ;1 1

t xx t cx y y z z t

c c

′ ′+′ ′+ ′ ′= = = =

− −

vvv v

(2.12)


Položme c = βv a ( ) ( )1 2 1 22 2 21 1c− −

− = − β = γv . LORENTZOVU transformaci (2.6) pak můžeme zapsat jako

( ) ( ); ; ;x x ct y y z z t t x′ ′ ′ ′= γ − β = = = γ − β c .

Inverzní LORENTZOVA transformace má tvar

( ) ( ); ; ;x x c t y y z z t t x′ ′ ′ ′ ′ ′= γ + β = = = γ + β c .

2.1.6 OBECNÁ LORENTZOVA TRANSFORMACE Jde o LORENTZOVU transformaci mezi inerciálními soustavami S a S v případě, že ′ S′ se vzhled

pohybuje obecným směrem rychlostí konst.=v (vektory v a i jsou obecně různoběžné).

em kS

Polohový vektor r libovolného bodu rozložíme na složku r⊥ kolmou k vektoru rychlosti v a na složku r s vektorem v rovnoběžnou (obr. 2.6). Platí

cos cor r r= α = s r rr⋅ ⋅α = ⇒ = ⇒

v v v vv v v v

( )2

rr

⋅=

v vv

; r r r⊥ = − ⇒( )

2

rr r⊥

⋅= −

v vv

; r r r⊥= + ⇒

( ) ( )2

r rr r

⋅ ⋅ = + −

v v v vv v 2 (2.13)

Při přechodu do soustavy S′ se složka r⊥ nemění a složka r se transformuje jako

souřadnice x , takže ( ) 1 22; 1c− = β − β = γ

v

( ) ( )2 22

2

1

1

r rr t r

c

⋅ ⋅ ′ = − + −

−

v v v vv

v vv

; ( )2 22

2

1

1

rc

c

⋅ ′ = − ⋅

−

v vvvv

t t ⇒

( ) ( )2 21 ;

r rr r t t tc

⋅ ⋅ ′ = + γ − − γ = γ −

v v vvv

′

(2.14)

Inverzní obecnou LORENTZOVU tran chom opět získali záměnou čárkovaných a nečárkovaných veličin a položením

sformaci by′ = −v v .

2.1.7 ZOBECNĚNÍ ZÁKONA PRO SKLÁDÁNÍ RYCHLOSTÍ

Vztah (2.2) ( ) ( )21u u u c′ ′= + +v v skládání rychlostí byl odvozen pro speciální případ, kdy pozorovatel C (nebo část hledem k soustavě ice) se vz S pohybuje stejným směrem jako soustava S′ ( )u i i′ ′↑↑ ↑↑ ↑↑ ↑↑v

pro

u .

α

Obr. 2.6

rr⊥

r

( )0 S

( )S′v


Budeme i nadále předpokládat stejný pohyb soustavy S′ vzhledem k S konstantní rychlostí ( ;0;0)v v , pozorovatel ( )C nebo částice však bude v tomto případě mít rychlost zcela obecného směru, určenou

v soustavě S vektorem ( )d d d, , , ,d d d x y zx y zu u ut t t

=

u u ,

v soustavě S vektorem′ ( )d d d, , , ,d d d x y zx y zu u ut t t′ ′ ′ ′ ′ ′= ′ ′ ′

u Su′ ′ .

Z inverzní (speciální) LORENTZOVY transformace dostáváme

2

2 2

2 2

d dd dd ; d d ; d d ; d1 1

t xx t cx y y z z t

c c

′ ′+′ ′+ ′ ′= = = =

− −

vvv v

.

Složky vektoru u rychlosti částice v soustavě S pak určíme pomocí složek vektoru u′ v soustavě S jako ′

2

2

2

22

1d d dd d d1

xx x t cut t x

cc

−′ ′+= = ⇒

′ ′+−

vv

vv

21x

x

x

u

uc

′ +=

′+

vvu ;

2

2

2

1d dd d d

yy cu yt t x

c

−′= = ⇒

′ ′+

v

v

2

2

2

1

1y y

x

cu uu

c

−′=

′+

v

v ;

2

2

2

1d dd d d

zz cu zt t x

c

−′= = ⇒

′ ′+

v

v

2

2

2

1

1z z

x

c

uc

−′=

′+

v

vu u ⇒

2 2

2 2

2 2

1 1; ;

1 1 1x

x y y z z

x x

u c cu u u u uu u

c c

− −′ + ′ ′= = =′ ′+ +

v vv

v v2 xu

c′+ v (2.15)

Položíme-li ;x x y y z zu u u u u u u u′ ′ ′ ′= = ∧ = = = 0= , dostaneme ze vztahu (2.15) již dříve

odvozený vztah (2.2) ( ) ( )21u u u c′ ′= + +v v pro ( )u i ′↑↑ ↑↑ ↑↑v u .

2.1.8 RELATIVISTICKÝ VÝKLAD ABERACE SVĚTLA HVĚZD

S - klidná soustava spojená s hvězdou S soustava spojená se Zemí, která se vzhledem k ′S pohybuje rychlostí v ( Z iv ) – obr. 2.7.

,

Nechť 0t = je okamžik, v němž světelný signál z hvězdy H dorazí právě do počátku 0 klidné soustavy S . V soustavě S má tedy zdroj signálu (hvězda) tyto prostorové a časové souřadnice: cos ; sin ;x r y r t r c= α = α = − (znaménko mínus u časové souřadnice vyjadřuje skutečnost, že světlo bylo hvězdou vysláno před okamžikem 0=t ).


x

r

x′

x,x´

Zv

Obr. 2.7 ε

α´ α

0´ 0

H

Při přechodu do pohybující se soustavy S použijeme LT a dostáváme ′

( ) Zcos ; sinrx x t r y y rc

′ ′= γ − = γ α + = = α

v v .

Z obr. 2.7 je dále zřejmé, že 2

Z

ZZ

1 sinsintg ;coscos

y rrx cr

cc

′ − ββ′α = = = β =′ α +γ α +

vv

v

α.

Vzhledem k použití LORENTZOVY transformace je toto již relativistický vztah pro aberaci při libovolné poloze hvězdy v soustavě S ( )α . Položíme-li v tomto vztahu 2α = π

(hvězda je v severním světovém pólu) a 2π′ α − ε = − εα = , dostaneme

sincos2tg tg cotg

2 sincos2

π − ε π ε ′α = − ε = = = ε ⇒ π ε − ε

Z

2

cos1 1 2tgcotg tg 1 sin

2

cπ

+ε = = == ⇒

π′ε α −β

v

Z2

tg1c

ε =−β

v .

Při pohybu Země kolem Slunce je 410−β ≈ . Vzhledem k přesnosti astronomických měření je proto možno položit

Z Z2

tg1 cc

ε = =−β

v v

a obdržet tak „klasický“ výraz, používaný pro výklad aberace světla stálic v době před vznikem speciální teorie relativity.

2.1.9 RELATIVISTICKÝ VÝKLAD MICHELSON – MORLEYOVA POKUSU

Z hlediska soustavy S′ (Země), s níž se celé zařízení pohybuje, je vysvětlení negativního výsledku pokusu jednoduché. Předpokládejme pro jednoduchost, že 1L L= 2 (obr. 1.3) Vzhledem k principu konstantní rychlosti světla se světlo šíří ve směru 1ZZ stejnou


rychlostí jako ve směru 2ZZ . Uvažované dráhy urazí tedy světelné paprsky za stejnou

ka s

dobu a nemůže proto dojít k jejich fázovému posunutí.

Z hledis oustavy S (Slunce), vůči níž se soustava S′ pohybuje rychlostí

Z konst.= =v v , musíme vzít v úvahu kontrakci délky 1 1ZZ L= v , takže ve vztahu

( )21 12 1t L c= − β je nutno psát 2

1 1L −β místo 1L ⇒

21 1

1 2 2

2 1 21 11 1

L Lt

c c− β

= =− β − β

.

Pro 1L L= 2 (v soustavě S ) je toto vyjádření času (v soustavě ′ S ) shodné s časem 2t , takže 0t∆ = a jakékoliv očekávané posunutí interferenčních proužků je tedy neopodstatněné.

2.2 MINKOWSKÉHO PROSTOROČAS

V roce 1907, dva roky po publikování základů speciální teorie relativity, zavedl německý matematický fyzik HERMANN MINKOWSKI (1864 – 1909) pojem čtyřrozměrného prostoročasového kontinua umožňující novou formu zápisu veličin a fyzikálních zákonů ve čtyřsouřadnicovém (čtyřsložkovém ) tvaru.

MINKOWSKÉHO prostoročas umožnil zajímavou geometrickou interpretaci LORENTZOVY transformace a vybudování matematického aparátu, díky němuž se speciální teorie relativity stala velmi přehlednou. MINKOWSKI poukázal na to, že

Prostorové a časové údaje jsou vzájemně neoddělitelné a provázané. Každá událost musí tedy být popsána třemi prostorovými a jednou časovou souřadnicí. Těmito čtyřmi

souřadnicemi ( )1 2 3 4, , ,x x x x je jednoznačně určen bod (světobod , bodová událost) v abstraktním čtyřrozměrném prostoru – tzv.

MINKOWSKÉHO PROSTOROČASE 4M .

Pro zachování stejného rozměru všech čtyř souřadnic ( 1 2 3 4, , ,x x x x ) má časová souřadnice tvar 4 ix c= t ( i je imaginární jednotka a c je rychlost světla ve vakuu).

i t

Podle MINKOWSKÉHO je tedy svět čtyřrozměrným souborem bodů – bodových událostí, světobodů – o prostoročasových souřadnicích

1 2 3 4, , ,x x x y x z x c= = = = (2.16)

Přítomnost imaginární jednotky ve vyjádření čtvrté souřadnice (ortogonálnost imaginární a reálné číselné osy) umožňuje použít formální analogii s třírozměrnou euklidovskou geometrií (říkáme proto, že MINKOWSKÉHO prostoročas je pseudoeuklidovský).

2.2.1 PROSTOROČASOVÝ INTERVAL Uvažujme dvě bodové události 1 a 2 o prostoročasových souřadnicích

1 : ( ) , 2 : ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 11 2 3 4 1 1 1 1, , , , , , ix x x x x y z ct= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

1 2 3 4 2 2 2 2, , , , , , ix x x x x y z ct=


Analogie s třírozměrnou euklidovskou geometrií můžeme použít k zavedení metriky čtyřrozměrného prostoročasu 4M vztahem

)2

( ) ( ) ( ) (( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2 2 22 212 2 1 2 1 2 1 2 1

2 1 2 1212 ; 1,2,3,4

s x x y y z z c t t

s x x x xµ µ µ µ

= − + − + − − −

= − − µ =, (2.17)

definujícím tzv. prostoročasový interval 12s mezi dvěma bodovými událostmi 1, 2

Abychom při použití EINSTEINOVA sčítacího pravidla formálně odlišili abstraktní čtyřrozměrný prostoročas 4M od reálného třírozměrného euklidovského prostoru 3E , používáme v 4M pro označení indexu proměnného v hodnotách 1,2,3,4 malá písmena řecké abecedy.

Uplatníme-li ve vyjádření (2.17) (pro jednoduchost speciální) LORENTZOVU transformaci, dostaneme (proveďte důkaz)

( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 212 2 1 2 1 2 1 2 1s x x y y z z c t t= − + − + − − − 2 =

2′( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 222 1 2 1 2 1 2 1 1x x y y z z c t t s′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= − + − + − − − = 2 ⇒ 2

12 12s s′= 2 ⇒

Prostoročasový interval

( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 212 2 1 2 1 2 1 2 1s x x y y z z c t t= − + − + − − − 2 =

( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 1 2 1 ; 1, 2, 3,x x x xµ µ µ µ= − − µ = 4

dvou bodových událostí ve čtyřrozměrném prostoročase je invariantem LORENTZOVY transformace ( )2 2

12 12s s′= .

Invariantem LORENTZOVY transformace je i elementární posunutí (d ds xµ 4M –infinitesimální interval mezi dvěma (prostorově i časově !!) nekonečně blízkými bodovými událostmi. Elementární posunutí ( )d ds xµ v 4M vyjadřujeme opět kvadrátem

) v

2 2 2 2 2 2d d d d d d d ; 1, 2, 3,s x x x y z c tµ µ= = + + − µ = 4 . (2.18)

Připomeňme, že v nerelativistické mechanice jsou výrazy 2 2x y z+ + resp. 2 2d d dx y+ + 2t , resp. 2dt , samy o sobě invarianty GALILEIHO transformace. Ve

speciální teorii relativity tyto výrazy invariantnost – tj. neměnnost vůči LORENTZOVĚ transformaci – ztrácejí a invariantem vůči LORENTZOVĚ transformaci je teprve jejich spojení do jediného výrazu ve tvaru 2 2 2 2x y z c t+ + − 2 , resp. 2 2 2 2d dx 2d dy z c t+ + − .

2 , 2z a

2.2.2 ČTYŘVEKTORY Dosadíme-li prostoročasové souřadnice (2.16) do speciální LORENTZOVY transformace

( ) 1 22, 1c− = β − β = γ

v

2 2; ; ;

1 1x c t t xx y y z z t−β −β′ ′ ′ ′= = = =

−β −β

c ,

dostaneme ( )4 4 4i i , it x c x c t x c′ ′= = − =


1 4 41 2 2 3 3 42 2

i i; ; ;1 1

x x xx x x x x x+ β − β′ ′ ′ ′= = = =−β −β

1x . (2.19)

Zaveďme imaginární úhel ϕ vztahy

( ) ( )2 2

1 icos ; sin i1 1

βϕ = = γ ϕ = = βγ

− β − β.

Speciální LORENTZOVA transformace pak nabývá tvaru

1 1 4

2 2

3 3

4 1 4

cos sin ,,,sin cos .

x x xx xx xx x x

′ = ϕ +′ =′ =′ = − ϕ + ϕ

ϕ

(2.20)

Výrazy (2.20) jsou transformačními vztahy pro otočení soustavy souřadnic v rovině 1 40x x o úhel ϕ . Přechodu z inerciální soustavy S do inerciální soustavy S′ , která se vůči soustavě S pohybuje rychlostí konst.=v ve směru osy 10 0x x≡ ( i↑↑v ) v 3E , tedy v

4M odpovídá otočení o úhel ϕ v rovině 1 40x x ; pro úhel ϕ platí tg iϕ = β .

Příkladem matematického zjednodušení při zavedení čtvrté imaginární souřadnice a imaginárního úhlu ϕ je odvození EINSTEINOVA vztahu pro skládání rychlostí.

Soustava S se vůči klidné soustavě ′ S pohybuje rychlostí konst.=v ( i↑↑v ). Částice má vůči soustavě S′ rychlost u′ , u′ ↑↑ i′ ⇒ u′ ↑↑v . Jak bylo odvozeno již dříve [vztah (2.2)], je složka u vektoru u rychlosti částice vzhledem k soustavě S dána vztahem

21

uu uc

′ += ′

+

vv .

K tomuto vztahu můžeme dojít ve čtyřrozměrném prostoročase 4M jednoduchou úvahou i výpočtem. Transformaci z S do S přiřadíme (imaginární) úhel otočení ′ 1ϕ ; 1tg i cϕ = v .

Transformaci ze soustavy S′ do soustavy S′′ , pevně spojené s pohybující se částicí přiřadíme (imaginární) úhel otočení 2ϕ ; 2tg iu c′ϕ = .

Přímou transformaci ze soustavy S do soustavy S′′ pak lze složit z obou dílčích předchozích transformací, takže jí náleží imaginární úhel otočení 1ϕ = ϕ + ϕ2 . Platí tedy S S S S S S→ ′′ = → ′+ ′ → ′′ ⇒

( ) 1 21 2 1 2

1 2

i ttg tg tg1 tg tg

uc

ϕ + ϕϕ = ∧ ϕ = ϕ + ϕ ⇒ ϕ = ϕ + ϕ = ⇒

− ϕ ϕg tg

2

i ii

1

uu c c

ucc

′+

= ⇒′+

v

v 21

uu uc

′ += ′

+

vv .

S odvoláním na poznatky o transformaci kartézských tenzorů můžeme transformaci souřadnic ve čtyřrozměrném prostoročase 4M vyjádřit maticí, jejímiž prvky jsou směrové


kosiny úhlů, svíraných příslušnými čárkovanými a nečárkovanými osami soustavy souřadnic. Speciální LORENTZOVĚ transformaci (2.19), resp. (2.20) tedy odpovídá matice

0 0 i0 1 0 00 0 1 0i 0 0

γ β

− βγ γ

γ

. (2.21)

Jednoduchým výpočtem se můžeme přesvědčit, že prvky této matice (i matice obecné LORENTZOVY transformace) splňují relace ortogonality a a . µν µλ νλ= δ

Vzhledem k této i dalším analogiím s euklidovským prostorem ( 3E ) nám MINKOWSKÉHO formalismus dává možnost rozšířit definici tenzorů i do čtyřrozměrného prostoročasu 4M .

Složkami čtyřvektoru Aµ – (čtyř)tenzoru 1.řádu v 4M – nazýváme 4 veličiny, které se transformují podle zákona A a Aµ µν′ = ν

Rozepíšeme-li tento vztah pro transformaci danou maticí (2.21), dostaneme (z jejích řádků) ( ) (1 1 4 2 2 3 3 4 1i ; ; ; iA A A A A A A A A A′ ′ ′ ′= γ + β = = = γ − β + (2.22) )4 .

Definice (čtyř)tenzorů vyšších řádů v 4M je analogická definici těchto kartézských tenzorů v 3E .

Čtyřvektor xµ polohy

o složkách 1x x= , 2x y= , 3x z= , 4 ix c= t je analogií polohového vektoru a charakterizuje polohu bodové události v 4M vzhledem k soustavě S . Pohybuje-li se částice v 3E po nějaké reálné trajektorii, pohybuje se bod (bodová událost) odpovídající této částici v 4M po tzv. světočáře. Světočárou částice, která je vzhledem k nějaké inerciální soustavě v 3E v klidu, je v 4M přímka, rovnoběžná s časovou osou 40x (viz dále).

Čtyřvektor ( )d ds xµ elementárního posunutí

o složkách 1d dx x= , 2d dx y= , 3d dx z= , 4d i dx c= t charakterizuje (elementární, nekonečně malou) změnu polohy bodové události při jejím (elementárním) posunutí po světočáře v 4M (vzhledem k soustavě S ).

2.2.3 ČTYŘVEKTOR RYCHLOSTI, VLASTNÍ ČAS

Rychlost částice v 4M získáme jako první derivaci čtyřvektoru elementárního posunutí

(d ds xµ částice v soustavě S podle invariantu, který je relativistickou analogií („absolutního“) času v nerelativistické fyzice.

)

V nerelativistické kinematice je čas t (i jeho nekonečně malá změna dt ) invariantem (GALILEIHO transformace). Derivací libovolného tenzoru podle invariantu se řád tenzoru nemění – derivací polohového vektoru podle času v nerelativistické kinematice je tedy (opět) vektor (okamžité) rychlosti o složkách d dix t ( )1, 2, 3i = .

V relativistické kinematice ztratil čas vlastnost invariance a i jeho nekonečně malá změna d t je nyní pouze jednou ze (čtyř) složek čtyřvektoru posunutí. Derivace podle času je tedy derivací podle souřadnice a proto při ní dochází ke zvýšení řádu derivovaného


tenzoru o jednotku. K tomu, aby bylo možno definovat veličinu (čtyřrychlost), která by v limitním přechodu do nerelativistické mechaniky ( 0β → ) přešla ve vektor rychlosti, je proto nutno pro derivování „zkonstruovat“ (skalární) invariant, který má rozměr času. Tyto požadavky splňuje výraz d definovaný vztahem τ

22

1d dx xc

dµ µτ = − , (2.23)

který je vzhledem k platnosti (2.18) invariantem LORENTZOVY transformace. Že tomu tak je a že takto definovaná veličina dτ má rozměr času, se můžeme přesvědčit jejím vyjádřením ve vlastní soustavě částice – tj. v soustavě S′ , v níž je tato částice v klidu.

Ve své vlastní soustavě, v níž má částice stálou polohu ( )1 2 3d d d 0x x x′ ′ ′= = =

tomtéž místě z hlediska 3E , je jejím „posunutím“ v 4M (po světočáře rovnoběžné s osou

40x ) čtyřvektor ( ,0,0,i dx cµ ′)td 0 . Pro výraz 2dτ tedy dostáváme

– je stále na

2 22 2

1 1d d d i d i d dx x c t c t tc cµ µ′ ′ ′ ′ ′τ = − = − ⋅ = ⇒ d dt′τ = .

Z tohoto výsledku je patrné, že

Invariant dτ má význam časového intervalu, měřeného hodinami pevně spojenými s uvažovanou částicí – τ je proto tzv. vlastní čas částice (čas ve vlastní soustavě částice – v soustavě, v níž je částice

v klidu).

Najděme nyní vztah mezi invariantem dτ a časovým intervalem d t , měřeným hodinami spojenými s klidnou inerciální soustavou S , vůči níž se částice pohybuje rychlostí

( ), ,x y zu u u u ; d dxu x= t , yu = . Čtyřvektor (d ds xµ posunutí částice v soustavě S má obecně všechny složky různé od nuly. Je tedy

)

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 22 2

1 1d d d d d d dx x x y z c tc cµ µ

τ = − = − + + − =

2 2 2 2 2 22 2

2 2

1 d d dd 1 d 1d d d

x y zu u ux y zt tc t t t c

+ + = − + + = − ⇒

2

2d d 1 utc

τ = − , (2.24)

což je v naprostém souladu s dilatací času v pohybující se soustavě, registrovanou pozorovatelem spojeným s klidnou soustavou S .

Pomocí čtyřvektoru posunutí (d ds xµ invariantu dτ vyjádřeného vztahem (2.24) již

můžeme definovat čtyřvektor u rychlosti neboli čtyřrychlost µuµ částice jako

) a

d; 1, 2, 3, 4

dx

u µµ = µ =

τ (2.25)


Čtyři složky čtyřvektoru uµ rychlosti v 4M získáme jako derivace složek d , d , d , i dx y z c t čtyřvektoru d posunutí podle invariantu xµ dτ (2.24). Dostáváme

11 22 2 2

2 2 2

d d 1 d ; ;d d

d 1 1 1

xux x xu utu u ut

c c c

= = = = =τ

− − −4 2

2

id

1

c tutu

c

=

−

d ⇒

1 2 3 42 2 2

2 2 2

i; ; ;1 1 1 1

yx zuu u cu u u uu u u uc c c c

= = = =

− − − −2

2

; (2.26)

, ,x yu u u jsou složky rychlosti v 3E – jsou to složky „třívektoru“ u soustavě S . Velikost čtyřrychlosti je konstantní, neboť

z

( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 22 2

22 2 2 2 2

11 1 1 1 1

x y zu u u c u c u c c uu uu u u u u c u

cc c c c c

µ µ

+ + − −= − = − = = −

−− − − − −⇒

2u u cµ µ = − (2.27)

To však znamená, že velikost čtyřvektoru uµ rychlosti je invariantem LORENTZOVY transformace. Tento výsledek můžeme zobecnit a říci, že (jak dále uvidíme i u dalších čtyřvektorů)

Velikost libovolného čtyřvektoru je invariantem LORENTZOVY transformace.

Tato skutečnost má zajímavou analogii se situací v 3E , v němž se při otočení soustavy souřadnic velikost vektorů zachovává.

Derivací výrazu (2.27) podle dτ obdržíme důležitý vztah (viz dále)

( )d d2 0

d du u u

uµ µ µµ= =

τ τ⇒

d0

du

u µµ =

τ (2.28)

Podobně jako čtyřrychlost bychom mohli definovat čtyřzrychlení µw vztahem

2

2

d dd

d 1

u u

utc

µ µµ = =

τ−

w . (2.29)


2. RELATIVITA UDÁLOSTÍ NÁSLEDNÉ A KVAZISOUČASNÉ UDÁLOSTI, GEOMETRICKÉ ZNÁZORNĚNÍ

MINKOWSKÉHO PROSTOROČASU, RELATIVNOST SOUČASNOSTI, PRINCIP KAUZALITY, MAXIMÁLNÍ RYCHLOST SIGNÁLU

3.1 BODOVÉ UDÁLOSTI

Bod o souřadnicích ( , , , ix y z ct ) nazýváme bodovou událostí ve čtyřrozměrném MINKOWSKÉHO prostoročase 4M . Prostoročasový interval 12s mezi dvěma bodovými událostmi 1 a 2 o souřadnicích ( )1 1 1 1, , , ix y z ct , ( 2 2 2 2, , , ix y z ct )

)2

je definován vztahem

( ) ( ) ( ) (2 2 22 212 2 1 2 1 2 1 2 1s x x y y z z c t t= − + − + − − − ,

který je invariantem LORENTZOVY transformace.

3.1.1 NÁSLEDNÉ UDÁLOSTI

Uvažujme dvě bodové události A , B , popsané souřadnicemi [ ]A AA ;0;0;ix c≡ t , [ BB ;0;0;ix c≡ ]Bt . Prostoročasový interval mezi událostmi A , B je pak podle

předchozího možno vyjádřit jako ( ) ( )2 22 2

AB B A B As x x c t t= − − − . (3.1)

Představme si, že v bodě o souřadnicích [ ];0A;0x v soustavě S , je pozorovatel který pomocí „pátracích fotonů“ zkoumá dění v bodě o souřadnicích [ B;0 ;0x ] . Dále předpokládejme, že událostí B může být třeba změna vzhledu (např. barvy) „bodu“ [ v okamžiku ]B;0 ;0x Bt (obr. 3.1).

( )A ,

Aby pozorovatel ( )A zaregistroval událost , proběhnuvší v bodě [ B;0 ;0x ] v okamžiku Bt , musí jeho první „pátrací“ foton, vyslaný v okamžiku At (událost A ), urazit vzdálenost Bx x− A a „odrazit se“ od bodu [ B;0 ;0x ] před událostí B v tomto bodě –

tj. před okamžikem Bt . Pouze v tomto případě přinese tento (první) odražený foton pozorovateli ( )A informaci o původním vzhledu bodu [ B;0 ;0x ] . Informaci o změně

vzhledu bodu [ A;0;0x ] v okamžiku Bt pak přinesou teprve další, pozorovatelem ( )A po

okamžiku At vyslané, od bodu [ B;0 ;0x ] odražené a k pozorovateli ( )A se vrátivší

„pátrací“ fotony. Proběhne-li pátrání pozorovatele ( )A právě popsaným způsobem, může tento pozorovatel říci, že událost A nastala dříve než událost B .

Ax xBx

A

ct ct

B

Act

Bct

Obr. 3.1

B

Následnost bodové události B po bodové události A je tedy možno vyjádřit podmínkou

( )B A Bc t t x x− > − A . (3.2)


Přemístěme nyní pozorovatele do bodu [ ]B;0 ;0x . Zcela analogickou úvahou (obr. 3.2) bychom dospěli k závěru, že následnost bodové události A po bodové události B je možno vyjádřit podmínkou

( )A B B Ac t t x x− > − . (3.3)

Uplatníme-li nerovnosti (3.2) a (3.3) ve vyjádření (3.1) prostoročasového intervalu událostí A a , dostaneme

B

( ) ( )2 22 2AB B A B A 0s x x c t t= − − − < (3.4)

Událostem A a B , jejichž prostoročasový interval je imaginární ( 2

AB 0s < ) , říkáme události NÁSLEDNÉ.

Speciální LORENTZOVA transformace pro prostorovou souřadnici – délkový interval Bx x− A má tvar

( )B A B AB A 2

21

x x t tx x

c

− − −′ ′− =

−

vv

.

Jsou-li A , B následné události, je možno vztahy (3.2) a (3.3) spojit do jediné nerovnice

ve tvaru B A

B A

x x ct t

−<

−.

Zvolme jako inerciální soustavu S′ právě tu, která se vůči klidné inerciální soustavě S pohybuje rychlostí ( ) ( )B A B Ax x t t= − −v . Dosadíme-li za v do LT, dostáváme

B A B AB A 2

2

01

x x x xx x

c

− − +′ ′− = = ⇒

− v Bx x′ ′= A ⇒

Jsou-li události A a B v klidné inerciální soustavě S následné ( AB 0s < )2 , lze vždy najít ( jedinou) pohyblivou inerciální soustavu S , ′

v níž tyto události proběhnou v tomtéž bodě (jsou v této soustavě SOUMÍSTNÉ).

Vzhledem k tomu, že (pouze v této) soustavě platí Bx x′ = A′ , redukuje se v soustavě S′

prostoročasový interval ( ) (2 22 2AB B A B As x x c t t′ ′ ′ ′ ′= − − − ) událostí A , B na výraz

( )AB B Ais c t t c′ ′ ′= − = i ∆τ . Proto říkáme, že

Prostoročasové intervaly následných událostí jsou ČASUPODOBNÉ.

ct

Bx xAx

A Act

Obr. 3.2

ct

B Bct


3.1.2 KVAZISOUČASNÉ UDÁLOSTI Všimněme si nyní případu, kdy první pátrací foton, vyslaný pozorovatelem v bodě [ A ,0,0x ] (v soustavě S ) v okamžiku At , dorazí do bodu [ později, než v okamžiku ]B,0,0x

Bt . Pozorovatel v bodě [ se tedy v důsledku konečné rychlosti ]A ,0,0x c fotonu nemůže o události (změně) B v bodě [ B,0,0x ] dovědět a tím spíše proto nemůže rozhodnout o nějaké následnosti událostí A , B . Tato situace je rovnocenná platnosti nerovnosti

(B A B Ax x c t t− > − ) . (3.5)

Důsledkem této nerovnosti je reálnost prostoročasového intervalu událostí A , B

( ) ( )22 2AB B A B A 0s x x c t t= − − − > (3.6) 2 .

Speciální LORENTZOVA transformace pro časovou souřadnici – časový interval Bt t− A má tvar

( )B A B A2

B A 2

21

t t x xct t

c

− − −′ ′− =

−

v

v.

Zkoumejme výraz ( )( )

24B A

2B A

c t tx x

−

−. Ze vztahu (3.5) plyne

( )( )

242B A

2B A

c t tc

x x−

<−

.

Zvolme jako S′ právě tu inerciální soustavu, která se vůči S pohybuje rychlostí ( ) ( )2

B A B Ac t t x x = − − v . Dosadíme-li za v do LORENTZOVY transformace, dostáváme

B A B AB A 2

2

01

t t t tt t

c

− − +′ ′− = = ⇒

−v B At t′ ′=

V (jediné) soustavě S′ tedy uvažované události A , B , pro jejichž souřadnice v soustavě S platí nerovnice (3.5), proběhnou současně.

Všimněme si ještě jednou nerovnice (3.5), která má tvar

( )B A B A1c

t t x x− < − .

Vyjdeme-li opět z obr. 3.1, můžeme říci, že pravá strana tohoto výrazu je (konečné) kladné číslo. Hodnoty rozdílu Bt t− A tedy obecně mohou být jak čísla kladná, tak i záporná.

Tento stav ovšem znamená, že pojmy jako „dříve“ nebo „později“ jsou pro uvažované události A , B irelevantní (nepatřičné), neboť v některých inerciálních soustavách je následnost A před B ( B A 0t t− > ) , v jiných pak následnost B před A ( )B A 0t t− < . Nelze tedy obecně říci, která z obou událostí nastala dříve.


Proto tedy

Událostem A a B , jejichž prostoročasový interval je reálný ( )2AB 0s > ,

říkáme události KVAZISOUČASNÉ.

Jsou-li události A a B kvazisoučasné , lze najít ( jedinou) inerciální soustavu S , v níž tyto události proběhnou v tomtéž okamžiku (jsou v ′

této soustavě současné).

V této soustavě S′ platí Bt t′ = A′ a prostoročasový interval

( ) (2 22 2AB B A B As x x c t t′ ′ ′ ′ ′= − − − ) událostí A a B má tvar AB B As x x′ ′ ′= − = ∆

Proto říkáme, že prostoročasové intervaly následných událostí jsou PROSTORUPODOBNÉ

x′ .

Ve speciální teorii relativity se tedy dvojice událostí dělí podle svého vztahu k následnosti v čase na následné a kvazisoučasné. Toto rozdělení nezávisí na volbě inerciální soustavy, neboť prostoročasové intervaly těchto událostí jsou invarianty LORENTZOVY transformace.

Prostoročasový interval mezi událostmi, které se týkají téže částice s nenulovou klidovou hmotností (viz dále), je vždy časupodobný ( 2 0s < ) , neboť dráha částice je vždy menší než dráha světla za tentýž časový interval. Události, týkající se téže částice, jsou tedy vždy následné.

3.1.3 GEOMETRICKÉ ZNÁZORNĚNÍ MINKOWSKÉHO PROSTOROČASU V MINKOWSKÉHO souřadnicovém systému existuje vzhledem ke čtyřem souřadnicovým osám celkem šest souřadnicových ploch. Plochy 1 20x x , 1 30x x , 2 30x x mají vlastnosti euklidovských rovin – souřadnice jsou reálné a platí zde PYTHAGOROVA věta. Souřadnicové plochy 1 40x x , 2 40x x , 3 40x x vlastnosti euklidovských rovin nemají.

Vzhledem k tomu, že nejčastěji používáme speciální LORENTZOVU transformaci pro iv , můžeme druhou a třetí (prostorovou) souřadnicovou osu vynechat a jedinou „zbylou“ souřadnicovou plochu 1 4x x0 zobrazit jako rovinu s pravoúhlou soustavou souřadnic 1 4,x x (obr. 3.3). Nesmíme však zapomenout, že MINKOWSKÉHO souřadnicová plocha 10x x4 není euklidovská – prostoročasovou vzdálenost dvou bodových událostí nemůžeme na obr. 3.3 měřit pravítkem!

Počátkem pravoúhlé soustavy souřadnic 10x x4 je vždy nějaká (libovolně zvolená) bodová událost o souřadnicích 1 4x x l= = 0 0t≈ = = .

4x c t= l c t=l c t= −

1x l=

absolutně budoucí

absolutně minulé

0 Obr. 3.3

absolutně vzdálené

absolutně vzdálené

C •

•D

•A

• Β

Přímky AB a CD jsou světočárami dvou fotonů ( 0 0m u= ⇔ = dále), které se (ve vakuu) pohybují v opačných směrech „po ose 10x “ a v okamžiku 0t = se oba nacházejí v počátku 0 .

c – viz


Světočáry všech „obyčejných“ částic ( 0 0 cm u≠ ⇔ < – viz dále), nacházejících se v okamžiku 0=t v počátku 0 , vyplňují tmavý sektor souřadnicové roviny 1 40x x .

Prostoročasový interval mezi kteroukoliv bodovou událostí z těchto tmavších oblastí a událostí v počátku je vždy imaginární (2 2 20s l c t < < intervaly

mezi těmito událostmi jsou časupodobné a tyto události samy následné. )2 , což znamená, že

Ke kterékoliv události z těchto tmavších oblastí lze tedy najít soustavu S′ , v níž tyto události proběhnou v tomtéž bodě. Naopak nelze najít inerciální soustavu S′ , v níž by tyto události proběhly v tomtéž okamžiku.

Pro události z tmavší oblasti nad vodorovnou osou je 0t > , takže tyto události proběhnou až po události v počátku 0 – tmavší oblast D0B (nad) vodorovnou osou představuje tedy události absolutně budoucí vzhledem k události v počátku 0 .

Tmavší oblast A0C pod vodorovnou osou představuje naopak vzhledem k události v počátku události absolutně minulé.

Interval mezi libovolnou událostí ze světlých oblastí A0D a C0B na obr. 3.3 a událostí v počátku 0 je vždy prostorupodobný (2 2 20s l c t > > yto události jsou proto

kvazisoučasné. Dají se tedy najít inerciální soustavy, v nichž tyto události a událost v počátku 0 proběhnou s různou následností i inerciální soustava, v níž tyto události proběhnou v témže okamžiku. Proto jsou pojmy jako „současně, dříve, později, budoucnost, minulost“ ve vztahu těchto událostí a události v počátku pouze relativní.

)2 a t

V žádné inerciální soustavě však nemohou tyto události proběhnout v tomtéž místě jako událost v počátku. Proto se světlé oblasti A0D a C0B nazývají oblastmi událostí absolutně vzdálených od události v počátku.

Dvourozměrné zobrazení na obr. 3.3 můžeme (myšlenkově) přenést i do „kompletního“ prostoru 4M , v němž je časová osa imaginární. Pohybu světelného signálu vycházejícího z určitého bodu (bodové události) odpovídá v 4M světelný kužel – hyperkuželová plocha, rozdělující prostoročas na oblasti absolutní minulosti a absolutní budoucnosti a na oblast událostí absolutně vzdálených – to vše vzhledem k události v počátku – ve vrcholu světelného kužele.

3.1.4 RELATIVNOST SOUČASNOSTI

Diskutujme nyní podrobněji pojem současnosti dvou událostí z hlediska STR. Zkoumejme opět dvě bodové události A,B, které jsou v klidné inerciální soustavě S určeny prostoročasovými souřadnicemi , ( )B BB ,0,0,x t≡ . ( )A AA ,0,0,x t≡

Z LORENTZOVY transformace času (S se vůči ′ S pohybuje rychlostí konst.=v , i↑↑v )

plyne ( )122, 1v c

− β = γ = − β > 1

( )2

B A B A2

B A 2

21

t t x xct t

c

− − −′ ′− = ⇒

−

v

v t t (2

B A B A B At t v c x x−′ ′ − = γ − − − ) . (3.7)

Nechť Bt t= A ⇒ události A a B nastaly podle údaje hodin v soustavě S současně – jsou tedy kvazisoučasné a platí tedy


(2B A B At t c x x−′ ′ − = γ − − v ) . (3.8)

Ze vztahu (3.8) je patrné, že pozorovateli v soustavě S′ se události A,B nejeví současné ( )B A 0t t′ ′− ≠ A Br r≠, je-li B Ax x≠ ( ).

Tak např. pro Bx x> A ze vztahu (3.8) vychází Bt t′ < A′ , což znamená, že událost v bodě B nastala podle hodin v soustavě S′ dříve, než událost A. Je rovněž zřejmé, že v soustavě S , pohybující se vůči

′′S rychlostí i− ↑↓v platí opak, tj. B A′′ ′′>t t .

Všimněme si nyní důležitého důsledku LORENTZOVY transformace prostorové souřadnice

( )B A B AB A B A2

21

x x t tx x t t

c

− − −′ ′− = ∧ = ⇒

−

vv

. (3.9) (B A B Ax x x x′ ′− = γ − )

Z tohoto vztahu je patrné, že rozdíl prostorových souřadnic „našich“ událostí A,B má ve všech inerciálních soustavách totéž znaménko.

Dále vidíme, že (prostorová) vzdálenost míst, v nichž nastaly události A,B, je nejmenší právě pro pozorovatele v soustavě S , neboť pro 0≠v je 1γ > . Spojíme-li vztah (3.8) se vztahem (3.9), dostaneme (pro c<v )

( ) ( )2 1 2 1B A B A B A B A B A

ct t c x x c x x t t c x x

→− − − −′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ − = γ − γ − = − − ⇒ − < − ⇒

vv v

1B A B At t c r r−′ ′ ′− < − (3.10) ′ ,

neboť B A Bx x r r′ ′ ′− ≤ − To znamená, že signál, který by byl vyslán z místa a okamžiku té události, která je v dané inerciální soustavě dřívější, a měl by dospět do místa druhé události „včas“ (tj. ne později, než tato druhá událost nastane), by musel postupovat rychleji než světlo

A′ .

(ve vakuu).

Vztah (3.10) také říká, že jsou-li dvě (kvazisoučasné) události A, B v některé inerciální soustavě S současné, pak v žádné inerciální soustavě S′ nemůže být jejich časový rozdíl větší než doba, kterou potřebuje světlo, aby dospělo z místa jedné události do místa druhé události. Správné je i obrácené tvrzení:

Platí-li v nějaké inerciální soustavě S mezi prostorovými ′souřadnicemi a okamžiky dvou událostí A a B nerovnost

1−′ ′ ′ ′B A B At t c r r− < − , lze nalézt inerciální soustavu S , v níž se tyto

události jeví jako současné ( . Stejně tak lze nalézt inerciální )B At t=soustavu S , v níž události ′′ A a B proběhnou v obráceném pořadí než

v soustavě S′ .

Podobnými úvahami bychom dospěli rovněž k dalšímu důležitému tvrzení

Platí-li v inerciální soustavě S mezi souřadnicemi a okamžiky dvou následných událostí C a D nerovnost 1−

D C D Ct t c r r− ≥ − , je jejich časové pořadí stejné ve všech inerciálních soustavách.


3.1.5 PRINCIP KAUZALITY, MAXIMÁLNÍ RYCHLOST SIGNÁLU Současnost dvou (nebo více) událostí je v NEWTONOVĚ mechanice pojem absolutní. Je to vlastnost těmito událostmi úplně určená a na ničem jiném nezávislá. Hodiny, měřící čas v libovolné soustavě, jsou jednou provždy spojeny s „absolutním prostorem“ (později s „klidným éterem“).

Ve speciální teorii relativity je situace jiná. Podle EINSTEINOVA principu relativity jsou všechny inerciální soustavy fyzikálně zcela rovnocenné. O žádné z nich proto nelze tvrdit, že „její“ hodiny jdou „správněji“ než hodiny spojené s jinou soustavou. Proto musíme současnost událostí zjištěnou měřením v soustavě S pokládat za stejně pravdivou, skutečnou a objektivní, jako jejich nesoučasnost v soustavě S′ nebo S . Ve speciální teorii relativity je tedy i současnost událostí pojmem relativním.

′′

Tento (ve své době revoluční a nepochopitelný) důsledek speciální teorie relativity pobouřil vědeckou veřejnost a s velkým odporem se setkal zvláště u některých filozofů. Vyvolal také skepsi i u řady renomovaných fyziků. Všimněme si proto pojmu relativnosti současnosti ještě poněkud podrobněji.

Je jasné, že vztahy A B A B A; ;t t t t t t′ ′ ′′ ′′= > < matematické logice, neboť to jsou vztahy mezi údaji různých hodin, i když se ve všech třech případech týkají téže dvojice událostí A,B. Není však již tak zřejmé, zda logická rovnocennost těchto vztahů neodporuje jiným, obecně uznávaným fyzikálním principům. Jedním z těchto principů je tzv. princip kauzality (příčinnosti).

B neodporují

Tento princip má přímý vztah k časovému sledu událostí a vyžaduje, aby následek nemohl nikdy nastat dříve než jeho příčina. I bez tohoto principu bychom např. pokládali za protismyslné, kdyby signál dorazil do místa svého určení dříve, než by byl vyslán.

V našich předchozích úvahách o dvojici (kvazisoučasných) událostí A, B ( )A Br r≠ bychom se skutečně dostali do rozporu s principem kauzality, kdybychom jednu z těchto událostí považovali apriorně za příčinu a druhou za následek.

Z hlediska jednoho z pozorovatelů v inerciálních soustavách S′ a S , které jsou rovnocenné s inerciální soustavou

′′S , by pak skutečně docházelo k nepřípustnému

obrácení časového sledu obou uvažovaných událostí. Aby k tomuto rozporu nedošlo je nutné a stačí, aby byla

principiálně vyloučena možnost přímé příčinné souvislosti dvou kvazisoučasných událostí,

jejichž souřadnice a časy splňují nerovnost (3.10).

Jako příčina a následek spolu mohou souviset pouze následné události (typu C, D ), jejichž prostorové a časové souřadnice splňují

ve všech inerciálních soustavách nerovnost 1−D C D Ct t c r r− ≥ − .

Aby byla znemožněna příčinná souvislost kvazisoučasných událostí je nutné a stačí, aby jakékoliv vlivy, působení nebo impulsy nebylo možno přenášet rychlostí větší, než je rychlost c světla ve vakuu.

Vzájemné působení ( interakce) mezi materiálními objekty může probíhat pouze rychlostí, jejíž velikost není větší , než rychlost světla

ve vakuu ( )u c≤


Taková je tedy obecná (principiální) nutná a postačující podmínka, při níž se EINSTEINOVA speciální teorii relativity „snáší“ s principem kauzality. Prakticky to znamená, že např. nemohou existovat newtonovské síly, působící „okamžitě“ na jakoukoliv vzdálenost. Nemůže tedy přesně platit ani NEWTONŮV gravitační zákon a nemohou existovat (ideálně) tuhá tělesa.

Shrnutí

Událostem typu A, B , splňujícím podmínku 1B A B At t c r r−′ ′ ′ ′− < − ,

říkáme kvazisoučasné, neboť lze najít inerciální soustavu, v níž jsou („přesně“) současné. Jakékoliv dvě kvazisoučasné události spolu nemohou příčinně souviset, mohou však být (obě dvě) následkem

jedné a téže třetí události.

Časové pořadí následných událostí typu C, D , splňujících podmínku 1

D CD Ct t c r r−− ≥ − ,

je absolutní (stejné ve všech inerciálních soustavách). Platí-l i pro tyto události navíc také podmínka Ct t< D , je D vůči C událostí

absolutně budoucí a C vůči D událostí absolutně minulou. Následné události typu C, D tedy splňují princip kauzality – jedna z nich proto

může být příčinou a druhá následkem .

Konstantní rychlost c světla ve vakuu (původně jen rychlost světla vůči „klidnému éteru“) má hluboký fyzikální význam. Všechny dosavadní zkušenosti svědčí o tom, že je to maximální možná

rychlost přenosu signálu a interakce a proto charakterizuje základní vlastnosti nejen veškeré hmoty, ale také prostoru a času. Proto se

rychlosti c světla ve vakuu říká FUNDAMENTÁLNÍ rychlost.


- 33 -

4. RELATIVISTICKÁ DYNAMIKA INVARIANCE FYZIKÁLNÍCH ZÁKONŮ, KOVARIANTNÍ ROVNICE,

POHYBOVÁ ROVNICE ČÁSTICE, MINKOWSKÉHO SÍLA, RELATIVISTICKÁ A KLIDOVÁ HMOTNOST, KLIDOVÁ A CELKOVÁ ENERGIE,

TRANSFORMACE SÍLY, NEMECHANICKÉ PROCESY

4.1 INVARIANCE FYZIKÁLNÍCH ZÁKONŮ

Podle speciální teorie relativity jsou všechny inerciální vztažné soustavy ekvivalentní pro popis fyzikálních dějů. Zákony popisující tyto děje tedy musí mít ve všech inerciálních soustavách stejný matematický tvar – musí být invariantní vůči LT. Všimněme si nejdříve obecně, co znamená požadavek invariance fyzikálního zákona vůči (nějaké) transformaci souřadnic.

Předpokládejme nejprve, že určitý fyzikální zákon je popsán skalární rovnicí

a b= .

Obě strany rovnice jsou skaláry – a tedy invarianty – proto

Zákon vyjádřený skalární rovnicí je vždy invariantní vůči (jakékoliv) transformaci.

Má-li matematické vyjádření fyzikálního zákona tvar vektorové rovnice

iA B A B= ⇒ = i , (4.1)

je situace složitější, neboť při transformaci (např. otočení v 3E ) se mění složky obou vektorů na hodnoty ,i iA B′ ′ ( 1, 2, 3i = ) . Protože však výraz (4.1) vyjadřuje rovnost dvou vektorů, a protože se složky vektorů při dané transformaci transformují podle stejného zákona, zůstane rovnost vektorů A a B zachována i v nové soustavě ⇒

i iA B A B′ ′= ⇒ = ⇒ zákon popsaný vektorovou rovnicí je rovněž invariantem dané transformace.

Invariance fyzikálního zákona je tedy zajištěna v případě, že obě strany (zákon vyjadřující) rovnice se transformují stejným způsobem – jako vektory, nebo obecněji – jako TENZORY

STEJNÉHO ŘÁDU.

Rovnici, jejímiž stranami jsou tenzory stejného řádu, nazýváme kovariantní. Fyzikální zákon je invariantní, je-li jeho matematickým

vyjádřením kovariantní rovnice.

Klasická NEWTONOVA pohybová rovnice částice, která má tvar

dd

p Ft

= ,

není z hlediska speciální teorie relativity kovariantní, neboť jejími stranami jsou tenzory různých řádů. Je tomu tak proto, že čas – podle NEWTONA invariant – není ve speciální


- 34 -

teorie relativity invariantem, je souřadnicí a derivování tenzoru podle souřadnice zvyšuje jeho řád o jednu jednotku.

NEWTONOVA pohybová rovnice tedy není kovariantní (na její levé straně je tenzor 2. a na pravé straně tenzor 1. řádu) a proto nemůže být invariantem LORENTZOVY transformace. Z těchto důvodů je třeba ve speciální teorie relativity najít novou pohybovou rovnici, jejíž tvar by zajistil:

• kovarianci (a tím i invarianci vůči LORENTZOVĚ transformaci),

• přechod ke klasickému NEWTONOVU tvaru v limitním přiblížení ,u c<<v

4.2 RELATIVISTICKÁ POHYBOVÁ ROVNICE Při relativistickém zobecnění NEWTONOVY pohybové rovnice

( )ddd d

mup Ft t

= =

je výhodné použít MINKOWSKÉHO formalismu – zavedení čtyřrozměrných veličin, které jsou analogické veličinám v NEWTONOVĚ pohybové rovnici.

Na levé straně rovnice je především nutno derivovat podle (časového) invariantu 2

2d d 1 utc

τ = − – tedy podle vlastního času částice [srovnej (2.24)], pohybující se vůči

klidné inerciální soustavě S rychlostí ( , ,x y zu u u u ) . Podle tohoto návodu můžeme psát

( )0d; 1, 2, 3, 4

dm u

Kµµ= µ =

τ. (4.2)

Co v této rovnici známe? Zatím pouze invariant dτ a čtyřrychlost uµ , pro jejíž složky platí [srovnej (2.25),(2.26)]

2 2 2 2

2 2 2 2

1 2 3 4i; ; ;

1 1 1 1yx z

u u u uc c c c

uu uu u u u= = = =− − − −

c .

Připomeňme, že ( , ,x y zu u u u ) je (tří)vektor rychlosti částice v klidné inerciální soustavě S .

Skalár 0m označuje hodnotu skalární veličiny, která je analogická (konstantní) setrvačné hmotnosti m částice v NEWTONOVĚ rovnici; indexem „nula“ vyjadřujeme předpoklad invariance 0m vůči LORENTZOVĚ transformaci (viz dále).

4.2.1 ČTYŘSÍLA

Čtyřvektor Kµ na pravé straně rovnice (4.2) je čtyřsložkovým analogem (tří)vektoru

( ), ,x y zF F F F síly – Kµ je tedy čtyřvektor síly neboli čtyřsíla. Naším úkolem bude určení složek tohoto čtyřvektoru tak, aby při limitním přechodu do nerelativistické fyziky ( )2 2 0u c → platilo

zF1 2 3, ,x yK F K F K→ → → .

Zapišme pohybovou rovnici (4.2) nejdříve v prostorových souřadnicích ( )1,2,3µ =

srovnejme tento zápis s klasickým NEWTONOVÝM tvarem. Pro 1µ = dostáváme a


- 35 -

( )0 1 012 2

2 2

d 1 dd d

1 1

xm u m uK

tu uc c

= = τ

− −

⇒

( )22 02

01 22

2

dd 1d d

1

ucx x

x

m u muuK Ft cu

c

→ = − → =

−

t.

Při této úpravě jsme položili ( ) ( )2 20 1m u c m u− = Pro 2, 3µ =

dostáváme analogicky

m= (viz dále).

( )22 02

02 22

2

dd 1d d

1

uc yy

y

mum u uK Ft cu

c

→ = − → =

−

t,

( )22 02

03 22

2

dd 1d d

1

ucz z

z

m u muuK Ft cu

c

→ = − → =

−

t.

První tři složky čtyřsíly tedy můžeme zapsat jako

1 2 32 2

2 2

; ;1 1 1

yx zFF FK K Ku uc c

= = =

− −2

2uc

−

. (4.3)

Čtvrtou (časovou) složku 4K čtyřsíly určíme takto. Násobíme-li rovnici (4.2) skalárně čtyřrychlostí uµ , dostaneme (za stálého předpokladu invariance 0m ) [ 2u u cµ µ = − ; srovnej vztah (2.28)]

( ) ( )00 0

d dd 1 1 0d d 2 2 dm u u u

u m u u mµ µ µµ µ µ

= = = τ τ τ K uµ µ = .

Pomocí již známých složek čtyřsíly Kµ a složek čtyřrychlosti uµ můžeme skalární součin K uµ µ v 4M zapsat jako

42 2 2 2 2

2 2 2 2 2

i 01 1 1 1 1

x x z zF u F u cK u Ku u u u uc c c c c

µ µ = + + +

− − − − −

= ⇒

42 2

2 2

i 01 1

F u cKu uc c

⋅+ =

− −

⇒ 4 2

2

i

1

F uKc u

c

⋅=

−

.

Složkami čtyřvektoru síly, čtyřsíly Kµ (nebo také MINKOWSKÉHO síly) jsou tedy výrazy


- 36 -

1 2 3 42 2 2

2 2 2

i, , ,1 1 1 1

yx zFF FK K K Kcu u u

c c c

⋅= = = =

− − −2

2

F uuc

− (4.4)

Poznámka

Pod názvem MINKOWSKÉHO síla je v literatuře často uváděn (tří)vektor ( )2 2M 1F F u c= − ,

jehož složkami jsou první tři složky čtyřsíly Kµ .

4.2.2 RELATIVISTICKÁ HMOTNOST

Na základě výsledků předchozího článku můžeme vyslovit tvrzení, že relativistickým tvarem pohybové rovnice částice (v 3E ) je „staronový“ výraz

( )ddd d

mup Ft t

= =

za předpokladu, že v něm položíme ( )2 20 1m m u c= − . To však znamená, že

Hmotnost částice v relativistické mechanice (fyzice) již není konstantou , ale stává se (rostoucí) FUNKCÍ RYCHLOSTI u částice:

( )2 20( ) 1m m u m u c= = − .

4.3 EKVIVALENCE HMOTNOSTI A ENERGIE

Časovou část pohybové rovnice (4.2) ( můžeme zapsat v zajímavém tvaru )4µ =

( )0 4 04 2 2

2 2

d i1 d id d

1 1 1

m u m c F uKt cu u

c c

⋅ = ⇒ =

τ − − −

2

2uc

⇒2

0

2

2

dd

1

m cF u

t uc

= ⋅

−

. (4.5)

V nerelativistické mechanice ( konst.m = ) je možno pohybovou rovnici částice upravit následujícím způsobem

( ) 2d d d d 1d d d d 2mu u um F u mu F u m ut t t t

= = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒

⇒ ddTF ut

⋅ = .

Skalární součin vtištěné síly a okamžité rychlosti částice (okamžitý výkon síly) je tedy v nerelativistické mechanice roven okamžité změně kinetické energie ( částice. )T

Při porovnání tohoto nerelativistického vztahu s relativistickým vztahem (4.5) se nabízí analogie

20

2

2

d dd d

1

m cTt t u

c

≈ ⇒

−

2

0

2

21

m c

uc

≈

−

T .


- 37 -

Rozvineme-li odmocninu ve jmenovateli v binomickou řadu a omezíme-li se pouze na její první dva členy, dostaneme

2 20 2 2

0 022

2

112 2

1

m c uT m c m ccu

c

≈ = + + ≈ +

−

20m u ,

což se podstatně liší od nerelativistického vyjádření kinetické energie T .

Vystupuje zde totiž navíc člen 20m c , který vyjadřuje tzv. klidovou energii 0E částice.

Platí tedy 20 0E m c= (a také 2

0E m∆ = ∆ 0c při změně klidové energie - viz dále). Jak plyne z názvu i z výše uvedeného vztahu, je klidovou ta energie, kterou má částice ve své vlastní soustavě – tj. v soustavě, v níž je její rychlost nulová.

Po zavedení klidové energie 0E můžeme říci, že výraz 2 10 2m c m u+ 2

0 vyjadřuje celkovou energii E částice, pohybující se (v inerciální soustavě S ) rychlostí u mimo jakákoliv silová pole (částice proto nemá potenciální energii). Platí tedy

2 20 0 0

12

m c m u E T E+ = + = ,

což při přiblížení 2

0 2 20 02

2

12

1

m cm c m u

uc

= +

−

vede ke známému vztahu 2

0 2

2

21

m cE

uc

= =

−

mc (4.6)

Ve výraze (4.6) jsme položili 0

2

21

mm

uc

=

− , (4.7)

což je tzv. relativistická (v některých pramenech také relativní) setrvačná hmotnost částice, která je závislá na rychlosti u pohybu částice ( )m m u= .

Setrvačná hmotnost částice není ve speciální teorie relativity konstantní – je (rostoucí) funkcí rychlosti jejího pohybu. V inerciální soustavě, vůči níž se částice pohybuje rychlostí u , je její setrvačná

hmotnost m dána vztahem ( )2 20 1m m u c= − . Ve své vlastní soustavě

(tj. v soustavě, v níž platí 0u = ) má částice tzv. klidovou hmotnost 0m , která je (pouze z hlediska ryze mechanických procesů)

invariantem LORENTZOVY transformace.

Ekvivalenci mezi relativistickou setrvačnou hmotností m částice, nacházející se mimo silové pole a její celkovou energií E je možno

vyjádřit vztahem 2E mc= .


- 38 -

4.3.1 ČTYŘVEKTOR ENERGIE – HYBNOSTI Pomocí relativistické hmotnosti můžeme relativistickou hybnost zapsat ve tvaru

2

0 21 up mu m uc

= = − (4.8a)

Čtyřrozměrným zobecněním hybnosti je čtyřvektor 0p m uµ = µ hybnosti (čtyřhybnost), jehož složky získáme pomocí složek čtyřrychlosti uµ (2.23a); platí

0 01 0 1 2 0 2 3 0 32 2

2 2

0 24 2

2

; ;1 1

i i ii1

x ym u m u m up m u p m u p m u

u uc c

m cp mc mc E

c cuc

= = = = = =

− −

= = = =

−

0

2

2

;1

z

uc

− (4.8)

Čtvrtá složka čtyřhybnosti pµ je úměrná celkové energii částice a proto se čtyřhybnost často nazývá čtyřvektor energie – hybnosti částice.

Kvadrát čtyřhybnosti je opět invariantem – platí tedy [ ( ), , ;x y zu u u u=u u ,

( ) 2

20, , ; 1 ux y z c

p mu mu mu m m= − , p mu= , 2cµ µ = −u u – srovnej vztah (2.24)]

( )2 2 2 2 2 2 21 2 3 4 0 0p p p p p p m u u m cµ µ µ µ= + + + = = − ⇒ 2 2

0p p m cµ µ = − (4.8b)

Vzhledem k tomu, že můžeme psát 2

2 2 2 2 21 2 3 4 2

Ep p p p p p pcµ µ = + + + = − , platí také

22

02

Epc

− = − 2 2m c . (4.9)

Z tohoto vztahu plyne nesmírně důležitá souvislost mezi celkovou energií E částice, její hybností p a klidovou hmotností 0m

2 20E c p m c= + 2 (4.9a)

Pomocí čtyřhybnosti pµ můžeme relativistickou pohybovou rovnici částice zapsat ve tvaru

ddp

Kµµ=

τ.

4.4 SÍLA V RELATIVISTICKÉ MECHANICE

Vezmeme-li v úvahu závislost setrvačné hmotnosti m částice na rychlosti u jejího pohybu (a tím také na čase), můžeme sílu F , působící na částici, zapsat jako

( )d dd d

mF mu u mt t

= = +ddut

. (4.10)


- 39 -

Podle tohoto vyjádření již tedy obecně neplatí, že síla F má stejný směr jako zrychlení d du t .

Časovou derivaci d dm t relativistické hmotnosti m můžeme vyjádřit pomocí vztahu (4.5)

20 0

2 22 2

2 2

d d 1 d 1d d d

1 1

m m cm F ut t c t cu u

c c

= = =

− −

⋅

jako

2

d 1dm F ut c

= ⋅ .

Dosadíme-li toto vyjádření do (4.10), můžeme psát

( )21 d

duF u F u m

c t= ⋅ + ⇒ (2

d 1 1du F u Ft m mc

= − ⋅ )u (4.10a)

Ve speciální teorii relativity jsou tedy zrychlení d a síladu t F rovnoběžné pouze tehdy, má-li síla směr rychlosti ( F u ) – částice se (v soustavě S ) pohybuje po přímce, nebo je-

li síla kolmá k vektoru rychlosti ( )0F u⋅ = .

4.4.1 TRANSFORMACE SÍLY

Hledejme transformační vztahy (S S′↔ ) pro sílu ( , ,x y zF F F F ) . Východiskem jsou

transformační zákony pro složky čtyřvektoru v 4M , které jsou formálně stejné, jako vztahy (2.19) pro (speciální) LORENTZOVU transformaci prostoročasových souřadnic.

Pohybuje-li se soustava S vůči soustavě ′ S rychlostí konst.=v ( i↑↑v ) , platí ( )cβ =v

1 4 41 2 2 3 3 42 2

i i; ; ;1 1

x x xx x x x x x+ β − β′ ′ ′ ′= = = =− β − β

1x .

V duchu tohoto transformačního zákona se transformuje první složka čtyřsíly Kµ podle vztahu

11 2

i1

K KK + β′ =− β

4 . (4.11)

Pohybuje-li se částice vůči soustavě S rychlostí u a vůči S′ rychlostí u′ , můžeme

A. Čtyřsílu Kµ působící na částici v soustavě S vyjádřit pomocí síly ( ), ,x y zF F F F jako [srovnej (4.4)]

2 2 2

2 2 2

i; ; ;1 1 1 1

yx zFF FKcu u u

c c c

µ

⋅

− − − −

2

2

F uuc

(4.12)

a čtyřrychlost uµ , kterou se částice pohybuje vůči soustavě S vyjádřit pomocí rychlosti

( , ,x y zu u u u ) částice v této soustavě jako [srovnej (2.26)]


- 40 -

2 2 2

2 2 2 2

i; ; ;1 1 1 1

yx zuu uuu u u uc c c c

µ

− − − −

2

c . (4.12a)

B. Čtyřsílu Kµ′ působící na částici v soustavě S vyjádřit pomocí síly ′ ( ), ,x y zF F F F′ ′ ′ ′ jako

2 2 2

2 2 2

i; ; ;1 1 1 1

yx zFF FKcu u u

c c c

µ

′′ ′ ⋅ ′ ′ ′ ′

− − − −

2

2

F uuc

′ ′

′ (4.13)

a čtyřrychlost uµ′ , kterou se částice pohybuje vůči soustavě S′ vyjádřit pomocí rychlosti

( , ,x y zu u u u′ ′ ′ ′ ) částice v této soustavě jako

2 2 2

2 2 2 2

i; ; ;1 1 1 1

yx zuu uuu u u uc c c c

µ

′′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

− − − −

2

c . (4.13a)

Po dosazení ze vztahů (4.12) a (4.13) do vztahu (4.11) dostaneme

1 2 2 2

2 2 2

1 ii1 1 1 1

x xF FKc cu u

c c c

′ ⋅ ′ = = + ′

− − − −

vv 2

2

F uuc

. (4.14)

Tento výraz poskytuje možnost získání transformačního vztahu pro první složku síly F .

Je zřejmé, že v uvažované situaci spolu výrazy ( )2 21 c− v , ( )2 21 u c− a

( )21 u c′− nějak souvisí. Při hledání jejich souvislosti vyjdeme z transformace

čtyřrychlosti (S S′↔ ) . Při uvažovaném pohybu soustavy S′ vůči soustavě S platí [opět srovnej (2.19)]

1 4 1

1 2 2 2 2 42 2

2 2

i i; ; ;

1 1

u u uc cu u u u u u

c c

+ −′ ′ ′ ′= = = =

− −

v v

v v

1u. (4.15)

Do prvního z těchto transformačních vztahů dosadíme vyjádření příslušných složek čtyřrychlosti částice v soustavě S (4.12a) a v soustavě S′ (4.13a). Dostáváme

2 2

2 2

1 2 2

2 2

ii1 1

1 1

x

x

u ccu u

u c cuuc c

+

− −′′ = =

′− −

v

v⇒

2 2

2 21 1 1

x xu uu uc c

′ −=

′− −

vv 2

2c−

. (4.16)


- 41 -

Složku xu′ rychlosti u′ částice v soustavě S′ nyní vyjádříme z obecného relativistického vztahu pro skládání rychlostí [srovnej (2.13)] jako

21x

xx

uu uc

′ += ⇒′

+

vv

21x

xx

uuc

−′ =−

vvu

a dosadíme do (4.16). Dostaneme

2 2

2 2 2 21 1 1 1

x x

x

u uu u uc c c c

− −= ⇒

′ − − − −

v vv v

2

2 2

2 2

11

1 1 1

xuc

u uc c

−=

′− − −

v

v2

2c

(4.17) 2

Dosadíme-li tento transformační vztah pro do vztahu (4.14), dostaneme

2

22 2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 1

1 1 1 1 1

x

x x y y z zxx

uF u F u F uFcF

cu uc c c c c

− + + ′ = −

− − − − −

vv

v v u⇒

( )2 21 xx x x x y y z

uF F F u F u F uc c

′ − = − + + v v

z ⇒

( )2

2 2x x x x y y zx

cF F F u F u Fc u c

′ = − + + − v

v zu =

( )22

2 2 2 2 2 2 2x xy y y yx x x z z z z

x x x x x x x

F c uF u F uc F F u F u F uc u c u c u c u c u c u c u

−= − − − = − −

− − − − − − −

vv vv vv v v v v v v

⇒v

2y y z z

x xx

F u F uF F

c u+

′ = −−

vv

.

Podobným způsobem bychom získali transformační vztahy pro další složky síly ve tvaru 2 2

2 22 2

2 2

1 1y y z

x x

c cc cF F ; F

c u c u

− −′ ′= =

− −

v v

v v zF .

při Transformace síly přechodu z klidné inerciální soustavy S do pohyblivé inerciální soustavy S ′ ( )konst. i= ↑↑v má tvar

2 22 2

2 2

2 2 2

1 1; ;y y z z

x x y y zx x

c cF u F u c cF F F F F Fc u c u c u

− −+′ ′ ′= − = =

− − −

v v

vv v z

xv (4.18)


- 42 -

4.5 NEMECHANICKÉ PROCESY

Jde o procesy, při nichž se mění klidová hmotnost tělesa. Předpoklad o invarianci klidové hmotnosti částice ( 0 konst.m = ) je totiž oprávněný pouze pro procesy ryze mechanického charakteru.

Dochází-li během působení síly na částici (těleso) i k nemechanickým jevům - např. k jejímu zahřívání – je nutno čtyřsílu definovat tak, aby byl splněn zákon zachování energie. S ohledem na vztah (4.3a) můžeme v této souvislosti psát

( )4 2

2

i

1

F u QK

c uc

⋅ +=

−

, (4.19)

kde jsme veličinou Q označili teplo dodané (částici) tělesu za jednotku času. Pro složky čtyřsíly působící na částici (těleso) pohybující se vůči soustavě S rychlostí u tedy dostáváme [srovnej (4.4)]

( )1 2 3 42 2 2

2 2 2

i; ; ;1 1 1 1

yx zF u QFF FK K K K

cu u uc c c

⋅ += = = =

− − −2

2uc

−

.

Skalární součin čtyřvektorů síly ( a rychlosti )Kµ ( , který je jako skalár invariantem, má v tomto případě hodnotu

)uµ

02 2 2

2 2 21 1 1

F u F u Q QK u Qu u uc c c

µ µ⋅ ⋅ +

= − = − = −− − −

(4.20)

kde 0Q je teplo dodané částici (tělesu) za jednotku času v soustavě spojené s částicí.

S ohledem na vztahy (4.2), (2.27), (2.28) můžeme v případě nemechanických procesů vyjádřit skalární součin u Kµ µ vyjádřit také jako

( )0 20 00

d dd dd d dm u um mu K u u u m u cµ µ

µ µ µ µ µ µ= = + = −τ τ τ dτ

.

Ze srovnání tohoto vztahu a vztahu (4.20) dostáváme

0 20

ddm

Q =τ

c , (4.21)

což znamená, že i teplu – „nemechanické“ energii – přísluší hmotnost v přímé analogii ze vztahem (4.6).


- 43 -

5. NĚKTERÉ DŮSLEDKY SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY

KLIDOVÁ HMOTNOST A RYCHLOST ČÁSTIC, TACHYONY, ROZPAD A SRÁŽKY ČÁSTIC, COMPTONŮV JEV, ČERENKOVOVO ZÁŘENÍ,

RELATIVISTICKÝ DOPPLERŮV JEV

5.1 TRANSFORMACE ENERGIE

Nechť částice o klidové hmotnosti 0m má vůči „pozorovací“ (inerciální) soustavě S

rychlost ( ; 0; 0xu u ) a vůči soustavě S′ , která se vzhledem k S pohybuje rychlostí

konst. i= ↑v ↑ , rychlost ( ; 0; 0xu u′ ′ ) . S ohledem na platnost vztahů

2 20 1m m u c= − , ( )2 2

0 1m m u c′ ′= −

můžeme čtyřhybnost (p pµ ) částice v obou soustavách [srovnej (4.8)] zapsat jako

( ) ( )2, , , i , , , ix x x x x xp p p p E c p p p p cE c= ; ( )2, , , ix x xp p p p cE c′ ′ ′ ′ ′ .

Srovnáme-li složky čtyřhybnosti (p pµ ) a čtyřvektoru polohy ( ) ( ), , , ir x r x y z ctµ = ,

resp. ( ) ( , , , ir x y z ctµ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= )r x dostaneme (symbol ≈ je zde použit ve smyslu „odpovídá“) 2S: , , ,x y zp x p y p z E c≈ ≈ ≈ t≈ ,

a také 2S : , , ,x y zp x p y p z E c′ ′ ′ ′ ′ ′ ′≈ ≈ ≈ t′≈ .

Složky všech čtyřvektorů se transformují jako souřadnice – ze speciální (inverzní) LORENTZOVY transformace plyne

2

2 2

2 2

, ,1 1

x

x y y

Epx t cx p y y p p z z p

c c

′′ +′ ′+ ′ ′ ′= ≈ = = ≈ = = ≈ =

− −

vvv v

,z zp′

2 2

2 2

22 2

2 21 1

xEt x Ec ct

cc c

′′ ′+ += ≈ =

− −

v v

v v

2 pc

′.

Z posledního vztahu plyne okamžitě důležitý výraz pro transformaci (celkové) energie částice při přechodu mezi soustavami S a S ′

2

21

xE pE

c

′ ′+=

−

vv (5.1)


- 44 -

5.2 KLIDOVÁ HMOTNOST A RYCHLOST ČÁSTIC

Má-li částice v inerciální soustavě S okamžitou rychlost u , je její relativistická hmotnost

v této soustavě rovna ( )2 20 1m m u c= − . Dále platí 2E mc p mu= ∧ = . Z těchto

vztahů dostaneme

2 2E Em p mu uc c

= ⇒ = = ⇒ 2c

E=u . (5.2) p

Kvadrát čtyřvektoru energie-hybnosti [srovnej (4.9)] je invariantem LORENTZOVY transformace. V libovolných dvou inerciálních soustavách S a S′ tedy platí

2 22 2 2 2

02 2 invariant.E Ep p m cc c

′′− = − = − = (5.3)

Předpokládejme čistě matematicky, že tento invariant může nabývat záporné, nulové nebo kladné hodnoty a vyšetřeme fyzikální důsledky těchto možností.

A. 2

22 0Ep

c− < ⇒ 0 0m E> ∧ > c p . Ze vztahu (5.2) dostáváme

2 2c cu pE cp

= <

u c< – rychlost u částice vzhledem k S (i vzhledem k S′ ) je tedy menší, než rychlost světla (ve vakuu). Současně musí být také 0 0m ≠ ⇒

p ⇒

Částice s nenulovou klidovou hmotností nemůže (v libovolné inerciální soustavě) dosáhnout rychlosti světla ve vakuu.

B. 2

22 0Ep

c− = . V tomto případě musí být 0 0m = a také E cp= . Ze vztahu (5.2)

dostáváme 2c

cp=u – částice má vzhledem k p S (i vzhledem k S ) rychlost ′ u c= .

Částice s nulovou klidovou hmotností (např. foton) se vzhledem k libovolné inerciální soustavě nemůže pohybovat jinak než rychlostí

světla .

C. 2

22 0Ep

c− > . V tomto případě je 0m imaginární číslo a částice s touto (imaginární)

nenulovou klidovou hmotností by se vzhledem k předchozímu mohla v soustavě S pohybovat rychlostí u c> . Existenci těchto (hypotetických) částic, jež byly nazvány tachyony, nelze vzhledem k exaktní matematické diskusi hodnoty invariantu (5.3) zásadně vyloučit a od začátku 60. let 20. století je po nich (doposud neúspěšně) pátráno.

Poznámka

Druhý EINSTEINŮV postulát speciální teorie relativity je obvykle chápán tak, že rychlost c světla ve vakuu je maximální rychlostí, jakou se může pohybovat (reálná) částice. Vyskytují se však i názory, že tento postulát je pouze požadavkem invariance rychlosti světla ve vakuu. Důsledkem tohoto přístupu je předpoklad o tom, že mohou existovat částice (již zmíněné tachyony) pohybující se (v inerciálních soustavách) rychleji, než světlo ve vakuu ( )u c> .


- 45 -

S těmito (hypotetickými) částicemi nelze spojit žádnou inerciální soustavu. Připomeňme, že pro pohyb libovolné inerciální soustavy S′ vůči „pozorovací“ klidné inerciální soustavě S musí již vzhledem k matematickému tvaru LORENTZOVY transformace platit c<v .

Existence tachyonů by měla velmi vážné následky – vedla by např. k porušení obecné platnosti principu kauzality.

5.3 SRÁŽKY ČÁSTIC

5.3.1 DOKONALE NEPRUŽNÁ SRÁŽKA ČÁSTIC

Uvažujme dvě částice A a B , které mají shodné klidové hmotnosti 0m . Při jejich dokonale nepružné srážce z nich vznikne jediná částice C A B= + klidové hmotnosti

0M . o

Nechť 0S je vztažná soustava hmotného středu částic A , B , v níž mají tyto částice před srážkou rychlosti ( )0

A ; 0; 0u u a (0B ; 0; 0u u− ) . Podle zákona o zachování hybnosti platí v

soustavě 0S hmotného středu

( )0 0 0 0A B C C0 0;0;0p p p u+ = = ⇒

– po dokonale nepružné srážce je tedy částice C v soustavě 0S v klidu.

„Pozorovací“ soustava S nechť se vůči 0S pohybuje (s částicí A ) v kladném směru osy ( )1x x konstantní rychlostí o velikosti u – soustava 0S se tedy vůči „pozorovací“

soustavě S pohybuje („směrem vlevo“) rychlostí, jejíž jediná nenulová složka je u− .

V soustavě S mají tedy rychlosti částic A a C první (a jediné nenulové) složky rovny A 0u = , Cu = − B se vzhledem k soustavě 0S pohybuje rychlostí ( )0

B ; 0; 0u u− a

soustava 0S se vůči soustavě S pohybuje rychlostí ( ; 0; 0u− ) . Podle vztahu (2.2) pro relativistické skládání rychlostí má částice B vzhledem k soustavě S rychlost, jejíž jediná nenulová složka Bu je

u . Částice

( )( )( )B 2

22

2

11

u u uuu u u

cc

− + −= = −

− −++

.

Zapišme nyní zákon zachování hybnosti v soustavě S . Platí

A B C B C0p p p p p+ = ⇒ + = ⇒

0

20 0 0B C2 2 2

B C22 2 2

22

2

1

41 1 1 11

m uu

m M Mcu uu u uc c uc

c

−+

= ⇒ = −

− − − −

+

2

2

uuc

⇒


- 46 -

2 22 20 00 0

2 22 2

2 22 2 22 2

22 22

2

4 4

41 1141 1

1

m mM Mu uu uc cc cu u

c ucc

= ⇒ = − −+ − + − +

2 ⇒

2 20 00 0

2 2 2 22

2 2 22

4 2

1 1 11

m mM Mu u uuc c cc

= ⇒ = − − −−

⇒ 00 2

2

2

1

mM

uc

= ⇒

−

0 2M m> 0 (5.4)

Klidová hmotnost částice, vzniklé spojením dvou částic, není rovna prostému součtu jejich klidových hmotností.

Hledejme nyní příčinu této skutečnosti. Všimněme si v této souvislosti, co se po dokonale nepružné srážce „stane“ s kinetickou energií srazivších se částic.

Okamžitý výkon síly působící na částici ( A nebo B ) můžeme vyjádřit (v soustavě 0S ) jako

( ) 02

2

dd d d dd d d

1

muA T m uP F u u T ut t t u

c

= = = ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅

−

, (5.5)

kde dA je elementární práce síly a dT je elementární změna kinetické energie částice. Diferencováním výrazu na pravé straně dostaneme postupně (např. pro částici A , jejíž rychlost v soustavě 0S je u u i= )

122 2 2

2 2 20

0 0 22 2

22 2

1 21 12dd d

d 11 1

u u uum u c c cum i u m i u

uuu ucc c

−

− − − − = =

−− −

d =

3 32 2

2 2

2 2 00

2 2

2 2

1 dd

1 1

u um uc cm i u i

u uc c

− += =

− −

.

Vztah (5.6) tedy můžeme napsat ve tvaru

3 32 2

0 0

2 2

2 2

dd d

1 1

m u m uT ui i u

u uc c

= ⋅ =

− −

.

Integrací použitím substituce ( 2 21z u c= − ) obdržíme pro kinetickou energii částice

2

2

2d d d d2

u cz u uc u

= − ⇒ = − ⇒z


- 47 -

323

232

2 2 120 0 0d d 32 2 2 1

2

m u m c m cc zT z z zuz

− +−

= − = − = − + ⇒ − +

∫ ∫ b 2

02

21

m cuc

= +

−

T b .

Integrační konstantu určíme z podmínky 0 0u T= ⇒ = 20b m c= − takže kinetickou

energii částice můžeme zapsat jako jako

20 2

2

1 11

T m cuc

=

−

−

. (5.6)

Při použití rozvoje jmenovatele v binomickou řadu můžeme psát

42 2

0 0 22

2

1 1 312 8

1

uT m c m u mcu

c

= − ≈ +

−

0 + .

Všimněme si opět možnosti limitního přechodu k „newtonovskému“ vyjádření kinetické energie částice.

Ze vztahu (5.4) a vyjádření kinetické energie částice A nebo B vztahem (5.6) plyne

00 0 0 02 2

2 2

2 12 2 21 1

mM m m m

u uc c

− = − = −

− −

1 202 22

2

2 1 11

m c Tc cu

c

= −

−

2= .

Zavedeme-li označení 0 02 2M m m− = ∆ 0= ∆T ůžeme poslední výraz upravit na (již dříve uvedený) tvar

E , m0 a

00 2

Emc

∆∆ = . (5.7)

Z hlediska diskutované fyzikální situace je interpretace těchto úvah následující. Kinetická („vnější“) energie T každé z obou dokonale nepružně se srazivších částic se po jejich zastavení přemění ve vnitřní (tepelnou) energii 0E∆ částic a tedy

Změna vnitřní energie částice o 0E∆ vede ke změně klidové hmotnosti částice o 2c0 0m E∆ = ∆ .

Tento závěr byl v době vzniku speciální teorie relativity naprosto revoluční a neslučitelný s představami newtonovské fyziky.

Změna klidové energie částice je podle vztahu (5.7) jednoznačně spojena se změnou její klidové hmotnosti. To umožňuje vyslovit tvrzení, že klidová hmotnost částice je mírou její klidové energie, což je potvrzením nám již známého vztahu 2

0 0E m c= .

Připomeňme na závěr znovu, že celková energie částice, která je mimo dosah silového pole, je


- 48 -

202 2

0 0 0 2 2

2 2

1 11 1

m cE E T m c m c mc

u uc c

= + = + − = =

− −

2 .

5.3.2 ROZPAD ČÁSTICE Studujme částici (např. jádro atomu), která se samovolně (bez působení vnějších sil) rozpadne na dvě části. Předpokládejme, že do okamžiku rozpadu je částice v klidu (její hybnost je nulová) a její klidová hmotnost v její „vlastní“ – tj. s ní spojené soustavě 0S , je

0M . Celková energie částice ve vlastní soustavě je tedy 0 20E M c= .

Rozpadem „mateřské“ částice vzniknou a oddělí se od sebe dvě částice o klidových hmotnostech 1,0m , 2,0m , pro něž je soustava 0S soustavou jejich hmotného středu. V této

soustavě mají pohybující se částice nenulové hybnosti 01 ,p p ro něž platí 0 0

1 2 0p p+ = a jejich celkové energie v soustavě 0S jsou

02 p

0 2 01 1,0 1 1,0E m c T m c= + > 2 0 2 0

2 2,0 2 2,0E m c T m c= + >, . 2

⇒

2

0

Ze zákona zachování (celkové) energie plyne

( )0 2 0 0 2 0 2 0 2 0 00 1 2 1,0 1 2,0 2 1,0 2,0 1 2E M c E E m c T m c T m m c T T= = + = + + + = + + +

( )0 20 1,0 2,0E M c m m c= > +

a podmínkou pro samovolný rozpad částice je tedy

0 1,0 2,M m m> + (5.8)

Jestliže není podmínka (5.8) splněna – platí-li 0 1,0 2,0M m m< + ,

2c

je uvažovaná (původní) částice vůči uvažovanému rozpadu stabilní a k jejímu rozpadu je proto nutno zvenčí dodat (tzv. vazebnou) energii, jejíž hodnota je alespoň

( )0 2v 1,0 2,0 0E m m c M∆ = + − .

Veličinu 0v

1,0 2,0 0 02

E m m M Mc

∆= + − = ∆ (5.9)

nazýváme hmotnostní defekt (daného) rozpadu. Z podmínky (5.8) plyne, že pro samovolný rozpad částice (atomového jádra) musí být hmotnostní defekt záporný.

Ze zákona zachování hybnosti 0 01 2 0p p+ = soustavy rozpadem vzniklých částic plyne

0 01 2p p= − ( ) ( )20 2 0

1 2p c p c=2 2 a vzhledem k invariantu 2 2 2

0E c m c p= + [(4.9a)] platí ⇒

( ) ( )20 2 4 01 1,0 1E m c p= + 2 2c ( ) ( )20 2 4 0 2 2

2 2,0 2E m c p c= +, ⇒

40c( ) ( )2 20 2 4 0 2

1 1,0 2 2,E m c E m− = − .


- 49 -

Ze zákona zachování celkové energie ( )2 0 00 1M c E E= + 0

2E jako 0 22 0E M c E= − e posledního vztahu; pro celkové energie rozpadem vzniklých

částic pak dostáváme

2 vyjádříme např. 01 a dosadím

⇒( ) ( )2 20 2 4 2 4 2 0 0 2 41 1,0 0 0 1 1 2,02E m c M c M c E E m c− = − + −

2 4 2 0 2 4 2 40 0 1 1,0 2,02 0M c M c E m c m c− + − = ⇒

2 2 20 0 1,0 2,01

02M m m

E cM

+ −= 2 .

Analogickým postupem bychom získali i 2 2 2

0 0 1,0 2,02

02M m m

E cM

− += 2 .

Kladný hmotnostní defekt 0M∆ atomového jádra vůči určitému typu rozpadu není postačující podmínkou jeho (absolutní) stability. Příkladem je jádro izotopu berylia 8

4Be , jehož klidová hmotnost je 0 8,00785 a.h.j.M =

Sečteme-li klidové hmotnosti nukleonů v jádře tohoto izotopu, dostaneme ( )n,0 p,01,00893 a.h.j., 1,008123 a.h.j.m m= =

j,0 4 1,00893 4 1,008123 8,068212 a.h.j.m = ⋅ + ⋅ =∑

Hmotnostní defekt jádra berylia 84Be je tedy

( )0 j,0 0 8,068212 8,00785 0,6036 a.h.j. 0M m M∆ = − = − = >∑ ,

z čehož plyne, že jádro uvažovaného izotopu berylia je stabilní vůči samovolnému rozpadu na soustavu nukleonů z nichž se skládá.

Klidová hmotnost částice α – jádra atomu helia 42He má hodnotu ,0 4,00390 a.h.j.mα =

Klidová hmotnost dvou částic α , na něž by se jádro 84Be mohlo rozpadnout, je

,02 2 4,00390 8,00780 a.h.j.mα = ⋅ = Hmotnostní defekt tohoto rozpadu je tedy roven

( )0 ,0 02 8,00780 8,00785 0,00005 a.h.j. 0M m Mα′∆ = − = − = − < .

Vůči rozpadu na dvě heliová jádra (radioaktivitě typu α ) je tedy jádro 84Be nestabilní.

5.3.3 DOKONALE PRUŽNÁ SRÁŽKA ČÁSTIC NENULOVÉ KLIDOVÉ HMOTNOSTI

O dokonale pružné srážce částic (A, B) hovoříme tehdy, když se klidové hmotnosti jednotlivých částic (po srážce) zachovávají.

Zvolme soustavu S tak, že částice B ( 0m ) je

před srážkou v klidu ( 2 0u = ) a nachází se v jejím počátku. Částice A se před srážkou pohybuje vzhledem k soustavě S konstantní rychlostí 1u . Souřadnicové osy 0x , soustavy S nechť leží v rovině rychlostí 1u′ a

1u′

2u′ 1u

Obr. 5.1

ϑ ϕ

0

y

x

0y


- 50 -

2u′ částic po jejich (dokonale pružné) srážce a nechť je 1′ ↑↑u – obr. 5.1. i

Zákon zachování hybnosti v soustavě S můžeme (v průmětech na souřadnicové osy) zapsat jako

1 1 2 1 2cos cos , sin sinp p p p p′ ′ ′ϕ = + ϑ ϕ = ϑ .

2

Po umocnění těchto výrazů na druhou a jejich součtu dostaneme 2 2

1 2 1 1 22 cosp p p p p′ ′ ′ ′ϑ = − − . (5.10)

Zákon zachování hmotnosti v soustavě S zapíšeme jako

1 0 1m m m m′+ = + 2′ . (5.11)

Ze vztahu (5.3) – vyjádření invariantu čtyřvektoru energie - hybnosti – dostaneme

(2 2 4

2 2 2 2 2 2 2 2 20 02 2

E m c m c p m c p c m mc c

= = = + ⇒ = − ) (5.12)

a použijeme-li tohoto vyjádření na pravé straně vztahu (5.10), dostaneme

( ) ( ) ( ) ( ) (2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 0 1 0 2 0 1 0 1 2 02

2 cos 2p p m m m m m m m m m m mc

′ ′ ′ ′ ′ ′ϑ = − − − − − = − − + − ) ⇒

2 2 21 2 1 0 1 22

2 cosp p m m m mc

′ ′ ′ ′ϑ = + − − 2 .

Dosadíme-li za 1m ze vztahu (5.11) výraz 1 1 2m m m m′ ′= + − 0 , dostaneme

( )21 2 0 1 2 1 0 2 02

2 cos 2p p m m m m m m mc

′ ′ ′ ′ ′ ′ϑ = + − − ⇒

( ) (1 22 0 1 0cosp p m m m m

c′ ′

′ ′ϑ = − −′

) . (5.13)

Připomeňme, že v newtonovské mechanice platí 1 2m m m′ ′= = proto je pro ( )1 2 0p p′ ′ ≠ cos 0 2ϑ = ⇒ ϑ = π a trajektorie částic po dokonale pružné srážce jsou navzájem kolmé.

0 ;

V relativistické dynamice určíme úhel ϑ ze vztahu (5.13) jako

( ) ( )2 0 1 02

1 2

cosm m m m

cp p

′ ′− −ϑ =

′ ′

a použitím (5.12) dostaneme

( ) (( ) (

))

2 0 1 0

2 0 1 0

cosm m m mm m m m

′ ′− −ϑ =

′ ′+ +.

Je-li 1 2 0p p′ ′ ≠ , je zřejmě 1 0 2,m m m m′ ′> > ( )( )2 0 1 0 0m m m m′ ′− − >

1

, takže 0 , a tedy

0 cos 1 0< ϑ < ⇒ < ϑ < .

V relativistické dynamice tedy trajektorie částic po dokonale pružné srážce spolu svírají ostrý úhel.


- 51 -

5.3.4 COMPTONŮV ROZPTYL V tomto případě jde o (v praxi velmi významnou) pružnou srážku fotonu s elektronem – jde tedy o srážku částic s nulovou (foton) a nenulovou (elektron) klidovou hmotností. Nechť před srážkou je elektron ( e,0 0 0m m= ≠ ) v pozorovací soustavě S v klidu a foton

( f,0 0m = ) nechť má frekvenci 0ν a pohybuje se (rychlostí c ) rovnoběžně s 0 (obr. 5.2).

x

Energie E fotonu je vyjádřena součinem PLANCKOVY konstanty a jeho frekvence ν ; Platí tedy

( )h

E h= ν

Z kvadrátu čtyřvektoru energie – hybnosti ( )2 2 2 2

0p E c m c− = − můžeme určit

energii fotonu pomocí jeho hybnosti jako

h cν

0h cν

Obr. 5.2

ϑ ϕ

0

y

x

mu

2

( )0 0m =

=E pc

Hybnost fotonu je tedy určena vztahem ( )c = νλ

E pc h= = ν ⇒ h hpcν

= =λ

(5.14)

Dokážeme nyní, že následkem pružné srážky fotonu s elektronem (obecně s libovolnou částicí, jejíž klidová hmotnost je nenulová) dojde ke změně frekvence fotonu.

Zákony zachování energie a hybnosti pro případ pružné srážky uvažovaných částic mají tvar (obr. 5.2)

Energie fotonu + energie elektronu

2 20 0h m c h mcν + = ν +

0 cos cosh h muc cν ν

= ϕ + ϑ

Hybnost fotonu + hybnost elektronu

0 sin sih mucν

= − ϕ + ϑn

(ve složkách) V dalším nás bude zajímat pouze to, co se následkem pružné srážky stane s fotonem. Musíme se proto „zbavit“ úhlu ϑ , relativistické hmotnosti m elektronu a jeho rychlosti u po srážce s fotonem.

Upravíme proto nejdříve zákony zachování tak, abychom z nich vyloučili úhel ϑ . Ze vztahů pro složky hybnosti plyne

( )0cos coshmuc

ϑ = ν − ν ϕ , sin sinhmuc

ϑ = ν ϕ .

Umocníme-li tyto vztahy na druhou a sečteme, dostaneme

( )2

22 2 2 202 cos sinhm u

c= ν − ν ϕ + ν (5.15) ϕ .


- 52 -

Nyní se budeme snažit vyjádřit levou stranu tohoto výrazu vztahem neobsahujícím ani m ,

ani u . Z vyjádření relativistické hmotnosti ( )2 20 1 u c= −m m elektronu plyne

(2 2 2 2 20m u c m m= − (5.16) ) .

Vyjádříme-li (tutéž) relativistickou hmotnost elektronu ze zákona zachování energie (str.51), dostaneme

( )20 0

2

m c hm

c+ ν − ν

= .

Dosadíme-li tento výraz na pravou stranu rovnice (5.16), dostaneme

( ) 220 02 2 2 2

04

m c hm u c m

c

+ ν − ν = −

⇒

( ){ }22 2 2 2 40 02

1m u m c h m cc

= + ν − ν − 0 .

Porovnáme-li toto vyjádření součinu 2 2m u se vztahem

2 2

(5.15), dostaneme

( ) ( )2 22 2 4 20 0 0 0 cos sinm c h m c h + ν − ν − = ν − ν ϕ + ν ϕ .

Po provedení elementárních úprav tohoto výrazu dostaneme

( )0 0

1 cosc c hm c

− = − ϕν ν

.

Vyjádříme-li vlnovou délku fotonu před a po srážce s elektronem jako 0 0c ν cλ = ν , obdržíme

λ = ,

(00

1 coshm c

λ − λ = ∆λ = − ϕ) (5.17)

Při srážce fotonu s elektronem dojde tedy ke zvětšení vlnové délky fotonu a tím ke zmenšení jeho energie.

Vztah (5.17) ukazuje, že tato změna nezávisí na původní frekvenci fotonu – barvě (monochromatického) záření. Tento jev (rozptyl RENTGENOVSKÝCH fotonů na elektronech) pozoroval poprvé ARTUR H. COMPTON v r.1922.

COMPTONOVA rovnice (5.17) udává změnu vlnové délky fotonu ( tzv. COMPTONŮV posuv) při rozptylu (o úhel ϕ ) na částici s klidovou hmotností 0 0m ≠ . Veličina 0h m c (mající rozměr délky) se nazývá comptonovská vlnová délka rozptylující částice a pro elektron má hodnotu 0,00242 nm , což je asi 122,4 10 m−⋅ .

K největší změně vlnové délky dochází při „odrazu“ ( 180ϕ = ) fotonu od částice s nenulovou klidovou hmotností. Pro srážku s elektronem je v tomto případě

0,00482 nm∆λ = , při srážkách s ostatními částicemi je tato změna podstatně menší vzhledem k jejich větším klidovým hmotnostem.

Změny vlnové délky jsou dobře pozorovatelné u RTG záření, neboť činí několik procent původní vlnové délky tohoto záření. Pro viditelné světlo jsou tyto změny pozorovatelné podstatně obtížněji, neboť jsou menší než 0,01% jeho původní vlnové délky.


- 53 -

5.4 ČERENKOVOVO ZÁŘENÍ

Rychlost pohybu částic s nenulovou klidovou hmotností je podle speciální teorii relativity ve vakuu omezena podmínkou u c< . Při pohybu elektricky nabitých částic v látkovém prostředí však může být jejich rychlost větší než (tzv. fázová) rychlost c n světla v tomto prostředí ( n je absolutní index lomu daného prostředí). Pohyb těchto částic rychlostí u c n> je provázen charakteristickým zářením, které se podle svého objevitele nazývá ČERENKOVOVO záření.

Vznik tohoto záření můžeme přirovnat ke vzniku rázové zvukové vlny při nadzvukové rychlosti pohybu těles ve vzduchu. I v případě ČERENKOVOVA záření dochází k „zaostávání“ elektromagnetické vlny vytvářené pohybující se nabitou částicí za touto částicí. ČERENKOVOVO záření je zajímavé i proto, že je vyzařováno nabitou částicí, která se pohybuje rovnoměrným pohybem.

Předpokládejme, že částicí, která se pohybuje v látkovém prostředí (čirém dielektriku) nadsvětelnou rychlostí, je elektron s klidovou hmotností 0m . Vyzářením fotonu o energii

hν se energie elektronu 2 2 2 40E p c m c= + změní na 2 2 2 4

0E p c m c′ ′= + .

Označíme-li hybnost elektronu před a po emisi fotonu jako p a p′ , resp. hybnost fotonu (formálně) jako vektor fp , můžeme zákon zachování energie a zákon zachování hybnosti v soustavě klidné vůči látkovému prostředí zapsat ve tvaru

2 2 2 40E h E E h p c m c′ ′− ν = ⇒ − ν = + ,

fp p p′ = − ⇒ ; 2 2 2f f2 cosp p p pp′ = + − ϑ

ϑ je úhel svíraný vektory p a fp . Ze zákona zachování energie vyjádříme p′ jako

( )222 2

02 2 2

2 hE Ehp mc c c

νν′ = − + − 2c

a dosadíme toto vyjádření do kosinové věty pro velikost vektorového rozdílu. Dostáváme

( )22 2 2f f2 cos 2pp c p c h Ehϑ = − ν + ν . (5.18)

Vzhledem k tomu, že platí s

f2 ; ;E h cp mu u pc n

= = = λ = = ⇒ ν =λ ν ν

v cnλ

,

můžeme rovnici (5.18) zapsat jako 2 2 2

2 22 2 2 2

22 cosE h h h c hcu c c Ec n

ϑ = − + ⇒λ λ λ λn

2

2

1cos 12

c hcnu E u n

ϑ = + − λ .

Druhý výraz na pravé straně můžeme zanedbat, neboť pro viditelné světlo je hodnota 2 2 10hc E u −λ ≈ 5 . Můžeme tedy psát

cos cnu

ϑ= (5.19)

Tato rovnice má reálné řešení pro 1c nu u c n< ⇒ > .


- 54 -

5.5 RELATIVISTICKÝ DOPPLERŮV JEV

V soustavě S se šíří rovinná onochromatická elektromagnetická vlna o frekvenci m ν rychlostí c ve směru normály n k vlnoploše.

Při popisu v soustavě S projde čelo vlny počátkem 0 soustavy v okamžiku 0t = a bodem [P ,x y žiku

α

Obr. 5.3

x ≡ x´

ny´ y

0

α

0´

P

] v okam

00 cosP x yt

c cα +

= =sin α .

Kolem pozorovatele P projde v časovém intervalu ( 0t t− počet vln, který můžeme zapsat jako

)

( )0cosxt t tν − = ν −

sinyc

α + α

.

Tento počet vln nemůže záviset na volbě vztažné soustavy, takže v libovolných dvou inerciálních soustavách S a S musí platit ( ) (0 0t t t t′ ′ ′= ν −′ ν −

cos sinx yα + α ν − = ν

) neboli

cos sinx yt tc c

′ ′ ′α + α′ ′ −

′

.

Použijeme-li k vyjádření veličin na levé straně tohoto výrazu inverzní LORENTZOVU transformaci

2

2 2

2 2

; ; ;1 1

t xx t cx y y z z t

c c

′ ′+′ ′+ ′ ′= = = =

− −

vvv v

,

dostaneme 2

2cos1 1 t tc c

α ′ ′ ′− − ν − = ν

v v− .

Porovnáním výrazů u t dostáváme ′

2

2

cos1

1

c

c

α−′ν = ν

−

v

v. (5.20)

Nechť S je inerciální vztažná soustava pozorovatele a S vlastní soustava zdroje světla. Vzhledem k tomu, že zdroj je v soustavě

′S v klidu, vysílá vzhledem k této soustavě záření

o klidové frekvenci ′

0ν . Ve vztahu (5.20) je tedy ν frekvence registrovaná pozorovatelem a 0′ν = ν je klidová frekvence zdroje, který se vůči pozorovateli pohybuje rychlostí v . Uplatníme-li toto označení, dostaneme

( )2 2

0

1

1 cos

c

c

−ν = ν

− α

vv (5.21)


- 55 -

Je-li cos 1α = (zdroj se pohybuje směrem k pozorovateli), můžeme tento vztah upravit do tvaru

0

1 1

1 1

c c

c c

+ − ν = ν ⇒

− −

v v

v v

( )( )0

11

cc

+ν = ν

−vv , (5.22)

vyjadřujícího tzv. podélný DOPPLERŮV jev.

Je-li cos 0α = (směr pozorovaného světla je kolmý ke směru pohybu zdroje) dostáváme ze vztahu (5.21) výraz pro změnu frekvence při tzv. příčném DOPPLEROVĚ jevu

( )2 20 1 cν = ν − v (5.23)

který nemá obdoby v nerelativistické fyzice.

6. Několik slov o obecné teorii relativity

- 56 -

6. NĚKOLIK SLOV O OBECNÉ TEORIE RELATIVITY

PRINCIP EKVIVALENCE A OBECNÝ PRINCIP RELATIVITY, VLIV GRAVITAČNÍHO POLE NA METRIKU PROSTORU

Speciální teorie relativity pracuje výhradně s inerciálními soustavami – vylučujeme tedy setrvačné síly a zabýváme se pouze silami vzájemného působení, „šířícími se od tělesa k tělesu“ rychlostí, nepřevyšující rychlost c světla ve vakuu. Ve shodě s EINSTEINOVÝM principem relativity mají v těchto soustavách všechny fyzikální zákony tentýž tvar, nebo – což je totéž – jsou tyto zákony invariantní vůči LORENTZOVĚ transformaci.

Námi doposud „přehlížené“ setrvačné síly mají tu zvláštnost, že udělují tělesům zrychlení, které nezávisí na jejich hmotnosti. Kromě toho je možno tyto síly vyloučit volbou vhodné vztažné soustavy, která se pak jeví jako soustava inerciální.

Z těchto úvah je viditelný privilegovaný charakter inerciálních soustav. V těchto soustavách – znovu to připomeňme – se vyskytují pouze síly vzájemného působení.

EINSTEINŮV princip relativity říká, že inerciální soustavy od sebe nelze odlišit žádným fyzikálním experimentem. Proto také – z hlediska inerciálních soustav – ztrácí jakýkoliv smysl úvahy o absolutním prostoru a času.

Zcela jiná je v tomto směru situace z hlediska setrvačných sil. Již rovnoměrná rotace vyvolává pole setrvačných odstředivých sil, přičemž jednou z možných příčin tohoto jevu by mohla být právě absolutnost prostoru.

Toto vysvětlení původu setrvačných odstředivých sil nebylo možno pokládat za uspokojivé a již dlouho před EINSTEINEM byla vyslovena hypotéza o tom, že příčinou setrvačných sil je veškerá hmota vesmíru. Kdybychom tuto hypotézu přijali, museli bychom i setrvačné síly považovat za síly speciálního vzájemného působení těles.

Již od časů GALILEA je známo, že gravitační pole se shoduje s polem setrvačných sil právě v tom, že uděluje všem tělesům (bez ohledu na jejich hmotnost) totéž zrychlení. Hmotnost tělesa v gravitačním poli jiných těles (tzv. „těžká“ nebo také tíhová hmotnost) je kvantitativní charakteristikou gravitační síly, kterou je těleso přitahováno k ostatním tělesům ve svém okolí.

Naopak při pohybu tělesa pod vlivem jiné než gravitační síly se hmotnost jeví jako kvantitativní charakteristika jeho setrvačnosti – schopnosti jakési „obrany“ tělesa vůči změně rychlosti. V tomto případě hovoříme o tzv. setrvačné hmotnosti tělesa.

Zdálo by se tak, že setrvačná a těžká hmotnost spolu nemají nic společného, neboť první z nich souvisí s pohybem v libovolném silovém poli a druhá pouze s pohybem v poli gravitačním.

Gravitační pole Země působí na částici gravitační silou

Z2

gM mF G

r= ,

kde ZM je hmotnost Země a gm je těžká hmotnost částice. Gravitační síla uděluje částici zrychlení ga a podle NEWTONA proto platí

s gF m a= ,


- 57 -

kde sm je setrvačná hmotnost částice. Srovnáním obou vztahů dostaneme

2Z g g

s g g2s Z

M m m rG m ar m G

= ⇒ = aM

.

Výraz ( )2Zr GM je pro všechny částice ve vzdálenosti r od gravitačního centra stejný.

Proto je jasné, že poměr gm m pouze gravitačním zrychlením ga . s je určen

Nebude-li toto zrychlení záviset ani na tvaru částice ani na jejím chemickém složení, bude těžká hmotnost částice rovna (úměrná) její hmotnosti setrvačné. Prokáže-li experiment, že

gm m= s , můžeme hovořit o ekvivalenci těžké a setrvačné hmotnosti.

NEWTONOVSKÁ fyzika nebyla s to objasnit nebo vysvětlit zda a proč je gm m= s a byl to pro ni pouze nanejvýš pozoruhodný, ale zároveň krajně nepochopitelný fakt. NEWTON použil k měření vzájemného poměru obou hmotností kyvadla. Stejnou metodou později BESSEL určil, že poměr gm m jedné více než o 5−10 . s se neliší od

L.V.EÖTVÖS spolu s D.PEKAREM a E.FEKETEM pomocí torzních vah dosáhli přesnosti 910− . Na stejném zařízení ale při značně zlepšeném uspořádání, dosáhli R.H.DICKE,

P.L.ROLL a R.KROTKOV kolem roku 1964 přesnosti 1110− . V roce 1971 informují V.B.BRAGINSKIJ a V.I.PANOV o dosažení přesnosti 12−10 .

Fantastická přesnost těchto pokusů opravňuje k tomu, že NEWTONŮV gravitační zákon můžeme psát ve tvaru

1g 2g 1s 2s2 2

m m m mF G Gr r

= = ,

kde 1g 2g,m m jsou těžké a 1s 2s,mm setrvačné hmotnosti přitahujících se částic.

NEWTONŮV gravitační zákon je invariantní vůči GALILEOVĚ transformaci, nikoliv však vůči transformaci LORENTZOVĚ. To je jeho základní a principiální nedostatek, dlouhou dobu však trápil prakticky jen EINSTEINA samotného. Výsledkem jeho úvah bylo vyslovení (1907)

PRINCIPU EKVIVALENCE TĚŽKÉ A SETRVAČNÉ HMOTNOSTI a s ním souvisejícího (1915)

PRINCIPU LOKÁLNÍ EKVIVALENCE POLE GRAVITAČNÍCH A SETRVAČNÝCH SIL .

Princip lokální ekvivalence říká, že neinerciální vztažné soustavy jsou (lokálně) ekvivalentní nějakému gravitačnímu poli přítomnému v inerciální soustavě. Tuto zajímavou skutečnost si můžeme objasnit následujícím příkladem.

Předpokládejme, že v kabině výtahu volně padá tuhé těleso. Je-li kabina v klidu vůči povrchu Země, pohybuje se těleso v (lokálně) homogenním gravitačním poli s konstantním zrychlením ga . Nechť nyní současně s tělesem volně padá i kabina výtahu. Při jinak stejných počátečních podmínkách pohybu tělesa i kabiny se v tomto případě těleso nachází vůči kabině v klidu. Ve zrychleně se pohybující neinerciální soustavě spojené s kabinou na těleso spolu s gravitační silou působí právě opačná setrvačná síla a jejich vektorový součet je roven nule – těleso je vzhledem k působení těchto sil v rovnováze.

Uvedený příklad dále ukazuje, že uvnitř padající kabiny (neinerciální soustavy) nelze její zrychlený pohyb pozorovat – jinými slovy – volně padající kabina výtahu se chová jako


- 58 -

inerciální soustava a proto v ní také – mimo jiné – platí všechny poznatky, vztahy a zákony speciální teorie relativity.

Je třeba zdůraznit, že právě popsaný jev má pouze lokální charakter – potřebná „srovnatelnost“ gravitační a setrvačné síly je i vzhledem k požadavku homogennosti gravitačního pole omezená jen na „malé“ oblasti prostoročasového kontinua.

PRINCIP LOKÁLNÍ EKVIVALENCE tedy říká, že

Gravitační pole v malé oblasti prostoročasového kontinua je ekvivalentní poli setrvačných ( inerciálních) sil , vznikajících při

pohybu se zrychlením . Tato dvě pole nelze v uvažované malé oblasti od sebe odlišit žádným fyzikálním experimentem.

Uvažujme lokálně inerciální vztažnou soustavu spojenou s pohybující se soustavou – např. již zmíněnou kabinu výtahu, volně padající v malé oblasti prostoročasového kontinua. V této „inerciální“ soustavě S′ můžeme v souladu se speciální teorií relativity vyjádřit kvadrát 2sd nekonečně malého prostoročasového intervalu jako invariant

2 2 2 2 2 2d d d d d d d , 1, 2, 3,s x y z c t x xµ µ′ ′ ′ ′ ′ ′= + + − = µ = 4 . (6.1)

Přejděme nyní do pozorovací inerciální soustavy S (v našem případě to může být např. soustava spojená se Zemí). Jde tedy o transformaci prostoročasových souřadnic, vyjádřenou transformačními vztahy

( )1 2 3 4, , , ; 1, 2, 3, 4x x x x x xµ µ′ ′= µ = .

Invariant 2sd lze se při této transformaci vyjádřit jako 2d d d ; , 1, 2, 3, 4s x xα β α β= α β =g , (6.2)

kde α βg je tzv. metrický tenzor, pro nějž platí

; , , 1, 2, 3, 4x xx xδ δ

α β β αα β

′ ′∂ ∂= = α β δ =∂ ∂

g g . (6.3)

Ve speciálním případě, kdy prostor můžeme pokládat za pseudoeuklidovský (viz dále), platí α β α β= δg (CRONECKEROVO „delta“).

Metrický tenzor α βg charakterizuje vnitřní geometrické vlastnosti prostoru.

Objasněme si jeho význam pomocí následující analogie. Uvažujme dva nekonečně blízké body prostoru, ležící

1. 2. 3.

ad 1)

ad 1)

ad 1)

v rovině, na válcové ploše poloměru ρ , na kulové ploše poloměru r .

„Prostorovou“ vzdálenost mezi dvěma body (měřenou na těchto plochách) je možno v jednotlivých případech vyjádřit jako

2d dx + 2y , (6.4a) 2 2d dzρ ϕ + 2 , (6.4b) 2 2 2 2d sin dr rϑ + ϑ ϕ2 . (6.4c)


- 59 -

Srovnejme nejdříve vztahy (6.4a) a (6.4b).

Metrický tenzor α βg určuje délky (na povrchu dané plochy ležících) křivek a jimi svírané

úhly. Pokud bychom na celé válcové ploše ( )konst.ρ = ρϕ = σ ⇒ d dρ ϕ = σ , budou výrazy (6.4a) a (6.4b) formálně naprosto stejné a můžeme proto říci, že rovina i válcová plocha mají stejnou vnitřní geometrii.

položili

To se projevuje např. v tom, že jakoukoliv „část“ takové válcové plochy můžeme rozvinout a získat tak část roviny beze změny vzdálenosti libovolných dvou bodů této části válcové plochy.

Srovnání vztahů (6.4c) a (6.4a) dopadne zcela jinak. Neexistuje totiž žádná možnost převedení části kulové plochy na část roviny při zachování vzdálenosti libovolných dvou bodů této části kulové plochy. To znamená, že kulová plocha má jinou vnitřní geometrii než rovina.

Vraťme se ke vztahu (6.2) a předpokládejme, že veličiny (složky metrického tenzoru) α βg jsou jistými funkcemi souřadnic 1 2 3 4, , ,x x x x . Ptáme se nyní, existuje-li taková

transformace, která by převedla vyjádření invariantu 2sd na tvar (5.1) v „celém“ prostoru.

Odpověď na tuto otázku je obecně záporná. Potřebná transformace existuje pouze pro takové složky metrického tenzoru α βg (tj. pro takové funkce souřadnic 1 2 3 4, , ,x x x x ), pro něž nabývá nulové hodnoty jistý pomocný tenzor, odvozený z metrického tenzoru, nazývaný tenzorem křivosti plochy. Tento tenzor je ve speciálním případě – pro rovinu a válcovou plochu – roven nule. Tenzor křivosti kulové plochy je však ve všech jejích bodech nenulový.

Vnitřní geometrie prostoru, určená obecně vztahem (6.2) pro čtverec lineárního elementu na ploše, se nazývá RIEMANNOVA geometrie. Vnitřní geometrie určená vztahem (6.1) je geometrií euklidovskou (nebo pseudoeuklidovskou, neboť čtvrtá souřadnice je ryze imaginární). EUKLIDOVSKÁ geometrie je tedy vzhledem k výše uvedenému speciálním případem geometrie RIEMANNOVY.

Posuzujeme-li vztažné soustavy z hlediska jejích vnitřní geometrie, můžeme říci, že inerciální vztažné soustavy jsou charakterizovány

(pseudo)euklidovskou geometrií .

Jestliže ve výše zmíněném příkladu volně padající kabiny výtahu přejdeme z lokálně inerciální soustavy kabiny do soustavy spojené se Zemí, „zpozorujeme“ gravitační zrychlení tělesa v kabině. Matematicky to znamená, že vyjádření kvadrátu prostoročasového intervalu přejde z tvaru (6.1) ve tvar (6.2).

EINSTEINOVA základní myšlenka a přínos spočívá v postižení toho, že (obecná) odlišnost složek metrického tenzoru α βg od α βδ je způsobena gravitačním polem a matematicky znamená přechod od PSEUDOEUKLIDOVSKÉ geometrie ke geometrii RIEMANNOVĚ. K závěru, že ekvivalence gravitačních a setrvačných sil musí vést ke změně geometrie a že „skutečný“ prostor „kolem“ gravitačních center nemusí být euklidovský, dospěl EINSTEIN v r.1913

Jestliže je při tomto přechodu metrický tenzor α βg takový, že tenzor křivosti je nulový, pak v oblasti prostoročasového kontinua, do níž přecházíme, působí speciální (odstranitelné) „gravitační“ pole, nazývané polem setrvačných sil.


- 60 -

V případě nenulového tenzoru křivosti působí v dané oblasti prostoročasového kontinua „pravé“, skutečné“ gravitační pole, jehož zdrojem jsou hmotná tělesa v dané oblasti se nacházející; v okolí těchto těles je prostor zakřivený.

„Pravá“ gravitační pole nelze žádnými transformacemi „odstranit“ v „celém prostoru“. Právě v tom spočívá jejich zásadní odlišnost od polí setrvačných sil. Tato pole jsou ekvivalentní s gravitačními poli pouze lokálně, v „malých“ oblastech prostoročasového kontinua.

Na základě těchto a dalších úvah, poznatků speciální teorie relativity, RIEMANNOVY geometrie a poměrně složitého matematického aparátu sestavil v roce 1915 A.EINSTEIN (EINSTEINOVY) rovnice gravitačního pole a vyslovil

OBECNÝ PRINCIP RELATIVITY

Všechny přírodní zákony mají stejný tvar (platí stejně) ve všech ekvivalentních vztažných soustavách

Za ekvivalentní přitom považujeme ty vztažné soustavy, které mají stejný metrický tenzor.

EINSTEINOVA teorie gravitace je z historických důvodů známa pod názvem

OBECNÁ TEORIE RELATIVITY.

zÁklady speciÁlnÍ teorie relativityartemis.osu.cz/strep/strep.pdfzáklady speciální teorie...

Documents