zna enje indeksa č jidk -...
TRANSCRIPT
Naprezanje u dva pravca*Opšte stanje napona
Tenzor napona
Opšte stanje napona
Z č j i d k
Normalni napon: indeksi pokazuju površinu na koju djeluje.
Značenje indeksa
Tangencijalni napon: prvi indeks pokazuje površinu na koju napon djeluje, a drugi pravac u kojem djeluje.
Konvencija o predznaku napona
Normalni napon je pozitivan ako se njegov smjer poklapa sa smjerom vanjske normale na elementu površine
Konvencija o predznaku napona
smjerom vanjske normale na elementu površine
Tangencijalni napon je pozitivan ako je na gornjoj i desnoj površini elementa usmjeren ka pozitivnom smjeru ose.
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 60
*Grupa autora, Elastostatika I, Tehnički fakultet, Bihać, 2003
Naprezanje u dva pravca*
Ravno stanje naponaRavno stanje napona
Ravno stanje napona – jedinstveno predstavljeno s dvije komponente normalnog napona i jednom komponentom tangencijalnog napona koji djeluju na element s određenim položajem u tački elementa.
xy yxτ τ=1 1 1 1x y y xτ τ=
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 61
Naprezanje u dva pravca
Naponi na kosoj ravniNaponi na kosoj ravni
10x i
i
F =∑1 0 0 0
0 0
sec( ) cos( ) sin( )
tg( )sin( ) tg( )cos( ) 0x x xy
y yx
A A A
A A
σ θ σ θ τ θ
σ θ θ τ θ θ
− − +
− − =
i
(3.1)
1 1 0 0 0sec( ) sin( ) cos( )x y x xyA A Aτ θ σ θ τ θ+ − +
10y i
iF =∑
(3.2)0 0 tg( ) cos( ) tg( )sin( ) 0y yxA Aσ θ θ τ θ θ− + =
( )
1
2 2cos ( ) sin ( ) 2 sin( )cos( )x x y yxσ σ θ σ θ τ θ θ= + +
2 2( ) i ( ) ( ) 2 ( ( ) i ( ))θ θ θ θ
(3.3)
(3 4)1 1
2 2( )sin( ) cos( ) 2 (cos ( ) sin ( ))x y x y yxτ σ σ θ θ τ θ θ= − − + − (3.4)
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 62
Naprezanje u dva pravca
Naponi na kosoj ravni
2 2cos ( ) sin ( ) 2 sin( )cos( )σ σ θ σ θ τ θ θ= + + (3 3)
Naponi na kosoj ravni
1cos ( ) sin ( ) 2 sin( )cos( )x x y yxσ σ θ σ θ τ θ θ= + +
1 1
2 2( )sin( ) cos( ) 2 (cos ( ) sin ( ))x y x y yxτ σ σ θ θ τ θ θ= − − + −
(3.3)
(3.4)
2 1cos ( ) (1 cos(2 ))2
θ θ= + 2 1sin ( ) (1 cos(2 ))2
θ θ= −1sin( )cos( ) sin(2 )2
θ θ θ=
1cos(2 ) sin(2 )
2 2x y x y
x xy
σ σ σ σσ θ τ θ
+ −= + + (3.5)
1 1sin(2 ) cos(2 )
2x y
x y xy
σ στ θ τ θ
−= − + (3.6)2
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 63
Naprezanje u dva pravca
Naponi na kosoj ravniNaponi na kosoj ravni
1cos(2 ) sin(2 )
2 2x y x y
x xy
σ σ σ σσ θ τ θ
+ −= − − (3.6)
σ σ σ σ+ = + (3 7)1 1x y x yσ σ σ σ+ = + (3.7)
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 64
Naprezanje u dva pravca
Glavni normalni naponi i najveći tangencijalni naponiGlavni normalni naponi i najveći tangencijalni naponi
1cos(2 ) sin(2 )
2 2x y x y
x xy
σ σ σ σσ θ τ θ
+ −= + + (3.5)
1 ( )sin(2 ) 2 cos(2 ) 0xx y xy
dd θ α
θ α
σσ σ θ τ θ
θ ==
= − − + = (3.8)
2tg(2 ) xy
x y
τα
σ σ=
−(3.8) (3.9)y
• Ugao α određuje ravan maksimalnog/minimalnog normalnog napona• Jednačina (3.9) ima dva korijena u domenu (0,2π), a oni ovise od predznaka τxy i (σx-σy) – ovi korijeni se nazivaju i uglovi glavnih ravni
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 65
Naprezanje u dva pravca
Glavni normalni naponi i najveći tangencijalni naponi
1cos(2 ) sin(2 )
2 2x y x y
x xy
σ σ σ σσ θ τ θ
+ −= + + (3.5)
Glavni normalni naponi i najveći tangencijalni naponi
2 2
1 1sin(2 ) cos(2 )
2x y
x y xy
σ στ θ τ θ
−= − + (3.6)
1 2σ σ σ σ σ σ+ = + = + (3.7)
22x y x yσ σ σ σ
σ τ+ −⎛ ⎞
= + +⎜ ⎟
1 1 1 2x y x yσ σ σ σ σ σ+ + + ( )
(3.10)2
2
2x y
xyRσ σ
τ−⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠
1 2 2 xyσ τ= + +⎜ ⎟⎝ ⎠
22x y x yσ σ σ σ+ −⎛ ⎞
⎜ ⎟
(3.10)
(3 11)
cos(2 )2
x y
Rσ σ
α−
=
22 2 2
x y x yxyσ τ= − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
U ravni glavnih normalnih napona ne djeluju
(3.11)
sin(2 ) xy
Rτ
α =
U ravni glavnih normalnih napona ne djeluju tangencijalni naponi, tj. τ12=0
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 66
Naprezanje u dva pravca
Glavni normalni naponi i najveći tangencijalni naponi
σ σ−
Glavni normalni naponi i najveći tangencijalni naponi
1 1sin(2 ) cos(2 )
2x y
x y xy
σ στ θ τ θ= − + (3.6)
1 1 ( ) cos(2 ) 2 sin(2 ) 0x yx y xy
dd θ α
θ β
τσ σ θ τ θ
θ ==
= − − − = (3.12)
1tg(2 )2 tg(2 )x y
xy
σ σβ
τ α−
= − =(3.12) (3.13)
• Ugao β određuje ravan maksimalnog/minimalnog tamngencijalnog napona• Jednačina (3.13) ima dva korijena u domenu (0,2π), a oni ovise od predznaka τxy i (σx-σy) – za ugao β prema (3 13) vrijediugao β prema (3.13) vrijedi
β = α ± 45°
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 67
Naprezanje u dva pravca
Glavni normalni naponi i najveći tangencijalni naponi
1cos(2 ) sin(2 )
2 2x y x y
x xy
σ σ σ σσ θ τ θ
+ −= + + (3.5)
Glavni normalni naponi i najveći tangencijalni naponi
2 2
1 1sin(2 ) cos(2 )
2x y
x y xy
σ στ θ τ θ
−= − + (3.6)
1 2σ σ σ σ σ σ+ = + = + (3.7)1 1 1 2x y x yσ σ σ σ σ σ+ + + ( )
22
2x y
xyRσ σ
τ−⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠
22 1 2
max,min 2 2x y
xy
σ σ σ στ τ−⎛ ⎞ −
= ± + = ±⎜ ⎟⎝ ⎠
(3.14)
cos(2 )2
xy
Rτ
α = U ravni najvećih tangencijalnih napona djeluju normalni naponi
sin(2 ) x y
Rσ σ
α−
= − 1 2
2 2x yσ σ σ σσ
+ += = (3.15)
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 68
Naprezanje u dva pravca
Mohr ov (Mor) krug naponaMohr-ov (Mor) krug napona
Jednačine za računanje napona mogu se predstaviti grafički pomoću Mohr-ovog kruga napona. Iz jednačina (3.5) i (3.6) se eliminiše ugao 2θ
1cos(2 ) sin(2 )
2 2x y x y
x xy
σ σ σ σσ θ τ θ
+ −= + +
sin(2 ) cos(2 )x yσ στ θ τ θ
−= − +
(3.5)
(3 6)1 1sin(2 ) cos(2 )
2x y xyτ θ τ θ= + (3.6)
Jednačine za računanje napona mogu se predstaviti grafički pomoću Mohr-ovog kruga napona. Iz jednačina (3.5) i (3.6) se eliminiše ugao tako što se obje jednačine kvadriraju i saberu, pa se dobije:
2 22 2x y x y
x x y xy
σ σ σ σσ τ τ
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (3.16)
1 1 12 2x x y xy⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(3.16)
( )2 2 2Rσ σ τ− + = (3 16a)( )1 1 1srx x y Rσ σ τ+ (3.16a)
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 69
Naprezanje u dva pravca
Mohr ov (Mor) krug napona konstrukcijaMohr-ov (Mor) krug napona – konstrukcija
D či t j M h k
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 70
Dva načina crtanja Mohr-ovog kruga napona
Naprezanje u dva pravca
Mohr ov (Mor) krug napona konstrukcijaMohr-ov (Mor) krug napona – konstrukcija
• Nacrta se koordinatni sistem s abscisom σx1 (σn), pozitivna na desno, i ordinatom τxy (τn), pozitivna na dole
• U dijagramu se ucrta tačka A s koordinatama (σx,τxy) – predstavlja j g ( x, xy) p jnaponsko stanje na pozitivnoj x površi (površ A)
• U dijagramu se ucrta tačka B s koordinatama (σy,-τxy) –predstavlja naponsko stanje na pozitivnoj y površi (površ B)P č d ž d AB k j d t lj č ik k• Povuče se duž od AB koja predstavlja prečnik kruga napona s centrom u tački C.
• Koristeći tačku C kao centar nacrta se kružnica koja prolaziu kroz tačke A i B.tačke A i B.
• Ugao α koji određuje ravan normalnih napona određuje se na osnovu ugla 2α (2θp)
• Ugao β koji određuje ravan maksimalnih tangencijalnih napona određuje se na osnovu ugla 2β (2θs)
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 71
Naprezanje u dva pravca
Mohr ov (Mor) krug napona konstrukcijaMohr-ov (Mor) krug napona – konstrukcija
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 72
JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 2009.
Naprezanje u dva pravca
Mohr ov (Mor) krug napona određivanje napona za proizvoljnu ravanMohr-ov (Mor) krug napona – određivanje napona za proizvoljnu ravan
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 73
*Grupa autora, Elastostatika I, Tehnički fakultet, Bihać, 2003
Naprezanje u dva pravca
Primjer 3.1: Element je izložen naponima kao na slici: σx=85MPa, σy=-29MPa, τxy=-32.5MPa.a) Odrediti glavne napone i prikaži na skici elementa naponab) Odrediti maksimalni tangencijalni napon i pokaži na elementu naponab) Odrediti maksimalni tangencijalni napon i pokaži na elementu naponac) rezultate pod a) i b) potvrdi konstrukcijom Mohr-ovog kruga napona
85MPa
-29MPa
-32.5MPa
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 74
Naprezanje u dva pravca
Specijalni slučajevi dvoosnog naponskog stanjaSpecijalni slučajevi dvoosnog naponskog stanja
Aksijalno naprezanjeτ
τ12
σσ1σ2
σx
1cos(2 ) sin(2 )
2 2x y x y
x xy
σ σ σ σσ θ τ θ
+ −= + +
σ σ1
(1 cos(2 ))2
xx
σσ θ= +
1 1sin(2 ) cos(2 )
2x y
x y xy
σ στ θ τ θ
−= − +
1 1sin(2 )
2x
x yστ θ= −
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 75
Naprezanje u dva pravca
Specijalni slučajevi dvoosnog naponskog stanjaSpecijalni slučajevi dvoosnog naponskog stanja
Čisto smicanje (bez normalnih napona)τ
τ12
σσ1σ2
12
1cos(2 ) sin(2 )
2 2x y x y
x xy
σ σ σ σσ θ τ θ
+ −= + +
σ σ1
sin(2 )x xyσ τ θ=
1 1sin(2 ) cos(2 )
2x y
x y xy
σ στ θ τ θ
−= − +
1 1cos(2 )x y xyτ τ θ=
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 76
Naprezanje u dva pravca
Specijalni slučajevi dvoosnog naponskog stanjaSpecijalni slučajevi dvoosnog naponskog stanja
Dvoosno naprezanje, bez tangencijalnih naponaτ
τ12
σ1 σσ1σ2
1cos(2 ) sin(2 )
2 2x y x y
x xy
σ σ σ σσ θ τ θ
+ −= + +
σ σ1
cos(2 )2 2
x y x yx
σ σ σ σσ θ
+ −= +
σ σ1 1
sin(2 ) cos(2 )2
x yx y xy
σ στ θ τ θ
−= − +
1 1sin(2 )
2x y
x y
σ στ θ
−= −
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 77
Naprezanje u dva pravcaHooke-ov zakon za ravno stanje naponaHooke ov zakon za ravno stanje napona
+ +
xσ yσ τγ γ γxx E
ε =
xy E
σε = −
yx E
ε = −
yy E
σε =
xy yx Gγ γ γ= = =
2(1 )EG
ν=
+E E 2(1 )ν+
1 ( )x x yEε σ νσ= −
1 ( )x x y TE
ε σ νσ α= − + ΔE
1 ( )y y xEε σ νσ= −
+ utjecaj temperature
( )x x yE
1 ( )y y x TE
ε σ νσ α= − + Δ
(3.17)
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 78
Naprezanje u dva pravcaHooke-ov zakon za ravno stanje naponaHooke ov zakon za ravno stanje napona
1 ( )x x yEε σ νσ= −
+ tj j t t
1 ( )x x y TE
ε σ νσ α= − + Δ
(3 17)1 ( )y y xEε σ νσ= −
+ utjecaj temperature1 ( )y y x TE
ε σ νσ α= − + Δ(3.17)
2 ( )1x x y
Eσ ε νεν
= +− + utjecaj temperature (3 18)
2 ( )1 1x x y
E E Tασ ε νεν ν
= + − Δ− −
E + utjecaj temperature (3.18)2 ( )
1 1y y xE E Tασ ε νεν ν
= + − Δ− −
2 ( )1y y x
Eσ ε νεν
= +−
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 79
Naprezanje u dva pravcaPromjena zapremine i deformacioni radPromjena zapremine i deformacioni rad
V b
Dvoosno naprezanje, bez tangencijalnih napona
0V abc=
1 ( )( )( ) (1 )(1 )(1 )x y z x y zV a a b b c c abcε ε ε ε ε ε= + + + = + + +
1 0 (1 )(1 )(1 )V V ε ε ε= + + +1 0 (1 )(1 )(1 )x y zV V ε ε ε+ + +
1 0 (1 )x y zV V ε ε ε≈ + + +
1 0 0 ( )x y zV V V V ε ε εΔ = − ≈ + +
Specifična promjena zapremine (dilatacija): 1 2 ( )x y z x yVe
V Eνε ε ε σ σΔ −
= = + + = +
1Deformacioni rad
0y yV E
22 2
1 ( )21 ( 2 )
2 2
x x y y xy xy
xyx y x y
W
WE G
σ ε σ ε τ γ
τσ σ νσ σ
= + +
= + − +
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 80
2 2E G
Naprezanje u dva pravca
Primjer 3.2: Pravougaona čelična ploča debljine t=6 mm napregnuta je na ravnomjerne napone σx i σy, kao na slici. Mjerne trake A i B, koje su postavljene u pravcima x i y su postavljene na ploču. Ako su čitanja mjernih traka εx=0.001 (izduženje) i εy=0.0007 (skraćenje)na ploču. Ako su čitanja mjernih traka εx 0.001 (izduženje) i εy 0.0007 (skraćenje) izračunati napone σx i σy, te promjenu debljine ploče. Podaci: E= 200GPa.
Primjeri 3.1-3.14 (str. 74-88), Grupa autora, Elastostatika I, Tehnički fakultet, Bihać, 2003.
OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 81