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Auswertung zum Versuch
Quanten-Hall-Effekt
im Rahmen des Fortgeschrittenen-Praktikums
zur Einführung in die Festkörperphysik
an der Leibniz Universität Hannover
von Jule Heier (3231530)
und Alexander Fufaev (3153800)
Praktikumsauswertung Quanten-Hall-Effekt Jule Heier und Alexander Fufaev
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Inhalt
1 Einleitung ........................................................................................................................................................................... 3
2 Theoretische Grundlagen ............................................................................................................................................ 4
2.1 Klassischer Halleffekt ........................................................................................................................................... 4
2.2 Zweidimensionales Elektronengas (2DEG) ................................................................................................ 5
2.3 Magnetotransport im 2DEG ............................................................................................................................... 5
2.4 Hall-Plateaus und Shubnikov-de Haas-Oszillationen ............................................................................. 6
2.5 (de)lokalisierte Zustände und Randkanalbild ........................................................................................... 6
2.5.1 (de)lokalisierte Zustände ........................................................................................................................... 6
2.5.2 Randkanalbild ................................................................................................................................................. 7
2.6 Elektronenkonzentration und -beweglichkeit ........................................................................................... 7
3 Messaufbau ....................................................................................................................................................................... 8
3.1 Bond-Schemata der Proben ............................................................................................................................ 10
4 Messungen und Auswertung .................................................................................................................................. 13
4.1 Magnetotransportmessungen ....................................................................................................................... 13
4.1.1 Messergebnisse der Magnetotransportmessungen ..................................................................... 13
4.1.2 Bestimmung der Elektronenkonzentration .................................................................................... 15
4.1.3 Bestimmung der Elektronenbeweglichkeit ..................................................................................... 17
4.1.4 Fraktionale Füllfaktoren .......................................................................................................................... 17
4.2 Dauerhafter Photoeffekt .................................................................................................................................. 17
4.2.1 Messergebnisse nach Beleuchtung ..................................................................................................... 18
4.2.2 Elektronenkonzentration und –beweglichkeit nach Beleuchtung......................................... 18
5 Zusammenfassung ...................................................................................................................................................... 19
Literaturverzeichnis ...................................................................................................................................................... 20
Praktikumsauswertung Quanten-Hall-Effekt Jule Heier und Alexander Fufaev
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1 Einleitung
In diesem Bericht wird der Quanten-Hall-Effekt (QHE) sowie der Einfluss des Photoeffekts auf diesen
untersucht. Außerdem werden mithilfe des QHE die Eigenschaften der verwendeten Proben
(Elektronenmobilität und Elektronenkonzentration) bestimmt.
Der Quantenhalleffekt wurde 1980 von Klaus von Klitzing entdeckt, wofür dieser 1985 den
Nobelpreis für Physik erhielt.
Das Interessante an diesem Experiment ist, dass aufgrund der Verwendung eines zweidimensionalen
Elektronengases und starker Magnetfelder andere physikalische Zusammenhänge zum Vorschein
kommen, als beim klassischen Hall-Effekt. Bei diesem wird nämlich ein linearer Zusammenhang
zwischen dem Querwiderstand und der magnetischen Flussdichte erwartet, sowie ein konstanter
Längswiderstand über den ganzen Magnetfeld-Wertebereich. Bei Einschränkung der
Elektronenbewegung auf zwei Dimensionen sowie Verwendung starker Magnetfelder jedoch, bilden
sich Plateaus (konstante -Werte) im Querwiderstand für bestimmte Wertebereiche des
Magnetfeldes aus, genannt Hall-Plateaus. Und der Längswiderstand bleibt bei Änderung des
Magnetfeldes überhaupt nicht konstant, sondern oszilliert, wobei er immer dann ein Minimum
annimmt, wenn auch ein neues Hall-Plateau auftritt.
Abbildung 1: Verlauf von spezifischem Längs- und Querwiderstand beim klassichen Hall-Effekt
Abbildung 2: Verlauf von spezifischen Längs- und Querwiderstand beim Quanten-Hall-Effekt
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2 Theoretische Grundlagen
2.1 Klassischer Halleffekt
Beim klassischen Hall-Effekt wird ein dreidimensionales Plättchen (z.B. aus Halbleitermaterial)
benutzt, an dessen beiden Enden eine Spannung angelegt wird, die einen konstanten elektrischen
Strom verursacht. Senkrecht zum Plättchen wird ein homogenes Magnetfeld angelegt, welches
die Ladungsträger (Elektronen oder Löcher) aufgrund der magnetischen Kraft zu einer
Kreisbewegung zwingt. Bei schwachem B-Feld und aufgrund der endlichen Breite des Plättchens
bildet sich keine Kreisbewegung aus, sondern die Ladungsträger werden – je nach ihrem Vorzeichen -
zum oberen bzw. unteren Rand des Plättchens abgelenkt. Dadurch entsteht ein
Ladungsträgerunterschied zwischen den beiden Rändern, weshalb sich ein elektrisches Feld
(Hall-Feld) senkrecht zur Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger ausbildet. Die daraus resultierende
elektrische Kraft wirkt solange entgegen der magnetischen Kraft , bis sich ein
Kräftegleichgewicht einstellt:
Eine elektrische Spannung quer zur Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger kann nun zwischen
den beiden Rändern des Plättchens gemessen werden. Diese wird Hall-Spannung genannt und kann
aus der Beziehung – mit dem Drude-Modell - hergeleitet werden:
: Hall-Konstante, : Dicke des Plättchens, : Strom in Längsrichtung
Mit Driftgeschwindigkeit
, sowie und folgt mit für die
elektrische Resistivität:
Außerdem kann im Rahmen des Drude-Modells gezeigt werden, dass für den Längswiderstand
(el. Resistivität entlang des Plättchens) folgt:
An und ist zu erkennen, dass beim klassischen Hall-Effekt linear mit dem B-Feld ansteigt
und sich mit dem B-Feld nicht ändert.
Diese theoretisch hergeleiteten Beziehungen lassen sich im Experiment beobachteten, solange die
Probe nur schwachen B-Feldern ausgesetzt ist.
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2.2 Zweidimensionales Elektronengas (2DEG)
Beim 2DEG handelt es sich, wie der Name schon sagt, um ein Elektronengas, dessen Bewegung durch
Potentialbarrieren auf eine zweidimensionale Ebene eingeschränkt ist. Diese Einschränkung wird
experimentell mithilfe einer Halbleiter-Heterostruktur realisiert. Dabei bildet sich das 2DEG an der
Grenzfläche zwischen zwei Halbleitern unterschiedlicher Bandlücke aus.
Bei der quantenmechanischen Betrachtung des zweidimensionalen Elektronengases in einem
externen Magnetfeld in -Richtung ist die Elektronenbewegung anders als in der klassischen
Sichtweise auch in der -Ebene quantisiert. Die Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-
Gleichung eines freien Ladungsträgers im externen Magnetfeld
liefert folgende Energiezustände [Gro14]:
wobei der erste Summand in die Energieniveaus eines harmonisches Oszillators mit der
Zyklotronfrequenz in der -Ebene darstellt und der zweite Summand die kinetische Energie in B-
Feld-Richtung.
Die Energiezustände aus bilden in Abhängigkeit von der Wellenzahl parabelförmige Subbänder,
die aufgrund des externen B-Feldes in diskrete Energieniveaus, sogenannte Landau-Niveaus
aufgespalten sind, die einen Abstand von zueinander haben. Diese erstrecken sich beim
absoluten Temperaturnullpunkt bis zur Fermi-Energie des Elektronengases.
Während die Zustandsdichte eines freien 2DEG für beliebige Energien konstant ist, weist die
Zustandsdichte freier Ladungsträger im Magnetfeld -Peaks auf, die bei Vorhandensein von
Gitterdefekten gaußförmig verbreitert sind.
2.3 Magnetotransport im 2DEG
Da die Elektronenbewegung im 2DEG auf die -Ebene beschänkt ist, sind Leitfähigkeit und
spezifischer Widerstand Tensoren zweiter Stufe. Beachtet man, dass das 2DEG isotrop ist, so können
sie in der Form
dargestellt werden können. Die Größen und können experimentell über den
Längswiderstand und den Querwiderstand bestimmt werden. Durch Betrachtung der
auftretenden Spannungen an der Hallgeometrie findet man folgende Zusammenhänge [Tng16]:
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wobei die Breite der Hallbar in -Richtung und der Abstand der beiden Kontakte ist, an denen in
Längsrichtung gemessen wird.
Der Fall kleiner Magnetfelder wurde bereits beim klassischen Hall-Effekt behandelt. Beim Quanten-
Hall-Effekt treten andere Erscheinungen auf.
2.4 Hall-Plateaus und Shubnikov-de Haas-Oszillationen
Bei auseichend starken Magnetfeldern steigt der Querwiderstand nicht mehr linear mit dem
Magnetfeld an, sondern es tauchen Plateaus auf, die Hall-Plateaus genannt werden. Sie treten bei
ganz bestimmten Werten von auf:
wobei der bei allen Probematerialien gleiche Elementarwiderstand und
eine ganze positive Zahl ist. Die Zahl wird Füllfaktor genannt.
Auch der Längswiderstand verhält sich anders. Anstatt konstant zu bleiben bei Veränderung des
Magnetfeldes, beobachtet man Oszillationen, die genau dann Minima annehmen, wenn am
Querwiderstand die Hall-Plateaus auftreten. Diese Oszillationen werden Shubnikov-de Haas-
Oszillationen (SdH-Oszillationen) genannt.
2.5 (de)lokalisierte Zustände und Randkanalbild
Um das Auftreten der Hall-Plateaus und der Shubnikov-de Haas-Oszillationen zu erklären, werden
zwei Modelle herangezogen:
2.5.1 (de)lokalisierte Zustände
Die möglichen Energiezustände der Elektronen werden in zwei Kategorien unterteilt, delokalisierte
und lokalisierte. Die delokalisierten Zustände sind in der Mitte der verbreiterten -Peaks der
Zustandsdichte zu finden. Dies sind Quantenzustände, bei denen die Wellenfunktion über den
ganzen Halbleiter ausgedehnt ist und die somit zum Stromtransport beitragen. An den verbreiterten
Rändern der Delta-Peaks befinden sich die lokalisierten Zustände. Sie sind aufgrund der Streuung an
Kristalldefekten u.Ä. relativ beschränkt auf einen Aufenthaltsort und tragen daher nicht zum
Stromtransport bei.
Dieses Bild erklärt nun den Quanten-Hall-Effekt auf folgende Art: Durch Veränderung des
Magnetfeldes verschiebt sich die energetische Lage der -Peaks in der Zustandsdichte. Somit
durchlaufen abwechselnd lokalisierte und delokalisierte Zustände die Fermi-Energie. Da
Ladungstransport im Wesentlichen nur am Ferminiveau stattfindet, verändert sich somit auch die
Leitfähigkeit. Immer, wenn sich ein lokalisierter Zustand an der Fermi-Energie befindet, geht die
Leitfähigkeit gegen Null und damit auch der Längswiderstand. Es kommt zu einem Minimum in
und einem Hall-Plateau in .
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2.5.2 Randkanalbild
Das Randkanalbild bietet eine klassische und eine quantenmechanische Weise zum Verständnis des
QHE an. Eine quantitative Beschreibung liefert nur letztere, daher wird sie hier nun näher erläutert.
Die Hallbar hat nur eine endliche Ausdehnung. Wird dies berücksichtigt, so müssen an den
Probenränder hohe Potentialwände vorliegen. Dadurch werden die Landau-Niveaus an den Rändern
der Hallbar hochgebogen. Diese Krümmung führt dazu, dass die Landau-Niveaus, die vorher
unterhalb des chemischen Potentials lagen, dieses nun schneiden. So entstehen an den
Schnittpunkten der Energien eindimensionale Leitungskanäle, die sogenannten Randkanäle. Ihre
Anzahl hängt von dem Magnetfeld ab, da dies die Lage des chemischen Potentials beeinflusst und
somit die Anzahl von Landau-Niveaus, die unterhalb davon liegen. Da jeder Kanal mit zur
Leitfähigkeit beiträgt [Gro14], können hiermit die Hall-Plateaus erklärt werden. Die genaue
mathematische Berechnung erfolgt mit dem Landauer-Büttiker-Formalismus, auf den hier nicht
näher eingegangen wird.
2.6 Elektronenkonzentration und -beweglichkeit
Der Quanten-Hall-Effekt kann genutzt werden, um die Eigenschaften der Probe zu charakterisieren.
Im Folgenden sollen drei Methoden vorgestellt werden, wie die Elektronenkonzentration aus
Messgrößen bestimmt werden kann, sowie eine Formel zur Bestimmung der
Elektronenbeweglichkeit.
1. Methode: Beim klassischen Halleffekt haben wir gesehen, dass der spezifische Widerstand
mit der Elektronenkonzentration im 2DEG über
zusammenhängt (siehe ). Setzt man für
nun die Definition des Füllfaktors ein (Gl. ), so erhält man die Formel:
Damit ist nun die Bestimmung der Elektronenkonzentration mittels B-Feld und Füllfaktor an den Hall-
Plateaus möglich.
2. Methode: Ist das SdH-Minimum zu breit für eine genaue Bestimmung des Magnetfelds , dann
kann die Elektronenkonzentration aus der Periodizität der 1/B-Oszillationen berechnet werden:
wobei der Magnetfeld-Wert am Maximum bzw. Minimum ist und der Magnetfeld-Wert am
benachbarten Maximum bzw. Minimum. Diese Beziehung resultiert daraus, dass die Delta-Peaks in
der Zustandsdichte äquidistant sind, und sich ihr Abstand mit steigendem Magnetfeld gleichmäßig
verändert. Daher ergibt sich für die SdH-Oszillationen, dass der Abstand der Minima bzw. Maxima in
ebenfalls äquidistant ist. Aus diesem Abstand kann dann die der obige Zusammenhang
mit der Elektronenkonzentration hergeleitet werden.
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3.Methode: Bei kleinen Magnetfeldern oder hohen Temperaturen kann die Steigung des
Querwiderstands benutzt werden, um Elektronenkonzentration zu berechnen, da dort
näherungsweise nur der klassische Hall-Effekt auftritt. Dieser liefert wie in Kap. 2.1 gezeigt
. Im Falle eines Verlaufs mit ist
und kann daher im klassischen
Bereich hierdurch ersetzt werden. Damit folgt:
wobei hier wie gesagt nur der Bereich des Querwiderstandes bei kleinen Magnetfeldern betrachtet
werden darf.
Für die Elektronenbeweglichkeit lässt sich ebenfalls eine Formel herleiten, die die Bestimmung mit
Messgrößen ermöglicht. Es gilt
. Nach dem Drude-Modell gilt außerdem für die
Leitfähigkeit . Setzt man in ein und formt nach um, so ergibt sich:
Nach hängt der spezifische Längswiderstand durch einen Geometriefaktor mit dem
Längswiderstand zusammen. Setzt man dies in ein, so ergibt sich:
Dabei wurde beachtet, dass dieser Zusammenhang nur im klassischen Bereich, d.h idealerweise bei
gilt.
3 Messaufbau
Zur Messung des integralen Quanten-Hall-Effekts wurde eine Hallbar eingesetzt. Eine Hallbar ist eine
Halbleiterheterostruktur, d.h. sie wird aus aufeinander aufgedampften Halbleitern unterschiedlicher
Bandlücke hergestellt, zwischen denen sich ein zweidimensionales Elektronengas ausbildet. In
diesem Versuch beträgt die Breite der Hallbar .
An der Halbleiter-Probe, die in einem Probenhalter angeklebt ist, befinden sich Ohmsche Kontakte,
die mit den Kontakten des Probenhalters durch einen Golddraht verbunden sind. Zwei benachbarte
Längskontakte haben einen Abstand von . An diesen Kontakten wird der elektrische
Strom und die Spannung in Längsrichtung gemessen; an gegenüberliegenden Kontakten wird
die Hallspannung in Querrichtung gemessen.
Damit der integrale Quanten-Hall-Effekt überhaupt nachgewiesen kann, werden tiefe Temperaturen
und hohe externe Magnetfelder gebraucht. Um diese extremen Bedingungen zu gewährleisten, wird
zuerst der Probenhalter, auf dem sich die Hallbar befindet, ans Ende eines Probenführungsrohrs
gesteckt, welches anschließend in einen Magnetprobenstab hineingebracht wird. Am Ende des
Magnetprobenstabs befindet sich eine Spule, durch die bei der Versuchsdurchführung ein
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elektrischer Strom fließen wird, um ein Magnetfeld zu erzeugen. Im Inneren der Spule wird sich dann
die - mittels des Probenführungsrohrs hineingebrachte - Hallbar befinden.
Anschließend wird der Magnetprobenstab in eine Kanne eingetaucht, die flüssiges Helium bei einer
Temperatur um enthält. Durch niedrige Temperaturen wird die Magnetspule supraleitend
und kann Magnetfelder - in diesem Messaufbau - bis zu 5 Tesla erzeugen.
Der Magnetprobenstab wird mit dem Keithley 2400 verbunden, der bei Versuchsdurchführung als
eine konstante Stromquelle dienen soll. Außerdem wird der Stab zur Messung der Hall- und
Längsspannung mit zwei Spannungsmessern vom Typ Keithley 2000 vernetzt. Die beiden Messgeräte
werden dann die aktuelle Quer- und Längsspannung anzeigen, die an der Hallbar entstehen. Durch
die Vier-Punkt-Messung der beiden Spannungen werden Kontakt- und Leitungswiderstände
vernachlässigbar klein.
Um nun die aktuellen Spannungsmesswerte abzuspeichern, werden das Keithley 2400 und die
beiden Keithley 2000 mit
dem PC verbunden. An
diesem wurde ein
LabView-Programm
erstellt, das die Daten der
Messgeräte empfängt,
diese in Widerstands-
werte umwandelt und in
einer Textdatei abspei-
chert. Außerdem wird mit
dem Programm der Strom
I und die Sweep-Rate,
also die Änderungsrate des
Magnetfeldes, eingestellt.
Das hier vermessene Probenmaterial besteht aus einer Verbindung von Elementen der III. und V.
Hauptgruppe des Periodensystems, und zwar . Bei diesem Halbleiter ist es möglich, durch
Variation des Aluminium-Anteils einen direkten Halbleiter mit einer relativ großen Bandlücke zu
realisieren. Dies ermöglicht einfache Untersuchungen zum Photoeffekt.
Abbildung 3: Einblick in das verwendete LabVIEW-Programm, welches den Messablauf steuert.
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3.1 Bond-Schemata der Proben
Bevor mit den Messungen begonnen wird, muss die Kontaktierung der Proben ermittelt werden.
Dazu wurden Aufnahmen mit dem Mikroskop gemacht und Bond-Schemata angefertigt. Es wurden
drei Proben angeschaut, wobei nur zwei davon später für Messungen verwendet wurden.
Probe 4 (keine Messungen):
Abbildung 4: Mikroskopaufnahme von Probe 4 Abbildung 5: Mikroskopaufnahme der Kontakte von Probe 4
Abbildung 6: Bond-Schema für Probe 4
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Probe 6:
Abbildung 7: Mikroskopaufnahme von Probe 6
Abbildung 8: Mikroskopaufnahme der Kontakte von Probe 6
Abbildung 9: Bond-Schema für Probe 6
Die Mikroskopaufnahmen lassen vermuten, dass Kontakt 07 beschädigt ist (Abb. 8). Dies bestätigte
sich später bei den Messungen. Es wurde ebenfalls festgestellt, dass Kontakt 17 defekt ist.
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Probe 7:
Abbildung 10: Mikroskopaufnahme von Probe 7
Abbildung 11: Mikroskopaufname der oberen Kontakte von Probe 7
Abbildung 12: Bond-Schema für Probe 7
Die Mikroskopaufname in Abb. 11 zeigt, dass der Bond-Draht zu Kontakt 02 abgerissen ist, und der
Kontakt somit defekt ist. Dies bestätigte sich bei den Messungen.
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4 Messungen und Auswertung
4.1 Magnetotransportmessungen
Zuerst wurden Längs- und Querwiderstand bei zwei verschiedenen Proben an unterschiedlichen
Kontaktpaaren über den gesamten Magnetfeldbereich gemessen.
Die Kontaktpaare werden ab jetzt auf folgende Weise notiert: K1K2/K3K4/K5K6 - dabei bezeichnen K1
und K2 das Kontaktpaar, an dem der Strom angeschlossen wird, K3 und K4 das Kontaktpaar, an dem
der Längswiderstand Rxx gemessen wird, und K5 und K6 das Kontaktpaar, an dem der Querwiderstand
Rxy gemessen wird.
Es wurde zunächst versucht, folgende Proben und Kontaktpaare zu vermessen:
Probe 6: 0313/1618/1608 0313/1817/1807 0313/0708/1608 0313/1716/1608
Probe 7: 1106/0907/0901 1106/0102/0802 1115/1213/1814 1115/2018/1913 1115/2014/1218
4.1.1 Messergebnisse der Magnetotransportmessungen
Für Probe 6:
Die Messung an den Kontakten 0313/1817/1807 ist hier nicht dargestellt, da bei der Durchführung
aufgrund von extrem hohen Widerstandswerten ( ) festgestellt wurde, dass die Kontakte
17 und 07 defekt waren, wie man anhand der Mikroskopaufnahmen teilweise schon vermuten
konnte. Deshalb wurde die Messung abgebrochen und auch die Messung an den Kontakten
0313/1716/1608 nicht mehr durchgeführt.
Abbildung 2: Messung von Quer- und Längswiderstand an den Kontakten 0313/1618/1608 von Probe 6
Abbildung 14: Messung von Quer- und Längswiderstand an den Kontakten 0313/1716/1608 von Probe 6
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Für Probe 7:
Die Messung 1106/0102/0802 ist nicht dargestellt, da auch hier festgestellt wurde, dass Kontakt 02
defekt ist. Dies konnte man bereits am Mikroskopbild sehen – der Bond-Draht ist vom Kontaktfeld
abgerissen.
In der letzten Messung (1115/2014/1218, Abb. 18) wurden nicht Längs- und Querwiderstand
gemessen, sondern schräg über die Hallbar, was einer Überlagerung von beiden Widerständen
entspricht. Diese Überlagerung ist am Diagramm sehr gut erkennbar, denn es treten sowohl ein fast
linearer Anstieg als auch Oszillationen des Widerstands auf. Da die Richtungen, in die der Längsanteil
des Widerstandes gemessen wurde, bei den beiden Kontaktpaaren 2014 und 1812 entgegengesetzt
sind, oszillieren die Widerstandskurven auch in entgegengesetzte Richtungen. Die Richtung, in die
der Queranteil des Widerstandes gemessen wurde, ist jedoch bei beiden Kontaktpaaren gleich, daher
haben beide Kurven eine (im Mittel) positive Steigung.
Abbildung 15: Messung von Quer- und Längswiderstand an den Kontakten 1106/0907/0901 von Probe 7
Abbildung 16: Messung von Quer- und Längswiderstand an den Kontakten 1115/1213/1814 von Probe 7
Abbildung 17: Messung von Quer- und Längswiderstand an den Kontakten 1115/2018/1913 von Probe 7
Abbildung 18: Messung der Widerstände an den Kontakten 1115/2014/1812 von Probe 7
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An den anderen Messungen sind sehr gut die erwarteten Effekte erkennbar: Bei schwachem
Magnetfeld (etwa unter ) verhalten sich die Widerstände noch klassisch: steigt proportional
zum B-Feld, bleibt konstant. Bei stärkeren Feldern jedoch tritt der Quantenhalleffekt zutage: Es
bilden sich Hall-Plateaus im Querwiderstand bei den Werten
aus und Oszillationen im
Längswiderstand. Für eine Messung (Probe 7, 1115/2018/1913, Abb. 14) sind beispielhaft einige der
zugehörigen Füllfaktoren eingetragen. Der kleinste Füllfaktor, der im Rahmen dieser Messung
beobachtet werden konnte, war .
4.1.2 Bestimmung der Elektronenkonzentration
Um die Elektronenbeweglichkeit zu bestimmen, können (wie in Kapitel 2.6 beschrieben) drei
verschiedene Methoden genutzt werden. Für jede Methode werden unterschiedliche Messgrößen
gebraucht. Die Ergebnisse sind am Ende in Tabellenform aufgelistet.
1. Methode - mithilfe des Füllfaktors:
Hierzu wurden aus den Messdaten die Werte der magnetischen Flussdichte bestimmt, bei denen
der Längswiderstand ein Minimum annahm. Aus dem Querwiderstand wurde dann mittels
der Füllfaktor bestimmt. Daraus errechnet sich dann die Elektronenkonzentration . Dies wurde pro
Messung für mehrere Füllfaktoren durchgeführt. Das Messergebnis erhält man dann durch den
Mittelwert und die Unsicherheit durch die Standardabweichung der verschiedenen errechneten
Werte. Eine graphische Darstellung zu den Füllfaktoren findet man in Abb. 14.
2. Methode - mithilfe der Periodizität der Shubnikov-de Haas-Oszillationen:
Hierbei muss die Periode der
Oszillationen des Längswiderstandes
bestimmt werden. Dazu ist es unerheblich,
ob der Abstand zwischen zwei Minima oder
zwei Maxima ermittelt wird. Da in Methode 1
bereits die Minima bestimmt wurden,
werden sie hier weiter verwendet. In der
Graphik (Abb. 19) ist beispielhaft für eine
Messung dargestellt, wie die Periodizität der
Oszillationen ermittelt werden kann. Skaliert
man die B-Achse reziprok, so sind die
Abstände der Minima äquidistant. Daher
konnten auch hier anhand der Messdaten
mehrere Abstände bestimmt werden,
sodass das Endergebnis für die Elektronenkonzentrationen sich wieder aus dem Mittelwert und die
Unsicherheit aus der Standardabweichung ergibt.
Abbildung 19: zur Bestimmung der Elektronenkonzentration mithilfe der 1/B-Periodizität der SdH-Oszillationen.
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3. Methode - mithilfe der Steigung des Hallwiderstandes im klassischen Bereich:
Hierzu muss die Steigung
im
klassischen Bereich, d.h. bei schwachen
Magnetfeldern, bestimmt werden. Hier wurde
dafür der Bereich gewählt, da hier die
Hall-Plateaus und Shubnikov-de Haas-
Oszillationen noch kaum sichtbar ausgebildet
sind. In diesem Wertebereich wurde dann ein
linearer Fit an die Messwerte des
Querwiderstandes angepasst und daraus
die Steigung abgelesen. Dies ist beispielshaft
in Abb. 20 dargestellt.
Die mathematisch bestimmte Unsicherheit
des Fits haben wir verwendet, um daraus die
Unsicherheit der Elektronenkonzentration zu
berechnen.
Ergebnisse:
Messung aus Methode … in -
1 2 3
P06 - 0313/1618/1608 6428.0 ±33.0 6618.1 ±0.8 6293.2 ±35.2
P06 - 0313/1716/1608 6398.0 ±68.3 6608.3 ±0.7 6117.3 ±377.6
P07 - 1106/0907/0901 4673.5 ±6.5 4623.9 ±1.0 4660.8 ±52.6
P07 - 1115/1213/1814 4647.2 ±6.7 4507.0 ±0.6 4629.9 ±16.9
P07 - 1115/2018/1913 4616.0 ±12.8 4586.5 ±0.9 4577.5 ±25.7 Tabelle 1: Elektronenkonzentrationen der verschiedenen Proben und Kontaktpaare.
Wie man sieht, sind die Messergebnisse nicht konsistent. Dies kann entweder auf systematische
Fehler hindeuten oder darauf, dass die verwendeten Formeln nicht alle den physikalischen
Zusammenhang genau beschreiben. Beispielsweise wurde zur Herleitung der Formel zu Methode 1
das Drude-Modell benutzt – dies ist jedoch keine exakte Beschreibung des elektrischen Transports.
Wie zu erwarten war, befindet sich die Elektronenkonzentrationen der einzelnen Proben etwa im
gleichen Bereich, unabhängig davon, welche Kontakte verwendet wurden. Außerdem ist erkennbar,
dass in Probe 6 eine höhere Elektronenkonzentration vorhanden ist als in Probe 7.
Abbildung 20: Zur Bestimmung der Elektronenkonzentration mithilfe der Steigung des Querwiderstandes Rxy(B) im klassischen Bereich
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4.1.3 Bestimmung der Elektronenbeweglichkeit
Zur Bestimmung der Elektronenbeweglichkeit haben wir Formel 16 verwendet. Für die Breite b der
Hallbar haben wir eine relativ große Unsicherheit angenommen, da von der Hallbar kleine Arme zu
den Kontakten führen, deren Länge wir nicht genau kennen. Daher ergibt sich eine große
Unsicherheit für die Elektronenbeweglichkeit.
Messung in in
P06 - 0313/1618/1608 ±9 664 ±5
P06 - 0313/1716/1608 nicht möglich wegen defektem Kontakt
P07 - 1106/0907/0901 ±46 183 ±5
P07 - 1115/1213/1814 ±54 79 ±5
P07 - 1115/2018/1913 ±52 167 ±5 Tabelle 2: Elektronenbeweglichkeiten in den verschieden Proben an verschiedenen Kontaktpaaren.
An den Messergebnissen ist erkennbar, dass am vermessenen Kontaktpaar von Probe 6 eine
vergleichsweise geringe Mobilität gegeben ist.
Die Kontaktpaare von Probe 7 weisen im Rahmen der Messgenauigkeit in etwa dieselbe
Elektronenmobilität auf. Sie liegt wesentlich höher als bei Probe 6.
4.1.4 Fraktionale Füllfaktoren
Bestimmt man für alle Messungen die zu den Hall-Plateaus gehöreigen Füllfaktoren, so stellt man
fest, dass der kleinste hier messbare Füllfaktor beträgt. Es lassen sich keine kleineren
ganzzahligen oder gar fraktionalen Füllfaktoren beobachten. Dies liegt daran, dass dafür einfach noch
wesentlich stärkere Magnetfelder nötig wären, als die in diesem Versuchsaufbau verwendeten.
4.2 Dauerhafter Photoeffekt
Für diesen Versuchsteil wurde die Probe vor Beginn der Messungen bei B = 0 mit einer LED
beleuchtet ( ) und anschließend etwa eine halbe Stunde abgewartet. Durch den
persistenten Photoeffekt wird nun erwartet, dass sich die Elektronenkonzentration sowie die
Elektronenbeweglichkeit erhöht. Wird die Messung zweimal durchgeführt mit unterschiedlichen
Sweep-Raten, um festzustellen, ob diese einen Unterschied macht.
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4.2.1 Messergebnisse nach Beleuchtung
Es ist erkennbar, dass die Sweep-Rate keinen Einfluss auf den Verlauf von und hat.
An den Graphen fällt auf, dass der Querwiderstand nicht mehr so hohe Werte erreicht wie ohne
Beleuchtung. Was das über die Probeneigenschaften aussagt, sieht man nach Berechnung von
Elektronenkonzentration und -beweglichkeit.
4.2.2 Elektronenkonzentration und –beweglichkeit nach Beleuchtung
Messung aus Methode … in -
1 2 3
P06-0313/1816/1608-B035 9811.7 ±154.7 9622.6 ±1.1 8913.6 ±42.4
P06-0313/1816/ 1608-B050 9778.0 ±152.2 9625.6 ±4.0 8891.2 ±19.0 Tabelle 3: Elektronenkonzentration nach Beleuchtung für die Kontakte 0313/1816/1608 von Probe 6 nach Beleuchtung bei langsamer und schneller Sweep-Rate.
Messung in in
P06-0313/1816/1608-B035 52.1 ±13.4 317 ±5
P06-0313/1816/ 1608-B050 51.9 ±13.4 319 ±5 Tabelle 4: Elektronenbeweglichkeit nach Beleuchtung für die Kontakte 0313/1816/1608 von Probe 6 nach Beleuchtung bei langsamer und schneller Sweep-Rate.
Wie erwartet wurde eine Erhöhung von Elektronenkonzentration und -beweglichkeit beobachtet.
Beide erhöhten sich um etwa die Hälfte des vorherigen Wertes.
Abbildung 21: Messung von Quer- und Längswiderstand an den Kontakten 0313/1816/1608 von Probe 6 nach Beleuchtung bei einer Sweep-Rate von 0.35 T/min.
Abbildung 22: Messung von Quer- und Längswiderstand an den Kontakten 0313/1816/1608 von Probe 6 nach Beleuchtung bei einer Sweep-Rate von 0.50 T/min.
Praktikumsauswertung Quanten-Hall-Effekt Jule Heier und Alexander Fufaev
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5 Zusammenfassung
Es wurden Magnetotransportmessungen bei tiefen Temperaturen an zwei Proben durchgeführt, die
eine Hallbar aus einer Halbleiterheterostruktur enthalten. Dabei konnte der integrale Quanten-Hall-
Effekt beobachtet werden mit Füllfaktoren bis minimal . Mithilfe der Messungen wurden
Elektronenkonzentration und -beweglichkeit in den Proben ermittelt. Dabei konnten Unterschiede in
der Qualität der Proben festgestellt werden.
Außerdem wurde der Einfluss des persistenten Photoeffekts auf die Probeneigenschaften
untersucht. Es zeigte sich, dass nach Beleuchtung die Elektronenkonzentration sowie die
Elektronenbeweglichkeit erhöht waren.
Praktikumsauswertung Quanten-Hall-Effekt Jule Heier und Alexander Fufaev
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Literaturverzeichnis
[Gro14] – Rudolph Gross, Achim Marx; Festkörperphysik, de Gruyter, Berlin 2014
[Tng16] – David Tong; The Quantum Hall Effect, TIFR Infosys Lectures, 2016,
http://damtp.cam.ac.uk/user/tong/qhe.html