考点 1 功

功 功率

一、判断功正、负的方法 1. 若物体做直线运动，依据力与位移的夹角来判断，此法常用于恒力做功的判断。 2. 若物体做曲线运动，依据 F与 v 的方向夹角来判断。当 <90 时，力对物体做正功； 90<≤180 时，力对物体做负功； =90 时，力对物体不做功。 3. 依据能量变化来判断：此法既适用于恒力做功，也适用于变力做功，关键应分析清楚能量的转化情况。根据功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功。比如系统的机械能增加，说明力对系统做正功；如果系统的机械能减少，则说明力对系统做负功。此法常用于两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断。

一对作用力和反作用力做功的特点： 一对作用力和反作用力，可以两个力均不做功；可以一个力做功，另一个力不做功；也可以一个力做正功，另一个力做负功；也可以两个力均做正功或均做负功。一对互为作用力和反作用力的摩擦力做的总功可能为零 ( 静摩擦力 ) 、也可能为负 ( 滑动摩擦力 ) ，但不可能为正。 二、功的计算方法 1. 恒力做功 对恒力作用下物体的运动，力对物体做的功用W=Flcos 求解。该公式可写成W=F(lcos)=(Fcos)l 。即功等于力与力方向上位移的乘积或功等于位移与位移方向上力的乘积。

2. 变力做功 (1) 用动能定理 W=ΔEk 或功能关系 W=ΔE ，即用能量的增量等效代换变力所做的功。 ( 也可计算恒力功 ) (2) 当变力的功率 P 一定时，可用 W=Pt 求功，如机车以恒定功率启动时。 (3) 将变力做功转化为恒力做功。 ① 当力的大小不变 , 而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力的功的大小等于力和路程 ( 不是位移 ) 的乘积。如滑动摩擦力做功、空气阻力做功等。 ② 当力的方向不变，大小随位移作线性变化时，可先求出力对位移的平均值 F=(F1+F2)/2 ，再由 W=Flcosα 计算，如弹簧弹力做功。 (4) 作出变力 F 随位移 l 变化的图象，图象与位移轴所围的“面积”即为变力做的功。图中 (a) 图表示恒力 F 做的功 W， (b) 图表示变力 F 做的功W 。

3. 总功的求法 (1) 总功等于合外力的功 先求出物体所受各力的合力 F 合，再根据 W 总 =F 合 lcos计算总功，但应注意应是合力与位移 l 的夹角。 (2) 总功等于各力做功的代数和 分别求出每一个力做的功： W1=F1l1cos1，W2=F2l2cos2，W3=F3l3cos3，…再把各个外力的功求代数和即：W 总 =W1+W2+W3+…

在求解总功时，第 (1)种情况一般用于各力都是恒力且作用时间相同，第 (2)种情况一般用于各力分别作用或作用时间不同时。

【解析】设传送带速度大小为 v1 ，物体刚滑上传送带时的速度大小为 v2 。①当 v1=v2 时，物体随传送带一起匀速运动，故传送带与物体之间不存在摩擦力，即传送带对物体始终不做功， A 正确。②当 v1<v2 时，物体相对传送带向右运动，物体受到的滑动摩擦力方向向左，则物体先做匀减速运动直到速度减为v1 ，再做匀速运动，故传送带对物体先做负功后不做功， D 正确。③当 v1>v2 时，物体相对传送带向左运动，物体受到的滑动摩擦力方向向右，则物体先做匀加速运动直到速度达到 v1 ，再做匀速运动，故传送带对物体先做正功后不做功， B 错误， C 正确。故正确答案为 A 、 C 、D 。

是否做功的判断【例 1 】如图所示，物体沿弧形轨道滑下后进入足够长的水平传送带， 传送带以图示方向匀速运转，则传送带对物体做功情况可能是 ( ) A. 始终不做功 B. 先做负功后做正功 C. 先做正功后不做功 D. 先做负功后不做功

ACD

如图所示，小物块 A 位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平面上，从地面上看，小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力 ( )A. 垂直于接触面，做功为零B. 垂直于接触面，做功不为零C. 不垂直于接触面，做功为零D. 不垂直于接触面，做功不为零

B

功的计算【例 2 】如图所示，质量为 m 的物块相对斜面静止，斜面倾角为，它们一起向右 匀速运动位移为 L ，则摩擦力、支持力和重力分别对物块做的功为多少？

在应用公式 W=Flcos 时要注意与题中所给的角的含义不一定相同。在求恒力做的功时也可以利用 W=Fcos·l=F 分 l 来求， F 分指沿位移方向的分力。再就是 W=F·lcos=Fl 分，也就是用力乘以沿力方向的分位移。

【答案】mgLsincos -mgLsincos 0

【解析】因物块向右匀速运动，由平衡条件可得 f=mgsin,FN=mgcos f 和 FN 与位移的夹角分别为和 90+ 故摩擦力做的功为 Wf=fLcos=mgLsincos 支持力做的功为 WN=FNLcos(90+)=-mgLsincos 因重力方向竖直向下，而位移方向水平向右，故重力做功为零，即 WG=0 。

一个质量为 4 kg 的物体静止在足够大的水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数 =0.1 。从 t=0 开始，物体受一个大小和方向呈周期性变化的水平力 F 作用，力 F 随时间的变化规律如图所示。求 83 s 内物体的位移大小和力 F 对物体所做的功。 (g取 10m/s2)

【答案】 167 m 676 J

1. 以恒定功率起动

所以机动车达最大速度时 a=0， F=f， P=Fvm=fvm ，这一起动过程的 v-t 关系如图所示，其中 vm=P/f 。

加速度逐渐减小的变加速运动

v

PF

v

速度

F fa

m

mv保持 匀速0

m

F f

a

v v

当 时

达最大

匀速直线运动……

考点 2 功率

这一运动过程的 v-t 关系如图所示，其中 v0=P 额 /F,vm=P 额 /f 。

2. 以恒定加速度起动

0

m

F f

a

v v

当 时

达最大

F

F fa

m

不变

不变v P Fv 0

P P

a

v

额当

仍增大

P

v 额一定

PF

vF f

am

额

mv保持 匀速

直线运动

名师支招： 1. 机车以恒定加速度起动时，匀加速运动结束的时刻的速度，并未达到整个过程的最大速度。 2.P=Fv 中 F 是牵引力并非合力，这一点在计算时应特别注意。

平均功率与瞬时功率【例 3 】质量为 m 的物体静止在光滑水平面上，从 t=0 时刻开始受到水平力的作用。力的大小 F 与时间 t 的关系如图所示，力的方向保持不变，则 ( )

A.3t0 时刻的瞬时功率为 5F02t0/(2m)

B.3t0 时刻的瞬时功率为 15F02t0/(m)

C.在 t=0到 3t0 这段时间内，水平力的平均功率为 23F02t0/(4m)

D.在 t=0到 3t0 这段时间内，水平力的平均功率为 25F02t0/(6m)

BD

• 【解析】 0～ 2t0 时间内的加速度为 a=F0/m• 2t0～ 3t0 时间内的加速度为 a=3F0/m• 所以 3t0 时刻物体的速度为• v=a·2t0+at0=F0/m×2t0+(3F0/m)t0=(5F0/m)t0• 所以 3t0 时刻的瞬时功率为 P=3F0v=(15F02/m)t0， B 正确。• 0～ 2t0 时间内的位移为 x=(1/2)a(2t0)2=2F0t02/m• 2t0～ 3t0 时间内的位移为

x=a·2t0·t0+(1/2)at02=(2F0/m)t02+(1/2)×(3F0/m)t02=[7F0/(2m)]t02

• 从 t=0到 3t0 这段时间内的水平力做的功为• W=F0x+3F0x=2F02t02/m+[21F02/(2m)]t02=25F02t02/(2m)• 这段时间内的平均功率为• P=W/(3t0)=25F02t0/(6m)， D 正确。

(1) 区分所求功率是平均功率还是瞬时功率是分析解答功率的首要问题。 (2) 对应于某一过程的功率为平均功率，对应于某一时刻的功率为瞬时功率。 (3) 瞬时功率等于力与物体在沿该力方向上分速度的乘积。

如图所示，一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球 a和 b ，跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆上，质量为3m的 a 球置于地面上，质量为 m的 b 球从水平位置静止释放，当 a 球对地面压力刚好为零时， b 球摆过的角度为。下列结论正确的是 ( )A.=90°B.=45°C.b 球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率先增大 后减小D.b 球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率一直增 大

A C

【例 4 】汽车发动机的功率为 60 kW ，若其总质量为 5 t ，在水平路面上行驶时，所受阻力恒为车重的 0.1倍， g取 10 m/s2 。 (1)汽车保持其额定功率不变，从静止起动后能达到的最大速度是多大？当汽车的加速度为 2 m/s2 时，速度多 大？当汽车的速度为 6m/s 时，加速度是多大？ (2) 若汽车从静止开始，保持以 0.5 m/s2 的加速度做匀加速直线运动，问这一过程能维持多长时间？

• 【解析】 (1) 汽车保持额定功率起动，其运动中各量的变化情况为：• 第一阶段，为加速度逐渐减小的加速循环过程

• • 这个循环过程结束时，即经过一段的末状态为 a=0( 此时 F=f) ，速度达到最大值。• 第二阶段，汽车以最大速度匀速运动。当 F=f=kmg 时，速度最大为 vm 。• 由 P=Fv=fvm 得• vm=P/f=P/(kmg)=60×103/(0.1×5×103×10) m/s=12 m/s 。• 当 a=2 m/s2 时，由 F-f=ma 得• F1=ma+f=ma+kmg• =5×103×2 N＋ 0.1×5×103×10 N• =1.5×104 N• 由 P=F1v1 得• v1=P/F1=60×103/(1.5×104) m/s=4 m/s ，即当汽车加速度为 2 m/s2 时，其速度为

4 m/s 。• 当 v2=6 m/s 时，由 P=F2v2 得• F2=P/v2=60×103/6 N=1.0×104 N• 由 F2-f＝ma2 得• a2=(F2-f )/m=(1.0×104－ 0.1×5×103×10)/(5×103) m/s2=1 m/s2• 即当汽车速度为 6 m/s 时，其加速度为 1 m/s2 。

P Fv F f maP

v F a 不变

只要 a≠0

(2) 汽车以恒定加速度起动过程各量变化情况如下： 第一阶段 ( 匀加速运动 )

发动机的功率增大到额定功率时，匀加速运动结束。 第二阶段：由于第一阶段结束时，仍有 F-f=ma ，即 F ＞ f ，汽车仍要加速，但这时功率已达到额定功率，不能再增大，故以后应是加速度逐渐减小的加速运动，回到第 (1) 问中的第一阶段→第二阶段，最后匀速运动。 故第二阶段的末状态为 a=0(F=f) ，速度达到最大 vm 。 第三阶段，汽车以最大速度 vm 匀速运动。 要求汽车匀加速运动的时间，需先求出匀加速运动的末速度 v1

由 F′-f ＝ ma 得 F′=ma+f=ma+kmg 由 P=F′v1 得 v1=P/F′=P/(ma+kmg)=60×103/(5×103×0.5 ＋ 0.1×5×103×10) m/s=8 m/s 由 v1=at 得 t=v1/a=8/0.5 s=16 s 即汽车以 0.5 m/s2 的加速度匀加速运动的时间为 16 s 。

• 汽车起动问题有两种情况：以恒定功率起动和以恒定牵引力起动。• 对于汽车以恒定功率起动掌握两个问题的计算方法：• ① 由加速度求速度问题，先由牛顿第二定律求牵引力，再由 P=Fv

求对应的速度。• ② 由速度求加速度的问题，先由 P=Fv 求牵引力，再由牛顿第二定

律求对应的加速度。• 要知道 a=0 时汽车速度最大，可根据①的方法求最大速度。• 对于汽车匀加速起动问题，要明确匀加速的末状态功率达到额定功

率，此时并不是汽车所能达到的最大速度，其后还有一个加速度减小的加速过程，这个过程结束时，汽车才达到最大速度。

【答案 】 1600m

一列车的质量是 5.0×105 kg ，在平直的轨道上以额定功率3 000 kW 加速行驶，当速度由 10 m/s 加速到所能达到的最大速度 30 m/s 时，共用了 2 min ，则在这段时间内列车前进的距离是多少？ (设阻力恒定 )