Письменская Людмила АндреевнаЗаслуженный учитель Кубаниучитель математики МОУ СОШ № 58 станицы Варениковской Крымского

района Краснодарского края

Эта тема считается трудной. Если работать на обычной доске, много времени уходит на построение рисунков, условие задачи не всегда позволяет четко изобразить сечение. На интерактивной доске с помощью программы «Живая математика» эти проблемы уходят сами собой. Она не только позволяет дать яркое изображение рисунка, но и при необходимости может повернуть его в нужном ракурсе. Кроме того, можно осуществить пошаговое построение, при необходимости вернуться к предыдущим рисункам.

Урок рассчитан на средний класс.

1. Развивающие.. Развить у учащихся пространственное мышление.

2. Обучающие Научить учащихся строить рисунки с помощью программы «Живая математика» Выработать навыки построения сечений параллелепипеда и тетраэдра.

3. Воспитательные Применять построенные рисунки к решению расчетных задач. Применять построенные рисунки к решению практических задач

Оборудование: Интерактивная доска Персональные компьютеры у учащихся

1. Организационный момент – 1 минута 2. Проверка домашнего задания – 3 минуты 3. Изучение нового материала – 13 минут (теоретические

положения 3 мин, практические построения 10 минут) 4. Закрепление нового материала - 21 минута ( работа у доски 8

минут, индивидуальная работа за персональными компьютерами 8 минут, самостоятельная работа 5 минут)

5. Домашнее задание – 2 минуты 6. Итог урока – 3 минуты/

1 мин 3 мин 13 мин

3 мин

10 мин

21 мин

8 мин

8 мин

5 мин

2 мин3 мин

1. Организационный момент. Оргмомент. Учитель: В данный

момент перед страной стоит непростая задача: превратиться из мирового поставщика сырья в мощную индустриальную державу. Для развития индустрии самой необходимой специальностью является специальность…

Ученики: инженера. Учитель: верно. Сегодня мы

прикоснемся к очень важной составляющей инженерного дела – инженерной графике. Именно инженерам приходится сталкиваться с сечением различных геометрических тел плоскостями. Итак, тема урока «Сечение многогранников»

2. Проверка домашнего задания. Учитель на доске помещает заранее

подготовленные вопросы из учебника: 1. Существует ли параллелепипед, у

которого А) только одна грань прямоугольник. Б) только две смежные грани – ромбы. В) все углы граней острые. Г) Все углы граней прямые. Д) Число всех острых углов граней не

равно числу всех тупых углов граней?

Ученики: А). Нет, так как у параллелограмма

противоположные грани равны. Б) Нет, так как у параллелограмма противоположные

грани равны. В) Нет, таких параллелограммов не существует. Г) Да, прямоугольный параллелепипед. Д)Нет, в каждой грани два острых и два тупых угла,

либо все прямые.

1. Теоретическая часть.

Учитель:

Любой многогранник можно рассечь плоскостью. С этой задачей сталкиваются не только в геометрии. Инженерная графика предполагает построение сечений различных тел.

Определение. Секущей плоскостью многогранника называется плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.

Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.

Возьмем параллелепипед.

Что вы можете сказать о противоположных гранях параллелепипеда?

Ученик: противоположные

грани параллелепипеда

параллельны.

1. На ребрах параллелепипеда , выходящих из одной вершины, даны три точки K,L,M. Построить сечение параллелепипеда плоскостью KLM.

A'

D'C'

B'

DC

A B

K

L

M

A'

D'C'

B'

DC

A B

K

L

M

Решение. Шаг 1. Строим KL Шаг 2. Строим КМ Шаг 3. Строим ML Треугольник KLM – искомое сечение.

K' M'

A'

D'C'

B'

DC

AB

K

L

M

На параллельных ребрах параллелепипедаданы три точки K, L, M.

Построить сечение параллелепипедаплоскостью KLM.

ПостроениеA'

D'C'

B'

DC

AB

K

L

MA'

D'C'

B'

DC

AB

K

L

M

K'A'

D'C'

B'

DC

AB

K

L

M

KK' ML K' M'

A'

D'C'

B'

DC

AB

K

L

M

MM' KLK' M'

A'

D'C'

B'

DC

AB

K

L

M

K'

M'

A'

D'

C'

B'

D

C

A

B

KL

M

.

Рисунок можно повернуть

Шаг 1Шаг 2 Шаг 3 Шаг 4 Шаг 5

Рисунок можно повернуть.

Учитель: Параллелепипед имеет шесть граней. Какими многоугольниками могут быть сечения параллелепипеда?

Учитель: У тетраэдра четыре грани. Какими многоугольниками могут быть сечения тетраэдра?

Учитель: Для построения сечения

достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, после чего остается провести отрезки, соединяющие каждые две построенные точки, лежащие в одной и той же грани.

Ученик: Его сечениями могут быть только треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники.

Ученик: Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечением являются только треугольники и четырехугольники.

Точка M лежит на боковой грани ADB тетраэдра DABC.Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящейчерез точку M параллельно основанию ABC.

Q

PM

B

C A

D

R

Q

PM

B

C A

D

Шаг 2

PQ AB и проходит через точку М QR BC

R

Q

PM

B

C A

D

Шаг 3

R

Q

PM

B

C A

D

Шаг 4

M

B

C A

D

RQ

P

MB

C

A

D

можно рисунок развернуть.

Шаг 1

L

KB

C

A

S

Постройте сечение тетраэдра SABC, проходящее через середины ребер АВ и ВС параллельно ребру SB. Докажите, что оно пересекает грани SAB и SBC по параллельным прямым. Учащиеся выполняют работу на компьютерах самостоятельно, затем решение выводится на доску и обсуждается.

L'

L

KB

C

A

S

Построение

Шаг 1. Шаг 2.

L'

K'

L

KB

C

A

S

L'

K'

L

KB

C

A

S

Шаг 3.

L'

K'

L

KB

C

A

S

Шаг 4.

L L| || SB KK|||SB

Доказательство •LL||| SB по построению •KK/||SB по построению •LK – средняя линия треугольника АВС, LK ||AC •L|K| ||AC по той же причине.• Следовательно, сечение – параллелограмм, •отсюда следует, что LL||| KK/

Шаг 2

На ребрах АВ, BD,CD тетраэдра ABCD отмечены точки M,N,P. Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP. Рассмотреть все возможные случаи.

1. Пусть NP AC

B

C

A

D

M

N

P

Дано

B

C

A

D

M

N

P

Построение

Шаг 1

B

C

A

D

M

N

P

Шаг 3

B

C

A

D

M

N

P

B

C

A

D

M

N

P

Шаг 4

B

C

A

D

M

N

P

Шаг 5

B

C

A

D

M

N

P

Шаг 6

B

C A

D

M

N

P

Можно повернуть

B

C

A

D

M

N

P

Учащиеся повторяют шаг 1 и шаг 2 из предыдущего построения. Затем следуют условию задачи.

Q

B

C A

D

M

N P

Шаг 3

Q

B

C A

D

M

N P

Шаг 4

Q

B

C A

D

M

N P

Шаг 5

Q

B

C A

D

M

N P

Шаг 6Q

BC

A

D

M

N

P

Повернутый рисунок

A B

C

S

O

E

P

D

F

O2

O1

Решение. Пусть K и L – середины ребер D1C1 и C1B1 куба

ABCDA1B1C1D1. Наиболее удаленной от KL вершиной является A. Плоскость сечения пересекается с плоскостью A1B1C1D1 по прямой KL. Продолжим KL. До пересечения с прямыми A1D1и A1B1 в точках E и F. Точка Е принадлежит плоскости ADD1A1. В этой же плоскости расположена еще одна точка сечения – точка А. Следовательно, плоскость сечения пересекается с плоскостью ADD1A1 по прямой АЕ. Обозначим через N точку пересечения этой прямой с ребром DD1. В плоскости грани DCC1D1 имеем точки К и N, принадлежащие сечению. Строим отрезок KN, являющийся стороной многоугольника сечения. Аналогично находится точка М. Окончательно получаем , что сечением является пятиугольник KLMAN.

M

F

D1 C1

A1 B1

A B

CD

K

L

E

N

Карточка 1. Построить сечение куба плоскостью,

проходящей через три данные точки, являющиеся серединами его ребер.

Карточка 2. Построить сечение куба плоскостью,

проходящие через три данные точки, являющиеся вершинами куба.

Карточка 3. Построить сечение куба плоскостью,

проходящие через три данные точки, являющиеся либо вершинами куба, либо серединами его ребер.

A1

A D

B1 C1

CB

K

M

N

A1 D1

A D

B1 C1

CB

A1 D1

A D

B1 C1

CB

M

Задача № 79(б) Изобразите параллелепипед

ABCDA1B1C1D1 постройте его сечение плоскостью АСС1

Решение. Плоскости граней В1С1СВ и A1D1DA

пересечены плоскостью А1С1СА, линии пересечения параллельны, AA1||CC1. AA1= CC1. (по свойству: отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны), AA1||CC1. AA1= CC1. (по признаку параллелограмма), А1С1СА – параллелограмм.

А1 D1

A D

В1 С1

CB

Задача № 81(а) Изобразите параллелепипед

ABCDA1B1C1D1

Отметьте точки М и N соответственно на ребрах ВВ1 и СС1 . Постройте точку пересечения прямой МN с плоскостью АВС.

Решение. Пусть МN не параллельна ВС, тогда

МN пересечет плоскость АВС. Построение. Продолжим отрезки ВС и МN до

пересечения в точке х. Тогда точка х искомая.

x

A1 D1

A D

B1 C1

CB

M

N

Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1

и постройте его сечение плоскостью MNK, где точки М, N, K лежат соответственно на ребрах ВВ1 , АА1, AD.

Решение. 1. Допустим, что MN не параллельна АВ. 2. Продолжим MN и АВ до пересечения их в точке О. 3. ОК лежит в плоскости АВС (т.к. О принадлежит

плоскости АВС и К принадлежит плоскости АВС. 4. Соединим К и N. 5. Плоскости ONKи OAK пересекаются по прямой ОК. 6. Продолжим ОК до пересечения с DC в точке L. Соединим точки К и L, они лежат в одной плоскости.7. Проведем LP||NM. 8. Соединим Р и М. 9. MNKLP – искомое сечение.

A

CB

O

D

N

M

KL

P

Учитель: итак, подведем итог, чему мы научились сегодня на уроке?

Учитель: Какие теоретические положения нам часто приходилось использовать?

Какие ошибки были допущены при решении задач?

Кому приходилось возвращаться к задаче несколько раз?

Учитель: Где в практической деятельности вам пригодится сегодняшний урок?

Учитель: Вы славно потрудились.

Объявляются оценки.

Ученики: - Строить сечения многогранников, таких как куб, параллелепипед, тетраэдр.

-Работать в УМК «Живая математика»

- Использовать анимацию при построении сечений многогранников.

Ученики:- теорему о параллельных отрезках, заключенных между параллельными плоскостями,

Признаки параллелограмма, Свойства параллелограмма. Ученики: В дальнейшем нам

придется учиться в высших учебных заведениях, а затем в инженерной практике навыки построения чертежей пригодятся.