МИНОБРНАУКИ РОССИИФедеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего образования «Ухтинский государственный технический университет»

Индустриальный институт(среднего профессионального образования)

РАССМОТРЕНО Предметно-цикловой комиссией дисциплин математического и естественнонаучного цикла (по подготовке квалифицированных рабочих, служащих)Председатель ПЦК

Е. В. КоваленкоЯ-d/<л 2016 г.

УТВЕРЖДАЮ Зам. директора по ИМР

Н. Н. Якушенкова« 2016 г.

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ОДП.01 Математика: алгебра и начала математического анализа;геометрия

по профессии:

15.01.05 - Сварщик (ручной и частично механизированной сварки (наплавки))

Форма'обучения очная

Ухта 2016

АННО ТАЦ ИЯДанный учебно-методический комплекс написан в соответствии с рабочей

программой общеобразовательной учебной дисциплины «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» для профессии СПО 15.01.05 Сварщик (ручной и частично механизированной сварки (наплавки) .

Учебная дисциплина «Математика» предназначена для изучения в учреждении среднего профессионального образования, реализующем образовательную программу среднего (полного) общего образования, при подготовке специалистов среднего звена технического профиля.

Учебно-методический комплекс содержит перечень учебной и методической литературы, перечень раздаточного материала, перечень учебно­наглядных пособий и оборудования, перечень дополнительной литературы и интернет ресурсов, примеры заданий для входного, текущего контроля и промежуточной аттестации.

Материал учебной дисциплины рационально распределен по темам, обозначены виды учебных занятий, запланирована и организуется самостоятельная работа студентов, определено учебно-методическое обеспечение дисциплины, разработана система контроля. Для совершенствования образовательного процесса наряду с традиционными печатными материалами используются презентационные и справочные материалы в электронной форме, ресурсы Интернет, специализированное программное обеспечение.

Ожидаемые результаты:Личностные:• сформированность основ саморазвития и самовоспитания в соответствии

с общечеловеческими ценностями и идеалами гражданского общества; готовность и способность к самостоятельной, творческой и ответственной деятельности;• навыки сотрудничества со сверстниками, взрослыми в образовательной,

общественно полезной, учебно-исследовательской, проектной и других видах деятельности;• готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию,

на протяжении всей жизни; сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности.Метапредметные:• умение самостоятельно определять цели деятельности и составлять планы

деятельности; самостоятельно осуществлять, контролировать и корректировать деятельность; использовать все возможные ресурсы для достижения по­ставленных целей и реализации планов деятельности; выбирать успешные стратегии в различных ситуациях;• умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе

совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности, эффективно разрешать конфликты;

2

• владение навыками познавательной, учебно-исследовательской и проектной деятельности, навыками раз решения проблем; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания;• готовность и способность к самостоятельной информационно­

познавательной деятельности, включая умение ориентироваться в различных источниках информации, критически оценивать и интерпретировать информацию, получаемую из различных источников;• умение использовать средства информационных и коммуникационных

технологий в решении когнитивных, коммуникативных и организационных задач с соблюдением требований эргономики, техники безопасности, гигиены, ресурсосбережения, правовых и этических норм, норм информационной безопасности;• владение навыками познавательной рефлексии как осознания

совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов и оснований, границ своего знания и незнания, новых познавательных задач и средств их достижения.Предметные:• сформированность представлений о математике как части мировой

культуры и о месте математики в современной цивилизации, о способах описания на математическом языке явлений реального мира;• сформированность представлений о математических понятиях как о

важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления; понимание возможности аксиоматического построения математических теорий;• владение методами доказательств и алгоритмов решения; умение их

применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;• владение основными понятиями о плоских и пространственных

геометрических фигурах, их основных свойствах; сформированность умения распознавать на чертежах, моделях и в реальном мире геометрические фигуры;• применение изученных свойств геометрических фигур и формул для

решения геометрических задач и задач с практическим содержанием;• владение навыками использования готовых компьютерных программ при

решении задач.

3

Содержание

1. Нормативно-правовое обеспечение дисциплины«Математика: алгебра и начала математического анализа;геометрия» 52. Учебно-методическое и материально-техническоеобеспечение дисциплины «Математика: алгебра и началаматематического анализа; геометрия» 53. Методические рекомендации обучающимся длявнеаудиторной самостоятельной работы 114. Комплект для контроля результатов обучения 14

4

1. Н ормативно-правовое обеспечение дисциплины «М атематика: алгебра и начала математического анализа; геометрия»

1.1. Примерная программа общеобразовательной учебной дисциплины «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» для профессиональных образовательных организаций, рекомендованная ФГАУ «ФИРО» в качестве примерной программы для реализации основной профессиональной образовательной программы СПО на базе основного общего образования с получением среднего общего образования (Протокол № 3 от 21 июля 2015 г. (приложение 1).

1.2. Рабочая программа дисциплины «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» по профессии СПО

15.01.05 Сварщик (ручной и частично механизированной сварки (наплавки))

2. Учебно-методическое и материально-техническое обеспечение дисциплины «М атематика: алгебра и начала математического анализа; геометрия»

2.1. Перечень учебной литературы для обучающ ихся

• Башмаков, М. И. Математика: Учебник для использования в учебном процессе образовательных учреждений, реализующих программы начального и среднего профессионального образования / Марк Иванович Башмаков. - 10-е изд., стер. - М.: Академия, 2015. - 256 с.: ил.• Башмаков, М. И. Математика. Сборник задач профильной направленности : Учебное пособие для использования в учебном процессе образовательных учреждений, реализующих программы начального и среднего профессионального образования / Марк Иванович Башмаков. - 5-е изд., стер. - М.: Академия, 2014. - 208 с. - (Профессиональное образование). -Рекомендовано Федеральным государственным автономным учреждением "Федеральный институт развития образования" (ФГАУ "ФИРО").• Башмаков, М. И. Математика. Задачник: Учебное пособие для использования в учебном процессе образовательных учреждений, реализующих программы общего образования по профессиям начального профессионального образования и специальностям среднего профессионального образования / Марк Иванович Башмаков. - 5-е изд., стер. - М.: Академия, 2014. - 416 с. - (Профессиональное образование). - Рекомендовано Федеральным государственным автономным учреждением "Федеральный институт развития образования".

5

Интернет -ресурсы

1. «Государственная информационная система «Национальная электронная библиотека» нэб.рф2. Центр электронной доставки документов Российской государственной библиотеки www.edd.ru3. Научная Электронная Библиотека - eLibrary.ru4. Полнотекстовая база данных СМИ www.polpred.com5. Университетская информационная система РОССИЯ (Интегрированная коллекция ресурсов для гуманитарных исследований uisrussia.msu.ru6. ЭБС "ZNANIUM.COM" www.znanium.com7. ЭБС "ЮРАЙТ" www. biblio-online. ru8. ВЭБС Учебно-методические пособия lib.ugtu.net

2.2. Перечень учебно-наглядных пособий

Учебно - методические средства

Таблицы, плакатыНаименование

темы Название плаката

Т ригонометрия Тригонометрические функции и графики.Основные формулы тригонометрии.Таблица значений тригонометрических функций.Решение тригонометрических уравнений.Таблица частных случаев решения тригонометрических уравнений.

Производная Правила вычисления производных.Таблица производных.

Первообразная Таблица первообразных.Числовые функции Графики числовых функций.Обобщение понятие степени. Свойства степеней.Логарифмы Свойства логарифмов.Стереометрия Стереометрические тела.

Модели стереометрических телНаименование

темы Наглядный материал

Параллельность в пространстве, перпендикулярность в пространстве,

Модели многогранников (куб, пирамида, параллелепипед, призма,

6

многогранники. т. д.)Тела вращения Модели тел вращения (цилиндр,

конус, шар)Чертежные инструменты

треугольники (30 град.)треугольники (45 град.)линейка метроваяциркульТранспортир

Электронные учебники1. Уроки геометрии Кирилла и Мефодия 11 класс2. Уроки геометрии Кирилла и Мефодия 10 класс3. Уроки алгебры Кирилла и Мефодия 10-11 класс4. Математика .Подготовка к ЕГЭ.5. Стереометрия. Часть 1.6. Стереометрия. Часть 2.7. 1-С-Репетитор Математика ЕГЭ часть 18. Открытая математика. Алгебра9. Экспресс-подготовка к экзамену 9-11 классы. Математика

2.3. Раздаточный дидактический материал

1.Дидактический материал по геометрии2. Дидактический материал по геометрии3. Тесты «Геометрия 10-11 классы»4. Дидактический материал по алгебре 10-11 классы5. Г еометрия на готовых чертежах

2.4. Перечень практических работ и методические рекомендации к ним

Практические занятия служат связующим звеном между теорией и практикой. Они необходимы для закрепления теоретических знаний, полученных на уроках теоретического обучения, а так же для получения практических знаний. Практические задания выполняются студентом самостоятельно, с применением знаний и умений, полученных на уроках, а так же с использованием необходимых пояснений, полученных от преподавателя при выполнении практического задания. К практическому занятию от студента требуется предварительная подготовка, которую он должен провести перед занятием. Список литературы и вопросы, необходимые при подготовке, студент получает перед занятием из методических рекомендаций к практическому занятию.

7

Практические задания разработаны в соответствии с учебной программой. В зависимости от содержания они могут выполняться студентами индивидуально или фронтально. Зачет по каждой практической работе студент получает после ее выполнения и предоставления в печатном или электронном виде, оформления отчета в котором указывает полученные знания и умения в ходе выполнения практической работы, а также ответов на вопросы преподавателя, если таковые возникнут при проверке выполненного задания. (Приложение 2)

ПРИМЕР:

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 6

«Исследование функции и построение ее графика»

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:1. Корректировать знания, умения и навыки в теме:«Исследование функции и построение ее графика».2. Закрепить и систематизировать знания по теме.3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результатдеятельности обучающихся.

ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, таблицыпроизводных элементарных функций, микрокалькуляторы.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:1. Ответить на контрольные вопросы:

а) Какую точку называют критической (стационарной) точкойфункции?

б) Сформулируйте признак возрастания (убывания) функции.в) Сформулируйте признак максимума (минимума) функции.г) Опишите схему исследования функции.

2. С помощью обучающей таблицы повторить план исследованияфункции и изучить образцы решенных примеров.

3. Выполнить задания для самоконтроля (в таблице).4. Изучить условие заданий для практической работы.5. Оформить отчет о работе.

ОБУЧАЮЩАЯ ТАБЛИЦА

Задание. Исследуйте и постройте графики функции:2

а) f (х) = 3х4 - 4х3 + 1; б) f (x) = -^— -.х -1

План№ исследования Применение плана

8

шага

Функцииа) f (х) = Зх4 - 4 х3 +1

г2б) f (х) = —х 7х -1

1 Находимобластьопределенияфункции

RII х2 -1 = 0, х = +1,D (f ) = (- да; - 1) U (- 1;1) U U (1; + да)

2 Исследуем функцию на четность, нечетность

f (- х) = 3х 4 + 4 х3 +1 + f ( x ) ^ функция ни четная, ни нечетная

г2f ( х)= 2 , = f (х) ^ х -1функция четная

3 Находим нули (корни) функции и промежутки её знакопостоянств а

3х4 - 4х3 + 1 = 0, (зх4 - 3х3 ) - - (х 3 -1)= 0,(х - 1)2 (зх2 + 2х + 1)= 0, х -1 = 0, х = 1- нуль функции

f = 0,х -1х = 0 - нуль функции

4 Находим производную функции и её критические точки

f 7 (х) = (зх4 - 4х3 + 1} = 12х3 - - 12 х 2 = 12 х 2 (х - 1), f ' (х) = 0 ^ х = 0;1 - критические точки функции

( х 2 ) 7 f (х) = [ хх - 1) =V х 1У

2 х(х —1)— 2 х 2 х

" (х - 1 ) 2 " ( х 1 ) 2f ' (х) = 0 ^ х = 0 - критическая точка функции

5 Находимпромежуткимонотонности,точкиэкстремума иэкстремумыфункции

/ - - + X / + 0 + 0 - 0 -

у' ( - 1)< 0,y (0,5) < 0 ,y (2)> 0 х=0 - не является точкой экстремума, х=1 - точка минимума, y min = y(1) = 0

y' (- 2)> 0,y' ( - 0,5) > 0, у' (0,5) < 0 , / (2)< 0, х=0 - точка максимума,Ут ах = у(0) = 0

6 Находим предел функции прих ±да

lim (Зх4 - 4х3 +1 )= даАх +да

lim —х----= 1Ах +да х - 1

9

Примеры. Исследуйте и постройте графики функций:2

1) y = x 3x + 2; 2) y = 2x x 1; 3) y = 6x x 5; 4) y = ---- I2 x

5) y = 3x — x3 ; 6) y = x3 — 3x2 + 4; 7) y = x3 — 3x +1; 8) y = (x— ■x 2

9) y = x2 + i .x

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ:

Вариант 1.

йте функцию f(x) =

е с помощью проее график.

1. Исследуйте функцию f (x) = x — x4 на максимум и минимум.

2. Исследуйте с помощью производной функцию f (x ) = 2 x3 — 3x2 + 5 и постройте

Вариант 2.1. Исследуйте функцию f (x ) = x3 — 3x на максимум и минимум.

2. Исследуйте с помощью производной функцию f (x) = — 1 x3 + 1,5x2 и постройте

ее график.Вариант 3.

x 41. Исследуйте функцию f (x )= — — 2 x2 + 5 на максимум и минимум.

2. Исследуйте с помощью производной функцию f (x) = 2 x3 — 3x2 и постройте ее график.

Вариант 4.1. Исследуйте функцию f (x) = 12 x — x3 на максимум и минимум.

2. Исследуйте с помощью производной функцию f (x) = 1 x2 — 1 x5 и постройте

ее график.

10

Вариант 5.1. Исследуйте функцию f (x ) = 3x4 — 6 x2 + 4 на максимум и минимум.2. Исследуйте с помощью производной функцию f (x) = — x3 + 3x + 2 и постройте

ее график.Вариант 6.

21. Исследуйте функцию f (x ) = — x3 — 2x +1 на максимум и минимум.

2. Исследуйте с помощью производной функцию f (x ) = x3 — 3x и постройте ее график.

Вариант 7.1. Исследуйте функцию f (x ) = x3 — x4 на максимум и минимум.2. Исследуйте с помощью производной функцию f (x ) = — x4 + 5 x2 + 4 и

постройте ее график.Вариант 8.

1. Исследуйте функцию f (x) = 1 x4 — x2 + 5 на максимум и минимум.

2. Исследуйте с помощью производной функцию f (x) = x3 — x2 и постройте ее график.

2.5. Перечень электронных средств обучения1) Электронные учебники

1. Уроки геометрии Кирилла и Мефодия 11 класс2. Уроки геометрии Кирилла и Мефодия 10 класс3. Уроки алгебры Кирилла и Мефодия 10-11 класс4. Математика .Подготовка к ЕГЭ.5. Стереометрия. Часть 1.6. Стереометрия. Часть 2.7. 1-С-Репетитор Математика ЕГЭ часть 18. Открытая математика. Алгебра9. Экспресс-подготовка к экзамену 9-11 классы. Математика

2) Презентации на электронных носителях по всем разделам курса.

3. М етодические рекомендации обучающ емуся для внеаудиторнойсамостоятельной работы

Внеаудиторная самостоятельная работа предназначена для систематизации и закрепления теоретических знаний и практических умений, углубления и расширения теоретических знаний, развития самостоятельности. Кроме этого, самостоятельная работа направлена на развитие творческих навыков, умение ориентироваться в потоке информации, на правильную организацию своего времени.

11

Для обеспечения эффективной самостоятельной работы обучающихся в сочетании с совершенствованием управления ею со стороны преподавателей, внеаудиторная работа сопровождается методическими рекомендациями (приложение 3).

Цели:1. Формирование у обучающихся навыков самостоятельной работы по поиску необходимой информации.2. Формирование умений и навыков по грамотной компоновке материала реферата, его оформлению в соответствии с общепринятыми правилами.3. Подготовка к защите реферата (доклад по работе на 10 - 15 минут и ответы на вопросы).Задачи:1. Привлечение внимания обучающихся к математическим проблемам.2. Реализация межпредметных связей математики с литературой, историей и другими дисциплинами.3. Развитие коммуникативных способностей обучающихся.4. Развитие навыков сотрудничества.5. Развитие навыков самостоятельного получения информации из различных источников.

Данный вид деятельности, как выполнение и оформление результатов исследовательской работы, не прост. Но те обучающиеся, которые используют этот приём, уже в первых своих “исследованиях” приучаются к той самостоятельности, которая поможет им в дальнейшей учёбе.

3.3. Тематика реферативных (творческих) работ и исследовательских проектов

• Непрерывные дроби.• Применение сложных процентов в экономических расчетах.• Параллельное проектирование.• Средние значения и их применение в статистике.• Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве.• Сложение гармонических колебаний.• Г рафическое решение уравнений и неравенств.• Правильные и полуправильные многогранники.• Конические сечения и их применение в технике.• Понятие дифференциала и его приложения.• Схемы повторных испытаний Бернулли.• Исследование уравнений и неравенств с параметром.

12

4. Комплект для контроля результатов обучения

4.1. Ф ормы контроля знаний обучающ ихся:

№ наименование форма

1 входной контроль Тестирование, контрольная работа

2 текущий контроль устный опрос, отчет при выполнении практических работ,

выполнение контрольных работ, тестов3 промежуточный контроль экзамен

4.2. Критерии для выставления оценок при выполнении контрольных работ и тестов:

Оценка «5» 95-100% правильных ответов Оценка «4» 80-94% правильных ответов Оценка «3» 60-79% правильных ответов Оценка «2» менее 60% правильных ответов

4.3. Тест для входного контроля базовых знаний за курс основного общего образования

Проверочная работа за курс 9-летней ш колы1 вариант

1. Решить уравнение: х — 1 2 х — 5

а) 4 3.2

= 5

б) 5х - 4х = 02. Упростить

а) 9(в+2)2 - (3в-1)(3в+1)б) а3 в2 ( -3 а2 в4 )

3. Вычислить:

— V8 + (Тэ — л/6 ) л/э

2 вариант 1. Решить уравнение:

а) 3 х2 - 12 = 0 в) 2 х2 + 3х = 0

2. Вычислить:f 1 62 1 — 12V 4 3 У 7

3. Вычислить:6 2 5 3 • 5

12 5 3

4. Построить график функции:а) у = 2х - 3б) у = -2х2 + 4х + 6

Дополнительное задание:

4. Построить график функции:а) у = - х2 - 1

N 4в) у = ТТх

1

13

Л7. f х 4 ч х + 4 31. Упростить: ( ------+ --------)---------- ---------х — 5 х + 4 х +10 х — 5

4.4. Задания для промежуточного контроля освоения обучающ имися программы дисциплины «М атематика» (Приложение 4)

Свойства функций и их графики.1 вариант

А1. Какой из графиков, изображенных на рисунках 1) - 4) задает функции Рис.1 Рис.2

Рис.3 Рис.4

а) 1). б) 2). в ) 3). г) 4).

А2. Найдите область определения функции: у = л/ 4 x — 1

а) x > 2; б) x < 2; в) х> 1 ; г) x < 2.

А3. Среди заданных функций укажите чётные:1) у = 2х2; 2) у = V X ; 3) у = 5х;а) 1) и 3); б) 1); в) 3).

А4. По графику функции y = f x ) (Рис.5) укажитеа) область определения функции;б) нули функции;

/

у * .

Г \в) промежутки постоянного знака функции;г) точки максимума и минид) промежутки монотонности;е) наибольшее и наименьшее значения

функции;ж) область значений функции.

Рис.5

3

1x

3

14

2 x +1B. Найдите область определения функции у = —— — .x( x — 1)C. Постройте график функции у = x -4x+3 и укажите ее свойства.

2 вариантА1. Какой из графиков, изображенных на рисунках 6) - 9), задает функцию?

Рис. 6

Рис.8

Рис.7

Рис.9

а) 1). б) 2). в) 3). г) 4)._ 1

А2. Найдите область определения функции: у =

а) x > 3; б) x < 3; в) x > 3; г) x < 1/3. А3. По графику функции у = f x ) (Рис.10) укажите:

а) область определения функции;б) нули функции;в) промежутки постоянного знака

функции;г) точки максимума и минимума

функции;д) промежутки монотонности;е) наибольшее и наименьшее

значения функции;ж) область значений функции.

А4. Среди заданных функций укажите нечетные.

1) у = 2х2; 2) у = - ; 3) у = 5х.x

У1К

2 / \ /N 1 !—3 \ — 2 3 x

\ / о\ 3

-4

Рис.10

л/9 — 3x

15

а) 1) и 3); б) 2) ; в) 2) и 3); г) 3) .

2 + x 2B. Найдите область определения функции у = ------~ .

x ( x — 5)л

C. Постройте график функции у = x -2x + 1 и укажите ее свойства.

Контрольные измерительные материалы для промежуточной аттестации результатов освоения обучающимися ППКРС позволяют установить уровень освоения обучающимися дисциплины «Математика» (Приложение 4).

ПРИМЕР:

Вариант 1

8х2 — 21. Решите неравенство --------- > 03 — х

2. Решите уравнение 9• 8112х = 272 х

3. Решите уравнение: sin x + cos(2—+ x)—cos' — — x | = —1 v 2

4. Найдите первообразную функции f (x) = 10 x4 + x , значение которой при х = 0 равно 6.

5. Найдите точки экстремума функции f(x) = х5 - 5х4 + 3.6. В кубе ABCD A1B 1C1D 1 проведено сечение через середины ребер А А 1 и

СС1 и вершину В. Каким многоугольником является это сечение? Сделайте рисунок и отметьте равные стороны многоугольника.

7. Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна 6л/2 см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

8. Сколько шариков диаметром 2 см можно отлить из металлического куба с ребром 4 см?

9. Укажите наименьшее положительное число х, при котором sin x0 = sin2150 - 2 sin150cos150 + cos2150

10. Укажите промежутки возрастания и убывания функции у = ех - х

16

Приложение 1

ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

«МАТЕМАТИКА:а л г е б р а и н а ч а л а м а т е м а т и ч е с к о г о

АнАЛИЗА; ГЕОМЕТРИя»для профессиональных образовательных организаций

Р еком ендовано Федеральным государст венны м автономным учреж дением « Федеральный инст ит ут развит ия образования» (Ф Г А У «Ф И Р О »)

в качест ве примерной программы для реализации основной профессиональной образоват ельной программы С П О на базе основного общего образования

с получением среднего общего образования

П рот окол № 3 от 21 июля 2 0 1 5 г.

Регист рационный номер рецензии 3 7 7 от 2 3 июля 2 0 1 5 г. Ф Г А У «Ф И Р О »

ACADEMIA

МоскваИздательский центр «Академия»

201 5

УДК 372.851(075.32) ББК 74.262.21я723я722

Б336

Н а у ч н ы й р у к о в о д и т е л ь —Е .А .Р ы кова, главный научный сотрудник

Центра профессионального образования Ф ГА У «ФИРО», доктор педагогических наук, профессор,

лауреат премии Президента РФ в области образования

А в т о р —М . И .Баш м аков, доктор физико-математических наук, академик Российской академии образования, профессор

Р е ц е н з е н т ы :М .А .Горяев, ведущий научный сотрудник ФГБНУ

«Институт педагогического образования взрослых РАО», доктор технических наук;

Л . Х . М едоева, преподаватель математики ГАПОУ «Московский образовательный комплекс им. В. Талалихина» г. Москвы

Башмаков М.И.Б336 Примерная программа общеобразовательной учебной дисциплины «Матема­

тика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» для профессио­нальных образовательных организаций. — М. : Издательский центр «А каде­м ия», 2015. — 25 с.

ISBN 978-5-4468-2599-8Программа предназначена для профессиональных образовательных организаций,

реализующих основную профессиональную образовательную программу СПО на базе основного общего образования с одновременным получением среднего общего образова­ния.

Программа разработана с учетом требований ФГОС среднего общего образования, ФГОС среднего профессионального образования и профиля профессионального образо­вания.

УДК 372.851(075.32) ББК 74.262.21я723я722

Оригинал-макет данного издания является собственностью Издательского центра «Академия», и его воспроизведение любым способом

без согласия правообладателя запрещается

© Башмаков М.И., 2015© Образовательно-издательский центр «Академия», 2015

ISBN 978-5-4468-2599-8 © Оформление. Издательский центр «Академия», 2015

Содержание

Пояснительная записка ...................................................................................................................... 4Общая характеристика учебной дисциплины «Математика:алгебра и начала математического анализа; геометрия» ................................................ 5Место учебной дисциплины в учебном плане....................................................................... 6Результаты освоения учебной дисциплины ...........................................................................7Содержание учебной дисциплины............................................................................................. 8А л гебра ................................................................................................................................................. 8Основы тригонометрии...................................................................................................................9Ф ункции, их свойства и гр аф и к и ............................................................................................. 9Начала математического анализа............................................................................................ 10Уравнения и неравенства............................................................................................................ 10Комбинаторика, статистика и теория вероятностей........................................................ 11Геометрия...........................................................................................................................................14

Тематическое планирование............................................................................................................ 13Технический, социально-экономический профилипрофессионального образования..............................................................................................14Примерный тематический план............................................................................................... 14Естественно-научный, гуманитарный профили профессиональногообразования...................................................................................................................................... 15Примерный тематический план............................................................................................... 15

Характеристика основных видов учебной деятельности студентов................................17Учебно-методическое и материально-техническое обеспечение программы учебной дисциплины «Математика: алгебра и начала математического анализа;геометрия»...............................................................................................................................................23Рекомендуемая литература..............................................................................................................24

п о я с н и т е л ь н а я ЗАПИСКА

Программа общеобразовательной учебной дисциплина «Математика: алгебра и на­чала математического анализа; геометрия» (далее — «М атематика») предназначена для изучения математики в профессиональных образовательных организациях СПО, реализующих образовательную программу среднего общего образования в пределах освоения основной профессиональной образовательной программы СПО (ОПОП СПО) на базе основного общего образования при подготовке квалифицированных рабочих, служащ их и специалистов среднего звена.

Программа разработана на основе требований ФГОС среднего общего образования, предъявляемых к структуре, содержанию и результатам освоения учебной дисци­плины «М атематика», в соответствии с Рекомендациями по организации получения среднего общего образования в пределах освоения образовательных программ среднего профессионального образования на базе основного общего образования с учетом тре­бований федеральных государственных образовательных стандартов и получаемой профессии или специальности среднего профессионального образования (письмо Департамента государственной политики в сфере подготовки рабочих кадров и ДПО Минобрнауки России от 17.03.2015 № 06-259).

Содержание программы «М атематика» направлено на достижение следующ их целей:

• обеспечение сформированности представлений о социальных, культурных и исторических факторах становления математики;

• обеспечение сформированности логического, алгоритмического и математиче­ского мышления;

• обеспечение сформированности умений применять полученные знания при ре­шении различных задач;

• обеспечение сформированности представлений о математике как части общ е­человеческой культуры, универсальном языке науки, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления.

В программу включено содержание, направленное на формирование у студентов компетенций, необходимых для качественного освоения ОПОП СПО на базе основного общего образования с получением среднего общего образования; программы подготов­ки квалифицированных рабочих, служащ их; программы подготовки специалистов среднего звена (ППКРС, ППССЗ).

Программа учебной дисциплины «М атематика» является основой для разработ­ки рабочих программ, в которых профессиональные образовательные организации, реализующие образовательную программу среднего общего образования в пределах освоения ОПОП СПО на базе основного общего образования, уточняют содержание учебного материала, последовательность его изучения, распределение учебных часов, тематику рефератов, виды самостоятельных работ, учитывая специфику программ подготовки квалифицированных рабочих, служащих и специалистов среднего звена, осваиваемой профессии или специальности.

Программа может использоваться другими профессиональными образовательны­ми организациями, реализующ ими образовательную программу среднего общ его образования в пределах освоения основной ОПОП СПО на базе основного общего об­разования (ППКРС, ППССЗ).

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИзА; ТЕОМЕТРИЯ»

Математика является фундаментальной общ еобразовательной дисциплиной со сложивш имся устойчивым содержанием и общими требованиями к подготовке обу­чающ ихся.

В профессиональных образовательных организациях, реализующих образователь­ную программу среднего общ его образования в пределах освоения ОПОП СПО на базе основного общего образования, изучение математики имеет свои особенности в зависимости от профиля профессионального образования.

При освоении профессий СПО и специальностей СПО естественно-научного про­филя профессионального образования, специальностей СПО гуманитарного профи­ля профессионального образования математика изучается на базовом уровне ФГОС среднего общего образования; при освоении профессий СПО и специальностей СПО технического и социально-экономического профилей профессионального образова­ния математика изучается более углубленно, как профильная учебная дисциплина, учитывающая специфику осваиваемых профессий или специальностей.

Это вы раж ается в содерж ании обучения, количестве часов, вы деляем ы х на изучение отдельных тем программы, глубине их освоения студентами, объеме и характере практических занятий, видах внеаудиторной самостоятельной работы студентов.

Общие цели изучения математики традиционно реализуются в четырех направ­лениях:

1) общее представление об идеях и методах математики;2) интеллектуальное развитие;3) овладение необходимыми конкретными знаниями и умениями;4) воспитательное воздействие.Профилизация целей математического образования отражается на выборе при­

оритетов в организации учебной деятельности обучаю щ ихся. Для технического, социально-экономического профилей профессионального образования выбор целей смещается в прагматическом направлении, предусматривающем усиление и расш и­рение прикладного характера изучения математики, преимущ ественной ориента­ции на алгоритмический стиль познавательной деятельности. Для гуманитарного и естественно-научного профилей профессионального образования более характерным является усиление общекультурной составляющей учебной дисциплины с ориента­цией на визуально-образный и логический стили учебной работы.

Изучение математики как профильной общеобразовательной учебной дисциплины, учитывающ ей специфику осваиваемых студентами профессий СПО или специаль­ности СПО, обеспечивается:

• выбором различных подходов к введению основных понятий;• формированием системы учебных заданий, обеспечивающих эффективное осу ­

ществление выбранных целевых установок;• обогащением спектра стилей учебной деятельности за счет согласования с ве­

дущими деятельностными характеристиками выбранной профессии / специ­альности.

Профильная составляющая отражается в требованиях к подготовке обучающ ихся в части:

• общей системы знаний: содержательные примеры использования математиче­ских идей и методов в профессиональной деятельности;

• умений: различие в уровне требований к сложности применяемых алгоритмов;• практического использования приобретенных знаний и умений: индивидуаль­

ного учебного опыта в построении математических моделей, выполнении и с­следовательских проектов.

Таким образом, реализация содерж ания учебной дисциплины ориентирует на приоритетную роль процессуальных характеристик учебной работы, зависящих от профиля профессионального образования, получения опыта использования мате­матики в содержательных и профессионально значимых ситуациях по сравнению с формально-уровневыми результативными характеристиками обучения.

Содержание учебной дисциплины разработано в соответствии с основными содер­жательными линиями обучения математике:

5

• алгебраическая линия, включающая систематизацию сведений о числах; и з­учение новых и обобщение ранее изученных операций (возведение в степень, извлечение корня, логарифмирование, синус, косинус, тангенс, котангенс и обратные к ним); изучение новых видов числовых выражений и формул; совер­шенствование практических навыков и вычислительной культуры, расширение и совершенствование алгебраического аппарата, сформированного в основной ш коле, и его применение к решению математических и прикладных задач;

• теоретико-функциональная линия, включающая систематизацию и расширение сведений о функциях, совершенствование графических умений; знакомство с основными идеями и методами математического анализа в объеме, позволяю­щем исследовать элементарные функции и решать простейшие геометрические, физические и другие прикладные задачи;

• линия уравнений и неравенств, основанная на построении и исследовании матема­тических моделей, пересекающаяся с алгебраической и теоретико-функциональной линиями и включающая развитие и совершенствование техники алгебраических преобразований для решения уравнений, неравенств и систем; формирование спо­собности строить и исследовать простейшие математические модели при решении прикладных задач, задач из смежных и специальных дисциплин;

• геометрическая линия, включающая наглядные представления о пространствен­ных фигурах и изучение их свойств, формирование и развитие пространственно­го воображения, развитие способов геометрических измерений, координатного и векторного методов для решения математических и прикладных задач;

• стохастическая линия, основанная на развитии комбинаторных умений, представ­лений о вероятностно-статистических закономерностях окружающ его мира.

Разделы (темы), включенные в содержание учебной дисциплины, являются общ и­ми для всех профилей профессионального образования и при всех объемах учебного времени независимо от того, является ли учебная дисциплина «Математика» базовой или профильной.

В примерных тематических планах программы учебный материал представлен в форме чередую щ егося развертывания основны х содерж ательны х линий (алге­браической, теоретико-функциональной, уравнений и неравенств, геометрической, стохастической), что позволяет гибко использовать их расположение и взаимосвязь, составлять рабочий календарный план, по-разному чередуя учебные темы (главы учебника), учитывая профиль профессионального образования, специфику осваивае­мой профессии СПО или специальности СПО, глубину изучения материала, уровень подготовки студентов по предмету.

Предлагаемые в примерных тематических планах разные объемы учебного времени на изучение одной и той же темы рекомендуется использовать для выполнения раз­личных учебных заданий. Тем самым различия в требованиях к результатам обучения проявятся в уровне навыков по решению задач и опыте самостоятельной работы.

Изучение общеобразовательной учебной дисциплины «Математика» завершается подведением итогов в форме экзамена в рамках промежуточной аттестации студентов в процессе освоения основной ОПОП СПО с получением среднего общего образования (ППКРС, ППССЗ).

В разделе программы «Содержание учебной дисциплины» курсивом выделен ма­териал, который при изучении математики как базовой, так и профильной учебной дисциплины, контролю не подлежит.

МЕСТО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ В УЧЕБНОМ ПЛАНЕ

Учебная дисциплина «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» является учебным предметом обязательной предметной области «М ате­матика и информатика» ФГОС среднего общего образования.

В профессиональных образовательных организациях, реализующих образователь­ную программу среднего общ его образования в пределах освоения ОПОП СПО на базе основного общего образования, учебная дисциплина «М атематика» изучается в общеобразовательном цикле учебного плана ОПОП СПО на базе основного общего образования с получением среднего общего образования (ППКРС, ППССЗ).

В учебных планах ППКРС, ППССЗ учебная дисциплина «Математика» входит в со­став общих общеобразовательных учебных дисциплин, формируемых из обязательных

6

предметных областей ФГОС среднего общего образования, для профессий СПО или специальностей СПО соответствующ его профиля профессионального образования.

р е з у л ь та ты о с в о е н и я у ч е б н о й д и с ц и п л и н ы

Освоение содержания учебной дисциплины «Математика» обеспечивает достиж е­ние студентами следующих результ ат ов:

• личностных:- сформированность представлений о математике как универсальном языке

науки, средстве моделирования явлений и процессов, идеях и методах ма­тематики;

- понимание значимости математики для научно-технического прогресса, сформированность отношения к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей;

- развитие логического мышления, пространственного воображения, алгорит­мической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, для продолжения образования и самообразования;

- овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в п о­вседневной жизни, для освоения смежных естественно-научных дисциплин и дисциплин профессионального цикла, для получения образования в областях, не требующ их углубленной математической подготовки;

- готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию , на протяжении всей ж изни; сознательное отношение к непрерывному об ­разованию как условию успеш ной профессиональной и общественной дея­тельности;

- готовность и способность к самостоятельной творческой и ответственной деятельности;

- готовность к коллективной работе, сотрудничеству со сверстниками в обра­зовательной, общественно полезной, учебно-исследовательской, проектной и других видах деятельности;

- отношение к профессиональной деятельности как возможности участия в реше­нии личных, общественных, государственных, общенациональных проблем;

• метапредметных:- умение самостоятельно определять цели деятельности и составлять планы

деятельности; самостоятельно осущ ествлять, контролировать и корректи­ровать деятельность; использовать все возможные ресурсы для достижения поставленных целей и реализации планов деятельности; выбирать успешные стратегии в различных ситуациях;

- умение продуктивно общ аться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности, эффек­тивно разрешать конфликты;

- владение навыками познавательной, учебно-исследовательской и проектной деятельности, навыками разрешения проблем; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания;

- готовность и способность к самостоятельной информационно-познавательной деятельности, включая умение ориентироваться в различных источниках информации, критически оценивать и интерпретировать информацию, по­лучаемую из различных источников;

- владение язы ковы ми средствами: умение ясно, логично и точно излагать свою точку зрения, использовать адекватные языковые средства;

- владение навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов и оснований, границ своего знания и незнания, новых познавательных задач и средств для их достижения;

- целеустремленность в поисках и принятии решений, сообразительность и интуиция, развитость пространственных представлений; способность вос­принимать красоту и гармонию мира;

7

• предм ет ны х :- сформированность представлений о математике как части мировой культуры

и месте математики в современной цивилизации, способах описания явлений реального мира на математическом языке;

- сформированность представлений о математических понятиях как важней­ш их математических моделях, позволяющ их описывать и изучать разные процессы и явления; понимание возможности аксиоматического построения математических теорий;

- владение методами доказательств и алгоритмов решения, умение их приме­нять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;

- владение стандартными приемами решения рациональных и иррациональных, показательных, степенных, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем; использование готовых компьютерных программ, в том числе для по­иска пути решения и иллюстрации решения уравнений и неравенств;

- сформированность представлений об основных понятиях математического анализа и их свойствах, владение умением характеризовать поведение функ­ций, использование полученных знаний для описания и анализа реальных зависимостей;

- владение основными понятиями о плоских и пространственных геометриче­ских фигурах, их основных свойствах; сформированность умения распозна­вать геометрические фигуры на чертежах, моделях и в реальном мире; при­менение изученных свойств геометрических фигур и формул для решения геометрических задач и задач с практическим содержанием;

- сформированность представлений о процессах и явлениях, имеющ их веро­ятностны й характер, статистических закономерностях в реальном мире, основных понятиях элементарной теории вероятностей; умений находить и оценивать вероятности наступления событий в простейш их практических ситуациях и основные характеристики случайных величин;

- владение навыками использования готовы х компьютерных программ при решении задач.

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

ВведениеМатематика в науке, технике, экономике, информационных технологиях и прак­

тической деятельности. Цели и задачи изучения математики при освоении профессий СПО и специальностей СПО.

АЛгЕБРА

Развитие понятия о числеЦелые и рациональные числа. Действительные числа. Приближенные вычисления.

К омплексные числа.

Корни, степени и логарифмыКорни и степени. Корни натуральной степени из числа и их свойства. Степени с

рациональными показателями, их свойства. Степени с действительными показате­лями. Свойства ст епени с действительным показателем.

Логарифм. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Десятичные и натуральные логарифмы. Правила действий с логарифмами. Переход к новому основанию.

Преобразование алгебраических выражений. Преобразование рациональных, ир­рациональных степенных, показательных и логарифмических выражений.

Практ ические занятияАрифметические действия над числами, нахождение приближенных значений

величин и погрешностей вычислений (абсолютной и относительной), сравнение чис­ловых выражений.

8

Вычисление и сравнение корней. Выполнение расчетов с радикалами.Решение иррациональных уравнений. Нахождение значений степеней с рациональ­

ными показателями. Сравнение степеней. Преобразования выражений, содержащих степени. Решение показательных уравнений.

Решение прикладных задач.Нахождение значений логарифма по произвольному основанию. Переход от одного

основания к другому. Вычисление и сравнение логарифмов. Логарифмирование и потенцирование выражений.

Приближенные вычисления и решения прикладных задач.Решение логарифмических уравнений.

о с н о в ы т р и го н о м е т р и и

Основные понятия

Радианная мера угла. Вращательное движение. Синус, косинус, тангенс и котан­генс числа.

Основные тригонометрические тождества

Ф ормулы приведения. Формулы сложения. Формулы удвоения Формулы поло­винного угла.

Преобразования простейших тригонометрических выраженийПреобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведе­

ния в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумент а .

Тригонометрические уравнения и неравенства

Простейшие тригонометрические уравнения. П рост ейш ие тригонометрические неравенства.

Обратные тригонометрические функции. Арксинус, арккосинус, арктангенс.Практ ические занятияРадианный метод измерения углов вращения и связь с градусной мерой.Основные тригонометрические тождества, формулы сложения, удвоения, преоб­

разование суммы тригонометрических функций в произведение, преобразование про­изведения тригонометрических функций в суммую Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства.

Обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс.

ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА и гр а ф и к и

Функции. Область определения и множество значений; график функции, построе­ние графиков функций, заданных различными способами.

Свойства функции. Монотонность, четность, нечетность, ограниченность, перио­дичность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума. Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависи­мостей в реальных процессах и явлениях. Арифметические операции над функциями. Сложная функция (композиция). П онят ие о непрерывности функции .

Обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции.

9

Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.

Обратные тригонометрические функцииОпределения функций, их свойства и графики.Преобразования графиков. Параллельный перенос, симметрия относительно осей

координат и симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой y = x , растяжение и сжатие вдоль осей координат.

Практ ические занятияПримеры зависимостей между переменными в реальных процессах из смежных

дисциплин. Определение функций. Построение и чтение графиков функций. Иссле­дование функции. Свойства линейной, квадратичной, кусочно-линейной и дробно­линейной функций. Непрерывные и периодические функции. Свойства и графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Обратные функции и их графики. Обратные тригонометрические функции. Преобразования графика функции. Гармонические колебания. Прикладные задачи.

Показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения и неравенства.

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОгО АНАЛИзА

Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. П онят ие о пределе последоват ельност и . С ущ ест вование предела монот онной ограниченной последовательности . Суммирование последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма.

Производная. Понятие о производной функции, ее геометрический и физический смысл. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения, частные. Производные основных элементарных функций. Примене­ние производной к исследованию функций и построению графиков. П роизводные обратной функции и композиции функции .

Примеры использования производной для нахож дения наилучшего решения в прикладных задачах. Вторая производная, ее геометрический и физический смысл. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой и графиком.

Первообразная и интеграл. Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции. Формула Ньютона— Лейбница. Примеры при­менения интеграла в физике и геометрии.

Практ ические занятияЧисловая последовательность, способы ее задания, вычисления членов последо­

вательности. Предел последовательности. Бесконечно убывающ ая геометрическая прогрессия.

Производная: механический и геометрический смысл производной.Уравнение касательной в общем виде. Правила и формулы дифференцирования,

таблица производных элементарных функций. Исследование функции с помощ ью производной. Нахождение наибольшего, наименьшего значения и экстремальных значений функции.

Интеграл и первообразная. Теорема Ньютона—Лейбница. Применение интеграла к вычислению физических величин и площадей.

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Уравнения и системы уравнений. Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические уравнения и системы.

Равносильность уравнений, неравенств, систем.Основные приемы их решения (разложение на множители, введение новых неиз­

вестных, подстановка, графический метод).Неравенства. Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометри­

ческие неравенства. Основные приемы их решения.И спользование свойств и графиков функций при решении уравнений и нера­

венств. Метод интервалов. И зображение на координатной плоскости множ ества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем.

10

Прикладные задачиПрименение математических методов для решения содержательных задач из раз­

личных областей науки и практики.Интерпретация результата, учет реальных ограничений.Практ ические занятияКорни уравнений. Равносильность уравнений. Преобразование уравнений.Основные приемы решения уравнений. Решение систем уравнений.И спользование свойств и графиков функций для решения уравнений и нера­

венств.

КОМБИНАТОРИКА, СТАТИСТИКА И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Элементы комбинаторикиОсновные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, переста­

новок, сочетаний. Решение задач на перебор вариантов. Формула бинома Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.

Элементы теории вероятностейСобытие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей. П онят ие о

независимости событий. Дискретная случайная величина, закон ее распределения . Числовые характ ерист ики дискрет ной случайной величины . П онят ие о законе больших чисел .

Элементы математической статистикиПредставление данных (таблицы, диаграммы, графики), генеральная совокуп ­

ност ь , выборка , среднее арифметическое, м едиана . П онят ие о задачах матема­тической ст ат ист ики .

Реш ение практических задач с применением вероятностных методов.Практ ические занятияИстория развития комбинаторики, теории вероятностей и статистики и их роль в

различных сферах человеческой жизнедеятельности. Правила комбинаторики. Реше­ние комбинаторных задач. Размещения, сочетания и перестановки. Бином Ньютона и треугольник Паскаля. Прикладные задачи.

Классическое определение вероятности, свойства вероятностей, теорема о сумме вероятностей. Вычисление вероятностей. Прикладные задачи. Представление число­вых данных. Прикладные задачи.

гЕОМЕТРИЯ

Прямые и плоскости в пространствеВзаимное расположение двух прямых в пространстве. Параллельность прямой и

плоскости. Параллельность плоскостей. Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Перпендикулярность двух плоскостей.

Геометрические преобразования пространства: параллельный перенос, симметрия относительно плоскости.

Параллельное проектирование. П лощ адь ортогональной проекции . Изображение пространственных фигур.

МногогранникиВершины, ребра, грани многогранника. Разверт ка . М ногогранные углы . В ы пу­

клые многогранники . Теорема Эйлера.Призма. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб.

11

Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Тетраэдр.Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в призме и пирамиде.Сечения куба, призмы и пирамиды.Представление о правильных многогранниках (тетраэдре, кубе, октаэдре, доде­

каэдре и икосаэдре).

Тела и поверхности вращенияЦилиндр и конус. Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, об­

разующая, развертка. Осевые сечения и сечения, параллельные основанию.Шар и сфера, их сечения. Касательная плоскость к сфере.

Измерения в геометрииОбъем и его измерение. Интегральная формула объема.Ф ормулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра.

Формулы объема пирамиды и конуса. Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса. Формулы объема шара и площади сферы.

Подобие тел. Отношения площадей поверхностей и объемов подобных тел.

Координаты и векторыПрямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Формула расстоя­

ния между двумя точками. Уравнения сферы, плоскости и прямой .Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов. Умножение

вектора на число. Разложение вектора по направлениям. Угол между двумя век­торами. П роекция вектора на ось. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов.

Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.

Практ ические занятияПризнаки взаимного расположения прямы х. Угол меж ду прямыми. Взаимное

расположение прямых и плоскостей. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Теоремы о взаимном расположении прямой и плоскости. Теорема о трех перпендикулярах.

Признаки и свойства параллельных и перпендикулярных плоскостей.Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости, расстояние между

плоскостями, между скрещивающимися прямыми, между произвольными фигурами в пространстве.

Параллельное проектирование и его свойства. Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника . Взаимное расположение пространственных фигур.

Различные виды многогранников. Их изображения. Сечения, развертки м ного­гранников. Площадь поверхности. Виды симметрий в пространстве. Симметрия тел вращения и многогранников. Вычисление площадей и объемов.

Векторы. Действия с векторами. Декартова система координат в пространстве.Уравнение окружности, сферы, плоскости. Расстояние между точками. Действия с

векторами, заданными координатами. Скалярное произведение векторов. Векторное уравнение прямой и плоскости. Использование векторов при доказательстве теорем стереометрии.

Для внеаудиторных занятий студентам наряду с решением задач и выполнения практических заданий можно предложить темы исследовательских и реферативных работ, в которых вместо серий отдельных мелких задач и упражнений предлагаются сюжетные задания, требующие длительной работы в рамках одной математической ситуации. Эти темы могут быть как индивидуальными заданиями, так и групповыми для совместного выполнения исследования.

Примерные темы рефератов (докладов), исследовательских проектов• Непрерывные дроби.• Применение слож ных процентов в экономических расчетах.

12

• Параллельное проектирование.• Средние значения и их применение в статистике.• Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве.• Сложение гармонических колебаний.• Графическое решение уравнений и неравенств.• Правильные и полуправильные многогранники.• Конические сечения и их применение в технике.• Понятие дифференциала и его приложения.• Схемы повторных испытаний Бернулли.• Исследование уравнений и неравенств с параметром.

т е м а т и ч е с к о е п л а н и р о в а н и е

ТЕХНИЧЕСКИЙ, СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ПРОФИЛИ п р о ф е с с и о н а л ь н о г о о б р а з о в а н и я

При реализации содержания общеобразовательной учебной дисциплины «Матема­тика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» в пределах освоения ОПОП СПО на базе основного общ его образования с получением среднего общего образования (ППКРС, ППССЗ) максимальная учебная нагрузка обучаю щ ихся со ­ставляет:

• по профессиям СПО технического и социально-экономического профилей — 427 часов, из них аудиторная (обязательная) нагрузка обучающ ихся, включая практические занятия, — 285 часов; внеаудиторная самостоятельная работа студентов — 142 часа;

• по специальностям СПО технического и социально-экономического профилей — 351 час. Из них аудиторная (обязательная) нагрузка обучающ ихся, включая практические занятия, — 234 часа; внеаудиторная самостоятельная работа студентов — 117 часов.

ПРИМЕРНЫЙ ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

Вид учебной работыКоличество часов

Профили профессионального образования

технический социально­экономический

Аудиторные занятия. Содержание обучения Профессии СПО Специальности СПО

Введение 4 2

Развитие понятия о числе 12 10

Корни, степени и логарифмы 30 28

Прямые и плоскости в пространстве 24 20

Комбинаторика 16 12

Координаты и векторы 22 16

Основы тригонометрии 35 31

Функции и графики 24 18

Многогранники и круглые тела 30 26

Начала математического анализа 30 24

Интеграл и его применение 18 15

Элементы теории вероятностей и математической статистики

16 12

Уравнения и неравенства 24 20

Итого 285 234

14

Окончание таблицы

Вид учебной работыКоличество часов

Профили профессионального образования

технический социально­экономический

Аудиторные занятия. Содержание обучения Профессии СПО Специальности СПО

Внеаудиторная самостоятельная работа

Подготовка выступлений по заданным темам, докладов, рефератов, эссе, индивидуального про­екта с использованием информационных техно­логий и др.

142 117

П р ом еж ут оч н а я ат т ест ац и я в ф орм е экзам ена

Всего 427 351

ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНЫЙ, ТУМАНИТАРНЫЙ ПРОФИЛИ п р о ф е с с и о н а л ь н о г о о б р а з о в а н и я

При реализации содержания общеобразовательной учебной дисциплины «Матема­тика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» в пределах освоения ОПОП СПО на базе основного общ его образования с получением среднего общего образования (ППКРС, ППССЗ) максимальная учебная нагрузка обучаю щ ихся со ­ставляет:

• по профессиям СПО естественно-научного профиля профессионального образо­вания — 342 часа, из них аудиторная (обязательная) нагрузка обучающ ихся, включая практические занятия, — 228 часов; внеаудиторная самостоятельная работа студентов — 114 часов;

• по специальностям СПО естественно-научного и гуманитарного профилей — 234 часа, из них аудиторная (обязательная) нагрузка обучающ ихся, включая практические занятия, — 156 часов; внеаудиторная самостоятельная работа студентов — 78 часов.

ПРИМЕРНЫЙ ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

Вид учебной работы

Количество часов

Профили профессионального образования

естественно­научный

естественно-научный,гуманитарный

Аудиторные занятия. Содержание обучения. Профессии СПО Специальности СПО

Введение 2 2

Развитие понятия о числе 10 8

Корни, степени и логарифмы 24 20

Прямые и плоскости в пространстве 20 14

Комбинаторика 12 10

Координаты и векторы 16 10

Основы тригонометрии 25 16

Функции и графики 25 14

15

Окончание таблицы

Вид учебной работы

Количество часов

Профили профессионального образования

естественно­научный

естественно-научный,гуманитарный

Аудиторные занятия. Содержание обучения. Профессии СПО Специальности СПО

Многогранники и круглые тела 25 14

Начала математического анализа 27 16

Интеграл и его применение 12 8

Элементы теории вероятностей и математической статистики

12 10

Уравнения и неравенства 18 14

Итого 228 156

Внеаудиторная самостоятельная работа

Подготовка выступлений по заданным темам, докладов, рефератов, эссе, индивидуального проекта с использованием информационных технологий и др.

114 78

П р ом еж ут оч н а я ат т ест ац и я в ф орм е экзам ена

Всего 342 234

х а р а к т е р и с т и к а о с н о в н ы х в и д о в у ч е б н о й д е я т е л ь н о с т и с т у д е н т о в

Содержание обучения Характеристика основных видов деятельности студентов (на уровне учебных действий)

Введение Ознакомление с ролью математики в науке, технике, экономике, информационных технологиях и практической деятельности. Ознакомление с целями и задачами изучения математики при освоении профессий СПО и специальностей СПО

АЛГЕБРА

Развитие понятия о числе

Выполнение арифметических действий над числами, сочетая устные и письменные приемы.Нахождение приближенных значений величин и погрешностей вычислений (абсолютной и относительной); сравнение числовых выражений.Нахождение ошибок в преобразованиях и вычислениях (отно­сится ко всем пунктам программы)

Корни, степени, лога­рифмы

Ознакомление с понятием корня n-й степени, свойствами ради­калов и правилами сравнения корней.Формулирование определения корня и свойств корней. Вычисле­ние и сравнение корней, выполнение прикидки значения корня. Преобразование числовых и буквенных выражений, содержа­щих радикалы.Выполнение расчетов по формулам, содержащим радикалы, осу­ществляя необходимые подстановки и преобразования. Определение равносильности выражений с радикалами. Реше­ние иррациональных уравнений.Ознакомление с понятием степени с действительным показате­лем.Нахождение значений степени, используя при необходимости инструментальные средства.Записывание корня n-й степени в виде степени с дробным пока­зателем и наоборот.Формулирование свойств степеней. Вычисление степеней с ра­циональным показателем, выполнение прикидки значения сте­пени, сравнение степеней.Преобразование числовых и буквенных выражений, содержа­щих степени, применяя свойства. Решение показательных урав­нений.Ознакомление с применением корней и степеней при вычисле­нии средних, делении отрезка в «золотом сечении». Решение прикладных задач на сложные проценты

Преобразование алге­браических выражений

Выполнение преобразований выражений, применение формул, связанных со свойствами степеней и логарифмов.Определение области допустимых значений логарифмического выражения. Решение логарифмических уравнений

ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ

Основные понятия Изучение радианного метода измерения углов вращения и их связи с градусной мерой. Изображение углов вращения на окружности, соотнесение величины угла с его расположением.

17

Продолжение таблицы

Содержание обучения Характеристика основных видов деятельности студентов (на уровне учебных действий)

Формулирование определений тригонометрических функций для углов поворота и острых углов прямоугольного треугольни­ка и объяснение их взаимосвязи

Основные тригономе­трические тождества

Применение основных тригонометрических тождеств для вычис­ления значений тригонометрических функций по одной из них

Преобразования про­стейших тригонометри­ческих выражений

Изучение основных формул тригонометрии: формулы сложения, удвоения, преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму и применение при вы­числении значения тригонометрического выражения и упроще­ния его.Ознакомление со свойствами симметрии точек на единичной окружности и применение их для вывода формул приведения

Простейшие тригоно­метрические уравне­ния и н ера вен ст ва

Решение по формулам и тригонометрическому кругу простей­ших тригонометрических уравнений.Применение общих методов решения уравнений (приведение к линейному, квадратному, метод разложения на множители, за­мены переменной) при решении тригонометрических уравнений. Умение отмечать на круге решения простейших тригонометри­ческих неравенств

Арксинус, арккосинус, арктангенс числа

Ознакомление с понятием обратных тригонометрических функ­ций.Изучение определений арксинуса, арккосинуса, арктангенса числа, формулирование их, изображение на единичной окруж­ности, применение при решении уравнений

Ф УНКЦ И И, И Х СВОЙСТВА И ГРАФИКИ

Функции.Понятие о непрерывно­сти функции

Ознакомление с понятием переменной, примерами зависимостей между переменными.Ознакомление с понятием графика, определение принадлеж­ности точки графику функции. Определение по формуле про­стейшей зависимости, вида ее графика. Выражение по формуле одной переменной через другие.Ознакомление с определением функции, формулирование его. Нахождение области определения и области значений функции

Свойства функции. Графическая интер­претация. Примеры функциональных за­висимостей в реальных процессах и явлениях

Ознакомление с примерами функциональных зависимостей в ре­альных процессах из смежных дисциплин.Ознакомление с доказательными рассуждениями некоторых свойств линейной и квадратичной функций, проведение исследо­вания линейной, кусочно-линейной, дробно-линейной и квадра­тичной функций, построение их графиков. Построение и чтение графиков функций. Исследование функции.Составление видов функций по данному условию, решение задач на экстремум.Выполнение преобразований графика функции

Обратные функции Изучение понятия обратной функции, определение вида и по­строение графика обратной функции, нахождение ее области определения и области значений. Применение свойств функций при исследовании уравнений и решении задач на экстремум. Ознакомление с понятием сложной функции

Степенные, показа­тельные, логарифми­ческие и тригономе­трические функции. Обратные тригономе­трические функции

Вычисление значений функций по значению аргумента. Определение положения точки на графике по ее координатам и наоборот.Использование свойств функций для сравнения значений степе­ней и логарифмов.Построение графиков степенных и логарифмических функций.

18

Продолжение таблицы

Содержание обучения Характеристика основных видов деятельности студентов (на уровне учебных действий)

Решение показательных и логарифмических уравнений и нера­венств по известным алгоритмам.Ознакомление с понятием непрерывной периодической функ­ции, формулирование свойств синуса и косинуса, построение их графиков.Ознакомление с понятием гармонических колебаний и примера­ми гармонических колебаний для описания процессов в физике и других областях знания.Ознакомление с понятием разрывной периодической функции, формулирование свойств тангенса и котангенса, построение их графиков.Применение свойств функций для сравнения значений тригономе­трических функций, решения тригонометрических уравнений. Построение графиков обратных тригонометрических функ­ций и определение по графикам их свойств.Выполнение преобразования графиков

Н А Ч А Л А МАТЕМАТИЧЕСКОГО А Н А Л И ЗА

Последовательности Ознакомление с понятием числовой последовательности, спосо­бами ее задания, вычислениями ее членов.Ознакомление с понятием предела последовательности . Ознакомление с вычислением суммы бесконечного числового ряда на примере вычисления суммы бесконечно убывающей гео­метрической прогрессии.Решение задач на применение формулы суммы бесконечно убы­вающей геометрической прогрессии

Производная и ее при­менение

Ознакомление с понятием производной.Изучение и формулирование ее механического и геометрическо­го смысла, изучение алгоритма вычисления производной на при­мере вычисления мгновенной скорости и углового коэффициента касательной.Составление уравнения касательной в общем виде.Усвоение правил дифференцирования, таблицы производных элементарных функций, применение для дифференцирования функций, составления уравнения касательной.Изучение теорем о связи свойств функции и производной, фор­мулировка их.Проведение с помощью производной исследования функции, за­данной формулой.Установление связи свойств функции и производной по их гра­фикам.Применение производной для решения задач на нахождение наибольшего, наименьшего значения и на нахождение экстремума

Первообразная и интеграл

Ознакомление с понятием интеграла и первообразной.Изучение правила вычисления первообразной и теоремы Ньютона— Лейбница.Решение задач на связь первообразной и ее производной, вычис­ление первообразной для данной функции.Решение задач на применение интеграла для вычисления физи­ческих величин и площадей

УРАВНЕНИ Я И НЕРАВЕНСТВА

Уравнения и системы уравнений Неравенства и систе­мы неравенств с двумя переменными

Ознакомление с простейшими сведениями о корнях алгебраиче­ских уравнений, понятиями исследования уравнений и систем уравнений.Изучение теории равносильности уравнений и ее применения. По­вторение записи решения стандартных уравнений, приемов преоб­разования уравнений для сведения к стандартному уравнению.

19

Продолжение таблицы

Содержание обучения Характеристика основных видов деятельности студентов (на уровне учебных действий)

Решение рациональных, иррациональных, показательных и тригонометрических уравнений и систем.Использование свойств и графиков функций для решения урав­нений. Повторение основных приемов решения систем.Решение уравнений с применением всех приемов (разложения на множители, введения новых неизвестных, подстановки, графи­ческого метода).Решение систем уравнений с применением различных способов. Ознакомление с общими вопросами решения неравенств и исполь­зование свойств и графиков функций при решении неравенств. Решение неравенств и систем неравенств с применением различ­ных способов.Применение математических методов для решения содержатель­ных задач из различных областей науки и практики. Интерпре­тирование результатов с учетом реальных ограничений

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ

Основные понятия комбинаторики

Изучение правила комбинаторики и применение при решении комбинаторных задач.Решение комбинаторных задач методом перебора и по правилу умножения.Ознакомление с понятиями комбинаторики: размещениями, со­четаниями, перестановками и формулами для их вычисления. Объяснение и применение формул для вычисления размещений, перестановок и сочетаний при решении задач.Ознакомление с биномом Ньютона и треугольником Паскаля. Решение практических задач с использованием понятий и пра­вил комбинаторики

Элементы теории вероятностей

Изучение классического определения вероятности, свойств веро­ятности, теоремы о сумме вероятностей.Рассмотрение примеров вычисления вероятностей. Решение задач на вычисление вероятностей событий

Представление данных (таблицы, диаграммы, графики)

Ознакомление с представлением числовых данных и их характе­ристиками.Решение практических задач на обработку числовых данных, вычисление их характеристик

ГЕОМЕТРИЯ

Прямые и плоскости в пространстве

Формулировка и приведение доказательств признаков взаимного расположения прямых и плоскостей. Распознавание на черте­жах и моделях различных случаев взаимного расположения пря­мых и плоскостей, аргументирование своих суждений. Формулирование определений, признаков и свойств параллель­ных и перпендикулярных плоскостей, двугранных и линейных углов.Выполнение построения углов между прямыми, прямой и пло­скостью, между плоскостями по описанию и распознавание их на моделях.Применение признаков и свойств расположения прямых и пло­скостей при решении задач.Изображение на рисунках и конструирование на моделях пер­пендикуляров и наклонных к плоскости, прямых, параллельных плоскостей, углов между прямой и плоскостью и обоснование построения.Решение задач на вычисление геометрических величин. Описы- вание расстояния от точки до плоскости, от прямой до плоско­сти, между плоскостями, между скрещивающимися прямыми, между произвольными фигурами в пространстве.

20

Продолжение таблицы

Содержание обучения Характеристика основных видов деятельности студентов (на уровне учебных действий)

Формулирование и доказывание основных теорем о расстояниях (теорем существования, свойства).Изображение на чертежах и моделях расстояния и обоснование своих суждений. Определение и вычисление расстояний в про­странстве. Применение формул и теорем планиметрии для реше­ния задач.Ознакомление с понятием параллельного проектирования и его свойствами. Формулирование теоремы о площади ортогональ­ной проекции многоугольника .Применение теории для обоснования построений и вычислений. Аргументирование своих суждений о взаимном расположении пространственных фигур

Многогранники Описание и характеристика различных видов многогранников, перечисление их элементов и свойств.Изображение многогранников и выполнение построения на изо­бражениях и моделях многогранников.Вычисление линейных элементов и углов в пространственных конфигурациях, аргументирование своих суждений. Характеристика и изображение сечения,развертки многогран­ников , вычисление площадей поверхностей.Построение простейших сечений куба, призмы, пирамиды. При­менение фактов и сведений из планиметрии.Ознакомление с видами симметрий в пространстве, формулиро­вание определений и свойств. Характеристика симметрии тел вращения и многогранников.Применение свойств симметрии при решении задач. Использование приобретенных знаний для исследования и моде­лирования несложных задач.Изображение основных многогранников и выполнение рисунков по условиям задач

Тела и поверхности вращения

Ознакомление с видами тел вращения, формулирование их опре­делений и свойств.Формулирование теорем о сечении шара плоскостью и плоско­сти, касательной к сфере.Характеристика и изображение тел вращения, их развертки, се­чения.Решение задач на построение сечений, вычисление длин, рассто­яний, углов, площадей. Проведение доказательных рассуждений при решении задач.Применение свойств симметрии при решении задач на тела вра­щения, комбинацию тел.Изображение основных круглых тел и выполнение рисунка по условию задачи

Измерения в геометрии Ознакомление с понятиями площади и объема, аксиомами и свойствами.Решение задач на вычисление площадей плоских фигур с приме­нением соответствующих формул и фактов из планиметрии. Изучение теорем о вычислении объемов пространственных тел, решение задач на применение формул вычисления объемов. Изучение формул для вычисления площадей поверхностей мно­гогранников и тел вращения.Ознакомление с методом вычисления площади поверхности сферы. Решение задач на вычисление площадей поверхности простран­ственных тел

Координаты и векторы Ознакомление с понятием вектора. Изучение декартовой систе­мы координат в пространстве, построение по заданным коорди­натам точек и плоскостей, нахождение координат точек.

21

Окончание таблицы

Содержание обучения Характеристика основных видов деятельности студентов (на уровне учебных действий)

Нахождение уравнений окружности, сферы, плоскости. Вычис­ление расстояний между точками.Изучение свойств векторных величин, правил разложения век­торов в трехмерном пространстве, правил нахождения коорди­нат вектора в пространстве, правил действий с векторами, задан­ными координатами.Применение теории при решении задач на действия с векторами. Изучение скалярного произведения векторов, векторного урав­нения прямой и плоскости. Применение теории при решении за­дач на действия с векторами, координатный метод, применение векторов для вычисления величин углов и расстояний. Ознакомление с доказательствами теорем стереометрии о вза­имном расположении прямых и плоскостей с использованием векторов

у ч е б н о -м е т о д и ч е с к о е и м а т е р и а л ь н о -т е х н и ч е с к о е о б е с п е ч е н и е

п р о г р а м м ы у ч е б н о й д и с ц и п л и н ы «м а т е м а т и к а : АЛГЕБрА и нАЧАЛА

м а т е м а т и ч е с к о г о а н а л и з а ; г е о м е т р и я »

Освоение программы учебной дисциплины «Математика: алгебра и начала мате­матического анализа; геометрия» предполагает наличие в профессиональной образо­вательной организации, реализующей образовательную программу среднего общего образования в пределах освоения ОПОП СПО на базе основного общего образования, учебного кабинета, в котором имеется возможность обеспечить обучающ имся сво­бодный доступ в Интернет во время учебного занятия и период внеучебной деятель­ности.

Помещение кабинета должно удовлетворять требованиям Санитарно-эпидемио­логических правил и нормативов (СанПиН 2.4.2 № 178-02) и быть оснащено типо­вым оборудованием, указанным в настоящих требованиях, в том числе специализи­рованной учебной мебелью и средствами обучения, достаточными для выполнения требований к уровню подготовки обучающ ихся1.

В кабинете должно быть мультимедийное оборудование, посредством которого участники образовательного процесса могут просматривать визуальную информацию по математике, создавать презентации, видеоматериалы, иные документы.

В состав учебно-методического и материально-технического обеспечения програм­мы учебной дисциплины «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» входят:

• многофункциональный комплекс преподавателя;• наглядные пособия (комплекты учебных таблиц, плакатов, портретов выдаю­

щ ихся ученых-математиков и др.);• информационно-коммуникативные средства;• экранно-звуковые пособия;• комплект технической документации, в том числе паспорта на средства обуче­

ния, инструкции по их использованию и технике безопасности;• библиотечный фонд.В библиотечный фонд входят учебники, учебно-методические комплекты (УМК),

обеспечивающ ие освоение учебной дисциплины «М атематика: алгебра и начала математического анализа; геометрия», рекомендованные или допущенные для ис­пользования в профессиональных образовательных организациях, реализующих об­разовательную программу среднего общего образования в пределах освоения ОПОП СПО на базе основного общего образования.

Библиотечный фонд может быть дополнен энциклопедиями, справочниками, на­учной, научно-популярной и другой литературой по математике.

В процессе освоения программы учебной дисциплины «М атематика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» студенты должны получить возмож ­ность доступа к электронным учебным материалам по математике, имеющ имся в свободном доступе в сети Интернет (электронным книгам, практикумам, тестам, материалам ЕГЭ и др.).

1 Письмо Министерства образования и науки РФ от 24.11.2011 № МД-1552/03 «Об оснащении обще­образовательных учреждений учебным и учебно-лабораторным оборудованием».

р е к о м е н д у е м а я л и т е р а т у р а

Для студентовАлимов Ш .А . и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия.

Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10— 11 клас­сы. — М ., 2014.

Ат анасян Л . С ., Б ут узов В . Ф ., Кадомцев С . Б . и др. Математика: алгебра и начала математического анализа. Геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни). 10— 11 классы. — М ., 2014.

Башмаков М . И . Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. — М ., 2014.

Башмаков М . И . Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. — М ., 2014.

Башмаков М . И . Математика. Задачник: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. — М ., 2014.

Башмаков М .И . Математика. Электронный учеб.-метод. комплекс для студ. учреждений сред. проф. образования. — М ., 2015.

Башмаков М . И . Математика (базовый уровень). 10 класс. — М ., 2014.Башмаков М . И . Математика (базовый уровень). 11 класс. — М ., 2014.Башмаков М . И . Алгебра и начала анализа, геометрия. 10 класс. — М ., 2013.Башмаков М . И . Математика (базовый уровень). 10 класс. Сборник задач: учеб. посо­

бие. — М ., 2008.Башмаков М . И . Математика (базовый уровень). 11 класс. Сборник задач: учеб. посо­

бие. — М ., 2012.Гусев В .А ., Григорьев С . Г ., Иволгина С . В . Математика для профессий и специальностей

социально-экономического профиля: учебник для студ. учреждений сред. проф. образова­ния. — М ., 2014.

Колягин Ю . М ., Ткачева М . В , Федерова Н . Е . и др. Математика: алгебра и начала мате­матического анализа. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни). 10 класс / под ред. А .Б . Ж ижченко. — М ., 2014.

Колягин Ю . М ., Ткачева М . В ., Федерова Н . Е . и др. Математика: алгебра и начала мате­матического анализа. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни). 11 класс / под ред. А .Б . Ж ижченко. — М ., 2014.

Для преподавателейФедеральный закон от 29 .12 .2012 № 273-Ф 3 «Об образовании в Российской Федерации».Приказ Министерства образования и науки РФ от 1 7 .0 5 .2 0 1 2 № 413 «Об утверждении

федерального государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего об­разования».

Приказ Министерства образования и науки РФ от 2 9 .1 2 .2 0 1 4 № 1645 «О внесении из­менений в Приказ Министерства образования и науки Российской Федерации от 17 .05 .2012 № 413 «“Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования” ».

Письмо Департамента государственной политики в сфере подготовки рабочих кадров и ДПО Министерства образования и науки РФ от 17 .0 3 .2 0 1 5 № 06-259 «Рекомендации по организации получения среднего общего образования в пределах освоения образовательных программ среднего профессионального образования на базе основного общего образования с учетом требований федеральных государственных образовательных стандартов и получаемой профессии или специальности среднего профессионального образования».

Башмаков М . И . Математика: кн. для преподавателя: метод. пособие. — М ., 2013Башмаков М . И ., Цыганов Ш . И . Методическое пособие для подготовки к ЕГЭ. — М ., 2011.

интернет-ресурсыw w w.fcior.edu.ru (Информационные, тренировочные и контрольные материалы).www.school-collection.edu.ru (Единая коллекции цифровых образовательных ресурсов).

Учебное издание

Башмаков Марк Иванович

Примерная программа общ еобразовательной учебной дисциплины «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия»

для профессиональных образовательных организаций

Редактор Г. Е. Конопля Компьютерная верстка: Р. Ю. Волкова

Корректор Е. В. Кудряшова

Изд. № 101117362. Подписано в печать 29.07.2015. Формат 60 х 90 /8 .Усл. печ. л. 3,13.

ООО «Издательский центр «Академия». www.academia-moscow.ru 129085, Москва, пр-т Мира, 101В, стр. 1.Тел./факс: (495) 648-0507, 616-00-29.

Приложение 2МИНОБНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Ухтинский государственный технический университет»(У ГТУ )

Индустриальный институт (среднего профессионального образования)

МАТЕМАТИКАМ етодические рекомендации для выполнения практических работ

Ухта 2016

Практическая работа №1 «Развитие понятия о числе»

1 вариант.3х 2 —41.Сократите дробь: ^2

2.Сократите дробь: х2_2х+1 х—1

х 2 4х 2ху3.Упростите выражение:----------1 14.Упростите выражение: (—- _ ^ -) • (х _ 1)2

5.Решите уравнение: 5х-3=6-2х6.Решите уравнение: х _ = 5

„Г2х + у = 17.Решите систему линеиных уравнении: | х _ у — 2

( х _ у = 38.Решите систему линеиных уравнении: ■! 22х _ 3у = 4

9.Решите уравнение: х 2 _ 2х _ 1 = 0

2 вариант.

х 110.Решите уравнение: - + - = 4

х 2 _91.Сократите дробь: х_3х2+2х+12.Сократите дробь:

23.Упростите выражение: —------- -

1 14.Упростите выражение: (—- _ ^ -) • (х + 1)25.Решите уравнение: 2х+1=3-х6.Решите уравнение: — + -+- = 2

„ Г3х + 2у = 77.Решите систему линеиных уравнении: | х _ _ ^

( х + - = 18.Решите систему линеиных уравнении: \ 3(2х + у = 4

9.Решите уравнение: х2 + х _ 4 = 010.Решите уравнение: | + 2 = 5

3 вариант.х 2 _41.Сократите дробь:

2.Сократите дробь:х_2х2+6х+9

З.Упростите выражение:х+3

х3_1 у+2у2_4 х2 +х+1

: £5.Решите уравнение: х-4=2-3х4.Упростите выражение: _ ^ -) • (х + 2)

2

х _ 1 хб.Решите уравнение: —-— - = 1

7.Решите систему линеиных уравнении:

8.Решите систему линеиных уравнении:

9.Решите уравнение: х2 _ х _ 1 = 010.Решите уравнение: | + 1 = 4

1.Сократите дробь:

2.Сократите дробь:

X 2 _16х+4

х2_4х+4 х_2

1.Сократите дробь:

2.Сократите дробь:

х 2 _25 х_5

х2_8х+16х_4 2 2 х2 у X 2 у

2х _ у = 2 х _ 2у = 1г - у = 23 2х _ у = 3

4 вариант.

ху2 2ху3.Упростите выражение: ■ —1

1 14.Упростите выражение: (—- — —) • (х5.Решите уравнение: 2х+5=5-х

х 3 х_ 26.Решите уравнение: - +— — = 4

7.Решите систему линеиных уравнении:

8.Решите систему линеиных уравнении:

9.Решите уравнение: х2 + 2х _ 4 = 010.Решите уравнение: | _ 2 = 1

2)2

рх + у = 0 2х _ у = 5х + у = 22 3

12х + у = 14

5 вариант.

3.Упростите выражение:1 14.Упростите выражение: (—- — —) • (х

5.Решите уравнение: х-4=4-х6.Решите уравнение: X-1 + — = 5

7.Решите систему линеиных уравнении:

8.Решите систему линеиных уравнении:

9.Решите уравнение: х2 + 3х _ 5 = 010.Решите уравнение: х _ - = 3

3)2

У = _ 1 У _ 2х = 3 г х у _ 1

3 _ 4 '2х + у = 1

Практическая работа №2 «Действительные числа»

3

А1. Упростить выражение л/74 • d8.

1) 78 • d16 2) 72 • d6 3) 76 • d10 4) 72 • d4

1вариант.

А2. Вычислите:

1) 4 2) 2 3)2

А3. Вычислите:

3256 234 .

4)4

3 2 • 3625310

1)0,1 2)0,25 3)1 4)5

А4. Наидите значение выражения 7 1,4с • 7 5,6с, при С =

1)7 2) 1 3) - 1 4)-7

А5. Наидите значение выражения 4

1) 1 2)2

- 2,3a л 3,3a 1• 4 , при a = -

3) 2 4) 4

А6. Вычислите: У49 • 320 3320

2) 14 3) 284) 2

А7. Выполнить деиствия 3( ,11

4 12

121. 85 с 11

А8. Выполнить деиствия -14

С

V J12

2. 7с 11 A V с 10

V J

+ 4с 1

243. 7с 1

+ 4с 10.

244. 85 с 11

1. - 18с 2. -10 с10 3. - 10с 4. -18 с10

9

9 9

А9. Расположить в порядке возрастания числа (71 ,7 и ( 8

............................................... 8 J , 8 3) [ 7 ] , ( ! ) , 7А10 Расположить числа в порядке убывания: V ; V7; V5

1) V3;V7;V5 2) л/3;^5;^7 3) V7;V5;V7 4) V? ;V? ;V74

• ' К 8 J - ' , V 8 Г

2 вариант

А1. Упростить выражение ^414 • d21.

1) 498 • d147

А2. Вычислите:

2) 421 • d28

1 9 2

3 "

3) 42 • d3 4)

1) 3 2)

А3. Вычислите:

4 3)

3100 • 3403250

1)4 2) 2 3)2

4)9

4) 4

. . тт - о 4,6a ~ - 1,6a 1А4. Наидите значение выражения 2 • 2 , при a = — .

1) 8 2) 2 3) 14) 8

. _ т, „ г>-6,3m r>4,3m 1А5. Наидите значение выражения 9 • 9 , при m = —

1)3 2) 9

А6. Вычислите:

3) 3 4) 9

3270 • л/25З 10

1)3 2) 5Г 3 Л

А7. Выполнить деиствия -14 с

3) 15

+ 4с 10.

1. - 18с 0

V J

2. -10с1

4) 75

3. - 10с0

А8. Выполнить деиствия 3 с 11 V J

+ 4с 1

1. 85 с 1 2. 7с 1 3. 7с 1

13

1

3 910

9

2

2 12 24

47 • d14

94. -18 с 10

244. 85 с 11

5

А9. Расположить в порядке возрастания числа 7, (7 ) и (6 ) .

1>ШП?Г » (6ГШУ' - 6Ш6ГА10. Расположите числа в порядке убывания л/5;^7;1-°3

1) 5V7;V5; ^ 2)^3; S ;5V7 3)^7 ;^3 ; л/5 4) V5 ;^7 ; ^

Практическая работа №3 «Степенная функция»

1 вариант.

1. Решите уравнение л /х 3 = х 5 .

2. Решите уравнение s f x + 3V x — 10 — 0 ,

Г л /х + д / у = 4 ,3. Решите систему уравнений | ^ ^ ^

1х л 5 -3 х

4. Решите уравнениеV 2 j

= 1 2 8

5. Решите неравенство 3 х+2 — 7 • 3 х < 5 4

7 х -у = 4 9 ,

6. Решите систему уравнений | ^х-у 1 2 5

7. Решите уравнение log 17 (х - 3х) = -1/4 ■

8. Решите неравенство log 3 (х +1) < log 3 (5 - х) ■

J l o g 2 х - l o g 2 у = ' ,9. Решите систему уравнений | l o g ( х + 4 у ) 2

10*. Найти область определения функции у

6

л/25х - 3 • 5х - 1 0

12* Решите графически уравнение л/х + 1 = х 2 - 7 .

13*. Решите графически уравнение 2 = 6 х .

14*. Решите графически уравнение g ^ х х 4 ■

11*. Решите неравенство lo g ^ log2 (х —5) > о

2 вариант.

1. Решите уравнение л !х + 5 = х 1 .

2. Решите уравнение л /х + ^ Х 1 2 = 0 .

Гл/х - д /у = 3,3. Решите систему уравнений | ^

г 2 х + 7 14. Решите уравнение 5 ^ ■

5. Решите неравенство 2х+3 — 5 • 2х > 48

'6 х+у = 2 1 6 ,6. Решите систему уравнений |_9ху = 8 1 .

7. Решите уравнение l o g 3 ( х + 8 х ) = 2 ■

8. Решите неравенство l o g 1/ ( х + 1 1 ) < l o g 1/ ( 7 х )^ /2 /2

flog9 х - log9 у = 1,9. Решите систему уравнений | l o g ( х + 7 у ) 3

10*. Найти область определения функции У — л /4 х - 5 • 2 х - 2 4

11*. Решите неравенство Xo&V log 5 (х — 2) > 0 .

12*. Решите графически уравнение

7

5

л/ х — 1 = х — 7.

( 1 ) х — = х + 413*. Решите графически уравнение ~ .

V 3 J

14*. Решите графически уравнение l o g 2 х = 6 х

3 вариант.

1. Решите уравнение л /х + 4 = х 2 .

2. Решите уравнение чГх - 3^ х - 10 = о .

\ 4 х + 4 у = 5 ,3. Решите систему уравнений ^

1 '/ 1 Л 3 - 2 х

4. Решите уравнениеV 3 J

х +1

2 4 3

5. Решите неравенство 5 х — 3 • 5 х < 5 0 .

2 х+у = 32,6. Решите систему уравнений х у 2 5 6

7. Решите уравнение l o g ^ ( х 4 х ) 1 .

8. Решите неравенство log 2 (х + 7) > lo g 2 (3 — х ) .J log 3 х - log 3 у = 3,

9. Решите систему уравнений | ^Qg 2

10*. Найти область определения функции у — л / 4 9 х - 4 • 7 х - 2 1

11*. Решите неравенство l o g ^ l o g 3 ( х - 4 ) > q .'3

12*. Решите графически уравнение V х + 1 = 1 х

13*. Решите графически уравнение 3 = 4 х .

л/х +1 = 1 -3

8

14*. Решите графически уравнение log^ х х 3

4 вариант.

1. Решите уравнение л1'х 2 = х 4 .

2. Решите уравнение л /х 4~х 1 2 = 0 .

[ л / х - д / у = 2 ,3. Решите систему уравнений у (у

_ 3 х +124. Решите уравнение

1

2 1 6 .

5. Решите неравенство 4 — 9 • 4 > 2 8

6. Решите систему уравнений5 х-у — 6 2 5 ,

{ 3 х'у — 2 4 3 .

7. Решите уравнение l o g 2 ( х + 7 х ) — 3 ■

8. Решите неравенство l o g ^ ( х + 5 ) > l o g ^ ( 9 х ) .

l o g 7 х - l o g 7 у = 1,9. Решите систему уравнений | l o g ( х + 9 у ) 6

10*. Найти область определения функции у 7 9 х - 7 • 3х - 1 8

11*. Решите неравенство lo g ^ log4 (х - 3) > 0 .

12*. Решите графически уравнение л/ х —1 — 5 — хГ 1 Л х

13*. Решите графически уравнение — х + 61V 2 j

14*. Решите графически уравнение l o g 3 х 4 х .

2

9

Практическая работа №4 «Иррациональные уравнения и неравенства»

1 вариант.

А1. Упростить выражение ^315 • d10.

1) 375 • d50 2) 33 • d2 3) 310 • d5 4) 320 • d15

А2. Решить уравнение л/х - 2 -1 = 01) 2 2) 3 3) 1 4) 0

А3. Решить уравнение л/19 - 3х = х + 3 и указать верное утверждение о его корнях

1) корень только один и он положительныи2) корнеи два, и они разных знаков3) корень только один и он отрицательным4) корнеи нет

А4. Решить уравнение ^2х5 +1 — х1) 1; -1 2) -1 3) нет корнеи 4) 1

А5. Укажите количество различных корнеи, которое имеет уравнение 3 х3 — 7 — 1 1) три 2) два 3) один 4) ни одного

3А6. Наити область определения функции f (х) = ------ . .

4 - V х +11) [- 1;+ю) 2) [ - 1;15 )и(15;+ю) 3) [0;4) и(4;+да) 4) (0;+то)

А7. Наити область определения функции f (х) =

1) [0;+да) 2) (5;+ю)л/х (х - 5)

3) (0;5)^(5;+^)

А8.Решить уравнение л/х + 3 — 5 - х1) 1 2) 3 3) -1 4) -2

А9 Решить неравенство л/х + 4 > -1 1) (-го;+го) 2) (- 3;+ю) 3) [- 4;+го)

4) (-го;+го)

4) (- 4;+^)

А10 Наити абсциссу точки пересечения графиков функции у — Vх -1 и у = М х + 51) 4 2)4;-1 3) -1 4) 3

2

10

В1. Решить уравнение л/8 — 6х — х2 — х — 6. Если корнеи несколько в ответе записать сумму корнеи.

В2. Решить уравнение л/4 + 2х — х2 + 2 — х. Если корнеи несколько в ответе записать сумму корнеи.

В3. Наити наибольшее целое решение неравенства л/2х2 + х > 1 + 2х.

В4. Наити наибольшее целое решение неравенства л/х2 + х -12 < х.

2 вариант.

А1. Упростить выражение ^56 • d9.

1) 52 • d3 2) 518 • d27 3) 53 • d6 4) 59 • d12

А2. Решить уравнение л/х -12 -1 = 01) 14 2) 12 3) 13 4) 0

А3. Решить уравнение л/9 + 5х = х -1 и указать верное утверждение о его корнях

1)корень только один и он положительный2)корнеи два, и они разных знаков3)корень только один и он отрицательныи4)корнеи два, и они отрицательны.

А4. Решить уравнение ^2х5 — 1 — х1) 1; -1 2) -1 3) нет корнеи 4) 1

А5. Укажите количество различных корнеи, которое имеет уравнение ^17х2 —16 — х 1)четыре 2) два 3) один 4) ни одного

А6. Наити область определения функции f (х) = 5л/х-Г - 3 '

1) [1;+ю) 2) [1;1о) (10;+ю) 3) [0;3)^(3;+^) 4) (10;+ю)

А7. Наити область определения функции f (х) =ху/х + 3

1) (- 3;0)и(0;+») 2) [- 3;+^) 3) [0;3)^(3;+^) 4) (0;+»)11

А8.Решить уравнение у/х + 4 = у/2х -1 1) 1 2) 5 3) -1 4) 2

А9 Решить неравенство у/х - 4 > -151) (-го;+го) 2) (- 15;+то) 3) [4;+то) 4) (4;+то)

А10 Найти абсциссу точки пересечения графиков функций y = V x + 1 и y = V x + 3

1) 1 2)-2;1 3) -2 4) 2

В1. Решить уравнение л/6 - 4x - x2 - x = 4. Если корней несколько в ответе записать сумму корней.

В2. Решить уравнение л/1 + 4x - x2 + 1 = x. Если корней несколько в ответе записать сумму корней.

В3. Найти наименьшее целое решение неравенства ■J2x-x^+1 > 2x-3 .

В4. Найти наибольшее целое решение неравенства л/x2 - x - 2 < x -1.

В а р и а н т I В а р и а н т II

1) л/х+1 =3 1) л/Зх-1 = 1,22) л/2х + 3 = х 2) л/б — х = х3) л/- 4х2 -16 = 2 3) л/2х + 3 + л/З = 04) х + 1 =л/8-4х 4) лДх2 -9х + 2 = х -25) л/2х + л/х — 3 = -1 5) лУ— Зх - х2 =96) -v/x + 17-Vx + l =2 6) л/х +13 -Vx +1 = 27) у/\-2х -л/13+х =л/х+4 7) л/Зх + 4 + л/х - 4 = 2л/х8) у/3 - х • у/х + 4 =у/б 8) у/4+х у/5-х = 2у/29) л/5 + V x -i =3 9) y/l — у/х + 1 =210) лЛ/х + 13=л/17-Зл/х 10) л/17 + Vx =л/20-2л/х

Тест «Показательные уравнения и системы уравнений»1 вариант.

А1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения (1)1,5 х-1 = 168

1) (-1;0] 2) (0;1] 3) (1;2] 4) (2;3]

А2. Найдите корень уравнения 9-3 • 3х = 1

12

1)1 2) 6 3) - 1 4) -66 6

А3, Найдите абсциссу точки пересечения графиков функций у = (5)х и * = ^3 1 31) -3 2) 3 3) - 1 4) - 37 7 7

х2_2хА4. Найти сумму корней уравнения 6х х = 11) 2 2) 1 3) 0 4)1

А5.Найти наименьший корень уравнения 3х + 33-х -12 = 0 1) -3 2) 0 3)2 4) 1

А6. . Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения 5 х+2 +11 • 5х = 180 1) (- ;-3] 2) (0;2] 3) (3;5) 4) (-3;0]

А7.Найти все решения уравнения 22х - 3 • 2х + 2 = 0 принадлежащие области определенияфункции у = у/ 2 х -1

1)1 2)0 3)-1 4)2А8.Решить уравнение 25х+1 = 42х

1 11) -1 2) - - 3)1 4) - -3 7

А9. Найти область определения функции у = 2х2 - 5х - 33 х - 27

1)( -да;+ « ) 2) ( - да ;3) и (3;+ да )3) )( - да ;-0,5)и (-0,5;3) и ( 3;+ да) 4) ( - да ;-0,5) и ( -0,5;+ да)

3 х 2 - 3 хА10. Найти нули функции у = ---------

1)1 2) 0 3)0,5 4) -1

В1. В некотором государстве зарплату ежегодно повышают на 50%, а цены - ежемесячно на 5 %. Через сколько лет граждане этого государства будут жить в 2 раза хуже?

В2. Пусть ( х0; у0 ) решение системы уравнений

2 х + 2 у = 6

3 • 2 х - 2 у = 10

Найти сумму х0 + у0.В3. Пусть х0 - корень уравнения 6 • 36х + 23 • 6х - 4 = 0. Найти значение выражения 9 х0 +7В4.Решить уравнение 52х-4 = 64 • 4х-5. (Если корней несколько - в ответе записать сумму корней уравнения)

13

х

В5.Решить уравнение 22х+- -5 • 6х + 32х+- = 0.(Если корней несколько - в ответе записать сумму корней уравнения).

2 вариант.

А1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения (^ -)0,1х-1 = 16

1) (-1;1] 2) (1;10] 3) (-3;-1] 4) (16;20]

А2. Найдите корень уравнения 36-8 • 6х = 1

1)17 2) — 3)16 4) - —16 16

А3. Найдите абсциссу точки пересечения графиков функций у = (1 )х и у = ^2"

4 1 1 41 ) - - 2) - - 3) - 4) -9 9 9 9

х 2 - 2 хА4. Найти сумму корней уравнения 4х х = 11) 1 2) 0 3) -2 4)2

А5.Найти сумму корней уравнения 5х + 52-х -2 6 = 0 1) 2 2) 1 3)0 4) 25

А6. . Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения 3х-2 - 3х-3 = 6 1) (3;5] 2) (- да ;-3) 3) (5;7] 4) (7;9)

А7.Найти все решения уравнения 22х -12 • 2х + 32 = 0 принадлежащие области определенияфункции у = V х - 3

1)3 2) 2 3) 0 4) 4А8.Решить уравнение 37 х+2 = 93х

1 1 1) -2 2) - - 3) - 4) 2

3х + 5 х - 2А9. Найти область определения функции у = —

1) ( - да; - ) и ( - ;+ да ) 2) ( - да ;-2) и (-2;+ да )

3) ( - да ;+ да ) 4) ( - да ;-2) и (-2; - ) и ( - ;+ да )

22 х - 2 хА10. Найти нули функции у =х

1)0 2) 0,5 3)1 4) -1

14

В1. В некотором государстве ежемесячный рост цен равен 6%. Через сколько месяцев цены удвоятся?

В2. Пусть ( х0; у0 ) решение системы уравнений х - 2 у = 1

3 х-3 у = 27

Найти сумму х0 + у 0 .В3. Пусть х0 - корень уравнения 8 • 64х +15 • 8х - 2 = 0. Найти значение выражения 7 х0 +4В4.Решить уравнение 32х-4 = 125• 5х-5. (Если корней несколько - в ответе записать сумму корней уравнения)В5.Решить уравнение 27• 4х -5 • 6х+1 + 8• 9х = 0 .(Если корней несколько - в ответе записать сумму корней уравнения)

Практическая работа №5 «Логарифмические уравнения»

Вариант 1.А1. Укажите количество корней уравнения lg(x2 +3x) = lg2.1) ни одного 2) один 3) два 4) три

А2. Найдите корни уравнения log5 (2x-1) = 2.21) 1,5 2) 13 3) -13 4) -

А3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения log3X + log34 = log320.

1) (0;4) 2) (4;8) 3) (14;18) 4) (21;25)А4. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

l0g 0 ,5 ( - X-1) + log 0,5 6 = -3.

1) [1;4] 2) [4;6) 3) [9;12) 4) [6;9)А5. Найдите произведение корней уравнения 3log2 x - 13log3x + 4 = 0.

1) 243 2) 81 3) 3V3 4) 813V3А6. Вычислите абсциссу точек пересечения графиков функций y = log 0 3 (x2 -x-5) и у

= log0,3 x .

4 41) 3 2) - — 3) 3; — 4) точек пересечения нет

А7. Решите систему уравнений J x-y = 7;

15

lg(2x+y+2) = 1.

1) (5;-2) 2) (9;2) 3) (-5;2) 4) (2;9)

А8. Решите уравнение log2 (log5x) = 1.1) 5 2) 2 3) 25 4) 4

А9. Решите уравнение log j (x2 -3x) = -1. Найдите сумму квадратов его корней.

1) 20 2) 15 3) 13 4) 17

А10. Найдите x 2 -x, где x - корень уравнения

1) 600 2) 20 3) 1200 4) 72

lg x0,5

1 - lg 2= 1.

В1. Пусть (x 0 , y 0 ) - решение системы уравнений

Найдите x0 -y 0 .

В2. Найти наименьший корень уравнения log2(x+1)2 + 3log2 |x+ - = 3

В3. Решить уравнение 2 • 7log3 x = x + 4

log3x- logsy = - ; 0,04у -5 x = 25.

Вариант 2.

А1. Укажите количество корней уравнения lg(x+1,5) = lg—.x

1) ни одного 2) один 3) два 4) три

А2. Решите уравнение log 4 (2x+3) = 3.1) 30,5 2) 30 3) 33,5 4) 39

А3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

log - (-1 x-1) + log - 12 = -4.2 4 2

1) (-9;-1) 2) [-12;-9) 3) [9;12) 4) [12;16)

А4. Найдите произведение корней уравнения 2log2 x - 9log 2 x + 4 = 0.

1) 42 2) 16л/2 3) 32 4) 16А5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения log415

1)(0;4) 2) (4;8) 3 )(8;13) 4 )(14;19)

16

log4x + log43 =

4

А6. Вычислите абсциссу точек пересечения графиков функций y = log t (x-- ) и3 6

y = 1-log - (x+- ) .3 2

1) - 5 2) -5 ; 1 3) 1 4) - ­6 6 2 2 2

А7. Решите систему уравнений С 2x-3y = 2; log 2 (2x+y+6) = 4. \

41) (3 ;- ) 2) (4;2) 3) (-2;-2) 4) (2;2)

А8. Найдите корень уравнения log5 (log2 x) = 1.1) 5 2) 32 3) 25 4) 8

А9. Найдите сумму квадратов корней уравнения log j (8x+x2 ) = -2.3

1) 60 2) 68 3) 82 4) 72

А10. Вычислите x 2 -x, где x - корень уравнения 100 lg(4x+20) = 10000.1) 306 2)342 3)380 4) 420

log - x+ log - y = -2;3 3

2у-3 -2 x = 8. Найдите значение выражения 3x0+y0.

В1. Пусть (x 0 , y 0 ) - решение системы уравнений

В2. Найти наименьший корень уравненияlog 2 (x + 2) + 3log2 |x + 2| = 10

В3. Решить уравнение 3 • 7log7 x = 2x +11

Практическая работа №6 «Формулы тригонометрии»

1вариант.2 • 2A1. Найдите значение выражения: 3cos x + 2, если sin x = 0,8

1) 3,08 2) 7,4 3) 1,6 4) 2,6

2 2А2. Упростите выражение: 6sin x + 6 cos x +31) 1 2) 9 3) -9 4) -4

17

1) - cos2 а 2) cos2a 3) 4 - cos2a 4) 4х — 2A4. Найдите значение выражения -8sin — + 8cos 8 при х = — п8 3

1) 4л/3 2) -4 3) 4 4) - 4л/3

А5. Найдите значение выражения sin( — —x) —sin( — + х) при х = —2 2 8

1)— 2) 0 3 ) 4 4) 14 4А6. Упростить выражение sin 70° • cos10° - cos70° • sin10°.

л/3 11. — 2. - 3. cos80° 4. sin80°2 2

А7. Упростите выражение sin35 ° + sin15 °1) sin25 ° • cos10 °; 2) sin10 ° • cos25 °; 3) 2sin25 ° • cos10 °; 4) 2 sin10 ° • cos25 °

А3. Упростите выражение: - 3sin2 a + 7 - 3cos2 a.

А8. Упростите выражение 1- sin a •cos а • tga 1) -sin2 a ; 2) sin2 a ; 3) -cos2 a ; 4) cos2 a

А9. Упростите выражение sin a - л/2 sin(a - — )

1) -sina ; 2) sina ; 3) -cosa ; 4) cosa

А10. Упростите выражение sin2a -tga1) -cos2 a -tg2 a ; 2) sin2 a -tg2 a ; 3) cos2 a -tg2 a ; 4) cos2 a -ctg2 a

B1. Найдите значение выражения: 3 /5"tga sin 3— . V5 + a I, если sin a = —v 2 J 5

В2. Найдите значение выражения: 8,5sin2x, если cos x = ^ , - — < x < 0л/17

2вариант.A1. Найдите значение выражения 3cos2 x - 2, если sin2 x = 0,8.1) 1,08 2) 5,4 3) -0,4 4) 0,6

А2. Упростите выражение: 5sin2 a - 4 + 5cos2 a.1) 1 2) 9 3) —9 4) —4

А3. Упростите выражение: - 4cos2 a -4 s in 2 a + 3.1) 7 2) —1 3) - cos2 a 4) cos2a

2 x о 2 x 2А4. Найдите значение выражения 8 s in 8cos — при х = — п8 8 3

1) —4л/3 2) —4 3) 4 4) 4л/3

18

А5. Найдите значение выражения cos( — —x) +cos( — + х) при х = —82 2

2) 0 3 ) ^ 4) 1

А6. Упростить выражение sin17° • cos13° + sin13° • cos17°.

1. cos4° 2. sin4 ° 3. 12

А7. Упростите выражение sin10 ° + sin50 °1) - cos20 °; 2) cos20 °; 3) sin20 ° ° ; 4) -sin20 °

А8. Упростите выражение tg(-a )xosa +sina 1) 2sina ; 2) sina ; 3) 1; 4) 0

2 a2cosА9. Упростите выражение 2

sinaa a1) tg2a ; 2) ctg2a ; 3) ctg —; 4) tg —

3—А10. Упроститевыражение sin( — - a )-sin(— - a )

1) 0,5 sin2a ; 2) -0,5 sin2a ; 3) 0,5 cos2a ; 4) -0,5 cos2a

В1. Найдите значение выражения: 3y[3tga cos— + a).

4 —2

+ a ), если sin a =

В2. Найдите значение выражения 49>/6sin 2x , если cosx = - — — < x < —7 2

Задания по тригонометрии

1) Выразить в радианах: 30°, 45°, 60°, 120°, 150°, 210°, 240_ч — 3— 2— 5— 7— 11—2) Выразить в градусах —, — , — , — , — ,----- .

4 4 3 6 6 63) Определить знаки следующих тригонометрических функций

. 7— 2— 3— . 5 —sin— ,cos— , tg — ,sin— ,cos3,

6 3 4 6

cos(-—),sin280°,cos71CP, tg100°,ctg91CP. —; — ; — ; — ; — ; H —. v 4 & & 4 4 3 6 6 6

4) Найти:. 3 3—1) sin a, если cosa = —, — < a < 2—

4 2, , . 1 3 —2)cosa,если sina = — ,— <a < —

3 2—3) sin a, если tga = 2, 0 < a < —

5) Упростить:

19

1) (tga + ctga)2 - (tga — ctga)2 =2) sin4 a — cos4 а + cos2 а =3) sin a — cosa(tga + ctga) =

6)Вычислить:1)sin15°; 2)cos75°

^ -3)sin(a+P), если sin a = —j- , 0< a< —

n VT3 —cose= , — < В < —4 2

4) sin215o + sin2 75o =5) sin13o cos17o + sin17o cos13o =6) cos66o cos6o + sin 66o sin 6o =7) cos8o cos37o — cos82o cos53o =

8) sin(—+ a), если sina = 3; a e (0;—)

Практическая работа №7 ТЕСТ «Тригонометрические уравнения»

1 вариант.

А1. Решить уравнение cos4x = 0.

1 \ — г-ж — —1 ~ , \ — —1 ^ Л \ — Л г-ж1) — Y—n,n e Z 2) — I-----,n e Z 3) — i---- ,n e Z 4) — h4—n,n e Z2 8 4 2 4 2

А2. Решить уравнение sin2x = — 1.

л \ — rs. Г-Ж /-ЧЧ — —n _1 ) h 2—n, n e Z 2) — I---- , n e Z2 4 2

— Г - , л \ — Г-ж3) — Y—n,n e Z 4 ) ------- h —n,n e Z2 4

20

■ J 2 nА3. Решите уравнение sin x — — = 0.

1 — + 2—n, n e Z) 4

2 (— - f 1 — + — n, n e Z) 4

3 — , V4 — Y — n, n e Z) 4

4 —4 ± — + 2—n, n e Z) 4

—А4. Решите уравнение cos — x

1) ± 1 + 4k , к e Z2

2) ( — 1)k •1 + 2к, к e Z

23

3) ± — + 4к, к e Z2

4) ( — 1) к + 1 •1 + 2k, к e Z

3— I—А5. Решите уравнение tg^ - x = V3 .

1) 4 + 8 к, к e Z) 9 3 ,

4 42) 9 + 3 к, к e Z

3) — 4 + 8 к , к e Z) 9 3 ,

4 44) — 9 + 3 к, к e Z

• 2—А6. Решите уравнение s in ^ - x :

1) ± 1 + 12к, к e Z

2) ( — 1)к + 1 • 1 + 3 к, к e Z

-2

3) ± 1 + 3к, к e Z4

4) ( — 1) к +1 + 6к, к e Z

2 вариант.

А1. Решить уравнение sin4x = 0.21

1) — + 2—n, n e Z — —n2) — !----, n e Z8 4

л\ —n 73) — ,n e Z 4

—4) — + 4—n, n e Z 2

А2. Решить уравнение cos2x = 1.

1) —n, n e Z 2) 2—n, n e Z —

• — 1А3. Решите уравнение sin—x = —.

41) ± ~ + 8к, к e Z

3

2) ( — 1) к 2 + 4к, к e Z

3) — + —n, n e Z 2

2

.. — —n „4) — + — , n e Z 4 2

3) ± — + 8к, к e Z3

4) ( — 1)к 4 + 4к, к e Z

А4. Решите уравнение cos — x = — — .

1) ± 5 + 6к, к e Z

2) ( — 1)к • - + 6к, к e Z

3) ± 5 + 6к, к e Z2

4) ( — 1)к + 6к, к e Z

А5. Решите уравнение tg^~ x

-) — 4 + 3 к, к e Z

2) 4 + 3 к , к e Z

;2— x = — >/3 .

3) 2 + 3 к , к e Z

4) — 2 + 3 к, к e Z

А6. Решите уравнение 2 sin3x-1 =0.

1\ / 1\n — i — 71) (—1) ^ + 2 n, n e Z

2) ± — + 2— n, n e Z) 18 3 ,

/ Л\П — I — 'V(—1 ) ------ + — n, n e Z3) ( ) 18 3 ,

22

I л . 2л ry+ —+ — n, П E Z9 3

Сборник уравнений для контроля знаний.

1. 2 cos x = 2.

3. 2 s in 3 x = 1.

5. 5sin x + 5 = 0.

- ■ 5л 4 2 ,7. Sin — X = —— 8 4 2

9. 2 cos x - 1 = 0.

i i - 1 1n. sin — x = - .

72. COs — x = - 1.

2

4. cos x = 1 4 2

6. 2sin x - 1 = 0.

9 cos x + 4 = 4.

10. tg x - V3 = 0.

12. 2 s in 2 x - V 3 = 0.

13. 2 cos x - V 2 = 014. 2 s in 2 x +1 = 0. 3

2 217. sin x - cos x + 0,5 = 0 . 18.

15. 2 co s x + V3 = 0. 16. sin x cos x + 1 = 0.

2tgx2 = - 1.

19. sin ( - j + x I — 1.

1 - tg x

20. sin2x -1 = 0.

Vs21. 2cos3лx Sin3лx = —— . 21. 2 . 22. tg ( f - x I 0

23. 2sin2x - 2 cos2 x . 24. 2cos(-л + x|sin(■л + x| = 1

25. tgIx2

26. 2sin x - 1 = 1.

5л • 5л 2 л - 2 л 1 127. 2 cos— xsin— x +1 = 0. 28. cos — x - sin —x - —= - 1 .6

29. sin 3л---- + x 2 Jx 12 = 2

5

• ^ о30. sin x - — = 0

32. V 2cos2 x = -1

5 2

33. cos3x - 3 = 0 34. ctgl' <TT Л f— + x 2

- V3

23

35. sin3x = —1 36 sin2 x = — 3°. 2

Практическая работа №8 «Свойства тригонометрической функции»

1 вариант.

А1. Упростить выражение и вычислить sin(180° -a )+cos(90° + а )1) -2; 2) 1; 3) 2; 4) 0

5 2А2. Найти множество значений функции y = — sin x н— .

3 3

1) 2) [—1.1] 3)—In

4) (—да;+да)

, 2 7x 5А3. Укажите множество значений функции у = — cos —— —.

1) [ —5 ; 0 ]2) " 2.

_ 3 ;2" 3 _

3)[ —3 ; — 1]

4) " 2. 5 "

_ 3 ; 3 _

А4. Из данных чисел выберите наименьшее, принадлежащее множеству значений функции1 ■ п 2 y = - sin7 x — .

3 31) -1,5 2) -0,9 3) 0,5 4) 1

2 7 x 4А5. Найдите наибольшее целое значение функции y = — cos —— — .

1) - 2 2) - 1 3) 1

К 2

4) 0

А6. Укажите множество значений функции у = — tg x — 3.

1) 2) [— 3; +да) 3) ( —^ ; +да) 4)г + “

А7. Из данных чисел выберите наименьшее, принадлежащее множеству значений функции1 , 2 0

У = ^ ctg x — 2 .

1) 2) - 2 3)— 2 4

4) 0

24

Ао ж 4жА8. Сравните числа cos— и cos —9 9

,ч ж 4ж _ч ж „ 4ж „ ч ж 4ж „ч1) cos — = cos — ; 2) cos — <cos— ; 3) cos — >cos — ; 4)невозможно сравнить; 9 9 9 9 9 9

А9. Расположите числа в порядке возрастания: sin(-2), sin(-4), sin4 1) sin(-2), sin4, sin(-4), 2) sin4, sin(-2), sin(-4)3) sin(-4), sin4, sin(-2) , 4) sin(-4), sin(-2), sin4

А10. Расположите числа в порядке возрастания: ctg100 °, ctg270 °, ctg160 ° 1) ctg100 °, ctg160 °, ctg270 °; 2) ctg160 °, ctg100 °, ctg270 °;3) ctg270 °, ctg100 °, ctg160 °; 4) ctg160 °, ctg270 °, ctg100 °

2 вариант.А1. Упростить выражение и вычислить sin(180 ° + a )+cos(90 ° - а )

1) -2; 2) 1; 3) 2; 4) 07 . 1А2. Найти множество значений функции y = — sin x — .3 3

1) (— да;+да) 2) 7 7 3 ; 3 3) [—11]

А3. Найти множество значений функции y = — 5 cos x +1.

1) 2) [— 2;3] 3) [—1;1]

4)

4) (—да;+да)

1 1А4. Найдите наименьшее целое значение функции y = — cos3x — 4 —.

1) - 3 2) 1 3) - 4 4) 0

А5. Из данных чисел выберите наибольшее целое, принадлежащее множеству значений3 xфункции y = — sin — + 2,3.

1) 4 2) 2,3 3) 3 4) 3,8

А6. Из данных чисел выберите наименьшее, принадлежащее множеству значений функции2 4. 2 /-чy = - tg x + 2 .

1) 12 ) 32) 2- 3) 2 2 4) 01

3

25

А7. Укажите множество значений функции y = 1 ctg2 x — 3.

1) ( — f ; + OT) 2) [— 3; + да) 3) ( — + да) 4)2А8. Сравните числа sin140 ° и sin40 °1) sin140 ° = sin40 °; 2) sin140 ° <sin40 °; 3) sin140 ° >sin40 ; 4)невозможно сравнить;А9. Расположите числа в порядке возрастания: cos2,9 , cos3,7 , cos1,4 1) cos1,4, cos3,7 , cos2,9 2) cos2,9 , cos1,4 , cos3,7 3) cos2,9 , cos3,7 , cos1,4 4) cos3,7 , cos2,9 , cos1,4

А10. Расположите числа в порядке возрастания: tg(-42 °), tg8 °, tg100 °1) tg100 °, tg8 °, tg(-42 °); 2) tg(-42 °), tg8 °, tg100 °;3) tg100 °, tg(-42 °), tg8 °; 4) tg8 °, tg100 °, tg(-42 °)

Практическая работа №9 «Производная»

1 вариант.А1. Найти производную функции y = (x + 2)2

1) y' = x + 2 2) y' = 2(х + 2)3) y ' = (х + 2)3 4) y' = 2х + 2

1 5 4 7 3 2А2. Найдите производную функции f ( x ) = 1 x — 3x + 7 x — 2 x +1.

1) f ( x ) = 5x4 — 12x3 + 7x 2 — 2x +1 2) f ( x ) = x 4 — 3x3 + 3x 2 — 4x

3) f ( x ) = x 4 — 12x3 + 7x 2 — 4x 4) f ( x ) = x 4 — 12x 3 + 7 x 2 — 4x

А3. Вычислите значение производной функции f ( x ) = — 3x 8 + 2x 5 + 10x 3 — 3

в точке x^ = — 1.

1) 16 2) 64 3) -16 4) -64А4. Найдите производную функции y = ex + 4x2.

1) y ' = xex—1 + 8x 2) y ' = ex + x3 3) y ' = e x + 5 x 2 4) y ' = ex + 8xА5. Найдите производную функции y = (x — 3)cos x .1) у ' = cos x + (x — 3)sin x 2) у ' = cos x — (x — 3)sin x3) у' = (x — 3)sin x — cos x 4) у' = — sin x

f (x ) = 5 + 4 x — x 2Аб.Укажите абсциссу точки графика функции f ( ) , в которой угловойкоэффициент касательной равен нулю.

26

1) 0 2) 2 3) -2 4) 5А7. Найти ординату точки графика функции y=lnx - 2x, в которой тангенс угла наклона

касательной равен -11) -2 2) 1 3) 3 4) -1

А8. Найти уравнение касательной к графику функции f (x) = 2 — x2 — 4x в точке с абсциссойХ0 = -11) y = —2x — 3 2) y = —2x + 33) y = 2x — 1 4) y = 2 x + 3A9. Дана функция f (x) = x3 — 3x2 + 5 . Найти координаты точек её графика, в которыхкасательные к нему параллельны оси абсцисс.1) (0;-1), (2;5); 2) (0;1), (-2;5); 1) (0;-5), ( -^ Х 1) (0;5), (2;1).А10. Найдите производную функции: y = 3x2 cosx1) 6x cosx + 3x2 sin x 2) x3 cosx + 3x2 sin x 3) 6x cosx — 3x2 sin x 4) — 6xsinx

2 вариант.А1. Найти производную функции y = (x — 2)2

1) y ' = x — 2 2) y ' = 2(х — 2)3) y ' = (х — 2)3 4) y ' = 2x — 2

3 4 1 3 2А2. Найдите производную функции f ( x ) = 3 x — 1 x + 5x — x — 2.

1) f ( x ) = 3x 3 — 3 x 2 + 10x — 1 2) f ( x ) = 3x 3 — 3 x 2 + 10x 2 — 2

3) f ( x ) = x 3 — x 2 + 5x — 1 4) f ( x ) = 3x 3 — 1 x 2 + 10x — 1

А3. Вычислите значение производной функции f ( x ) = — 5x 9 — 2x 6 + 7x 2 — 7x

в точке x^ = — 1.

1) 17 2) 40 3) -40 4) -54

А4 Найдите производную функции y = ex + 3x2 .

1) y ' = xex 1 + 6 x 2) y ' = ex + x 3

3) y ' = e x + 5 x 2 4) y ' = e x + 6 x

А5 Найдите производную функции y'=(x+5)cosx .

27

1) y'=cosx + (x+5)sinx2) y'= (x+5)sinx - cosx3) y'=sinx4) y'=cosx - (x+5)sinxА6 Укажите абсциссу точки графика функции f (x) = x2 + 4x —10 , в которой угловой коэффициент касательной равен нулю.1) 0 2) 2 3) -2 4) 5

А7 Найти ординату точки графика функции y=2lnx - 3x , в которой тангенс угла наклона касательной равен -1

1) 3 2) 2 3) -2 4) -3А8. Найти уравнение касательной к графику функции f (x) = — x2 + 4x в точке с абсциссойХ0 = 41) у = —2 x + 42) У = 4x —163) у = —4x = 1614) у = —10x + 8

A9. Дана функция f (x) = x3 + 5x2 — 1. Найти координаты точек её графика, в которых касательные к нему параллельны оси абсцисс.1) (0;1), (10;165); 2) (0;-1), (2;5); 3) (0;-1), (-10;-165); 4) (0;1), (-2;5).А10. Найдите производную функции: у = 21 x2 cos x1)7x3 cosx — 21x2 sinx 2)42xsinx 3)42xcosx + 21x2 sinx 4)42xcosx — 21x2 sinx

Практическая работа №10 «Применение производной к исследованию функции»

1 вариант.1 Функция у = fx ) определена на (- 6; 4). График ее производной на рисунке. Укажите точку функцииэтом промежутке.

2. Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к графику y=2sinx - 3ctgx в его точке с ж3.

x

промежуткеизображенминимумау =fx ) на

функцииабсциссой

3. В какой точке x0 отрезка [—1;2] функция у = f (x) принимает наибольшее значение,

если на этом отрезке f (x) = 2 + cos2 x.

28

4. Точка движется по координатной прямой согласно закону x(t) = t2 + 2t — 3, где x(t) -координата точки в момент времени t. В какой момент времени скорость точки будет равна 6?

5 . Функция у = f (x) определена на промежутке (—4;5) . На рисунке изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции

у = f (x ) , которые наклонены под углом в 45 0 к положительному направлению оси абсцисс.6. В какой точке x0 отрезка [0;3] функция у = f (x) принимает наименьшее значение, если на этом отрезке f '(x) = 3sin4 x — 4.

Вариант 21. Функция у = fx ) определена на промежутке (- 6; 4). График ее производной изображен

на рисунке. Укажите точку максимума функции у = fx ) на этом промежутке.

2. Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функцииж

y=cosx + 6tgx в его точке с абсциссой —.6

3.В какой точке x 0 отрезка [24] функция у = f (x) принимает наибольшее значение, если на

этом отрезке f '(x) = 2sin2 x — 3.2

4. Точка движется по координатной прямой согласно закону x(t) = t + t + 2, где x(t) -координата точки в момент времени t.. В какой момент времени скорость точки будет равна 5?5. Функция у = f (x) определена на промежутке (—4;5) . На рисунке изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции у = f (x ) , которые наклонены под углом в 135° к положительному направлению оси абсцисс.

29

6. В какой точке x0 отрезка [—1;2] функция у = f (x) принимает наибольшее значение, если

на этом отрезке f (x) = 2 + cos2 x.

Практическая работа №11 «Интеграл»

1 Вариант.А1.Определите функцию, для которой F(x) = x - sin2x - 1 является первообразной:

х31) f(x) = — + cos2 x + x ;

2) f(x) = 2x - 2cos2x;

3) f(x) = 2x + 1 cos2x;

x3 14)f(x) = ---- + — cos2x + x.3 2

А2.Найдите первообразную для функции. F (x) = 4х + cos x1)F(x) = 12x2 - sinx + c;2) F(x) = 4x3 + sinx + c;3) F(x) = x4 - sinx + c;4)F(x) = x4 + sinx + c.А3. Для функции f(x) = х найдите первообразную F, принимающую заданное значение в за

данной точке F (- 1) = 2.х 3 11)F(x) = — + 2 - ;3 3

2)F(x) = 2x + 2 l ;

x 3 13)F(x) = -------+ 2 - ;3 3

x 3 14)F(x) = ----- 2 - .3 3

А4.Точка движется по прямой так, что её скорость в момент времени t равна V (t) = t + t . Найдите путь, пройденный точкой за время от 1 до 3 сек, если скорость измеряется в м /сек.

1)18 м; 2) 121 м; 3) 17 — м; 4)20 м.

30

г 6А5 Вычислите I---- — dxJ п r\o Vcos2 x

1) 6уЦ ; 2) 6; 3) 2л/3; 4) 3л/3 .А6 Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = - х2 + 3 и у=0

1) 4л/3; 2) 6л/3; 3) 9л/3; 4) 8л/3.

А7 Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = -JX и у = 1 х

1 2 21) 2; 2) 1 - ; 3) 2 - ; 4) 1­

2А8 Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 2 - х , касательной к этому графику в его точке с абсциссой х = - 1 и прямой х = 0

1) 12 ; 2) 21 ; 3) 1 ; 4) 11 .3 3 3 3

4

В1 Вычислите 14xdx

2 Вариант.х 3А1 Определите функцию, для которой F(x) = - cos— - x + 4 является первообразной:

1) f(x) = - sin Х - 3x2;

1 X2) f(x) = — sin-----3x2;2 2

3) f(x) = - 1 sinX - 3x2;2 2

4) f(x) = 2sin X - 3x2 .2A2 Найдите первообразную для функции f(x) = x - sinx

X 31) F(x) = — - cos x + c;

2) F(x) = 2x - cosx + c;X 33) F(x) =— + cosx + c;

X 34) F(x) =— + sinx + c.

A3 Для функции f(x) = 2x - 2 найдите первообразную F, график которой проходит через точку А(2;1)1)F(x) = - х2 - 2х - 1;2)F(x) = х2 + 2х + 2;3)F(x) = 2х2 - 2;

0

2

31

4)F(x) = х2 - 2х + 1.А4 Точка движется по прямой так, что её скорость в момент времени t равна V (t) =3 + 0,2 t.

Найдите путь, пройденный точкой за время от 1 до 7 сек., если скорость измеряется в м /сек

1) 22, 8 м; 2) 29 м; 3)23 м; 4)13 м.XА5 В ычислите | cos—dx

J 6

1)/7 i

; 2) 3 S - 3; 3) 0; 4) 3 - 3 S .

А6 Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = 2х , у = 0, х 2

1) 5 2) 2 3) 5 4) 2

А7 Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 5 - х , у = 1

1) 16; 2) 53; 3) 11 3 -4) 10 2 .

3

Ж

А8 Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функцииу = - х + 3, касательной к этому графику в его точке с абсциссой х = 1 и прямой х = 0.

2 1 1 21) 2 - ; 2 ) - ; 3) 2 - ; 4) - .3 3 3 3

4В1 Вычислите | (х2 — 6x)dx

1

Практическая работа №12 «Комбинаторные задачи»

Вариант 1.1.Бросили две игральных кости (два кубика). Какова вероятность того, что в сумме выпало не менее 8 очков. Ответ округлите до сотых.2.Бросили два кубика. В сумме выпало 6 очков. Какова вероятность, что на кубиках выпало одинаковое число очков?3.В ящике 8 красных шаров и 2 белых. Какова вероятность того, что взятый наугад шар будет белым?4.Из букв слова «дифференциал» наугад выбирают одну букву. Какова вероятность, что это будет: а)гласная; б)согласная; в)буква «к»?5.Натуральные числа от 1 до 30 записаны на карточках. Какова вероятность того, что на взятой наугад карточке будет число кратное 4?6. В коробке 20 конфет, из них 8 с клубничной начинкой. Из коробки взяли 10 конфет. Какова вероятность того, что 6 из них будут с клубничной начинкой?

47. решите уравнение: А х ■ Р х—4 = 42 ■ Р х—2

32

Вариант 2.1.В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 16 очков. Результат округлите до сотых.2.Таня включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это время по восемнадцати каналам из сорока восьми показывают рекламу.Найдите вероятность того, что Таня попадет на канал, где не идёт реклама3.В ящике 10 красных шаров и 4 белых. Какова вероятность того, что взятый наугад шар будет белым?2.Из букв слова «интеграл» наугад выбирают одну букву. Какова вероятность, что это будет: а)гласная; б)согласная; в)буква «и»?3.Натуральнве числа от 1 до 40 записаны на карточках. Какова вероятность того, что на взятой наугад карточке будет число кратное 5?6. В коробке 20 конфет, из них 6 с клубничной начинкой. Из коробки взяли 8 конфет. Какова вероятность того, что 5 из них будут с клубничной начинкой?

7. решите уравнение: А х ■ Рх—4 = 42 ■ Р х—2

Вариант 3.1.Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 шахматистов, среди которых 4 участника из России, в том числе Александр Ефимов. Найдите вероятность того, что в первом туре Александр Ефимов будет играть с каким-либо шахматистом из России?2.Бросили две игральных кости (два кубика).Какова вероятность того, что в сумме выпало 7 очков. Ответ округлите до сотых.3.В ящике 8 красных шаров и 4 белых. Какова вероятность того, что взятый наугад шар будет белым?4.Из букв слова «производная» наугад выбирают одну букву. Какова вероятность, что это будет: а)гласная; б)согласная; в)буква «к»?5.Натуральнве числа от 1 до 50 записаны на карточках. Какова вероятность того, что на взятой наугад карточке будет число кратное 6?6. В коробке 25 конфет, из них 10 с клубничной начинкой. Из коробки взяли 12 конфет. Какова вероятность того, что 6 из них будут с клубничной начинкой?7. Решите уравнение: р = 240 ■ Р х- С ■ А7-1

Вариант 4.1.В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по ботанике.2.Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между

33

оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?3.В ящике 12 красных шаров и 4 белых. Какова вероятность того, что взятый наугад шар будет белым?4.Сколькими способами можно составить башню из 6 кубиков? (кубики ставят в 1 столбик)5.В учебном плане 10 предметов Нужно составить расписание на понедельник, чтобы было 5 предметов. Сколькими способами это можно сделать?6. В коробке 22 конфеты, из них 10 с клубничной начинкой. Из коробки взяли 9 конфет. Какова вероятность того, что 4 из них будут с клубничной начинкой?7. Решите уравнение: Р = 240 ■ Р х-С ' АНэ

Вариант 5.1. Бросили две игральных кости (два кубика). Какова вероятность того, что в сумме выпало 7 очков. Ответ округлите до сотых.2.Таня включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это время по восемнадцати каналам из сорока восьми показывают рекламу. Найдите вероятность того, что Таня попадет на канал, где не идёт реклама.3.В ящике 7 синих шаров и 5 белых. Какова вероятность того, что взятый наугад шар будет белым?4.Сколькими способами можно составить башню из 7 кубиков? (кубики ставят в 1 столбик)5.В учебном плане 12 предметов Нужно составить расписание на понедельник, чтобы было 5 предмета. Сколькими способами это можно сделать?6. В коробке 18 конфет, из них 8 с клубничной начинкой. Из коробки взяли 9 конфет. Какова вероятность того, что 3 из них будут с клубничной начинкой?7. Решите уравнение: р =1^9 ■А т .РР п+2 132 .^An Р n—т

Вариант 6.1. Бросили две игральных кости (два кубика). Какова вероятность того, что произведение выпавших очков будет чётно. Ответ округлите до сотых.2.В ящике 9 синих шаров и 3 белых. Какова вероятность того, что взятый наугад шар будет белым?3.Сколькими способами можно рассадить за столом 3 человек?4.В учебном плане 14 предметов Нужно составить расписание на понедельник, чтобы было 6 предмета. Сколькими способами это можно сделать?5. В коробке 16 конфет, из них 6 с клубничной начинкой. Из коробки взяли 10 конфет. Какова вероятность того, что 2 из них будут с клубничной начинкой?6.В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?7.Решите уравнение: 12 ■ СП—3 = 55 ■ A L

Вариант 7.1.Бросили две игральных кости (два кубика). Какова вероятность того, что в сумме выпало не менее 8 очков. Ответ округлите до сотых.

34

2.Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 шахматистов, среди которых 4 участника из России, в том числе Александр Ефимов. Найдите вероятность того, что в первом туре Александр Ефимов будет играть с каким-либо шахматистом из России?3.В ящике 10 синих шаров и 4 белых. Какова вероятность того, что взятый наугад шар?4.Натуральнве числа от 1 до 70 записаны на карточках. Какова вероятность того, что на взятой наугад карточке будет число кратное 6?5.Сколькими способами можно рассадить за столом 4 человек?6.В учебном плане 15 предметов Нужно составить расписание на понедельник, чтобы было 6 предмета. Сколькими способами это можно сделать?7. Решите уравнение: 12 ■ С П = 55 ■ АПи

Вариант 8.1.Бросили два кубика. В сумме выпало 6 очков. Какова вероятность, что на кубиках выпало одинаковое число очков?2.В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по ботанике.3.В ящике 9 синих шаров и 6 белых. Какова вероятность того, что взятый наугад шар будет синим?4.Сколькими способами можно рассадить за столом 5 человек?5.В учебном плане 14 предметов Нужно составить расписание на понедельник, чтобы было 6 предмета. Сколькими способами это можно сделать?6.В коробке 21 конфета, из них 9 с клубничной начинкой. Из коробки взяли 11 конфет. Какова вероятность того, что 5 из них будут с клубничной начинкой?7. Решите уравнение: 12 ■ С П = 55 ■ АПи

Вариант 9.1.Фабрика выпускает сумки. В среднем на 180 сумок приходится 8 сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной.2.В случай ном эксперементе симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет только один раз.3.В ящике 15 синих шаров и 3 белых. Какова вероятность того, что взятый наугад шар будет синим?4.Сколькими способами можно рассадить за столом 6 человек?5.В учебном плане 11 предметов Нужно составить расписание на понедельник, чтобы было 5 предмета. Сколькими способами это можно сделать?6. В коробке 17 конфет, из них 8 с клубничной начинкой. Из коробки взяли 10 конфет. Какова вероятность того, что 5 из них будут с клубничной начинкой?7.Решите уравнение: Р = 240 ■ Р х- С' А х+ъ

35

Вариант 10.1.В ящике 15 синих шаров и 3 белых. Какова вероятность того, что взятый наугад шар будет синим?2.Из букв слова «последовательность» наугад выбирают одну букву. Какова вероятность, что это будет: а)гласная; б)согласная; в)буква «к»?3.Натуральнве числа от 1 до 90 записаны на карточках. Какова вероятность того, что на взятой наугад карточке будет число кратное 10?4.Сколькими способами можно рассадить за столом 7 человек?5.В учебном плане 10 предметов Нужно составить расписание на понедельник, чтобы было 6 предмета. Сколькими способами это можно сделать?6.В коробке 25 конфет, из них 9 с клубничной начинкой. Из коробки взяли 15 конфет. Какова вероятность того, что 5 из них будут с клубничной начинкой?7. Решите уравнение: Р = 2 4 0 ■ Р х-С' AZ3

Тест вариант № 11. Факториал э т о ..2. Факториал обозначается.3. Перестановки эт о .4. Число перестановок обозначается..5. Число перестановок находят по формуле.6. Размещения э т о ..7. Число размещений обозначается..8. Число размещений находят по формуле..9. Сочетания э т о .10. Число сочетаний обозначают..11. Число сочетаний находят по формуле..12. Бином Ньютона э т о ..13. Записать формулу полной вероятности.14. Вероятность суммы событий, образующих полную группу равна.15. Как обозначается функция Лапласа.16. Что в формуле Бернулли обозначают буквой q . .17. Полная группа событий э т о .18. По какой формуле находят вероятность попадания числа наступления случайногособытия в заданный интервал....19. Что такое схема повторных испытаний.

Тест вариант № 21. Случайное событие э т о .2. Классическое определение вероятности.3. Статистическое определение вероятности.4. Геометрическое определение вероятности.5. Достоверное событие э т о .6. Невозможное событие э т о .

36

7. Противоположные события э т о ..8. Вероятность достоверного события равна.9. Вероятность невозможного события равна..10. Вероятность случайного события это число, которое.11. Случайные события обозначают.12. Вероятность обозначают..13. Событие противоположное событию А обозначают..14. Привести пример случайного события......15. Привести пример невозможного события.16. Привести пример достоверного события.17. Привести пример противоположных событий..18. Когда вероятность сложного события находят с помощью сложения.19. Когда вероятность сложного события находят с помощью умножения..

Тест вариант № 31. Математическая статистика э т о ..2. Выборка э т о ..3. Перестановки э т о ..4. События эт о ..5. Сочетания э т о ..6. Факториал э т о ..7. Привести пример невозможного события..8. Как обозначается функция Лапласа .9. Вероятность обозначают .10. Привести пример достоверного события.11. Когда вероятность сложного события находят с помощью умножения..12. Классическое определение вероятности.13. Что в формуле Бернулли обозначают буквой q. .14. Записать формулу Бернулли..15. Среднее арифметическое находят по формуле..16. По какой формуле находят наивероятнейшее число наступления события.17. Факториал обозначается.18. Когда вероятность сложного события находят с помощью умножения..19. Число размещений находят по формуле..

Задание:Вариант 1

6!—4!1.Вычислить

2.Упростить

3!(п —1)!(п + 2)!

3.ВычислитьP — PP6 — P5

P4

37

4.Вычислить a4 ; с 1о5.Сколькими способами могут разместиться 5 человек вокруг круглого стола?6.Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,8,9 так, чтобы в каждом числе не было одинаковых цифр?7.Решить уравнение

Вариант 25!3!

1.Вычислить 6!1 1

2.у прост1пъ П! ( Ш ) !

3.ВычислитьP + PP4 l P6

P3

4.Вычислить Ai3; С§5.Сколькими способами можно расставить на полке 6 книг?6.Сколько флажков 3 разных цветов можно составить из 5 флажков разного цвета?7.Решить уравнение С = 153

Вариант 35!

1.Вычислить

2.Упростить

3!+4! п!

(п — 2)!P 203.Вычислить „ „

P 4 ■ P 16

4.Вычислить ; с565.Сколькими способами собрание, состоящее из 18 человек, может выбрать из своего состава председателя собрания и секретаря?6. Сколькими способами можно выбрать 3х дежурных, если в классе 30 человек?7.Решить уравнение Cx—2 = 21

Вариант 47!+5!

1.Вычислить

2.Упростить

6!1

(п - 1)!

P — P53.Вычислить ~

4.Вычислить Ai3; с805.Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5 при условии, что ни одна цифра в числе не повторяется?

38

6. Сколько вариантов распределения 3х путевок в санаторий различного профиля можно составить для 5 претендентов?

7.Решить уравнение = ^ А Х

Практическая работа №13 «Декартовы координаты и векторы в пространстве»

Даны точки А (xi;yi) В (х2;у2) С (хз;уз)Найти:1. координаты векторов АВ, АС, ВС2. длины этих векторов3. косинусы углов между векторами(АВ;АС) (АВ;ВС) (АС;ВС)

Вариант/координаты А(хьу0 В(х2;у2) С(хэ;уэ)1 А(1;2) В(3;4) С(5;-2)2 А(1;3) В(1;0) С(5;1)3 А(1;4) В(2;1) С(5;2)4 А(1;-2) В(3;2) С(5;3)5 А(1;6) В(3;3) С(5;4)6 А(11;2) В(4;-1) С(5;5)7 А(10;2) В(5;-2) С(5;-1)8 А(-1;2) В(-3;3) С(5;-2)9 А(-1;-2) В(2;-3) С(5;-3)10 А(2;2) В(-3;-4) С(5;-4)11 А(3;2) В(4;-5) С(5;-5)12 А(4;2) В(5;0) С(5;0)13 А(-2;2) В(-1;1) С(5;6)14 А(7;2) В(-2;2) С(-5;1)15 А(1;8) В(-3;-3) С(-5;2)

Практическая работа №14 Тест «Многогранники»

Вариант 1.А1. Если точки M и N - середины рёбер AC и CB тетраэдра DACB, то неверным является утверждение:1) прямые MN и DB - скрещивающиеся2) прямые MN и AB- параллельные3) прямые MN и AD - не имеют общих точек4) прямые MN и DC - пересекающиесяА2. Если точки M и N - середины рёбер AD и DC тетраэдра DACB, то неверным является утверждение:

39

1) прямые MN и AC - параллельные2) прямые MN и DC - пересекающиеся3) прямые MN и AD - скрещивающиеся4) прямые MN и DB - скрещивающиесяА3. Даны равносторонние треугольники ACB и ADB, не лежащие в одной плоскости. Линейным углом двугранного угла DABC будет1) DAC2) DKC3) DBC4) угол не обозначенА4. SABCD - правильная четырёхугольная пирамида. Точка E - середина DC, а точка O - центр основания. Линейным углом двугранного угла SDCO будет1) SED2) SEO3) SDA4) угол не обозначенА5. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 24 см, а боковое ребро

4наклонено к плоскости основания под углом а , где tg а = —, тогда высота этой пирамиды

будет равна.1) 16 см2) 18 см3) 9 см4) 32 смА6. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 6 см. Если высота равна 4 см, то апофема этой пирамиды будет равна1) 25 см2) 5 см3) л/45 см4) л/34 смА7. ABCDAjBjC]Dj - куб, O - точка пересечения диагоналей грани ABCD. Линейным углом двугранного угла BACB является1) B1BO2) B OB3) B OA4) угол не обозначенА8. ABCDAjB j CjDj - прямоугольный параллелепипед. Расстояние от вершины Bj до диагонали BD равно длине отрезка1) B1D2) BD3) B1C

40

4) B 1BА9. ABCAjB j Cj - прямая треугольная призма. Треугольник ABC - прямоугольный (C=90° ). Точка O - середина BC. Расстояние от A 1 до BC равно1) A 1 A2) A 1 O3) A B4) A 1 CА10. ABCD - прямоугольник. Отрезок BO перпендикулярен плоскости ABC. Расстояние от точки O до прямой DC равно длине отрезка1) OB2) OD3) OC4) BCА 11. Высота правильной четырёхугольной призмы равна 4 см, а сторона основания равна 3 см. Площадь диагонального сечения будет равна1) 12 см22) 6л/2 см23) 12л/2 см24) данных недостаточноА12. Основание прямой призмы ABCAjB jCj равнобедренный треугольник ABC, в котором AB=AC=10 см и BC=12 см. Высота призмы равна 6 см. Площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки A j, B, C, будет равна1) 60 см22) 120 см23) (2-Лэб +12) см 24) данных недостаточно

Вариант 2.А1. Если точки M и N - середины рёбер DB и CB тетраэдра DACB, то неверным является утверждение:1) прямая MN - параллельна плоскости DAC2) прямые MN и DC - параллельны3) прямые MN и AB - пересекающиеся4)прямые MN и AC - скрещивающиесяА2. Если точки M и N - середины рёбер AB и AC тетраэдра DACB, то неверным является утверждение:1) прямые MN и DC - скрещивающиеся2) прямые MN и AD - параллельные3) прямые MN и AB - пересекающиеся4) прямая MN параллельна плоскости DCB

41

А3. В четырёхугольной пирамиде боковое ребро SD перпендикулярно основанию. Линейным углом двугранного угла ASDC будет1) SDB2) SDA3) ADC4) угол не обозначенА4. DABC - правильная треугольная пирамида. DO - высота пирамиды, а точка E - середина стороны BC. Линейным углом двугранного угла DBCO является1) DEO2) DBO3) DEB4)угол не обозначенА5. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 6, а боковое ребро

4наклонено к плоскости основания под углом а , где tga = —. Высота этой пирамиды будет

равна1) 4,52) 43) 8

4) 409

А6. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 12 см. Если высота равна 18 см, то апофема этой пирамиды будет равна1) 144 см2) 6 л/13 см3) 12 см4) 6 л/Ю смА7. ABCDAjB jCjD j - куб. O - центр грани ABCD. Расстояние от вершины Bj до диагонали основания AC равно длине отрезка1) BB12) B1A3) B O4) BOА8. Высота правильной треугольной призмы ABCAjB jCj равна 2 см, а сторона AB равна 4 см. Площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки A, B , C, будет равна1) 8 см 22) 4 л/2 см23) 2 л/2 см24) данных недостаточно

42

А9. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAjB jCjD j длины рёбер AB, AAj и AD соответственно равны 6 см, 6 см и 8 см. Найти длину диагонали параллелепипеда.1) 11 см2) 2л/34 см3) 16 см4) другой ответА10. Высота правильной треугольной призмы ABCAjB jCj равна 4 см, а сторона AC=8 см. Площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки A, B, C , будет равна1) 24 см 22) 16л/2 см23) 32 см24) данных недостаточноА11. Основанием прямой призмы ABCDAjB jCjD j является ромб с углом B, равным 120 ° и стороной DC=5. Высота призмы равна 6. Площадь сечения этой призмы плоскостью, содержащей рёбра BB1 и DD1 , будет равна

1) 30л/5 см22) 130 см23) 30 см24) данных недостаточноА12. ABCDA B C D - прямоугольный параллелепипед, O - точка пересечения диагоналей грани ABCD. Расстояние от точки Cj до диагонали BD равно1) C 1 C2) C 1 O3) C 1B4) C 1D

Практическая работа №15 «Тела вращения, круглые тела»

Вариант 1.

А1. Осевое сечение цилиндра - квадрат, длина диагонали которого равна 20 см. Найдите радиус основания цилиндра.1) 5 л/2 см2) 8 л/2 см3) 10 см4) 10л/2 см

А2. Площадь осевого сечения цилиндра равна 6л[л дм2, а площадь основания цилиндра равна 25 дм 2 . Найдите высоту цилиндра.

43

n 21) — ж дм 3

оч ж2) — дм

3) 0,6 ж дм4) 2 дм

А3. Отрезок АВ равен 13 см, точки А и В лежат на разных окружностях оснований цилиндра. Найдите расстояние от отрезка АВ до оси цилиндра, если его высота равна 5 см, а радиус основания равен 10 см.1) 7,5 см2) 642 см3) 9 см4) 8 см

А4. Длина образующей конуса равна 2 43 см, а угол при вершине осевого сечения конуса равен 120 °. Найдите площадь основания конуса.1) 8 ж см22) 8л/2 ж см23) 9 ж см24) 6л/3 ж см2

А5. Радиус основания конуса 3 42 см. Найдите наибольшую возможную площадь осевого сечения данного конуса.1) 1642 см22) 18 см23) 12л/3 см24) 16 см2

А6. Отрезок АВ - хорда основания конуса, которая удалена от оси конуса на 3 см. МО - высота конуса, причём МО = 6 42 см, где М - вершина конуса. Найдите расстояние от точки О до плоскости, проходящей через точки А, В и М.1) 43 см2) 2 42 см3) 3 43 см4) 4 см

44

А7. Сфера а проходит через вершины квадрата ABCD, сторона которого равна 12 см. Найдите расстояние от центра сферы - точки О до плоскости квадрата, если радиус OD образует с плоскостью квадрата угол, равный 60 ° .1) 8л/2 см2) 6л/3 см3) 4л/Ю см

4) 6л/6 см

А8. Стороны треугольника АВС касаются шара. Найдите радиус шара, если АВ = 8 см, ВС=10 см, АС = 12 см и расстояние от центра шара О до плоскости треугольника АВС равно л/2 см.1) 3 л/3 см2) 2 л/э см3) 3 см4) 3 V2 см

А9.Цилиндр пересечён плоскостью, параллельной оси и отсекающей от окружностей оснований дуги по 120 ° .Найти площадь сечения, если высота цилиндра равна 4 см, а радиус основания - 2V3 см.

А10. В треугольной пирамиде с равными боковыми рёбрами известны длины сторон основания 6, 8, 10 и длина высоты 1. Найдите радиус описанного шара.

Вариант 2.А1. Осевое сечение цилиндра - квадрат, длина диагонали которого равна 36 см. Найдите радиус основания цилиндра.1) 9 см2) 8 см3) 8л/3 см4) 9 л/2 см

А2. Площадь осевого сечения цилиндра равна 12 л/ж дм2, а площадь основания равна 64дм2 . Найдите высоту цилиндра.14 ж1) — дм

2) 0,75 ж дм

45

3) — дм6

4) 3 дм

А3. Отрезок CD равен 25 см, его концы лежат на разных окружностях оснований цилиндра. Найдите расстояние от отрезка CD до оси цилиндра, если его высота равна 7см, а диаметр основания равен 26 см.1) 6л/2 см2) 6 см3) 5 см4) 4 л/3 см

А4. Высота конуса равна 4л/3 см, а угол при вершине осевого сечения конуса равен 120 °. Найдите площадь основания конуса.1) 120л/2 ж см22) 136ж см23) 144 ж см24) 24 V3 ж см2

А5. Радиус основания конуса равен 7л/2 см. Найдите наибольшую возможную площадь осевого сечения данного конуса.1) 54л/2 см22) 35 см23) 21 л/2 см24) 98 см2

А6. Отрезок DE - хорда основания конуса, которая удалена от оси конуса на 9 см. КО - высота конуса, причём КО = 3 л/3 см. Найдите расстояние от точки О (центр основания конуса) до плоскости, проходящей через точки D, E и К.1) 4,5 см2) 3 л/2 см3) 3 л/3 см4) 6 см

А7. Сфера а проходит через вершины квадрата CDEF, сторона которого равна 18 см. Найдите расстояние от центра сферы - точки О до плоскости квадрата, если радиус сферы ОЕ образует с плоскостью квадрата угол, равный 30 °.1) 4 см2) 4 л/3 см

46

3) 3л/6 см4) 6 см

А8.Стороны треугольника MKN касаются шара. Найдите радиус шара, если MK = 9 см, MN= 13 см, KN = 14 см и расстояние от центра шара О до плоскости MKN равно V6 см.1) 4л/2 см2) 4 см3) 3 V3 см4) 3 л/2 см

А9.Цилиндр пересечён плоскостью, параллельной оси и отсекающей от окружностей оснований дуги по 60 ° .Найти площадь сечения, если высота цилиндра равна 6 см, а радиус основания - 4см

А10.Найдите радиус шара, вписанного в правильную пирамиду, с высотой, равной 8, и апофемой, равной 10.

Практическая работа №16 «Объём поверхности тел вращения»

1 вариант.

А1. Осевое сечение цилиндра - квадрат, длина диагонали которого равна 20 см. Найти радиус основания цилиндра.

1) 5л/2 см 2) 8л/2 см 3) 10см 4)10л/2 смА2. Куб, ребро которого равно 4 V3 см, вписан в шар. Объём этого шара равен1) 256ж S см32) 288 ж см33) 2304 ж см34) 162 ж см3

А3. Куб, диагональ которого равна 2 л/3 см, описан около шара. Объём этого шара равен1) 4ж л/3 см3

3ж 32) — см4

32ж 33) ------ см3

,ч 4ж 34) — см3

47

А4.Объём конуса равен 9л/3ж см3. Найти высоту конуса, если его осевое сечение - равносторонний треугольник.

1) 3см 2) 3 л/3 см 3) л/3 см 4) 6 л/3 см

А5.Объём цилиндра равен 3 см3. Если площадь боковой поверхности цилиндра равна 4см2, то радиус его основания равен.

41) — см332) — см433) — см 2

4) данных недостаточно

А6.Радиус основания цилиндра равен 6. Если объём цилиндра равен V, а площадь его

боковой поверхности S, то отношение V равно

1) 6

2) 133) 34) данных недостаточно

А7.Высота конуса равна 6 см. Плоскость, параллельная основанию конуса, делит образующую конуса в отношении 1:2, считая от вершины. Если объём конуса равен 72 ж см3 , то площадь сечения конуса данной плоскостью будет равна1) 2 ж см22) 1 ж см23) 4 ж см24) данных недостаточно

А8. Дана правильная треугольная призма со стороной основания 4л/3 и высотой 4. Найти объём вписанного в призму цилиндра.1) 16 ж 2) 32 ж 3) 48 ж 4) 64 ж

1)

2)

3)

329283

8л/33

48

А9.Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

А-10.Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

2 вариант.

А1. Осевое сечение цилиндра - квадрат, длина диагонали которого равна 36 см. Найти радиус основания цилиндра.

1) 9см 2) 8см 3) 8л/3 см 4)9л/2 см

А2. Куб, ребро которого равно 43 см, вписан в шар. Объём этого шара равен1)

2)

3)4)

4 ж 43 см381ж 3 см16

4,5 ж см3 36ж см3

А3. Куб, диагональ которого равна 4 43 см, описан около шара. Объём этого шара равен14 32ж 31) см3

2) см3

3)4)

3256ж

36ж см3

32ж 43 см

А4. Объём конуса равен 18 ж см3. Найти высоту конуса, если его осевое сечение - прямоугольный треугольник.

1) 3^2 см 2) 242 см 3) 243 см 4) 343 смА5. Объём цилиндра равен 5 см3. Если площадь боковой поверхности цилиндра равна 4см2, то радиус его основания равенп 51) — см

2

2) см25

49

3) — см 4

4) данных недостаточно

см

А6. Радиус основания цилиндра равен 3. Если объём цилиндра равен V, а площадь его

боковой поверхности S, то отношение — равно

А7. Высота конуса равна 3 см. Плоскость, параллельная основанию конуса, делит образующую конуса в отношении 1:4, считая от вершины. Если объём конуса равен 50 ж см3, то площадь сечения конуса данной плоскостью будет равна1) 2 ж см22) 1 ж см23) 4 ж см2

4) данных недостаточноА8. Дана правильная треугольная призма со стороной основания 4л/3 и высотой 4. Найти объём описанного около призмы цилиндра.А9. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 2 . Найдите площадь боковой поверхности призмы.

А10.Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 14 , а боковое ребро71

равно 25 . Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

50

МИНОБНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждениевысшего образования «Ухтинский государственный технический университет»

(У ГТУ )Индустриальный институт

(среднего профессионального образования)

Приложение 3

Методические рекомендации для обучающихся по внеаудиторной

самостоятельной работе

Ухта2016

Чурилина, И. В.Методические рекомендации для обучающихся по внеаудиторной

самостоятельной работе. [Текст] : метод. рекомендации / И. В.Чурилина.- Ухта : УГТУ, 2016. - 26 с.

Методические рекомендации предназначены обучающимся СПОв помощь для выполнения самостоятельной работы по учебным дисциплинам и профессиональным модулям во внеурочное время. Методические рекомендации определяют сущность самостоятельной работы обучающихся, ее назначение, планирование, формы организации и виды контроля. Содержание методических рекомендаций рассчитано на специальности и профессии СПО.

2

Содержание

Введение 4

Работа с учебником 5

Подготовка к семинару 5

Подготовка к практическому занятию 6

Подготовка конспекта 6

Составление таблицы 8

Подготовка доклада 8

Подготовка презентации 10

Написание реферата 18

Решение задач 22

Составление кроссворда по выбранной теме 23

Заключение 25

Список использованных источников 26

3

ВведениеСамостоятельная работа-планируемая учебная, учебно­

исследовательская работа, выполняемая во внеаудиторное время по заданию и при методическом руководстве преподавателя, но без егонепосредственного участия (при частичном непосредственном участии преподавателя, оставляющем ведущую роль за работой обучающихся).

Самостоятельная работа проводится с целью:• систематизации и закрепления полученных теоретических знаний и

практических умений обучающихся;• углубления и расширения теоретических знаний;• формирования умений использовать нормативную, правовую,

справочную документацию и специальную литературу;• развития познавательных способностей и активности обучающихся,

творческой инициативы, ответственности и организованности;• формирования самостоятельности мышления, способностей к

саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации;• развития исследовательских умений.Объем времени, отведенный на внеаудиторную самостоятельную

работу, находит отражение:• в рабочем учебном плане - в целом по теоретическому обучению,

каждому из циклов дисциплин, по каждой дисциплине;• в рабочих программах учебных дисциплин с ориентировочным

распределением по разделам или темам.Методические рекомендации созданы в помощь обучающимся для

работы во внеурочное время.Контроль результатов самостоятельной работы обучающихся может

осуществляться в пределах времени, отведённого на обязательные учебные занятия, и проходить в письменной, устной или смешанной форме, с представлением продукта творческой самостоятельной деятельности обучающегося.

Критериями оценки результатов самостоятельной работы обучающихся могут быть:

• уровень освоения теоретического материала;• умение обучающихся применять теоретические знания при

выполнении практических задач;• обоснованность и чёткость изложения ответа;• оформление продукта творческой самостоятельной деятельности

обучающегося в соответствии с установленными требованиями.Литература для самостоятельной работы обучающимся предлагается

преподавателем, ведущим учебную дисциплину или междисциплинарный курс, исходя из рабочих программ и учебно-методических комплексов по учебным дисциплинам и профессиональным модулям.

Обучающимися могут быть использованы и другие литературные источники, выбранные самостоятельно, а также ресурсы интернета.

4

1. Работа с учебником

Инструкция по выполнению самостоятельной работыС учебником каждый работает в соответствии со своим характером и

привычками. Но несколько общих советов можно дать:• Для общего представления об изучаемом материале лучше всего сначала

прочитать параграф бегло, а потом браться за дело основательно.• Усвоить материал - это совсем не означает заучить его. Надо стараться

понять основную суть.• Определение понятий и формулировки законов должно быть достаточно

точными поэтому, если вы хотите дать их своими словами, то сначала запишите, а затем сравните их с теми, которые в тексте учебника. Выясните, чем отличаются ваши формулировки от формулировок в учебнике. Подумайте, допустимы ли те изменения, которые мы внесли. Не изменили ли они смысл понятия или закона.

• Формулы нужно помнить точно. Если забыть хотя бы один символ в формуле, то она полностью утрачивает смысл.

• Над учебником надо работать с тетрадью и карандашом в руках. Следует выписать в тетрадь основные формулы, строить их графики, внимательно анализировать рисунки.

• Очень важно овладеть не только научными понятиями и законами, но и пониманием того, как эти знания были добыты, какое место они занимают в науке. Полезно, встретившись с новым материалом, задать вопрос: Это, что - экспериментальный факт или теоретический вывод; научное предположение или верная теория, доказанная практикой.

• После работы с учебником следует проверить понимание и запоминание определений основных физических понятий и величин, понимание физического смысла и запоминание формулировок законов. Затем надо обратить внимание на алгебраическую форму записи связи между различными физическими величинами и воспроизвести запись формул по памяти.

• Без самостоятельных наблюдений и опытов овладеть наукой нельзя. Попробуйте самостоятельно придумать и поставить новые опыты, связанные с изученным материалов.Это существенно улучшит ваши знания и умения.

2. Подготовка к семинару

Инструкция по выполнению самостоятельной работы Семинар (от латинского seminarium «рассадник»; переноси «школа»)

— это особая форма учебно-теоретических занятий которая, как правило, служит дополнением к лекционному курсу. Семинар обычно посвящен детальному изучению отдельной темы.

5

Этапы подготовки к семинару:• проанализируйте тему семинара, подумайте о цели и основных

проблемах, вынесенных на обсуждение;• внимательно прочитайте материал, данный преподавателем по этой

теме на лекции;• изучите рекомендованную литературу, делая при этом конспекты

прочитанного или выписки, которые понадобятся при обсуждении на семинаре;

• постарайтесь сформулировать свое мнение по каждому вопросу и аргументировано его обосновать;

• запишите возникшие во время самостоятельной работы с учебниками и научной литературой вопросы, чтобы затем на семинаре получить на них ответы.

3. Подготовка к практическому занятию

Инструкция по выполнению самостоятельной работыПрактическое занятие— это одна из форм учебной работы, которая

ориентирована на закрепление изученного теоретического материала, его более глубокое усвоение и формирование умения применять теоретические знания в практических, прикладных целях. Особое внимание на практических занятиях уделяется выработке учебных или профессиональных навыков. Такие навыки формируются в процессе выполнения конкретных заданий — упражнений, задач и т. п. — под руководством и контролем преподавателя.

Этапы подготовки к практическому занятию:• освежите в памяти теоретические сведения, полученные на лекциях и

в процессе самостоятельной работы,• подберите необходимую учебную и справочную литературу

(сборники содержащие описание и методику выполнения упражнений);• определитесь в целях и специфических особенностях предстоящей

работы;• отберите те сведения, которые позволят в полной мере реализовать

цели и задачи предстоящей практической работы.

4. Подготовка конспекта

Инструкция по выполнению самостоятельной работыХорошо составленный конспект помогает усвоить материал. В

конспекте кратко излагается основная сущность учебного материала, приводятся необходимые обоснования, табличные данные, схемы, эскизы, расчеты и т.п. Конспект целесообразно составлять целиком на тему. При этом имеется возможность всегда дополнять составленный конспект вырезками и выписками из журналов, газет, статей, новых учебников,

6

брошюр по обмену опытом, данных из Интернета и других источников. Таким образом конспект становится сборником необходимых материалов, куда студент вносит всё новое, что он изучил, узнал. Такие конспекты представляют, большую ценность при подготовке к урокам.

1. Первичное ознакомление с материалом изучаемой темы по тексту учебника, картам, дополнительной литературе.

2. Выделение главного в изучаемом материале, составление обычных кратких записей.

3. Подбор к данному тексту опорных сигналов в виде отдельных слов, определённых знаков, графиков, рисунков.

4. Продумывание схематического способа кодирования знаний, использование различного шрифта и т.д.

5. Составление опорного конспекта.

Ф орма контроля и критерии оценки«Отлично» выставляется в случае, если использование учебного

материала полное. Объём конспекта - 1 тетрадная страница на один раздел или один лист формата А 4. Логика изложения (наличие схем, количество смысловых связей между понятиями). Наглядность (наличие рисунков, символов, и пр.; аккуратность выполнения, читаемость конспекта. Грамотность (терминологическая и орфографическая). Отсутствие связанных предложений, только опорные сигналы - слова, словосочетания, символы. Самостоятельность при составлении.

«Х орош о» выставляется в случае, если использование учебного материала не полное. Объём конспекта - 1 тетрадная страница на один раздел или один лист формата А 4. Не достаточно логично изложено (наличие схем, количество смысловых связей между понятиями). Наглядность (наличие рисунков, символов, и пр.; аккуратность выполнения, читаемость конспекта. Грамотность (терминологическая и орфографическая). Отсутствие связанных предложений, только опорные сигналы - слова, словосочетания, символы. Самостоятельность при составлении.

«Удовлетворительно» выставляется в случае, если использование учебного материала не полное. Объём конспекта - менее одной тетрадной страницы на один раздел или один лист формата А 4. Не достаточно логично изложено (наличие схем, количество смысловых связей между понятиями). Наглядность (наличие рисунков, символов, и пр.; аккуратность выполнения, читаемость конспекта. Грамотность (терминологическая и орфографическая). Отсутствие связанных предложений, только опорные сигналы - слова, словосочетания, символы. Самостоятельность при составлении. Не разборчивый почерк.

«Неудовлетворительно» выставляется в случае, еслииспользование учебного материала не полное. Объём конспекта - менее одной тетрадной страницы на один раздел или один лист формата А 4. Отсутствуют схемы, количество смысловых связей между понятиями. Отсутствует наглядность

7

(наличие рисунков, символов, и пр.; аккуратность выполнения, читаемость конспекта. Допущены ошибки терминологические и орфографические. Отсутствие связанных предложений, только опорные сигналы - слова, словосочетания, символы. Не самостоятельность при составлении. Не разборчивый почерк.

5. Составление таблицы

Инструкция по выполнению самостоятельной работыВнимательно прочитать текст лекции или соответствующий параграф

учебника. Продумать «конструкцию» таблицы, расположение порядковых номеров, терминов, примеров и пояснений (и прочего). Начертить таблицу и заполнить ее графы необходимым содержимым.

Ф орма контроля и критерии оценки.«Отлично» выставляется в случае, если таблица выполнена аккуратно,

все примеры номенклатуры указаны верно, примеры соответствуют определению, термины записаны понятно и правильно.

«Х орош о» выставляется в случае, если таблица содержит 1 -2 неточности или недостаточно полно раскрыта тема.

«Удовлетворительно» выставляется в случае, если таблица выполнена неаккуратно, примеры приведены с многочисленными неточностями.

«Неудовлетворительно» выставляется в случае, если таблица выполнена небрежно, примеры с ошибками, названия неполные.

6. Подготовка доклада

Инструкция по выполнению самостоятельной работыДоклад - это устное выступление на заданную тему. В учебных

заведениях время доклада, как правило, составляет 5-15 минут.Цели доклада:1. Научиться убедительно и кратко излагать свои мысли в устной

форме.(Эффективно продавать свой интеллектуальный продукт).2. Донести информацию до слушателя, установить контакт с

аудиторией и получить обратную связь.План и содержание доклада

Важно при подготовке доклада учитывать три его фазы: мотивацию, убеждение, побуждение.

В первой фазе доклада (вступлении)рекомендуется использовать:- риторические вопросы;- актуальные местные события;- личные происшествия;- истории, вызывающие шок;

8

- цитаты, пословицы;- возбуждение воображения;- оптический или акустический эффект;- неожиданное для слушателей начало доклада.Как правило, используется один из перечисленных приёмов. Главная

цель фазы открытия (мотивации) - привлечь внимание слушателей к докладчику, поэтому длительность её минимальна.

Вторая фазасоставляет основное содержание. Ядром хорошего докладаявляется информация. Она должна быть новой и понятной. Важно в процессе доклада не только сообщить информацию, но и убедить слушателей в правильности своей точки зрения. Сообщаемая информация должна раскрывать тему доклада.

Третья фаза (вывод)доклада должна способствовать положительной реакции слушателей. В заключении могут быть использованы:

- обобщение;- прогноз;- цитата;- пожелания;- объявление о продолжении дискуссии;- просьба о предложениях по улучшению;- благодарность за внимание.

Ф ормы контроля и критерии оценокДоклады выполняются на листах формата А4.«Отлично» выставляется в случае, когда объем доклада составляет 5-6

страниц, текст напечатан аккуратно, в соответствии с требованиями, полностью раскрыта тема доклада, информация взята из нескольких источников, доклад написан грамотно, без ошибок. При защите доклада обучающийся продемонстрировал отличное знание материала работы, приводил соответствующие доводы, давал полные развернутые ответы на вопросы и аргументировал их.

«Х орош о» выставляется в случае, когда объем доклада составляет 4-5 страниц, текст напечатан аккуратно, в соответствии с требованиями, встречаются небольшие опечатки, полностью раскрыта тема доклада, информация взята из нескольких источников, реферат написан грамотно. При защите доклада обучающийся продемонстрировал хорошее знание материала работы, приводил соответствующие доводы, но не смог дать полные развернутые ответы на вопросы и привести соответствующие аргументы.

«Удовлетворительно» - в случае, когда объем доклада составляет менее 4 страниц, текст напечатан неаккуратно, много опечаток, тема доклада раскрыта не полностью, информация взята из одного источника, реферат написан с ошибками. При защите доклада обучающийся продемонстрировал слабое знание материала работы, не смог привести соответствующие доводы и аргументировать сои ответы.

9

«Неудовлетворительно» - в случае, когда объем доклада составляет менее 4 страниц, текст напечатан неаккуратно, много опечаток, тема доклада не раскрыта, информация взята из 1 источника, много ошибок в построении предложений. При защите доклада обучающийся продемонстрировал слабое знание материала работы, не смог раскрыть тему не отвечал на вопросы.

7. Подготовка презентации

Инструкция по выполнению самостоятельной работы

Правила оформления компьютерны х презентацийОбщ ие правила дизайнаМногие дизайнеры утверждают, что законов и правил в дизайне нет.

Есть советы, рекомендации, приемы. Дизайн, как всякий вид творчества, искусства, как всякий способ одних людей общаться с другими, как язык, как мысль — обойдет любые правила и законы.

Однако, можно привести определенные рекомендации, которые следует соблюдать, во всяком случае, начинающим дизайнерам, до тех пор, пока они не почувствуют в себе силу и уверенность сочинять собственные правила и рекомендации.

Правила ш рифтового оформленияШрифты с засечками читаются легче, чем гротески (шрифты без

засечек);Для основного текста не рекомендуется использовать прописные

буквы.Шрифтовой контраст можно создать посредством: размера шрифта,

толщины шрифта, начертания, формы, направления и цвета.Правила выбора цветовой гаммыЦветовая гамма должна состоять не более чем из двух-трех цветов.

Существуют не сочетаемые комбинации цветов.Черный цвет имеет негативный (мрачный) подтекст.Белый текст на черном фоне читается плохо (инверсия плохо читается).

Правила общей композицииНа полосе не должно быть больше семи значимых объектов, так как

человек не в состоянии запомнить за один раз более семи пунктов чего-либо.Логотип на полосе должен располагаться справа внизу (слева наверху и

т. д.).Логотип должен быть простой и лаконичной формы.Дизайн должен быть простым, а текст — коротким.Изображения домашних животных, детей, женщин и т.д. являются

положительными образами.Крупные объекты в составе любой композиции смотрятся довольно

неважно. Аршинные буквы в заголовках, кнопки навигации высотой в 40 пикселей, верстка в одну колонку шириной в 600 точек, разделитель одного

10

цвета, растянутый на весь экран — все это придает дизайну непрофессиональный вид.

Не стоит забывать, что на каждое подобное утверждение есть сотни примеров, доказывающих обратное. Поэтому приведенные утверждения нельзя назвать общими и универсальными правилами дизайна, они верны лишь в определенных случаях.

Рекомендации по дизайну презентацииЧтобы презентация хорошо воспринималась слушателями и не

вызывала отрицательных эмоций (подсознательных или вполне осознанных), необходимо соблюдать правила ее оформления.

Презентация предполагает сочетание информации различных типов: текста, графических изображений, музыкальных и звуковых эффектов, анимации и видеофрагментов. Поэтому необходимо учитывать специфику комбинирования фрагментов информации различных типов. Кроме того, оформление и демонстрация каждого из перечисленных типов информации такжеподчиняется определенным правилам. Так, например, для текстовой информации важен выбор шрифта, для графической — яркость и насыщенность цвета, для наилучшего их совместного восприятия необходимо оптимальное взаиморасположение на слайде.

Рекомендации по оформлению и представлению на экране материалов различного вида.

Текстовая информацияразмер шрифта: 24-54 пункта (заголовок), 18-36 пунктов (обычный

текст);цвет шрифта и цвет фона должны контрастировать (текст должен

хорошо читаться), но не резать глаза;тип шрифта: для основного текста гладкий шрифт без засечек (Arial,

Tahoma, Verdana), для заголовка можно использовать декоративный шрифт, если он хорошо читаем;

курсив, подчеркивание, жирный шрифт, прописные буквы рекомендуется использовать только для смыслового выделения фрагмента текста.

Графическая информациярисунки, фотографии, диаграммы призваны дополнить текстовую

информацию или передать ее в более наглядном виде;желательно избегать в презентации рисунков, не несущих смысловой

нагрузки, если они не являются частью стилевого оформления;цвет графических изображений не должен резко контрастировать с

общим стилевым оформлением слайда;иллюстрации рекомендуется сопровождать пояснительным текстом; если графическое изображение используется в качестве фона, то текст

на этом фоне должен быть хорошо читаем.

11

АнимацияАнимационные эффекты используются для привлечения внимания

слушателей или для демонстрации динамики развития какого-либо процесса. В этих случаях использование анимации оправдано, но не стоит чрезмерно насыщать презентацию такими эффектами, иначе это вызовет негативную реакцию аудитории.

Звукзвуковое сопровождение должно отражать суть или подчеркивать

особенность темы слайда, презентации;необходимо выбрать оптимальную громкость, чтобы звук был слышен

всем слушателям, но не был оглушительным;если это фоновая музыка, то она должна не отвлекать внимание

слушателей и не заглушать слова докладчика. Чтобы все материалы слайда воспринимались целостно, и не возникало диссонанса между отдельными его фрагментами, необходимо учитывать общие правила оформления презентации.

Единое стилевое оформлениестиль может включать: определенный шрифт (гарнитура и цвет), цвет

фона или фоновый рисунок, декоративный элемент небольшого размера и др.;

не рекомендуется использовать в стилевом оформлении презентации более 3 цветов и более 3 типов шрифта;

оформление слайда не должно отвлекать внимание слушателей от его содержательной части;

все слайды презентации должны быть выдержаны в одном стиле;Содержание и расположение информационных блоков на слайде информационных блоков не должно быть слишком много (3-6); рекомендуемый размер одного информационного блока — не более 1/2

размера слайда;желательно присутствие на странице блоков с разнотипной

информацией (текст, графики, диаграммы, таблицы, рисунки), дополняющей друг друга;

ключевые слова в информационном блоке необходимо выделить; информационные блоки лучше располагать горизонтально, связанные

по смыслу блоки — слева направо;наиболее важную информацию следует поместить в центр слайда; логика предъявления информации на слайдах и в презентации должна

соответствовать логике ее изложения. Помимо правильного расположения текстовых блоков, нужно не забывать и об их содержании — тексте. В нем ни в коем случае не должно содержаться орфографических ошибок. Также следует учитывать общие правила оформления текста.

После создания презентациииее оформления, необходимо отрепетировать ее показ и свое выступление, проверить, как будет выглядеть презентация в целом (на экране компьютера или проекционном экране),

12

насколько скоро и адекватно она воспринимается из разных мест аудитории, при разном освещении, шумовом сопровождении, в обстановке, максимально приближенной к реальным условиям выступления.

Рекомендации к содержанию презентацииНа слайдах презентации не пишется весь тот текст, который

произносит докладчик (во-первых, в этом случае сам факт произнесения доклада теряет смысл, так как аудитория обычно умеет читать, а во-вторых, длинный текст на слайде плохо воспринимается и только мешает слушанию и пониманию смысла).

Текст на слайде должен содержать только ключевые фразы (слова), которые докладчик развивает и комментирует устно.

Если презентация имеет характер игры, викторины, или какой-либо другой, который требует активного участия аудитории, то на каждом слайде должен быть текст только одного шага, или эти «шаги» должны появляться на экране постепенно.

Рекомендации к оформлениюсодержания презентацииНа первом слайде пишется не только название презентации, но и имена

авторов (в ученическом случае - и руководителя проекта) и дата создания.Каждая прямая цитата, которую комментирует или даже просто

приводит докладчик (будь то эпиграф или цитаты по ходу доклада) размещается на отдельном слайде, обязательно с полной подписью автора (имя и фамилия, инициалы и фамилия, но ни в коем случае - одна фамилия, исключение - псевдонимы). Допустимый вариант - две небольшие цитаты на одну тему на одном слайде, но не больше.

Все схемы и графики должны иметь названия, отражающие их содержание.

Подбор шрифтов и художественное оформление слайдов должны не только соответствовать содержанию, но и учитывать восприятие аудитории. Например, сложные рисованные шрифты часто трудно читаются, тогда как содержание слайда должно восприниматься все сразу - одним взглядом.

В конце презентации представляется список использованных источников, оформленный по правилам библиографического описания.

Правила хорошего тона требуют, чтобы последний слайд содержал выражение благодарности тем, кто прямо или косвенно помогал в работе над презентацией.

Кино и видеоматериалы оформляются титрами, в которых указываются:название фильма (репортажа), год и место выпуска, авторы идеи и сценария, руководитель проекта.

13

Правила компьютерного набора текста при создании презентацийОбщ ие правила оформления текстаТочка в конце заголовка и подзаголовках, выключенных отдельной

строкой, не ставится. Если заголовок состоит из нескольких предложений, то точка не ставится после последнего из них.

Порядковый номер всех видов заголовков, набираемый в одной строке с текстом, должен быть отделен пробелом независимо от того, есть ли после номера точка.

Точка не ставится в конце подрисуночной подписи, в заголовке таблицы и внутри нее. При отделении десятичных долей от целых чисел лучше ставить запятую (0,158), а не точку (0.158).

Перед знаком препинания пробел не ставится (исключение составляют открывающиеся парные знаки, например, скобки, кавычки). После знака препинания пробел обязателен (если этот знак не стоит в конце абзаца). Тире выделяется пробелами с двух сторон. Дефис пробелами не выделяется.

Числительные порядковые и количественные выражаются в простом тексте словами (обычно, однозначные при наличии сокращенных наименований), цифрами (многозначные и при наличии сокращенных обозначений) и смешанным способом (после десятков тысяч часто применяются выражения типа 25 тыс.), числительные в косвенных падежах набирают с так называемыми наращениями (6-го). В наборе встречаются арабские и римские цифры.

Индексы и показатели между собой и от предшествующих и последующих элементов набора не должны быть разделены пробелом (Н2О, м3/с)

Нельзя набирать в разных строках фамилии и инициалы, к ним относящиеся, а также отделять один инициал от другого.

Не следует оставлять в конце строки предлоги и союзы (из одной-трех букв), начинающие предложение, а также однобуквенные союзы и предлоги в середине предложений.

Последняя строка в абзаце не должна быть слишком короткой. Надо стараться избегать оставления в строке или переноса двух букв. Текст концевой строки должен быть в 1,5-2 раза больше размера абзацного отступа, т.е. содержать не менее 5-7 букв. Если этого не получается, необходимо вогнать остаток текста в предыдущие строки или выгнать из них часть текста. Это правило не относится к концевым строкам в математических рассуждениях, когда текст может быть совсем коротким, например "и", "или" и т.п.

Знаки процента (% ) применяют только с относящимися к ним числами, от которых они не отделяются.

Знаки градуса (°), минуты ('), секунды ('') от предыдущих чисел не должны быть отделены пробелом, а от последующих чисел должны быть отделены пробелом (10° 15').

14

Формулы в текстовых строках набора научно-технических текстов должны быть отделены от текста на пробел или на двойной пробел. Формулы, следующие в текстовой строке одна за другой, должны быть отделены друг от друга удвоенными пробелами.

Знаки номера (№) и параграфа (§) применяют только с относящимися к ним числами и отделяются пробелом от них и от остального текста с двух сторон. Сдвоенные знаки набираются вплотную друг к другу. Если к знаку относится несколько чисел, то между собой они отделяются пробелами. Нельзя в разных строках набирать знаки и относящиеся к ним цифры.

В русском языке различают следующие виды сокращений: буквенная аббревиатура — сокращенное слово, составленное из первых букв слов, входящих в полное название (СССР, НДР, РФ, вуз); сложносокращенные слова, составленные из частей сокращенных слов (колхоз) или усеченных и полных слов (Моссовет), и графические сокращения по начальным буквам (г. — год), по частям слов (см. — смотри), по характерным буквам (млрд — миллиард), а также по начальным и конечным буквам (ф-ка — фабрика). Кроме того, в текстах применяют буквенные обозначения единиц физических величин. Все буквенные аббревиатуры набирают прямым шрифтом без точек и без разбивки между буквами, сложносокращенные слова и графические сокращения набирают как обычный текст. В выделенных шрифтами текстах все эти сокращения набирают тем же, выделительным шрифтом.

Специфические требования при компьютерном наборе текстаПри наборе текста одного абзаца клавиша «Перевод строки» («Enter»)

нажимается только в конце этого абзаца.Между словами нужно ставить ровно один пробел. Равномерное

распределение слов в строке текстовым процессором выполняется автоматически. Абзацный отступ (красную строку) устанавливать с помощью пробелов запрещено; для этого используются возможности текстового процессора (например, можно использовать бегунки на горизонтальной полосе прокрутки или табулятор).

Знак неразрывный пробел (Вставка ^ Символ, вкладка Специальные знаки или комбинация клавиш CTRL+SHIFT+пробел) препятствует символам, между которыми он поставлен, располагаться на разных строчках, и сохраняется фиксированным при любом выравнивании абзаца (не может увеличиваться, в отличие от обычного пробела).

Выделением называют особое оформление отдельных слов или частей текста, которое подчеркивает их значение. Все виды выделений делят на три группы:

шрифтовые выделения, выполняемые путем замены характера или начертания шрифта, — набор курсивом, полужирным, жирным, полужирным курсивом, прописными или капительными буквами, шрифтами другого кегля или даже другой гарнитуры;

нешрифтовые выделения, выполняемые путем изменения расстояний между буквами (набор вразрядку) или между строками набора

15

(дополнительные отбивки отдельных строк), изменения формата набора (набор «в красную строку», набор с одно- или двусторонними втяжками), подчеркивания текста тонкими или полужирными линейками или заключения отдельных частей текста в рамки и т. п.;

комбинированные выделения, выполняемые одновременно двумя способами, например, набор полужирным вразрядку, набор полужирным шрифтом увеличенного кегля с выключкой в «красную строку» и дополнительными отбивками, набор курсивом с заключением текста в рамку и т. п. Шрифтовые выделения (курсивом, полужирным, жирным) должны быть выполнены шрифтами той же гарнитуры и кегля, что и основной текст. Знаки препинания, следующие за выделенной частью текста, должны быть набраны шрифтом основного текста.

В текстовом наборе абзацные отступы должны быть строго одинаковыми во всем документе, независимо от кегля набора отдельных частей текста.

Знак тире, или длинное тире, может быть набрано с помощью одновременного нажатия комбинации клавиш CTRL+SHIFT+серый минус (серый минус располагается на цифровой клавиатуре, справа) или Вставка ^ Символ, вкладка Специальные знаки.

Общ ие правила оформления презентации ДизайнВыберите готовый дизайн или создайте свой так, чтобы он

соответствовал Вашей теме, не отвлекал слушателей.Титульный лист

1. Название презентации.2. Автор: ФИО, место учебы, год.3. Логотип (по желанию).

Второй слайд «Содержание» - список основных вопросов, рассматриваемых в содержании. Лучше оформить в виде гиперссылок (для интерактивности презентации).

Заголовки1. Все заголовки выполнены в едином стиле (цвет, шрифт, размер, начертание).2. В конце точка НИКОГДА не ставится (наверное, можно сделать исключение только для учеников начальной школы).3. Анимация, как правило, не применяется.

Текст1. Форматируется по ширине.2. Размер и цвет шрифта подбираются так, чтобы было хорошо видно.3. Подчеркивание НЕ используется, т.к. оно в документе указывает на гиперссылку.4. Элементы списка отделяются точкой с запятой. В конце обязательно ставится точка.

16

Обратите внимание, что после двоеточия все элементы списка пишутся с маленькой буквы!Если список начинается сразу, то первый элемент записывается с большой буквы, далее - маленькими.5. На схемах текст лучше форматировать по центру.6. В таблицах - по усмотрению автора.7. Обычный текст пишется без использования маркеров списка:8. Выделяйте главное в тексте другим цветом (желательно все в едином стиле).

Графика1. Используйте четкие изображения с хорошим качеством.2. Лучше растровые изображения (в формате jpg) заранее обработать в любом графическом редакторе для уменьшения размера файла. Если такой возможности нет, используйте панель «Настройка изображения».

АнимацияИспользуйте только в том случае, когда это действительно необходимо.

Лишняя анимация только отвлекает.Список литературы

1. Сначала указывается фамилия (в алфавитном порядке) и инициалы.2. Пишется название источника (без кавычек).3. Ставится тире и указывается место издания.4. Через двоеточие указывается издательство (без кавычек).5. После запятой пишется год издания.

Пример:1. Петров А.В. Экономика в школе. - М.: Просвещение, 2001.2. Сидоров Т.В. Экономика транспорта. - Спб.: Аврора, 2000.3. Щукина И.Г. Люди и машины. - Саратов: Лицей, 2006.

Интернет-ресурсыуказывается полный адрес в виде гиперссылки, например: http://it-

n.ru/board.aspx?cat_no=6361&tmpl=Thread&BoardId=6364&ThreadId=9887&pa ge=0

Для правильной работы презентации все вложенные файлы (документы, видео, звук и пр.) размещайте в ту же папку, что и презентацию.

Общий порядок слайдов Титульный;План презентации (практика показывает, что 5-6 пунктов — это максимум, к которому не следует стремиться);Основная часть;Заключение (выводы);Последний слайд (любое из перечисленного):

Спасибо за внимание;Вопросы;Подпись;Контакты.

17

Ф орма контроля и критерии оценкиПрезентацию необходимо предоставить преподавателю для проверки в

электронном виде.«Отлично» выставляется в случае, если презентация выполнена

аккуратно, примеры проиллюстрированы, полностью освещены все обозначенные вопросы.

«Х орош о» выставляется в случае, если работа содержит небольшие неточности .

«Удовлетворительно» - в случае, если презентация выполнена неаккуратно, не полностью освещены заданные вопросы.

«Неудовлетворительно» - работа выполнена небрежно, не соблюдена структура, отсутствуют иллюстрации.

8. Написание реферата

Инструкция по выполнению самостоятельной работыРеф ерат- краткое изложение в письменном виде или в форме

публичного доклада содержания научного труда или трудов, обзор литературы по теме. Изложение материала носит проблемно-тематический характер, показываются различные точки зрения, а также собственные взгляды на проблему. Содержание реферата должно быть логичным. Объём реферата, как правило, от 5 до 15 машинописных страниц. Перед началом работы над рефератом следует наметить план и подобрать литературу. Прежде всего, следует пользоваться литературой, рекомендованной учебной программой, а затем расширить список источников, включая и использование специальных журналов, где имеется новейшая научная информация.

Структура реферата:Титульный лист.Оглавление.Введение (дается постановка вопроса, объясняется выбор темы, её

значимость и актуальность, указываются цель и задачи реферата, даётся характеристика используемой литературы).

Основная часть (состоит из глав и подглав, которые раскрывают отдельную проблему или одну из её сторон и логически являются продолжением друг друга).

Заключение (подводятся итоги и даются обобщённые основные выводы по теме реферата, делаются рекомендации).

Список литературы.В списке литературы должно быть не менее 8-10 различных

источников.Допускается включение таблиц, графиков, схем, как в основном тексте,

так и в качестве приложений.

18

Работа над введениемВведение - одна из составных и важных частей реферата. При работе

над введением необходимо опираться на навыки, приобретенные при написании изложений и сочинений. В объеме реферата введение, как правило, составляет 1 -2 машинописные страницы. Введение обычно содержит вступление, обоснование актуальности выбранной темы, формулировку цели и задач реферата, краткий обзор литературы и источников по проблеме, историю вопроса и вывод.

Вступление - это 1-2 абзаца, необходимые для начала. Желательно, чтобы вступление было ярким, интригующим, проблемным, а, возможно, тема реферата потребует того, чтобы начать, например, с изложения какого - то определения, типа «политические отношения - это ...».

Обоснование актуальности выбранной темы - это, прежде всего, ответ на вопрос: «почему я выбрал(а) эту тему реферата, чем она меня заинтересовала?». Можно и нужно связать тему реферата с современностью.

Краткий обзор литературы и источников по проблеме - в этой части работы над введением необходимо охарактеризовать основные источники и литературу, с которой автор работал, оценить ее полезность, доступность, высказать отношение к этим книгам.

История вопроса - это краткое освещение того круга представлений, которые сложились в науке по данной проблеме и стали автору известны.

Вывод - это обобщение, которое необходимо делать при завершении работы над введением.

Требования к содержанию рефератаСодержание реферата должно соответствовать теме, полно ее

раскрывать. Все рассуждения нужно аргументировать. Реферат показывает личное отношение автора к излагаемому. Следует стремиться к тому, чтобы изложение было ясным, простым, точным и при этом выразительным. При изложении материала необходимо соблюдать общепринятые правила:

— не рекомендуется вести повествование от первого лица единственного числа (такие утверждения лучше выражать в безличной форме);

— при упоминании в тексте фамилий обязательно ставить инициалы перед фамилией;

— каждая глава (параграф) начинается с новой строки;— при изложении различных точек зрения и научных положений,

цитат, выдержек из литературы, необходимо указывать источники, т.е. приводить ссылки.

Работа над заключениемЗаключение - самостоятельная часть реферата. Оно не должно быть

переложением содержания работы. Заключение должно содержать:— основные выводы в сжатой форме;— оценку полноты и глубины решения тех вопросов, которые вставали

в процессе изучения темы.

19

Оформление приложенияПриложение помещается после заключения и включает материалы,

дополняющие основной текст реферата. Это могут быть таблицы, схемы, фрагменты источников, иллюстрации, фотоматериалы, словарь терминов, афоризмы, изречения, рисунки и т.д.

Правила оформления библиографических списковСписок литературы помещается в конце реферата и

пронумеровывается.Сведения о книгах в списке литературы излагаются в алфавитном

порядке. Сведения о книге даются в следующем порядке: автор (фамилия, инициалы); название, подзаголовок;выходные данные (место издания, издательство и год издания).Пример: Анфимова Н.А. Кулинария. Учебник. М.: Просвещение, 2009.

Если речь идет о статье, напечатанной в сборнике, журнале или газете, то после автора и названия публикации указываются: название сборника, журнала, газеты; место издания и год издания (если сборник); год, номер журнала или дата выхода газеты, страница.Пример: Пленков О.Ю. Ресторанный бизнес в России // Ресторанные ведомости. - 2012. - №1. - С.10-16.

В библиографическом описании не разрешается сокращать фамилии авторов, а также заглавия книг и статей. Сокращаются только названия городов: Москва (М.), Санкт-Петербург (СПб.). Названия остальных городов пишутся без сокращений.

Если книга издавалась параллельно в двух городах, названия их приводятся через точку с запятой.

Требования к оформлению рефератаТекст работы пишется разборчиво на одной стороне листа (формата

А4) с широкими полями слева, страницы пронумеровываются. При изложении материала нужно четко выделять отдельные части (абзацы), главы и параграфы начинать с новой страницы, следует избегать сокращения слов.

План-график работы над рефератом

Этапыработы

Содержание работы обучающ егося

Формаотчетностиобучающ егося

Содержаниеработыпреподавателя

1. Вводный Выбор темы реферата, поиск и ознакомление с литературой, формулирование цели и задач работы, составление плана

Вариант плана, цель и задачи работы, список литературы

Консультация, коррекция деятельности, проверка плана реферата и списка литературы

20

2.Основной Работа над основным содержанием и заключением реферата

Краткие тезисы, подробный план работы, черновые записи

Устноесобеседование,индивидуальнаяконсультация,коррекция

3.Заключительный

Оформление реферата Завершенныйреферат

Проверка, рецензирование работы, возврат реферата

4. Защита реферата

Подготовка к защите Защита реферата Принятие защиты реферата

Тематика реферативных и творческих работ предлагается преподавателем, ведущим учебную дисциплину или междисциплинарный курс.

Ф орма контроля и критерии оценки реферата.При оценке учитывается соответствие теме; глубина проработки

материала; правильность и полнота использования источников; владение терминологией и культурой речи; оформление реферата. Рефераты могут быть представлены на теоретических занятиях в виде выступлений.

«Отлично» выставляется в случае, когда объем реферата составляет 10-12страниц, текст напечатан аккуратно, в соответствии с требованиями, полностью раскрыта тема реферата, отражена точка зрении автора на рассматриваемую проблему, реферат написан грамотно, без ошибок. При защите реферата студент продемонстрировал отличное знание материала работы, приводил соответствующие доводы, давал полные развернутые ответы на вопросы и аргументировал их.

«Х орош о» выставляется в случае, когда объем реферата составляет 8­10 страниц, текст напечатан аккуратно, в соответствии с требованиями, встречаются небольшие опечатки, полностью раскрыта тема реферата, отражена точка зрения автора на рассматриваемую проблему, реферат написан грамотно. При защите реферата студент продемонстрировал хорошее знание материала работы, приводил соответствующие доводы, но не смог дать полные развернутые ответы на вопросы и привести соответствующие аргументы.

«Удовлетворительно» - в случае, когда объем реферата составляет менее 8 страниц, текст напечатан неаккуратно, много опечаток, тема реферата раскрыта неполностью, не отражена точка зрения автора на рассматриваемую проблему, реферат написан с ошибками. При защите реферата студент продемонстрировал слабое знание материала работы, не смог привести соответствующие доводы и аргументировать на свои ответы.

«Неудовлетворительно» - в случае, когда объем реферата составляет менее 5страниц, текст напечатан неаккуратно, много опечаток, тема реферата не раскрыта, не отражена точка зрения автора на рассматриваемую проблему,

21

много ошибок в построении предложений. При защите реферата студент продемонстрировал слабое знание материала работы, не смог раскрыть тему не отвечал на вопросы.

9. Решение задач

Инструкция по выполнению самостоятельной работыМожно предположить следующий общий методический подход к

решению задач:- внимательно прочитайте условие задачи;- если позволяет характер задачи, обязательно сделайте схематический

рисунок, поясняющий условие;- завершая анализ условия задачи, сделайте его краткую запись,

обращая серьезное внимание на символы заданных величин и их индексы. Отразите в записи и некоторые косвенные сведения (например, v0 = 0, f mp = 0,T = const и т.д.

- сделайте анализ физической ситуации, описываемой в задаче, с целью выбора оптимального метода решения;

- в ходе анализа составьте систему уравнений в виде определяющих формул и физических законов, связывающих искомую величину с заданными в задаче и неизвестными величинами. Число уравнений должно быть не меньше числа неизвестных;

- решите полученную систему уравнений в общем виде относительно искомой величины, связав её формулой с заданными в задаче величинами. Решение в общем виде позволяет выяснить характер зависимости искомой величины от заданных. Если система очень громоздка, можно упростить её решение путем частичной подстановки числовых значений и промежуточных вычислений;

- проверьте решение в общем виде на соответствие единицы, полученной путём замены физических величин, входящих в общую формулу, обозначениями их единиц. Несоответствие полученного изменения единицы искомой величины является явным признаком ошибочного решения;

- вычислите искомую величину, подставляя в расчетную формулу числовые значения величин в СИ. Исключения допускаются в случае однородных величин, стоящих в числителе и знаменателе;

- при вычислении необходимо руководствоваться правилами действий с приближенными числами: точность вычислений должна соответствовать точности исходных данных. Решение в общем виде позволяет избежать накопление погрешностей, что неизбежно при вычислении промежуточных значений;

- оцените правдоподобность полученного числового ответа;- рассмотрите варианты решений задачи. Это способствует выработке

навыков аналитического мышления, формированию изобретательности.

22

Задачи для самостоятельного решения обучающимся предлагаются преподавателем, ведущим учебную дисциплину или междисциплинарный курс.

Ф орма контроля и критерии оценки.«Отлично» выставляется в случае, когда задача решена верно, все действия

записаны точно, без помарок.«Х орош о» выставляется в случае, когда задача решена верно, но в действиях допущены неточности.«Удовлетворительно» выставляется в случае, когда задача решена с ошибками и помарками.«Неудовлетворительно»выставляется в случае, когда задача решена с ошибками, ответ не получен.

10. Составление кроссворда по выбранной теме

Инструкция по выполнению самостоятельной работыПравила составления кроссвордов:1.Составьте словник, то есть список (перечень) слов, которые должны

войти в кроссворд.2.Для этого найдите в своем конспекте основные понятия и

подчеркните их.3.Выпишите эти понятия на отдельный лист, желательно в клетку.4.Подчеркните в них одинаковые повторяющиеся буквы.5.Расположите слова так, чтобы повторяющиеся буквы одновременно

использовались в словах, написанных по вертикали и по горизонтали.6.Пронумеруйте слова.7.В соответствии с номерами выпишите определения понятий.8.Начертите сетку кроссворда (количество клеток должно

соответствовать количеству букв в слове).9.Разметьте сетку кроссворда цифрами (номерами понятий). Ю.Оформите кроссворд. Подпишите его.11.Слова-задания - это существительные в единственном числе,

именительном падеже;12.Слов должно быть достаточно много (как правило, более 20), чтобы

как можно полнее охватить всю тему (допустимо использование терминов из других тем и разделов, логически связанных с изучаемой темой).

Оформление кроссворда состоит из трех частей: заданий, кроссворда с решением, того же кроссворда без решения.

Кроссворд оформляется на листах формата А 4.

Ф орма контроля и критерии оценкиСоставленные кроссворды проверяются и оцениваются с учетом

смыслового содержания; грамотности; выполнения правил составления

23

кроссвордов; эстетичности. При оценке кроссворда так же учитывается точность формулировок. Если определение понятий записано неточно, оценка снижается. Преподаватель анализирует ошибки, допущенные обучающимся в процессе работы над дидактическим кроссвордом, и включает понятия, требующие дальнейшего запоминания, в следующие варианты кроссворда для решения.

Работа по составлению кроссвордов завершается конкурсом кроссвордов.

«Отлично» выставляется в случае полного выполнения работы, отсутствия ошибок, грамотного текста, точность формулировок и т.д.;

«Х орош о» выставляется в случае полного выполнения всего объема работ при наличии несущественных ошибок, не повлиявших на общий результат работы и т.д.;

«Удовлетворительно» выставляется в случае недостаточно полного выполнения всех разделов работы, при наличии ошибок, которые не оказали существенного влияния на окончательный результат, при очень ограниченном объеме используемых понятий и т.д.;

«Неудовлетворительно» выставляется в случае, если допущены принципиальные ошибки, работа выполнена крайне небрежно и т.д.

24

Заключение

Определение объема времени, затрачиваемого обучающимися на самостоятельное выполнение предлагаемых работ, определяется через наблюдение за подготовкой выполнения задания, опроса обучающихся о затратах времени на то или иное задание, хронометража собственных затрат преподавателя с поправкой на уровень знаний и умений обучающихся.

Современный поток информации требует от обучающихся новых видов умений и навыков работы с ней, которые необходимо сформировать к началу профессиональной деятельности.

При выполнении заданий самостоятельной работы обучающимсяпредстоит:

- самостоятельная формулировка темы задания (при необходимости);- сбор и изучение информации;- анализ, систематизация и трансформация информации;- отображение информации в необходимой форме;- консультация у преподавателя;- коррекция поиска информации и плана действий (при

необходимости);- оформление работы;- поиск способа подачи выполненного задания;- представление работы на оценку преподавателя или

группы.Выполняя каждое задание и самостоятельную работу в целом,

обучающимся необходимо ответить на следующие вопросы: ради чего? (мотив), что должны приобрести? (цель), с помощью чего? (средства), что приобрели? (результат).

В связи с этим можно сформулировать общие правила по планированию и реализации самостоятельной учебной деятельности:

1. Прежде чем выполнить любое дело, чётко сформулируйте цель предстоящей деятельности.

2. Подумайте и до конца осознайте, почему вы будете это делать, для чего это нужно.

3. Оцените и проанализируйте возможные пути достижения цели. Постарайтесь учесть все варианты.

4. Выберите наилучший вариант, взвесив все условия.5. Наметьте промежуточные этапы предстоящей работы,

определите время выполнения каждого этапа.6. Во время реализации плана постоянно контролируйте себя и

свою деятельность. Корректируйте работу с учётом получаемых результатов, т. е. осуществляйте и используйте обратную связь.

7. По окончании работы проанализируйте её результаты,оцените степень их совпадения с поставленной целью. Учтите сделанные ошибки, чтобы их избежать в будущем.

25

Выполнение заданий внеаудиторной самостоятельной работы позволит развить и закрепить необходимые знания для своей будущей специальности или профессии.

Список использованных источников

1. Георге, И.В. Некоторые аспекты разработки программы самостоятельной работы студентов, направленной на формирование профессиональной компетентности // Среднее профессиональное образование. - 2011. - № 3.

2. Горбунова, Л.Н. Организация самостоятельной работы студентов СПО // Среднее профессиональное образование. - 2007. - № 8.

3. Методическое пособие по организации самостоятельной работы студентов / Сост. В.И.Медведева. - Смоленск: СПЭК, 2010.

4. Тришина, Е.С. Организация самостоятельной работы студентов как средство повышения профессиональной компетентности будущих педагогов // Среднее профессиональное образование. - 2010. - № 9.

5. Проектирование оценочных средств компетентносто­ориентированных основных образовательных программ для реализации уровневого профессионально-педагогического образования: метод. пособие для организаторов проектных работ и профессорско-преподавательских коллективов вузов/ авт.-сост. И.В. Осипова, О.В. Тарасюк, А.М. Старкова. - Екатеринбург: ФГАОУ ВПО «Рос. гос. проф.-пед. ун-т». - 2010.

6. Ведерникова, Е.Г. Развитие познавательной активности студентов в процессе обучения и внеаудиторной деятельности через активизацию мышления / Е.Г. Ведерникова- М.: Эксмо, - 2012

7. Марохонько, О.И. Организация самостоятельной работы студентов / О.И. Марохонько - М.: Эксмо-Пресс, - 2010.

8. Гойдина, Н.А. Организация самостоятельной аудиторной работы студентов / Н.А. Г ойдина - М: Эксмо- Пресс,- 2009.

26

МИНОБРНАУКИ РОССИИФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования «Ухтинский государственный технический университет»

Индустриальный институт (СПО)

Приложение 4

КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

ДисциплинаСпециальность

История15.01.05. Сварщик (ручной и частично механизированной сварки (наплавки))

База подготовки

Форма обучения:

Базовая

очная

Автор Г.В.Сувака, преподаватель

Комплект для контроля результатов обучения дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия»

1. Формы контроля знаний обучающихся:

№ наименование форма

1 входной контроль Тестирование, контрольная работа

2 текущий контроль устный опрос, отчет при выполнении лабораторных и практических

работвыполнение, контрольных работ, тестов3 Промежуточная

аттестацияЭкзамен

2. Критерии для выставления оценок при выполнении контрольных работ и тестов:

Оценка «5» 95-100% правильных ответов Оценка «4» 80-94% правильных ответов Оценка «3» 60-79% правильных ответов Оценка «2» менее 60% правильных ответов

3. Задания для входного контроля базовых знаний за курс основного общего образования

1 вариант 1. Решить уравнение:

х — 1 2 х — 5а) 4 3б) 5х - 4х = 0

2. Упроститьа) 9(в+2)2 - (3в-1)(3в+1)3 2 / '■у 2 4 \б) а в ( -3 а в )

3. Вычислить:32

Vs + (Л — 46 )л/з

2 вариант1. Решить уравнение:

а) 3 х2 - 12 = 0 в) 2 х2 + 3х = 0

2. Вычислить: г 1 . 2 ^ 62 - — 1­

v 4 3 у

3. Вычислить:

7

6 2 5 3

12 5 3

5

5

1

4. Построить график функции:а) у = 2х - 3б) у = -2х2 + 4х + 6

Дополнительное задание: 1. Упростить: ( х 4

)х + 4

2.

4. Построить график функции: а) у = - х2 - 1

4в) у = х

3х — 5 х + 4 х +10 х — 5

2

Текущий контроль по дисциплине Типовые задания для оценки усвоения учебной дисциплины.Стартовая диагностика подготовки обучающихся по школьному курсу математики

1 вариантА1. Решить уравнение х (х - 5) = - 4а) 4 и 1; б) 4,5; в) 4; г) - 4 и 1; д) 1.А2. Решите неравенство 6х - 3 < - 17 - (- х - 5)

А3. Вычислить Г1 1 .................. 23v 1:(1 — 0,2) — 3 — .5 6 J 24

а) 3Ц ; б) 3,9; в) — 3 ^ ; г) 4; д) 2±±.

a5 • a 8А4. Представить в виде степени и найти значение выражения —2 при а = 6.

а) 6; б) —1 ; в) 4; г) - 6; д) ^6 6

А5. Построить график функции у = 2х + 1.В1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10 см, а один из катетов 6 см. Найти второй катет.

а) 4 см; б) 16 см; в) 8 см; г) V136 см; д) 10 см.В2. Банк выплачивает ежегодно 8% от суммы вклада. Какой станет сумма через год, если первоначальный вклад составлял 7600 рублей?

а) 8208 руб.; б) 608 руб.; в) 8200 руб.; г) 7600 руб.; д) 8000 руб.а a — b

С. Упростить выражение ;---------т .a —b a + b

2 вариантА1. Решить уравнение х (х - 4) = - 3а) 3 и 1; б) 4,5; в) 3; г) - 3 и 1; д) 1.А2. Решите неравенство: 5 • (х + 4) < 2 • (4х - 5)а)х< -10 ; б) х< - 4 ; в) х> - 10; г) х> 10; д) х< - 1,8.л. ^ ,5 2 1 , 8 ,А3. Вычислить (— : ------------ ) :— Ы.7 3 4 2 11

3 5

а) 15; б) 1; в) — 3 — ; г) - 1; д) 2— .14 12 12

7 — 3c • сА4. Представить в виде степени и найти значение выражения ~в при с = 4.

а) 16; б) —77; в) 4; г) - 16; д) ^ .16 16А5. Построить график функции у = - 2х + 1.В1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10 см, а один из катетов 8 см. Найти второй катет.

3

а) 4 см; б) 6 см; в) 8 см; г) V136 см; д) 10 см.В2. Банк выплачивает ежегодно 8% от суммы вклада. Какой станет сумма черезгод, если первоначальный вклад составлял 8600 рублей?

а) 8208 руб.; б) 688 руб.; в) 9288 руб.; г) 8600 руб.; д) 8000 руб.x — у у

С. Упростить выражение:------------------ .x + у x — у

Контрольная работа № 1 Вычисление значений выражений. Уравнения и неравенства.

1 вариант7 11

0,725 + 0,6 + — + —А1. Вычислите:-------------------- —---- 2 0 - • 0,25 .

0,128 • 6 - — 0,0345:4 25

л л 4 у 1 3 у I 2А2. Решить уравнения:1) 2x + 5x — 1 = 0 ;2) 3x = X ; 3) —- --------- — = 1.

2 X — 1В1. Решить неравенства:1) 4 — 2x < 1 — (4x — 1) ;2 )-------- > 0 .

5 — x|2x + 5 y = 15

В2. Решить систему уравнений: i _ _ .[ x — 2 y = 3

С.Решите уравнения:1) 5 •(x —1) = 3 — 4x + 5x ; 2) six + 2 = x .2 вариант

7 110,425 + 0,9 +— + — ,А1. Вычислите: -----------------40 ^ 0 . _ .

0,5 • 1- — 0,023 : — 45 25

л л у_1 3 у I 2А2. Решить уравнения:1) 4x — 5x — 6 = 0 ; 2) - 3x = X ; 3 ) ---------------------= 1;

3 6В1. Решить неравенства:

2 X +11) 2(1 - х) > 5х - (3х + 2);2)------- > 0 .5 — x

Г x + 5 y = 15В2. Решить систему уравнений: i _ _ .

[3x — 2 y = —6

С.Решите уравнения:1) 5 • (x + 2)2 = 3 — 4x + 5x2 ;2) л/x —11 = x .Контрольная работа № 2

Свойства функций и их графики.1 вариант

А1. Какой из графиков, изображенных на рисунках 1) - 4) задает функции Рис.1 Рис.2

4

Рис.3 Рис.4

а) 1). б) 2). в ) 3). г) 4).А2. Найдите область определения функции: y

а) x > 2;б) x < 2;в) х> 1 ;г) x < 2.

А3. Среди заданных функций укажите чётные:1) у = 2х2;2) у = 4 х ;3) у = 5х; а) 1) и 3);б) 1);в) 3).

А4. По графику функции у = f(x) (Рис.5) укажитеа) область определения функции;б) нули функции;

= л/ 4x — 1

у > ч

/ \4 \Ч \

/ Л \\(V * — 2 3 к 5 x

в) промежутки постоянного знака функции;г) точки максимума и минид) промежутки монотонности;е) наибольшее и наименьшее значения

функции;ж) область значений функции.

Рис.5 2 x +1

B. Найдите область определения функции у = ~ тт .x( x — 1)

C. Постройте график функции у = x2-4x+3 и укажите ее свойства.2 вариант

А1. Какой из графиков, изображенных на рисунках 6) - 9), задает функцию? Рис. 6 Рис.7

Рис.8 Рис.9

5

а) 1). б) 2). в) 3). г) 4).

А2. Найдите область определения функции: y1

л/9 — 3x г) x < 1/3.а) x > 3; б) x < 3; в) x > 3;

А3. По графику функции у = f(x) (Рис.10) укажите:а) область определения функции;б) нули функции;в) промежутки постоянного знака

функции;г) точки максимума и минимума

функции;д) промежутки монотонности;е) наибольшее и наименьшее

значения функции;ж) область значений функции.

Рис.10

У‘

А / \N 1 (- 3 \ — / 2 3i 4- x

\ / о\ у 3

—4

А4. Среди заданных функций укажите нечетные.? 31) у = 2х2; 2) у = - ; 3) у = 5х.

xа) 1) и 3); б) 2) ; в) 2) и 3); г) 3) .

В.Найдите область определения функции у =2 + x 2

x (x — 5) .С. Постройте график функции у = x -2x + 1 и укажите ее свойства.

Контрольная работа № 3 Показательные уравнения и неравенства.

1 вариантx

А1. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения 2 x = 8

а) (0;1); б)(1;2); в)( 2; 3]; г)(3;4) .23 x + x 1

> —1а) x е R ; б) решений нет; в) (—1;0); г) (— да;—1)о> (0;+да).

6

тV 2 У

<1

128.V 2 У 128а) (— да;7]; б) [7;+да); в) [— 7;+да); г) (—да;—7].

А4. Решите уравнение: 7 —14 • 7 = 5а) - 1; б) 7; в) 1; г) 35 .

В1. Укажите наибольшее целое решение неравенства

А3. Решите неравенство

Г V —'3

V 2 У> 16

В2. Найдите корни уравнения 3 2 x 4 • 3x + 3 = 0 . Если получили два корня, то в ответе впишите их произведение, если один, то его запишите в ответ.

Iх'" 3С. Найдите все целые решения неравенства 1 < / < 49.2 вариант

А1. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения: 3 = 9а) (0;1); б) (1;2); в) [2;3); г) (3;4).

А2. Решите неравенство 0 ,2 x < - 0,04а) x е R ; б) решений нет; в) (—1;0); г) (— да;—1) и (0;+да).

А3. Решите неравенство: [ 1 | < —1—V3 У 243

а) (—да;5]; б) (— да;81]; в) [5;+да); г) [— 5;+да) .А4. Решите уравнение: 2 х+4 — 2 х = 120

а) 0 ; б) 3 ; в) 12; г) - 3 .

В1. Укажите наибольшее целое решение неравенства 1

V 3 у> 27.

■ с 2 __ *-)В2. Решите уравнения 5 + 5 — 2 . Если получили два корня, то в ответе впишите ихпроизведение, если один, то его запишите в ответ.

1< 7 х—3С. Найдите все целые решения неравенства 7 < 49.

Контрольная работа № 4 Логарифмические уравнения и неравенства.

1 вариантА1. Упростить выражение и найти x:lgx= lg 8 + 2 lg 5 - lg 10 - lg 2

а)10; б) -1; в) -10; г) 0.А2. Найдите корень уравнения: log2(3x +1) = 3

7а) 11; б) 1; в) -10; г) — .

А3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения log4 (4 - х ) + log4 2= 1

x

7

а) ( -3; -1 ); б) ( 0; 2 ); в) [ 2; 3 ]; г) [ 4; 8 ].

А4. Найдите сумму корней уравнения l ° g 3 x 2 = l ° g 3 (9 x — 2 0 )а) - 13; б) - 5; в) 5; г) 9.

А5. Решите неравенство: log 3 ( 4 - 2х ) > 1а) ( -®; 0,5 ]; б) ( -ю; 2 ]; в) [ 2; + да ); г) [ 0,5; + да ).

В1. Решите неравенство: log п ( 3х + 2 ) > log п ( х - 1 )2 2 а) ( 1; + ю ); б) ( -ю; — — ]; в) [ -1,5; — — ]; г) решений нет.

В2. Решите неравенство: log j (6 — 3x) > - 19

а) ( -10; +ю ); б) (-ю; -10 ); в) ( -1; 2); г) ( -0,1; 20 ).С. Найдите число целых отрицательных решений неравенства

lg ( х + 5 ) < 2 - lg 2 а) 5; б) 4; в) 10; г) ни одного.

2 вариантА1. Упростить выражение и найти x:lgx = lg 12 - lg 3 + 2 lg7 - lg14

а) 14; б) -1; в) -10; г) 0.А2. Найдите корень уравнения: log5(2x - 4) = 2

7а) 11; б) 14,5; в) -10 ; г) 7 .

А3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения bg0,4 (5 - 2х ) - bg0,4 2 = 1

а) ( -ю; -2 ); б) [ -2; 1 ]; в) [ 1; 2 ]; г) ( 2; +ю).А4. Найдите сумму корней уравнения: lg (4x - 3 ) = 2 lg x

а) - 2; б) 4; в) -4; г) 2.А5. Решите неравенство: log8 (5 - 2х) > 1

а) (-ю; -1,5); б) (-10; 2,5); в) (2,5; + ю); г) ( -10; + ю).

В1. Решите неравенство: log 1 (4x -2) <log 1 (3x +1)3 32 2 а) (3; + ю ); б) ( -ю; — — ]; в) [ -1,5; — — ]; г) решений нет.

В2. Решите неравенство: log j (1 —1,4x) < - 1 .3

а) ( 0,5; +ю); б) (-ю; — 1 0 ); в) ( 1,4; 2 ); г) ( 0,5; 7 ).

С. Найдите число целых решений неравенства: tog5 ( х - 2 ) < 1 а) 5; б) 4; в) бесконечно много; г) ни одного.

Контрольная работа № 5 Тригонометрические преобразования выражений.

1 вариантА1. Вычислите: sin 30°

8

а)0,5; б) 1;,л/3 .л/2

в)^т; г)-2 2А2. На каком из чертежей (Рис. 11-14)изображён графикфункции у = , П ч

cos(x + — )

Рис 11 Рис 12

Рис 13 Рис 14

А3.Найдите значение выражения: 2 sin 30°+6 cos 60° - 3ctg 30° + 9 tg 30°а)4; б) - 4; в)6; г) 4 л / 2

А4. Упростите, используя формулы приведения: cos(n-a)-cos(2n-a)+cos2aа) 2cos2a; б)1; в)0; г)2sin2a.

А5. Постройте график функции: у = 3sinx и укажите область определения и областьзначений функции.А6. Определите знак выражения: sin110°cos 110°

а) + ; б)- ; в) 0; г) нет верного ответа.В. По заданному значению тригонометрической функции, найдите значение ctg а, если

пsin а=0,8 и — <а< п. 2

С. Докажите тождество:

А1. Вычислите: cos 30°

2 s i n х

t g сх • ( c o s х — s i n х )= tg2a

2 вариант

а) 0,5 б) 1; в^^^; г^^ ^ .

А2. На каком из чертежей (Рис. 15-18) изображён график ( пфункции y=cos( x — — )

6Рис. 15 Рис.16

9

Рис 17 Рис 18

А3.Найдите значение выражения: 2 cos 30°- 6 sin 30° - ctg 30° + 9 tg 45° а)4; б) - 4; в)6; г) 4 л / 2

пА4. Упростите, используя формулы приведения: sin (n-a)-cos(y - a)+cos2a

а) 2cos2a; б)1; в)0; г)2sin2a.А5. Постройте график функции: у = 1 + cosx и укажите область определения и множество значений функции.А6. Определите знак выражения: sin100°cos 100°.

а)+; б) -; в) 0; г) нет верного ответа.В. По заданному значению тригонометрической функции, найдите значение

пtga, если cos а= 0,8 и — <а< п2

2 c o s 2 х • t g aС. Докажите тождество: - 2 2 = - tg2as in a — c o s a

Контрольная работа № 6 Тригонометрические уравнения и неравенства.

1 вариантА1. arccos аимеет смысл, если:

ж жа) ае [0; ж ]; б) ае [-1;1]; в) ае [ - у ;у ]; г) ае (-1;1).

А2.Решением уравнения cosx = 0 являются:п п

а) х =у+2 жn, nеZ; б) x = жn, nе Z; в) x ^ у+ жn, nе Z; г) x = ж +2 жn, nе Z.

А3.Вычислите: arcsin 0 + arct^V3

а)0,5; б) 1; в) j ; г)2у .

А4. Уравнение 2tgx = -3

10

а) имеет одно решение; б) не имеет решения;в) имеет два решения; г) имеет бесконечное множество решений.

л/зА5.Уравнение sin х = — имеет решения:

„ ж „ жа) x =(-1) —+2 жn, nеZ; б) x=(-1) —+2 жn, nе Z;

6 3

ж жв) x=(-1) —+ жn, nеZ; г) x =(-1) _ + жn, nеZ.

3 6

х п л/зB. Решите уравнения: а) cos ( — — —) = ; б) sin2x - 3 cosx- 3 = 0;

в) 1 + sinx = 01 42C.Решите неравенства: а) sinx> —; б) cos2x

2 вариантж ж

А1. arcsinaимеет смысл, если: а) ае [0; ж]; б) ае [-1;1]; в) ае [-у ; у ];

г) ае (-1;1).А2.Решением уравнения cosx = - 1 являются:

ж жа) х =у+2 жn, nеZ; б) x = жn, nе Z; в) x = у + жn, nе Z; г) x = ж +2 жn, nе Z.

А3.Вычислите: arcos 0 + arctg 1

а)0,5; б) 1; в)—; г) 3— .

А4. Уравнение ctgx - 4= 0:а) имеет одно решение; б) не имеет решения;в) имеет два решения; г) имеет бесконечное множество решений.

А5.Уравнение sin x =~~ имеет решения:

ж жа) x =(-1) _ +2 жn, nеZ; б) x =(-1) _ +2 жn, nе Z;

6 3

ж жв) x =(-1) _ + жn, nеZ; г) x =(-1) _ + жn, nеZ.

3 6

B. Решите уравнения: а) sin ( x + — ) = 1 ; б) cos2x - 4 sinx- 1 = 0;

в) 1 + sinx = 0.43 42C.Решите неравенства: а) cosx> ; б) sin 2x > — — .

Контрольная работа № 7 Параллельность в пространстве.

1 вариант Уровень А.

11

1. Написать обозначение прямых.2. Написать обозначение отрезков.3. Написать обозначение углов.4. Написать обозначение плоскостей.5. Сколько плоскостей можно провести через одну прямую?6. Сколько плоскостей можно провести через две параллельные прямые?7. Сколько плоскостей можно провести через две пересекающиеся прямые?8. Сколько плоскостей можно провести через две скрещивающиеся прямые?9. Прямые а и в параллельны прямой с. Как расположены между собой прямые а и в?10. Две плоскости параллельны одной прямой. Параллельны ли они между собой?11. Плоскость а У в, а X у = а, в X у = в. Что можно сказать о прямых а и в?12. У треугольника основание равно 18 см. Чему равна средняя линия треугольника?1 3. Стороны основания трапеции равны 12см и 7см. Чему равна средняя линия трапеции?14. У данного четырехугольника противоположные стороны равны и параллельны. Диагонали равны 15 см и 13 см. Является ли четырехугольник прямоугольником?

Уровень В.15. Точки К, М, Р, Т не лежат в одной плоскости. Могут ли прямые КМ и РТ пересекаться? Ответ обосновать.16. Схематично изобразить плоскость а в виде параллелограмма. Вне ее построить отрезок AB, не параллельный ей. Через концы отрезка AB и его середину М провести параллельные прямые, пересекающие плоскость а в точках Ai,B^Mi. Найти длину отрезка MMX, если AAi= 13 м, BBi= 7 м.

Уровень С.17. Даны две параллельные плоскости и не лежащая между ними точка Р . Две прямые, проходящие через точку Р пересекают ближнюю к точке Р плоскость в точках Aj и А2, а дальнюю в точках Bj и В2 соответственно. Найдите длину отрезка BiB2 , если AiA2 = 6 см и РА j : AjBj = 3 : 2.

2 вариант Уровень А.

1. Написать обозначение плоскостей.2. Написать обозначение прямых.3. Написать обозначение углов.4. Назовите основные фигуры в пространстве.5. Сколько плоскостей можно провести через три точки?6. Могут ли прямая и плоскость иметь две общие точки?7. Сколько плоскостей можно провести через прямую и не лежащую на ней точку?8. Сколько может быть общих точек у прямой и плоскости?9. Всегда ли через две параллельные прямые можно провести плоскость?10. Верно ли, что плоскости параллельны, если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна другой плоскости?11. Плоскость а У в, прямая m лежит в плоскости а. Верно ли, что прямая m параллельна плоскости в?12. У треугольника основание равно 10 см. Чему равна средняя линия треугольника?

12

13. Стороны основания трапеции равны 13 см и 4см. Чему равна средняя линия трапеции?14. Верно ли, что если две стороны треугольника параллельны плоскости а, то и третья сторона треугольника параллельна плоскости а?

Уровень В.15. Прямые EN и KM не лежат в одной плоскости. Могут ли прямые ЕМи NK пересекаться? Ответ обосновать.16. Схематично изобразить плоскость а в виде параллелограмма. Вне ее построить отрезок AB, не параллельный ей. Через концы отрезка AB и его середину М провести параллельные прямые, пересекающие плоскость а в точках Ai,B1иMj. Найти длину отрезка ММХ, если АА1= 3 м, BBi= 17 м.

Уровень С.17. Даны две параллельные плоскости и не лежащая между ними точка Р . Две прямые, проходящие через точку Р пересекают ближнюю к точке Р плоскость в точках A j и A 2, а дальнюю в точках Bj и В2 соответственно. Найдите длину отрезка BiB2 , если AiA2 = 10 см и РA1 : AJBJ = 2 : 3.

Контрольная работа № 8 Перпендикуляр и наклонная. Свойства перпендикулярности прямой и плоскости.

1 вариант Уровень А.

Ответь на предложенные вопросы. В каждом ответе обоснуй свою точку зрения.1. Могут ли скрещивающиеся прямые быть перпендикулярными?2. Какие между собой две прямые перпендикулярные к одной плоскости?3. Могут ли быть перпендикулярными к одной плоскости две стороны одного треугольника?4. Прямая перпендикулярна к одной из двух пересекающихся плоскостей, может ли она быть перпендикулярной к другой плоскости?5. Если две плоскости перпендикулярны к одной прямой, каковы они между собой?6. Сколько наклонных можно провести из одной точки к плоскости?7. Может ли угол между прямой и плоскостью быть равен 70°?

Уровень В.Решите задачи.

8. Перекладина длиной 5 м лежит своими концами на двух вертикальных столбах высотой 3 м и 6 м. Каково расстояние между снованиями столбов?9. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 5см и 8 см.Проекция одной из них на 3 см больше другой. Найдите проекции наклонных.

Уровень С.10.Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника АВСравно 4см (Рис.19). Найдите расстояние от точки Mдо плоскости ABC, если AB = 6см.

М а) 4см;б) 8см;

А В в) 6см;г) 2см.

13

ОС

Рис. 192 вариант

Уровень А.Ответь на предложенные вопросы. В каждом ответе обоснуй свою точку зрения.

1. Как расположены друг к другу рёбра, выходящие из одной вершины куба?2. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, будет ли вторая прямая, тоже перпендикулярна к этой плоскости?3. Могут ли быть перпендикулярными к одной плоскости две стороны трапеции?4. Что называют расстоянием от точки до плоскости?5. Сколько перпендикуляров можно провести из одной точки к плоскости?6. Может ли перпендикуляр быть длиннее наклонной , проведённой из этой же точки?7. Может ли угол между прямой и плоскостью быть равен 120°?

Решите задачи.8. Какой длины нужно взять перекладину, чтобы её можно было положить концами на две вертикальные опоры высотой 4 м и 8 м, поставленные на расстоянии 3 м одна от другой?9. Из точки к плоскости проведены две наклонные, одна из которых на 6 см длиннее другой. Проекции наклонных равны 17 см и 7 см. Найдите длины наклонных.

Уровень С.10.Расстояние от точки К до каждой из вершин квадрата ABCDравно 5см. (Рис.20) Найдите расстояние от точки о плоскости ABC, если AB =з42 см.

Уровень В.

К а) 4 см;

г) л/3 D

б) 4л/

Контрольная работа № 9 Координаты в пространстве. Действия над векторами.

1 вариант Уровень А.

Заполните пропуски.1. Вектором на плоскости называется.2. Вектор изображается ...3. Модулем вектора называется ...

14

4. Два вектора в пространстве называются противоположно направленными, если5. При умножении вектора на число .6. Два вектора считаются равными, если ...7. Нулевой вектор коллинеарен вектору.

Уровень В.8. Найдите координатывектора АВ если А(5;-1;3) и В(2;-2;4).

9. Даны векторы b {3;1; — 2 } и С {l; 4; — 3} . Найдите 2 b —с

10. Даны точки А ( 0; 0; 2) и В ( 1; 1; -2). На оси ОУ найдите точку М ( 0; у; 0), равноудалённую от точек А и В.Точка О - начало координат.

Уровень С.

11. Являются ли векторы AB и CE коллинеарными, если А(5;-1;3) ,В(2;-2;4), С(3;1; -2),Е(6;1;1)?

Уровень А.Заполните пропуски.1. Вектором в пространстве называется .2. Вектор обозначается .3. Длиной вектора называется .4. Два вектора в пространстве называются одинаково направленными, если .5. Для того, чтобы сложить два вектора, нужно .6. Нулевым вектором называется .7. Два вектора называются коллинеарными, если .

Уровень В.8. Найдите координаты вектора CD, если C(6;3;-2) и D(2;4;-5).

9. Даны векторы a {5; -1; 2 } и b {3; 2; - 4 }. Найдитеa —2 b

10. Даны точки А ( 0; -2; 0) и В ( 1; 2; -1). На оси OZ найдите точку М ( 0; 0; z), равноудалённую от точек А и В.Точка О - начало координат.

Уровень С.11. Являются ли векторы AB и CM коллинеарными , если С(5;-1;3) ,M(2;-2;4), А(1;-2;3) и В(-5;-4;5)?

Контрольная работа № 10 Производная.

1 вариантА1.Найдите f '(4), если f(x) = 4 л[х — 5 .

а) 3; б)2; в) -1; г) 1.

А2.Укажите производную функции g (x) = x + COS x .3 3

а) 2x + sin x ; б) 2x — sin x ; в) — + sin x ; г) — —sin x .

15

А3.Уравнение касательной к графику функции у = x — 3x + 4

в точке с абсциссой х0 = -3 имеет

вид:а) у = 7x + 13; б) у = 7x + 15 ; в) у =— 7x + 15 ; г) у =— 7x + 13.

А4.Тело движется по прямой так, что расстояние £(в метрах) от него до точки B этой прямой изменяется по закону S(t) = 3t2 —121 + 7 (t - время движения в секундах). Через сколько секунд после начала движения мгновенная скорость тела будет равна 72 м/с.

а) 16; б)15; в) 14; г) 13.В1.На рисунке (Рис.21)изображён графикпроизводной некоторой функции у =f (x),

заданной на промежутке ( - 3; 3). Сколько точек максимума имеет функция f (x) на этом промежутке?

Рис.21В2. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функцииу = X4 — 2хъ + 3х — 13 в точке х0 = —1.

В3. Найдите производные функций: а) f (x) = (7x + 4) ; б) у = 3e3 + 2sin x .

С.Найдите сумму тангенсов углов наклона касательных к параболе у = x 2 — 9 в точках пересечения параболы с осью абсцисс.

2 вариант

А1.Найдите f (16), еслиf(x) = 8 л/X — 3 . а) 3; б)2; в) -1; г) 1.

А2.Укажите производную функции g (x) = x — sin x .

а) 2x + cosx ; б) 2x — cosx ; в) — + cos x ;

А3.Уравнение касательной к графику функции У

г ) cos x .3

x — 3 x + 2 в точке с абсциссой хо = -3

имеет вид:а) у = — 5x + 23; б) у =— 5x + 21; в) у = 5x + 23; г) у = 5x + 21.

А4.Тело движется по прямой так, что расстояние от начальной точки изменяется по

закону S(t) = t + 0,4t2 —6 (м), где t - время движения в секундах. Найдите скорость тела через 10 секунд после начала движения .

а) 10; б)9; в) 8; г) 7.

3 3

16

В1. На рисунке(Рис.22) изображён графикпроизводной некоторой функции у = f (x) , заданной на промежутке ( - 2; 2). Сколько точек минимума имеет функция f (x) на этом промежутке?

VI1 )1

4 \ s ! х!J L ....... \

Рис.22В2. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у = x + 2x + x +1 в точке x0 = 1.

В3. Найдите производные функций : а) f ( x) = ( 4x + 7) 3; б) у = x • tg3x.

С.Найдите сумму угловых коэффициентов касательных к параболе у = x2 — 4 в точкахпересечения параболы с осью абсцисс.

Контрольная работа № 11 Исследование функции с помощью производной.

1 вариантА1.Сколько интервалов убывания имеет функция/(х) = х - 3х?

а). 1. б).2. в). 3. г). Ни одного3 2А2.Сколько критических точек имеет функция/(х) = х - 9х + 15х?

а). 2. б).1. в). 3. г). Ни однойА3.3начение функции у = - х + 4х + 2 в точке максимума равно.

а). 0. б).2. в). 6. г).8.*-* 3 2А4.Точкой максимума функции/(х) = 16 х + 81х - 21х - 2 является.

а). - 1. б).3,5. в). - 3. г). - 3,5.зВ.Дана функцияf(x) = x - 3x - 6. Найдите промежутки возрастания и убывания функции.

ункцию /(х2 вариантет фун

а). 1. б). Ни одного. в). 2. г). 3колько критических точек имеет фун

а). Ни одной. б). 3. в). 1. г). 2.оначение функции у = 2х - 8х + 1а). 0. б).5. в). 2. г).3.

*-* 3 2А4.Точкой минимума функции/(х) = 16 х + 81х - 21 х - 5 является.

а). — . б).2,5 . в). -3. г). -1 .8 3B.Дана функцияf(x) = x - 3x + 2. Найдите промежутки возрастания и убывания функции.

C.Исследуйте с помощью производной функцию/(х) = х - 3х + 1 и постройте её график.

»-* „ 3 2 * - *С.Исследуйте с помощью производной функцию/(х) = х - 3х - 9х и постройте её график.

3 2А1.Сколько интервалов возрастания имеет функция/(х) = х - 3х ?

3 2А2.Сколько критических точек имеет функция/(х) = х - 6х + 9хв)

А3.3начение функции у = 2х - 8х + 11 в точке минимума равно.

17

Контрольная работа № 12 Первообразная функции. Интеграл.

1 вариант

2 2 d xА1. Вычислите интеграл: а) J (3 x + x — 4 )d x ; б) J з .

1 1 x А2. Для функции f(x) = 3sinx найдите: а) множество всех первообразных;

пб) первообразную, график которой проходит через точку М ( — ; 0 )

А3.Вычислите, сделав предварительно рисунок, площадь фигуры, ограниченной линиями: у = 0,5 х2, у = 0, х = 2, х = 0.А4.Докажите, что функция F является первообразной для функции f(x) на промежутке ( -да ; +да), если ¥(х) = х3 - 4, f(x) = 3х2.

3

B.Вычислите интеграл0

C.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 6х - х и у = 2х.

J[x 2 + (x — 3)2 ] dx

2 вариант

2 г dxА1. Вычислите интеграл: а) J ( 4 x 3 — x + 5 )d x ; б) J

^ x 3 .1 — 2А2.Для функции f(x) = 2cosx найдите:

а) множество всех первообразных;п

б) первообразную, график которой проходит через точку М ( — ; 0 )

А3.Вычислите, сделав предварительно рисунок, площадь фигуры, ограниченной линиями: у = 2 х2, у = 0, х = 3, х = 0.А4.Докажите, что функция F является первообразной для функции f(x) на промежутке ( - да ; +да), если ¥(х) = 2х - x2, f(x) = 2 - 2х.

J [x2 + (1 — x )2 ] dxB.Вычислите интеграл0

C.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = - 6х - х и у = - 2х.Контрольная работа № 13

Площади поверхностей многогранников.1 вариант

А1 . Выберите верное утверждениеа) параллелепипед состоит из шести треугольников;б) противоположные грани параллелепипеда имеют общую точку;в) диагонали параллелепипеда пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. А2. Количество ребер шестиугольной призмы

18

а) 18; б) 6; в) 24; г) 12; д) 15.А3 .Наименьшее число граней призмы

а) 3; б) 4; в) 5; г) 6; д) 9.А4. Не является правильным многогранником

а) правильный тетраэдр; б) правильная призма;в) правильный додекаэдр; г) правильный октаэдр.

А5. Выберите верное утверждение:а) выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются

правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер;

б) правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр - это одно и то же;в) площадь боковой поверхности пирамиды равна произведению периметра

основания на высоту.А6. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется а) диагональю; б) медианой; в) апофемой.А7. Диагональ многогранника - это отрезок, соединяющий

а) любые две вершины многогранника; б) две вершины, не принадлежащие одной грани; в) две вершины, принадлежащие одной грани.B.Найдите диагонали прямоугольного параллелепипеда, если стороны его основания 3 см , 4 см, а высота равна 10 см .C.В правильной четырёхугольной пирамиде со стороной основания 8 м, боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60 0. Найдите:

а) высоту пирамиды; б) площадь боковой поверхности.2 вариант

А1.Выберите верное утверждениеа) тетраэдр состоит из четырех параллелограммов;б) отрезок, соединяющий противоположные вершины параллелепипеда, называется

его диагональю;в) параллелепипед имеет всего шесть ребер.

А2. Количество граней шестиугольной призмы а) 6; б) 8; в) 10; г) 12; д) 16. А3.Наименьшее число рёбер призмы

а) 9; б) 8; в) 7; г) 6; д) 5.А4. Не является правильным многогранником

а) правильный тетраэдр; б) правильный додекаэдр;в) правильная пирамида; г) правильный октаэдр.

А5. Выберите верное утверждение:а) правильный додекаэдр состоит из восьми правильных треугольников;б) правильный тетраэдр состоит из восьми правильных треугольников;в) правильный октаэдр состоит из восьми правильных треугольников.

А6. Апофема - этоа) высота пирамиды; б) высота боковой грани пирамиды;в) высота боковой грани правильной пирамиды.

А7. Усеченная пирамида называется правильной, если19

а) ее основания - правильные многоугольники;б) она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной

основанию;в) ее боковые грани - прямоугольники.

B.Найдите боковое ребро правильной четырёхугольной, пирамиды, у которой сторона основания 8 м, а высота равна 10 м.C.В прямоугольном параллелепипеде стороны основания 5 м и 12 м, а диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом 30 0. Найдите: а) высоту параллелепипеда; б) площадь боковой поверхности.

Контрольная работа № 14 Площади поверхностей тел вращения.

1 вариантПодтвердить или опровергнуть следующие утверждения.

А1.При вращении прямоугольника около стороны как оси получаем цилиндр.А2.Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания называются образующими конуса.А3.Осевым сечением цилиндра является треугольник.А4.Высота цилиндра (прямого) больше образующей.А5.При вращении полукруга вокруг его диаметра как оси получается шар.А6. Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле S = 2 п (r+h), где r-радиус цилиндра,Л-высота цилиндра.В1. Высота цилиндра равна 4 м, расстояние между осью цилиндра и параллельной ей плоскостью сечения равно 3 м, а площадь сечения 32 м2. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.В2.Высота конуса равна 12 м, а образующая 13 м. Найдите площадь осевого сечения конуС.Площадь сечения, не проходящего через центр шара, равна 16п м . Найдите площадь поверхности шара, если расстояние от центра шара до секущей плоскости равно 5 м.

2 вариантПодтвердить или опровергнуть следующие утверждения.

А1 . При вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси получаем конус.А2.Отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов называются образующими цилиндра.А3.Осевым сечением конуса является прямоугольник.А4. Высота конуса равна образующей.А5.Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром шара.А6.Все образующие цилиндрической поверхности параллельны друг другу.В1. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 60п м , а радиус основания 5 м. Найдите длину образующей цилиндра.В2.Радиус основания конуса равен 12 м, а образующая 13 м. Найдите площадь осевого сечения конуса.

20

С. Радиус сферы равен 13 м, а расстояние от её центра до секущей плоскости равно 5 м. Найдите длину окружности сечения сферы.

Контрольная работа № 15 Объёмы многогранников.

А1.Какой не может быть призма?а). Прямой; б). Наклонной; в). Правильной; г). Усеченной.

А2.Какая формула используется для вычисления объема призмы, где R - радиус основания, H - высота:

а). 1 SoC,H ; б). nR2H ; в). ; г). 1 h ( s + + Jss1

АЗ.Назовите, какая фигура не является правильным многогранником.а). Куб; б). Додекаэдр; в). Октаэдр; г). Параллелепипед.

А4.Ребро куба равно 2 см. Вычислите сумму длин всех ребер куба.а). 24 см; б). 48 см; в). 12 см; г). 60 см.

А5.Площадь грани куба равна 16 см 2 . Вычислите его объем.а). 24 см 3; б). 48 см 3; в). 56 см 3; г). 64 см 3.

Аб.Существует ли призма, у которой только одно боковое ребро перпендикулярно основанию?

а). Да; б). Нет.В1. Из вершины В квадрата ЛВСПсо стороной 6 см к его плоскости проведён перпендикуляр BK. Найдите объём пирамиды, если ЛК= 10 см.В2.Основанием призмы является прямоугольный треугольник с острым углом 600 и катетом, прилежащим к этому углу, равным 9 см. Высота призмы равна 10 см. Найдите: а) объём призмы; б) площадь полной поверхности призмы.С.Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке 23 (все двугранные углы многогранника прямые).

Рис.232 вариант ;

А1. Прямоугольный параллелепипед - этоа). Пирамида; б). Призма; в). Октаэдр; г). Тетраэдр.

А2. Объем пирамиды определяется по формуле, где SOCH - площадь основания, H -высота, R - радиус.

1 1 2а). - SOCHH ; б). -nR2H ; в). SOCHH ; г). - nR2H .

АЗ.Апофема - этоа). Образующая цилиндра; б). Высота конуса;в). Высота боковой грани пирамиды; г). Высота усеченного конуса.

А4. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2 см, 3 см и 5 см. Вычислите его объем.

а). 30 см3; б). 15 см 2 ; в). 20 см 2 ; г). 25 см 2 .А5.Ребро куба равно 2 см. Вычислите площадь поверхности куба.

а). 12 см 2 ; б). 24 см 2 ; в). 16 см 2 ; г). 18 см 2 .21

А6.Существует ли призма, имеющая 20 ребер? а). Да; б). Нет.

В1. Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетом 5 см и гипотенузой 13 см. Высота призмы равна 10 см. Найдите объём призмы.В2.В правильной четырёхугольной пирамиде боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 30°, а основание равно 6 см. Найдите: а) объём пирамиды; б) площадь полной поверхности пирамиды.

Уровень С.С. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке 24 (все двугранные углы прямые).

Рис.24Контрольная работа № 16

Объёмы тел вращения.А1. Сфера является поверхностью:

а) конуса; б) усеченного конуса; в) цилиндра; г) шара.А2.Изменится ли объём цилиндра, если диаметр его основания увеличить в 2 раза, а высоту уменьшить в 4 раза?А3. Из каких тел состоит тело, полученное вращением равнобедренной трапеции вокруг большего основания?

3 «-*А4.Объём цилиндра равен 12 см . Чему равен объём конуса, который имеет такое же основание и такую же высоту, как и данный цилиндр?А5.Найдите объём цилиндра с высотой, равной 3 см и диаметром основания - 6 см.

о о 3 3 3а) 27п см ; б) 9п см ; в) 36п см ; г) 18п см ; д) 54п см .А6.Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед. Радиус основания и высота цилиндра равны 6. Найдите объём параллелепипеда.В1. В шаре на расстоянии 3 см от центра проведено сечение, радиус которого 4 см. Найдите объём шара.B.Прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см вращается вокруг оси, содержащей катет длиной 5 см. Найдите объём полученного конуса и площадь его полной поверхности.C. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке 25.

Рис.25 2 вариант

А1. Сфера и плоскость не могут иметь:а) одну общую точку; б) ни одной общей точки;в) две общие точки; г) много общих точек.

А2.Во сколько раз увеличится объем кругового конуса, если высоту увеличить в 3 раза.

22

А3. Из каких тел состоит тело, полученное вращением равнобедренной трапеции вокруг меньшего основания?А4.Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 120 п см .А5.Высота конуса 3 см, образующая 5 см. Найдите его объем.

3 3 3 3 3а) 27п см ; б) 9п см ; в) 16п см ; г) 18п см ; д) 54п см .А6. Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед. Радиус основания и высота цилиндра равны 5. Найдите объём параллелепипеда.В1. В шаре на расстоянии 8 см от центра проведено сечение, радиус которого 6 см. Найдите объём шара.В2.Цилиндр образован вращением прямоугольника с диагональю 5 см вокруг стороны длиной 3 см. Найдите объём цилиндра и площадь полной его поверхности.С. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке 26.

А

Контрольная работа № 17 Рис.26Комбинаторика, статистика и теория вероятностей.

А1.Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным:1) завтра будет хорошая погода;2) в январе в городе пойдет снег;3) в 12 часов в городе идет дождь, а через 24 часа будет светить солнце;4) на день рождения вам подарят говорящего крокодила;5) круглая отличница получит двойку;6) камень, брошенный в воду утонет.А2. Определите моду, среднее арифметическое и размах ряда: 5, 6, 11, 11, - 1.А3. Какова вероятность того, что задуманное двузначное число делится на 3 или делится на 2? Определите вид события.

а) сложение событий; б) произведение событий.А4.Вычислите • С53 - С53 • .А5.На стол бросают два игральных тетраэдра (серый и белый), на гранях каждого из которых точками обозначены числа от 1 до 4. Сколько различных пар чисел может появиться на гранях этих тетраэдров, соприкасающихся с поверхностью стола?А6.Из 10 первых натуральных чисел случайно выбираются 2 числа. Вычислите вероятности следующих событий:

а) одно из выбранных чисел - двойка; б) оба числа нечетные.В1. В бригаде 4 женщины и 3 мужчины. Среди членов бригады разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчины?В2.На каждой карточке написана одна из букв к, л, м, н, о, п. Четыре карточки наугад выкладывают одну за другой в ряд. Какова вероятность, что при выкладывании получится слово «клоп»?

23

С. Найдите вероятность того, что случайным образом выбранное двузначное число при делении на 11 дает в остатке 10.

2 вариантА1. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным:1) вы выходите на улицу, а навстречу идет слон;2) вас пригласят лететь на Луну;3) черепаха научится говорить;4) выпадет желтый снег;5) вы не выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее;6)после четверга будет пятница.А2. Определите моду, среднее арифметическое и размах ряда:15, 4, 12, - 3, 15.А3. Какова вероятность того, что первое из задуманных двузначных чисел делится на 2, а второе - делится на 5? Определите вид события.

а) сложение событий; б) произведение событий.а 4 а3

А4.Вычислите А 6 • А 5 .А5.Из коробки, содержащей 8 мелков различных цветов, Гена и Таня берут по одному мелку. Сколько существует различных вариантов такого выбора двух мелков?А6.Из 10 первых натуральных чисел случайно выбираются 2 числа. Вычислите вероятности следующих событий:

а) одно из выбранных чисел - единица; б) оба числа четные.В1. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из этой урны наудачу извлекли 5 шаров. Какова вероятность того, что 2 из них белые, а 3 черные?В2.На каждой карточке написана одна из букв р, с, т, у, л, х. Четыре карточки наугад выкладывают одну за другой в ряд. Какова вероятность, что при выкладывании получится слово «стул»?С. Найдите вероятность того, что случайным образом выбранное двузначное число при делении на 13 дает в остатке 5.

Задания для итогового контроля Технический профиль

1 вариант Обязательная часть

При выполнении заданий 1-3 запишите ход решения и полученный ответ.1. (1 балл) Найдите корень уравнения 32 " 2х = 81.

l o g 6 л/ТВ2. (1 балл) Найдите значение выражения ------------- .l o g6 13

3. (1 балл) Флакон шампуня стоит 160 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 25%?

При выполнении заданий 4-7 запишите полученный ответ.4. (1 балл) На рисунке 27 изображен график функции y = f (х), определенной на интервале( - 6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

24

Рис.275. (1 балл) Определите наименьшее и наибольшее значения функции.6. (1 балл) При каких значениях х, f x ) > 0.7. (1 балл) При каких значениях х, fx ) < 0.

При выполнении заданий 8-12 укажите ход решения и запишите полученный ответ.

8. (1 балл) Найдите значение sina, если известно, что cosa = 1 и a GI четверти.

. Ж.9. (1 балл) Решить уравнение 2 COS( X + —) = 1 .

10. (1 балл) Решите уравнение log5(5 - 5x) = 2log52.11. (1 балл) Строительной фирме нужно приобрести 50 кубометров строительного бруса у одного из трех поставщиков. Какова наименьшая стоимость такой покупки с доставкой (в рублях)? Цены и условия указаны в таблице.

Поставщик Цена брусао(руб. за 1м3)Стоимостьдоставки

Дополнительныеусловия

А 3500 9900 -

Б 4500 7900 При заказе на сумму больше 150000 руб. доставка бесплатно

В 3600 7900 При заказе на сумму больше 200000 руб. доставка бесплатно

12. (1 балл) В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC боковая сторона AB

4 7равна 8, а cosA = ---- . Найдите высоту, проведенную к основанию.4

При выполнении заданий 13-18 запишите ход решения и полученный ответ.

13. ( 1 балл)Найдите значение выражения 4 ^ ^ 10 • 4 6 V6 .

8 x + 3614. ( 1 балл)Найдите корень уравнения x ■

x +1315. (1балл) Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра (Рис.28), радиус основания которого равен 2. Объем параллелепипеда равен 16. Найдите высоту цилиндра.

Рис.28

25

16. (1 балл) Тело движется по закону S(t) = х - 4х +3. Определите, в какой момент времени скорость будет равна 4.

• 217. (1 балл) Решить уравнение Sin x — 2Sin x —3 = 0.J 5xДополнительная часть

При выполнении заданий 19 - 22 запишите ход решения и полученный ответ.

19.(3 балла) Найдите наибольшее значение функции у = 12л/2 COS x + 12 x —3ж+9 наЖ

2

18. (1 балл) Решите неравенство >0,04.с x

отрезке0; 2

4x—у = 220.(3 балла) Решите систему уравнений i, . ... .

( ) у [lOg12 3x = log12<у + 1)21.(3 балла) Равнобочная трапеция с основаниями 10 см и 18 см и высотой 3 см вращается около меньшего основания. Найдите площадь поверхности тела вращения.

222.(3 балла) Найдите решение уравнения cos2x + Sin x = COS x .Укажите корни, принадлежащие отрезку [0;2ж].

2 вариантОбязательная часть

При выполнении заданий 1-3 запишите ход решения и полученный ответ.1. (1 балл) Найдите корень уравнения 2 1 " х= 16.

log 2 ^272. (1 балл) Найдите значение выраженияlog 2 27

3. (1 балл) Тетрадь стоит 20 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 350 рублей после понижения цены на 25 %.

При выполнении заданий 4-7 запишите полученный ответ.4. (1 балл) На рисунке 29 изображен график функции у = f (x), определенной на интервале (-7; 7). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.5. (1 балл) Определите наименьшее и наибольшее значения функции.6. (1 балл) При каких значениях х, f х) > 0.7. (1 балл) При каких значениях х, fx ) < 0.

26

При выполнении заданий 8-12 укажите ход решения и запишите полученный ответ.128. (1 балл) Найдите значение cos а, если известно, что sin а = — и a GI четверти.

9. (1 балл) Решить уравнение 2Sin(x + ) = ! .

10. (1 балл) Решите уравнение log3 ( 2 - 2x) = 2log3 4.11. (1 балл) Строительной фирме нужно приобрести 79 кубометров пенобетона у одного из трех поставщиков. Сколько придётся заплатить за самую дешёвуюпокупку с доставкой (в рублях)? Цены и условия доставки приведены в таблице.

Рис.29

ПоставщикСтоимостьпенобетона

(руб. за 1 м3)

Стоимостьдоставки(в руб )

Дополнительныеусловия

А 2650 4400 -

Б 3200 5400 При заказе на сумму больше 150 000 руб. доставка бесплатно

В 2680 3400 При заказе более 80 м3 доставка бесплатно

312. (1 балл) В треугольнике ABC AC = BC, AB = 6, cosA = — . Найдите высоту CH.

При выполнении заданий 13 - 18 запишите ход решения и полученный ответ.

13. ( 1 балл)Найдите значение выражения 3^ -3 5 .7 x — 6

14. ( 1 балл)Найдите корень уравнения x =x + 2

15. (1балл) Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед (Рис.30). Радиус основания цилиндра равен2. Объем параллелепипеда равен 80.Найдите высоту цилиндра.

Рис.3016. (1 балл) Тело движется по закону

2 *-*S(t) = 2х - х + 1.Определите, в какой момент времени скорость будет равна 7.2

17. (1 балл) Решить уравнение Sin x —6Sin x = 0.

18. (1 балл) Решите неравенство —x >0,125.8Дополнительная часть

27

0; 7При выполнении заданий 19 - 22 запишите ход решения и полученный ответ

19.(3 балла) Найдите наименьшее значение функции у=13х^тх+9на отрезке

3x + у = 320.(3 балла) Решите систему уравнений ^ , _. .[log3(5x+4 у )= log3(y +5)21.(3 балла) Равнобочная трапеция с основаниями 12 см и 18 см и высотой 4 см вращается около большего основания. Найдите объём тела вращения.

'у22.(3 балла) Найдите все решения уравнения c o s 2 x + Sin 2 x = c o s x .Укажите корни, принадлежащие отрезку [—7; 7 ].

3 вариант Обязательная часть

При выполнении заданий 1-3 запишите ход решения и полученный ответ.1. (1 балл) Найдите корень уравнения 2 2x' 20 = 16.

4 22. (1 балл) Найдите значение выражения ^ iOg2 3 .

3. (1 балл) Тетрадь стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 750 рублей после понижения цены на 10%?

При выполнении заданий 4-7 запишите полученный ответ.4. (1 балл) На рисунке 31 изображен график функции у = f (x), определенной на интервале ( - 10; 2). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.5. (1 балл) Определите наименьшее и наибольшее значения функции.6. (1 балл) При каких значениях х, f х) > 0.

7. (1 балл) При каких значениях x,f[x) < 0.Рис.31

При выполнении заданий 8-12 укажите ход решения и запишите полученный ответ.38. (1 балл) Найдите значение sin а, если известно, что cos а = — и a GII четверти.

9. (1 балл) Решить уравнение cos(x + —) = c°S— .2 6

10. (1 балл) Решите уравнение log5(5 - 5x) = log52 + 1.11. (1 балл) В таблице указаны средние цены (в рублях) на некоторые основные продукты питания в трёх городах России (по данным на начало 2010 года)

28

Наименование продукта Барнаул Тверь Псков

Пшеничный хлеб (батон) 12 11 11Молоко (1 литр) 25 26 26Картофель (1 кг) 16 9 14Сыр (1 кг) 260 240 235Говядина (1 кг) 300 280 280Подсолнечное масло (1 литр) 50 38 62

Определите, в каком из этих городов окажется самым дешёвым следующий набор продуктов:3 кг картофеля, 1 кг сыра, 3 л подсолнечного масла. В ответ запишите стоимость данного набора продуктов в этом городе (в рублях).

12. (1 балл) В треугольнике ABC AC = BC, AB = 10, cosA = ^ . Найдите высоту CH.

При выполнении заданий 13-18 запишите ход решения и полученный ответ./ г “ \ /I * 7 + 2 yi 2 — V713. ( 1 балл)Найдите значение выражения 4 • 4 .

14. ( 1 балл)Найдите корень уравнения

15. (1балл) Прямоугольный параллелепипед описан около Цилиндра (Рис.32), радиус основания и высота которого равны 6.Найдите объем параллелепипеда.

Рис.3216. (1 балл) Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону S = 5t- 0,5t (м), где t - время движения в секундах. Найдите скорость тела через 4 с после начала движения.

17. (1 балл) Решить уравнение 2 sin2 X — 3 sin X + 1 = 0 .

18. (1 балл) Решите неравенство 4 9X+1

Дополнительная частьПри выполнении заданий 19 - 22 запишите ход решения и полученный ответ.

19.(3 балла) Найдите наименьшее значение функции У=2C0SX + 5х + 8 на отрезке

20.(3 балла) Решите систему уравнений2х + у = 15

[ х —3 у = log 216 .21.(3 балла) Равнобочная трапеция с основаниями 12 см и 24 см и высотой 8 см в первый раз вращается около меньшего основания, а во второй - около большего. Сравните объёмы тел вращения.

29

Укажите корни, принадлежащие отрезку [0;2^].Социально-экономический профиль

1 вариантОбязательная часть

При выполнении заданий 1-9 запишите ход решения и полученный ответ.1. (1 балл)1 метр ситца стоил 80 рублей. Сколько можно купить ткани на 1000 рублей, если администрация магазина в честь праздника сделала скидку 10%?2. (1 балл)В группе 25 студентов. Необходимо выбрать старосту, заместителя старосты и физорга. Сколько существует способов это сделать?3. (1 балл)Проходит ли график функции у = - 2х через точки

а) А (0,5; -0,5); б) Д-1,5; 1,1).4. (1 балл)Сторона квадрата равна 4 см. Точка, равноудаленная от всех вершин квадрата, находится на расстоянии 6 см от точки пересечения его диагоналей.Найдите расстояние от этой точки до вершин квадрата.5. (1 балл)Найдите корень уравнения log2(4 - х) = 2.

8 16. (1 балл)Вычислите значение выражения 89 • 6418 .

7. (1 балл)Решите неравенство (-1 ) 2 х > 92x - 1.27

4 2 «-*8. (1 балл)Является ли функция F (x) = x - 3x + 1 первообразной для функции f(x)=4x3 - х2 + х ?9. (1 балл)Даны векторы а {5; -1; 2}и b {3; 2; -4}. Найти координаты с = a — 2b .10. (1 балл)Дорисуйте график четной функции (рис. 33)

222.(3 балла) Найдите решение уравнения cos2 x — Sin X = COS X .

Рис.33При выполнении заданий 11-14, используя график функции у = f(x) Рис. 3), определите и

запишите ответ:11. (1 балл)Область определения функции.12.(1 балл) Наименьшее и наибольшее значения функции.13. (1 балл) Промежутки возрастания и убывания функции.14. (1 балл) При каких значениях х , f(x) < 0.

30

Рис.34При выполнении заданий 15-18 запишите ход решения и полученный ответ.

215. (1 балл)Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = х - 6х + 10, прямыми х = - 1, х = 3и осью абсцисс.16. (1 балл)Решите уравнение 4х • 2х = 64.17. (1 балл)Найдите производную функции f(x)=2x +sinx.18. (1 балл)Найдите корни уравнения tgx + 1 = 0, принадлежащие отрезку [0;2п].

Дополнительная частьПри выполнении заданий 19-22 запишите ход решения и полученный ответ.

19. (3 балла)Решите уравнение (2х — 3) • д/ 3х 2 —5х — 2 = 0.20. (3 балла)Прямоугольная трапеция с основаниями 6 см и 10 см и высотой 3 см вращается вокруг большого основания. Найдите площадь поверхности полученного тела вращения.

Г х + 4у = 1621. (3 балла)Решите систему уравнений <L , . , , 1Ч

( ) у [log7 у —log7 4 = log7 (x +1)

22. (3 балла) Решите уравнение |4 - 5х| =5х - 4.2 вариант

Обязательная частьПри выполнении заданий 1-9 запишите ход решения и полученный ответ.

1. (1 балл)Тетрадь стоит 30 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 350 рублей после понижения цены на 10%?2. (1 балл)В группе 30 студентов. Необходимо выбрать старосту, заместителя старосты и профорга. Сколько существует способов это сделать?3. (1 балл)Проходит ли график функции у = 2х через точки

а) А (0,5; 0,5); б) Д-1,5; 1,1).4.(1 балл)Сторона квадрата равна 4 см. Точка, не принадлежащая плоскости квадрата, удалена от каждой из его вершин на расстояние 6 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости квадрата.5. (1 балл)Найдите корень уравнения log2(5 - х) = 3.

5 16. (1 балл)Вычислите значение выражения 4 6 -1612.

7. (1 балл)Решите неравенство 271+ 2X > (~ )2 + X .

8. (1 балл)Является ли функция F(x)= х + 3х - 5 первообразной для функции f(x)=3x2 + х?9. (1 балл)Даны векторы b{3;1; — 2} и с{1; 4; — 3}. Найдите а = 2b — с .10. (1 балл)Дорисуйте график четной функции (Рис.35)

31

При выполнении заданий 11-14, используя график функции у = Д(х) (Рис. 36), определите изапишите ответ:

11. (1 балл)Область определения функции.12.(1 балл) Наименьшее и наибольшее значения функции.13. (1 балл) Промежутки возрастания и убывания функции.14. (1 балл) При каких значениях х , Д(х) < 0.

У j L | i. ■ •

1- - j - - *k i ■ ■V * •

V - - iY < s

{

.. J . .s.... . \ Si \

■±. * i - ф .. . --------- r . 1 . .

■ ■ т У 0 * Л■ i *-* ■- - ' ■ - " Г " '■*\....... ; y f i

- i т ; ‘ i- -

■

1 -

! i : J ! : | |

I J• • H i* . 1 / j r ■ ■

!О

■ 1 \! \ Г / i x T

: : ; : ; ; i : . .

Рис.36При выполнении заданий 15 - 18 запишите ход решения и полученный ответ.

15. (1 балл)Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функцииоf(x) = х + 5х + 6, прямыми х = - 1, х = 2и осью абсцисс.

16. (1 балл)Решите уравнение 2х 3х = 36. о17. (1 балл)Найдите производную функцииf(x)=3x - sinx.18. (1 балл)Найдите корни уравнения 2sinx + 1 = 0, принадлежащие отрезку [0;2п].

Дополнительная частьПри выполнении заданий 19-22 запишите ход решения и полученный ответ.

19. (3 балла)Решите уравнение (6 х — 5)д/2 х 2 — 5х +2 = 0 .20. (3 балла)Прямоугольная трапеция с основаниями 12 см и 15 см и высотой 4 см вращается вокруг меньшего основания. Найдите площадь поверхности полученного тела вращения.

| 4 х—у = 2,21 (3 билл^ешите сжстему данюегай х+ log[2 3=log12(y + 1).

22. (3 балла) Решите уравнение |7 - 4х| =7 - 4х

32

Задания для итогового контроля Технический профиль

1 вариантОбязательная часть

При выполнении заданий 1-3 запишите ход решения и полученный ответ.1. (1 балл) Найдите корень уравнения 32 - 2х = 81.

io g ^ V T 32. (1 балл) Найдите значение выраженияl o g 6 13

3. (1 балл) Флакон шампуня стоит 160 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 25%?

При выполнении заданий 4-7 запишите полученный ответ.4. (1 балл) На рисунке 27 изображен график функции у = f (х), определенной на интервале( - 6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Рис.275. (1 балл) Определите наименьшее и наибольшее значения функции.6. (1 балл) При каких значениях х, X.х) > 0.7. (1 балл) При каких значениях х, f x ) < 0.

При выполнении заданий 8-12 укажите ход решения и запишите полученный ответ.

8. (1 балл) Найдите значение sina, если известно, что cosa = 1 и a GI четверти.

. Ж.9. (1 балл) Решить уравнение 2 C°S( х + —) = 1 .

10. (1 балл) Решите уравнение log5(5 - 5х) = 2log52.11. (1 балл) Строительной фирме нужно приобрести 50 кубометров строительного бруса у одного из трех поставщиков. Какова наименьшая стоимость такой покупки с доставкой (в рублях)? Цены и условия указаны в таблице.

Поставщик Цена брусао(руб. за 1м3)Стоимостьдоставки

Дополнительныеусловия

А 3500 9900 -

Б 4500 7900 При заказе на сумму больше 150000 руб. доставка бесплатно

В 3600 7900 При заказе на сумму больше 200000 руб. доставка бесплатно

33

12. (1 балл) В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC боковая сторона AB

„ Vvравна 8, а cosA = ---- . Найдите высоту, проведенную к основанию.4

При выполнении заданий 13-18 запишите ход решения и полученный ответ.

13. ( 1 балл)Найдите значение выражения 4 ^ ^ + 10 . 4 6 V6 .

8 х + 3614. ( 1 балл)Найдите корень уравнения х = гт- . —

X +1315. (1балл) Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра (Рис.28), радиус основания которого равен 2.Объем параллелепипеда равен 16. Найдите высоту цилиндра.

Рис.2816. (1 балл) Тело движется по закону S(t) = х - 4х +3. Определите, в какой момент времени скорость будет равна 4.

• 217. (1 балл) Решить уравнение Sin X — 2sin X — 3 = 0.J 5хДополнительная часть

При выполнении заданий 19 - 22 запишите ход решения и полученный ответ.

19.(3 балла) Найдите наибольшее значение функции у =12V2cos X + 12 X—3ж+9 наЖ

18. (1 балл) Решите неравенство >0,04.С X

отрезке0 ; 2

4х—у = 220.(3 балла) Решите систему уравнений . ... .

( ) у [log12 3х = log12< у +1)21.(3 балла) Равнобочная трапеция с основаниями 10 см и 18 см и высотой 3 см вращается около меньшего основания. Найдите площадь поверхности тела вращения.

222.(3 балла) Найдите решение уравнения cos2x + Sin X = cos X .Укажите корни, принадлежащие отрезку [0;2ж] .

2 вариантОбязательная часть

При выполнении заданий 1-3 запишите ход решения и полученный ответ.1. (1 балл) Найдите корень уравнения 2 1 - х= 16.

, ч log ,V 272. (1 балл) Найдите значение выражения -------------- .log 2 27

34

3. (1 балл) Тетрадь стоит 20 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 350 рублей после понижения цены на 25 %.

При выполнении заданий 4-7 запишите полученный ответ.4. (1 балл) На рисунке 29 изображен график функции y = f (х), определенной на интервале (-7; 7). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.5. (1 балл) Определите наименьшее и наибольшее значения функции.6. (1 балл) При каких значениях х, f x ) > 0.7. (1 балл) При каких значениях х, f x ) < 0.

Рис.29При выполнении заданий 8-12 укажите ход решения и запишите полученный ответ.

128. (1 балл) Найдите значение cos а, если известно, что sin а = — и a GI четверти.

9. (1 балл) Решить уравнение 2 sin(x + ) = 1 .

10. (1 балл) Решите уравнение log3 ( 2 - 2х) = 2log3 4.11. (1 балл) Строительной фирме нужно приобрести 79 кубометров пенобетона у одного из трех поставщиков. Сколько придётся заплатить за самую дешёвуюпокупку с доставкой (в рублях)? Цены и условия доставки приведены в таблице.

ПоставщикСтоимостьпенобетона

(руб. за 1 м3)

Стоимостьдоставки(в руб )

Дополнительныеусловия

А 2650 4400 -

Б 3200 5400 При заказе на сумму больше 150 000 руб. доставка бесплатно

В 2680 3400 При заказе более 80 м3 доставка бесплатно

312. (1 балл) В треугольнике ABC AC = BC, AB = 6, cosA = — . Найдите высоту CH.

При выполнении заданий 13 - 18 запишите ход решения и полученный ответ.

13. ( 1 балл)Найдите значение выражения 3^ -3 5 .

35

14. ( 1 балл)Найдите корень уравнения х =7 х — 6х + 2

15. (1балл) Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед (Рис.30). Радиус основания цилиндра равен2. Объем параллелепипеда равен 80.Найдите высоту цилиндра.

Рис.3016. (1 балл) Тело движется по закону

2 *-»S(t) = 2х - х + 1.Определите, в какой момент времени скорость будет равна 7.• 217. (1 балл) Решить уравнение sin х — 6sin х = 0 .

18. (1 балл) Решите неравенство —х > 0,125.8Дополнительная часть

При выполнении заданий 19 - 22 запишите ход решения и полученный ответж19.(3 балла) Найдите наименьшее значение функции у=13х^тх+9на отрезке 0 ;

’ 2

20.(3 балла) Решите систему уравнений3х + у = 3

[log 3 (5х+4 у )= log3( у +5).21.(3 балла) Равнобочная трапеция с основаниями 12 см и 18 см и высотой 4 см вращается около большего основания. Найдите объём тела вращения.

'у22.(3 балла) Найдите все решения уравнения c o s 2 x + sin 2 х = co s х . Укажите корни, принадлежащие отрезку [—ж; ж].

3 вариант Обязательная часть

При выполнении заданий 1-3 запишите ход решения и полученный ответ.1. (1 балл) Найдите корень уравнения 2 2х~ 20 = 16.

2. (1 балл) Найдите значение выражения4 2

2 log2 33. (1 балл) Тетрадь стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 750 рублей после понижения цены на 10%?

При выполнении заданий 4-7 запишите полученный ответ.4. (1 балл) На рисунке 31 изображен график функции у = f (х), определенной на интервале ( - 10; 2). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.5. (1 балл) Определите наименьшее и наибольшее значения функции.6. (1 балл) При каких значениях х, f .х) > 0.

36

7. (1 балл) При каких значениях х, /(х) < 0.Рис.31

При выполнении заданий 8-12 укажите ход решения и запишите полученный ответ.3

8. (1 балл) Найдите значение sin а, если известно, что cos а = — и a GII четверти.

К к9. (1 балл) Решить уравнение COS(x + —) — COS— .

2 610. (1 балл) Решите уравнение log5(5 - 5x) = log52 + 1.11. (1 балл) В таблице указаны средние цены (в рублях) на некоторые основные продукты питания в трёх городах России (по данным на начало 2010 года)

Наименование продукта Барнаул Тверь Псков

Пшеничный хлеб (батон) 12 11 11Молоко (1 литр) 25 26 26Картофель (1 кг) 16 9 14Сыр (1 кг) 260 240 235Говядина (1 кг) 300 280 280Подсолнечное масло (1 литр) 50 38 62

Определите, в каком из этих городов окажется самым дешёвым следующий набор продуктов:3 кг картофеля, 1 кг сыра, 3 л подсолнечного масла. В ответ запишите стоимость данного набора продуктов в этом городе (в рублях).

12. (1 балл) В треугольнике ABC AC = BC, AB = 10, cosA = ^ . Найдите высоту CH.

При выполнении заданий 13-18 запишите ход решения и полученный ответ./ г“ \ / I J 7 + 2 yi 2 — V713. ( 1 балл)Найдите значение выражения 4 • 4 .

14. ( 1 балл)Найдите корень уравнения x - 9 x — 3 x + 5

15. (1балл) Прямоугольный параллелепипед описан около Цилиндра (Рис.32), радиус основания и высота которого равны 6. Найдите объем параллелепипеда.

37

Рис.3216. (1 балл) Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону S = 5t- 0,5t (м), где t - время движения в секундах.Найдите скорость тела через 4 с после начала движения.

* 2 *17. (1 балл) Решить уравнение 2 sin x —3 sin x + 1 — 0 .

18. (1 балл) Решите неравенство 4 9 x+l < ( “ ) x

Дополнительная частьПри выполнении заданий 19 - 22 запишите ход решения и полученный ответ.

*3К19.(3 балла) Найдите наименьшее значение функции У—2cOSx + 5x + 8 на отрезке

2x + у —1520.(3 балла) Решите систему уравнений 1 3y~\og 16.

21.(3 балла) Равнобочная трапеция с основаниями 12 см и 24 см и высотой 8 см в первый раз вращается около меньшего основания, а во второй - около большего. Сравните объёмы тел вращения.

222.(3 балла) Найдите решение уравнения cos2x — Sin x — COS x .Укажите корни, принадлежащие отрезку [0;2к].

Социально-экономический профиль 1 вариант

Обязательная частьПри выполнении заданий 1-9 запишите ход решения и полученный ответ.

1. (1 балл)1 метр ситца стоил 80 рублей. Сколько можно купить ткани на 1000 рублей, если администрация магазина в честь праздника сделала скидку 10%?2. (1 балл)В группе 25 студентов. Необходимо выбрать старосту, заместителя старосты и физорга. Сколько существует способов это сделать?3. (1 балл)Проходит ли график функции у = - 2х через точки

а) А (0,5; -0,5); б) Д-1,5; 1,1).4. (1 балл)Сторона квадрата равна 4 см. Точка, равноудаленная от всех вершин квадрата, находится на расстоянии 6 см от точки пересечения его диагоналей.Найдите расстояние от этой точки до вершин квадрата.5. (1 балл)Найдите корень уравнения log2(4 - х) = 2.

8 16. (1 балл)Вычислите значение выражения 89 • 6418 .

7. (1 балл)Решите неравенство G1 ) 2 Х > 92x - 1. /

4 28. (1 балл)Является ли функция F(x)= x - 3x + 1 первообразной для функции f(x)=4x3 - x2 + x ?9. (1 балл)Даны векторы а {5; -1; 2}и b {3; 2; -4}. Найти координаты с — a — 2b .

38

10. (1 балл)Дорисуйте график четной функции (рис. 33)

Рис.33При выполнении заданий 11-14, используя график функции у = f(x) Рис. 3), определите и

запишите ответ:11. (1 балл)Область определения функции.12.(1 балл) Наименьшее и наибольшее значения функции.13. (1 балл) Промежутки возрастания и убывания функции.14. (1 балл) При каких значениях х , f(x) < 0.

Рис.34При выполнении заданий 15-18 запишите ход решения и полученный ответ.

^ ^ 215. (1 балл)Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = x - 6x + 10,прямыми х = - 1, х = 3и осью абсцисс.16. (1 балл)Решите уравнение 4х • 2х = 64. о17. (1 балл)Найдите производную функции f(x)=2x +sinx.18. (1 балл)Найдите корни уравнения tgx + 1 = 0, принадлежащие отрезку [0;2п].

Дополнительная частьПри выполнении заданий 19-22 запишите ход решения и полученный ответ.

219. (3 балла)Решите уравнение (2x — 3) - д/ 3x — 5x — 2 — 0.20. (3 балла)Прямоугольная трапеция с основаниями 6 см и 10 см и высотой 3 см вращается вокруг большого основания. Найдите площадь поверхности полученного тела вращения.

f x + 4у —1621. (3 балла)Решите систему уравнений <, , , .

[log7y —log7 4 —log7 (x +1)

22. (3 балла) Решите уравнение |4 - 5х| =5х - 4.2 вариант

Обязательная частьПри выполнении заданий 1-9 запишите ход решения и полученный ответ.

1. (1 балл)Тетрадь стоит 30 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 350 рублей после понижения цены на 10%?

39

2. (1 балл)В группе 30 студентов. Необходимо выбрать старосту, заместителя старосты и профорга. Сколько существует способов это сделать?3. (1 балл)Проходит ли график функции у = 2х через точки

а) А (0,5; 0,5); б) Д-1,5; 1,1).4.(1 балл)Сторона квадрата равна 4 см. Точка, не принадлежащая плоскости квадрата, удалена от каждой из его вершин на расстояние 6 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости квадрата.5. (1 балл)Найдите корень уравнения log2(5 - х) = 3.

5 16. (1 балл)Вычислите значение выражения 4 6 -1612.

7. (1 балл)Решите неравенство 271+2x > (~ )2+Х .3 «-*8. (1 балл)Является ли функция F(x)= x + 3x - 5 первообразной для функции

f(x)=3x2 + x?

9. (1 балл)Даны векторы b{3;1; — 2} и с {1; 4; — 3}. Найдите а = 2b — с .10. (1 балл)Дорисуйте график четной функции (Рис.35)

При выполнении заданий 11-14, используя график функции у = f(x) (Рис. 36), определите изапишите ответ:

11. (1 балл)Область определения функции.12.(1 балл) Наименьшее и наибольшее значения функции.13. (1 балл) Промежутки возрастания и убывания функции.14. (1 балл) При каких значениях х , f(x) < 0.

Рис.36При выполнении заданий 15 - 18 запишите ход решения и полученный ответ.

15. (1 балл)Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции

40

f(x) = x + 5x + 6, прямыми х = - 1, х = 2и осью абсцисс.16. (1 балл)Решите уравнение 2х 3х = 36.17. (1 балл)Найдите производную функцииf(x)=3x - sinx.18. (1 балл)Найдите корни уравнения 2sinx + 1 = 0, принадлежащие отрезку [0;2п].

Дополнительная частьПри выполнении заданий 19-22 запишите ход решения и полученный ответ.

19. (3 балла)Решите уравнение (6 x — 5)д/2 x 2 — 5x + 2 = 0 .20. (3 балла)Прямоугольная трапеция с основаниями 12 см и 15 см и высотой 4 см вращается вокруг меньшего основания. Найдите площадь поверхности полученного тела вращения.

j 4 x—y = 2,21. (3 бапла)реш гге систему уравнений j ^ x +lo ^ 2 3=log,2(y+1).

22. (3 балла) Решите уравнение |7 - 4х| =7 - 4х

2

41