二、 随机现象 一、 概率论的诞生及应用

三、 频率稳定性四、 频率与概率

五、 概率论简史

第 1.1 节 随机现象与统计规律

1654 年 , 一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局 , 且谁先赢 c 局便算赢家 , 若在一赌徒胜 a 局 ( a<c ), 另一赌徒胜 b 局 (b<c)

时便终止赌博 , 问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡 , 帕斯卡与费马通信讨论这一问题 , 于 165

4 年共同建立了概率论的第一个基本概念

数学期望 .

一、概率论的诞生及应用1. 概率论的诞生

引例 分赌本问题 ( 产生背景 )

A 、 B 两人赌技相同 , 各出赌金 100 元 , 并约定先胜三局者为胜 , 取得全部 200 元 . 由于出现意外情况 , 在 A 胜 2 局 B 胜 1 局时 ,不得不终止赌博 , 如果要分赌金 ,该如何分配才算公平 ?

A 胜 2 局 B 胜 1 局前三局 :

后二局 :

把已赌过的三局 (A 胜 2 局 B 胜 1 局 ) 与上述结果相结合 ,即 A 、 B 赌完五局 ,

A A A B B A B B

A 胜 B 胜

分析 假设继续赌两局 , 则结果有以下四种情况 :

A A A B B A B B

A 胜 B 负 A 胜 B 负

A 胜 B 负 B 胜 A 负

B 胜 A 负 A 胜 B 负

B 胜 A 负 B 胜 A 负

因此 , A 能“期望”得到的数目应为

41

043

200 ),(150 元

而 B 能“期望”得到的数目 , 则为

43

041

200 ).(50 元

故有 , 在赌技相同的情况下 , A 、 B 最终获胜的可能性大小之比为 ,1:3

即 A 应获得赌金的 而 B 只能获得赌金的,43 .

41

因而 A 期望所得的赌金即为 X 的 “期望”值 ,

等于

X 的可能值与其概率之积的累加 .

).(15041

043

200 元

即为

若设随机变量 X 为 : 在 A 胜 2 局 B 胜 1 局的前提下 , 继续赌下去 A 最终所得的赌金 .则 X 所取可能值为 : 200 0

其概率分别为 :43

41

2. 概率论的应用

概率论是数学的一个分支 , 它研究随机现象的数量规律 . 概率论的广泛应用几乎遍及所有的科学领域 , 例如天气预报 , 地震预报 , 产品的抽样调查 ; 在通讯工程中可用以提高信号的抗干扰性 ,分辨率；随机编码，随机决策等等 .

在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象 .

“ 太阳不会从西边升起” ,

1. 确定性现象

“ 同性电荷必然互斥” ,

“ 水从高处流向低处” ,

实例

自然界所观察到的现象 : 确定性现象 随机现象二、随机现象

在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象 .

实例 1 “ 在相同条件下掷一枚均匀的硬币 , 观察正反两面出现的情况” .

2. 随机现象

“ 函数在间断点处不存在导数” 等 .

结果有可能出现正面也可能出现反面 .

确定性现象的特征 条件完全决定结果

结果有可能为 :

“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “ 6”.

实例 3 “抛掷一枚骰子 , 观 察出现的点数” .

实例 2 “ 用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况” .

结果 : “弹落点会各不相同” .

实例 4 “ 从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品” .

其结果可能为 :

正品 、次品 .

实例 5 “ 过马路交叉口时 ,

可能遇上各种颜色的交通

指挥灯” .

实例 6 “ 一只灯泡的寿命” 可长可短 .

随机现象的分类

个别随机现象：原则上不能在相同条件下重

复出现（例 6）

大量性随机现象：在相同条件下可以重复出

现（例 1-5）

随机现象的特征 条件不能完全决定结果

2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性 , 但在大量重复试验或观察中 , 这种结果的出现具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科 .

随机现象是通过随机试验来研究的 .

如何来研究随机现象 ?

说明1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 , 其数量关系无法用函数加以描述 .

随机事件：随机试验中出现的结果， 简称为事件

三、频率的稳定性

, ,

, , ,

( )

.

N

A N

N A n

nF A

NA N

对于事件 在相同的条件下 进行了 次试验 在这 次试验中 事件 发生的次数 称

事件 在 次试验发生的频率

1. 定义

2. 性质设 A 是随机试验 E 的任一事件 , 则

1 0 1 NF A( ) ( ) ;

2 1 0( ) ( ) , ( ) ;N NF F

1 2

1 2

1 2

3

k

N k

N N N k

A A A

F A A A

F A F A F A

( ) , , ,

,

( )

( ) ( ) ( ).

若 是两两互不相容的

事件 则

实例 将一枚硬币抛掷 5 次、 50 次、 500 次 ,

各做 7 遍 , 观察正面出现的次数及频率 .

1 2 3 4 5 6 7

1 5 1 2 4

27 2580.8 0.54 0.516

试验序号

5N

n NF

2

3

n NF

50N

22

25

21

25

24

18

n500N

251

249

256

247

251

262

0.4

0.6

0.2

1.0

0.2

0.4

0.44

0.50

0.42

0.48

0.36

NF

0.502

0.498

0.512

0.494

0.524

0.50

0.502

处波动较大在21

处波动较小在21

波动最小

随着N的增大 , 频率呈现出稳定性

从上述数据可得

(1) 频率有 ，即对同样的 ,所得的也

波不一定相同

动；性

N

N

F

0.5

(2)试验次数 较小时，频率 随机波动性

较大，但随着 的增大，频率 呈现出稳

定性。投币试验， 会在稳定在 。

N

N

N

N F

N F

F

实验者德 .摩根蒲丰

K.皮尔逊K.皮尔逊

N nNF

2048 1061 0.51814040 2048 0.506912000 6019 0.501624000 12012 0.5005

( )NF A的增大N

.21

我们再来看一个验证频率稳定性的著名实验高尔顿 (Galton)板试验

试验模型如下所示　　自上端放入一小球 ,任其自由下落 , 在下落过程中当小球碰到钉子时 , 从左边落下与从右边落下的机会相等 .碰到下一排钉子时又是如此 . 最后落入底板中的某一格子 . 因此 ,任意放入一球 ,则此球落入哪一个格子 , 预先难以确定 .但是如果放入大量小球 , 则其最后所呈现的曲线 , 几乎总是一样的 .

重要结论

　　频率当 N 较小时波动幅度比较大 ,当 N逐渐增大时 , 频率趋于稳定值 , 这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小 . 它就是事件的概率 .

四、概率论简史 1654 年法国数学家帕斯卡和费马讨论了赌金分配问题，提出了概率论的第一个概念－数学期望，随后惠更斯也加入合作研究，给出了其他一些基本概念。 在对伯努利试验模型研究中，随着试验次数的增加，需要讨论其极限情形，其中伯努利、拉普拉斯、泊松以及高斯等为此作出过重要贡献。 极限定理很快成为概率论研究的中心，其中俄罗斯圣彼得堡学派成为研究此问题的领头人。

随着其他学科发展中碰到的概率问题的增加，概率论的研究与应用也迅猛扩大。其中在统计物理学、无线电、自动控制、产品的质量管理、医药以及农业试验、金融保险以及政府决策等等领域都有重要应用。这些应用同时也推动了概率论的发展，形成了如信息论、排队论、可靠性理论等新的学科

同时数理统计的应用也推动了概率论的发展；在现实生活中，随机现象也会随着时间的变化而变化，从而将概率论研究的中心转移到关于随机过程的研究。