Лекция 12: Ранг матрицыkadm.kmath.ru/files/linalg12.pdf · Лекция 12:...

Лекция 12: Ранг матрицы

Б.М.Верников

Уральский федеральный университет,Институт математики и компьютерных наук,кафедра алгебры и дискретной математики

Б.М.Верников Лекция 12: Ранг матрицы

Вступительные замечания

В данной лекции изучается важная числовая характеристика матрицы —ее ранг. Сначала будут введены три ранга матрицы: по строкам, постолбцам и по минорам. Затем будет доказано, что все три рангасовпадают. Из доказательства этого фундаментального результата,известного как теорема о ранге матрицы, будет вытекать алгоритмнахождения ранга. Кроме того, как мы увидим, теорема о ранге позволитобосновать некоторые из сформулированных ранее алгоритмов и доказатьупоминавшееся в лекции 8 утверждение о невырожденности матрицыперехода от одного базиса к другому. После этого мы докажем теорему оранге произведения матриц. Понятие ранга матрицы часто возникает ииграет важную роль в линейной алгебре и ее приложениях. В частности,оно оказывается очень полезным при исследовании систем линейныхуравнений. Одним из проявлений этого является критерий совместностисистемы линейных уравнений, который формулируется на языке ранговосновной и расширенной матриц системы. Этот результат будет доказан вконце лекции. Еще одному применению понятия ранга матрицы прианализе систем линейных уравнений будет посвящена следующая лекция.


Векторы-строки и векторы-столбцы матрицы

Определение

Рассмотрим произвольную матрицу

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . . . . . .am1 am2 . . . amn

.

Векторы, компонентами которых являются элементы строк матрицы A,т. е. векторы

a1 = (a11, a12, . . . , a1n), a2 = (a21, a22, . . . , a2n), . . . , am = (am1, am2, . . . , amn),

называются векторами-строками матрицы A. Аналогично, векторы,компонентами которых являются элементы столбцов матрицы A, т. е.векторы

a1 = (a11, a21, . . . , am1), a2 = (a12, a22, . . . , am2), . . . , an = (a1n, a2n, . . . , amn),

называются векторами-столбцами матрицы A.

Векторы a1, a2, . . . , am принадлежат пространству Rn, а векторыa1, a2, . . . , an — пространству Rm.


Ранги матрицы по строкам, по столбцам и по минорам

В следующем определении используется понятие минора матрицы,которое было введено в лекции 5.


Рангом матрицы A по строкам называется размерность подпространства,порожденного векторами-строками этой матрицы, а рангом матрицы A постолбцам — размерность подпространства, порожденноговекторами-столбцами этой матрицы. Ранг матрицы A по строкамобозначается через rs(A), а ранг A по столбцам — через rc(A).

Рангом матрицы по минорам называется наибольший из порядков техминоров этой матрицы, которые не равны нулю. Ранг матрицы A поминорам обозначается через rm(A).


Теорема о ранге матрицы

Бо́льшая часть данной лекции будет посвящена доказательствуследующего фундаментального результата.

Теорема 1 (теорема о ранге матрицы)

Пусть A — произвольная матрица. Ранг матрицы A по строкам равен еерангу по столбцам и равен ее рангу по минорам.

Прежде чем переходить к непосредственному доказательству этогоутверждения, мы докажем ряд лемм.

Лемма 1

Умножение строки на ненулевое число и прибавление одной строки кдругой не меняют ранга матрицы по строкам.

Доказательство. Пусть A — произвольная матрица, а B — матрица,полученная из A с помощью одного из двух элементарных преобразований,указанных в формулировке леммы. Обозначим векторы-строки матрицы Aчерез a1, a2, . . . , am, а векторы-строки матрицы B — через b1, b2, . . . , bm.Положим VA = 〈a1, a2, . . . , am〉 и VB = 〈b1, b2, . . . , bm〉. Требуетсядоказать, что dimVA = dimVB . Покажем, что на самом деле верно дажеболее сильное равенство VA = VB . Рассмотрим два случая.


Элементарные преобразования матрицы и ее ранг по строкам (1)

Случай 1: B получена из A умножением i-й строки матрицы A наненулевое число t. В этом случае bj = aj для всех j = 1, 2, . . . ,m, j 6= i иbi = tai . Ясно, что каждый из векторов b1, b2, . . . , bm лежит в VA, ипотому VB ⊆ VA. С другой стороны, каждый из векторов a1, a2, . . . , am

лежит в VB (для всех векторов, кроме ai , это очевидно, а для ai вытекаетиз того, что ai = 1

t · bi ). Следовательно, VA ⊆ VB , и потому VA = VB .

Случай 2: B получена из A прибавлением j-й строки матрицы A к ее i-йстроке. В этом случае bk = ak для всех k = 1, 2, . . . ,m, k 6= i и bi = ai + aj .Как и в предыдущем случае, ясно, что каждый из векторов b1, b2, . . . , bm

лежит в VA, и потому VB ⊆ VA. Остается справедливым и обратноеутверждение: каждый из векторов a1, a2, . . . , am лежит в VB (для всехвекторов, кроме ai , это очевидно, а для ai вытекает из того, чтоai = bi − bj ). Следовательно, VA ⊆ VB , и потому VA = VB .


Элементарные преобразования матрицы и ее ранг по минорам (1)

Лемма 2

Умножение строки на ненулевое число и прибавление одной строки кдругой не меняют ее ранга по минорам.

Доказательство. Вновь предположим, что A — произвольная матрица, а B— матрица, полученная из A с помощью одного из двух элементарныхпреобразований, указанных в формулировке леммы. Пусть M —произвольный минор матрицы A. Матрицу, определителем которойявляется минор M, будем обозначать через AM . Если матрица AM

расположена в строках с номерами i1, i2, . . . , ik и столбцах с номерамиj1, j2, . . . , jk матрицы A, то определитель матрицы, расположенной встроках и столбцах матрицы B с теми же номерами, обозначим через M ′.Ясно, что M ′ — минор матрицы B, и порядки миноров M и M ′ совпадают.Рассмотрим те же два случая, что и в доказательстве леммы 1.

Случай 1: B получена из A умножением i-й строки матрицы A наненулевое число t. Пусть M — произвольный минор матрицы A. Еслиматрица AM не содержит элементов i-й строки матрицы A, то M ′ = M. Впротивном случае предложение 1 из лекции 5 влечет, что M ′ = tM.Учитывая, что t 6= 0, получаем, что M = 0 тогда и только тогда, когдаM ′ = 0. Следовательно, максимальные порядки ненулевых миноров вматрицах A и B совпадают, т. е. rm(A) = rm(B).



Случай 2: B получена из A прибавлением j-й строки матрицы A к ее i-йстроке. Пусть M — ненулевой минор k-го порядка матрицы A. Покажем,что в матрице B тоже есть ненулевой минор k-го порядка. Если матрицаAM не содержит элементов i-й и j-й строк матрицы A, то M ′ = M 6= 0.Если AM содержит элементы как i-й, так и j-й строки матрицы A, то всилу предложения 6 из лекции 5 вновь получаем, что M ′ = M 6= 0.Предположим, наконец, что AM содержит элементы i-й строки матрицыA, но не содержит элементов ее j-й строки. Если M ′ 6= 0, то нужный намфакт установлен. Пусть теперь M ′ = 0. Будем для простоты предполагать,что матрица AM расположена в первых k строках и первых k столбцахматрицы A, i = 1 и j = k + 1 (в общем случае доказательство вполнеаналогично).



Используя предложение 5 из лекции 5, мы получаем, что

M ′ =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 + ak+1 1 a12 + ak+1 2 . . . a1k + ak+1 k

a21 a22 . . . a2k

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ak1 ak2 . . . akk

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

=

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1k

a21 a22 . . . a2k

. . . . . . . . . . . . . . .ak1 ak2 . . . akk

∣∣∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣∣∣ak+1 1 ak+1 2 . . . ak+1 k

a21 a22 . . . a2k

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ak1 ak2 . . . akk

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

= M +

∣∣∣∣∣∣∣∣ak+1 1 ak+1 2 . . . ak+1 k

a21 a22 . . . a2k

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ak1 ak2 . . . akk

∣∣∣∣∣∣∣∣ .Обозначим последний из определителей, возникших в этой цепочкеравенств, через D. Поскольку M + D = M ′ = 0, имеем

D =

∣∣∣∣∣∣∣∣ak+1 1 ak+1 2 . . . ak+1 k

a21 a22 . . . a2k

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ak1 ak2 . . . akk

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −M 6= 0. (1)



В матрице, определитель которой мы обозначили через D, поменяемместами сначала первую строку и вторую, затем вторую строку и третью,. . . , наконец, (k − 1)-вую строку и k-тую. В результате, сделав k − 1перестановку строк, мы получим минор k-го порядка матрицы B(матрица, определителем которой он является, расположена в первых kстолбцах и в строках со второй по (k + 1)-вую матрицы B). Обозначимэтот минор через D ′. Предложение 3 из лекции 5 и равенство (1) влекут,что D ′ = (−1)k−1D = (−1)kM 6= 0.

Итак, если матрица A содержит ненулевой минор k-го порядка, то тем жесвойством обладает и матрица B. Следовательно, максимальный порядокненулевого минора матрицы B не может быть меньше, чем максимальныйпорядок ненулевого минора матрицы A. Иными словами, rm(A) 6 rm(B).Матрица A может быть получена из матрицы B последовательнымвыполнением трех операций: умножением j-й строки матрицы B на −1,прибавлением j-й строки полученной матрицы к ее i-й строке и повторнымумножением j-й строки полученной после этого матрицы на −1. Первая итретья из этих операций, как было установлено при разборе случая 1, неменяют ранга матрицы по минорам, а вторая, как мы только чтоубедились, может разве лишь увеличить его. Следовательно,rm(B) 6 rm(A) и потому rm(A) = rm(B).


Ранг ступенчатой матрицы по строкам (1)

Лемма 3

Ранг ступенчатой матрицы по строкам равен числу ее ненулевых строк.

Доказательство. Пусть A = (aij ) — ступенчатая матрица, число ненулевыхстрок которой равно k. Очевидно, что любой набор из более чем kвекторов-строк матрицы A (если он существует, т. е. если A содержитболее k строк) содержит нулевой вектор и потому линейно зависим (см.лемму 4 в лекции 7). Следовательно, rs(A) 6 k. Для завершениядоказательства достаточно установить, что первые k векторов-строкматрицы A линейно независимы. Для простоты обозначений будемсчитать, что матрица A имеет вид

a11 a12 a13 . . . a1k . . . a1n

0 a22 a23 . . . a2k . . . a2n

0 0 a33 . . . a3k . . . a3n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . akk . . . akn

0 0 0 . . . 0 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 0 . . . 0

, (2)

где a11, a22, . . . , akk 6= 0 (в общем случае доказательство аналогично).Б.М.Верников Лекция 12: Ранг матрицы

Ранг ступенчатой матрицы по строкам (2)

Обозначим первые k векторов-строк матрицы A через a1, a2, . . . , ak .Предположим, что

t1a1 + t2a2 + · · ·+ tkak = 0 (3)

для некоторых чисел t1, t2, . . . , tk . Приравнивая первые, вторые, . . . , k-тыекомпоненты этого векторного равенства, мы получим следующуюоднородную систему линейных уравнений:

t1a11 = 0,t1a12 + t2a22 = 0,t1a13 + t2a23 + t3a33 = 0,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .t1a11 + t2a2k + t3a3k + · · · + tkakk = 0.

(4)

Из первого уравнения этой системы и того, что a11 6= 0, вытекает, чтоt1 = 0. Подставляя это значение t1 во второе уравнение системы (4),получаем, что t2a22 = 0. Поскольку a22 6= 0, отсюда вытекает, что t2 = 0.Аналогичным образом из третьего уравнения системы (4) выводится, чтоt3 = 0, . . . , из k-го уравнения этой системы — что tk = 0. Итак, изравенства (3) вытекает, что t1 = t2 = · · · = tk = 0. Следовательно, векторыa1, a2, . . . , ak линейно независимы.


Ранг ступенчатой матрицы по минорам

Лемма 4

Ранг ступенчатой матрицы по минорам равен числу ее ненулевых строк.

Доказательство. Вновь предположим, что A = (aij ) — ступенчатаяматрица, число ненулевых строк которой равно k. Очевидно, что любойминор более чем k-го порядка матрицы A (если он существует, т. е. если Aсодержит более k строк и более k столбцов) является определителемматрицы, которая содержит нулевую строку, и потому равен 0 (см.предложение 2 из лекции 5). Следовательно, rm(A) 6 k. Для завершениядоказательства достаточно установить, что матрица A имеет ненулевойминор порядка k. Для упрощения рассуждений будем считать, чтоматрица A имеет вид (2), где a11, a22, . . . , akk 6= 0 (в общем случаедоказательство аналогично). Матрица, расположенная в первых k строкахи первых k столбцах матрицы A, является верхнетреугольной, и всеэлементы на ее главной диагонали отличны от 0. Определитель этойматрицы, являющийся минором k-го порядка матрицы A, отличен от 0(см. предложение 11 из лекции 5).


Еще две леммы

Предложение 9 из лекции 5 с очевидностью влечет следующееутверждение.

Лемма 5

При транспонировании матрицы ее ранг по минорам не меняется.

Лемма 6

Любую матрицу можно привести к ступенчатому виду, используя толькоумножение строки на ненулевое число и прибавление одной строки кдругой.

Доказательство. Как мы видели в лекции 4 (см. там комментарий 2 кдоказательству теоремы 1), любую матрицу можно привести кступенчатому виду, используя два преобразования, указанных вформулировке леммы, и перестановку строк местами. Но переставитьместами i-тую и j-тую строки можно, выполнив последовательноследующие шесть преобразований: прибавить j-тую строку к i-й; умножитьj-тую строку на −1; прибавить i-тую строку к j-й; умножить j-тую строкуна −1; прибавить j-тую строку к i-й; умножить j-тую строку на −1.


Доказательство теоремы о ранге

Теперь мы готовы завершить доказательство теоремы о ранге матрицы.Пусть A — произвольная матрица, а B — ступенчатая матрица,полученная при приведении матрицы A к ступенчатому виду с помощьюумножения строки на ненулевое число и прибавления одной строки кдругой (см. лемму 6). Тогда rs(A) = rs(B) = rm(B) = rm(A) (первое изэтих равенств вытекает из леммы 1, второе — из лемм 3 и 4, а третье —из леммы 2). Таким образом, ранг A по строкам равен рангу A поминорам. Очевидно, что rc(A) = rs(A>). Используя только что доказанноесовпадение рангов произвольной матрицы по строкам и по минорам илемму 5, имеем rc(A) = rs(A>) = rm(A>) = rm(A). Таким образом, ранг Aпо столбцам равен рангу A по минорам (а значит, и рангу A построкам).

Теорема о ранге матрицы позволяет ввести следующее


Рангом матрицы называется число, равное любому из трех еевышеопределенных рангов. Ранг матрицы A мы будем обозначать черезr(A).


Алгоритм нахождения ранга матрицы. Некоторые ранеесформулированные алгоритмы (1)

Из лемм 1 и 3 вытекает следующий

Алгоритм нахождения ранга матрицы

Приведем данную матрицу к ступенчатому виду. Число ненулевых строк вполученной матрице равно рангу исходной матрицы.

В лекции 7 был приведен без обоснования алгоритм определениялинейной зависимости или независимости системы векторов изпространства Rn. Напомним, в чем он состоит. Запишем данные векторы вматрицу по строкам и начнем приводить эту матрицу к ступенчатому виду.Если в процессе элементарных преобразований возникнет хотя бы однанулевая строка, система линейно зависима. Если мы доведем матрицу доступенчатого вида и нулевые строки в процессе преобразований невозникнут, система линейно независима. Теперь мы в состоянииобосновать этот алгоритм. При приведении матрицы к ступенчатому видумы заменяем каждую строку матрицы на нетривиальную линейнуюкомбинацию ее строк. Поэтому возникновение нулевой строки означает,что векторы-строки исходной матрицы линейно зависимы. Если женулевых строк не возникло, то в силу лемм 1 и 3 размерностьпространства, порожденного векторами-строками исходной матрицы равначислу этих строк, а значит эти векторы-строки линейно независимы.


Некоторые ранее сформулированные алгоритмы (2)

В лекции 9 был приведен без обоснования алгоритм нахождения базиса иразмерности подпространства пространства Rn, порожденного даннымнабором векторов. Напомним, в чем он состоит. Запишем данные векторыв матрицу по строкам и приведем эту матрицу к ступенчатому виду.Ненулевые строки полученной матрицы будут базисом нашегоподпространства, а число этих строк равно его размерности. Теперь мы всостоянии обосновать этот алгоритм. В самом деле, в силу алгоритманахождения ранга матрицы число ненулевых строк полученнойступенчатой матрицы равно рангу исходной матрицы по строкам, т. е.размерности пространства, порожденного ее векторами-строками. Далее,как проверено в процессе доказательства леммы 3, справедливоследующее

Замечание 1

Ненулевые векторы-строки ступенчатой матрицы линейно независимы.

Следовательно, ненулевые векторы-строки полученной нами ступенчатойматрицы линейно независимы и их число равно размерностипространства, порожденного этими векторами-строками. В силузамечания 8 из лекции 8 эти векторы-строки образуют базиспорожденного ими пространства.


Невырожденность матрицы перехода от одного базиса к другому

В лекции 8 было введено понятие матрицы перехода от одного базиса кдругому и утверждалось без доказательства, что определитель этойматрицы не равен 0. Теперь мы легко можем доказать этот факт. В самомделе, матрица перехода от одного базиса к другому — это квадратнаяматрица, порядок которой равен размерности рассматриваемогопространства. Обозначим это число через n. Векторами-столбцами этойматрицы являются координаты векторов нового базиса в старом.Следовательно, векторы-столбцы матрицы перехода линейно независимы,и потому ранг матрицы перехода по столбцам равен n. В силу теоремы оранге ее ранг по минорам также равен n. Поскольку единственнымминором n-го порядка квадратной матрицы порядка n являетсяопределитель этой матрицы, мы получаем, что определитель матрицыперехода не равен 0.


Ранг произведения матриц (1)

Нашей следующей целью является доказательство следующегоутверждения.

Теорема 2

Ранг произведения матриц не превосходит ранга каждого изсомножителей.

Доказательство. Пусть A = (aij ) — матрица размера k × `, а B = (bij ) —матрица размера `×m. Положим C = AB. По определению произведенияматриц, первый столбец матрицы C имеет вид

a11b11 + a12b21 + · · · + a1`b`1a21b11 + a22b21 + · · · + a2`b`1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ak1b11 + ak2b21 + · · · + ak`b`1

=

= b11 ·

a11

a21

. . .ak1

+ b21 ·

a12

a22

. . .ak2

+ · · ·+ b`1 ·

a1`

a2`

. . .ak`

.


Ранг произведения матриц (2)

Таким образом, первый столбец матрицы C является линейнойкомбинацией столбцов матрицы A. Аналогичное утверждение можнополучить и для любого другого столбца матрицы C . Итак, все столбцыматрицы C являются линейными комбинациями столбцов матрицы A.Следовательно, подпространство, порожденное векторами-столбцамиматрицы C , содержится в подпространстве, порожденномвекторами-столбцами матрицы A. Размерность первого подпространстване превосходит поэтому размерности второго. Это означает, что ранг постолбцам матрицы C не превосходит ранга по столбцам матрицы A, т. е.r(C) 6 r(A).

Рассуждая аналогично, легко убедиться в том, что строки матрицы Cявляются линейными комбинациями строк матрицы B. Отсюда вытекаетнеравенство r(C) 6 r(B).


Ранг произведения матриц (частный случай)

В некоторых случаях ранг произведения матриц оказывается равнымрангу одного из сомножителей. Укажем один из таких случаев.

Следствие 1

Если A и B — квадратные матрицы одного и того же порядка и |A| 6= 0, торанг матрицы AB равен рангу матрицы B.

Доказательство. Положим C = AB. По теореме 2 r(C) 6 r(B). В силукритерия обратимости матрицы существует матрица A−1. РавенствоC = AB умножим слева на A−1. Получим

A−1C = A−1(AB) = (A−1A)B = EB = B,

т. е. B = A−1C . Применяя теорему 2 к последнему равенству получаемнеравенство r(B) 6 r(C). Следовательно, r(B) = r(C).


Теорема Кронекера–Капелли (1)

В оставшейся части лекции мы продемонстрируем, как понятие рангаматрицы возникает при исследовании систем линейных уравнений.

Следующее утверждение назывется критерием совместности системылинейных уравнений или теоремой Кронекера–Капелли.

Теорема 3

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда рангее основной матрицы равен рангу ее расширенной матрицы.

Доказательство. Рассмотрим произвольную систему линейных уравненийa11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1,a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm.

(5)

Обозначим ее основную матрицу через A, а расширенную — через B.Векторы-столбцы матрицы A будем обозначать через a1, a2, . . . , an, астолбец свободных членов — через b. Пространство, порожденноевекторами-столбцами матрицы A, условимся обозначать через VA, апространство, порожденное векторами-столбцами матрицы B, — через VB .


Теорема Кронекера–Капелли (2)

Заметим, что система (5) может быть записана в виде векторногоравенства x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan = b. Следовательно, система (5)совместна в том и только в том случае, когда вектор b является линейнойкомбинацией векторов-столбцов матрицы A, т. е. когда b ∈ VA.

Пусть система (5) совместна. Тогда вектор b принадлежит пространствуVA. Это значит, что векторы-столбцы матрицы B принадлежат VA, ипоэтому VB ⊆ VA. Но столбцы матрицы A являются столбцами матрицыB. Отсюда следует, что VA ⊆ VB . Следовательно, VA = VB . Но тогда иdimVA = dimVB , т. е. ранг по столбцам матрицы A равен рангу постолбцам матрицы B. В силу теоремы о ранге матрицы, ранги матриц A иB равны.

Предположим теперь, что ранги матриц A и B равны. Положимr = r(A) = r(B). Базис пространства VA состоит из r векторов. Дляудобства обозначений будем считать что он состоит из первых rвекторов-столбцов матрицы A, т. е. из векторов a1, a2, . . . , ar . Эти векторыпринадлежат и пространству VB . Размерность пространства VB равна r .Следовательно, векторы a1, a2, . . . , ar образуют базис пространства VB .Вектор b принадлежит VB и потому является линейной комбинациейбазисных векторов. Итак, вектор b является линейной комбинациейвекторов a1, a2, . . . , ar , а значит и линейной комбинацией всей системывекторов-столбцов матрицы A. Следовательно, система (5) совместна.


Теорема Кронекера–Капелли (комментарий)

Отметим, что теорему Кронекера–Капелли легко вывести уже из методаГаусса. В самом деле, как мы видели в лекции 4, система линейныхуравнений совместна тогда и только тогда, когда при приведении еерасширенной матрицы к ступенчатому виду не возникает строки, вкоторой все элементы, кроме последнего, равны 0, а последний элементотличен от 0. Это, очевидно, равносильно тому, что при приведении кступенчатому виду основной и расширенной матриц системы получатсяматрицы с одинаковым числом ненулевых строк. С учетом алгоритманахождения ранга матрицы, это, в свою очередь, равносильно тому, чторанги основной и расширенной матриц системы равны.

Таким образом, теорема Кронекера–Капелли не дает ничего нового посравнению с методом Гаусса для анализа той или иной конкретнойсистемы. Но она чрезвычайно полезна с теоретической точки зрения, таккак используется в доказательствах целого ряда важных утверждений.


Лекция 12: Ранг матрицыkadm.kmath.ru/files/linalg12.pdf · Лекция 12:...

Documents