1

ЛЕКЦИЯ № 10-11

Билинейные и квадратичные формы.

I. Билинейные и квадратичные формы. Преобразование матрицы

квадратичной формы при переходе к другому базису.

1. Билинейные формы

Определение. Билинейной формой 𝑩(�⃗⃗� , �⃗⃗� ) на линейном пространстве 𝑉𝑛

(dim 𝑉𝑛=n), называется отображение пары векторов �̅� и �̅� в число,

(𝐵: 𝑉𝑛 × 𝑉𝑛 → ℝ), если оно линейно по каждому аргументу:

∀�̅�, �̅�, �̅� ∈ 𝑽𝒏; ∀𝜷 ∈ ℝ

1) 𝑩(�̅� + �̅�, �̅�) = 𝑩(�̅�, �̅�) + 𝑩(�̅�, �̅�)

2) 𝑩(�̅�, �̅� + �̅�) = 𝑩(�̅�, �̅�) + 𝑩(�̅�, �̅�)

3) 𝑩(𝜷�̅�, �̅�) = 𝜷𝑩(�̅�, �̅�) = 𝑩(�̅�, 𝜷�̅�)

2

Примером билинейной формы может служить скалярное произведение (�̅�, �̅�).

Найдем выражение билинейной формы в координатах. Пусть в 𝑉𝑛 задан базис

{𝑒1; 𝑒2…𝑒𝑛}. Тогда �̅� = 𝒙𝟏𝑒1 +⋯+ 𝒙𝒏𝑒𝑛; �̅� = 𝒚𝟏𝑒1 +⋯+ 𝒚𝒏𝑒𝑛.

Тогда билинейная форма 𝑩(�⃗⃗� , �⃗⃗� ) = 𝑩(𝒙𝟏𝑒1 +⋯+ 𝒙𝒏𝑒𝑛, 𝒚𝟏𝑒1 +⋯+ 𝒚𝒏𝑒𝑛) =

∑ ∑ 𝑩(𝒆𝒊; 𝒆𝒋)𝒏𝒋=𝟏

𝒏𝒊=𝟏 𝒙𝒊𝒚𝒋 = ∑ ∑ 𝒃𝒊𝒋

𝒏𝒋=𝟏

𝒏𝒊=𝟏 𝒙𝒊𝒚𝒋 , где 𝒃𝒊𝒋 = 𝑩(𝒆𝒊; 𝒆𝒋).

Таким образом билинейная форма может быть задана матрицей 𝑩:

В=(

𝑩(𝒆𝟏; 𝒆𝟏) … 𝑩(𝒆𝟏; 𝒆𝒏)

… 𝑩(𝒆𝒊; 𝒆𝒋) …

𝑩(𝒆𝒏; 𝒆𝟏) … 𝑩(𝒆𝒏; 𝒆𝒏)

) = (

𝒃𝟏𝟏 … 𝒃𝟏𝒏… 𝒃𝒊𝒋 …

𝒃𝒏𝟏 … 𝒃𝒏𝒏

)

Обозначим X=(

𝑥1…𝑥𝑛) ; Y=(

𝑦1…𝑦𝑛).

3

Теорема 1. Если 𝐵(𝑥 , 𝑦 ) - билинейная форма, то

𝑩(�⃗⃗� , �⃗⃗� ) = (𝒙𝟏 ….𝒙𝒏) (

𝒃𝟏𝟏 … 𝒃𝟏𝒏… 𝒃𝒊𝒋 …

𝒃𝒏𝟏 … 𝒃𝒏𝒏

)(

𝒚𝟏…𝒚𝒏) = 𝑿𝑻𝑩𝒀=

= ∑ ∑ 𝒃𝒊𝒋𝒏𝒋=𝟏

𝒏𝒊=𝟏 𝒙𝒊𝒚𝒋

Пример 1: 𝐵(𝑥 , 𝑦 ) = 3𝑥1𝑦1 − 2𝑥1𝑦2 + 4𝑥2𝑦1 + 𝑥2𝑦2 = (𝑥1 𝑥2) (3 −24 1

) (𝑦1𝑦2) ;

Теорема 2. При переходе к другому базису матрица билинейной формы

меняется по следующему правилу:

𝑩′=𝑷𝑻ВP

где P-матрица перехода от базиса S к базису 𝑆′, В- матрица в базисе S, 𝐵′-

матрица в базисе 𝑆′.

4

►Рассмотрим преобразование координат при переходе к другому базису.

Пусть Х - координаты вектора в базисе S, а X′ -координаты вектора в базисе

𝑆′. Тогда X=PX′; Y=PY′; где P-матрица перехода от базиса S к базису 𝑆′,

𝑩(�⃗⃗� , �⃗⃗� ) = 𝑿𝑻𝑩𝒀=(𝐏 𝐗′)𝑻𝑩(𝐏 𝐘′) = 𝐗′𝑻(𝐏 𝑻𝑩𝑷)𝐘′ = 𝐗′

𝑻 𝑩′𝐘′=> 𝑩′=𝑷𝑻ВP.

(используется формула (𝐴𝐵)𝑇) = 𝑩𝑻А𝑻 ◄

Определение. Рангом билинейной формы называется ранг ее матрицы в

любом базисе.

Следствие. Ранг билинейной формы не зависит от базиса.

Определение. Билинейная форма называется вырожденной, если её ранг

меньше размерности пространства, и невырожденной, если её ранг равен

размерности пространства.

5

Определение. Билинейная форма называется симметричной, если

∀�̅�, �̅� ∈ 𝑽𝒏; 𝑩(�̅�, �̅�)= 𝑩(�̅�, �̅�)

Теорема 3. Билинейная форма симметричная тогда и только тогда, когда ее

матрица симметричная.

► Билинейная форма симметричная => 𝐵(𝑒𝑖; 𝑒𝑗) = 𝐵(𝑒𝑗; 𝑒𝑖); => 𝑏𝑖𝑗 = 𝑏𝑗𝑖 =>

матрица B-симметричная.

Матрица B-симметричная => 𝑏𝑖𝑗 = 𝑏𝑗𝑖 =>

𝐵(𝑥 , 𝑦 ) =𝑋𝑇𝐵𝑌 = (𝑋 𝑇𝐵𝑌)𝑇 = (𝐵𝑌)𝑇𝑋 = 𝑌𝑇𝐵𝑇𝑋 = 𝑌𝑇𝐵𝑋 = B(y, x) (так как это число) (так как В-симметричная и 𝐵𝑇 = 𝐵)

=> B cимметричная билинейная форма. ◄

6

2. Квадратичные формы.

Определение. Функция 𝝋(𝒙) = A(𝒙, 𝒙), где A(𝑥, 𝑦) –симметричная

билинейная форма, называется квадратичной формой.

Матрица квадратичной формы в базисе {𝑒1; 𝑒2…𝑒𝑛}:

А=(А(𝒆𝟏; 𝒆𝟐) … А(𝒆𝟏; 𝒆𝒏)

… … …А(𝒆𝒏; 𝒆𝟏) … А(𝒆𝒏; 𝒆𝒏)

)= (

𝒂𝟏𝟏 … 𝒂𝟏𝒏… … …𝒂𝒏𝟏 … 𝒂𝒏𝒏

)

А – симметричная матрица, так как А(𝑒𝑖; 𝑒𝑗) = А(𝑒𝑗; 𝑒𝑖) => 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖

𝝋(𝒙) = (𝒙𝟏…. 𝒙𝒏)А(

𝒙𝟏…𝒙𝒏) = 𝑿𝑻𝐀𝐗 = ∑ ∑ 𝒂𝒊𝒋𝒙𝒊

𝒏𝒋=𝟏

𝒏𝒊=𝟏 𝒙𝒋

7

(𝑥1…. 𝑥𝑛)∙А∙ (

𝑥1…𝑥𝑛) – векторно-матричная форма записи квадратичной формы;

∑ ∑ 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑖𝑛𝑗=1

𝑛𝑖=1 𝑥𝑗 – координатная форма записи квадратичной формы

В базисе {𝑒 1, 𝑒 2, 𝑒 3}:

𝜑(𝑥) = 𝑎11𝑥12+2𝑎12𝑥1𝑥2+2𝑎13𝑥1𝑥3+𝑎22𝑥2

2+2𝑎23𝑥2𝑥3+𝑎33𝑥32

8

Пример 2 Квадратичная форма 𝜑(𝑥) = 𝑥12 + 2𝑥1𝑥2+4𝑥2

2 - 3𝑥2𝑥3+7𝑥32

Имеет матрицу: 𝐴 = (1 1 01 4 −1.50 −1.5 7

).

В матричной записи квадратичная форма имеет вид:

𝑥12 + 2𝑥1𝑥2+ 4𝑥2

2 - 3𝑥2𝑥3 + 7𝑥32 =(𝑥1𝑥2𝑥3) (

1 1 01 4 −1.50 −1.5 7

)(

𝑥1𝑥2𝑥3)

Определение Ранг квадратичной формы 𝜑(𝑥) – это ранг ее матрицы.

Определение Если rang 𝜑(𝑥) = 𝑛 = dim𝑉𝑛, то квадратичная форма

называется невырожденной.

Иначе, если rang 𝜑(𝑥) < 𝑛, то вырожденной.

9

Квадратичная форма из примера 2 невырожденная, т.к. rang A=3.

(1 1 01 4 −1.50 −1.5 7

)~(1 1 00 3 −1.50 −1.5 7

)~(1 1 00 −1.5 70 0 4

)

Пример 3

Квадратичная форма 𝜑(𝑥) = 𝑥12 + 6𝑥1𝑥3 имеет матрицу:

(1 0 30 0 03 0 0

);

Так как rang A=2<3, данная квадратичная форма является вырожденной.

10

Пример 4

В некотором базисе задана квадратичная форма

𝜑(𝑥) = 𝑥12 + 4𝑥1𝑥2 - 2𝑥1𝑥3 + 3𝑥2

2 - 6𝑥2𝑥3 - 𝑥32

Выписать ее матрицу и найти ее значение на векторе 𝑎 = (101).

А = (1 2 −12 3 −3−1 −3 −1

);

𝜑(𝑎)= (1 0 1) (1 2 −12 3 −3−1 −3 −1

)(101) = (0 − 1 − 2) (

101) = −2

11

3. Преобразование матрицы квадратичной формы

при переходе к другому базису.

Теорема 4. Если 𝐴1 – матрица квадратичной формы в базисе Б1, 𝐴2 –

матрица квадратичной формы – матрица в базисе Б2, P – матрица перехода

от Б1 к Б2 , тогда

А𝟐 = 𝑷𝑻А𝟏𝑷

► Является следствием теоремы 2.◄

12

Пример 5

Базис Б1={𝑒1⃗⃗ ⃗; 𝑒2⃗⃗ ⃗}; Базис Б2={ 𝑒1⃗⃗ ⃗ + 2𝑒2⃗⃗ ⃗; 𝑒2⃗⃗ ⃗ − 𝑒1⃗⃗ ⃗};

𝜑Б1(𝑥) = 𝑥12−2𝑥1𝑥2 +2𝑥2

2 ;

Выписать квадратичную форму в базисе Б2.

А1=(1 −1−1 2

);

P = (1 −12 1

)

А2 = 𝑃𝑇А1𝑃 =(

1 2−1 1

) (1 −1−1 2

) (1 −12 1

) = (5 44 5

)

𝜑Б2(𝑦) = 5𝑦12+8𝑦1𝑦2 +5𝑦2

2

13

II. Канонический вид квадратичной формы.

Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому

виду. Закон инерции квадратичных форм.

1. Квадратичная форма канонического вида.

Определение. Квадратичную форму 𝝋(𝒙) = 𝝀𝟏𝒙𝟏𝟐+…+ 𝝀𝒊𝒙𝒊

𝟐 +…+𝝀𝒏𝒙𝒏𝟐 ,

не имеющую попарных произведений переменных, называют

квадратичной формой канонического вида.

Базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называют

каноническим базисом.

14

В каноническом базисе матрица квадратичной формы имеет диагональный

вид: (

𝜆1 0⋯0 0⋮ 𝜆𝑖 ⋮0 0⋯0 𝜆𝑛

)

Если 𝜆𝑖 = {0,±1}, i=1: 𝑛, то говорят, что квадратичная форма приведена к

нормальному виду.

Метод Лагранжа.

Один из методов приведения квадратичной формы к каноническому виду

путем замены переменных состоит в последовательном выделении полных

квадратов. Такой метод называется методом Лагранжа.

15

Пример 1. Рассмотрим 𝜑(𝑥 ) = 𝑥12 − 4𝑥1𝑥2 на пространстве 𝑉2.

𝜑(𝑥 ) = 𝑥12 − 4𝑥1𝑥2 = (𝑥1

2 − 4𝑥1𝑥2 + 4𝑥22) − 4𝑥2

2 = (𝑥1 − 2𝑥2)2 − 4𝑥2

2 = 𝑦12 − 𝑦2

2.

Квадратичная форма приведена к нормальному виду.

{𝑦1 = 𝑥1 − 2𝑥2𝑦2 = 2𝑥2

Проверим выполнение формулы А2 = 𝑃𝑇А1𝑃;

Для этого запишем преобразование координат в виде: Y=𝑃−1𝑋;

𝑃−1 = (1 −20 2

); P= 1

2(2 20 1

) = (1 1

01

2

);

P можно было найти, выразив 𝑥𝑖 через 𝑦𝑖 : {𝑥1 = 𝑦1 + 𝑦2𝑥2 = 𝑦2/2

; X=PY => P=(1 1

01

2

);

А2 = 𝑃𝑇А1𝑃 =(

1 0

11

2

) (1 −2−2 0

)(1 1

01

2

)=(1 00 −1

); верно.

16

Пример 2.

(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐

(𝑎 − 𝑏 + 𝑐)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 − 2𝑏𝑐

(𝑎 + 𝑏 − 𝑐)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑐 − 2𝑏𝑐

(𝑎 − 𝑏 − 𝑐)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐

𝜑(𝑥 ) = 𝑥12 + 3𝑥2

2 + 2𝑥32 − 2𝑥1𝑥2 − 4𝑥1𝑥3 = (𝑥1

2 − 2𝑥1𝑥2 − 4𝑥1𝑥3) + 3𝑥22 +

+2𝑥32 = (𝑥1

2 − 2𝑥1𝑥2 − 4𝑥1𝑥3 + 𝑥22 + 4𝑥3

2 + 4𝑥2𝑥3) − 𝑥22 − 4𝑥3

2 − 4𝑥2𝑥3 + 3𝑥22 +

+2𝑥32 = (𝑥1 − 𝑥2 − 2𝑥3)

2 + 2𝑥22 − 2𝑥3

2 − 4𝑥2𝑥3 =

= (𝑥1 − 𝑥2 − 2𝑥3)2 + 2(𝑥2

2 − 2𝑥2𝑥3 + 𝑥32) − 2𝑥3

2 − 2𝑥32 = (𝑥1 − 𝑥2 − 2𝑥3)

2

+ 2(𝑥2 − 𝑥3)2 − 4𝑥3

2 = 𝑦12 + 2𝑦2

2 − 4𝑦32,

17

где соответствующее преобразование координат имеет вид:

{𝑦1 = 𝑥1 − 𝑥2 − 2𝑥3𝑦2 = 𝑥2 − 𝑥3𝑦3 = 𝑥3

Проверим формулу перехода к другому базису.

𝑥3 = 𝑦3; 𝑥2 = 𝑦2 + 𝑦3; 𝑥1 = 𝑦1 + 𝑦2 + 3𝑦3;

{𝑥1 = 𝑦1 + 𝑦2 + 3𝑦3𝑥2 = 𝑦2 + 𝑦3𝑥3 = 𝑦3

P=(1 1 30 1 10 0 1

); А2 = 𝑃𝑇А1𝑃

(1 0 01 1 03 1 1

)(1 −1 −2−1 3 0−2 0 2

)(1 1 30 1 10 0 1

)= (1 0 00 2 00 0 −4

).

Верно.

18

Как применить метод Лагранжа в общем случае?

- Если 𝑎11 ≠ 0, группируем все слагаемые формы, содержащие 𝑥1 и

выделим полный квадрат по 𝑥1. Таким образом мы получим квадратичную

форму, не содержащую 𝑥1. Далее аналогично поступаем с 𝑥2 и т.д. Если же

𝑎11 = 0, то начнем с другой переменной.

- Если в квадратичной форме нет квадратов переменных, то перед

выделением полных квадратов следует сделать промежуточную замену

переменных.

Например,

𝑥1 = 𝑦1 + 𝑦2; 𝑥2 = 𝑦1 − 𝑦2; 𝑥3 = 𝑦3; тогда 𝑥1𝑥2 = 𝑦12 − 𝑦2

2, появятся квадраты

переменных и далее можно решать обычным способом.

19

Пример 3.

𝜑(𝑥 ) = 𝑥1𝑥2 + 2𝑥1𝑥3;

𝑥1 = 𝑦1 + 𝑦2; 𝑥2 = 𝑦1 − 𝑦2; 𝑥3 = 𝑦3;

𝜑=𝑦12 − 𝑦2

2 + 2(𝑦1 + 𝑦2)𝑦3 = (𝑦12 + 2𝑦1𝑦3 + 𝑦3

2) − 𝑦32 − 𝑦2

2 + 2𝑦2𝑦3 =

(𝑦1 + 𝑦3)2 − (𝑦2 − 𝑦3)

2 = 𝑧12 − 𝑧2

2;

𝑧1 = 𝑦1 + 𝑦3; 𝑧2 = 𝑦2 − 𝑦3.

Отметим, что канонический вид, к которому приводится квадратичная форма,

определяется неоднозначно, он зависит от того, какие производятся

преобразования.

Однако имеются характеристики коэффициентов в каноническом виде,

которые остаются неизменными.

20

Теорема 5. Ранг квадратичной формы не меняется при замене базиса и равен

количеству ненулевых коэффициентов в каноническом виде.

►При замене базиса линейного пространства, в котором определена

квадратичная форма, ее матрица меняется по формуле:

А2 = 𝑃𝑇А1𝑃, где P- матрица перехода от старого базиса к новому.

P-невырожденная, => rang А2 = rang А1, так как при умножении на P и 𝑃𝑇

ранг матрицы не изменится. ◄

21

Теорема 6. Закон инерции квадратичных форм.

Количество положительных, отрицательных и нулевых коэффициентов в

каноническом виде квадратичной формы не зависит от выбора

канонического базиса.

►Пусть 𝜑1(𝑥 ) и 𝜑2(𝑥 ) - два канонический вида квадратичной формы. Согласно теоремы 5,

rang𝜑1(𝑥 ) = 𝑟𝑎𝑛𝑔𝜑2(𝑥 ) = 𝑘. Пусть у них положительные коэффициенты предшествуют

отрицательным. Это всегда можно сделать, изменив порядок переменных.

𝜑1(𝑥 )=𝛼1𝑦12+…+ 𝛼𝑝𝑦𝑝

2 −…−𝛼𝑘𝑦𝑘2

𝜑2(𝑥 )=𝛽1𝑧12+…+ 𝛽𝑞𝑧𝑞

2 −…−𝛽𝑘𝑧𝑘2

𝛼𝑖 > 0 и 𝛽𝑖 > 0 ∀𝑖

Надо доказать , что p=q. Пуcть это не так, p>q. Пусть данные канонические формы записаны

в базисах:

𝑆1 = {𝑒1; … . 𝑒𝑛} и 𝑆2 = {𝑓1; … . 𝑓𝑛} соответственно. Покажем, что ∃𝑥 ≠ 0,⃗⃗

22

такой что его координаты в базисах 𝑆1 и 𝑆2 такие: 𝑦𝑖 = 0 при i=𝑝 + 1, 𝑛; 𝑧𝑗 = 0 при j=1, 𝑞.

Координаты 𝑧𝑗 линейным образом выражаются через 𝑦𝑖 :

𝑧𝑗=𝑢𝑗1𝑦1 +⋯+ 𝑢𝑗𝑛𝑦𝑛 j=1, 𝑛

Причем матрица U-это матрица перехода от базиса 𝑆2 к базису 𝑆1.

Поставленные для 𝑥 условия составляют однородную систему уравнений относительно 𝑦𝑖.

{

𝑦𝑝+1 = 0…

𝑦𝑛 = 0𝑢11𝑦1 +⋯+ 𝑢1𝑛𝑦𝑛 = 0

…𝑢𝑞1𝑦1 +⋯+ 𝑢𝑞𝑛𝑦𝑛 = 0

Число уравнений (n-p+q) <n =>система имеет ненулевое решение, т.е. ∃𝑥 ≠ 0,⃗⃗

удовлетворяющий поставленным условиям. Тогда для этого вектора

𝜑1(𝑥 ) = 𝛼1𝑦12+…+ 𝛼𝑝𝑦𝑝

2 > 0;

𝜑2(𝑥 ) = −𝛽𝑞+1𝑧𝑞+12 −…−𝛽𝑘𝑧𝑘

2 ≤0

23

Получили два взаимоисключающих равенства, что доказывает , что предположение, что p≠ 𝑞

неверно => p=q, т.е. количество положительных коэффициентов в двух канонических видах

одинаково. Тогда и количество отрицательных коэффициентов тоже совпадает, так как их

ранги равны. ◄

Определение. Положительный индекс 𝒓+ - это количество положительных

коэффициентов в каноническом виде.

Определение. Отрицательный индекс 𝒓− - это количество

отрицательных коэффициентов в каноническом виде.

Очевидно, что rang 𝝋(�⃗⃗� )= 𝒓++ 𝒓−

24

В примере 3 мы получили 𝜑 = 𝑧12 − 𝑧2

2;

количество положительных коэффициентов 𝑟+ = 1,

количество отрицательных коэффициентов 𝑟− = 1,

общее количество ненулевых коэффициентов в каноническом виде 𝑟 =

𝑟𝑎𝑛𝑔(𝜑) = 2.

Квадратичная форма вырожденная, так как задана в пространстве

размерности 3.

25

Пример 4. Привести квадратичную форму

𝜑(𝑥 ) = 2𝑥12 + 3𝑥2

2 + 2𝑥32 − 2𝑥1𝑥2 − 4𝑥1𝑥3 к каноническому виду методом

Лагранжа, выписать преобразование координат. Найти положительный и

отрицательный индексы, ранг квадратичной формы 𝜑(𝑥 ).

Предлагаем вам другой подход к выделению полного квадрата:

𝜑(𝑥 ) = 2𝑥12 + 3𝑥2

2 + 2𝑥32 − 2𝑥1𝑥2 − 4𝑥1𝑥3 = 2(𝑥1

2 − 𝑥1𝑥2 − 2𝑥1𝑥3) + 3𝑥22 +

+2𝑥32= 2 (𝑥1

2 − 2𝑥1 (1

2𝑥2 + 𝑥3) + (

1

2𝑥2 + 𝑥3)

2− (

1

2𝑥2 + 𝑥3)

2) + 3𝑥2

2 + 2𝑥32 =

= 2(𝑥1 − (1

2𝑥2 + 𝑥3))

2

− 2(1

4𝑥22 + 𝑥2𝑥3 + 𝑥3

2) + 3𝑥22 + 2𝑥3

2 =

= 2(𝑥1 − (1

2𝑥2 + 𝑥3))

2

−1

2𝑥22 − 2𝑥2𝑥3 − 2𝑥3

2 + 3𝑥22 + 2𝑥3

2 =

26

= 2(𝑥1 −1

2𝑥2 − 𝑥3)

2

+5

2𝑥22 − 2𝑥2𝑥3 =

= 2(𝑥1 −1

2𝑥2 − 𝑥3)

2

+5

2(𝑥2

2 − 2 ∙2

5𝑥3𝑥2 +

4

25𝑥32 −

4

25𝑥32) =

= 2(𝑥1 −1

2𝑥2 − 𝑥3)

2

+5

2(𝑥2 −

2

5𝑥3)

2

−2

5𝑥32 = 2𝑦1

2 +5

2𝑦22 −

2

5𝑦32 ,

где соответствующее преобразование координат имеет вид:

{

𝑦1 = 𝑥1 −

1

2𝑥2 − 𝑥3 ,

𝑦2 = 𝑥2 −2

5𝑥3 ,

𝑦3 = 𝑥3 .

27

Определим положительный 𝑟+и отрицательный 𝑟− индексы и ранг 𝑟

квадратичной формы по её каноническому виду:

количество положительных коэффициентов 𝑟+ = 2,

количество отрицательных коэффициентов 𝑟− = 1,

общее количество ненулевых коэффициентов в каноническом виде

𝑟 = 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝜑) = 3.

28

Пример 6.

Квадратичную форму 𝜑(𝑥) = 7𝑥12−8𝑥1𝑥2 +2𝑥1𝑥3+5𝑥2

2 - 6𝑥2𝑥3 +2 𝑥32

преобразовать к новым переменным:

{

𝑥1 = 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3𝑥2 = 𝑦1 + 2𝑦2 + 2𝑦3𝑥3 = 𝑦1 + 𝑦2 + 2𝑦3

Запишем замену переменных в матричном виде: X=PY;

(

𝑥1𝑥2𝑥3) = (

1 1 11 2 21 1 2

)(

𝑦1𝑦2𝑦3);=> P=(

1 1 11 2 21 1 2

)

Тогда, согласно теореме 4 имеем

А2 = 𝑃𝑇А1𝑃

29

А2 = (1 1 11 2 11 2 2

)(7 −4 1−4 5 −31 −3 2

)(1 1 11 2 21 1 2

) =

= (2 0 00 3 00 0 −1

)

Тогда квадратичная форма принимает вид:

𝜑(𝑦1, 𝑦2, 𝑦3) = 2𝑦12 +3𝑦2

2 - 𝑦32,

Как мы видим , все коэффициенты при попарных произведениях обнулились

и остались только слагаемые с квадратами переменных.