变分原理-第1章
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参 考 书 目 1、 鹫津久一郎，弹性和塑性力学中的变分法。科学出版社，O34－1009
2、 钱伟长，变分法及有限元。科学出版社，O3－1014
3、 胡海昌，弹性力学中的变分原理及其应用。科学出版社，O343－1010
4、 袁祖贻译，C.L.DYM，I.H.SHAMES，固体力学变分法，中国铁道出版社，O34－1012
5、 张汝清，固体力学变分原理及其应用，重庆大学出版社，O34－1027
6、 李哲岩，变分法及其应用。西北工业大学出版社，O176－1006
7、 胡海昌，变分学。中国建筑工业出版社，O176－1004
8、 叶庆凯，变分法及其应用。国防工业出版社，O176－1007
9、 吴迪光，变分法。高等教育出版社，O176－1003
10、 彭旭麟，变分法及其应用。华中工学院出版社，O176－1001
11、 欧斐君，变分法及其应用。陕西科学技术出版社，O176－1005
12、 杨海元等，固体力学的数值方法，天津大学出版社，O34－1029
13、 监凯维奇（Zienkiewicz O.C.），有限元法，科学出版社，TB115－1005
14、 J. N. Reddy, An Introduction of the Finite Element Method, McGraw-Hill, O241-WR64
15、 刘北辰，工程计算力学－理论与应用，机械工业出版社，TB115－1028
16、 徐次达等，新计算力学加权残值法－原理、方法及应用，同济大学出版社，O3－1050
17、 张汝清等，非线性有限元分析，重庆大学出版社，O242－1008
18、 朱伯芳，有限单元法原理与应用，中国水利水电出版社，TB115－1002.2
19、 库克(Cook R. D.)，有限元分析的概念和应用，科学出版社，O34－1003.1
20、 谢弗(Schaeffer H. G.)，大型有限元软件MSC/NATRAN，国防工业出版社，TB115－
1006
绪 论
本教材包括变分原理和有限单元法两大部分。
变分原理是数学的一个重要分支，亦是弹性力学的重要组成部分，在理论
上和实用上都有重要的价值。自从本世纪初里兹（Ritz）提出变分问题的近似
解法以后，变分原理在弹性力学中的应用有了新的发展。五十年代有限单元
法的问世，变分原理为它提供了重要的理论基础，使变分原理的重要性更加
突出地显示出来。同时，有限单元法的发展，又反过来推动了变分原理的研
究和进一步发展。
有限单元法是一种数值解法，它的基本思想可以从两个不同的角度去理
解：
从物理角度看——有限单元法是把一个连续的弹性体简化为由有限个离
散的单元组合而成的等效组合体。这些单元一般都是工程技术人员所熟悉的
标准构件，其力学性质简单明了，或者是形状比较简单，便于力学分析。这
些单元的力学特性，只需用有限个参数就可以描述。而整个弹性体又是由有
限个数目的单元组合而成的，因此也可以用有限个参数来加以描述。所以，
它的基本方程式将是一个代数方程组，在数学上属于离散体系，即用代数方
程组取代描述真实弹性体的微分方程组。
从数学角度看——有限单元法是求解数学物理方程的一种数值方法。它是
各种经典数值方法如里兹法的新形式。有限单元法与经典方法的基本区别在
于对“测试函数”的选取方式不同。在经典方法中，应当在所研究的整个域
上选取统一的测试函数，并要求该函数在域内部和域的边界上均满足一定的
条件。在有限单元法中，测试函数可以分片地选取，即首先把整个域划分为
若干“子域”（即单元），然后分别在子域上选取测试函数，并要求这些测试
函数在各个子域内部、在子域之间的分界面上以及子域与外界的分界面上均
满足一定的条件。它使有限单元法的实用价值远远超过了经典方法。
有限单元法应用的领域十分广泛。不论是固体力学、流体力学，还是电磁
学、传热学等都可以应用。就固体力学而言，静力分析、动力分析或稳定性
分析，不论是线性分析，还是非线性分析，有限单元法均能适用。
电子计算机技术的发展对有限单元法的发展有着决定性的影响。有限单元
法要求求解大规模的联立方程组，未知数高达几万甚至几十万，没有高速度、
大容量的计算机是很难想像的。有限单元法的基本思想早在四十年代就提出
来了，但是直到五十年代中期，由于电子计算机的问世才开始大量应用和发
展。
§ 1-1 变分命题
在科学技术上，常常会遇到确定某一函数的极大值或极小值的极值问题。
同时也会遇到更广泛的确定一类特殊量点的极值问题，称为泛函（函数的函
数）的极值问题。
本节先列举一些典型的例子，以说明问题的性质。
[例 1] 最速降线问题——已知空间
中两点 A和 B，不在同一铅垂线上，A高
于 B。要求在两点间连一曲线，使得有重
物从 A 沿此曲线自由滑下时，从 A 到 B
所需的时间最少（摩擦力不计）。
此命题是约翰· 伯怒利（Jahann Bernoulli）于 1696年以公开信的形式提
出来的，曾引起科学家广泛注意，历经包括许多著名科学家如莱比尼兹
(Leibniz)、牛顿(Newton)和雅可比· 伯怒利（Jacob Bernoulli）等几乎 100年的
努力，才获得比较完善的解答。
通过 A、B 并垂直水平面作一平面，在此平面上取一直角坐标系，以 A
为原点，x轴水平，y轴向下，设 B点坐标为（a，b）。命所求曲线为 y（x）。
已经给定：
在 x = 0处，y = 0；在 x = a处，y = b （1-1）
设 P（x，y）是曲线上某一点。重物在 P点的速度 v可由能量守恒原理求
得：
gyvmgymv 221 2 =⇒=
令 ds为曲线的弧长的微分，则
gydxy
gydsdtgyv
dtds
21
22
2'+==⇒==
式中 =y′dxdy
因此，重物从 A滑到 B所需时间 T为：
∫′+
=a
dxgyy
0
2
21
T （1-2）
上面提出的力学问题最后化为如下的数学问题：在 ax ≤≤0 区间找一函数
y（x）供它满足边界条件（1－1），并使式（1－2）定义的 T取最小值。
［ 例 2 ］ 短 程 线 问 题 — — 设
0),,( =zyxϕ 为一已知曲面，而 和
是曲面上的两定点，在该曲面
上过 A、B的所有曲线中，试求长度最短
的一条曲线。
),,( 111 zyxA
),,( 222 zyxB
1697 年由约翰· 伯怒利所解决。而这类问题的普遍理论直到后来通过欧
拉（L. Euler）、拉格朗日（L. Lagrange）的努力才解决。
曲面 0),,( =zyxϕ 在 A、B两点间曲线的长度为
∫
+
+= 2
1
22
1x
xdx
dxdz
dxdyL
（1-3）
其中： ，)(xyy = )(xzz = 满足约束条件
0),,( =zyxϕ （1-4）
上面提出的问题最后化为如下数学问题：在 21 xxx ≤≤ 区间内决定两个函数
和 ，使它满足约束条件（1-4），并使（1-3）定义的 L取最小值。 )(xyy = )(xzz =
[例 3]周长问题——在长度一定的封闭曲线中，什么曲线所围面积最大。
这个问题在古希腊时已经知道答案是一个圆，但它的变分特性一直到十八世
纪才被欧拉阐述清楚。
将所给曲线用参数形式表达为 )(sxx = ，y )(sy= ，因为这条曲线是封闭的，
所以有 ， ，该曲线的周长为： )()( eb sxsx = )()( eb sysy =
∫
+
=
e
b
s
s
dsdsdy
dsdxL
22
（1-5）
其所谓面积 A为：
( ) ∫∫∫∫
−=−==
e
b
s
sSA
dsdsdxy
dsdyxydxxdydxdyA
21
21 （1-6）
上面提出的问题最后化为如下数学问题：在满足（1-5）约束条件下，选
取一对函数 、 使（1-6）定义的泛函 A为最大值。 )(sxx = )(syy =
这三个历史上有名的变分命题，都是 17 世纪末期提出的，又都是 18 世
纪上半叶解决的。解决过程中，欧拉、拉格朗日等创立了变分法。后来广泛
地应用于力学的各个方面，并向其他学科不断的扩展。
上述三个历史上有名的变分命题，都有从泛函求极值的共同性，端点或
边界都是已定不变的，但有的有条件（例 2、例 3），有的没有条件（例 1）。
这样的变分命题还有许多，现在再举三个例子。
其他的一些变分命题有：
［例 4］最小旋转面问题——有一条边界点已知 、B 的曲线
，使之绕横轴旋转，求所得旋转面面积最小的那个函数 。
),( 11 yxA ),( 22 yx
yy =0)( >= xyy )(x
即在满足 ，11 )( yxy = 22 )( yxy = 的端点条件下，求函数 使以下泛函 )(xyy =
∫∫ +==2
1
2'122x
x
dxyyydsS ππ （1-7）
取最小值。
［例 5］费马原理——通过介质的光路，使光线通过这一段光路所需时间
为最小。
以二维空间为例。设介质的折光率为 ),( yxµ ，而光线通过介质的速度为
( ) ( )yxcyxv,
,µ
= ，其中 为真空中的光速。从原点(0, 0)到(xc 1, y1)点的光行时间为
( )∫∫
+==
1
0
21
2
01,1 x
ldx
dxdyyx
cvds µT (1-8)
求函数 ，使上式泛函取最小值。 ( )xyy =
［例 6］悬索线问题——求长度已知的均匀悬索的悬线形状，悬线形状是
优悬线达到最低位能的要求决定的，而悬线的位能则有悬线的重心决定。设
悬线各点的铅垂坐标为 ，并通过( )xy ( )0,0 yA 、 ( )11 , yxB 两点，悬索的长度为
∫
+=
1
0
2
1x
dxdxdyL (1-9)
悬索重心高度为
∫∫
+==
1
0
2
0
111 xL
c dxdxdyy
Lyds
Ly (1-10)
以上变分问题是：在通过已知两点，并满足式(1-9)条件的一切曲线中，求
使泛函式(1-10)取极小值的函数 ( )xy 。
§1-2 变分及其特性
函数的极大极小问题是大家熟知的，泛函的极大极小问题有类似特性。
1、泛函的定义
定义 如果对于某一类函数 ( ) xy 中每个函数 ( )xy ，V有一值与之对应，或
者 对应于函数V ( )xy 的关系成立，则我们称变量Π是函数 的泛函，即( )xy
( )( xyVV = )。可变函数 称为自变函数，依赖自变函数而变的量V，称为自变
函数的泛函。
( )xy
)x ( )x −
( ) (
C∈
δ
∈0
2、函数间的距离 函数的邻域
定义 设函数 与 都属于 ，则(y ( )xy0 ],[ baC n ( ) ( )xyxy 0− ， ( )xyy '0
' ，⋯，
)xyxy nn0− 在区间[a,b]上的最大值，称为函数 ( )xy 与 ( )xy0 在[a,b]上的 n级距离，
记为 ( ) ny0−n
baxn yyyd 0],[0 ,,,max, =∈
Lyy '0
' −yy − 。
特别，零级距离与一级距离分别为
( ) 0],[00 max, yyyydbax
−=∈
； ( ) '0
'0],[01 ,max, yyyyyyd
bax−−=
∈
定义 设给定 属于 和正数( )xy0 ],[ baC n δ ，如果对于 ，有( ) ],[ baxy n
( ) δ<0, yydn ，则称 与 具有 n阶的接近度。又称集 ( )x yy ( )x0
( ) ( ) ( ) δδ <∈≡ 00 ,,],[],[ yydbaCxyxyyN nn
n
为 的 n阶( )xy0 δ邻域。
当 n=0, 1时，分别表示 y与 y0具有零阶与一阶的δ接近度。对于给定的
正数δ，如果 y与 y0具有一阶的δ接近度，那么就蕴含有零阶的 接近度，但
反之不成立。一般，若两曲线具有 n 阶的δ接近度，那么它们将具有低于 n
阶的δ接近度。显然，接近度的阶数越高，两曲线接近得越好。
3、泛函的连续
定义 设泛函V 的定义域为( )( xy ) Γ： ( ) ( ) ],[ baCxyxy n∈ ，又 。如果对
于任意给定的正数
Γy
ε，都能找到正数δ，使得对于任意的
( ) Γ⊂∈ ],[ 0yNxy n δ 都有 ( )[ ] ( )[ ] ε<− xyVxyV 0
成立，则称泛函 ( )( )xyV 在 处是具有 n阶的( )xy0 δ接近度的位连续泛函。
4、泛函的极值
泛函的极值定义于函数的极值定义是类似的。
定义 设 是泛函( )xy0 ( )( xy )V 的定义域Γ中的某一函数，若对于 中任一函
数 都有
Γ
( )xy
( )[ ] ( )[ xyVxyV ≤0 ] （或 ( )[ ] ( )[ ]xyVxy ≥0V ）
则称泛函V 在 处达到绝对极小值（或绝对极大值）。 ( )( )xy ( )xy0
若存在一正数δ，使对于任一 ( ) ],[ 00 yNxy δ∩Γ∈ 都有
( )[ ] ( )[ xyVxyV ≤0 ] （或 ( )[ ] ( )[ ]xyVxy ≥0V ）
则称泛函V 在 处达到强相对极小值（或强相对极大值）。 ( )( )xy ( )xy0
若存在一正数δ，使对于任一 ( ) ],[ 01 yNxy δ∩Γ∈ 都有
( )[ ] ( )[ xyVxyV ≤0 ] （或 ( )[ ] ( )[ ]xyVxy ≥0V ）
则称泛函V 在 处达到弱相对极小值（或弱相对极大值）。 ( )( )xy ( )xy0
极大值和极小值统称极值。在上述绝对极值、强相对极值和弱相对极值
的定义中，函数 ( )xy0 是依次地与较小的函数集里的函数 ( )xy 相比较而言的，因
此，可以得出：绝对极值 强相对极值 弱相对极值。 ⇒ ⇒
5、泛函的变分
求泛函极值的方法称为变分法。函数极值的方法，求函数极值时需要应
用函数的导数或微分，同样求泛函极值时需要用到泛函的变分概念。讨论变
分方法之前需先介绍泛函的变分概念。
（1） 函数的变分
定义 函数 ( )xy 与另一函数 ( )xy 的差 ( ) ( )xyxy − 称为函数 的变分，记为( )xy
yδ ，即 ( ) ( )xyxyy −=δ 。
显然，函数 ( )xy 的变分 yδ 是 x的函数，注意函数的变分 yδ 与函数的增量 y∆
的差别。后者是同一函数 由于自变量( )xy x的增量而产生的差异。
) ([y
(yLV =
yδ
( )[ xy δ, (y
dx
( ) 0x ≡
( )xF
δξ
[ 1x⊂ (yδ
− 1ξx
（2） 泛函的变分
定义 记泛函V 的增量为( )( xy ) ] ( )[ ]xyVyxVV −+=∆ δ ，如果 可表示为 ∆Π
( )[ ] )[ ] yyxyxy δδβδ max,, +∆
其中 ( )[ yxyL ]δ, 是关于 yδ 的线性泛函，max 表示 yδ 的最大值，且当 0max →yδ
时， ( )[ , yxy ] 0→δβ 。则称 yL 为泛函 )( )xV 在 ( )xy 上的一阶变分，简称变分。
记为 Vδ ，即 ( )[ ]yxyLV δδ ,= 。
]
上面关于函数与泛函的变分定义及公式可推广到多元函数及依赖于多元
函数或多个函数泛函的情形。
6、变分法的基本预备定理
如果函数 在域［x( )xF 1, x2］上连续，且对于只满足某些一般条件（1、一
阶或若干阶可微分；2、在域［x1, x2］的端点处为 0；3、 ( ) εxy <δ ，或 ( ) εxδy <
和 ( ) εxy' <δ 等）的任意选定的函数 ( )xyδ ，有
( ) ( ) 0xδyxF2
1
x
x
=∫
则在域［x1, x2］上，有F 。
证明：（反证法）若 在［x1, x2］内某点 ξ=x 处不等于零，由 ( )xF 的连
续性，在点 ξ=x 的某个δ邻域 ξδ +<<− x 也不等于零，记 1ξδξ =− ， 2ξδξ =+ ，
不妨设 ，( ) 0>xF ( )2 ], 2x,1x∈ ξξ 。由于 )x 的任意性，当选定 (xy )δ 在此邻域
],[ 21 ξξ 内为正，而在此邻域外恒为零，可构造函数 ( )xyδ 如下：
( ) ( ) ( )
∈−∪∈
=],[
],[],[0
212
22
2211
ξξξξξ
δxx
xxxxy
这时， ( )xyδ 满足定理的三个条件，于是有
( ) ( ) ( )( ) ( ) 02
1
2
1
22
21 >−−= ∫∫
ξ
ξ
ξξδ dxxxxFdxxyxFx
x
这与预备定理的条件矛盾，因此在［x1, x2］上，有 ( ) 0≡xF 。
对于多变量的问题也有类似的变分预备定理。
变分法的早期工作，是如何把泛函的极值问题化为微分方程的边值问题。
这是因为微分方程发展在先，变分法发展在后。因此在早期，一旦将泛函的
极值问题化为微分方程问题，便认为问题已经解决。自从里兹提出直接求泛
函极值的近似方法（即著名的里兹法）以后，人们才发现，从求近似解的角
度来看，从泛函的极值出发，常常比从微分方程出发更为方便。特别从电子
计算机广泛使用以后，这种观点得到越来越多的赞同。于是，人们的研究目
标，从原来把泛函的极值问题化为微分方程问题，逐渐转变为把微分方程问
题化为泛函的极值问题。经过欧拉（Euler）、拉格朗日（Lagrange）以及随后
许多数学工作者的努力，对于前一类问题已经建立起比较成熟、比较系统的
方法。对于后一类新问题，虽然已有许多人作了研究，但总的说来还不成熟。
§1-3 固定边界的变分问题
从本节起将讨论泛函极值的必要条件，介绍如何把泛函的极值问题化为
微分方程的边值问题，先考虑固定边界简
单泛函的变分问题。
考虑一类最简单定积分 ∫ ′ dxyyxf ),,( 的
极值问题，在自变量 区间内，决定
一个函数 ，使它满足边界条件：在
bxa ≤≤
)(xy ax =
处， α=y ; 在 处，bx = β=y ，并使泛函：V 取极值。 dxyyxFb
a),,(∫ ′=
(),α H
)(xyy =
δ
)x
dx
+ yy ,δ
+ yy ,, δ
xFb
a,(
∫=b
aV
a
V∆
yδ
x
dy
y′
图中 ),,( βbaG 是已知两个点，问题是要在 G、H间选一条曲线，使泛
函 V取极值。设这条曲线为 GACH，它的方程为 。
设想在其附近另取一条曲线 GBDH（两条曲线定义为无穷接近，不仅函
数本身无限接近，而且各导数也要无限接近< n阶的 接近度>），令这条曲线
纵坐标为
()( yxy δ+
yδ 是一个无穷小量，称为自变函数的变分。
对应这两条曲线，可以得出泛函的两个值：
V yy ),∫ ′=
V ′+∆+ dxyyxF ])(,[ δ
= ∫ ′+′b
dxyyxF ])([ δ
这里 代表泛函的增量。
自变量不变（即 x不变）而仅仅由于曲线（函数）的无穷小变化而引起的
纵坐标的增加称为自变函数的变分，记作 ；另外仍用高等数学中的定义，
曲线不变，由于自变量 的变化 而引起的纵坐标的增加，称为函数的微分，
记作 。
dx
这样，图中 A、B、C三点的纵坐标为
A: y
B: y+δy
C: y+dy=y+ dx
而 D点的纵坐标若从 C点算过去是
dxyyyydxyydxyy )()()( ′+′++=′++′+ δδδ
若从 B点算过去则是
dxyyyydxyyyy ])([)()( ′+′++=′+++ δδδδ
故有
yδ)(δy ′=′
此式表明，一个函数的微分运算和变分运算的次序是可以交换的，在变分公
式推导中常要用到。
利用上式，V V∆+ 可写成
VV ∆+ ＝ ∫ ′+′+b
adxyyyyxF ),,( δδ
于是有
（1） ∫ ′−′+′+=∆b
adxyyxFyyyyxFV )],,(),,([ δδ
对于力学和工程上经常遇到的泛函，被积函数 ),,( yyxF ′ 是 y、y’的连续可导函
数，因此当 yδ ， y′δ 很小时，∆ 也很小，当V yδ ， y′δ 是无穷小时， 也是无穷
小<由泛函变分定义>。如果取出等式两端的一阶无穷小量，则有
V∆
dxyyFy
yFV
b
a)( ′
′∂∂
+∂∂
= ∫ δδδ （2）
Vδ 称为V的一阶变分。
yδ 和 y′δ 有内在联系，并不能独立无关地变，设法把 y′δ 转变为 yδ 。用分部
积分公式
∫ ∫−= vduuvudv （3）
取yFu′∂
∂= ， dxydxydv )( ′=′= δδ ，则
dxyF
dxddu
′∂
∂= ， v yδ=
代入式（2）第二项，得
ydxyF
dxdy
yFdxy
yF b
a
ba
b
aδδδ ∫∫
′∂
∂−
′∂∂
=′′∂
∂ | （4）
于是式（2）得
ba
b
ay
yFydx
yF
dxd
yFV |][ δδδ
′∂∂
+
′∂
∂−
∂∂
= ∫ （5）
前面已规定了函数 在两端为已知，因此( )xy yδ 在两端应为零，即
在 ax = 和 bx = 处， yδ ＝0 （6）
式（5）化简为
ydxyF
dxd
yFV
b
aδδ ][
′∂
∂−
∂∂
= ∫ （7）
要使V取极值，必须 0=Vδ ，而 yδ 在 [ ]ba, 区间不可能处处为零<由变分法的预
备定理>，因此 能使V取极值的必要条件为： ( )xy
0y
F
dx
d
y
F=
′∂∂
−∂∂ （1-11）
这个方程是函数 ( )xy
( )x
的微分方程，通称称为欧拉方程。解此式并利用边界条件，
就能确定函数 。 y
［例］最速降线问题——前面已讲过这个问题可归结为决定一个函数
，使它满足边界条件在 处( )xy 0=x 0=y ，在 ax = 处 by = 并使泛函
dxgyy
Ta
∫′+
=0
2
21
取极小值。
解：应用欧拉方程（1-11），这里被积函数
yp
gF
2121 +
= dxdyp =
同时 23
2
21
21
yp
gyF +
−=∂∂
2121
pyp
gyF
+=
′∂∂
代入欧拉方程后得：
012
1223
2
=+
++
pyp
dxd
yp
把它化简为 p对 y的微分方程
01
22 =
++
dydp
ppy1
分离变量
01
212 =
++ dp
ppdy
y
积分得
cpy 2ln)1ln(ln 2 =++ 或 cpy 2)1( 2 =+
其中 c为积分常数。
y
ycdxdyp −
==2
dyycy
yx ∫−
=22
= Dc
yccycy +−
+− −12 cos2−
曲线 要满足边界条件 处( )xy 0=x 0=y ，代入上式，得 0=D ，则
c
yccycyx −+−−= −12 cos2
这个区显示和用参数来表示。令 θ=−−
cyc1cos ，则
−=−=
)cos1()sin(
θθθ
cycx
这是一组圆滚线族，c为滚轮半径。利用边界条件 ax = 处 ，可以求出 c。 by =
所以，最速降线为园滚轮线。
［例］最小旋转面问题——求一条边界点为已知的曲线，使之绕横轴旋转
所的曲面面积为最小。
解：设所求曲线为 ，然横轴( )xy x旋
转的表面面积为：
dxy′+ 21yx
x∫= 2
1
2π ∫= ydsS π2
代入欧拉方程
0=
′∂
∂−
∂∂
yF
dxd
yF
考虑到
′∂
∂′−yFyF
dxd [
dxdy
dxyd
yF
dxdy
yF ′−
′′∂
∂+
∂∂
=
故
0=
′∂
∂′−yFyF
dxd ⇒
把 21 yyF ′+= 代入，整理后得
yy
=′+ 21
令 θshy =′ ，代入上式，得： θchcy 1=
而 θθθθ
dcsh
dshcydydx 1
1 ==′
= ，从而得： cx =
得到曲线的参数方程解
=+=θ
θchcy
cx
1
1
消去参数θ，得： 1xchcy =
]dxyd
yF
yF ′
′∂∂
+
′∂
∂
′∂
∂−
∂∂′=
yF
dxd
yFy
cyFyF =′∂
∂′−
c
21 c+θ
c2
1
2
cc−
这是一族悬链线。绕 x轴转一圈即为悬链面。c 和 等积分常数由下面边界条
件来得：在 处 ；在
1 2c
1xx = 1yy = 2xx = 处 2yy = 。
§1-4 变动边界的变分问题
前一节我们研究泛函的极值问题时，假定其边界端点是固定的，并且其
容许函数曲线都通过该端点。本节我们将研究泛函的容许函数曲线满足另一
种边界条件，即边界不定的情况。
一、变动端点变分问题的自然边界问题
一最速降线问题为例，设物体从（0，0）
点下滑，下滑曲线的右下端只规定到 x＝a为
止，而没有规定 y（a）值。
这就属于边界不定的情况，如右图所示。
下面讨论更一般性的问题，然后再回头
来分析上面具体的例子。
在 区间内，决定一个函数 y（x）， bxa ≤≤
使泛函
∫ ′=b
adxyyxFV ),,( （1）
取极小值。
解题的步骤与以前一样，先求泛函 V的一阶变分 Vδ
ba
b
ay
yFydx
yF
dxd
yFV |)( δδδ
′∂∂
+
′∂
∂−
∂∂
= ∫ （2）
要使泛函 V取极值， Vδ 必须为零，因此欧拉方程
0=
′∂
∂−
∂∂
yF
dxd
yF （3）
仍必须成立，同时在 x＝a及 x＝b处 0≠yδ ，故必须有
0| =′∂
∂=axy
F， 0| =
′∂∂
=bxyF （1-12）
这一边界条件（4），并不是事先给定的，而是在求极值曲线中自然要满足的
端点条件。这一条件称为自然边界条件。
［例］边界条件为 x＝0 时 y＝0 及 x＝a 时 y 不给定情况下的最速降线问
题。
解：泛函已在前面求出
dxgyya
∫′+
=0
2
21
T （1）
其一阶变分为
aay
yFydx
yF
dxd
yFT 00
|][ δδδ′∂
∂+
′∂
∂−
∂∂
= ∫ （2）
要使 T取极值，必须 Tδ ＝0，即
0=
′∂
∂−
∂∂
yF
dxd
yF （a）
0| =′∂
∂=axy
F （b）
还有边界条件
0=x 时 0=y （c）
由（a）、（c）两式已求得曲线的参数表达式
（3）
−=−=
)cos1()sin(
θθθ
cycx
应用式（b）确定积分常数 C
0|12
1|2
=′+
′=
′∂∂
== axaxyy
ygy
F
即：
0| =′ =axy
以参数表达式（3）代入上式，得
θθ
θθθθ
cos1sin
)cos1(sin
−=
−==′
dcdc
dxdyy 0|
2== =axctg θ
得
ax = 处， πθ =
代入式（3）中第一式，求得
πac =
因此曲线 y（x）的最后表达式为
−=
−=
)cos1(
)sin(
θπ
θθπay
ax
滚轮半径为πa ,
ππ
πaaayy ax
2)cos1()(| =−=== (见下图)。
二、变动端点变分问题的横截条件
以下讨论泛函的积分限是可变的情形。设在 yx, 平面上给定了两条曲线如
右图所示。
0),(0),(
2
1
==
yxyx
ϕϕ （1）
现在要求在 1ϕ 上选一点 A1(x1,y1),在 2ϕ
上选一点 A2（x2,y2）,通过 A1 和 A2连
接一条曲线
( )xyy = （2）
使定积分泛函
V （3） dxyyxFx
x),,(2
1∫ ′=
取极小值。
这个问题的特点是只知道 A1 和 A2分别在曲线 1ϕ 和 2ϕ 上，至于它们的具
体位置是未知和待求的。
在前面讨论的问题是本节问题的一个特例，即曲线 1ϕ 和 2ϕ 是平行于 y 轴
的两根直线
00
2
1
=−===
axx
ϕϕ
设想在曲线 1ϕ 和 2ϕ 上，分别取 A1 和 A2的邻点
),(
),(
22222
11111
yyxxByyxxBδδδδ++++ （4）
连接 B1和 B1再做一条与方程（2）邻近的曲线
)()( xyxyyB δ+= （5）
如上图的虚线所示。
这里特别要注意，在一般情况下
)( ii xyy δδ ≠ （ 2,1=i ）
按定义, )( ixyδ 是指横坐标 xi 不变而仅有曲线变
动所引起的纵坐标的增量;而 iyδ 是端点纵坐标
的增量,即 Bi相对于 Ai的纵坐标增量,它包含了
曲线变动和横坐标变动两个因素。因而在精确
到一阶小量的范围内有
iiii xxyxyy δδδ )()( ′+= （ 2,1=i ） （6）
参见右图。
与曲线 A1 A2对应的定积分泛函是式（3），与曲线 B1B2对应的定积分泛
函记为
V （7） ∫+
+′+′+=∆+ 22
11
),,(xx
xxdxyyyyxFV
δ
δδδ
由此得到 V的增量
∆ ∫∫ ′−′+′+=+
+
2
1
22
11
),,(),,(x
x
xx
xxdxyyxFdxyyyyxFV
δ
δδδ
= ∫ ′−′+′+2
1
)],,(),,([x
xdxyyxFyyyyxF δδ
∫+
′+′++ 22
2
),,(xx
xdxyyyyxF
δδδ
（8） ∫+
′+′+− 21
2
),,(xx
xdxyyyyxF
δδδ
此式右端第一项的一阶小量部分是
dxyyFy
yFx
x)(2
1
′′∂
∂+
∂∂
∫ δδ （9）
当 是 和 的连续函数时，在精确到),,( yyxF ′ y y′ ixδ （i=1,2）的一阶小量时,有
（10） i
xx
x i xxFdxyyyyxFii
i
δδδδ
)(),,(∫+
=′+′+
式中 是 的缩写. )( ixF ))(),(,( iii xyxyxF ′
这样,从式（8）等号两边取出一阶小量后,有
1122 )()()(2
1
xxFxxFdxyyFy
yFV
x
xδδδδδ −+′
′∂∂
+∂∂
= ∫ （11）
经过进一步运算,得
22 )()]([2
1
xxFydxyF
dxd
yFV
x
xδδδ +
′∂∂
−∂∂
= ∫
)()()()()( 111122 xyxyFxxFxyx
yF δδδ
′∂∂
−−′∂
∂+ （12）
要使 V取极值,即 0=Vδ ,必须有
0=
′∂
∂−
∂∂
yF
dxd
yF （13）
0)()()( =′∂
∂+ iiii xyx
yFxxF δδ ( )2,1=i （14）
这里的核心问题是推导边界条件，因为点 必须在曲线),( ii yx iϕ 上,即
0),( =iii yxϕ
所以 ixδ , iyδ 必须满足变分条件
0)()( =∂∂
+∂∂
iii
iii yx
yxx
xδ
ϕδ
ϕ （15）
在把式（6）代入,得
0)()()]()()( =∂∂
+′∂∂
+∂∂
iiii
iiii
ii xyx
yxxyx
yx
xδ
ϕδ
ϕϕ[( （16）
联立（14）、（16）两式，得
)(
)()()()()(
i
ii
iii
ii
i
xyF
xFx
yxyx
yx
x′∂
∂⋅
∂∂
=′∂∂
+∂∂ ϕϕϕ
即： 0)()()()()()( =′′∂
∂−
∂∂
−′∂
∂∂∂
iiiii
iii xyx
yFxFx
yx
yFx
xϕϕ ( )2,1=i （1-13）
微分方程（13）汇同边界条件（1-13），便可确定所求曲线 y（x）。
［例］求从定点 到直线( 11 , yxA ) bmxy += 距离为最短的曲线。
解：问题可归结为求一曲线 y（x）,始
端固定，终端可沿直线 bmxy += 自由移动，
即有 ，使泛函 bmxy += 22
dxyLx
x∫ ′+= 2
1
21 （1）
取极小值。
欧拉方程为
0=
′∂
∂−
∂∂
yF
dxd
yF
边界条件为
11 )( yxy =
)()[()()( 222
222 −
∂∂
−′∂
∂∂∂
xFxy
xyFx
xϕϕ
把 21 yF ′+= 代入式（2），求得
21 cxcy +=
利用边界条件（3），有
2111 cxcy +=
再利用边界条件（4）， bmxy −−=2ϕ ，得
|)1
(2 2
−′+
′−
yym x
再以 代入，得 21 cxcy +=
11(
1212
1
1 −+−+
− cc
cm
（2）
（3）
0)]()( 22 =′′∂
∂ xyxyF （4）
（5）
（6）
0|1
|1 12
222
=′+
′−′+ c
yyy xx
0)121
1 =+
cc
c
得
m
c 11 −= （7）
代入式（6）得
mxyc 1
12 += （8）
将 ， 代入式（5），最后得 1c 2c
)(1 11 m
xyxm
y ++−= （9）
这是一条通过 点与 垂直的直线。 A bmxy +=
§1-5泛函的二阶变分，泛函取极值的充分条件
研究泛函
V （1） ∫ ′=b
adxyyxF ),,(
的极值问题。
泛函 V的增量为
（2） dxyyxFyyyyxFVb
a)],,(),,([ ′−′+′+=∆ ∫ δδ
V∆ 的一阶小量部分称为 V的一阶变分 Vδ
dxyyFy
yFV
b
a)( ′
′∂∂
+∂∂
= ∫ δδδ （3）
V∆ 的二阶小量部分称为 V的二阶变分 V2δ
dxyyFyy
yyFy
yFV
b
a)2(
!21 2
2
22
2
22 ′
′∂∂
+′′∂∂
∂+
∂∂
= ∫ δδδδδ （4）
前已证明，当 V达到极值时，必有 Vδ ＝0，然后根据 的正负来判断 V
是取极大值还是极小值。结论是：
V2δ
Vδ ＝0
><
V0V V0VV0
32
2
2
δδδδ
时，无结论，要看＝
是极小时，
是极大时，V
§1-6 含多个未知函数泛函的变分问题
上面几节讨论的泛函，只涉及一个自变函数。如果泛函中包含二个或二
个以上可以独立变化的函数，可以用相同的方法导出一组微分方程和相应的
边界条件。
本节把自变量记作 ，待求的独立变化的自变函数记作 ，
它们的一阶导数记作 ， ，⋯ 。这样，问题就归结为求自变函数 ，
，⋯ ，使泛函
t nqqq ,,, 21 L
)(1 tq1q& 2q& nq&
)(2 tq )(tqn
dtqqqqqqtLV nn
b
a),,,,,,( 2121 &L&&L∫=
取极值。
求V的一阶变分
dtqqLq
qLV i
n
i ii
b
a
n
i i
)(11
&&δδδ ∑∫ ∑
== ∂∂
+∂∂
=
利用分部积分，得到
bai
n
i ii
i
b
a
n
i i
qqLdtq
qL
dtd
qLV |][)]([
11
&&&δδδ ∑∫ ∑
== ∂∂
+∂∂
−∂∂
=
由此得到 个微分方程 n
0)q
L(
dt
d
q
L
ii
=∂∂
−∂∂
& ),2,1( ni L= （1-14）
以及多种可能的边界条件。
方程组（1-12）称为欧拉-泊松（Euler-Poisson）方程。引入拉格朗日
，则式（1-12）即是理论力学中著名的拉格朗日方程组，它是具有 个UTL −= n
自由度的保守系统的运动方程。
［例］利用哈密尔顿原理
（Hamilton）推导 2 如图保守力
系作用下的质点系的运动方程：
二个质量相同并用三个弹簧互相
联结在一起的质点系的运动方程，摩擦不及。
哈密尔顿原理：质点系的运动（满足某些约束条件），必使积分“作用量”
成极值（最小值）。其中( )∫ −=2
1
t
t
dtUTV T、U分别表示质点系的动能和位能，t为
时间。
依据以上原理可知：
2
2
.2
1
.
21
21 xMxMT +=
( ) 221
2122
211 2
121
21 xKxxKxKU +−+=
则有： ( )[ ]∫
+−+−
+=
2
1
221
2122
211
2
2
.2
1
.
21
21t
t
dtxKxxKxKxxMV
根据式（1-12），可求得质点系运动方程为
( )( ) 0
0
12222
..
2
12211
..
1
=−++
=−−+
xxKxKxM
xxKxKxM
§1-7 含高阶导数泛函的变分问题
一、未知函数具有二阶导数的泛函极值问题。
V （1） ∫ ′′′=b
adxyyyxF ),,,(
现在把这个问题化为微分方程的边值问题，求V的一阶变分
dxyyFy
yFy
yFV
b
a)( ′′
′′∂∂
+′′∂
∂+
∂∂
= ∫ δδδδ （2）
前已证明。用分部积分公式可将式（2）第二项变为：
ydxyF
dxdy
yFdxy
yF b
a
ba
b
aδδδ )(|
′∂∂
−′∂
∂=′
′∂∂
∫∫ （3）
类似地，连续用两次分部积分公式，可将式（2）第三项变为
dxyyF
dxdy
yFdxy
yF b
a
ba
b
a′
′′∂∂
−′′′∂
∂=′′
′′∂∂
∫∫ δδδ )(|
ydxyF
xddy
yF
dxdy
yF b
a
ba
ba δδδ )(|)(| 2
2
′′∂∂
+′′∂
∂−′
′′∂∂
= ∫ （4）
将式（3）、（4）代入式（2），归并同类项后得
ydxyF
xdd
yF
dxd
yFV
b
aδδ )]()([ 2
2
′′∂∂
+′∂
∂−
∂∂
= ∫
ba
ba y
yFy
yF
dxd
yF ||)]([ ′
′′∂∂
+′′∂
∂−′∂
∂+ δδ （5）
V取极值的必要条件是 0=Vδ ，从式（5）第一项即可推出
0)y
F(
xd
d)
y
F(
dx
d
y
F2
2
=′′∂
∂+
′∂∂
−∂∂ （1-15）
上式称为欧拉－泊松（Euler-Poisson）方程。
再看式（5）第二项，如果边界上 y为已知（固定边界），则 0|| == == bxax yy δδ ，
于是第二项恒等于零。如边界上 y为未知（变动边界），则 0|,0| ≠≠ == bxax yy δδ ，
那么应该使
0|)]([ =′′∂
∂−′∂
∂
==
bxaxy
Fdxd
yF
最后看式（5）第三项，如边界上 y′为已知，则 0|| =′=′ == bxax yy δδ ，于是第
二项恒等于零。如边界上 为未知，就应该使 y′
0| =′′∂
∂
==
bxaxy
F
归纳起来，本问题的边界条件为
在 ax = 及 处 bx =
=′′∂
∂′
=′′∂
∂′∂
∂
0yF y
0)yF(
dxd-
yF
或已知
或已知y （1-16）
二、含有更高阶导数的泛函极值问题
V （6） ∫ ′=b
a
n dxyyyxF ),,,( )(L
求V的一阶变分为
dxyyFy
yFy
yFV n
n
b
a)( )(
)( δδδδ∂∂
++′′∂
∂+
∂∂
= ∫ L （7）
用分部积分法进行运算，最后整理得
⋅−+−′′∂
∂+
′∂∂
−∂∂
= ∫ xdd
yF
xdd
yF
dxd
yFV n
nnb
a)1()()([ 2
2
Lδ
L+′′′∂
∂+
′′∂∂
−′∂
∂+
∂∂ )()([)] 2
2
)( yF
xdd
yF
dxd
yFydx
yF
n δ(
L+′′′∂
∂−′′∂
∂+
∂∂
−+ −
−− )([|)]()1( )(1
11
yF
dxd
yFy
yF
dxd b
ann
nn δ
+ ba
nn
bann
nn y
yFy
yF
dxd ||)]()1 )1(
)()(2
21 −
−
−−
∂∂
++′∂∂
− δδ LL( （8）
由 0=Vδ 可得函数 应满足的微分方程（欧拉－泊松方程）和边界条件 ( )xy
0)y
F(
dx
d1)()
y
F(
xd
d)
y
F(
dx
d
y
F(n)n
nn
2
2
=∂∂
−+−′′∂
∂+
′∂∂
−∂∂
L （1-17）
在 ax = 及 处 bx =
已知，或y 0)()1()()( )(1
11
2
2
=∂∂
−+−′′′∂
∂+
′′∂∂
−′∂
∂−
−−
nn
nn
yF
dxd
yF
xdd
yF
dxd
yF
L
已知，或y′ 0)()1()( )(2
2)2( =
∂∂
−++′′′∂
∂−′′∂
∂−
−−
nn
nn
yF
dxd
yF
dxd
yF
L
⋯⋯⋯⋯⋯⋯
已知，或)1( −ny 0)( =∂∂
nyF （1-18）
［例］如图所示两端固支的弹性梁，长为 l，
抗弯刚度为 EI，承受均布载荷 q作用，问梁取怎样
的挠度曲线时，这个系统的总位能最小？
解：根据弹性力学知识梁的其总位能为：
( ) ∫∫ −=Πll
qydxdxyEI
0
2
0
''
2
另外，由题意可知梁的边界条件为：
( ) ( )( ) ( ) 00
0000'
'
====
lylyyy
根据式（1-17）的欧拉－泊松方程可得
qEIy =''''
其通解为
432
23
14
24 xcxcxcxEIqy +++=
代入边界条件，可确定上式中的待定系数，于是得固支梁的挠度曲线为：
22
34
241224 xEIqlxEI
qlxEIqy +−=
这时系统的总位能最小。
§1-8 含多元函数重积分泛函的变分问题
在许多力学和物理等问题中，常碰到含含多元函数的重积分泛函的极值
问题。例如弹性力学的平面问题、板的弯曲、轴对称问题和平面电磁场问题
等都包含两个自变量 yx, ；空间弹性力学包含三个自变量 zyx ,, ；平面热传导、
板的振动、平面电磁波等包含三个自变量 tyx ,, ；而空间弹性体振动、热传导、
电磁波则包含四个自变量 tzyx ,,, 。以下着重介绍二元函数的泛函极值问题。
设在 yx, 平面内有一区域Ω，它的边界
是 ，要求在Ω区域内找一函数C ( )yxw , ，使
下面重积分表示的泛函取极值
dxdyy )wwwyxFJ x ,,,,(∫∫Ω
=
式中：yw w,
xw
y ∂∂
=∂∂
=xw
关于边界条件，假设在C 上，w可自由变
的如右图所示，则有
2
在 上，1C ww =
此处的目的，是要把上述泛函求极值的问
求泛函 的一阶变分 J
w
wwFw
wFJ x
x
(∂∂
+∂∂
+∂∂
= ∫∫Ω
δδδ
在前面几节中曾用分部积分法来简化线积分
需要用高斯（Gauss）定理来简化。设 , v是u x
udxdyyv
xu
ccos()( α +=
∂∂
+∂∂
∫∫∫Ω
其中：α、 β是边界法线与 x , 轴的夹角， 是y s
化，在其余部分C 上，w是已知1
题化为偏微分方程的边值问题。
dxdywFy
y
)∂ （1）
的算式。现在碰到的是面积分，
, 的两个函数，高斯定理指出 y
dsv )cos β （2）
边界曲线的弧长。
如果在上式中设
( ) ( ) ( )yxuyxuyxu ,,, 21 ⋅=
( ) ( ) ( )yxvyxvyxv ,,, 21 ⋅=
则
dxdyyvv
yvv
xuu
xuu )( 1
22
11
22
1 ∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
∫∫Ω
dsvvuuc
)coscos( 2121 βα += ∫
移项得
dxdyyvv
xuudxdy
yvv
xuu )()( 1
21
22
12
1 ∂∂
+∂∂
−=∂∂
+∂∂
∫∫∫∫ΩΩ
dsvvuuc
)coscos( 2121 βα ++ ∫ （3）
对照式（1）中第二、三项，在式（3）中取
xwFu
∂∂
=1 ， wu δ=2 ，yw
Fv∂∂
=1 ， wv δ=2
便有：
dxdywwFw
wF
yy
xx
)( ∂∂∂
+∂∂
∫∫Ω
δ
dxdywwF
yw
wF
x yx
])()([ ∂∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
−= ∫∫Ω
δ dswwFw
wF
yc
x
)coscos( βδαδ∂∂
+∂∂
+ ∫
代入式（1）整理后，并考虑在 上， 为已知，即1C w 0=wδ ，得
wdxdywF
ywF
xwFJ
yx
δδ )]()([∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
= ∫∫Ω
wdswF
wF
yc
x
δβα )coscos(2 ∂
∂+
∂∂
+ ∫ （4）
J取极值的必要条件是 0=Jδ ，则
0)wF(
y)
wF(
xwF
yx
=∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂ （1-19）
在 上 2C
0coscos =∂∂
+∂∂ βα
yx wF
wF （1-20）
方程（5）是关于 的偏微分方程，条件（w δ）是一部分边界条件，汇同原有
边界条件，是构成完整的偏微分方程边值问题。
若要判断极值是极大值还是极小值，需要求 的二阶变分 J J2δ
22
22
22
2
22 (
!21
yy
xx
wwFw
wFw
wFJ δδδδ
∂∂
+∂∂
+∂∂
= ∫∫Ω
xx
yxyx
wwwwFww
wwF δδδδ
∂∂∂
+∂∂
∂ 22
22+
dxdywwwwF
yy
)2
δδ∂∂
∂+
用 0=Jδ 求出的 代入上式，看 是小于还是大于零，来判断 取极大还是极
小。
w J2δ J
属于上述这种类型的变分问题在物理和工程上碰到很多，下面举一些实
例。
［例1］ 求泛函
dxdyyw
xwV ])()[( 22
∂∂
+∂∂
= ∫∫Ω
取极值时 应满足的微分方程。 w
解：由欧拉方程
0)()( =∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
yx wF
ywF
xwF
得： 02
2
2
2
=∂∂
+∂∂
yw
xw 或 02 =∇ w
是平面问题的拉普拉斯方程。
平面问题的热传导微分方程为
TatT 2∇=∂∂
而平面稳定温度场问题则为
02 =∇ T
［例 2］ 求泛函
dxdyyxwyw
xwV )],(2)()[( 22 ρ+
∂∂
+∂∂
= ∫∫Ω
取极值时 应满足的微分方程。 w
解：由欧拉方程得
),(2 yxw ρ=∇
这是泊桑（Poisson）方程。
弹性力学中某截面直杆的扭转问题，求应力函数ϕ的微分方程为
c=∇ ϕ2
［例 3］设一拉紧了的均匀膜，张力为T，求其在分布载荷 作用下，
挠度 的微分方程。
( yxq , )
w
解：按题意，膜在载荷作用下被拉伸后，所具有的的应变能与面积增量
成正比，加上外力位能其总位能为
( ) ( )∫∫ −−++=D
yx wdxdyyxqwwTV ,11 22
由泰勒公式，取近似值
( )2222
2111 yxyx wwww ++≈++
于是上式化为
( )∫∫ −+=D
yx qwdxdywwTV 22
2
由式（1-19）可推出薄膜在分布载荷 ( )yxq , 作用下，挠度 的微分方程 w
Tyxqw ),(2 −=∇
［例 4］如上题中假定薄膜在边界上受有线密度为 ( )sp ，方向垂直于薄膜
平面的外力作用，且每单位弧长的恢复力为 ( )sσ 。求其在分布载荷 作用
下的挠度 的微分方程和边界条件。
( yxq , )
w
解：系统的总位能为
( ) ∫∫∫
−+−+=
SDyx dspwwqwdxdywwTV 222
22σ
求其变分可得
( )[ ] ( )[ ]∫∫∫ −+++−+−=S
yxD
yx wdspwwwTwdxdyqwwTV δσβαδδ coscos22
由式（1-19）、（1-20）可得挠度 的微分方程和边界条件 w
Tyxqw ),(2 −=∇
( ) pwwwT yx =++ σβα coscos
dxdywwwyxFJ yx ),,,,(∫∫= 的推广，如果把上式向三维问题、二维问题包括
高阶导数，以及三维动力学问题推广，则欧拉方程可用类似方法推出。
1． dxdydzwwwwzyxFJ zyV
x ),,,,,,(∫∫∫=
求 J的一阶变分
dxdydzwwFw
wFw
wFw
wFJ z
zy
yx
xV
)( δδδδδ∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
= ∫∫∫
应用高斯定理
dxdydzzR
yQ
xP
V
)(∂∂
+∂∂
+∂∂
∫∫∫ Ω++= ∫∫Ω
dRQP )coscoscos( γβα
令
),,(),,(),,( 21 zyxPzyxPzyxP ⋅=
),,(),,(),,( 21 zyxQzyxQzyxQ ⋅=
),,(),,(),,( 21 zyxRzyxRzyxR ⋅=
则高斯定理可写成
dxdydzz
RRy
QQxPP
V
)( 21
21
21 ∂
∂+
∂∂
+∂∂
∫∫∫
dxdydzz
RRy
QQxPP
v
)( 12
12
12 ∂
∂+
∂∂
+∂∂
−= ∫∫∫ Ω+++ ∫∫Ω
dRRQQPP )coscoscos( 212121 γβα
设 wRQPwFR
wwFP
zyx
δ===∂∂
=∂∂
=∂∂
= 222111 ,,FQ, ，代入 Jδ ，得
wdxdydtwF
zwF
ywF
xwFJ
zyxV
δδ ))()()((∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
= ∫∫∫
Ω∂∂
+∂∂
+∂∂
+ ∫∫Ω
wdwF
wF
wF
zyx
δγβα )coscoscos(
令 0=Jδ ，得欧拉方程
0)()()( =∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
zyx wF
zwF
ywF
xwF （1-21）
即边界条件
若 在V的表面上为已知，则( )zyxw ,, 0=wδ ，对未知部分，要满足
0coscoscos =∂∂
+∂∂
+∂∂ γβα
zyx wF
wF
wF （1-22）
2、 dxdywwwwwwyxFJ yyxyxxyx ),,,,,,,(∫∫Ω
=
其一阶变分为
xxxx
yy
xx
wwFw
wFw
wFw
wFJ δδδδδ
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
= ∫∫Ω
( dxdywwFw
wF
yyyy
xyxy
)δδ∂∂
+∂∂
+
应用高斯定理，得
dxdywwFw
wF
yy
xx
)( δδ∂∂
+∂∂
∫∫Ω
αδ cos()]()([ ∫∫∫ ∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
−=Ω
cxyx w
FwdxdywF
ywF
xwds
wF
y
δβ )cos∂∂
+
dxdywwFw
wFw
wF
yyyy
xyxy
xxxx
)( δδδ∂∂
+∂∂
+∂∂
∫∫Ω
dxdywwFw
wFw
wFw
wF
yyyy
xyxy
xyxy
xxxx
)]21()
21[( δδδδ
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
= ∫∫Ω
)21([)]
21()([
xyx
xyxx wF
xw
wF
ywF
x ∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
−= ∫∫Ω
δ
xxy
cxx
yyy
wwF
wFdxdyw
wF
yδβαδ )cos
21cos[()](∂∂
+∂∂
+∂∂
∂∂
+ ∫
dswwF
wF
yyyxy
])coscos21( δβα
∂∂
+∂∂
+
)21()
21()([
22
2
2
xyxyxx wF
yxwF
yxwF
x ∂∂
∂∂∂
+∂∂
∂∂∂
+∂∂
∂∂
= ∫∫Ω
dswwF
wF
wF
wF
wdswF
ywF
x
wF
ywF
xwdxdy
wF
y
nyy
xyxyc
xx
yyxy
xyxxc
yy
δββ
ααβα
δβ
αδ
]cos)cos
cos21(cos)cos
21cos[(
cos)]21()
21([
cos)]21()([)](2
2
∂∂
+
∂∂
+∂∂
+∂∂
+
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
+
∫
∫
则
dswwF
wF
wF
wdswF
ywF
xwF
wF
ywF
xwFwdxdy
wF
y
wF
yxwF
xwF
ywF
xwFJ
nyyxy
cxx
xyxyy
xyxxc
xyy
xyxxyx
δββαα
δβ
αδ
δ
]coscoscoscos[
]cos)21(
cos)21[(]
[
22
2
2
2
2
2
∂∂
+∂∂
+∂∂
+
∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
+
∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
+∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
=
∫
∫
∫∫Ω
令 0=Jδ ，得欧拉方程
02
22
2
2
=∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
yyxyxxyx wF
ywF
yxwF
xwF
ywF
xwF （1-23）
和边界条件
为 为已知，则w 0=wδ ，否则
0cos)21(
cos)21(
=∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
+
∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
+∂∂
β
α
yyxyy
xyxxx
wF
ywF
xwF
wF
ywF
xwF
（1-24a）
当nw∂∂为已知，则 0=nwδ ，否则
0coscoscoscos 22 =∂∂
+∂∂
+∂∂ ββαα
yyxyxx wF
wF
wF （1-24b）
3、 dxdydzdtwwwwwtzyxFJ tzy
t
tV
x ),,,,,,,,(2
1∫ ∫∫∫=
J取极值的必要条件为 0=Jδ ，得欧拉方程：
0)()()()( =∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
tzyx wF
twF
zwF
ywF
xwF （1-25）
其边界条件为：——若 ( )tzyxw ,,, 在V的表面上为已知，即在表面上不论在
内哪个时间，[ 21 , tt ] 0=wδ ；其起始终止条件为 ( )1,,, tzyxw 和 若已知，
即在 ,， t 时，V的任意点有
( 2,,, tzyxw )
1t 2 0=wδ 。
这类问题应用很广，现举若干实例。
［例 1］ 求泛函
dxdydzzw
yw
xwJ
V
])()()[( 222
∂∂
+∂∂
+∂∂
= ∫∫∫
取极值时 应满足的微分方程。 ( zyxw ,, )
解：由 0=Jδ ，得欧拉方程为
0)()()( 222 =∂∂
+∂∂
+∂∂
zw
yw
xw 即 02 =∇ w
是 的三维拉普拉斯方程。 w
三维稳定温度场的热传导微分方程为
02 =∇ T
属于这种类型。
［例 2］ 求泛函
dxdyyx
wyw
xwwDJ ])()[1(2)(
22
2
2
2
2
222
∂∂∂
−∂∂⋅
∂∂
−−∇= ∫∫Ω
µ ∫∫Ω
− wdxdyyxq ),(
取极值时 应满足的微分方程。 ( yxw , )
解：由 0=Jδ ，得比欧拉方程为
Dyxq
yw
yxw
xw ),(2 2
2
22
2
2
2
=∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
或
Dyxqw ),(22 =∇∇ 或
Dyxqw ),(4 =∇
上式为板横向弯曲时的平衡微分方程。式中：D—板的抗弯刚度，µ—泊桑比，
—横向分布载荷。 ( yxq , )
§1-9含约束条件的泛函（广义）变分原理
泛函的变分命题,常有各种各样的约束,例如
(1) 函数的边界条件或端点条件；
(2) 积分域内函数的约束条件；⋯⋯等。
所有这些变分约束条件都可以用拉式乘子法把它们吸收进泛函中去，从而建
立新的、不再有约束的变分泛函。人们把这些解除了约束的泛函的变分问题
称为广义变分问题或广义变分原理。
一、 把泛函
V （1） dxyyxFb
a),,(∫ ′=
在端点条件
当 ax = 时， ( ) α=ay ；当 bx = 时， ( ) β=by （2）
的约束下的变分问题,用待定拉式乘子法变为无条件的广义变分问题的泛函。
解：用拉式乘子λ1、λ2把两个端点条件引入泛函V，建立新的广义变分
泛函V *
V （3） ])([])([),,( 21βλαλ −+−+′= ∫∗ byaydxyyxF
b
a
现在来识别λ1和λ2。由泛函变分的极值条件 ，得 0=∗Vδ
0)()(])([
])([|)(
211
1
=++−+
−++− ′′∫byayby
ayyFydxFdxdF b
ayy
b
a y
δλδλβδλ
αδλδδ
或
0])([])([)(])([
)(])([)(
211
2
=−+−++−
++−
′
′′∫βδλαδλδλ
δλδ
byayayaF
bybFydxFdxdF
y
yy
b
a y （4）
由于 21 ,, y(a), y(b) ,y δλδλδδδ 都是代表独立的变分，所以要 ， 0V =∗δ
必须
b)x(a 0Fdxd-F yy <<=′ （5）
(a)Fy1 ′=λ （6）
(b)Fy2 ′−=λ （7）
α=y(a) （8）
β=y(b) （9）
式（6）、（7）给出了待定的拉式乘子，式（5）是原题的欧拉方程，式（8）、
（9）是原题的边界条件。把 1λ ， 2λ 代入式（3），得本题的广义变分泛函
V （10） ])()[(])()[(),,( βα −−−+′= ′′∗ ∫ bybFayaFdxyyxF y
b
a y
如果把上式变分求极值，很易证明，它的极值条件得原来的欧拉方程（5）和
有关端点条件（8）、（9）。
［例］ 最速降线问题——泛函是
dxgyyb
a∫′+
=2
1 2
V （1）
端点条件为
当 时，0=x ( ) 00 =y ；当 ax = 时， ( ) bay = （2）
试求广义变分泛函。
解：用拉式乘子构造新的泛函
V （3） ])([]0)0([ 21 bayyV −+−+=∗ λλ
求拉式乘子 1λ 、 2λ ：
22021)0(1)0(2
)0(|12
)0(ygy
yygy
yF xy′+
′=
′+
′== =′λ
222)(1)(2
)()(ayagy
ayaFy′+
′=−= ′λ
代入式（3），得广义变分泛函
])([)(1)(2
)()0(1)0(2)0(
21
22
2
bayayagy
ayyygy
ydxgyy
Va
b−
′+
′−
′+
′+
′+= ∫∗ （4）
二、变分约束条件为另一函数时的广义变分泛函
短程线问题是其中一个典型的例子。
求已知曲线 0),,( =zyxϕ 上所给两点 A（x1,y1,z1）、B（x2,y2,z2）间长度最短
的曲线。这一变分问题称为短程线问题，它可归纳为
在端点条件
当 x=x1时，y(x1)=y1，z(x1)=z1；
当 x=x2时，y(x2)=y2，z(x2)=z2； （1）
和已知约束曲面
0),,( =zyxϕ （2）
的约束下，求使下列泛函
∫∫ ′′=++= 2
1
2
1
),,,,()()(1 22 x
x
x
xdxzyzyxFdx
dxdz
dxdyL （3）
为极值的 y=y(x)，z=z(x)的短程线解。
解：用拉氏乘子 把约束条件引进，建立新的泛函 ∗∗2121 ,,,),( λλλλλ x
])([]0([
])([])([
)],,()(),,,,([
2221`1
222111
2
1
zxzzxz
yxyyxy
dxzyxxzyzyxFLx
x
−+−+
−+−+
+′′=
∗∗
∗ ∫
λλ
λλ
ϕλ
（4）
识别拉氏乘子，求 ∗Lδ
])([])([])([
])([)()]([
)()]([)()]([
)()]([])(
)[(])([
])([])([])([
)()()()(|
|]
])()[(
222111222
111222
111222
111
222
111222111
22112211
2
1
2
1
2
1
2
1
zxzzxzyxy
yxyxzxF
xzxFxyxF
xyxFdxzz
FdxdF
yy
FdxdFzxz
zxzyxyyxy
xzxzxyxyzF
yFdxzz
yy
dxzFdxdFyF
dxdFL
z
zy
yzx
yy
x
x
xxz
xxy
zzy
x
x y
−+−+−+
−+++
−+++
−++∂∂
+−+
∂∂
+−=−+
−+−+−+
+++++
++∂∂
+∂∂
+
−+−=
∗∗
′∗
′∗
′
′
′∗
∗
∗∗′
′
′′∗
∫
∫
δλδλδλ
δλδλ
δλδλ
δλϕδλδϕλ
δϕλδλ
δλδλδλ
δλδλδλδλδ
δϕδλδϕλδϕλ
δδδ
δ
∗∗2121 ,,,,,z,y, δλδλδλδλδλδλδδ 都是独立的函数变分,因此,由 给出 0L =∗δ
=
=∂∂
+−
=∂∂
+−
′
′
0),,(
0
0
zyx
zF
dxdF
yF
dxdF
zz
yy
ϕ
ϕλ
ϕλ
（a）
（b） )(),(),(),( 22112211 xFxFxFxF zzyy ′∗
′∗
′′ ==−== λλλλ
22221111 )(,)(;)(,)( zxzyxyzxzyxy ==== （c）
由（a）的第一、二式，求得 )(xλ
)(1yy F
dxdF
y
′−
∂∂
−=ϕ
λ 或 )(1zz F
dxdF
z
′−
∂∂
−=ϕ
λ
把识别了的拉氏乘子代回式（4），得广义变分泛函
])()[(])()[(
])()[(])()[(
])(1),,,,([
222111
222111
2
1
zxzxFzxzxF
yxyxFyxyxF
dxFdxdF
y
zyzyxFL
zz
yy
x
x yy
−−−+
−−−+
−
∂∂
−′′=
′′
′′
′∗ ∫ ϕ
ϕ
［例］求右图圆柱面上 A、B两点间的短程线。
设圆柱面方程为
x2+z2=1 (z>0)
在圆柱面上有两定点 A（x1,y1,z1）和 B
（x2,y2,z2）,求沿柱面连接 A、B使其距
离为最短的曲线 。
解：问题可化为在约束条件
1),,( −= zzyxg
02 =− x （1）
及边界条件
在 x=x1时，y(x1)=y1，z(x1)=z1；
在 x=x2时，y(x2)=y2，z(x2)=z2； （2）
下求泛函
dxzyLx
x∫ ′+′+= 2
1
221 （3）
取极小值的曲线 y(x),z(x)。
考虑到 A、B端点条件已给出，故 表达式中∗Lδ 0)(,0)(,0)( 121 === xzxyxy δδδ
0)(,0)( 21 == xzxzδ 。令 ，得 0=∗Lδ
0=∂∂
+−y
FdxdF yy
ϕλ （a）
0=∂∂
+−z
FdxdF zz
ϕλ （b）
0),,( =zyxϕ （c）
y(x1)=y1， y(x2)=y2，z(x1)=z1, z(x2)=z2
由式（a）得
01 22
=′+′+
′−
zyy
dxd
adsdy0
dsdy
dxd
==
basy += （a）‘
由式（b）得
0)(1 22
=+′+′+
′− x
zyz
dxd λ
∫ +== cdxxdsdz
dsdz
dxd )( 0 λ
∫ +=ΛΛ= ))()(( )( cdxxxxdsdz λ （b）‘
由式（c）得
21 xz −= （c）‘
由式（a）‘ adsdy =
由式（b）‘ dz dsx)(Λ=
由式（c）‘ dsxx
xdzx
xdx )(11 22
Λ−
−=−
−=
则
2222 dzdydxds ++=
22222
2
)]()(1[ dsxaxx
xΛ++Λ
−=
222 )(11 ax
x+Λ=
得
xax 21)( −=Λ
代入 dx的表达式中
dsaxdsxx
xdx 222
11)(1−−−=Λ
−−=
dsax
dx 2
21
1−=
−−
积分得 dsax +−=− 21 1cos
最后得
)1sin(1
)1cos(
22
2
dsaxz
basydsax
+−=−=
+=+−=
a、b、c、d四个积分常数由边界条件（d）求出。这个解是圆柱面 21 xz −= 上
的螺旋线。
三、多个函数约束条件下的广义变分函数：
求泛函
（1） dxyyyyyyxFV nn
x
x),,,,,,( 2121
2
1
′′′= ∫ LL
在约束条件
n)k1,2,(i
0),,,,,,( 2121
<==′′′
L
LL nni yyyyyyxϕ （2）
及端点条件
n)1,2,(j )( ,)( 2211 L=== jjjj yxyyxy （3）
下的广义变分泛函。
应用拉氏乘子法构造广义变分泛函
])([)([])([ 221
1111
2
1jj
n
jjjj
n
jji
x
x
k
ii yxyyxydxxFV −+−++= ∑∑∫ ∑
=
∗∗
=
∗
=
∗ λλϕλ
])([])([ 221
111
2
1jj
n
jjjj
n
jj
x
xyxyyxydxF −+−+= ∑∑∫
=
∗∗
=
∗∗ λλ （4）
令 ，得: 0=∗Vδ
======
<==
==′∂
∂−
∂∂
∗′
∗∗∗′
∗
∗∗
n)1,2(j y)(xy ,y)(xy n)1,2 j )(xF ),(xF
n)k1,2(i 0
n)1,2(j ,0)(
2j2j1j1j
2y
j1yj
i
jj
L
L
L
L
（λλϕ
jj yF
dxd
yF
由 得: i
k
1ii (x)FF ϕλ∑
=
∗ +=
===
=′∂
∂+=
=′∂
∂+=
==
==′∂
∂+
′∂∂
−∂∂
+∂∂
∑
∑
∑∑
==′
∗∗
==′
∗
==
n)1,2(j )( ,)(
n),21j( |))((-
n),21j( |))((
)n1,2(j 0
n)1,2(j 0])([)(
2211
1
j
1
11
2
1
L
L
L
L
L
jjjj
k
ixx
j
iiy
k
ixx
j
iiyj
i
k
i j
ii
k
i jj
ii
j
yxyyxy
yxF
yxF
yx
yF
dxd
yx
yF
j
j
ϕλλ
ϕλλ
ϕ
ϕλ
ϕλ
四、 有积分约束条件下的广义变分泛函
研究泛函
V （1） dxyyyyyyxF nn
x
x),,,,,,( 2121
2
1
′′′= ∫ LL
在约束条件
（2） 0),,,,,,( 21212
1
=−′′′∫ αϕ dxyyyyyyx nn
x
xLL
及端点条件
n)1,2,(j )( ,)( 2211 L=== jjjj yxyyxy （3）
下的广义变分泛函。
用拉氏乘子构造广义变分泛函：
])([])([
][
221
111
2
1
2
1
jj
n
jjjj
n
jj
x
x
x
x
yxyyxy
dxFdxV
−+−+
−+=
∑∑
∫ ∫
=
∗∗
=
∗
∗
λλ
αϕλ
或写成
])([
])([)(
221
111
2
1
jj
n
jj
jj
n
jj
x
x
yxy
yxydxFV
−+
−++=
∑
∑∫
=
∗∗
=
∗∗
λ
λλαλϕ
如果约束条件有多个
n)k 1,2(i 02
1
<==−∫ Li
x
x idx αϕ
则广义变分泛函
])([])([
)(
221
11
1
11
2
1
jj
n
jjjj
n
jj
i
k
iii
x
x
k
ii
yxyyxy
dxFV
−+−+
−+=
∑∑
∑∫ ∑
=
∗∗
=
∗
==
∗
λλ
αλϕλ
［例］等周问题——在长度一定的封闭曲线中，什么曲线所围面积为最
大。这一问题称为等周问题。
解：设这条封闭曲线的参数方程为 x(s)，y(s)，其中 s 是弧长，由于这是
一条封闭曲线，所以有
x(0)=x(s1)，y(0)=y(s1) （1）
这条曲线的周长为
∫ += 1
0
22 )()(s
dsdsdy
dsdxl （2）
其所围面积根据格林（Green）公式为
ds
dsdxy
dsdyx
ydxxdydxdyR
s
R
)(21
)(21
1
0−=
−==
∫
∫∫∫ （3）
等周问题可归结为：在满足边界条件（1）和约束条件（2）下，从一切
x(s)、y(s)函数中选一对函数，使泛函（3）为极大。
把约束条件用拉氏乘子λ引入泛函 R中，构造广义变分泛函：
∫
∫
∫ ∫
−′′=
−′+′+′−′=
−′+′+′−′=
∗
∗
1
1
1 1
0
22
0
0 0
22
),,,,,(
])(21[
)()(21
s
s
s s
ldsyxyxsF
ldsyxxyyx
ldsyxdsxyyxR
λλ
λλ
λ
式中： , dsdyy
dsdxx =′=′
δλδλλ
δδδδδ ldsFyyFx
xFy
yFx
xFR
s−
∂∂
+′′∂
∂+′
′∂∂
+∂∂
+∂∂
=∗∗∗∗∗
∗ ∫ ](1
0
)(
)]([)]([
||
)]([)]([
1
1
11
1
0
0
00
0
ldsF
dsFyyF
dsd
yFx
xF
dsd
xF
lyyFx
xF
dsFyyF
dsd
yFx
xF
dsd
xF
s
s
ss
s
−∂∂
+
∂∂
+′∂
∂−
∂∂
+′∂
∂−
∂∂
=
−′∂
∂+
′∂∂
+
∂∂
+′∂
∂−
∂∂
+′∂
∂−
∂∂
=
∫
∫
∫
∗
∗∗∗∗∗
∗∗
∗∗∗∗∗
λδλ
δλλ
δδ
δλδδ
δλλ
δδ
由于 δλδδ 、、 yx 都是独立的，所以当 时有 0=∗Rδ
=∂∂
=′∂
∂−
∂∂
=′∂
∂−
∂∂
∫∗
∗∗
∗∗
1
0(c) 0
(b) 0)y
(y
(a) 0)(
sds-l
λ
F
FdsdF
xF
dsd
xF
本例中
22)(21 yxxyyxF ′+′+′−′=∗ λ
代入式（a）、（b）、（c）得
′=′+′
′=′+′
′−′
′=′+′
′−′
∫1
0
22
22
22
)(c 0
)(b 0
)(a 0
sds-lyx
yxyλ
dsdx
yxxλ
dsdy
由式（a）、（b）
122
222
cyx
yλx
cyx
xλy
=′+′
′+
=′+′
′−
从而得：
（d） 222
21 )()( λ=−+− cycx
这是圆族方程（如右图所示）。
利用约束条件（c）求拉氏乘子λ，
令
=−=−
tcytcx
sincos
2
1
λλ )20( π≤≤ t （e）
代入式 )( ′c
πλ
λ
λλ
π
2
)cos()sin(
2
0
0
22
0
22
1
1
=
=
+−=
′+′=
∫
∫
∫
dt
dsdsdtt
dsdtt
dsyxl
s
s
得： π
λ2l
=
代入式（d），得圆的方程
222
21 )
2()()(πlcycx =−+−
这是一个半径π2l为的圆， 为待定常数，要给出圆心位置才能确定。 21 cc、
习 题
1、 在连接两点 ，( )00 , yxA ( )11 , yxB 的所有平面曲线中，试求长度最短的曲线。
2、 在 xy平面上有一曲线 ( ) 0, =yxϕ ，在此平面上有一点 ，在( baA , ) ϕ上找一点
P，使 AP的距离为最短。试证明 AP是曲线ϕ的法线。
3、 在垂直平面 xoy上有一曲线 ( ) 0, =yxϕ ，在ϕ上找一点 P，在 、o P间连一
曲线，使有重物从 沿此曲线自由滑到o P点的时间最短，试求此曲线。
（并讨论 ( ), 0=−= ax + yyxϕ 这一特殊情况下的曲线）
4、 一悬臂梁，长为 l，宽为b，弹性模量为 E，材料密度为 ρ，求在 P力作
用下最大挠度为 w时梁的最小重量。它比等截面梁重量要减小百分之
几。
5、 两端固支、简支和悬臂的弹性梁，长为 l，受均布载荷 作用，其总位能
为
q
∫ ∫−=Πl
qydxdxEIy0 0
2''
21 l
，根据弹性体受力平衡时总位能为最小的原理，
分别求出三种梁的挠度曲线。