第二章 一维随机变量

1. 随机变量的定义及其分布函数

2. 离散型随机变量及其分布列

3. 连续型随机变量及其密度函数

一、随机变量

随机试验的结果数量化 随机变量。

目的：从数量的角度全面研究随机试验，揭示客观存在的统计规律性。

1

0

,

,

( )

正反

即

( ) 的所有可能取值为 Rx { , }0 1 ， Rx即为 ( ) 的值域。

由于为随机的，所以， ( ) 的取值也是随机的，即 ( ) 是随机变量。

( ) 是随机变量。

例 1 抛一枚硬币，观察出现的正反面

例 2.测试灯泡的寿命。

样本空间 0{ t | t }

引入变量 ，将随机试验的结果与 的取值对应起来，是定义在样本空间 { } { | } t t 0 上的函数，即

( ) t , t

是随机的， ( ) 也是随机的，

( ) 的值域 Rx [ , )0 。

随机变量的优点：

可以用数学分析（微积分）的方法来研究随机试验。

随机变量的分类：

1） 离散型随机变量（有限或可列个值）

2) 连续型随机变量（某一区间内）

3) 奇异型随机变量

注 1. 随机变量具有两重性（取值，概率 ）

注 2. 随机变量的自变量为 , 值域为 R 的子集

2.1.1

定义 在( 概率空间下，若对任意 有 则实值函数 ＝ （ ）, 称为随机变量。又称为 可测的的随机变量（ 记为

,A,P )

x R, A { | ( ) x } F ,

( )

F r .v .), F

1

1

1

n

n

r .v . P{ | ( ) x }, x R

{ | ( ) x } lim{ | ( ) x }n

{ | ( ) x } Fn

P{ | ( ) x }, x R

由 的定义可知， 都存在。

又

也都存在

2.1.2

定义 设 定义在（ 上的

称为 的分布函数，简记为 或

,F ,P ) r .v .,

x R,

F ( x ) P{ | ( ) x } P{ x }

F( x ) F ( x ).

F( x ),

r .v . F( x ) F( x )

注： 但反之不然，即同一分布函数可对应不同的随机变量若 的分布函数为 ，记为

2

1)

2)

注 、分布函数的实质：分布函数是一个概率，是随机变量在区间的概率虽然是一个点函数，实际上是一个区间的函数

1

1)

( )

2)

P a b

a

注 、分布与分布函数的区别：分布： 落在某个区间的概率

分布函数： 落在区间(- , ]上的概率

定理 2.1.1 任一分布函数F( x )都具 3条基本性质：

(1) 非降性：F( x )是定义在整个实数轴上的单调非降函数，即对任意的 1 2x x ，有 1 2F( x ) F( x )

(2) 0－1性：对任意 x R ,有0 1F( x ) ，且

F( ) =xlimF( x )

=0， F( )xlim F( x )

=1；

(3) 右连左极性：F( x )是 x的右连左极函数，

即对任意的 0x R ,有0

0x xlim F( x ) F( x )

，

即 0 00F( x ) F( x ) ,且0

0 0x xlim F( x ) F( x ) F( x )

以上三条性质是随机变量分布函数的特征性质。

说明：若 X a b [ , ]，则当 ax 时， xX 是不可能事件，这时，

0}{)( xXPxF ；

当 bx 时， xX 是必然事件，这时，1}{)( xXPxF 。

特别，当 a 时， F( ) 0； 当 b时， F( ) 1。

1 2

1 1 2 2

( ), ( ) ,

0 1,

( ) ( ) ( )

例3 是两个分布函数， 为两个

大于 的常数， 试证明也是分布函数.

F x F x a b

a b

F x c F x c F x

1 2( ), ( )

0 ( )

F x F x

ab F x

分别对应离散型，连续型

随机变量且 时，则 为非离散非连续型的分布函数.

2

1 ( ) . .

1

(2) 0

(3) 0

例4 是否可以作为某一

的分布函数.

(1) -

-

F x r vx

x

x

x

(1)

( ) 0( )

1 0

F x xF x

x

不单调(2)单调下降

(3)若定义

sin( )

3[0, ] (2)[0, ] (3)[0, ]

2 2

例5 在以下区间是否为分布函数.

(1)

x

1

2

16 1

21

例 求：

的分布函数 ( )

(2)若令 求 的分布函数 ( )

P( ) ,

( ) F x

, F x

1

1

1

1

1 0 0

12 1 1 1

21

23 1 1 1

1 1 1

1

0 1

11 1

21 1

x , P( x ) P( ) , F ( x ) ;

( ) x [ , ), P( x ) P(

F ( x )

( ) x [ , ), P( x ) P( ) P( )

P( ) P( )

F ( x )

, x ( , ),

F ( x ) , x [ , ),

, x [ , ).

解：(1)当

当 ＝ －）＝ ，

；

当

1 2

11 1

2P( ) P( )

F ( x ) F ( x )

注1： 与 的分布函数虽然相同，但它们是不同的随机变量。

2

i

ix x

F( x ) P{ x ) P( x )

注 ：离散型随机变量的分布函数

P( a b ) F( b ) F( a )

1P( b ) F( ) F( b ) F( b ).

1 10

n nP( a ) lim P( a ) limF( a ) F( a )

n n

0P( a ) P( a ) P( a ) F( a ) F( a )

0 0P( a b ) F( b ) F( a )

；

；

。

分布函数可以计算各个区间的概率

二、离散型随机变量 及其概率分布列

定义 2.1.3 阶梯型的分布函数对应的随机变量

称为离散型随机变量。

1 2i i i

i i

F( x ) c ( , x [a ,b ) ( i , ...)

[a ,b ) R

阶梯型函数,若满足 常数） 且

即在可列个区间上取常数值的函数

1 2

1

0

1 2 1

i

n

n

i i ii

x x P( a ) F( a ) F( a ) .

x , x ,...x ,...,

P( x ) p ( i , , ...), p

又 当 时，

离散型随机变量的一个等价定义：的可能取值为 对应的概率

可用概率分布列或分布律来表示：

x1 x2 … xn … pk p1 p2 … pn …

0 1 2kp , k , , ... .

1kk

p .

例 7 设随机变量的分布函数为 0 1

0 25 1 2

0 75 2 3

1 3

, x

. , xF( x )

. , x

, x

试求其分布列。

解：由公式 )0()(){ xFxFxP 可知

1 2 3 0, , , 只有在点 处的概率不为

1 1 1 0 0 25 0 0 25P{ ) F( ) F( ) . .

2 2 2 0 0 75 0 25 0 5P{ ) F( ) F( ) . . .

3 3 3 0 1 0 75 0 25P{ ) F( ) F( ) . .

的分布列为：

－1 2 3

P 0.25 0.5 0.25

★对离散型随机变量，若已知分布律，就可求出它的分布函数。

,1

,,

,

,0

)(

21

321

21

1

nppp

ppppp

p

xF

nxx

xxx

xxx

xxx

xx

43

32

21

1

xx

i

i

xXPxXPxF }{}{)(

nipxXP ii ,,2,1,}{ 例如 :

图形特点：右连续，台阶形

F x( ) 1

pkk

i

1

p p1 2 p1 x1 0 x2 x3 xi xi1 xn x

例 8.随机变量 X 的分布律为

X -1 2 3 pk 0.25 0.5 0.25

求 X的分布函数，并求 P X{ },1

2 P X{ },3

2

5

2

解：X的分布函数为

Fx( )

,

. ,

. ,

,

0

025

075

1

3

32

21

1

x

x

x

x

P X P X{ } { } . , 1

21 0 25

P X P X{ } { } . ,3

2

5

22 05

9 例 设 是离散型随机变量，分布列为：

-1 0 1

kp 0.5 1 2q 2q

2q; 求：(1) （ ） 的分布函数

解：3

1

1 1i ii

p p ,

由 ，及0 可得

2

2

21 1

1 2 1 22

10 1 2 1 0

21 1 1

qq q

q q

q q

2

21

2

0 1

0 5 1 0

0 5 1 2 1 0

0 5 1 2 1

i

ix x

q F( x ) P( x )

, x.

. , x [ , )F( x )

. q , x [ , )

. q q , x [ , )

取 ，再利用 ，得

0 1

0 5 1 0

2 0 5 0 1

1 1

, x

. , x [ , )F( x )

. , x [ , )

, x [ , )

例 10 一汽车沿街道行驶，需经过三个设红绿灯的道口，若每个道口信号灯显示红绿灯的时间相等，且各信号灯工作相互独立，以 记该车首次遇到红灯前已通过的道口数，求的概率分布。

0 1 2 3

0 5

i

i i i

{ , , , }

A i

A P( A ) P( A ) .

解： 的取值范围为 ，“ 在第 个路口遇红灯”

则 相互独立，

10 0 5P( ) P( A ) .

21 2 1 21 0 5P( ) P( A A ) P( A )P( A ) .

31 2 3 1 2 32 0 5P( ) P( A A A ) P( A )P( A )P( A ) .

31 2 3 1 2 33 0 5P( ) P( A A A ) P( A )P( A )P( A ) .

，

三 . 连续型随机变量 及其密度函数

※ 连续型随机变量是在一个区间内取值， 所有可能取值不能一一列举出来，不能 用分布律来描述它。

※任一指定值的概率为 0。即： P X c( ) 0

则称为 连续型随机变量， 称为的概率密度函数，简称为密度函数。

定义 2.1.4 设随机变量 的分布函数为 ，若存在非负可积函数 ，使得对 ，有

)(xF p( x )

x Rx

F( x ) p( t )dt

p( x )，

密度函数的性质，(1)非负性： (2)规范性：

0p( x )

1p( x )dx

例 11 （均匀分布）已知随机变量 的密度函数为：

, ( , )( )

0 ,

c x a bp x

其它

试求常数 c 及其分布函数。

解：利用规范性

1 ( ) ( )b

ap x dx cdx c b a

1c

b a

1, ( , )

( )0 ,

x a bp x b a

其它

( , ) ~ ( , )a b U a b 称 服从 上的均匀分布，记为

利用分布函数是密度函数积分的定义得

[ , )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

10 ( ) 0 1.

x a b x

a b

b b

a a

x b

F x p t dt p t dt p t dt p t dt

p t dt dtb a

当 时，

( ) 0 0x

x a F x dt

当 时，

[ , )

( ) ( ) ( ) ( )

1 10 ( );

x a x

a

x

a

x a b

F x p t dt p t dt p t dt

dt x ab a b a

当 时，

0 , ( , )

1( ) ( ) , [ , )

1 , [ , )

x a

F x x a x a bb a

x b

0 0

( ) ( ) ( 0)

( ) lim ( ) 0

( )

x x

x x

P x F x F x

p t dt p t dt

F x

是连续函数

注 3: 连续型随机变量在计算概率时可不区分

开、闭区间

注 1 ：连续型随机变量的分布函数是连续的

注 2 ：连续型随机变量在单点的概率为 0

1 1 2 2 3 3

1

2

3

关于分布函数的一些结论：(1)分布函数至多只有可列个不连续点(2)分布函数有分解：

－离散型

－连续型（连续且可表示成积分的形式）

－奇异型（连续但不可表示成积分的形式）

F( x ) c F ( x ) c F ( x ) c F ( x )

F ( x )

F ( x )

F ( x )

例 12．设随机变量 X的绝对值不大于 1，

1 1 4P( X ) ， 1 1 8P( X ) ，而在事件

1 1{ X } 出现的条件下， X落在（-1，1）内

任一子区间的条件概率与该子区间长度成正比，试

求 X的分布函数。

解： X既非离散又非连续型

当 1x 时， XF x =0 ；当 1x 时 XF x =1;

1 1 1 1 1 5 8P{ X ( , )} P( X ) P( X )

落在子区间内概率与长度成正比， 1 1 1 1P X ( ,x ) | X ( , ) k( x ) ｛ ｝

11 1 1 1 1

2P X ( , ) | X ( , ) k 由｛ ｝ ，可得

1 1x ( , ) 当 时， 1 1 1 1P X ( ,x ] P X ( ,x ],X ( , ) ｛ ｝ ｛ ｝

51 1 1 1 1 1

16P X ,x | X , P X ( , ) ( x ) ＝｛ （ 〕 （ ）｝｛ ｝

1 1

1 5 5 71 1 1

8 16 16X

x ( , )

xF ( x ) P X P X ,x ( x )

当 时，

｛ ｝ ｛ （ 〕｝ ＝

{ [ , ]} { ( , )} { ( , ]}

( ) ( ) ( )b

a

P a b P a b P a b

F a F b p t dt

{ | } { | }

{ } ( ) ( )x x I x x I

P I p x dt dF x

p( x ) P已知 求

已知分布函数，求密度函数

1) ( ) ( )

( )( )

2) ( ) ( )

在 的可导点处（即在 的连续点处）有

在 的不可导点处， 可任意取值

F x p x

dF xp x

dxF x p x

2

0 0

2( ) 0

1

例13 ，求概率密度函数

x

xF x x R

Rx R

2,

( ) ( ) 0)

x RR

F x x R p R

(当 时，左导数为 右导数为0,

在 时不可导，可规定为

2

20

( )0

xx R

p x R

解：其他

0

0

0,

( ) ( )( ) lim

( ) = lim

( ) ( )

( )

x

x

x

F x x F xp x

xP x x x

xx P x x x p x x

p x x

若

当 较小时，即 反映了 取 邻近值的概率大小

p( x )的含义：

(1) ( ) ( )

(2) ( ) [0,1]

(3) 0.

k ip x dx p p x dx p

p x

注1：

，

不一定要连续，也不局限于在 处，为

2

0

0.

(3) 0

1

注 ：(1)连续型单点处的概率为 .

(2)离散型单点处的概率不一定为一个事件的概率为 ，不一定是不可能事件；一个事件的概率为 ，不一定是必然事件。

例 14.设随机变量 X具有概率密度为

( ),

,x

ke x

x

x

3 0

0 0，

试确定常数 k，并求 P X( . ) 01 及 F x( )。

解：(1) ( )x dx

1，

ke dxx301，

k e x

1

313

0 ， k 3，

即 ( ),

,x

e x

x

x

3 0

0 0

3

(2) P X x dx e dxx( . ) ( )..

0 1 3 3

0 10 1

e x3

0 10 7408

..

(3) 当x0时，Fx dxx

() 0 0

一般，随机变量X的分布密度为

( ),

,x

e x

x

x

0

0 0，

0，则称X为指数分布，记为e( )。（常用在产品的寿命）

当x0时，Fx dx edxx

x()

0 30

3

0 e exx x3

0

31

F xe x

x

x

( ),

,

1 0

0 0

3

四、 常用离散型随机变量的分布

( ) 1, ~ ( )

单点分布记为P C I x C

0

1

, x cF( x )

, x c

分布函数为：

两点分布

X a b P X m( ) 1 p p

特例： 0-1 分布 X 0 1 P p q

a.随机变量X的取值范围：0，1.

(即样本空间只含有两个基本事件.)

b.分布律：P X m p q m p qm m( ) , , ; 1 01 1

或者：

二项分布（ Binomial Distribution ）

( , )B n p

( ) , 0, 1, 2 ,k n knP k p q k n

k

~ ( , )B n p记为

B( n, p ), B( n, p ), 注：若 不能推出

n A k（ 次伯努利试验中 成功 次的概率）

x

p(x)

0

B(20,0.25)B(20,0.5)

B(20,0.75)

1 0.5

2

3

二项分布的图形：）p=0.5时是对称的，p离 越远，分布越

不对称，但n越大，不对称性越不明显。）图像是先升后降的，有极大值点。）当(n+1)p是整数时，（n+1)p-1和（n+1)p

同时取得最大值； 当（n+1)p不是整数时，[(n+1)p]取得最大值

例 15.已知随机变量 X B n p~ ( , )，问：当m为何值时， P X m( ) 最大？

解 ： 分 析 ： 找 一 个 m ， 使 P X m P X m( ) ( ) 1 ， 且P X m P X m( ) ( ) 1 。

当 ( )n p m 1 0，即m n p ( )1 时，P X m P X m( ) ( ) 1

当 ( )n p m 1 0，即m n p ( )1 时， P X m P X m( ) ( ) 1

这时，PX m

PX m

( )

( )

0

0 11，

P X m

P X m

C p q

C p q

n m

m

p

q

n p m

m pnm m n m

nm m n m

( )

( )

( )

( )

1

11

1

11 1 1

1) 当( )np1是整数时，取mnp0 1( )，

则PX m PX m( ) ( ) 0 01 都是最大值。

2) 当( )n p1不是整数时，取m n p n p0 1 1 [( )] ( )，这时有PXm PXm( ) ( )0 01 ，而m n p01 1( )，

所以，PX m PX m( ) ( ) 0 01 。

最后得：PXm( )0是最大值。

例 16 设 2B( , p ) ， 3~ B( , p ) ， 若51 9P( ) ，求 1P( ) 。

解：由 51 9P( ) ，知 5 40 1 1 1 9 9P( ) P( ) 。而

由二项分布的分布列又知0 2 0 22

00

P( ) p q q

，

故由2 4

9q ，解出

2

3q ，舍去负值

2

3q ，

因此1

3p ，把它代入的分布，可知 1

33

~ B( , ) ，

从而 0 3 0 33 191 1 0 1 1 270P( ) P( ) p q q

。

例 17 设厂家生产的仪器，每台以概率 0.70 可直

接出厂，以概率 0.30需暂时留下作进一步调试，经

调试后以概率 0.80可以出厂，以概率 0.20定为不合

格品不能出厂，现该厂生产了共n台仪器 2( n ) ，

为方便计又设各台仪器间的质量互相独立。试求全

厂仪器能出厂的概率以及其中恰有 2件不能出厂

的概率。

解：令事件A＝{一台仪器可以出厂}，

B {一台仪器需要调试}，

P( A ) p ， 0 70P( B ) . ， 0 30P( B ) . ，

0 80P( A | B ) . ， 1P( A | B ) ，

故由全概率公式：

0 3 0 8 0 7 1 0 94

p P( A ) P( B )P( A | B ) P( B )P( A | B )

. . . .

0 94n n n n nnP( n ) p q p .

n

2 2 2 22 0 94 0 062 2

n nn nP( n ) p q . .

n

事件 A 发生的次数不到 k 次的概率：

事件 A 发生的次数多于 k 次的概率：

事件 A 发生的次数不少于 k 次的概率：

事件 A 发生的次数不多于 k 次的概率：

)()1()( nPkPkP nnn

)()1()0( kPPP nnn

)1()1()0( kPPP nnn

)()2()1( nPkPkP nnn

二项分布常用公式 :

例 18 （保险业务）今有 2500名同一类

型的人参加保险公司的人寿保险，参加者

每年参保费为 1200元，一年中若死亡，

保险公司赔偿 200000元，据生命表统计这

类人员每年死亡率为 2‰。试求(1) 保险公

司获益的概率 ;(2) 保险公司获益不少于

1000000元的概率 .

为使保险公司获益，则收入必须满足：

1200 2500 200000 ，解出 15 （人），

解：设为一年内的死亡人数，则 ~ (2500, 0.002)B ，

14 142500

0 0

3500( 15) ( , 2500, 0.002) 0.002 0.998k k

k k

P B kk

= BINOMDIST (14, 2500, 0.002, )TRUE

102500

0

{1200 2500 200000 1000000}

{ 10}

25000.002 0.998

(10, 2500, 0.002, )

0.986395

k k

k

P

P

k

BINOMDIDST TRUE

设随机变量 的概率分布为：

0 1 2k

P( k ) e k , , , ...k !

，

其中 0 为常数，则称 服从泊松分布 p( ) ，记

为 ~ P( )

泊松分布(Poisson Distribution)

　　单位时间内，电话呼唤次数，公共汽车站的乘客人数，机场降落的飞机数等；　　

0 t

P( t ), Poisson 若不是单位时间，而是 到 这段时间，则为 称为“ 流” 。

P(x)

x0

=2.5

=5

=10

注意：泊松分布是非对称的，但是，越大，非对称性越不明显。

例 19 由销售记录知道，某种商品每月销售数可

用 10 的泊松分布描述，（统计中将会介绍如

何利用销售记录确定分布类型）为了以 95％以上

的概率保证不脱销，问商品在月底至少应该进该

种商品多少件？（假设上月没有存货）

解：设月底进货 x件，每月销售量为 件，

当 x 时就不会脱销。

10~ P( ) ， 要 求 最 小 整 数 x ， 使

10

0

100 95

kx

k

P( x ) e .k !

，

查书末附表，14

10

0

100 9166 0 95

k

k

e . .k !

，

1510

0

100 9513 0 95

k

k

e . .k !

，

故求得最少进货 15x 件。

由于 POISSON 95.0),10,14( TRUE ， 而 POISSON 95.0),10,15( TRUE ， 故解 15x （件）。

超几何分布 H n M N( , , )

a. 实际背景：一批产品共有 N个，其中有 M个次品，从这批产品中不放回取 n个，求取出的 n个产品中有 k个次品的概率。

设随机变量 表示 n个产品中的次品数，则

b. 的取值范围： 0 1 2, , , ,min( , ) n M

c. 的分布律：k n kM N M

nN

C CP( X k )

C

，

0 1 2k , , , ,min( n,M ) .

H(n,N ,M ) 记为

H(5,10,100)

H(10,10,100)

H(20,10,100)

p(x)

x1 3 5 70

0 0

1r r

k k

M N M

k n kP( k )

N

n

需验证规范性，即

0

r

k

M N M N

k n k n

上式等价于

0 0

1 1N N

N N k k k

k k

N N( x ) x x

k k

0 0

0 0

1 1M N M

M N M k s

k s

M N Mk s

k s

M N M( x ) ( x ) x x

k s

M N Mx

k s

nx上面两式上含 的系数相等

0 0

r N M r

k k s n k

N M N M M N M

n k s k n k

几何分布

p—— A发生的概率

—— A首次发生时的试验次数 11 kP( k ) ( p ) p 1 2 3( k , , , )

记为 ~Ge( p )

例20 箱子里有２个白球和３个黑球，从中依次随机取球，每次取一个，取出看过颜色后立即放回，这样不停地取下去，直到取出白球为止，设 为取到白球为止所需要的取球次数，求；（１） 的概率分布；（２）至少需要 次才能取到白球的概率。 n

巴斯卡分布（第r次成功发生在第n次）

1

( 1, 1, )

1( ) ,( , 1,...)

1r k r

n b r n p

kP k p q p k r r

r

第 次成功＋前面的二项分布

, )r t s t 问题：甲乙按某种方式下注，先胜t局者赢，但进行到甲胜r,乙胜s局（ 时，因故停止，问：如何分配赌注？

五、连续型随机变量

1 、均匀分布

２、指数分布

３、正态分布

均匀分布U(a, b )（Uniform Distribution） 若连续型随机变量具有密度函数

1

0

, x ( a , b )p( x ) b a

,

其他

称服从均匀分布，记为 ~U( a,b )

分布函数

0,

( ) ,

1,

x a

x aF x a x b

b ax b

a b

F x( )

0 x

1

落在 ( , )a b 中等长度的子区间内的概率 是一样的。换句话说，它落在子区间内 的概率只依赖于子区间的长度，而与子 区间的位置无关。

意义：

例 21 某公共汽车从上午 7 时起每 15 分钟来

一班车，即 7:00，7:15，7:30 等时刻有汽车到达车

站，如果某乘客到达此车站的时间是服从 7:00 到

7:30 之间均匀分布的随机变量，试分别求他等候不

到 5分钟能乘到车，等车超过 10分钟的概率。

解：令为乘客到站时间（分钟）减去 7:00，

则 0 30~U( , )

（1） 候车时间不到 5分钟，

即 10 15( ) 或 25 30( ) ，故所求概率为 15 30

10 25

1 1 110 15 25 30

30 30 3P( ) P( ) dx dx

0 15 3010 25

（2） 候车超过 10分钟相当于0 5 或15 20 ，

故对应概率为

10 5 15 20

3P( ) P( )

0 15 305 20

例 22 设随机变量 0 10~U( , ) ，现对 进行观

察，试求在不多于 3次的观察中至少有一次观察

值超过 8的概率。

解：由于 0 10~U( , ) ，故密度

10 10

100

, x ( , )p( x )

， 其他

10

8

1 18

10 5p P( ) dx

令为观察值首次超过 8次的观察次数，则 ~Ge( p ) ，

23 1 2 3P( ) P( ) P( ) P( ) p qp q p

2 2

1 4 1 4 1 1 4 4 611

5 5 5 5 5 5 5 5 125( )

指数分布（ Exponential Distribution ）

若连续型随机变量具有密度函数

0

0 0

xe , xp( x )

, x

则 ~ E( )

分布函数为

1 0

0 0

xe , xF( x )

, x

密度函数和分布函数的图形： ()x Fx()

1

0 x 0 x

b.应用：寿命、某种服务的等待时间（如银行取款，售票处买票等）。

Poisson分布与指数分布的关系

（1）（0,t）时间内，电话呼唤次数，公共汽车

站的乘客人数，机场降落的飞机数 ~ ( )P t

~ ( )E （２）两架飞机到来的时间间隔

0例23 在（ 内飞机来到的架数 要求两架飞机到来的“ 等待时间” 的分布函数。

,t ) ~ P( t ),

0t ,

F( t ) P{ t }

解：设前一架飞机到来的时刻为 要求

0 0 0, t P( t ) 时，

0 0 0t ,{ t } { ( ,t ) { } 而 在 内无飞机来到｝

1 1 tP{ t } P( t } e

1 0

0 0

te , tF( t )

, t

即

性质：（指数分布的无记忆性）

若 ~ E( ) ，则对任意的 0s ， 0t 有

P( s t | s ) P( t )

P({ s t } { s }) P( s t )

P( s t | s )P( s ) P( s )

( s t )t

s

ee P( t )

e

证： ~ E( ) ，

1 1 1 s sP( s ) P( s ) ( e ) e

{ s t } { s } 又

例 24 设某设备在任何长为 t 的时间段内发生

故障的次数N( t )服从参数为 t 的泊松分布，

其中 0 0,t ，

求 a) 相继两次故障之间时间间隔T的概率分布。

b) 求在设备已经无故障工作 8小时的情况

下再次无故障运行 8小时的概率q 。

0T t N( t ) 解：利用｛ ｝＝｛ ｝

b)

168

8

16 816 8

8

16 1 16

8 1 8T

T

P(T ,T )q P{T |T }

P(T )

P(T ) F ( ) ee

P(T ) F ( ) e

a) TF ( t ) P(T t ) ， 0 0Tt F ( t ) 时， 当 0t “，事件 T t ” “与事件 0N( t ) ” 是等价的。

1 1 0 1 tTF ( t ) P(T t ) P(T t ) P( N( t ) ) e

即T E( )～

正态分布（Normal Distribution）

2

22

2

1

2

( x )

p( x ) e , x

~ N( , )

若连续型随机变量的概率密度函数为：

则称 服从正态分布，记为

0 x

( )x

21

x

x

关于参数的说明：

密度函数图形特点：关于x对称；极大值：

极大 ( )1

2 ；

拐点：在x处；渐近线：x轴。位置参数（在x轴上平移）比例参数：大，图形平坦；小，图形呈尖塔形。

0 x

( )x

21

x x

b.分布函数： 2

2

( )

21

( )2

xx

F x e dx

分布函数的图形：

x

F x( )

标准正态分布 X N~ ( , )0 1

分布密度为

2

21

( )2

x

x e

0x

( )x

-x x

)( x )(1 x

( )x 的性质：(1)( ) .0 05 , (2)( ) 1, (3) ( ) ( ) x x1 .

分布函数记为()x，即()x e dtt

x

1

2

2

2

。

()x的图形： ( )x

0 x

0 . 5

1( x ) ( x ) ，

1P(U x ) ( x ) ，

P( a U b ) ( b ) ( a ) ，

2 1P(|U | c ) ( c )

性质：若随机变量 2X ~ N( , ) ，X的分布函数为F( x )，

令 0 1X

Z ~ N( , )

，x

F( x ) ( )

。

证明：

2

221

2

( x )x

F( x ) P( X x ) e dx

t ( x )

2

21

2

x t

e dt

x( )

#

性 质 ： 若 随 机 变 量2X ~ N( , ) ， 则

1 2P( x X x ) 2 1x x( ) ( )

例 25 )4,1(~ NX ，求 P X( . )0 16 。

解： 0 1 6P( X . )

0 3 0 5( . ) ( . ) 0 3 1 0 5( . ) [ ( . )]

0 6179 1 0 6915 0 3094. . .

1 6 1 0 1

2 2

.( ) ( )

2

2

(27,5 )

(30,2 )

例26 某人到机场有两条路可走，路Ａ，穿过市区，路程较短，但道路拥挤，所需时间服从正态分布

；路线Ｂ，上高架，路程长，但交通畅通，

所需时间服从 。若（１）有30mi n，（２）有34mi n，应选择哪条路好？

N

N

11 1{ ) 1 { ) 1 ( )P P

解： －坐车时间

30 27: { 30) 1 ( ) 1 (0.6) 0.2743

5A

（１）路

30 30{ 30) 1 ( )

2 路Ｂ： =0.5

34 27:{ 34) 1 ( ) 1 (1.4) 0.0808

5A

（２）路

34 30:{ 34) 1 ( ) 1 (2) 0.0228

2B

路

选择路线A

选择路线B

3 准则

{| | 3 } (3) ( 3) 2 (3) 1 0.9974P x

{| | } (1) ( 1) 2 (1) 1 0.6824P x

{| | 2 } (2) ( 2) 2 (2) 1 0.9544P x