확률과통계1. 확률이론

순열과조합

순열 (Permutation)

n개원소의 r-순열

순서가 부여된 임의의 집합을 다른 순서로 뒤섞는 연산

P(n,r) -> 서로 다른 n개의 원소 중 r개를 뽑아 한 줄로 세우는 경우의수

P(n,r) = n!/(n-r)!

중복순열

서로 다른 원소 중 중복을 허용하여 r개를 뽑아 한 줄로 나열하는 경우의 수

n 𝑟 = 𝑛𝑟

순열과조합

조합(Combination)

집합에서일부원소를취해부분집합을만드는것

C(n,r) -> 이항계수 : n개원소에서 r개의부분집합을고르는조합의 경우의수

C(n,r) = 𝑛!

𝑟!∗ 𝑛−𝑟 !

중복조합

중복을허락하여 r개를뽑는경우의 수

𝑛𝐻𝑟 = 𝐶(𝑛 + 𝑟 − 1, 𝑟)

표본공간과확률

표본공간

어떤실험의표본공간 S는일련의모든가능한실험결과의집합이다.

* 벤다이어그램 : 표본공간을 2차원으로표현한그림

* 상태공간 : 숫자로구성된표본공간

예) 6면주사위를던지는실험에서 표본공간은 {1,2,3,4,5,6} 이다.

사건

사건과여사건

사건(event) : 표본공간 S의부분집합, 사건 A의확률 P(A)는사건 A에속하는결과들의확률총합이다.

여사건(complement event) : 사건 A에속하지않는표본공간내 다른모든결과들의집합

P(A) + P(A’) = 1

예) 사건 A = {주사위짝수}, A’ = {주사위홀수}

사건

합사건 (𝐀 𝑩)

사건 A와 B중적어도한사건이발생하는경우

P A 𝐵 = 사건 A또는 B에 속하는결과들의확률의합

곱사건 (𝐀 𝑩)

사건 A와 B의교집합, 두사건에동시에포함되는결과들

P(A 𝐵)= 두사건 A와 B가동시에발생할확률

배반사건 (𝐀 𝑩 = ∅)

공통의결과가없는 A사건과 B사건의경우사건 A와 B는상호배반(배타적)사건이라한다

배반사건일때 P 𝐀 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷(𝑩)

사건

표본공간분할

사건 A1,A2…An에대해

1. 임의의 Ai, Aj에대해서로배반사건이고

2. A1 U A2 U … U An = S(표본공간)

일때 A1, A2 …An 은표본공간을분할한다.

예) 주사위를굴렸을때의표본공간 S에대해

사건 A1 = {짝수눈}, A2 = {홀수눈}

A1,A2는 표본공간 S를분할한다

조건부확률과분할표

조건부확률

사건 B가 발생했다는조건하에사건 A가발생할확률

: 어떤결과가 B안에포함되고있다면그결과가사건 A안에포함될확률

𝑃 𝐴 𝐵 =𝑃(𝐴 𝐵)

𝑃(𝐵)

* 사건 𝐴 𝐵의 표본공간이 사건 𝐵의 발생으로 좁혀졌다고 보면 됨

예) A와 B가 상호배반일때 𝑃 𝐴 𝐵 =𝑃(𝐴 𝐵)

𝑃 𝐵=

0

𝑃(𝐵)= 0

조건부확률과분할표

확률의곱셈의법칙

조건부확률로부터두 사건의교집합은다음과같이계산가능하다

𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃(𝐵) ∗ 𝑃 𝐴 𝐵

일련의사건 A1, A2, … An의교집합의확률은

𝑃 𝐴1 … 𝐴𝑛 = 𝑃 𝐴1 ∗ 𝑃 𝐴2 𝐴1 ∗ 𝑃 𝐴3 𝐴1 𝐴2 … ∗ 𝑃 𝐴𝑛 𝐴1 … 𝐴𝑛 − 1

조건부확률과분할표

독립사건

두사건 A와 B는 P 𝐴 𝐵 = 𝑃(𝐴)일 때 상호독립사건이라고한다.

두사건이상호독립이라는의미는 한사건에대한정보가나머지다른사건의확률에영향을주지않음을나타낸다.

* B가 일어났을 경우에 A가 일어날 확률에 변화가 없음을 뜻함 : 두 사건이 다른 레이어에있음

* 반대로 사건 A가 일어날 확률도 B가 일어날 확률에 영향을 주지 않는다.

일련의독립사건 A1, A2, … An의교집합의확률은

𝑃 𝐴1 … 𝐴𝑛 = 𝑃 𝐴1 ∗ 𝑃 𝐴2 ∗ ⋯∗ 𝑃 𝐴𝑛

조건부확률과분할표

분할표

두개의사건에대한확률표

A A’

B ¼ ¼

B’ ¼ ¼

첫번째

두번째

* 주사위를 두번 던졌을 때 결과가 짝수/홀수일 확률

사후확률

전체확률의법칙(Law of Total Probability)

A1, … , An이표본공간 S를분할할 때, 표본공간 S내의사건 B의 확률은조건부확률 P(B|Ai)의가중평균으로부터구할수있다. 이때가중치는P(Ai)가된다.

P(B) = P(A1 B) + P(A2 B) + … + P(An B)

= 𝑃(𝐴)𝑃 𝐵 𝐴1 + 𝑃(𝐴)𝑃 𝐵 𝐴2 + … + 𝑃(𝐴)𝑃 𝐵 𝐴𝑛

* 가중치 : 각 항의 중요도에 비례하는 계수

* 가중평균 : 각 항의 수치에 가중치를 곱한다음 산출한 평균

사후확률

사전확률

관측자가관측을하기전에가지고 있는확률분포를의미, 𝑃 𝐴 , 𝑃 𝐵 𝐴𝑗 =사건 A의사전확률

사후확률

사건 B가 발생했을때 Ai에속할 확률 𝑃 𝐴𝑖 𝐵

𝑃 𝐴𝑖 𝐵 =𝑃(𝐴𝑖 𝐵)

𝑃 𝐵=

𝑃 𝐴𝑖 ∗ 𝑃(𝐵|𝐴𝑖)

𝑗 𝑃 𝐴𝑗 ∗𝑃(𝐵|𝐴𝑗)