설계 수문량의 산정 : 강우 통계 분석

설계 수문량의 산정 : 강우 통계 분석설계 수문량의 산정 : 강우 통계 분석

2002005. 9. 275. 9. 27

▶ 강의 순서▶ 강의 순서

강우빈도해석의 개요강우빈도해석의 개요 예비적 해석예비적 해석 확률분포형확률분포형 매개변수 추정매개변수 추정 매개변수 적합성 검토매개변수 적합성 검토 적합도 검정적합도 검정 경험적 빈도해석경험적 빈도해석 최적확률분포형 선정최적확률분포형 선정 확률강우량 산정확률강우량 산정 적용적용 : : 강우분석 프로그램 강우분석 프로그램 FARDFARD

▶ 강우빈도해석의 개요▶ 강우빈도해석의 개요

이수 및 치수 목적을 위한 수자원 시스템이수 및 치수 목적을 위한 수자원 시스템 예측할 수 없는 크기의 수문사상에 대해 계획되고 설계됨예측할 수 없는 크기의 수문사상에 대해 계획되고 설계됨 수문학적 분석을 통해 수문량이 어떤 특정값을 초과할 확률을

추정할 수 있으면 계획되는 수자원 시스템의 사회 · 경제적 설계에 기초가 됨

☞ 이와 같은 수문자료의 해석절차를 확률론적 해석방법이라 통칭하며 , 특히 강우나 홍수의 발생빈도를 확률론적으로 예측하는 방법을 빈도해석 (frequency analysis) 이라고 함

11

▶ 강우빈도해석의 일반적인 절차▶ 강우빈도해석의 일반적인 절차강우자료구축

예비적인 해석

Rank Correlation Coeff. Test

Run Test

Correlogram Test

Turning Point Test

매개변수 적합성 검토

Cramer Von Mises 검정

Kolmogorov-Smirnov 검정적합도 검정

PPCC 검정

Χ2- 검정

변동성 및 경향성 분석

확률강우량 산정

매개변수 추정모멘트법 (MOM)

최우도법 (ML)

확률가중모멘트법 (PWM)

Gamma(2/3)

GEV(3)

Gumbel(2)

Log-Gumbel(2/3)

Lognormal(2/3)

Log-Pearson type III(3)

Weibull(2/3)

Wakeby(4/5)

Normal(2)

확률분포형 적용

도시적 해석

최적분포형 선정

22

▶ 강우빈도해석시의 자료구축▶ 강우빈도해석시의 자료구축

최근까지의 정확한 강우자료를 획득하는 것이 가장 중요

자료에 대한 검토 사항 관측자료의 일관성 검사 강우자료 계열의 추출 및 선정

: 30 년 이상의 연최대치 , 연초과치

33

▶ 예비적 해석 (1)▶ 예비적 해석 (1)

빈도해석 실시 전 단계 대상 자료의 도시 및 경향 파악 대상 자료의 무작위성 (randomness) 파악

1. 자료의 도시경년별 자료 도시 및 형태 파악은 자료의 개략적인 성질을 파악하는데 필수적

( 서울 , 지속기간 24 시간 연최대강우량 )

1 9 1 0 1 9 2 0 1 9 3 0 1 9 4 0 1 9 5 0 1 9 6 0 1 9 7 0 1 9 8 0 1 9 9 0 2 0 0 0Y E A R

01 0 02 0 03 0 04 0 05 0 0

RAINFALL(mm)

44


dxxfxxE )()( 222

구분구분 모집단 매개변수모집단 매개변수 표본 통계량표본 통계량

평균평균

분산분산

변동계수변동계수

왜곡도계수왜곡도계수

첨예도계수첨예도계수

dxxxfxE )(][

2. 기본통계값 산정

N

i

ixN

x1

1

N

i

i xxN

s1

22 )(1

1

x

sCv

])[(1 3

3

xE

31

3

)2)(1(

)(

sNN

xxNC

N

is

])[(1 4

4

xE

41

42

)3)(2)(1(

)(

sNNN

xxNC

N

ik

55


3. 무작위성 검토(1) Anderson 의 Correlogram Test

(2) Run Test

(3) Spearman 의 Rank Correlation Coefficient Test

(4) Turing Point Test

66

▶ 변동성과 경향성 분석 (1)▶ 변동성과 경향성 분석 (1)

자료의 변동성과 경향성 발생자료의 변동성과 경향성 발생

자연적 현상과 인간에 의한 변화에 의해 발생자연적 현상과 인간에 의한 변화에 의해 발생

절차절차1. 1. 예비적 자료해석 예비적 자료해석 : : 대상자료 도시 혹은 자료의 기본 통계값 계산 분석대상자료 도시 혹은 자료의 기본 통계값 계산 분석

2. 2. 확정적 자료해석 확정적 자료해석 : : 자료의 변동과 경향을 통계적인 방법을 이용하는 자료의 변동과 경향을 통계적인 방법을 이용하는 방법방법

77

1. Abbe test of homogeneity1. Abbe test of homogeneity

2. Mann-Whitney test2. Mann-Whitney test

3. Sign test3. Sign test

4. Simple T test4. Simple T test

5. Simple F test5. Simple F test

6. Modified T test6. Modified T test

7. Modified F test7. Modified F test

88


변동성 분석방법변동성 분석방법

1. T test1. T test

2. Hotelling-Pabst test2. Hotelling-Pabst test

3. Mann-Kendall test3. Mann-Kendall test

4. Sen test4. Sen test

5. Seasonal Homogeneity of Trends Test5. Seasonal Homogeneity of Trends Test

99


경향성 분석방법경향성 분석방법

▶ 확률분포형 (1)▶ 확률분포형 (1)

수문자료의 빈도해석에 많이 사용되는 분포형 gamma 분포형 (2/3)

GEV (General Extreme Value) 분포형 (3)

Gumbel 분포형 (2)

log-Gumbel 분포형 (2/3)

lognormal 분포형 (2/3)

log-Pearson type III 분포형 (3)

Weibull 분포형 (2/3)

Wakeby 분포형 (4/5)

1010


확률분포형확률분포형 확률밀도함수 또는 누가분포함수확률밀도함수 또는 누가분포함수

LognormalLognormal

GammaGamma

Log-Pearson type IIILog-Pearson type III

GEVGEV

GumbelGumbel

Log-GumbelLog-Gumbel

WeibullWeibull

WakebyWakeby

2

)ln(

2

1exp

)(2

1)(

0

0 y

y

y

xx

xxxf

00

exp)(

1)(

1xxxx

xf

00 )ln(

exp)ln(

)(

1)(

1yxyx

xxf

)(

expexp)(0xx

xF

/1)(

1exp)(0xx

xF

00

exp)(

)(1

xxxxxf

])1(1[])1(1[ db FcFamx

)(

)(exp)(

0

0

xx

xxF

1111


00

exp)(

1)(

1xxxx

xf

0x

1. Gamma 분포형 대부분의 수문자료의 확률밀도함수는 왜곡되어 있으므로 수문자료의

해석에 gamma 분포를 자주 사용

확률밀도함수

1212

: location parameter

: scale parameter

: shape parameter

00 forxx

00 forxx


)1()(

1exp)(0

xx

xF

2. GEV (General Extreme Value) 분포형 홍수나 가뭄 같은 사상의 빈도해석에 많이 사용되는 분포함수로써

형상매개변수에 따라 3 가지 형태로 구분될 수 있음

확률밀도함수 및 누가분포함수

)()(

11

)(1)1(

0

xFxx

xf

1313

0x


: scale parameter

: shape parameter

000

: GEV-1

: GEV-2

: GEV-3


)(

expexp)(0xx

xF

3. Gumbel 분포형 GEV-1 분포로도 알려져 있음


x

xxxxxf ,

)(exp

)(exp

1)( 00

1414

0x


: scale parameter


4. Log-Gumbel 분포형 Log-Gumbel 분포는 Frechet 분포로도 알려져 있으며 , GEV-2 분포에

해당


)(.)(0

0

0

xFxx

x

xxxf

0

0exp)(xx

xxF

1515

,, 0x

xx0

0x

: parameters

0


5. Lognormal 분포형 3 개의 매개변수를 가지는 lognormal 분포형 아래와 같으며 ,

으로 놓으면 2 변수 lognormal 분포형이 됨

확률밀도함수

xx

xx

xxxf

y

y

y

0

2

0

0

,)ln(

2

1exp

)(2

1)(

1616

00 x

0x

y

y

: location parameter of

: location parameter of

: scale parameter of

x)ln( 0xx )ln( 0xx


6. Log-Pearson type III 분포형 Log-Pearson type III 분포형은 미국에서 홍수자료해석에 추천되고 있는

분포형

확률밀도함수

0

1

0 )ln(exp

)ln(

)(

1)(

yxyx

xxf

1717

0y


: scale parameter

: shape parameter

xe y0

00 yexif

if

0

0


0exp1)(xx

xF

7. Weibull 분포형 Weibull 분포는 처음에 재료의 안전성과 수명시험을 모의하기 위해

제안되었으며 , 3 변수 Weibull 분포는 GEV-3 분포와 밀접한 관계를 갖는다


0

1

0 exp)(xxxx

xf

1818

0x


: scale parameter

: shape parameter

xx0

00


8. Wakeby 분포형 Wakeby 분포는 다음과 같이 역함수 형태로 정의됨

])1(1[])1(1[ db FcFamx

1919

dcbam ,,,, : parameters


9. Gumbel-Chow 분포형 국내 실무진들에 의해 많이 사용되고 있음 특정한 형태의 확률분포형을 가지고 있는 것이 아니라 , 앞에서 설명한 극치

확률분포중의 하나인 Gumbel 분포에 대하여 Chow(1951) 가 빈도계수법(frequency factor analysis) 을 적용하였기 때문에 붙여진 이름

실질적으로 매개변수 추정방법의 하나인 모멘트법과 동일한 결과를 보임 그러므로 Gumbel-Chow 분포는 Gumbel 분포형에 매개변수 추정방법

중의 하나인 모멘트법을 적용하였다고 하는 것이 맞으므로 앞으로는 이 이름 으로 사용하지 않는 것이 바람직함

2020


10. Iwai ( 岩井 ) 분포형 일본에서 확률계산법의 표준으로 가장 널리 이용되고 있는 岩井法의 특징은

하한값 – b 를 갖는다는 것 이 방법은 기존의 대수정규분포를 하한값 – b 를 추가하여 변형시킨 것으로

양으로 왜곡된 형태의 확률밀도함수를 가짐 岩井은 대수정규분포에 유한한 하한값을 추가하여 양으로 왜곡된 형태의

누가분포함수를 제안하였음

2121

dexF

21)(

bx

bxa

010log xb

▶ 매개변수 추정 (1)▶ 매개변수 추정 (1)

1. 모멘트법 (Method of Moments) : Karl Pearson (1902) 모멘트법은 추정방법이 간단하여 가장 널리 사용하는 방법중의 하나 모집단의 모멘트 (population moments) 와 표본자료의 모멘트 (sample

moments) 를 같다고 하여 적용 확률분포형의 매개변수를 추정하는 방법

polulation moments = sample moments

대칭형 분포형의 경우에는 다른 매개변수 추정방법들이 모멘트법보다 우수한 결과를 얻는 것은 아니나 , 대부분의 수문학적 확률변수는 다소 왜곡되어 있으므로 모멘트법에 의한 매개변수의 추정은 다소 효율성이 떨어진다고 할 수 있음

2222


2. 최우도법 (Method of Maximum Likelihood) : R.A.Fisher

(1922) 최우도법은 추출된 표본자료가 나올 수 있는 확률이 최대가 되도록

매개변수를 추정하는 방법 일반적으로 우도함수 (likelihood function) 보다는 유도상의 편리성 때문에

대수 우도함수 (log-likelihood function) 를 많이 사용 일반적으로 최우도법은 가장 효율적인 추정치를 얻을 수 있으며 표본자료의

크기가 충분히 클 때 다른 매개변수 추정방법에 대하여 추정치의 효율성을 비교하는데 기준으로 사용

2323

kjL

j

j ,,1,0)(ln

)(1

i

N

i

xfL


srpsrp xFxFXEM )(1)(,,

3. 확률가중모멘트법 (Method of Probability Weighted

Moments)

: Greenwood 등 (1979) 확률가중모멘트의 일반식은 다음과 같이 나타낼 수 있음

모집단의 확률가중모멘트와 각각에 대한 표본자료의 불편 확률가중모멘트

불편의 확률가중모멘트의 사용은 선정된 분포형 형식에 따라 편리한 것 사용 매개변수 추정은 확률가중모멘트법이 보다 안정적

0,)!1()!(

)!1()!(1ˆ

1,)()2)(1(

)()2)(1(1ˆ

])}(1{[)]([

1

'

211

',0,10,,1

sNsjN

sNjNx

NB

xxxrrNNN

rjjjx

NB

BXFXEMBXXFEM

N

jjs

N

N

jjr

ss

srr

r

2424


0,0,)( xexf x

(( 예제예제 )) 지수분포함수의 매개변수 추정

☞ 매개변수 를 갖는 지수분포함수 ( 매개변수 1 개 )

(1) 모멘트법- population mean

- sample mean

- equating population to sample moment

1

)(][0

dxexdxxxfxE x

n

iixN

x1

1

x/1ˆ

2525


)()()()( 211

N

N

ii xfxfxfxfL

N

ii

N

ii

N

i

xi

N

i

xNxexfL i

1111

ln}{ln}ln{)}({lnln

(2) 최우도법

- likelihood function

- log-likelihood function

- maximum likelihood estimator

10/log jL

0ln

1

N

iix

NL

xx

N

N

ii /1ˆ11

1

2626


(3) 확률가중모멘트법

- population PWM

20

,0,1/

)1(

1)(])}(1{[

1)(

sdxexxFXEMB

exF

sxsss

x

1

)10(

12

/0

B

2727

- sample PWM

- equating population to sample

N

ij

N

jj

N

jjs xx

NNjN

NjNx

NB

NsjN

sNjNx

NB

11

/0

1

/ 1

)!1()!0(

)!10()!(1ˆ)!1()!(

)!1()!(1ˆ

xx /1ˆ1

▶ 매개변수 적합성 검토 (1)▶ 매개변수 적합성 검토 (1)

확률분포형확률분포형 확률변수의 범위 및 매개변수 적합성 조건확률변수의 범위 및 매개변수 적합성 조건

GammaGamma

Log-Pearson type IIILog-Pearson type III

GEVGEV

GumbelGumbel

추정된 매개변수의 적용분포형의 확률변수 및 매개변수 조건 만족 여부 파악 적합성 조건을 만족 못하는 경우 그 분포형은 사용 않는 것이 바람직함

0,0

0,0

0

0

forxx

forxx

0

0

0

0y

y

ex

xe

때일

때일

/:30

/:20

:10

0

0

xxGEV

xxGEV

xGEV

때일

때일때일

x

2828

▶ 매개변수 적합성 검토 (2)▶ 매개변수 적합성 검토 (2)

확률분포형확률분포형 확률변수의 범위 및 매개변수 적합성 조건확률변수의 범위 및 매개변수 적합성 조건


LognormalLognormal

WeibullWeibull

WakebyWakeby

0,, 00 xxx

xx0

0,0,0 xx

11,0,0

,00,00

00

dbcdabcd

dcdbab

dcdbdb

이고이면이면

또는

2929

▶ 적합도 검정 (1)▶ 적합도 검정 (1) 모집단의 확률분포형을 알지 못하면 기존의 확률분포형으로 모집단의 성질을

정확히 나타내기 어려우므로 대상 확률분포형 가운데 적정 확률분포형을 선정하는 것은 매우 어려운 과제임

따라서 다양한 기법을 통한 많은 정보 이용하여 적정 확률분포형 선정

☞ 적합도 검정 사용 적합도 검정은 해당 확률분포의 상대도수함수와 누가도수함수의 이론값과

표본값을 비교하여 그 정도를 판별 적합도 검정의 종류

(1) - 검정

(2) Kolmogorov-Smirnov 검정

(3) Cramer von Mises 검정

(4) PPCC (Probability Plot Correlation Coefficient) 검정

2

3030

▶ 적합도 검정 (2)▶ 적합도 검정 (2)

2

21. - 검정 - 적합도 검정은 가장 널리 사용하는 적합도 검정방법 중의 하나 대상 자료에 대해 적합하다고 가정한 확률밀도함수와 군집화된 자료를 이용한

빈도해석을 통하여 구해지는 경험적 확률밀도함수를 비교하는 검정방법 검정의 통계량

가설검정통과

2

2

m

j j

jj

e

enC

1

2)(C

2,1 C

3131


NixFxFxFMaxD exe

N

i/)(,)ˆ;()(

1

2. Kolmogorov-Smirnov 검정 - 검정과는 달리 확률밀도함수 대신 누가분포함수에 대해 검정하는 방법 Kolmogorov-Smirnov 검 정 은 표 본 자 료 의 누 가 분 포 함 수 와 가 정 된

이론확률분포의 누가분포함수를 비교하여 양자의 최대편차로 정의됨 Kolmogorov-Smirnov 검정의 통계량

가설검정통과

2

)(1 NdD

3232

D


NXXX ,,, 21 )ˆ;( xFX

W

3. Cramer von Mises 검정 누가분포함수에 대하여 검정하는 방법 이 방법은 표본자료 가 누가분포함수 로 정의된 확률분포형을

모집단으로 갖는다는 가정을 검정하는데 사용됨 검정통계량

가설검정통과

2

1 2

12);(

12

1

N

iiX N

ixF

NW

)(1 NwW

3333


4. PPCC (Probability Plot Correlation Coefficient) 검정 유의수준 및 자료의 크기에 따른 검정통계량을 유도하여 검정하는 방법 확률도시상관계수 검정방법은 자료의 적모멘트 상관계수를 이용하여 적합도

검정을 수행하며 자료의 적모멘트 상관계수는 다음 식과 같음

가설검정통과

N

i

N

iii

N

iii

c

MMXX

MMXXr

1 1

22

1

)()(

))((

)(Nrrc

3434


5. 도시적 해석방법 확률지

정규 , 대수정규 , 극치 , 대수극치 등

경험적 확률밀도함수 및 누가분포함수 vs. 적합된 확률밀도함수 및 누가분포함수를 도시하여 적합한 분포형 선정 기준으로 사용

3535

▶ 경험적 빈도해석▶ 경험적 빈도해석

전 자료를 사용하는 경우 전 자료가 존재하는 경우 자료 중 0 의 값을 갖거나 자료를 기준값으로 구분하는 경우 자료기간 중 일부 자료가 없는 경우 역사적 정보 (historical information) 를 이용한 경우

3636

▶ 최적확률분포형 선정▶ 최적확률분포형 선정 최적확률분포 선정의 명확한 기준은 아직까지 제시되지 못하고 최적확률분포 선정의 명확한 기준은 아직까지 제시되지 못하고

있는 실정있는 실정

최근 적합도 검정결과 이용 대상자료에 대한 최적확률분포형 최근 적합도 검정결과 이용 대상자료에 대한 최적확률분포형 선정선정

일반적으로 적합도 검정결과는 일반적으로 적합도 검정결과는 -- 검정이나 검정이나 Kolmogorov-Kolmogorov-Smirnov Smirnov 검정이 주류검정이 주류

☞ ☞ 최근에는 최근에는 PPCC PPCC 검정방법 지속적으로 사용되고 있음검정방법 지속적으로 사용되고 있음

2

3737

평균절대상대오차 평균절대상대오차 (Mean Absolute Relative Error)(Mean Absolute Relative Error)

▶ 최적확률분포형 선정기준 (1)▶ 최적확률분포형 선정기준 (1)

kiPPCC

PPCCPPCC

kMARE

k

i TAB

TABCOMPPPCC

i

ii ,,2,11

1

kiCHI

CHICHI

kMARE

k

i TAB

TABCOMPCHI

i

ii ,,2,11

1

kiKS

KSKS

kMARE

k

i TAB

TABCOMPKS

i

ii ,,2,11

1

kiCVM

CVMCVM

kMARE

k

i TAB

TABCOMPCVM

i

ii ,,2,11

1

3838

상대제곱근오차상대제곱근오차 (Relative Root Mean Square Error)(Relative Root Mean Square Error)

▶ 최적확률분포형 선정기준 (2)▶ 최적확률분포형 선정기준 (2)

kiPPCC

PPCCPPCC

kRRMSE

k

i TAB

TABCOMPPPCC

i

ii ,,2,11

2

1

1

2

kiCHI

CHICHI

kRRMSE

k

i TAB

TABCOMPCHI

i

ii ,,2,11

2

1

1

2

kiKS

KSKS

kRRMSE

k

i TAB

TABCOMPKS

i

ii ,,2,11

2

1

1

2

kiCVM

CVMCVM

kRRMSE

k

i TAB

TABCOMPCVM

i

ii ,,2,11

2

1

1

2

3939

①① = 0.05 = 0.05 적합도 검정결과를 통과하는 경우적합도 검정결과를 통과하는 경우

하나의 확률분포형만 통과하는 경우 해당 분포형을 하나의 확률분포형만 통과하는 경우 해당 분포형을 최적확률분포형으로 선정최적확률분포형으로 선정

22 개 이상의 확률분포형이 통과하는 경우 개 이상의 확률분포형이 통과하는 경우 PPCC PPCC 검정검정 , -, - 검정검정 , , Kolmogorov-Smirnov Kolmogorov-Smirnov 검정 검정 Cramer von Mises Cramer von Mises 검정 순으로 검정 순으로 오차가 작은 확률분포형을 최적확률분포형으로 선정오차가 작은 확률분포형을 최적확률분포형으로 선정

2x

▶ 최적확률분포형 선정 절차 (1)▶ 최적확률분포형 선정 절차 (1)

4040

②② = 0.01 = 0.01 로 적합도 검정결과를 통과하는 경우로 적합도 검정결과를 통과하는 경우

유의수준 유의수준 = 0.05 일 때 모든 지속기간에 대해 통과된 확률분포형이 없는 경우 유의수준 = 0.01 로 조정 후 ①의 절차를 적용하여 최적확률분포형을 선정

③③ = 0.01 = 0.01 로 로 -- 검정이나 검정이나 PPCCPPCC 검정을 모두 통과 못한 검정을 모두 통과 못한 경우경우

검정결과에 의한 오차가 가장 작은 분포형을 최적확률분포형으로 선정검정결과에 의한 오차가 가장 작은 분포형을 최적확률분포형으로 선정 특정지속기간에 대하여 유의수준 특정지속기간에 대하여 유의수준 = 0.01 = 0.01 에서도 에서도 - - 검정이나 검정이나

PPCCPPCC 검정에 의한 오차가 가장 작게 나타나는 확률분포형을 검정에 의한 오차가 가장 작게 나타나는 확률분포형을 최적확률분포형으로 선정최적확률분포형으로 선정

▶ 최적확률분포형 선정 절차 (2)▶ 최적확률분포형 선정 절차 (2)

4141

2x

2x

▶ 확률강우량 산정 (1)▶ 확률강우량 산정 (1)

빈도계수법빈도계수법

여기서여기서 ,,

는 재현기간 는 재현기간 TT 에 대한 확률강우량에 대한 확률강우량

와 는 각각 주어진 강우자료로부터 구한 평균과 표준편차와 는 각각 주어진 강우자료로부터 구한 평균과 표준편차

는 빈도계수는 빈도계수 (frequency factor) = fct(γ,T)(frequency factor) = fct(γ,T)

XTT sKxx

XsTx

x

TK

4242


역함수역함수 (inverse) (inverse) 이용방법이용방법

확률분포형의 누가분포함수는 확률변수와 매개변수로 이루어짐확률분포형의 누가분포함수는 확률변수와 매개변수로 이루어짐 누가분포함수는 누가분포함수는 00 과 과 11 사이의 값을 갖는 비초과확률임사이의 값을 갖는 비초과확률임 누가분포함수를 확률변수의 역함수로 구성누가분포함수를 확률변수의 역함수로 구성 비초과확률비초과확률 (q)(q) 과 재현기간과 재현기간 (T)(T) 은 은 q = 1 q = 1 –– 1 / T 1 / T 의 관계를 가짐의 관계를 가짐 따라서 대상 자료로부터 추정된 매개변수를 대입하여 임의의 따라서 대상 자료로부터 추정된 매개변수를 대입하여 임의의

재현기간에 대한 확률강우량 산정할 수 있음재현기간에 대한 확률강우량 산정할 수 있음

4343

확률분포형확률분포형 확률분포형의 역함수 확률분포형의 역함수 (inverse)(inverse)

GammaGamma 수치계산에 의해 구함수치계산에 의해 구함

GEVGEV

GumbelGumbel


LognormalLognormal

Log-Pearson type Log-Pearson type IIIIII 수치 계산에 의해 구함수치 계산에 의해 구함

WakebyWakeby

WeibullWeibull

TxxT

11ln10

TxxT

11lnln0

1

11ln)( 00

TxxxT

yyT uxx exp0

db

Tc

TamxT

1111

1111

1

111ln0

TxxT


4444

확률분포형의 역함수확률분포형의 역함수


)(exp1)(

xxF

/1)(1ln xFx

/1

1ln

T

xT TxF /11)( since

4545

(( 예제예제 ) 2) 2 변수 변수 WeibullWeibull 분포형분포형

8.4940ˆ 9049.1ˆ

9049.1/1/1ln8.4940 TxT

55 6,342.986,342.98 1010 7,655.027,655.02 5050 10,110.7910,110.79

100100 11,014.7811,014.78 200200 11,856.1011,856.10 500500 12,891.6712,891.67

1,0001,000 13,627.5313,627.53 10,00010,000 15,849.1215,849.12 1,000,0001,000,000 19,608.5919,608.59

TxT TxT TxT

▶ 적용 : 강우분석 프로그램 FARD(1)▶ 적용 : 강우분석 프로그램 FARD(1)

강우자료의 빈도해석을 위한 프로그램강우자료의 빈도해석을 위한 프로그램 각종 강우 빈도분석기법들을 체계적으로 정리하고 관련 각종 강우 빈도분석기법들을 체계적으로 정리하고 관련

기법을 컴퓨터 프로그램화하여 실무에 손쉽게 활용할 수 있도록 개발된 기법을 컴퓨터 프로그램화하여 실무에 손쉽게 활용할 수 있도록 개발된

프로그램프로그램 FARD98 은 자료의 무작위성 검토 , 확률분포형별 매개변수추정 , 적합도

검정 , 확률강우량 산정 기능 등을 제공 FARD2002 는 FARD98 에 기능을 추가하여 추천확률분포형 선정의

일관성을 향상시키고 프로그램 운영상 용이성 개선

4646

▶ 적용 : 강우분석 프로그램 FARD(2)▶ 적용 : 강우분석 프로그램 FARD(2) FARD2002 에서 추가된 내용

1. 확률분포형 추가 FARD98 에서 사용하는 13 개의 확률분포형에 정규분포 추가

2 변수 gamma, 3 변수 gamma

GEV, Gumbel

2 변수 log-Gumbel, 3 변수 log-Gumbel

2 변수 lognormal, 3 변수 lognormal

log-Pearson type Ⅲ

2 변수 Weibull, 3 변수 Weibull

4 변수 Wakeby, 5 변수 Wakeby

+ 정규분포

4747


2. 적합도 검정의 개선 FARD98 에서 실시되던 PPCC 검정의 개선

검정통계량이 유도된 gamma, GEV, Gumbel, lognormal,

Weibull 분포형에 대해서만 PPCC 검정 수행

분포형 , 표본크기 , 형상매개변수 , 유의수준에 따라 변화하는 PPCC 검정통계량을 회귀식으로 유도 ( 허준행 등 ,2001) 한 방법을 이용

4848


3. 확률밀도함수와 누가분포함수의 도시 부프로그램 FARD2002 에서 추천분포형 선정에 도움이 되는 부프로그램의 추가

1) 매개변수 추정방법별로 산정된 매개변수들을 바탕으로 확률밀도함수와 누가분포함수를 도시할 수 있는 부프로그램

2) 경험적 확률밀도함수와 경험적 누가분포함수를 계산하여 도시하는 부프로그램

4. 추천확률분포형 선정 FARD2002 에서는 추천분포형 선정에 있어 사용자와는 상관없이

일관성을 유지할 수 있도록 추천분포형을 선정하는 기능 추가

4949


5. 임의의 강우량 및 재현기간 변환 FARD2002 에서는 13 가지의 재현기간 (2 년 , 3 년 , 5 년 , 10 년 , 20 년 ,

30 년 , 50 년 , 70 년 , 80 년 100 년 , 200 년 , 300 년 , 500 년 ) 을 제공하나 , 임의의 재현기간에 대한 강우량이나 임의의 강우량에 대한 재현기간을 계산할 수 있음

5050


강우분석 프로그램 FARD2002 Windows 95, Windows 98, Windows 2000, Windows ME,

Windows XP, Windows NT 등의 운영체계에서 사용 가능

펜티엄급 이상의 컴퓨터에서 사용을 권장

FARD2002 의 설치파일을 실행한 후 프로그램을 설치할 폴더만 결정하고 ( 기본적으로 ‘ C:\Program Files\FARD2002\’에 설치 ) 설치

FARD2002 결과파일 등은 설치한 폴더 안에서 직접 확인할 수 있음

FARD2002 배부처 : http://www.nidp.go.kr 에서

5151


사용방법

1. 초기화면 프로그램의 메뉴 , 결과창 , 아이콘 등으로 구성 ( 그림 1)

창의 좌측

1) 유역도2) 속성 레이어 3) 유역내 강우관측소

정보

( 향후 업데이트 )

창의 우측

1) 강우자료 입력2) 빈도해석에 필요한 옵션 선택3) 자료해석 후 기본통계와

예비해석결과 및 확률수문량 산정결과 등의 확인

4) 확률밀도함수와 누가분포함수 도시5) 추천확률분포형의 선정 6) 임의 빈도에 대한 강우량 및 임의

강우량에 대한 빈도 계산 기능 선택

5252


그림 1. 초기화면

5353


2. 강우자료 입력 초기화면에서 과거 수문자료 항목을 선택하면 ( 그림 2) 와 같은

입력화면이 나타남

그림 2. 강우자료 입력화면

5454


2. 강우자료 입력 ( 계속 ) 강우자료 입력 방법 : 1) 직접 입력 방식 2) 파일을 불러오는 방식 직접 입력하는 방법 ( 그림 3)

원하는 강우지속기간 , 분석대상 , 시작년도 입력

지속시간 10 분 , 30 분 , 1 시간 , 2 시간 , 3 시간 , 6 시간 , 12 시간 , 24

시간에 대한 강우자료 입력

저장을 선택하여 파일로 저장 가능 파일로 불러오는 방법

열기를 선택하여 화면에 파일을 불러옴 ( 그림 4)

CSV 파일 형식은 [ 그림 5] 와 같이 세로축은 지속기간 , 가로축은 연도별 강우량 값이 됨

이상이 없으면 확인을 선택하여 입력을 완료 ( 그림 6)

5555


그림 3. 직접 입력하는 방법 그림 4. 파일을 불러오는 방법

5656


그림 5. CSV 파일의 형식

5757


그림 6. 강우자료 입력 최종화면

5858


3. 해석옵션 선택 우측 메뉴의 해석옵션을 선택하여 예비해석방법 , 매개변수 추정방법 ,

적합도 검정방법을 선택 해석옵션은 ( 그림 7) 처럼 구성되어 있으며 , 선택 후 확인을 선택해 입력

완료

그림 7. 해석옵션 선택화면

5959


4. 자료해석 우측의 자료해석을 선택하거나 프로그램 상단의 를 선택한 후 실행 입력한 강우자료와 해석옵션의 예비해석방법 , 매개변수추정방법 ,

적합도검정방법을 바탕으로 빈도해석 실시 자료 해석이 완료되면 확인을 선택

5. 결과보기

1) 기본통계

우측 메뉴의 기본통계를 선택하면 입력 자료에 대한 기본통계값이

출력 ( 그림 8)

그래프 출력은 프로그램 상단의 선택 ( 그림 9)

6060


그림 8. 기본 통계

6161


그림 9. 기본 통계 그래프

6262

▶ 적용 : 강우분석 프로그램 FARD(18)▶ 적용 : 강우분석 프로그램 FARD(18)5. 결과보기 ( 계속 ) 2) 예비해석

우측 메뉴의 예비해석을 선택하면 ( 그림 10) 과 같이 예비해석 결과가 출력

예비해석 결과 계산된 값과 표 값 및 예비해석 통과 해석 여부가 표시되고 , 해석방법별로 계산된 결과를 창 상단의 해석종류를 다르게 하여 확인할 수 있음

체크된 항목은 해당 지속기간의 강우자료가 적용한 예비해석 방법에 대해 통과 했음을 의미함 . 즉 해당 지속기간의 강우자료는 무작위성을 갖는 것으로 판단할 수 있음

우측 상단의 테스트 비교표를 선택하면 지속기간별 , 해석방법별 예비해석 통과 여부를 확인할 수 있음 ( 그림 11)

6363


그림 10. 예비해석 결과 그림 11. 예비해석 결과 테스트 비교

6464

▶ 적용 : 강우분석 프로그램 FARD(20)▶ 적용 : 강우분석 프로그램 FARD(20)5. 결과보기 ( 계속 ) 3) 확률수문량 산정

우측 메뉴의 확률수문량 산정을 선택하면 ( 그림 12) 와 같이 확률수문량

결과가 출력

빈도해석 결과 산정된 확률수문량이 매개변수 추정방법 , 지속기간 ,

재현기간에 대해서 분포형 별로 표와 그래프로 출력

결과를 그래프로 출력할 경우엔 프로그램 상단의 선택 ( 그림 13)

6565


그림 12. 확률수문량 산정 결과

6666


그림 13. 확률 수문량 그래프 결과

6767

▶ 적용 : 강우분석 프로그램 FARD(23)▶ 적용 : 강우분석 프로그램 FARD(23)6. 자료도시 우측 메뉴의 자료도시를 선택하여 강우자료에 대한 확률밀도함수 (PDF) 와

누가분포함수 (CDF) 를 출력

1) CDF

누가분포함수 (CDF) 는 자료도시 하단의 활성화된 CDF 를 선택

경험적 누가분포함수와 각 확률분포형의 누가분포함수 비교 ( 그림 14)

2) PDF

확률밀도함수 (PDF) 는 자료도시 하단의 활성화된 PDF 를 선택

경험적 확률밀도함수와 각 확률분포형의 확률밀도함수 비교 ( 그림 15)

6868


그림 14. 누가분포함수 (CDF) 출력

6969


그림 15. 확률밀도함수 (PDF) 출력

7070

▶ 적용 : 강우분석 프로그램 FARD(26)▶ 적용 : 강우분석 프로그램 FARD(26)7. 추천확률분포형 선정 여기에서 사용된 추천확률분포형은 단순히 계산결과를 바탕으로

최적확률분포형으로 참고할 수 있도록 분포형을 언급하는 것일 뿐 임 우측 메뉴의 추천확률분포형 선정을 선택하여 뜨는 창에서 해석을 선택하면

( 그림 16) 과 같은 추천확률분포형이 나타남

그림 16. 추천확률분포형 결과

7171

▶ 적용 : 강우분석 프로그램 FARD(27)▶ 적용 : 강우분석 프로그램 FARD(27)8. 빈도 - 강우량 산정 FARD2006 에서 지원하지 않는 재현기간에 대한 강우량이나 임의의 강우량에

대한 재현기간을 알고 싶을 때 사용 우측 메뉴의 빈도 - 강우량 산정을 선택

1) 강우량을 이용한 빈도 추정

매개변수 추정방법 , 확률분포형 , 지속기간 , 강우량 입력 ( 그림 17)

입력완료 후 해석을 선택하면 결과 출력 ( 그림 18)

2) 빈도를 이용한 강우량 추정

매개변수 추정방법 , 확률분포형 , 지속기간 , 재현기간 입력 ( 그림 19)

입력완료 후 해석을 선택하면 결과 출력 ( 그림 20)

7272


그림 17. 강우량→재현기간 입력 그림 18. 강우량→재현기간 결과

7373


그림 19. 재현기간→강우량 입력 그림 18. 재현기간→강우량 결과

7474

▶ 적용 : 강우분석 프로그램 FARD(30)▶ 적용 : 강우분석 프로그램 FARD(30)9. 변동성 및 경향성 분석 프로그램 상단의 풀다운 메뉴 중에 도구의 경향성 변동성 분석을 선택하면

결과 도출 ( 그림 21)

그림 21. 변동성 및 경향성 분석 결과

7575


FARD2002 사용상 문제점 개발 초기 단계이기 때문에 부족한 면이 많이 내포되어 있음

사용상의 불편한 점이나 개선할 사항이 있을 것으로 사료됨

사용자의 의견 수렴을 통한 개선이 필요함

대상자료의 계산시 자료특성에 따라 error 발생 : 현재 업데이트 중

7676


예제

1. 입력자료 적용 대상 지점명 : 서울

대상자료의 시작연도 : 1900

대상자료의 크기 : 58

강우 지속기간 수 : 8 (10 분 , 30 분 , 1 시간 , 2 시간 , 3 시간 , 6시간 , 12 시간 , 24 시간 )

연최대치 강우자료

7777

▶ 적용 : 강우분석 프로그램 FARD(33)▶ 적용 : 강우분석 프로그램 FARD(33)1. 입력자료 ( 계속 )

년도 10 분 30 분 1 시간 2 시간 3 시간 6 시간 12시간

24시간

1900 14.0 37.5 51.2 61.9 88.6 111.4 194.7 240.3

1901 10.3 27.0 32.5 48.8 54.3 86.3 125.0 141.2

1902 20.3 39.5 69.5 76.0 78.8 79.2 79.2 80.2

：：：：：：：：：

：：：：：：：：：

1955 10.4 26.5 37.7 38.2 48.0 77.0 77.0 77.0

1956 4.8 9.8 14.7 26.5 40.8 60.0 87.4 138.0

1957 21.6 42.5 70.3 95.4 103.0 138.1 157.8 217.3

7878


2. 결과자료

가 . 기본통계량

7979


2. 결과자료 ( 계속 )

나 . 예비적 해석결과

8080



다 . 매개변수 추정결과

8181



라 . 적합도 검정 결과

8282



마 . 확률강우량 산정 결과

8383



바 . 확률밀도함수 및 누가분포함수 결과

- 지속기간 `10 분

PDF CDF

8484




- 지속기간 `3 시간

PDF CDF

8585




- 지속기간 `24 시간

PDF CDF

8686



사 . 추천확률분포형 결과

8787



아 . 강우량 - 빈도 변환 결과

- 가정사항

- 결과

8888

설계 수문량의 산정 : 강우 통계 분석

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