Презентации Од Предавањата По ТС - Дел 1

TEORIJA NA SISTEMITEORIJA NA SISTEMI

Tatjana Kolemi{evska GugulovskaTatjana Kolemi{evska-Gugulovska

[email protected]

LITERATURALITERATURA

1. Bele{ki za predavawa1. Bele{ki za predavawaD-r Tatjana Kolemi{evska-Gugulovska,

2 Interna skripta2. Interna skriptaD-r Georgi Dimirovski

3 M d C t l S t3. Modern Control SystemsR.Dorf and R. Bishop

4. Control Systems EngineeringN. Nise

SODR@INASODR@INA

VOVED VOVEDMETODI ZA ANALIZA NA

SISTEMITESISTEMITEMODELI VO PROSTOR NA

SOSTOJBISOSTOJBI DVI@EWE NA LINEARNITE

DINAMI^KI SISTEMI STRUKTURNI OSOBINI NA LDSD

1. VOVED1. VOVED

Definirawe na osnovnite poimi;D f r ;realen objekt, sistem, sostojbainformacija, signal, upravuvawe,

jbKategorii na sostojbi {to gikarakteriziraat sistemite (vo voobi~aena smisla);smisla);

po~etna, preodna, stacionarna

Strukturen dijagram na sistem i osnovniStrukturen dijagram na sistem i osnovni spregi;

seriska sprega, paralelna sprega i povratna spregavlezni i izlezni veli~inivlezni i izlezni veli~ini

1 1 Definirawe na osnovnite poimi1.1 Definirawe na osnovnite poimi

[to e sistem?

1.1 Definirawe na osnovnite poimi1.1 Definirawe na osnovnite poimi

olekcija na objekti soedineti so nekoja forma naolekcija na objekti soedineti so nekoja forma na interakcija ili me|usebna zavisnost;

azmena na informacii (komunikacija) azmena na informacii (komunikacija)

retvorba na informacii (raspoznavawe i spoznavawe)

rganiziranost;r r ;

elishodnost

1.1 Definirawe na osnovnite poimi[to e sistem? [to e sostojba na sistem?

1.1 Definirawe na osnovnite poimi

S f jSpored definicijata vo re~nikot:

Sistem e kolekcija na objekti soedineti so nekoja forma na interakcija ili me|usebna zavisnostforma na interakcija ili me|usebna zavisnost.

Grubo, sostojba na sistem vo bilo koe dadeno vreme e f j binformacijata potrebna da se opredeli povedenieto na

sistemot od toj moment pa natamu.

Cel na tehni~kite nauki:Cel na tehni~kite nauki:proektirawe,gradba, ifizi~ka implementacija na nekoj objekt {to vr{i korisnafizi~ka implementacija na nekoj objekt {to vr{i korisna

rabota za ~ovekot.


ANALIZAPERCEPCIJA

OBJEKT VO REALNA OKOLINAI REALNO VREME

KONCEPTUALENMODEL

FORMALENMODEL

Promisluvawei zaklu~uvawe

NabquduvawaI identifikacija

Prou~uvawe vrz osnovana aksiomatski pretpostavkiSISTEMSKI

IN@ENER

objekt - konceptualen model - formalen model

(soglasnost i doslednost)

1.1 Definirawe na osnovnite poimi1.1 Definirawe na osnovnite poimiObjekt, organiziranost, povrzanost i sistem

Norbert Viner "Upravuvawe i komunikacija vo `iviteNorbert Viner Upravuvawe i komunikacija vo `iviteorganizmi i ma{ini" (1948)

Robert E{bi "Mehanizmi po ugled na mozokot" (1950),

Realniot svet, vsu{nost, e izraz na postojanata interakcija ipretvorba na materija, energija i informacija.

Informacijata e kodirana vnatre vo fluktuacijata naInformacijata e kodirana vnatre vo fluktuacijata namaterijata i energijata.

Ne postoi oganiziranost na materijata i energijata bez informacija.

Za koncept sistem nu`no treba da postojat barem dve kategoriiatributi ili objektni elementi i opredeleni vrski pome|u niv,taka {to so sigurnost da se ostvaruva celishodnost i dejstvuvawe.


Bezsmisleno e da se zboruva za sistem bez negovo sodejstvo sookolinata i bez organiziranost na vnatre{nata struktura.

Za da imame sistem mora da postoi:razmena na informacii (komunikacija) ipretvorba na informacii (raspoznavawe i spoznavawe).r r f r (r )

Kategorija na kibernetski sistemi:

Pretvorbata na informacii e vo funkcija na nekoj oblikPretvorbata na informacii e vo funkcija na nekoj oblikna zaklu~uvawe i odlu~uvawe koi {to generiraatinformacija za potrebni dejstva vnatre vo sistemot i konokolinata, kako bi se obezbedilo opstojuvawe na sistemot vojuokolinata i negova po`elna evolucija.


Definicija na upravuvawe:

Vo najop{ta smisla na zborot upravuvaweto pretstavuva:(izbor (raspoznavawe i spoznavawe, sledeno so zaklu~uvawe

i odlu~uvawe) irealizacija (fizikalno oblikuvawe i nametnuvawe)

j jspored nekoja logi~ki konzistentna strategija na poèlniteevolutivni sostojbi na sistemot.

Posledici:

1.minimalnata organiziranost na sistemite podrazbira postoewe nanajmalku dve podstrukturi od koi samo vo ednata dominiraatupravuva~kite funkcii.

2. Dokolku ne postoi mo`nost za raspoznavawe, spoznavawe i izbori ostvaruvawe na poèlnite evolutivni promeni vsu{nost ne moèda stane zbor za upravuvawe na kibernetski sistem pa takviotda stane zbor za upravuvawe na kibernetski sistem, pa takviotsistem e osuden na evolucija diktirana od okolinata, isklu~ivo, atoa moè da bide i uni{tuvawe.


VJ

vi

SISTEM Wg Upravuvanastruktura

Upravuva~ka struktura

W

OKOLINA

Wi


Primer za sistem: Fakultet (organiziran fizi~ki sistem)

Fakultetot pretstavuva slo`ena celina koja e sostavena od poodelni edinici:

osnovnata organizacijaosnovnata organizacijastudenti.

Definicija:

Organiziran fizi~ki sistem e mno`estvo edinicifunkcionalno povrzani vo edna celina zaradi ostvaruvawe naodredena cel za koristewe, pretvorawe i razmena na energija,materija i/ili informacija.

Sistem e funkcionalna celina koja ne mora da bide i konstruktivnacelina.


Naukata koja se bavi so sistemite e teorija na sistemite- gi prou~uva svojstvata na poodelnite delovi od sistemot vo onaa merka vo koja tie vlijaat na svojstvata na celiot sistem.

Sistemite mo`at da bidat razli~ni po priroda:biolo{kibiolo{ki,ekonomski,op{testveni,tehni~ki, ilitehni~ki, ilikombinirani.

Definicija:

Matemati~ki model na sistem e formalen opis so pomo{ namatemati~ki simboli, relacii, operacii, dijagrami i/ilitabeli na dinami~kite i stati~kite svojstva na sistemotnezavisno od po~etnite uslovi, vrednostite na vlezniteveli~ini i karakterot na nivnite promeni.

1.1 Definirawe na osnovnite poimiKlasifikacija na sistemite spored matemati~kite modeli

sistemi

deterministi~ki stohasti~ki

so skoncentrirani parametri so raspredeleni parametri

bbez docnewe so docnewe

vremensko kontinualni vremensko diskretnivremensko kontinualni vremensko diskretni

stacionarni nestacionarni

linearni nelinearni

1.1 Definirawe na osnovnite poimiInformacija i signal

bj jVo realnite objekti sekoga{ postojat organizirani pati{ta narazmena na energetsko-materijalnata sodrìna vo nivnite sostavnidelovi, a isto taka i procedura za nivna izmena ipretvorba No isto taka postojat vrski preku koi se ostvaruvapretvorba. No, isto taka postojat vrski preku koi se ostvaruvarazmenata na informaciskite sodrìni.

Vo objektno upravuva~kata struktura ostvaruvaweto nainformaciskite vrski e obezbedeno so fluktuaciite voenergetsko-materijalnite tekovi, {to zna~i so promenite vofizi~kite veli~ini, a prenosniot medium se energetsko-

jmaterijalnite tekovi.

Vo ostanatiot del od sistemot se {to e vo vrska so informaciskite sodrìni se ostvaruva vo namenski sozdaden ambient i prenosen medium.T bTipi~no, ambientot go ~inat uredi.


Signal e fizi~ki nositel na informacijata koj se ostvaruva kako prenosen medium pod dadeni uslovi.

Samata informacija pretstavuva podreden entitet od podatoci vo vid na znaci, simboli i pravila {to eden sistem ili negov element gi

b j bdobiva od nekoj drug sistem ili negov element, a koi zboruvaat za opredeleni sostojbi vo emiterot na tie informacii.

Vidovi signali:

analogni- informacijata e kodirana bilo vo magnitudata, bilo vo fazata, bilo vo frekvencijata ili vo nivnata kombinacijavo nivnata kombinacija.

digitalni- informacijata e kodirana vo binarno-logi~ka struktura na reprezentantite na logi~ko 0 ili logi~ko 1.


Upravuvaweto pretstavuva kodirana informacija za toa kako da se ostvari fizi~ka realizacija samo na poèlnite evolutivniostvari fizi~ka realizacija samo na poèlnite evolutivni sostojbi.

Za da moè toa da bide taka, sostavna komponenta nad d d ,upravuvaweto e negovata vnatre{na organiziranost vo soglasnostso namenskata celishodnost na sistemot, poznata pod imetoalgoritam na upravuvawe.

Definicija: Algoritam na upravuvawe pretstavuva organiziranomnoèstvo na pravila, spored koi informacijata {to ja primar , r d f r c j j rupravuva~kiot del od sistemot se pretvora vo informacija {tonamenski celishodno go menuva upravuva~koto dejstvo so koe sedejstvuva vrz upravuvaniot del od sistemot.

2. Kategorii na sostojbi {to gi karakteriziraat sistemite

1. Po~etna sostojba koja se opi{uva so po~etnite vrednostina site su{testveni veli~ini za sistemot i va`i samo za edenvremenski mig, konvencionalno nare~en po~eten mig.

0tt )}(),(),(),({ 00000 ttxttuS

u(t0) - upravuva~ki vektoru(t0) upravuva~ki vektor(t0) - naru{uva~ki vektorx(t0) - sostojben vektor(t0) - izlezen vektor.

1 2 Kategorii na sostojbi {to gi karakteriziraat sistemite

2 Preodna sostojba e pretstavena so sevkupnosta na sostojbenite

1.2 Kategorii na sostojbi {to gi karakteriziraat sistemite

2. Preodna sostojba e pretstavena so sevkupnosta na sostojbenitepromeni niz koi minuva sistemot od po~etniot mig na dejstvata odokolnata sredina se do vremenskiot mig na celosnovospostavuvawe na soodvetniot odyiv kako reakcija na odnosniteu d d r c j dnadvore{ni dejstva.

),[ 0tt )}(),(),(),({

),[ 0ttxttuS

tt

t


3. Stacionarna sostojba e sostojba vo koja e doveden sistemot podvlijanie na nadvore{nite dejstva {to imaat kone~na energija, a po

jbzavr{uvawe na preodnata sostojba.

Ramnote`na sostojba- se karakterizira so otsustvo na natamo{ni promeni na nadvore{nite dejstva i vo odyivot nanatamo{ni promeni na nadvore{nite dejstva i vo odyivot na izlezot na sistemot, a kako posledica na postignuvawe na uramnote`enost na energetsko-materijalniot bilans na sistemot soobrazno so kodot ({ifrata) na primenatasistemot soobrazno so kodot ({ifrata) na primenata informacija preku nadvore{nite dejstva. Sledstveno, ramnote`na sostojba mo`e da nastane ako i samo ako od nekoj vremenski mig t>te nadvore{nite dejstva stanat konstantni po magnituda (intenzitet).

},,,{ eeeeee

xuStt

))(()(),(),(),(

}{

ee

eeeeeeee

eeeee

tvvttxxttuu

1 2 Kategorii na sostojbi {to gi karakteriziraat sistemite1.2 Kategorii na sostojbi {to gi karakteriziraat sistemite

Kvazistacionarna ili periodi~no stacionarna sostojba Se ara er z ra so os os a a e a er o o za o o er akarakterizira so vospostavuvawe na periodi~no zakonomerna

stacionarna promena na odyivot, po~nuvaj}i od nekoe vreme t>TC . Nastanuva:

ako vo takva promena popadnat (navlezat) samite ako vo takva promena popadnat (navlezat) samite nadvore{ni dejstva; kaj sistemi {to sodr`at vnatre{ni zatvoreni spregi ili pak kaj avtomatskite sistemi so nadvore{ni zatvoreni j d r rpovratni spregi, so impulsna vozbuda od nadvor, dokolku vo sistemot postojat strukturni i parametarski preduslovi za takvo ne{to.

Vakvata kvazistacionarna sostojba se narekuva samooscilacija.


)(),(),(),()()}(),(),(),({

CCCCCCCC

CCCCC

C

TtTtxxTtTtututtxttuS

Tt

))(()(),(),(),()(

CC

CCCCCCCC

Ttvv

Nastanska ili diskretno-nastanska sostojba e poseben,izoliran vid na ramnote`na sostojba, koja {to sekarakterizira so dominacija na kvalitativnitekarakteristiki na ramnote`nata sostojba i zanemarlivost

jna preodnite pojavi pri preminot od edna vo druga kone~nasostojba.

Voobi~aeno preodnata sostojba se narekuva dinamika nasistemot, a ramnote`na stacionarna sostojba se narekuva statikana sistemot.

1.3 Strukturen dijagram na sistem

Simboli~kiot prikaz na sistemot so pravoagolnik, kade site bitnivlijanija vrz sistemot se simboli~ki pretstaveni so strelki naso~enikon pravoagolnikot Y i site negovi bitni reakcii simboli~ki

Yprika`ani so strelki naso~eni od pravoagolnikot Y, se narekuvadijagram na sistemot.

SXX2X1

YY2Y1

.

.

.

.

.

.

Xr Yn.

Strukturen dijagram na sistem e dekomponiran, detalen dijagram naj b jsistemot, koj simboli~ki ja pretstavuva strukturata na sistemot, i

koj gi poka`uva site edinici na sistemot i nivnite me|usebnidejstva.

1.3.1 Definicija na vlezni i izlezni veli~iniPrimer: proto~en rezervoar na voda.

Q

H

Qv

Y= Hx = Q

v 1 v

x = Q SHQ

i

x Qv 2 i S

Vlezna veli~ina na sistem e onaa nadvore{na veli~ina koja

Veli~ina koja pretstavuva rezultat na dinami~ko povedenie na sistemot a za ~ija vrednost i promena sme

Vlezna veli~ina na sistem e onaa nadvore{na veli~ina koja bitno vlijae na negovata rabota.

na sistemot, a za ~ija vrednost i promena sme zainteresirani, se narekuva izlezna veli~ina na toj sistem.

Promenata na izleznata veli~ina nastanata poradi dejstvoto na vleznata veli~ina na sistemot se narekuva odziv na sistemot na vlezna veli~ina.

1.3.2 Osnovni spregi

xi 1x

v 1 S1

Definicija: Ako sistemot Y se sostoi od dva potsistema ~ii vlezni veli~ini xv1 i xv2 se ednakvi na vleznata veli~ina xv na celiot

xv

S1

S Sx

i2

x2

vleznata veli~ina xv na celiot sistem, a algebarskiot zbir na nivnite izlezni veli~ini pretstavuva izlezna veli~ina na

xv 2

S2

S3xi

xi

Ap

n

celata sprega, toga{ podsistemite se paralelno povrzani (spregnati), a sistemot Y pretstavuva paralelna sprega na podsistemite Y1 i Y2.

x 1 = x 2 = x

A

S1

Xv 1

Xi 1

xv1 xi11

sprega na podsistemite Y1 i Y2.Paralelna sprega

xv1 = xv2 = xvxi = xi1 + xi2 +

S2

S3

Xv

Xv 2 Xi 2

Xi

xv

xi2xv2

xi

2

S


X=v

xv 1 x = xi 1 v 2 x = xi 2 iS S

Xv= xv1Xi2= xi x = x 1

Seriska (redna) sprega

S1

S2Xi1= xv2

Xi2= xi xv= xv1xi1= xv2xi2= xi

S2

S

S1

Xv Xv 1 Xv 2 Xi 2 XiX =i 1

21Xv xv1 Xi1= Xv2 Xi2 xi

S

Definicija: Ako sistemot Y se sostoi od podsistemi koi se povrzaniYtaka da vleznata veli~ina xv na celiot sistem Y istovremeno e i

edinstvena vlezna veli~ina xv1 na podsistemot Y1, a negovata izleznaveli~ina xi1 e edinstvena vlezna veli~ina xv2 na podsistemot Y2, ~ijaizlezna veli~ina xi2 e istovremeno izlezna veli~ina xi na celiotr csistem Y, toga{ se sistemite Y1 i Y2 redno vrzani (spregnati), asistemot Y pretstavuva nivna seriska sprega.


pn S

1

xv 1 xixi1v1 i1 i Definicija: Ako sistemot Y se

sostoi od dva podsistema Y1 i Y2 pri

C

S

xv 1

x

v1v1

{to edna vlezna veli~ina xv1 na podsistemot Y1 e ednakva na algebarskiot zbir na vleznata veli~ina xv na celiot sistem Y i

S

BA

S2x

v xv

xv 2

xi2

xi2

v2i2v

i2v izleznata veli~ina xi2 na

podsistemot Y2, xv1 = xv+xi2,

a negovata izlezna veli~ina xi1 eS3

X

a negovata izlezna veli~ina xi1 e istovremeno izlezna veli~ina xi na celiot sistem Y i edinstvena vlezna veli~ina xv2 na podsistemot Y2,

S

S3 S

1

Xv X

v 1

XX

Xi

Xi1

-xv

x

xv1 xi1

xv2

xi toga{ podsistemot Y2 se nao|a vo povratnata granka (sprega) na sistemot Y. Toga{ celiot sistem Y pretstavuva sistem so povratnaS

2

S

Xv 2X

i 2 xi2 xv2 pretstavuva sistem so povratna granka (sprega).

2 METODI ZA ANALIZA NA SISTEMITE2. METODI ZA ANALIZA NA SISTEMITE

Analiza na sistemite Sinteza na sistemite

Zada~ata na analizata e da se prou~i dali se ispolneti barawata za dinami~ko povedenie za usvoen ili postoe~ki sistemusvoen ili postoe~ki sistem.


Postojat ~etiri osnovni domeni na analiza na sistemite vo ramkite na koi se razvieni

analiza na sistemite vo vremensko podra~je;

razli~ni metodi:

r dr j ;

vo prostorot na sostojbi;

vo kompleksen i frekventen domen;vo kompleksen i frekventen domen;

vo algebarski domen.


Me|u dvata domena vremenskiot iMe|u dvata domena, vremenskiot i kompleksniot domen, postoi odredena

vrska koja se vospostavuva so r j umatemati~ki operator:

Laplasova transformacijaLaplasova transformacija.

2.1 Laplasova transformacija i nejzini svojstva

Laplasovata transformacija na funkcijata x(t)pretstavuva slika X(s) na ovaa funkcija, koja e dobiena kako rezultat na nejzinoto integrira~ko preslikuvawe od domenot na nejzini vrednosti vo r u d d j r dkompleksniot domen.

Definicija: Integralnata transformacija

T dttxste

TdttxstesX )(lim0

)()(

T

00

se narekuva direktna Laplasova transformacijase narekuva direktna Laplasova transformacija.

2.1 Laplasova transformacija i nejzini svojstva

x(t) se narekuva original od realnata promenliva od t,

X(s) slika i e analiti~ka funkcija od kompleksnata promenliva s=+j, i se realni promenlivi:

X(s)=L{x(t)}

Za , kade a i b se realni pozitivni broevi integralot konvergira za sekoe s ~ij

btaetx )(

Res>b.

2.1.1 Osnovni svojstva na Laplasovata f jtransformacija

P 1 (T ) N X ( )Pravilo 1: (Teorema za linearnost). Neka X1(s)i X2(s) se Laplasovi transformacii na x1(t) i x2(t), i neka a1 i a2 se konstanti. Toga{

L{a1x1(t)+a2x2(t)}=a1X1(s) + a2X2(s)

Dokaz:

)(22)(110)(220

)(110)](22)(11[ sXasXadt

stetxadtstetxadtstetxatxa

Dokaz:

mi

siXiam

itixiaL 1

)(}1

)({ ii 11


Pravilo 2: (Teorema za sli~nost). Neka L{x(t)}=X(s) i neka e a proizvolen realen broj. Toga{Toga{

asXaatxL

1)}({ za a>0

at - vremenska dilatacija, a konstantata a e koeficient na dilatacija (transformacija na realnoto vreme t vo nerealno vreme =at).

sXdxasedtsteatxatxL 1)(1)()}({ Dokaz:

aXadxeadteatxatxL )(00)()}({


Pravilo 3: (Teorema za pridu{uvawe vo r ( r r u urealnoto podra~je). Neka L{x(t)}=X(s) i neka e a proizvolen kompleksen broj. Toga{

)()}({ asXtxateL Dokaz:

0

)()()(0

)()}({ asXdttxtasedttxsteatetxateL


(Pravilo 4: (Teorema za translacija vo realnoto podra~je). Neka e L{x(t)}=X(s) i neka e a realen pozitiven broj. Toga{r r j

)()}({ sXaseatxL pritoa x(t-a) = 0 za t


Pravilo 5: (Teorema za diferencirawe naPravilo 5: (Teorema za diferencirawe na originalot). Neka postoi L{x'(t)} i neka L{x(t)}=X(s). Toga{

L{x'(t)}=sX(s) x(0+)

Dokaz:Dokaz:

)()0(0

)(0|)(0)(')}('{ ssXxdttxstestxstedttxstetxL

pritoa Res>0, pa zatoa 0)(lim txstet


Pretpostavka: ako postoi najvisokiot izvod x(n)(t) za t>0 i istovremeno postoi i negovata slika L{x(n)(t)}, toga{ va`at slednive soodnosi:{ ( )}, d d

L{x''(t)}=s2X(s)-sx(0+) x'(0+)L{ '''(t)} 3X( ) 2 (0+) '(0+) ''(0+)L{x'''(t)}=s3X(s)-s2x(0+) sx'(0+) x''(0+)

L{x(n)(t)}=sn X(s) - sn-1 x(0+) - sn-2 x'(0+) - - s x(n-2)(0+) x(n-1)(0+)


P 6 (TPravilo 6. (Teorema za integrirawe na originalot). Neka L{x(t)}=X(s), toga{

t X )( t

ssXdxL

0)(})({

Dokaz: tDokaz: t

dxt0

)()( )()( txt 1111 stststst 0 0 0

)}({1)()1(10|)(1)()(1)()}({ txLdtstet

sstet

sstedt

sdtstettL

s


Pravilo 7. (Teorema za diferencirawe naPravilo 7. (Teorema za diferencirawe na slikata). Neka e L{x(t)}=X(s), toga{

L{-tx(t)}=X'(s).{ ( )} ( )Dokaz: X(s) e analiti~ka funkcija vo podra~jeto Res>s0, postojat (spored teoremata na Ko{i) site izvodi na funkcijata X(s).

)(')()()1()}({0 0

sXdttxedsddtettxttxL stst


Pravilo 8 (Teorema za po~etna vrednost naPravilo 8. (Teorema za po~etna vrednost na originalot). Neka L{x(t)}= X(s) i neka postojat L{x'(t)} i grani~nite vrednosti

)(lim ssXs

)(lim0

txt

)(lim)(lim0

ssXtxst

,

Res>s0 kade e s0 broj pri koj va`i , tsaetx 0|)(| ,a>0.


Dokaz:

)()0()()(|)()()}({0

00

ssXxdtetxsetxdtetxtxL ststst

D

j jparcijalna integracija:

dttxdveu st

)(

)(txvdtsedu st

dttxdv )( )(txv

0)(lim)}({lim0

dtetxtxL stss 0

0)]0()([lim)}({lim xssXtxLss

)(lim)(lim)0(0

ssXtxxst


Pravilo 9: (Teorema za grani~na vrednost naPravilo 9: (Teorema za grani~na vrednost na originalot). Neka postojat L{x'(t)} i grani~nite vrednosti i i neka L{x(t)}= X(s) ; )(lim

0ssX

s)(lim tx

t neka ponatamu funkcijata sX(s) e analiti~ka vo oblasta Res>0, toga{ e

0s t

)(lim)(lim0

ssXtxst

Dokaz:


)]0()([lim)('lim

)0()()('0

xssXdttxe

xssXdttxe

st

st

)]0()([lim)('

)]0()([lim)(lim0

00

xssXdttx

xssXdttxess

)]()([)(0

0 s

)]0()([lim|)(00

xssXtxs

)(lim)(lim)(

)0()(lim)0()(

0

0

ssXtxx

xssXxx

st

s

0st

2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija

x(t)=L-1{X(s)} t>0x(t) L {X(s)}, t>0

Klasata funkcii x(t) so koi }e rabotime e klasa na neprekinati funkcii i za niv ovaa operacija e ednozna~na. m jjsb

n

ii

jj

sa

sb

sAsBsX 0)()()( , n>m.

i 0

)()}({)( 11 sBLsXLtx )()}({)(

sA


A(s)=0

Korenite na polinomot A(s), t.e.

A(s)=0

mo`at da bidat:

Prosti koreni;

P }Pove}ekratni koreni.


1. Prosti koreni

sBsBsX )()()(

ni

n

BBBBsssssssA

21

21))...()(()(

)(

i

i

i

n

n

ssssssss 12

2

1

1 ...

n

ini

iii ss

ssBBss

ssBssssBss

sAsB

)(...)()()(

)()(

2

2

1

1

nsssssss)( 21


)()( sBsB )()( sAsA )(')(

)()()(lim

i

i

i

issi sA

sB

sssAsA

sBBi

)('

)()(lim ii

iss

sAss

sAsAi

n

i ii

i

sAsssB

sAsBsX

1 )(')()(

)()()(

ii )()()(

ntsi

ni ie

AsBL

AsB

AsBLtx 11

)(')(1

)(')(

)()()(

i ii ii sAsssAsA 11 )(')(')()(

za t>0za t 0


2. Pove}ekratni koreni

Neka A(s)=0 ima vkupno vzaemno razli~ni koreni s1, s2, .,s i neka

korenot s1 se povtoruva N1 pati; korenot s2 se povtoruva N2 pati;

korenot s se povtoruva N pati; N

korenot s se povtoruva N pati;

pritoa N1+ N2+ + N =n kade e n stepenot napritoa N1+ N2+..+ N n, kade e n stepenot na polinomot A(s)

2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija

)()(

)()(N

sBsAsBsX


11

11

1211

1

...)(

...)()(

)()(

1

111

NNNN

N

BBBB

sssA

2

21

2

21

2

22

2

21

11

11

11

...)(

...)()(

)()()(

2

222

111

NNNN

NNN

ssB

ssB

ssB

ssB

ssssssss

1121 ...

)(...

)()(

.............................................................................................

NNNN ss

BssB

ssB

ssB

11121 ......

.............................................................................................)()()(

N

NN

NNN

BBBBB

ssssssss

1 1 111 )()()()( NNNN ssssssssss


1 11 1 11

)!()(1)(

NtsN

N

N etNB

ssLBtx , t>0

Nss

sAsB

dsdB

)()()(

)!1(1

)1(

)1(

za site =1, 2, , N.

sssAds )()!1( )(

Poslednovo ravenstvo se dobiva ako ravenstvoto za

Nss )( Poslednovo ravenstvo se dobiva ako ravenstvoto za

se pomno`i so izrazot)()(

sAsB


N sssBsssB 1 )()()()(2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija

NijN

i B

sssBsssA

)()()()(

ii

jj

jNi

ijNiss

sss1 1

1)()()(

Od poslednite dve ravenstva proizleguva deka

0)()1( s i, zna~i)( ,

BssA

sBdd N

ss)!1()(

)()(lim

)1(

)1(

sAdsss )()1(


Primer: Da se opredeli originalot x(t) koj mu pripa|a na slikata


pripa|a na slikata

ssssss

sAsBsX

26743

)()()( 2345

ssssssA 2674)(

Re{enie:A( ) 5+4 4+7 3+6 2+2 a e r ore :A(p)=s5+4s4+7s3+6s2+2s ima ~etiri koreni: s1=0, s2= -1-j, s3=-1+j, s4= -1, s5= -1.

33)( sssB

22345 )1)(1)(1(3

26743

)()()(

sjsjsss

ssssss

sAsBsX

1)1(11)1)(22(3 42

241321

22 BBjB

jBBs

1)1(11)1)(22( 222 ssjsjssssss


A'(s)=5s4+16s3+21s2+12s+2( )

AB

sAsBB 5.1

23

)0(')0(

)(')( 1

1

jjj

jAjB

AsBB

AsA

25.075.0)1(2

2)1(')1(

)(')(

2)0(')('

22

1

jjAjB

AsBB

jjAsA

25.075.0)1(')1(

)(')(

)1(2)1(')('

33

2

jjAsA )1(')(' 3

3

=4 N =2 i =1 2=4, N4=2 i =1,2


|)1(3|)1()( 22 ssBB

2|3

|)1()1)(22(

3|)1()()(

12

2212

41

sps

sssss

sssAsBB

3)1()(1

2|)22(

22

42

12

ssdssBdB

sss

3)22(

612112

)22()1(

)(!1

1222

23

21

42

s

s

sss

sssdss

sAdsB

)22( 1222 ssss

3225.075.025.075.05.1)( jjX)1()1(11

)( 2 ssjsj

jsj

ssX


sAsBLtx

)()()( 1

ssjsj

jsj

sL

)1(

3)1(

21

25.075.01

25.075.05.12

1

t

tttjtj

tjtjeteteejej

)sin)(cos25.075.0[()23(5.1

32)25.075.0()25.075.0(5.1 )1()1(

t

t

etttetjtj

jj

)23sin5.0cos5.1(5.1

)]sin)(cos25.075.0(

))([()(

ettt )23sin5.0cos5.1(5.1


Pravilo 10: (Teorema za inverzna LaplasovaPravilo 10: (Teorema za inverzna Laplasova transformacija). Neka x(t) e original i neka L{x(t)}=X(s); toga{ vo sekoja to~ka t>0 na svojata neprekinatost originalot x(t) e opredelen soneprekinatost originalot x(t) e opredelen so slednava relacija

jc

jc

jc

st dssXej

sXLtx )(21)}({)( 1 , t>0 jcj

kade e c>s0, a s0 e apscisa na konvergencijata na integralot {to ja definira Laplasovata transformacijar j d f r r f r c j


Vo ova podra~je funkcijata X(s) e

ImpImsfu c j ( )analiti~ka.

s0

Repc Res


Dokaz: Spored definicijata za Laplasova f jtransformacija

dxesX s )()( )()(0

Mno`ime so est za t>0 i }e go razgledame integralot

dsdxeej

dssXej

Ijc

j

sstjc

j

st

0

)(21)(

21 t>0

jj jcjc 0

0,)(1 )(

tddsexI

jcts

0,)(

2 0 tddsexjI jc


0)(sin)(1 tdtI cct 0,)()(0

tdtxeeI cct t t

0,sin)(1 )( tdtxeeI tcct ,)(t

0,sin1

tdtxeeI

tcct

0, tdtxeeI t


sin1

tc sinlim1lim

dtxeeI

t

tcct

0,sin)(sin)(1

tdetxdtxee ctctct

dsin )(lim txI )(


Od druga strana od prethodno ravenstvo imame:

1 jc

Od druga strana, od prethodno ravenstvo imame:

0,)(21lim

tdssXe

jI

jc

st

0)(1)(

tdXtjc

st 0,)(2

)(

tdssXej

txjc

st


A X( ) 0 s bAko X(s) se stremi kon 0 koga s te`i kon beskone~nost, t.e.,

1lim)(lim constKKsX .,lim)(lim constKs

KsXss

i ako t e pozitivno toga{ re{avaweto na integralot zai ako t e pozitivno, toga{ re{avaweto na integralot za inverzna Laplasova transformacija mo`e da se izvr{i neposredno spored teoremata na Ko{i za ostatocite i

} Gpritoa patot na integrirawe }e se zameni so patot G(pri .

)( R


ImpImp

Ims

0R

Rep0Res

Ako va`i ravenstvoto za ograni~enost na X(s), toga{ pati{tata na integrirawe se ekvivalentni.


j

dssX

stejc

jcdssXste

jtx )()(

21)( j

Spored teoremata na Ko{i za ostatocite:

)]([Re)( sXstezdssXste

)]([Re)( sXsteztx t>0


Pravilo 11: (Teorema za konvolucija vo kompleksnoto )podra~je). Neka x1(t) i x2(t) se originali i neka

L{x1(t)}=X1(s) i L{x2(t)}=X2(s). ]e pretpostavime deka s1 e apscisa na konvergencijata na integralotc r c j r

0

)(1)(1 dttxstesX

s2 e apscisa na konvergencijata na integralot

0

)(2)(2 dttxstesX

0 22

jc

jcdqqsXsXjtxtxL )(2)(12

1)}(2)(1{ toga{

kade konstantata c>s1 i Res>s2+c

jcj


Dokaz: Spored definicijata za Laplasova transformacija e


2121 )()()}()({ dttxtxetxtxL st0

jc

qt dXt )(1)(

jc

qt dqqXej

tx )(2

)( 11

2121 )()(2

1)}()({ dttxdqqXeej

txtxLjc

qtst

02 j jc


jct

1 )( dqdttxeqXj

txtxLjc

tqs

)()(21)}()({ 2

0

)(121

Spored pretpostavkite na teoremata 11 integralot X2(s)konvergira za site s, ~ija Res>s2, t.e. . Imaj}i go ova predvid }e ja opredelime apscisata na konvergencija na

tsMetx 2)(2 r j r r j

vnatre{niot integral.

dteMdttxedttxe tsqstqstqs

0

)Re(Re2

0

)(2

0

)( 2)()(


Zna~i za Res>Req+s2 spored definicijata za Laplasova transformacija e

0

)(2)(2)( qsXdttxtqse

Stavaj}i go posledniov izraz vo gornoto ravenstvo, }e dobieme

jc

1 dqqsXqX

jtxtxL

jc

)()(21)}()({ 2121

za c>s1, Res>Req+s2.

3. Prenosni funkcii i karakteristiki na linearnite sistemi

i na nivnite elementi

Edna klasa na ravenki koi imaat aplikacija vo opisot na fizi~kite zakoni e klasata na diferencijalni ravenki.

Diferencijalna ravenka e matemati~ka ravenka za nepoznata funkcija od edna ili pove}e promenlivi koja gi povrzuva vrednostite na samata funkcija i nejzinite izvodi od razli~en red

Strukturniot dijagram ne e sam po sebe dovolen za kvantitativna analiza na performansata na sistemot

nejzinite izvodi od razli~en red.

kvantitativna analiza na performansata na sistemot.


i na nivnite elementiii

m

ii

i

i

n

ii

i

i dtxdb

dtyda

00n>m

Linearnite sistemi go poseduvaat slednovo svojstvo:s ojs o: ako vlez x1(t) proizveduva izlez y1(t); i vlez x2(t) proizveduva izlez y2(t); toga{ vlez c x (t)+c x (t) proizveduva izlez vlez c1x1(t)+c2x2(t) proizveduva izlez c1y1(t)+c2y2(t) za site parovi vlezovi x1(t) i x2(t) i site parovi konstanti c1 i c2.

Ova svojstvo se narekuva princip na superpozicija.



Definicija: Odyivot y(t) na linearen sistem {to se dol`i na nekolku vleza x1(t), x2(t),.., xn(t) koi dejstvuvaat simultano e ednakov na sumata oddejstvuvaat simultano e ednakov na sumata od odyivite na sekoj vlez koga dejstvuva sam, t.e.

n tyty )()(

i

i tyty1

)()(

Za linearnite stacionarni sistemi so skoncentriraniZa linearnite stacionarni sistemi so skoncentrirani parametri kvantitativen pokazatel koj na pogoden na~in gi opi{uva relaciite me|u vleznite i izleznite signali za sekoj blok poodelno e funkcijata na prenos iliza sekoj blok poodelno e funkcijata na prenos ili prenosnata funkcija.



Pretpostavka: sistemot e kauzalen ( izlezot zavisi samo od sega{nite i minatite vrednosti na d r dvlezot-fizi~ki realizabilni sistemi).

3 1 Op{ta definicija na funkcija na prenos3.1 Op{ta definicija na funkcija na prenos

m in i xdbyda n>m

i

iii

ii dtb

dta

00

, n>m.


Re{enieto na diferencijalnata ravenka e sostaveno od:Re{enieto na diferencijalnata ravenka e sostaveno od:

sloboden odyiv i f forsiran odyiv.

Slobodniot odyiv e re{enie na diferencijalnata ra e a o a ezo (t) e e e a o a aravenka koga vlezot x(t) e identi~ki ednakov na nula.

Forsiraniot odyiv e re{enie na diferencijalnata ravenka koga site po~etni uslovi se identi~ki ednakvi na nula

1ndydy010 |,....,|),0( tnt dt

dydtdyy


)])(([)])(([1

11

1 m i kkiin i kkii XbY ,)])(([)])(([0 0

01

0 00

1

i k

kkiii

i k

kkiii xssXsbyssYsa

|k

k xdxkade 00 | tkdtxkade

sbm ii

)()(

0

0 sXsa

sY n

i

ii

ii

(izrazi od site po~etni uslovi )kk yx 00 ,

)()( sBsB 0i)()()(

)()()( 0

sAsBsX

sAsBsY

)()( sBsB

)()()(

)()()}({)( 0111

sAsBLsX

sAsBLsYLty


m n 1

n

i

i

iisb

sAsBsS 0)()()(

n

n

i

ii sc

sAsBsS

1

000 )(

)()(i

iisa

sA0

)( i

ii sa

sA0

)(

Operator S(s) se narekuva prenosna funkcija ili funkcija na prenos ili samo prenos na dinami~kiot sistem.sistem.

Operator S0(s) se narekuva operator na po~etni usloviuslovi.


Funkcijata S(s) e prenosna funkcija na sistem ako i samo ako e koli~nik na Laplasovite transformacii na negovite izlezni i vlezni veli~ini pri site rpo~etni uslovi ednakvi na nula.

Y(s)=S(s)X(s)Y(s) S(s)X(s)

)}()({)}({)( 11 sXsSLsYLty , t>0

S(p)X(p) Y(p)S(s)Y(s)X(s)


Prenosnata funkcija na sistemot ne zavisi od tekot na vleznata i izleznata veli~ina, tuku zavisi samood strukturata na dinami~kiot sistem, t.e. od d ru ur d , dnegovite konstruktivno-fizi~ki parametri i od negovata konfiguracija.

Spored toa mo`eme da konstatirame deka,

Dinamikata na linearniot sistem e napolno f jopi{ana so negovata prenosna funkcija.


mmTTT1 22nn

n

mmm

sTsTsTsTsTsTksS ~...~~1

....1)( 2221

2221

1i

ii a

aT

1

0

~

ii

i bbT

1

0

, k=b0/a0 ,

0 0


Funkcija na prenos mo`e da se definira samo za linearni, stacionarni (so konstantni parametri) sistemisistemi.

Funkcijata na prenos e eden vlezno-izlezen opis na povedenieto na sistemot. d

Opis so funkcija na prenos ne vklu~uva bilo kakva informacija {to se odnesuva na vnatre{nata struktura na sistemot i negovoto povedenie.

3.2 Prenosnata funkcija i odyivot na sistemotr fu c j d

Preodna karakteristika na sistem

X

tetx1)(

1)()( Preodna karakteristika na sistem

)}(1)( 1 sS

sLtyt>0

ssX 1)( s

Impulsna karakteristika na sistem)()}({)( 1 tssSLty

1)( sXx(t)=(t) t>0

S(p)X(p) Y(p)X(s)

S(s)Y(s)


So sporedba na izrazite

)}(1)( 1 sS

sLty )()}({)( 1 tssSLty

So sporedba na izrazite

is

sledi slednava zavisnost

t dsty )()( sledi slednava zavisnost

)()( tsty dsty0

)()( )()( tsty

3.2 Prenosnata funkcija i odyivot na sistemot

Vkupniot odyiv na sistemot se sostoi od dva dela:

r fu c j d

u

negoviot odyiv yb(t) pri nulti po~etni uslovi prinudno odnesuvawe;r ud d u ;

negoviot odyiv ya(t) pri nulti vlez (sopstveno) slobodno povedenie.( ) d d

y(t)=yb(t)+ya(t)


O (t) jbOdyivot na sistemot yb(t) za nulta sostojba e opredelen so negoviot impulsen odyiv za nulta sostojba, s(t) i promenata na vleznata veli~ina x(t)

t tpreku konvolucioniot integral

b dstxdtsxty0 0

)()()()()(

Dokaz:Dokaz:

jc

bst

b dssYejty )(

21)( jcj2

3.2 Prenosnata funkcija i odyivot na sistemot

Yb(s)=S(s)X(s)

r fu c j d

jc

stb dssXsSety )()(

1)(Yb(s) S(s)X(s) jcb dssXsSejty )()(2)( )()( dX s 0

)()( dxesX s

1 jc t

0

)()(21)(

dsedexsSj

tyjc

stsb

00

)( )()()(21)(

dtsxddsesSj

xjc

jc

ts

00 j jc


RezimeRezimePrenosnata funkcija ima nekolku korisni svojstva:

Prenosnata funkcija na sistem e Laplasova Prenosnata funkcija na sistem e Laplasova transformacija od negoviot impulsen odyiv;

Prenosnata funkcija mo`e da bide opredelena od diferencijalnata ravenka na sistemot zemaj}i Laplasova transformacija i ignoriraj}i gi izrazite L r f r c j r r j r{to proizleguvaat od po~etnite vrednosti, t.e.

)()( sYsS )(

)(sX

sS


Rezime (prodolènie)Rezime (prodolènie)

Diferencijalnata ravenka na sistemot moè da bide dobiena od prenosnata funkcija zamenuvaj}i jabide dobiena od prenosnata funkcija zamenuvaj}i ja veli~inata s so diferencijalen operator (d/dt);

Imenitelot na prenosnata funkcija izedna~en na nula e karakteristi~nata ravenka na sistemot, a nejzinite koreni se polovi na prenosnata funkcija, j r r fu c j ,odnosno na sistemot. Korenite na polinomot vo broitelot se nuli na sistemot.

3.2 Pretstavuvawe na sistem so blok-dijagram i r u d j rgraf na tek na signali

Zna~eweto na funkcijata na prenos kako relacija na pri~ina-i-efekt e sostoi vo mo`nosta da se pretsta-vat relaciite pome|u veli~inite na sistemot so r c udijagramsko zna~ewe.

Pretstavuvaweto na relaciite vo sistemot so blok-dijagram e op{tovaè~ko (preovladuva~ko) vo sistemskoto inènerstvo na upravuvawe.sistemskoto inènerstvo na upravuvawe.


Blok-dijagram na sistem e negoviot strukturen dijagram vo koj site podsistemi se opi{ani so svoite prenosni funkcii, a site veli~ini se pretstaveni so r fu c , rsvoite Laplasovi transformacii.

Blok-dijagramot ja sodr`i:

Celata informacija za strukturata na sistemot; Celata informacija za dinami~kite svojstva na C f r c j d jsistemot.

Blok-dijagram na sistem pretstavuva negovBlok dijagram na sistem pretstavuva negov matemati~ki model.


Blok-dijagram se sostoi od ~etiri tipa elementi:

blok; blok; sumira~ki to~ki; to~ki na granawe; strelki {to go pretstavuvaat tekot na signalitesignalite


M

BlokTo~ka na

Sumira~ka to~ka

Matemati~ki Opis na blokot

granaweX + ZX +Y+

ZY


Dva blok-dijagrami se ekvivalentni ako i samo ako ravenkite na povedenie dobieni od niv se me|usebno identi~nime|usebno identi~ni.

(1) Redna (seriska) sprega )()()( 21 sSsSsS S1(s)

Z (s)S2(s)

Y (s)X (s)

S (s)X (s)Y (s)


Dokaz:

)()()(

sXsYsS

)()()()()()(

2

1

sZsSsYsXsSsZ

)()()( 2

)()()()( 21 sXsSsSsY )()(

)()()( 21 sSsSsX

sYsS )(

n sSsS )()(

i

i sSsS1

)()(


(2) Paralelna sprega

Z (s)S1(s) Y (s)X (s)

Z1 (s)+

S2(s) Z2 (s)+

)()()( SSSS (s)

X (s) Y (s)

)()()( 21 sSsSsS


)()()( sXsSsZ

)()()()()()()()()(

22

11

sXsSsZsXsSsZ

)()()( 21 sZsZsY )()()()()( 21 sXsSsXsSsY

)()]()([ 21 sXsSsS )(sY )()()()()(

21 sSsSsSsXsY

n sSsS )()(

i

i sSsS1

)()(


(3) Povratna sprega

Y ( )E( )X ( ) S1(s)Y (s)E(s)X (s)

+

S2(s)Z (s)

)()(1)()(

21

1

sSsSsSsS S (s)X (s) Y (s) )()( 21


)()()( sZsXsE

)()()()()()(

)()()(

2

ESYsYsSsZ

sZsXsE

)()()( 1 sEsSsY )()()()( 2 sYsSsXsE

)]()()()[()( 21 sYsSsXsSsY )()()]()(1)[( sXsSsSsSsY

)()()( 1 sSsYsS )()()]()(1)[( 121 sXsSsSsSsY

)()(1)()(

21 sSsSsXsS


3 2 1 G f3.2.1 Graf na tek na signali

Signalno-tekovniot graf se sostoi od:

granki, koi gi pretstavuvaat sistemite, i jazli, koi gi pretstavuvaat signalite.

X( ) Y( )G(s)X(s) Y(s)

3.3 Poim za dinami~ki sistem i matemati~ki opis na negovoto povedenie

Matemati~ki opis na povedenie na sistem e negovMatemati~ki opis na povedenie na sistem e negov matemati~ki model.

Naj~esto matemati~kite modeli se diferencijalni ravenki.

Dva tipa na ispituvawe na sistemite: K | Kvantitativno ispituvawe-iznao|awe na konkretno re{enie na diferencijalnata ravenka za dadeniot sistem za opredeleni po~etni uslovi;d d r d u ; Kvalitativno ispituvawe-istra`uvawe na uslovite za egzistencija i edinstvenost (needinstvenost) na re{enioeto i prirodata na(needinstvenost) na re{enioeto i prirodata na samoto re{enie pri bilo koi po~etni uslovi.


Primeri na ednostavni mehani~ki sistemiPrimeri na ednostavni mehani~ki sistemiVtoriot Wutnov zakon ima oblik:

)()( xxftxm ),()( xxftxmili ),()( xxftx

(a) Sistem na telo vo sloboden pad bez vlijanie na ( ) d d jatmosferata

00 )0(,)0(,)( xxxxgtx 1

00221)( xtxgt

tx )()( 00)()( ygtxgttxty


Primeri na ednostavni mehani~ki sistemiPrimeri na ednostavni mehani~ki sistemiAko ja vovedeme smenata:

izvornoto ravnstvo }e mo`e da go zapi{eme kako

)()( tytx izvornoto ravnstvo }e mo`e da go zapi{eme kako sistem od dve ravenki:

)( gty )()()( tytx

Da gi pretstavime x i y vo koordinaten sistem na sledniot na~in:

3.3 Poim za dinami~ki sistem i matemati~ki opis

yx y 2na negovoto povedenie

dyydxg

gy

C

Cgxy

222

ydygdxdt

ydt

g

gxCy 22

Parot ( ) vo sekoj moment na vreme ja opredeluvaParot (x,y) vo sekoj moment na vreme ja opredeluva sostojbata na sistemot, pa ravenkite

)()( tytx )()( tytx gty )(

se narekuvaat ravenki na sostojba ili sostojbenise narekuvaat ravenki na sostojba ili sostojbeni ravenki.


(b) Sistem na harmoniski oscilator

na negovoto povedenie

(b) Sistem na harmoniski oscilator

0sin1 g

m

0sin xxx Pri53

0!5!3

sin53

xxxxxx

tBtAeCeCtxjss jtjt sincos)(,01 212,12


Voveduvaj}i smena:


)()( tytx Voveduvaj}i smena:go dobivame sistemot ravenki:

)()( tytx

)()( tytx )()( txty

Re{enieto na ravenkite go dobivame na sledniot na~in:

xy

yx

22 xy

dtdyy

dtdxx

xy

2

122

22Cyx

Cxy

ydyxdx 1Cyx


Matri~en oblik na ravenki na sostojba



(a) Telo vo sloboden pad bez vlijanie na atmosfetata

tytx )()(gtytytx

)()()(

Ako gi zamenime

2

1

xyxx

Ako gi zamenime

i definirame vektor

1xx

x 2x





xxx 10 211 bAxx ggxxx 100 212 Cxy

kade se:

0010

A

10

b 10C, ,

1x

x

1xx

2x

x ,

2xx





(a) Harmoniski oscilator

)()( tytx

Ako gi zamenime

)()()()(txty

tytx

2

1

xyxx

Ako gi zamenime

i definirame vektor

1xx

x 2x





xx 10

12

21

xxxx

2

1

2

1

0110

xx

xx

CxAxx

y

12 A

2

1

xx

x 10C,


Slobodni linearni sistemi od vtor red


Slobodni linearni sistemi od vtor redDinami~ki sistem od vtor red e opi{an so linearna diferencijalna ravenka od II red ~ij op{t oblik e:diferencijalna ravenka od II red, ~ij op{t oblik e:

02 2 yyy nn Faktor na pridu{uvawe Frekvencija na sopstveni oscilaciin Frekvencija na sopstveni oscilacii

022

22 nnss122,1 nns



tsts eCeCty 21)(

Slobodni linearni sistemi od vtor redRe{enieto na ravenkata e dadeno so:

eCeCty 21 21)( Zavisno od faktorot na pridu{uvawe mo`ni se slednive slu~ai:

slednive slu~ai:

1. s1 i s2 se dvete realni i so ist znak;2. s1 i s2 se dvete realni i so sprotiven znak;2. s1 i s2 se dvete realni i so sprotiven znak;3. s1 i s2 se kowugirano kompleksni so nenulev

realen del;4. s1 i s2 se kowugirano kompleksni so nulev realen

del;

Slobodni linearni sistemi od vtor red Slobodni linearni sistemi od vtor red

1. s1 i s2 se dvete realni i so ist znak

1 012 01 s0

realni koreni i

02 ststs eCeCty 21 21)(

tsts CC)( tsts eCseCsty 21 2211)( Za po~etni uslovi za koi e C1=0 imame:u 1

tseCty 22)( tseCsty 2)( seC

eCsyy

ts

ts

22

222

2 eCsty 222)(

ysyeCy

2

2

Ravenka na prava so negativen naklon


Za po~etni uslovi takvi da e C2=0 imame:u 2

tseCty 11)( sC

eCsyts

ts

111

1

1 tseCsty 111)( ysy

eCy ts

1

11

Ravenka na prava so negativen naklon

y

yStabilen jazel

ysy 1 ysy 2

S b Slobodni linearni sistemi od vtor red

Vo slu~aj da se s1 i s2 pozitivni se dobiva nestabilen jazel kako na slikata

Nestabilen jazel

S b Slobodni linearni sistemi od vtor red

22. s1 i s2 se dvete realni i so sprotiven znak;tsts eCeCty 21 21)(

001 s

tsts eCseCsty 21 2211)( Za po~etni uslovi za koi e C1=0 imame:

02 su 1

tseCty 22)( tsC)(

seCeCs

yy

ts

ts

222

2

2 tseCsty 222)(

ysyeCy

2

2

RRavenka na prava so negativen naklon


Za po~etni uslovi takvi da e C2=0 imame:u 2

tseCty 11)( sC

eCsyts

ts

111

1

1 tseCsty 111)( ysy

eCy ts

1

11

Ravenka na prava so pozitiven naklon

Sedlesta to~ka

y ysy 1Sedlesta to~ka

y

ysy 2


3. s1 i s2 se kowugirano kompleksni so nenulev


3. s1 i s2 se kowugirano kompleksni so nenulev realen del

10 012 djs 2110 01 )sin()cos()( teCteCty tt

dj2,1)sin()cos()( 21 teCteCty dd

tsts eCseCsty 21 2211)( Geometriskoto mesto na parovi to~ki dobieni za razli~ni vrednosti na t se narekuva

),( yy d r r d r utraektorija na sistem.


Traektoriite se logaritamski krivi koi konvergiraat kon koordinatniot po~etok vo r r rdramninata i imaat oblik kako na slikatayy 0

Stabilen fokus

y

y


Vo slu~aj koga realniot rel na korenite e pozitiven se dobiva nestabilen fokus kako na slikatad f u

Netabilen fokus

y

y

Slobodni linearni sistemi od vtor red4. s1 i s2 se kowugirano kompleksni so nulev realen 1 2 u r u r

del

0 j12 njs 2,1

tsts eCseCsty 21)( )sin(2)( 121 tCeCeCty ntjtj nn

eCseCsty 21 2211)( y

Centar

y


Slobodni linearni sistemi od vtor red Slobodni linearni sistemi od vtor red02 2 yyy nn

tsts eCeCty 21 21)( tsts eCseCsty 21)(

So voveduvawe na smenite:

eCseCsty 21 2211)(

1xy

u

221

2

xx

2xy 2122 2 xxx nn


Slobodni linearni sistemi od vtor red Slobodni linearni sistemi od vtor redVoveduvaj}i go vektorot na sostojba

A

2

1

xx

xCxAxx

y

y

10

A 01C nn 22A 01C,


Treba da se naglasi deka izborot na ravenki na sostojba na sistemot ne e ednozna~en.

Poimot za vektor na sostojbi e mnogu po{irok i poapstrakten.

Toj ozna~uva izbor na takvi linearni transformacii so ~ija pomo{ dinami~kiot sistem od n-ti red se sveduva na sistem od n ravenki od I red. du d r d r d,


P Primer :2

1

zy

zy

2122

21

2 zzz

zz

nn

12

1

210 zz

zAz 1ili 222 2 zz nn

1A

CzyMoè da se pokaè deka postoi nesingularna matrica T takva da vaì ravenkata:

0det, TTzx


1/ TATzzT ATzTz 1na negovoto povedenie

/ TATzzT ATzTz ATTA1

1

tttt 10101TAAT

nnnn tt

tttttt

210

210

22221

1211

2221

12112

222

121122122

21 2 ttttt nn

222122122

222

21112 222 ttttttt nnnnnn


0t


0 ttt012 tUsvojuvame: 112221 ,0 ttt 1tUsvojuvame: 122 t111 tju 122t

01

1001

TProverka:

yyzzx)(10

01 111

Proverka:

yyzzxT )(10 222


P b b j b


Postoi beskone~en broj na ekvivalentni izbori na koordinati na sostojba za eden ist sistem.

So ravenkite na sostojbaSo ravenkite na sostojba

21 xx 21

22 2 xxx nn

se opredeleni site sostojbi na LDS od vtor red.

Od poseben interes e edna podvoena sostojba, a toa e ramnote`nata sostojba.


R jb j


Ramnote`nata sostojba se site konstantni re{enijana diferencijalnata ravenka

A{to zna~i koga e

Axx .constx

bidej}i toa se re{enija koi se nezavisni od argumentot t.

Za da se dobijat ovie re{enija mora da va`i:

0Ax


O j


Osnovnata ideja e vo razmisluvaweto deka , dokolku sistemot se dvi`i so brzina 0 toj mora da ostane tamu kade {to e. Zatoa ramnote`nata sostojba se nao|a vo koordinatniot po~etok (0,0).

010

ABidej}i va`i

022

nn A

00x021 xx 021 xx


Zaklu~ok:


Zaklu~ok: Re{enieto na linearen sloboden sistem od vtor red zavisi od parametrite na sistemot; Koordinatniot po~etok e edinstvena ramnote`na Koordinatniot po~etok e edinstvena ramnote`na sostojba; Promenata na parametrite na sistemot vo najgolema merka vlijae na odnesuvaweto na sistemot vo okolina na ramnote`nata sostojba; Vo zavisnost od odnesuvaweto razlikuvame 4 d d u r urazli~ni slu~ai na odnesuvawe na sistemi od II red: (1) ramnote`na sostojba od tip centar, (2) ramnote`na sostojba od tip fokus (3) ramnote`na sostojba od tipsostojba od tip fokus, (3) ramnote`na sostojba od tip jazel i (4) ramnote`na sostojba od tip sedlo.

4. Prostor na sostojbi

Sovremenata teorija se bazira na konceptot sostojbi na sistem (sostojbena veli~ina, vektor na j ( j rsostojbi i prostor na sostojbi).

Konceptot sostojbi na sistem ne bara poznavawe na celata minatost na sistemot za da se analizira odnosot na sega{nite i idnite vrednosti na vleznite i izleznite veli~ini na sistemot.

Koristeweto na sostojbite na sistemot pravi minatosta da e potpolno neva`na za analiza na negovoto idno povedenie.

Pri toa, treba da se podvle~e deka konceptot sostojbi na sistem e svrzan za dinami~kite sistemisostojbi na sistem e svrzan za dinami~kite sistemi.


Klasi~nata teorija ne ovozmo`uva precizno definirawe na fundamentalnite svojstva na f r fu jsistemite: stabilnost, upravlivost, nabqudlivost, optimalnost, ~uvstvitelnost i adaptabilnost.

j Klasi~nata teorija ni ovozmo`uva: efikasna eksperimentalna analiza na LS sistemi i koristewe na eksperimentalno r rsnimenite frekventni karakteristiki; re{enijata na diferencijalnite ravenki na povedenie na sistemot da se svedat na ~istopovedenie na sistemot da se svedat na ~isto algebarski problemi; razvoj i primena na efikasni grafi~ki i

fgrafoanaliti~ki postapki i metodi za analiza i sinteza na LS sistemi.


Nedostatoci:

Ne e pogodna za prou~uvawe na golema klasa stacionarni nelinearni sistemi;

Za prou~uvawe na nestacionarni (linearni i nelinearni) sistemi kaj koi eden ili pove}e parametri se menuvaat vo tek na vreme;parametri se menuvaat vo tek na vreme;

sistemi so pove}e vleza i pove}e izleza (t.n. multivarijabilni sistemi);

Za prou~uvawe na vlijanieto na po~etnite uslovi vrz dinami~kite svojstva na sistemot;

Za optimizacija na sistemite i za sinteza na adaptivnite sistemi.

Fizi~ki osnovi za poimot sostojba na sistemFizi~ki osnovi za poimot sostojba na sistem

Normalna ili Ko{ieva forma na sistem diferencijalni ravenki od prv red:

),,...,,,,...,,( 212111 tuuuxxxfx rn),,...,,,,...,,( 212122

212111

tuuuxxxfx rnrn

),,...,,,,...,,( 2121 tuuuxxxfx rnnn

ui(t)- vlezovi, xi(t)- pomo{ni dinami~ki veli~ini, fi -funkcii od (n+r+1) argumentifi funkcii od (n+r+1) argumenti.


Primer: RLC mre`a

di

1

2211

1

du

ueedtdiLu

)(1 22122 euRi

dtduCi

Fizi~ki osnovi za poimot sostojba na sistem

2121 111 e

Le

Lu

Lddi

Fizi~ki osnovi za poimot sostojba na sistem

2212

212

111 eRC

uRC

iCdt

duLLLdt

RCRCCdt

1110111

eLLiLid .1011 21

2

1

2

1

eRC

LLu

RCC

Ludt

d

BA

1e

1i BeAxx 2ee 2ux BeAxx


Vektorot x, ~ii komponenti se sostojbeni veli~ini x1 i x2 se narekuva vektor na sostojba ili sostojben vektor. r

Sostojbenite veli~ini se me|usebno nezavisniSostojbenite veli~ini se me|usebno nezavisni veli~ini.

Izbor na sostojbeni veli~ini. Opredeluvawe na vektorska ravenka na sostojbavektorska ravenka na sostojba

I. Spored diferencijalnata ravenka

Sistem od n-ti red e opi{an so skalarna diferencijalna ravenka od n-ti red:

)1()()1()( uuuuyyyy nnn

nn

nn

01)1(

1)(

01)1(

1)(

(1) Poseben slu~aj: uyyyyn

nn

001)1(

1)(

2

1

yxyx

)2(1

nyxZa sostojbeni veli~ini se

usvojuvaat slednite veli~ini:

)1(1

nn

n

yx

yx

Izbor na sostojbeni veli~ini. Opredeluvawe na vektorska ravenka na sostojba

Dobivame sistem od n diferencijalni ravenki od prv red od oblikot :

xxxx

32

21

32

uxxxxxx

nnn

nn

012110

1

buAxx

x1 0

xx

2

1

x

00

b

xx

0b

nx

00010

00100

A

13210 n

Strukturen blok-dijagram spored sostojbeni ravenki

y +u nxnx 1x1x1nx 1nx 1n2n0

(2) Slu~aj koga funkcijata na prenos ima kone~ni nuli:(2) Slu~aj koga funkcijata na prenos ima kone~ni nuli:

uuuuyyyy nnn

nn

nn

01)1(

1)(

01)1(

1)( Izborot na sostojbeni veli~ini se vr{i na sledniov na~in:

ubxy ubxx

ubxy

kkk 1

01

za k 1 2 3 n 1za k=1, 2, 3, , n-1

vrz osnova na koi ravenkata za n-tata sostojbena veli~ina se dobiva vo sledniov oblik: (so soodveten izbor nase dobiva vo sledniov oblik: (so soodveten izbor na koeficientite b0, bn i bk (k=1, n-1)).

b ubxaxaxax nnnn 12110

Dokaz:

uuuuyyyy nnn

nn

nn

01)1(

1)(

01)1(

1)(

01201 ububxubxy 0123012

01201

ubububxububxyububxubxy

)1(0

)2(1

)3(221

)1(

nnnnnnn ubububububxy

)()1()2()1()2()3(2110121010

)(

)

()()(nnnnnn

nnnnn

uuuuuubububububxububxubxy

1210012 ) nnn uuuuuububub

12220111001322110)( ][ nn

n ubububububxxxxy )()1(

1)2(

210)1(

0102

12220111001322110 ][n

nn

nn

nn

n

nn

uuuuuububy

ubuxxxxy nnn )(][ )1(011)(

1322110)(

ubbbbubuxxxxy

nn

nnnnn

)()(][

112211000

0111322110

Spored vovedenite smeni, n-tiot izvod na y mo`e da go zapi{eme kako:

)(0

)1(1

)2(221

)( nnnnnn

n ubububububxy

Ako gi sporedime dvete posledni ravenki (rav. vo zeleniot i rav. vo `oltiot pravoagolnik) }e dobieme:

ubbbbubbbbubbubxxxxx

nnnnn

nnn

nnnnn

)()()()(][

11221100012112011

)1(1011

)(01322110

nnnnn )()( 11221100012112011

Ako koeficientite pred izvodite na u se identi~ki ednakvi na nula gi dobivame slednive ravenstva:ednakvi na nula gi dobivame slednive ravenstva:

00 n b

0

01011 nn

bbbb

bb

012112011 nnn bbbb od kade mo`e da se presmetaat baranite koeficientib i 0 1 s ore s e e re re for :bi, i=0, , n-1, spored slednive rekurentni formuli:

0 nb 0111 nn bb

21120111 nnn bbbb

Ako izrazot vo zagradata pred veli~inata u vo gornata ravenka go ozna~ime so bn

1111000 nnn bbbb ubxxxxx nnnn 1322110

x

bbb

2

1

b

xxx

2

1

x

x

x

2

1

001000000100000010

b

b3b

x

x3x

x

3x

100000

001000

A,

,,

buAxx

nb nx nx 0001 C

143210 n

DuCxybuAxx

0bD

Strukturen blok-dijagram spored sostojbeni ravenkiStrukturen blok dijagram spored sostojbeni ravenki

0b1nb

1x1x1nx 1nx+u nxnx

nb + + y

1n2n0

II. Izbor na sostojbeni veli~ini i ravenki na sostojba spored prenosnata funkcija na sistemotsostojba spored prenosnata funkcija na sistemot

)()( 011

1 sYsssGn

n

)(

)(01

11 sUsss

sG nn

n Voveduvaj}i pomo{na promenliva y1 }e imame:

)()()()(

)()(

)()()( 21

1

1 sGsGsYsY

sUsY

sUsYsG

)(1 sG )(2 sG)(sU )(1 sY )(sY

111)( sG

)(1 )(2

i01

11

1 )( ssssG nnn 01

112 )( sssG nn

)(1)( 1 sYsG )(

)(01

11

1 sUssssG n

nn

)()(][ 1 UYnn )()(][ 1011

1 sUsYsssn

nn

)()()()()( 1011)1(

11)(

1 tutytytytyn

nn )()()()()( 1011111 tutytytyty n

Sostojbenite veli~ini gi birame na sledniov na~in:

12

11

yxyx

32

21

xxxx

)2(

13

nyx

yx

1 xx nn

)1(1

)(11

nn

n

yxyx

)(12110 tuxxxx nnn

Ravenkite na sostojba za prviot blok, zapi{ani vo matri~na forma }e bidat:matri~na forma }e bidat:

)()( tbutAx(t)x )()( 11 txcty

001000000100000010

00

100000

001000

A

0

b,

143210

100000

n 1

00011 c

Za vtoriot blok odnosno za funkcijata naZa vtoriot blok, odnosno za funkcijata na prenos }e imame:)(2 sG

1)(sY01

11

12 )(

)()( sssYsYsG nn

)()()()( 101111

1 sYssYsYssYn

n 1011

)1(11)( yyyty

nn

10211)( xxxty nn ][ 110 n c

)()( tbutAx(t)x )()(

)()(tcx

tbutAx(t)x

ty )()( tcxty

000010 0

001000000100

A

000

b

100000 A

1

0

b,

143210 n 1

][ 110 c ][ 110 nc


++

2n1n 0

y +u nxnx 1x1x1nx 1nx +

1n2n 2n

0

Sistem opi{an so dif ravenka od n-ti red kade dveteSistem opi{an so dif. ravenka od n ti red, kade dvete strani se so najvisok izvod od n-ti stepen ima funkcija na prenos od oblik:

)()()(

011

1

011

1

sUsY

sssssssG n

nn

nn

nn

)()()()(

)()(

)()()( 21

1

1 sGsGsYsY

sUsY

sUsYsG

)()()( 1 sYsUsU

111)( sG nn 0111 sss nnn 1nn

011

12 )( ssssG nnnn

000010

001000000100000010

A

000

b

100000

A

1

0

b

143210 n

Za funkcijata na prenos }e dobieme:)(2 sG

)()()()()( 101111

11 sYssYsYssYssYn

nn

n )1()(

fu c j r d)(2

1011)1(

11)(

1)( yyyytyn

nn

n odnosno

10211)( xxxxty nnnn d

Bidej}i eBidej}i e)(12110 tuxxxx nnn

proizleguva deka

1021112110 ))(()( xxxtuxxxty nnnnn

)()()()()()(

100211

12211

tuxxxxty nnnnnnnn

)()()( 100211 tuxx nnn )()( 112211 tuxcxcxcxcty nnnnn

11 iniic kade se koeficientite za i=1,. . ., n


++ +

1nc

nc 1cn

y +u nxnx 1x1x1nx 1nx +

1n2n 2n

0

000010

001000000100000010

A

000

b

100000 A

1

0

b

cccc c d 143210 n

ncccc 321c nd)( u(t)btAx(t)x

)()()()(

tutyu(t)

dtcxbtAx(t)x

)()()(y

Izveduvawe ravenki na sostojba spored korenite na karakteristi~nata ravenka

)()(

)()()( 1

011

1 sNsYssssG nnn

nn

n

)()(

)(01

11 sDsUsss

nn

n (1) Site koreni se prosti:

n 321

n

n

sg

sg

sgg

sDsN

sUsYsG 2

2

1

10)(

)()()()(

kade rezidiumite vo polovite se dadeni so:

)()(lim)(lim0 NsNsGg sNsg ii )()(

)()(lim)(lim0 DsDsGg ss issD

g ii )()(

ggg )(][)(2

2

1

10 sUs

gs

gs

ggsYn

n

)()()( sXgsUgsUg iiii Da razgledame eden op{t ~len od oblikot:

)()( sXgs

gsUs iii

ii

Neka ja izbereme sostojbata kako:

)()(1 sXsUs ii

)()()( sXssXsU iii )()()( txtxtu iii

)()()( tutxtx iii )()()(

n )()()( 01

tugtxgtyi

ii

000001 1

0000000000

3

2

A

11

000000

A

1

b

n00000

1

ngggg 321c 0gd

)()()()(

tutyu(t)

dtcxbtAx(t)x

)()()( tuty dtcx

Strukturen blok dijagram spored sostojbeni ravenkiStrukturen blok-dijagram spored sostojbeni ravenki

+ 1x1x

1

1g

1

+ 2x2x 2g + yu

2

yu

+ nxnx

ng+n

(2) Pove}ekratni koreni

1 e k-kraten koren , a ostanatite koreni se prosti

k

111 3221

k

k

ili

nkkk

patik

321 )1( knn

112110

)()()( kggggsNsYsG

21

11

110 )()()()(

)(

nkk

kk

gggsss

gsDsU

sG

)1(32 knsss

Rezidiumite vo polovite se dadeni so:Rezidiumite vo polovite se dadeni so:

)()(

)()(lim)(lim0

DN

sDsNsGg

ss )()( DsDss

sNsg )()(is

sDsg ii

)()()(

1)()()(

)!1(1

1)1(

)1(

1

ssDsNs

dsd

ig i

i

i

1s

111211 ggggg kk )(])()()(

[)()1(2

1

1

11

1

12

1

110 sUs

gsg

sg

sg

sggsY

kn

nkkkk

Vo ovoj slu~aj se javuvaat i ~lenovi od oblikot:

)1(1

)( jkjg

)1(1)( jks Posledniot ~len so ovoj oblik }e bide daden so:

)(1

1 sUsg k

So zamenaSo zamena

)()(1 sXsU k )()()( 1 sXssXsU kk )()(1s k)()()( 1 txtxtu kk

)()()( 1 txtutx kk

Sledniot ~len od toj oblik e daden so:

)()(1)()( 1)1(1)1(12)1(1 sXgsX

sgsU

sg

kkkkk

Sledniot ~len od toj oblik e daden so:

)( 11 ss

)()()( sXssXsX )()()( 111 sXssXsX kkk )()()( 111 txtxtx kkk )()()( 111 kkk

Za ~lenovite od oblik:

)()()( sXgsUgsUgi )()( sXgs

gsUs iii

ii

se dobiva

)()()( tutxtx iii

Spored toa ravenkite na sostojba i izleznata ravenka se:

xxxxxx

2132

1121

kkk xxx 111

kk

kk

xuxxux

121

1

ugxgxgtyn

ii

k

jj 01)(

k

kk

xux )1(

121

kij 11

nknn xux )1(

1 0001000001

0

1

1

00100

00010

0

0

2

1

000

000

00

00

A

110

b 0gd

)1(00000000000

kn

1

1

nkk gggggg 21)1(11211 c

)()()()(

ttu(t)

dtbtAx(t)x

)()()( tuty dtcx

Strukturen blok dijagram spored sostojbeni ravenki

+ + +


0g

+ 1x1x+ kxkx + 1kx1kx 2x)1(1 kgkg1 12g

11g +

1

1

1

u

+ y+ 1kx1kx

2

1kg +

+ nxnx ng+

)1( knng

Ekvivalencija na linearni dinami~ki sistemi so konstantni parametrisistemi so konstantni parametri

Razli~nite formi na sostojbeni ravenki i izlezna ravenka koi moàt da se dobijat za eden sistem giravenka, koi moàt da se dobijat za eden sistem gi pretstavuvaat negovite sli~ni sistemi.

Iako nivnite reprezentacii vo prostor na sostojbiIako nivnite reprezentacii vo prostor na sostojbi se razli~ni, sli~nite sistemi imaat ista prenosna funkcija, i spored toa, isti polovi i svojstveni vrednostivrednosti.

Dali moè da se napravat transformacii pome|u sli~ni sistemi od edno mnoèstvo sostojbeni ravenki vo drugo bez da se upotrebi funkcijata na prenos i grafot na sistemot?r f


Neka se bazi~ni vektori za prosotorot x1x2;21 , xx UU21, zz UU Neka se bazi~ni vektori za prosotorot z1z2;

1x

UxUxx

1z

UzUzz

22211 x

UxUx xxx

22211 z

UzUz zzz

ili

Koja e relacijata pome|u komponentite na x i na zvo ovie ravenki?

Kako da go transformirame vektorot x vo vektor z i obratno?


22211222121111 xxzxxz UtUtUUtUtU 2111 xxxx

22211222211111 )()( xxxx UtUtzUtUtz zx

22222111122111 )()( xx UtztzUtztz zx

Tzx

2

1

2221

1211

222211

122111

zz

tttt

tztztztz xTz -1

UUT 21 zz UUT


(1) Transformirawe na sostojbenite ravenki

uAxxB

uxDC y

Neka e

y Tzx

uuA

DCTzBTzzT

y

uuA

DCTzBTTzTz -1-1

yy

Dvata modela se edna alternativna reprezentacija na sistem vo prostor na sostojbi spored toa se sli~nisistem vo prostor na sostojbi, spored toa se sli~ni sistemi i imaat ista funkcija na prenos.


(2) Dijagonalizacija na sistemska matrica

Definicii:

Svojstven vektor (sopstven vektor) na matrica A se j r ( r) r cnarekuva sekoj vektor, , koj pod transforma-cijata so A stanuva mno`itel od samiot sebe, t.e.

0xi

ii xAxi x2

kade se konstanti.iAx xAx

x1



Definicii:

Svojstveni vrednosti (sopstveni vrednosti) na matrica A se vrednostite koi go zadovoluvaat gornoto ravenstvo za site .

0xii A

I(djiA-I0 xi(0A

-I A-I0A

-Ix 1-i

i

ii

((( det

adj

0A

-I i(det



n321 xxxxT

11 xAx 1

000000122 xAx

2 ATTA*

*TAAT1-

000000

3

2A*nn xAx

n

n

000

DVI@EWE NA LINEARNITE DINAMI^KI SISTEMI

Neka razgledame avtonomen LDS opi{an so matri~nata sostojbena ravenka i vektorot na po~etna sostojba:

Axx j r r j

00 )( xx tZa skalaren slu~aj imame:

)()( taxtx )(t)()( taxtx 00 )( xtx Usvojuvame pretpostaveno po~etno re{enie od oblikot:

0)(

000),;( xetxtx tta


Za da bide x(t; x0,t0) re{enie na diferencijalnata ravenka mora da gi zadovoli slednite uslovi:r r u

za t=t0 da se dobie po~etniot uslov; zameneto re{enieto vo dif ravenka treba zameneto re{enieto vo dif. ravenka treba istata da ja svede na identitet

(a) Za t=t }e dobieme:(a) Za t t0 }e dobieme:

000

0)(

00000),;( xxexetxtx tta

(b) Za sekoe }e imame:),( 0 tt)()(dd ttatta ),;(][)],;([ 000)(

0)(

0000 txtaxxaexe

dtdtxtx

dtd ttatta


Pri re{avaweto na matri~nata ravenka razlikuvame dva slu~ai:

(1) Prosti svojstveni vrednosti:

n 321(2) Pove}ekratni svojstveni vrednosti:

)1(32111

knpatik


(1) Prosti svojstveni vrednosti

Axx 00 )( xx tAko e matricata A dijagonalna

},,{ 321 ndiag AAko e matricata A dijagonalna

)()(

0000

)()(

)()( 01

(

(

(01

(1

)02

)01

)02

)01

txtx

ee

txetxe

txtx

tt

tt

tt

tt

)(

)(

00

00

)(

)(

)(

)( 02

((

022

)0

)

)0

)

tx

txe

t

txe

tx

tx

tttt nn

)(00)()( 0(0( )0)0 txetxetx nnn nn


Spored toa re{enieto e:

0)()()(

00 },,,{),;( 00201 xxtttttt neeediagtxt

Proverka: (a) Za t t dobivame:Proverka: (a) Za t=t0 dobivame:

)()()( }111{}{)( 00002001 diditt tttttt 000)()()(

000 }1,,1,1{},,,{),;( 00002001 xxxx diageeediagtxt tttttt n


(b) Za proizvolno t

]},,,{[),;( 0)()()(

0000201 eeediag

dtdtxt

dtd tttttt n xx

]),,,[( 0)()()( 00201 eee

dtddiag

dtdttttttt n x

),,,()()()(

0)()(

2)(

100201 eeediag

dt

tttttt

ttn

tttt n x

)(},,{)}(,)(),({),,,(

212211

0)(

02)(

201)(

100201

tdiagtxtxtxdiagxexexediag

nnn

ntt

ntttt n

x


(2) Pove}ekratni svojstveni vrednosti

)1(32111

knpatik

P bPretpostavuvame deka re{enieto na sistemot e od oblik:

0)(

000),;( xx ttetxt A 000 ),;(

11 2

2A A2!1AI

e 22!2

11 taateat


Proverka: (a) Za t=t0 dobivame:

00)(

00000),;( xxx

IA ttetxtbidej}i e

I

A2!1

AI 22A 0000)( ((00 tttte tt 2! 0000 ((


(b) Za proizvolno t

)( 0 ](([][);( xxx tt ttttdedtxtd 22A A1

AI

( ) r

000

000000

](([

](([][),;(

x

xxx

tttt

ttttdt

edt

txtdt

232

A3!3

A2!2AI0

A2!AI

0)(

000

000

0](([

((

xx ttetttt A22 A

A2!1

AIA3!2!

2!

pa spored toa e

),;(),;( 000)(

000 txtetxt tt xxx AA

A


Eksponencijalno matri~nata funkcija

22A A2!1

AI00

)( ((0 tttte tt 2!

se narekuva prevodna ili fundamentalna matricana linearniot dinami~ki sistem i se ozna~uva:

A)( tt

A0

)( (0 tte tt


D

SISTEMI

Dvi`eweto na dinami~ki avtonomen sistem so vremenski nepromenlivi parametri e determinirano od fundamentalnata matrica

0000 (),;( xx tttxt a po~etnite uslovi, odnosno vektorot na po~etna sos-tojba, samo go determiniraat inicijalnoto vozbudno dejstvo.


Kolonite na fundamentalnata matrica davaat nnezavisni re{enija za vektorot na sostojba

SISTEMI

nezavisni re{enija za vektorot na sostojba,

Spored toa elementite vo poodelnite koloni na fundamentalnata matrica se linearno nezavisni.fundamentalnata matrica se linearno nezavisni.

Toa zna~i deka determinantata na fundamentalnata matrica sekoga{ e razli~na od 0r c r d

ttzatt 00(det 0

odnosno, fundamentalnata matrica e nesingularna matrica. )(1 adj

)(det)()(1

adj


Od ovde proizleguva deka:

SISTEMI

Od ovde proizleguva deka:

Za dadeni po~etni uslovi postoi samo edno re{enie, odnosno samo edna traektorija.re{enie, odnosno samo edna traektorija.

Spored toa, traektoriite na linearen dinami~ki sistem vo prostorot na sostojbi nikoga{ ne se se~at. r r j

Koordinatniot po~etok e posebna traektorija(re{enie vo koe prviot izvod e sekoga{ ednakov na nula).

Toa singularno re{enie dava edna ramnote`na jbsostojba na sistemot, odnosno koordinatniot po~etok

pretstavuva traektorija na miruvawe na sistemot.

Re{enie na matri~nata ravenka preku Laplasova transformacijar f r c j

Razgleduvame avtonomen linearen dinami~ki sistem.

Axx 00 )( xx t)()( 0 sss AXxX 0)()( xXAI ss

001 )()()( xxAIX sss

}){)( 11 AI sLt

Dvi`ewe na nesloboden vremenski nepromenliv sistem vo prostor na sostojbi

)()()( ttt AxxBu

)( xx t)()( tty x

C 00 )( xx t)( tt

A

)()]()([

/)()()()()(

)(

00

0

tetteettt

tttt

tt

Bu

BuA-A-

- A

AxxAxx

)()()(

)()]()([)()()( 000 tetete

tettetttttt Bu

uA-A-A- Axx

Spored teoremata za izvod na matri~ni funkcii imame:

)()()()()]()([ tdtddXYYXYX

)()()()()]()([ tdt

tdt

ttdt

XYYX


Levata strana na poslednoto ravenstvo mo`e da sezapi{e kakozapi{e kako

tdetdeted tttt

tt )()()]([ )()(

)( 00

0xxx

A-

- AA-

dtet

dtte

dt)()]([

11

A2!1

AI 22A-00

)( 0 ](([][ tt ttttdtde

dtd

AA

A2!1

A-I

2A2!1

A0 A-22 )(000

0](([( ttetttttt


Od druga strana e pa }e dobieme:)()( t

dttd XX

dt

)()()]([ )()()( 000 teteted tttttt xxxAA-A-A- )()()]([ tetete

dtxxx A

Ravenkata go dobiva sledniov oblik:

)()]([ )()( 00 teted ttttBuA-A- x

d d

)()]([ tetedt

Bux

Ako ja integrirame ovaa ravenka vo granicite od t0 do t:

Dvi`ewe na nesloboden vremenski nepromenliv sistem vo prostor na sostojbinepromenliv sistem vo prostor na sostojbi

)()( 00 )(0)( dete

t

t

ttt BuA-A- xx])([)( 00

0

)()( deett

ttt

t

BuA-A xx ])([)(0

0 deett Buxx

dttdeett

t

t

t

ttt 0 )()(])()( 00)(0)( Bu- tBuA-A xxxtt 00

Osobini na fundamentalnata matrica

Fundamentalnata matrica e definirana vo op{t slu~aj so matricantot preku Neuman-oviot redslu~aj so matricantot preku Neuman oviot red

))(()()(),( 0 AAVVAVIAW ttt

t

d0

)()( AAV e integralen operatorVrz osnova na ovaa definicija i konvergentnosta na Neuman-oviot red taa gi ima slednive svojstva:

),()(),( 00 tttttd

A 1. ),()(),( 00dt2. I ),( 00 tt3. ),(),(),( 011202 tttttt


Vrz osnova na ovie osobini mo`e da se doka`e edin-stvenosta na re{enieto.stvenosta na re{enieto.

)(0010

)(1

)()(

),()( 01 xxx ttettt

tt

A

A

Ako zememe za po~etni uslovi toga{

0020)(

2 ),()( 02 xxx ttettt A

),( 11 txfundamentalnata matrica }e go prevede sistemot vo momentot t2 vo sostojba x2 pa }e imame:

)()( ttA

1)(

212)( xx ttet A

Vrz osnova na ova dobivame:Vrz osnova na ova dobivame:


0)()(

0)()(

1)(

2

)()()(]][[][)( 0112011212

xxxxxx

ttttteeeeet tttttttttt

AAAAA

Od druga strana

001122 ),(),()( xx ttttt

0020)(

2 ),()( 02 xxx ttettt A

Vrz osnova na tretata osobina dobivame deka re{e-nieto e edinstveno bez razlika na momentot na raz

00202 ),()( xxx ttet

nieto e edinstveno bez razlika na momentot na raz-gleduvawe, odnosno po~etnite uslovi.

Od tuka sledi i sledniov zaklu~ok: Za dadeni Od tuka sledi i sledniov zaklu~ok: Za dadeni po~etni uslovi re{enieto na diferencijalnata ravenka e edinstveno, odnosno va`i ravenstvoto

),(),( 121

21 tttt


Dokaz: Bidej}i za sekoja matrica, koja e nesingularna, j j r j u rtaka i za fundamentalnata va`i: I ),(),( 12121 tttt ),(),( 1212

a spored osobinite (2) i (3) u{te iI)( )()()( I ),( 11 tt ),(),(),( 122111 tttttt

)(/)()()()( 11 tttttttttt ),(),(),(),(),(),(

),(/),(),(),(),(

121

1221121

12121

1212211212

tttttttttttttttttttttt

),(),( 21121 tttt


Za slu~aj koga e matricata A=const., odnosno za vremenski nepromenliv sistem, fundamentalnata matrica gi ima i slednive svojstva:

)()()( tt )()(1 tt Dokaz: Koga e A const va`iDokaz: Koga e A=const. va`i

tetA )( Ae )(

)()()( ) teeet tt AAA )()()( teeet


Za slu~aj t )()()0( tt a spored osobina (2) I )0(pa }e dobieme :

1

)()()()()(/)()(

11

1

ttttttt

I

I

)()()()()()(

1 tt


Fundamentalnata matrica ja zadovoluva svojata diferencijalna ravenka, bidej}i taa poteknuva od nea, a toa zna~i deka taa mora da bide re{enie na diferencijalnata ravenka.d f r c j r

Dokaz: Ako go zamenime vo dif. rav. re{enieto

)( tt ),( 0tt}e dobieme:

),(),( 00 ttttdtd A 00dt

)],(,),,(),,([),( 0)(

0)2(

0)1(

0 ttttttttn

)],(,),,(),,([)],(,),,(),,([ 0)(

0)2(

0)1(

0)(

0)2(

0)1( tttttttttttt

dtd nn A


Spored pravilata za presmetuvawe so matrici dekom-ponirani vo blokovi

1AA n21n

2 BBBA

AAB

Pravilo 1:

n

BA

BABA

AAB 2

121

Pravilo 1:

BA

B

A

AB

nn

n21n21 ABABABBBBAAB Pravilo 2:


za desnata strana na diferencijalnata ravenka }e dobieme:

)],(,),,(),,([)],(,),,(),,([ 0)(

0)2(

0)1(

0)(

0)2(

0)1( tttttttttttt nn AAAA

Levata strana pak na dif. ravenka }e ima oblik:

)],(,),,(),,([)],(,),,(),,([ 000000

dddd

pa diferencijalnata ravenka mo`e da ja zapi{eme vo

)],(,),,(),,([)],(,),,(),,([ 0)(

0)2(

0)1(

0)(

0)2(

0)1( tt

dtdtt

dtdtt

dtdtttttt

dtd nn

pa diferencijalnata ravenka mo`e da ja zapi{eme vo oblik:

)],(,),,(),,([)],(,),,(),,([ 0)(

0)2(

0)1(

0)(

0)2(

0)1( ttttttttdttdttd nn AAA )],(,),,(),,([)],(,),,(),,([ 000000 ttttttttdtttdtttdt


Od ovde dobivame sistem od n diferencijalni ravenki vo matri~en oblik:

),(),( 0)1(

0)1( tttt

dtd A

),(),(

)()(

0)2(

0)2(

00

ttttdtddt

A

)()( )()( ttttd

dt

nn A

Dokolku sekoj od vektor-kolonite na fund. matrica ja zadovoluva j f j f

),(),( 0)(

0)( tttt

dtnn A

svojata diferencijalna ravenka, zaklu~uvame deka i samata funda-mentalna matrica }e ja zadovoli svojata diferencijalna ravenka.


Treba da se pokaè deka vaì ravenstvoto

),(),( 0)(

0)( tttt

dtd kk A

f j }

za (k=1, 2, . . . , n) ili deka e ),( 0)( ttk

edno re{enie na diferencijalnata ravenka, pa }e vaì i za vektor kolonite od fundamentalnata matrica da ja zadovoluvaat taa ravenka.r c d j d u r


Da pretpostavime sega deka edno re{enie na dadenata diferencijalna rav

Презентации Од Предавањата По ТС - Дел 1

Documents