第 16次课第五章 数组和广义表

教学目的和要求：1 、了解数组的组织形式。2 、了解广义表的概念和存储方式。重点和难点：1 、数组的组织形式。2 、广义表的存储方式和基本操作。授课时间： 6 学时

5.1数组的定义（了解即可）数组是我们最熟悉的数据类型，在早期的高级语

言中，数组是唯一可供使用的复合数据类型。由于数组中各元素具有统一的类型，并且数组元素的下标一般具有固定的上界和下界，因此，数组的处理比其它复杂的结构更为简单。多维数组是一维数组的推广。例如，二维数组： a11 a12 … a1 n

a21 a22 … a2 n

… … … …

am 1 am 2 … am n

数组一旦被定义，它的维数和维界就不再改变。因此，除了结构的初始化和销毁之外，数组只有存取元素和修改元素值的操作。

5.2数组的顺序表示多维数组在逻辑上是多维的，但是内存却

是一维的。因此多维数组在内存中要转化为一维存储。

有两种转换方式，一种是行优先方式，如C 语言、 Pascal 语言等。一种是列优先方式，如 Fortran 语言等。对于二维数组 A ：

1 2

3 4

其行优先存储 如下 :

A[0][0] 0 1

A[0][1] 1 2

A[1][0] 2 3

A[1][1] 3 4

列优先存储 如下 :

A[0][0] 0 1

A[1][0] 1 3

A[0][1] 2 2

A[1][1] 3 4

那么二维数组有下标 A[i][j] ，一维数组有下标 k ，则 k 与 i ， j 之间的关系如何呢？同理，三维数组、四维数组、多维数组呢？

以 C 语言为例：有二维数组 A[m][n] ，其在内存中的存储位置就是 A ，每个数组元素占用空间 L 字节，那么数组元素 A[i][j] 在内存中的存储位置 Loc （ A[i][j] ） = ？Loc （ A[0][0] ） =A ；A[0][1] 前面只有一个元素 A[0][0] ，所以：Loc （ A[0][1] ） =Loc （ A[0][0] ） +1*L

所以求 Loc （ A[i][j] ），必须求出 A[i][j] 前面有几个元素。第 0 行：有元素 n 个第 1 行：有元素 n 个…

第 i-1 行：有元素 n 个第 i 行： A[i][j] 前面共有 A[i][0]---A[i][j-1] j 个元素；所以： Loc （ A[i][j] ） =A+ （ n*i+j ） *L 。

元素个数满足下面的关系：

数组 A[m][n]待求元素： A[i][j]

每维元素个数： m n

待求元素的下标： i j

* +

5.3矩阵的压缩存储5.3.1 特殊矩阵

所谓特殊矩阵是指非零元素或零元素的分布有一定规律的矩阵，下面我们讨论几种特殊矩阵的压缩存储。

常见的特殊矩阵有：对称矩阵、三角矩阵、对角矩阵等。下面我们以对称矩阵为例来看特殊矩阵的存储方式。

在一个 n 阶方阵 A 中，若元素满足下述性质： aij=aji 1 i,j n≦ ≦则称 A 为对称矩阵。

如下图便是一个 5 阶对称矩阵。

1 5 1 3 7

5 0 8 0 0

1 8 9 2 6

3 0 2 5 1

7 0 6 1 3

对称矩阵中的元素关于主对角线对称，故只要存储矩阵中上三角或下三角中的元素，让每两个对称的元素共享一个存储空间，这样，能节约近一半的存储空间。不失一般性，我们按“行优先顺序”存储主对角线（包括对角线）以下的元素，其存储形式如图所示：

1

5 0

1 8 9

3 0 2 5

7 0 6 1 3

在这个下三角矩阵中，第 i 行恰有 i 个元素，元素总数为： n(n+1)/2

因此，我们可以按行优先次序将这些元素存放在一个向量 sa[0..n(n+1)/2-1] 中。为了便于访问对称矩阵 A 中的元素，我们必须在 aij 和 sa[k] 之间找一个对应关系。

K 恰好就是 sa[0]----sa[k-1] 个元素的个数

若 i j≧ ，则 aij 在下三角形中。 aij 之前的 i行（从第 1 行到第 i-1 行）一共有 :

1+2+…+i-1=i*(i-1)/2 个元素， 在第 i 行上， aij 之前恰有 j-1 个元素（即 ai1,ai2,…,ai,j-1 ），因此 ai,j 前就有： k=i*(i-1)/2+j -1 个元素 0 k<n(n+1)/2 ≦

若 i<j ，则 aij 是在上三角矩阵中。因为 aij=aji ，所以只要交换上述对应关系式中的 i 和 j即可得到： k=j*(j-1)/2+i-1 0 k<n(n+1)/2 ≦ 令 I=max(i,j) ， J=min(i,j) ，则 k 和 i, j 的对应关系可统一为： k=I*(I-1)/2+J -1 0 k<n(n+1)/2 ≦

因此， aij 的地址可用下列式计算： LOC(aij)=LOC(sa[k])

=LOC(sa[0])+k*d=LOC(sa[0])+[I*(I-1)/2+J-1]*d

有了上述的下标交换关系，对于任意给定一组下标 (i ， j) ，均可在 sa[k] 中找到矩阵元素 aij ，反之，对所有的 k=0,1,2,…n(n+1)/2-1 ，都能确定 sa[k] 中的元素在矩阵中的位置 (i,j) 。由此，称 sa[n(n+1)/2] 为 n 阶对称矩阵 A 的压缩存储 .

思考题：1 、给出数组 int A [5][4] ；当它在内存中按行存放和

按列存放时，分别写出数组元素 A[i][j] 的地址计算公式（设每个元素占两个存储单元）。

2. 已知 n 阶下三角矩阵 A( 即当 i<j 时，有 aij≠0) ，按照压缩存储的思想，可以将其主对角线以下所有元素 ( 包括主对角线上元素 )依次存放于一维数组 B中。请写出从第一列开始采用列序为主序分配方式时在 B 中确定元素 aij 的存放位置的公式。

3. A 是一个三对角矩阵、行数与列数相等，用压缩存储的方法将其压缩存储列一堆的数组 SA[1….3n-2]中（按行顺序存储），则 SA[K] 对应的矩阵元素的下标为：行值 I= （ ），列值 J= （ ），反过来，若知道 A 中元素的下标 I ， J ，则其存储住值置 K= （ ）。（写出表达式）