第 16 讲 lebesgue 积分的定义与性质

第第 1616 讲讲 LebesgueLebesgue 积分的定义与性积分的定义与性质质

目的：了解 Lebesgue 积分的科学意义，熟练掌握 Lebesgue 积分的定义及其基本性质。

重点与难点： Lebesgue 积分的引入及其性质。


基本内容：一． Lebesgue 积分的定义问题 1 ：分析 Riemann 积分的缺陷，我们应如何定义可测函数的积分？


到目前为此，一切准备工作就绪，我们可以来定义 Lebesgue 积分了。定义 Lebesgue 积分的方法有多种，其一是利用简单函数来定义，根据上一章，对 E上任一非负可测函数 f ，可以找到一列单调递增的简单函数，使得，而对每个简单函数，若

n fn n


则可自然定义的积分为：若此和式极限存在，则可定义该极限为 f

的积分，最后再过渡到一般的可测函数。第二种方法是如引言所说，找一串

,,,1)(

,,)()()(

)()(

nnj

ni

ni

nin

NijiEE

ExCx

n

nN

i

ni

ni mEC

1

)()( ,


序列，使记，讨论和式极限是否存在。还有一种办法，就是对 E 作任意划分：

记，然后象 Riemann 积分那样作对应于该划分的小

}{ il ,}{ 1 ii ll

)(,1

jiEEEE j

m

iii

)(inf xfbiEx

i )(sup xfB

iExi


和数与大和数，讨论相对于划分的加细，其大和数与小和数的极限是否相等。

本章将采用第二种做法。定义 1 设是测度有限的可测集， f 是

定义在 E 上的有界可测函数，即存在

m

iiimEb

1

m

iiimEB

1

nRE


，使若 D ：是的任一分点组，

则记

对任意 , 作和式

1, R ).,(}|)({)( ExxfEf

nio llla ],[

})(|{),1(max)( 11

kkkknk

lxflxEEkllD

kkkk ll 1,

n

kkkmEDS

1)(


称 S(D) 为 f 对应分点组 D 的一个“和数”。如果存在常数 A ，使得对任意

总有当任意分点组 D 满足时

换言之，则称 f 在 E 上是 Lebesgue 可积的，并称 A 为 f 在 E 上的

， 0

)(D，0

|)(| ADS

,)(lim0)(

ADSD


Lebesgue 积分，记作

有时为简便起见，也记，若，则记当是 Riemann 可积函数时，其 Riemann 积分仍沿用数学分析中的写法，记作，后面将会看

E

xdmxfA )()(

E

dxxfA )( ],[ baE

],[

.)(ba

dxxfA )(xf

ba dxxf )(


到，当 Riemann 可积时，必有

，由此可见 Lebesgue 积分确是 Riemann 积分的推广。

对的任意分点组 D ：可作两个特殊的和数为：

ba

badxxfdxxf )()(

],[

)(xf

],[ no llla 1

n

kkkk lxflxmElDS

11 })(|{)(


称，分别为 f 对应分点组 D 的“大和数”与“小和数”。显然对于 f 的任一和数，有

由此可见，极限存在当且仅当

n

kkkk lxflxmElDS

111 })(|{)(

)(DS )(DS

)(DS

)()()( DSDSDS

)(lim0)(DS

D


都存在且相等。正如 Riemann 积分一样，人们可能

会问，什么样的可测函数是 Lebesgue可积的呢？下面的定理说明：任一有界可测函数都是 Lebesgue 可积的。

， )(lim0)(DS

D )(lim

0)(DS

D


（ 2 ）有界可测函数的积分* 定理 1 设是测度有限的可测集， f 是

E 上的有界可测函数，则 f 在 E 上 Lebesgue 可积。

证明：记 S 是相对于所有分点组 D 的“小和”的上确界，是相对于所有分点组的“大

nRE

S


和”的下确界，即。往证。首先证明，设

是两个任意的分点组，则

)(inf),(sup DSSSSSDD

SS

SS

mono lllDlllD ~~~:~,: 11

SDSSSS )(,)(


将 D 与 D 合并起来构成一个新的分点组，记为可以看成分点组 D 中又加进了一些分点，称为 D 的一个“加细”，假设对任意与之间加入了某些分点即于是

DD ,

1, klk kl ,~,~,~21 kjkkk lll

。kkjkkkkk llllll ~~~~

3211

n

kkkk lxflxmElDS

111 })(|{)(


n

kmm

kj

jmk lxflxmEl

k

111 }~)(~|{

n

kmm

kj

jmm lxflxmEl

k

111 }~)(~|{~

)()( DSDS

n

kmm

kj

jmm lxflxmEl

k

11 }~)(~|{~


类似地，于是这说明，相对于任一分点组 D 的加细，

n

kmm

kj

jmk lxflxmEl

k

11 }~)(~|{~

n

kkkk lxflxmEl

11 })(|{

)(DS)~()()()~( DSDSDSDS

)~()()()( DSDSDSDS

D


“ 大和”不增，“小和”不减，且中任一

数不超过中任一数，从而。再证。设 D 为任意的分点组，则由于故

)}({ DS

)}({ DS SS

SS

),()( DSSSDS

mEDlxflxmEll

DSDSSSn

kkkkk )(})(|{)(

)()(0

111


令时，则进而。最后，令，往证注意到，，故

0)( D ,0)()( DSDS

0 SS

SSS 。 )(lim0)(

SDSD

)()( DSSDS )()()( DSDSDS

,)()()()( mEDDSDSDSS

mEDDSDSSDS )()()()(


由此可见所以，即 f 有 E 上 Lebesgue 可积。证毕。（ 3 ）例例设

,)()()(|)(| mEDDSDSSDS

SDSD

)(lim0)(

D(x)则.理数x [0,1]当为中无 0

.理数x [0,1]当为中有 1D(x)


在 [0,1] 上 Lebesgue 可积，且事实上 , 对于任一分点组 , 若则，且对任意，有，而对其它的分点总有所以

。 0)(]1,0[

dxxD

。 : 1 no lllD

1})(|{ 1 kk lxflxmE

kkkk ll 1, )(|0||| Dkk

,1 ii ll

,0})(|{ 1 ii lxflxmE


令立得

不难看出，在 [0 ， 1] 上不是 riemann

可积的。所以， Lebesgue 可积函数类比Riemann 可积函数类要广。

),(|||)(| DDS k 0)( D

]1,0[

0)( dxxD

)(xD


二． Lebesgue 积分的性质问题 2 ：回忆 Riemann 积分的性质，

由此猜测 Lebesgue 积分应具有什么性质？


* 定理 2 设都是 E 上的有界可测函数，则（ i ）对任意

证明：从积分定义立知（ i ）是显然的。

)(),(, xgxfmE

,1Ra

EE

dxxfaxxaf )()(


（ ii ）若 E1 ，…， Em 是 E 的可测子集，

则

,),(1

m

iiji EEjiEE

E E Em

dxxfdxxfdxxf1

)()()(


证明：只需就 m=2情形证之，一般情形完全类似可证 .设是任意正数 ,D ：是任一分点组，使得 , 记 , 则令

nllla 10

)(D })(|{~1 iii lxflxEE

n

iiji EEjiEE

1,~),(~~


, 则分别构成 E1 与 E2 的一个划分，从而

2)2(

1)1( ~~,~~ EEEEEE iiii n

iinii EE 1

)2(1

)1( }~{,}~{

E

i

n

iii

n

iii EEmlEmldxxf )~~(~)( )2(

1

)1(

1

n

i

n

iiiii EmlEml

1 1

)2()1( ~~

n

i

n

iiiiii EmllEml

1 1

)2(1

)1(1

~)(~)(


由的任意性知

反之，由于

n

i

n

iiiiii EmllEmlmE

1 1

)2(1

)1(1

~~2

,)()(21 2 E E

dxxfdxxfmE

.)()()(21

E EE

dxxfdxxfdxxf

n

i

n

iii

n

iiiii EmlEmlEml

1 1

)2(

1

)1( ~~~


且

由的任意性得

.)()(21 EE

dxxfdxxf

n

i

n

iiiii EmlEml

1 11

~)(~

n

iii EmlmE

11

~

E

dxxfmE )(

.)()()(21

E EE

dxxfdxxfdxxf


综上 (ii) 得证。

证明：设，对任意，分别取中分点组 D ：

使得令

E E E

dxxgdxxfdxxgxf )()()()( iii

]~,~[)(],,[)( EgEf

0 ]~,~[],,[

~~~~~:~, 110 non lllaDllla

,)~(,)( DD


则是互不相交的有限个可测集，且，于是由（ ii ）知

， }~)(~,)(|{ 11 jjiiij lxgllxflxEE

mnjiijE,

1,}{

ji

ijEE,

E ji Eij

dxgfdxxgxf,

)())()((

mn

jiijji mEll

,

1,)~(


mn

jiijji mEll

,

1,11 )~2( －

mn

ji

mn

jiijjiji mElmElmE

,

1,

,

1,11

~2 －＝

mn

jiiii lxflmElmE

,

1,11 })({2＝

}~)(~{~,

1,11

mn

jijjj lxglmEl －

EE

dxxgdxxfmE )()(2


所以

再由的任意性得

另一方面，由 Lebesgue 积分定义及互不相交易知

E EE

dxxgdxxfmEdxxgxf )()(2))()((

E EE

dxxgdxxfdxxgxf )()())()((

ijE


故

再由

mn

ji E

mn

jiijji

ij

dxxgxfmEll,

1,

,

1,11 ))()(()~( －

E

dxxgxf ))()((

mn

jiijji

mn

jiijji mEllmEmEll

,

1,11

,

1,11 )~(2)~( －－

E

dxxgxfmE ))()((2


得

仍由的任意性得

mn

jiiii

mn

jiijji lxflmElmEll

,

1,1

,

1,11 })({)~( －

E E

m

jjj

dxxgdxxf

lxgljmEl

))()(

}~)(1{~1

E E E

dxxgxfmEdxxgdxxf ))()((2)()(


所以

证毕。

E E E

dxxgxfdxxgdxxf ))()(()()(

E E E

dxxgdxxfdxxgdxxf )()(())()((


(iv) 当时，证明令，则由 L-积分的定义显然有，再由(i),(iii) 知，

即。证毕。

].[.)()( Eeaxgxf E E

dxxgdxx )()(

)()()( xfxgxF ],.[.0)( EeaxF

0)( E

dxxF

E E E

dxxfdxxgdxxfxg 0)()())()((

E E

dxxgdxxf )()((


推论设且 f 是 E 上有界可测函数 , 则

证明：因为故由定理 1 的 (iii)、(iv) 得，即

,mE

dxfdxfEE

||| |

|,||| fff

E E E

dxffdxdxf ||||

。 |)(|)( EE

dxxfdxxf


作业： P166 1 ， 4

第 16 讲 lebesgue 积分的定义与性质

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