2000 – אפשטיין 2 חדו"א : 1 שאלה

fתהי n סדרת פונקציות המתכנסת במ"ש על קבוצה A לפונקציה f תהי .x0∈acc (A)-כך ש ,

limx→x0

f n (x )=an-הוכיחו ש .limx→x0

f (x)= limn→∞

an

פתרון:מכיוון שיש התכנסות במ"ש:

∀ ε>0 ,∃N 1∈N :∀ n≥ N1 , ∀ x∈ A ,|f n ( x )−f ( x )|< ε2לפי הגדרת הגבול:

∀n∈N ,∀ ε>0 ,∃N2∈N :∀ x∈(x0− 1N2

, x0+1N2

) ,|f n (x )−an|< ε2

N=maxנבחר {N1 , N2} ונבחר ,x∈(x0−1N

,x0+1N

, ונתבונן על:(

|f ( x )−an|=|f ( x )−f n ( x )+ f n ( x )−an|≤|f ( x )−f n ( x )|+|f n (x )−an|< ε2+ ε2=ε

ולכן:

limx→x0

f (x)=limn→∞

an

: 2 שאלה [ והוכיחו כי תנאי זה מספיק.a,b על ]fציינו תנאי הכרחי ומספיק ואינטגרביליות של א.

[. הוכיחו כי היא אינטגרבילית שם.a,b פונקציה מונוטונית על ]fתהי ב.

פתרון:סעיף א':

f:אינטגרבילית רימן אמ"מ היא מקיימת את תנאי דרבו

∀ ε>0 ,∃ δ>0 :∀ π : λ ( π )<δ ,¿ מקיימת את תנאי דרבו. נראה כי היא אינטגרבילית רימן. נשים לב לכך ש:fנניח כי

∑i=1

n

infx∈[ x i−1 , x i]

f (x )Δ xi−ε<∑i=1

n

¿x∈ [x i−1 , x i]

f (x )Δ x i<∑i=1

n

infx∈[ x i−1 , x i]

f (x )Δ x i+ε

לכן:

∀ {t i }i=1n

,∑i=1

n

infx∈ [ xi−1 , x i]

f (x)Δ x i−ε<∑i=1

n

f (t i ) Δ x i<∑i=1

n

¿x∈ [ xi−1 , xi ]

f (x)Δ x i<∑i=1

n

infx∈ [ xi−1 , xi ]

f (x)Δ x i+ε

נסמן:

I=∑i=1

n

infx∈ [ x i−1 , x i]

f (x)Δ x i

כך ש:

∀ {t i }i=1n

, I−ε<∑i=1

n

f (t i ) Δ x i< I+ε

סעיף ב': עולה(:fנתבונן הפרש בין סכומי דרבו )נניח בלי הגבלת הכלליות כי

©Noy Soffer 2013

¿ולכן, הפונקציה אינטגרבילית רימן.

: 3 שאלה

∫חשבו א. ( x11

x8+3 x4+2 )dx∑יהי ב.

n=1

∞

an טור מתבדר שכל איבריו חיוביים, ותהי Snסדרת הסכומים החלקיים. הוכיחו שהטור

∑n=1

∞ an

Sn

מתבדר.

פתרון:סעיף א':

∫ ( x11

x8+3 x4+2 )dx= ∫ ( x3− x3 (3x 4+2 )(x4+1 ) (x 4+2 ) )dx= x4

4− ∫

x3 (3 x4+2 )(x4+1 ) (x4+2 )

dx=[ t=x4+1

dx= dt4 x3

3 x4+2=3 t−1]= x4

4−14

∫ ( 3 t−1t (t+1 ) )dt= x4

4−14

∫ ( 4t+1−1t )dt= x4

4−ln (t+1 )+ lnt

4=

x4

4−ln ( x4+2 )+ ln (x4+1 )

4+c

סעיף ב':נשים לב לכך ש:

∑n=1

∞ an

Sn

=∑n=1

∞ an

∑k=1

n

ak

=∑n=1

∞

an∑k=1

n1ak

נתבונן על:

lim¿ N →∞∑n=1

N+1 an

Sn

∑n=1

N an

Sn

=1+aN+1

S N+1

>1

לכן, לפי מבחן המנה של קושי, הטור מתבדר.

: 4 שאלה

αמצא את כל הערכים של ,β עבורם קיים הגבול lim( x , y )→(0,0 )

xα+β

x2+ y2

פתרון:אם הגבול הכפול קיים, אז בפרט הגבולות החוזרים קיימים ושווים. נדרוש זאת:

limy→ 0

limx→ 0

xα+β

x2+ y2= lim

y→ 00=0

limx→0

limy→0

xα+β

x2+ y2=lim

x→0

xα +β

x2=lim

x→0xα+β−2=0⇔α+ β>2

©Noy Soffer 2013

, אזα+β>2נעיר שכאשר

| xα+β

x2+ y2|≤|xα+β

x2 |=|xα+β−2|→0

: 5 שאלה

∫חשבו א.0

12ln (1+x )

xdx 0.01 בדיוק של

∑בדקו התכנסות של הטור ב.n=1

∞

(1−nsin( 1n ))פתרון:

סעיף א':נשים לב לכך ש:

ln (1+x )=∑n=1

∞

(−1 )n−1 xn

לכן:

ln (1+x )x

=∑n=1

∞

(−1 )n−1 xn−1=∑m=0

∞

(−1 )mxm

לכן:

∫0

12ln (1+x )

xdx=∑

m=0

∞

∫0

12

(−1 )m xmdx=∑m=0

∞ (−1 )mxm+1

(m+1)=∑

m=0

∞ (−1 )m

2m+1(m+1)=∑

k=1

∞ (−1 )k−1

2m+1k מכיוון שזהו טור חזקות שמתכנס לפונקציה, לפי יחידות טור טיילור, זהו טור הטיילור של

הפונקציה. לכן, אפשר לחשב עד היכן צריכים לסכום כדי לקבל את הדיוק הרצוי לפי שאריתלגרנז':

|Rn ( x )|=| (−1 )n

2n+1 (1+ξ )n+1|≤| 1

2n+1( 32 )n+1|=| 13n+1|<10−2⇔3n+1>100⇔n+1>5⇔n>4⇔n≥5

לכן, עלינו לסכום את הטור עד לאיבר החמישי:

P5( 12 )= 14− 116

+ 148

− 1128

+ 1320

סעיף ב':הטור מתכנס אם ורק אם האינטגרל מתכנס, ולכן, נתבונן על:

∫1

∞

(1−xsin( 1x ))dx=∫1

∞

1dx−∫1

∞

xsin( 1x )dx=[ t=1x

t (0 )=∞ ,t (∞ )=0

dx=−dtt 2

]=∫1∞ 1dx−∫1∞ ( sintt 3 )dt=∫1

∞

( 1t 2

¿−sint

t 3)dt<∫

1

∞1t 2

dt<∞¿

לכן, האינטגרל מתכנס, ולכן, גם הטור מתכנס.

©Noy Soffer 2013

: 6 שאלה

fתהי א. n ( x )=e−(x−n )2

i.-[-בדקו אם הסדרה מתכנסת במ"ש בa,a לכל ]a>0ii.-בדוק אם הסדרה מתכנסת במ"ש בR

∫בדקו התכנסות של האינטגרל ב.0

π

( 11−sinx

)dx

פתרון:סעיף א':

ראשית נעיר כי:

∀ x∈R , limn→∞

e−( x−n)2=0= f (x)

, ע"י בדיקת הנגזרת:Rנחשב את הסופרמום על הסדרה ב-

f n' ( x )=−2 ( x−n ) e−(x−n )2

a−], אבל, בכל קטע סופי וסגור x=nהפונציה מקבלת קיצון )במקרה הזה מקסימום( עבור ,a],

x≠n כי ,n-אינסופי. אבל, כבר מכאן, ניתן לראות כי הסדרה לא מתכנסת במ"ש ב Rכי ניתן , , כך ש:x=nלבחור

f n ( x )−0=e−( n−n)2=1≠0 אבל בכל קטע סופי וסגור, לא ניתן להשתמש בטיעון זה, ולכן, נחשב מה קורה בכל קטע סגור

[−a ,a]:

בקטע(, ולכן, הפונקציה תקבלx לכל x<nנשים לב לכך בכל קטע סופי, הנגזרת חיובית תמיד )כי . נחשב:x=aמקסימום עבור

¿[−a ,a ]

¿¿

ולכן, בכל קטע סופי וסגור, יש התכנסות במ"ש.

סעיף ב':נפריד את האינטגרל:

∫0

π1

1−sinxdx=2∫

0

π2

11−sinx

dx=2∫0

π21+sinxcos2 x

dx=2∫0

π2

( 1cos2 x

+ tanxcosx

¿dx )=2 [ tanx ]0π2+2∫

0

π2

tanxcosx

dx=[t=cosx

dx=dt

−sinx

t (0 )=1 , t( π2 )=0]=2 [ tanx ]0π2+2∫

0

11

cos2tdt=2( [tanx ]0

π2−tan 1)=∞¿

©Noy Soffer 2013