– מבחן לדוגמא )פר' שירי ארטשטיין ופר' בוריס קוניאבסקי( 2 חדו"א : 1 שאלה

fחשבו את הקדומה של א. ( x )=sin (lnx)בתחום שבו היא מוגדרת

∫חשבו את האינטגרל המסויים ב.0

ln 2

√ex−1dx

פתרון:סעיף א':

נחשב:

∫ sin ( lnx )dx=[ t=lnxx=et

dx=etdt ]=∫ e t sintdt=[u=sint v=et

v '=et u'=cost ]=[et sint ]−∫ e t costdt=[u=cost v=e t

v '=e t u'=−sint ]=[e t sint−e t cost ]− ∫ e t sint dt

לכן:

∫ et sintdt=[ et sint−et cost ]

2=

x ( sin (lnx )−cos (lnx ) )2

סעיף ב':נחשב:

∫0

ln 2

√ex−1dx=[ t=ex

dx=dtt

t (0 )=1, t ( ln2 )=2]=∫12 √ t−1t

dt=∫0

1 √uu+1

du=[ v=√udv= du

2√udu=2√udv ]=∫01 2 v2v2+1

dv=∫0

1

(2− 2v2+1 )dv=[2v−2arctan (v ) ]0

1=2−2arctan (1)

: 2 שאלה

g∈R∄הוכיחו כי א. (T ) :∀ f ∈R (T ) , g∗f =2 f

g∈R∄הוכיחו כי ב. (T ) :∀ f ∈R (T ) , g∗f =f +3

פתרון:סעיף א':

אם הטענה הזו נכונה, אז היא נכונה בפרט עבור גרעין דיריכלה, כלומר:

∑n=−N

N

g (n )e inx=SN (g(x ))=g∗DN (x)=2DN(x )= ∑n=−N

N

2e inx

לכן, מיחידות טור פורייה:

∀n∈N , g (n )=2↛� 0בסתירה ללמה של רימן-לבג.

סעיף ב':, כלומר:f(x)=1אם הטענה הזו נכונה, אז היא בפרט נכונה עבור

(g∗f ) ( x )= 12π

∫0

2π

g (t )⋅1dt=1+3=4

©Noy Soffer 2013

, סתירה! ולכן, לא קיימת פונקציה כזו.0, ולכן, האינטגרל הזה הוא 2π מחזורית gאבל

: 3 שאלה

∑נתון הטור n=0

∞

an cosnx כאשר ∑n=0

∞

an=∞ -ו an≥0-0 מונוטונית יורדת ל.

]הראו כי הטור מתכנס במ"ש בקטע א. π2, π ]

0,2)הראו כי אין התכנסות במ"ש בקטע ב. π)

פתרון:סעיף א':

היא חסומה ובעלת סכומים חלקיים חסומים:cosnxראשית, נשים לב לכך ש-

∑n=0

N

cos (nx )=12+ 12∑

n=−N

N

einx=12+ 12DN ( x )=1

2+sin((N+

12 )x )

2sin( x2 )<2

an וכי הסדרה

] ואי-שלילית, ולכן, לפי משפט אבל, הטור מתכנס במ"ש בקטע 0יורדת מונוטונית ל- π2, π ]

סעיף ב':

0,2)נניח בשלילה שיש התכנוסת במ"ש בקטע π):אזי, מקריטריון קושי .

∀ ε>0 ,∃N∈N :∀m ,n≥N , ∀ x∈ (0,2π )|∑k=n

m

ak cos (kx )|<ε

M∈Nנבחר :∑k=N

M

ak>2 ε וגם נבחר ,x∈ (0,2π ) :∀ k∈ [N ,M ] ,cos ( kx )> 12

כך ש:

¿x∈(0 ,2π )

¿∑k=n

m

akcos (kx )∨¿|∑k=N

M

ak cos (kx )|>ε

: 4 שאלה

fנתונות , g∈R (T ∀, כך ש- ( n∈N , f (n )n23=g (n)

מתכנס בהחלט ובמ"שfהראו כי טור פורייה של א.

.fמתכנס ל-f רציפה. הראו כי טור פורייה של fנתון בנוסף כי ב.

פתרון:סעיף א':

נשים לב לכך ש:

©Noy Soffer 2013

f (n )n23

n23

=12 (( f (n )n

23 )2

+ 1

n43 )=12 ( g (n ) )2+ 1

n43

¿

לכן:

∑n=−∞

∞

f (n ) e inx=12 ( ∑n=−∞

∞

( g (n ) )2 einx+ ∑n=−∞

∞einx

n43 )

∑נעיר כי n=−∞

∞

( g (n ) e טור מתכנס לפי שיוויון פרסבל, וכי 2( inxסדרה חסומה, ולכן לפי משפט

דיריכלה, הטור הראשון מתכנס.

∑באופן דומה n=−∞

∞1

n43

מתכנס, ולכן, לפי דיריכלה, הטור השני מתכנס. לכן, יש התכנסות.

סעיף ב': רציפה, לפי משפט שלמדנו בכיתה, טור פורייה חייבf מתכנס, ו-fמכיוון שטור הפורייה של

להתכנס לפונקציה עצמה.

: 5 שאלה

f תיבה פתוחה, ונניח כי A⊂Rnתהי א. : A↛R דיפרנציאבילית, והגרדיאנט לה חסום. הוכיחו כי f רציפה במ"ש

gנתונה פונקציה ב. :A↛R דיפרנציאבילית ברציפות, והדיפרנציאל שלה לא חסום. האם נובע כי g רציפה במ"ש?

פתרון:סעיף א':

=δ. נבחר ε>0יהי εM

x1, ויהיו , x2∈ A :||x1−x2||<δ:נגדיר .

g ( t )=f (x1+t (x1−x2 ))לפי כלל שרשרת:

g' (t )=∇ f (x1+ t (x1−x2 ))(x1−x2)

המקיים:t∈(0,1)נשתמש במשפט לגרנז' כדי לבחור

g' (t )=g (1 )−g (0)אזי:

|f (x1 )−f (x2 )|=|g (1 )−g (0 )|=|∇ f (x1+t (x1−x2 )) (x1−x2 )|< MεM

=ε

רציפה במ"ש לפי ההגדרה.fולכן,

סעיף ב':לא!

©Noy Soffer 2013

fניקח למשל ( x )=1x

. זו פונקציה דיפרנציאבילית ברציפות בקטע עם דיפרנציאל(0,1) בקטע

f ' ( x )=−1/ x2 לא חסום, אך רציף, אבל f.לא רציפה במ"ש בקטע

©Noy Soffer 2013