חדו"א א'(20406)

דף נוסחאותv1.2

כתב: שרון סעדון

לתגובות:

sharonsaa@gmail.com

מתמטיקהנוסחאות הכפל המקוצר

חוקי חזקות ושורשים

כשמעלים בריבוע נוספים פתרונות, לכן חייבים לבדוק במשוואה המקורית איזה פתרונות נכונים

השלמה לריבוע

X2 + 10x + 7 X2 + 2*5x + 7 (x + 5)2 -25 + 7 (x + 5)2 -18

פישוטים

1__________________________________________________

ex+e-x ex

_____________________________________________________________

(ex)2+1

תרגיל כזה כדי לפשט ניתן (לדוגמא exלהכפיל ב

בשביל למצוא קדומה)

ax 2+bx+c=0

x1 ' 2=−b±√b2−4ac2a

abc

=ab⋅c

abc

=a⋅cb

abcd

=a⋅db⋅c

(a+b )2=a2+2ab+b2

(a−b )2=a2−2ab+b2

(a−b ) (a+b )=a2−b2

(a+b )3=a3+3a2b+3ab2+b3

(a−b )3=a3−3a2b+3ab2−b3

a3+b3= (a+b ) (a2−ab+b2)a3−b3=(a−b ) (a2+ab+b2 )

( ab )m=a

m

bm

(a⋅b )m=am⋅bm

m√ab=m√a⋅m√bm√ab =

m√am√b

n√am=amn

a√a

=√a ( ab )−n

=( ba )n

a−m= 1am

a0=1

(am )n=am⋅n

am

an=am−n

am⋅an=am+n

כפל בצמוד

אנו משתמשים בנוסחאת הכפל המקוצר

  ומקבלים את התוצאה הבאה

אי שוויוןדגשים

הכפלה\חילוק במינוס גורמים להיפוך הסימן של אי השיוויוןאסור להעלות בחזקה זוגית.כפל בהצלבה מותר רק אם יודעים שהמשתנים במכנה חיוביים.אסור להכפיל\לחלק במשתנה שלא יודעים את הסימן שלו

(כי אז0במקרה שלא ידוע האם המשתנים חיוביים או שליליים, כדי למנוע מצב שאחד מהם קטן מ

יכול להיות שצריך להפוך את כיוון האי שוויון), אז מכפילים את שני האגפים ב שני המכנים בריבוע.

מכנה משותף

מחשבון – 3אסור לכתוב מספרים עם שבר- לדוגמא½X 3 מבחינת המחשבון זה½ * X

פונקציותLOG

Loga(x)=p ap=x

baba lnlnln

baba lnlnln

bnb n lnln

1

0

00

מצבלא מוכרע

:ln תכונות של

Ln(x) =p Loge(x)=p ep=xLn(1)=0Ln(e)=1Ln(1/e)=-1Ln(e2)=2Ln(x-1)= -Ln(x)Ln(ex)= x

(Ln(x))' = 1/x(Ln(g(x)))' = (1/g(x)) * (g(x))'

Lim:בשילוב אינסוף

דוגמא

e=2 .718

log a x=loge xlogea

= ln xln a

ln∞=∞ln 0=−∞ln e=1ln 1=0a=e ln a

0⋅∞∞−∞1∞

num∞ =00∞ =01∞ =0

נגזרותמשוואת הנגזרת:

y-y0=m(x-x0)

נגזרת:

הנוסחאות לא נכונות, x2* במקרה שזה צריך לעשות חישוב מלא

ניתן להוציא גורם קבוע מחוץ לסימן הנגזרת

(Cf)'=c*f'

אם יש בפונקציה ערך מוחלט חובה לבדוק את הנקודהx=0כדי לוודא שיש גזירות באותה הנקודה

f ' ( x )=limΔx→0

f ( x+Δx )− f ( x )Δx

(xn )1=n⋅xn−1y=loga x

y '=1x⋅ln a

f (x )=√x

f ' (x )=12√ x

y=ex

y '=ex f (x )=g (x )⋅h( x )

f ' (x )=g ' (x )⋅h (x )+g (x )⋅h ' (x )

f (x )=g (x )

h(x )

f ' (x )=g ' (x )⋅h (x )−g( x )⋅h ' (x )

h(x )2

y=ax

y '=ax⋅ln ay=ln x

y '=1x

180 נגזרת של הטלאה - המשפט בעמוד

במידה ש-xהפונקציה גזירה לכל יש רציפות לפני, אחרי ובנקודת ההטלאה הפונקציה גזירה לפני ואחרי נקודת ההטלאה הLim של xששואף לנק' ההטלאה של שתי הנגזרות שווים

(אם יוצא שווה אז זו הנגזרת).דוגמא-

x=0| בנקודה y=x*|xמצא את הנגזרת של

0בודקים גבול לפני ואחרי נקודת ההטלאה – יוצא – 0אז הנגזרת היא

נגזרת של פונקציה מורכבת:

)' בכלל השרשת לf(g(x)) מותר להשתמש רק אם g'(x) ו f'(g(x))גזירות xבנקודת

(eg(x))`=(g(x))' * eg(x)

דוגמא לפונקציה מורכבת פעמיים

f ( g(x ) )=f ' (g (x ) )⋅g ' (x )y=eg( x )

y '=egx⋅g ' ( x )

y= ln (gx )

y '=g ' (x )

g (x )af (x )

af (x )⋅ln a⋅f ' ( x )

חקירת פונקציה (כרך א') ניתן לראות שבקטע סגור חייב248 בעמוד 4.6.4בקטע סגור - בטבלה

להיות מינימום ומקסימום. 4.6.2בקטע פתוח - בטבלאות 4.6.3 (כרך א') ניתן לראות עבור איזה252 בעמוד

סוגי פונקציה יש קיצון מקומי \ מוחלט.

או ש- בתנאי ש- הנחהF'(x)>0 Fעולה F'(x)<0 Fיורדת

F'(x)עולה F''(x)>0 * (בקיצון - נקודת מינימום) Uקמורה - F'(x)יורד F''(x)<0 * (בקיצון - נקודת מקסימום) קעורה - ח

עולה אוF'(x), אם כלול, צריך לבדוק אם F''(x) =0בתנאי שלא כלולה בקטע זה נקודה שבה *יורדת

דגשים

אם פונקציה לא רציפה בנקודה מסוימת אז היא גם לא גזירה באותה הנקודה מותר להפעיל אריתמטיקה של נגזרות רק אם כל האברים גזירים

| (במקרה כזה צריך לחשב לפי הגדרתg(x)=x*|xלדוגמא אי אפשר ב – הנגזרת)

כדי למצוא אם נגזרת מתאפסת מבלי לחשב מתיf'(x)=0:יש שתי שיטות o'בעזרת משוואת ערך הביניים – ליישם על הנגזרת – למצוא נק' ב + ונק

ב –o אם יש שתי נקודות שוות252בעמוד 4.6.3 ו 4.6.2בעזרת הטבלאות –

שואף לאינסוף משניf(x) אז הנגזרת מתאפסת, או אם כש f(x)ב הצדדים אז הנגזרת מתאפסת איפשהו בדרך (בתנאי שהקטע רציף-

לדוגמא מכנה לא מתאפס) 0 (שווה ל- 0שורשים של פונקציות– נקודות שבהם הפונקציה מצטלבת עם.(אין קשר בין כמות השורשים למספר הפעמים שפונקציה מתאפסת( פונקציה

יכולה להתאפס מבלי שיהיה שורש, יכול גם שיהיה שורש מבלי שהפונקציהתתאפס)

נקודת פיתול – מעבר מקעורה לקמורהFעל קיצון אומרת האם הוא מקס או מינ ''

קיצון מקומי

– תנאי הכרחיf'(x) לא קיימת או ש f'(x)=0 כשX0 חשודה כקיצון, אם ב X0 הפונקציה רציפה, וגם לפני ואחרי X0 ,יש גזירות

אז-o – הפו' עולה לפני ויורדת אחריMAXo – הפו' יורדת לפני ועולה אחריMIN

אינטגרליםאינטגרלפתרוןתנאי

x + C ∫ 1 dx ax + C ∫ a dx

n≠1+ C xn+1 ________________________________

n+1 ∫ xn dx

ln(|x|) + Cdx 1____________________

x ∫

a≠0ln(|ax + b|) + C 1 \________________

adx 1______________________________________________

ax+b ∫ ex + C ∫ ex dx

a≠0+ C eax ____________________

a ∫ eax dx

a>0,a≠1+ C ax

_______________________________________

ln(a) ∫ ax dx

x *ln(x) - x +C ∫ ln(x) dx -cos(x) + C ∫ sin(x) dx sin(x) + C ∫ cos(x) dx -ln(cos(x)) + C ∫ tan(x) dx tan(x) + C ∫ sec2(x) dx

sin(2x) + C 1________________

4x - 1

__________________

2 ∫ sin2(x) dx

sin(2x) + C 1_______________

4x+ 1 _________________

2 ∫ cos2(x) dx

tan(x) - x + C ∫ tan2(x) dx -cot(x) + C ∫ csc2(x) dx Sec(x) + C ∫ sec(x)*tan(x) dx

arcsin(x) + Cdx 1__________________________________________________

√1-x2 ∫

arcsinh(x) + Cdx 1__________________________________________________

√1+x2 ∫

a≠0) + Cx____________

aarcsin(dx 1_________________________________________________________

√a2-x2 ∫

arctan(x) + Cdx 1_________________________________________________________

x2 +1 ∫

) + C x_________________

aarctan( 1 _________________

adx 1___________________________________________________________

a2+x2 ∫ x* arcsin(x) + √1-x2 + C ∫ arcsin(x) dx x* arccos(x) - √1-x2 + C ∫ arccos(x) dx

ln(1+x2) + C 1____________________

2 x* arctan(x) - ∫ arctan(x) dx

חוקים 5.9.1אם פונקציה רציפה בקטע אז יש לה קדומה (משפט( כשפותרים בשיטת ההצבה אז את הdxאפשר להמיר כבלוק רק אם הבלוק הוא הכפלה

.du ב sinxdx) אי אפשר להחליף את cosx-sinx(dxשל הפונקציה(לדוגמא בתרגיל הזה:

אינטגרלפישוט האנטגרלC ∫f dx∫ Cf dx∫f dx + ∫g dx∫(f + g)dx∫f dx - ∫g dx∫(f - g)dxf * g - ∫f' * g dx∫f * g' dx

פונקציה קדומה של הטלאהמוצאים את הקדומה לכל צד.1)c1,c2 הקדומה רציפה (בעזרת Cמוצאים עבור איזה קבוע .2מוודאים גזירות בנקודת ההטלאה.3

אינטגרל מסוייםכשמחשבים אינטגרל מסוים בשיטת ההצבה

oצריך לעדכן את הגבולות החדשים באינטגרל על פי ערכי ההצבהo.לא צריך לחזור מההצבה לערך המקורי

שטח של פונקציהx1,x2,x3), לדוגמא y=0מוצאים את הנקודות שבהם יש שורש(.1

מציירים גרף (לא מדויק) שבו ע"י שיטת ההצבה רואים באיזה חלקים הפונקציה.2חיובית ובאיזה שלילית

מוצאים את הפונקציה הקדומה.3, F(x1), F(x2), F(x3)מחשבים כל שטח בנפרד .4מסכמים את השטחים.5

אינטגרציה בחלקים

U.בדרך כלל בוחרים את החלק שיותר קשה לבצע עבורו אנטגרל

דוגמא: השטח שונה)sin(בגלל הכפל בכל מחזור של

התכנסות אינטגרל !!!0* מתאים רק למקרה שהגבול התחתון גדול מ

עד1 ומ 1 עד 0 צריך לחלק לשני אינטרלים נפרדים, מ0 במקרה שהגבול התחתון הוא אינסוף.

הגבול הוא סופיאינטגרל מתכנס הגבול הוא אינסוףאינטגרל מתבדר (לא מתכנס)

האנטגרלהערך של האנטגרלהתכנסותPהערך של

p>1מתכנסa=11/(p-1)∞

∫1/xpdxa

(a>0)

a>0,a≠1??P<=1מתבדר∞

:יש לנו פונקציה מבחן ההשוואה f(x)אפשר להביא אינטגרל שיראה כאינטגרל הרמוני ואז לדעת האם מתכנס או מתבדר:

כך ש:)x(gצריך למצוא :)f)xכדי להוכיח ש

f(x)≤g(x)מתכנס

f(x)≥g(x)מתבדר

מתכנס.f מתכנס אז גם האינטגרל של gאם האינטגרל של - מתבדר.g מתבדר אז גם האינטגרל של fאם האינטגרל של -

אסימפטוטות:Y - המקבילה לציר ה-אסימפטוטה אנכית

הסבר לשאלה למה אין אסימפטוטה אנכית-

לדוגמה:

X =1 , X =-3האסימפטוטות:

אסימפטוטה זו היא כמו קיר שאותו הפונקצייה לא יכולה לעבור בשום פנים. בשרטוט הפונקצייה נתייחס אליה כאלשני חלקים שונים, האחד לפני האסימפטוטה והשני לאחריו.

X - המקבילה לציר אסימפטוטה אופקית תתקיים אך ורק בפונקציה רציונאלית.Xאסימפטוטה אשר מקבילה לציר ה-

ישנם שלושה דרכים לגלות את האסימפטוטה האופקית: במכנה X במונה גדול יותר מאשר המעריך הגבוה ביותר של ה-Xאם המעריך הגבוה ביותר של ה- .1

אז אין אסימפטוטה אופקית.לדוגמה:

במונה X יותר גבוה מאשר המעריך הגבוה ביותר של ה-Xאם במכנה המעריך הגבוה ביותר של ה- .2.Y=0האסימפטוטה היא

לדוגמה:

.Y=0יש אסימפטוטה

במכנה X במונה שווה למעריך הגבוה ביותר של ה-Xאם המעריך הגבוה ביותר של ה- .3אז האסימפטוטה היא המנה בין המקדמים של אותם מעריכים.

לדוגמה:

2 = 8 / 4יש אסימפטוטה = היחס בין המקדמים:

אסימפטוטה אופקית

לפונקציה "מותר" לעבור את האסימפטוטה, לאסימפטוטה יש השפעה על הפונקציה אך ורק בקצוותיה, בקצוותהפונקציה לפונקציה "אסור" לעבור את האסימפטוטה והיא תמיד תשאף להגיע אליה.

לדוגמה:

אך בקצוותיה של הפונקציה היא לא עוברת אתY=2שימו לב כי הפונקציה חותכת את האסימפטוטה האסימפטוטה אלא רק שואפת להגיע אליה.

* יכול להיות שכהפונקציה תשאף ל ∞ אז האסימטוטה תהיה בעל ערך שונה מאשר שכשהיא תשאף ל ∞-

כלל לופיטל

כללים והתנאים לקיומם

תוצאה תנאי כלל מספר סוגשווה ל +,-,*,/. של הגבולות הגבול של +,-,*,/. של פונקציות

אריתמטיקה שלגבולות 2.5.1 גבולות

f(c) ,מוגדר lim(f(x)) כש xcקיים f(c) = lim(f(x)) כש xc הגדרת רציפות 2.7.1 רציפות

פונקציה רציפה +,-,*,/. על פונקציות רציפות אריתמטיקה של

רציפות 2.7.3 רציפות

fog רציפה ב c g רציפה ב c ו f רציפה ב g(c) הרכבה של רציפות 2.7.6 רציפותf(b) ל f(a) שבין yעובר בכל הנקודות של f[ רציפה בקטע סגור a,b] משפט ערך הביניים 2.7.9 ערך ביניים

קיים שורש רציפות + שוני סימן שורשים 2.7.10 ערך בינייםcf(x)גזירה f(x)גזירות + קבוע גזירה 3.3.3 גזירות

f±g , f*g , f/g גזירות ב x f -ו g גזירות ב x אריתמטיקה של

גזירות 3.3.5 ,3.3.6 גזירות

fog רציפה ב x g גזירה ב x ו f גזירה ב g(x) כלל השרשרת 3.5.2 גזירות

f גזירה ב x0F רציפה ב x0 ,-וlim(f)

שווים מימין ומשמאל x0בנקודה תנאי מספיק לגזירות

בנקודה משפט

180בעמוד גזירות

fשל קצות הקטע שוני סימן, יש קיצון מקומי ' f) רציפה ב a,b( מבחן הנגזרת הראשונה 4.3.6 קיצוןאסימפטוטה אנכית f רציפה ב x0, f'(x0)-∞ / ∞ משיק אנכי שואף ל 4.5.1 אסימפטוטה

יש מינימום ומקסימום [a,bרציפות בקטע סגור ] משפט הערך הקיצון 4.6.4 קיצוןהקיצון נמצא באחת הנקודות הקריטיות )a,bאם יש קיצון ב קטע פתוח ( משפט 4.6.5 קיצון

זה הקיצון המקומי המוחלט בקטע קיצון מקומי יחיד בקטע משפט 4.6.6 קיצוןf'(c)=0

(הנגזרת מתאפסת)f) גזירה ב a,b[ ורציפה ב (a,b,]

f(a)=f(b)=0וגם משפט רול 4.9.1 נגזרת

f'(c)=(f(b)-f(a)) / (b-a) f) גזירה ב a,b[ ורציפה ב (a,b] משפט הערך הממוצע 4.9.2 ממוצעF קדומה של f F'(x)=f(x) לכל x פונקציה קדומה 5.2.1 קדומה

f±g,אינטגרבילי cfאינטגרבילי

f -ו g[ אינטגרביליות ב a,b ,]cקבוע כלשהו

אריתמטיקה שלאינטגרל 5.6.5

האנטגרלהמסויים

[a,b בקטע ]f(x)>0א. גם השטח של

g(x) גדול מהשטח של f(x)ב. גם השטח של [a,b בקטע ]

[,a,b אינטגרבילית ב ]fא. f(x)>0[ מתקיים a,b ב ]x לכל

[,a,b אינטגרביליות ב ]g ו-fב. f(x)>g(x)[ מתקיים a,b ב ]x לכל

אי שוויונות ביןאינטגרלים מסויימים

5.6.7 האנטגרלהמסויים

[a,b אינטגרבילית ב ]fא.

[a,b אינטגרבילית ב ]fב.

[a,b אינטגרבילית ב ]אינה fג. .

רציפהfעבור [, ורציפה.a,b מוגדת בכל נקודה ב ]fא.

לא רציפהfעבור לא שואף y[ (a,b חסומה ב]fב.

לאינסוף), ויש מספר סופי של אי רציפות.

שואף y[ (a,b חסומה ב]אינה fג. לאינסוף).

תנאים לאינטגרביליות 5.6.9אינטגרביליו

ת

ניתן לחשב שטח של האינטגרל מסוייםf[ רציפה ב a,b]

F היא קדומה של f[ ב a,b]

המשפט היסודי הראשון של החשבון הדיפרנצילי

והאינטגרלי5.7.1

האנטגרלהמסויים

[a,b בקטע ]fהערך של הקדומה של *b-a (f(c)הוא (

f[ רציפה ב a,b]C) נקודה בקטע a,b(

משפט הערך הממוצעלאנטגרל

5.7.2 אנטגרל

f שווה ל fנגזרת של קדומה של (הנגזרת מבטלת את הקדומה)

fרציפה המשפט היסודי השני

של החשבון הדיפרנציליוהאינטגרלי

5.9.1 אנטגרל

טריגונגזרות של טריגו

גרפים

מחזור

Sin(x) 2πSin(bx +c) 2π/b

- על הגובה אי אפשר להשפיע -Bמשפיע על על המחזור -C משפיע על מיקום הגל לדוגמא sin(x+ π/2) כש x=0 0 במקום 1 יהיה

Radiansהמרת מעלות ל1 rad = 180º/π = 57.295779513º

α(degrees) = α(radians) × 180º / π

ל מעלותRadiansהמרת 1º = π/180º = 0.005555556π = 0.01745329252 rad

α(radians) = α(degrees) × π / 180º

טבלת המרה

זהויות

וcos2(x)שיטה להיפתר מחזקה ב sin2(x)

1+cos(2α)=2cos2 α1-cos(2α)=2sin2 α

חישובים בסיסיים

מעגל היחידה

סדרותגבול של סדרה

11.1.2

סדרה מונוטונית

כללים והתנאים לקיומם

סדרותתוצאה תנאי כלל מספר

Lהסדרה מתכנסת ל L,מספר סופי=

גבול של סדרה

)(לא 11.1.2

א. קיים חסם

ב. לא קיים חסם

n לכל an≤Mא.

ב.

התכנסות של סדרות מונוטוניות

(חסם מלעיל)11.2.2

א. קיים חסם

ב. לא קיים חסם

n לכל an≥Mא.

ב.

התכנסות של סדרות מונוטוניות

(חסם מלרע)11.2.3

(כל האיבר חיוביים)טורים חיוביים

תוצאה תנאי כלל מספרn=0אם הגבול התחתון

טור גיאומטרי 11.3.3

לא ידוע (מתבדר\מתכנס) הטור א.

מתבדרהטור ב.

א.

ב.

מבחן ההתבדרות 1.4.11.4.2

א. טור הסכום וההפרש גם מתכנסים

ב.

הם טורים מתכנסים ,א. אם

הוא קבוע שונה מאפסCב. אם

אריתמטיקה שלטורים 11.4.3

שניהם מתכנסים או שניהם מתבדרים

הוא טור שאבריו חיובייםאם ,∞)a יורדת ורציפה בקטע ]f(x)ו

מבחן האינטגרל 11.4.4

p>1 הטור מתכנס 0>p≤1 הטור מתבדר

k=1הגבול התחתון חייב להיות

Pהרמוני 11.4.5

הקטן מתכנסאם הטור הגדול מתכנס הגדול מתבדראם הטור הקטן מתבדר

הם טורים שאיבריהם אי ,אם שליליים, איברים של אחד ≤ האיברים של

השני.מבחן ההשוואה 11.5.1

הטור מתכנסp<1 אם הטור מתבדרp>1 אם הטור יכול להתכנס \ מתבדרp=1 אם

טור שאיבריו חיוביים.אם

מבחן המנה 11.5.2

שני הטורים מתכנסים \ וסופי אז p>0אם מתבדרים

מתכנס גם מתכנס ו p=0אם

הם טורים שאיבריהם ,חיוביים

מבחן ההשוואההגבולי

11.6.3

מתבדר גם מתבדר=+∞ ו pאם

)הערך של האיברים +,-,+,-.. או -,+,-,+..(טורים מחליפי סימן חיוביים

תוצאה תנאי כלל מספרהטור מתכנס

מידע-----

-)1(nan נקרא האיבר הכללי an נקרא החלק החיובי

אם הטור מקיים:an≥0. אם 1 היא סדרה יורדת (החל ממקוםan. אם 2

מסויים)

. אם 3

מבחן לייבניץלטורים מתחלפים 11.7.1

הטור מתכנסp>0אם

pטור הרמוני מחליף סימן(+,-,+,-..) או

(..+,-,+,-)

-

(לא כל האיברים חיוביים)טורים לא חיוביים

תוצאה תנאי כלל מספר

מתכנס בהחלטא.

מתכנס בתנאיב.

מתבדרג.

מתכנסא. אם הטור

מתכנס מתבדר ו ב. אם

גם מתבדר ו ג. אם מתבדר

התכנסות בהחלט 11.7.3

מתכנס בהחלט אז הטור p<1 אם

מתבדר אז הטור p=+∞ או p>1אם לא ידוע, צריך לבחור מבחן אחר.p=1 אם

0 שונים מ אם אבריו של מבחן המנה להתכנסות

בהחלט11.7.5