数学实验之十二迭代（ 2） --- 分形

中国科学技术大学数学系陈发来

实验内容

•什么是分形？•图形迭代•函数迭代•IFS迭代•分形的应用

1 、什么是分形

•分形发展简史 欧氏几何、解析几何、微分几何—正则

微积分，复变函数 --- 光滑 反例 1， Cantor 集合

0F

1F

2F

Cantor 集合 中点数不可数（比有理数还多！），但其区间长度为零！

反例 2， Weierstrass 函数

其中 1<s<2 且 ， W(x) 是处处连续、

处处不可微的函数。对应 s=1.4,

的图象是

F

0

)2( )sin()(n

nns xxW

1

2

反例 3 ， Van Koch 雪花曲线

大自然的不规则性：

树木花草、山川河流、烟雾云彩等是不

规则的。晶体的生长，分子的运动轨迹等也是不规则的。如何用几何来描述它？

B. Mandelbrot 观察到英国海岸线与 Van

Koch 曲线的关系，提出了一门描述大自

然的几何形态的学科 --- 分形 (Fractal)

英国的海岸线有多长？

• B. B. Mandelbrot

• 分形的特性

1 、具有无限精细的结构

2 、局部与整体的相似性

3 、具有非拓扑维数，并且它大于对应的

拓扑维数

4 、具有随机性

5 、在大多数情况下，分形可以用非常

简单的方法确定，可能由迭代产生。

• 分形的维数

1 、相似维数：设分形 F 是自相似的，即 F 由 m 个子集构成，每个子集放大 c 倍后同 F 一样，则定义 F 的维数为

例如，对于 Cantor 集，

对于 Van Koch 雪花曲线，

)log(/)log()( cmFd

3log/2log)( Fd

3log/4log)( Fd

•对于一条直线段，将它等分，每段长度为原来的 1/N ，共分为 N 段。

• 将一个正方形每边等分成 N 段，共有N^2 个小正方形。

• 将一个立方体每边等分成 N 段，共有N^3 个小立方体。

• 一般地，设一图形可分解为 m 个与之相似的子图形，每个子图形是原来的 1/c. 则图形的维数 D 满足： c^D=m.

2 、盒子维数：设 是有界集合，其中 R 是正方形。将 R 分成边长为 的子正方形。记 为子正方形中包含 F 中点的子正方形的个数。定义 F 的盒子维数为

例如，对于 Weierstrass 处处连续、处处不可微的函数，其分形维数为 s.

RF

)/1ln(

)(lnlim)(

0

NFd

)(N

• 分形的应用领域

1 、数学：动力系统

2 、物理：布朗运动，流体力学中的湍流

3 、化学：酶的构造，

4 、生物：细胞的生长

5 、地质：地质构造

6 、天文：土星上的光环

其他：计算机，经济，社会，艺术等等

2 、图形迭代生成分形

•给定初始图形 ，依照某一规则

对图形反复作用

得到图形序列 其极限图形是分形，作用规则 称为生成元。

R

,...1,0,1 kRFF kk

...,, 21 FF

R

0F

例如， Cantor 集的生成元是

Van Koch 雪花曲线的生成元是

其它实例

2 、 Minkowski “ 香肠”

3 、 Sierpinski地毯

4 、龙曲线

5 、 Hilbert曲线

6 、花草树木 (L系统）

•生物学家 Lindenmayer 提出。一个 L 系统可表示为一个有序的三元素集合：

其中： V 是一些运动过程集合， w 是初始形状， P 是生成式。

PwVG ,,

• 例如， F 表示向前距离 d, + 表示左转弯a,

- 表示右转弯， [ 表示压栈， ] 表示出栈。

FFFFFFP

FwFV

][][:

,]},[,,,,{

6 、花草树木 (L 系统）

3 、函数迭代产生的分形

用 Z 表示复数，定义在复平面上的函数 f(Z)称为复变函数。任意给定初始复数值 ，定义复数序列

对于什么样的初始值 ，复数序列收敛或有界？

}{ nZ

0Z

0Z

)1(,2,1,0),(1 nZfZ nn

• Julia集　 考虑复变函数迭代

固定复参数 c，使得迭代序列　　有界的初值 在复平面上的分布图形称为 Julia集，亦即

迭代序列 有界 }

)2(,1,0,21 ncZZ nn

}{ nZ

0Z

}{ nZ|{ 0ZJ c

• Mandelbrot集 固定初值 ，使得迭代序列（ 2）有界的参数 c 在复平面上的分布图形称为 Mandelbrot集。即 迭代序列 有界 } 记 则（ 2）变为

0Z

qipcyixZ ,

)3(21

221

qyxy

pyxx

nnn

nnn

}{ nZ|{0

cJ Z

• Julia 集的绘制方法：

1 、设定初值 p,q, 最大的迭代次数 N, 图形的大小 a,b, 及使用的颜色数 K.

2 、设定区域的界值

3 、将区域 　 分成 的网格，分别以每个网格点为初值 利用（ 3）做迭代。如果对所有的 都有 　　，则将象素 (i, j) 置为黑色。如果从某一步 n 开始，　　　　，则将象素 (i,j)置为颜色 n mod K 。

),2max( 22 qpM

],[],[ MMMMR ba),( 00 yx

Nn 222 Myx nn

222 Myx nn

４、 IFS 迭代产生分形• 混沌游戏　给定平面上三点 A, B, C 。再任意给定初始点 , 做下列迭代

,2/)(

,2/)(

,2/)(

1

CZ

BZ

AZ

Z

n

n

n

n

当掷出的硬币呈正面当掷出的硬币呈反面当掷出的硬币呈侧面

0Z

按上述方式迭代数百次，呈现极不规则的图形。故称为混沌游戏。

• IFS迭代 IFS--Iterated Function System 取定 n 个仿射变换

以及 n 个概率 任给初值 ，以概率 选取变换 进行迭代

则点集 的聚点集合称为一个 IFS吸引子。

nibZaZw iii ,...,2,1,)(

)1...(,..., 12,1 nn ppppp

0Z ip iw

}{ kZ

1 ( ), 0,1,...k i kZ w z k

• 用 IFS绘制分形的方法

１、设图形可视区域为

假设采用 L 级灰度的图像绘制，总迭代次数为 N 。

２、将 V 分成 　　的网格，格点为 用　　　　　　　　表示矩形区域。用　表示在 N次迭代中落入　 中点的个数。记 则象素 (i,j) 的灰度为

ba

],[],[ maxminmaxmin yyxxV

),( ji yx

],[],[ 11 jjiiij yyxxVij

ijV

ij maxLjiG ij /),(

• 一些实例

Cantor 树　3,2,1,3/)2()( jZZZw jj

3/1321 ppp

龙曲线1)(,1)( 21 sZZwsZZw

ispp 5.05.0,2/121

• 利用 IFS 迭代可以得到图象压缩的有效方法。对给定的图像，利用 IFS 迭代原理，确定一系列仿射变换 ，使得对任给的概率 ，由

确定的 IFS 的吸引子就是给定的图像。即要解 IFS 迭代的逆问题。

Niwi ,,2,1,

Nipi ,,2,1,

},{ ii pw

5 、分形欣赏

分形时装

分形音乐

•相关主页：• www.geocities.com

/SiliconValley/Haven/4386

• http://www.fractal.com.cn/fxiy/index.htm

分形影院

• http://www.fractal.com.cn/fxyy/fs/fs005.htm