บทที่ 2 ของไหลสถิตย (fluid...

215-241 กลศาสตรของไหล 1

อาจารยผูสอน: ดร.จันทกานต ทวีกุล บทที่ 2 : หนา 2-1

บทที่ 2 ของไหลสถิตย (Fluid Statics)

ของไหลจะถูกพิจารณาใหอยูในสภาวะ Static เมื่อ

1) ทุกๆ particles ของของไหลอยูในสภาวะ หยุดนิ่งไมมีการเคลื่อนที่ 2) ของไหลเคลื่อนที่ดวยความเร็วสม่ําเสมอ (uniform velocity)

ดังนั้น ในกรณี Fluid Statics จะไมมีการเคลื่อนที่สัมพันธระหวางชัน้ของของไหล ดังนั้น จะไมมี shear stress ; τ จะมีเฉพาะแรงโนมถวงและความดันเทานั้น

ในการศึกษาทางดาน Fluid Mechanics จะเกี่ยวของกับแรง 2 ประเภท คือ Surface forces และ Body forces.

1. Surface forces หมายถึง แรงตาง ๆ ที่กระทําตอ Boundary (เสนแสดงขอบเขต)ของของไหล มีลักษณะสัมผัสโดยตรงกับผิวของ Boundary

2. Body forces หมายถึง แรงที่มีลักษณะไมสัมผัสโดยตรงกับผิวของ Boundary เชน แรงโนมถวง ( Gravitational force) และแรงเนื่องจากสนามแมเหล็กไฟฟา (Electromagnetic force) ที่เกิดขึน้ภายในของไหล

2.1 ความเคนท่ีจุดใด ๆ สําหรับของไหลอยูกับท่ี และการไหลที่ไมมีความหนืด พิจารณาแทงสามเหลี่ยมมุมฉากปรึซึมในสภาวะสมดุลจะไดวา

1. พิจารณาตามแนวแกน X ; ( )∑ = xx maF

=−+− αγβ cos2

cos2231

dxdydzdzdydxPdydzP xadxdydz

2ρ

P2dxdzP1dydz

yx

mg

P2P1

P3

P3 dx+dy .dz2 2

dx

dx

β

α

α

β θ



แต dx , dy และ dz มีคานอยมาก ดังนั้น 2

dxdydz 0→

22

cosdydx

dy+

=β

∴ P1 = P3 2. พิจารณาตามแนวแกน y ; ( )∑ = yy maF

จะได P2 = P3 สรุป : ความดันที่จุดใด ๆ ในของไหลทีอ่ยูกับที่หรือเคลื่อนที่ดวย Uniform velocity ที่

ไมมีความหนดืจะมีคาเทากนัทุกทิศทาง 2.2 สมการพื้นฐานสําหรับของไหลสถิตย พิจารณา Fluid element ขนาด dxdydz มีมวล dm อยูนิ่งกบัที่เมื่อเทียบกบั Coordinate x , y , z มี 0 เปนจุด center ของ element มีความดันกระทําอยูทุกทิศทาง (P)

• Surface Force : Fsd มีทั้งหมด 6 แรง กระทําตอแตละดานของ element สามารถเขียนแสดงในรูป Vector ไดดังนี้ ( ) ( )idydzdx

xPPidydzdx

xPPsFd −

∂∂

++

∂∂

−=22

( ) ( )jdxdzdyyPPjdxdzdy

yPP −

∂∂

++

∂∂

−+22

( ) ( )kdxdydzzPPkdxdydz

zPP −

∂∂

++

∂∂

−+22

รวมเทอม และจัดเทอมใหมไดวา

dxdydzkPjyPi

xPsFd

∂∂

−∂∂

−∂∂

−=2



dxdydzkzPj

yPi

xP

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=

กําหนดให grad

∂∂

+∂∂

+∂∂

≡∇≡zPk

yPj

xPiPP

Pz

ky

jx

i

∂∂

+∂∂

+∂∂

≡

จะไดวา ( ) ∀−∇=−∇= PddxdydzPsFd

• Body Force: BFd เกิดจากน้ําหนกัของ element dxdydzgdgdmgFd B ρρ =∀== total force ที่กระทําตอ fluid element คือ sFdFd B +

sFdFdFd B += gP

dFd ρ+−∇=∀

∴

แตจากกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน dmaFd ⋅=: เมื่อของไหลไมมีการเคลื่อนที่ 0: =a ; 0=∴ Fd

หรือ gPdFd ρ+−∇=∀

∴ = 0

จากสมการ Vector สามารถเขียนแยกเปนสมการยอยในแตละทิศทางไดดังนี ้

0

0

0

=+∂∂

−

=+∂∂

−

=+∂∂

−

z

y

x

gzP

gyP

gxP

ρ

ρ

ρ

ในกรณี Fluid Static : gx = gy = 0 และ gz = -g ซ่ึงจะพบวาในกรณีของ Fluid

Static ความดันจะมีคาเปลี่ยนแปลงตามแกน Z เทานั้น P = P(Z) γρ −=−==

∂∂

∴ gdzdP

zP



ขอจํากัดของสมการนี ้1) ใชไดในกรณี Fluid Static 2) Body Force มีเฉพาะแรงโนมถวงเทานัน้ 3) แกน Z ตองอยูในแนวดิ่ง และทิศทาง +Z มีทิศขึ้นดานบน

2.3 การเปล่ียนแปลงความดันในของไหลสถิตท่ีมีความหนาแนนคงท่ี จากหวัขอ 2.2 เราพบวาความดันในของไหล จะมีคา ขึ้นอยูกับตําแหนงในแนวแกน Z เทานั้น ซ่ึงเขียนเปน สมการไดวา g

dZdP ρ−=

ถา ρ และ g มีคาคงที่จะไดวา

∫ ∫−=P

Po

z

zo

gdzdP ρ

หรือ ( ) ( ) ghZZogZoZgPoP ρρρ =−=−−=− หรือ ghPoP ρ+= ถา =Po ความดันบรรยากาศ = Patm จะไดวา gPPoP =− : ความดันเกจ (gauge pressure) 2.4 Absolute Pressure and Gauge Pressure คาความดัน จะวัดจากระดับเปรียบเทียบ ระดับเปรียบเทยีบที่วามี 2 ระดับ คือ ความดันบรรยายกาศ และสูญญากาศ

1) ความดันทีว่ัดเปรียบเทียบกบับรรยายกาศ เรียกวา Gauge Pressure 2) ความดันทีว่ัดเปรียบเทียบกบัสูญญากาศ เรียกวา Absolute Pressure



ตัวอยาง จากรูปที่กําหนด จงหาคา Pgage วิธีทํา

Pa = Patm P2-P1 = γ(z1 - z2) จาก a ⇒ b Pb = Pa + γปรอท(0.6) = Patm + γปรอท (0.6) (1) จาก b ⇒ c Pc = Pb (ของไหลชนิดเดยีวกันทีร่ะดับเดยีวกัน) จาก c ⇒ d1 Pc = Pd1 + γน้ํา h1 Pd1 = Pc - γน้ํา h1 = Patm + γ(rปรอท (0.6) - γน้ํา h1 (2) จาก d1 ⇒ d2 Pd2 = Pd1 จาก d2 ⇒ e Pd2 = Pe + γน้ํา h2 Pe = Pd2 - γน้ํา h2 = Patm +γปรอท (0.6) - γน้ํา h1 – γน้ํา h2 = Patm + γปรอท (0.6) - γน้ํา (h1 + h2) = Patm + γน้ํา ( 13.6 x 0.6 – 3 ) (3) จาก e ⇒ G Pe = PG + γอากาศ (1) PG = Pe - γอากาศ เนื่องจาก γอากาศ มีคานอยมากเมื่อเทียบกับ γน้ํา PG = Pe = Patm + 50,619.6 Pa

Air

water

Gage

1 m

3 m

h 2

h 1 d 2

e

a

b 0.6 m

. . d 1

Patm

c

Hg



แตความดนัทีอ่านไดเปนความดันเกจ ดังนั้น PG,gauge = PG,absolute - Patm ∴ PG,gauge = 50,619.6 Pa หรือ (N/m2)

____________________________

2.5 การเปล่ียนแปลงความดนัตามระดับสําหรับของไหลสถติยท่ีมีความหนาแนนไมคงท่ี

ความสัมพันธระหวางความดัน และระดบัมีการเปลี่ยนแปลงอุณหภูมแิบบเชิงเสนตามระดับความสูง T2 = T1 + kz โดยที่ T1 = อุณหภูมิที่ระดับความสูงเปรียบเทียบ z = 0 k = อัตราการเปลี่ยนแปลงอุณหภมูิตามความสูง (Lapse rate) มีคาเปนลบ จาก PV = RT

γPg = RT

γ = RTPg

จาก T2 = T1 + kz

dT = kdz ⇒ dz = KdT

γ−=dZdP

KRTPg

KdTdP 1.−

=−=γ

TdT

KRg

PdP

−=

∫ ∫

−=2

1

2

1

P

P

T

T TdT

KRg

PdP

RKg

kZTT

PP

+

=1

1

1

2

\



ตัวอยาง อุณหภูมิของอากาศที่ระดับน้ําทะเลมีคา 150C และลดลง 10C ทุกๆ ความสูง 500 เมตร โดยที่คาคงที่ R ของบรรยายกาศมีคา 220 N.m/KgoK จงหาระดับความสูง เมื่อความดันมีคาเปน 30 % ของความดนัที่ระดับน้ําทะเล วิธีทํา จาก T2 = T1 + kZ T2 – T1 = kZ แทนคา -1 = 500 K จะได

5001

=k

จาก RKg

kZTT

PP

+

=1

1

1

2

( )

5001220

81.9

50015273

1527330.0

−

−++

+=

x

Z

Z = 7,570 m

__________________________ 2.6 แรงบนพื้นผิวระนาบที่จมในของเหลว

1) ระนาบในแนวนอน (Horizontal Plane Surface)

- พิจารณาแผนบางที่วางอยูในแนวนอน ในของไหลทีร่ะดับความลึก h - ขนาดของแรงที่กระทําบนดานใดดานหนึ่ง = F = PA

อีกดานหนึ่งมแีรงขนาดเทากันกระทําแตทิศทางตรงกันขาม เนื่องจากแผนมีขนาดบางจึง

ถือวาอยูที่ระดบัความลึก h เดียวกัน ดังนัน้แรงลัพธรวมที่กระทําตอแผนทั้งชิ้นมีคา = 0

h

A

P a tm



ในระนาบประกอบดวยพื้นทีเ่ล็ก dA ดังนัน้แรงยอยที่กระทําบน dA มีคา = PdA และมีทิศทางตั้งฉากกับ dA

ใหจดุ A คือจดุที่แรงลัพธกระทําตอระนาบและจุด C คือจุด Centroid ของระนาบ (1) โมเมนตรอบแกน y ได

PAxP = ∫ xPdA ถา P คงที่ xP = ∫ xdAA

1 = X

(2) โมเมนตรอบแกน x ได

PAyP = ∫ yPdA yP = ∫ ydAA

1 = Y

สรุปไดวา แรงลัพธจะกระทาํผานจุด C (Centroid) ของระนาบ

2) ผิวระนาบเอียง (Inclined Surface) ความดันจะแปรผันโดยตรงกับระดับความลึกของของเหลวซึ่งลักษณะการกระจาย

ของความดัน แสดงไดดังรูป

y

. .

x

y

C Cp

A xp x

dA

y yp

x

h2

h1



พิจารณาระนาบเอียงที่จมอยูในของเหลว ผิวของระนาบทาํมุม θ กับแนวระดับ

ให h คือระดับความลึก ที่จุดพิจารณาตางๆ y คือระยะทีว่ดัตามแนวเอยีงของระนาบ และเปนสัดสวนกับ h แรงลัพธที่กระทําผานจุดศูนยกลางความดัน (Center of Pressure , CP) คือจุดที่แรงลัพธ

กระทําผานในกรณีที่ระนาบจมอยูในของเหลว • ในกรณีผิวระนาบอยูในแนวระดับ แนวแรงลัพธจะกระทําผานจุด centroid ของผิวระนาบ

ซ่ึงเปนจุด CP ดวย • ในกรณีผิวระนาบอยูในแนวเอียง แนวแรงลัพธกระทําผานจุดศูนยกลางความดันแตจะไม

ผานจุด centroid ของระนาบ พิจารณาพืน้ที่เล็กๆ ของระนาบ ไดแรงที่กระทําบน dA คือ PdA = γhdA พิจารณาแรงที่กระทําบนพืน้ผิวใด ๆ ที่จมอยูในของเหลว (F)

F = ∫ hdAγ = ∫ dAy θγ sin = γysinθ

Y เปนตําแหนงของจุด Centroid จะไดวา ∫ ydA= AY ∴ F = AY θγ sin = Ahγ

yP = YAYIG +

.. C

Cp

y

xp

dy

dA

yp

x

y

rhA

h

O

hy

O



ตัวอยาง ใหหาขนาดและตาํแหนงของแรงลัพธที่กระทําตอประตูน้ําทีก่วาง 10 ฟุต และหาขนาดของแรง FB

วิธีทํา กําหนดแกน y ตามแนวของประตูน้ํา จากรูปไดคา Y Y = 5.2

30sin3

+°

= 8.5 ฟุต

= Ahγ F = AY θγ sin = (62.4 lbf/ft3)(8.5 ft) sin30o (10 x 5 ft2) = 13,260 lbf เนื่องจากประตูเปนรูปสี่เหล่ียมผืนผา ได xyI = 0 ดังนั้น xP = X จาก yP = Y

AYIG +

= 5.8)510)(5.8(

12510 3

+

x

IxG

= 8.745 ft

หาขนาด FB โดย take moment รอบจุด O F(8.745 – 6) = FB(5) FB = 7,280 lbf

________________________

3 ft h

F

30o

30o 5 ft

FBy

O



ตัวอยาง จากรูปที่กําหนด ระดับน้ําตองสูงเทาไร จึงจะทําใหประตนู้ําหมุนลง โดยกําหนดใหประตูกวาง 3 เมตร ไมคิดแรงเสียดทาน และน้ําหนกัของประตู

วิธีทํา แรงลัพธที่เกิดจากความดันน้าํกระทําตอประต ู F = Ahγ = γ h = h/2 กําหนดแกน y ตามแนวของประตูน้ํา ได A = )(

60sindh

°= )3(

60sin °h

F = (9,810)(h/2)(h/sin 60o)(3) = 16,984.5 h2 นิวตัน ตําแหนงแรงลัพธที่กระทํา (yP) yP = Y

AYIG +

= °

+

°

°

°

60sin260sin

360sin2

12)60sin/(3 3

hhh

IhG

= 0.77h ในสภาวะสมดุล ΣMA = 0 36 x 103 x 9 = 16,984.5 h2 ( )77.0

60sinhh

−°

h3 = 49.58 h = 3.67 m

________________________

h

60o

9 m

36 kN



3) พื้นผิวโคง(Curved Surface) การคํานวณหาคาแรงลัพธ ที่กระทําตอผิวโคงที่จมอยูในของเหลวไมสามารถ

คํานวณไดโดยตรง แตทําไดโดยการหาแรงในแนวดิ่งและแนวระดับกอน

กําหนดให FH = แรงในแนวระดับที่กระทําตอผิวโคง Fv = แรงในแนวดิ่งที่กระทําตอผิวโคง F = แรงลัพธที่กระทําตอผิวโคง FBC = แรงเนื่องจากความดันทีก่ระทําตอกอนของไหลบนดาน BC FAC = แรงเนื่องจากความดันทีก่ระทําตอกอนขนาดใหญ W = แรงเนื่องจากน้ําหนกัของกอนอิสระ

Fv’ = แรงปฏิกิริยาทีผิ่วโคงกระทําตอกอนของไหลอิสระในแนวดิ่ง

( = -Fv) FH

’ = แรงปฏิกิริยาทีผิ่วโคงกระทําตอกอนของไหลอิสระในแนวราบ ( = -FH ) ในสภาวะสมดุลได ΣFx = 0 ⇒ FBC - FH’ = 0 ⇒ FH’ = FBC (*) ΣFy = 0 ⇒ Fv’

’ - W - FAC = 0 ⇒ Fv’ = W + FAC (*) เนื่องจากในกรณี Fluid Static ไมมีความเคนเฉือน ดังนัน้ 1) แรง FH’ และแรง FBC กระทําอยูในแนวเดียวกัน 2) Fv’ มีทิศทางอยูในแนวเดยีวกับแรงลัพธของ W และ FAC

A

B..

.FBC

FAC

AC

B

W

FH

FV



ตัวอยาง ทรงกระบอกวางขวางน้ําที่มีระดบั ดังรูป โดยเสนผานศูนยกลางทรงกระบอกเทากับ 3 m และยาว 6 m ใหหาขนาดและทิศทางของแรงลัพธ ที่กระทําตอทรงกระบอก

วิธีทํา ฉายภาพผวิโคงไปดานที่มีของไหลอยู - พิจารณาแรงในแนวนอน Fx1 = 11Ahγ = (9,810)(3/2)(3 x 6) = 264.8 kN ทิศ ⇒ Fx2 = 22Ahγ = (9,810)(1.5/2)(3 x 6) = 66.22 kN ทิศ ⇐ ∴ Fx.net = Fx1 – Fx2 = 264.8 - 66.22 = 198.58 kN - พิจารณาแรงในแนวดิ่ง F1 = ABAh1γ = (9,810)(3)(1.5 x 6) = 264.8 kN ทิศ ⇑ F2 = 122Ahγ = (9,810)(1.5)(1.5 x 6) = 132.44 kN ทิศ ⇑ W11= γ∀ABD = (9,810)[(1.5 x 1.5 x 6 – (π x 1.52 x 6)/4)] = 28.38 kN ทิศ ⇓ W12= W21 = W11 = 28.38 kN ทิศ ⇓ Fy,net = F1 + F2 – 3W11 = 264.8 + 132.44 – 3(28.38) = 312.10 kN ทิศ ⇑ F = Fx i + Fyj = 198.58i + 312.10j kN θ =

x

y

FF1tan− =

58.19810.312tan 1− = 57.53o

________________________ 2.7 แรงลอยตัวและการสมดุลของวตัถจุมและวัตถุลอย

แรงลอยตัว (Buoyancy) คือแรงลัพธที่ของไหลกระทําตอวัตถุทีจ่มหรือลอยในของไหล ทิศทางของแรงลอยตัวจะชี้พุงขึ้นในแนวดิง่เสมอ Archimedes กลาววา “ วัตถุที่จมในของไหลมีแรงลอยตัวกระทําขนาดเทากับน้ําหนักของของไหลที่ถูกแทนที่โดยวตัถุนั้น”

ขนาดของแรงลอยตัว จะมีคาเทากับน้ําหนกัของไหลที่มปีริมาตรเทากับปริมาตรของวัตถุที่จมอยูใตของไหล

3 mD = 3 m

1.5 m



ตัวอยาง ลูกบอลเหล็กมี φ = 4 นิ้ว ลอยอยูในของไหลตามรูปขางลาง โดยลูกเหล็กมีเชือกดึงอยูดานบน ใหหาขนาดของแรงดึงในเสนเชือก สําหรับกรณี (a) , (b) และ (c) กําหนดให γเหล็ก = 487 lbf / ft3

γH2O = 62.4 lbf / ft3 γCCl4 = 99.5 lbf / ft3 γAir = 0.0763 lbf / ft3

วิธีทํา กรณี (a) สมดุลแรงแนวดิ่ง ΣF = 0 Ta + FB - W = 0 (1) W = น้ําหนกัของลูกบอลเหล็ก = γ เหล็ก ∀ = 487 x 3

34 rπ

= 487 x 3)122(

34π

= 9.45 lbf FB = FB,CCl4 + FB,H2O = γ CCl4 2

1 ( 3)122(

34π ) + γH2O 2

1 ( 3)122(

34π )

= 1.57 lbf จาก (1) Ta = W – FB = 9.45 – 1.57 = 7.88 lbf ทิศ ⇑

b

a

cAir

H2O

CCl4

8 in

6 in

.H2O

CCl4

Ta

FB

W



0

กรณี (b) สมดุลแรงแนวดิ่ง ΣF = 0 Tb + FB - W = 0 (2) โดยที่น้ําหนัก W เทาเดิม FB = FB,CCl4 = γCCl4( 3)

122(

34π )

= (99.5)( 3)122(

34π )

= 1.93 lbf จาก (2) Tb = W – FB = 9.45 – 1.93 = 7.52 lbf ทิศ ⇑

กรณี (c) สมดุลแรงแนวดิ่ง ΣF = 0 Tc + FB - W = 0 (3) โดยที่น้ําหนัก W เทาเดิม FB = FB,Air + FB,H2O = γ

21 ( 3)

122(

34π )

= (62.4) 21 ( 3)

122(

34π )

= 0.61 lbf จาก (3) Tc = W – FB = 9.45 – 0.61 = 8.84 lbf ทิศ ⇑

______________________________________

2.8 เสถียรภาพ ของวัตถุจมหรือลอย (Stability of Submerged and Floating Bodies) เสถียรภาพ(Stability) ของวัตถุจมหรือลอยขึ้นอยูกับตําแหนงของแรงลอยตัวและแรง

เนื่องจากน้ําหนักของวัตถุ - แรงลอยตัวกระทําผานจดุ CB (center of Buoyancy) - แรงเนื่องจากน้ําหนักของวัตถุกระทําผานจุด c.g. (Center of gravity) วัตถุจะมีเสถียรภาพเมื่อโมเมนตคูควบที่เกดิจากแรงลอยตัวและน้ําหนกัมีแนวโนมทาํให

วัตถุคืนกลับ สูตําแหนงเดิม

.CCl4

Tb

FB

W

.Air

H2O

Tc

FB

W



(1) Submerged body (วัตถุจม) โดยทั่วไป วัตถุจมในของไหลจะมีเสถียรภาพ เมื่อจดุ CB อยูสูงกวาจุด c.g. เชน กรณีของ

บอลลูนหรือเรือดําน้ํา

(2) Floating body (วัตถุลอย)

ในกรณีวัตถุลอย เชน เรือ ที่ลอยในน้ํา จะแตกตางจากกรณวีัตถุจม กลาวคือ วัตถุจะมีเสถียรภาพไมวา CB อยูต่ํากวา c.g. เมื่อ CB อยูสูงกวา c.g. ตราบใดที่ทาํใหโมเมนตคูควบมีแนวโนมทําใหวตัถุกลับคืนที่เดิม

2.9 สมดุลสัมพัทธ (Relative Equilibrium)

ในหวัขอนี้จะศึกษาการเคลือ่นที่ของของไหล ที่มีความเรงคงที่ และการเคลื่อนที่เปนไปในลักษณะ เคลื่อนไปทั้งกอน ซ่ึงสามารถแบงออกไดเปน 2 ลักษณะ คอื

1) เคลื่อนที่ดวยความเรงเชิงเสนคงที่ (Uniform linear acceleration) 2) การหมุนรอบแกนแนวดิ่งดวยความเร็วคงที่ (Rigid – Body rotation)



เคล่ือนท่ีดวยความเรงเชิงเสนคงที่ (Uniform linear acceleration) - ของไหลบรรจุอยูในภาชนะเปด เคลื่อนทีด่วยความเรงเชิงเสน a ซ่ึงประกอบดวย ax , ay , az = 0) - เมื่อเวลาผานไประยะหนึง่ ของไหลจะคอยๆ ปรับตัวเขากับความเรงจนมีการเคลือ่นที่ไปทั้งกอนคลายของแข็ง - ใหแกน y เปนแกนในแนวดิ่ง และแกน x เปนแกนในแนวขนาน เมือ่พิจารณามวลยอยเล็กๆ ของของเหลว ซ่ึงมีปริมาตรเปนรูปลูกบาศก ขนาด zyx δδδ โดยที่จุด ศนูยกลางของมวลยอยนี้มีความดัน P กระทําอยู จากกฎการเคลื่อนที่ของนิวตนั ( F = ma ) ไดวา สมดุลแกน x ΣFx = max

xazyxgzyx

xPPzyx

xPP

=

∂∂

+−

∂∂

− δδδγδδδδδδ22

xagxP γ

−=∂∂

และ สมดุลแกน y ΣFy = may

yazyxgzyxzxy

yPPzxx

yPP

=−

∂∂

+−

∂∂

− δδδγδδγδδδδδδδ22

+−=

∂∂

ga

yP y1γ

สมดุลแกน z เนื่องจาก az = 0 ดังนั้น ΣFz = maz ⇒ 0=∂∂zP

P = ( ) Cyag

Xag yx ++−− 1γγ

y

x



ตัวอยาง ถังเปดบรรจุน้ําถูกเรงลงมาบนพื้นเอียง 15o ดวยความเรง 4.9 m/s2 ใหหามุม θ ของผิวน้ําที่กระทํากบัพื้นราบ วิธีทํา ทิศ ⇒ ax = acos15o ; gx = 0 ทิศ ⇓ ay = -asin15o ; gy = g จาก P = ( ) Cya

gXa

g yx ++−− 1γγ

= -ρaxx - ρ( g + ay ) y + C (1) ที่ x = 0 ,y = 0 ; P = Patm แทนใน (1) Patm = C ⇒ C = Patm ดังนั้น P = -ρaxx - ρ(g + ay)y + Patm = -ρaCos15o x - ρ(g - asin15o )y + Patm (a) ที่ผิวอิสระ P = Patm

∴ tan θ =°−

°15sin

15cosag

a

y

θ = 28.99o

____________________________

4.9 m/s2

15o



การหมุนรอบแกนแนวดิง่ดวยความเร็วคงที่ การหมุนของของไหลรอบแกนในลักษณะที่มีเสถียรภาพคลายของแขง็เรียกวา “ Forced

Vortex Motion” โดยทุกๆ อนุภาคของของไหลมีความเร็วเชิงมุมเทากัน - พิจารณากอนของไหลที่หมุนรอบแกน y ดวยความเรว็เชิงมุม w - พิจารณาการเคลื่อนที่ของมวลซึ่งมีพื้นทีห่นาตัด dA ยาว dr ทิศทางตั้งฉากกับแกนหมุน

กําหนดให ที่ระยะ r ของไหลมีความดัน = P ที่ระยะ r + dr ของไหลมีความดัน = ( )r

rPP δ

∂∂

+

ความเรงที่เกดิขึ้น มีเฉพาะความเรงเขาหาแกนหมุนเทานั้น = r2ω−= (ติดลบเนื่องจากทิศพุงออกจากแกนหรือศูนยกลางเปนทิศ(+) )

จากกฎการเคลื่อนที่ของนิวตนั ΣF = ma ∴ ( )rrA

gAr

rPPAP 2ωδδγδδδ −=

∂∂

+−

gr

rP 2γω=

∂∂

ให P = P ( y , r ) dr

rPdy

yPdP

∂∂

+•∂∂

=

ถาหมุนอยูในแนวดิ่ง จะไดวา γ−=∂∂yP

y

ox

r dr

W



drgrdydP

2γωγ +−=

CgryP ++−=

2

22γωγ

• ในกรณีที่ภาชนะบรรจุของไหลเปนรูปทรงกระบอก

ให yo เปนระดับของของเหลวเมื่อไมมีการหมุนรอบแกนและ Pa เปนความดนัที่ผิวอิสระของของไหล

y = mygr

+2

22ω

ตัวอยาง ทอรูปตัว U บรรจุปรอท (Hg) หมุนรอบแกน O – O ซ่ึงอยูในแนวดิ่ง ดงัรูป คํานวณหาความเร็วเชิงมมุเมื่อความแตกตางจากระดบัปรอทในทอมีคา 8 นิ้ว และใหหาความสูงเดิมของปรอทในทอ (yo)

y

R

ym

yo

ym

W

8 in

.y

yM

yo

ym

O

O

16 in 8 in

y



วิธีทํา จาก y = myg

r+

2

22ω

ym = mygR

+2

22ω

∴ yM – y = ( )222

2rR

g−

ω

R = 16 in , r = 8 in และ yM – y = 8 in

2.322

128

1216

128

222

×

−

=

ω

ω = 5.675 rad/s

หาความสูงเดมิของ Hg ในทอ (yo) จาก yo = ( )mm yy +

21

แต yM = mygR

+2

22ω และ 0=my

)2

(21 22

gRyO

ω=

yo = 33.5122.322

16675.521 22

′′=

×××

=

________________________ 2.10 เคร่ืองมือวัด

1) Barometer : เปนเครื่องมือที่ใชในการวัดความดันบรรยายกาศ (Atmospheric or Mercury Barometer )

พิจารณา ที่จดุ O จะไดวา (Patm)A – Pvapor A –γAh = 0

หรือ Patm = γh + Pvapor ในกรณีแบบนี ้ความดันไอของของเหลว มีคา 0≈

Patm = γh

hP a tm

P v a p o r

.O



2) Manometer : เนื่องจากความดนัสามารถแสดงใหอยูในรูปของความสูง ของของเหลวดังนั้นเราจึงสามารถใชความสูงของของเหลวมาวัดความดันได โดยใชหลอดแกวที่มีลักษณะ เปนรูปตัว U ซ่ึงภายในบรรจุ ของเหลวไว ปลายดานหนึ่ง ตอเขากับแหลงที่จะวดัความดัน อีกดานหนึ่งเปดสูบรรยากาศ อุปกรณดังกลาวเรียกวา Manometer ความดันทีว่ัดไดจะเปน คา Gauge Pressure เขียนเปนสมการไดดังนี ้ Pg = γh Manometer ที่นิยมใชโดยท่ัวไปมีหลายชนดิ เชน

• Differential Manometer : จะใชวัดความแตกตางความดนั ระหวาง Pressure Source 2 แหลง

• Inclined Manometer : มีหลักการทํางานเหมือน Simple manometer การเอียงลําของเหลวชวยทําใหการวัดคาความดันต่ํา ไดละเอียดขึ้น ในกรณีนี้ ถา h คือระยะความสูง ของลําของเหลวที่วัดในแนวเอียงจะไดวา

θγhCosP =

3) Bourdon Gage : ประกอบไปดวยทอโลหะซ่ึงดัดโคง เปนรูปวงกลม แลวปดปลายดานหนึ่งจนสนิท แลวตอเขากับกลไกขับเคลื่อนเข็มบอกคาความดัน ปลายอีกดานหนึ่งตอเขากับแหลงทีจ่ะวดัความดันดังแสดงในรูป

Pressuresource

h

Patm



______________________

บทที่ 2 ของไหลสถิตย (fluid...

Documents