ของไหล(fluids)kitipong/work/fluid.doc · web viewหมายถ งสสารซ...
TRANSCRIPT
ของไหล(Fluids)
PAGE
12
ของไหล(Fluids)
หมายถึงสสารซึ่งสามารถไหลได้มีรูปร่างไม่แน่นอนขึ้นอยู่กับภาชนะที่บรรจุได้แก่ ของเหลวและกาซ การศึกษากฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับของไหลได้แก่ของไหลที่อยู่นิ่ง ซึ่งเรียกว่า อุทกสถิตศาสตร์(hydrostatics) อันมี ความดันในของไหล หลักของพาสคัล หลักของอาร์คิมีดีส และความตึงผิว ส่วนการศึกษาที่เกี่ยวข้องกับของไหลเคลื่อนที่ซึ่งเรียกว่า อุทกพลศาสตร์(hydrodynamics) จะศึกษา สมการการต่อเนื่อง สมการของแบร์นูลี่ และความหนืด
อุทกสถิตศาสตร์
ของไหลที่อยู่นิ่งจะไม่มีแรงสัมผัส(tangential force) กระทำ เพราะแรงนี้จะมีผลให้ ชั้นของของไหลเลื่อนผ่านชั้นอื่นๆต่อๆกันไป คือจะเกิดการไหลนั่นเอง ดังนั้นสำหรับของไหลที่อยู่นิ่งจะมีแรงกระทำตั้งฉากกับผิวของไหลเท่านั้น เรียกขนาดของแรงกระทำตั้งฉากนี้ต่อหนึ่งหน่วยพื้นที่ผิวว่า ความดัน(pressure) ความดันนี้จะส่งต่อไปยังส่วนต่างๆของของไหลและถึงผิวภาชนะในทิศตั้งฉาก
เมื่อ P คือ ความดันมีหน่วยเป็นนิวตัน/ตารางเมตรหรือ พาสคัล
1 พาสคัล = 1 N/m2
F( คือ แรงกระทำตั้งฉากมีหน่วยเป็นนิวตัน
A คือ พื้นที่มีหน่วยเป็นตารางเมตร
จากรูป แผ่นวัตถุแบนมีพื้นที่ A ความหนา dy อยู่ที่ระยะ y จากระดับอ้างอิง ของไหลมีความหนาแน่น ( มวลของส่วนที่พิจารณาคือ (Ady และมีน้ำหนัก (gAdy จะเห็นได้ว่าแรงเนื่องจากของเหลวที่ล้อมรอบกระทำตั้งฉากที่ทุกๆจุดบนผิวของเหลว เนื่องจากของเหลวอยู่นิ่ง ดังนั้นแรงลัพธ์ที่กระทำต่อส่วนของของไหลที่พิจารณาในแนวราบเป็นศูนย์ และแรงเหล่านี้เป็นแรงเนื่องจากความดันของของไหลเท่านั้นดังนั้นความดันที่ทุกจุดในระนาบราบที่ระยะyจะเท่ากันแรงลัพธ์ที่กระทำในแนวดิ่งเป็นศูนย์ เช่นเดียวกันโดยแรงในแนวนี้นอกจากแรงเนื่องจากความดันที่ผิวแล้วก็ยังมีแรงเนื่องจากมวลของของไหล สำหรับแนวดิ่งจะได้
(
)
g
dy
dP
gAdy
A
dP
P
PA
r
r
-
=
+
+
=
เนื่องจาก P และ g มีค่าเป็นบวก ถ้าความสูงจากระดับอ้างอิงเพิ่มขึ้น ความดันจะลดลง ถ้าให้ P1 และ P2 เป็นความดันที่ตำแหน่งซึ่งสูงจากระดับอ้างอิง y1 และ y2 ตามลำดับเมื่ออินทิเกรต
dA
dF
P
^
=
ò
ò
-
=
2
1
2
1
P
P
y
y
gdy
dP
r
y
rrt
Mg
e
P
P
-
=
0
จะได้
ถ้าให้ y2 คือระดับผิวบนสุดของของไหลในภาชนะเปิด ดังนั้น
P2 คือ Pa (ความดันบรรยากาศ) และให้ความดันที่ระดับ y1 คือ P
gV
gV
s
S
r
r
=
pa - p = - ( g ( y2 - y1 )
เมื่อ h = y2 - y1 = ส่วนลึกวัดจากผิวของของเหลว
P - Pa เรียกว่า ความดันเกจ(gauge pressure)
( คือ ความหนาแน่นมีหน่วยเป็นกิโลกรัม/ลูกบาศก์เมตร
· ทุกจุดในระดับเดียวกันในของเหลวที่อยู่นิ่งจะมีความดันเท่ากันและไม่ขึ้นกับรูปร่างของภาชนะ
โดยปกติความดันของของไหลขึ้นกับระดับความลึกเขียนเป็นสมการได้
d
v
L
dt
dx
r
=
/
สำหรับกาซความหนาแน่นมีค่าน้อยมาก ผลต่างของความดันที่จุดสองจุดที่ระดับต่างกันไม่มากนักมีค่าน้อยมาก จึงถือว่า ความดันของกาซเท่ากันทุกๆจุด ในภาชนะที่บรรจุกาซ แต่ถ้าต้องการหาความดันของอากาศที่มีระดับ h ต่างกันมากๆเช่น ความดันของอากาศที่ระดับน้ำทะเลและความดันของอากาศบนยอดเขา จะพบว่าความดันของอากาศบนยอดเขาน้อยกว่าความดันของอากาศที่ระดับน้ำทะเลเนื่องจาก เมื่อ y เพิ่มขึ้น ค่า p จะลดลง จาก
g
dy
dp
r
-
=
อากาศเป็นของไหลชนิดที่แรงกดดันทำให้ปริมาตรลดลง จึงมีสมบัติต่างจากของเหลว ความหนาแน่นของอากาศจะเปลี่ยนแปลงตาม ความสูง หรือตาม ความดัน และยังเปลี่ยนแปลงตาม อุณหภูมิ ซึ่งเป็นไปตามกฎของกาซ
RT
pM
=
r
เมื่อ p เป็นความดัน , M เป็นมวลโมเลกุล , T เป็นอุณหภูมิสัมบูรณ์ และ R เป็นค่าคงที่ของกาซ
dy
RT
pMg
d
-
=
r
dy
RT
Mg
p
dp
-
=
ถ้าอุณหภูมิของบรรยากาศคงที่ทุกระดับ(ซึ่งไม่จำเป็นเสมอไป) อินทิเกรตสมการข้างบนจะได้
ò
ò
-
=
y
p
p
dy
RT
Mg
p
dp
0
0
y
RT
Mg
p
p
-
=
0
ln
หรือ
dy
dv
A
F
h
=
rv
F
ph
6
=
เครื่องมือทีใช้วัดความดันบรรยากาศ(Pa)คือ บารอมิเตอร์ (barometer)เช่นบารอมิเตอร์ปรอทซึ่งประกอบด้วยหลอดแก้วขนาดเล็กยาว บรรจุปรอทจนเต็มแล้วคว่ำลงในอ่างปรอทดังรูปพบว่าปรอทขึ้นไปในหลอดสูง 76 เซนติเมตร
ความดัน 1 บรรยากาศ(atm)มีค่าเท่ากับ 1.01325 x 105 พาสคัล หรือ เท่ากับ ความสูงของลำปรอทในหลอดแก้วที่คว่ำในอ่างปรอท 76 cm หรือ 760 mm
105 Pa = 1 บาร์(bar) = 1000 มิลลิบาร์( millibar)
0
0
r
r
r
-
=
a
การวัดค่าความดันเกจ(P - Pa) ใช้ มานอมิเตอร์(manometer) มานอมิเตอร์รูปตัวUประกอบด้วยหลอดรูปตัว U บรรจุของเหลวมีความหนาแน่น ( ปลายข้างหนึ่งต่อกับที่ซึ่งมีความดัน P ที่ต้องการวัด ส่วนปลายข้างหนึ่งเปิดสู่บรรยากาศ
แรงดันเขื่อน
เมื่อระดับน้ำสูง H น้ำจะออกแรงดันเขื่อนในแนวระดับ เสมือนว่าเขื่อนจะเลื่อนไถลไปตามฐาน และเกิดทอร์ก(torque)ที่พยายามจะพลิกเขื่อนให้หมุนรอบแกนที่ผ่านจุด O แรงลัพธ์ในแนวระดับ คือ
PdA
dF
=
ความดัน ณ ความสูง y คือ P = (gh
ดังนั้น
(
)
wdy
y
H
g
dF
-
=
r
เมื่อ w คือ ความกว้างของเขื่อน
(
)
dy
y
H
gw
F
H
-
=
ò
r
0
2
2
1
gwH
r
=
ทอร์ก ของแรง dF รอบแกนที่ผ่านจุด O คือ
(
)
ydy
y
H
gw
ydF
d
-
=
=
G
r
ทอร์กรวมทั้งหมดรอบแกนผ่านจุด O คือ
(
)
dy
y
H
gLy
H
-
=
G
ò
r
0
3
6
1
gwH
r
=
ถ้า
x
เป็นความสูงของน้ำเหนือจุด O ซึ่งแรงรวม F กระทำที่จุดนี้และเกิดทอร์กดังกล่าว จะได้
3
6
1
2
2
1
gwH
x
gwH
x
F
r
r
=
´
=
H
x
3
1
=
นั่นคือ แนวกระทำของแรงลัพธ์อยู่เหนือฐานเขื่อน เท่ากับ 1/3 ของความลึกของน้ำ หรือ 2/3 ของความลึกจากผิวน้ำ
(
)
r
r
h
-
=
0
2
.
9
2
g
r
v
T
กฎของพาสคัล
จากรูป ถ้าออกแรง F1 ที่ลูกสูบขนาดเล็ก ความดัน P ที่ระดับความลึกใดๆก็จะเพิ่มขึ้นด้วยค่าเท่ากันนักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Blaise Pascal ได้พิสูจน์ความจริงข้อนี้ในปีค.ศ.1653 และได้ชื่อว่ากฎพาสคัลซึ่งกล่าวไว้ว่า
h
r
vD
N
R
=
“
ความดันที่ใช้กดของไหลที่บรรจุอยู่ในภาชนะปิดย่อมถูกส่งผ่านไบยังทุกๆส่วนของของไหลและผนังของภาชนะด้วย ขนาดเท่ากันตลอด ”
จากรูป เมื่อออกแรง F1 ที่ลูกสูบเล็กซึ่งมีพื้นที่หน้าตัด A1 ความดันที่ของเหลวได้รับ p =
1
1
A
F
จะส่งต่อไปทั่วทุกส่วนของของเหลวจนถึงลูกสูบใหญ่ซึ่งมีพื้นที่หน้าตัด A2 ดังนั้นแรงที่ลูกสูบใหญ่มีขนาด
1
2
1
2
A
A
F
F
=
F1 คือ แรงดันที่ลูกสูบเล็ก
F2 คือ แรงดันที่ลูกสูบใหญ่
ตัวอย่างการใช้กฎพาสคัลเช่นเครื่องอัดไฮตรอลิค
ตัวอย่าง เครื่องยกรถยนต์ในสถานีบริการแห่งหนึ่งประกอบด้วยแรงดันที่ใช้อากาศบนลูกสูบเล็กที่มีพื้นที่ หน้าตัดที่มีรัศมี 5.0 เซนติเมตร ความดันถูกถ่ายทอดไปสู่ลูกสูบใหญ่ที่มีรัศมี 15.0 เซนติเมตร จะต้องออกแรงดันที่ลูกสูบเล็กกี่นิวตัน เพื่อที่จะยกรถหนัก 13,300นิวตัน
จาก
1
2
1
2
A
A
F
F
=
(
)
(
)
(
)
N
3
3
2
2
2
2
10
48
.
1
10
3
.
13
10
0
.
15
10
0
.
5
´
=
´
´
´
=
-
-
p
p
หลักของอาร์คิมีดีสและแรงลอยตัว
มีปรากฏการณ์หลายอย่างที่แสดงว่าของเหลวมีแรงพยุง(buoyant force) เช่นเมื่อยกวัตถุในน้ำจะรู้สึกว่าหนักน้อยกว่าเมื่อยกวัตถุในอากาศ วัตถุเบาๆจะลอยได้ในของเหลวโดยอาจจมไปเพียงบางส่วน วัตถุที่มีความหนาแน่นมากกว่าของไหลจะจมในของไหล เช่นเหล็กจมน้ำ แต่ถ้าทำให้เหล็กมีปริมาตรมากขึ้นโดยมีโพรงอากาศข้างใน เหล็กอาจจะลอยน้ำได้ ซึ่งปรากฏการณ์เหล่านี้อาร์คิเมดีส(Archimedes) ได้เป็นผู้ให้คำอธิบายไว้ดังนี้
=
+
+
gy
v
p
r
r
2
1
2
1
“ เมื่อวัตถุใดๆจมอยู่ในของเหลวทั้งก้อนหรือจมเพียงบางส่วนก็ตาม ของเหลวจะออกแรงกระทำต่อวัตถุในทิศขึ้น มีขนาดเท่ากับขนาดน้ำหนักของของเหลวที่ถูกวัตถุแทนที่ แรงนี้คือแรงลอยตัว ”
พิจารณาวัตถุที่จมทั้งก้อนหรือบางส่วนในของไหลที่อยู่นิ่ง ของไหลจะออกแรงกระทำต่อทุกๆส่วนของผิววัตถุที่สัมผัสกับของไหลโดยแรงดันขึ้นอยู่กับระดับความลึกจากผิวของไหลผลรวมของแรงดันทั้งหมด คือแรงในทิศขึ้นผ่านศูนย์กลางมวลของวัตถุนั้นและมีขนาดเท่ากับขนาดน้ำหนักของของไหลที่มีปริมาตรเท่าวัตถุซึ่งอธิบายได้ว่า
ถ้าวัตถุถูกแทนด้วยของไหลชนิดเดียวกับของไหลเดิมที่วัตถุจมอยู่ และของไหลทั้งหมดหยุดนิ่ง จะได้แรงดันขึ้นเท่ากับน้ำหนักของของไหลที่มาแทนที่วัตถุพอดี แรงดันขึ้นนี้ก็คือแรงลอยตัวนั่นเอง จะได้ว่า
แรงลอยตัว = น้ำหนักของของไหลที่แทนที่วัตถุ
นั่นคือ
ตัวอย่าง จงหาว่าน้ำแข็งจะลอยโผล่พ้นน้ำร้อยละเท่าไรของปริมาตรทั้งก้อน กำหนดความหนาแน่นของน้ำแข็งและของน้ำทะเลเป็น 0.92 ( 10 3 kg –m 3 และ 1.03 ( 10 3 kg –m 3 ตามลำดับ
น้ำหนักของน้ำแข็ง W = (Vg = น้ำหนักของน้ำทะเลปริมาตรเท่ากับน้ำแข็งส่วนที่จม
(I Vi g = (w Vw g
O
O
=
=
´
´
=
=
89
89
.
0
10
03
.
1
10
92
.
0
3
3
w
i
i
w
V
V
r
r
ปริมาตรน้ำแข็งส่วนที่ลอยน้ำ = 100 % - 89 % = 11 %
ความตึงผิว(surface tension)
เมื่อของเหลวรั่วออกจากรอยแตกเล็กๆจะเห็นเป็นหยดๆต่อเนื่องกัน ไม่ได้ไหลเป็นสายต่อเนื่อง เช่นหยดน้ำเกลือที่ไหลออกจากหลอดปรับควาถี่ของหยดในเครื่องให้น้ำเกลือคนไข้ เข็มเย็บผ้าหรือใบมีดโกน เมื่อค่อยๆ วางบนผิวน้ำ จะลอยได้ได้โดยไม่จมทั้งๆที่มีความหนาแน่นมากกว่าน้ำหลายเท่า หรือจุ่มหลอดแก้วที่มีรูเล็กๆลงในแก้วน้ำ น้ำจะขึ้นไปในหลอดสูงกว่าระดับน้ำในแก้ว แต่ถ้าจุ่มลงไปในปรอทกลับปรากฎว่าระดับปรอทภายในหลอดต่ำกว่าระดับปรอทภายนอกหลอด ปรากฎการณ์เหล่านี้เกี่ยวข้องกับสมบัติของเหลวที่ว่าระหว่างของเหลวและสารอื่นใดก็ตามจะมีผิวขอบเขตเป็นฟิล์มบางๆกั้นอยู่ ฟิล์มบางๆนี้จะอยู่ในสภาพที่ขึงตึงคือมีแรงดึงอยู่ในระนาบของฟิล์มนี้ แรงดึงนี้จะกระทำในทิศตั้งฉากเรียกว่า แรงดึงผิว แรงดึงผิวจึงเกิดจากแรงดึงดูดระหว่างโมเลกุลที่อยู่สัมผัสกัน แรงระหว่างโมเลกุลที่อยู่ติดกันมีธรรมชาติพิเศษคือ เมื่ออยู่ใกล้ชิดกันเกินไป จะเกิดแรงผลัก แต่เมื่ออยู่ห่างกันเกินขีดจำกัดขีดหนึ่งจะดึงดูดกันคล้ายแรงสปริง
พิจารณาของเหลวที่อยู่ในภาชนะเปิดสู่อากาศ โมเลกุลที่อยู่ติดกับผิวสัมผัสกับอากาศจะมีโมเลกุลข้างเคียงทุกด้านยกเว้นด้านที่สัมผัสกับอากาศ แรงดึงดูดระหว่างโมเลกุลจะอยู่ในแนวขนานกับผิว ส่วนโมเลกุลที่อยู่ลึกลงไปจากผิวจะมีแรงดึงทุกด้าน เมื่อสมดุลจึงหักล้างกันไป เมื่อพิจารณาที่ผิว แรงดึงซึ่งกันและกันระหว่างโมเลกุลที่อยู่ติดกันจึงมีทิศทางสัมผัสกับผิว ทำให้ผิวมีความตึงเสมือนเป็นผนังกั้น เมื่อวางเข็มที่ผิวแห้งลงบนผิวของ เหลว น้ำหนักของเข็มจะกดผนังลงทำให้ผนังบุ๋มลงเล็กน้อย เมื่อน้ำหนักของเข็มไม่มากเกินไป ผิวจะไม่ฉีกขาด เข็มก็จะลอยอยู่บนผิวของเหลวได้ แรงลอยตัวของของเหลวที่เกิดจากปริมาตรที่ถูกแทนที่นั้นน้อยมากจนไม่ต้องนำมาคิด แรงที่ใช้ยกน้ำหนักของเข็มจึงเกิดจากแรงตึงผิวที่เป็นส่วนประกอบที่แตกขึ้นตามแนวดิ่ง (เมื่อผิวของเหลวบุ๋มลง แรงตึงผิวจะมีทิศชี้เฉียงขึ้นจากแนวระดับตามรอยบุ๋ม)แรงตึงผิวจะมีทิศทางตั้งฉากกับผิวเสมอ
ลวดวงแหวนที่มีเส้นด้ายเล็กๆผูกเป็นบ่วงตรงกลาง เมื่อจุ่มลวดวงแหวนลงในน้ำสบู่แล้วค่อยๆยกขึ้นจากน้ำสบู่ จะปรากฎแผ่นฟิล์มของน้ำสบู่ติดอยู่ภายในลวดวงแหวนและมีเส้นด้ายติดกับแผ่นฟิล์มขึ้นมาด้วย เมื่อสะกิดแผ่นฟิล์มของน้ำสบู่ที่อยู่ภายในบ่วงของเส้น ด้ายให้ขาด จะพบว่าเส้นด้ายส่วนที่ผูกเป็นบ่วงจะถูกแผ่นฟิล์มของน้ำ สบู่ดึงออกทุกด้านและเป็นบ่วงวงกลม ที่เป็นเช่นนี้เพราะแรงดึงผิวที่โมเลกุลของน้ำสบู่ดึงเส้นด้ายออกในแนวรัศมีของบ่วงและมีทิศทาง
สัมผัสผิวของน้ำสบู่และตั้งฉากกับวงกลมของเส้นด้าย แรงลัพธ์ที่กระทำต่อบ่วงเส้นด้ายวงกลมจึงเป็นศูนย์
เครื่องมือที่แสดงให้เห็นผลจากแรงดึงผิว ประกอบด้วยเส้นลวดทีดัดเป็นรูปตัวยู(U) และเส้นลวดตรงที่ปลายทั้งสองข้างทำเป็นบ่วงสวมเข้ากับขาตัวยูพอดี และทำให้ไถลขึ้นลงได้สะดวก ส่วนบนของตัวยูคว่ำผูกด้วยด้ายเหนียว เมื่อจุ่มชุดทดลองนี้ลงไปในน้ำสบู่แล้วยกขึ้นช้าๆ จะมีแผ่นฟิล์มของสบู่ติดขึ้นมาด้วย และเมื่อแขวนในแนวดิ่ง น้ำหนัก W1(ไม่มากเกินไป)ของเส้นลวดไถลนี้จะดึงแผ่นฟิล์มของสบู่ลง ในขณะสังเกตครั้งแรก จะพบว่าเส้นลวดไถลนี้จะถูกแผ่นฟิล์มของสบู่ดึงขึ้นสู่ด้านบนสุดอย่างรวดเร็ว
และเมื่อแขวนน้ำหนัก W2 แผ่นฟิล์มจะถูกดึงลงและเส้นลวดไถลอยู่ในสมดุล แผ่นฟิล์มจะมีผิวสัมผัสกับเส้นลวดไถลสองด้าน
อัตราส่วนของแรงตึงผิวต่อหน่วยความยาว(ตั้งฉากกับแรง)ที่ถูกแรงนี้กระทำเรียกว่า ความตึงผิว นั่นคือ
L
F
=
g
เมื่อ ( คือ ความตึงผิว มีหน่วยเป็น นิวตันต่อเมตร(N/m)
F คือ แรงดึงผิว มีหน่วยเป็น นิวตัน
L คือ ความยาว(ตั้งฉากกับแรง)ที่ถูกแรงกระทำ
จากสมการ
L
F
=
g
ถ้าคูณ s ทั้งเศษและส่วน จะได้
A
W
s
L
s
F
=
´
´
=
g
เมื่อ W คือ งานของแรงตึงผิว และA เป็นพื้นที่ผิวที่เพิ่มขึ้น จึงอาจให้นิยามของ ความตึงผิว ได้ว่า คือ งานที่ใช้ในการสร้างผิวต่อหนึ่งหน่วยพื้นที่ ก็ได้
ทดลองวัดความตึงผิวได้อีกวิธีหนึ่งโดยใช้ขดลวดวงกลมเส้นรอบวง 2(R ผูกด้วยเชือกจุ่มลงในของเหลวแล้วค่อยๆยกขึ้น อ่านค่าของแรงดึง T ขณะที่ขดลวดกำลังหลุดจากผิวของเหลวพอดี หาค่า ( ได้จาก
R
F
p
g
4
=
เมื่อ F = T - W
ถ้าผิวของเหลวสัมผัสกับอากาศหรือไอของของเหลว จะพบว่าความตึงผิวขึ้นกับอุณหภูมิเท่านั้น โดยปกติค่าความตึงผิวลดลงเมื่ออุณหภูมิสูงขึ้น
ค่าความตึงผิวของของเหลวชนิดต่างๆ
หยดของเหลวที่ตกภายใต้ความโน้มถ่วงในสุญญากาศ จะมีรูปร่างเป็นทรงกลมเสมอ เพราะแรงดึงผิวจะพยายามทำให้หยดของเหลวมีพื้นที่น้อยที่สุด วัตถุที่มีปริมาตรเท่ากัน พื้นที่ผิวจะน้อยที่สุดเมื่อเป็นทรงกลม
ความดันภายในฟองสบู่
ฟองสบู่เป็นรูปทรงกลมผิวบางมากจนรัศมีภายในและภายนอกเกือบเท่ากันจนถือว่าเท่ากันได้ ความดันภายใน P จะมากกว่าความดันภายนอก Pa แต่ฟองสบู่ไม่แตกเพราะมีแรงดึงผิวช่วย เมื่อพิจารณาฟองสบู่ครึ่งซีกพบว่าแรงดันภายในจะดันออกทุกด้านในแนวตั้งฉากกับผิว ส่วนผิวด้านนอกก็จะมีแรงดันเนื่องจากบรรยากาศและตั้งฉากกับผิวเช่นกัน ที่ขอบของครึ่งทรงกลมของแผ่นฟิล์มของฟองสบู่จะมีแรงดึงผิวมาทางซ้ายมือสัมผัสกับผิวทั้งด้านนอกและ
ด้านในฟองสบู่แรงดึงผิว เมื่อฟองสบู่อยู่ในสมดุล แรงดันภายในจะเท่ากับผลบวกของแรงดันภายนอกกับแรงดึงผิว เมื่อพิจารณาแรง ผลลัพธ์ที่เกิดจากความดันภายในและความดันภายนอกที่แตกในแนวระดับ(ในแนวขนานกับแรงดึงผิว) จะเท่ากับความดันคูณด้วยพื้นที่เงาของครึ่งทรงกลมคือ (R 2 เมื่อ R เป็นรัศมีของฟองสบู่ จากกฎข้อที่หนึ่งของนิวตัน แรงลัพธ์ที่กระทำต่อครึ่งฟองสบู่จึงเป็นศูนย์
นั่นคือ
P ( (R 2 ) = Pa ( (R 2 ) + F
P ( (R 2 ) = Pa ( (R 2 ) + 4((R
R
P
P
a
g
4
=
-
มุมสัมผัส
ความตึงผิวที่กล่าวเป็นเรื่องเกี่ยวกับฟิล์มผิวระหว่างของเหลวกับอากาศ แต่ยังมีฟิล์มผิวระหว่างของแข็งกับของเหลว ระหว่างของเหลวกับไอของของเหลวด้วย ฟิล์มเหล่านี้มีความหนาเพียง 2-3 โมเลกุลเท่านั้น
ให้ (sl คือ ความตึงผิวของฟิล์มของแข็ง และของเหลว
(sv คือ ความตึงผิวของฟิล์มของแข็ง และไอ
(lv คือ ความตึงผิวของฟิล์มของเหลวและไอ
ส่วนโค้งนูนหรือเว้าของผิวของของเหลวติดกับผนังของภาชนะขึ้นกับผลต่างของ (sv กับ (sl
ในรูป ก (sv มากกว่า (sl แนวของจุดตัดกันระหว่างฟิล์มผิวทั้งสามชนิดจะโค้งขึ้นโดยมุมสัมผัสจะอยู่ระหว่าง 0 – 90 องศา
ในรูป ข (sv น้อยกว่า (sl แนวของจุดตัดกันระหว่างฟิล์มผิวทั้งสามชนิดจะโค้งลงโดยมุมสัมผัสจะอยู่ระหว่าง 90 – 180 องศา
ในรูป ค (sv มีค่าใกล้เคียง (sl มุมสัมผัสจะเป็น 90 องศา
ค่ามุมสัมผัสของของเหลวชนิดต่างๆกับภาชนะที่ทำด้วยวัสดุต่างกัน
การเติมน้ำสบู่หรือผงซักฟอกลงในน้ำเป็นการลดขนาดมุมสัมผัส ทำให้น้ำซึมเข้าผ้าง่ายขึ้นและทำให้สิ่งสกปรกหลุดออกง่ายขึ้น ในทางตรงกันข้ามถ้านำผ้าไปอาบด้วยสารกันน้ำจะทำให้ขนาดมุมสัมผัสระหว่างน้ำกับผ้าที่อาบด้วยสารกันน้ำเพิ่มขึ้นทำให้ผ้าไม่เปียกน้ำ
ปรากฎการณ์capillarity
ปรากฎการณ์อันเนื่องมาจากความตึงผิวคือ การที่ของเหลวไหลเข้าไปในหลอดรูเล็กๆเรียกว่าสภาพคะปิลลา เช่นการซึมของน้ำขึ้นบนกองทราย การซึมของน้ำมันขึ้นไปในไส้ตะเกียง การดูดน้ำของรากไม้บางส่วน
พิจารณาของเหลวที่ขึ้นไปในหลอดคะปิลลาสูง y รูหลอดมีรัศมี r ของเหลวจะสัมผัสกับหลอดเป็นระยะทาง 2( r โดยที่แรงเนื่องจากความตึงผิวกระทำในทิศขึ้น
F = 2( r( cos( จะสมดุลกับแรงลงคือน้ำ
หนักของของเหลวในหลอด W = (g( r 2 y ดังนั้น
2( r( cos( = (g( r 2 y
gr
y
r
q
g
cos
2
=
ความหนืด (Viscosity)
ของไหลทุกชนิดย่อมมีสมบัติอย่างหนึ่งคือ เมื่อมีวัตถุเคลื่อนที่ผ่านหรือเมื่อมันไหลผ่านวัตถุใดๆจะมีแรงเสียดทานกระทำต่อวัตถุโดยของไหลนั้นๆเสมอ สมบัติของของไหลที่ต้านทานการเคลื่อนที่ของวัตถุนี้เรียกว่า ความหนืด (viscosity) และแรงต้านทานการเคลื่อนที่ที่เกิดจากของไหลนี้เรียกว่า แรงหนืด (Viscous force) หรือแรงเสียดทานภายใน
เมื่อของไหลที่มีความหนืดเคลื่อนที่ จินตนาการได้ว่า ของไหลถูกแบ่งออกเป็นชั้นๆ แต่ละชั้นบางมากเปรียบเสมือนแผ่นกระดาษที่ประกอบเป็นหนังสือ สมมติของไหลถูกประกบอยู่ระหว่างแผ่นแก้วสองแผ่นขนานกัน แผ่นล่างตรึงอยู่กับที่ แผ่นบนถูกแรงขนานกับแผ่นแก้วดึงให้เคลื่อนที่ ชั้นของไหลที่ติดอยู่กับแผ่นบนจะเคลื่อนที่ติดไปกับแผ่นแก้วและมีความเร็วเท่ากับแผ่นแก้ว แต่ชั้นบางๆแต่ละชั้นที่อยู่ต่ำลงไปจะเคลื่อนที่ตามไปแต่จะมีความเร็วช้าลงไปเรื่อยๆ จนถึงชั้นล่างสุดที่อยู่ติดกับแผ่นแก้วแผ่นล่างจะไม่เคลื่อนที่เลยการไหลแบบนี้เรียกว่า ไหลแบบลามินาร์หรือแผ่นบาง (Laminar flow) ซึ่งจะทำให้เกิดแรงเสียดทานภายในระหว่างชั้นลามินา เมื่อพิจารณาแผ่นกระดาษที่ประกอบกันเป็นหนังสือ จะเห็นได้ชัดเจน เมื่อออกแรงที่ปกหนังสือดันผิวปกตามแนวขนานกับปกบน โดยมีผิวปกด้านล่างตรึงอยู่กับโต๊ะ ปกหนังสือด้านบนจะเย้ไปตามแรง กระดาษแผ่นแรกที่อยู่ติดกับปกจะเคลื่อนที่ไปตามปก แผ่นล่างลงไปจะเย้ตามแผ่นแรก แต่ระยะทางเคลื่อนที่จะน้อยกว่าแผ่นบนสุด และลดหลั่นลงไปเรื่อยๆจนกระทั่งถึงแผ่นสุดท้ายซึ่งจะไม่เคลื่อนที่เลย คืออยู่ติดกับแผ่นปกด้านล่าง ลักษณะคล้ายดังรูป เมื่อพิจารณาส่วนหนึ่งของของไหลคือ abcd ขณะยังไม่มีแรง F กระทำจะมีรูปร่างเหมือนเป็นแท่งสี่เหลี่ยมที่อยู่ระหว่างแผ่นขนาน เมื่อออกแรง F คงที่ดึงให้แผ่นบนเคลื่อนที่ได้ขณะหนึ่ง แผ่นบนเคลื่อนที่ได้ระยะทางสมมติให้เท่ากับ x ชั้นของไหลที่อยู่ติดกับแผ่นบนจะเคลื่อนที่ได้ระยะทาง x ด้วย แต่ชั้นถัดลงมาจะได้ระยะทางน้อยกว่า x และจนในที่สุดชั้นล่างสุดจะไม่เคลื่อนที่ แต่ละชั้นใช้เวลาเคลื่อนที่เท่ากัน ชั้นบนสุดจึงมีความเร็วสูงสุด และเท่ากับความเร็วของแผ่นบนที่ถูกแรง F ดึง
รูป การไหลแบบลามินาร์ของของไหลที่มีความหนืด
สมมติให้มีความเร็วเท่ากับ v เมื่อเวลามากขึ้นระยะทางที่แต่ละชั้นเคลื่อนที่จากตำแหน่งเดิมก็มากขึ้นด้วย และลดหลั่นกันลงมาเรื่อยๆ เช่นกัน แรง F ที่กระทำขนานกับพื้นผิว A ของแผ่นบนจะทำให้เกิดความเค้นเฉื่อย F/A ขึ้นที่ชั้นของของไหล อัตราส่วนของระยะทางที่ของไหลแต่ละชั้นเย้ไปจากเดิม
ต่อความสูงจากแผ่นล่างถึงชั้นนั้นๆ (d) เรียกว่า ความเครียดเฉือน ซึ่งจะมีค่ามากขึ้นเรื่อยๆ ตราบเท่าที่มีการเคลื่อนที่ในสภาวะที่เป็นของแข็งความเค้นจะมีค่าแปรผันตรงกับความเครียด สำหรับของไหลไม่เป็นเช่นนั้น กล่าวคือความเครียดมีค่าไม่คงที่แต่จะมีค่ามากขึ้นเรื่อยอย่างต่อเนื่อง โดยไม่มีขอบเขตจำกัดตราบเท่าที่ยังมีความเค้นกระทำอยู่ในกรณีของไหลความเค้นจึงแปรผันตรงกับอัตราการเปลี่ยนแปลงของความเครียดเฉือน นั่นคือ
เมื่อ v เป็นอัตราเร็วของชั้นลามินาร์ชั้นบนสุด และ L เป็นความหนาของชั้นของไหลทั้งหมด
ให้ ( (อ่านว่า อีต้า) แทนสัมประสิทธิ์แห่งความหนืด หรือเรียกย่อๆว่าความหนืด โดยกำหนดว่าความหนืดคือ อัตราส่วนระหว่างความเค้นเฉือนต่ออัตราการเปลี่ยนแปลงของความเครียดเฉือน นั่นคือ
d
v
A
F
/
/
=
h
หรือ
d
v
A
F
h
=
ของไหลที่ไหลได้ง่าย เช่น น้ำ และแก๊สโซลีน จะมีค่าความหนืดน้อยกว่าของไหลที่ไหลได้ยาก เช่น น้ำผึ้งหรือน้ำมันเครื่อง ความหนืดของของไหลทุกชนิดจะเปลี่ยนแปลงตามอุณหภูมิอย่างเห็นได้ชัดเจน เมื่ออุณหภูมิเพิ่มขึ้นของไหลที่เป็นแก๊สจะมีความหนืดมากขึ้น แต่ของไหลที่เป็นของเหลวจะมีความหนืดลดลง
หน่วยของความหนืดก็คือ หน่วยแรงคูณเวลาหารด้วยหน่วยของพื้นที่คูณความเร็ว นั่นคือ ในหน่วย SI จะเป็น 1 N.s/m2 ในหน่วย cgs จะเป็น 1 dyn . s/cm2 ซึ่งเป็นหน่วยที่ยังคงใช้กันอยู่เป็นประจำ ซึ่งเรียกว่า พอยส์ (poise) เพื่อเป็นเกียรติแก่นักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ชื่อ Jean Louis Marie Poiseuille
1 poise = 1 dyn . s/cm2 = 10 - 1 N.s/m2
ความหนืดของน้ำที่อุณหภูมิ 0( C เท่ากับ 1.79 cp และที่อุณหภูมิ 100( C เท่ากับ 0.28 cp ความหนืดของน้ำมันหล่อลื่นของเครื่องยนต์อยู่ระหว่าง 1 ถึง 10 poise และความหนืดของอากาศที่ 20( C จะเท่ากับ 181(p
ในสมการ
d
v
A
F
h
=
ได้มาจากกรณีพิเศษคือ เมื่อความเร็วของชั้นลามินาร์เพิ่มขึ้นด้วยอัตราคงที่ดังรูป จากชั้นล่างสู่ชั้นบน ในกรณีทั่วไปอัตราการเปลี่ยนความเร็วของชั้นลามินาร์ในทิศทางตั้งฉากกับทิศทางของการไหลจะเป็นอัตราส่วนระหว่างผลต่างของขนาดของความเร็ว (v ของชั้นลามินาร์ซึ่งหนา (y และเมื่อพิจารณาชั้นลามินาร์ที่มีความหนาน้อยๆ dy ผลต่างของขนาดความเร็วเป็น dv เมื่อแนว y เป็นแนวตั้งฉากกับทิศทางการไหล ดังนั้นสมการทั่วไปของสมการ
d
v
A
F
h
=
จึงอาจเขียนได้เป็น
ของไหลจริงที่เป็นไปตามสมการ
d
v
A
F
h
=
เรียกว่า ของไหลแบบนิวโตเนียน (Newtonian fluids) ซึ่งก็เป็นของไหลจริงตามอุดมคติอยู่นั่นเอง แต่มีของไหลจริงอีกหลายชนิดที่ไม่เป็นไปตามสมการ
อย่างไรก็ดีสมการ
d
v
A
F
h
=
ก็ยังเป็นสมการต้นแบบที่มีประโยชน์มากในการอธิบายสมบัติของของไหลได้เป็นอย่างดี
กฏของสโต๊ก (Stokes’ law)
เมื่อของไหลที่มีความหนืดไหลผ่านวัตถุที่มีรูปร่างเป็นทรงกลมแบบสายกระแส หรือวัตถุทรงกลมเคลื่อนที่ผ่านของไหลที่มีความหนืดที่อยู่นิ่ง จะมีแรงเสียดทานกระทำต่อทรงกลม (วัตถุที่มีรูปทรงแบบอื่นก็มีแรงชนิดนี้กระทำด้วยเช่นกัน) และแรงเสียดทานภายในหรือแรงหนืดที่กระทำกับทรงกลมจะมีรูปแบบเฉพาะดังนี้
เมื่อ ( คือสัมประสิทธิ์แห่งความหนืดของของไหล , r และ v เป็นรัศมี และอัตราเร็วของทรงกลมตามลำดับ ความสัมพันธ์ดังกล่าวนี้ Sir George Stoke เป็นผู้พิสูจน์ได้ในปี พ.ศ. 2388 (ค.ศ. 1845) จึงเรียกว่ากฏของสโต๊ก
เมื่อทรงกลมถูกปล่อยให้หล่นจากหยุดนิ่ง (v = o) ให้เคลื่อนที่ลงตามแนวดิ่งผ่านของไหลที่มีความหนืด แรงหนืดที่กระทำต่อทรงกลมในตอนเริ่มเคลื่อนที่จะเป็นศูนย์ แรงอื่นๆที่กระทำต่อทรงกลมจะมีเพียงสองแรงคือ แรงโน้มถ่วงหรือน้ำหนักของทรงกลมเองกับแรงลอยตัวของของไหล ถ้า (0 เป็นความหนาแน่นของทรงกลม , ( เป็นความหนาแน่นของขอไหล และ m เป็นมวลของทรงกลม
เนื่องจากแรงลัพธ์ที่กระทำต่อทรงกลมจะเท่ากับผลคูณของมวลของทรงกลมกับความเร่งของมัน ความเร่งขณะเริ่มต้นเคลื่อนที่ (ao) ซึ่งเป็นความเร่งสูงสุดจึงหาได้โดยใช้กฎข้อที่สองของนิวตัน คือ
ขณะที่ทรงกลมเคลื่อนที่ลงตามแนวดิ่งด้วยความเร็ว v แรงเสียดทานเนื่องจากความหนืดจะมีขนาดแปรผันตรงกับความเร็วของทรงกลมแต่มีทิศทางตรงกันข้าม แรงเสียดทานนี้จึงมีทิศทางชี้ขึ้นตามแนวดิ่ง ทำให้แนวผลลัพธ์ซึ่งมีทิศทางชี้ลงตามแนวดิ่งจะมีขนาดลดลงและสมการการเคลื่อนที่จะเป็น ดังนี้
a
r
rv
g
r
g
r
0
3
3
0
3
3
4
6
3
4
3
4
r
p
ph
r
p
r
p
=
-
-
และเมื่อ v มากขึ้นเรื่อยๆ a จะลดลงเรื่อยๆจนในที่สุดเมื่อ a เป็นศูนย์ วัตถุทรงกลมจะเคลื่อนที่ลง ด้วยความเร็วคงที่และเรียกความเร็วคงที่นี้ว่า ความเร็วท้าย (Terminal velocit y , vT ) และสามารถหาได้จากสมการข้างบนเมื่อ a = o นั่นคือ
สมการ
(
)
r
r
h
-
=
0
2
.
9
2
g
r
v
T
จะใช้ได้เมื่อ vT ไม่มากเกินไปจนเกิดการไหลอลวน ซึ่งเมื่อเกิดการไหลอลวนของของไหล แรงต้านทานการเคลื่อนที่จะมีค่ามากกว่าแรงหนืดตามกฏของสโต๊กเป็นอย่างมาก
การไหลจะเป็นแบบลามินาร์(Laminar) หรือไหลแบบอลวน(turbulent)ขึ้นอยู่กับปัจจัย 4 ประการคือ
1.ความหนาแน่นของของไหล(()
2.ความเร็วเฉลี่ย(v)
3.ความหนืด(()
4.เส้นผ่าศูนย์กลางท่อ(D)
ทั้ง 4 ค่ารวมกันเรียกว่า เลขจำนวนเรโนลดส์ (Reynolds number , NR) เขียนเป็นความสัมพันธ์ได้ว่า
ถ้า เลขจำนวนเรโนลดส์ มีค่าไม่เกิน 2,000 การไหลจะเป็นแบบลามินาร์ แต่ถ้าเกิน 3,000 การไหลจะเป็นแบบอลวน ถ้าอยู่ระหว่าง 2,000 และ 3,000 การไหลไม่แน่นอน อาจเป็นลามินาร์ หรือแบบอลวน ก็ได้เช่นการไหลของน้ำที่ 20 ( C (( = 10- 3 N-s-m- 2) ผ่านท่อซึ่งมีเส้นผ่าศูนย์กลาง 1.0 ซม. ด้วยความเร็วเฉลี่ย 10.0 cm/s เลขจำนวนเรโนลดส์เท่ากับ 1,000 เป็นการไหลแบบลามินาร์ แต่ถ้าน้ำที่ 20 ( C มีความเร็วเฉลี่ย เกิน 30.0 cm/s เป็นการไหลแบบอลวน
· การไหลของอากาศผ่านท่อซึ่งมีเส้นผ่าศูนย์กลาง 1.0 ซม. ที่ความเร็วเฉลี่ย 30.0 cm/s เป็นการไหลแบบลามินาร์ จะเป็นแบบอลวนจะต้องมีความเร็วเฉลี่ยเกิน 4.20 m/s
พลศาสตร์ของไหล(Fluid Dynamics)
เมื่อของไหลเคลื่อนที่สมบัติบางประการของของไหลจะเปลี่ยนไป เช่น ความดัน แม้จะอยู่ในระดับเดียวกันในภาชนะเดียวกัน ค่าความดันก็อาจจะไม่เท่ากัน ที่เป็นเช่นนี้แสดงว่ามันเกี่ยวข้องกับพลังงานจลน์ของของไหลขณะกำลังเคลื่อนที่ เช่น การไหลของกระแสน้ำในแม่น้ำหรือกระแสน้ำหลาก หรือการเคลื่อนที่ของควันบุหรี่ อนุภาคของน้ำหรือควันที่เคลื่อนที่จริงๆย่อมมีความสลับซับซ้อนยากที่จะคาดคะเนได้ถูกต้องสมบูรณ์ ของไหลที่ไหลอย่างไม่เป็นระเบียบ กระแสของการไหลจะสลับซับซ้อนอลวน แต่ในสภาวะที่เหมาะสมกระแสของการไหลจะเป็นระเบียบไม่เกิดการอลวน ซึ่งในสภาวะเช่นนี้เราเรียกว่า การไหลแบบสายกระแส(Streamline flow) การไหลในลักษณะเช่นนี้ สายกระแสแต่ละสายจะไม่พันหรือไขว้กันแต่จะไหลลู่ไปตามกัน อนุภาคที่ประกอบเป็นของไหลในแต่ละสายจะอยู่ในสายเดิมตลอดเวลา และทุกอนุภาคที่เคลื่อนที่ในสายใดสายหนึ่งเมื่อเคลื่อนที่ผ่านจุดตรึงจุดหนึ่งในสายนั้นๆความเร็วของทุกอนุภาคจะเท่ากันหมด ในกรณีพิเศษถ้าถือว่าของไหลนี้เป็นชนิดที่แรงกดดันไม่ทำให้ปริมาตรของมันเปลี่ยนแปลง (Incompressible fluid) ในขณะที่ไหลไม่มีแรงเสียดทานระหว่างสายกระแสหรือไม่มีความหนืด ซึ่งเราจะเรียกว่า ของไหลอุดมคติ(Ideal fluid) แก๊สที่มีความดันคงที่หรือมีผลต่างความดัน ณ บริเวณใกล้เคียงไม่มากเกินไป ก็ถือว่าเป็นของไหลอุดมคติได้ แรงเสียดทานภายในระหว่างชั้นขณะกำลังไหลจะก่อให้เกิดความเค้นเฉือน
ดังนั้น ของไหลในอุดมคติมีสมบัติดังนี้
1. ไม่มีความหนืด(nonviscous)
2. ไหลแบบสายกระแส(laminar)
3. ไม่มีการบีบอัด(incompressible)
4. ไม่มีการหมุน(irrotational)
สมมติของไหลอุดมคติไหลในท่อที่มีพื้นที่หน้าตัดเปลี่ยนแปลง มวลของของไหลที่ไหลผ่านพื้นที่ภาคตัดขวางใดๆในเวลาเท่ากันจะมีค่าเท่ากันเสมอ ถ้าของไหลที่ไหลผ่านพื้นที่ภาคตัดขวาง A1 มีอัตราเร็ว v1 และไหลผ่านพื้นที่ภาคตัดขวาง A2 มีอัตราเร็ว v2 ในเวลา dt มวลของของไหลที่ไหลผ่านพื้นที่ A1 และ A2 ให้เป็น dm1 และ dm2 ตามลำดับ
dm1 = (A1 ds1 = ( A1 v1 dt
dm1 = (A2 ds2 = ( A2 v2 dt
เมื่อ ( , ds1 และ ds2 เป็นความหนาแน่นของของไหลระยะทางที่ของไหลไหล– ไหลผ่านพื้น A1 และ A2 ในเวลา dt ตามลำดับ
ดังนั้น dm1 = dm2
หรือ ( A1 v1 dt = ( A2 v2 dt
หรือ A1 v1 = A 2 v2 = คงที่
เรียกสมการนี้ว่า สมการต่อเนื่อง(Continuity equaion) ปริมาณ Av ก็คืออัตราการไหลของปริมาตร จึงสามารถกล่าวได้ว่า ของไหลอุดมคติเมื่อไหลในท่อ อัตราการไหลของปริมาตรจะมีค่าคงที่
หรือ
=
=
Av
dt
dV
คงที่
เมื่อ
dt
dV
เป็นอัตราปริมาตรของของไหลที่ไหลผ่านภาคตัดขวางของท่อ เมื่อพื้นที่ภาคตัดขวางใหญ่ขึ้นอัตราเร็วของสายกระแสจะลดลง น้ำที่ไหลในแม่น้ำเมื่อไหลผ่านบริเวณที่แคบกระแสน้ำจะไหลเร็ว ในขณะที่เมื่อไหลผ่านบริเวณแม่น้ำที่กว้างกระแสน้ำจะไหลช้า หรือถ้าแม่น้ำกว้างสม่ำเสมอ บริเวณน้ำตื้นกระแสน้ำจะไหลเร็ว บริเวณน้ำลึกกระแสน้ำจะไหลช้า แต่อัตราการไหลของน้ำที่ไหลผ่านทั้งสองบริเวณจะเท่ากัน(ตามอุดมคติ) น้ำที่ไหลในท่อที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 1ซม.จะมีอัตราเร็วมากกว่าน้ำที่ไหลผ่านท่อที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 2 ซม. (ซึ่งเชื่อมติดกัน) ถึงสี่เท่า
สมการของแบร์นูลลี (Bernoulli s Equation)
จากสมการต่อเนื่อง เมื่อของไหลอุดมคติไหลในท่อที่มีพื้นที่ภาคตัดขวางเปลี่ยนไป อัตราเร็วของการไหลจะเปลี่ยนไปด้วย ทำให้พลังงานจลน์ต่อหนึ่งหน่วยมวลของของไหลเปลี่ยนไปด้วยและถ้าท่อไม่อยู่ในแนวระดับ พลังงานศักย์ต่อหนึ่งหน่วยมวลของของไหลก็เปลี่ยนไปด้วย ดังนั้นความดันของของไหลในท่อที่ตำแหน่งต่างๆก็จะเปลี่ยนไปด้วย นั่นหมายความว่าความดันของของไหลขณะที่กำลังไหลในท่อจะขึ้นอยู่กับอัตราเร็วของสายกระแสและขึ้นอยู่กับตำแหน่งความสูง ณ ภาคตัดขวางนั้นๆด้วย
เมื่อของไหลไหลขึ้นตามท่อ ณ ตำแหน่งสูงจากพื้น y1 มีภาคตัดขวาง A1 ของไหลมีอัตราเร็ว v1 และ ณ ตำแหน่งสูงจากพื้น y2 ภาคตัดขวางของท่อเป็น A2 ของไหลมีอัตราเร็ว v2 เมื่อ A1 และ A2 ไม่เท่ากัน v1 และ v2 ก็ย่อมไม่เท่ากัน ดังนั้นมวลของของไหลในช่วงนี้ก็จะไหลด้วยอัตราเร่ง แสดงว่าแรงลัพธ์ที่กระทำต่อมวลของไหลในช่วงนี้ไม่เป็นศูนย์ ณ ภาคตัดขวางของท่อเสมือนมีแผ่นลูกสูบบางๆ ซึ่งมีขนาดเปลี่ยนแปลงได้ตามภาคตัดขวางของท่อ ดังนั้นของไหลที่อยู่ทางด้านซ้ายของพื้นที่ A1 จะออกแรงดันลูกสูบ A1 ด้วยขนาดของแรง P1 A1 ไปทางขวา ในขณะเดียวกันของไหลที่อยู่ทางด้านขวามือพื้นที่ A2 ก็จะออกแรงดันลูกสูบ A2 มาทางซ้ายมือด้วยขนาดของแรง P2 A2 นั่นก็คือ แรงที่กระทำต่อของไหลจึงมาจากของไหลด้านข้างเคียง เมื่อแรง P1 A1 ไม่เท่ากับ P2 A2 มวลก็เคลื่อนที่มีความเร่ง ถ้าเวลาของการไหลผ่านไปเพียงเล็กน้อย, dt, ปริมาตรของของไหลที่ไหลผ่านพื้นที่ A1 และ A2 ย่อมเท่ากันให้เป็น dV โดยที่ dV = A1 ds1 =A2 ds2 เมื่อ ds1 และ ds2 เป็นระยะทางที่ลูกสูบ A1 และ A2 เคลื่อนที่ เมื่อใช้กฏอนุรักษ์พลังงาน ณ ตำแหน่งสูง y1 และ y2 ที่ว่างานผลลัพธ์ของแรงภายนอกที่กระทำต่อมวลจะเท่ากับผลต่างของพลังงานกลของมวล ณ ตำแหน่งทั้งสอง แรงภายนอก P1 A1 ทำงานและได้งานเท่ากับ P1 A1 ds1 แต่แรง P2 A2 ทำงาน แต่เสียงาน(ถอยหลัง) เท่ากับ P2 A2 ds2 ดังนั้นงานผลลัพธ์ในช่วงเวลา dt ให้เป็น d
dW = P1 A1 ds1 – P2 A2 ds = P1 dV – P2 dV
= (P1 - P2) dV
ผลต่างของพลังงานกลในช่วงเวลา dt ให้เป็น dE
1
1
1
2
1
2
2
2
2
1
dmgy
dmv
dmgy
dmv
dE
-
-
+
=
(
)
(
)
1
2
2
1
2
2
2
1
2
1
y
y
g
v
v
p
p
-
+
-
=
-
r
r
นี่คือสมการของแบร์นูลลี ซึ่งอาจกล่าวได้ว่า งานต่อหนึ่งหน่วยปริมาตรของของไหล (P1 – P2) มีค่าเท่ากับผลบวกของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ที่เปลี่ยนไปต่อหนึ่งหน่วยปริมาตรที่เกิดขึ้นขณะที่กำลังไหล
2
2
2
2
1
2
1
1
2
1
2
1
gy
v
p
gy
v
p
r
r
r
r
+
+
=
+
+
ดังนั้น
ซึ่งหมายความว่า ผลบวกของความดัน พลังงานจลน์และพลังงานศักย์ต่อหนึ่งหน่วยปริมาตรจะมีค่าคงที่เสมอ
ตัวอย่าง เครื่องมือที่ใช้วัดอัตราเร็วของการไหลของของเหลว ในท่อเรียกว่า เวนจูรีมิเตอร์ (Venturimeter) ดังรูป จงหาอัตราเร็ว V1 ในเทอมของพื้นที่ภาคตัดขวาง A1 และ A 2 และผลต่างของระดับความสูงของของเหลวในหลอดที่ตั้งในแนวดิ่ง
วิธีทำ กำหนดให้ตำแหน่งที่ 1 และที่ 2 อยู่ใต้ หลอดและอยู่ในแนวระดับตามแนวศูนย์กลางของท่อ และให้ y1 = y2 = 0 จากสมการของแบร์นูลลี
จาก
2
2
2
2
1
2
1
1
2
1
2
1
gy
v
p
gy
v
p
r
r
r
r
+
+
=
+
+
A1 v1 = A 2 v2
2
1
2
2
2
1
2
1
1
2
1
v
A
A
p
p
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
-
r
2
2
2
1
2
2
1
2
A
A
ghA
v
-
=
ตัวอย่าง แรงยกปีกเครื่องบิน ในขณะที่เครื่องบินกำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v กระแสอากาศจะไหลผ่านปีกเครื่องบิน ภาคตัดขวางของปีกเครื่องบินได้ออกแบบเป็นรูปกระสวย เพื่อให้กระแสอากาศที่ผ่านไม่เกิดการอลวน พื้นผิวด้านบนของปีกจะมีลักษณะโค้งพลิ้วลม พื้นผิวด้านล่างของปีกเป็นพื้นราบ ดังรูป ถ้าพื้นที่ผิวปีกด้านล่างเท่ากับ A และอากาศมีความหนาแน่น จงคำนวณหาแรงยกปีกเครื่องบินถ้ากระแสอากาศที่ไหลผ่านผิวบนของปีกเป็น V
วิธีทำ เนื่องจากผิวด้านบนของปีกโค้ง เมื่ออากาศไหลผ่านปีก อากาศที่ไหลผ่านผิวบนจะเคลื่อนที่เป็นระยะทางยาวกว่าที่อากาศไหลผ่านผิวล่างของปีก แต่สายกระแสอากาศใช้เวลาเดินทางเท่ากันจากหัวปีกถึงหางปีก โดยหลักการเคลื่อนที่สัมพัทธ์อากาศที่ไหลผ่านผิวล่างจะมีความเร็วเท่ากับเครื่องบิน (โดยประมาณ)
จากสมการของแบร์นูลลี
จาก
2
2
2
2
1
2
1
1
2
1
2
1
gy
v
p
gy
v
p
r
r
r
r
+
+
=
+
+
(P = P1- P2มีค่าเป็นบวก เพราะว่า P1 มากกว่า P2 ทั้งนี้เพราะ v น้อยกว่า V แรงดันปีกเครื่องบินอันเนื่องมาจากผลต่างของความดันที่ผิวล่างและผิวบนของปีก จึงเป็นแรงยก ให้เท่ากับ F
(
)
(
)
A
v
V
A
p
F
2
2
2
1
-
=
D
=
r
ถ้าเครื่องบินทั้งลำมีน้ำหนักรวม W และเครื่องบินบินอยู่ในแนวระดับพอดี แรงลัพธ์ในแนวดิ่งเท่ากับศูนย์ ดังนั้น
(
)
(
)
A
v
V
A
p
W
F
2
2
2
1
-
=
D
=
=
r
แรงยกพลวัต (Dynamic Lift)
เมื่อวัตถุที่มีรูปทรงเป็นทรงกลม เช่น ลูกฟุตบอล ลูกเทนนิส ลูกกอล์ฟ ลูกปิงปอง เป็นต้น เคลื่อนที่ผ่านของไหล หรือในทางตรงกันข้ามของไหลเคลื่อนที่ผ่านลูกบอลเหล่านี้ เมื่อของไหลไหลแบบสายกระแส สายกระแสที่ไหลผ่านทรงกลมทุกด้านจะมีอัตราเร็วเท่ากันหมด(ด้านหลังทรงกลมจะเกิดกระแสอลวนบ้างเล็กน้อยและในที่นี้จะไม่นำมาคิด) แต่เมื่อทรงกลมหมุน สายกระแสของไหลที่อยู่ชิดกับผิวของทรงกลมที่หมุนไปทางเดียวกับสายกระแสจะมีอัตราเร็วสูงขึ้นกว่าเดิม ในขณะที่สายกระแสของของไหลที่อยู่ชิดกับผิวของทรงกลมที่หมุนตรงกันข้ามกับสายกระแสที่อยู่ชิดกับผิวของทรงกลมที่หมุนตรงกันข้ามกับสายกระแสจะมีอัตราเร็วช้าลงกว่าเดิมดังรูป ซึ่งมีผลทำให้ความดันที่ผิวของทรงกลมด้านที่อัตราเร็วของสาย
กระแสสูงกว่า มีค่าน้อยกว่าความดันที่ผิวของทรงกลมด้านที่สายกระแสมีอัตราเร็วต่ำกว่า ผลต่างความดันนี้จึงทำให้เกิดแรงยกพลวัตผลักให้ทรงกลมเคลื่อนที่เบนไปทางที่แรงกระทำ ดังรูปเช่น ถ้าลูกบอลหมุนในระนาบดิ่งโดยหมุนตามเข็มนาฬิกา ขณะกำลังเคลื่อนที่ไปทางขวามือในอากาศ จะถูกแรงพลวัตดึงลงข้างล่าง ทำให้ลูกบอลตกสู่พื้นดินเร็วกว่าปกติ แต่ถ้าลูกบอลหมุนทวนเข็มนาฬิกา แรงพลวัตจะยกขึ้นทำให้ลูกบอลขึ้นได้สูงกว่าปกติและเคลื่อนที่ได้ระยะทางมากกว่าปกติ และถ้าลูกบอลหมุนในระนาบระดับเมื่อมองขึ้นดูตามแนวดิ่งเห็นหมุนตามเข็มนาฬิกา แรงพลวัตจะดันไปทางซ้ายมือทำให้เส้นทางเคลื่อนที่ไม่อยู่ในระนาบดิ่ง แต่จะเลี้ยวโค้งไปทางซ้ายมือ ในทางตรงกันข้ามถ้าลูกบอลหมุนทวนเข็มนาฬิกาในระนาบระดับ ลูกบอลจะเลี้ยวโค้งไปทางขวามือ ตัวอย่างเช่น การตีลูกหมุนของปิงปองหรือเทนนิส หรือการเตะลูกโค้งของฟุตบอล เป็นต้น
� EMBED Equation.3 ���
P2 - P1 = - ( g ( y2 - y1 )
P = Pa + (gh
P = (gh
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
อัตราการเปลี่ยนแปลงของความเครียดเฉือน = � EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���ค่าคงที่
12
ฟิสิกส์ ของไหล (Fluid) | รร.มหิดลวิทยานุสรณ์