大学院物理システム工学専攻大学院物理システム工学専攻 20042004 年度年度固体材料物性第固体材料物性第 77 回回

－光と磁気の現象論－光と磁気の現象論 (2)(2) －－佐藤勝昭佐藤勝昭

ナノ未来科学研究拠点ナノ未来科学研究拠点

復習コーナー復習コーナー第６回に学んだこと第６回に学んだこと

光と磁気の現象論（１）光と磁気の現象論（１） 円偏光と磁気光学効果円偏光と磁気光学効果 光と物質の結びつき光と物質の結びつき

誘電率テンソル誘電率テンソル

質問コーナー質問コーナー (1)(1)

誘電率テンソルの対角とは何ですか（誘電率テンソルの対角とは何ですか（ MM ）） A:A: 添え字が添え字が xx, yy, zzxx, yy, zz のように対角線上に来るものように対角線上に来るも

のを対角成分、のを対角成分、 xy, yz, zxxy, yz, zx のように対角線上になのように対角線上にないものを非対角成分といいます。いものを非対角成分といいます。

異方性がある場合の誘電率テンソルはどのよ異方性がある場合の誘電率テンソルはどのように考えればよいのでしょううに考えればよいのでしょう (H)(H) A: A: １軸異方性があり、対称軸に平行な磁化があ１軸異方性があり、対称軸に平行な磁化があ

る場合は、等方性の場合と同じですが、任意の方る場合は、等方性の場合と同じですが、任意の方向を向いているときは、全ての非対角成分が有限向を向いているときは、全ての非対角成分が有限の値をとります。の値をとります。

質問コーナー質問コーナー (2)(2)

偏光の本をちらっと見た程度なのですが、偏偏光の本をちらっと見た程度なのですが、偏光をジョーンズベクトルと？ベクトルの２種光をジョーンズベクトルと？ベクトルの２種類で表すことができると書いてあったような類で表すことができると書いてあったような気がするのですが。（気がするのですが。（ OO ）） A:A: ジョーンズベクトルとストークスベクトルでしジョーンズベクトルとストークスベクトルでし

ょう。光学の世界では、これらの標記がよく使わょう。光学の世界では、これらの標記がよく使われます。いくつもの光学素子の組み合わせのとき、れます。いくつもの光学素子の組み合わせのとき、素子に対応するジョーンズ行列、ストークス行列素子に対応するジョーンズ行列、ストークス行列の積で表されるので形式的にきれいだし便利です。の積で表されるので形式的にきれいだし便利です。でも、意味がわからなくなるといけないのでここでも、意味がわからなくなるといけないのでここでは、その表記法は用いません。では、その表記法は用いません。

質問コーナー（３）質問コーナー（３） 誘電率テンソルの量をどのように測定するの誘電率テンソルの量をどのように測定するの

ですか。（ですか。（ MM ）） A:A: 　対角成分は普通のオプティクスで、　対角成分は普通のオプティクスで、 nn 、、 κκ をを

求め、求め、 εεxxxx’=n’=n22-κ-κ22, ε, εxxxx”=2nκ”=2nκ によって求めます。非によって求めます。非対角成分については、回転角対角成分については、回転角 θθ 、楕円率、楕円率 ηη と光学と光学定数定数 n,κn,κ とを用いて計算で求めます。とを用いて計算で求めます。

これについては、あとで触れます。光と磁気改訂これについては、あとで触れます。光と磁気改訂版版 p58 p58 問題問題 3.123.12

質問コーナー質問コーナー (4)(4)

電子分極の周波数領域では比透磁率は１とで電子分極の周波数領域では比透磁率は１とできるとのことでしたが、ワニエ励起子生成のきるとのことでしたが、ワニエ励起子生成の場合はどの領域ですか（場合はどの領域ですか（ II ）） A:A: 　非磁性半導体の励起子を考えている限り、比　非磁性半導体の励起子を考えている限り、比

透磁率は１として扱うことができます。磁性半導透磁率は１として扱うことができます。磁性半導体でも、バンドギャップ領域では、強磁性共鳴の体でも、バンドギャップ領域では、強磁性共鳴の周波数（周波数（ GHzGHz 領域）より十分周波数が高いので比領域）より十分周波数が高いので比透磁率は１です。透磁率は１です。

第７回に学ぶこと第７回に学ぶこと 光の伝搬とマクスウェルの方程式光の伝搬とマクスウェルの方程式

固有解：波動解、固有値：複素屈折率固有解：波動解、固有値：複素屈折率 ファラデー配置の場合の固有値と固有状態ファラデー配置の場合の固有値と固有状態

２つの固有値と対応する固有状態（円偏光）２つの固有値と対応する固有状態（円偏光） フォークト配置の場合の固有値と固有状態フォークト配置の場合の固有値と固有状態

磁気誘起の複屈折磁気誘起の複屈折 ファラデー効果の現象論ファラデー効果の現象論

ファラデー効果と誘電率テンソルファラデー効果と誘電率テンソル

マクスウェルの方程式マクスウェルの方程式 光の電界ベクトルを光の電界ベクトルを E E 、電束密度ベクトルを、電束密度ベクトルを DD 、、

磁界ベクトルを磁界ベクトルを HH 、磁束密度ベクトルを、磁束密度ベクトルを BB 、電流を、電流をJJ とすると、次の関係が成立する。とすると、次の関係が成立する。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3.17)(3.17)

（（ SISI 単位系）単位系）

JD

H

BE

t

t

rot

rot

マクスウェル方程式をマクスウェル方程式を EE とと HH で表で表すす

簡単のため， 簡単のため， JJ=0=0 と置く。と置く。 [[ 伝導電流を分極伝導電流を分極電流（変位電流）の中に繰り込む電流（変位電流）の中に繰り込む ]]

BB とと HH 、、 DD とと EE の関係式の関係式

　を代入して、式　を代入して、式 (3.17)(3.17) は次のように書き変えは次のように書き変えられる。 られる。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3.18)(3.18)

EεD

HB

0

0

ε

μ~

t

t

EεH

HE

0

0

~rot

rot

誘電率テンソル

平面波の解を仮定する平面波の解を仮定する 波数ベクトル波数ベクトル KK としてとして

　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 (3.19)(3.19)

ここにここにＥＥ 00 ，，ＨＨ 00 は時間や距離に依存しない定数ベクは時間や距離に依存しない定数ベクトルである。この式を式トルである。この式を式 (3.18)(3.18) に代入すると、に代入すると、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

となる。となる。

)exp()exp(

)exp()exp(

0

0

rKHH

rKEE

iti

iti

EεεHK

HEK

0~ω

ωμ0

固有方程式固有方程式 両式から両式から HH を消去し、を消去し、

固有方程式として固有方程式として

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　(3.20)(3.20)

が得られる。問題が得られる。問題 3.13.1 参参照照

0~)/()( 22 EcEKKKE

EEKKEKKHK 000

~1)(

1

問題３．１ 式問題３．１ 式 (3.19)(3.19) を式を式 (3.18)(3.18) に代入して式に代入して式 (3.20)(3.20)を導け。ただし、ベクトル積の公式　　　　　　　　を導け。ただし、ベクトル積の公式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　を利用せよ。　　　　　　　　　　　を利用せよ。 　　　　　　　　から　　　　　　　　から HH を消去することによりを消去することにより

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　を得るを得る

ここで上の公式を利用してここで上の公式を利用して　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　が導かれる　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　が導かれる

のでので

　　　　　が導かれた　　　　　　　　　　　が導かれた　　　　　　

CABBACCBA )()()(

EEKKEKKHK 000

~1)(

1

EεεHK

HEK

0~ω

ωμ0

EKKEKEEKK )()(

0~)/()( 22 EεEKKE cK

この式を解いてこの式を解いて KK の固有値と対応する電界ベクの固有値と対応する電界ベクトルトル EE の固有関数を求めよう。ここで複素屈折の固有関数を求めよう。ここで複素屈折率率 NN 、すなわち、、すなわち、 NN==nn+i+i を導入する。ここにを導入する。ここにnn は屈折率、は屈折率、は消光係数である。媒質中においは消光係数である。媒質中において波数て波数 KK は　は　 　　　　　　　　　　　　　　　で表される　　　　　　　　　　　　　　　で表される [1][1]。 。

[1][1]波数波数 KK はは 2π/λ’2π/λ’ となる。ここにとなる。ここに’’は媒質中での波は媒質中での波長で、媒質中での光速を長で、媒質中での光速を c’c’ とすると　　　と表されとすると　　　と表される。媒質中での光速る。媒質中での光速 c’c’ は屈折率をは屈折率を nn とするととすると c/nc/n でで与えられるから、与えられるから、 K=K=n/cn/c である。ここで屈折率をである。ここで屈折率を拡張して複素屈折率拡張して複素屈折率 NN 、すなわち、すなわち nn+i+i を導入すると、を導入すると、

となる。となる。

cicncNK ///

cicc /// nNK

を解く0~)/(( 22 EεEKK)KE c

波数ベクトルの向きに平行で長さが波数ベクトルの向きに平行で長さが NN であるよであるような屈折率ベクトルうな屈折率ベクトル NN を用いると、を用いると、 (3.19)(3.19) の第の第１式は１式は

（３．２１）（３．２１） となり、固有方程式となり、固有方程式 (3.20)(3.20) はは

（３．２２）（３．２２） によって記述できる。以下では、によって記述できる。以下では、 2.32.3 に述べた２に述べた２

つの配置つの配置 (( ファラデー配置とフォークト配置ファラデー配置とフォークト配置 )) にについて固有値を求める。 ついて固有値を求める。

)}/(exp{0 cti rEE N

0~)(2 EEEN NN

ファラデー配置の場合ファラデー配置の場合 ((=0)=0)

磁化が磁化が zz 軸方向にあるとして、軸方向にあるとして、 zz 軸に平行に進む波軸に平行に進む波 ((NN //z//z)) に対して式に対して式 (3.21)(3.21) は は

と表される。固有方程式と表される。固有方程式 (3.22)(3.22) はは

と書ける。この方程式がと書ける。この方程式が EE00 の解をもつためには、の解をもつためには、上式において上式において EE の係数の行列式がの係数の行列式が 00 でなければならなでなければならない。こうして次の永年方程式を得る。い。こうして次の永年方程式を得る。 (( 問題問題 3.23.2 参照参照 ))

)}/(exp{0 cNztiEE

0

00

0

02

2

z

y

x

zz

xxxy

xyxx

E

E

E

N

N

永年方程式永年方程式 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（３．２　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（３．２

５）５）

これより、これより、 NN22 の固有値として２個の値 の固有値として２個の値 （３．２６）（３．２６）

を得る。　　これらの固有値に対応する固有関数は、を得る。　　これらの固有値に対応する固有関数は、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（３．２７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（３．２７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

EE++ 、、 EE-- は、それぞれ、右円偏光、左円偏光に対応する。 　　は、それぞれ、右円偏光、左円偏光に対応する。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

0

00

0

02

2

zz

xxxy

xyxx

N

N

xyxx iN 2

)(iexp{)i(20 z

c

Ntji

EE

固有関数は円偏光固有関数は円偏光

フォークト配置の場合フォークト配置の場合 NN22 の固有値としての固有値として 　　　　　　　　　および　　　　　　　　　および

という２つの解を得る。 という２つの解を得る。 NN11およびおよび NN22 に対応すに対応する固有関数は る固有関数は

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3.33)(3.33)

となり、複屈折を生じる。となり、複屈折を生じる。 (( コットンムートン効コットンムートン効果果 ))

xx

xyxxN

2

21 zzN 2

2

k

ji

xc

NtiBE

xc

NtiAE xxxy

22

11

exp

exp

3.33.3 のまとめのまとめ 光の伝搬をマクスウェルの方程式で記述する光の伝搬をマクスウェルの方程式で記述する

と，磁化された等方性物質の屈折率と，磁化された等方性物質の屈折率 NN はは で与えられる２つの固有値をとり，それぞれで与えられる２つの固有値をとり，それぞれ

が右円偏光および左円偏光に対応する．（こが右円偏光および左円偏光に対応する．（ここに，こに， εεxxxx は誘電テンソルの対角成分，は誘電テンソルの対角成分， εεxyxy はは非対角成分である．）もし，非対角成分である．）もし， εεxyxy が０であれが０であれば，円偏光は固有関数ではなく，磁気光学効ば，円偏光は固有関数ではなく，磁気光学効果は生じない．果は生じない．

xyxx iN 2

左右円偏光に対する光学定数の差と誘左右円偏光に対する光学定数の差と誘電率テンソルの成分の関係電率テンソルの成分の関係

磁化と平行に進む光の複素屈折率の固有値は磁化と平行に進む光の複素屈折率の固有値は式式 (3.26) (3.26)

　　　　　　　　　　　　 , , 置き換え置き換え

ここにここに その結果 　　　　　　　　　　　　　　　　その結果 　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　を得る　　　を得る

xyxx iN 2

inN inN

2;

2;;

nn

nnnn

NNininin

nN 2

1)(

2

1)(

22

inNNN

nnnn

nn

xyxy

xxxx

2;22

複素ファラデー回転角複素ファラデー回転角 ΔnΔn とと ΔκΔκ をを εεxyxy を使って表す。を使って表す。

ΔNΔN に書き直すとに書き直すと

複素ファラデー回転角複素ファラデー回転角 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　→　　　　　　　　　　　　　　　　　　　→

2222;

n

n

n

nn xyxyxyxy

xx

xyxyxy i

n

iiniinN

22

))((

c

Nin

cF 22

xx

xyF

i

c

2

磁気光学の式磁気光学の式 ((続き続き ))

xx

yxyxxxyxxx iiiNNN

ˆˆˆ

2)2(21)0(

)1(

ˆ

M

Mi

iN

xxxx

xy

xx

yxF

磁気光学効果には対角・非対角両成分が寄与