張力構造の形態解析と汎関数に関する基礎的考察 - 2009
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構造工学論文集 Vol.55 B(2009年 3月) 日本建築学会
張力構造の形態解析と汎関数に関する基礎的考察 FUNDAMENTAL STUDY ON SHAPE-FINDING OF TENSION STRUCTURES AND RELATED
FUNCTIONALS
三木優彰＊, 川口健一＊＊ Masaaki MIKI, and Ken’ichi KAWAGUCHI
Shape-finding of tension structures is the process in which we find the appropriate shape that enables the structures to have the initial self-equilibrated states, so-called prestress states. For the shape-finding we usually carry out numerical analysis to solve special equations. Equations are formulated according to the self-equilibrated states or the stational condition of special functionals. This paper proposes generalization of functionals for shape-finding of tension structures. The generalization contains formulations of foregoing methods, such as, force density methods and minimal surface problems. Each functional gives different results of shape-finding while they all satisfy the condition of self-equilibrated states. Some of the newly introduced functionals enables us to find the shape of tension structures with compressive components, such as Tensegrities. In the first half of the paper the concept of the generalization is introduced. In the second half some numerical results are shown and discussed.
Keywords : Computational Morphogenesis, Shape-Finding, Tension Structure, Cable-Net Structure,
Membrane Structure, Tensegrity, Functional, Force Density Method
形態解析, 形状決定，張力構造, ケーブルネット構造, 膜構造, テンセグリティ,
汎関数, 応力密度法
1 はじめに
ケーブルネット構造、張力膜構造、テンセグリティ構造などの張
力構造は初期張力(プレストレス)の導入により剛性が付与され安
定化される。したがって、初期張力の導入が可能な適切な形状を与
える必要があり、これは一般に形状決定問題として知られている。
張力構造の形状決定問題には種々の方法が既に提案されているが、
本報告では、汎関数の設定に自由度があり、これを適当に選ぶ事で、
解を安定的に得ることができる場合があることについて示す。また、
極小曲面や応力密度法などとの関連についても述べる。
張力構造の形状決定法としてよく知られているものに 1973年
H.J.Schekにより提唱された応力密度法がある 1)。これは、主にケー
ブルネット構造の形状決定を目的としたもので、「応力密度」と呼
ばれる量とネットワークのコネクティビティを既知量として与え
る事により、1回の線形逆計算で形状決定が行える簡便な方法であ
る。1999年 B. Maurinと R. Motroは応力密度法を利用し、膜応力密
度法 2)を提唱した。離散化された全ての膜要素の「膜応力密度」と
呼ばれる量と境界部分の応力密度、さらに膜面のトポロジーを既知
とすることで膜構造の形状決定を行う方法である。この定式化は非
線形問題となるため、元来の応力密度法がもっていた簡便性という
魅力は継承されていない。M.R.Barnesは動的緩和法をケーブルネッ
ト構造の形状決定に応用し、効率的に力の釣り合い方程式を解く方
法を提案し、これを張力構造の形状決定に適応できる事を示してい
る 3)。
張力構造の形状決定手法としては、系のポテンシャルエネルギー
を最小化する手法も様々に提案されている。これらは拘束条件の下
での汎関数の停留問題としてとらえることが出来る。代表的なもの
として、真柄、川股、国田らによる混合法 4) (ケーブルネットの形
状決定および大変形追跡)、野口らによる変分法に基づいたテンセ
グリティの形状決定 5)、複数の研究者による極小曲面に関する研究6)7)8)9)などがある。また、V.Horakによる逆変分原理 10)のようなアプ
ローチも最適化の分野でよく知られている。
本報では、張力構造の形状決定に関して物理的な意味にとらわれ
ない汎関数の自由な設定という視点を導入し、基礎的検討を行う。
2 形状決定の定式化について
2.1 拘束条件つき最適化問題
張力構造の形状決定には種々のアプローチがあるが、本報告では、
「与えられたトポロジーと境界条件の下でプレストレスの導入可
能な自己釣り合い形状を決定すること」を目的と考える。このよう
な形状決定問題の解法は大きく分けて
*東京大学大学院工学系研究科・大学院生 Graduate Student, Dept. of Engineering, Tokyo Univ.
**東京大学生産技術研究所 教授・工博 Prof., IIS, University of Tokyo, Dr. Eng.
１． 釣り合い方程式を満たす形状を直接求めるもの
２．汎関数の停留問題に帰着されるもの
の 2系統に分類することができる。例えば、応力密度法は１の例で
あり、極小曲面を求める形状決定法は２の例である。しかし、適当
な汎関数を仮定する事で、１の解法を 2の解法に帰着して理解する
事も可能である。
上記の２の解法として、最も単純な最適化問題
.nodesfixedallfor0)(tosubject
minimizeMembraneCable
=−
+ ∑∑
kk
jsjjlj
XX
SwLw
(1)
を考える。ここに jL は形状決定する構造に付随し、最小化の対象
となる幾何学的な長さであり、 jS は同様の面積であっていずれも
正の実数である。 kX は固定点の座標、wは重み係数である。拘束
条件も様々なものが考えられるが、ここでは構造の一部に固定点を
指定するなどの単純な幾何学的境界条件の指定を例として考えて
いる。wも正の実数として与えた場合、拘束条件が無ければ、最小
解は jL も jS も零となる。図 1，図 2に単純な例題（四隅を固定点
とした平面張力膜の形状決定問題）を示す。
図 1 張力構造の例 1
(a)境界長さ最小 (b)面積最小 (c) (a)と(b)の中間の解 図 2 例 1の最適化の例
図 2(a)はケーブル材の長さを最小化した形状であり、(b)は膜材の
面積を最小化した形状である。固定点は一辺が 10の正方形の頂点
に配置した。適当な重み付けを行うと(c)のように lw と sw の比に応
じてその中間の形状が得られる。(c)は lw : sw =20:1のときの形状で
ある。
2.2 汎関数の停留問題
前節での拘束条件に Lagrange未定乗数法を適用すれば、(1)式は
一価の汎関数の停留問題として
stationary)(
),(
NodeFixed
MembraneCable
→−
++=Π
∑
∑∑
kkk
jsjjljsys
XX
SwLw
λ
λx (2)
と書ける。x は形状パラメータ ix を、λは Lagrange未定乗数 kλ を
ベクトルとして並べたものである。
今、(2)式が停留したとき、汎関数 sysΠ の第一変分について
0xx
=∂Π∂
δsys (3)
より、
ixX
xS
SSw
xL
LLw
i
kk
i
j
j
jsj
i
j
j
jlj
allfor0
)()(
NodeFixed
MembraneCable
=∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
∑
∑∑
λ (4)
が成立している。ここで、
sjj
jsjlj
j
jlj wS
Sww
LLw
=∂
∂=
∂∂ )(
,)(
(5)
であるから(４)式は、
ixXxS
wxL
w
i
kk
i
jsj
i
jlj
allfor0NodeFixed
MembraneCable
=∂∂
+∂∂
+∂∂
∑
∑∑
λ (6)
と書く事ができる。この式は、後述のように形状パラメータの評価
点 xiにおける釣り合い式として理解する事が出来る。つまり、外力
項のない(6)式は、(2)式が停留したとき、その形状は与えられた拘
束条件のもとで自己釣り合い力モードを少なくとも一つ持つこと
を示している。(2)式は、たとえば表面エネルギーが表面積に比例
するものと考えれば、拘束条件付き極小曲面の汎関数と考えられる
こともできる 8)。
極小曲面の場合は、最小化する汎関数の値が面積や長さといった
幾何学的に限定された意味を持っていたが、これは力の釣り合いと
いう観点に立つと必ずしも必要不可欠な限定ではない。これを示す
ために、最小化の対象となる汎関数を、長さや面積の累乗まで拡張
して考えてみる。(2)式の各項を重み係数まで含めた形で、次式の
ように与えてみる。
...,,)( 42jljjljjljjj LwLwLwL =π (7)
...,,)( 42jsjjsjjsjjj SwSwSwS =π (8)
などとすると、全体の汎関数は、
∑∑∑ −++=ΠNodeFixedMembraneCable
)(.)(.)(),( kkkjjjjsys XXλSL ππλx (9)
の形に書かれる。汎関数 Πが xについて停留したとき、
0=Π sysδ (10)
より
∑
∑∑
=∂
∂+
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
k i
kk
j i
j
j
jj
j i
j
j
jj
ixXxS
SS
xL
LL
allfor0
)()(
λ
ππ
(11)
ここで、
jj
jjj
j
jj
SS
fL
Lσ
ππ=
∂∂
=∂
∂ )(,
)( (12)
とおけば、
ixX
xS
xL
f
i
kk
i
jj
i
jj
allfor0NodeFixed
MembraneCable
=∂∂
+∂∂
+∂∂
∑
∑∑
λ
σ (13)
と書け、(6)式と同じ形式となる。ここで、i
j
xL
∂∂が長さの方向余弦、
i
j
xS
∂∂が面積領域の境界上における法線方向であることを考えると
(13)式は外力のない状態における釣り合い式と同じ形をしている
ことがわかる。第 1項は長さ領域における軸力 jf の合力成分を表
す。第 2項は面積領域がその境界に垂直に単位長さあたり jσ （膜
応力）の力を負担しているときの合力成分を表す。これは面積領域
が平面的に定応力かつ等方静圧状態であり、厚さが一様と仮定した
ときの釣り合いである。従って、停留解はその汎関数に幾何学的意
味があるかないかに拘わらず、自己釣り合い力モードが少なくとも
一つ存在する構造形態を表していると考えることができる。
(12)式より、重み係数 sjlj ww , の形式を予測することができる。そ
れぞれの物理量に対応する、重み係数の意味を考えると次表のよう
になる。
表１ 種々の汎関数と重み係数
汎関数 jlj Lw 2jlj Lw 3
jlj Lw 4jlj Lw
ljw jf j
j
Lf
21 23
1
j
j
Lf
341
j
j
Lf
汎関数 jsj Sw 2jsj Sw 3
jsj Sw 4jsj Sw
sjw jσ j
j
Sσ
21 23
1
j
j
Sσ
341
j
j
Sσ
ここで対となる二つの量、たとえば、汎関数 wljLj4についていえ
ば 341
j
jlj L
fw = と 4
jL を掛け合わせると必ずエネルギーの次元とな
っていることに着目する。
本手法は応力密度法においては既知量として応力密度という量
を指定するのに対し、応力密度にこだわらず、多様な量を考え、そ
れに見合った汎関数の停留問題を設定する事で、力の釣合方程式を
直接解かず、解を得ることができる手法と位置づけることができる。
次に汎関数の持つ意味について考える。例えば、 sjw をすべて零
とおいた汎関数∑j
jlj Lw 2 の形状パラメータ xiに対する停留条件は
(14)式で表される。
02
0)( 2
=∂∂
=∂
∂
∑
∑
j i
jjlj
j i
jlj
xL
Lw
xLw
(14)
これはベクトル jljj Lwf 2= と勾配ベクトルi
j
xL
∂∂の直交性を示し
ており、見方を変えると形状変化に対して軸力のなす仕事が停留し
たと考えることができ、いわゆる力学的なつりあい状態を示してい
る 16)。また、このことから、表１に示すような様々な汎関数を用い
た停留状態は、同じものを意味してはいないことに注意する必要が
ある。
図 3に示す例題(立体ケーブルネット構造、節点数 100)において
長さの様々な累乗和を最小化した解を図 4～7に示す。ここでは表
面積については考慮せず、長さに関する累乗和の最小化のみを行っ
ている。図 4～7のそれぞれの解において、長さの総和、2乗和、4
乗和、6乗和をそれぞれ計算し表 2に示す。表 2に示す諸量を左か
ら右へ見ていくと、最小化した目的関数が、他の解よりも小さな値
をとっていることが確認できる。
得られた形状はそれぞれ異なるが、初期張力の導入可能なケーブ
ルネット構造の初期形状としていずれも利用できることが分かる。
図 3 例題 2(カッコ内は固定点座標値を表す)
図 4 長さの最小化
図 5 長さの 2乗和の最小化
図 6 長さの 4乗和の最小化
図 7 長さの 6乗和の最小化
表 2 長さの累乗和を最小化したときの、諸量
目的関数
諸量
1.38×102 3.24×102 3.94×102 4.11×102
2.00×103 6.41×102 7.35×102 7.81×102
4.76×105 6.15×103 2.86×103 2.96×103
1.16×108 1.11×105 1.31×104 1.20×104
∑ 2L ∑ 4L ∑ 6L∑L
∑L
∑ 2L
∑ 4L
∑ 6L
3 テンセグリティ構造への応用
(7)(8)式に示す様々な汎関数が特に圧縮材を含む張力構造の形状
決定に有効である事を示す為に、以下に、圧縮部材（以下ストラッ
ト）と引っ張り部材（以下ケーブル）のみで構成され、固定点をも
たないテンセグリティ構造の形状決定問題を例示する。まず、汎関
数としてケーブル要素の長さの 2乗を選び、ストラット要素の長さ
は拘束条件として与えることとすると、全体の汎関数は、次式のよ
うになる。
stationary)(StrutCable
2 →−+=Π ∑∑ kkkjljsys LLLw λ (15)
すべての重み係数 ljw を 1としたとき、(15)式の停留解を求めると
解は不定となる。図 8に示す X型テンセグリティ（太線で表した 2
本のストラット要素は交点で接続されていない）を例にとると、図
9のように無数の解が見つかる。これは三平方の定理が成立する長
さの組み合わせが全て解の資格を満たしてしまうためである。
この不定性は全ての固定点を持たない自己釣り合い系について
生じる。これは応力密度法 1)を用いて確かめることができる。応力
密度法は全てのケーブル部材とストラット部材に応力密度
（j
jj L
fq = ）を指定し、ストラットには負の応力密度を与え力の釣
り合い方程式を直接解くが、その手順はまさに(14)式の停留条件と
等価となることがわかる。
(a) 解 1 (b) 解 2
図 8 Xテンセグリティ
図 9 複数の解
応力密度法を用いると 2次元の自己釣合系の力の釣り合いは
0Dy0Dx
==
(16)
と記述される。文献 11)12)によれば、(16)式が平面形状を表す解を
持つためには Dは 3次元の零空間を持たねばならない。これは、
テンセグリティの退化条件と呼ばれ、Dの零空間が 2次元であれば
解は直線状になり、1次元であれば全節点が 1点に集中してしまう。
応力密度法によるテンセグリティの形状決定は文献 13)14)15)などに
詳しい。Dが零空間を持つならば(16)式の解は必ず不定解となる。
このとき(15)式の解も不定解となる。
ここで試みに汎関数を Lの 4乗に変更した場合について考えてみ
る。
stationary)(StrutCable
4 →−+=Π ∑∑ kkkjljsys LLLw λ (17)
すると三平方の定理に起因する不定性はなくなり、すべてのケー
ブルに等しい ljw を与えたとき図 9(a)に示す解が得られる。すなわ
ち応力密度法と同様な不定性は(15)式を汎関数とした場合にのみ
生じ、(17)式のような汎関数を与えれば不定性を回避できることが
わかる。重み係数 ljw の与え方に任意性があるのは応力密度法と変
わらない。そこで、向かい合う 2本のケーブル毎に 2グループに分
け、 ljw を 1:8としたときについて計算すると図 9 (b)に示す解が得
られる。このとき 8倍の ljw を与えた 2本のケーブルは他の 2本に
比べ短くなった。
表１によれば、 ljw は、
341
j
jlj L
fw = (18)
となる。これを応力密度に代わって与え汎関数の停留条件を解く。
4 応用例
本章では適切な汎関数の選択により、安定的に解が得られた例を
紹介する。これらの例題ではどのような重み係数を設定しても必ず
解は収束し、安定的に形状を得ることが出来た。
解法としては汎関数の停留条件を直接解くのではなく、射影勾配
法を用いて簡便に目的関数の最小化を行っている。
また、与える初期値はすべての節点座標に-2.5～2.5の範囲でラン
ダムに与えた。本報における汎関数の停留解は唯一とは限らず、従
って複数の局所最適解が得られる場合がある。20ストラット-テン
セグリティの例題では実際に複数の局所最適解が確認された。本章
ではもっとも得られる頻度が高かったもののみを掲載している。
4.1 テンセグリティ
前章を踏まえ(17)式によるテンセグリティの形状決定を行う。
ストラットの長さは全て 10とした。ケーブルのパラメータ ljw を
全て 1とした場合、次式に示す最小化問題に帰着する。
strutsallfor10tosubject
minimize 4
=
∑j
cablej
L
L (19)
・シンプレックス型テンセグリティ
図 10 コネクティビティ
図 11 解形状
3次元空間において図 10のようにコネクティビティを設定し、
(19)式に示した最小化を行うと図 11のように正三角柱の上下の面
を互いに 5/6π回転させた形状が得られる。これは一般にシンプレ
ックス型テンセグリティと呼ばれている形状である。
・20ストラット-テンセグリティ
(a)節点番号 (b)節点 1、2に接続する 8本の ケーブル(N=6の場合)
図 12 20ストラット-テンセグリティのコネクティビティ
20本のストラットを定め、1本目の両端に節点番号 1,2を、2本
目の両端に節点番号 3,4を…という順序に番号を割り振る。節点番
号は 1～40が割り振られる（図 12(a)）。さらに、Nを 1から 9ま
での整数から任意に選んだ定数とする。第 i節点はケーブルにより
第 i+2N節点と第 i+2N+1節点に接続される。節点番号は 1～40ま
でしかないので、節点番号が 40を越えたときは 40を差し引いた節
点番号に接続する。このようにすると、すべての節点にケーブルが
4つ接続されたコネクティビティを得ることが出来る。図 12(b)は
N=6の場合について節点 1、2に集まる 8本のケーブルを示したも
のである。ケーブルの総数は 80本である。
続いて、重みパラメータとして任意の正の実数 wを定める。wは
様々に変更することで異なった形状を得る目的で設定されたパラ
メータである。第 i節点 から第 i+2N節点に接続した 40本のケー
ブルには重み係数として wを与えた。残りの 40本のケーブルにつ
いては重み係数として 1.0を与えた。
Nやwを様々に変えた場合の(17)式の与える解を図 13,14に示す。
図 13 パラメータスタディ 1
図 14 パラメータスタディ 2
・複合構造
stationary)(Strutt
Membrane
2
Cable
4
→−
++=Π
∑
∑∑
kkk
jsjjljsys
LL
SwLw
λ (20)
(20)式により、図 15に示すコネクティビティの形状決定をおこ
なう。これは、テンセグリティのコンセプトを拡張し、膜やケーブ
ルに引っ張り力を負担させ圧縮部材（ストラット）の圧縮力と釣り
合う構造を想定したコネクティビティである。
図 15は、立方八面体のトポロジーを基に、4つの辺に囲まれた
正方形に 8x8x2=64の三角形要素からなる近似的な曲面を追加し、
それぞれの三角形要素に要素内汎関数として wsjSj2を与えたもので
ある。6つの曲面の境界には一つずつケーブルが配置されている。
ケーブルは 8つのトラス要素にモデル化し、それぞれに要素内汎関
数として、wljLj4を与えた。また、ストラットの長さは拘束条件と
して与えている。
図 16は
strutsallfor10tosubject100500minimize
Membrane
2
Cable
4
=×+× ∑∑
j
jj
LSL
(21)
図 15 コネクティビティ 図 16 解
図 17 パラメータスタディ 1
として表される最適化問題の解である。図 17は様々なパラメータ
を与え得られた解である。図 17(a)はすべての三角形要素に重み係
数として 200を、すべてのトラス要素に重み係数として 100を、す
べてのストラットに拘束長さとして 10.0を与えたときの解である。
(b)は(a)からすべての三角形要素の重み係数を小さくしたもの、(c)
はさらに 6枚の膜から 1枚を選び、これを構成する三角形要素の重
み係数を小さくしたものである。(d)は(c)からさらに、1枚の膜の境
界に配置された 4本のケーブルを構成するすべてのトラス要素の
重み係数を大きくしたものである。(e)、(f)は 1本のストラットの拘
束長さを変更したものである。重み係数 sjw を小さくした膜は相対
的に大きくなり、境界のケーブル部材の曲率は小さくなった。境界
ケーブルの重み係数 ljw を大きくすると、その曲率は大きくなり、
ケーブルの囲む膜は小さくなった。
4.2 ケーブルと膜による構造
本節ではケーブルや膜から成り、固定点から反力を得て釣り合う
構造の形状決定例を紹介する。
図 18に示すのは、平行に配置された二つの楕円状のリングの間
に張られる円柱状のトポロジーを基にしたコネクティビティであ
る。リングの周方向を U方向、その直交方向を V方向とする。さ
らに U方向に 32の節点を、V方向に 16の節点を配置し、図に示
すように整然と三角形要素を配置した。リング上には 4個ずつ計 8
個の固定点（図中白丸）を等間隔に配置し、固定点間には図のよう
にケーブル部材（図中太線）を配置した。以下では U方向に配置
されたケーブル部材を境界ケーブル、V方向に配置されたケーブル
部材を補強ケーブルと呼ぶことにする。ケーブル部材は、すべて直
線状のトラス要素に分解し、各々に要素内汎関数 wljLj2を与えた。
同様に三角形要素には wsjSj2を与えた。同じケーブル部材に属する
トラス要素には一括して同じ重み係数を与えた。また、三角形要素
の重み係数 wsjも全て一括して同じ値を与えた。
本例題で解く汎関数の停留問題は次のようになる。
stationary)(NodeFixed
Membrane
2
Cable
2
→−
++=Π
∑
∑∑
kkk
jsjjljsys
XX
SwLw
λ (22)
図 19 (a)にはじめに与えたパラメータと、得られた解を示す。ま
た、図 19(b)～(e)に様々にパラメータを変更して得られた解を示す。
図 19(b)、(c)はすべての三角形要素の重み係数 wsjを一括して変更し
たものである。三角形要素の重み係数を小さくすると、ケーブル部
材の曲率が小さくなり、重み係数を大きくすると、ケーブル部材の
曲率が大きくなっていることがわかる。図 19(d)、(e)は固定点の座
標を変更したものである。形状が大きく変わっても、形状が破綻す
ることはなく、滑らかな形状が安定的に得られた。
図 18 コネクティビティ
図 19 パラメータスタディ
5 まとめ
張力構造の形状決定問題を汎関数の停留という観点から考察し
た。応力密度法もそのような観点からの考察が可能である事を示し
た。特に、汎関数に関して、様々な量を自由に設定することが可能
であり、これにより様々な初期形状が発生することを示した。
参考文献
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