形式言語とオートマトン2010

ー第 7 日目ー東京工科大学

コンピュータサイエンス学部亀田弘之

前回までの確認• 有限オートマトン (FA)

– FA の定義と記述法テープ上を一方向に動くヘッド

（テープ上の記号を順次読みながら内部状態を遷移）

M = <K, Σ, δ, q0, F> 　（５つ組）状態遷移図様相（ configuration ）

– FA の種類決定性 FA （ DFA ）非決定性 FA （ ε 遷移のあるものとないもの）

– 言語認識能力はどの FA でも同じ。正規言語（正規表現）を認識

前回までの確認（２）

• 正規表現を認識する FA の存在とその構成法1. 正規表現 α が与えられる。2. 正規表現 α に対して、 ε-NFA を構成する。3. ε-NFA を DFA に書き換える。4. DFA を状態数が最も少ない最簡形の DFA

(Min-DFA) に書き換える。5. Min-DFA をシミュレートするプログラムを作

成する。（注）上記５の説明および、最簡形 DFA 存在とその求め方を　　　与える Myhill-Nerode の定理の説明はまだしていません。

前回までの確認（３）• Pushudown automaton(PDA)

– スタックの定義スタックの構造と動作（ pop-up と push-down ）LIFO (Last-In First-Out) 型のメモリ

– PDA の定義と記述法テープ上を一方向に動くヘッド＋スタックメモリ

（テープの記号を順次読み、スタック上の記号を順次　読み書きしながら内部状態を遷移）

M = < K, Σ, Γ,δ, q0, Z0, F > 　（７つ組）状態遷移図様相（ configuration ）

データ構造：

・配列（またはアレイ）

・リスト

・スタック

・キュー　など

スタックと PDA のイメージ図

Push down Pop up

LIFO (Last In First Out)

最後に入れたものが最初に取り出される。

前回までの確認（４）

前回までの確認• Pushdown automaton (PDA)

– PDA の種類決定性プッシュダウンオートマトン

Deterministic pushdown automaton (DPDA)非決定性プッシュダウンオートマトン

Nondeterministic pushdown automaton (NPDA)

– 言語認識能力は NPDA の方が高い。FA は正規言語（正規表現）を認識NPDA は文脈自由言語を認識DPDA よりも NPDA の方が言語認識能力大

（注）“言語”の話は後日お話します。

今日の内容

• チューリングマシン (Turing Machine)

授業ではこの形式のものを扱います

TM の定義

• TM M ＝ < Q, Γ, Σ, δ, q0, B, F > (7 つ組 )– Q: 内部状態の集合– Γ ：テープ記号の集合– Σ ：入力記号の集合 ( Σ Γ )⊂– δ ：状態遷移関数

Q×Γ → Q×Γ×{ L, R }– q0 ：初期状態 ( q0 Q)∈– B: ブランク記号 ( B Γ – Σ)∈– F: 最終状態の集合 ( F Q )⊂

TM のイメージ図

TM の例• 例 4.1 （教科書 p.90 ）• 例 4.2 （教科書 p.95 ）• 例 4.3 （教科書 p.96 ）• 例 4.4 （教科書 p.100 ）• 例 4.5 （教科書 p.106 ）

これらを順次確認していきましょう。

例 4.1 （教科書 p.90 ）

入力文字列

• aa

• aabb

• bbaa

•aaaabbbb

様相 (Configuration) の導入

• (q0, a1 a2 a3 ・・・ ai-1 ↓ai ai+1 ・・・ an )

例 4.2 （教科書 p.95 ）

M=<Q,Γ,Σ,δ,q0,B,F>

Q={ q0, q1, q2, q3, qf }

Σ={ a, b } Γ=Σ {a’,b’} {¢,$,B}∪ ∪ δ ：

δ(q0,a)=(q1,a’,R)δ(q0,ab’=(q3,b’,R)δ(q1,a)=(q1,a,R)

　 δ(q1,b)=(q2,b’,L)

δ(q1,b’)=(q1,b’,R)δ(q2,a)=(q2,a,L)δ(q2,a’)=(q0,a’,R)δ(q2,b’)=(q2,b’,L)δ(q3,b’)=(q3,b’,R)δ(q3,$)=(qf,$,L)

例 4.3 （教科書 p.96 ）

• 言語 { anbnan | n>=1 } を受理する TM

例 4.3 （教科書 p.96 ）

例 4.4 （教科書 p.100 ）

• ｛ ww | w { a, b }∈ + ｝ を受理する TM

例 4.5 （教科書 p.106 ）

• 2 進数の和を計算する TM

今日はここまで

• 少しずつ復習をしてください。• 個々のものは決して難しくはありません。• 引き続き頑張りましょう。• 来週は少し難しいです。