人工知能特論 2011資料 No.7

東京工科大学大学院担当教員　亀田弘之

前回までの確認から

はじめに論理式 φ ありき

1. 論理式 φ を等価変形し、 Prenex Conjunctive Normal Form (PCNF) の形式ψ にする。

　　　例

))()((~

))()((~

)()(~

)()(~

)()(~

)()(

yQxPyx

yyQxPx

yyQxPx

yyQxxP

xxQxxP

xxQxxP

Prenex Conjunctive Normal Form

4

)( 111 mnn CCxqxq る変数はすべて論理式に現れであり、かは ni xxxq ,,, 21

Prenex Conjunctive Normal Form

5

)( 111 mnn CCxqxq

る変数はすべて論理式に現れであり、かは ni xxxq ,,, 21

Prenex Matrix

Clause

イメージ：　∀ x∃y∃z∀u ．．．

イメージ：(P(x)∨Q(y, f(z))) ∧P(u)∧ (Q(x, u)∨P(z, f(f(y))))

PCNF を SSF に

2. PCNF をさらに Skolem Standard Form (SSF) に変形する。

（注）この変形は真理値を保存しない　　　ことに注意。

Skolem Standard Form

7

)( 111 mnn CCxqxq

る変数はすべて論理式に現れだけであり、は ni xxxq ,,, 21

Prenex Matrix

Clause

Prenex Conjunctive Normal Form

8

)( 111 mnn CCxqxq

る変数はすべて論理式に現れだけであり、は ni xxxq ,,, 21

Prenex Matrix

Clause

イメージ：　∀ x∀u ．．．

イメージ：(P(x)∨Q(g(x), f(z))) ∧P(u)∧ (Q(x, u)∨P(h(x), f(f(g(x)))))

PCNF 　＝＞　 SSF への書き換え

• 限量記号（存在記号）∃を除去しなければならない。そのために、スコーレム定数やスコーレム関数を導入する。

• 例：

9

),(),(

))(,(),(

axxPyxxPy

xfxxPyxyPx

確認：大切な注意事項（その１）

• 任意の論理式は PCNF に変形可能• 任意の PCNF は SSF に変形可能• 任意の論理式とそれから導かれる SSF と

は論理的に等価であるとは限らない（真理値は必ずしも保存されない！）。

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真理値が保存されない例

)}1({

;)2()1(.3

2.2

}2,1{.1

)(

)(

PI

FIandTI

Da

D

aP

xxP

pp

　　　　

　

確認：大切な注意事項（その２）

• BUT

• 充足不可能な論理式は充足不可能な SSFに変形される。

• 元の論理式がモデルを持つための必要十分条件は、 SSF がモデルを持つことである。（これは重要な定理の１つ）

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定理

• 任意の論理式 φ に対して、その SSF を ψとする。このとき、以下の関係が成り立つ。Ψ |= φつまり、　・ φ は ψ の論理的帰結である。　・ ψ が真となる解釈はどれも　　 φ を真とする解釈にになっている。　・ ψ のモデルは φ のモデルでもある。

定理

• 任意の論理式 φ に対して、その SSF を ψ とする。このとき、以下のことが成り立つ。・ ψ が充足不可能ならば φ も充足不可能である。・ ψ がモデルを持たなければ　 φ もモデルを持たない。

定理

• 任意の論理式 φ に対して、その SSF を ψ とする。このとき、以下のことが成り立つ。・ ψ が充足不可能ならば φ も充足不可能であり、　　かつ、その逆も成り立つ・。・ ψ がモデルを持たないことと、　 φ もモデルを持たないこととは等価である。

Herbrand Models （復習）

• フランスの論理学者 Jacques 　 Herbrand が考案したとある解釈 (interpretation) のこと 。この解釈を特に、 Herbrand interpretation とよび、この解釈に基づくモデルを Herbrand model と呼ぶ。

その実態は．．．

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HM の構造をもう一度見てみよう！

• Herbrand universe U

• Herbrand base B

• Herbrand pre-interpretation J

• Herbrand interpretation I

• Herbrand model M

以下、例で説明する。

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HM の構造をもう一度見てみよう！

• Herbrand universe U　　＜＝ 解釈の領域• Herbrand base B　＜＝　アトムの集合• Herbrand pre-interpretation J 　

　＜＝　項と領域要素との対応を定義• Herbrand interpretation I

　＜＝　アトムの真理値を定義• Herbrand model M

以下、例で説明する。18

例：

19

))},()(()),(,(),({ xxQxPxbfaQaP

まず、このような論理式の集合を考える。

Herbrand Universe

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})),(()),((),(),(,,{ bffaffbfafbaU

元の論理式に含まれていた定数と関数に着目し、これからか得られるすべての項を集めたもの。

Herbrand 　 Base

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})),(()),((),,(),,(),(),({ bfPafPbbQaaQbPaPB

元の論理式に含まれていた述語を、先ほどのU の要素に適用して得られる述語すべてからなる集合。

Herbrand pre-interpretation

• 解釈の領域 D ： Hebrand Universe U

• 定数記号の解釈 : 自分自身に対応させる。• 関数記号の解釈：自分自身に対応させる。

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Herbrand pre-interpretation

• 解釈の領域 D ： Hebrand Universe U

• 定数記号の解釈 : 自分自身に対応させる。• 関数記号の解釈：自分自身に対応させる。

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ここがポイント！

Herbrand interpretation

• Herbrand pre-interpretation に基づくInterpretation を Herbrand Interpretation (HI) と呼ぶ。

• なお HI の内、所与の論理式（群）を充足するものを Herbrand Model (HM) と呼ぶ。

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例 :

• H Pre-I J:1. 領域　 U 　＝　 Herbrand Universe

2. 定数記号 a in φ 個体　 a ∈ U, 定数記号 b in φ 個体 b ∈ U.

3. 関数記号 f in φ 関数 f(t) ∈ U.

4. 真理値割り当て： • I1 ={P(a), P(b), Q(a, b), Q(b,b) }

• I2 ={P(a), Q(a, a), Q(a, f(b)) }

• I3 ={P(f(f(a))), P(b), Q(a, a), Q(a, f(b)) }

• I4 ={P(a), P(b), Q(a, a), Q(b, b), Q(a, f(b)) }

))},()(()),(,(),({ xxQxPxbfaQaP

注意事項

• HM の意義1.Σ がモデルを持つ　　 Σ が HM を持つ。2.Σ 　｜＝　 φ 　　 S は HM を持たない。

ただし、 S は Σ∪ { ～ φ} の SSF 。

述語論理における推論

• Resolution

• 代入• 論理プログラミング（ Prolog など）• 帰納論理プログラミング (Progol など )

＝＞知識分類・知識獲得・知識発見

以降は、 Prolog を使って説明します。