第2章  ネットワークの特徴量(後半)『複雑ネットワーク  -  基礎から応⽤用まで』増⽥田直紀,  今野紀雄

複雑ネットワーク勉強会15th of February, 2012

@millionsmile

Special  thanks  to  @komiya_atsushi

コミュニティの定義• コミュニティとは、同じネットワーク内に、枝が密な塊と、異なる塊との間には枝があまりないような状態のとき、その塊のことを指す。下記図でいう点線内の塊をコミュニティといういう。

• コミュニティは、モジュール、グループ、クラスター、コンパートメントなどとも呼ばれる。クラスターはクラスター係数と紛らわしいので使わない⽅方がよい。

• コミュニティ構造を持つネットワークについては、以下の論⽂文が詳しい。ざっとみたが、300ページにも及ぶ⼤大作。”Complex  networks:  Structure  and  dynamics”http://oldweb.ct.infn.it/̃latora/report_06.pdf

コミュニティ検出問題• ネットワークをどのようにコミュニティに分割するかが重要で、これをコミュニティ検出問題という。この問題の難しさとして、たいていはよい分割⽅方法がわからない、分割の答えが⼀一意ではない、コミュニティの⼤大きさが違うなどがある。(P.38)

• ネットワークをコミュニティに分割したい理由としては、頂点を類別できる、コミュニティから意味づけを持たせることができる、ネットワークを粗視化できるなどなど。(P.38-39)

以下、有名な空⼿手クラブのネットワークをgephiで描いたもの。

コミュニティ検出⽅方法• divisive  algorithmで分割する⽅方法（トップダウン型）→代表的なものに、ギルバンとニューマンのコミュニティ検出⽅方法

• agglomerative  algorithmで分割する⽅方法（ボトムアップ型）→代表的なものに、ニューマンのコミュニティ検出⽅方法

ここから先の説明は、@komiya_atsushiさんがTokyoWebminingで発表した資料が⾮非常によくま

とまっているのでそちらを参照

Newman  アルゴリズムによるソーシャルグラフのクラスタリングhttp://www.slideshare.net/komiyaatsushi/newman-6670300

コミュニティ検出⽅方法補⾜足• Modularity  Qの計算式で、以下２つは同じ【@komiya_atsushiさんの資料】

【⾚赤い本の(2.54)】

• ΔQの計算式で、以下２つは同じ【@komiya_atsushiさんの資料】

【⾚赤い本の(2.56)】

Q =NCM�

c=1

[CMc内の 2点をつなぐ枝数

M− (

�Ni=1;vi∈CMc

ki

2M)2]

Q =(�N

i=1;vi∈CM1ki)× (

�Ni=1;vi∈CM2

ki)2M2

その他のコミュニティ検出⽅方法• コミュニティ検出⽅方法は様々。⾚赤い本では、統計物理学のスピン系モデルに基づく⽅方法を紹介している。

• Qとは関係ない⽅方法も含め、様々なコミュニティ検出⽅方法があり、プログラミングや実データに関する情報も含めて以下の論⽂文が詳しいらしい。興味のある⼈人は読んでみるとよいかも。Santo  Fortunato,  “Community  detection  in  graphs”http://arxiv.org/abs/0906.0612

• あとは機械学習的なアプローチに興味がある⼈人は、坪坂さんの修論もよいかも。読みたい場合は、坪坂さんに直接交渉してください。坪坂正志『ネットワークのコミュニティ構造を抽出するベイズ推論アルゴリズムの研究』

モチーフ• モチーフとは、そのネットワークに含まれやすい⼩小さいネットワーク（パターン）の種類のこと。P.49の図2.17参照。どのパターンがモチーフになるかは、ネットワークの種類にかなり依存する。⾷食物網は(A)の２、神経回路は(A)の5など

• モチーフの有無を結論するためには、そのパターンがネットワークに多いかどうかを調べる必要がある。例えば、パターンi（有向グラフにおいてパターンは1≦i≦13）がNm個あるとする。つなぎかえたネットワークを1個つくり、その中にパターンiが個あるとする。Nmが 　 　 　 　よりも⼗十分に⼤大きければ、パターンiはこのネットワークのモチーフであると判断する。

Zmが⼤大きければ、次数分布は同⼀一の平均的なネットワークと⽐比べて、そのパターンを有意に多く持つ。パターンiはそのネットワークのモチーフである。

Nrandm

Nrandm

Zm =Nm− < Nrand

m >

σrandNm

σrandNm

< Nrandm > ･･･つなぎかえたパターンiの数の平均

･･･標準偏差