电气工程基础 — 系统篇 2013-2014-2
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电气工程基础 — 系统篇 2013-2014-2. 任课教师：褚晓东 Email ： [email protected] Tel.: 81696127 (office) ， 13573122659. 练习题（变压器模型）. 某台三相电力变压器的主要额定数据为 : 额定容量 S N =100kVA, 一、二次额定电压 U 1N ／ U 2N = 6.0/0.4kV, 联结为 Y,yn0 。空载、短路实验数据为 : - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
练习题（变压器模型）
某台三相电力变压器的主要额定数据为 : 额定容量 SN=100kVA, 一、二次额定电压 U1N／ U2N=6.0/0.4kV, 联结为 Y,yn0 。空载、短路实验数据为 :
（ 1 ）设 R1＝ R2’＝ Rk/2, X1=X2 ’=Xk/2, 折算到高压侧的参数；
（ 2 ）画出折算到高压侧的 T 形等效电路
练习题（变压器模型）参考答案
154.0
0.6:
2
1 N
N
U
Uk变比
672.13
243.74.9
319203
472.154.9
39.2513
22
22
KKK
k
kK
k
kK
RZX
I
PR
I
UZ
836.62
672.13
2
622.32
243.7
2
21
21
K
K
XXX
RRR
短路参数为 :
练习题（变压器模型）参考答案
536.24
339.237.9
36163
647.2437.9
34003
22
222
220
02
0
02
mmm
m
m
RZX
I
PR
I
UZ
折合到高压侧的励磁参数为 :
6.552015536.24
21.52615339.2
6.554515647.24
222
222
222
kXX
kRR
kZZ
mm
mm
mm
由变压器低压侧得到励磁参数 :
练习题（变压器模型）参考答案
1R1X '
2X
'2U
1U1
I
mI
mR
mX
'2I
2R
21 EE
练习题： 04.07 第 5 组解答
额定电压 110 kV 的辐射型电网各段阻抗及负荷如下图所示，已知节点 A 的电压为 121 kV ，求功率分布和各节点电压的近似值（注：忽略对地支路导纳，不计电压降落的横分量）
第 3 章 电力系统潮流分析
电力网络等值电路简单电力系统潮流的分析方法电力系统潮流的计算机算法
3.3.1 电力网络方程
对任意节点 i, 根据 KCL
ijI
iU jU
ijy
ijI
ikI
ilI
i
j
k
liI
n
ijj
jiij
n
ijj
iji )UU(yII00
n
ijj
n
ijj
jijiij UyUy0 0
000
22110
00
UU
UyUyUyUyUy ninii
n
ijj
iiij
为零电位点，即
i
I
电力系统等值网络电力系统结线图
～
1 2
3
4
～
C
1GS
1LS
4LS
2GS
l1
l2l3
1 2
3
4
y210y120
y12y13 y23
y310
y130
y320
y230
y340
y430
y440
y34
1I 2I
4I
3.3.1 电力网络方程
43044040 yyy
34032031030 yyyy
23021020 yyy 13012010 yyy
3.3.1 电力网络方程
BUYI BB
设
则
例如1
U
3
U
2
U
1 2
31
I2
I
3
2
1
333231
232221
131211
2
1
0 U
U
U
YYY
YYY
YYY
I
I
ijI
ikI
ilI
i
j
k
liI
ijij
n
ijj
ijii y,YyY
0
ni
UYUYUYUYIniniiiiii
1 2211
3.3.1 电力网络方程
用节点导纳矩阵表示的节点电压方程
BUYI BB
nnnininnn
nnii
nnii
UYUYUYUYI
UYUYUYUYI
UYUYUYUYI
2211
222221122
1121211111
U
3
U
2
U
1 2
31
I2
I
3.3.1 电力网络方程
导纳矩阵元素 自导纳：节点导纳矩阵的对
角元素， Yii 数值上等于在节点 i 施加单位电压，其他节点全部接地时，经节点 i 注入网络的电流
互导纳：节点导纳矩阵的非对角元素， Yjj 数值上就等于在节点 i 施加单位电压，其他节点全部接地时，经节点 j注入网络的电流
1 2
31
I
2
I
12y
23y31y
10y 20y
30y3
I
2
U
3.3.1 电力网络方程
nnninn
iniiii
ni
ni
Y Y YY
Y Y YY
Y Y YY
Y Y YY
21
21
222221
111211
BY
非对角素 ：节 点 之 间 支 路 导
纳的负值
对角元素：所有连接于节点的支路
（包括接地支路）的导纳之和
3.3.1 电力网络方程
节点导纳矩阵的特点 对称方阵 每一节点平均与 3-5 个相邻节点有联系，所以
节点导纳矩阵是一高度稀疏的矩阵 节点导纳矩阵的稀疏度是指零元素数的个数与
总元素数个数的比值
3.3.2 功率方程和节点分类
以节点注入功率表示的节点电压方程
以极坐标形式表示节点电压、直角坐标形式表示导纳
节点注入功率
*
BBB
U
SUY
,n,,iδBδGUUPn
jijijijijjii 21sincos
1
n
jijijijijjii ,n,,iδBδGUUQ
1
21cossin
iiiii UUU i jsincose j ijijij BGY j
3.3.2 功率方程和节点分类
节点类型
已知变量
待求变量
适用节点 备注
PQ P和 Q U 和 δ 按给定有功、无功功率发电的发电厂节点和没有其他电
源的变电站接点
PQ 节 点占 系 统 节点 总 数 的大 部 分 ， PV 节 点占 少 部 分（ 某 些 情况 下 没有 ） ， 平衡 节 点 至少有 1 个
PV P和 U Q和 δ 有一定无功功率储备的发电厂节点和一定无功功率电源
的变电站站点 平衡节
点U和 δ
P和 Q 容量足够大的担负调整系统频率任务的发电厂母线
3.3.3 牛顿 - 拉夫逊法潮流计算
牛顿 - 拉夫逊算法 单变量非线性方程
xxxxf Δ ,0)( )0(
0)Δ( )0( xxf
0)Δ()()Δ(
)(Δ2
)()()()Δ(
)0()0()0(
2)0(
)0(')0()0(
xxfxfxx f
xxf
Δxxfxfxxf
'
''
3.3.3 牛顿 - 拉夫逊法潮流计算
f(x) f(x)
)0(x
)( )0(xf
)( )1(xf
)0(x）（1x)2(x0 )()()1(
)('
)()(
)0()0()1(
)0('
)0()0(
)(
)(Δ
)(
)(Δ
kkk
k
kk
xxx
xf
xfx
xxx
xf
xfx
3.3.3 牛顿 - 拉夫逊法潮流计算
从不同的初值出发，收敛于唯一解： y=f(x)=x3-7 左： x(0) = 0.52，右： x(0) = 5.33
3.3.3 牛顿 - 拉夫逊法潮流计算
从不同的初值出发，收敛于不同解： y=cos(x) 左： x(0) = 0.43，右： x(0) = 3.59
3.3.3 牛顿 - 拉夫逊法潮流计算
初值选择不当，无法收敛： y=f(x)=x3 -2x+2 x(0) = 0
3.3.3 牛顿 - 拉夫逊法潮流计算
多变量非线性方程组
nnn
n
n
y),x,,x(xf
y),x,,x(xf
y),x,,x(xf
21
2212
1211
nnnn
nn
nn
yxxxxxxf
yxxxxxxf
yxxxxxxf
),,,(
),,,(
),,,(
)0(2
)0(21
)0(1
2)0(
2)0(
21)0(
12
1)0(
2)0(
21)0(
11
1101
202
1
101
1)0()0(2
)0(11
)0(2
)0(21
)0(11 ),,,(),,,(
yxx
fx
x
f
xx
fxxxfxxxxxxf
nn
nnn
3.3.3 牛顿 - 拉夫逊法潮流计算
nnn
nn
nn
n
nn
n
yxx
fx
x
fx
x
fxxxf
yxx
fx
x
fx
x
fxxxf
yxx
fx
x
fx
x
fxxxf
0n
202
n10
1
n)0()0(2
)0(1
202
202
210
1
2)0()0(2
)0(12
101
202
110
1
1)0()0(2
)0(11
),,,(
),,,(
),,,(
1101
202
1
101
1)0()0(2
)0(11
)0(2
)0(21
)0(11 ),,,(),,,(
yxx
fx
x
f
xx
fxxxfxxxxxxf
nn
nnn
3.3.3 牛顿 - 拉夫逊法潮流计算
nnn
nn
nn
n
nn
n
yxx
fx
x
fx
x
fxxxf
yxx
fx
x
fx
x
fxxxf
yxx
fx
x
fx
x
fxxxf
0n
202
n10
1
n)0()0(2
)0(1
202
202
210
1
2)0()0(2
)0(12
101
202
110
1
1)0()0(2
)0(11
),,,(
),,,(
),,,(
n
n
nnn
n
n
nnn
n
n
x
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
fx
f
x
f
x
f
xxxfy
xxxfy
xxxfy
2
1
002
01
02
02
20
1
2
01
02
10
1
1
)0()0(2
)0(11
)0()0(2
)0(122
)0()0(2
)0(111
),,,(
),,,(
),,,(
xJf
J ： 雅 可比矩阵
3.3.3 牛顿 - 拉夫逊法潮流计算
潮流计算的修正方程式 潮流方程的极坐标形式
j
n
j
ijiii UYUjQP
1
iiiUU
jiij
ijijij jBGY
1,,2,1
0)cossin(
0)sincos(
1
1
ni
BGUUQQ
BGUUPP
ijijijijj
n
jiii
ijijijijj
n
jiii
3.3.3 牛顿 - 拉夫逊法潮流计算
PQ 节点： P、 Q 已知， U、 δ 为未知量
PV 节点： P 、 U 已知， Q 、 δ 为待求量
平衡节点： U 、 δ 已知，不必列写节点的不平衡功率
n
jijijijijjiii
n
jijijijijjiii
,m,,iδBδGU-UQxQ
,m,,iδBδGU-UPxP
1
1
21cossinΔ
21sincosΔ
n
jijijijijjiii ,n-,,mmiδBδGU-UPxP
1
121sincosΔ
3.3.3 牛顿 - 拉夫逊法潮流计算
对整个系统
n
jijijijijjiii
n
jijijijijjiii
,m,,iδBδGU-UQxQ
,n-,,iδBδGU-UPxP
1
1
21cossinΔ
121sincosΔ
mm
n-
m,mm,m,m,nm,m,
,m,n-
,m,n-
,mn-,n-,n-,n-n-,n-,n-
,m,n-
,m,n
m
n-
/UΔU
/UΔU
/UΔU
Δδ
Δδ
Δδ
LLLMMM
LLLMMM
LLLMMM
NNNHHH
NNNHHH
NNNHHH
xQ
xQ
xQ
xP
xP
xP
22
11
1
2
1
21121
22221122221
11211111211
12111112111
22221122221
11211111211
2
1
1
2
1
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
3.3.3 牛顿 - 拉夫逊法潮流计算
雅可比矩阵的元素
jj
iij
j
iij
jj
iij
j
iij
UU
Q L
QM
UU
PN
PH
ijijijijjijj
iij
ijijijijjij
iij
ijijijijjijj
iij
ijijijijjij
iij
δBδGUUUU
QL
δBδGUUδ
QM
δBδGUUUU
PN
δBδGUUδ
PH
cossin
sincos
sincos
cossin
iiiiiii
n
ijj
ijijijijjiii
iii
iiii
n
ijj
ijijijijjii
iii
iiiiiii
n
ijj
ijijijijjiii
iii
iiii
n
ijj
ijijijijjii
iii
QBUBUδBδGUUUU
QL
PGUδBδGUUδ
QM
PGUGUδBδGUUUU
PN
QBUδBδGUUδ
PH
22
1
2
1
22
1
2
1
2cossin
sincos
2sincos
cossin
3.3.3 牛顿 - 拉夫逊法潮流计算
雅可比矩阵的特点 为一非奇异矩阵，当节点电压以极坐标形式表示时，该矩阵为
n+m-1 阶方阵 矩阵元素与节点电压有关，故每次迭代均要重新计算该矩阵 与导纳矩阵具有相似的结构，当 Yij=0 时， Hij 、 Nij Jij、 Lij 均为 0 ，也是高度稀疏矩阵
具有结构对称性，但数值不对称 采用牛—拉法进行潮流计算，计算耗费主要在形成
雅可比矩阵和求解修正方程式
)()(
)(
)()(
)()(
)(
)(
/ kk
k
kk
kk
k
k
UU
δ
LM
NH
Q
P
3.3.3 牛顿 - 拉夫逊法潮流计算
算法步骤
3.3.3 牛顿 - 拉夫逊法潮流计算
潮流分布的计算 元件（线路、变压器）以形
等值电路表示 元件两端的功率
元件两端的电流
元件中的功率损耗
iU jUijy
0ijy 0jiyijS~
jiS~
ijijjjijji
ijjiiijiij
yUUUyUS
yUUUyUS***
0
*2
***
0
*2
)(~
)(~
*
*
~
~
jjiji
iijij
USI
USI
jiijij SSS~~~
3.3.3 牛顿 - 拉夫逊法潮流计算
PV 节点无功功率越限 为保持给定的电压大小，某一个或几个 PV 节点的注
入无功功率已超出给定的限额，此时，取 Qi＝ Qimax或Qi＝ Qimin, ，而相应节点的电压大小偏离给定值。实际上就是在迭代进行过程中，让某些 PV 节点转化为 PQ节点
一旦出现 PV 节点向 PQ 节点的转化，修正方程式的结构就要发生变化。采用极坐标表示时，应增加一组无功功率关系式，其不平衡量为
或 )( )(max
kii QQ )( min
)(i
ki QQ
3.3.3 牛顿 - 拉夫逊法潮流计算
例题 3 节点系统，节点 1 为
平衡节点，节点 2为 PV节点，节点 3为 PQ 节点
1 2
3
节点i
节点电压 发电机注入功率MW Mvar
负荷MW Mvar
1 1.05+j0.0 0 0
2 1.03 20 50 20
3 0 0 60 25
3.3.3 牛顿 - 拉夫逊法潮流计算
解：（ 1 ）形成节点导纳矩阵
12 12
23 23
13 13
1/ 1.25 3.75
1/ 1.667 5.0
1/ 5 15.0
y Z j
y Z j
y Z j
12 13 12 13
12 12 23 23
13 23 13 23
6.25 - 18.75 -1.25 3.75 - 5.0 15.0
-1.25 3.73 2.9167 - 8.75 -1.6667 5.0
- -
Y= + -
- +
j j j
j j j
y y y y
y y y y
y y y y
- 5.0 15.0 -1.6667 5.0 6.6667 - 20.0j j j
3.3.3 牛顿 - 拉夫逊法潮流计算
（ 2 ）设定节点电压初值
（ 3 ）求修正方程中的偏差相（功率的基准值为 100 MVA ）
(0)1
(0)2
(0)3
1.05 0.0
1.03 0.0
1.0 0.0
U j
U j
U j
3(0) (0) (0) (0) (0)
2 21
( cos sin )
1.03[1.05 ( 1.25 0) 1.03 (2.9167 0) 1.0 ( 1.667 0)]
0.02575
j ij ij ij ijj
P U U G B
3.3.3 牛顿 - 拉夫逊法潮流计算
（ 3 ）求修正方程中的偏差相3
(0) (0) (0) (0) (0)3 3
1
( cos sin )
1.0[1.05 ( 5.0 0) 1.03 ( 1.667 0) 1.0 (6.667 0)]
0.3
j ij ij ij ijj
P U U G B
3(0) (0) (0) (0) (0)3 3
1
( sin - cos )
1.0[1.05 (0 -15.0) 1.03 (0 - 5.0) 1.0 20]
0.9
j ij ij ij ijj
Q U U G B
(0)2
(0)3
(0)2
20 500.02575 0.32575
10060
( 0.3) 0.3100
25( 0.9) 0.65
100
P
P
Q
3.3.3 牛顿 - 拉夫逊法潮流计算
（ 4 ）求雅可比矩阵元素22 23 232 2
3 32 33 33 3
3 32 33 33 3 3
H H NP
P H H N
Q J J L U U
2 222 2 22 2
23 2 3 23 23 23 23
23 2 3 23 23 23 23
32 23
2 233 3 33 3
2 233 3 33 3
0.07725-8.75 1.03 9.2056266
( sin cos ) 5.15
( cos sin ) =1.7166724
5.15
0.9+(-20) 1 20.9
=0.3-6.6667 1
H Q B U
H U U G B
N U U G B
H H
H Q B U
N P G U
32 23
2 233 3 33 3
2 233 3 33 3
=-6.3667
1.7166724
=0.3+6.6667 1 =6.9667
0.9+(-20) 1 19.1
J N
J P G U
L Q B U
3.3.3 牛顿 - 拉夫逊法潮流计算
（ 5 ）根据修正方程求修正向量
（ 6 ）求取新值
(0) (0)2 222 23 23
(0) (0)3 32 33 33 3
(0) (0) (0)32 33 333 3 3
P H H N
P H H N
J J LQ U U
(0)2
(0)3
(0) (0)3 3
2.8575
1.9788
-0.025917U U
(1) (0) (0)2 2 2
(1) (0) (0)3 3 3
(1) (0) (0)3 3 3
-2.8575
- -1.9788
1.025917U U U
3.3.3 牛顿 - 拉夫逊法潮流计算
（ 7 ）检查是否收敛（如不收敛，则以新值为初值，开始下一步迭代，否则转入下一步）（ 8 ）计算线路潮流
1 2
3
0.2297+j0.016533
0.22332+j0.0049313
0.68396+j0.224
0.674565+j0.195845 0. 07461
- j 0. 054
0. 074126+j 0. 0554
3.3.3 快速 P-Q 分解潮流算法
快速 P-Q 分解法潮流计算派生于节点电压以极坐标表示的牛顿 - 拉夫逊法，其基本原理是：结合电力系统的特点，把有功功率的不平衡量作为修正电压相角的依据，把无功功率的不平衡量作为修正电压值的依据，从而将有功功率和无功功率分别进行迭代求解
3.3.3 快速 P-Q 分解潮流算法
U
对牛顿 - 拉夫逊法作两点简化
忽略 对 的影响， 对 的影响，即 N=0和 J=0
根据电力系统正常运行条件作以下假设
P Q
iiii
ij
BUQ
BG2
ijij
ij
sin
1cos
22
22
)cossin(
iiiiiiiii
iiiiiiiii
ijjiijijijijjiijij
UBUBQL
UBUBQH
BUUBGUU LH
UULJ
NH
Q
P
/
UULJQ
UUNHP
/
/
3.3.3 快速 P-Q 分解潮流算法
综合上述假设，可得
nnnnn
n
n
nn
nnnnnn
n
n
nn
U
U
U
BBB
BBB
BBB
U
U
U
Q
Q
Q
U
U
U
BBB
BBB
BBB
U
U
U
P
P
P
2
1
21
22221
11211
2
1
2
1
2
1
2
1
21
22221
11211
2
1
2
1
UBΔBU)UBU(ΔBQ
UBUΔP
/
ΔUBQU
UΔBUP''
'
1
/
3.3.3 快速 P-Q 分解潮流算法
修正方程
n
n
nnn
n
n
U
U
U
B
U
Q
U
Q
U
Q
U
U
U
B
U
P
U
P
U
P
2
1
''
1
2
2
1
1
22
11
'
1
2
2
1
1
-
3.3.3 快速 P-Q 分解潮流算法
算法步骤输入原始数据
形成矩阵 、'B ''B
设电压初值
求有功功率不平衡量 、( )kP ( ) ( )k kP U
解修正方程，求( )k
求 新值( 1) ( ) ( )k k k
求无功功率不平 衡量 、( )kQ ( ) ( )k kQ U
解修正方程，求( )kU
求 新值U( 1) ( ) ( )k k kU U U
收敛否？
求平衡节点功率和ＰＶ节点无功功率
求支路功率
结束
是
否
3.3.3 快速 P-Q 分解潮流算法
算法特点：与牛—拉法相比 以一个 n-1 和一个 m 阶方程组代替了原来 n+m-1 阶方
程组，减少了存储容量，加快了求解速度 修正方程的系数矩阵为对称常数矩阵，在迭代的过程
中保持不变 与牛顿 - 拉夫逊法同解 迭代次数比牛顿 - 拉夫逊法多，但速度较牛顿 - 拉夫
逊法快 考虑要满足其简化条件，一般只适用于 110kV 以上的
电力网络的计算
复习与预习
掌握节点导纳矩阵、节点电压方程与节点功率方程，掌握牛顿—拉夫逊潮流算法与 P-Q分解潮流算法的修正方程式、迭代格式
电力系统分析工具的应用：利用 PowerWorld软件，对例题中的3 节点系统进行潮流计算 [04.09 第 6组讲解 ]
预习 4.1 短路暂态过程分析， 4.2 同步发电机短路后的电磁暂态过程