На правах рукописи

Лабутин Вадим Олегович

РАЗРАБОТКА СПОСОБА ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ

НЕИЗВЕСТНЫХ  В МЕТОДЕ  НАИМЕНЬШИХ  КВАДРАТОВ

Специальность 25.00.32  -  Геодезия

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени

кандидата технических наук

Краснодар -   2006

Работа выполнена в Кубанском государственном  технологическом

университете.

Научный руководитель:  кандидат технических наук,

доцент Желтко Ч.Н.

Официальные оппоненты:  доктор технических наук,

профессор Маркузе Ю.И.;

доктор технических наук,

профессор Трунов И.Т..

Ведущая  организация:  Филиал  ФГУП  «СКАГП»  экспедиция  №   205,

г. Краснодар.

Защита состоится  23 июня 2006 г. в 1200

 часов на заседании диссертаци-

онного  совета  К  212.207.01  по  присуждению  учёной  степени  кандидата

технических наук в Ростовском государственном  строительном университете

по адресу: 344022, г. Ростов- на- Дону, ул. Социалистическая, 162, ауд. 325.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан 15 мая 2006 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета  /

канд. техн. наук, доцент  ег?*?/   Туполева Г.К.

ОБ Щ АЯ  ХАРАКТЕРИСТИКА  РАБОТЫ

Актуальность  темы  диссертации.  В  наши  дни  современное  развитие

науки  и техники  создаёт  предпосылки  для  дальнейшего  совершенствования

способов обработки  геодезических  измерений и оценки точности. Использо-

вание современных ЭВМ позволяют решить некоторые геодезические  задачи

более  строго по сравнению с традиционными способами их  решения. К ним

можно отнести прямой поисковый способ нахождения  неизвестных  по мето-

ду наименьших квадратов, когда ЭВМ последовательно  многократно изменя-

ет  неизвестные до  тех  пор, пока не будет получен  минимум  целевой функ-

ции. Этой функцией может  быть не только минимум суммы  квадратов  укло-

нений измерений от  их  вычисленных значений, но и минимум суммы моду-

лей  уклонений,  или  промежуточные  решения  между  суммами  квадратов  и

суммой  модулей.

Уравнивание  измерений  на  ЭВМ  путём  подбора  неизвестных  обладает

большей наглядностью  и возможностью проанализировать строгость уравни-

вания по сравнению со многими компьютерными программами уравнивания,

основанными на традиционных  способах. Некоторые из них дают несколько

различающиеся  результаты,  особенно  для  сложных  сетей.  Расхождения

трудно  объяснить  и  практически  невозможно  установить,  какая  программа

даёт более строгий результат.

Поисковый способ уже  может  конкурировать  с традиционными способа-

ми уравнивания. Чем лучше  компьютер, чем  выше его  быстродействие,  тем

предпочтительней  использование  поискового  способа.  Однако  в поисковом

способе  не  составляются  нормальные  уравнения,  да  и  нет  необходимости

приводить  исходные  уравнения  к  линейному  виду,  что  нужно  для  оценки

точности  традиционным  способом.  Нужен  другой  способ  оценки точности

более совместимый с поисковым способом уравнивания.

В  традиционной  оценке  точности,  вследствие  линеаризации  исходных

уравнений, уравненное значение одного неизвестного всегда находится в се-

редине  доверительного  интервала.  Для  двух  плановых  координат  одного

пункта доверительные  интервалы  заменяются  эллипсом ошибок, в  середине

которого находятся  уравненные значения. Однако в общем случае для нели-

нейных уравнений такой симметрии может не быть. Для одного неизвестного

средние квадратические ошибки в сторону увеличения и в сторону  уменьше-

ния неизвестного могут быть разными. Для двух неизвестных кривой ошибок

может  быть  более  сложная  кривая  по  сравнению  с  эллипсом.  Это  может

иметь место, когда  величины неизвестных  соизмеримы с ошибками их нахо-

ждения, когда  схема  геодезической  сети  весьма  далека  от оптимальной, и в

некоторых других случаях. Есть задачи, в которых, при какой то доверитель-

ной вероятности и выше её, доверительный интервал  или кривая ошибок вы-

тягиваются с одной стороны в бесконечность.

Поэтому  рассмотренные  в диссертации  пути  совершенствования  спосо-

бов уравнивания и оценки точности с использованием всех возможностей со-

временных ЭВМ являются достаточно актуальной  задачей.

Цель  работы.  Основной целью работы  является  исследования  и  совер-

шенствование  поискового  способа  обработки  геодезических  измерений  и

оценки их точности на основе использования ЭВМ.

Предметом  исследования  является обработка  геодезических  измерений

по методу наименьших квадратов.

Объектом  исследования  является поисковый способ уравнивания  неиз-

вестных и оценка их точности с использованием ЭВМ.

Научная новизна  содержится в следующем:

1. Разработаны алгоритмы  оценки точности  поисковым методом  для ре-

шения геодезических задач на ЭВМ.

2. Установлена  зависимость веса неизвестного и доверительной  области

от производных целевой функции.

3.  Сформулированы  задачи  параллельного  и последовательного  сложе-

ния эллипсов ошибок и рассмотрены пути их решения.

4.  Представлена  наглядная  геометрическая  интерпретация  поискового

метода  оценки точности для  одного  и двух  коррелированных  между  собой

неизвестных.

5.  Обоснована  возможность  практического  использования  пространст-

венной обратной угловой  засечки по двум опорным пунктам.

6. Выведены  формулы  расчёта  элементов  ковариационной матрицы по-

исковым методом.

Методы  исследований,  применяемые  в  работе,  -  это  анализ, обоснова-

ние, математическое моделирование, примеры решения задач и выводы.

П рактическая  ценность вытекает из актуальности  проблемы и заключа-

ется в возможности использования результатов исследования на практике.

Апробация  работы.  С основными положениями работы  дважды  высту-

пал на кафедре Кадастра  и геоинженерии Кубанского  государственного  тех-

нологического  университета,  на  международной  конференции  и  на расши-

ренном семинаре в Ростовском государственном  строительном  университете.

Реализация  результатов  исследований.  Результаты  исследований  ис-

пользуются  в геодезических  организациях  г.  Краснодара:  ООО  «Геопроект-

строй» и ООО Инженерно- изыскательское предприятие  «Топостройпроект»;

при работах  по определению осадок элементов автомобильных  мостов и при

съёмке поперечных профилей русел рек в Краснодарском крае.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 6 статей.

Объём и структура.

Диссертация  состоит  из введения, пяти глав,  заключения  и приложения,

изложена на  131  страницах  (без приложения), содержит  7 таблиц, 59  рисун-

ков. Список литературы  включает  82 наименования.

СОДЕРЖАНИ Е  РАБОТЫ

Во введении обоснованы выбор темы и её  актуальность.

В  первой  главе дан  краткий обзор  публикаций  по уравниванию  измере-

ний  и оценке  их точности.  Освещены  вопросы  истории  развития  точности

измерений,  распределения  ошибок  измерений,  достоинства  и  недостатки

способов  нахождения  средней  квадратической  ошибки,  априорной оценки

точности.  Описано  построение  эллипса  ошибок,  определяемого  для  точки

пересечения двух  прямых.  Приведен  перечень  современных  компьютерных

программ для уравнивания геодезических измерений.

Во  второй  главе рассмотрена  возможность  уравнивания  измерений пря-

мым (или поисковым) методом.

Для  прямого метода  уравнивания  достоинством  является  простота  и на-

глядность  составления  исходных  уравнений. Число их, как и в параметриче-

ском способе уравнивания, равно числу измерений.

Одно уравнение для 1- го измерения имеет вид)

L,- I,°*vit  (1)

где Li  -  вычисленное по уравненным значениям неизвестных i- oe измерение;

/у -   измеренное значение; v(  -  поправка в измерение.

Для веса уравнения имеем известное выражение

где  с  — произвольная  постоянная; fit — средняя  квадратическая  ошибка  i- ro

измерения.

Уравнивание  на ЭВМ  в  математическом  редакторе  MS Excel  может вы-

полняться с  использованием  модуля  "Поиск  решения". Минимум отыскива-

ется для целевой  ячейки, в которую вводится целевая функция — в частности,

формула суммы квадратов уклонений.

Целевой функцией может быть  не только сумма квадратов уклонений (по-

правок), но и сумма  модулей  уклонений. Представляет  интерес  промежуточ-

ные решения задачи уравнивания измерений между минимумом суммы  квад-

ратов и суммы  модулей, т.е. сумма модулей  в степени от 1 до 2. Такое нетра-

диционное  уравнивание  облегчает  поиск  грубых  ошибок  измерений,  если

число неизвестных очень велико.

В  некоторых  случаях  для  нелинейных  уравнений  может  быть  несколько

минимумов. И х  трудно  найти традиционными  методами, когда  нелинейные

уравнения  приводят  к линейным. Нужно  искать  зависимость  целевой  функ-

ции от значений каждого  неизвестного в  большом диапазоне. Это  возможно

только с использованием  ЭВМ, которое  может  обеспечить  более  полное ре-

шение задач  на минимум. Два минимума функций бывает при решении неко-

торых  задач,  не  имеющих  избыточных  измерений, например, для линейной

засечки по двум пунктам или пространственной обратной угловой засечки по

двум пунктам. Поэтому нужно правильно выбрать нужный минимум. Иногда

бывает несколько минимумов, например, при подборе коэффициентов функ-

ций, наилучшим  образом  описывающих  ряд экспериментальных  измерений.

При решении этой задачи нередко нужны все минимумы.

Функция  "Поиск  решения"  в  электронных  таблицах  "Microsoft  Excel",

имеет один  существенный  недостаток,  проявляющийся при большом  числе

неизвестных. При достижении довольно  близкого  к окончательному  резуль-

тату значений неизвестных  ЭВМ выдаёт  сообщение: "решение найдено..." и

при  повторном  запуске,  в том  числе  для  других  установок  и  меньших  по-

грешностей,  ЭВМ  задачу  не  решает,  выдавая  то  же  сообщение:  "решение

найдено...". Решение задачи  можно  продолжить  только для  части  неизвест-

ных.  Это,  вероятно,  единственный  способ  продолжения  решения  задачи  с

помощью функции "Поиск решения". Нужно разбить все неизвестные на не-

сколько групп  и искать минимум целевой функции по частям, изменяя неиз-

вестные  в  первой  группе,  затем  -   второй  группе  и т.д.  В  итоге  получаем

большую долю ручного труда.

Для  метода  наименьших  квадратов  проще,  как  показал  опыт,  составить

программу  поиска минимума. Удобно  составить  её в  редакторе Visual  Basic

на отдельном модульном листе для выведенной автором формуле

2 ,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA  - Z,(3 )

4z0  -   2z,  -   2z

2  '

где  t0  -  приближённое (начальное) значение неизвестного;

А  -  шаг поиска, который можно принять при уравнивании плановых коорди-

нат от 1 до  10 м;

z<h  zi, 2} -  суммы  квадратов уклонений, соответствующие трём значениям пе-

ременной

Формула  (3)  выведена  при условии, что  зависимость z  от  /  квадратичная

(рис.  1). Следует  отметить, что при более сложной зависимости, формула  (3)

тоже  пригодна. Возможно, только  потребуется  уменьшить  шаг  А  и  сделать

лишние итерации.

Z

\

Zl

ч

Ми

ни

му

м

'/ л/ л

*  л to

zo

*•   А  *

/

t

h

Рис. 1. Нахождение минимума

В  программе  следует  предусмотреть  переход  от  одного  неизвестного  к

другому,  выполнение нужного количества циклов вычислений и многое дру-

гое.  Такая  программа  составлена  и успешно  применяется  на  завершающем

этапе  уравнивания. Она  составлена  как отдельный  модуль  Microsoft  Visual

Basic, вызываемый как Макрос из  Книги программы MS Excel.

При  уравнивании  неизвестных  прямым  методом  возникает  проблема  с

оценкой точности, потому что здесь не составляются ни нормальные уравне-

ния, ни матрица весовых коэффициентов.

За основу оценки точности принята выведенная формула

(5)

К вадрат  средней

квадратической

ошибки  единицы

веса

Средняя  квад-

ратическая

ошибка  неиз-

вестного

гдеzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Zm  -   сумма квадратов уклонений при изменении уравненного неизвестно-

го на величину её средней квадратической ошибки т;

Zo — минимальная сумма квадратов уклонений;

и -   число измерений;

к -   число неизвестных;

fi  -  средняя квадратическая ошибка единицы веса.

Принцип оценки точности показан на рис. 2. Параболой показана зависи-

мость  суммы  Z=[pv}]

от  переменного  R.

При этом для  каждого

значения R. остальные

переменные  уравни-

ваются заново.

Отложив  вверх  от

точки А  квадрат сред-

ней  квадратической

ошибки  единицы веса

/ / , получим точку D с

координатой  Z,  рав-

ной Zm.

Так  как  точка  В

лежит  на  кривой  Z и

имеет координату Zm,  вычисленную  по (6), следовательно  отрезок DB равен

средней квадратической ошибке т неизвестного R.

Однако  найти  точку  В  даже  с  помощью  ЭВМ  затруднительно:  нужно

О

Рис. 2. Сущность оценки точности

10

многократно  изменять координаты данного неизвестного, уравнивая  коорди-

наты остальных  неизвестных, пока не получим нужную суммуzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA  Zm.

Между  тем  есть более простой способ. Изменим данное неизвестное R на

единицу  длины  от уравненного  значения  Ro  до Ro+1. Заново уравняем  ос-

тальные  неизвестные.  Если кривая  Z  является  параболой, то для  длины  от-

резка ЕС будем иметь вес неизвестного Р.

Отсюда вытекает примечательный  вывод: вес неизвестного Р равен поло-

вине  второй  производной  функции Z  по  переменной  R  в  точке  минимума.

Отсюда следует уже  очевидный вывод: чем  больше  вторая производная, тем

круче минимум у  параболы, тем больше вес неизвестного.

Заметим, что  если  оценку точности  проводить  на этапе проектировании

сети,  то  сумма  Zo  =fpv

3j  равна  нулю,  потому  что  измеренные  элементы

вычислены  по приближённым координатам  точек. При этом парабола  будет

касаться оси OR. Форма параболы как и вес неизвестного не зависит от  сред-

ней  квадратической  ошибки единицы веса  // . Для  оценки ожидаемой  точно-

сти определения неизвестных величину  / л следует взять из проекта.

При обработке  уже  выполненных измерений форма параболы  не меняет-

ся. Она только поднимается вверх на величину  Zo. Величина / /   учитывается

автоматически при уравнивании.

Заметим,  что  для  каждого  неизвестного  своя  парабола  с  разными  пара-

метрами Р.  Однако обе ординаты параболы Zo  и  ZM одинаковы для  всех не-

известных.

Наряду  с  методом  наименьших  квадратов  может  применяться  и  метод

наименьших модулей  (МНМ), в котором  неизвестные находятся  под услови-

ем минимума суммы абсолютных значений уклонений. Этот метод, как более

понятный  и логичный,  известен  уже  давно.  Однако  он  не нашёл  широкого

применения, вероятно только потому, что  обработка  измерений в нём  более

сложна по сравнению с МНК. В последние годы  к нему вновь появился инте-

n

pec,  потому  что  сложность  обработки  измерений  не  является  препятствием

при использовании ЭВМ.

Упомянутая  функция  "Поиск  решения"  позволяет  реализовать  данный

метод точно так же, как и МНК с одним только  отличием: в целевую ячейку

нужно поместить вместо суммыzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA [v1],  сумму модулей [jv[J.

Известно, что  этот  метод  иногда  не даёт однозначного решения, зато он

более  устойчив  к  грубым  ошибкам  измерений и  что  наиболее  существенно

позволяет достаточно уверенно находить грубые ошибки.

Для  некоторых  плановых  сетей  была  исследована  зависимость  суммы

f/ vff  от величины х одного неизвестного. Для остальных  неизвестных уравни-

вание под условием  f/ vff=min  выполнялось заново. Выявилось, что  если из-

мерения не содержат  ошибок, т.е. вычислены по координатам точек, то зави-

симость линейная (рис. 3). Для измерений с ошибками имеем ломанную ли-

нию  (рис. 4)  с  более  или  менее  пологими  участками  вблизи  минимума. За

пределами  влияния  ошибок  измерений,  когда  все  поправки  приобретают

один знак "плюс" или "минус", зависимость снова становится линейной.

Рис. 3. График суммымодулей  при  отсутствии

ошибок измерений

Рис. 4. График суммымодулей  при наличии

ошибок измерений

Более универсальной  оценкой точности  является  оценка  по  доверитель-

ному интервалу. Для неё можно использовать  формулу

12

гдеzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 1^ -  коэффициент Стьюдента, соответствующий  вероятности Д

Z/ з -  сумма  квадратов  уклонений, соответствующая  границам  доверительного

интервала.

Считают  очевидным, что уравненное  значение неизвестного находится в

середине  доверительного  интервала.  Однако для нелинейных уравнений та-

кой симметрии  может не быть. В этом  случае для строгой  оценки точности

нужно  найти нижнюю  хтШ

  и верхнюю  хтах

  границы доверительного  интер-

вала, найдя два корня уравнения

Ze=<p(x),  (6)

где Zp  найдено по (5). Корней может быть и больше двух. Это может свиде-

тельствовать  о наличии локальных  минимумов у функции  <р(х), что вполне

возможно для нелинейных уравнений.

Оценка  по доверительному  интервалу  может  успешно  применяться в

случае,  когда точность  вывода из уравнивания некоторых  неизвестных соиз-

мерима с их величинами, а также при аппроксимации функциями дискретной

выборки, когда требуется оценить точность  нахождения  некоторых коэффи-

циентов подбираемой функции, особенно если эти коэффициенты имеют фи-

зический смысл.

В  третьей  главе  рассмотрена  оценка точности  предлагаемым  способом

для  двух  переменных,  коррелированных  между  собой.  Такая  задача  имеет

место при уравнивании  плановых  геодезических  сетей  и оценке точности с

помощью эллипса ошибок.

Кроме  эллипса  ошибок  можно  найти  кривую  весов  (рис. 5). Последняя

является  кривой  четвёртого  порядка  и в некоторых  источниках  называется

подерой.

13

Эллипс ошибок

Кривая весов

Сущность  способа  оценки точно-

сти  для  плановых  геодезических  се-

тей показана на рис. 6. ОсиzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA X  и Y от-

носятся  к  плоской  прямоугольной

системе  координат,  в  которой  вы-

полняется  уравнивание  сети. По оси

Z  отложены  суммы  квадратов  укло-

нений.  Координатами Хо  и  Уо  обо-

Рис. 5. Взаимное расположение  з н а ч е н ы

  УР^ненные  координаты

кривой весов и эллипса  пункта.

Эллипсом  ошибок является  сече-

ние  параболоида  горизонтальной плоскостью  с  координатой 2=Zm.  Так как

сразу  найти эллипс затруднительно  используется  цилиндр радиусом  г. Про-

екция на плоскость XOY  линии пересечения параболоида и цилиндра являет-

ся кривой весов (если / = 1).

Для каждого пункта сети имеем свой параболоид со своими параметрами.

От точности измерений зависит удаление  параболоида от плоскости XOY.  Но

форма параболоида  не  зависит от точности  измерений, а зависит  от  схемы

сети.  Поэтому  определить  параболоид  и  нарисовать  эллипсы  ошибок  для

всех пунктов сети можно до  производства измерений на этапе проектирова-

ния сети, задавшись точностью измерений.

В  работе  выведены  формулы  для  нахождения  кривой  весов  и  эллипса

ошибок по восьми точкам  через  45°.  Формулы  даны  для  первых  4- х  точек.

Для остальных точек формулы те же.

Вычисляем веса Pj  -   P4  по приращению суммы  квадратов уклонений при

перемещении уравненных  координат пункта  на единицу длины в направле-

ниях с азимутами (дирекционными углами) 0°, 45°, 90°  и  135°.

14

О

Эллипс

ошибок

Уравненные координатыzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Ло, ) о

Рис.6. Принцип нахождения эллипса ошибок

Контролем являются равенства

Для длин полуосей кривой весов получены формулы

Р,+Р3+С  _Р

2+Р

4+С

"  2  ~  2

Р,+Р3- С  _Р

2+Р

4- С

-   ~  -   .

где  С -   вспомогательная величина:

С2  =  (Р

3  -   Р,)

2  + (Р

4  -   Р

2  )

2 =  (Л -   В)

2.

Азимут малой оси можно найти по формуле:

(7)

(8)

(9)

15

/zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA  р  — рao=­­arctg­±—•Ј­.  (10)

2  Рз~ П

Для полуосей эллипса ошибок используем известные формулы

а = - ~,  Ь^ - ^=,  (11)

4в  41

Азимут а0  малой полуоси эллипса будет отличаться от схо на 90°.

При уравнивании координат пунктов сети две координаты одного пункта

коррелированы между собой. Если бы не было корреляции, оси эллипса

ошибок были бы сориентированы параллельно осям координат.

В  общем случае оси эллипса сориентированы в любом направлении (рис.

7). При уравнивании традиционным способом средние  квадратические

ошибки уравненных координат  тх и т

у равны половинам сторон описанно-

го прямоугольника. Принято считать обобщённую ошибку координат пункта

по формуле

I  2  —

(12)

В  результате  получим

преувеличенную  ошибку  в

положении  пункта,  так  как

реальный  эллипс ошибок за-

меняется  окружностью  ра-

диусом  т:  площадь  круга

может  быть  значительно

больше площади эллипса.

В  предлагаемом  способе

оценки  точности  имеются

следующие  особенности.

Оценка точности  выполняет-

Рис. 7. Средние квадратические  ся  путём  изменения  урав-

ошибки по осям координат

16

ценных  координат  на  1  и  последующего  уравнивания  остальных  неизвест-

ных. Это можно  выполнять  независимо  и отдельно  по одной, затем  другой

координате одного  пункта.  При уравнивании  остальных  неизвестных  может

быть два варианта: включать  или не включать  в уравнивание другую коорди-

нату этого же пункта.

Анализ этого вопроса показывает, что если другая координата тоже урав-

нивается  вместе  с другими  неизвестными, то для  оцениваемой координаты,

напримерzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA X,  получим  такое  же  значение /я* как и в традиционном  способе.

При этом другая  координата  после уравнивания  изменится так, что точка О

переместится в точку А, или, если оценивается координата Y, — в точку  В.

Если другая координата не уравнивается, то точка О перемещается  в точ-

ки С и Д, а средние квадратические ошибки становятся заметно меньше. По-

следнее обосновано и вполне понятно. Так как другая координата не уравни-

вается  заново  и  сохраняет  фиксированное  (уравненное)  значение,  поэтому

точка  О перемещается  в точки  С и Д  по осям  координат. Эти перемещения

равны двум полярным расстояниям среднего  квадратического  эллипса. Пря-

моугольник,  построенный по ошибкам  тх и

ntr,  и  описанный  вокруг  прямоугольника

круг  ближе  подходят  к  площади  эллипса,

чем  прямоугольник  и  круг  построенные  по

ошибкам тх  и  т

у.  Между  тем это не означа-

ет,  что  для  обобщённой  оценки  точности

лучше  взять  в  формуле  (12)  ошибки  тх  и

ту. Они могут дать сильно преуменьшенное

значение ошибки (рис. 8).

Представляет  интерес  сложение эллипсов для  одной и той же  определяе-

мой точки.

Сложение эллипсов можно условно разделить на два вида: параллельное и

последовательное. При параллельном  сложении суммируются  веса  исходных

Рис. 8. Особенностьоценки точности для вы-

тянутого эллипса

17

эллипсов.  Примером  параллельного  сложения  могут  служить  два  висячих

теодолитных  хода,  заканчивающиеся  на  одном  определяемом  пункте.  Для

каждого  хода имеем свой эллипс, а для средних  (среднего  весового) коорди-

нат получим эллипс параллельного сложения.

При последовательном  сложении суммируются  квадраты  средних  квадра-

тических  ошибок. Примером  являются  два  последовательных  теодолитных

хода. Для каждого хода в отдельности  имеем свой эллипс. Эллипс для второ-

го хода найден при условии, что опорным пунктом для  него является конеч-

ная токаzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA L  первого хода.

Суммарный  эллипс  как для  параллельного,  так  и для  последовательного

сложения не должен касаться ни одного из складываемых  эллипсов (рис.9). В

работе приведена графическая иллюстрация сложения эллипсов.

Если  определяются  все  три  координаты  точек,  то  по каждой  координате

имеем, в общем,  разные ошибки. Разные средние квадратические ошибки по

осям координат удобно показать с помощью  эллипсоида ошибок.

Определение эллипсоида ошибок оправдано только  в случае совместного

определения  координат  и  высот  точек,  в  частности,  способами  пространст-

венных линейных и угловых засечек.

Последовательное

сложение

И сходные эллипсы

П араллельное

сложение

Рис. 9. Сложение двух эллипсов ошибок

Принцип нахождения  эллипсоида ошибок подобен  рассмотренному  выше

определению  эллипса ошибок. Для  определения  параметров  эллипсоида  на-

18

ходим  вначале  уравненные  координатыzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Хо,  Уо, Но данного  пункта  и мини-

мальную  сумму квадратов  уклонений Zo-   Задаёмся  единичным отрезком, на-

пример As~\  м, на который будем  изменять координаты точки в разных на-

правлениях. При этом будем иметь сферу  радиусом  As вокруг  точки с тремя

уравненными  координатами.  Формулы  для  координат  точек,  располагаю-

щихся на сфере в зависимости от азимутаzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA  а и угла наклона v, имеют вид

Xi  =Xt.+  As-  cosa

t  •  cos v,,

У, =Уд  +As- sina

i  - cosVj,  (13)

/ / , =  II0 +As-  sin v,

Изменив по (13) координаты  определяемой  точки  и уравняв  остальные

неизвестные, получим новую сумму Z,  квадратов уклонений, по которой на-

ходим вес неизвестного в данном направлении

(14)

Затем находим среднюю квадратическую  ошибку.

Заметим, что в пространственных  засечках  координаты точек  определяют

обычно независимо от других точек. В этом случае неизвестными являются

только три координаты  определяемой  точки, и повторного  уравнивания ос-

тальных неизвестных делать не приходится.

В четвёртой главе выполнено математическое  моделирование.

Теоретические исследования задач уравнивания и оценки точности прове-

рены  на конкретных  примерах.  Выполнено  моделирование  для  сети тре-

угольников с разной привязкой к опорным пунктам (координатная привязка,

координатная  привязка  совместно  с угловой,  привязка к базисам)  и разной

комбинацией  измерений  (измерены  только  углы,  измерены  только  длины

сторон, измерены и углы, и длины). Один из 9- ти вариантов приведен на рис.

10 и в таблице 1.

Выполнено также  моделирование различных  вариантов полигонометриче-

ских ходов, угловых и линейных засечек, пространственных угловых засечек.

19

Моделирование  показало  немало  далеко  не  очевидных  особенностей  в

оценке точности для различных схем  геодезических  построений и измерений.

Измерены  /

только  I

углы  1

'  \   И змерены

1  только

1  длины

s—^  И змерены

[Ли  углы,V- /   длины

Рис.10. Схема геодезической сети и эллипсы ошибок дляточки 8 (координатная и угловая  привязка)

Таблица 1. Результаты  оценки точности для точки 8

Средние квадратическне ошибки измерений: направления 3,6  ,

Азимут

0°4590135180225270315

Большая полуосьМалая  полуось

Азимут  полуоси

Вес,  (град/ м)2- 10

6

Измеренытолько' углы

34221990

21334121990

213

Измеренытолькодлины

8620334322686

203343226

Измере-ны

и углы, идлины

458

602

797

653

459

602797653

Кривая весов342,090,00,8°

343,585,592,6°

798,9456,194,3°

расстояния D/ 57300Ср. кв. ошибка, см

Измере-ны

толькоуглы

5,4

6,810,56,95,46,810,56,9

Измере-ны

толькодлины

10,87,05,46,710,87,0

5,4

6,7

Измереныи углы, и

длины

4,74,1

3,53,94,74,1

3,5

3,9

Эллипс ошибок10,55,4

90,8°

10,85,4

2,6°

4,7

3,5

4,3°

20

Для проверки правильности вычисляемых элементов эллипсов выполнено

математическое  моделирование с вводом случайных  ошибок измерений. Для

этого  разработан  генератор чисел  (ошибок) нормального закона распределе-

ния.

На рис.  11 представлено  100  отклонений уравненных  координат точки 8

(рис.  10) для  координатной привязки. Для  нахождения  каждой точки  на ри-

сунке вводился свой массив случайных  ошибок измерений в исходные углы

и расстояния, строго подчиняющийся нормальному закону. На рисунке пока-

заны  результаты  всех  ста  выборок, полученных  подряд, без корректировки

результата. Поэтому оставлена одна из точек, имеющая четырёхкратное пре-

вышение ошибки по сравнению со средней  квадратической  ошибкой: веро-

ятность такой большой ошибки составляет около 1:10000.

В  пределах  эллипса средних  квадратических  ошибок должно  находится

по теории 0,39  от числа всех точек. Здесь имеем 37- 38 точек из 100. В трёх-

кратный эллипсzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA (tp=3) попадают 99 выборок.

- 0,2м

/

\   - *

V*  •   *

+0,2м

- 0,2м

tp- 3

+0,2м

Рис. 11. Отклонения уравненных координат привведении случайных ошибок в измеренные углы и

расстояния

21

Подобное  моделирование  было выполнено и для других  схем  геодезиче-

ских  измерений. Все  они подтверждают  достоверность  способа  нахождения

эллипсов ошибок.

В  пятой  главе  описано применение  поискового  метода  для  решения

других задач  геодезии.

Для  поиска  грубых  ошибок  измерений  проведено  сравнение  метода

наименьших квадратов  (МНК) и метода  наименьших модулей  (МНМ). Уста-

новлено  преимущество  использования  МНМ  по  сравнению  с  МНК. Если

число избыточных  измерений превышает  число грубых ошибок, МНМ даёт

поправки только  для  ошибочных  измерений, а  МНК распыляет  ошибки на

многие другие измерения.

Выведены формулы нахождения элементов ковариационной матрицы и

коэффициентов  корреляции  между  уравненными  неизвестными  поисковым

методом.  Для  этого  при  повторном  уравнивании  вычисляются  приращения

всех остальных  неизвестных, когда основное неизвестное изменяется на фик-

сированную  величину.  Одновременно  выводится  ещё один способ  нахожде-

ния эллипса ошибок для основного неизвестного. На примере четырёх неиз-

вестных показано совпадение результатов поисковым и параметрическим ме-

тодами.  Подчёркивается  факт,  что  для  оценки  точности  всех  неизвестных

поисковым методом  требуется найти дополнительно столько минимумов це-

левой  функции, сколько  неизвестных.  Этих  задач  на минимум  достаточно,

чтобы найти все  эллипсы, весовые или корреляционные коэффициенты.

На  примере  обратной  пространственной  угловой  засечки  выполнен

анализ трёх  разных  способов  построения  эллипса ошибок: два  способа  по

формулам  главы  3  и 5, и один способ  по формулам,  приведенным  в  «Спра-

вочнике  геодезиста»  (под.  ред.  В.Д.  Большакова, Г.П. Левчука.  М.:  Недра,

1966). Сравнение трёх способов показало их идентичность.

Рассмотрены  возможные  варианты  учета  ошибок  исходных  данных

опорных пунктов, если  известны их эллипсы ошибок или средние  квадрати-

ческие  ошибки  координат.  Приведены  формулы,  удобные  для  поискового

22

метода. В одном из вариантов в сеть вводится  дополнительная  мнимая точка

с  несуществующими  координатами. При этом  система уравнений,  подлежа-

щих решению, расширяется на два нелинейных уравнения.

В  приложении  к работе  дано описание  разработанной  компьютерной

программы  для  расчёта  полигонометрических  ходов  и  рисовки  эллипсов

ошибок для всех точек хода.

Заключение

Итогом выполненной работы являются следующие  результаты.

1. Исследован поисковый метод решения геодезических  задач,  проведено

его сравнение с традиционными методами.

2. Разработана  геометрическая  интерпретация поискового метода  оценки

точности для  одного и двух коррелированных между собой неизвестных.

3.  Выполнено  сравнение оценки точности  положения пункта  из  уравни-

вания по средним  квадратическим  ошибкам отдельно  по каждой  оси  и с по-

мощью эллипса ошибок.

4. Выведена  формула для нахождения доверительного  интервала на осно-

ве использования поискового метода.

5. Сформулированы задачи параллельного  и последовательного  сложения

эллипсов ошибок и рассмотрены пути их решения.

6. Разработан  алгоритм  построения эллипсов  ошибок для  плановых  гео-

дезических сетей с использованием ЭВМ.

7. Выполнено математическое моделирование различных схем  геодезиче-

ских измерений, уравнивания  и оценки точности. Проведен анализ точности

некоторых геодезических построений.

8. На основе поискового метода проанализированы задачи:

-  пространственной обратной угловой  засечки по двум пунктам;

-  поиска грубых ошибок измерений;

-  нахождения ковариационной матрицы;

-  учёта ошибок исходных данных.

9. Составлены  компьютерные  программы для  решения геодезических  за-

дач поисковым методом.

Основное содержание  диссертационной  работы  опубликовано  в  следую-

щих  статьях:

1. Об оценке точности  неизвестных  при решении нелинейных уравнений

по методу  наименьших  квадратов  (Желтко  С.Ч.)  //  Труды  Международного

форума по проблемам науки, техники  и образования. ТомzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2J  Под редакцией

В.П.Савиных и др., -  М.:Акад.  Наук о Земле, 2001. Стр. 118- 119.

2.  О построении эллипсов ошибок в плановой геодезической  сети. (Желт-

ко Ч.Н., Желтко С.Ч.) //  Труды  Международного  Форума по проблемам  нау-

ки, техники и образования. Том 3. /  Под ред. В.П.Савиных,  В.В.Вишневского.

-   М.: АН о Земле, 2002. -   154 с.  2 с.

3.  Об  использовании  ЭВМ  для  обработки  геодезических  измерений.

(Желтко Ч.Н., Периков Е.Н.) //  Деп. в ОНТИ ЩШИГАиК 18.04.03,  №  797- гд

2003 Деп.  5 с.

4. Об уравнивании измерений и оценке точности приближениями на ЭВМ.

(Желтко  Ч.Н.) //  Прикладная  геодезия:  Сборник  научных  трудов.  -   Ростов

н/Д: Рост. гос. строй, ун- т, 2004. -   76 с :  ил.

5.  Анализ  пространственной  угловой  обратной  засечки  по двум  точкам.

(Желтко Ч.Н.) / /Деп. в ВИНИТИ  01.09.05,  №  1192  - В2005.  - 5 с.

6.  Сложение  эллипсов  ошибок.  //  Деп.  в  ВИНИТИ  01.09.05,  №   1193  -

В2005.  -  5 с.

Лабутин  Вадим  Олегович

Р АЗР АБ ОТК А  С П ОС ОБ А ОЦ ЕН К И Т О Ч Н О С Т И

Н Е И З ВЕ С ТН Ы Х  В М Е ТОДЕ  Н АИ М ЕН Ь Ш И Х  К ВАДРАТОВ

Автореферат

П одписано в печать  14.04.06г.

Формат А- 5. Бумага 80  г/ м2. П ечать трафаретная. Усл.печ.л.  6 Тираж  100 экз. Заказ  38

Отпечатано с оригинала макета  заказчика в минитипографии  «Манускрипт»

г. Краснодар, тел. 238- 48- 97