Исследование влияния лимитера на порядок точности решения разрывным методом

Галеркина

И Н С Т И Т У Т П Р И К Л А Д Н О Й М АТ Е М АТ И К И И М . М . В . К Е Л Д Ы Ш А

Р О С С И Й С К О Й А К А Д Е М И И Н АУ К

Ладонкина М.Е., Неклюдова О.А., Тишкин В.Ф.

Международная молодёжная конференция – школа«СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ»

22-27 августа 2012 года, Дубна

План доклада

Разрывный метод Галеркина для уравнений Эйлера.Лимитеры.Тестовая задача.

Метод Галеркина с разрывными базисными функциями (РМГ) для уравнений Эйлера

Рассматрим уравнения одномерной идеальной газовой динамики

( )0

U F U

t x

E

uU

upE

pu

u

F

)(

2

2

2uE

u

p

( 1)p

Эти уравнения должны быть дополнены начальными и граничными условиями, вид которых зависит от конкретной задачи, и будут конкретизированы далее.

(1)

(2)

- плотность- скорость- удельная внутренняя

энергия- давление

- полная энергия на единицы объема

- показатель адиабаты

приближенное решение системы уравнений (1) будем искать в виде

проекции вектора консервативных переменных

на пространство полиномов P(х) степени р

в базисе с зависящими от времени коэффициентами.

1/2 3/2 1/20 ...

Nx x x L 1/2 1/2

( )i i ix x x

0

0

0

( , ) ( ) ( ),

( , ) ( ) ( ),

( , ) ( ) ( ),

p

h k kk

p

h k kk

p

h k kk

x t t x

u x t u t x

E x t E t x

),,( EuU

( )k x

(3)

Приближенное решение системы (1) в разрывном методе Галеркина ищется как решение следующей системы

( , ) ( ) ( ( , )) ( )

i i

t h k h x kI I

U x t x dx F U x t x dx

1/2 1/2 1/2 1/2( ) ( ) 0l ri k i i k iF x F x

где i = 0,…,N, k = 0,1,2.

( , ) ( , ), ( , ), ( , )T

h h h hU x t x t u x t E x t

1/2 1/2( ), ( )l rk i k ix x

1/2 1/2,i iF F

1/2 1/2 1/2

1/2 1/2 1/2

( ( , ), ( , ))

( ( , ), ( , ))

l ri h i h i

l ri h i h i

F U x t U x t

F U x t U x t

для которых выполнено условие согласования:

( ( , ), ( , )) ( ( , ))h i h i h iU x t U x t F U x t

- вектор решения

- дискретные потоки, являющиеся монотонными функциями двух переменных

1/2 1/2,i ix x

- базисная функция с номером k на интервале iI , вычисленная в точках

Численные потоки

Поток Русанова-Лакса-Фридрихса

1/2 1/2

1/2 1/2 1/2 1/2

1/2 1/2 1/2 1/2

( ( , ), ( , ))

1( ( , ) ( ( , )) ( ( , ) ( , ))) ,

2

max , ,

l rh i h i

l r r lh i h i h i h i

l l r ri i i i

i

U x t U x t

F U x t F U x t A U x t U x t

A u c u c

1/2iu

1/2ic

РусановВ.В. Расчет взаимодействия нестационарных ударных волн с препятствиями. 1961, Журнал вычислительной математики и математической физики, т.I, №2, 267- 279.

- скорость

- скорость звука

ЛимитерыОграничитель (лимитер) представляет собой некоторый оператор, действующий на функцию приближенного решения на каждом интервале 2/12/1 , ii xx

Обозначим действие этого оператора на функцию u через hu

для линейной функции 0 1i

i

x xu u u

x

можно записать как 0 1 ,ih

i

x xu u u

x

1 1/2 0 1/2 0 0 1/22 ( ) , ,i i i i i iu minmod u x u u u u u

- среднее интегральное значение приближенного решения на интервале 0uiI

0 1 0 0 1 01/2 1/2,

2 2i i i i

i iu u u u

u u

1 11

min ,..., , ( ) ... ( ),( ,..., )

0, .

N NN

s a a если s sign a sign aminmod a a

иначе

где

Ограничитель Кокбурна

1 11 1 0 0 0 0min mod , ,i i i i iu u u u u u

1( ,..., )Nminmod a a 1( ,..., )Nminmod K a a

1 1/2 0 1/2 0 0 1/22 ( ) , ,i i i i i iu minmodK u x u u u u u

1 1 1( ,..., ) ( ) (| |,...,| |)N NminmodK a a sign a min a a

Kh

вместо функции используется функция

Обозначим его

.

Ограничитель Колгана

Колган В.П. Применение принципа минимальных значений производной к построению конечно-разностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики. 1972, Ученые записки ЦАГИ. т. 3, №6.,С. 68 – 77.

В случае лимитирование прекращается,

Коэффициент соответствует k- ой производной решения, и он сравнивается с альтернативной аппроксимацией k-ой производной через правую и левую разности (k-1)-ой производной.

Начиная со старших коэффициентов k=p, заменим на

«Моментный» лимитер характеризуется тем, что сохраняет максимально возможный порядок схемы.

2

0 1 21

( ) 2 6 ,2

i i

i i

x x x xu x u u u

x x

2 1 2

0 0 1 2, , .12 2 6

u u uu u u u

iku

iku

Решение лимитируется путем лимитирования его коэффициентов.

1 11 1 1 1, , .i i i i i i

k k k k k k k ku minmod u u u u u

i ik ku u

i ik ku u 1,i

ku

i ik ku u

Лимитер срабатывает, если

иначе лимитируется коэффициент

продолжая до тех пор, пока либо k=1,либо выполнится условие

.

«Моментный» ограничитель

Для применения данного лимитера перейдем к ортогональной системе базисных функций.

Lilia Krivodonova, Limiters for high-order discontinuous Galerkin methods, 2007, Journal of Computational Physics, vol. 226,pp. 879-896.

В случае нелинейных систем следует применять лимитеры к характеристическим переменным.

Лимитер Кокбурна

~

1 1/2 0 1/2 0 0 1/22 ( ) , , ,i i i i i ij j j

j

Lu minmod L u x u L u u L u u

Моментный лимитер

~

1 11 1 1 1, , , 1,2,3i i i i i i

k k k k k k k kj j j

j

Lu minmod Lu L u u L u u j

где L - матрица левых собственных векторов Якобиана системы (1), вычисленная в центральной точке хi интервала Ii , j-номер уравнения в системе.

После лимитирования возвращаемся к исходным консервативным переменным, умножая результаты лимитирования на матрицу, составленную из правых собственных векторов Якобиана системы (1)

~1

1 1u L Lu

.

Схема Рунге-Кутта третьего порядка .

*

** * *

1 ** **

( )

3 1 1( )

4 4 4

1 2 2( )

3 3 3

n nh

nh

n nh

U U tL U

U U U tL U

U U U tL U

.

Исследование влияние различных лимитирующих функций на порядок точности решения разрывным методом Галеркина

2

2 22 2

1 ,

1, ,

l

l xe x l

иначе

[ 1,1], 0.2, 5 / 3x l

2( 1) 2 ( 1)

, ,1 2

uu E

Распределение плотности в начальный момент выберем в виде бесконечно гладкой функции:

Остальные гидродинамические параметры определяются из условий постоянства энтропии и инварианта

R

Начальные профили плотности, импульса и полной энергии:

( 1, ) 1, ( 1, ) 10, ( 1, ) 6,

(1, ) 1, (1, ) 10, (1, ) 6.

t u t E t

t u t E t

На границах области были заданы постоянные граничные условия:

Семейство характеристик, на которых инварианты постоянны в простой волне является прямыми линиями,

и это дает возможность записать решение в неявном виде.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М .Гидродинамика, Теоретическая физика: Т.VI. –М.: Физматлит, 2001.

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

( , ) ( ( ( , ) ( , )),0) ( ( ( ) ( ))),

( , ) ( ( ( , ) ( , )),0) ( ( ( ) ( ))),

u x t u x t u x t c x t u x t u x c x

c x t c x t u x t c x t c x t u x c x

0 0 0( ( ) ( )),x x t u x c x

12 1( , )

( , )( 1)

c x tx t

Решение данной задачи сохраняет гладкость до того момента времени, пока характеристики, выпущенные из разных точек, не начнут пересекаться.

0 0 0

0 0 0

( ,0) ( ,0)

( ,0) ( ,0)

x x t u x c x

x x dx t u x dx c x dx

2 2 2

32 1/2 1/2 2

( ),

2 ( 1) ( 1) ( )( ( ) 1)

lt

l

для 53

2/3 2 2 2

2

9 ( )( )

16 10 ( ( ) 1)

lt

l

Вычислим момент возникновения ударной волны

Из графика видно, что момент образования ударной волны приблизительно равен T = 0.09

1

2

4

1* *

1

1 2* *

1

1/41 4* *

1

T T

L

T T

L

T T

L

U U U U dx

U U U U dx

U U U U

*2

*2 /2

log, 1,2,4.

logi

i

Th

L

Th

L

U Up i

U U

Вычисление порядка точности метода.

Таблицы