يلرا تاضا ةدما ف ثلثاا · 2019-03-17 · 1 ة ة ينوثا ة حللمصاا ي...

1

ةي اثون

حةل ااصمل

ي ة

اتوم –اولطن

ي د ة –ب

ي لل ا

ة

سيل ا

ة

7102/ 7102: ادلراسي

إابتخر االثل

ث

ااثلث

ات امدة ف

ارلي اض

: اوتسملى

ي ة ولعم رجتي ن

ة

ي اساتعن : ادملة ااثلل

( نقاط 06,5.............. ).: لترمين األول ا

: بــــ 1;0املعرفة على fلتكن الدالة

3 2( )

4

xf

xx .

. 1;0على fأدرس تغيرات الدالة (أ( 1

)1;0فإن 1x;0إستنتج أنه إذا كان (ب )f x .

)يف املستوي املنسوب إىل املعلم املتعامد و املتجانس fمثل بيانيا الدالة ( ج ); ;o i j( . 10الوحدةcm. )

)نعترب املتتالية ( 2 )nu املعرفة بـــ :

00u و من أجل كل عدد طبيعيn :

1( )

n nfu u .

)باستعمال املنحين (أ )C للدالةf عين على حمور الفواصل احلدود :0u ،

1u ،

2u ،

3u .

أعط ختمينا حول إجتاه و تقارب املتتالية( )nu .

n :0برهن أنه من أجل كل عدد طبيعي (ب 1nu .

: بين أن (ج1

(

4

)( 2)1n n

n nn

uu u

u

u)، ثم إستنتج إجتاه تغير املتتالية )

nu .

)هل املتتالية (د )nu برر إجابتك . متقاربة ؟.

)نعترب املتتالية ( 3 )nv كما يلي املعرفة على :

1

2n

nn

uv

u .

)برهن أن املتتالية (أ )nv هندسية يطلب تعيني أساسها و حدها األول.

أكتب عبارة (بnv بداللةn ثم عبارة ،

nu بداللةn .

)إستنتج نهاية املتتالية (ج )nu .

(نقاط 06)............. : ين الترمين الثا

3كريات محراء و 10يضع . كريات خضراء 7كرية محراء و 13كرية ، منها 20يلعب طفل بــ . B، و يضع الباقي يف العلبة Aكريات خضراء يف العلبة

.و ينظر كم كرية محراء ظهرت Aمن العلبة آن واحد كريات عشوائيا و يف 3يف أول لعبة خيتار (1

.املتغير العشوائي املتعلق بعدد الكرات احلمراء املسحوبة Xليكن

ر العشوائي عين قانون إحتمال املتغيX ثم أحسب أمله الرياضي ،( )E X .

.و يف ثاني لعبة ، خيتار الطفل إحدى العلب و يسحب منها كرة واحدة ( 2

.مثل هذه الوضعية بشجرة اإلحتماالت ( أ

3as.ency-education.com

2

.أحسب إحتمال أن تكون الكرة املسحوبة محراء ( ب

.؟ Aعلما أن الطفل سحب كرة محراء ، ما إحتمال أن تكون من العلبة (ج

( نقاط 07,5) . ...................: لث الترمين الثا

: كما يلي ;0املعرفة على gنعترب الدالة : اجلزء األول

2( ) lnx

xg x

x .

. و 0عند gأحسب نهايات الدالة (1

.و شكل جدول تغيراتها gأدرس تغيرات الدالة ( 2

)بين أن املعادلة ( 3 ) 0g x 1,4: حيث تقبل حال وحيدا 1,5 .

إستنتج إشارة( )g x حسب قيمx 0من اجملال; .

): بـــ ;0دالة معرفة على f: اجلزء الثاني ) 1 ( )l2 nxf xx .

( )fC منحناها البياني يف املستوي املنسوب إىل املعلم املتعامد و املتجانس( ); ;o i j .

.هندسيا 0، ثم فسر النهاية عند و عند 0عند fأحسب نهاية الدالة ( 1

.، ثم شكل جدول تغيراتها fأدرس إجتاه تغير الدالة ( 2

: بين أن ( 3

2( 2)( ) 1f ثم أعط قيمة مقربة لــ ،( )f 1,45من أجل .

4 )

0( )xT هو املماس لــلمنحين( )

fC عند النقطة

0M ذات الفاصلة

0x :

أكتب املعادلة الديكارتية للمماس (أ

0( )xT .

عين (ب0x إذا علمت أن املماس

0( )xT مير بالنقطة( )2;0A .

)إستنتج أن (ج )fC يقبل مماسني ميران بالنقطةA ثم أكتب معادلة كل منهما ،.

)أرسم كال من املماسني و املنحين ( 5 )fC .

)نعترب املستقيم : اجلزء الثالث )md 2الذي معادلتهy mx m حيث ،m وسيط حقيقي.

)حتقق أن (أ )md مير بالنقطةA .

)عدد حلول املعادلة mناقش بيانيا و حسب قيم الوسيط (ب ) 2f mx x m .

اب

فوتلي

ا ف ااملدة أاسذتةـــــــــــــــــــــــــــــــ 7102اكبولري


1

بية اولعلم رجتييب

ب ةع

ي ش

ل ااثلنصللف

ح اإلابتخر

حييص

ت

: التمرين الأول : كما يلي 1;0املعرفة على fلدينا الدالة

3 2( )

4

xf

xx .

: 1;0على fرات الدالة دراسة تغي( أ( 1

: 1;0من xلدينا من أجل كل 2

10( )

( )4x

xf أي ، :( ) 0f x .

. 1;0دة على اجملال متزاي fومنه الدالة

0: أي 1x;0لدينا ( ب 1x مبا أن الدالة ،f فإن 1;0متزايدة على :( )0) )1( (xf f f أي ، :

( 12

)1f x لكن ، :(

11

2)0 f x 0: ، ومنه 1( )f x 1;0: ، أي( )f x .

)1;0فإن 1x;0إذا كان : إذن )f x .

: التمثيل البياني( ج

. أنظر الشكل املقابل

: nبيعي لدينا من أجل كل عدد ط( 2

0

1(

0

)n nu uf

u .

متثيل احلدود ( أ0u ،

1u ،

2u ،

3u .

.أنظر الشكل املقابل

)نالحظ أن املتتالية : التخمني )nu متزايدة

و تتقارب حنو فاصلة نقطة تقاطع املنحين

( )C و املستقيم ذو املعادلةy x .

n :0برهان أنه من أجل كل عدد طبيعي (ب 1nu ( : نستعمل الربهان بالرتاجع )

0التحقق من أجلn ،(00u ) 0: ، أي 0 : ، ومنه 1

00 1u ( حمققة. )

نفرض صحة اخلاصية من أجلn 0: ، أي 1nu .

1نثبت صحة اخلاصية من أجلn أي ، :1

0 1nu .

0: لدينا فرضا 1nu 0: نستنتج أن ( ب)، و حسب السؤال األول 1( )

nuf أي :

10 1

nu .


2

: n، ومنه من أجل كل عدد طبيعي nيستلزم أنها صحيحة من أجل 1nاخلاصية حمققة من أجل

0 1nu . وهو املطلوب.

: بيان أن ( ج1

(

4

)( 2)1n n

n nn

uu u

u

u :

1

3 2

4n

n n nn

uu u u

u :، أي

2

1

3 2 4

4n n n

n nn

u u uu u

u : أي ،

2

1

2

4n n

n nn

u uu u

u: ، ومنه

1

(1 )( 2)

4n n

n nn

u u

uu u . وهو املطلوب.

0: لدينا 1nu 1: ، ومنه 0

nu 2: ، و أيضا 0

nu 4، و 0

nu .

: إذن 1

0n nu u و منه املتتالية ،( )

nu متزايدة.

)نعم املتتالية ( د )nu متقاربة.

مبا أن املتتالية( )nu 0) 1متزايدة و حمدودة من األعلى بــ 1

nu ) إذن فهي متقاربة.

):لدينا ( 3 )nv كما يلي املعرفة على :

1

2n

nn

uv

u .

)برهان أن املتتالية ( أ )nv هندسية :

حنسب 1n

v :1

11

3 2 3 2 41

1 4 4 2 2

3 2 3 2 2 82 5 102

4 4

n n n

n n n nn

n n nn n

n n

u u u

u u u uv

u u uu u

u u

: ، ومنه

1

( )

( )

2 1

5 2n

nn

uv

u: ، أي

1

2

5n nv v إذن املتتالية ،( )

nv هندسية أساسها

2

5q و

0

1

2v .

ارة كتابة عب( بnv بداللةn ثم عبارة ،

nu بداللةn :

عبارةnv :

0

nnv v q أي ، :

1 2( )2 5n

nv .

عبارةnu : لدينا

1

2n

nn

uv

u2: ، أي 1

n n n nv u v u 2: ، أي 1

n n n nv u u v ،

): ومنه ) 2 11nn n

vv u أي ، :

2 1

1n

nn

vu

v: ، أي

1 22 1

2( )( )

( )( )

51 2

12 5

n

nnu ،

: إذن

2( ) 151 2

( )( ) 12 5

n

nnu .

)إستنتاج نهاية املتتالية ( ج )nu :

lim: نعلم أن (2

5) 0n

n1lim: ، ومنه ( )

nnu .


3

: التمرين الثاني

: اللعبة األوىل( 1

:دد الكرات احلمراء املسحوبة فتكون قيمه كالتالي مبا أنه يرفق بع: Xأوال نعني قيم املتغير العشوائي

0 1; ;3;2

تعيني قانون إحتمال املتغري العشوائيX :

: هي Aعدد احلاالت املمكنة للسحب من العلبة 3

13

13!

3!( )2

136

38

!C .

1 )

3

3 1

20)

6 86(

28

Cp X .

2 )

1 2

10 3 10 3( )

286 2

30

2861

86X

C Cp .

3 )

2 1

10 3 45 3( )

286

135

22 82

686X

C Cp .

4 )

3

10( )286

120

2863

CXp .

3 2 1 0 iX

120

286

135

286

30

286

1

286

ip

حساب األمل الرياضي( )E X :

0( ) 1( ) 2( ) 3( ) 302,

1 30 13

35 660

2

2701 360( )

286 2 86

20

86E X .

: اللعبة الثانية( 2

: متثيل الوضعية بشجرة اإلحتماالت ( أ

.أنظر الشكل املقابل

: إحتمال أن تكون الكرة املسحوبة محراء هو ( ب

( ) ( ) ( )R A Rp p Bp R .

( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))A B

p p p pR A B RpR .

1 10 1 3

2 1( ) ( )

3 2 7( )p R أي ، :

70 39( ) ( ) ( )

5 109

1

3

13 14 82182Rp .

): حساب اإلحتمال الشرطي ( ج )Rp A

5( ) 5 18213( )

109( ) 13 109

182

R

pp

p

A RA

R

: ومنه

0

1(

0)7

9Rp A .

A

12

R1013

V

313

B

12

R37

V

47


4

: التمرين الثالث

: كما يلي ;0املعرفة على gنعترب الدالة : اجلزء األول

2( ) lnx

xg x

x .

: حساب النهايات ( 1

0

lim ( )x

xg ألن ،:

0

0

lim

22li

0

ln

m

x

x

x

x

x

.

lim ( )x

g x ألن ، :

lim

2lim lim 1

lnx

x x

x x

x x

x .

: و تشكيل جدول تغيراتها gت الدالة دراسة تغيرا( 2

: الدالة املشتقة

، ;0اجملالقابلة لإلشتقاق على gالدالة

: و دالتها املشتقة هي 2

1 2( )g

x xx.

): نالحظ أن ) 0g x من أجل كلx 0من; .

. ;0متزايدة متاما على gإذن الدالة

: جدول التغيرات

0 x ( )g x

( )g x

)عادلة بيان أن امل( 3 ) 0g x 1,4: حيث تقبل حال وحيدا 1,5 :

. 1,5;1,4، إذن هي مستمرة و رتيبة على اجملال ;0مستمرة و رتيبة على gالدالة

: و مبا أن

1,4

1,

( )

( )

0,09

0,075

g

g): أي ) ( ) 01,4 1,5g g إذن املعادلة ،( ) 0g x تقبل حل وحيد

1,4: حيث 1,5 .

إشارة( )g x حسب قيمx نلخص اإلشارة يف اجلدول التالي : ;0من :

0 x ( )g x

)يكون xمن أجل ) ( )xg g أي ، :( ) 0g x .

0من أجل x يكون( ) ( )xg g أي ، :( ) 0g x .


5

): بـــ ;0دالة معرفة على f: اجلزء الثاني ) 1 ( )l2 nxf xx .

: حساب النهايات ( 1

0 0

lim ( ) lim 1 ( )ln2x x

f xx x ألن ، :0

0

lim ( ) 2

lim ln

2x

x

x

x .

)املنحين : التفسري اهلندسي )fC 0يقبل مستقيما مقاربا عموديا معادلتهx .

lim ( ) lim 1 2( )lnx x

xf x x ألن ، :

lim ( )

lim ln

2x

x

x

x .

: و تشكيل جدول تغيراتها fدراسة إجتاه تغير الدالة ( 2

الدالة : الدالة املشتقةf شتقة هي ، و دالتها امل ;0تقبل اإلشتقاق على :

1( ) ( )2lnf xx

xx أي ، :

2( ) ln

xx

xf x ومنه ، :( ) ( )f x xg .

)إذن إشارة )f x من إشارة( )g x .

جدول التغيرات : 0 x

( )f x

( )f

( )f x

: بين أن ( 3

2( 1)( ) 1f ثم أعط قيمة مقربة لــ ،( )f 1,45من أجل .

): نعلم أن ) 0g أي ، :

2ln : ، ومنه 0

2ln .

)حنسب اآلن )f :( ) 1 ( ln2)f أي ، :( ) 1 ( )2

)(2f ومنه ، :

2( 1)( ) 1f و هو املطلوب ،.

0: ، يكون 1,45من أجل( ,) 8f .

4 )

0( )xT هو املماس لــلمنحين( )

fC عند النقطة

0M ذات الفاصلة

0x :

كتابة معادلة املماس ( أ

0( )xT :

0 0 0( )( ) ( )y f x x x xf .

مبا أن ( ب

0( )xT يشمل النقطةA(2;0) إحداثياها حيققان معادلة املماس : ) فيكون لدينا

0( )xT . )

: أي 0 0 0

0 2( )( ) ( )f x x xf أي ، :0

0 0 0 00

2ln 20 2( ) 1 ( )ln

xx x x x

x :، ومنه


6

00

00

00 ( ) ln

22 (ln ) 1

xx x

xx أي ، :

0

00

2( ) 12

x

xx ومنه ، :

2

0

0

( )21

x

x: ، أي

2

0 0( )2 xx أي ، :

2

00( )2 xx أي ، :

2

0 0 04 4 0x x x ،

: ومنه 2

0 05 4 0x x معناه أن ، :

01x أو ،

04x .

)إذن املنحين ( ج )fC يقبل مماسني ميران بالنقطةA :

املماس األول ميس( )fC 1عند النقطة ذات الفاصلة .

املماس الثاني ميس( )fC 4عند النقطة ذات الفاصلة .

: معادلة املماس األول ( 11( ) : ( ) 1(1 )1 ( )T y f x f ومنه ، :

12( ) :T y x .

)4: معادلة املماس الثاني ( 2 ) 4 4( ) ( )y f x f ومنه ، :2

1(ln4 ) 2 ln(4) 1

2( ) :T y x .

)رسم املماسني و املنحين ( 5 )fC :

): اجلزء الثالث ) : 2myd mx m .

): التحقق أن ( أ )md مير بالنقطةA نعوض إحداثيي النقطة : أيA يف معادلة املستقيم( )

md :

0 2( ) 2m m إذن ، :( )md يشمل النقطةA .

)املناقشة البيانية لعدد حلول املعادلة ( ب ) 2f mx x m :

)ط تقاطع املنحين عدد حلول املعادلة هي فواصل نق )fC مع املستقيم( )

md .

)املستقيم )md يتحرك حركة دورانية حول النقطة الثابتةA .

(Cf)

(T1)(T2)

2 3 4 5 6 7-1-2-3-4

2

3

4

5

6

7

8

-1

-2

-3

0 1

1

x

y

A


7

نعلم أن املماسني 1( )T و

2( )T ميران أيضا بالنقطةA .

: لدينا 1

2

1ln 4

( ) : 2

( ) : 2

( ) : ( ) 2 ln( 14)2

my mx m

y x

y

d

T

T x

:ندرس ثالث حاالت .

0:ملاm ، هناك ثالث حاالت :

1 )1m معناه أن :( )md يقع فوق

1( )T ومنه املعادلة تقبل حلني متمايزين ،.

2 )1m معناه أن :( )md هو نفسه

1( )T 1، ومنه املعادلة تقبل حل وحيد هو .

3 )1 0m معناه أن :( )md يقع حتت

1( )T ومنه املعادلة ال تقبل حلول ،.

0: ملاm معناه أن :( ) : 0md y ومنه املعادلة ال تقبل حلول ،.

0: ملاm هناك ثالث حاالت ، :

1 )

10 ln4

2m معناه أن :( )

md يقع حتت

2( )T ومنه املعادلة ال تقبل حلول ،.

2 )

1ln 4


md هو نفسه

2( )T 4وحيد هو ، ومنه املعادلة تقبل حل .

3 )

1ln 4


md يقع فوق

2( )T ومنه املعادلة تقبل حلني متمايزين ،.

هل لا ءاش نإ 2018 اير ولاكب يف رهابلا حاجنلاب عيمجلل انتاينمت

اك ي

قازرلاندع مساب : ذاسألا ة


يلرا تاضا ةدما ف ثلثاا · 2019-03-17 · 1 ة ة ينوثا ة حللمصاا ي...

Documents