第八章第 3课时：

圆与圆的位置关系 要点、考点聚焦 课前热身 典型例题解析 课时训练

要点、考点聚焦

1 、本课时的重点：一是圆与圆的五种位置关系与数量关系的相互转化；二是两圆的公切线的内容。

2 、圆和圆的位置关系

图 8-4-1

数量关系：外离 d＞ R+r 四条公切线外切 d=R+r 三条公切线相交 R-r＜ d＜ R+r 两条公切线内切 d=R-r 一条公切线内含 d＜ R-r当 d=0 时，两圆同心

3. 相切两圆的性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上

4. 两圆相交的性质定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 .

6. 公切线的性质(1) 如果两圆有两条外公切线，那么这两条外公切

线长相等；如果两圆有两条内公切线，那么这两条内公切线长相等 .

(2) 如果两圆有两条外 (内 ) 公切线，并且相交，那么交点一定在两圆的连心线上，并且连心线平分这两条公切线的夹角 .

7. 中考题型设置在两圆的五种位置关系中，两圆相交与两圆外切、内切较为重要，考查两圆的位置关系及公切线条数主要出现在填空、选择题中，考察两圆相切或相交的性质，主要出现在计算题和证明题中

1.(2003年 · 北京市 ) 如果两圆的半径分别为 3 cm和 5 cm ，圆心距为 10 cm ，那么这两个圆的公切线共有 ( )A.1 条 B.2 条C.3 条 D.4 条

课前热身

B

2. 两圆的半径比是 5 3∶ ，两圆外切时，圆心距是16 ，如果两圆为含时，它们的圆心距 d是 ( )A.d＝ 4 B.4＜ d＜ 20C.d＞ 4 D.0＜ d＜ 4

本题选 (D)

3.设⊙ O1和⊙ O2 的半径分别是 R和 r ，圆心距O1O2=5 ，且 R、 r 是方程 x2-7x+10=0 的两根，则⊙ O1和⊙ O2 的位置关系是 ( )A. 内切 B. 外切C. 相交 D. 外离

本题选 (C)

4. 两圆的直径分别为 18 cm和 8 cm ，它们的外公切线长为 12 cm ，则这两圆的位置关系是 ( )A. 外离 B. 外切C. 相交 D. 无法确定

本题选（ C ）

5. 如图 8-4-2，⊙ O1与⊙ O2 外切于点 T ，它们的半径分别为 4和 1 ，直线 AB与⊙ O丹1、⊙ O2 都相切，则直线 AB 与直线 O丹 1O丹2 所成锐角的正弦值是 ( )

本题选（ D ）

典型例题解析【例 1 】如图 8-4-3 ，已知⊙ O1与⊙ O2 相交于A、 B 两点，过点 A作⊙ O1 的切线，交⊙ O2于 C 点，过点 B 作两圆的割线分别交⊙ O1、⊙ O2于 D、 E， DE与 AC 相交于 P 点

(1) 求证： PA·PE=PC·PD.(2)当 AD与⊙ O2 相切，且PA=6， PC=2， PD=12 时，求 AD 的长 .

【解析】 (1) 两圆相交，常想到的辅助线是两圆的公共弦，这是架起两圆中角的桥梁，如此题中的∠ D 与∠ E ，要证 等 积 式 ， 先 化 成 比 例 式 ， 找 相 似 三 角 形 ， 证△ PAD∽△PCE(2) 根 据 已 知 条 件 ， 要 求 AD ， 只 有 关 系AD2=DB·DE ，因此，须先求出 DB、 DE ，由 (1)中PA·PE=PC·PD 6PE=2×12 PE=4. 由 相 交 弦 定 理PE·PB=PA·PC PB=3 ，因此 BD=9，DE=16 ，即可求出 AD.

PE

PD

PC

PA

【例 2 】如图 8-4-4，⊙ O1与⊙ O2 内切于点 P，⊙ O2 的弦 BE与⊙ O1 相切于 C， PB交⊙ O1于 D， PC 的延长线交⊙ O2于 A ，连结AB、 CD、 PE.

(1)求证：①∠ BPA= EPA∠

②BD

BC

AC

AB

(2)若⊙ O1 的切线 BE 经过⊙ O2 的圆心，⊙ O1、⊙ O2 的半径分别为 r、 R ，其中 R≥2r ，如图8-4-5 ，求证： PC·AC 为定值

【解析】 (1) 两圆相切，常用的辅助线是两圆的公切线，这条公切线是架起两个圆中的圆周角、弦切角的桥梁，要证①∠ BPA= EPA∠ ，通过过P 点作两圆的外公切线 MN ，得

从而得∠ BPA= EPA∠ ② 从这个比例式中，好像可以证△ ABC与△ BCD 相似，但我们一看就知△ ABC与△ BCD 不可能相似，下面应该思考的是找中间比，由 DC AB∥

(2) 两圆相切的性质是两圆心的连线必过切点，因此 P、 O1、 O2 三点共线，要证 PC·AC 为定值，只要证 PC·AC=BC·CE 中的 BC·CE 是定值即可，所以连结 PO2、 O1C ，则 O1C BE⊥且 C是 BE 的中点， EC=R-O2C， BC=R+O2C EC·BC=R2-O2C2而 O2C2=(R-r)2-r2=R2-2Rr∴EC·BC=R2-(R2-２ Rr)=2Rr∴PC·AC 为定值 2Rr

【例 3 】半径分别是 10 cm和 17 cm 的两圆相交，公共弦长为 16 cm ，求两圆的圆心距 .

【解析】解这类无图的题目时，在画图时，必须将各种可能出现的情况考虑周全，防止漏解，此题画图时，应该有两种，如图 8-4-5(1)(2).图 (1)中 O1、 O2 在公共弦 AB 的两侧，则 O1O2=O1C+O2C.图 (2) 中， O1、 O2 在公共弦 AB 的同侧时，则 O1O2=O2C-O1C 此题应用的是两圆相交的性质：连心线垂直平分公共弦，再利用Rt AO△ 丹 2C， Rt AO1C△ 中，求出

∴O1O2=15+6=21cm或O1O2=15-6=9 cm

求出 O2C= =15 cm，O1C= =6 cm22 817 22 810

【例 4】 (2003年 · 浙江省舟山市 ) 如图 8-4-6，⊙ A和⊙ B 是外离两圆，⊙ A 的半径是2，⊙ B 的半径是 1， AB=4， P 为连结两圆圆心的线段 AB 上的一点， PC切⊙ A 于点C， PD切⊙ B于 D

(1)若 PC=PD ，求 PB 的长

(2) 试问线段 AB 上是否存在一点 P ，使PC2+PD2=4 ，如果存在，问这样的 P 点有几个 ? 并求出 PB 的值；如果不存在，说明理由 .

(3) 当点 P 在线段 AB 上运动到某处，使PC PD⊥ 时，就有△ APC PBD.∽△ 请问：除上述情况外，当点 P 在线段 AB 上运动到何处 ( 说明PB 的长为多少；或 PC、 PD 具有何种关系 ) 时，这两个三角形仍相似，并判断此时直线 CP与⊙ B 的位置关系，证明你的结论 .

(3) 解答这类问题，要先把△ APC PBD∽△ 看作已知条件，来推导 P 在线段 AB 的何处 .在△ PCA与△ PDB 中， ACBD=21=PC PD(或APBP) C= D=90° PCA PDB.∠ ∠ △ ∽△∴∠BPD= APC= BPE(E∠ ∠ 在 CP 的延长线上 )∴B 点在∠ DPE 的角平分线上， B到 PD与 PE的距离相等 .∵⊙B与 PD 相切，∴⊙ B 也与 CP 的延长线 PE相切 .因此当 PC PD=2 1∶ ∶ 或 PB=43 时，也有△ PCA PDB∽△

1. 遇两圆相交，常常作两圆的公共弦为辅助线，以实现两圆之间的各种角的相等关系的转化 .2. 在两个圆组成的图形中，不论它们是相交、相切，还是相离，都要注意利用前面学过的圆的各种性质，不要因为图形中有两个圆相交或相切就只想到利用两圆相交或相切的性质 .3. 公切线是常用的辅助线：当两圆外切时，作它们的内公切线；当两圆内切时，作它们的外公切线 .

方法小结

一、课堂反馈

1.(2003年 ·武汉市 ) 已知两圆的半径分别为 3 cm和 4 cm ，两个圆的圆心距为 10 cm ，则两圆的位置关系是 ( )A. 内切 B. 相交C. 外切 D. 外离

本题选（ D ）

课时训练

本题选（ A ）

2.(2003年 ·辽宁省 ) 如图 8-4-7 ，施工工地的水平地面上，有三根外径都是 1米的水泥管，两两相切地堆放在一起，则其最高点到地面的距离是 ( )

3. 如图 8-4-8，⊙ O1与⊙ O2 相交， P是⊙ O1上的一点，过 P 点作两圆的切线，则切线的条数可能是 ( )

A.1、 2 B.1、3C.1、 2、 3 D.1、2、 3、 4

本题选（ C)

4.(2003年 ·河北省 ) 如图 8-4-9 ，这是某机械传动部分的示意图，已知两轮的外沿直径分别为 2分米和 8 分米，轴心距为 6 分米，那么传动带的长为 ( ) 分米

本题选（ B)

5 、已知两圆内切，一个圆的半径是 3 ，圆心距

是 2 ，那么另一个圆的半径是 ( )

A.1 B.5C.2或 3 D.1或 5

本题选（ D)

6. 如图 8-4-10，⊙ O1与⊙ O2 相交于 A、 B 两点，经过 A 的直线 CD交⊙ O丹 1于 C ，交⊙ O2于 D ，经过点 B 的直线 EF交⊙ O1于 E ，交⊙ O2于 F ，求证： CE DF.∥

证明：连结 AB∵∠C+ 1=180°∠ ，∠ 1= D∠∴∠C+ D=180°∠∴CE DF∥